автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы решения дифференциально-алгебраических и вырожденных интегральных систем

На правах рукописи

БУЛАТОВ МИХАИЛ ВАЛЕРЬЯНОВИЧ

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ВЫРОЖДЕННЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ СИСТЕМ

Специальность: 05.13.18-математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

/

ИРКУТСК 2002

Работа выполнена в Институте динамики систем и теории управления СО РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Горбунов В.К. доктор физико-математических наук, профессор Морозов В.А. доктор физико-математических наук, профессор Сидоров H.A.

Ведущая организация: Вычислительный центр РАН им. A.A. Дородницына.

Защита состоится " 21 " июня 2002 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.074.01 по защитам диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Иркутском государственном университете (664003, бульвар Гагарина 20, 1 корпус

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Иркутского госуниверситета (бульвар Гагарина 24).

ИГУ).

Автореферат разослан " / у-" мая 2002 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

ельтюков Н.Б.

Актуальность темы. Многие постановки задач из различных областей электротехники, физики, теплоэнергетики и других естественных наук описываются уравнениями с вырожденным оператором при старшей производной. Такие задачи исследовали Сидоров H.A., Свиридюк Г.А., Мельникова И.В. и их ученики, Favini А., Vagi А. и др. |

Важным классом данных уравнений являются системы взаимосвязанных обыкновенных дифференциальных уравнений, интегральных .уравнений Вольтерра и конечномерных уравнений. Обычно они записываются в виде интегро-дифференциальной системы (ИДС), не разрешенной относительно старшей производной (с вырожденной матрицей перед старшей производной). Из этих задач естественным образом можно выделить дифференциально-алгебраические системы (ДАС) и взаимосвязанные системы интегральных уравнений Вольтерра (СИУ) 1-го и 2-го рода.

Первыми работами, положившими начало систематическому изучению ДАС, были статьи Gear C.W. (США) и Бояринцева Ю.Е., Корсу-кова В.М. (СССР), опубликованные в 70-х годах. У истоков развития теории ДАС стояли Бояринцев Ю.Е., Чистяков В.Ф., Шлапак Ю.Д., Gear C.W., Campbell S., Petzold L., Maerz R. Значительное влияние на дальнейшее развитие численных методов решения таких задач оказали работы Горбунова В.К., Ascher U., Hairer Е., Wanner G., Rhenboldt W. и др. К настоящему времени теория численных методов решения ДАС находится в стадии бурного развития и количество публикаций постоянно растет.

Прямое перенесение многих результатов из теории численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) на ДАС зачастую невозможно. Таким образом, возникает проблема поиска других эффективных подходов к численному решению ДАС, в частности, путем редукции к более "легким" задачам или путем построения приближенных методов, которые учитывают структуру конкретного класса задач.

Количество работ по изучению и численному решению СИУ с выро-

жденной матрицей перед искомой вектор-функцией значительно уступает библиографии по ДАС. Исключение составляет, пожалуй, только частный случай, а именно, одномерное линейное интегральное уравнение Вольтерра 1-го рода, у которого ядро или его первая производная на диагонали не обращается в ноль. Большой вклад в развитие численных методов решения таких уравнений внесли Апарцин A.C., Баку-шинский А.Б., Бухгейм A.JL, Денисов A.M., Магницкий H.A., Морозов В.А., Тен Мен Ян, Brunncr Н., Hoog Frank de, Weiss R., Linz Р. и др.

Что касается численного решения СИУ более общего вида и систем интегральных уравнений 1-го рода, у которых матрица-ядро на диагонали не нулевая, но сингулярная, а также ИДС с вырожденной матрицей перед старшей производной, то применение ряда известных вычислительных методов либо принципиально невозможно, либо ведет к неустойчивым вычислительным процедурам.

Таким образом, построение вычислительных алгоритмов решения вырожденных ИДС, СИУ и ДАС является весьма непростой задачей. Этим и объясняется актуальность данной проблемы.

Так как рассматриваемые задачи относятся к классу некорректных, то разработка методов их приближенного решения должна вписываться в рамки теории некорректных задач. Основоположниками данной теории являются Тихонов А.Н., Лаврентьев М.М., Иванов В.К., Васин В.В., Бакушннский А.Б., Морозов В.А., Ягола А.Г., Ванникко Г.М., Танана В.П., Леонов A.C., Гончарский A.B., Лисковец O.A. и др.

Целью работы является:

-выделение классов вырожденных ИДС с заданными начальными условиями, имеющих единственное достаточно гладкое решение;

-построение левой регуляризации для таких задач;

-разработка эффективных численных методов решения ДАС, СИУ и вырожденных ИДС;

-применение данных методов для численного решения конкретных прикладных задач.

Методы исследования. В диссертационной работе использованы результаты теории матриц, вычислительной математики, теории дифференциальных и интегральных уравнений и некорректных задач.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации автором, являются новыми и состоят в следующем.

Для линейных ДАС разработаны методы редукции к системам ОДУ и СИУ 2-го рода. Доказано, что данные преобразования сохраняют свойство устойчивости по Ляпунову исходной задачи. Для нелинейных ДАС, имеющих хессенбергову форму, предложен метод сведения к системе ОДУ.

Введено понятие А—матриц, обладающих доминантным свойством. На основе данного определения приведены: 1) построение левой регуляризации для СИУ 4-го рода с постоянными коэффициентами и ядром-матрицей типа свертки; 2) вычисление индекса ДАС высокого порядка с постоянными коэффициентами.

Предложен и обоснован ряд численных методов решения ДАС, СИУ 1-го и 4-го родов и вырожденных ИДС.

Теоретическая и практическая ценность. Получены достаточные условия существования и единственности непрерывного решения СИУ 1-го и 4-го рода типа Вольтерра, которые легко проверяются. Разработаны алгоритмы преобразования вырожденных ИДС к системам, разрешенным относительно старшей производной. После таких преобразований полученную задачу можно решать известными методами. Предложен и обоснован комплекс алгоритмов численного решения ЛАС, СИУ и пырожлпшых ИДС. Получены оценки сходимости

них методом. Данные алгоритмы достаючио легко программируются, и охватывают более широкий класс задач, чем ранее известные. Разработанные в диссертации подходы с успехом используются при решении ряда прикладных проблем, в частности, в лабораториях тепло-н электроэнергетики ИСЭ СО РАН им. Л.А. Мелентьева.

Исследования автора по данной теме были поддержаны фондом НАТО (грант ОиТИ.С1Ш 961082), Фондом поддержки международных

проектов СО РАН (грант N 175). грантами РФФИ N 99-01-00116 и N 02-01-00173.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах : ИЛСТУ СО РАН (рук. д.ф.-м.н. Бо-яринцев Ю.Е.), ИСЭ СО РАН пм. Л.А.Мелентьева (рук. д.ф.-м.н. Апарцин A.C.), Иркутского госуниверситета (рук. д.ф.-м.н. Сидоров H.A.), Уральского госуниверситета (рук. д.ф.-м.н. Мельникова И.В.), Memorial University of Newfoundlend (г. Сент-Джонс, Канада), Таджикского МИсВЦ (рук. д.ф.-м.н. Мухамадиев Э.), ВЦ РАН им. A.A. Дородницына (рук. д.ф.-м.н. Дикусар В.В.), НИВЦ МГУ им. М.В. Ломоносова (рук. д.ф.-м.н. Бакушинский А.Б.), Челябинского госуниверситета (рук. д.ф.-м.н. Свиридюк Г.А.), ежегодных Ляпуновских чтениях (Иркутск, 1990-2001). Полученные результаты докладывались также на различных международных и росашских конференциях: 5 Всосоючной

школе-семинаре "Современные проблемы жидкости и газа" (Иркутск, 1990), Всесоюзной конференции "Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики'" (Владивосток, 1990), Simposium on modeling, inverse problems and numerical methods (Tallinn, 1991), Международной конференции "Некорректно поставленные задачи в естественных науках" (Москва, 19918-12 Байкальской международных школах-семинарах "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 1989-2001), Сибирской школе молодых ученых (Екатеринбург, 1992), Всероссийской конференции "Компьютерная логика, алгебра и интел-лектное управление" (Иркутск, 1994), конференции "Современные методы нелинейного анализа" (Воронеж, 1995), "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (Челябинск, 2002), и др.

Публикации. По теме диссертации опубликовано около 50 работ. Список основных статей приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения, заключения и списка литературы. Работа изложена на 244 стр., выполнена в системе LATEX.

Во введении дана общая постановка рассматриваемых задач, при-

веден обзор литературы по данной тематике и распределение материала по главам.

В первой главе приведены определения различных полуобратных (обобщенных обратных) матриц, описаны методы их вычисления, сформулирован ряд утверждений из теории матричных пучков и введено понятие Л-матриц, обладающих доминантным свойством. Большинство из результатов данной главы являются вспомогательными утверждениями, которые используются в последующих исследованиях.

В первом параграфе рассмотрены полуобратные и псевдообратные матрицы. Приведем два известных определения.

Определение 1. Полуобратной матрицей к произвольной (m х п) — матрице А называется матрица, обозначаемая как А~, которая удовлетворяет уравнению

АА~А = А (1)

( пли (Е - АА~)А = О, А(Е - А~А) = 0).

Одной из полуобратных матриц к матрице А является псевдообратная, стандартное обозначение которой /1 + .

Описаны методы приближенного вычисления псевдообратной матрицы, а также матрицы Е - АА+. Данные методы основаны либо на экстраполяции по Ричардсону, либо на итерационных методах.

Параграф 2 посвящен изучению ряда свойств матричных пучков и блочному представлению матриц.

Определение 2. Пучок матриц AA(t) + B(t) удовлетворяет критерию "ранг-степень" ( имеет простую структуру, имеет индекс 1 ) на отрезке [0,1], если rank Л (i) = к = const V/ G [0,1] и deg det(A>l(i) + B(t)) = к — const Vi G [0,1].

Здесь и везде далее deg(.) означает показатель степени многочлена

(•)•

Лемма 1. Пусть:

1) A(t) и B(t) — квадратные матрицы с гладкими элементами;

2) rankA(t) = к = const Vi 6 [0,1] и degdet(\A(t) + B(t)) = к = const V£ G [0,1].

Тогда матрицы

A + (E - AA~)B; A + B(E - A~A); A + (E- AA~){X + B)\ A{E + {E- А"Л)') + Б(Е - A~A) являются невырожденными для любого t £ [0,1].

Наряду с данной леммой приведено еще несколько вспомогательных результатов о блочной структуре ряда вырожденных матриц и матричных пучков.

Параграф 3 посвящен А-матрпцам. В нем рассмотрены (п х п)— матрицы А(А), элементами которых являются многочлены от А.

Введено важное для дальнейшего изложения

Определение 3. Будем говорить, что А-матрнца

= £ А> ф о,

¡=0

обладает доминантным свойством (ДС), если

degdet А(\) > к х гапкЛо-

Образуем цепочку матриц по рекуррентному соотношению

Л<'">(А) = (Е + А(Е - Atl)Atl)-))A^l\А), (2)

где

40)=л0, АМ(Х) = А( А), а верхний индекс у матриц А^ означает номер итерации.

Ряд результатов 2-й и 4-й глав основан на следующей теореме.

Теорема 1. Пусть матрица А(А) = £ At_'.4,- обладает ДС н гапкЛо =

i=0

г < п. Тогда у матрицы определенной по рекуррентной фор-

муле (2), det Ло*' ф 0.

Приведены некоторые свойства А-матриц, обладающих ДС, которые сформулированы в виде лемм.

