автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Обратные спектральные задачи для математических моделей с дробной степенью оператора Лапласа

60

1

На правах рукописи

ЗАКИРОВА Галия Амрулловна

ОБРАТНЫЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ С ДРОБНОЙ СТЕПЕНЬЮ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

/, Г 1 П ""^

ЧЕЛЯБИНСК - 2009

003458961

Работа выполнена в Магнитогорском государственном университете.

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук, доцент СЕДОВ Андрей Иванович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, СВИРИДЮК Георгий Анатольевич

доктор физико-математических наук, ЮРКО Вячеслав Анатольевич

Ведущая организация:

Башкирский государственный университет

Защита состоится 11 февраля 2009 г. в 12 ч. 00 м. на заседании диссертационного совета Д 212.298.14 при Южно-Уральском государственном университете, по адресу: 454080, г. Челябинск, пр. Ленина,76.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южно-Уральского , государственного университета.

Автореферат разослан 31 декабря 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук, профессор

профессор профессор

^ Л. Б. Соколинский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Цель и задачи исследования. В пространстве Ьо(П) , где П — заданный ^-мерный параллелепипед, рассмотрим оператор Лапласа Т0, определенный краевой задачей Дирихле:

Введем оператор Т = Xl3dE(А), являющийся степенью операто-

ра То. Здесь Е(Х) — спектральное разложение единицы оператора N

То, 0 > —. Пусть Р — оператор умножения на комплекснознач-

ную функцию р € Ьг(П), называемую потенциалом. Данная диссертация посвящена исследованию обратных спектр;шьных задач следующего вида: пусть дана последовательность комплексных чисел fâ}ëi> близкая к спектру невозмущенного оператора Т. При различных степенях оператора Т требуется доказать существование оператора Р такого, что спектр а{Т + Р) возмущенного оператора совпадает в смысле средних с данной последовательностью. А именно, целью данной работы является исследование существования и единственности решения и восстановление потенциала в обратных спектральных задач для математических моделей с возмущенной степенью оператора Лапласа с кратным спектром. Для достижения этой цели необходимо было решить следующие задачи:

1) Доказать существование решения обратных спектральных задач для возмущенной степени оператора Лапласа с ядерной и неядерной резольвентой.

2) Разработать алгоритм, позволяющий восстанавливать потенциал в обратных спектральных задачах с дробной степенью оператора Лапласа.

3) Создать программа в среде Maple 6 для реализации предложенного алгоритма

Актуальность темы исследования. Наиболее полные результаты получены в спектральной теории обыкновенных дифференциальных операторов, в частности, для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля. Первый результат в этом

Д д2

(1)

з

направлении принадлежит В.А. Амбарцумяну1. Он доказал, что если собственные значения краевой задачи

-у" + q{x)y = Ay, у'(0) = у'(тг) = О,

где q — действительная непрерывная функция, СуТЬ Ап — 71", 71 — 0,1,..., то q ее 0. Однако, результат В.А. Амбарцумяна является скорее исключением — позднее Г. Борг2 показал, что оператор Штурма - Лиувилля в общем случае однозначно не определяется одним спектром. В связи с этим, в дальнейших исследованиях применялись методы, использовавшие дополнительные спектральные характеристики: метод операторов преобразования, метод спектральных отображений, метод Борга и т.д. Отметим здесь работы Р. Вилса, Г. Борга, М.Г. Гасымова, М.Г. Крейна, Б.М. Левитана, Н. Левинсона, З.Л. Лейбензона, В.А. Марченко, И.С. Саргсяна, Л.А. Сахновича, И.Г. Хачатряна, В.А. Юрко. В частности, В.А. Юрко3 разработал еще один метод — метод эталонных моделей, позволяющий строить конструктивные решения для широкого класса обратных задач. Значительно более сложными для изучения являются обратные спектральные задачи для операторов с частными производными. В этом направлении чаще всего исследуется оператор Лапласа. Обратные задачи для уравнений с частными производными исследовались в работах Ю.А. Анникова, А.Л. Бухгейма, М.М. Лаврентьева, Л.П. Ниж-ника, А.И. Прилепко, А.Г. Рамма, В.Г.Ромаиова, К.Шадана, Л.Д. Фаддеева и других математиков. Впервые обратная задача для оператора Лапласа с потенциалом была поставлена Ю.М. Березанским4 Данная диссертация примыкает к работам школы В. А. Садовни-чего. В 1979 г. работе В. А. Садовничего, В.В. Дубровского5 была по-

1 Ambarzumian, V. А. Über eine Frage der Eigenwerttheorie / Ambarzumian V. A. // Zs. F. Phys. - 1929. - V. 53. P. 690 - 695.

