автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы исследования и решения вырожденных интегро-дифференциальных уравнений и их приложения

На правах рукописи

ЧИСТЯКОВА ЕЛЕНА ВИКТОРОВНА

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ И РЕШЕНИЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск -

003158580

Работа выполнена в Институте динамики систем и теории управления Сибирского отделения Российской академии наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Булатов Михаил Валерьянович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Апарцин Анатолий Соломонович; кандидат физико-математических наук Гражданцева Елена Юрьевна.

Ведущая организация; Московский государственный

университет им. М.В. Ломоносова.

Защита состоится " 12 " октября 2007 г. в ЛШО ч на заседании диссертационного совета Д 212.074.01 при Иркутском государственном университете по адресу: 664003, г. Иркутск, ул. К.Маркса, 1, ИМЭИ ИГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Иркутского государственного университета (г.Иркутск, б.Гагарина, 24).

Автореферат разослан " сетж=Яг2007 г.

Ученый секретарь диссертационного

совета, канд. физ.-мат. наук М.А. Аргучинцева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение многих процессов, происходящих в различных природных и технических системах, сводится к анализу их математических моделей Часто такая модель является системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), разрешенной относительно старших производных искомой вектор-функции, описывающей изменение во времени (пространстве) тех или иных характеристик исследуемого процесса Такие системы принято называть системами, приведенными к нормальной форме (форме Коши). При попытке учесть в модели балансовые соотношения, в частности, законы сохранения, системы ОДУ дополняются алгебраическими уравнениями и такие системы принято называть дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ) Если процесс обладает последействием, то математическая модель может включать в себя и интегральные уравнения. В этом случае мы получаем систему взаимосвязанных дифференциальных, алгебраических и интегральных уравнений типа Вольтерра, которую можно записать в виде системы интегро-дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей перед старшей производной искомой вектор-функции Такие системы называют вырожденными интегро-дифференциальными системами или системами интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ) с тождественно вырожденной главной частью Исследования подобных систем стимулированы прежде всего наличием прикладных задач, сводящихся к ним. 1,2 В частности, наряду с хорошо изученными стационарными гидравлическими цепями, в последнее десятилетие большое значение приобретает моделирование нестационарных гидравлических цепей 3

'Серов Е П , Корольков Б П Динамика парогенераторов - М Энергоиздат, 1981 - 408 с

2Ушаков Е И Статическая устойчивость электрических систем - Новосибирск Наука, 1988 - 273 с

3Балышев О А , Таиров Э А Анализ переходных и стащганрных процессов в трубопроводных системах (теоретические и экспериментальные аспектвд)-Новосибирск Наука Сиб предприятие РАН7 1998 - 164 с

Диссертационная работа посвящена разработке качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей, возникающих в теории нестационарных нелинейных гидравлических и электрических цепей, построению и обоснованию эффективных численных методов их решения с применением ЭВМ

В общем случае исследуемые уравнения могут быть записаны в виде соотношения

А^,х,Ух,и)х +В{г,х,Ух,и) =0, £ € [0,1] = Т, (1)

где А{1, х, у, и) - (тех п)-матрица, В{Ь, х, у, и) - п-мерная вектор-функция, х = (1/<И, х = х(р) - искомая вектор-функция, Ух = /К(р,8,х(8))(18 - оператор Вольтерра, - п-мерная век-

тор функция, и € N = (-Щ, щ) - числовой параметр, х0 - заданный вектор из К™ Здесь

ж б а = {х ||ж-ж0|| < Рг}, у £Ы = {у \\у\\ < р2}, РьР2 € И1

Предполагается, что входные данные достаточно гладкие в соответствующих областях определения и выполнено условие

йеЬА(г,х,у,ь>) = 0 V {1,х,у,ь>) еТх Я хК хЛ/", (3)

В частности, допускается, что матрица А(р, х, у, и) может быть нулевой Под решением системы (1) мы будем понимать любую вектор- функцию е С^Т), которая обращает исходное уравнение в тождество

Наряду с общим уравнением (1) в работе рассматриваются его частные случаи

с начальными данными

ж(0) = х0,

(2)

А{£)х(г) + В{Ь,х,Ух) = о

(4)

и

A(t)x(t) + B(t)x(t) + F{t, x, Vx) = 0, (5)

а также случай, когда ядро оператора Вольтерра содержит слабую особенность, т е

t

Vax = f(t- s)~aK[t, s)x(s)ds, 0 < a < 1 о

Теория вырожденных задач вида (1) и построение численных методов их решения в настоящее время интенсивно развиваются в Германии, США, Швейцарии, Украине, Казахстане и в нашей стране (А А Абрамов, Е Б Кузнецов, Ю Е Бояринцев, М.В Булатов, В Ф Чистяков, В К Горбунов, Г Ю Куликов, Г А Курина и др) В подавляющем числе статей и монографий рассматривается частный случай систем (1) A(x,t)x + B{x,t) = 0, называемых дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ) Вырожденные ИДС исследованы значительно слабее.

Глубокие результаты получены в аналитической теории дифференциально-операторных уравнений с необратимым оператором в главной части (H.A. Сидоров, М В Фалалеев, Г А Свирй-дюк, В Е Федоров, И В Мельникова, С Г Крейн и др ) с приложениями к уравнениям в частных производных 4'5,6 Для таких уравнений доказаны теоремы существования, разработаны асимптотические методы, построена теория обобщенных решений, изучены вопросы конвергентности и бифуркаций Андронова-Хопфа, в том числе в условиях групповой симметрии Также изучены проблемы корректности, ветвления решения и регуляризации

4Свиридк>к Г А Кзезистацион&рвые траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева // Изв РАН, сер матем - 1993 - Т 57, N 3 - С 192-202

'"'Сидоров Н А Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией Математические заметки - М Наука, 1984 - Т 35 Вьш 4 - С 569-678.

6Sidorov N, Logmov В , Sinitsyn А, Falaleev М Lyapunov-Sehmidt methods in nonlinear analysis and applications Kluwer Academic Publishers, 2002

В предыдущих работах по данной тематике было показано, что исследуемые задачи относятся к классу некорректных задач, в частности, сколько угодно малые возмущения входных данных могут приводить к сколь угодно большим возмущениям решения или к его отсутствию Эту особенность ДАУ и вырожденных ИДС следует учитывать при построении численных методов Для подавления влияния возмущений входных данных разработаны различные методы регуляризации, связанные с именами А.Н Тихонова, В К Иванова, М М Лаврентьева, В А Морозова, В В Васина, А В Бакушинского Большой класс методов регуляризации основан на параметризации исходной задачи, что делает ее корректной Для исследуемого в диссертации класса задач таким параметром является шаг дискретизации

Цель работы. В диссертации ставились следующие задачи.

