автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование интенсивных пучков заряженных частиц

На правах рукописи

Свешников Виктор Митрофанович

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНТЕНСИВНЫХ ПУЧКОВ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск, 2006

Работа выполнена в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН

Научный консультант: доктор физико - математических наук,

профессор В.П. Ильин

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук,

профессор В.А. Вшивков, доктор физико - математических наук, профессор В.Н. Мануйлов, доктор физико - математических наук, профессор М.П. Фсдорук

Ведущая организация Институт теоретической и прикладной

механики СО РАН

Защита состоится 16 мая 2006 г. в 15 часов на заседании специализированного диссертационного совета Д003.061.02 при Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН по а,2фесу: 630090, г. Новосибирск, пр. акад. Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ИВМиМГ СО РАН

Автореферат разослан «29» марта 2006 г.

Ученый секретарь специализированного совета

д.ф.-м.н.

С.Б. Сорокин

Актуальность проблемы. Численное моделирование интенсивных пучков заряженных частиц является важной составляющей в исследовании процессов, происходящих в различных электрофизических приборах научного и технического приложений. Методы численного моделирования предполагают проведение исследований по трем основным направлениям: построение математических моделей, разработка численных алгоритмов и создание программных комплексов, в которых реализованы разработанные алгоритмы. В диссертации представлены все перечисленные направления.

Интенсивными называются пучки, в которых нельзя пренебречь силами кулоновского расталкивания, создаваемого собственным объемным зарядом. Такие пучки являются рабочим элементом в электронно- и ионно-оптических системах, которые находят широкое практическое применение, например, для получения СВЧ-колебаний, для плавки и резки металлов, для напыления материалов и для других практически важных целей.

Математически проблема исследования интенсивных пучков заряженных частиц сводится к решению нелинейной самосогласованной задачи, которая имеет аналитическое решение только в ряде простейших случаев, поэтому основными математическими методами решения рассматриваемых задач являются методы численного моделирования.

Развитие численных методов для решения данных задач связано с повышением эффективности численных алгоритмов и созданием программных комплексов, позволяющих автоматизировать проведение расчетов. Конкретными побудительными мотивами проведения исследований, которые определяют актуальность проблемы, явились следующие причины.

1. Одним из наиболее важных для практики режимов работы прибора, формирующего интенсивный пучок заряженных частиц, является тот случай, когда катод (эмитгер) электронно-оптической системы (ЭОС), то есть поверхность входа частиц в исследуемую область, работает в режиме ограничения тока объемным зарядом (так называемом р -режиме). Наиболее распространенными методами решения данных задач являются итерационные методы нижней релаксации, использующие закон «3/2» для плоского диода. При этом не

учитываются такие важные свойства ЭОС как криволинейность катода, неоднородность плотности тока на катоде и прикатодная особенность, состоящая в том, что плотность объемного заряда на катоде обращается в бесконечность, что вносит в ряде случаев существенные ошибки в решение. Таким образом, необходима разработка новых методов повышенной точности для численного моделирования интенсивных пучков заряженных частиц, эмиссия которых происходит в р -режиме.

2.. Задача расчета интенсивных пучков заряженных частиц включает в себя следующие сложные вычислительные задачи: 1) интегрирование уравнений движения заряженных частиц, 2) вычисление потенциала электрического поля, 3) расчет напряженности электрического поля и внешнего магнитного поля, 4) расчет распределения объемного заряда и собственного магнитного поля.

Создание новых, эффективных, теоретически и экспериментально обоснованных алгоритмов и программ для решения каждой из приведенных задач, а также решение вопроса о согласовании точности их решения, является ключевым моментом в повышении эффективности решения рассматриваемой задачи в целом.

Первые три подзадачи принадлежат классическим разделам вычислительной математики: численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, аппроксимация краевых задач, решение сеточных алгебраических уравнений, приближение функций. Однако простое перенесение известных методов в рассматриваемую проблемную область не обеспечивает их должной эффективности, так как при этом не учитываются важные специфические детали алгоритмов. В связи с этим возникает необходимость в адаптации известных и в создании новых алгоритмов решения данных задач.

3. С математической точки зрения частным случаем расчета электронно-оптических систем является задача расчета изоляционных конструкций, которая также рассматривается в диссертации. При этом необходимо разрабатывать адекватные алгоритмы для проведения расчетов в областях со сложной конфигурацией границы, с наличием сред, диэлектрическая проницаемость которых сильно отличается друг от друга, со специальными граничными условиями.

4. В последние годы большое значение придается распараллеливанию численных алгоритмов для решения краевых задач

на многопроцессорных вычислительных комплексах. Здесь необходимо проводить исследование работы численных алгоритмов в реальной вычислительной среде, то есть с учетом межпроцессорных обменов, которые оказывают существенное влияние на эффективность распараллеливания.

5. При моделировании современных приборов с интенсивными пучками необходимо расширять физические и математические постановки задач, и, как следствие, разрабатывать эффективные численные алгоритмы и программные комплексы для их решения. Сюда относится численное моделирование интенсивных пучков заряженных частиц в приборах, в которых источником заряженных частиц является катодная или анодная плазма, моделирование пучков в магнитофокусирующих системах, моделирование нестационарных релятивистских пучков, движущихся в мношрезонаторных системах с учетом собственных не только потенциальных, но и вихревых полей.

6. Программное обеспечение для численного моделирования интенсивных пучков заряженных частиц непрерывно развивается и совершенствуется, что обусловлено развитием вычислительной техники, операционных систем и программных инструментариев, новыми постановками задач, созданием новых численных алгоритмов. Программное обеспечение для решения такого широкого класса задач, как класс задач, приведенный в диссертации, должно иметь средства удобного описания исходных данных, наглядного представления результатов и автоматизации проведения расчетов. Под этим понимается создание языковых и диалоговых средств для описания геометрии области, граничных условий, информации о пучке, параметрах дискретизации, управления процессом расчета. Сюда же относится разработка структур данных, позволяющая скрыть «нефизические» детали численных алгоритмов. В целях удобства работы с программным комплексом он должен иметь такие средства, чтобы, с одной стороны, обеспечил, возможность работы с ним как с «черным ящиком», а, с другой стороны, иметь средства его «безболезненного» расширения для вставки новых алгоритмов и постановок. Важным представляется создание возможности многоуровнего описания исходной информации: 1) посредством диалога для неподготовленных пользователей, 2) на специальном входном языке комплекса для опытных пользователей с целью оперативной

5

корректировки данных и запуска варианта расчета, 3) в виде числовых массивов для пользователей, желающих включить в программный комплекс свои разработки.

Цель работы состоит в разработке математических моделей, создании эффективных алгоритмов и программных комплексов для решения широкого класса задач численного моделирования интенсивных пучков заряженных частиц.

Научная новизна полученных результатов заключается в том, что предложены новые математические модели, созданы оригинальные численные алгоритмы и разработаны структуры данных для решения рассматриваемых задач, а именно:

1. Предложены новые математические модели задачи нахождения плотности тока на катоде для практически важного случая эмиссии заряженных частиц в режиме ограничения тока объемным зарядом, для реализации которых предложены и обоснованы итерационные алгоритмы вычисления плотности тока на катоде, существенно повышающие эффективность проведения расчетов по сравнению с традиционными подходами в смысле трудозатрат на получение решения и его точности. Проведена адаптация основных положений антипараксиальной теории оптики интенсивных пучков В.А. Сырового к численным расчетам, что впервые позволило учесть такие существенные факторы в задачах расчета пучков при эмиссии в р -режиме как прикатодная особенность, кривизна эмиттера и неоднородность плотности тока и тем самым значительно повысить точность их решения. Предложена сеточная структура данных, позволяющая автоматизировать процесс проведения расчетов.

2. Впервые проведено расщепление алгоритмов расчета траекторий движения заряженных частиц по элементам сеточной облаете, что послужило основой создания экономичной поэлементной технологии проведения расчетов, предложенной в диссертации. Предложены и обоснованы оригинальные алгоритмы распределения объемного заряда, вносимого пучком заряженных частиц, по узлам сетки, которые применимы, как при поэлементном, так и при пошаговом подходах. Разработаны эффективные алгоритмы расчета релятивистских пучков с учетом собственных и внешних магнитных

полей для адекватного моделирования физических явлений в мощных сильноточных приборах.

3. Исследован итерационный метод на последовательности сеток при общих предположениях относительно применяемых итерационных алгоритмов и аппроксимаций, а также доказана возможность повышения на порядок относительно шага сетки точности разностного решения одномерной краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка путем применения экстраполяции Ричардсона на последовательности неравномерных сеток.

4. Изучена проблема эффективности распараллеливания решения двумерных и трехмерных краевых задач при проведении вычислений на многопроцессорных вычислительных системах в реальной вычислительной среде с учетом межпроцессорных обменов.

5. Предложены и исследованы новые математические модели, а также разработаны численные алгоритмы расчета интенсивных пучков заряженных частиц в сложных физических условиях, включающих в себя наличие подвижных плазменных границ, взаимодействие пучка с остаточным газом, прохождение нестационарного пучка в многорезонаторных системах с учетом не только потенциальных, но и вихревых электромагнигаых полей.

6. Предложены квазиструктурированные составные сетки, позволяющие более точно по сравнению с прямоугольными структурированными сетками приблизить решение в областях со сложной конфигурацией границы и, в то же время, допускающие простую нумерацию узлов, что выгодно отличает их от неструктурированных сеток. Построены структуры данных макро и микроуровней для предложенных сеток, а также разработаны алгоритмы их формирования на основе вводимой информации о сетке

Научно-практическая ценность полученных в диссертации

результатов состоит в следующем:

1. Разработанные модели и алгоритмы позволяют проводить численное моделирование интенсивных пучков заряженных частиц с высокой эффективностью, включая расчеты широкого класса

электрофизических устройств с повышенной точностью, быстрыми и надежными методами.

2. Предложенные модели и алгоритмы легли в основу программного комплекса ЭРА, получившего широкое внедрение в десятках различных организаций, занимающихся разработкой электрофизических приборов. В рамках комплекса ЭРА разработаны структуры данных для решения рассматриваемых задач методом конечных разностей и конечных объемов на прямоугольных, локально-модифицированных и квазиструктурированных сетках. Комплекс имеет возможность многоуровневого задания исходных данных о конкретной задаче: на специально разработанных входных языках для оперативной работы с пакетом подготовленных пользователей и при помощи программных оболочек для комфортной работы начинающих пользователей. Вывод результатов расчета проводится системой СЕРВИС в виде, удобном для обработки.

3. При помощи созданного комплекса программ проведены решения многих методических и практических задач в различных организациях бывшего Советского Союза, а ныне России и стран СНГ.

4. Некоторые из предложенных алгоритмов такие как, например, подходы к методам итераций по подобластям, многосеточным методам, распараллеливанию численного решения могут быть использованы и при решении других задач математической физики. Разработанный комплекс прикладных программ был внедрен в

десятки организаций бывшего Советского Союза и являлся по сути дета рабочим инструментом разработчиков электронно-оптических приборов. Среди них такие организации как НИИ «Исток» (Москва), ВЭИ (.Москва), РТИ АН (Москва), ИРЭ АН (Москва), предприятие л/я А-1568 (Ленинград), ИЭиА (Ташкент), ВПИ (Винница), ИПФ АН (Горький), НИИ ЛФ при ТПИ (Томск), филиал ВЭИ (Минусинск), ИХКиГ СО АН (Новосибирск), СибНИИЭ (Новосибирск) и другие организации.

Программный комплекс ЭРА до настоящего времени широко используется в различных организациях России и стран СНГ. Это ФГУП ВЭИ (Москва), филиал ФГУП ВЭИ (Минусинск), ФГУП НПП «Торий» (Москва), НИИ ЯФ при ТПУ СГомск), Инстшут электросварки им. Е.О.

8

Патона (Киев, Украина), ВТУ (Винница, Украина). Кроме того, программный комплекс ЭРА используется в учебных курсах в МЭИ (Москва) и МИРЭА (Москва) дня обучения студентов специальности «Электронные приборы».

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 78 печатных работах, 12 из которых в изданиях, рекомендованных ВАК для докторских диссертаций.

Апробация работы. По результатам диссертационной работы были сделаны доклады на следующих Международных, Всероссийских и Всесоюзных конференциях, симпозиумах и семинарах: 1V-X Всесоюзные семинары по методам расчета электронно-оптических систем (1971 - 1990 г.г.), Ш Украинская республиканская конференция по электронной оптике и ее применениям (1974 г.), VII, XXI International Symposium on Discharges and Electrical Insulation in Vacuum (1976, 2004 г.г.), III, VII Всесоюзные симпозиумы по сильноточной импульсной электронике (1978, 1988 г.г.), Всесоюзная конференция «Автоматизация научных исследований на основе применения ЭВМ», VI Всесоюзный семинар по комплексам программ математической физики (1979 г.), Всесоюзный симпозиум по ненакал иваемым катодам (1980 г.), Всесоюзный семинар «Численные методы расчета электромагнитных переходных процессов в электрических системах и электростатических полей в изоляционных конструкциях» (1982 г.), Всесоюзный семинар «Методы расчета электромагнитных переходных процессов» (1985 г.), Всесоюзные школы по методам решения задач электронной оптики (1988, 1990 г.г.), Международный симпозиум INFO-89 (1989 г.), Международная конференция по электронно-лучевым технологиям (1991 г.), 7 th, 10 th International Conference on High Power Particle Beams (1988r., 1994 г.), Второй сибирский математический конгресс по индустриальной и прикладной математике (ИНПРИМ) (1996 г.), IV — VII Всероссийские семинары «Проблемы теоретической и прикладной электронной и ионной оптики» (1999 — 2005 г.г.), The International Conference on Computational Mathematics ICCM-2002 (2002 г.), Международная конференция по математическому моделированию МКММ-2003 (2003 г.), Международная конференция «Parallel computing technology РаСТ-2003» (2003 г.), Международная конференция по вычислительной математике МКВМ -2004 (2004 г.). Кроме того, результаты докладывались на многих семинарах ИВМиМГ и бывшего

9

ВЦ СО АН СССР, ИВТ СО РАН, ИПФ РАН и в других научно-исследов атсльских организациях

Работа поддерживалась следующими гранггами РФФИ в 1999-2005 годах: 99-01-00579 - «Решение многомерных сеточных систем алгебраических уравнений высокого порядка», 01-07-90367 -«Интерактивная библиотека алгоритмов и программ АККОРД для задач математического моделирования», 02-01-01176 - «Исследование и решение неклассических систем сеточных алгебраических уравнений», 05-01-00487 — «Смешанные методы конечных объемов для решения многомерных краевых задач»; следующими грантами научной программы «Университеты России» в 2001-2005 годах: 015.03.01.12 -«Вычислительные технологии сильноточной электроники», УР.03.01.01 — «Моделирование электродинамических систем на неструктурированных сетках», УР.ОЗ.01.194 — «Создание эффективных алгоритмов и программ для моделирования электродинамических систем». По теме диссертации проводились многие хоздоговорные работы в ИВМиМГ (ВЦ) СО РАН. Частично работа выполнялась в 2004, 2005 годах в рамках проекта «Создание параллельных вычислительных технологий для решения задач и моделирования физических процессов на многопроцессорных системах» Программы фундаментальных исследований РАН № 17.