2 Borg, G. Eine Umkehrung der Sturm - Liouvilleschen Eigenwertaufgabe / G Borg // Acta Math. - 1946. - Bd. 78. №1. - S. 1 - 90.

3Юрко, В.А. Восстановление дифференциальных операторов высших порядков / В.А. Юрко // Дифференц. уравнения. - 1989. - Т. 25. № 9. - С. 1540 -1550.

4Березанский, Ю.М. О теореме единственности в обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера / Ю.М Березанский // Труды Моск. математ. о-ва.- 1958.- Т. 7,- С.З - 51.

5Садовниий, В.А. О некоторых свойствах операторов с дискретным спек-

казана возможность восстановления возмущающего оператора только по спектру оператора. Начиная с 1990 года В.В. Дубровский со своими учениками (A.C. Великих, А.И. Седов, Л.В. Смирнова) занимался разработкой данного метода — метода регуляризованных следов, опирающегося на работы В.В. Дубровского, В.Е. Подольского, В.А. Садовничего, З.Ю. Фазуллина. Впервые метод был теоретически обоснован в работах В.В. Дубровского, A.B. Нагорного6. Необходимо отметить, что в вышеперечисленных работах рассматривались различные краевые задачи для степени оператора Лапласа только с простым спектром на прямоугольных областях7. Хотя в настоящее время наиболее активно исследуются модели с целыми степенями операторов, в частности, с оператором Лапласа и би-Лапласа, в последнее время в приложениях8 возникают математические модели с дробными степенями оператора Лапласа. В данной диссертации впервые исследуются краевые задачи для дробной степени оператора Лапласа с кратным спектром.

Научная новизна работы заключается в следующем: 1) Впервые исследованы обратные задачи для оператора Лапласа с кратным спектром. Доказаны теоремы существования решения обратных спектральных задач

— для возмущенной степени оператора Лапласа с ядерной резольвентой, заданного краевой задачей Дирихле либо Неймана на iV-мерном параллелепипеде;

тром / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский // Дифференц. уравнения. - 1979. -Т. 15, № 7. - С.1206 - 1211.

6Дубровский, В.В. К обратной задаче для оператора Лапласа с непрерывным потенциалом / В.В. Дубровский, A.B. Нагорный // Дифференц. уравнения. -1990. - Т. 26, № 9. - С.1563 - 1567. Дубровский, В.В. Обратнгш задача для степени оператора Лапласа с потенциалом из L2 / В.В. Дубровский, A.B. Нагорный // Дифференц. уравнения. - 1992. - Т. 28, № 9. - С.1552 - 1561.

7Дубровский, В. В. Теорема о существовании решения обратной задачи спектрального анализа для степени оператора Лапласа / В.В. Дубровский, A.C. Великих // Электромагнитные волны и электронные системы. - 1998. - Т. 3, № 5. - С.6 - 9. Смирнова, Л.В. Математическая модель восстаговления гладких потенциалов в обратных задачах спектрального анализа: дис. ... канд. физ.-мат. наук / Л.В. Смирнова. - Челябинск, 2002.

8Шамолин М.В. Некоторые задачи дифференциальной и топологической диагностики / М.В. Шамолин. - М.: Экзамен, 2007. - 318 с.

О

— для возмущенной степени оператора Лапласа с неядерной резольвентой, заданного краевой задачей Дирихле либо Неймана на ЛГ-мерном параллелепипеде;

— для оператора Лапласа на равнобедренном прямоугольном треугольнике.

В частном случае, когда спектр невозмущенного оператора однократный, полученные результаты совпадают с результатами Е.А. Пузанковой9 и В.В. Дубровского (мл.)10.

2) Впервые получено приближенное решение обратной спектральной задачи для возмущенного оператора Лапласа.

3) Созданы программные продукты в среде Maple 6 для реализации алгоритма численного нахождения приближенного решения обратной задачи для оператора Лапласа.

Теоретическая ценность диссертации состоит в доказательстве теорем существования решения поставленных обратных задач. Практическая ценность заключается в том, что предложенный алгоритм решения обратных спектральных задач может быть применен для восстановления потенциала в математических моделях с оператором Лапласа. Создана программа численной реализации данного алгоритма.