Завершает первую главу параграф, посвященный вычислению числа обусловленности одного класса матриц. Данные результаты использованы для доказательства регуляризирующих свойств некоторых численных методов решения ДАС.

Во второй главе предложены и обоснованы алгоритмы сведения дифференциально-алгебраических систем высокого индекса к более "легким", с точки зрения численного решения, задачам, в том числе и к системам обыкновенных дифференциальных уравнений.

М I к-1 > I к >м ||,| | >,'| г| >;н]>г | );и<М( >1 | х'мл мцлч;! Кошм

где A(t), B(t) - достаточно гладкие (и х п)- матрицы, x(t), g(t) — искомая и известная 7г-мсрные вектор-функции, причем dct/l(i) = OVi €

Определение 4. Система (3) имеет решение типа Коши индекса г, если линейная комбинация

является решением (3) и на любом подотрезке [о,/?] пет решений, отличных от x(t,c). Здесь Ф(£), KQ(t,T), K'i(t), i = 1,2,...,г (;г х п)-матрицы, Ф(г), Ki(t), г = 1,2,...- гладкие, А'о(/,г) - непрерывная, причем гапкФ(^ = const Vi G [0,1] и Iir ф 0.

Предполагается, что начальные данные (4) выбраны корректно, т.е. решение задачи (3), (4) существует.

Отмечены характерные особенности задачи (3), (4), а именно, неустойчивость к возмущениям входных данных и отсутствие связи

A(t)x'(t) + B(t)x{t) = g(t), te [0,1],

x(0) = «,

(3)

(4)

[0,1].

между структурой пучка \A(t) + B(t) и стуктурой решения (за исключением случая, когда ДАС имеет нндекс 1 или матрицы А и В — постоянные).

Хорошо известно, что для систем вида (3) с вещественно-аналитическими матрицами A(t), B[t), имеющих решение типа Коши и существуют вещественно-аналитические, невырожденные для любого t 6 [0,1] квадратные матрицы P(t) и Q(t) такие, что

PA{Qy)' + PBQy = PAQy + (PBQ + PAQ')y =

(s)-c). <*>

Js — (sxs)-MaTpnua, N—([n—s)x (n—з))-матрица с нулевой диагональю и Nr = 0. В этом же параграфе доказан ряд свойств ДАС.

Во втором параграфе предложен и обоснован алгоритм понижения индекса решения системы (3).

Понижение индекса заключается в том, что от исходной системы (3) переходят к аналогичной системе

. A1(t)x'(t) + Bï{t)x(t) = gl(t), te [0,1], (6)

которая имеет индекс на единицу меньше.

Теорема 2. Пусть

1) исходная система (3) имеет решение типа Коши индекса г;

2) элементы матриц A(t). B(t) являются вещественно-аналитическими функциями.

Тогда., Д1'П< гпуя па исходную гмгтсму оператором К \ \'<l./il.l. молу чим систему (б) с А\ - А + V{Â + В), В\ = В + VВ\ gi = g + Vg, которая имеет решение типа Коши индекса г — 1. Здесь V = Е - АА~.

На основе теоремы 2 выписано общее решение системы.

Далее обсуждается проблема выбора (согласования с правой частью) начальных данных для системы (6).

Во третьем параграфе предложена левая регуляризация, позволяющая перейти от задачи (3), (4) высокого индекса к системам линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода, для решения которых достаточно хорошо разработаны численные методы. В отличие от подхода, изложенного в первом параграфе, реализация данного алгоритма требует меньшего числа вычислений производных исходных данных.

В четвертом параграфе рассмотрен метод возмущения ДАС (3), (4). Он заключается в переходе от исходной задачи к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с невырожденной матрицей перед производной, а именно:

(A{t)+e{B{t)-X{t)))x'e{i)+

(.B(t) + e(B'(t) - A"(t)))x£(t) = g(t), t e [0,1], (7)

ze(0) = a. (8)

Доказываеться следующая

Теорема 3. Пусть для задачи (3), (4) выполнены условия:

1) исходная система (3) приводима к каноническому виду (5), причем P(t) = Р— постоянная матрица;

2) з(<) G С3-3.

Тогда dct,(^(<) +e(B(t.) - A'(t))) ф 0 V< G [0,1] и справедлива оценка

\\х-хе ||qfDi4=0(e), чде xt является решением задачи (7), (8).

Отметим, что данный алгоритм, в отличие от ранее известных, не требует регулярности матричного пучка XA(t) + B{t).

В конце параграфа указаны некоторые случаи, когда для исходной :истемы выполняется первое условие теоремы.

В пятом параграфе рассмотрены нелинейные системы уравнений f(x'(t),x(t),t)=0, <€[0,1], (9)

с ■иданиым начальным условном

1(0) = а, (10)

где вектор-функция / : Щ —►

Под семейством решений системы (9) мы будем понимать любую непрерывно дифференцируемую вектор-функцию х(г,с) : [0,1] х Я" —> Я", для которой

/(<9х(г,с)/3г,х(*,с),г) = о.

Подчеркнуты трудности, возникающие при изучении таких задач.

Определение 5. Пусть для системы (9) определены квазилинейные дифференциальные операторы

Рг=

где — (п х п)-матрицы, такие, что

Р, о /(х, х, ¿) = /!(*', х, *) Vx € С"'+1,

причем

det5/l(x ,х,<)/<Эх т^О.

Минимальное число г = г, при котором оператор РГ(.) существует, назовем индексом системы (9).

Приводится конструктивное правило построения операторов Рт для задач вида

А{1)х'Ц)-)-/(х(0,0 = о, г е [0,1], х(0) = а,

с det А({) = 0 и для ДАС, имеющих хессенбергову форму.

В шестом параграфе рассмотрены линейные дифференциально-алгебраические системы высокого порядка. На основе А-матриц, обладающих доминантным свойством, предложен алгоритм перехода к линейным системам обыкновенных дифференциальных уравнений того же порядка, что и исходная система.

Рассмотрим задачу

¿5,^(0 =^(0. * е £0,11, (и)

¡=0

®У)(0) = а,-, ] = 0,1, ...,р - 1, (12)

где В,-, г = 0,1, ...,р, — постоянные (тг х тг)-матрицы, д(1) — достаточно гладкая п-мерная вектор-функция, det Во = 0.

Предполагается, что начальные данные (12) выбраны корректно, т.е. исходная задача (11), (12) имеет решение.

В случае необходимости полагаем В] = 0, ] = р + 1,р + 2,..., к.

Определение 6. Пусть в (11) det( £ АР_1Б,) ф 0. Тогда индексом этой

1=0

к ,_.

системы назовем минимальное число к, при котором матрица £ А 'В{

{=0

обладает доминантным свойством. Построим цепочку уравнений

(13)

¿=о

каждое из которых получено из предыдущего по правилу

(¿/а(Я - + Я) £ =

¡=0

(Е - В^В1^-)^) + I = 1,2,...,*:, (14)

В?) = В;,3= 0,1,...р, .9о(0 = .<?(/■).

Здесь у матриц верхний индекс указывает на номер итерации, а матрица является полуобратной к вЦ'1^.

Теорема 4. Пусть индекс системы (11) равен к и <?(£) £ Ск. Тогда каждая из задач (13) с начальным условием (12) эквивалентна задаче (11), (12) и матрица при старшей производной в (13) при I = к невырождена.

В диссертации получена формула вычисления индекса системы (11),

у которой матрица регулярная, но не обладает доминантным

>=о

свойством. Как следствие данного результата приведена новая эффективная формула вычисления индекса матричного пучка.

В третьей главе рассмотрены численные методы решения задачи Коши для ДАС. В первых двух параграфах приведены результаты, относящиеся к методам численного решения ОДУ (задача Коши):

- методы Рунге-Кутта (РК);

- многошаговые методы (ММ);

- блочные разностные схемы (БРС).

Для того, чтобы БРС были устойчивыми, предлагается правило выбора стартовой точки. Отмечено, что в некоторых случаях БРС и методы РК эквивалентны, однако в общем случае это не так.

В третьем параграфе приведены характерные особенности, возникающие при численном решении задачи Коши для ДАС.

Подчеркнуто, что в некоторых случаях для численного решения данных задач можно применять разностные схемы, которые являются неустойчивыми для ОДУ. При этом данные алгоритмы являются сходящимися, начиная с некоторой точки I > ¿о.

В четвертом параграфе предложено семейство разностных схем высокого порядка точности для численного решения ДАС.

Опишем в общих чертах построение данных схем. Приближенное решение задачи (9), (10) будем находить из системы уравнений:

/(Л"1 Е = 0;

/(/I-1 Е Е =

/(Л"1 Е Е ^¿-м-у, й+з) = о

относительно £1+1, Я1+2, ...,Х1+5, тп> в.

Здесь /(Л 1 £ £ — аппроксимация исходной

;=0 ;=0

задачи.

Предполагается, что начальные значения хь Х2,..., хт_5_1 заранее вычислены ( хо = а ).

Отметим, что при я = 1 (15) эквивалентна многошаговым методам, а при в = ш и некоторых дополнительных ограничениях данные схемы являются я—стадийными методами РК.

Рассмотрим частный случай системы (9):

*(*)+ £(*'(*), <)= 0, (16)

где д£(х , 1)1 дх является верхнетреугольной матрицей с нулевой диагональю, причем число нулевых квадратных блоков на диагонали равно г. Данная задача при достаточно гладкой вектор-функции £(г'(г), ¿) имеет единственное непрерывно дифференцируемое решение.

Для численного решения (9) предложен частный случай разностных схем (15):

2-.-+1 = А;] г ¿,+1),

¿¿+2 = {{И-1 £ к]х{+$ч,и+2),

3=0 (!')

= £ 1 .¿о Щх^-},

. Ш „ !

где 1г ~ аппроксимация х (¿,-+9) порядка т + 1.

Теорема 5. Пусть вектор-функция ^{х ,<) в (16) достаточно гладкая по совокупности аргументов и

II X, - х(^) ||= 0(1Г+1), 3 = 0,1,..., т-з.

Тогда

|| Щ - х(и) ||= 0(/Г+2"г), » = т + 1 - в, т + 2-5,..., М.

Доказано, что метод простых итераций через г шагов дает точное решение системы (17).

Подробно рассмотрен частный случай схем (15), а именно, их интерполяционный вариант.

Для линейной ДАС индекса г сформулированы достаточные условия сходимости схем (15) к точному решению. Получена оценка скорости сходимости.

В следующем, пятом параграфе рассмотрена возмущенная задача

А(<)®(0 + В(!)х{1) = д{г), I 6 [0,1], (18)

г(0) = а, (19)

где

\\А-А\\/\\А\\<6и \\ В - В \\ I \\ В ||< ¿2,

\\9-9\\/\\9\\<63ЛИ-п\\/\\а\\<6л,

а норма матрицы (вектора) понимается в метрике С, т. е.

п

||£>|| = тахтах{Х) №,,(*) |, = 1,2,...,т}.

Решение задачи (18), (19), даже если оно существует, может отличаться на сколь угодно большую величину от решения исходной задачи

(3), (4).

С использованием вспомогательных утверждений первой главы доказано, что разностные схемы, разработанные в предыдущем параграфе, порождают регуляризирующий алгоритм, причем параметром регуляризации является шаг интегрирования, определенным образом связанный с уровнем погрешности входных данных.

Построению комбинированных разностных схем для численного решения ДАС посвящен шестой параграф.

Рассмотрено несколько подходов к конструированию таких алгоритмов. Один из них заключается в следующем: исходную задачу редуцируем к более простой, а затем для численного решения полученной задачи применяем известные разностные схемы.