Личный вклад автора. Результаты диссертации по итерационным методам решения самосогласованных задач, расчету траекторий и объемных зарядов, изложенные в главах 1 и 2, получены автором единолично (результаты параграфа 2.5 по расчету собственного магнитного поля получены в соавторстве), результаты по расчету электрических полей, моделированию пучков в сложных физических условиях, автоматизации проведения расчетов, изложенные в главах 3 — 5, получены преимущественно в соавторстве при непосредственном участии автора во всех аспектах проводимой работы. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений. Работа изложена на 314 страницах, содержит 277 страниц основного текста, 33 таблицы, 60 рисунков, список литературы, включающий 204 наименования.

Автор выражает благодарность научному консультанту доктору физико-математических наук, профессору В.П. Ильину, под влиянием работ которого и в сотрудничестве с которым получен ряд результатов, особенно в части расчета электрических полей.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность работы, излагаются ее дели, указывается научная новизна полученных результатов, их научно-практическая ценность, апробация работы, личный вклад автора в полученные результаты и приводится обзор содержания диссертации.

Глава I посвящена итерационным методам решения нелинейных самосогласованных задач, которые возникают при численном моделировании интенсивных пучков заряженных частиц.

В §1.1 приводится постановка задачи расчета интенсивных пучков заряженных частиц и краткий обзор алгоритмов ее решения. Рассматриваются преимущественно двумерные задачи (трехмерные задачи оговариваются особо). Расчетная область предполагается плоской или осссимметричной, а пучки заряженных частиц -релятивистскими и нерелятивистскими, движущимися во внешних и собственных электромагнитных полях. В большей части рассмотрение проводится для стационарного случая, расчету нестационарных пучков посвящен §4.3 диссертации. Моделирование пучка осуществляется методом больших частиц, а в стационарном случае его экономичным вариантом - методом трубок тока.

Все последующие параграфы данной главы посвящены решению самосогласованных задач при эмиссии заряженных частиц в режиме ограничения тока пространственным зарядом (р-режиме), который характеризуется тем, что плотность тока ] на катоде (эмиттере) является неизвестной величиной. Для ее определения на катоде задается условие равенства нулю напряженности электрического поля.

В §1.2 делается обзор методов отыскания плотности тока ] на катоде при эмиссии в р -режиме и приводятся результаты, полученные автором. Предложена новая математическая модель данных задач, согласно которой их решение представляется как решение системы нелинейных уравнений вида

Ф (£(/»= 0. (1)

Здесь Е — {Е1}, у = {/,.} - векторы, компоненты которых представляют собой соответственно напряженность электрического поля и плотность тока на катоде в точках выхода трубок тока, Ф = {/].} - вектор-

функция, где = £■*(у), / = 1,2,(//, - заданное число трубок тока). Выбор вида функций обусловлен тем, чтобы, с одной стороны, обеспечить необходимое в данном случае условие Е. = 0 (/ = 1,2,...,Л',), а, с другой стороны, чтобы стало возможным эффективное применение известных итерационных методов дам решения нелинейных уравнений (1), в частности, метода Ньютона вида

У"+1=У"-[Ф'(У"')Г Ф(У"), (2)

или его модификаций. Здесь /7 = 0,1,... - номер итерации, а Ф' ~ матрица Якоби вектор-функции Ф. В одномерном случае доказана теорема 1 о том, что итерационный процесс (2) сходится к точному решению системы уравнений (1) при любом начальном приближении го области существования и единственности решения задачи с

заданной плотностью тока, причем все у" С О}.

В двумерном случае на каждом приближении итерационного процесса (2) элементы матрицы Ф' вычисляются при помощи разностных соотношений, что требует решения вспомогательных самосогласованных задач с заданной плотностью тока на катоде. Экспериментально установлено, что Ф' приблизительно можно считать ленточной матрицей. Если ширина ленты равна 2М — 1, где М -заданное целое число, то показано, что в этом случае для вычисления элементов матрицы Ф' достаточно решения 2ЛУ — 1 вспомогательной задачи. В частности, если М — 1, то есть Ф' предполагается диагональной матрицей, то проводить решение вспомогательных задач не требуется вообще, а все необходимые доя расчетов величины можно взять с предыдущей итерации.

Экспериментально показано, что наиболее эффективным вариантом итерационного процесса (2) является метод, требующий приближенного вычисления элементов матрицы Ф' только на первых двух итерациях.

В §1.3 излагаются методы итераций по подобластям, которые впервые применены для решения самосогласованных задач при эмиссии в р -режиме, основанные на декомпозиции расчетной области на

прикатодную Ос и основную Оь подобласти, которые сопрягаются без налегания. Решение в прикатодной подобласти строится по аналитическим формулам антипараксиальной теории В.А.Сырового, а в основной подобласти находится численно. Метод итераций по подобластям в данном случае выполняет две функции: 1) является итерационным методом нахождения плотности тока на катоде, 2) служит средством повышения точности расчетов за счет выделения прикатодной особенности, состоящей в том, что плотность объемного заряда на катоде обращается в бесконечность, за счет учета кривизны эмиттера и неоднородности плотности тока на нем. Предложена новая математическая модель, согласно которой решение рассматриваемой задачи представляется как решение системы нелинейных уравнений

*■(«)=<>. (3)

Здесь и = {м|.} — вектор, компоненты которого представляют собой значения потенциала на границе ТсЬ сопряжения подобластей, определенные в точках Т{ е ГсЬ выхода трубок тока, а — {/^ (и)} — вектор-функция, где ^ (и) = , (и) - /ьДм) , а /,_,("), -

нормальные производные потенциала в точках ^ соответственно в подобластях Ое и Оь (г = где Л^ - число трубок тока).

Система уравнений (3) вытекает из требования выполнения условий сопряжения для потенциала и его производных на Гсй. Достоинством

данного подхода является то, что на границе сопряжения ГсЬ ставится условие Дирихле для потенциала электрического поля при проведении расчетов как в прикатодной, так и в основной подобластях. Для решения системы уравнений (3) предлагается итерационный процесс вида

+ «"«»^"^"П. (4)

1«", если|| /гв+1/2 || > || .Р" ||.

Здесь / - единичная матрица, Р " = diag\ > - диагональная

)

матрица, где = ^(и"), а Тп ~ числовой параметр, который определяется как.

1гп, если\\Рп+хп\\>\\Р"\\,

где ||. || - какая-либо норма в метрическом пространстве функций, определенных в точках г( е Гс4, а г0 - задано. Итерационный процесс прекращается при выполнении хотя бы одного из двух условий

(5)

где в - заданная малая величина.

Даются результаты численных экспериментов на тестовых задачах о сферическом диоде, о потоке Мельтцера и о пушке Пирса, которые свидетельствуют о сходимости предложенного метода и о том, что погрешность решения рассматриваемых задач достигает десятых и даже сотых долей процента на простых по конструкции прямоугольных сетках с числом узлов порядка 2000 - 8000, характерным для практических расчетов.

Рассмотрен вариант итерационного процесса со сменой типа граничного

условия на ГсЬ (условие Неймана дня проведения расчетов в

прикатодной подобласти и условие Дирихле - дня основной подобласти).

Параграф 1.4 посвящен алгоритмам расчета прикатодной подобласти. Они строятся на основе ашигараксиальной теории В.А. Сырового, основные положения которой впервые адаптированы к численным расчетам. В работах В.А. Сырового антипараксиальные уравнения решаются итеративно. В диссертации найдено приближенное решение антипараксиальных уравнений, которое основывается на

разложении плотности тока ] на катоде в ряд по степеням малого параметра Л вида

] = + (б) (

с неизвестными коэффициентами А, £/,,/ = 1,2,____ Тогда

антипараксиальные уравнения сводятся к системе нелинейных, алгебраических уравнений, которая допускает приближенное решение в виде

и3/2

3~с' ¿2(К + Ы2Ь)3'2' (7)

где с ■ — константа, и — потенциал на границе сопряжения Гсй, с/

характерный размер прикатодной подобласти, величина К зависит от кривизны катода, а Ь — от производных потенциала вдоль границы сопряжения Г..ь . На основании формул (6), (7) получены выражения для

численного расчета траекторий заряженных частиц, потенциала, напряженности электрического поля и объемного заряда в прикатодной подобласти.

Экспериментально показано значительное увеличение точности расчетов плотности тока по формуле (7) по сравнению с расчетами по классическому закону «3/2» (то есть при К = Ь — 0 в (7)). Аналогичным образом построены формулы для расчета прикатодной подобласти в случае, когда на границе сопряжения происходит смена типа граничного условия во время проведения итерационного процесса по подобластям.

В главе 2 излагаются алгоритмы расчета траекторий заряженных частиц, объемных зарядов и магнитных полей.

В §2.1 предлагается поэлементная технология расчета интенсивных пучков, которая представляет собой новый подход к применению численных методов решения данных задач и означает, что за один временной шаг фазовые координаты и объемный заряд определяются внутри одного сеточного элемента. Её преимущества по сравнению с традиционным подходом заключаются в том, что она позволяет упростить реализацию известных численных алгоритмов и значительно сократить число выполнения трудоемких процедур определения

15

принадлежности точки сеточному элементу. Принцип поэлементной технологии позволяет получить простые явные выражения для координат и скоростей заряженных части ц в неявной схеме интегрирования уравнений движения, которая обладает такими важными физическими свойствами, как аппроксимация закона сохранения энергии с третьим порядком и обратимость по времени.

В §2.2 разработаны алгоритмы расчета напряженности электрического поля в прикатодной области и вне нее на прямоугольных и непрямоугольных сетках. Для расчетов вблизи катода с целью повышения точности построено специальное приближение потенциала, основанное на методе наименьших квадратов.

В §2.3 предложены алгоритмы распределения объемного заряда по узлам треугольной и четырехугольной сеток. Доказана теорема 2 о том, что вклад объемного заряда q, вносимого заряженными частицами с

отрезка траектории д, принадлежащего треугольному элементу е,, в его вершины равен вкладу точечного заряда д, сосредоточенного в центре (х,, у,) отрезка 6. Для погрешности £ расчета потенциала при этом справедлива оценка

где (р, <р — соответственно точное и приближенное значения потенциала, Л - максимальный шаг сетки. Для четырехугольной сетки доказана теорема 3, согласно которой вклад объемного заряда д, вносимого заряженными частицами с отрезка траектории д, принадлежащего четырехугольному элементу в его вершины

р — 1,2,3,4 определяется по формулам

где IVр, — вклад от единичного заряда, находящегося в центре 3, величины 1х,1у представляют собой проекции 8 на оси координат, а коэффициенты Ср, Ор определяются геометрией сеточного элемента. При этом справедлива оценка (8).

(8)

(9)

В §2.4 приводятся результаты численных экспериментов по интегрированию уравнений движения заряженных частиц в электрическом поле различными методами, в том числе с применением экстраполяции Ричардсона. Целью проведенных исследований являлось сравнение различных схем интегрирования уравнений движения и согласование точности данных схем и точности вычисления напряженности электрического поля Полученные численные результаты показывают преимущество по точности схем перешагивания по сравнению с другими схемами второго порядка и необходимость расчета напряженности электрического поля с повышенной точностью в методах четвертого порядка.

В §2.5 рассматриваются схемы интегрирования релятивистских и нерелятивистских уравнений движения в электрических и магнитных полях, а также приводятся алгоритмы расчета собственных и внешних магнитных полей. Предложена схема интегрирования релятивистских уравнений движения, в которой в целях сокращения числа операций ЭВМ на каждом шаге интегрирования релятивистская поправка у в промежуточной точке вычисляется через потенциал, а окончательно — через импульс частицы. Разработаны алгоритмы расчета собственного магнитного поля пучка, в том числе с учетом токов, протекающих по катодному или анодному узлам системы, что особенно важно при расчете мощных пучков.

Глава 3 диссертации посвящена методам расчета электрических полей.

В параграфе 3.1 дается обзор применяемых методов расчета электрических попей, которые проводятся на прямоугольных, локально модифицированных и предложенных в диссертации квазиструктурированных сетках методами конечных разностей и конечных объемов. Система линейных алгебраических уравнений, аппроксимирующих исходную краевую задачу, строится двумя способами, различными с точки зрения технологии проведения расчетов. В методе конечных разностей используется естественный в данном случае поузловой подход, а в методе конечных объемов применяется поэлементная технология, позволяющая значительно упростить организацию расчетов. Суть поэлементной технологии при этом заключается в формировании локальных матриц баланса на основе

определения локальных потоков и последующей сборке глобальной матрицы алгебраической системы сеточных уравнений на основе разреженного строчного формата данных. Полученная система сеточных уравнений решается итерационными методами, среди которых отмечаются методы поточечной и блочной верхней релаксации, методы продольно-поперечных прогонок Писмана-Рэчфорда, метод симметричной последовательной верхней релаксации и методы неполной факторизации. Эффективным средством увеличения скорости сходимости итерационных процессов является применение чебышевского ускорения и метода сопряженных градиентов. Приводятся результаты численных экспериментов по решению модельной и практической задачи на квазиструктурированных сетках, свидетельствующие о повышении точности вычислений по сравнению с расчетами на прямоугольных сетках.

Параграфы 3.2 и 3.3 посвящены мношсеточным методам решения краевых задач.

