автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Технология контроля вырождения многомерных динамических систем

На правах рукописи

ДУДАРЕНКО Наталия Александровна

ТЕХНОЛОГИЯ КОНТРОЛЯ ВЫРОЖДЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.01 — Системный анализ, управление и обработка информации (в технических системах)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург — 2006

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики,

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Ушаков Анатолий Владимирович Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Ледовский Анатолий Дмитриевич кандидат технических наук, доцент Поляков Константин Юрьевич

Ведущая организация:

Институт проблем машиноведения Российской академии наук

Защита состоится 20 июня 2006 г. в 17 часов 20 минут на заседании диссертационного совета Д.212.227.03 в Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики по адресу:

197101, г. Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д. 49, СПбГУ ИТМО.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики.

Автореферат разослан 18 мая 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Лямин А.В.

¿iGf^A -///¿С

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Тема диссертационных исследований, объединенных названием «Технология конгроля вырождения многомерных динамических систем», подсказана нынешним состоянием теории и потребностями практики разработки и эксплуатации современных многомерных управляющих комплексов, встраиваемых в техническую среду. Тенденция усложнения динамических систем в составе обслуживания технологического процесса, помимо требований к их устойчивости, надежности и адаптируемости к изменяющимся условиям, вызвала к жизни необходимость контроля такого системного свойства как склонность к возможному вырождению.

Следует констатировать, что состояние проблемы априорного контроля потенциального вырождения многомерной динамической системы (МДС) и контроля возможного ее вырождения в процессе эксплуатации таково, что на настоящий момент пока слабо разработан инструментарий контроля вырождения МДС. Разработке инструментария контроля вырождения и технологии его использования и посвящены проведенные диссертационные исследования.

Многомерная динамическая система (многомерный вход-выход) аппаратно реализует некий оператор, который отображает элементы пространства входов (целевых намерений) в пространство выходов (осуществляемых реализаций). Определенности ради, этот оператор можно считать линейным или, по крайней мере, локально линейным. Предполагается также, что указанные выше пространства coi ласованы по размерности, так что их размерности являются равными. В математической постановке линейный оператор считается вырожденным, если его ранг меньше размерности пространства. Развивая это определение, можно сказать, что процесс вырождения некоторой МДС есть процесс уменьшения ранга реализуемого ею линейного оператора На этой математической концепции строятся диссертационные исследования.

Очевидно, источников вырождения системы достаточно много. Так, система может вырождаться структурно, когда из ее состава выпадает некоторый функциональный элемент. Как следствие, размерность пространства выходов сокращается. Причины вырождения могут носить организационный характер, когда формируемые целевые намерения неудачно распределяются по входам каналов МДС. Вырождаться могут системы по причине параметрической природы, когда неудачно организованы связи между каналами системы, неудачно назначены показатели характеристик этих связей, когда неудачно сформированы полосы пропускания каналов, а в случае, если система имеет дискретную природу, неудачно назначены и распределены по каналам интервалы дискретности и т.д.

Изучение проблемы вырождения МДС находится пока в зачаточном состоянии. Библиографический анализ ситуации глубиной в двадцать Лет на базе таких журналов как «Автоматика и Телемеханика», «Теория и системы управления» (бывший «Техническая кибернетика»), «IEEE Transactions on Automatic Control» не обнаружил ни одной публикации

п названии которой

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С.-Петербург ^ ОЭ 20(Х£актУ/3

присутствовало бы понятие «вырождение». Но, попытки начать изучение такого свойства МДС как вырождение имели место Первыми такую попытку сделали математики, когда п шестидесятые годы двадцатого столетия группа американских ученых под руководством Wilkinson J H по заданию фирмы IBM, которая готовила к выпуску пакет программ для пользователей на языке фортран, провела комплексное исследование вычислительной устойчивости решений основных задач линейной алгебры. Результатом этой работы стала монография, в которой автором для оценки вычислительной устойчивости было введено понятие «число обусловленности» (condition number), которое по существу является численной оценкой вырождения линейной алгебраической задачи. Но, тем не менее, до настоящего момента в среде технических специалистов эта численная характеристика за некоторым исключением находит скромное применение.

Одновременно, академик Трапезников В.А. опубликовал на страницах журнала «Автоматика и Телемеханика» серию статей, посвященных проблемам производства и управления. Им рассматривалась отраслевая структура, которая построена по следующему правилу. Структура иерархична, сепаратные каналы, образующие многомерную систему, должны характеризоваться полосами пропускания, которые по мере перемещения по уровням иерархии от верхнего канального уровня к нижнему изменяются с расширением их диапазонов. При этом межканальные связи должны существовать только с соседними каналами. Многомерная система, построенная по схеме Трапезникова В.А., функционирует без вырождения, если гемп ввода заявок на входы сепаратных каналов согласован с их полосами пропускания Однако, в реальных условиях, особенно в системах с функциональными антропокомпоненгами, могут возникать эксклюзивные ситуации, когда заявка с нижнего уровня коммутируется для обслуживания на каналы верхних уровней иерархии В этом случае ситуация характеризуется тем, что верхние уровни начинают обрабатывать заявки, поступающие на их входы с несвойственным для режима их нормального функционирования темпом (интенсивностью), и, как следствие, может возникнуть опасность функционального разрушения системы, т.е. ее вырождения. Таким образом, ставилась задача такого распределения входных заявок, а также связей между уровнями МДС, при котором система сохраняла бы работоспособность и не вырождалась. В диссертационных исследованиях такая постановка проблемы именуется задачей Трапезникова.

Академику Трапезникову В.А. удалось решить поставленную задачу только на качественном уровне, так как на тот момент не существовало технологий контроля эволюции системы в сторону вырождения.

Целью диссертационной работы является разработка инструментария контроля вырождения многомерных динамических систем и технологии его использования.

Методы исследования. Основной математический аппарат при проведении диссертационных исследований составили' метод пространства состояний для непрерывных и дискретных многомерных систем, формализм аппарата матричных уравнений Сильвестра и Ляпунова, динамика систем при

конечномерных экзогенных воздействиях, анализ непрерывных и дискретных систем при многомерных стохастических воздействиях стационарных в широком смысле, аппарат функций чувствительности сингулярных чисел критериальных матриц МДС, интервальные модельные представления и интервальные оценки показателя вырождения.

Математический аппарат поддерживается программной и модельной средой пакета МАТ1.АВ. Текст диссертации соискателем структурирован с использованием таких рубрик как определение, утверждение, доказательство, примечание, пример и т.д. Диссертация содержательно состоит из введения, перечня прилагаемых сокращений и обозначений, пяти 1лав, заключения, списка литературы и приложений.

Научная новизна проведенных диссертационных исследований состоит в том, что:

1. Обращено внимание научной общественности на наличие такого системного свойства многомерных динамических систем как вырождаемость (Введение Постановка задачи).

2. Сформирована технология контроля вырождения МДС с помощью функционалов вырождения, конструируемых на спектре сингулярных чисел матрицы линейного оператора (ЛО) многомерной динамической системы, отображающего пространство целевых намерений в пространство реализаций (гл. 1).