Покачано, что комбинация "плохих" (иеуслчшчииых) методоп (па-пример, неявного метода Эйлера и определенного метода возмущения ) при связи h — шага дискретизации се — параметром возмушения) дает "хороший" (устойчивый) алгоритм решения ряда ДАС.

По ходу изложения материала данной главы приведены численные расчеты модельных задач, которые демонстрируют эффективность разработанных алгоритмов.

В четвертой главе рассмотрены интегральные и интегро-диффе-ренциальные системы, не разрешенные относительно искомой вектор-функцпи и старшей производной соответственно.

В первом параграфе отмечены особенности рассматриваемых задач. Приведена классификация интегральных систем вида

t

I[x] = a(t,x(t)) + Jb(t,T,x(T))dT = f(t), t 6 [0,1], (20) о

и их линейных аналогов

t

h[x\ = A(t)x(t) + j I({t, r)x(r)dr = fit), t e [0,1], (21)

о

где A(t),K(t,r) - (n x п)-матрицы, a(t,x(t)) : [0,1] x R" —y Rn, b(t, t, x(t)) : [0,1] x [0,1] x Rn R", f(t) - заданная, x (t) -искомая n-мерные вектор-функции, n> 2.

A. Если a(i,x(i)) = 0, или A(t) = 0, то такие системы называют системами интегральных уравнений Вольтсрра первого рода (соответственно нелинейных и линейных).

B. Если a(t,x(t)) = x(t), или A(t) = Е, то такие системы называют системами интегральных уравнений Вольтерра второго рода.

C. Если матрицы da(t,x)/dx, или A(t) вырождаются в конечном числе точек, то такие системы называют системами интегральных уравнений Вольтерра третьего рода. Точки, в которых происходит вырождение, называют особыми точками .

D. Системы, у которых det da(t,x)/dx = 0, или detA(i) = 0, но a(t,x(t)) ф 0, или A(t) ф 0, будем называть системами интегральных уравнений Вольтерра четвертого рода.

Приведены характерные особенности, которые присущи рассматриваемым в этой главе задачам и сформулировано определение индекса данных задач.

Определение 7. Пусть для задачи (20) существует дифференциальный оператор вида

Pr = ipi(x{r\x(r~l\ ...,X,X,t)(d/dt)\

1=0

где ...,x',x,t) - непрерывные Vi € [0,1] и Vx(i) € С (п х

п)-матрицы, такой, что

t

Fro/[x] = a:(i) + /fci(z(r),t,T)dr = /i(t), t €[0,1],

о

где к\(х, t, т) : Rn х [0,1] х [0, i] —» Л". Тогда оператор Рг будем называть лейым регуляризирующим оператором, а минимальное число г, при котором он определен - индексом системы (20).

Во втором параграфе данной главы рассмотрены скалярные линейные интегральные уравнения Вольтерра первого рода с достаточно гладким ядром и правой частью. В качестве характеристики некорректности (индекса) таких задач выступает номер г производной ядра, не обращающейся в ноль на диагонали t = т. Для численного решения таких задач с конечным индексом предложены (и в ряде случаев обоснованы) устойчивые блочные методы.

Показывается, что блочные интерполяционные илп экстраполяци-онные методы локального порядка выше г не всегда дают устойчивые алгоритмы решения данной задачи.

В следующем параграфе рассмотрена система

jK(t,T)x{T)dT = m, t e [0,1], (22)

о

где Л'(/, г) — (n x n)— матрица,

K(t, i) # 0, но det Ii'(t, t) = О,

/(i) — известная, x(i) - искомая n-мерные вектор-функции.

Для численного решения системы (22) рассмотрен метод, основанный на формуле средних прямоугольников.

Данный алгоритм имеет вид

h Ё Л',7-1/2^-1/2 = /,. * = 1,2, ...,Л\ (23)

j= 1

с дальнейшим переходом к аппроксимации точного решения в целочисленных узлах сетки:

= (xi+1/2 + 1/г)/2. (24)

Теорема б. Пусть для задачи (22) выполнены условия:

1) d4K{t, T)/dt2 дт2 еСп,П = {0<т <t< 1}, /(<) б С3;

2) rank/i (i, t) = к = const Vi <E [0,1] и пучок AK{t,t) + K't(t,r) \T=t удовлетворяет критерию "ранг-степень'" на всем отрезке [0,1];

3) /(0) = 0 и гапкЛ'(0,0) = гапк{Л'(0,0)|/'(0)}.

Тогда (22) имеет единственное непрерывное решение и справедлива оценка

II •<•(';) - -'О || = ^(Л2), J = 1,2,3,..., /V - 1, где Xj находятся по формулам (23),(24).

Отмечено, что ряд многошаговых алгоритмов более высокого порядка либо принципиально неприменим к данной задаче, либо порождает неустойчивый процесс.

Доказано, что метод (23), (24) обладает регуляризируюпщм свойством, если шаг сетки к определенным образом связан с уровнем погрешности правой части.

В четвертом параграфе мотрена система интегральных уравнений с ядром типа свертки

I

Ах{1) +] К{1 - т)х{т)йт = /(<), í 6 [0,1],

о

где А — постоянная (п х } матрица, причем detЛ = 0, К(и)— (п х п)- матрица с вещественно-аналитическими коэффициентами, /(£) — достаточно глалкпя тш'стппя. .г(/) — попрорыпиая искомая »(-м^рпм«1 вектор-функции.

На основе А-матриц, обладающих доминантным свойством, сформулированы достаточные условия существования и единственности решения рассматриваемой системы. Показано, как при выполнении этих условий преобразовать исходную задачу в систему интегральных уравнений второго рода.

В пятом параграфе рассмотрены линейные системы интегральных уравнений со слабой особенностью в ядре (ядром типа Абеля):

Л(ф(г) + /'(< - т)-°К(г.т)х(т)с1т.= /(*), £ 6 [0,1], 0 < а < 1, з о

с гладкими (п х п)-матрицами .4(г) и г), вектор-функцией /(г) и условием det А{Ь) = 0.

Приведены достаточные ус.-.овия существования и единственности непрерывного решения таких систем. Предложен численный метод решения этих задач.

В шестом параграфе изучена задача

А(1)х\1) + В(ф^) +] К-(г,т,х(т))<1т =/Щ, *е[0,1], (25) о

г(0) - а. (26)

Здесь A(t),B(t) — заданные (n х п)-матрицы, К{.) : Яп+2 —> /(*) — известная, x(i) — искомая n-мерные вектор-функции и &etA{t) = 0.

Теорема 7. Пусть для задачи (25), (26) выполнены условия:

1) гапкЛ(О) = гапк{Л(0) | /(0) - Б(0)а};

2) элементы A{t), B(t), f(t) — непрерывно дифференцируемые по t функции;

3) матричный пучок \A[t) + B(t) удовлетворяет критерию "ранг-степень" на отрезке [0,1];

4) вектор-функции K(t,r, х) и I(t(t,T,x) непрерывны по совокупности аргументов и удовлетворяют условию Липшица

II/ф, т, х) — K(t, т, у) ||</0||2--2/||,

II 1ф, г, х) - K't(t, т, у) II< /, II X - у II, для любых (f, т, х) из области {0 O^r^i, ||х — < р}.

Тогда в окрестности нуля исходная задача имеет единственное непрерывно дифференцируемое решение.

Для численного решения данной задачи предложен и обоснован численный метод первого порядка точности, основанный на неявном методе Эйлера и квадратурной формуле левых прямоугольников.

В заключительном, седьмом параграфе рассмотрена система

t

A(t)x(t) + j K(t, T)x(r)dr = f(t),t € [0,1], (27)

о

у которой det/i(i) = 0.

Для таких задач предложен регуляризпрующнй алгоритм вида

t

(/4(0 + aK(t,t))xa(t) + / A'(i,r)x„(r)dr = /(f),

о

где det(.4(i) + аh'{t., t)) ф 0, 0 < а < а0.

Сформулированы достаточные условия сходимости .¡:0 к точному решению (27). Приведена оценка скорости сходимости.

Работоспособность предложенных в данной главе алгоритмов проиллюстрирована на ряде примеров.

В приложении рассмотрены математические модели, описывающие реальные процессы из области тепло- и электроэнергетики, которые включают в себя постановки задач, рассмотренных в диссертации.

В заключении сформулпроинпы основные результаты, выносимые на защиту.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Введено понятие А-матриц, обладающих доминантным признаком. Изучен ряд свойств таких матриц. На их основе дано определение индекса для линейных ДАС к—го порядка с постоянными коэффициентами и для систем интегральных уравнений с матричным ядром типа свертки. Сформулированы достаточные условия существования единственного решения таких задач в классе Ск и обоснована редукция к системам ОДУ и системам интегральных уравнений 2-го рода соответственно.

2. Для ДАС высокого индекса предложены и обоснованы методы их сведения к системам ОДУ (понижение индекса и методы возмущения) и системам ИУ 2-го рода.

3. Для численного решения ДАС высокого индекса предложены многошаговые многостадийные блочные разностные схемы. Доказаны оценки скорости сходимости данных алгоритмов. Установлено, что предложенные методы обладают саморегуляризирующим свойством — параметром регуляризации является шаг дискретизации.

4. Получены условия существования единственного решения для систем ИУ 4-го рода и интегро-дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей перед старшей производной. Заложены теоретические основы численного решения таких задач.

5. Установлены достаточные условия существования и единственности непрерывного решения систем интегральных уравнений Вольтерра 1 рода, у которых ф 0, с!е1 Л'(М) = 0. Для данных задач разра-

ботан одношаговый метод, доказана оценка скорости сходимости и тот факт, что он обладает саморегуляризацией. Показано, что для таких задач многошаговые методы либо принципиально неприменимы, либо неустойчивы.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Булатов М.В. О зависимости шага дискретизации от уровня возмущений сингулярных линейных систем ОДУ // Условно-корректные задачи математическом фишки и анализа. Красноярск: Красноярский

университет, 1988. С.211-216.

2. Булатов М.В. О понижении индекса и устойчивых методах решения сингулярных систем // Боярннцев Ю.Е. и др.- Численные методы решения сингулярных систем.- Новосибирск: Наука, 1989. С.196-211.

3. Булатов М.В. Редукция систем алгебро-дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения с частными производными. Новосибирск: СО АН СССР Институт математики, 1991. С.59-63.

4. Булатов М.В. О вырожденных системах интегральных уравнений типа Вольтерра // Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики. Сб. тр. Всес. конф., Владивосток, 22-26 окт., 1990, 4.2, Владивосток, 1992. С.18-22.

5. Булатов М.В. О приведении к форме Копш неявных систем обыкновенных дифференциальных уравнений// Численные методы анализа и оптимизации. - Новосибирск: Наука, 1992. С.83-90.

6. Булатов М.В. Устойчивое вычисление матрицы Дразина//Методы оптимизации и их приложения,- Иркутск: СЭИ СО РАН, 1992. С.228-231.

7. Булатов М.В. О преобразовании алгебро-дифференциальных систем'

уравнений //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994, Т.34, N 3. С.360-372.

8. Булатов М.В. Метод возмущения дифференциально-алгебраических систем //Изв. вузов. Математика. - 1997. N 11. С.3-9.

9. Булатов М.В. Численное решение систем интегральных уравнений Вольтерра I рода//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998, Т.38, N 4. С.607-610.

10. Булатов М.В. Редукция вырожденных систем интегральных уравнений типа Вольтерра к невырожденным //Изп. вузов. Математика, 1998, N 11(438). С.14-21.