В §3.2 получены оценки эффективности итерационных методов на последовательности сеток при общих предположениях относительно итерационных алгоритмов и конечно-разностных аппроксимаций. Используется подход, при котором для получения решения на сетке с шагом /г предварительно решаются аналогичные разностные уравнения на сетке , полученные значения интерполируются на сетку Оа и используются в качестве начального приближения для итерационного метода, уменьшающего ошибку до заданной величины. При этом для решения разностных уравнений на сетке £22А, в свою

очередь, можно использовать сетку Г24Л, и так далее. В диссертации получена оценка эффективности данного подхода на последовательности т сеток с шагами /г, > И2 >... > Ит :

О, О

" (10)

От |1п/гт|'

где <2т — число операций на фиксированной сетке с шагом Ът, ()т —

число операций на последовательности сеток, а константа И не зависит от шага сетки.

В §3.3 исследуется проблема построения разностных решений повышенной точности путем комбинации решений более низкой точности на вложенных неравномерных сетках. Рассматривается система трехточечных разностных уравнений, аппроксимирующих одномерную краевую задачу для дифференциального уравнения второго порядка общего вида

Доказана теорема 4, которая заключается в том, что решение ик разностной задачи представимо в виде

(=1 (=1 V11/

где (/ = 0,1,...,Л'') - шаги, а N - число интервалов неравномерной сетки, Н = шах , и — точное решение дифференциальной задачи,

г

величины Ф%Ф;Д,Ф)2,Ф7 (},] — не зависят от шага

сетки. Следствием из данной теоремы является то, что, взяв линейную комбинацию решений

(»*), = -^("Д- , 3 = 1,2,(12)

где ыА/2 — решение на сетке с шагом А / 2, мы получим приближенное решение (иД разностной задачи с точностью

\(и„\-и,\ = 0(и3). (13)

В §3.4 рассматриваются алгоритмы расчета характеристик электростатического поля, таких как силовые и эквипотенциальные линии, тангенциальная составляющая напряженности на границе раздела сред с различными диэлектрическими свойствами, в областях со сложной конфигурацией границы Вычисления проводятся с применением поэлементной технологии, которая выгодно отличается от поузлового подхода. Рассматривается расчет устройств при наличии т

19

проводящих тел, изолированных от источников поля, с известными, сообщенными им полными зарядами q¡, (г = 1,2,..., т) , но неизвестными потенциалами, которые наводятся внешним электрическим полем с потенциалом (р (так называемая задача Робена).

На границах Г таких тел ставится условие вида

где Ci — диэлектрическая проницаемость среды, п — внешняя нормаль. Для получения решения данной задачи предварительно решается (m +1) вспомогательная краевая задача при различных заданных значениях потенциала на I ,, находится наведенный потенциал на данных телах, а затем окончательно решается краевая задача.

Параграф 3.5 посвящен распараллеливанию методов решения двумерных и трехмерных краевых задач на многопроцессорных вычислительных системах. Эффективным средством распараллеливания являются алгоритмы декомпозиции областей. Их сущность заключается в определении сеточных подобластей и в организации двухуровневого итерационного процесса: внутренние итерации проводятся для решения подзадач в подобластях, а внешние — для полного решения краевой задачи при естественном отображении топологии подобластей на топологию процессорной сети (одна подобласть — один процессор). В диссертации исследуется отображение одного из быстрых итерационных алгоритмов, а именно метода Писмана-Речфорда на архитектуру многопроцессорных вычислительных систем и получены оценки эффективности распараллеливания с учетом межпроцессорных обменов. Необходимые в данном случае прогонки распараллеливаются с помощью метода четно-нечетной редукции без обратного хода. Полученные результаты в двумерном случае сравниваются с явным методом Якоби (простой итерации), который идеально распараллеливается, но имеет очень низкую скорость сходимости итераций. Даны результаты численных экспериментов на вычислительных системах МВС-100, МВС-1000 (НИИ КВАНТ, Москва), Power Xplorer фирмы Parsytec и RM-600-E 30 (Siemens -Nixdorf) для разных сеточных областей и процессорных топологий, их

20

сравнительный анализ и обсуждение. В качестве критериев эффективности распараллеливания рассматриваются ускорение вычислений SN и показатель загрузки процессоров EN, которые определяются как

Sn=TJT„,En=SJN, (15)

где TN - время решения задачи на N процессорах. Анализ приведенных результатов численных экспериментов позволяет делать следующие выводы.

1. Увеличение числа процессоров усложняет проблему эффективности распараллеливания, что естественно объясняется увеличением числа межпроцессорных обменов, а увеличение числа узлов разностной сетки увеличивает значения SN, En при любой конфигурации процессоров, что объясняется тем, что время выполнения арифметико-логических операций становится сравнимым со временем выполнения обменов и последние успевают завершиться приблизительно до окончания вычислений.

2. . Выполнение метода Якоби имеет существенную особенность,

заключающуюся в проявлении сверхускорения, т.е. в наличии значения Еы, больших единицы. Это объясняется неоднородностью оперативной памяти, что приводит к эффективному использованию быстрой кэш-памяти, если количество узлов в одной подобласти (процессоре) уменьшается. Это говорит об актуальности развития средств MPI по управлению кэш-памятью.

3. С учетом огромного преимущества метода Писмана-Речфорда в скорости сходимости итераций по сравнению с методом Якоби алгоритмы декомпозиции области на базе неявного метода представляются наиболее перспективными для распараллеливания.

Решение трехмерных краевых задач выполняется с помощью итераций, каждая из которых включает два полушага: на первом решаются «двумерные» задачи в плоскостях, перпендикулярных оси z, а на втором полушаге — «одномерные» задачи на линиях, параллельных оси z, то

есть проводится отображение на вычислительную сеть типа «линейка». Полученные результаты позволяют сделать выводы, аналогичные двумерному случаю.

В главе 4 излагаются алгоритмы численного моделирования пучков заряженных частиц в сложных физических условиях, таких как прохождение пучков в газонаполненных системах, наличие магнитных полей, создаваемых деталями с сильнонелинейными магнитными характеристиками, движение нестационарных пучков в многорезонаторных системах.

В §4.1 разработаны алгоритмы расчета пучков в газонаполненных системах. Источником заряженных частиц в данных системах служит катодная или анодная плазма. Положение и конфигурация плазменной границы Гр при этом заранее не известны, а находятся, исхода из того,

что на Г задается распределение плотности тока ] и условие

равенства нулю напряженности электрического поля Е. В диссертации предложена новая математическая модель задачи нахождения плазменной границы, суть которой заключается в следующем. Представим данную проблему как задачу отыскания координат у{ при фиксированных значениях ху ((я:,,

г = 1,2,..Nу, где Nу — заданное число). Тогда решение исходной

задачи, в свою очередь, можно представить как решение системы нелинейных уравнений

^(7)=0. (16)

Здесь У = {у¡} - искомый вектор, 4х = \Е,} ~ векгор-функция, где Е1 = Ел (У) - напряженность электрического поля в точках I = 1,2,...,Ыу . Решение уравнений (16) предлагается осуществлять итерационным методом вида

у«« -у'+А'Е'ь Уп+1 =Л"+17Л+1, (17)

на каждом приближении которого решается самосогласованная задача с фиксированной границей Г^. Здесь А" - диагональная матрица

А" = сИа$*\а"элементы а* которой определяют направление и

величину сдвига ¿-ой точки, У" = Е" = - векторы, а

В" = } - квадратная матрица, корректирующая значения у" в случае, если / -ая точка окажется внешней по отношению к расчетной области, 1,] = 1,2,...,ЛГу. Расчет а", Ъ"^ проводится по алгоритмам, предложенным в диссертации.

В данном параграфе разработаны также алгоритмы имитационного численного моделирования явлений взаимодействия заряженных частиц с остаточным газом, таких как ионизация и перезарядка.

В §4.2 дается описание разработанной технологии функционирования интегрированной вычислительной среды для моделирования пучков заряженных частиц в системах, создающих совмещенные стационарные электрические и магнитные поля, образованные распределенными электродами и деталями, выполненными из ферромагнитных материалов, т.е. материалов с сильнонелинейными магнитными характеристиками. На примере численного расчета практического прибора - ячейки Пеннинга показана необходимость учета ферромагнитных свойств материалов в подобных системах. Решение магнитостатической задачи осуществлялось при помощи пакетов прикладных программ ЭСТАМП и РИНОТС, разработанных А.Л. Урванцевым и С.Б. Кузнецовым.

Параграф 4.3 посвящен описанию алгоритмов численного моделирования нестационарного пучка заряженных частиц, движущегося во внешнем электромагнитом поле с учетом собственных (потенциальных и вихревых) полей пучка. Примером прибора, при расчете которого возникает подобная задача, может служить мощный многорезонаторный клистрон, в котором существенным является взаимодействие пучка с полем излучения в резонаторах. Численное моделирование рассматриваемых процессов основывается на решении полной системы уравнений Максвелла совместно с уравнениями движения пучка и состоит в решении следующих подзадач: 1) расчет входного резонатора, в который поступает несгруппированный поток заряженных частиц (колебания в резонаторе возбуждаются и поддерживаются за счет энергии, поступающей от внешнего источника, например, через петлю связи); 2) расчет потока в пролетных трубах; 3)

расчет потока в промежуточных и выходном резонаторах; 4) «сшивка» решений первых трех задач.

Расчет нестационарного пучка в резонаторе V с границей Г сводится к вычислению вихревых электрических и магнитных полей Ев ,Н и потенциальных электрических Ел полей таких, что Е -Ев +ЕП,divEB —0,rotEn =0. Вихревые поля определяются

через собственные функции вихревого векторного потенциала Ак по формулам

= H(rj)^±4k(t)rotA:(r) , (18)

*г=1 "< Мо

где Г — радиус-вектор точки наблюдения, / - время, - магнитная проницаемость вакуума, qk(t) — амплитуды, которые находятся из уравнения

(19)

dt Qk dt J

в котором Qk — нагруженная добротность резонатора на частоте (Ок, j -- j(г, f) — плотность тока пучка.

Величины Ак находятся из решения задачи на собственные значения в области V

AA?+rjkA^0, (ЛВЦ=0. (20)

Здесь Л = grad div - rot rot, Tjk - собственные числа, (Ak -тангенциальная составляющая вектора,

Для эффективного моделирования нестационарного пучка заряженных частиц, проходящего в многорезонаторной системе, создана интегрированная вычислительная среда, реализующая решение следующих классов задач: 1) расчет собственных чисел и собственных функций векторного потенциала в областях сложной формы, 2) расчет потока заряженных частиц в резонаторах, 3) экономичный расчет потока в пролетных трубах прямоугольной формы.

Решение первого класса задач, то есть решение задачи (20), осуществляется при помощи алгоритмов, разработанных и реализованных в пакете прикладных программ ЭДИП A.B. Гаврилиным. Решение второго класса задач проводится методом больших частиц, при реализации которого в значительной степени применяются алгоритмы расчета потенциального электрического поля и интегрирования уравнений движения, разработанные автором и рассмотренные в диссертационной работе. Нестационарный процесс на исследуемом промежутке времени [О, Т\ представляется в виде последовательности NT временных шагов А 7] = Tt — Tt_x, i — 1,2,. ,.,NT, T0 —Q,TNt — Т. На каждом i-ом временном шаге интегрируются уравнения движения заряженных частиц в электромагнитном поле ),//(7] j)) , рассчитываются объемный заряд и плотность тока. Используя полученные значения, численно по схеме второго порядка точности интегрируется уравнение (19) с шагом т( < A7J и пересчитываются потенциальные и вихревые поля, в которых рассчитывается поток заряженных частиц на следующем временном шаге. Расчет вихревых полей проводится только в резонаторах, а в пролетных трубах они предполагаются пренебрежимо малыми. Во всех элементах системы проводится учет собственного магнитного поля потока частиц.

Наконец, при решении третьего класса задач используются экономичные алгоритмы решения сеточных уравнений в прямоугольных областях, предложенные и реализованные С.А. Сандером и И.А. Сандер. Решение рассматриваемой задачи в целом осуществляется путем декомпозиции расчетной области на подобласти, каждая из которых представляет собой либо резонатор (входной, промежуточный или выходной), либо пролетную трубу. «Сшивка» решений проводится методом итераций по подобластям с их частичным налеганием. На примере практической задачи показано, что для обеспечения приемлемой точности достаточно проведения всего одной итерации по подобластям. В целях ускорения сходимости нестационарного процесса к периодическому решению в качестве начального приближения для

проведения расчетов используются данные, полученные из приближенной аналитической теории.

Глава 5 посвящена технологическим вопросам создания структур данных и программных комплексов для автоматизации проведения расчетов.

В §5.1 дано описание сеточных технологий проведения расчетов. Рассмотрены структурированные и неструктурированные сетки. Предложены квазиструктурированные составные сетки, для которых созданы структуры данных макро и микроуровней. Разработаны поэлементная, пореберная и поузловая сеточные структуры данных, а также алгоритмы их формирования на основе вводимой информации о сетке.

Квазиструктурированные сетки состоят из сеточных подобластей различных типов: четырехугольных, треугольных, полярных и некоторых специальных - конструируемых адаптивным образом с учетом особенностей искомого решения и геометрии расчетной области. В каждой подобласти вводятся структурированные сетки, образованные семейством упорядоченных сеточных линий, формирующих однородные сеточные шаблоны и обеспечивающие простую нумерацию узлов. В исходных подобластях могут быть выделены зоны сгущения, то есть дочерние сеточные подобласти. Это может быть сделано иерархическим способом, то есть дочерние сеточные подобласти могут иметь свои зоны сгущения. При этом представляются разумными некоторые ограничения: виды материнской и дочерней сетки должны совпадать, а количество возможных уровней сгущения допускается не более трех. Последовательно сгущающиеся сетки рассматриваются только вложенные, то есть узлы материнской подсетки в области задания дочерней подсетки являются подмножеством узлов последней.

Смысл введения составной сетки состоит в том, что она, с одной стороны, позволяет достаточно легко регулировать плотность и положение узлов в соответствии с особенностями решаемой задачи, а, с другой стороны, она является объединением подобластей, внутри каждой из которых сетка может быть достаточно простой. Поэтому представляется, что такую сетку удобно использовать, например, при построении аппроксимации, в поиске ближайших к заданной точке узлов и так далее.

В §5.2 приводится описание технологии создания программных комплексов, в которых реализованы алгоритмы, рассмотренные в главах 1-4 настоящей работы.