Методы исследования. Основным в работе является так называемый резольвентный метод, предложенный В.А. Садовничим и В.В. Дубровским. Используются методы теории возмущений, принцип сжимающего оператора и методы вычислительной математики.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы, алгоритмы и результаты вычислительных экспериментов докладывались автором на следующих научных конференциях и научно-исследовательских семинарах:

- на Воронежской весенней математической школе "Понтрягин-ские чтения - XVIII"(r. Воронеж, ВГУ, 2007 г.);

- на Международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", посвященной 100-летию со дня

9Пузанкова ЕЛ. Некоторые вопросы спектральной теории дифференциальных операторов в частных производных: дисс. ... канд. физ. - мат. наук: 01.01 01.

- Екатеринбург, 2003.

10Дубровский В.В. (мл.) Обратные задачи спектрального анализа для некоторых дифференциальных операторов в частных производных: дис. .. .канд. физ.

- мат. наук: 01.01.02 . - Стерлитамак, 2006.

рождения академика И.Н. Векуа (г. Новосибирск, 2007 г.);

- на 14 - ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения"(г. Саратов, СГУ, 2008 г.);

- на Воронежской весенней математической школе "Понтрягин-ские чтения - XIX"(г. Воронеж, ВГУ, 2008 г.);

- на Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы"(г. Стерлитамак, СГПА, 2008 г.);

- на Международной конференции по математической физике и ее приложениям (г. Самара, 2008 г.);

- на региональных научно-практических конференциях в Магнитогорском государственном университете (Магнитогорск, 2003 - 2008 гг.);

- на научно-исследовательском семинаре под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Свиридюка Г.А. в ЮжноУральском государственном университете;

- на научно-исследовательском семинаре под руководством кандидата физ.-мат. наук, доцента Седова А.И. в Магнитогорском государственном университете;

- на научно-исследовательском семинаре под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Фазуллина З.Ю. в Башкирском государственном университете.

Публикации. Основные научные результаты диссертации опубликованы в 12 печатных работах, приведенных в конце автореферата. Статья [1] опубликована в научном журнале, рекомендованном ВАК. В статьях, совместных с научным руководителем, Седову А.И. принадлежит постановка задач, Закировой Г.А. принадлежат все полученные результаты.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы из 112 наименований. Общий объем работы составляет 84 страниц, набранных в редакторе ЬаТеХ.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, определяются цели работы, дается обзор литературы по исследуемой проблематике, кратко излагаются основные результаты диссертации.

Первая глава посвящена доказательству некоторых вспомогательных утверждений, полученных диссертантом, и состоит из трех

параграфов. В параграфе 1.1 приводятся необходимые сведения из теории симметрично-нормированных идеалов компактных операторов. В параграфе 1.2 получена оценка суммы некоторых числовых рядов. В параграфе 1.3 доказывается замкнутость множеств функций со специальными свойствами.

Вторая глава содержит основные теоретические результаты диссертации и посвящена обратным спектральным задачам для возмущенного оператора Лапласа и его степеней на /У-мерном параллелепипеде и равнобедренном прямоугольном треугольнике.

В §2.1 доказываются некоторые спектральные тождества для абстрактного дискретного дифференциального оператора, используемые в дальнейшем.

В §2.2 доказывается существование решения обратной задачи для возмущенной степени оператора Лапласа на ЛГ-мерном параллелепипеде П = {х = (а;1, Х2, ■ ■ ■ : п

О с объемом V = ^ а^. Обозначим через Т степень оператора Го, 3=1

порожденного краевой задачей Дирихле (1). Упорядоченные по воз/ Г.Т

/ N 9 2 \

' п тз 1

а?

растанию собственные числа оператора Т , т.е. Ат = ^

V-1 ~3

т = (т,1,т2,... т^ 6 N будем нумеровать одним нижним

и одним верхним натуральными индексами, при этом верхний индекс будет отвечать за кратность собственного числа А{, т.е. А( = А*, к =

Положим:

П = -тт{А4+1 - Аг; - А^}, г0 = т£гг; 7г, = {А € С : |А4 - А| = пУ,

/со ч 1/2

5= (Е^д^Н^о^Нг) ;ге(0,тт{го,^.}).

Здг

Теорема 1. Пусть в > ——. Если для комплексной последова-

4

тельности выполняется неравенство:

44=1 к=1

1/2

Г

где и> = \/2Nsr < 1, то существует потенциал р 6 ¿г(П) такой, что для любого t € N

X>'=i>i\ (2)

к=1 к=1

где {/i*} = а(Т + Р).

Следствие 1. Пусть а?3/а\ — иррациональное число, к ф j.

