автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное решение дифференциально-алгебраических уравнений высоких индексов

1. Введение.

2. Методы исследования дифференциально-алгебраических систем уравнений.

2.1. Понятие о дифференциально-алгебраических системах уравнений.

2.2. Методы исследования сингулярных систем уравнений.

2.3. Методы исследования дифференциально-алгебраических уравнений индексов 0и1.

2.4. Методы исследования дифференциально-алгебраических уравнений индекса 2.

2.5. Методы исследования дифференциально-алгебраических уравнений индекса 3.

3. Начальная задача для системы дифференциально-алгебраических уравнений как задача продолжения решения по наилучшему параметру.

3.1. Дифференциально-алгебраические уравнения индексов 0 и 1.

3.2. Дифференциально-алгебраические уравнения индекса 2.

3.3. Дифференциально-алгебраические уравнения индекса 3.

3.4. Примеры.

4. Кинематические уравнения Эйлера.

4.1. Введение. Постановка задачи.

4.2. Методы регуляризации кинематических уравнений Эйлера с плохо обусловленной матрицей.

4.3. Сведение системы кинематических уравнений Эйлера к системе дифференциально-алгебраических уравнений индекса 2.

4.4. Анализ численных решений кинематических уравнений Эйлера, полученных при помощи различных преобразований.

Примеры.

Изучение многих процессов, происходящих в различных природных и технических системах, сводится к анализу свойств их математических моделей, что приводит к необходимости исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В настоящее время, ведущее положение занимает изучение систем ОДУ, разрешенных относительно производных, т.е., приведенных к нормальной форме Коши, а также неявных систем, у которых якобиан д¥!ду' вырождается на дискретном множестве. Решение системы ОДУ с вырожденной матрицей при производной является сложной проблемой. Одним из подходов к решению таких систем является сведение системы ОДУ к системе дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ). Как будет показано далее, системы ДАУ состоят из ОДУ и недифференциальных соотношений, в качестве которых обычно рассматриваются нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения.

В данной работе изучаются методы численного решения задачи Коши для системы ДАУ, которая имеет индекс равный двум или трем. Такие задачи возникают при исследовании процессов, происходящих в электрических цепях, при изучении кинетики химических реакций или при моделировании механических явлений, например, колебательных процессов. Системы с вырожденной матрицей невозможно разрешить относительно производных без предварительных преобразований, что значительно затрудняет использование численных методов решения ОДУ. Большинство преобразований, рассмотренных раннее, являются либо очень громоздкими и сложными для реализации, либо трудно адаптируемыми к численному счету.

Целью данной работы было исследование возможностей применения метода продолжения по наилучшему параметру к решению ДАУ индексов 2 и 3. Выбор метода продолжения по наилучшему параметру обусловлен тем, что преобразованная по параметру задача обладает рядом достоинств по сравнению с другими, полученными при помощи иных преобразований. Так, в случае явной системы, правые части каждого уравнения по модулю не превосходят единицы. Более того, квадратичная норма правой части системы всегда равна единице. Этот факт снимает многие проблемы, связанные с неограниченным ростом правых частей системы, и позволяет интегрировать дифференциальные уравнения, интегральные кривые которых содержат предельные точки, производные в которых имеют неограниченный рост. Метод также позволяет решать задачи, имеющие замкнутые интегральные кривые. При выборе наилучшего параметра в качества аргумента рассматривают тот, при котором квадратичная погрешность, возникающая на каждом шаге процесса продолжения из-за возмущения элементов матрицы или правой части системы уравнений продолжения решения, принимает наименьшее значение, что особенно важно для численного интегрирования. Метод хорошо приспособлен для численного счета и алгоритмизации на ЭВМ.

В настоящее время решению систем ДАУ посвящено большое количество как отечественных, так и зарубежных работ. Предлагались различные методы решения систем ОДУ с вырожденной матрицей при производной и систем ДАУ. Наиболее полно рассматривались задачи с ДАУ низких индексов (0, 1) В данной работе исследуются численные решения систем высоких индексов (2 и 3), а также оценивается эффективность преобразования таких систем к наилучшему аргументу. С точки зрения метода продолжения решения по наилучшему параметру рассматривается интегрирование кинематических уравнений Эйлера. Такие уравнения являются неотъемлемой частью любой математической модели, описывающей динамику полета летательного аппарата, движение гироскопической системы и т. д. Система кинематических уравнений Эйлера будет подробно описана во второй части работы. Она вырождается при определенных значениях угла нутации. Для решения применяется преобразование к наилучшему аргументу. В работе производится сравнение эффективности использования уже известных методов решения плохо обусловленной системы кинематических уравнений Эйлера преобразование при помощи параметров Родрига-Гамильтона, Кейли-Клейна и др.) с предлагаемым преобразованием к наилучшему параметру.