Исторически первым пакетом прикладных программ для решения рассматриваемых задач, разработанным при участии автора, была компилирующая система КСИ-БЭСМ, предназначенная для расчета двумерных и трехмерных стационарных и квазистационарных пучков. Программное и алгоритмическое развитие КСИ-БЭСМ было проведено и реализовано в программном комплексе ЭРА, предназначенном для расчета стационарных и нестационарных, релятивистских и нерелятивистских интенсивных пучков заряженных частиц, а также изоляционных конструкций. Комплекс имеет возможность многоуровневого задания исходных данных о конкретной задаче: на специально разработанных входных языках для оперативной работы с пакетом подготовленных пользователей и при помощи программных оболочек для комфортной работы начинающих пользователей. Вывод результатов расчета проводится специально созданной системой СЕРВИС в виде, удобном для обработки.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации, которые выносятся на защиту.

В приложении 1 дается описание программного комплекса ЭРА, в приложении 2 - описание входных языков для задания исходной информации о задаче расчета пучков с помощью данного комплекса, а в приложении 3 - программная оболочка для автоматизации задания исходной информации.

Основные результаты диссертации

1. Предложены новые математические модели задачи нахождения плотности тока на катоде для практически важного случая эмиссии заряженных частиц в режиме ограничения тока объемным зарядом. Проведена численная реализация данных моделей, в рамках которой предложены и обоснованы итерационные алгоритмы для вычисления плотности тока на катоде, которые существенно повышают эффективность проведения расчетов по сравнению с традиционными подходами в смысле трудозатрат на получение решения и его точности. Проведена адаптация основных положений антипараксиальной теории оптики интенсивных пучков В.А.

27

Сырового к численным расчетам, что впервые позволило учесть такие существенные факторы в данной задаче как прикатодная особенность, кривизна эмиттера и неоднородность плотности тока и тем самым значительно повысить точность ее решения. Предложена сеточная структура данных, позволяющая автоматизировать процесс проведения расчетов.

Создана экономичная поэлементная технология на основе расщепления алгоритмов расчета траекторий движения заряженных частиц по элементам сеточной области. Предложены и обоснованы оригинальные алгоритмы распределения объемного заряда, вносимого пупсом заряженных частиц, по узлам сетки, которые применимы, как при поэлементном, так и при пошаговом подходах. Доказаны теоремы, устанавливающие порядок точности данных алгоритмов. Разработаны эффективные алгоритмы расчета релятивистских пучков с учетом собственных и внешних магнитных полей для адекватного моделирования физических явлений в мощных сильноточных приборах.

Получены оценки эффективности итерационного метода на последовательности сеток при общих предположениях относительно применяемых итерационных алгоритмов и аппроксимаций. Доказана теорема, дающая возможность повышения на порядок относительно шага сетки точности разностного решения одномерной краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка путем применения экстраполяции Ричардсона на последовательности неравномерных сеток.

Получены оценки эффективности распараллеливания решения двумерных и трехмерных краевых задач при проведении вычислений на многопроцессорных вычислительных системах в реальной вычислительной среде с учетом межпроцессорных обменов.

Предложены и исследованы новые математические модели, а также разработаны численные алгоритмы расчета интенсивных пучков заряженных частиц в сложных физических условиях, включающих в себя наличие подвижных плазменных границ, взаимодействие пучка с остаточным газом, прохождение нестационарного пучка в многорезонаторных системах с учетом не только потенциальных, но и вихревых электромагнитных полей.

28

б. Предложены квазиструктурированные составные сетки, позволяющие более точно по сравнению с прямоугольными структурированными сетками приблизить решение в областях со сложной конфигурацией границы и, в то же время, допускающие простую нумерацию узлов, что выгодно отличает их от неструктурированных сеток. Построены структуры данных макро и микроуровней для предложенных сеток, а также разработаны алгоритмы их формирования на основе вводимой информации о сетке. Создан программный комплекс ЭРА для численного моделирования интенсивных пучков заряженных частиц, в рамках которого разработаны структуры данных для решения рассматриваемых задач методом конечных разностей и конечных объемов на прямоугольных, локально-модифицированных и предложенных в диссертации квазиструктурированных сетках. Программный комплекс имеет возможность многоуровневого задания исходных данных о конкретной задаче: на специально разработанных входных языках для оперативной работы с пакетом подготовленных пользователей и при помощи программных оболочек для комфортной работы начинающих пользователей. Вывод результатов расчета проводится в удобном для обработки виде. Разработанный программный комплекс ЭРА внедрен во многие организации бывшего Советского Союза, а ныне России и стран СНГ.

Список основных работ автора по теме диссертации

1. Акимов П.И., Есичев А.Б., Свешников В.М. Расчет электронно-оптической системы пушки с кольцевым катодом и электростатическим компрессором //Методы расчета электронно-оптических систем. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982. -

С. 4-9.

2. Акимов П.И., Панибрацкий В.А., Свешников В.М, Пакет прикладных программ для расчета задач электронной оптики на персональных ЭВМ // Тр. Междунар. конф. по электронно-лучевым технологиям. — Болгария, Варна, 1991. — С. 48-53.

3. Астрелин В.Т., Свешников В.М. Расчет движения релятивистских пучков заряженных частиц в электромагнитных полях // ПМТФ. -1979. -№3,- С. 3-8.

4. Блейвас И.М., Ильин В.П., Голубцов Б.И., Попова Г.С., Свешников В.М. Комплекс программ для решения на БЭСМ-б широкого класса задач статической электроники (компилирующая система КСИ-БЭСМ)// Методы расчета электронно-отических систем. -Новосибирск ВЦ СО АН СССР, 1973. - С.3-20.

5. Блейвас И.М., Ильин В.П., Свешников В.М., Якобсон А.А. Некоторые примеры решения трехмерных задач электронной оптики с помощью компилирующей системы КСИ-БЭСМ // Методы расчета электронно-оптических систем. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973. - С.21-36.

6. Блейвас И.М., Ильин В.П.„ Свешников В.М. Численный расчет нестационарных пучков заряженных частиц//ПМТФ. - 1974. — № б. -С. 31-39.

7. Блейвас И.М., Невский П.В., Руденко Б.В., Свешников В.М., Хомич Р.А. Методические особенности расчета ЭОС в трехмерной постановке с помощью комплекса программ КСИ-БЭСМ// Методы расчета электронно-оптических систем. — М.: Наука, 1977. — С. 2532.

8. Брезгина Е.А, Ильин В.П., Куклина Г.Я., Сандер И.А., Свешников

B.М. Моделирование электростатических полей в пакете BS // Труды ВЦ СО РАН, вычисл. математика. - Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1994. - Вып. 3,- С. 60-73.

9. Вассерман С.Б., Ильин В.П., Радченко В.М., Свешников В.М., Хавин Н.Г. Оптика ускорительной трубки генератора электронного пучка ЭЛИТ-ЗА // Препринт. - Новосибирск: ИЯФ СО АН СССР, 1985.-№85-28.-34 с.

10. Гатрич В.Н., Свешников В.М, Численный расчет характеристик электростатических полей //Численные методы решения задач электронной оптики. - Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1979, -

C. 61-77.

11. Гатрич В.Н., Свешников В.М. Расчет электростатических полей сложных изоляционных конструкций при помощи пакета прикладных программ ЭРА //Препринт. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983. - № 443. - 25 с.

12. Горшкова М.А., Ильин В.П., Нечаев В.Е., Свешников В.М., Фукс М.И. Структура сильноточного релятивистского пучка, формируемого коаксиальной пушкой с магнитной изоляцией //ЖТФ.- 1980. - Т. 50, вып. 1. - С. 109-114.

13. Горбенко Н.И., Ильин В.П., Попова Г.С., Свешников В.М. Пакет программ ЭРА для автоматизации электрооптических расчетов// Численные методы решения задач электронной оптики. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1979. - С. 34-60.

14. Икрянов И.М., Свешников В.М., Урванцев А.Л. Численное моделирование движения пучка заряженных частиц в совмещенных полях // Автоматизация построения алгоритмов для задач математической физики. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1987. -С. 93-102.

15. Ильин В.П., Ицкович Е.А., Куклина Г.Я., Сандер И.А., Сандер С.А., Свешников В.М. Расчет электростатических полей на локально-модифицированных сетках // Вычислительные методы и технология решения задач математической физики. - Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1993. - С. 63-72.

16. Ильин В.П., Павлов М.В., Свешников В.М. Решение двумерных краевых задач на квазиструктурированных сетках // Тр. междунар. конференции ВШАММ-2001. — Новосибирск: спецвыпуск, 2001. -Т.6,ч.2.-С. 51-59.

17. Ильин В.П., Панибрацкий В.А., Поляков Г.Г., Рапацкий Л. А, Свешников В.М. Пакет прикладных про грамм ЭРА для решения задач электронной оптики на персональных ЭВМ // Тр. Междунар. симпозиума ЮТО-89. - Минск, 1989. - С. 690-693.

18. Ильин В.П., Свешников В.М. Разностные методы на последовательности сеток // Численные методы механики сплошной среды. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1972 - Информационный бюллетень. - Т.2, №1. - С. 43-54.

19. Ильин В.П., Свешников В.М. Об уточнении разностных решений на неравномерных сетках //Препринт. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1978.-№48.-18 с.

20. Ильин В.П., Свешников В.М. Экспериментальное исследование эффективности распараллеливания некоторых итерационных методов // Математические технологии в задачах математической физики. - Новосибирск ИВМиМГ СО РАН, 1998. - С.58-70.

- 21. Ильин В.П., Свешников В.М. Оценки эффективности

распараллеливания алгоритмов декомпозиции областей // Автометрия. - 2002. -№ 1. - С. 31-41.

22. Ильин В.П., Свешников В.М, Литвиненко С. А. Параллельная реализация трехмерного аналога метода Писмана—Рэчфорда // Автометрия. - 2003. - № 3. - С. 97-108.

23. Ильин В.П., Свешников В.М, Литвиненко С. А.. Параллельные методы решения трехмерных краевых задач // Сб. научн. трудов. -СПб.: Санкт-Петербургское отделение МАН ВШ, 2003. - С. 92-95.

24. Ильин В.П., Свешников В.М., Сынах В.С..0 сеточных технологиях для двумерных краевых задач // Сиб. Ж. Инду стр. Мат. - 2000. - Т. 3,№ 1.-С. 124-136.

25. Катсшов В.А., Свешников В.М. Автоматизация описания краевых задач и начальных условий в пакете прикладных программ ЭРА //Препринт. - Новосибирск; ВЦ СО АН СССР, 1980. - № 226 - 22 с.

26. Краснова Т.О., Свешников В.М. Расчет электростатических полей на нерегулярных локально-модифицированных сетках // Тр. ВЦ СО РАН. Вычисл. математика. — Новосибирск; ВЦ СО РАН, 1996. — Вып. 5.-С. 89-101.

27. Малькова C.B., Свешников В.М. О пользовательском интерфейсе пакета прикладных программ ЭРА-2// Математические технологии в задачах математической физики. — Новосибирск: ИВМиМГ, 1998. - С. 50-79.

28. Панибрацкий В.А, Свешников В.М. Расчет электронно-оптических систем с плазменным эмиттером// Препринт. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983. -№ 432. - 19 с.

29. Пекарская Г.Е., Семененко М.И., Свешников В.М., Шварцман Л.Г. Применение КСИ-БЭСМ для расчета электрического поля муфт силовых кабелей высокого напряжения // Методы расчета электронно-оптических систем. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973.-С. 33-42.

30. Попова Г.С., Свешников В.М. Пакет прикладных программ ЭРА для решения двумерных задач электронной оптики на ЕС ЭВМ // Пакеты программ для решения задач математической физики. -Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985. - С. 93-101.

31. Сандер И.А., Свешников В.М., Хавин Н.Г. Численный расчет релятивистскихмногорезонаторных систем //ПМТФ. — 1988. - № 6,- С. 10-15.

32. Свешников В.М. Структура компилирующей системы КСИ-БЭСМ для решения задач электронной оптики // Методы расчета электронно-оптических систем. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР,1973. - С. 59-67.

33. Свешников В.М. Об автоматизации численного решения стационарных и нестационарных задач электронной оптики //Дисс. на соиск. учен, степени канд. физ.-мат. наук. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977. - 140 С.

34. Свешников В.М. О некоторых релаксационных методах решения самосогласованных задач // Алгоритмы и методы расчета электронно -оптических систем. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР,

1983.-С. 139-143.

35. Свешников В.М. Система ЛАМОН для автоматизации управления вычислительным процессом и ее применение для решения задач электронной оптики // Препринт. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР,

1984.-№480.-17 с.

36. Свешников В.М. .Расчет сильноточных релятивистских пучков с учетом столкновительных эффектов //ПМТФ. — 1986 — № 1. — С. 3-8.

37. Свешников В.М. Численный расчет нестационарных потоков заряженных частиц и его программная реализация // Препринт. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1986. 652. - 22 с.

38. Свешников В.М. Некоторые вопросы численного расчета стационарных и не стационарных пучков заряженных частиц // Пакеты прикладных программ. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1986.-С. 143-156.

39. Свешников В.М. О численном решении стационарных самосогласованных задач расчета пучков заряженных частиц // Препринт. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1988. - № 789. - 26 с.

40. Свешников В.М. Решение задачи оптимизации интенсивных пучков заряженных частиц в П1111 ЭРА // Технология моделирования задач математической физики. - Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1989. -С. 134-141.

41. Свешников В.М. Численный расчет пучков заряженных частиц на локально модифицированных сетках // Препринт. - Новосибирск, ВЦ СО РАН, 1997. - № 1109. - 23 с.

42. Свешников В.М. Расчет прикатодной области в электронно-оптических системах, формирующих интенсивные пучки заряженных частиц // Прикладная физика. 2004. — № 1. — С. 50-55

43. Свешников В.М. Повышение точности расчета интенсивных пучков заряженных частиц // Прикладная физика. 2004. - № 1. - С. 55-65.

44. Свешников В.М. Поэлементная технология расчета траекторий движения заряженных частиц //Тр. междунар. конф. по вычислительной математике МКВМ-2004. - Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2004. - С. 637-641.

45. Свешников В.М. Расчет плотности тока эмиссии и объемного заряда в задачах численного моделирования электронно-оптических систем //Гр. междунар. конф. по вычислительной математике МКВМ-2004. - Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2004. -

С. 642-647.

46. Свешников В.М. Поэлементная технология расчета интенсивных пучков заряженных частиц // Вычислительные технологии. - 2004. -Т.9, № 3. — С. 90-103.