1) Получить условия существования единственного решения различных классов задач (1),(2) на всем отрезке Т или на всей числовой оси (полуоси)

2) Разработать и обосновать эффективные (в том числе и бези-терационные) численные методы решения различных классов задач (1),(2) Исследовать влияние возмущений входных данных на сходимость предлагаемых численных алгоритмов

3) Данные исследования применить для конкретных практических задач, а именно для уравнений возникающих при моделировании нелинейных нестационарных электрических и гидравлических цепей

Методы исследования. В работе использованы результаты из теории обыкновенных дифференциальных уравнений и интегральных уравнений типа Вольтерра, теории устойчивости, матричного анализа, теории конечно-разностных схем, некоторые варианты теоремы о неподвижной точке (метод Пикара) и сведения

е

из теории нестационарных нелинейных электрических и гидравлических цепей

Научная новизна. Основные результаты диссертационной работы, полученные автором, являются новыми

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют как теоретический, так и практический характер Полученные достаточные условия нелокальной разрешимости и построенные численные методы решения позволяют провести детальное исследование ряда задач из энергетики и электрических систем, которые, как правило, не приводимы к уравнениям, разрешенным относительно старшей производной искомой вектор-функции

Апробация. Результаты, излагаемые в диссертации, докладывались на следующих конференциях

1) III Школа-семинар молодых ученых "Математическое моделирование и информационные технологии управление, искусственный интеллект, прикладное программное обеспечение и технологии программирования", Иркутск - Ангаеолка, 2003

2) IV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Красноярск, 2003

3) III Всероссийская конференция (с международным участием и молодежной секцией) "Математика, информатика, управление", Иркутск, 2004

4) Международная конференция "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" ВИТ-2004, Алматы - Новосибирск, 2004

5) V Школа-семинар молодых ученых "Математическое моде-

лирование и информационные технологии управление, искусственный интеллект, прикладное программное обеспечение и технологии программирования", Иркутск - Ангасолка, 2004

6) ХЫН Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс", Новосибирск, 2005.

7) XIII Байкальская международная школа-семинар "Методы оптимизации и их приложения", Северобайкальск, 2005

8) VII Школа-семинар молодых ученых "Математическое моделирование и информационные технологии управление, искусственный интеллект, прикладное программное обеспечение и технологии программирования", Иркутск, 2005.

Кроме того, диссертация докладывалась на лабораторных семинарах в Институте динамики систем и теории управления СО РАН, Институте систем энергетики им Л А Мелентьева СО РАН под руководством дф-мн АС Апарцина, на объединенном семинаре в Институте прикладной математики ДВО РАН (г Владивосток) под руководством профессора Л Т Ащепкова и на объединенном семинаре кафедры математического анализа и кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Иркутского государственного университета под руководством профессора Н А. Сидорова.

Работа поддержана грантами РФФИ проекты № 04-01-00857, № 06-01-81013-Бел_а и № 07-01-90000-Вьет_а

Сведения о личном вкладе автора. Постановка задач принадлежит научному руководителю 'Формулировка и доказательство основных результатов работы выполнены лично автором.

Публикации по работе. По материалам диссертации опубликовано 13 работ Основное содержание диссертации отражено в [1-8] В число указанных работ входят 2 статьи [1,3] из "Перечня

ведущих рецензируемых журналов и изданий ВАК РФ 2007г", 1 статья [2] из "Перечня ведущих рецензируемых журналов и изданий ВАК РФ 2001-2006г ", 1 статья в рецензируемом журнале [4], 4 полных текста докладов [5-8] в материалах международных и российских конференций Из совместных работ в диссертацию включены результаты, полученные автором самостоятельно и не затрагивающие интересы других соавторов

Тезисы докладов в числе основных публикаций в автореферате не указываются

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы Список использованной литературы содержит 98 наименований Объем диссертации составляет 113 страниц, включая 13 таблиц и 8 рисунков

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулирована цель научного исследования, приведен ряд задач, иллюстрирующих актуальность работы, представлен обзор текущей литературы по теме диссертации

В главе 1 излагаются известные вспомогательные результаты из теории постоянных и переменных матриц и их пучков, приведены необходимые для дальнейшего изложения сведения из функционального анализа и теории интегральных уравнений. Ниже дадим основные определения , которые используются в дальнейших рассуждениях

Определение 1. Говорят, что пучок матриц AA(t) + B(t) удовлетворяет критерию "ранг-степень если выполнены условия

1) rank Л(i) = г = const Vi е Т,

2) det[AA(i) + B(t)] = Xra0(t) + •■■, где a0{t) ^OVteT

Основной характеристикой сложности исследуемых в диссертации систем уравнений является понятие индекса В самом общем случае, под индексом понимают минимальное число дифференциальных и элементарных преобразований, которые нужно произвести, чтобы привести исходную вырожденную систему к системе, разрешенной относительно старшей производной искомой вектор-функции. В частности, если пучки матриц, составляющие систему, удовлетворяют условиям определения 1, то говорят, что система имеет индекс 1

Критерий "ранг-степень" можно обобщить на матричные полиномы, состоящие из трех и более матриц В этом случае принято говорить, что матричные полиномы имеют простую структуру, а сама система имеет индекс 2.

Определение 2. Говорят, что матричный полином XA(t) + pB(t) + C(t) имеет простую структуру, если выполнены условия

1) rank Л(i) = г - const Vt € T,

2) rank(A(i)|B(*)) = r + k = ccmst, Vi € T,

3) det[XA(t)+ij,B(t)+C(t)] = \rfikao(t)+-• -, где a0(t) ^ 0 Vi € T.

Во второй главе разработаны теоретические основы исследования математических моделей, основанных на ДАУ и вырожденных ИДС. Доказаны нелокальные теоремы существования и способы проверки существования периодических решений Получены следующие результаты Для ДАУ рассматривается задача вида

Теорема 1. Пусть для задачи (6), (7) выполнены у словил

A(t)x + В(х, t) = 0, t € Т = [0,1], ж(0) = х0

(6) (7)

1) A(t) e С\T), B(x,t) G C^U), U = (Rn x Г),

rank (Л(0)|5(ж0,0)) = г, где г = maxrank{,4(£), t € T},

3) многочлен det[AA(i) + Bx(x,t)], имеет вид ao(x,t)Xr + • • •, причем

|аоОМ)|> 7 V(x,t)€U,

4) ||Bx(x,t)\\<LV(x,t)eU,

5) \\Bt(xi,t) - Bt(x2,t)\\ < Li||xi -®2|| V(a;, t) G U, где

Bx(x, t) = i)/a®, Bt(x, t) = &В(ж,

7, L, Li - положительные константы

Тогда на Т определено единственное решение задачи (6), (7) из класса С 1(Т)

Здесь и далее используется равномерная норма

||®(t)|| = max\xt(t)\, ||A(f)|| = max £ |ay(i)|

Известные теоремы для дифференциальных уравнений, имеющих нелокальный характер обобщены на случай ДАУ. Доказаны обобщения теоремы Боля и теоремы Хопфа о бифуркации рождения цикла.

Для интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра рассматривается задача вида

A(t)x(t) + B(t)x = F(t, Vx), (8)

x(0) = x0 (9)

Получен следующий результат.

Теорема 2. Пусть для задачи (8), (9) выполнены условия.

1) A(t), B(t) е Ст(Т), K(t, s, z) е Cm(T x T x £/), F(t, y) e € Сm(T x U) U = R", m > 1,

il

2) rank .<4(0) = rank (A(0)|F(0,0) - B(0)x0),

3) пучокXA(t)+B(t) удовлетворяет критерию "ранг-степень",

4) функции F(t, у) и Kit, s, z) удовлетворяют условию Липшица

||F(t,yi) - F(t,y2)Il < Lib - y2|| Vyi,V2 e R",

IlK(t, s, Zl) - Kit, s, z2)Il < L2\\Zl - Zi\\ V*x, Z2 G Rn, где L\,L<z - константы, не зависящие от t, s ET

Тогда задача (8), (9) имеет на отрезке Т единственное решение x(t) из класса Ст{Т)

Также во второй главе рассматриваются системы вида

t

A(t)x(t) + B(t)x(t) + / K{t, s)x{s)ds = f(t), (10) о

причем матричный пучок ЛA(t) + Bit) не удовлетворяет критерию "ранг-степень" В таком случае представляется естественным рассмотреть матричный полином вида ЛA(t)+fj,B(t)+K(t, t) Доказана следующая теорема