Пусть Р — оператор найденный в теореме 1. Если г < jwtjj, то этот оператор единственный.

Теорема 1 с небольшими изменениями справедлива и в случае задачи Неймана.

3 N

Теорема 2. Пусть в > -. Если для комплексной последова-

4

тельности {£*} выполняется неравенство:

i

_ / ОО Vt \ 2

^ -ч2

\t=1 А=1 /

где ш — \f2^sr < 1, то существует потенциал р Ь2(П) такой, что для любого t g N

i>t vt

к=1 к=1

где {i4} = a(T + P).

Штрих у знака суммы означает, что суммирование ведется по тем i, для которых у чисел Аг все rrij > 0.

В §2.3 доказываются теоремы существования решения обратной задачи для возмущенной степени оператора Лапласа {S3 > ^j-) на JV-мерном параллелепипеде, определенного краевыми задачами Дирихле или Неймана.

Пусть функции ft : С ->■ С таковы, что ft(Xk) = Stk, где 5tk — символ Кронекера и пусть ¡3t = sup (|А|2 • |/((А)|) < оо. Обозначим:

Re А>0

9t(А) = J ftWzi at = {А : ReA = At+'2+Af};

ОО

Пг, - {А : ¡А( — А| > го}; П = П О-,-

t=1

Теорема 3. Если для комплексной последовательности существует подпоследовательность {сь} С {сн} такая, что выполняются следующие неравенства:

" А

0) и> = 2"-1г0 тах||ДЬ(А)||! £ ~ <

1=1

с,.

(и)

г=1

£ Е(мф-Л))

<С* ¿ = 1

то существует потенциал р, такой, что для любого 4 6

£ £*<4) = £ Е*Ф>-

В случае задачи Неймана теорема выгладит следующим образом: Теорема 4. Если для комплексной последовательности } существует подпоследовательность {с4} С {<14} такая, что выполняются следующие неравенства:

" А

1) ы = 2""1го ши ||До(А)Щ£ £ < 1,

С(

(и)

е=1

А, <С( £=1

то существует потенциал р, такой, что для любого £ €

Е Е*оФ= Е £*(#)•

Как и прежде, штрих у знака суммы означает, что суммирование ведется по тем I, для которых у чисел At все т^ > 0.

В §2.4 доказана теорема существования решения обратной задачи для степени оператора Лапласа на равнобедренном прямоугольном треугольнике К — {(х,у) : 0 < х <у < 7г}.

Положим:

вд

оо п

= Е ЕЙ

т>п>0к='

1рГ2'(т+п),2Чга-п) тах

<._0 Ает2к(т+«),2'(т-п)

m 2^+1п max ||До(А)|||);

lm 2t + l„ '

Г6 (0,min{ro,^-}).

Теорема 5. Пусть (3 > 2. Если для комплексной последовательности {£mn} выполняется неравенство:

m>n> О fc=0 ~22)с+1 ~ ^2fc + 1m,2fc+1n)| <

где и> = 3\/2s¿r < 1, то существует функция р Е ¿¡^(К) такая, что для любого í £ N

"У ^ (/^mn ^т+п,т-п) — ^ * ((mn ~ 2^m+n-rn—п)'

m2+n2=Xt m2+n2 — \t

где {р

mn

Третья глава посвящена приближенному решению исследованных во второй главе обратных задач. В § 3.1 формулы, использованные для доказательства теорем существования, преобразованы в более удобный для построения алгорима вид. Предложен алгоритм численного нахождения приближенного решения нелинейного функционально-операторного уравнения. В § 3.2 приведено описание программы, созданной в среде Maple 6, реализующий предложенный алгоритм. § 3.3 посвящен численному эксперименту по демонстрации разработанного алгоритма.

Далее приведем пример, иллюстрирующий работу программы.

Пусть Т — степень оператора То (Р = 5/2), определенного краевой задачей Дирихле (1) на прямоугольнике П со сторонами а = 1, Ъ = -УЗ. Оператор То— дискретный, самосопряженный, положительный. Пусть далее, £mn = Xmn 4- 0.0001, m,n < 3. По теореме 1 существует потенциал р £ ¿2(П) такой, что для любого í € N выполнено свойство (2).