3. Построены конструкции матриц ЛО, именуемые критериальными матрицами, для МДС непрерывной и дискретной реализации для случаев моделирования потоков входных заявок с помощью векторных одночастотных и многочастотных гармонических воздействий, а также с помощью векторных стохастических воздействий стационарных в широком смысле типа «белый» и «окрашенный» шумы (гл. 2, т. 3).

4. Математически решена задача конгрояя влияния неопределенностей параметров матричных компонентов МДС на ее склонное'! ь к вырождению с использованием аппарата теории чувствительности сишулярных чисел матрицы и интервального анализа (гл. 4).

5. Сформирована технология интегральной экспресс-оценки близости системы к вырождению на основе системных грамианов (гл. 5).

Практическая значимость и реализация результатов состоит в том, что:

1 Произведено комплексное исследование МДС, описываемой трехуровневой моделью академика Трапезникова В Л. для случаев непрерывной и дискретной ее реализаций при модельных представлениях потоков заявок в форме векторных одночастотных и многочастотных гармонических воздействий, а также в виде векторных стохастических воздействий стационарных в широком смысле типа «белый» и «окрашенный» шумы

2 На трехуровневой модели академика Трапезникова В.А экспериментально показано, что в случае распределения обслуживаемого потока по сепаратным каналам МДС в полном соответствии с полосами их пропускания не наблюдается вырождение такой системы даже в случае

непрерывно растущей «интенсивности потока заявок» (частоты моделирующего их экзогенного воздействия)

3. Показана принципиальная применимость разработанной технологии контроля вырождения МДС для случая реализации ее на антропокомпонентах.

Апробация работы. Работа выполнена на кафедре систем управления и информатики Санкт-Петербургскою государственного университета информационных технологий, механики и оптики. Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на XXXIII, XXXIIII и XXXV научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава СПбГУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2004, 2005 и 2006 гг.), 10-й и 11-ой Международных студенческих олимпиадах по автоматическому управлению ВОЛС2004 (Санкт-Петербург, 2004 г.) и ВОАС2006 (Санкт-Петербург, 2006 г.), II и III конференциях молодых ученых СПбГУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2005, 2006 гг.).

Публикации работы. По теме диссертации опубликовано 10 работ, из них 4 статьи в сборниках, 1 - в журнале, 5 - по материалам конференций

На защиту выносится комплексное решение задачи разработки технологии контроля вырождения многомерных динамических сис1ем, состоящее в-

1 Формировании математической концепции вырождения МДС на основе линейного оператора, отображающего пространство целевых намерений в пространство осуществляемых реализаций;

2 Разработке технологии контроля оценки степени вырождения многомерных непрерывных и дискретных динамических систем при векторном гармоническом модельном представлении потока входных заявок;

3 Разработке технологии контроля оценки степени вырождения многомерных непрерывных и дискретных динамических сисгем при сюхасшческом модельном представлении потока входных заявок;

4. Разработке технологии контроля оценки степени вырождения МДС в условиях ее модельных неопределенностей и при различных модельных представлениях потока входных заявок с использованием аппарата 1еории параметрической чувствительности;

5. Разработке технологии контроля оценки степени вырождения МДС в условиях ее модельных неопределенностей и при различных модельных представлениях потока входных заявок с использованием аппарата интервальных представлений и интервальных вычислений;

6. Решении прикладных проблем технологии контроля оценки степени вырождения МДС для случая систем с антропокомпонентами, функционирующими в условиях замкнутого функционального пространства, а также многомерной динамической системы в задаче Трапезникова В А Структура и объем работы. Диссертация содержит введение, пять глав,

заключение, список литературы, насчитывающий 42 наименования, и приложение. Основная часть работы изложена на 248 страницах машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В разделе «Введение. Постановка задачи» обоснована актуальность темы диссертационной работы и необходимость разработки инструментария для контроля вырождения многомерных динамических систем (МДС). Сформулированы цели, задачи исследования и основные положения, выносимые на защиту

В первой главе раскрывается концепция вырождения многомерной динамической системы. Вырождение МДС рассматривается в математической постановке как сокращение ранга линейного оператора (ЛО), причем основное внимание уделяем ся построению показателя непрерывною изменения ранга ЛО на множестве системных параметров.

Основная задача на первоначальном этапе исследований сводится к приведению задачи вход-выходных отношений многомерной динамической системы к локальнолинейной алгебраической задаче (ЛАЗ) вида

= <?)*(*), (1) где - тхт - матрица для любых значений уу, в\ 7(н"), хи-

мерные векторы; и< - принимает смысл непрерывного времени I, когда ЛАЗ (1) параметризована непрерывным временем, и смысл дискретного времени к, выраженного в числе интервалов дискретности длительности Л/, когда ЛАЗ (1) параметризована дискретным временем; в - т -мерный параметр, изменяющий алгебраические свойства матрицы N (которая в диссертации именуется критериальной) и принимающий смысл частоты т при спектральном гармоническом представлении внешнего воздействия.

Конегруирустся непрерывный аналог целочисленной оценки вырождения ЛАЗ (1) в форме функционалов вырождения СДС, конструируемых с помощью сепаратных чисет обусловленности вещественнозначной матрицы N(^¿,0) отношения вход-выход в следующей форме

^¿Щ^^^а^М), (2)

где ятах {/V} ~ а1 {¡V}, + = \,т -1 - соответственно максимальное и у-

ое сингулярные числа матрицы N, вычисляемые с помощью соотношений

= (3)

м)'г\,м}--Щм;1-нтЮ = о. (4)

Представлена геометрическая интерпретация исходной линейной алгебраической задачи (1), которая состоит в том, что единичная сфера в пространстве, натянутом на векторы х > отображается в эллипсоид, положение полуосей которою определяется элементами левого сингулярною базиса, а размер полуосей совпадает с сингулярными числами матрицы N.

Полученные в главе положения по сведению описаний вход-выходных отношений многомерной непрерывной и дискретной динамической системы к семейству ЛАЗ (1) оформлены в виде алгоритмов.

Алгоритм контроля вырождения многомерной динамической системы при заданном модельном описании потока входных заявок в общем случае сводится к следующим этапам:

1 Формирование векторно-матричного описания мноюмерной динамической системы и модели задающего воздействия.

2. Задание допустимого уровня функционалов вырождения критериальной матрицы N отношения вход-выход исследуемой системы.

3. Формирование критериальной матрицы многомерной динамической системы при заданном внешнем воздействии.

4. Вычисление алгебраического спектра сингулярных чисел критериальной матрицы исследуемой системы.

5. Конструирование на полученном спектре сингулярных чисел критериальной матрицы исследуемой системы глобального и сепаратных функционалов вырождения.

6. Фиксация неблагоприятных сочетаний параметров системы, для которых обнаруживаются явные тенденции МДС к вырождению.

7. Передача полученных результатов системному аналитику на предмет интерпретации и принятия системных решений.

Во второй главе диссертационной работы предлагается на рассмотрение технология контроля вырождения для случаев многомерных непрерывных и дискретных динамических систем при модельном представлении заявок на обслуживание в виде векторного гармонического экзогенного воздействия. Причем, для контроля вырождения конструируются критериальные матрицы отношения вход-выход как для одночастотного, так и для многочастотного модельных представлений потока входных заявок.