Теорема 3. Пусть для системы (10) выполнены условия

1) Ait), Bit), fit) G CmiT), Kit, s) G cr\ A = {t, s\0<t< < s < 1}, m > 2,

2) матричный полином AA(i) + ¡¿Bit) + Kit, t) имеет простую структуру,

3) rank(A(0)|B(0)) = гапк(Л(0)|В(0)|/(0))

Тогда система (10) имеет индекс 2 и ее общее решение на отрезке Т описывается формулой

хЦ, с) = Х(р)с + ) Kit, s)fis)ds + N(t)f(t) + M (t) fit), 0

где X(t) - некоторая прямоугольная матрица размерности пх г,

ce Rr

В том случае, когда система (10) обладает слабой особенностью в ядре вида (t — s)~a, нелокальная теорема существования для задачи (10),(9) формулируется аналогично

Глава 3 содержит результаты, касающиеся численного решения изучаемых уравнений Все построенные численные методы сходятся только в рамках теорем существования, доказанных в главе 2

Применение явных разностных схем к задаче (6), (7) приводит в силу вырожденности матрицы Ait) к необходимости решения линейных систем алгебраических уравнений с вырожденной матрицей относительно значений сеточной функции Для решения этой проблемы применяется схема преобразования исходного дифференциально-алгебраического уравнения к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешенной относительно производной искомой вектор-функции путем действия на исходную задачу оператором En + S(t)ft, где S(t) = En-A(t)A~(t) Далее для решения полученной задачи используются явные разностные методы типа Рунге-Кутта, Используемый оператор введен в работах M В Булатова

Численное решение задачи (8), (9) связано с рядом трудностей, обусловленных в первую очередь вырожденностью матрицы A(t), поскольку применение явных многошаговых схем в данном случае не представляется возможным Использование неявных методов потребует решения систем нелинейных алгебраических уравнений на каждом шаге интегрирования, что еще больше затрудняет решение исходной задачи Все перечисленные трудности удалось обойти, применяя к системе (8) следующую явно-неявную схему для дискретизации части системы (8), не содержащей интегральный оператор, воспользуемся формулой диффе-

ренцирования назад, а для аппроксимации интегрального члена применим явную квадратурную формулу типа Адамса

1 к (г \

) , (11)

п3=0 \ 3=0 )

» = 0,1,

Теорема 4. Пусть

1) выполнены условия теоремы 2, причем т = к + 1,

2) в формуле (11) к <6

Тогда, начиная с некоторого достаточно малого к, справедлива оценка

\\х{и)-хг\\ =0(Ьк)

Для численного решения задач вида (10), (9) предложен следующий алгоритм

г+1

Аг+1(хг+1 - хг) + кВг+1хг+1 + к £ ^г+1,3К{11+1, г3)х3 = Л,/;, (12)

¿=1

» = 0,1,2,.

где = 1, а если задача (10), (9) имеет слабую особенность в ядре то

ц,^ = / (¿г+х-зГай§ = [(г - з + 2)1- - (г - 3 + I)1—]

ь-т 1 а

Сходимость здесь гарантируется следующей теоремой

Теорема 5. Пусть для задачи (10), (9) выполнены, условия теоремы 3 Тогда метод (12) сходится и имеет место оценка

- яч|| = о (К).

Для вырожденных интегро-дифференциальных систем индекса 1 и 2 показано, что шаг дискретизации является параметром регуляризации В частности, в соответствие задаче (8),(9) индекса 1 была поставлена возмущенная задача вида

Â(t)x(t) + B(t)x(t) = F(t, Vx), t € T (125

x(0) = x0, (13)

где

Po - ®o|| < So, \\Â - A\\ < Sh II В - B\\ < S2, \\F(t,y) - F(t,y) I < ¿a, IlK(t,a,x) - K(t,s,x)|| < ¿4, (14) Доказан следующий результат Теорема 6. Пусть

1) выполнены условия теоремы 4,

2) выполнены оценки (14)

Тогда, начиная с некоторого достаточно малого S, при h ж jVCfc+i) для метода

~ k ~ А £ а3Хг-} + ьвгхг + hFt = О, j=o

Л = Â{tt), Вг = ё(Ь), Д = -F h Ь, •

справедлива оценка

Аналогичная теорема доказана для задач вида (10),(9), где для погрешности численного метода (12), примененного к возмущенной задаче, получена оценка ||жг — x{t%)\\ = 0(S1^3)

15

Для реализации численных методов автором были написаны соответствующие программы в среде Delphi 7 Проведен ряд численных экспериментов, снабженных графическими иллюстрациями.

Численные эксперименты позволили сделать следующие выводы при возмущенных входных данных ошибка не является выпуклой функцией от шага дискретизации и имеет множество локальных максимумов и минимумов Это затрудняет использование методов одномерной оптимизации (метод Фибоначии, метод дихотомии) поиска оптимального шага дискретизации, поэтому был использован метод перебора

Результаты проведенных расчетов на многочисленных примерах показали следует, что асимптотические оценки сходимости как 0(<53//4) и 0(51^), заявленные в соответствующих теоремах, являются загубленными Однако данные оценки улучшить пока не удалось

Проведенные численные эксперименты для уравнений со слабой особенностью позволяют предположить что для них метод (12) также сходится к точному решению

Глава 4 носит прикладной характер В ней детально исследованы математические модели, включающие в себя ДАУ и вырожденные ИДС Используя общие принципы формирования моделей электрических и гидравлических цепей (в том числе законы Кирхгофа и замыкающие соотношения), исходные уравнения электрической (гидравлической) цепи можно представить в матричной форме с вырожденной матрицей перед старшей производной искомой вектор-функции

Стационарная модель гидравлической цепи может быть записана в виде трех групп уравнений

Ах — Q, Ву = 0, y + H = SXx, где х - вектор распределения расходов по ветвям цепи, у - вектор

перепадов давлений на ветвях, Q вектор притоков, H - вектор напоров, S - диагональная матрица сопротивлений участков цепи, X = diag{ja;i|, \х?\, . , |жта|}, матрицы Ли В получаются из первого и второго законов Кирхгофа

Нестационарная модель гидравлической цепи выглядит следующим. образом

Ах = Q, Ву = 0, у + Н = S0x + SXx + Gdx/dt,

где S о и G некоторые диагональные матрицы, задающие свойства среды

Аналогичным образом строятся модели нестационарных электрических цепей Они имеют вид

Аг = 0, Ви = 0, и + Е = Vi + Ri + Ldi/dt,

где % - вектор распределения токов по ветвям цепи, и - вектор перепадов напряжений на ветвях, - вектор источников напряжения, V - интегральный оператор Вольтерра (в общем случае нелинейный), R - диагональная матрица сопротивлений участков цепи, L - диагональная матрица индуктивности, матрицы А и В получаются из первого и второго законов Кирхгофа

Таким образом были исследованы модели

• линейной и нелинейной двухконтурной электрической цепи,

• электрического генератора,

• двухконтурной гидравлической цепи.