Приближенный потенциал, восстановленный в предложенной программе по первым трем членам последовательности {£mn}í имеет вид:

р{х,у) = 0.0004006103099+0.0003996020352 соз(4.774188417у)+

+0.0003999764584 соз(9.548376831г/)+0.0003999963294 соб(14.32256525у) + +0.0003998709158 соз(6.283185308а:)+ +0.0003999661512 соз(6.283185308х)+ +0.0003999943750 соз(6.283185308а:) соз(9.548376831?/)+ +0.0003999987614 соб(6.283185308х) соз(14.32256525у)+

+0.0003999948648 соз(12.56637062а;)+ +0.0003999956908 соз(12.56637062ж) соб(4.774188417у)+ +0.00003999972752 соз(12.56637062ж) соб(9.548376831 +0.0003999988398 соз(12.56637062х) ««(14.32 2 5 6 5 252/)+

+0.0004000001236 соз(18.84955592х)+ +0.0003999988488 соз(18.84955592а:) соз(4.774188417;/) + +0.0003999994667 сой(18.84955592х) соз(9.548376831у)+ +0.0003999997508 соз(18.84955592х) соз(14.32256525у).

Основные результаты диссертационной работы

На защиту выносятся следующие новые научные результаты.

1) Доказаны теоремы существования решения обратных спектральных задач для возмущенной степени оператора Лапласа с ядерной и неядерной резольвентой, заданного краевой задачей Дирихле либо Неймана на ^-мерном параллелепипеде, а также для оператора Лапласа на равнобедренном прямоугольном треугольнике.

2) Разработан алгоритм, позволяющий восстанавливать потенциал в обратных спектральных задачах с дробной степенью оператора Лапласа.

3) Создана программа в среде Мар1е 6 для реализации предложенного алгоритма.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи, опубликованные в научных журнала,:/ из списка ВАК

1. Закирова, Г.А. Приближенное решение обратной спектральной задачи для оператора Лапласа / Г.А. Закирова // Вести. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.- мат. науки. - 2008. - № 2(17). - С. 250 - 253.

Другие публикации

2. Закирова, Г.А. Приближенное решение обратной спектральной задачи для оператора Лапласа / Г.А. Закирова // Вестник ЮУрГУ. Сер. Математическое моделирование и программирование. - Вып. 2.

27(127). - 2008. - С. 19 - 27.

3. Закирова, Г.А. Обратная спектральная задача для оператора Лапласа и ее приближенное решение / Г.А. Закирова, А.И. Седов // Вестник МаГУ. Математика. - Вып. 9. Магнитогорск: МаГУ. - 2006.

- С. 145 - 149.

4. Закирова, Г.А. Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа с потенциалом на параллелепипеде / Г.А. Закирова, А.И. Седов // Математика. Механика. Информатика: Материалы Всерос. науч. конф., Челябинск, 19-22 сент. 2006 г. - Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2007. - С. 160 - 167.

5. Закирова, Г.А. О существовании решения обратной задачи спектрального анализа для оператора Лапласа на равнобедренном прямоугольном треугольнике / Г.А. Закирова, А..И. Седов // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XVIII".

- Воронеж: Воронежский государственный университет. - 2007. - С. 144 - 145.

6. Закирова, Г.А. Об обратной задаче спектрального анализа для возмущенной степени оператора Лапласа на параллелепипеде / Г.А. Закирова, А.И. Седов // Материалы международной конференции "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", Новосибирск, 28 мая - 2 июня 2007 г. - Новосибирск. - 2007. - С. 292

- 293

6. Закирова, Г.А. Об обратной задаче спектрального анализа для возмущенной степени оператора Лапласа на параллелепипеде / Г.А. Закирова, А.И. Седов // Материалы международной конференции

"Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", Новосибирск, 28 мая - 2 июня 2007 г. - Новосибирск. - 2007. - С. 292 - 293

7. Закирова, Г.А. О восстановлении оператора Лапласа на треугольнике по его спектру / Г.А. Закирова, А.И. Седов // Современные проблемы науки и образования: материалы ХЬУ внутривузов-ской научной конференции преподавателей МаГУ. - Магнитогорск: МаГУ, 2007. - С.259 - 260.

8. Закирова, Г.А. Обратная задача спектрального анализа для возмущенной степени оператора Лапласа в случае задачи Неймана на параллелепипеде / Г.А. Закирова, А.И. Седов // Вестник Чел-ГУ. Математика. Механика. Информатика. Выпуск 10. - 2008. -№ 6(107). - С. 63 - 68

9.Закирова, Г.А. Об обратной задаче спектрального анализа для степени оператора Лапласа на равнобедренном прямоугольном треугольнике / Г.А. Закирова, А.И. Седов //14 Саратовская зимняя школа "Современные проблемы теории функций и их приложения", Саратов, 28 января 2008 - 4 февраля 2008 г. - С. 170.