Конструирование матрицы N, которая в диссертации именуется критериальной, осуществляется на примере многомерной непрерывной динамической системы (МНДС) вида

= Рх(() + С8(1), х(0); у(1) = Сх{(), (5)

где х, у - векторы состояния, задающего воздействия и выхода соответственно; хей", g,y е Я"; Г, О, С - матрицы состояния системы, входа и выхода непрерывного объекта управления соответственно, согласованные по размерности с размерностью векторов х, g, и у так, что

Fe^гяxл, в,Сге11тт.

Источник внешнего гармонического воздействия задается в форме автономной непрерывной системы, характеризующейся минимальной размерностью и имеющей представление

¿(*) = &(0. *(0) ;$(/) = Лг(0, (6)

где ге/?', Е е , />еЛтх'; г - вектор состояния модели задающего воздействия (МЗВ), Е, Р - матрицы состояния и выхода МЗВ соответственно, причем матрица Р удовлетворяет условию: РРТ = I, где I - единичная матрица размерности /их щ. МЗВ выбирается минимальной размерности, но такой, чтобы её выход

Г - diag\ Г.. =

■ j = \,m\, (И)

g(t)=Pz(í),rae z(t) = eE'z(0) (7)

на множестве начальных состояний z(0) адекватно представлял весь класс конечномерных задающих воздействий системы (5)

В случае, когда внешнее гармоническое воздействие является одночастотным частоты со критериальная матрица системы (5) задается в виде

N{co) = СТ{со)Г, (8)

при этом матрица Т(а) ищется из решения матричного уравнения Сильвестра

ТЕ - FT = GP (9)

и имеет вид

T(a) = -(F2 +©2/)~'{[/г а>ф}, (10)

а матрица Г является матрицей весов вида

Pj о" о Рк

где коэффициенты fl} позволяют сформировать вектор весовых коэффициентов /? = col{0<¡)/ <1:j = \,m), характеризующий распределение

амплитуд гармонического сигнала по входам системы (5)

Для случая внешнего гармонического многочастотного воздействия частоты соt критериальная матрица системы (5) задается в виде

N(a>j;j =\^n)^CT((oJJ = lm)r, (12)

при этом матрица Т(а> , / - \,т) ищется из решения матричного уравнения Сильвестра (9) и имее! вид

T(Q) - -(F2 + Q2/) 1 {[F Qф}, (13)

1де Q - вектор часют, параметризованный вектором весовых коэффициентов, представим в форме

Q = уа (14)

где у - col {О < у j < 1: j = ),т} - вектор фиксированных весовых коэффициентов распределения частот а] по j -ым входам системы такой, что со} = у^ .

Конструирование матрицы отношения вход-выход многомерной дискретной системы при дискретном внешнем векторном одночастотном гармоническом воздействии осуществляется на примере многомерной дискретной динамической системы (МДДС), имеющей представление

x(k + l) = Fx(k) + Gg(k), х(0); у{к) = Сх{к), (15)

1Де х, g, у - векторы состояния, задающего воздействия и выхода соответственно: хе R" ; g,y&Rm\ F, G, С - матрицы состояния системы, входа и выхода дискретного объекта управления, согласованные по размерности с размерностью векторов х, g, и у так, что F е Кпх"; G,CTeRn*m; к - дискретное время, выраженное в числе интервалов

дискретности длительностью Д? так, что непрерывное время I и дискретное к связаны соотношением / = к{Ы).

Источник дискретного внешнего конечномерного воздействия задается в форме автономной дискретной системы, характеризующейся минимальной реализацией, представимой в форме

2{к + \) = Ег{к), 2(0); 8(к) = Рг(к), (16)

где геЯ1, Ее Л1*1, РеЯтх1, г - вектор состояния дискретной модели задающего воздействия (ДМЗВ), Е, Р - матрицы состояния и выхода ДМЗВ соответственно, причем матрица Р удовлетворяет условию: Р ■ Р = /, где / - единичная матрица размерности /ихт. ДМЗВ выбирается минимальной размерности, но такой, чтобы её выход

ё(к) = Р2(к),1{к)--Ек2( 0), (17)

на множестве начальных состояний г(0) адекватно представлял весь класс конечномерных задающих воздействий системы (15).

В случае, когда внешнее дискретное гармоническое воздействие является одночастотным частоты а критериальная матрица системы (15) задается в виде #И = СТ(©)Г, (18)

при этом матрица Т{со) ищется из решения матричного уравнения Сильвестра

ТЁ-РТ = СР (19)

и имеет вид

Т(со) = [1-2¥<мъаМ + Р2] '[/сокдаД/-^ (~ыпа)М)1}(3, (20)

а матрица Г является матрицей весов вида 0"

0 Р,

где коэффициенты р] позволяют сформировать вектор весовых коэффициентов р = со1{0 < < 1 ■ у = 1, т), характеризующий распределение

амплитуд дискретного гармонического сигнала по входам системы (15).

Для случая дискретного внешнего многочастотного гармонического воздействия частоты т] критериальная матрица системы (15) задается в виде

ЛЧО) = СГ(П)Г, (22)

где О - вектор частот, параметризованный вектором весовых коэффициентов, представим в форме

С1 = усо (23)

I де у =со1{0<у]<\: _/ = 1 ,т) - вектор фиксированных весовых коэффициентов распределения частот со] по у -ым входам системы такой, что со] = у ¡со, а матрица Т{0) ищется из решения матричного уравнения Сильвестра (19) и имеет вид

= + (-¡¡тПЫ)1]С . (24)

Г = <Иаё\Г =

■ ]=\ ,т\, (21)

Сконструированные матрицы являются технологической основой оценки степени вырождения непрерывной или дискретной природы исследуемых систем при внешнем гармоническом одночастотиом или многочастотном гармоническом воздействии с помощью функционалов вырождения (2)

Полученные в главе положения по контролю вырождения МНДС и МДДС оформлены в алгоритмы для каждого из перечисленных случаев представления потока входных заявок.

В третьей главе представлена технология контроля вырождения непрерывных и дискретных МДС для случаев модельного представления потоков заявок в форме стохастических экзогенных воздействий стационарных в широком смысле типа «белый» и «окрашенный» векторные шумы.

В этом случае в качестве матрицы оператора многомерной динамической системы выступают матрица спектральной плотности выхода и матрица дисперсий выхода, конструируемые при различных интенсивностях «белого шума» и эффективных полосах пропускания фильтра, формирующего на своем выходе «окрашенный» шум, по-разному согласованных с полосами пропускания сепаратных каналов МДС. Причем, показывается, что для случая экспресс оценки степени вырождения МДС можно воспользоваться решением матричных уравнений Ляпунова для нахождения матрицы дисперсий вектора состояний непрерывной или дискретной многомерных динамических систем с последующим конструированием на них матриц дисперсий выхода.