11. Булатов М.В. О разностных схемах для дифференциально-алгебраических систем. //Ж. вычпел. матем. и матем. физ., 1998, Т. 38, N 10. С.1641-1650.

12. Булатов М.В. О нелинейных системах интегральных уравнений четвертого рода //Труды 11-й Байкальской Международной Школы-Семинара "Методы оптимизации и их приложения", 5-12 июля 1998, Иркутск, Байкал, Т.4, 1998. С. 68-71.

13. Булатов М.В. О преобразовании вырожденных систем интегральных уравнений типа Вольтерра// Вычислительные технологии, 2000, Т.5, N 4. С.22-30.

14. Булатов М.В. Регуляризация вырожденных систем интегральных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2002, Т.42, N 3. С.330-336.

15. Булатои М.В. Об иитегро-днфферонцпалышх системах с иыро-

ждешюй матрицей перед производной// Лиф. уравнения, 2002, Т.Зй,

N 4. С. 1-6.

16. Булатов М.В. Численное решение систем интегральных уравнений первого рода// Вычислительные технологии, 2001, Т.6, N 4. С.3-8.

17. Булатов М.В. Блочно-коллокационные методы решения дифференциально-алгебраических систем// Оптимизация, управление, интеллект, Иркутск: ИГУ, N 5(1), 2000. С.33-41.

18. Булатов М.В. Регуляризация вырожденных интегральных и интегро-дифференциальных систем// Труды 12 Байкальской Международной конференции "Методы оптимизации и их приложения", Иркутск, Байкал, 24 июня - 1 июля 2001, Иркутск, 2001. С.58-62.

19. Булатов М.В., Чистяков В.Ф. Об условиях сходимости разностных схем для систем ОДУ, не разрешенных относительно производных // Методы численного анализа и оптимизации.- Новосибирск: Наука, 1987. С.175-187.

20. Булатов М.В., Чистяков В.Ф. Один метод численного решения линейных сингулярных систем ОДУ индекса выше единицы// Численные методы анализа и их приложения. - Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1987. С. 100-105.

21. Булатов М.В., Чистяков В.Ф. Решение алгебро-дифференциальных систем методом наименьших квадратов //Труды 11-й Байкальской Международной школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения", 5-12 июля 1998, Иркутск, Байкал, Т.4, 1998. С. 72-75.

22. Булатов М.В., Чистяков В.Ф. Об одном численном методе решения дифференциально-алгебраических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002, Т.42, N 4. С.459-470.

23. Булатов М.В., Чистяков В.Ф. Об одном подходе к численному решению дифференциально-алгебраических уравнений// Труды 12 Байкальской Международной конференции "Методы оптимизации и их приложения", Иркутск, Байкал, 24 июня - 1 июля 2001, Иркутск, 2001. С.63-67.

24. Brunner Н., Bulatov М. On Singular Systems of Integral Equations with Weakly Singular Kernels// Proceedings of 11-th Baikal International School-Seminar "Optimization Methods and Their Applications", Irkutsk, Baikal, July 5-12, V.4, 1998. P. 64-68.

25. Bulatov M.V., Chistyakov V.F. The properties of differential-algebraic systems and their integral analogs. Preprint/September. Memopial University of Newfoundland, 1997. 35 p.

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА

ПОЛУ ОБРАТНЫЕ МАТРИЦЫ И МАТРИЧНЫЕ ПУЧКИ

1.1 Свойства полуобратных матриц и методы их вычисления

1.2 Матричные пучки и блочное представление матриц

1.3 Л—матрицы.

1.4 Обусловленность матриц и некоторые матричные неравенства

ГЛАВА

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ

СИСТЕМ

2.1 Постановка задачи и некоторые свойства дифференциально-алгебраических систем

2.2 Алгоритмы понижения индекса для линейных систем

2.2.1 Понижение индекса.

2.2.2 Выбор начальных данных.

2.2.3 Устойчивость преобразований.

2.3 Переход к интегральным уравнениям

2.4 Метод возмущения.

2.5 Нелинейные системы.

2.6 Системы высокого порядка

ГЛАВА

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ

3.1 Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

3.1.1 Одношаговые методы

3.1.2 Многошаговые методы

3.2 Блочные методы

3.3 Особенности численного решения ДАС

3.4 Б лочно-ко л локационные методы

3.5 Регуляризирующие свойства разностных схем.

3.6 Комбинированные разностные схемы

ГЛАВА

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ И ИНТЁГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

СИСТЕМЫ

4.1 Особенности интегральных систем четвертого рода.

4.2 Блочные методы численного решения интегральных уравнений Вольтерра первого рода

4.2.1 Постановка задачи.

4.2.2 Интерполяционные методы

4.2.3 Экстраполяционные методы

4.3 Численное решение систем интегральных уравнений Вольтерра первого рода.

4.4 О преобразовании интегральных систем с ядром типа свертки

4.5 Системы со слабой особенностью в ядре.

Ш 4.6 Интегро-дифференциальные системы типа Вольтерра.

4.7 Регуляризация интегральных систем

Системы интегро-дифференциальных уравнений ++ ¡К(?,т,х(т))<1т = дУ)1 г Е [0,1], о где <р : А -> £>2, А С Яп+1, £)2 С Л", А": £>3 А, А С С Л", находят широкое применение в приложениях.

Такие системы называют системами разрешенными относительно производной.

Однако, часто постановка задач описывается взаимосвязанными системами, которые имеют вид АпМ Ап(г) \ ( х\{ь) \ ( пЫЪъШ) \ ,

V 0 о Д х'м) + )

I \к2{1,т,х1{т),х2{г)) где А\2 — (к х к) и (к х (п — к))— матрицы, (рх : £>2, <^2 : з А, А С £>2 С Л*, £>з С £>4 С : £>5 £)6,

8, Д, С Яп+2, С Л*, £>7 С Я"+2, £)8 С Д"-*.

Данные уравнения можно записать в виде системы интегро-дифференциальных уравнений г

А{1)х\{) + + ¡К{г,т,х(т))йт=д{г), г е [0,1], (0.0.1) о с вырожденной матрицей

Ь= Й) л(г) = ( ЛМ | перед производной.

0.0.2)

Системы общего вида (0.0.1), у которых det A{t) = 0, в отличие от систем разрешенных относительно производной, имеют ряд характерных особенностей, которые подчеркнуты по ходу изложения материала.

Отметим, что системы вида (0.0.1), с заданным начальным условием ж(0) = а, (0.0.3) мало исследованы на предмет существования и единственности непрерывно-дифференцируемого решения.

Теория построения численных методов решения задачи (0.0.1), (0.0.3), так же далека от завершения.

Данная работа посвящена построению численных методов решения задач (0.0.1), (0.0.3) с условием det A(t) = 0, а так же вопросам существования и единственности их решения.

Затронуты также некоторые аспекты исследования и для общей вырожденной задачи, которая имеет вид: t x{r)dr) = 0, о te [o,i], с заданными начальными условиями:

ФСж^-^СО), Я?С0)) = о

Здесь Ф : Di D2, Dx С £>2 с Rn,x(t) - п- мерная искомая вектор-функция.

Вырожденность понимается в том смысле, что det^(.)/&c(4) = 0.

Сразу оговоримся, что под решением общей вырожденной системы мы будем понимать любую вектор-функцию x(t) Е Ск, которая обращает исходное уравнение в тождество.

Отметим, что частным видом рассматриваемых задач являются системы: iP(xW(t),x(k-l\t),.,x'(t),x(t),t)= о, t е [0,1], которые легко сводятся путем замены переменной к системам первого порядка f(x'(t),x(t),t) = 0, t € [0,1]. (0.0.4)

Частными случаями систем (0.0.4) являются следующие:

Ax(t) + Bx{t) = f(t), t G [0,1], (0.0.5) где А, В— постоянные (n х п) матрицы ;

A(t)x(t) + B(t)x(t) = f(t), t G [0,1], (0.0.6) где A(t),B(t)— переменные (n x n) матрицы ;

A(t,x(t))x'(t) = f(t,x(t)), t G [0,1], (0.0.7) где A(t,x(t))— переменная (n x n) матрица, с условиями det A = 0, det A(t) = 0, det A(t, x(t)) = 0, (0.0.8) для систем (0.0.5), (0.0.6), (0.0.7) соответственно.

Скажем несколько слов о терминологии. Для систем (0.0.5)-(0.0.7) с условием (0.0.8) употреблялись термины: "неявные системы дифференциальных уравнений", [17],[115],[145], "вырожденные системы обыкновенных дифференциальных уравнений", [11], [20], "сингулярные системы дифференциальных уравнений", [10], [87], [113], [114], [118], "алгебро-дифференциальные уравнения", [15], [88], [90], "системы обыкновенных дифференциальных уравнений, не разрешенные относительно производной" [58].

К настоящему времени устоялся термин "дифференциально-алгебраические уравнения" [122] ("дифференциально-алгебраические системы" ДАС ), которого мы будем придерживаться в дальнейшем. Данный термин появился в связи с тем, что в первой статье [122], положившей систематическое исследование таких систем за рубежем, были рассмотрены системы с матрицей типа (0.0.2), а именно

Приведем краткий обзор литературы по данной теме.

Начало развития теории ДАС относится к началу-середине 70-х годов [12], [13], [122]. Из более ранних работ отметим следующие: [60], [41]. В первой из этих работ были рассмотрены линейные системы высокого порядка с постоянными коэффициентами, а во второй было предложено использовать теорию матричных пучков при изучении систем вида (0.0.5). Первые работы, положившие начало систематическому изучению ДАС были [12], [122]. В конце 70-х - начале 80-х годов сложились математические школы в СССР ( Бояринцев Ю.Е.), ГДР ( Maerz R.), США ( Gear С. W.), специализирующиеся на изучении свойств ДАС и построении численных алгоритмов для них. Несколько позднее появился круг специалистов и в других странах: Канада ( Ascher U.), Венесуэла ( Aravelo С.) , Швеция ( Lotsted Р.), Швейцария ( Hairer Е., Lubich С.) и др.

Ниже приведен краткий обзор литературы по теории и численным методам решения рассматриваемых задач.

К настоящему времени вышло и продолжает выходить большое число работ, затрагивающих те или иные аспекты теории ДАС. Отметим, что даже для перечисления этих работ потребовалось бы несколько десятков страниц. Например, вышедшая в 1996 г. монография [149] насчитывает свыше четырехсот источников литературы практически без учета работ советских (российских) математиков. Ниже приведена схематическая таблица, которая, на взгляд автора, наиболее полно отражает направления в тематике ДАС.

0 \ ( x\(t) 0 ) \ x'2(t)

Pi(xi(t),x2(i),t) <P2(xi(t),X2(t),t) te [o,i].

1) Редукция ДАС к "более легким задачам": а) методы возмущения; б) редукция к ОДУ; в) редукция к системам интегральных уравнений; г) вывод явного вида решения ДАС через различные обобщенные обратные матрицы.

2) Исследование расширенных систем для: а) построение эрмитово-коллакационных разностных схем; б) "разрешения" исходной системы относительно х (t).

3) Построение численных алгоритмов, учитывающих специфику исходной задачи: а) многошаговые методы; б) методы Рунге-Кутта; в) методы типа коллокационных.

4) Применение теории ДАС в других областях математики.

Вкратце остановимся на каждом из этих пунктов.