Работа состоит из двух частей. В первой части рассматриваются численные решения дифференциально-алгебраических уравнений индекса 2 и 3. Подробно изучается два класса задач: задачи, возникающие в электрических цепях и в кинетике химических реакций, и системы, моделирующие механические явления. Особенностью первого класса является сингулярная (вырожденная) матрица при производных. После некоторых преобразований ее удается свести к системе ДАУ. Второй класс представляют задачи ДАУ индекса 2 и 3. Также даются определения, принятые в современной литературе по ДАУ и используемые в данной работе. Рассматриваются различные методы и подходы к решению ДАУ, дается обзор литературы по вопросам преобразования вырожденных ОДУ к ДАУ и оценивается состояние проблемы на текущее время. Рассматриваются методы численного решения ДАУ. Рассматривается возможность применения метода продолжения по параметру к исследованию решения ДАУ высоких индексов. Выбор метода оправдан тем, что преобразованная задача обладает достоинствами по сравнению с непреобразованной исходной задачей. В случае явной системы правая часть ограничена, что позволяет снять проблемы, связанные с неограниченным ростом правых частей. Метод позволяет расширить класс рассматриваемых задач, так как позволяет находить решения уравнений, интегральные кривые которых замкнуты или содержат предельные точки. Метод легко комбинируется с известными численными методами решения ОДУ, такими как явный метод Эйлера, методы Рунге - Кутты, многошаговые методы и т. д.

Разработаны алгоритмы, реализованные в программах для расчета задач механики. Приведены результаты, полученные при численном решении задач о свободном колебании математического маятника.

Вторая часть посвящена численному решению частного вида ДАУ: кинематических уравнений Эйлера. Рассматриваются задачи с плохо 7 обусловленными матрицами при малых углах нутации. При определенных значениях углов система вырождается. Очевидно, что в этом случае правые части системы уравнений теряют смысл, поэтому численное интегрирование системы ОДУ при малых углах нутации является сложной проблемой. Рассматриваются различные методы решения таких задач. Дается обзор современной литературы о проблемах решения кинематических уравнений Эйлера. Разработаны алгоритмы численного решения этих уравнений с использованием различных подходов. Проводится анализ численных решений системы при помощи параметров Родрига-Гамильтона, Кейли-Клейна и метода продолжения по наилучшему параметру. Проводилось сравнение перечисленных методов с позиции вычислительной трудоемкости при численном интегрировании задачи методами первого и второго порядков. Выделен класс задач, для которых предпочтительнее использовать метод продолжения решения по наилучшему параметру. Проведенные исследования иллюстрируются примерами.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

1. Рассмотрено преобразование к наилучшему параметру систем дифференциально-алгебраических уравнений высоких индексов 2 и 3. Предлагаются алгоритмы и их реализация, осуществляющие рассмотренный подход.

2. На основе полученных соотношений проведен анализ эффективности преобразования систем ДАУ индекса 2 и 3 к наилучшему аргументу.

3. На примере численного интегрирования системы ДАУ, описывающей колебания математического маятника, решение которой представляет собой быстро меняющиеся функции, показана эффективность использования преобразования задачи к наилучшему аргументу. Метод продолжения решения по наилучшему параметру позволяет получить достаточно точное решение задачи при меньшем количестве вычислений вектора правой части по сравнению с методом понижения индекса системы. Предложенный метод прост в использовании и легко реализуется на ЭВМ.

4. Эффективность преобразования к наилучшему параметру продемонстрирована на примере задач с замкнутыми интегральными кривыми. В этом случае при подходе к предельной точке не требуется производить смену параметра. Метод позволяет также получать численное решение задачи в особых точках, характеризующихся неограниченным ростом производной, когда численное решение непреобразованной задачи затруднительно.