47. Свешников В.М., Сыровой В.А. О численном расчете пучков заряженных частиц методом итераций по подобластям // Ж. вычисл. матсм. иматсм. физ. - 1990. -Т.30,№ 11. - С. 1675-1688.

48. Свешников В.М., Федосов А.И. О численном моделировании плазменных потоков// Вычислительные методы и

программирование. - Новосибирск. ВЦ СО АН СССР, 1975. -С. 150-155.

49. Belomytsev S. Ya., Sveshnikov V.M., Popova G.S. Electron beam calculation in coaxial vacuum diode// Proc. of The VII Int. Symposium on Discharges and Electrical Insulation in Vacuum. — Novosibirsk, 1976.-P. 371-374.

50. Borisov GA, Il'in V.P.,Sveshnikov V.M.. Algorithms for the construction of quasiregular hierarchical grids // Bulletin of the Novosibirsk Computing Center. - Novosibirsk, 2000. - Series: Numerical Analysis, Issue: 9. — P. 29-33.

51. Il'in V.P., Litvinenko S.A., Sveshnikov V.M. Parallelization of alternating direction implicit methods for three-dimensional domains // Proc. of PaCT conf. - LNCS2763, Springer, 2003. - P. 89-99.

52. Sveshnikov V.M. Numerical analysis of intensive charged particle beams on quasistructured grids // Proc. of The International Conference on Computational Mathematics. — Novosibirsk: ICMMG, 2002. -

P. 717-721.

53. Sveshnikov V.M. Calculation of the intensive charged particle beams in the near-cathode subdomain// Proc. SPIE. - 2004. - V.5398. - P. 25-33.

54. Sveshnikov V.M. Calculation of the intensive charged particle beams with increased accuracy // Proc. SPIE. - 2004. - V.5398. - P. 34-50.

55. Sveshnikov V.M. Numerical simulation of the intensive electron and ion beam sources // Proc. XXIth International Symposium on Discharges and Electrical Insulation in Vacuum. - Yalta: Ukraine, Tavrida Electric, 2004.-P. 541-544.

Свешников Виктор Митрофанович

Численное моделирование интенсивных пучков заряженных частиц

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Формат бумаги 60x84 1/16 Объем 2.0 п.л., 2

уч.изд.л.

Тираж 120 экз. Заказ №

Отпечатано в ООО «Омега Принт» 630090, Новосибирск, пр. Ак. Лаврентьева,6

Введение

ГЛАВА 1. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

САМОСОГЛАСОВАННЫХ ЗАДАЧ

§ 1.1. Постановка задачи и обзор алгоритмов ее решения

§1,2. Методы отыскания плотности тока

1.2.1. Одномерные задачи

1.2.2. Многомерные задачи

1.2.3. Численные эксперименты

§1.3. Методы итераций по подобластям

1.3.1. Метод итераций по подобластям без смены типа граничного условия.

1.3.2. Технология проведения расчетов

1.3.3. Численные эксперименты

1.3.4. Метод итераций по подобластям с изменением типа граничного условия.

§1.4. Расчет прикатодной подобласти

1.4.1. Антипараксиальные уравнения и их решение

1.4.2. Расчет прикатодной подобласти по распределению потенциала

1.4.3. Расчет прикатодной области по распределению производной

ГЛАВА 2. АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА ТРАЕКТОРИЙ, ОБЪЕМНЫХ ЗАРЯДОВ И МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

§2.1 Поэлементная технология расчета пучков

4 2.1.1. Интегрирование уравнений движения

2.1.2. Численный эксперимент

§2.2.Расчет напряженности электрического поля

§2.3. Вычисление объемного заряда

2.3.1. Треугольный элемент

2.3.2. Четырехугольный элемент

§2.4. Экспериментальное исследование схем интегрирования уравнений движения

§2.5. Учет релятивистских эффектов и магнитных полей

2.5.1. Интегрирование уравнений движения

2.5.2. Расчет магнитных полей

2.5.3. Численные эксперименты

ГЛАВА 3. РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ

§3,1. Построение систем сеточных уравнений и методы их решения

§3.2. Итерационные методы на последовательности сеток

§3.3. Уточнение разностных решений

§3.4. Расчет изоляционных конструкций

§3.5. Распараллеливание алгоритмов решения краевых задач

3.5.1. Двумерные задачи

3.5.2. Трехмерные задачи

ГЛАВА 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПУЧКОВ В СЛОЖНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ УСЛОВИЯХ

§ 4.1. Расчет газонаполненных систем

4.1.1. Моделирование систем с плазменной границей

4.1.2. Учет столкновительных эффектов

§4.2. Расчет пучков в совмещенных полях

§4.3. Моделирование релятивистских многорезонаторных систем

4.3.1. Расчет пучка в резонаторе2М

4.3.2. Расчет пучка в многорезонаторной системе

4.3.3. Численные эксперименты

ГЛАВА 5. АВТОМАТИЗАЦИЯ РАСЧЕТОВ ИНТЕНСИВНЫХ ПУЧКОВ

ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

§5.1.Сеточные технологии проведения расчетов

5.1.1. Сеточные объекты и их свойства

5.1.2. Сеточная структура данных

5.1.3. Алгоритмы и структуры данных элементарного уровня

§5.2. Технологии построения программных комплексов

Актуальность проблемы

Численное моделирование интенсивных пучков заряженных частиц W является важной составляющей в исследовании процессов, происходящих в различных электрофизических приборах научного и технического приложений. Методы численного моделирования предполагают проведение исследований по трем основным направлениям: построение математической модели, разработка численных алгоритмов и создание программных комплексов, в которых реализованы разработанные алгоритмы. В ^ диссертации представлены все перечисленные направления.

Интенсивными называются пучки, в которых нельзя пренебречь силами кулоновского расталкивания, создаваемого собственным объемным зарядом. Такие пучки являются рабочим элементом в электронно- и ионно-оптических системах, которые находят широкое практическое применение, например, для получения СВЧ-колебаний, плавки и резки металлов, напыления материалов и для других практически важных целей (см., например, И.И.Алямовский [7], М.А.Завьялов, В.И.Переводчиков, В.А.Сыровой [64]).

Математически проблема исследования интенсивных пучков заряженных частиц сводится к решению нелинейной самосогласованной задачи, включающей в себя в стационарном случае уравнения движения Щ заряженных частиц, уравнение Пуассона для потенциала электрического поля и уравнение неразрывности потока зарядов.

Аналитическое решение самосогласованная задача имеет только в ряде простейших случаев. Среди них известны одномерные решения, полученные в работах Чайлда [179], И.Ленгмюра [186], С.А.Богуславского [24], а также двумерные решения Д.Пирса [128]. Подробный обзор работ по * аналитическим решениям данных задач приведен в статье В.А.Сырового [162].

Исторически первыми методами, которые давали приближенное решение реальных электронно- и ионно-оптических самосогласованных задач, были методы моделирования на аналоговых устройствах т

В.С.Лукошков [103], П.Кириггейн, Г. Кайно, У. Уотерс [90]), а с появлением ЭВМ - на аналого-цифровых комплексах (И.М.Блейвас и др. [18], И.Л.Григоршин и др. [51]).

С развитием ЭВМ основными методами решения рассматриваемых задач стали численные методы. Исследованию численных методов применительно к самосогласованным задачам посвящены работы многих t отечественных и зарубежных авторов, среди которых отметим следующие известные монографии: В.П.Ильин [66, 67], А.С.Рошаль [132], Ю.А.Березин, В.А.Вшивков [16], С.И.Молоковский, А.Д.Сушков [112], Р.Хокни, Дж.Иствуд [171], Ч.Бэдсел, А.Лендон [28].

Развитие численных методов для решения данных задач связано с повышением эффективности алгоритмов, развитием технологии проведения вычислений и созданием программных комплексов, позволяющих автоматизировать проведение расчетов. Конкретными побудительными мотивами проведения исследований в настоящей работе, которые определяют актуальность проблемы, явились следующие причины.

1. Одним из наиболее важных для практики режимов работы прибора, формирующего интенсивный пучок заряженных частиц, является тот случай, Щ когда катод электронно-оптической системы, то есть поверхность входа частиц в исследуемую область, работает в режиме ограничения тока объемным зарядом (р -режиме). Задача расчета пучка заряженных частиц при эмиссии в р -режиме усложняется еще и тем, что плотность тока на катоде является неизвестной величиной. Для ее определения на катоде помимо потенциала задается условие равенства нулю напряженности электрического * поля. Наиболее распространенными методами решения данных задач являются итерационные методы нижней релаксации, использующие закон «3/2» для плоского диода [67, 124]. При этом подбор параметра релаксации осуществляется путем проведения предварительных (порой многочисленных) численных расчетов, особенно, если мы имеем дело с мощными сильноточными пучками, который вносят значительный объемный щ заряд.

Другим подходом к нахождению плотности тока на катоде являются методы, моделирующие непосредственно условие равенства нулю напряженности поля. Здесь, в первую очередь, отметим работы Н.И.Мокина [111] и Г.Т.Головина [45]. Созданные ими методы основаны на приближенном решении интегрального уравнения для плотности тока, что представляет собой в общем случае трудоемкую вычислительную задачу. Таким образом, необходима разработка новых эффективных методов решения самосогласованных задач в режиме ограничения тока объемным зарядом.

2. Выход на качественно новый уровень проектирования приборов невозможен без повышения точности расчетов.

2.1. Решение задачи эмиссии пучка в р -режиме имеет особенность, суть которой состоит в том, что плотность объемного заряда на катоде обращается в бесконечность. Впервые вопрос о выделении прикатодной особенности был рассмотрен для модельного случая в работе В.П.Ильина, Н.И.Саблина [76]. Большинство алгоритмов и программ строятся без учета прикатодной особенности. Это приводит к значительным ошибкам в Щ расчетах, что отмечается, например, в работах П.И.Акимова, Г.П.Осиповой, В.А.Сырового [4] и автора [149]. В связи с этим для повышения точности расчетов необходимо первоочередное внимание уделить разработке алгоритмов, учитывающих прикатодную особенность.

2.2. Задача расчета интенсивных пучков заряженных частиц включает в себя следующие сложные вычислительные задачи: 1) интегрирование уравнений движения заряженных частиц, 2) вычисление потенциала электрического поля 3) расчет напряженности электрического поля и внешнего магнитного поля, 4) расчет распределения объемного заряда и расчет собственного магнитного поля.

Создание новых, эффективных, теоретически и экспериментально обоснованных алгоритмов и программ для решения каждой из приведенных подзадач, а также решение вопроса о согласовании точности решения подзадач, является ключевым моментом в повышении эффективности решения рассматриваемой задачи в целом.

Первые три подзадачи принадлежат классическим разделам вычислительной математики: численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений, аппроксимация краевых задач, решение сеточных алгебраических уравнений, приближение функций. Однако простое перенесение известных методов в рассматриваемую проблемную область не обеспечивает их должной эффективности, так как при этом не учитываются важные специфические детали алгоритмов.

Решение начально-краевых задач на последовательности сгущающихся сеток является способом повышения, как скорости сходимости итерационных процессов, так и точности вычислений. Начало исследованию итерационных методов на последовательности сеток было положено в работах Р.П.Федоренко [165, 166], Н.С.Бахвалова [13], А.Н.Коновалова [92]. Идея уточнения приближенных решений с применением вспомогательных сеток была высказана Ричардсоном [200], развита в работах Е.А.Волкова [32], Ю.А.Кузнецова и В.В.Шайдурова [98], Вазова [202] и подробно изложена в монографии Г.И.Марчука, В.В.Шайдурова [107].

В последние годы большое значение придается распараллеливанию численных алгоритмов для решения задач на многопроцессорных вычислительных комплексах. Здесь необходимо проводить исследование работы численных алгоритмов в реальной вычислительной среде, то есть с учетом межпроцессорных обменов. Проблемы распараллеливания применительно к рассматриваемым задачам рассматривались, например, в работах [36, 185].

Расчет интенсивных релятивистских пучков заряженных частиц невозможен без учета объемного заряда и собственного магнитного поля, создаваемого пучком. Численные алгоритмы для вычисления данных величин составляют четвертую из перечисленных выше подзадач.

3. При моделировании современных приборов с интенсивными пучками необходимо расширять физические и математические постановки задач, и, как следствие, разрабатывать эффективные численные алгоритмы и программные комплексы для их решения.

3.1. Исторически первыми источниками заряженных частиц были термокатоды. С целью повышения надежности и долговечности работы приборов в последнее время широкое распространение получили устройства, в которых источником заряженных частиц является катодная или анодная плазма, например, источники электронов высоковольтного тлеющего разряда (см. Ю.Е.Крейндель [94], М.Д.Габович [37], М.А.Завьялов, Ю.Е.Крейндель, А.А.Новиков, Л.П.Шантурин [63]).

Сложность решения данных задач заключается в том, что граница плазмы заранее не известна, а находится в процессе решения задачи по известным физическим критериям (например, из условия равенства давления электрического поля и газокинетического давления плазмы).

Решение задач с подвижной плазменной границей рассматривалось в работах многих авторов, среди которых отметим следующие работы: Б.И.Волков, А.Г.Свешников, Н.Н.Семашко [33], В.С.Болдасов и др. [25], П.Н.Бабищевич [29], О.Н.Петрович [127].

Дополнительной сложностью в решении данных задач является то, что работа прибора проходит в условиях низкого вакуума, что приводит к необходимости учета столкновительных эффектов, возникающих при взаимодействии пучка с остаточным газом (см., например, Л.Ю.Дзагуров, Ю.А.Коваленко [58]).

3.2. Для получения требуемых с научно-технической точки зрения характеристик пучка в расчетную область вводится магнитное поле. При этом помимо варианта использования соленоидов, создающих сильное магнитное поле, обеспечивающего жесткое магнитное сопровояадение, допускается использование более слабых магнитных полей, создаваемых магнитофокусирующими системами (МФС), для реверсивной и периодической магнитной фокусировки [112]. Моделирование таких систем невозможно без расчета пучков в совмещенных электрическом и магнитном полях, причем для расчета магнитного поля необходимо учитывать сильнонелинейные магнитные характеристики ферромагнитных материалов, из которых сделаны узлы МФС.

3.3. При расчете различных электрофизических приборов, в которых используются релятивистские электронные пучки (РЭП), возникает задача исследования движения пучка заряженных частиц во внешнем электромагнитном поле с учетом собственных не только потенциальных, но и вихревых полей пучка. Примером такого прибора может служить мощный многорезонаторный клистрон, в котором существенным является взаимодействие РЭП с полем излучения в резонаторах. Численное моделирование рассматриваемых процессов основывается на решении полной системы уравнений Максвелла, то есть при этом мы имеем дело с моделированием нестационарного пучка заряженных частиц.