1 а. Методы возмущения ДАС заключаются в следующем: от исходных систем (0.0.5),(0.0.6),(0.0.7) переходят к изучению систем вида:

A + eC)x'e(t) + (B + £D)xe(t) = fc(t), te [0,1], (0.0.5а) где С, D — постоянные (n х п) матрицы ;

A(t) + eC(t))xe(t) + (B(t) + eD(t))xc(t) = f£(t), t e [0,1], (0.0.6a) где C(/), D(t)— переменные (n x ri) матрицы ;

A(t,xe(t)) + EG{t,xe{t)))x'£{t) = fe(t,x£{t)), t E [0,1], (0.0.7a) где G(t,xe(t)) — переменная (п х п) матрица, причем 0 < е « 1 и выполнены условия: det(A + еС) ф 0; det(A(i) + eC{t)) [0,1]; det(A(i,ze) + eG(t,xe)) ф 0, Vf 6 [0,1] и на любом из решений (0.0.7а).

Матрицы C,C(t),G(t,xe) выбирают таким образом, чтобы выполнялось условие:

II x(t) - xe(t) ||= 0(e) Vf G (to, l],to = O(e).

В ряде случаев [10], [90] в качестве возмущающих матриц C,C(t), G(t, хе) выбирают Б, B(t), df(t, х)/дх соответственно. Такие возмущения охватывают весьма узкий класс задач: системы с постоянными коэффициентами, или ДАС индекса один, в исключительных случаях более высокого индекса. В работах [90], [121], [133] предложены методы возмущения для линейных ДАС (0.0.6) и некоторых квазилинейных систем вида (0.0.7), индекса выше единицы, которые сходятся к точному решению задач (0.0.б) и (0.0.7) соответственно при условии, что пучки матриц ЛA(t) + В(t) и ЛA(x,t) + df(x,t)/dx— регулярные.

Отметим еще две работы, близкие к данной тематике [75], [76].

1 б. Редукция к ОДУ

Методы редукции к ОДУ заключаются в следующем. С использованием структуры исходных систем выписывается цепочка уравнений:

Aix(t) + BiX(t) = fi(t), t G [0,1], (0.0.56) где Ai,B{— постоянные (n x n)— матрицы ;

Ai(t)x'(t) + Bi(t)x(t) = fi(t), t e [0,1], (0.0.66) где Ai(t), Bi(t)— переменные (n x n) матрицы, для систем (0.0.5) и (0.0.6) соответственно.

Каждая последующая система (0.0.6Ь) в некотором смысле "лучше" предыдущей, поэтому через конечное число шагов г получим системы с невырожденной матрицей перед производной.

Другой подход связан с построением дифференциальных операторов Рг степени г вида

Рг=£р&М<Н)\ о о где р{(х(г\ х(г~1\ ., х , ж, ¿) и р^) — (п х п)— матрицы. В результате суперпозиции этих операторов на первоначальные системы (0.0.6) и (0.0.7) соответственно, получается система ОДУ, разрешенную относительно производной.

Способы построения таких операторов предложены также в работах автора [15], [17], [19].

1 в. Редукция к интегральным системам.

Данная редукция заключается в переходе от ДАС (0.0.6) к линейной системе интегральных уравнений вида г

Л(/)я(*) + /В{т)х{т)Лт = /(*), * е [о, 1], (0.0.9) о где сЫА(г) ^о, Уге [0,1].

Этот переход требует меньшего числа дифференцирования исходных данных, чем редукция к ОДУ.

1 г. Вывод явного вида решения ДАС через различные обобщенные обратные матрицы.

Этот подход был широко использован при исследовании линейных ДАС с постоянными коэффициентами (0.0.5) и регулярным пучком матриц ХА + В [10], [11], [113], [114]. Путем замены переменной у(¿) = ехр(А£)х(£) система (0.0.5) сводилась к системе

Hy'(t) + y(t) = f(t), f €[0,1], (0.0.10) где H = (XA + B)~lA.

Далее с использованием матрицы Дразина выписывалась явная формула решения системы (0.0.10). Попытки перенести эту технику на линейные ДАС с переменными коэффициентами закончились неудачей. Назовем основную из этих причин: если для ДАС (0.0.10) структура решения связана со структурой матрицы Н, а для ДАС (0.0.5) - с кро-некеровой структурой матричного пучка \A-\-B, [10], [41], то для ДАС (0.0.6) за очень редким исключением такая связь отсутствует.

Более того, регулярность ( сингулярность ) пучка \A(t) + B(t) для ДАС (0.0.6) не дает практически никакой информации о существовании и единственности решения (за исключением ДАС индекса один). В деталях данное направление представлено в работах [10], [11], [91].

2. Исследование расширенных систем.

Первые работы по исследованию расширенных систем для линейных ДАС (0.0.6) появились независимо друг от друга в СССР [30], [31], [44],[86] и США [115] в середине 80-х годов.

В данных работах предлагалось к исходной системе (0.0.6) присоединять к ее производных, где к— не превосходит max rank/t(¿). Работы [30], [31], [33] посвящены построению разностных схем для начальной задачи системы (0.0.6). В статьях [86], [88], [89], [115] и монографиях [90], [91], [149] предложены методы "разрешения" исходной системы относительно x'(t).

3 а. Многошаговые методы.

Первые методы, основанные на формулах дифференцирования назад, для численного решения ДАС индекса один вида:

X = f(t, ж, у) g(t,x,y) = 0, были предложены в работах [13], [122].

В 1975 г. вышла статья [12], в которой был дан детальный анализ неявного метода Эйлера для численного решения линейных ДАС с постоянными коэффициентами (0.0.5):

А(х>+1 - Хг) + кВх{+1 = 1г/(и+1), (0.0.11) я0 = а;(0), ¿ = 0,1,.,#-1, /г = 1/Ж

В этой же работе доказана сходимость данного метода к точному решению исходной задачи с порядком О (к), К < /¿о, начиная с г > г, где г— индекс пучка матриц ХА + В, т.е. минимальное целое неотрицательное число, при котором справедливо равенство гапк((ЛЛ + В)~1А)Г+1 = гапк((АА + В)~1А)Г.

Позже вышлел ряд статей [6], [43], [95], [126], [145] и монографий [127], [149], в которых проведен подробный анализ возможности применения линейных многошаговых методов вида р V о 3=0 рур + 1,.,7У-1, /г = 1/]У и р р р /(1//1 £ £ ]Г Р5*1+1-]) = 0,

0 з=0 з=0 для численного решения (0.0.4), с условием

0 ф 0 и р0 Ф 0. (0.0.14)

Все эти методы учитывают структуру пучка якобианов

А<9/(у, ж, г)/ду + <Э/(у, ж, г)/дх.

0.0.12)

0.0.13)

Методы (0.0.12), (0.0.13) обладают свойством устойчивости для ОДУ, т.е. все корни характеристического уравнения

Е = о. о лежат в единичном круге и на границе круга нет кратных корней (см., напр. [7] ).

Как будет показано в дальнейшем, для численного решения некоторых ДАС можно отказаться от условий (0.0.14) и устойчивости.

3 б. Методы Рунге-Кутта.

Для ДАС вида (0.0.4) с начальным условием ж(0) = а, М—стадийные методы Рунге-Кутта (РК) обычно записывают в виде [149, с.78]: м

Х^х^х + Ь Е а,кХк,и~1 + = 0, 7 = 1,2, .,М, к=1 м + (0.0.15) 1 где к = и —

Уже вышло и в настоящее время продолжает выходить большое количество статей, посвященных различным вопросам теории методов РК для ДАС. Достаточно полно теория этих методов разработана для:

1) линейных ДАС с постоянными коэффициентами (0.0.5) [129], [149];

2) ДАС индекса один [57], [97], [129],[130];

3) ДАС, имеющих форму Хессенберга индекса не выше трех [97],

129], [130], [132], [149] .

Отметим, что первая работа по применению методов РК (коллока-ционным методам) к ДАС принадлежит автору 1. В монографях [129],

130], [132], [149], проведен подробный анализ различных методов РК и дана обширная библиография по данному вопросу. булатов М.В. Применение коллокационных разностных схем для решения сингулярных линейных систем ОДУ. // Четвертая межвузовская конференция молодых ученых. 4.1: Тез. докл. - Иркутск: Иркут. ун-т, 1986, -4с.

3 в. Методы типа коллокационных.

Методам типа коллокационных в настоящей работе посвящен ряд параграфов. Приведем общий вид этих методов: т 1 Р 1

1/^ ljxi+s-jltг+1) = 0)

0 ;=о

Ш 9 Р f(l/h 2) = о,

7=0 ¿=0 т р

1/Л £ Цхц-в-,1 Е ^.Ч-.-;, £+.) = 0, (0.0.16)

0 ¿=0

Здесь т Р

1/^ XI Щхг+8~31 ^2 Цxi+s-j^>^i+q) = 0—

7=0 7=0 аппроксимация исходной системы (0.0.4). Предполагается, что £1, а?2, — заранее вычислены, жо = ж(0).

Из системы (0.0.16) находим а;г+1, атг+2,

В ряде случаев некоторые из этих методов можно представить в виде методов РК, но это не всегда так. Забегая вперед, отметим, что в деталях данные методы разобраны в третьей главе.

4. Применение теории ДАС в других областях математики.

Исследования по применению теории ДАС в некоторых областях дифференциальной геометрии и по теории бифуркаций можно найти в работах [152], [153].

Различные постановки задач, связанные с теорией управляемости (оптимального управления) и наблюдаемости, опубликованы в монографиях [10], [149] и статье [158].

Отметим ряд монографий [10], [39], [90], [132], 149], в которых приведены ДАС, описывающие конкретные прикладные задачи.

В статьях [72], [73], [74] рассмотрены задачи более общего вида, чем ДАС. Форма их записи следующая:

A{t)x(t) + B{t)x{t) = f(t), t G [0,1], где A(t),B(t)— некоторые операторы, действующие из одного банахова пространства Н\ в другое банахово пространство Щ

Здесь оператор A(t) не имеет обратного ограниченного оператора.

Отметим, что прямое перенесение техники, предложенной в этих работах для исследования ДАС, нецелесообразно из-за сложных выкладок.

Перейдем теперь к обзору литературы по тематике "вырожденные системы интегро-дифференциальных уравнений." Под термином "вырожденные системы интегро-дифференциальных уравнений" в данной работе подразумевается системы интегро-дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей перед старшей производной. Частными случаями исходной системы являются:

1) линейные вырожденные системы интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра : к 1

IK(t,r)x(r)dr = /(«), t е [0,1], (0.0.17) t=0 б

2) линейные вырожденные системы интегро-дифференциальных уравнений со слабой особенностью: /(< - т)-*к& r)x{r)dr = /(<), г=0 g i G [0,1], 0 < Of < 1, (0.0.18)

3) линейные вырожденные системы интегро-дифференциальных уравнений типа Фредгольма : к 1 i=0 0

J K(t,T)x(r)dr = f(t), t е [0,1], (0.0.19) где Ai(t), i = 1,2,., K(t, т) - (n x n) матрицы с непрерывными элементами и во всех трех случаях Ao(i) 0, но det = 0.

4) линейные вырожденные системы интегро-дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и ядром типа свертки : к 1 /- r)a;(r)dr = /(*), / G [0,1], (0.0.20) i=0 i где Ai, i = 1,2,к— постоянные (n х п)— матрицы, K(t — г) — (n х n) матрица и Aq ф 0, det Aq = 0.