5. Получены соотношения для оценки эффективности преобразования кинематических уравнений Эйлера к наилучшему аргументу.

6. Проведен сравнительный анализ использования параметров Родрига-Гамильтона, Кейли-Клейна и метода продолжения решения по наилучшему параметру для численного решения кинематических уравнений Эйлера в случае плохо обусловленной матрицы системы. Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы:

103 а) Преобразование к наилучшему аргументу с последующим решением полученных ОДУ методами численного интегрирования 2-го порядка с постоянным шагом является более эффективным, чем использование преобразований к параметрам Родрига-Гамильтона или Кейли-Клейна. б) Анализ локальной погрешности численных решений показал, что метод продолжения решения по наилучшему параметру наиболее эффективен для расчетов с высокой точностью в < 10"6. в) Показано, что в отличие от преобразования к параметрам Родрига-Гамильтона метод продолжения решения по наилучшему параметру не требует контроля за поведением интегральной кривой задачи. г) Сравнительный анализ позволил выделить класс задач, для которых предпочтительнее использовать метод продолжения решения по наилучшему параметру. В частности это задачи, имеющие интервалы резкого изменения решения.

7. Показано, что для широкого класса задач метод продолжения решения по наилучшему параметру обеспечивает высокую эффективность численного решения систем ДУ, существенно уменьшая расчетное время.

1. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990.

2. Hairer Е., Lubich С., Roche М. The numerical solution of differential-algebraic systems by Runge-Kutta methods. Berlin etc.:Springer. 1989.

3. Hairer E., Wanner G. Solving ordinary differential equations 2. Stiff and differential-algebraic problems. Berlin etc.: Springer, 1991.

4. Gear C. W. The simultaneous numerical solution of DAE// IEEE Trans. Circuit Theoty. TC-18. 1971. P.89-95.

5. Gear C. W., Petzold L. R. ODE methods for the solution of differential-algebraic systems// SIAM Numer. Analys. 1984. Y.21. P.716-728.

6. Petzold L. R. A description of DASSL: A differential-algebraic system solve// Scientific Computing. Amsterdam: North-Holland, 1983.

7. Gear S. W., Gupta G. K., Leimkuhler B. Automatic integration of Euler-Lagrange equations with constants.// J. Сотр. Appl. Math. 1985. V. 12, 13. P. 77-90.

8. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические уравнения. М.: Мир, 1999.

9. Campbell S. L. Singular system of differential equations I.-San-Francisco, London, Melbourn: Pitman Advanced Publ. Program, 1980.

10. Campbell S. L. Singular system of differential equations II.-San-Francisco, London, Melbourn: Pitman Advanced Publ. Program, 1980.

11. Бояринцев Ю. E., Данилов В. А., Логинов А. А., Чистяков В. Ф. Численные методы решения сингулярных систем. Новосибирск: Наука, 1989.

12. Campbell S. L., Petzold L. R. canonical forms and solvable singular systems of differential equations.// SIAM J. Algorithm and Discrete Methods. 1983. №4.1. P.517-521.

13. Щеглова А. А. Исследование и решение вырожденных систем ОДУ с помощью замены переменных.// Сибирский матем. журнал. 1995. Т.36. №6. С.1435-1442.

14. Griepentrog Е., Marz R. Differential-algebraic equations and numerican treatment. Leipzig: BSB B. G. Tenbner, 1986.

15. Чистяков В. Ф. О расширенной линейной системе, неразрешенной относительно производной. Иркутск, 1986.

16. Бояринцев Ю. Е. Методы решения вырожденных систем ОДУ. Новосибирск: Наука, 1988.

17. Штыкель Т. JI. К теории вырожденных систем ОДУ.// Сибирский мат. журнал. 1995. Т. 36. №5. С. 1194-1207.

18. Campbell S. I., Mayer С. D., Rose N. J. Applications of Drazin inverse to linear system of differential equation with singular constant coefficients.// SIAM J. Appl. Math. 1976. V.31. P. 411-425.

19. Marz R. Canonical projectors for linear differential-algebraic equation. Berlin, 1993.

20. Михайлов JI. Г. Способы исследования систем ОДУ с сингулярными точками.// Доклады АН Тадж. ССР 1989. Т.32. №8. С. 154-167.