Как правило, данная задача решается в квазистационарном приближении, в котором электромагнитные величины параметрически зависят от времени, что в ряде практически важных случаев не дает адекватной картины физических процессов. Математически полная задача чрезвычайно трудна. Во-первых, для расчета пучка в резонаторе требуется расчет собственных колебаний резонатора, то есть решение задачи на собственные значения в области со сложной геометрией. Во-вторых, расчет многорезонаторной системы требует проведения вычислений не только в резонаторах, но еще и в пролетных каналах, а затем «сшивки» полученных решений.

4. Программное обеспечение для численного моделирования интенсивных пучков заряженных частиц непрерывно развивается и совершенствуется, что обусловлено развитием вычислительной техники, т операционных систем и программных инструментариев, новыми постановками задач, созданием новых численных алгоритмов. Среди известных пакетов для решения данных задач можно назвать такие программы как, Poisson-2 (Новосибирск) [9], SAM (Россия, США) [183], TAU (Санкт Петербург) [163], KARAT (Россия, США) [201], BFCPIC (Германия) [203] и другие. Программное обеспечение для решения такого широкого Ф класса задач, который рассматривается в диссертации, должно иметь средства удобного описания исходных данных, наглядного представления результатов и автоматизации проведения расчетов. Под этим понимается создание языковых и диалоговых средств для описания геометрии области, граничных условий, информации о пучке, параметрах дискретизации, управления процессом расчета. Сюда же относится разработка структур данных, позволяющая скрыть «нефизические» детали численных алгоритмов. В целях удобства работы с программным комплексом он должен иметь такие средства, чтобы, с одной стороны, обеспечить возможность работы с ним как с «черным ящиком», а, с другой стороны, иметь средства его «безболезненного» расширения для вставки новых алгоритмов и постановок. Важным представляется создание возможности многоуровневого описания щ исходной информации: 1) посредством диалога для неподготовленных пользователей, 2) на специальном входном языке комплекса для опытных пользователей с целью оперативной корректировки данных и запуска варианта расчета, 3) в виде числовых массивов для пользователей, желающих включить в программный комплекс свои разработки.

Цель работы состоит в разработке математических моделей, создании 4 эффективных алгоритмов и программных комплексов для решения широкого класса задач численного моделирования интенсивных пучков заряженных частиц.

Научная новизна полученных результатов заключается в том, что предложены новые математические модели, созданы оригинальные численные алгоритмы и разработаны структуры данных для решения рассматриваемых задач, а именно:

1. Предложены новые математические модели задачи нахождения плотности тока на катоде для практически важного случая эмиссии заряженных частиц в режиме ограничения тока объемным зарядом, для реализации которых предложены и обоснованы итерационные алгоритмы вычисления плотности тока на катоде, существенно повышающие эффективность проведения расчетов по сравнению с традиционными подходами в смысле трудозатрат на получение решения и его точности. Проведена адаптация основных положений антипараксиальной теории оптики интенсивных пучков В.А. Сырозого к численным расчетам, что впервые позволило учесть такие существенные факторы в задачах расчета пучков при эмиссии в р -режиме как прикатодная особенность, кривизна эмиттера и неоднородность плотности тока и тем самым значительно повысить' точность их решения. Предложена сеточная структура данных, позволяющая автоматизировать процесс проведения расчетов. ^

2. Впервые проведено расщепление алгоритмов расчета траекторий движения заряженных частиц по элементам сеточной области, что послужило основой создания экономичной поэлементной технологии Щ проведения расчетов, предложенной в диссертации. Предложены и обоснованы оригинальные алгоритмы распределения объемного заряда, вносимого пучком заряженных частиц, по узлам сетки, которые применимы, как при поэлементном, так и при пошаговом подходах. Разработаны эффективные алгоритмы расчета релятивистских пучков с учетом собственных и внешних магнитных полей для адекватного ^ моделирования физических явлений в мощных сильноточных приборах.

3. Исследован итерационный метод на последовательности сеток при общих предположениях относительно применяемых итерационных алгоритмов и аппроксимаций, а также доказана возможность повышения на порядок относительно шага сетки точности разностного решения одномерной краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка путем применения экстраполяции Ричардсона на последовательности неравномерных сеток.

4. Изучена проблема эффективности распараллеливания решения двумерных и трехмерных краевых задач при проведении вычислений на многопроцессорных вычислительных системах в реальной вычислительной среде с учетом межпроцессорных обменов.

5. Предложены и исследованы новые математические модели, а также разработаны численные алгоритмы расчета интенсивных пучков заряженных частиц в сложных физических условиях, включающих в себя наличие подвижных плазменных границ, взаимодействие пучка с остаточным газом, прохождение нестационарного пучка в многорезонаторных системах с учетом не только потенциальных, но и вихревых электромагнитных полей.

6. Предложены квазиструктурированные составные сетки, позволяющие более точно по сравнению с прямоугольными структурированными сетками приблизить решение в областях со сложной конфигурацией границы и, в то же время, допускающие простую нумерацию узлов, что выгодно отличает их от неструктурированных сеток. Построены структуры данных макро и микроуровней для предложенных сеток, а также разработаны алгоритмы их формирования на основе вводимой информации о сетке

Научно-практическая ценность полученных в диссертации результатов состоит в следующем:

1. Разработанные математические модели и численные алгоритмы позволяют проводить моделирование интенсивных пучков заряженных частиц с высокой эффективностью, включая расчеты широкого класса электрофизических устройств с повышенной точностью, быстрыми и надежными методами.

2. Предложенные модели и алгоритмы легли в основу программного комплекса ЭРА, получившего широкое внедрение в десятках различных организаций, занимающихся разработкой электрофизических приборов. В рамках комплекса ЭРА разработаны структуры данных для решения рассматриваемых задач методом конечных разностей и конечных объемов на прямоугольных, локально-модифицированных и квазиструктурированных сетках. Комплекс имеет возможность многоуровневого задания исходных данных о конкретной задаче: на специально разработанных входных языках для оперативной работы с пакетом подготовленных пользователей и при помощи программных оболочек для комфортной работы начинающих пользователей. Вывод результатов расчета проводится специально созданной системой СЕРВИС в виде, удобном для обработки.

3. При помощи созданного комплекса программ проведены решения многих методических и практических задач в различных организациях бывшего Советского Союза, а ныне России и стран СНГ.

4. Некоторые из предложенных алгоритмов такие как, например, подходы к методам итераций по подобластям и распараллеливанию численного решения краевых задач могут быть использованы при решении других задач математической физики.

Обзор содержания работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложены новые математические модели задачи нахождения плотности тока на катоде для практически важного случая эмиссии заряженных частиц в режиме ограничения тока объемным зарядом. Проведена численная реализация данных моделей, в рамках которой предложены и обоснованы итерационные алгоритмы для вычисления плотности тока на катоде, которые существенно повышают эффективность проведения расчетов по сравнению с традиционными подходами в смысле трудозатрат на получение решения и его точности. Проведена адаптация основных положений антипараксиальной теории оптики интенсивных пучков В.А. Сырового к численным расчетам, что впервые позволило учесть такие существенные факторы в данной задаче как прикатодная особенность, кривизна эмиттера и неоднородность плотности тока и тем самым значительно повысить точность ее решения. Предложена сеточная структура данных, позволяющая автоматизировать процесс проведения' расчетов.

2. Создана экономичная поэлементная технология на основе расщеплениям алгоритмов расчета траекторий движения заряженных частиц по элементам сеточной области. Предложены и обоснованы оригинальные алгоритмы распределения объемного заряда, вносимого пучком заряженных частиц, по узлам сетки, которые применимы, как при поэлементном, так и при пошаговом подходах. Доказаны теоремы, устанавливающие порядок точности данных алгоритмов. Разработаны эффективные алгоритмы расчета релятивистских пучков с учетом собственных и внешних магнитных полей для адекватного моделирования физических явлений в мощных сильноточных приборах.

3. Получены оценки эффективности итерационного метода на последовательности сеток при общих предположениях относительно применяемых итерационных алгоритмов и аппроксимаций. Доказана теорема, дающая возможность повышения на порядок относительно шага сетки точности разностного решения одномерной краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка путем применения экстраполяции Ричардсона на последовательности неравномерных сеток.

4. Получены оценки эффективности распараллеливания решения двумерных и трехмерных краевых задач при проведении вычислений на многопроцессорных вычислительных системах в реальной вычислительной среде с учетом межпроцессорных обменов.

5. Предложены и исследованы новые математические модели, а также разработаны численные алгоритмы расчета интенсивных пучков заряженных частиц в сложных физических условиях, включающих в себя наличие подвижных плазменных границ, взаимодействие пучка с остаточным газом, прохождение нестационарного пучка в многорезонаторных системах с учетом не только потенциальных, но и вихревых электромагнитных полей.

6. Предложены квазиструктурированные составные сетки, позволяющие более точно по сравнению с прямоугольными структурированными сетками приблизить решение в областях со сложной конфигурацией границы и, в то же время, допускающие простую нумерацию узлов, что выгодно отличает их от неструктурированных сеток. Построены структуры данных макро и микроуровней для предложенных сеток, а также разработаны алгоритмы их формирования на основе вводимой информации о сетке. Создан программный комплекс ЭРА для численного моделирования интенсивных пучков заряженных частиц, в рамках которого разработаны структуры данных для решения рассматриваемых задач методом конечных разностей и конечных объемов на прямоугольных, локально-модифицированных и предложенных в диссертации квазиструктурированных сетках. Программный комплекс имеет возможность многоуровневого задания исходных данных о конкретной задаче: на специально разработанных входных языках для оперативной работы с пакетом подготовленных пользователей и при помощи программных оболочек для комфортной работы начинающих пользователей. Вывод результатов расчета проводится в удобном для обработки виде. Разработанный программный комплекс ЭРА внедрен во многие организации бывшего Советского Союза, а ныне России и стран СНГ.

1. Авроров А.П., Астрелин В.Т., Бояринцев ЭЛ., Капитонов В.А., Логунов В.М. Импульсный ускоритель электронов «Акваген» // Тр. всесоюзн. конф. по инженерным проблемам термоядерных реакторов. - Л.: НИИЭФА, 1977.-Т. 1..-С. 10-17.

2. Акимов П.И., Богославская А.Б. Совершенствование параметров электронно-оптических систем электронно-лучевых вентилей // Прикл. физика. 1998. -№ 3. - С. 60-64.

3. Акимов П.И., Есичев А.Б., Свешников В.М. Расчет электронно-оптической системы пушки с кольцевым катодом и электростатическим компрессором //Методы расчета электронно-оптических систем. -Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982. С. 4-9.

4. Акимов П.И., Осипова Г.П., Сыровой В.А. Проблемы повышения точности программ траекторного анализа интенсивных электронных пучков//Журн. вычисл. мат, и матем. физики. 1989. - Т 29, № 3. - С. 405 -422.

5. Акимов П.И., Панибрацкий В.А., Свешников В.М, Пакет прикладных программ расчета вакуумных и плазменных источников на персональных ЭВМ // Тез. докл. X всесоюзн. семинара «Методы расчета электронно-оптических систем». Львов, 1990. - С. 114.

6. Акимов П.И., Панибрацкий В.А., Свешников В.М, Пакет прикладных программ для расчета задач электронной оптики на персональных ЭВМ // Тр. Междунар. конф. по электронно-лучевым технологиям. Болгария, Варна, 1991.-С. 48-53.

7. Алямовский И.В. Электронные пучки и электронные пушки. М.: Советское радио, 1966.

8. Арбузов Л.М. описание языка взаимодействия с пользователем БСПО. // Препринт. Новосибирск: НФ ИТМиВТ СО АН СССР, 1989.

9. Астрелин В.Т., Иванов В.Я. Пакет программ для расчета характеристик интенсивных пучков релятивистских заряженных частиц // Автометрия. -1980. ~№ 3. С. 5-12.

10. Астрелин В.Т., Свешников В.М. Расчет движения релятивистских пучков заряженных частиц в электромагнитных полях // ПМТФ. 1979. -№ 3. - С. 3-8.

11. Атомная техника за рубежом // Сборник переводных материалов. М., 1970. №3.- С. 25-36.

12. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике. М. Наука, 1970.

13. Бахвалов Н.С. О сходимости одного релаксационного метода при естественных ограничениях на эллиптический оператор // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1966. - Т.6, N 5. - С. 861-883.

14. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973.

15. Березин Ю.А., Вшивков В.А. Метод частиц в динамике разреженной плазмы. Новосибирск: Наука, 1980.

16. Бикинеева В.Ю., Голубева JI.A. Графическая оболочка Гриф для задач математической физики // Тр. ВЦ СО РАН. Сер. Выч. математика. -Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1995. Вып. 3. - С. 29-40.

17. Блейвас И.М., Зелинский Э.М., Хомутинников Б.Л. Решение задач электроники на аналого-цифровом вычислительном комплексе// Тр. III всесоюзн. семинара «Методы расчета электронно-оптических систем». -Новосибирск: ВЦ СО АН СССР,1970. С.265-275.

18. Блейвас И.М., Ильин В.П., Свешников В.М., Якобсон А.А. Некоторые примеры решения трехмерных задач электронной оптики с помощью компилирующей системы КСИ-БЭСМ // Методы расчета электронно-оптических систем. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973. - С.21-36.

19. Блейвас И.М., Ильин В.П., Свешников В.М. Численный расчет нестационарных пучков заряженных частиц//ПМТФ. 1974. - № 6. -С.31-39.

20. Блейвас И.М., Ильин В.П.„ Свешников В.М. Расчет и исследование нестационарных потоков заряженных частиц// Тр. III Украинской республиканской конференции по электронной оптике и ее применениям. -Харьков, 1974.-41.-С. 210-214.

21. Блейвас И.М., Невский П.В., Руденко Б.В., Свешников В.М., Хомич Р.А. Методические особенности расчета ЭОС в трехмерной постановке с помощью комплекса программ КСИ-БЭСМ// Методы расчета электронно-оптических систем. -М.: Наука, 1977. С. 25-32.

22. Богуславский С.А. Лекции по физике. М.: ГИТТЛ, 1924.