Выделим из этого класса интегральные уравнения вида: t a{t,x(t)) + J b(t, т, х(т))с1т = /(f), < <= [0,1], (0.0.21) о где a(*,z(*)) : DRn, D С #n+1; b{t,r,x(r)) : ^ Д", С Яп+2, с условием detda(tyx)/dx = 0. (0.0.22)

Системы (0.0.22) будем называть системами интегральных уравнений Вольтерра четвертого рода. Попутно заметим, что для данных уравнений используется термин "интегро-алгебраические уравнения" [123]. О том, почему автор предпочитает именно название "системы интегральных уравнений Вольтерра четвертого рода", будет подробно изложено в главе, посвященной интегральным уравнениям.

Выпишем некоторые аналоги системы (0.0.21) с условием (0.0.22) : t

4(ф-(/) + J b{t,T,x{T))d.T = f(t), t e [0,1], (0.0.23)

0 4

-квазилинейные системы интегральных уравнений Вольтерра четвертого рода; t

A(t)x(t) + J К(t,T)x(r)dT = /(*), te [0,1], (0.0.24) о

-линейные системы интегральных уравнений Вольтерра четвертого рода; t

A(t)x(t)+J(t-T)-aK(t,T)x(r)dT = f(t), / G [0,1], 0 < а < 1, (0.0.25) о

-линейные системы интегральных уравнений четвертого рода со слабой особенностью в ядре; t

Ax(t) + J K(t - T)x(r)dr = f(t), t E [0,1], (0.0.26) о

-линейные системы интегральных уравнений четвертого рода с постоянными коэффициентами и ядром типа свертки.

Аналогичную классификацию можно провести для систем интегральных уравнений Фредгольма четвертого рода, меняя верхние пределы интегрирования в задачах (0.0.22) - (0.0.26) с t на 1.

Отметим, что во всех случаях, если не оговорено особо, будем считать п > 2, где п— размерность вектор-функции x{t).

Количество работ, посвященных системам интегральных уравнений Вольтерра ( Фредгольма) четвертого рода и вырожденным системам интегро-дифференциальных уравнений, значительно уступает числу работ по тематике ДАС.

В статье [123] введено определение индекса задачи (0.0.22) через норму невязки в соответствующих пространствах. В работах [138], [139] предложены и обоснованы некоторые численные методы решения систем вида (0.0.23) индекса один, у которых матрица А =

Различные интегральные преобразования для задач (0.0.24), (0.0.26) предложены в статьях [8], [92].

В работах [73]. [74] рассмотрены вопросы существования решения в классах обобщенных функций задачи вида:

A(t)x(ij + J K(t;T)i(rjdT = f{iy, t G [0,1], ' r (0.0.27) о . - - .

K(t,r)— некоторые операторы, действующие из одного" банахова пространства Щ в другое банахово пространство причем оператор A(t) не имеет ограниченного обратного. Техника исследования, приведенная в этих статьях для задачи (0.0.27), достаточно слож rf\ - , : > - ■ î I I - ') .' - ,:)-- 'Vf' 4- /± s j Г • . f 1 ! ' на й поэтому eé применение дл!я }фг1ВненМ-(10'.'03.24)/(0.0;2б) riè' даёт должного эффекта при исследовании существования и единственности решения этих задач.

Частным видом систем (0.0.23) - (0.0.26) при п = 1 являются интегральные уравнения Вольтерра первого рода:

- ' -if t

J К (t. т. х(т ))(1т = /(*), t G [0,1], (0.0.28)

-,'•■ - 0 ' :

-нелинейные с ядром Урысона; ^ .-t ■

J K(t,T)2(T,x(r))dT =j(t), t G [0,1],. (0.0.29) о

-нелинейные с ядром Гаммерштейна; * . о

-линеиные; li cvrr* :: - : • - ï'. ' ■ г лу iUrfi' -н ъ ■ .г: ¡- v .^.^^.'Гн-'^-и'-.г^/ Ч " '■ l T)xiT)dT ■= Ьг°.-< а . (o,o:3Q о сх'.м &XLix<i (v:A : *a r = ' « •

-линеиные типа Абеля; " J . ль (;»',. t

J K{t - T)x(r)dT = f(t), t e [0,1], (0.0.32) 0

-линейные с ядром типа свертки.

Отметим, что к настоящему времени вышло и продолжает выходить большое количество работ по численному решению интегральных уравнений Вольтерра первого рода. Даже для их перечисления потребовалось бы слишком много места. Например, в монографии [107] библиография занимает 50 стр. Поэтому в кратком обзоре упомянем только первые работы, монографии и обзорные статьи.

Вначале остановимся на линейном уравнении (0.0.30). Хорошо известно, что данные уравнения относятся к классу некорректных задач. Одной из первых работ по таким задачам была статья А.Н. Тихонова [80]. Современное состояние теории некорректных задач отражено в монографиях [37], [51], [81], в которых дана исчерпывающая бибилио-графия по данной тематике.

Так как уравнения Вольтерра являются частным случаем уравнений Фредгольма, то регуляризирующие алгоритмы (РА), разработанные для уравнений Фредгольма, можно применять и для уравнений Вольтерра. Однако такой подход приводит к потери вольтерровости регуляризованного уравнения, в результате чего при дискретизации полученного уравнения нам придется решать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с полностью заполненной матрицей вместо нижне-треугольной.

Отметим, что все результаты, касающиеся численного решения (0.0.30), разработаны для случая

K(t, t) ф О V/ G [0,1], /(0) = 0, (0.0.33) либо для случая

А'(М) = 0, K't{t,r) \т=гф 0 Vi £ [0,1], /(0) = /'(0) =0. (0.0.34)

Первые результаты по а—регуляризации уравнения (0.0.30) опубликованы в работах [48], [61], [71].

Что же касается вопросов численного решения задачи (0.0.30), то отметим первые работы [4], [102], [135], [136], [142].

В работе [4] впервые показано, что процедура дискретизации задачи (0.0.30) порождает РА, если для-численного решения данной задачи применять простейшие квадратурные формулы, где параметром регуляризации является шаг дискретизации.

В статьях [79], [142] и диссертации [78] обнаружен следующий интересный факт: некоторые численные методы решения задачи (0.0.30) с условием (0.0.33) являются неустойчивыми ( например, метод, основанный на квадратурной формуле Симпсона), а при выполнении условия (0.0.34)-устойчивыми.

Построение многошаговых методов численного решения уравнений Вольтерра первого рода описано в [78], [79], [107].

Теория методов РК и коллокационных методов для данных задач развита в работах [99], [101], [103], [135], [136].

Исчерпывающую библиографию по данным вопросам можно найти в монографиях [107], [143], обзорных статьях [3], [79], [99], [100] и диссертациях [2], [78].

Алгоритм для численного решения уравнения Абеля первого рода (0.0.34) с условием (0.0.33) впервые предложен в работе [160].

Наиболее полные результаты по исследованию уравнений Абеля, вместе с обширнейшим списком работ по данной тематике представлен в капитальной монографии [70].

Современное состояние численных методов решения уравнений (0.0.31), с условием (0.0.33) отражено в монографиях [107], [128] и обзорных статьях [104], [105], [120], [157].

Интересные приложения уравнений с ядром типа свертки (0.0.32) отражены в работе [137].

Перейдем теперь к описанию структуры диссертации. Она состоит из введения, четырех глав, приложения, заключения и списка литературы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для систем дифференциально-алгебраических уравнений и интегральных систем с вырожденной матрицей перед искомой вектор-функцией разработаны численные методы решения. Обоснована редукция таких задач к системам ОДУ и интегральным уравнениям второго рода. Основные результаты сформулируем следующим образом.

1. Доказан ряд з'тверждений о блочном представлении переменных матриц и матричных пучков.

2. Введено понятие А— матриц, обладающих доминантным признаком. Изучен ряд свойств таких матриц.

3. Выделены классы ДАС : линейные с вещественно-аналитическими коэффициентами; квазилинейные, удовлетворяющие критерию "ранг-степень"; нелинейные, имеющие Хессенбергову форму, для которых предложена редукция к системам ОДУ. Показано, что в некоторых случаях такое преобразование обладает свойством устойчивости по Ляпунов}^.

4. Для одного класса линейных ДАС предложены методы возмущения.

5. Описана редукция линейных ДАС к системам интегральных уравнений Вольтерра второго рода.

6. Выделены классы ДАС высокого индекса, для которых доказана сходимость блочных разностных схем. Получены оценки скорости сходимости данных алгоритмов. Доказано, что предложенные методы являются саморегуляризирующим оператором, т.е. параметром регуляризации является шаг дискретизации.

7. Построены устойчивые алгоритмы численного решения интегральных уравнений Вольтерра 1 рода (скалярный случай), которые имеют индекс некорректности больше единицы.

8. Приведены достаточные условия существования и единственности непрерывного решения класса систем интегральных уравнений

Вольтерра 1 рода, у которых Ф 0> det/í(í,t) = 0. Доказана сходимость и регуляризирующие свойства численного алгоритма, основанного на методе средних прямоугольников, для таких систем.

9. На основе А— матриц, обладающих доминантным свойством, сформулировано понятие индекса одного класса линейных интегро-дифференциальных систем к—го порядка с вырожденной матрицей перед старшей производной. Получены достаточные условия существования и единственности решения таких систем в классе Ск. Получена достатачно простая формула вычисления индекса данных задач и, как частный случай, приведена новая формула вычисления индекса матричного пучка.

10. Приведены достаточные условия существования и единственности непрерывного решения класса систем интегральных уравнений Вольтерра с вырожденной матрицей перед искомой вектор-функцией и со слабой особенностью в ядре.

11. Выделено семейство нелинейных интегро-дифференциальных систем первого порядка с вырожденной матрицей перед производной, имеющих единственное непрерывно-дифференцируемое решение. Предложен численный метод решения таких задач.

12. Для одного класса интегральных уравнений предложен метод регуляризации.

1. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание.-М: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977, 224 с.

2. Апарцин A.C. Дискретизационные методы регуляризации интегральных уравнений 1 рода типа Вольтерра.- Дисс. . . . канд. физ.-мат. наук. Иркутск, 1983, 176 С.

3. Апарцин A.C. Дискретизационные методы регуляризации некоторых интегральных уравнений 1 рода // Методы численного анализа и оптимизации. Новосибирск: Наука, 1987, С.263-297.

4. Апарцин A.C., Бакушинский А.Б. Приближенное решение интегральных уравнений Вольтерра 1 рода методом квадратурных сумм // Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск: Ирк. унив.-т, 1972. С.248-258.

5. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. - 304 с.

6. Бахилина И.М., Лернер ДМ. Алгоритм решения дифференциальных уравнений, не приведенных к форме Коши // Изв. ЛЭТИ. 1980, N 269, С.80-84.

7. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973.

8. Белов И.И. Задача Коши для линейных нагруженных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра с вырожденной матрицей при производной //Краевые задачи. Иркутск: Иркутский гос.университет, 1997, С.99-102.

9. Бельткжов Б.А. Аналоги методов Рунге-Кутта для решения нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра // Дифф. уравнения 1965, N 1, С.417-433.

10. Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1980. - 222 с.

11. Бояринцев Ю.Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988. - 158 с.

12. Бояринцев Ю.Е., Корсуков В.М, Применение разностных методов к решению регулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Вопросы прикладной математики. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1975. - С.140-152.

13. Булатов М.В. О сингулярных системах обыкновенных дифференциальных уравнений / / Некорректно поставленные задачи в естественных науках. Тез. докл., Москва 19-25 августа 1991.

14. Булатов М.В. Редукция систем алгебро-дифференциальных уравнений.// Дифференциальные уравнения с частными производными. Новосибирск: СО АН СССР Институт математики, 1991, С.59-63.