Для МНДС вида (5) при стохастическом внешнем воздействии стационарном в широком смысле типа «белый шум» g(t)- w(t) критериальная матрица, в качестве которой выступает матрица спектральной плотности Sy{co) по выходу, задается выражением

N{a}) = Sy{a) = CSx(a)CT = -2CF(F2 +6i2l) 1DXCT, (25)

й г

при этом матрица Dx~M[x(t)x (г)] является матрицей дисперсии вектора состояния x(t), где М[(-)] есть оператор вычисления математического ожидания стохастической переменной (•).

л т

Матрицы дисперсий Dx--M[x(t)x (i)] вектора состояния и Д г

Dy =M[y(t)y (/)] вектора выхода системы (5), возбуждаемой стохастическим

внешним воздействием стационарным в широком смысле типа «белый шум» g(t) = w(t), обладающим матрицей интенсивности Q, при нулевом начальном состоянии .х(О) = 0 являются стационарными и удовлетворяют соответственно матричному алгебраическому уравнению типа уравнения Ляпунова, записываемого в форме

FDX + DXFT = -GQGT (26)

и матричному соотношению

Dy = CDxCT. (27)

В случае, когда система (5) возбуждается стохастическим воздействием £(г) стационарном в широком смысле типа «окрашенный шум», моделируемым выходом формирующего фильтра вида

¿фМ^Г^фМ + СфП«)-, № = Рф*ф(0, (28)

возбуждаемого по входу «белым шумом» и>(г) с матрицей интенсивности Q, где гф е Я1, к, £ е Ят; Гф е /?/х/, е Я'*т, Рф е /Гх/, гф - вектор состояния модели формирующего фильтра (МФФ), Гф, Сф, Рф - матрицы состояния, входа и выхода модели МФФ соответственно, тогда матрица дисперсии Юх вектора состояния системы (5) определяется с помощью выражения

Ох=СхЪхСТх,Сх=\1тп 0т/|, (29)

~ Д т

в котором Ох = М[х{1)х (?)] - матрица дисперсии составного вектора

— 1 т т

х = \х г Л , вычисляемая в силу матричного алгебраического уравнения типа уравнения Ляпунова

РЪХ+Г)ХР1 =-б()Ст, (30)

где матрицы составной системы имеют представление

р ЪРф 0

0 ГФ

(31)

Для системы, описание которой задается дискретным модельным представлением вида (15), при стохастическом внешнем воздействии стационарном в широком смысле типа дискретный «белый шум» ы{к) так что в (3.24) следует положить g{k) - м>(к) с матрицей дисперсии V = diag{VJJ,J -1,«} матрица спектральной плотности (ш) по выходу задается выражением

N{(0) ~ 5у(ю) = -2С(/ - Рсо5й;Дг){/ - 2Рсоъ<аЫ + Т2} 1ВХСТ, (32)

при этом матрица Ох~М[х(к)х (к)] является матрицей дисперсии вектора состояния х(к) системы (15).

д

Матрицы дисперсий Ох=М[х(к)хт (к)] вектора состояния и л

Г>у=М[у(к)ут (к)] вектора выхода МДДС (15), возбуждаемой стохастическим

внешним воздействием стационарном в широком смысле типа дискретный «белый шум» g(k) = w(k), обладающим матрицей дисперсии V при нулевом начальном состоянии являются стационарными и подчиняются матричным соотношениям

[)Х=РТ)ХРТ +{ЖГ (33)

и матричному соотношению

Ву=СОхСт. (34)

Сконструированные матрицы являются технологической основой оценки степени вырождения непрерывной или дискрешой природы исследуемых систем при внешнем стохастическом воздействии стационарном в широком смысле типа «белый» или «окрашенный» шум с помощью функционалов вырождения (2).

Полученные в главе положения по контролю вырождения МНДС и МДЦС оформлены в алгоритмы для каждого из перечисленных случаев представления потока входных заявок.

В четвертой главе диссертации рассматривается проблема оценки влияния на функционал вырождения как одного из системных показателей качества МДС неточности знания (задания) и возможных вариаций системных параметров структурных компонентов МДС, а также распределения по каналам МДС входного потока заявок для случаев непрерывной или дискретной ее реализации, которые на первоначальном этапе должны быть сведены к локальнолинейной алгебраической задаче вида (I) с учетом р -мерного вектора системных параметров д в виде

= (35)

Задача решается в двух инструментальных постановках. В первой постановке задача решается с помощью методов теории параметрической чувствительности применительно к функционалу вырождения, функция параметрической чувствительности которого строится на функциях параметрической чувствительности сингулярных чисел критериальной матрицы отношения вход-выход сложной непрерывной и дискретной системы при гармоническом и стохастическом модельном представлении по 1 ока заявок в форме

да/р(<7) _, 2

Ч1 <Э<У Ч'Чо атпд(атях аттатахать(у")

где а = -1 - функции чувствительности у-го сингулярного числа

критериальной матрицы (J~l,m), при этом ]-\ соответствует а/ = «тах. а / = т соответствует а, = атт , где атзх, атт - максимальное и минимальное сингулярные числа той же матрицы.

Критериальная матрица и ее производная (матрица чувствительности) в случае внешнего гармонического воздействия формируются с использованием матричного уравнения Сильвестра, а в случае моделирования погока заявок стохастическим образом критериальные матрицы, которыми являются матрица спектральной плотности и матрица дисперсии выхода многомерной системы, а также их производные формируются на основе матричного уравнения типа уравнения Ляпунова

Положения по вычислению функций чувствительности функционала вырождения к вариациям параметров структурных компонентов МНДС и МДДС, а также формирование экстремальных значений этого функционала на

множестве варьируемых параметров и конструкции критериальных матриц, сформированных при различных модельных представлениях потока заявок на обслуживание многомерной системой оформлены в алгоритмы для комплексного исследования вариаций функционалов вырождения относительно их номинальных значений.

Во второй постановке используется аппарат интервальных модельных представлений интервальной математики, который позволяет оценить медианное значение функционала вырождения и его относительную интервальность.

Очевидно, что в случае, когда описание исследуемой системы имеет интервальное модельное представление, функционал вырождения также является интервальной величиной и имеет вид

(37)

где [ЛГ] т у т-интервальная критериальная матрица МДС, такая что

[*] = УУ0+[ДЛГ], (38)

причем - медианная составляющая интервальной критериальной матрицы [/V] с фиксированными скалярными компонентами, а [ДД^] - симмегричный интервальный матричный компонент интервальной критериальной матрицы М; [«„-и-ЛИ]}], [«т'ах^]}] - соответственно 7-ое 0' = Г,от-1) и

максимальное интервальные сингулярные числа матрицы [Д^], при этом интервальное значение функционала вырождения (37) вычисляется в соответствии с правилами интервальной арифметики.

Полученные результаты по формированию интервальной критериальной матрицы многомерной динамической системы и оценки интервального функционала вырождения в условиях применимости аппарата теории чувствительности оформлены в виде алгоритмов для случаев МНДС и МДДС при различных модельных представлениях потока входных заявок.

Как следствие отмечено, что обе инструментальные постановки позволяют сконструировать глобальные мажоранту и миноранту функционала вырождения.