Для всех построенных моделей проведено качественное исследование с использованием результатов, полученных в главе 2 Теоремы существования позволили установить у исследуемых математических моделей наличие единственного решения на всем рассматриваемом временном промежутке. Для численного решения применены разработанные в главе 3 методы с использованием программ, созданных автором

В заключении кратко обсуждено возможное направление дальнейших исследований

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1 Получены условия разрешимости нелинейных вырожденных ИДУ и ДАУ на заданном конечном отрезке или на всей числовой оси

2 Разработаны и обоснованы численные методы решения, которые не требуют использования итерационных процессов Исследовано влияние возмущений входных данных на сходимость предлагаемых численных методов

3. Проведено детальное исследование систем уравнений, возникающих при моделировании нелинейных нестационарных электрических и гидравлических цепей

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1 ] Булатов М В Чистякова Е В Численное решение интегро-дифференциальных систем с вырожденной матрицей перед производной многошаговыми методами // Дифференциальные уравнения -2006 -Т42, №9 - С 1248-1255

[2 ] Чистякова Е В Чистяков В Ф К вопросу о существовании периодических решений у дифференциально-алгебраических систем // Сибирский журнал индустриальной математики -2006. - Т.9, № 3 - С. 148-158

[3 ] Чистякова Е В Решение дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1 методом редукции к нормальной форме // Вычислительные технологии, Том 9 и Вестник КазНУ им Аль-Фараби, № 3(42) совместный выпуск, Часть IV -Новосибирск-Алматы, 2004 - С 260-269

¡4 ¡Чистякова Е.В. Неитерационные методы решения нелинейных дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1 // Оптимизация, управление, интеллект. - 2004. № 2(8). С. 232-241,

[5 ] Bulatov M.V., Chistyakova E.V. Numerical Solution of Singular Systems of Integral Differential Equations // Proc. Intern. Ccmf, on Computational Math. - Novosibirsk, 2004. - Vol. 2. - P. 813817.

(6 | Чистякова Е.В. О продолжимости решений дифференциал ьно-ал геб рай ческих уравнений индекса 1 // Математика, информатика, управление: материалы III Вссрос. конф. (29 люня-1 июля 2004 г., Иркутск) [Электронный рссурс|. Иркутск, 2004. - Электрон, опт. диск (CD-ROM). - 5 с.

[7 J Чистякова Е.В. О вырожденных интегро-дифференциальных системах со слабой особенностью в ядре / / Обратные и некорректные задачи прикладной математики: труды XIII Байкальской Между на р. школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". (2-8 июля 2005 г., Северобайкальск) Иркутск, 2005. - Том 3. - С. 201-206.

[8 [ Чистякова Е.В. О вырожденных интегро-дифференциальных уравнениях индекса 2 // Математическое моделирование и информационные технологии: материалы VIII школы-семинара молодых ученых (6-12 июля 2006 г, п. Энхалук). Иркутск, 2006. - С. 172-174.

Редакционно-издательский отдел Института динамики систем и теории управления СО РАН 664033, Иркутск, ул. Лермонтова, д. 143

Подписано к печати 12.09.2007 Формат бумаги 60x84 1/16, объем 2 п.л. Заказ 14. Тираж 100 экз.

Отпечатано в ИДСТУ СО РАН

ВВЕДЕНИЕ

1 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

1.1 Постоянные матрицы и полуобратные к ним.

1.2 Пучки постоянных матриц.

1.3 Пучки переменных матриц.

1.4 Методы вычисления полуобратных матриц.

1.5 Необходимые сведения из теории интегральных и дифференциальных уравнений.

2 ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

2.1 Нелокальные теоремы существования для дифференциально-алгебраических уравнений.

2.2 Обобщения теоремы Хопфа о бифуркации рождения цикла и теоремы Боля.

2.3 Нелокальные теоремы существования вырожденных интегро-дифференциальных уравнений.

2.4 Разрешимость вырожденных интегро-дифференциальных систем индекса 1 в общем случае.

2.5 Теорема о разрешимости линейных интегро-дифференциальных уравнений, основанная на свойствах многопараметрических пучков матриц.

2.6 Теоремы разрешимости вырожденных интегро-дифференциальных уравнений со слабой особенностью в ядре.

3 НЕИТЕРАЦИОННЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

3.1 Методы Рунге-Кутта.

3.2 Многошаговые методы.

3.3 Методы решения уравнений индекса 2.

3.4 Регуляризирующие свойства разностных схем

3.5 Численные эксперименты.

4 ИССЛЕДОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

4.1 Общие принципы формирования моделей электрических и гидравлических цепей.

4.2 Двухконтурная электрическая цепь.

4.3 Модель электрического генератора.

4.4 Двухконтурная гидравлическая цепь.

1. Актуальность темы диссертации. Изучение многих процессов, происходящих в различных природных и технических системах, сводится к анализу их математических моделей. Часто такая модель является системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), разрешенной относительно старших производных искомой вектор-функции, описывающей изменение во времени (пространстве) тех или иных характеристик исследуемого процесса. Такие системы принято называть системами, приведенными к нормальной форме (форме Коши). При попытке учесть в модели балансовые соотношения, в частности, законы сохранения, системы ОДУ дополняются алгебраическими уравнениями и такие системы принято называть дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ). Если процесс обладает последействием, то математическая модель может включать в себя и интегральные уравнения. В этом случае мы получаем систему взаимосвязанных дифференциальных, алгебраических и интегральных уравнений типа Вольтерра, которые можно записать в виде системы интегро-дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей перед старшей производной искомой вектор-функции. Такие системы называют вырожденными интегро-дифференциальными системами или системами интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ) с тождественно вырожденной главной частью. Исследования подобных систем стимулированы прежде всего наличием прикладных задач, сводящихся к ним [4, 7, 29, 47, 55]. В частности, наряду с хорошо изученными стационарными гидравлическими цепями, в последнее десятилетие большое значение приобретает моделирование нестационарных гидравлических цепей.

Диссертационная работа посвящена исследованию и разработке численных методов решения для вырожденных ИДУ, возникающих в теории нестационарных нелинейных гидравлических и электрических цепей.

2. Объект исследования. Исследуемые в диссертации системы уравнений можно записать в векторной форме следующим образом

A{t, х, Vx, v)x(t) + B(t, x, Vx, и) = 0, t G [0,1] = T, (В. 1) с начальными данными ж(0) = хо, {В. 2) где A(t,x,y,u) - (nxn)-матрица, B(t,x,y, v),K(t, s,x) - n-мерные вектор-функции, t

Vx = j K{t,s,x(s))ds -о оператор Вольтерра, x = x(t) - искомая вектор-функция, и 6 Я — (—vq, щ) ~ числовой параметр, xq - заданный вектор из R". Предполагается, что detA{t,x,y,u) = 0V(t,x,y,v) еТх QxUxM, (5.3)

Q = {x : \\x - :ro|| < pi}, U = {y : |M| < p2}, PuP2 € R1.

Под решением системы (B.l) мы будем понимать любую вектор-функцию x(t) G С1 (Г), которая обращает исходное уравнение в тождество. Кроме того, допускается, что матрица A(t,x,y,v) может быть нулевой.

Степень сложности уравнений вида (В.1) определяется с помощью характеристики, называемой индексом. По аналогии с [18], при дальнейшем изложении будем пользоваться следующим определением индекса для уравнений (В.1).

Определение В.1 Пусть существует квазилинейный дифференциальный оператор где Wj(.) - непрерывные в области определения уравнения (В.1) (пхп)-матрицы, Z = (х, х, - • •, х(к\ Vx, V\X, • • •, Vk-\x),

VjX = J-W-> = 0 такой, что

Qk о [A(t, х, Vx, u)x(t) + B(t, x, Vx, и)] ~ Â{t, x, Vx, v)x(t) + B{t, x, Vx, u) Vx(t) G Ck{T), причем detÂ(t,x,Vx,v) в области определения уравнения (В.1). Минимальное число к, при котором возможно данное равенство, назовем индексом уравнения (В.1).

Наряду с общим уравнением (В.1), в работе рассматриваются следующие частные случаи:

A{t,)x{t) + B{t,x,Vx) = 0 (5.4) и

A{t, )x{t) + B{t)x{t) + F(t, x, Vx) = 0, (B.5) a также случай, когда ядро оператора Вольтерра содержит слабую особенность и интегральный оператор имеет вид t

Vx = j(t- s)~aK(t, s)x(s)ds, 0 < a < 1. о

Естественно, чем более узок класс рассматриваемых систем по сравнению с (В.1), тем более сильные утверждения о свойствах изучаемой задачи можно сформулировать и доказать.