15. Булатов М.В. О вырожденных системах интегральных уравнений типа Вольтерра // Интегральные уравнения и краевые задачи математической физики. Сб. тр. Всес. конф., Владивосток, 22-26 окт., 1990, 4.2, Владивосток, 1992, С.18-22.

16. Булатов М.В. О приведении к форме Коши неявных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.// Численные методы анализа и оптимизации. Новосибирск: Наука, 1992. - С.83-90.

17. Булатов М.В. Устойчивое вычисление матрицы Дразина.//Методы оптимизации и их приложения.- Иркутск: СЭИ СО РАН, 1992. С.228-231.

18. Булатов М.В. О преобразовании алгебро-дифференциальных систем уравнений. //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1994. Т.34. N 3. С.360-372.

19. Булатов М.В. О тривиальном решении вырожденных систем интегральных уравнений.// 10 Байкальская школа-семинар "Методы оптимизации и их приложения", Тез. докл., Иркутск, СЭИ СО РАН, 1995, С.242.

20. Булатов М.В. Об одном классе разностных схем для численного решения дифференциально-алгебраических систем.// 10 Байкальская школа-семинар "Методы оптимизации и их приложения", Тез. докл., Иркутск, СЭИ СО РАН, 1995, С.242.

21. Булатов М.В. О возмущении алгебро-дифференциальных систем уравнений. //Компьютерная логика, алгебра и интеллектуальное управление. Сб. трудов Всерос. школы., 1995, Т.4, Иркутск: Ир ВЦ СО РАН

22. Булатов М.В. Метод возмущения дифференциально-алгебраических систем. //Изв. вузов. Математика. 1997. - N.11. - С.3-9.

23. Булатов М.В. Численное решение систем интегральных уравнений Вольтерра I рода.//Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998, Т.38. N 4. С.607-610.

24. Булатов М.В. Редукция вырожденных систем интегральных уравнений типа Вольтерра к невырожденным. //Изв. вузов. Математика, 1998, N 11(438), С.14-21.

25. Булатов М.В. О разностных схемах для дифференциально-алгебраических систем. //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1998, Т. 38, N 10, С.16411650

26. Булатов М.В. О нелинейных системах интегральных уравнений четвертого рода. //Труды 11-й Байкальской Международной Школы-Семинара "Методы оптимизации и их приложения", 5-12 июля 1998, Иркутск, Байкал, Т.4, 1998, С. 68-71.

27. Булатов М.В., Булатова A.A. О численном решении вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. /./Изв. вузов. Математика, 1992, N 1, С.21-26.

28. Булатов М.В., Чистяков В.Ф. О.б условиях сходимости разностных схем для систем ОДУ, не разрешенных относительно производных. // Методы численного анализа и оптимизации.- Новосибирск: Наука, 1987, С.175-187.

29. Булатов М.В., Чистяков В.Ф. Один метод численного решения линейных сингулярных систем ОДУ индекса выше единицы.// Численные методы анализа и их приложения. Иркутск: СЭИ СО АН СССР,1987, С. 100-105.

30. Булатов М.В., Чистяков В.Ф. О вырожденных системах дифференциальных уравнений в частных производных.// 5 Всесоюзная школа-семинар "Современные проблемы жидкости и газа", Тез. докл., Иркутск: Ир ВЦ СО АН СССР, 1990, С,77.

31. Булатов М.В., Чистяков В.Ф. Решение алгебро-дифференциальных систем методом наименьших квадратов. //Труды 11-й Байкальской Международной Школы-Семинара "Методы оптимизации и их приложения", 5-12 июля 1998, Иркутск, Байкал, Т.4, 1998, С. 72-75.

32. Булатов М.В., Чистяков В.Ф., Щеглова A.A. Многошаговые разностные схемы для решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений .// Численные методы анализа и оптимизации. Новосибирск: Наука, 1992, С.90-96.

33. Буслаев B.C. Вариационное исчисление: Учеб. пособие. Л.:Изд-во Ленингр. ун-та. - 1980. - 288 с.

34. Ваарман О. Обобщенные обратные отображения.- Таллинн: Валгус,1988, 120 с.

35. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах.- М: Наука, 1986, 183 с.

36. Васильева А.Б., Тихонов H.A. Интегральные уравнения. М.:Изд-во Моск. ун-та, 1989. - 156 с.

37. Влах И., Сингхал К. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем. М.: Радио и связь, 1988. - 560 с.

38. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1978. - 303 с.

39. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. - 576 с.

40. Гудович H.H. О новом методе построения устойчивых разностных схем любого наперед заданного порядка аппроксимации для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. //Ж. вычисл. матем. иматем. физ. 1975. Т. 15. N 4. С.931-945.

41. Данилов В.А. Двухшаговая схема для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей перед производными / / Приближенные методы решения операторных уравнений и их приложения. Иркутск:СЭИ СО АН СССР, 1982. - С.84-93.

42. Данилов В.А, Чистяков В.Ф. О препятствиях на пути построения эффективных численных методов решения алгебро-дпфференциальных систем. Иркутск, 1990 - 54 с. (Препринт / ИрВЦ СО АН СССР; 5).

43. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутта для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. М: Мир, 1988.

44. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости.- М.: Наука, 1967.

45. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики.- М.: Гос. изд. физ.-мат. лит., 1961. 659с.

46. Денисов A.M. О приближенном решении уравнения Вольтерра 1 рода //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1975. Т.15. N 4. С.1053-1056.

47. Забрейко П.П. и др. Интегральные уравнения. М: Наука, 1968. -448 с.

48. Задорин А.И. О существовании и единственности решения некоторых разностных задач для квазилинейного обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром // Численные методы механики сплошной среды., 1984, Т.15, N.1. С.33-44.

49. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения.- М: Наука, 1978., 206 с.

50. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

51. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории фз'нкций и функционального анализа. М.: Наука, 1975.

52. Краснов М.Л. Интегральные уравнения. М: Наука, 1975. - 304 с.

53. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. М: Наука. Т 1., 1977. - 400 с.

54. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. М: Наука. Т 2., 1977. - 400 с.

55. Куликов Г.Ю. Численное решение задачи Коши для системы дифференциально-алгебраических уравнений с помощью неявных методов Рунге-Кутты с нетривиальным предиктором //Ж. вычисл. ма-тем. и матем. физ. , 1998, Т.38, N1, С. 68-84.

56. Курина Г.А. О линейных гамильтоновых системах, не разрешенных относительно производной // Дифференциальные уравнения, 1986, Т.22, N2, С.193-198.

57. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982, - 270 с.

58. Лузин H.H. К изучению матричной системы теории дифференциальных уравнений // Автоматика и телемеханика, 1940, N5, С.4-66.

59. Магницкий H.A. Об одном методе регуляризации уравнений Воль-терра 1 рода //Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1975, Т15, N 5, С.1317-1323.

60. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. M.: На)'ка, 1972, - 232 с.

61. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности разностных схем. М.: Наука, 1979. - 318 с.

62. Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. Новосибирск: Наука, 1997. - 194 с.

63. Овчаренко В.В.,Макарущенко Н.П. О приведении регулярных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений к канонической форме // Укр.мат.журн., 1986, Т.38, N4, С.520-523.

64. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. -М: Мир, 1975. -558 с.

65. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1964. - 272 с.

66. Приближенное решение операторных уравнений / Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П. и др. М.: Наука, 1969. - 445 с.

67. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М: Наука, 1979. - 208 с.

68. Самко С.Г., Килбас А.А.,Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения.- Минск: Наука и техника, 1987, 688 с.

69. Сергеев В.О. Регуляризация уравнения Вольтерра 1 рода // Докл. АН СССР, 1971, Т.197, N 3, С.531-534.

70. Сидоров H.A. А-присоединенные множества линейных операторов и их приложения к дифференциальным уравнениям / / Методы оптимизации и исследование операций. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1984.-С.169-184.

71. Сидоров H.A., Романова О.А.,Благодатская Е.Б. Уравнения с частными производными с оператором конечного индекса при главной части // Дифференциальные уравнения, Т.30, N 4, 1994.- С.729-731.

72. Сидоров H.A., Фалалеев М.В. Обобщенные решения вырожденных дифференциальных и интегральных уравнений в банаховых пространствах // Метод функций Ляпунова в анализе динамики систем. Новосибирск : Наука, 1987, С. 308-318.

73. Скрипник В.П. Вырождающий параметр и вырожденные уравнения // Лит.мат.сб., 1980, Т.20, N 1, С.165-173.

74. Скрипник В.П. Вырожденные линейные системы // Изв.вузов. Математика, 1982, N 3. С. 62-67.

75. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Редакторы "Дж. Холл и Дж. Уатт. М: Мир, 1979, 312 с.

76. Тен Мен Ян. Приближенное решение линейных интегральных уравнений Вольтерра 1 рода.- Дисс. . . . канд. физ.-мат. наук. Иркутск, 1985, 160 С.

77. Тен Мен Ян. Об устойчивых многошаговых методах решения уравнений Вольтерра 1 рода. // Методы численного анализа и оптимизации.- Новосибирск: Наука, 1987, С.227-263.

78. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач.// Докл. АН СССР, 1943, Т.39, N 5, с.195-198.

79. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.-М: Наука, 1978., 206 с.

80. Хартман Ф.Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: 1970.

81. Чистяков В.Ф. Об одной теореме существования решений у сингулярных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1981 Т. 12, N 6. - С. 135-149.

82. Чистяков В.Ф. К методам решения сингулярных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Вырожденные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1982. - С.37-65.

83. Чистяков В.Ф. О влиянии возмущений входных данных при решении линейных сингулярных систем ОДУ / / Приближенные методы анализа и их приложения. Иркутск:СЭИ СО АН СССР, 1985. - С.136-146.

84. Чистяков В.Ф. О расширении линейных систем, не разрешенных относительно производных. Иркутск, 1986 - 25 с. (Препринт / ИрВЦ1. СО АН СССР; 5)

85. Чистяков В.Ф. О сингулярных системах обыкновенных дифференциальных уравнений и их интегральных аналогах //Функции Ляпунова и их применения. Новосибирска Наука, 1987. - С.231-239.

86. Чистяков В.Ф. О нетеровом индексе линейных алгебро-дифферен-циальных систем // Снб.мат.журн. 1993. - Т.34, N 3. - С.209-221.

87. Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром //Алгебро-дифференциальные системы и методы их решения. Новосибирск: Наука, 1993. - С.77-89.

88. Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром. Новосибирск: Наука, 1996. - 278 с.

89. Численные методы решения сингулярных систем / Бояринцев Ю.Е. и др. Новосибирск: Наука, 1989. - 223 с.

90. Шароглазов B.C. К решению Задачи Коши для линейных систем интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра с вырожденной матрицей при производной //Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск, Иркутский гос.университет, 1980. - С.98-106.

91. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. Части 1-2. М.:Наука, 1972. - 624 с.

92. Шлапак Ю.Д. Периодические решения линейной системы дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производных // Укр. мат. журн. 1975. - Т.27, N.1 - С.137-140.

93. Arevalo С., Soderlind G. Convergence of multistep discretizations of DAE's // BIT(35) 1995. P.143-168.

94. Ascher U. On numerical differential algebraic problems with application to semiconductor device simulation //SIAM J. Numer. Anal., V. 26, 1989, P. 517-538.

95. Ascher U., Petzold L. Projected implicit Runge-Kutta methods for differential-algebraic systems.// SIAM J. Numer. Anal., V. 28. 1991, P.1097-1120.