Пятая глава посвящена прикладным проблемам технологии контроля оценки степени вырождения МДС для случая системы с антропокомпонентами. Особое внимание уделено анализу вырождения МДС в задаче Трапезникова В.А. Как показано в главе, при распределении потока заявок, согласованного с пропускными способностями сепаратных каналов МДС, в системе наблюдается минимальная степень ее вырождения.

Также, в главе сформирована априорная экспресс-оценка склонности системы к вырождению без необходимости моделирования потока возможных заявок.

Модельное представление МДС с антропокомпонентами, как функции априорной специальной выучки и подбора при комплектации команды, строится в классе векторно-матричных описаний с матричными компонентами

с интервальными параметрами, причем значение интервалов определяется степенью априорной выучки и тщательности подбора.

Завершают главу рекомендации по возможной минимизации опасности вырождения многомерной динамической системы.

В приложении приведены листинги *.т-файлов, построенных в оболочке MATT,AB, используемых в программном сопровождении алгоритмов анализа вырождения многомерных динамических систем непрерывной и дискретной природы при различных способах моделирования потока входных заявок, а также результатов исследования конкретных приложений, разработанных для контроля вырождения МДС.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В своей основе поставленные автором задачи диссертационных исследований решены. При этом:

1. Сформирована математическая концепция вырождения МДС, как вырождение матрицы линейного оператора, отображающего пространство входов в пространство выходов, численно оцениваемое функционалом вырождения, построенном на обратном числе обусловленности этой матрицы.

2. Разработаны технологии контроля оценки степени вырождения многомерных непрерывных и дискретных динамических систем при векторном гармоническом модельном представлении потока входных заявок и при их стохастическом модельном представлении;

3. Разработаны технологии контроля оценки С1епени вырождения МДС в условиях ее модельных неопределенностей при различных модельных представлениях потока входных заявок с использованием аппарата теории параметрической чувствительности;

4. Разработаны технологии контроля оценки степени вырождения МДС в условиях ее модельных неопределенностей при различных модельных представлениях потока входных заявок с использованием аппарата интервальных представлений и интервальных вычислений;

5. Решены прикладные проблемы технологии контроля оценки степени вырождения МДС для случая систем с антропокомпонентами, функционирующими в условиях замкнутого функционального пространства, а также многомерной динамической системы в задаче Трапезникова В.А.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Дударенко H.A. Технология контроля вырождения сложных

динамических систем с помощью частотных сепаратных чисел обусловленности // Современные технологии: Сборник

научных статей / Под ред. проф. С.А. Козлова. - СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2003. - С. 245-252.

ИЬ4 «1 4 * А ¿ШМ-11 21 12

2. Дударенко H.A., Ушаков A.B. Вырождение сложных дискретных динамических систем: проблема контроля с помощью частотных чисел обусловленности. Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. Выпуск 14. Информационные технологии, вычислительные и управляющие системы / Главный редактор В.Н. Васильев. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2004. - С.62-66.

3. Nataliya A. Dudarenko. Degeneration control of complex dynamic systems. PREPRINTS of 10th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad), Saint Petersburg, SPbSU ITMO, 2004. - P 194-198.

4. Акунова A.M., Дударенко H.A., Ушаков A.B. Проблемы вырождения сложных систем: технология контроля при гармоническом и стохастическом экзогенных воздействиях // Современные технологии: Сборник научных статей / Под ред. проф. С.А. Козлова. - СПб: СПбГУ ИТМО (ТУ), 2004. -С.128-147.

5. Дударенко H.A., Ушаков A.B. Спектральный анализ сложных непрерывных систем при стохастических экзогенных воздействиях / Проблемы машиноведения и машиностроения. Межвуз. сб. Вып. 34. - СПб.:СЗТУ, 2005.-С.122-131.

6. Дударенко H.A., Ушаков A.B. Влияние фактора коммутации потока заявок (при гармоническом их моделировании) по входам сложной системы на возможность ее вырождения // Вестник II межвузовской конференции молодых ученых / Под ред. Ткалич В.Л. Том 2. СПб: СПбГУ ИТМО, 2005. -С. 105-111.

7. Дударенко Н.А Ушаков A.B. Вырождение сложных динамических систем с равнотемповыми структурными компонентами. Научно-технический вестник, вып. 19. Программирование, управление и информационные технологии / Под. ред. Васильева В.Н. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2005. - С.44-51.

8. Дударенко H.A., Ушаков A.B. Анализ чувствительности функционала вырождения к параметрической неопределенности функциональных компонентов сложных систем при моделировании входных заявок гармоническим многочастотным экзогенным воздействием. Мехатроника, автоматизация, управление. №3,2006. - С.2-10.

9. Дударенко H.A., Ушаков A.B. Контроль вырождения сложной динамической системы с интервальными матричными компонентами ее модельного представления / Проблемы машиноведения и машиностроения. Межвуз. сб. Вып. 35 - СПб.: СЗТУ, 2006. - С.53-64.

10.Nataliya А. Dudarenko. Analysis of degeneration of complex dynamic systems with human components. PREPRINTS of 11th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad), Saint Petersburg, SPbSU ITMO, 2006. -P.219-223.

Тиражирование и брошюровка выполнены в учреждении «Университетские телекоммуникации» 197101, Санкт-Петербург, Саблинская ул., 14 Тел. (812) 233 4669 Тираж 100 экз.

Принятые сокращения и обозначения.

Введение. Постановка задачи.

Глава 1. Концепция вырождения многомерных динамических систем

1.1.Вырождение многомерной динамической системы как вырождение матрицы линейного оператора отношения вход-выход.

1.2.Сведение описания вход-выходных отношений многомерной непрерывной динамической системы к линейной алгебраической задаче параметризованной непрерывным временем.

1.3.Сведение задачи вход-выходных отношений многомерной дискретной динамической системы к линейной алгебраической задаче параметризованной дискретным временем.

1.4.Сепаратные функционалы вырождения многомерной динамической системы, модельно приводимой к линейной алгебраической задаче.

Выводы по главе

Глава 2. Технология контроля вырождения многомерных непрерывных и дискретных динамических систем при векторном гармоническом модельном представлении потока входных заявок.

2.1.Контроль вырождения многомерных непрерывных динамических систем при одночастотном гармоническом воздействии.

2.2.Контроль вырождения многомерных непрерывных динамических систем при многочастотном гармоническом воздействии.

2.3.Контроль вырождения многомерных дискретных динамических систем при одночастотном гармоническом воздействии.

2.4.Контроль вырождения многомерных дискретных динамических систем при многочастотном гармоническом воздействии.

Выводы по главе 2.

Глава 3. Технология контроля вырождения многомерных непрерывных и дискретных динамических систем при векторном стохастическом модельном представлении потока входных заявок.

3.1.Контроль вырождения многомерных непрерывных динамических систем при стохастическом задающем воздействии типа «белый шум».

3.2.Контроль вырождения многомерных непрерывных • динамических систем при стохастическом задающем воздействии типа «окрашенный шум».

3.3.Контроль вырождения многомерных дискретных динамических систем при стохастическом задающем воздействии типа «белый шум».

3.4.Контроль вырождения многомерных дискретных динамических систем при стохастическом задающем воздействии типа «окрашенный шум».