3. Цель работы. В диссертации были поставлены следующие задачи:

1) Получить условия разрешимости нелинейных вырожденных ИДУ и ДАУ на заданном конечном отрезке или на всей числовой оси.

2) Разработать и обосновать численные методы решения, которые не требуют использования итерационных процессов. Исследовать влияние возмущений входных данных на сходимость предлагаемых численных методов.

3) Провести исследования и численно решить системы уравнений, возникающих при моделировании нелинейных нестационарных электрических и гидравлических цепей.

4. Обзор литературы. Специалисты из прикладных областей столкнулись с необходимостью исследования и решения дифференциально-алгебраических уравнений и вырожденных интегро-дифференциальных уравнений значительно ранее, чем математики. Ими был решен ряд задач с использованием эвристических и не всегда математически строгих методов. В частности, при решении прикладных задач, исследователи предполагали существование нелокальных решений, опираясь на адекватность модели [4, 7, 29, 55]. С этой точки зрения, с приходом в данную область математиков существенных изменений не произошло. Несмотря на большое количество работ, посвященных дифференциально-алгебраическим и вырожденным интегро-дифференциальным уравнениям и опубликованных за последние 35 лет, начиная с первых работ [И, 13,86, 91, 93] и заканчивая такими обширными монографиями, как [94], ряд вопросов исследован недостаточно. Это вопросы нелокального существования решений нелинейных систем вида (В.1). Так, в настоящее время доказан ряд теорем существования решений для некоторых задач вида (В.1), (В.2). В частности, хорошо изучены ДАУ вида В(Ь,х) = 0. (Б.6)

Для них в [63], [81] были сформулированы и доказаны достаточные условия существования решений, имеющие, однако, только локальный характер в случае нелинейной вектор-функции х).

Следует отметить, что большое влияние на развитие теории вырожденных систем оказало замечание Ф.Р. Гантмахера [31, с. 348] о приложении теории матричных пучков к исследованию ДАУ с постоянными коэффициентами. На этой основе большой вклад в теорию ДАУ и численные методы их решения внес Ю.Е. Вояринцев. В монографиях [10,11,12] и серии работ основное внимание уделено взаимосвязи кронекеровой структуры пучков матриц коэффициентов, структуры общего решения ДАУ (В.6) и свойств численных методов. При проведении этих исследований широко использовался аппарат обобщенных обратных матриц: полуобратных и Дразина. В работе [13] впервые было исследовано влияние пучка матриц коэффициентов ХА + В на поведение численных методов и обнаружено интересное явление, возникающее при применении разностных методов для решения

ДАУ, названное позже пограничным слоем ошибок. Суть этого явления состоит в том, что в первых точках сетки отклонение разностного приближения от решения ДАУ стремится к бесконечности с порядком 0(1/ДА;~1) при стремлении шага сетки Л к нулю. Здесь к - индекс пучка матриц \А + В. Дальнейшие исследования ДАУ связано с понятиями критерия "ранг-степень" (см., например, [63]) и понятием центральной канонической формы ДАУ [84]. При этом все получаемые условия разрешимости носят строго локальный характер.

Глубокие результаты получены в аналитической теории дифференциально-операторных уравнений с необратимым оператором в главной части с приложениями к уравнениям в частных производных [46, 95]. Для таких уравнений доказаны теоремы существования, разработаны асимптотические методы, построена теория обобщенных решений, изучены вопросы конвергентности и бифуркаций Андронова-Хопфа, в том числе в условиях групповой симметрии. Также изучены проблемы корректности, ветвления решения и регуляризации.

В работах Г. А. Свиридюка и его школы изучаются квазилинейные автономные системы вида

Ах + Вх = ф(х), где А и В - некоторые операторы, действующие в банаховых или топологических пространствах в предположении, что ядро оператора А нетривиально. При определенных предположениях относительно спектра пучка операторов ХА + В вводится понятие квазистационарного решения, т.е. решения, удовлетворяющего условию - Я)Вх + ф{х) = О, где / - единичный оператор, а, - оператор проектирования на пространство, в котором лежит нильпотентная часть оператора А. Доказаны локальные теоремы разрешимости.

Следует отметить, что нелокальная разрешимость ДАУ достаточно хорошо исследована для линейных автономных систем [79, 80, 98]. Разрешимость нелинейных автономных ДАУ в работе [43] основана на разбиении основного пространства на прямую сумму трех подпространств, что позволило получить необходимые и достаточные условия существования ненулевого решения системы, лежащего в окрестности нулевого решения (решение определяется в виде тригонометрического ряда).

Вырожденные ИДУ, включая так называемые уравнения Вольтерра IV рода [18] (также известные в литературе как алгебро-интегральные системы [87, 90]), имеющие вид t

A(t)x(t) +1 K(t, s)x(s)ds = f(t), t e T, det A{t) = 0 V* G Г, {B.7) о пока не привлекли столь пристального внимания, как ДАУ, но их изучение ведется рядом ученых. В частности, сотрудниками Н.А. Сидорова и им самим выполнен большой цикл работ по исследованию ИДУ с вырожденным оператором при старшей производной искомой вектор-функции в конечномерном и бесконечномерном случаях с упором на последний (см., например, работы [8, 50, 51, 56, 57, 76, 48] и приводимую там библиографию). В данном цикле работ основным приемом исследования линейных систем вида (В.1) является преобразование Шмидта, с помощью которого исходная задача сводится к интегральному уравнению Вольтерра 1-го рода. Затем на преобразованную задачу налагается ряд условий, в рамках которых доказываются теоремы существования и единственности. В частности, предполагается, что j-ая производная ядра оператора Вольтерра по первому аргументу не вырожденна.

Уравнениям Вольтерра IV рода (В.7) посвящен цикл статей Булатова М.В. ([17, 18, 19, 20]). В данных работах получены критерии разрешимости уравнений с ядром типа свертки, введено понятие индекса, обоснована а-регуляризация. В работе [65] изучено уравнение Вольтерра IV рода вида (В.7). Доказана теорема о существовании и единственности решения, обоснован численный метод с аппроксимацией интеграла по формуле правых прямоугольников. В работе [22] проведены аналогичные исследования системы (В.7) для случая, когда A(t) = 0. В статье [16] впервые была доказана теорема о нелокальном существовании решения ИДУ с нелинейным ядром и вырожденной матрицей перед старшей производной искомой вектор-функции вида t

A{t)x{t) + B{t)x{t) + JK{t, s, x(s))ds = f(t), t <= T, det A{t) = 0. {B.8) о

Там же предложен и обоснован численный метод решения системы (В.8), основанный на неявном методе Эйлера и формуле левых прямоугольников.

Уравнения Вольтерра IV рода со слабой особенностью в ядре в литературе практически не рассматривались. Известна только одна работа bulbrun, в которой рассматривается система интегральных уравнений IV рода. Для численного решения данной задачи авторами используется метод интегрирования произведений [97]. Вырожденные ИДУ со слабой особенностью в ядре в диссертации рассматриваются впервые. Для их исследования используется математический аппарат, подробно представленный в капитальной монографии [44].

Численные методы решения для различных частных случаев задач вида (1),(2) рассматриваются в большом числе работ. В частности, литература по численному решению ДАУ уже трудно обозрима (см., например, [81] и приводимую там библиографию). Одними из основных применяемых подходов к численному решению являются аналоги известных конечно-разностных схем, методов Рунге-Кутта и Розенброка. Помимо этого, имеются отличные от упомянутых направления, такие, как методы, разрабатываемые В.К. Горбуновым и его учениками, основанные на использовании нормальных сплайнов [33, 34, 88]. Оригинальный подход используется в работах A.A. Абрамова и его сотрудников, основанный на методе редукции [1].