10. Закирова, Г.А. О существовании решения обратной спектральной задачи для степени оператора Лапласа на 1М-мерном параллелепипеде / Г.А. Закирова, А.И. Седова // Современные методы теории краевых задач: материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения - XIX". - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2008. - С. 193.

11. Закирова, Г.А. Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа на равнобедренном прямоугольном треугольнике /Г.А. Закирова, А.И. Седов // Вестник СамГУ - Естественнонаучная серия. - 2008. - №2(61). - С 34 - 42.

12. Закирова, Г.А. Об обратной задаче спектрального анализа для степени оператора Лапласа на п- мерном параллелепипеде / Г.А. Закирова, А.И. Седов // Труды Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы", Стерлита-мак. - Уфа: Гилем, 2008. - Т. И. - С. 46 - 48.

Подписано в печать 26.12.08. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,93. Уч.-изд. л. 0,7. Тираж 100 экз. Заказ №750. Бесплатно.

455038, г. Магнитогорск, пр. Ленина, 114 Типография Магнитогорского государственного университета

Введение

1 Вспомогательные утверждения

1.1 Предварительные сведения.

1.2 Некоторые свойства одной числовой последовательности

1.3 Некоторые замкнутые множества.

2 Обратные спектральные задачи для возмущенного оператора Лапласа и его степеней

2.1 Основные спектральные тождества для дискретного дифференциального оператора.

2.2 Степень оператора Лапласа с потенциалом на ТУ-мерном параллелепипеде.

2.2.1 Задача Дирихле.1.

2.2.2 Задача Неймана.

2.3 Возмущенный оператор Лапласа с неядерной резольвентой на ^/-мерном параллелепипеде.

2.4 Степень оператора Лапласа с потенциалом на равнобедренном прямоугольном треугольнике.

3 Приближенное решение обратной спектральной задачи для оператора Лапласа

3.1 Алгоритм численного решения.

3.2 Программа.

3.3 Пример.

Постановка задач. Обратные задачи спектрального анализа заключаются в определении операторов по некоторым их спектральным характеристикам, к которым можно отнести спектр, спектральную функцию, данные рассеяния и т.д. Данная диссертация посвящена исследованию обратных спектральных задач следующего вида.

Пусть дана последовательность комплексных чисел близкая к спектру невозмуги^нного оператора Т. При различных степенях оператора Т требуется доказать существование оператора Р такого, что спектр а(Т + Р) возмущенного оператора совпадает в смысле средних с последовательностью

Подобные задачи играют фундаментальную роль в различных разделах математики и имеют множество приложений в естествознании. Например, в квантовой механике движение свободной частицы в потенциальном поле II описывается оператором 2

Н = -—А + и(х,у,г).

Обратная задача состоит в определении потенциала II по известным спектральным данным оператора Н. Решение этой и подобных обратных спектральных задач в квантовой механике позволяет определить: внутриатомные силы по известным уровням энергии (т.е. спектру); каким потенциальным возмущением можно устранить из дискретного спектра произвольный уровень, не трогая остальных; как породить на заданном месте новый уровень энергии; как сдвигать локализацию отдельных состояний в пространстве и на энергетической шкале; как изменять скорости распадов отдельных квазистационарных состояний (резонансов) и квантовые переходы между дискретными состояниями; как управлять прозрачностью квантовых систем, туннелированием.

Решение перечисленных обратных физических задач позволяет, в свою очередь, создавать технологии перестройки систем в микроэлектронике, квантовой оптике, тонких квантовых проводников и др. [33]. Кроме того, обратные задачи широко используются в радиоэлектронике при синтезе параметров неоднородных линий передач с заданными техническими характеристиками [48], [55], в теории упругости при определении размеров поперечных сечений балки по заданным частотам ее собственных колебаний [89], в геофизических моделях земного шара [92], [95], космологии [33] и т. д.

В настоящее время наиболее активно исследуются модели с целыми степенями операторов, в частности, с оператором Лапласа и би-Лапласа. Однако, в последнее время в приложениях [84] возникают математические модели с дробными степенями оператора Лапласа. Это связано с тем, что для плотных газов, жидкостей, твердых тел потоки неравновесных импульсов и энергий формируются не за счет диффузионного переноса массы, а за счет сил взаимодействия "соседних" частиц.