Выводы по главе 3.

Глава 4.Технология оценки степени вырождения многомерной динамической системы в условиях модельных неопределенностей.

4.1.Контроль чувствительности функционала вырождения к вариациям параметров структурных компонентов многомерной непрерывной динамической системы.

4.2.Контроль чувствительности функционала вырождения к ф вариациям параметров структурных компонентов многомерной дискретной динамической системы.

4.3.Оценка интервальности функционала вырождения в условиях интервальное™ параметров структурных компонентов многомерной непрерывной системы.

4.4.Оценка интервальное™ функционала вырождения в условиях интервальное™ параметров структурных компонентов многомерной дискретной системы.

Выводы по главе 4.

Глава 5. Прикладные проблемы технологии контроля вырождения многомерных динамических систем.

5.1.Анализ вырождения многомерной динамической системы в задаче Трапезникова В.А.

5.2.Интегральная экспресс-оценка вырождения многомерной ф динамической системы на спектре сингулярных чисел грамианов управляемости вход-выход.

5.3.Представление многомерной динамической системы с антропокомпонентами в классе моделей с интервальными параметрами.

5.4.Рекомендации по возможной минимизации опасности вырождения многомерной динамической системы.

Выводы по главе 5.

Тема диссертационных исследований, объединенных названием «Технология контроля вырождения многомерных динамических систем», подсказана нынешним состоянием теории и потребностями практики разработки и эксплуатации современных многомерных управляющих комплексов, встраиваемых в техническую среду. Тенденция усложнения динамических систем в составе обслуживания технологического процесса, помимо требований к их устойчивости, надежности и адаптируемости к изменяющимся условиям, вызвала к жизни необходимость контроля такого системного свойства как склонность к возможному вырождению.

Следует констатировать, что состояние проблемы априорного контроля потенциального вырождения многомерной системы и контроля возможного ее вырождения в процессе эксплуатации таково, что на настоящий момент пока слабо разработан инструментарий контроля вырождения многомерных динамических систем (МДС). Разработке инструментария контроля вырождения и технологии его использования и посвящены проведенные соискателем диссертационные исследования.

Многомерная динамическая система (многомерный вход-выход) аппаратно реализует некий оператор, который отображает элементы пространства входов (целевых намерений) в пространство выходов (осуществляемых реализаций). Определенности ради, этот оператор можно считать линейным или по крайней мере локально линейным. Предполагается также, что указанные выше пространства согласованы по размерности, так что их размерности являются равными.

В математической постановке линейный оператор считается вырожденным [1], если его ранг меньше размерности пространства. Развивая это концептуальное определение, можно сказать, что процесс вырождения некоторой многомерной динамической системы есть процесс уменьшения ранга реализуемого ею линейного оператора. На этой математической концепции строятся диссертационные исследования.

Очевидно, источников вырождения системы достаточно много. Так, система может вырождаться структурно (конфигурационно), когда из ее состава выпадает некоторый функциональный элемент. Как следствие, размерность пространства выходов, сокращается. Причины вырождения могут носить организационный характер, когда формируемые целевые намерения неудачно распределяются по входам каналов многомерной динамической системы. Вырождаться могут системы по причине параметрической природы, когда неудачно организованы связи между каналами системы, неудачно назначены показатели характеристик этих связей, когда неудачно сформированы полосы пропускания каналов, а в случае, если система имеет дискретную природу, неудачно назначены и распределены по каналам интервалы дискретности и т.д.

Необходимо отметить, что изучение проблемы вырождения МДС находится пока в зачаточном состоянии. Авторы книг по общей теории систем [17, 19, 21, 22, 26, 28, 29, 30, 31, 35, 36] практически не отмечают наличие такого свойства как вырождение у многомерных динамических систем. Справедливости ради, в последних из перечисленных работах уделено заметное внимание синергетическим свойствам многомерных динамических систем. И, тем не менее, вырождение как содержательная противоположность синергетическим свойствам не выделено в особую проблемную область. Библиографический анализ ситуации глубиной в двадцать лет на базе таких журналов как «Автоматика и Телемеханика», «Теория и системы управления» (бывший «Техническая кибернетика»), «IEEE Transactions on Automatic Control» не обнаружил ни одной публикации, в названии которой присутствовало бы понятие «вырождение». Но, попытки начать изучение такого важного свойства многомерных динамических систем как вырождение имели место. Первыми такую попытку сделали математики, когда в шестидесятые годы двадцатого столетия группа американских ученых по заданию фирмы IBM, которая готовила к выпуску пакет программ для пользователей на языке фортран, провела комплексное исследование вычислительной устойчивости решений основных задач линейной алгебры. Результатом этой работы стала монография [42], в которой автором для оценки вычислительной устойчивости было введено понятие «число обусловленности» (condition number), которое по существу является численной оценкой вырождения алгебраической задачи. Но, тем не менее, до настоящего момента в среде технических специалистов эта численная характеристика за некоторым исключением находит скромное применение.

Одновременно, академик Трапезников В.А. опубликовал на страницах журнала «Автоматика и Телемеханика» [32, 33, 34] серию статей, посвященных проблемам производства и управления. Им рассмотрена отраслевая структура, которая построена по следующему правилу. Структура иерархична, сепаратные каналы, образующие многомерную систему, должны характеризоваться полосами пропускания, которые по мере перемещения по уровням иерархии от верхнего канального уровня к нижнему изменяются с расширением их диапазонов. При этом межканальные связи должны существовать только с соседними каналами. Многомерная система, построенная по схеме Трапезникова В.А., функционирует без вырождения, если темп ввода заявок на входы сепаратных каналов согласован с их полосами пропускания. Однако, в реальных условиях, особенно в системах с функциональными антропокомпонентами, могут возникать эксклюзивные ситуации, когда заявка с нижнего уровня коммутируется для обслуживания на каналы верхних уровней иерархии. В этом случае ситуация характеризуется тем, что верхние уровни начинают обрабатывать заявки, поступающие на их входы с несвойственным для режима их нормального функционирования темпом (интенсивностью), и, если структурный форс-мажор становится нормой, то может возникнуть опасность функционального разрушения системы, т.е. ее вырождения.

Таким образом, ставилась задача такого распределения входных заявок, а также связей между уровнями многомерной системы, при котором система сохраняла бы работоспособность и не вырождалась. Ниже, в диссертационных исследованиях такая постановка проблемы будет именоваться задачей Трапезникова.

Академику В.А. Трапезникову удалось решить поставленную задачу только на качественном уровне, так как на тот момент не существовало технологий контроля плавности эволюции системы в сторону вырождения, когда ранг оператора реализуемой системы уменьшается, а в случае ее полного вырождения устремляется к единице.