21. Михайлов JI. Г. Способы исследования систем ОДУ с сингулярными точками.// Доклады АН Тадж. ССР 1990. Т.ЗЗ. №6. С. 72-84.

22. Михайлов JI. Г. Способы исследования систем ОДУ с сингулярными точками.//ДАН. 1991. Т.321. №4. С. 835-847.

23. Михайлов Л. Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе, 1963.

24. Михайлов Л. Г. Интегральные уравнения с ядром однородным степени (-1). Душанбе: Дониш, 1986.

25. Михайлов Л. Г. Об одном способе исследования систем ОДУ с сингулярными точками. // Доклады АН. 1994. Т.336. №1. С.21-24.

26. Свиридюк Г. А. Многообразие решений одного операторного сингулярного псевдопараболического уравнения. // ДАН СССР. 1986. Т. 289. №6. С.1315-1318.

27. Свиридюк Г. А. Задача Коши для линейного сингулярного операторного уравнения типа Соболева. // Дифференц. уравнения. 1987. Т.23. №12. С.2168-2171.

28. Свиридюк Г. А. Об одной модели динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости.//Изв. вузов. Матем. 1988. №.1. С.74-79.

29. Свиридюк Г. А. Об одной сингулярной системе ОДУ.// Дифф. уравнения. 1987. Т.23. №9.С. 1637-1639.

30. Свиридюк Г. А., Сукачева Т. Г. О галеркинских приближениях сингулярных нелинейных уравнений типа Соболева.// Изв. вузов. Матем. 1989. №10. С.44-47.

31. Сидоров Н. А., Романова О. А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений с вырождением.// Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. №9. С. 1516-1526.

32. Щеглова А. А. Применение псевдообратных матриц для построения численного решения вырожденных систем ОДУ. Иркутск, 1988.

33. Сукачева Т. Г. Дальнейшие результаты о разрешимости сингулярной системы ОДУ.// Известие вузов. Матем. 1992. №4. С.70-77.

34. Булатов М. В. О преобразовании алгебро-дифференциальных систем уравнений.// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т.34. №3. С.360-372.

35. Булатов М. В. О понижении индекса и устойчивых методах решения сингулярных систем.// Численные методы решения сингулярных систем. Новосибирск: Наука, 1989. С. 196-211.

36. Бояринцев Ю. Е., Бояринцева Т. П. Замечания о неявной разностной схеме, аппроксимирующей систему уравнений Стокса.// Численные методы анализа и их приложения. Иркутск: СЭИСО АН СССР, 1983. С. 127-131.

37. Чистяков В. Ф. О линеаризации вырожденных систем квазилинейных ОДУ.// Приближенные методы решения операторных уравнений и их приложения. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1982. С.146-157.

38. Чистяков В. Ф. О сингулярных системах ОДУ и их интегральных аналогах.// Функции Ляпунова и их применения. Новосибирск: Наука, 1987. С. 231-240.

39. Marz R. Index-2 differencial-algebraic equations.// Results in Math. 1989. V.l5. P.149-171.

40. Куликов Г. Ю. Об одном способе численного решения автономной задачи Коши с алгебраической связью на фазовые переменные. // Вестн. МГУ. Серия математика, механика. 1992. №1. С. 14-19.

41. Куликов Г. Ю. Об одном способе численного решения автономной задачи Коши с алгебраической связью на фазовые переменные (невырожденный случай). // Вестн. МГУ. Серия математика, механика. 1993. №3. С. 10-14.

42. Куликов Г. Ю. О численном решении автономной задачи Коши с алгебраической связью на фазовые переменные.// Ж. вычисл. матем. и мат. физ. 1993. Т.ЗЗ. №4. С. 522-540.

43. Куликов Г. Ю. Практическая реализация и эффективность численного метода решения задачи Коши с алгебраической связью.// Ж. вычисл. матем. и мат. физ. 1994. Т.34.№11.С. 1617-1631.

44. Куликов Г. Ю. Численное решение задачи Коши с алгебраической связью на фазовые переменные (с приложениями в медицинской кибернетике): Дис. канд. физ.-мат. наук. М.: ВЦ РАН, 1994.