96. Aparcin A.S. Some ill-posed problems and their application in energy research.// Sov. Tech. Rev. A. Energy. V.6, part 1. Harwood Academic Publishers, Gmbh, USA, 1992, P. 65-125.

97. Brunner H. Collocation methods for one-dimensional Fredholm and Volterra integral equations.// The State of the Art in Numerical Analysis ( A.Iserles and M.J.D.Powell, eds.), Clarendon Press, Oxford, 1987, P.563-600.

98. Brunner H. 1896-1996: One Hundred Years of Volterra Integral m Equations of the first kind.// Appl. Numer. Math., V. 24, 1997, P.8393.

99. Brunner H. The use of splines in the numerical solution of differential and Volterra integral equations.// Spline Functions and the Theory of Wavelets 1, 2 (Montreal 1996), (Serge Dubuc, ed) CRM Proceedings and Lecture Notes AMS, Providence, RI, 1998.

100. Brunner H. The solution of Volterra integral equations of the first kind by picewise polynomials.// J. Inst. Math. Appl., V.12, 1973, P. 295-302.

101. Brunner H. Superconvergence of collocation methods for Volterra integral equations of the first kind.// Computing, V.21, 1979, P. 151-157.

102. Brunner H. Open problems in the discretization of Volterra integral equations.// Numer. Funct. Anal. Optim., V.17, 1996, P. 717-736.

103. Brunner H., Bulatov M. On Singular Systems of Integral Equations with Weakly Singular Kerneks.// Proceeding of 11-th Baikal International School-Seminar "Optimization Mathods and Their Applications", Irkutsk, Baikal, July 5-12, V.4, 1998, P. 64-68.

104. Brunner H., van der Houwen P.J. The Numerical Solution of Volterra Equations. North-Holland, Amsterdam, CWI Monographs 3, 1986, 588 p.

105. Bulatov M.V. On the trivial solution of Volterra homogeneous integralequation of the first kind.// Современные методы нелинейного анализа, Тез. докл. 26-29 апреля 1995, Воронеж, 1995, С.17.

106. Bulatov M.V., Bulatova A.A. The methods of solution for singular systems of ordinary differential equations.// Simposium on modeling, inverse problems and numerical methods. Tallinn, April 15-20, 1991.

107. Bulatov M.V., Chistyakov V.F. The properties of differential-algebraic systems and their integral analogs. Preprint/September. Memopial University of Newfoundland, 1997. 35 p.

108. Butcher J.Ch. The numerical analysis of ordinary differential equations: Runge-Kutta and general linear methods.- Wiley, Chichester, 1987, 512 p.

109. Butcher J.Ch. Implicit Runge-Kutta Processes // Math. Comput., V. 18, 1964, P.50-64 p.

110. Campbell S.L. Singular system of differential equations. San-Francisco: Pitman, 1980.

111. Campbell S.L. Singular system of differential equations 2. San-Francisco: Pitman, 1982. - 234 p.

112. Campbell S.L. Non BDF methods for the solution of linear time varying implicit differential equations // Proc. Amer. Contr. Conf. San Diego, Calif.,5-6 June. - 1984. - V.3. - P.1315-1318.

113. Campbell S.L. Least squares completions of nonlinear index three hessenberg DAEs. Proc. IMACS 91, vol.3, 1145-1148.

114. Campbell S.L. Uniqueness of Completions for Linear Time Varying Differential Algebraic Equations. 1992. - Linear algebra and its applications. - P.55-68.

115. Campbell S.L., Petzold L.R. Canonical forms and solvable singular systems of differential equations // SIAM .J. Alg. and Discrete Methods. -1983 N 4. - P.517-521.

116. Eich E., Hanke M. Regularization Methods for Constrained Mechanical Multibody Systems. Berlin :Fachbereich Math, der Humboldt-Univ. -(Preprint; 91-8) - 1991.

117. Gear C.W. The simultaneous numerical solution of differential-algebraic equations. // IEEE Trans. Circuit. Theoty, CT-18,1971, p. 89-95.

118. Gear C.W. Differential-algebraic equations, indices, and integral algebraic equations // SIAM J. on Numer. Anal. 1990. - V.27, N 6. -P. 1527-1534.

119. Gear C.W. Invariants and numerical methods for ODEs. 1992. -Physica D. - P.303-310.

120. Gear C.W., Petzold L.R. Differential/algebraic systems and matrix pencils // Lect. Notes. Math. 1983. - N 973. - P. 75-89.

121. Gear C.W., Petzold L.R. ODE methods for the solution of differentially algebraic systems // SIAM J. on Number. Anal. 1984. - V.21, N 4.1. P.716-728.

122. Griepentrog E., Maerz R. Differential-algebraic equations and their numerical treatment. LeipzigrBSB B. G. Teubner Verlags gesellschaft, 1986. - 220 p.

123. Gripenberg G., Londen S.-O., Staffans O. Volterra Integral and Functional Equations. Cambridge: Cambridge University Press, 1990.

124. Hairer E., Lubich C., Roche M. The numerical solution of differentials'algebraic system by Runge-Kutta methods. Report CH-1211, Dept. de Mathematiques, Universite de Geneve, Switzerland, 1988.

125. Hairer E., Lubich C., Roche M. The numerical solution of differential-algebraic system by Runge-Kutta methods. Springer-Verlag, Berlin, 1989.

126. Hairer E., Norsett S.P., Wanner G. Solving ordinary differential equations 1, Nonstiff problems. Springer Verlag, New York, 1987.

127. Hairer E., Wanner G. Solving ordinary differential equations 2, Stiffand differential-algebraic problems. Spring, 1991.

128. Hanke M. On the regularization of index 2 differential-algebraic equations. Berlin. - 1986. - (Preprint/Humboldt- Univ., Sekt. Math.;137).

129. Hanke M., Maerdimaee A. Eigenwertprobleme bei linearen algebro-differential gleichugen. Berlin. - 1988. - (Preprint/Humbold-Univ., Sekt. Math.;174)

130. Hoog F.R. de , Weiss R. On the solution of Volterra integral equations of the first kind // Numer. Math., 1973, V.21, P.22-32.

131. Hoog F.R. de , Weiss R. High order methods for Volterra integral equations of the first kind // SIAM J. Numer. Anal., 1973, V.10, P.647-664.

132. J anno J., Von Wolfersdorf L. Inverse problems for identification of memory kernels in viscoelasticity // Math. Methods in the Appl. Sciences.-1997, V.20, P.291-314.

133. Kauthen P.-J. The numerical solution of Volterra integral-algebraic equations by collocation methods.

134. Kauthen P.-J. Spline collocation methods for index 1 integral-algebraic equations. Math. Comp. , 1997.

135. Kuntzmann J. Neuere Entwickelungen der Methode fon Runge-Kutta. ZAMM, V.41, 1961, P.28-31.

136. Leimkuhler B., Petzold L.R., Gear C.W. Approximation methods for the consistent initialization of differential-algebraic equations // SIAM J. on Numer. Anal. 1991. - V.28, N 1. - P. 205-226.

137. Linz P. Numerical Methods for Volterra integral Equations of the First Kind.// Comput. J.,- 1969. V.12, N 4. - P. 393-397.

138. Londen S.-O., Staffans O.J.(eds.) Volterra Integral Equations. Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1979.

139. Lubich Ch. On projected Runge-Kutta methods for differential-algebraic equations.// BIT(31), 1991, p.545-550.

140. Maerz R. Multistep methods for initial value problems in implicitdifferential-algebraic equations // Beitrage zur Num. Mathem. 1984. - N 12. - P. 107-123.

141. Maerz R. On tractability with index 2.-Berlin.-1986.- (Preprint/Humbold-Univ., Sekt. Math.; 109).

142. Maerz R. Progress in handling differential-algebraic equations. // Annals of Numerical Mathematics 1994. -N 1. -P. 279-292.

143. Moore E.H. On the reciprocal of the general algebraic matrix. // Abstract. Bull. Amer. Soc. -(1919-1920), V.26, p.394-395.

144. Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential-Algebraic Equations / Brenan K.E., Campbell S.L., Petzold L.R. (Classics in applied mathematics; 14).-Philadelphia: SIAM, 1996.-256 p.

145. Penrose R. A generaliced inverse of matrices. // Proc. Cambrige Phil. Soc. -1955, 51, N 3, p.405-413.

146. Petzold L.R. Differential/algebraic equations are not ODE's // SIAM J. on Scient. and Statist. Computing. 1982. - v.3., N 3. - P. 367-384.

147. Rabier P.J., Reinboldt W.C. A geometric treatment of implicit differential-algebraic equations //J. Differential Equations, 1994, V. 109, P. 110-146.

148. Reinboldt W.C. Differntial-algebraic systems as differntial equations on manifolds // Math. Comp. 1984. - V. 43, N 168. - P. 473-482.

149. Sibuya Jr.Y. Some Global Properties of Matrices of Funktion of one Variable.//Math.Ann., 1965, r.lGl.N 1, p.67-77.

150. Silverman L.M., Inversion of multivariable systems.// IEEE Trans. Automat. Control, AC-14, 1969, p. 270-276.

151. Silverman L.M., Bucy R.S. Generalizations of theorem of Dolezal, Math.System Theory, 4. 1970. - p.334-339.

152. Sloan I. Superconvergence, in: Numerical Solution of Integral Equation (ed. Golberg M.A.) New York, Plenum Press, 1990, pp.35-70.

153. Tanartkit P., Biegler L.T. Stable Decomposition for Dynamic

154. Optimization.// Industrial Engineering Chemistry Research. V.34, 1995, P.1253-1256.

155. Weiss R., Anderssen R.S. A product integration method for a class of singular first kind Volterra equations.// Numer. Math. V.18, 1972, P. 442456.

156. Wilkinson J.H. Note on the practical significance of the Drazin inverse. // Nat. Phys. Lab., Rept. NAC., 1979, N 13, 18 p.

157. Булатов M.B. О преобразовании вырожденных систем интегральных уравнений типа Вольтерра.// Вычислительные технологии, Т.5, N 4, 2000, С.22-30.

158. Булатов М.В. Регуляризация вырожденных систем интегральных уравнений. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002, Т.42. N 3. С.58-63.

159. Булатов М.В. Об интегро-дифференциальных системах с вырожденной матрицей перед производной.// Диф. уравнения, 2002, Т.38. N 4, С.1-6.

160. Булатов М.В. Численное решение систем интегральных уравнений первого рода.// Вычислительные технологии, Т.6, N 4, 2001, С.3-8.

161. Булатов М.В. Блочно-коллокационные методы решения дифференциально-алгебраических систем.// Оптимизация, управление, интеллект, Иркутск: ИГУ, N 5(1), 2000, С.33-41.

162. Булатов М.В. Регуляризация вырожденных интегральных и интегро-дифференциальных систем.// Труды 12 Байкальской международной конференции "Методы оптимизации и их приложения", Иркутск, Байкал, 24 июня 1 июля 2001, Иркутск, 2001, С.58-62.

163. Булатов М.В. Численное решение дифференциально-алгебраических уравнений.// Воронежская весенняя мат. школа "Современные методыв теории краевых задач"."Понтрягинские чтения", Тез. докл., 3-9 мая 2001, Воронеж, 2001, С.36.

164. Булатов М.В. Численное решение вырожденных интегро-дифференциальны систем.// Международная конференция "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели", Тез. докл., 4-11 февраля 2002, Челябинск, 2002, С.14.

165. Булатов М.В., Чистяков В.Ф. Об одном численном методе решения дифференциально-алгебраических уравнений. // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002, Т.42. N 4, С.459-470.