Предметом диссертационных исследований является модель академика В.А. Трапезникова (что не снижает общности полученных результатов) для случаев непрерывного и дискретного исполнения многомерной динамической системы в условиях моделирования потока заявок векторным многомерным гармоническим воздействием, а также векторными стохастическими воздействиями стационарными в широком смысле типа «белый» и «окрашенный» шумы. Для каждого из перечисленных случаев построены алгоритмы формирования показателя вырождения и решена задача анализа его чувствительности к неопределенности задания (знания) структурных параметров системы и потоков входных заявок, причем эта задача решена с использованием как гипотезы малых вариаций параметров, допускающих использование аппарата теории чувствительности в виде функций чувствительности первого порядка, так и гипотезы об интервальном характере задания неопределенности параметров структурных компонентов. Последнее позволило в качестве примера рассмотреть возможность контроля вырождения многомерных динамических систем с антропокомпонентами в их составе, где антропокомпоненты, несмотря на их специальную выучку и подбор при комплектации команды, моделируются динамическим элементом с интервальными параметрами.

Основной математический аппарат при проведении диссертационных исследований составили: метод пространства состояний для непрерывных и дискретных многомерных систем, формализм аппарата матричных уравнений Сильвестра и Ляпунова, динамика систем при конечномерных экзогенных воздействиях, стохастический анализ непрерывных и дискретных систем при многомерных стохастических воздействиях стационарных в широком смысле, аппарат функций чувствительности сингулярных чисел критериальных матриц многомерной системы, интервальные модельные представления и интервальные оценки показателя вырождения. Все публикации автора [3, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 38, 39] по проблемам научных исследований построены с использованием возможности указанного математического аппарата.

Математический аппарат поддерживается программной и модельной средой пакета MATLAB. Текст диссертации соискателем структурирован с использованием таких рубрик как концепция, определение, утверждение, доказательство, примечание, следствие, пример и т.д. Диссертация содержательно состоит из введения, перечня прилагаемых сокращений и обозначений, пяти глав, заключения, списка литературы и приложений.

Выводы по главе 5

Произведен анализ вырождения многомерной динамической системы (МДС) в задаче Трапезникова В.А. на базе предложенной в диссертации технологии контроля вырождения МДС с помощью сепаратных функционалов вырождения многомерной системы, амплитудных частотных характеристик вход-выход (АЧХВВ) сепаратных каналов МДС и SVD-мажорант и минорант АЧХВВ многомерной динамической системы для различных вариантов моделирования потока входных заявок на обслуживание МДС.

Экспериментально показано, что в случае распределения обслуживаемого потока по сепаратным каналам многомерной динамической системы в полном соответствии с полосами их пропускания не наблюдается вырождение такой системы даже в случае непрерывно растущей интенсивности этих заявок.

Сконструирована интегральная экспресс-оценка вырождения многомерной динамической системы на спектре сингулярных чисел грамианов управляемости вход-выход, которая посредством вычисления сепаратных функционалов вырождения позволяет оценить склонность многомерной динамической системы к вырождению без необходимости моделирования потока возможных заявок.

Выделены типы многомерных динамических систем с антропокомпонентами по способу мотивации их функционирования. Сформировано представление МДС с антропокомпонентами в классе моделей с интервальными параметрами.

Сформулированы рекомендации по возможной минимизации опасности вырождения многомерной динамической системы, суть которых сводится к коррекции линейного оператора, отображающего пространство намерений в пространство реализаций, с тем, чтобы матрица этого оператора была бы хорошо обусловленной.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В своей основе поставленные автором задачи диссертационных исследований решены, при этом:

1. Сформирована математическая концепция вырождения многомерной динамической системы как вырождение матрицы линейного оператора, отображающего пространство целевых намерений в пространство осуществляемых реализаций, численно оцениваемое функционалом вырождения, построенном на обратном числе обусловленности этой матрицы.

2. Для случая моделирования потока заявок в форме конечномерного экзогенного воздействия с использованием концепции подобия, опирающейся на матричное уравнение Сильвестра, решена задача сведения описания вход-выходных отношений многомерной динамической системы к семейству линейных алгебраических задач, параметризованных непрерывным и дискретным временем в зависимости от типа модельного представления многомерной динамической системы.

3. Для оценки тонкой природы процесса вырождения многомерных систем на основе алгебраического спектра сингулярных чисел сконструированы сепаратные функционалы вырождения СДС, модельно приводимой к линейной алгебраической задаче.

4. Получено решение задачи контроля вырождения многомерных непрерывных динамических систем (СНДС) и многомерных дискретных динамических систем (СДДС) с помощью семейства функционалов вырождения для случая, когда целевые намерения, содержательно оформленные в виде заявок на обслуживание СНДС или СДДС, допускают моделирование конечномерным способом в виде внешнего векторного одночастотного гармонического воздействия.

Для случая, когда целевые намеренья, оформленные в виде заявок на обслуживание СНДС или СДДС, допускают моделирование конечномерным способом в виде многочастотного векторного гармонического воздействия, получено решение задачи контроля вырождения многомерной системы в классе функционалов вырождения, конструируемых на спектре сингулярных чисел критериальной матрицы отношения вход-выход.

Получено решение задачи контроля вырождения СНДС или СДДС с помощью семейства функционалов вырождения для случая, когда целевые намерения, содержательно оформленные в виде заявок на обслуживание СНДС, допускают моделирование стохастическим внешним воздействием стационарным в широком смысле типа «белый шум», конструируемых на критериальных матрицах, в качестве которых приняты матрицы спектральной плотности и дисперсии выхода СНДС или СДДС.

Для случая, когда целевые намеренья, оформленные в виде заявок на обслуживание СНДС или СДДС, допускают моделирование стохастическим внешним воздействием стационарным в широком смысле типа «окрашенный шум», получено решение задачи контроля вырождения многомерной системы в классе функционалов вырождения, конструируемых на спектре сингулярных чисел критериальных матриц, в качестве которых также приняты матрицы спектральной плотности и дисперсии выхода СНДС или СДДС.

Сформирован алгоритм контроля чувствительности функционала вырождения к вариациям параметров СНДС или СДДС на базе использования функций чувствительности первого порядка элементов алгебраического спектра сингулярных чисел критериальной матрицы, позволивший сконструировать матрицу функций чувствительности функционала вырождения, а также глобальные миноранту и мажоранту его реализаций на классе возможных вариаций параметров. Показано, что дополнительной проблемой для дискретных систем является анализ чувствительности функционала вырождения к такому «чисто дискретному» системному параметру как интервал дискретности.

9. Обнаружилось, что при моделировании потоков входных заявок конечномерными гармоническими воздействиями и стохастическими воздействиями стационарными в широком смысле типа «белый» и «окрашенный» шумы как в случае непрерывной, так и дискретной реализации многомерной динамической системы для вычисления функций чувствительности критериальной матрицы приходится осуществлять дифференцирование по параметру матричных уравнений Сильвестра и уравнений типа уравнения Ляпунова.

10. Показано на основе анализа оценки относительной интервальности интервальной матрицы состояния многомерной динамической системы возможность формирования интервальных функционалов вырождения с использованием аппарата теории чувствительности элементов алгебраического спектра сингулярных чисел интервальной критериальной матрицы для ее медианной составляющей на угловых реализациях интервализирующих параметров.

11. Для случая отсутствия возможности использования аппарата теории чувствительности для формирования интервального представления функционалов вырождения разработана технология этого представления, основанная на угловых реализациях критериальной матрицы, формируемой на угловых реализациях решений матричных уравнений Сильвестра и Ляпунова.