В данной диссертации дается качественное и численное исследование задачи (03) в случае, когда оператор Лапласа, заданный на А^-мерном параллелепипеде краевыми условиями Дирихле или Неймана, имеет кратный спектр и степень /3 € А именно, целью данной-работы данной работы является исследование существования и единственности решения и восстановление потенциала в обратных спектральных задач для математических моделей с возмущенной степенью оператора Лапласа с кратным спектром. Для достижения этой цели необходимо было решить следующие задачи:

1) Доказать существование решения обратных спектральных задач для возмущенной степени оператора Лапласа с ядерной и неядерной резольвентой.

2) Разработать алгоритм, позволяющий восстанавливать потенциал в обратных спектральных задачах с дробной степенью оператора Лапласа.

3) Создать программу в среде Maple 6 для реализации предложенного алгоритма

Актуальность темы диссертации. Наиболее полно изучены обратные спектральные задачи для оператора Штурма-Лиувилля

Ty = -t/' + q{x)y. (0.0.1)

Первый результат в этом направлении принадлежит В.А. Амбарцумя-ну [91]. Он доказал следующую теорему:

Пусть X0<X1<X2<. — собственные значения задачи Штурма-Лиувилля

-у" + q(x)y = Ху, у'( 0) = у'{ тг) = 0, где q — действительная непрерывная функция. Если Хп = п2, п = 0,1,. то q = 0.

Однако, результат В.А. Амбарцумяна является скорее исключением, и одного спектра, вообще говоря, недостаточно для однозначного восстановления оператора (0.0.1). В связи с этим, в дальнейших исследованиях по решению обратных задач спектрального анализа помимо спектра задавались еще и дополнительные спектральные характеристики. Обычно г используют спектральные данные (числа) {Ате, a?n}n>o, где Хп — собственные числа, ап = f <р2(х, Xn)dx — нормировочные (весовые) числа, ip(x,Xn) х собственные функции краевой задачи. Вместо спектральных данных часто задают спектральную функцию, функцию Вейля или ее обобщение — матрицу Вейля. Опишем основные методы, использующие эти спектральные данные.

Один из методов решения обратных задач носит имя шведского математика Г. Борга. В своей работе [93] Г. Борг предложил следующую постановку обратной 'задачи: найти потенциал по известным спектрам двух краевых задач с общим дифференциальным оператором и одним общим краевым условием. В методе Борга обратная задача сводится к нелинейному интегральному уравнению, которое может быть решено локально. Для вывода и исследования нелинейного уравнения Борга используется полнота или базисность по Риссу произведения собственных функций рассмотренных краевых задач. Хотя для операторов Штурма-Лиувилля метод Борга слабее, чем возникший позднее метод спектральных отображений, он оказывается полезным, когда другие методы не работают, как, например, в работах [65], [78].

Важную роль в спектральной теории операторов сыграл метод операторов преобразования. Первым оператор преобразования к решению обратных задач применил В.А. Марченко [51], [52]. В дальнейшем этот метод был применен и -в теории обобщенного сдвига [41]. Операторы преобразования для произвольных уравнений Штурма-Лиувилля были построены А.Я. Повзнером [57] и использовались при решении обратных задач И.М. Гельфандом [16], Б.М. Левитаном [40], В.А. Марченко [53] и др.

Для дифференциальных операторов высших порядков с интегрируемыми коэффициентами

71-2

Ту = уЫ + ^Г,РЛ*)Уи), п > 2

3=О обратная задача более сложна для изучения по сравнению с оператором Штурма-Лиувилля. В частности, операторы преобразования при п > 2 имеют гораздо более сложную структуру, чем при п — 2, что затрудняет использование метода оператора преобразования в данном случае. Однако, в случае аналитических коэффициентов р^{х) операторы преобразования имеют такой же "треугольный" вид, как и для оператора Штурма-Лиувилля [79], [69]. В частности, М.Г. Гасымов [13], И.Г. Хачатрян [81] исследовали обратную задачу восстановления самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси по спектральной функции, а также обратную задачу рассеяния с помощью "треугольного" оператора преобразования.

Более универсальным методом в теории обратных задач является метод спектральных отображений, связанный с идеями метода контурного интеграла. Идеи метода контурного интеграла к исследованию обратных задач для случая оператора Штурма-Лиувилля первым применил Н. Ле-винсон [96]. Дальнейшее развитие метод получил в работах З.Л. Лейбензо-на [43] - [45], В.А. Юрко [86]- [87] и др. Метод спектральных отображений позволяет эффективно исследовать обширный класс обратных задач для дифференциальных операторов произвольных порядков, дифференциальных операторов с особенностями и точками поворота, пучков дифференциальных операторов и многих других.