В работах [15, 63] показано, что исследуемые задачи относятся к классу некорректных задач, в частности, сколько угодно малые возмущения входных данных могут приводить к сколь угодно большим возмущениям решения или к его отсутствию. Эту особенность ДАУ и вырожденных ИДУ следует учитывать при построении численных методов. Для подавления влияния возмущений входных данных разработаны различные методы регуляризации, связанные с именами А.Н. Тихонова, В.К. Иванова, М.М. Лаврентьева, В.А. Морозова. По этому поводу существует обширная литература (см., например, [40, 53, 54, 92] и приводимые там библиографии).

Большой класс методов регуляризации основан на параметризации исходной задачи, что делает ее корректной. Для исследуемого в диссертации класса задач таким параметром является шаг дискретизации. Это свойство для исследования ряда задач и построения численных методов эффективно используется в [2, б]. Данное свойство также называют свойством саморегуляризации [2]. Регуляризирующие свойства разностных схем для нелинейных вырожденных ИДУ в диссертации рассмотрены впервые.

5. Методы исследования. В работе использованы результаты из теории обыкновенных дифференциальных уравнений и интегральных уравнений типа Вольтерра, теории устойчивости, матричного анализа, теории конечно-разностных схем и некоторые варианты теоремы о неподвижной точке (метод Пикара), а также сведения из теории нестационарных нелинейных электрических и гидравлических цепей.

6. Апробация. Результаты, излагаемые в диссертации, докладывались на следующих конференциях:

• III Школа-семинар молодых ученых "Математическое моделирование и информационные технологии: управление, искусственный интеллект, прикладное программное обеспечение и технологии программирования", г. Иркутск - д. Ангасолка, 2003 г.

• IV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Красноярск, 2003.

• III Всероссийская конференция (с международным участием и молодежной секцией) "Математика, информатика, управление", г. Иркутск, 2004 г.

• Международная конференция "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании": ВИТ-2004. Алматы - Новосибирск, 2004.

• V Школа-семинар молодых ученых "Математическое моделирование и информационные технологии: управление, искусственный интеллект, прикладное программное обеспечение и технологии программировал ния", г. Иркутск - дАнгасолка, 2004 г.

• XLIII Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс", г. Новосибирск, 2005.

• XIII Байкальская международная школа-семинар "Методы оптимизации и их приложения", г. Северобайкальск, 2005 г.

• VII Школа-семинар молодых ученых "Математическое моделирование и информационные технологии: управление, искусственный интеллект, прикладное программное обеспечение и технологии программирования", г. Иркутск - с.п. Зеленый мыс, 2005 г.

Кроме того, диссертация докладывалась на лабораторных семинарах в ИДСТУ СО РАН, на объединенном семинаре в Институте прикладной математики ДВО РАН (г. Владивосток) под руководством д.ф.-м.н. JI.T. Ащепкова и на объединенном семинаре кафедры математического анализа и кафедры дифференциальных и интегральных уравнений Иркутского государственного университета под руководством профессора H.A. Сидорова.

Работа поддержана грантами РФФИ, проекты № 04-01-00857, № 06-01-81013-Бела и 07-01-90000-Вьета.

7. Основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

1) Доказаны нелокальные утверждения о разрешимости нелинейных ДАУ на заданном конечном отрезке.

2) Получены достаточные условия разрешимости ДАУ на всех числовой оси, сформулированные в виде аналогов теорем Боля и Хопфа.

3) Получены условия нелокальной разрешимости для вырожденных ИДС индекса 1 и 2, а также для вырожденных ИДС со слабой особенностью в ядре.

4) Доказана сходимость явных методов типа Рунге-Кутта для ДАУ индекса 1, преобразованных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производной искомой вектор-функции. Получена оценка погрешности.

5) Доказана сходимость полуявных разностных методов, основанных на формуле дифференцирования назад и квадратурной формуле Адамса, для вырожденных ИДС и получена оценка погрешности.

6) Проведено исследование влияния возмущений входных данных на сходимость численных процессов и решен ряд прикладных задач связанных с моделированием нестационарных процессов в электрических и гидравлических цепях.

Структура и объем работы. Диссертация включает в себя следующие разделы: введение, 4 главы, заключение, список литературы. Во введении обоснована актуальность направления исследований, обрисован класс задач, которые приводят к необходимости решать системы, содержащие дифференциальные, алгебраические и интегральные уравнения, а также дан обзор текущей литературы по теме диссертации. В главе 1 излагаются вспомогательные результаты об обобщенных обратных матрицах и пучках матриц, включая утверждения о свойствах переменных матриц и их пучков, а также некоторые полезные в дальнейшем сведения из функционального анализа. Глава 2 посвящена нелокальным теоремам существования для дифференциально-алгебраических и интегро-дифференциальных уравнений индекса 1 и 2. В главе 3 рассматриваются возможности численного решения изучаемых уравнений и систем, описываются препятствия, возникающие при применении для их решения методов Рунге-Кутта и Адамса с демонстрацией на примерах. Указываются способы построения эффективных численных методов. Построенные численные методы анализируются на устойчивость с к влиянию возмущений входных данных. В главе 4 содержится исследование и численное решение систем взаимосвязанных алгебраических, дифференциальных и интегральных уравнений, возникающих при математическом моделировании электрических и гидравлических цепей. В заключении кратко обсуждено возможное направление дальнейших исследований. Список использованной литературы включает в себя 98 ссылок и составлен в алфавитном порядке. Диссертация написана по материалам работ [23,24,60-69]. Необходимые заимствования из других источников отмечены ссылками и приводятся без доказательства.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены законченные результаты о нелокальной разрешимости и непрерывной зависимости от параметров для ДАУ и вырожденных ИДУ индекса 1, а также для некоторых случаев вырожденных ИДУ индекса 2. Следует отметить, что в ряде приложений, в частности, в некоторых областях энергетики, появляются задачи, имеющие гораздо более высокий индекс, а следовательно, и более высокую степень сложности. Как правило, для решения таких задач используют построение и исследование продолженных систем, однако на практике данный метод применим далеко не всегда в силу своей общности. Кроме того, применение данного метода дает только локальные условия существования решения.

С точки зрения автора, наиболее перспективным в данном направлении является метод, основанный на анализе многопараметрических матричных пучков. Данный метод доказал свою эффективность при исследовании задач индекса 2, поскольку дает возможность получить достаточно конструктивные и легко проверяемые условия, обеспечивающие существование и единственность исследуемой задачи, а также сходимость применяемых численных методов.

Таким образом, это направление исследований имеет хорошие перспективы развития.

1. Абрамов A.A. О нелинейной самосопряженной спектральной задаче для одного класса дифференциально-алгебраических уравнений / A.A. Абрамов, К. Балла, В.И. Ульянова, Л.Ф. Юхно // ЖВМиМФ. - 2003. - Т. 43, № 3. - С. 399-410.

2. Апарцин A.C. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы / A.C. Апарцин. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1999. - 192 с.

3. Ахиезер Н.И. Лекции по вариационному исчислению / Ахиезер Н.И. -М.: гос. изд-во технико-теоретической лит-ры, 1956. 248 с.

4. Ащепков Л.Т. К проблеме повышения живучести управляемых систем. Модели и методы исследования операций / Под ред. Б.А. Бельтюкова, В.П. Булатова. Новосибирск: Наука, 1988. - С. 69-85.

5. Бабушка И. Численные процессы решения дифференциальных уравнений / И. Бабушка, Э. Витасек, М. Прагер. М.: Мир, 1969. - 368 с.