45. Куликов Г. Ю. Теоремы сходимости для итеративных методов Рунге-Кутты с постоянным шагом интегрирования. // Ж. вычисл. матем. и мат. физ. 1996. Т.36. №8. С. 73-89.

46. Kulikov G. Yu., Thomsen P. G. Convergence and implementation of implicit Runge-Kutta methods for DAEs: Techn. Rept. 7/1996, IMM, Techn. Univ. Denmark, Lyngby, 1996.

47. Kulikov G. Yu. Convergence results for iterative implicit multistep methods with fixed step size: Techn. Rept. 8/1996, IMM, Techn. Univ. Denmark, Lyngby, 1996.

48. Куликов Г. Ю. Численное решение задачи Коши для системы дифференциально-алгебраических уравнений с помощью неявных методов Руне-Кутты с нетривиальным предиктором. // Ж. вычисл. матем. и мат. физ. 1998. Т.38. №1. С. 68-84.

49. Brenan К. Е., Petzold L. R. The numerical solution of higher index differential-algedraic equations by implicit Runge-Kutta methods // SI AM J. Numer. Analys. 1986. V.26. P.976-996.

50. Brenan К. E., Engquist В. E. Backward differential approximations of nonlinear differential-algebraic equations: Rept №101. Uppsala, Sweden: Dept. Comput. Sci. Uppsala Univ. 1985.

51. Marz R. Multistep methods for initial value problems in implicit differential-algebraic equations: Preprint №22 Berlin: Humboldt Univ. Sekt. Math. 1981.

52. Lotstedt P., Petzold L.R. Numerical solution of nonlinear differential equations with algebraic constrains. I: Convergence results for backward differentialion formulas. //Math. Comput. 1986. V.46. P.491-516.

53. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986.

54. Кузнецов Е. Б., Шалашилин В. И. Задача Коши, как задача продолжения решения по параметру .//Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1993. Т.ЗЗ. №12. С. 17921805.

55. Кузнецов Е. Б., Шалашилин В. И. Задача Коши, как задача продолжения решения по наилучшему параметру.//Диф. уравнения. 1994. Т.30. №6. С.964-971.

56. Кузнецов Е. Б., Шалашилин В. И. Задача Коши для механических систем с конечным числом степеней свободы как задача продолжения по наилучшему параметру.// ПММ. 1994. Т.58. Вып. 6. С. 14-21.

57. Кузнецов Е. Б., Шалашилин В. И. Задача Коши для деформируемых систем как задача продолжения решения по параметру.// Изв. РАН. МТТ. 1993. №6. С.145-152.

58. Кузнецов Е. Б. Об одном алгоритме интегрирования дифференциальных уравнений.// Качественные методы теории дифференциальных уравнений и их приложения. М.: МАИ, 1991. С. 85-62.

59. Кузнецов Е. Б. Численные решения однопараметрических задач, преобразованных к наилучшему аргументу : Дис.докт. физ.-мат. наук. М.:МАИ, 1996.

60. Шалашилин В. И., Кузнецов Е. Б. Наилучший параметр продолжения решения.// Докл. РАН. 1994. Т.334. №5. С. 566-568.

61. Кузнецов Е. Б., Шалашилин В.И. Решение дифференциально-алгебраических уравнений с выбором наилучшего аргумента.// Ж. вычисл. матем. и мат. физ. 1997. Т.37. №6. С. 711-722.

62. Кузнецов Е. Б., Шалашилин В. И. Решение сингулярных уравнений, преобразованных к наилучшему аргументу.// Известия вузов. Математика. 1998. №11, С. 56-63.

63. Кузнецов Е. Б. Об одном подходе к интегрированию кинематических уравнений Эйлера при малых углах нутации.// Ж. вычислит, матем. и матем. физ. 1998. Т. 38 №11. С. 1806-1813.

64. Шалашилин В. И., Кузнецов Е. Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация. М.: УРСС, 1999.

65. Данилин А. Н., Зуев Н. Н., Кузнецов Е. Б., Шалашилин В. И. Некоторые количественные оценки эффективности преобразования задачи Коши для дифференциальных уравнений к наилучшему аргументу. // Ж. вычисл. матем. и мат. физ. 1999. Т.39. №7. С. 1136-1144.