23. Болдасов B.C., Волков Б.И., Свешников А.Г., Семашко Н.Н. Математические методы моделирования, формирования и транспортировки ионных пучков // Вестн. Моск. ун-та, сер. вычисл. математика и кибернетика. М., 1978. -№ 1. - С. 3-14.

24. Брезгина Е.А., Ильин В.П., Куклина Г.Я., Сандер И.А., Свешников В.М. Моделирование электростатических полей в пакете BS // Труды ВЦ СО РАН, вычисл. математика. Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1994. - Вып. 3.-С. 60-73.

25. Бугаев С.П., Литвинов Е.А., Месяц Г.А., Проскуровский Д.И. Взрывная эмиссия электронов // УФН. 1975. - Вып. 1. - С. 115.

26. Бэдсел Ч., Лендон А. Физика плазмы и численное моделирование. М.: Энергоатомиздат, 1989.

27. Вабищевич П.Н. О решении задач со свободной границей для эллиптических уравнений//Журн. вычисл. мат. и матем. физики. 1982. -Т22, № 5. - С. 1109-1117.

28. Вассерман С.Б., Глазков И.И., Радченко В.М. и др. Ускорительная трубка генератора электронного пучка ЭЛИТ-3А // Препринт. -Новосибирск: ИЯФ СО АН СССР, 1983. N 83-111.

29. Вассерман С.Б., Ильин В.П., Радченко В.М., Свешников В.М., Хавин Н.Г. Оптика ускорительной трубки генератора электронного пучка ЭЛИТ-ЗА // Препринт. Новосибирск: ИЯФ СО АН СССР, 1985. - № 85-28.

30. Волков Е.А. Решение задачи Дирихле методом уточнений разностями высших порядков. Ч I, II // Диф. уравн. 1965. - Т. 1. № 7, № 8. - С. 946960,1070-1084.

31. Волков Б.И., Свешников А.Г., Семашко Н.Н. К задаче определения формы плазменного эмиттера в ускоряющем электрическом поле // ДАН. 1971. - Т. 201. № 4. - С. 806-808.

32. Воронин B.C., Крастелев Е.Г., Лебедев А.Н., Яблоков Б.Н. О предельном токе релятивистского электронного пучка в вакууме // Физика плазмы. 1978. - № 4. - С. 604-610.

33. Воронин B.C., Лебедев А.Н. Теория коаксиального высоковольтного диода с магнитной изоляцией // ЖТФ. 1973. - № 43. - С. 2591-2599.

34. Вшивков В.А., Краева М.А., Малышкин В.Э. Параллельная реализация метода частиц // Программирование. 1997. - № 2. - С. 39-51.

35. Габович М.Д. Физика и техника плазменных источников ионов. М.: Атомиздат, 1972.

36. Гаврилин А.В. Автоматизация решения задач электродинамики // Препринт. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1980. - N 268.

37. Гатрич В.Н., Свешников В.М, Численный расчет характеристик электростатических полей //Численные методы решения задач электронной оптики. Новосибирск, ВЦ СО АН СССР, 1979, - С. 61-77.

38. Гатрич В.Н., Свешников В.М. Расчет электростатических полей сложных изоляционных конструкций при помощи пакета прикладных программ ЭРА // Препринт. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983. -N443.

39. Глейзер И.З., Диденко А.Н. и др. Получение трубчатого релятивистского пучка в коаксиальной пушке с магнитной изоляцией // Письма в ЖТФ. 1975. - № 1. - С. 463-470.

40. Головин Г.Т. Комбинированный метод решения двумерных стационарных самосогласованных задач//Журн. вычисл. мат. и матем. физики. 1987. -Т 27. № 5. - С. 700-710.

41. Горшкова М.А, Ильин В.П, Нечаев В.Е, Свешников В.М, Фукс М.И. Структура сильноточного релятивистского пучка, формируемого коаксиальной пушкой с магнитной изоляцией //ЖТФ- 1980. Т. 50, вып.1.-С. 109-114.

42. Горбенко Н.И, Ильин В.П, Попова Г.С, Свешников В.М. Пакет программ для решения двумерных электрооптических задач //Тез. докл. VI Всесоюзн. семинара по численным методам решения задач электронной оптики. Рязань: РРТИ, 1978. - С. 5-6.

43. Горбенко Н.И, Ильин В.П, Попова Г.С, Свешников В.М. Пакет программ ЭРА для автоматизации решения электрооптических задач //Тез. докл. VI Всесоюзн. семинара по комплексам программ математической физики. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1979. -С. 42.

44. Горбенко Н.И, Ильин В.П, Попова Г.С, Свешников В.М. Пакет программ ЭРА для автоматизации электрооптических расчетов// Численные методы решения задач электронной оптики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1979. - С. 34-60.

45. Григорьев Ю.Н, Вшивков В.А, Федорук М.П. Численное моделирование методами частиц-в-ячейках. Новосибирск: Изд-во СОРАН, 2004.

46. Григорьев А.Д., Силаев С.А., Янкевич В.Б. Численный расчет электромагнитного поля в полях резонатора и волновода методами конечных элементов и конечных разностей // Электронная техника. Сер. 1. Элекгроника СВЧ. 1978. - № 5. - С. 27-33.

47. Гром Ю.Д., Нечаев В.Е., Попова Г.С., Свешников В.М. Расчет формирования РЭП в диодных пушках с магнитной изоляцией // Современные методы расчета электронно-оптических систем. Л.:ЛПИ, 1986,-С. 105-106.

48. Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М.: Наука, 1968.

49. Гурьева Я.Л., Ильин В.П., Ларин М.Р. Внутренняя структура данных в двумерных краевых задачах // Препринт. Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1997.-№ 1090,.

50. Дзагуров Л.Ю., Коваленко Ю.А. Численное моделирование электронно-оптических систем с газовым наполнением // Радиотехника и электроника. 1987. Т. 32, № 4. - С. 847-854.

51. Добрецов Л.Н., Гомоюнова М.В. Эмиссионная электроника. М.: Наука, 1966.

52. Еремин Л.В., Латышев Л.А., Чуян Р.К. Расчет движения пучка заряженных частиц с плавающими границами // Методы расчета электронно-оптических систем. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973. -С.115-120.

53. Ершов А.П., Ильин В.П. Пакеты программ технология решения прикладных задач // Препринт. - Новосибирск, ВЦ СО РАН, 1978. - № 121.

54. Забиняко Г.Э. Программы для решения задач выпуклого программирования // Препринт. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977. -№ 52.

55. Завьялов М.А., Крейндель Ю.Е., Новиков А.А., Шантурин Л.П. Плазменные процессы в технологических электронных пушках. М.: Энергоатомиздат, 1989.

56. Завьялов М.А., Переводчиков В.И., Сыровой В.А. Проблемы электронно-оптических систем для перспективных пучково-плазменных приборов СВЧ// Прикл. физика. 2000. - №2. - С. 122-132.

57. Икрянов И.М., Свешников В.М., Урванцев А.Л. Численное моделирование движения пучка заряженных частиц в совмещенных полях // Автоматизация построения алгоритмов для задач математической физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1987. - С. 93-102.

58. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрооптики. -Новосибирск: Наука, 1974.

59. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.: Наука, 1985.

60. Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. Новосибирск: ИВМиМГ (ВЦ) СО РАН, 2001.

61. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. М.: Наука, 1995.

62. Ильин В.П. Параллельные неявные методы переменных направлений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1997. - Т.37, N 8. - С. 899-901.

63. Ильин В.П., Павлов М.В., Свешников В.М. Решение двумерных краевых задач на квазиструктурированных сетках // Тр. междунар. конференции RDAMM-2001. Новосибирск: спецвыпуск, 2001. - Т.6, ч.2. -С. 51-59.

64. Ильин В.П., Панибрацкий В.А., Поляков Г.Г., Рапацкий JI.A., Свешников В.М. Пакет прикладных про грамм ЭРА для решения задач электронной оптики на персональных ЭВМ // Тр. Междунар. симпозиума INFO-89. Минск, 1989. - С. 690-693.

65. Ильин В.П., Попова Г.С. Сравнительный анализ методов численного интегрирования заряженных частиц // Препринт. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1978. -№104.

66. Ильин В .П., Саблин Н.И. // Метод конечных элементов в некоторых задачах численного анализа. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1984. С. 46.

67. Ильин В.П., Свешников В.М. Разностные методы на последовательности сеток//Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР - Информационный бюллетень. - Т.2, №1,1972, -С. 43-54.

68. Ильин В.П., Свешников В.М. Об уточнении разностных решений на неравномерных сетках //Препринт. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1978.-№48.

69. Ильин В.П., Свешников В.М. Экспериментальное исследование эффективности распараллеливания некоторых итерационных методов // Математические технологии в задачах математической физики, -Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 1998. С.58-70.

70. Ильин В.П., Свешников В.М. Оценки эффективности распараллеливания алгоритмов декомпозиции областей // Автометрия. -2002.-№1.-С. 31-41.

71. Ильин В.П., Свешников В.М, Литвиненко С. А. Параллельная реализация трехмерного аналога метода Писмана-Рэчфорда // Автометрия. -2003. -№ 3. С. 97-108.

72. Ильин В.П., Свешников В.М, Литвиненко С. А. Параллельные методы решения трехмерных краевых задач // Сб. научн. трудов. СПб.: Санкт-Петербургское отделение МАИ ВШ, 2003. - С. 92-95.

73. Ильин В.П., Свешников В.М., Сынах B.C. Моделирование электронно-оптических систем на составных квазирегулярных сетках // Тез. докл. Четвертого всероссийского семинара «Проблемы теоретической и прикладной электрон ной оптики». М., 1999. - С. .9-10.

74. Ильин В.П., Свешников В.М., Сынах В.С.О сеточных технологиях для двумерных краевых задач // Сиб. Ж. Индустр. Мат. 2000. - Т. 3, № 1. -С. 124-136.

75. Катешов В.А., Свешников В.М. Средства автоматизации проведения расчетов в пакете прикладных программ ЭРА //Тез. докл. всесоюзн. конф. «Автоматизация научных исследований на основе применения ЭВМ». -Новосибирск: ИАиЭ СО АН СССР. С. 58.

76. Катешов В.А., Свешников В.М. Автоматизация описания краевых задач и начальных условий в пакете прикладных программ ЭРА //Препринт. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1980. - N 226.

77. Кацман Л. Приборы СВЧ,- М.: Высш. шк., 1983.

78. Квасов Б.И. Дискретные интерполяционные параболические сплайны и их применение к задаче численного дифференцирования //Препринт. -Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982. N 97.

79. Кирштейн П, Кайно Г, Уотерс У. Формирование электронных пучков. -М.: Мир, 1970.

80. Колпаков О.А, Котов В.И. Излучение заряда, пролетающего через цилиндрический резонатор //ЖТФ. 1964. - Т. 34, № 3. - С. 1387-1391.

81. Коновалов А.Н. Об одном способе построения итерационных процессов // Изв. СО АН СССР, сер техн. наук. 1967. - Вып. 3, № 13. -С. 105-108.

82. Краснова Т.О., Свешников В.М. Расчет электростатических полей на нерегулярных локально-модифицированных сетках // Тр. ВЦ СО РАН. Вычисл. математика. Новосибирск, 1996. - Вып. 5. - С. 89-101.

83. Крейндель Ю.Е. Плазменные источники электронов. М.: Атомиздат, 1977.

84. Круглякова JI.B, Нелидова А.В, Тишкин В.Ф, Филатов А.Ю. Неструктурированные адаптивные сетки для задач математической физики (обзор) // Математическое моделирование. 1998. - Т.10, № 3. -С. 93-116.

85. Кузнецов А.Ю. Алгоритмы построения двумерной триангуляции Делоне // Препринт. Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1990. - № 909.

86. Кузнецов Ю.Е, Сыровой В.А. О решении уравнений регулярного электростатического пучка при эмиссии с произвольной поверхности // Журн. прикл. механ. и техн. физики. 1966. - № 2. - С. 41.

87. Кузнецов Ю.А, Шайдуров В.В. О равномерной сходимости разностных схем // Вычислительные методы линейной алгебры. -Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1972. С. 70-92.

88. Кузьмин В.М, Свешников А.Г, Семашко Н.Н, Якунин С.А. Задача оптимизации системы доускорения интенсивных потоков заряженных частиц // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1981. - Т.21, № 5. - С. 13321338.

89. Лебедев В.И, Агошков В.И. Опрераторы Пуанкаре-Стеклова и их приложение в анализе. -М.: Отдел вычисл. матем. АН СССР, 1983.

90. Лисейкин В.Д. Обзор методов построения структурных сеток // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. - Т.36, № 1. - С.3-41.

91. Лопухин В.М. Возбуждение электромагнитных колебаний и волнэлектронными потоками. М.: ГИТТЛ, 1953.

92. Лукошков B.C. Моделирование источников поля в электростатической ванне при решении задач математической физики // Дисс. на соиск. уч. ст. доктора техн. наук. М., 1958.

93. Малькова С.В., Свешников В.М. О пользовательском интерфейсе пакета прикладных программ ЭРА-2 // Математические технологии вк) задачах математической физики. Новосибирск: ИВМиМГ, 1998. - С. 5079.

94. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.

95. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности разностных схем. -М.: Наука, 1979.

96. Мацокин A.M. Автоматизация триангуляции областей с гладкой границей при решении уравнений эллиптического типа // Препринт.

97. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1975. № 15.

98. Микеладзе Ш.Е. О численном решении дифференциальных уравнений Лапласа и Пуассона // Изв. АН СССР, сер. мат. 1938. - С. 271-292.

99. Митчнер М., Кругер Ч. Частично ионизованные газы. М.: Мир, 1976.

100. Мокин Ю.И. О двух моделях стационарного движения заряженных частиц в вакуумном диоде / /Матем. сб. М.,1978. - Т. 106 (148). № 2 (6).1. С. 234-264.

101. Молоковский С.И., Сушков А.Д. Интенсивные электронные и ионные пучки. М.: Энергоатомиздат, 1991.

102. Нечаев В.Е. Формирование электронного пучка в коаксиальной пушке в сильном продольном магнитном поле // Физика плазмы. 1979. - Т. 5, № 3. - С. 706-710.

103. Нечаев В.Е., Фукс М.И. Лекции по электронике СВЧ // 4-ая зимняя школа-семинар. Саратов: СГУ, 1978. -№ 102.