6. Бакушинский А.Б. Итеративные методы решения некорректных задач / А. Б. Бакушинский, А. В. Гончарский. М.: Наука, 1989. - 128 с.

7. Балышев O.A. Анализ переходных и стационарных процессов в трубопроводных системах (теоретические и экспериментальные аспекты) / O.A. Балышев, Э.А. Таиров. // Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1998. - 164 с.

8. Белов И.И. Задача Коши для линейных нагруженных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра с вырожденной матрицей при производной / И.И. Белов // Краевые задачи: Сб. науч. тр.- Иркутск: Иркутский гос. университет, 1997. С. 99-102.

9. Березин И.С. Методы вычислений: в 2 т. /И.С. Березин, Н.П. Жидков.- М.: Наука, 1966. Т. 2. - 464 с.

10. Бояринцев Ю.Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Е. Бояринцев. Новосибирск: Наука, 1988. - 158 с.

11. Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Е. Бояринцев. Новосибирск: Наука, 1980. - 222 с.

12. Бояринцев Ю.Е. Методы решения непрерывных и дискретных задач для сингулярных систем уравнений / Ю.Е. Бояринцев. Новосибирск: Сибирская издательская фирма РАН "Наука", 1996. - 261 с.

13. Бояринцев Ю.Е. Применение разностных методов к решению регулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Е. Бояринцев, В.М. Корсуков // Вопросы прикладной математики. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1975. - С. 140-152.

14. Бояринцев Ю.Е. Алгебро-дифференциальные системы: методы решения и исследования / Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков. Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1998. - 224 с.

15. Булатов М.В. Методы решения дифференциально-алгебраических и вырожденных интегральных систем. Дисс.докт. физ-мат. наук. Иркутск, 2002. - 244 с.

16. Булатов М.В. Об интегро-дифференциальных системах с вырожденной матрицей перед производной / М.В. Булатов // Дифференциальные уравнения. 2002. - Т.38, № 5. - С. 692-697.

17. Булатов М.В. Преобразования вырожденных систем интегральных уравнений типа Вольтерра / М.В. Булатов // Вычислительные технологии. 2000. - Т.5, № 4. - С. 22-30.

18. Булатов M.B. О нелинейных системах интегральных уравнений четвертого рода / М.В. Булатов // труды XI Байкальской международной школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". (5-12 июля 1998 г., Байкал) Иркутск, 1998. - Том 4. - С. 68-71.

19. Булатов М.В. Регуляризация вырожденных систем интегральных уравнений Вольтерра / М.В. Булатов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2000. - Т. 42, № 3. - С. 330-335.

20. Булатов М.В. Редукция вырожденных систем интегральных уравнений типа Вольтерра к невырожденным / М.В. Булатов // Изв. вузов. Математика. 1998. - № 11 (438). - С. 14-21.

21. Булатов М.В. О преобразовании алгебро дифференциальных систем уравнений / М.В. Булатов //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1994.- Т.34, № 3. С.360-372.

22. Булатов М.В. Численное решение систем интегральных уравнений Вольтера 1-го рода / М.В. Булатов //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. - Т. 38, № 4. - С. 607-610.

23. Булатов М.В. Об одном семействе матричных троек / М.В. Булатов // Ляпуновские чтения и презен-тация информационных технологий: материалы конф. Иркутск, 2002. - С.10.

24. Булатов М.В. Применение коллокационных методов для решения сингулярных линейных систем ОДУ / М.В. Булатов, В.Ф. Чистяков // Модели и методы исследования операций. Новосибирск: Наука, 1988.- С. 164-170.

25. Булатов М.В. Численное решение интегро-дифференциальных систем с вырожденной матрицей перед производной многошаговыми методами / М.В. Булатов, Е.В. Чистякова // Дифференциальные уравнения. 2006. - Т.42, № 9. - С. 1248-1255.

26. Васильева A.B. Интегральные уравнения / А.Б. Васильева, H.A. Тихонов. М.: Изд-во московского ун-та, 1989.

27. Влах И. Машинные методы анализа и проектирования электронных сехм / И. Влах, К. Сингхал. М.: Радио и связь, 1988. - 560 с.

28. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры / В.В. Воеводин. М.: Наука, 1978. - 303 с.

29. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. М.: Наука, 1967. -576 с.

30. Гахов Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. М.: Наука, 1977. - 640 с.

31. Горбунов В.К. Метод нормальной сплайн-коллокации / В.К. Горбунов // ЖВМиМФ. 1989. - Т.29, № 2. - С.212-224.

32. Горбунов В.К. Метод нормальных сплайнов в вырожденных системах дифференциальных уравнений / В.К. Горбунов, В.В. Петрищев // Ученые записки УлГУ. Сер. "Фундаментальные проблемы математики и механики". Ульяновск, 1997. -Вып. 3. - С.125-132.

33. Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн. М.: Наука, 1970. - 536 с.

34. Демидович Б.П. Лекции по теории математической устойчивости / Б.П. Демидович. М.: Наука, 1967. - 472 с.

35. Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидо-вич, И.А. Марон. М.: Физматгиз, 1961. - 659 с.

36. Краснов M.JL Интегральные уравнения / M.JI. Краснов. М.: Наука, 1975. - 304 с.

37. Куликов Г.Ю. Численное решение задачи Коши для системы д ифференциально-алгебраических уравнений с помощью неявных методов Рунге-Кутта с нетривиальным предиктором / Г.Ю. Куликов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. - Т.38, № 1. - С. 68-84.

38. Лаврентьев М.М. Теория операторов и некорректные задачи / М.М. Лаврентьев, Л.Я. Савельев. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. - 702 с.

39. Меренков А.П. Теория гидравлических цепей / А.П. Меренков, В.Я. Хасилев. М.: Наука, 1985. - 277 с.

40. Мишина А.П. Высшая алгебра (линейная алгебра, многочлены, общая алгебра) / А.П. Мишина, И.В. Проскуряков. М.: Физматгиз, 1962. -300 с.

41. Моисеев Д.С. Необходимые и достаточные условия существования периодических решений нелинейных систем дифференциальных уравнений с особенной матрицей при производной / Д.С. Моисеев. Деп. в ВИНИТИ 22.02.2005, № 258-В2005.

42. Самко С.Г. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения / С.Г. Самко, A.A. Килбас, О.И. Маричев. Минск: Наука и техника, 1987. - 688 с.

43. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свири-дюк // Успехи мат. наук. 1994. - Т. 49, № 4. - С.47-74.

44. Свиридюк Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева / Г.А. Свиридюк // Изв. РАН. Сер. Математика. 1993. - Т 57, № 3. - С. 192-202.

45. Серов Е.П.Динамика парогенераторов / Е.П. Серов, Б.П. Корольков. М.: Энергоиздат, 1981. - 408 с.

46. Сидоров H.A. А-присоединенные множества линейных операторов и их приложения к дифференциальным уравнениям / H.A. Сидоров // Методы оптимизации и исследование операций: Краевые задачи. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1984. - С. 169-184.

47. Сидоров H.A. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений / H.A. Сидоров, O.A. Романова // Дифференциальные уравнения. 1983. - Т. 19, № 9. - С. 1516-1526.

48. Сидоров H.A. Об одном классе вырожденных дифференциальных уравнений с конвергенцией / H.A. Сидоров // Математические заметки. 1984. - Т.35, Вып. 4. - С. 569-579.

49. Сидоров H.A. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной / H.A. Сидоров, М.В. Фалалеев // Дифференциальные уравнения. 1987. - Т.23, № 4. - С.

50. Тен М.Я. Приближенное решение линейных интегральных уравнений Вольтерра I рода: дис.канд.физ.-мат.наук. Иркутск:СО РАН СССР, 1985.

51. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. М.: Наука, 1986. - 288 с.

52. Тихонов А.Н. Нелинейные некорректные задачи / А.Н. Тихонов, A.C. Леонов, А.Г. Ягола. М.: Наука. Физматлит, 1995. - 312 с.

53. Ушаков Е.И. Статическая устойчивость электрических систем / Е.И. Ушаков. Новосибирск: Наука, 1988. - 273 с.

54. Фалалеев М.В. Обобщенные решения вырожденных интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев // В кн.: Методы оптимизации. Новосибирск: Наука, 1992. - С. 185-184.

55. Фалалеев М.В. Обобщенные функции и действия над ними. Учебное пособие / М.В. Фалалеев. Иркутск: Иркутский гос. университет, 1996. -81 с.

56. Федоров В.Е. Голоморфные разрешающие полугруппы уравнений соболевского типа в локально выпуклых пространствах / В.Е. Федоров // Мат. сб. 2004. - Т.195, № 8. - С. 131-160.

57. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: в 3 т. / Г.М. Фихтенгольц. СПб.: Издательство "Лань", 1997.- Т.2. 800 с.

58. Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи / Э. Хайрер, С. Нёрсетт, Г. Ваннер. М.: Мир, 1990.- 512 с.

59. Хорн Р. Матричный анализ / Р. Хорн, Ч. Джонсон. М.:- Мир, 1989.- 565 с.

60. Хэссард Б. Теория и приложения бифуркации рождения цикла / Б. Хэссард, Н. Казаринов, И. Вэн; пер. с англ. М.: Мир, 1985. - 280 с.

61. Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром / В.Ф. Чистяков. Новосибирск: Наука. Сиб. изд. фирма РАН, 1996. - 278 с.

62. Чистяков В.Ф. О методах численного решения и исследования сингулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений: Авто-реф. дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.01.07 / В.Ф. Чистяков. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1985. - 25 с.

63. Чистяков В.Ф. О сингулярных системах обыкновенных дифференциальных уравнений и их интегральных аналогах / В.Ф. Чистяков // Функции Ляпунова и их применение. Новосибирск: Наука, 1987. - С. 231-239.

64. Чистякова Е.В. Неитерационные методы решения нелинейных дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1 / Е.В. Чистякова // Оптимизация, управление, интеллект. 2004. - № 2(8). - С. 232-241.

65. Чистякова Е.В. Нелокальная теорема существования решений алгебро-дифференциальных систем /Е.В. Чистякова // Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий: материалы конф. (24-26 декабря 2003 г., Иркутск).- Иркутск, 2003. С. 90.

66. Чистякова Е.В. О решении некоторых классов вырожденных интегро-дифференциальных систем / Е.В. Чистякова // Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий: материалы конф. (24-26 декабря 2003 г., Иркутск). Иркутск, 2003. - С. 89.

67. Чистякова Е.В. О свойствах некоторых классов вырожденных интегро-дифференциальных систем / Е.В. Чистякова // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: тезисы докладов Всерос. конф. (2-6 февраля 2004 г., Екатеринбург). Екатеринбург, 2004. - С. 23.

68. Чистякова Е.В. К вопросу о существовании периодических решений у дифференциально-алгебраических систем / Е.В. Чистякова, В.Ф. Чистяков // Сибирский журнал индустриальной математики. 2006. -Т.9, № 3. - С. 148-158.

69. Чистякова Е.В. О вырожденных интегро-дифференциальных уравнениях индекса 2 / Е.В. Чистякова // Математическое моделирование и информационные технологии: материалы VIII школы-семинара молодых ученых. Иркутск, 2006. - С. 172-174.

70. Шароглазов B.C. О некоторых свойствах решений вырожденных дифференциальных уравнений / B.C. Шароглазов // Аналитические и конструктивные методы исследования дифференциальных уравнений: Сб. научн. тр. Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 1993. - С. 89-96.

71. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных: в 2 т. / Г.Е. Шилов. М.: Наука, 1972. - 622 с.

72. Шлапак Ю.Д. О приводимости линейной системы дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производных / Ю.Д. Шлапак // Мат. физика. 1997. - Вып. 21. - С. 60-64.

73. Щеглова А. А. Устойчивость линейных алгебро-дифференциальных систем /А.А. Щеглова, В.Ф. Чистяков // Дифференциальные уравнения. 2003. - Т. 39, № 8. - С. 1-11.

74. Brenan К.Е. Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential-Algebraic Equations / K.E. Brenan, S.L. Campbell, L.R. Petzold. SIAM. Philadelphia, 1996.

75. Brunner H. On singular systems of integral equations with weakly singular kernels / H. Brunner, M. Bulatov // Proceedings of 11th Baikal International School-Seminar. July 5-12. Irkutsk, 1998. - Vol. 4. - pp. 64-67.

76. Bulatov M.V. Numerical Solution of Singular Systems of Integral Differential Equations / M.V. Bulatov, E.V. Chistyakova // Proc. Intern. Conf. on Computational Math. Novosibirsk, 2004. - Vol. 2. - P. 813-817.

77. Campbell S.L. Canonical forms and solvable systems of differential equations / S.L. Campbell, L.R. Petzold // SIAM J.Alg. and Descrete Methods. 1983. - N 4. - Pp. 517-521.

78. Dolezal V. Dynamics of linear systems / V. Dolezal. Prague: Academia, 1967.

79. Gear C.W. The simultaneous numerical solution of differential algebraic equations / C.W. Gear // IEEE Trans. Curcuit Theory, CT-18. 1971. -Pp. 89-95.

80. Gear C.W. Differential algebraic equations, indices, and integral algebraic equations / C.W. Gear // SIAM J. Numer. Anal. 1990. - N 27. - Pp. 1527-1534.

81. Gorbunov V.K. Development of the normal spilne method for linear intego-differential equations / V.K. Gorbunov, V.V. Perischev, V.Y. Sviridov // Proc. ICCS-2003. Part II. Springer, 2003.

82. Hairer E. The numerical solution of differential-algebraic system by Runge-Kutta methods / E. Hairer, C. Lubich, M. Roche // Rep. CH-1211. Dept. de Mathemat., Universite de Geneve, Switzerland, 1988.

83. Morozov V.A. Methods of solution of ill-posed problems: algorithmic aspect / V.A. Morozov, A.I. Grebennikov. M.: Moscow University Press, 2005.- 326 pp.

84. Rheinboldt W.C. Differential-algebriac systems as differential equations on manifolds / W.C. Rheinboldt // Math. Comp. 1984. - Vol. 43, N 168. -Pp. 473-482.

85. Raiber P.T. Theoretical and numerical analysis of differential algebaric equations. Handbook of Numerical Analysis: Vol. VIII / P.T. Raiber, W.C. Rheinboldt. Amsterdam, 2002.

86. Sidorov N. Lyapunov-Schmidt methods in nonlinear analysis and applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn, M. Falaleev. Kluwer Academic Publishers, 2002.

87. Silverman L.M., Bucy R.S. Generalizations of theorem of Dolezal / L.M. Silverman, R.S. Bucy // Math.System Theory. 1970. - N 4 - p.67-77.

88. Weiss R. A Product Integration Method for a Class of Singular First Kind Volterra Equations / R. Weiss, R.S. Anderssen // Numer. Math. 1972.- Vol. 18, N 2. pp. 442-456.

89. Yasir K.H. Association of SIB points with non-degenerate equilibria of the extended DAE system / K.H. Yasir, Du Dongyun, Tang Yun // Tsinghua Sci. and Technol. 2003. - Vol. 8, N5. - pp. 568-572.