66. Lubich Ch. Convolution quadrature and discretized operational calculus.// Numer. Math. 1988. V.52. P. 129-145.

67. Cambell S., Gear S. The index of general nonlinear DAE's.// Numer. Math. 1995. V.72. P. 173-196.

68. Гантмахер Ф.Т. Теория матриц. M.: Наука, 1966.

69. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994.

70. Petzold L. R. Order results for implicit Runge-Kutta methods applied to differential/algebraic systems.// SIAM J. Numer. Anal. 1986. V. 23. P. 837-852.

71. Gear S. W. Differential-algebraic equation index transformation.// SIAM. J. Sci. Stat. Comput. 1988. V. 9. P. 39-47.

72. Brenan К. E., Petzold L. R. The numerical solution of higher index differential/algebraic equations by implicit Runge-Kutta methods.// SIAM. J. Numer. Anal. 1989. V/ 26. P. 976-996.

73. Ascher U., Petzold L. R. Projected implicit Runge-Kutta methods for differential-algebraic equations.// SIAM. J. Numer. Anal. 1991. V. 28. P. 10971120.

74. Голубева O.B. Теоретическая механика. M.: Высшая школа. 1968.

75. Baumgarte J. Stabilization of constraints and integrals of motion in dynamical systems. // Сотр. Meth. App. Mech. Eng. 1972. V. 1. P. 11-16.

76. Ascher U. M., Chin H., Reich S. Stabilization of DAEs and invariant manifolds. // Numb. Math. 1994. V. 67. P. 131-149.

77. Lubich Ch. On the convergence of multistep methods for nonlinear stiff differential equations. //Numer. Math. 1991. V. 58. P. 839-853.

78. Балакина E. А., Кузнецов E. Б. Решение систем дифференциально-алгебраических уравнений высоких индексов.// Ж. вычисл. матем. и мат. физ. 2000. Т.40. №2. С. 199-206.

79. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

80. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Ред. Дж. Холл, Дж. Уатт. М.: Мир, 1979.

81. Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989.

82. Хемминг Р. В. Численные методы. М.: Наука, 1972.

83. Лурье А. И. Аналитическая механика М: Физматгиз. 1961.

84. Челноков Ю. Н. Об определении ориентации объекта в параметрах Родрига-Гамильтона по его угловой скорости. // Известия АН СССР. МТТ. 1977. №3. С. 11-20.

85. Челноков Ю. Н. Кватернионы и связанные с ним преобразования в динамике симметрического твердого тела. Ч. 1 .//Изв. РАН Механика твердого тела. 1997. N6. С.3-16.

86. Челноков Ю. Н. Кватернионы и связанные с ними преобразования в динамике симметрического твердого тела. 4.2.//Изв. РАН Механика твердого тела. 1998. N5. С.7-19.

87. Челноков Ю. Н. Кватернионные методы в задачах относительного движения динамических симметричных материальных систем. Ч. 1,2// Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1986. N6. С.30-37; 1987. N1. С. 23-31.

88. Челноков Ю. Н. Об осцилляторном и ротационном движениях одного класса механических систем.// Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1989.N1. С.28-35.

89. Челноков Ю. Н. О движении тяжелого симметрического твердого тела с подвижной точкой подвеса.//Изв. АН СССР Механика твердого тела. 1990. N4. С.3-10.

90. Ларин В. Б., Науменко К. И. Об определении ориентации твердого тела. // Известия АН СССР. МТТ. 1983. № 3. С. 24-32.

91. Авраменко JI. Г., Ларин В. Б. О погрешностях численного интегрирования кинематических уравнений в параметрах Родрига-Гамильтона. // Известия АН СССР. МТТ. 1987. № 3. С. 45-50.

92. Журавлев В. Ф., Жбанов Ю.К. О балансировке волнового твердотельного гироскопа.//Изв. АН. Механика твердого тела. 1998. N4.

93. Журавлев В. Ф., Климов Д.М. Прикладные методы теории колебаний. М: Наука. 1988.

94. Журавлев В. Ф. Теоретические основы волнового твердотельного гироскопа (ВТГ).//Изв. АН. Механика твердого тела. 1993. N3. С.6-19.

95. Журавлев В. Ф. об одной форме уравнений движения симметричного твердого тела.//Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1986. N3. С.5-11.

96. Журавлев В. Ф., Климов Д. М. Волновой твердотельный гироскоп. М: Наука. 1985.