104. Нечаев В.Е., Фукс М.И. Формирование трубчатого сильноточного пучка релятивистских электронов в системах с магнитной изоляцией (приближенный расчет) // ЖТФ. 1977. - № 47. - С. 2347-2355.

105. Новиков А.А. Источники электронов высоковольтного тлеющего разряда с анодной плазмой. М.: Атомиздат.1972.

106. Новиков А.А., Панибрацкий В.А. Методы расчета электронно-оптических систем технологических электронных пушек с плазменным анодом // Тр. второй Междунар. конф. по электронно-лучевым технологиям. Болгария, Варна, 1988. - С. 227-232.

107. Новиков А.А., Панибрацкий В.А., Свешников В.М. .Моделирование плазменного эмиттера при различных условиях на его поверхности// Тез. докл. всесоюзн. симпозиума по ненакаливаемым катодам. Томск: ИСЭ СО АН СССР, 1980. - С. 90-91.

108. Новиков А.А., Панибрацкий В.А., Рудомин Г.А., Свешников В.М. Численные методы решения задач с плазменным эмиттером // Современные методы расчета электронно-оптических систем. Л.: ЛПИ, 1986.-С. 124.

109. О численном решении задачи взаимодействия сгустка заряженных частиц с резонатором // Инженерно-математические методы в физике и кибернетике.-М., 1975,-№4.-С. 8-12.

110. О модели релятивистского электронного пучка, учитывающей поля излучения // Инженерно-математические методы в физике и кибернетике. -М., 1976.-№5.-С. 12-16.

111. Овсянников Д.А. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. Л.: ЛГУ, 1990.

112. Островский A.M. Решение уравнений и систем уравнений М.: Иностр. лит., 1963.

113. Овчинников А.В. Метод анализа потоков заряженных частиц // Зарубежная радиоэлектроника. 1979. -№ 5. - С. 26-40.

114. Панибрацкий В.А., Свешников В.М. Расчет электронно-оптических систем с плазменным эмиттером// Препринт. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983.-N432.

115. Пекарская Г.Е., Семененко М.И., Свешников В.М., Шварцман Л.Г. Применение КСИ-БЭСМ для расчета электрического поля муфт силовых кабелей высокого напряжения // Методы расчета электронно-оптических систем. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1973. - С. 33-42.

116. Петрович О.Н. Компьютерное моделирование влияния ионизации остаточного газа на формирование интенсивных электронных пучков в плазменных источниках заряженных частиц // Прикл. физика. 2002. -№3.-С. 87-94.

117. Пирс Дж. Теория и расчет электронных пучков. М.: Советское радио, 1956.

118. Писсанецкий С. Технология разреженных матриц М.: Мир, 1988.

119. Полак Э. Численные методы оптимизации М.: Мир, 1974.

120. Попова Г.С., Свешников В.М. Пакет прикладных программ ЭРА для решения двумерных задач электронной оптики на ЕС ЭВМ // Пакеты программ для решения задач математической физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1985. - С. 93-101.

121. Рошаль А.С. Моделирование заряженных пучков. М.: Атомиздат, 1979.

122. Рютов Д.Д. Об угловых характеристиках электронного пучка, получаемого в бесфольговом диоде // Препринт. Новосибирск: ИЯФ СО АН СССР, 1983. -N146.

123. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

124. Сандер И.А. Построение треугольной сетки в областях с кусочно-гладкой границей // Препринт. Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1993. - № 995.

125. Сандер С.А. Циклическая редукция без ограничений на представление числа неизвестных // Препринт. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1980. -N69.

126. Сандер И.А., Свешников В.М., Хавин Н.Г. Численный расчет релятивистских многорезонаторных систем // ПМТФ. 1988. - N 6.- С. 10-15.

127. Свешников В.М. Структура компилирующей системы КСИ-БЭСМ для решения задач электронной оптики // Методы расчета электронно-оптических систем. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР,1973. - С. 59-67.

128. Свешников В.М. Об автоматизации численного решения стационарных и нестационарных задач электронной оптики //Дисс. на соиск. учен, степени канд. физ.-мат. наук. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1977.

129. Свешников В.М. О некоторых релаксационных методах решения самосогласованных задач // Алгоритмы и методы расчета электронно -оптических систем. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1983. - С. 139-143.

130. Свешников В.М. Система JIAMOH для автоматизации управления вычислительным процессом и ее применение для решения задач электронной оптики // Препринт. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1984. -N480.

131. Свешников В.М. .Расчет сильноточных релятивистских пучков с учетом столкновительных эффектов // ПМТФ. 1986 - N 1. - С. 3-8.

132. Свешников В.М. Численный расчет нестационарных потоков заряженных частиц и его программная реализация // Препринт. -Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1986. № 652.

133. Свешников В.М. Некоторые вопросы численного расчета стационарных и не стационарных пучков заряженных частиц // Пакетыприкладных программ. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1986. - С. 143156.

134. Свешников В.М. О численном решении стационарных самосогласованных задач расчета пучков заряженных частиц // Препринт.- Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1988. № 789.

135. Свешников В.М. Пакет прикладных про грамм ЭРАНС для численного моделирования нестационарных пучков заряженных частиц // Тез. докл. IX всесоюзн. семинара «Методы рас чета электронно-оптических систем». -Ташкент, 1988.-С. 144.

136. Свешников В.М. Решение задачи оптимизации интенсивных пучков заряженных частиц в 111111 ЭРА // Технология моделирования задач математической физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1989.1. С. 134-141.

137. Свешников В.М. Численный расчет пучков заряженных частиц на локально модифицированных сетках // Препринт. Новосибирск, ВЦ СО РАН, 1997.-№1109.

138. Свешников В.М. Повышение точности расчета интенсивных пучков заряженных частиц // Тез. докл. шестого всероссийского семинара «Проблемы теоретической и прикладной электронной и ионной оптики».- М.: ГНЦ РФ ГУП «НПО «Орион», 2003. С. 63.

139. Свешников В.М. Расчет прикатодной области в электронно-оптических системах, формирующих интенсивные пучки заряженных частиц // Прикладная физика. 2004. № 1. - С. 50-55

140. Свешников В.М. Повышение точности расчета интенсивных пучков заряженных частиц // Прикладная физика. 2004. № 1. - С. 55-65.

141. Свешников В.М. Поэлементная технология расчета траекторий движения заряжённых частиц//Тр. междунар. конф. по вычислительной математике МКВМ-2004. Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2004. - С. 637-641.

142. Свешников В.М. Расчет плотности тока эмиссии и объемного заряда в задачах численного моделирования электронно-оптических систем //Тр. междунар. конф. по вычислительной математике МКВМ-2004. -Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2004. С. 642-647.

143. Свешников В.М. Поэлементная технология расчета интенсивных пучков заряженных частиц // Вычислительные технологии. 2004. - Т.9, № 3. - С. 90-103.

144. Свешников В.М, Сыровой В.А. О численном расчете пучков заряженных частиц методом итераций по подобластям // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1990.-Т.30, № 11.-С. 1675-1688.

145. Свешников В.М, Федосов А.И. О численном моделировании плазменных потоков// Вычислительные методы и программирование. -Новосибирск. ВЦ СО АН СССР, 1975.-С. 150-155.

146. Смелов В.В. Принцип итерирования по подобластям в задачах с эллиптическим уравнением // Препринт. М.: Отдел вычисл. матем., 1981.-№14.

147. Сыровой В.А. Результаты теории антипараксиальных разложений в оптике плотных электронных пучков // Радиотехника и электроника. -1991.-Т. 36, № 3. С. 540-559.

148. Сыровой В.А. Проблемы адекватности математических моделей в оптике плотных релятивистских электронных пучков//Радиотехника и электроника. 2003. - Т. 48. № 4. - С. 467-493.

149. Урванцев A.JI. Автоматизация численного моделирования двух- и трехмерных полей в нелинейных средах методом конечных элементов // Пакеты программ для задач математической физики. Новосибирск, 1985.-С. 26-38.

150. Федоренко Р.П. Релаксационный метод решения разностных эллиптических уравнений// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. - Т. 1, N5.-С. 922-927.

151. Федоренко Р.П. О скорости сходимости одного итерационного процесса // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. - Т.4, N 3. - С. 559564.

152. Федоренко Р.П. Об одном алгоритме решения задач математического программирования // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1982. - Т.22, N 6. -С. 1331-1343.

153. Федосов А.И., Литвинов С.Я., Беломытцев С.П., Бугаев С.П. К расчету характеристик электронного пучка, формируемого в диодах с магнитной изоляцией // Изв. вузов. Физика. 1977. -№ 10(185). - С. 134-145.

154. Фоменко Г.П. Излучение цуга зарядов, пролетающих через цилиндрический резонатор // Изв. вузов Сер. Физика. 1966. -№ 4. С. 79-83.

155. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. М.:Мир, 1986.

156. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. М.: Мир, 1987.

157. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. М.: Мир, 1982.

158. Юдин А.Н. Теоретико-множественное описание геометрии трехмерной области с неоднородными средами // Труды ВЦ СО РАН, сер. вычисл. матем. Новосибирск, ВЦ СО РАН, 1996. - № 3. - С.128-139.

159. Axelsson О., Barkep V. Finite element solution of boundary value methods. Theory and computations // Acad. Press. 1984.

160. Axelsson 0. Iterative Solution Methods. Cambridge Univ. Press, 1994.

161. Babuska I., Szabo B. Finite element analysis. John Wiley & Sons Inc., New York, 1991.

162. Belomytsev S. Ya., Sveshnikov V.M., Popova G.S. Electron beam calculation in coaxial vacuum diode // Proc. of The VII Int. Symposium on Discharges and Electrical Insulation in Vacuum. Novosibirsk, 1976. - P. 371374.

163. Borisov G.A., Il'in V.P.,Sveshnikov V.M. Algorithms for the construction of quasiregular hierarchical grids // Bull, of the Novosibirsk Computing Center Ser. Numerical Analysis. Novosibirsk: ICMMG, 2000. -1. 9. - P. 29-33.

164. Child C.D. Discharge from hot CaO// Phys. Rev. -1911.- V.32, № 5. P. 492-511.

165. Il"in V.P., Itskovich E.A. Two explicit incomplete factorization methods // Bull, of the Novosibirsk Computing Center Ser. Numerical Analysis -. Novosibirsk: ICMMG, 2002. -I. 11. -P. 51-60.

166. IF'in V.P., Sveshnikov V.M. Investigation of Physics of Charged Particle Beam using the Software Package BS //10 th International Conference on High Power Particle Beams: Abstr. -. San-Diego: CA, USA, 1994. P.2-39.

167. Il'in V.P., Litvinenko S.A., Sveshnikov V.M. Parallelization of alternating direction implicit methods for three-dimensional domains // Proc. of PaCT conf. LNCS2763, Springer, 2003. - P. 89-99.

168. Fomel B.M., Tiunov V.P., Yakovlev V.P. SAM An interactive code for evaluation of electron guns // Preprint. - Novosibirsk, Bodker Institute of Nuclear Physics, 1996. - № 96-11.

169. Kozlovsky G. Solving partial differential equations using recursive grids // Appl. Num. Math. 1994. -№ 14. - C.165-181.

170. Qiang Ji, Ryne R.D, Habib S., Decyk V. An object-oriented parallel particle-in-cell code for beam dynamics simulation in linear accelerators // J. of Сотр. Phys. 2000. - N 63. - P.434-451.

171. Langmuir I. The effect of space charge and residual cases on thermionic currents in high vacuum // Phys. Rev. 1913. - V.2, № 5. - P. 450-486.

172. Langmuir I., Blodjett K.B. Current limited by space charge between concentric spheres//Phys. Rev. 1924. - V.24. № 1. - P. 49 - 59.

173. Liseikin V.D. Grid generation method. Springer-Verb., Berlin, 1999.

174. Meltzer B. Single-component stationary electron flow under space-charge conitions//J. Electron. 1956. - V. 2, № 2. - P. 118 - 127.

175. Peaceman D.W., Rachford H.H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations // J. Industr. Appl. Math. 1955. - V. 3, N 1. - P. 28-41.

176. Perronet A. Description des structures de donnes du Club MODULEF // Preprint. IRIA, Decembre, 1977.

177. Poukey J.W., Freeman J.R., Younas S. Simulation of relativistic electron beam diodes // J. of vacuum science and technology. 1973. - V.10, № 6. - P. 954-958.

178. Seldner D., Westerman T. Algorithms for interpolation and localization in irregular 2D meshes // J. of Computational Physics. 1988. - V. 79, N 1. - P. 1-11.

179. Serezhnikova T.I., Sidorov A.F., Ushakova O.V. On one method of construction of optimal curvilinear grids and its applications // Sov.J.Num. Anal.Mat. Mod. 1989. - V.4, № 2. - P.137-155.

180. Shortly G.H., Weller R. The numerical solution of Laplace"s equation // J. Appl. Phys. 1938. - № 9. - P. 334-344.

181. Sveshnikov V.M. Numerical analysis of intensive charged particle beams on quasistructured grids // Proc. of The International Conference on Computational Mathematics. Novosibirsk: ICMMG, 2002. - P. 717-721.

182. Sveshnikov V.M. Calculation of the intensive charged particle beams in the near-cathode subdomain // Proc. SPIE. 2004. - V.5398. - P. 25-33.

183. Sveshnikov V.M. Calculation of the intensive charged particle beams with increased accuracy // Proc. SPIE. 2004. - V.5398. - P. 34-50.

184. Sveshnikov V.M. Numerical simulation of the intensive electron and ion beam sources // Proc. XXIth International Symposium on Discharges and Electrical Insulation in Vacuum. Yalta: Ukraine, Tavrida Electric, 2004. - P. 541-544.

185. Richardson L.P. The approximate arithmetical solution by finite difference of physical problems involving differential equations, with an application to the stresses in a masonry dam // Trans Roy. Sos. London, 1910. - Ser.A, 210. -P. 337-357.

186. Use"s manual for code KARAT // V.P. Tarakanov and Berkley Recearch Associates. Inc. 1992-96.

187. Wasow W.R. Discrete approximations to elliptic differential equations // J. Math. Phys. -1955. N 6. - P. 81-97.

188. Westerman T. Numerical modeling of the stationary Maxwell-Lorentz system in technical devices // Int. J. of Numerical Modeling Electronic Networks, Devices and Fields. 1994. - V. 7. - P. 43-67.

189. Westerman Т. A particle-cell method as a tool for diode simulations // Nuclear instruments and methods in physical research. Amsterdam, 1988. A263.-P. 271-279.