12. Произведен анализ вырождения многомерной динамической системы (СДС) в задаче Трапезникова В.А. на базе предложенной в диссертации технологии контроля вырождения СДС с помощью сепаратных функционалов вырождения многомерной системы, амплитудных частотных характеристик вход-выход (АЧХВВ) сепаратных каналов СДС и SVD-мажорант и минорант АЧХВВ многомерной динамической системы для различных вариантов моделирования потока входных заявок на обслуживание СДС.

13. Экспериментально показано, что в случае распределения обслуживаемого потока по сепаратным каналам многомерной динамической системы в полном соответствии с полосами их пропускания не наблюдается вырождение такой системы даже в случае непрерывно растущей интенсивности этих заявок.

14. Сконструирована интегральная экспресс-оценка вырождения многомерной динамической системы на спектре сингулярных чисел грамианов управляемости вход-выход, которая посредством вычисления сепаратных функционалов вырождения позволяет оценить склонность многомерной динамической системы к вырождению без необходимости моделирования потока возможных заявок.

15. Выделены типы многомерных динамических систем с антропокомпонентами по способу мотивации их функционирования. Сформировано представление СДС с антропокомпонентами в классе моделей с интервальными параметрами.

16. Сформулированы рекомендации по возможной минимизации опасности вырождения многомерной динамической системы, суть которых сводится к коррекции линейного оператора, отображающего пространство намерений в пространство реализаций, с тем, чтобы матрица этого оператора была бы хорошо обусловленной.

Основное внимание автора в силу проблематики диссертационных исследований сосредоточено на технологии контроля вырождения многомерных динамических систем, тем не менее, при интерпретации полученных результатов необходимо взаимодействие с системным аналитиком.

1. Математический энциклопедический словарь / Под ред. Ю.В. Прохорова.-М.: Советская энциклопедия, 1988.

2. Акунов Т. А., Алишеров С., Оморов Р. О., Ушаков А. В. Матричные уравнения в задачах управления и наблюдения непрерывными объектами. Бишкек: Илим, 1991.

3. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического управления. СПб.: Профессия, 2003.

4. А.Брайсон, Хо-Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления -М.:Мир, 1972.

5. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. . Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

6. Воронов А.А. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука, 1985.

7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1973.

8. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления / Пер. с англ. М.: Мир, 1999.

9. Дударенко Н.А., Ушаков А.В. Контроль вырождения сложной динамической системы с интервальными матричными компонентами ее модельного представления / Проблемы машиноведения и машиностроения. Межвуз. сб. Вып. 35 СПб.: СЗТУ, 2006. - С.53-64.

10. Дударенко Н.А., Ушаков А.В. Спектральный анализ сложных непрерывных систем при стохастических экзогенных воздействиях / Проблемы машиноведения и машиностроения. Межвуз. сб. Вып. 34. -СПб.:СЗТУ, 2005. С. 122-131.

11. Дударенко Н.А. Технология контроля вырождения сложных динамических систем с помощью частотных сепаратных чисел обусловленности // Современные технологии: Сборник научных статей / Под ред. проф. С.А. Козлова. СПб: СПб ГИТМО (ТУ), 2003. - С. 245-252.

12. Заде JI.А., Дезоер Ч. Теория линейных систем / Пер. с англ. М.: Наука, 1970.

13. Икрамов X. Д. Численное решение матричных уравнений / Под ред. Д. К. Фадеева. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.

14. Калман Р.Е., Фалб П.Л., Арбип М.А. Очерки по математической теории систем / Пер. с англ. М.: Мир, 1971.

15. Квакернаак X., Сиван Р., Линейные оптимальные системы управления / Пер. с англ. М.: Мир, 1997.

16. Колесников А.А. Синергетические методы управления сложными системами: Теория системного синтеза. М.: КомКнига, 2006. - 240 с.

17. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математические основы // Под ред. С. В. Емельянова. -М.: Мир. 1978.

18. Мироновский Л.А. Функциональное диагностирование динамических систем. М. СПб.: Издательство МГУ-ГРИФ, 1998.

19. Никифоров В.О., Ушаков А.В. Управление в условиях неопределенности: чувствительность, адаптация, робастность. — СПб.: СПбГУ ИТМО, 2002.

20. Петров Ю. П., Петров Л. Ю. Неожиданное в математике и его связь с авариями и катастрофами. 4-е изд., перераб. и доп. СПб.: БХВ-Петербург, 2005.

21. Портер У.А. Современные основания общей теории систем / Пер. с англ. -М.: Наука, 1971.

22. Сильвестров М. М., Козиоров Л. М., Пономаренко В.А. Автоматизация управления летательными аппаратами с учетом человеческого фактора. -М.: Машиностроение, 1986.

23. Современная прикладная теория управления: оптимизационный подход теории управления / Под ред. А.А. Колесникова. 2000, 4.1.

24. Современная теория систем управления / Под ред. К.Т. Леондеса.: Пер. с англ. -М.: Наука, 1970.

25. Солодовников В.В. и др. Принцип сложности в теории управления. Опроектировании технологически оптимальных систем и проблеме корректности.-М.: Наука, 1977.

26. Теория систем. Математические методы и моделирование / Пер. с англ. под ред. С.В.Емельянова. М.: Мир, 1989.

27. Трапезников В.А. Автоматическое управление и экономика. Автоматика и Телемеханика. -М.: 1970, Т.Н. №1.

28. Трапезников В.А. Автоматическое управление и экономика. Вопросы управления экономическими системами. Автоматика и Телемеханика. -М.: 1970, Т.П. №1.

29. Трапезников В.А. Кибернетика и автоматическое управление. Автоматика и Телемеханика. М.: 1962, T.XXIII. №3. - С.279-288.

30. Ту Ю.Т. Современная теория управления / Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1971.

31. Уонем У.М. Линейные многомерные системы управления. Геометрический подход / Пер. с англ. М.: Наука, 1980.

32. Akunova A., Akunov Т. A., Ushakov A.V. Degeneration of complex systems under multyfraquent input signal // Proceedings of Second International Conference "Control of oscillations and chaos" (COC' 2000). St. Petersburg, Russia. 2000.

33. Nataliya A. Dudarenko. Degeneration control of complex dynamic systems. PREPRINTS of 10th International Student Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad), Saint Petersburg, SPbSU ITMO, 2004. P.194-198.

34. Nataliya A. Dudarenko. Analysis of degeneration of complex dynamic systems with human components. PREPRINTS of 11th International Student

35. Olympiad on Automatic Control (Baltic Olympiad), Saint Petersburg, SPbSU ITMO, 2006.-P.219-223.

36. E. I. Jury. A literature survey of biocontrol systems. Trans. IEEE (Automatic Control), pp.210-217, July, 1963.

37. Moore В. C. Principal Component Analysis in Linear Systems: Controlability, Observability and Model Reduction // IEEE Trans. On Automatic Control. 1981. V. AC-26. №1. P. 17-31.

38. Wilkinson J. H. The algebraic eigenvalue problem. Oxford: Clarendon Press, 1965.