В методе эталонных моделей, разработанном В.А. Юрко [88], строится последовательность модельных операторов, которые, в определенном смысле, приближают искомый оператор и позволяют строить потенциал "шагами". Метод дает эффективный алгоритм решения обратной задачи и работает для многих важных классов обратных задач, в то время как другие методы оказываются неприменимыми. В частности, в работе [88] исследованы так называемые неполные обратные задачи для дифференциальных операторов высших порядков, когда только некоторая часть спектральной информации доступна для измерения, но имеется априорная информация об операторе или его спектре.

Исследованы обратные задачи для дискретных операторов, для дифференциальных операторов с запаздыванием, для нелинейных дифференциальных уравнений, для матричных операторов Штурма-Лиувилля, для дифференциальных операторов на графах и др. [90].

Важным классом обратных задач являются обратные задачи спектрального анализа для уравнений в частных производных. Обратная спектральная задача для оператора Лапласа с потенциалом была впервые поставлена Ю.М. Березанским в работах [4], [5]. В работе [5] было доказано, что в уравнении, заданном в некоторой конечной или бесконечной области С? трехмерного пространства,

Аи + с(р)и = Ли, 1т с(р) = 0 с граничным условием \

Ъп + а{р)и = где сг(р) — непрерывная вещественная функция точки р на границе Г области С, спектральная функция р(р, д, Л) (р, д € 1, —оо < Л < оо) однозначно определяет коэффициент с(р) в классе кусочно-аналитических коэффициентов, а также граничное условие на некоторой части границы Г, т. е. функцию <т(р). Таким образом, Ю.М. Березанский связывает решение многомерной обратной задачи с ее спектральной функцией. В этой же работе Ю.М. Березанский отмечает, что, к сожалению, так и не найден "эффективный" метод восстановления потенциала.

Дальнейшее развитие теория обратных задач для оператора Лапласа с потенциалом получила в работах В.А. Садовничего, В.В. Дубровского и их учеников [10], [25]—[31], [65] [66], [70]. В работе [65] доказана теорема единственности решения обратной задачи только по одному спектру для абстрактных операторов при условии "малости" возмущающего оператора. Результаты применяются к степени оператора Лапласа, заданного на прямоугольнике П с потенциалом из ¿2 (П). К этой работе по своей тематике и методам примыкает статья [26]. Здесь сформулированы условия, при которых может быть восстановлен потенциал в классе ограниченных функций. В работах [28], [29] доказана единственность потенциала и разработан метод его восстановления.

В работе [30] исследуется устойчивость решений обратных задач, полученных в [28] - [29]. Дальнейшие исследования обратных задач для оператора Лапласа были продолжены в работах А.И. Седова и В.В.Дубровского (мл.). Так, была решена обратная задача для возмущенной степени (3 > 3/2 оператора Лапласа с ядерной резольвентой, заданного на прямоугольнике краевыми условиями Дирихле [62]. Решена обратная задача для возмущенного оператора Лапласа с неядерной резольвентой, заданного на прямоугольнике краевыми условиями Дирихле или краевыми условиями Неймана [63]. При /3 > N/2 решена обратная задача для степени возмущенного оператора Лапласа с неядерной резольвентой, заданного на А/—мерном параллелепипеде краевыми условиями Дирихле или краевыми условиями Неймана [32]. Необходимо отметить, что все отмеченные результаты относились к оператору Лапласа с однократным спектром. Поэтому поставленные в данной диссертации задачи следует признать актуальными.

Методы исследования. Основным в работе является так называемый резольвентный метод, предложенный В.А. Садовничим и В.В. Дубровским. Используются методы теории возмущений, принцип сжимающего оператора и методы вычислительной математики. ,

Краткое содержание диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих десять параграфов и списка литературы. Во введении приводится постановка задачи, формулируются цели диссертации, описываются методы исследования и дается обзор работ, относящихся к теме диссертации. Список литературы содержит 112 названий работ отечественных и зарубежных авторов, использованных при написании диссертации, а также работы диссертанта.

1. Аткинсон, Н.Д. Дискретные и непрерывные граничные задачи / Н.Д. Аткинсон. - М.: Мир, 1968. - 350 с.

2. Баранова, Е.А. О восстановлении дифференциальных операторов высших порядков по их спектрам / Е.А. Баранова // ДАН СССР. -1972. Т. 205, № 6. - С. 1271 - 1273.

3. Баранова, Е.А. Об обратной задаче спектрального анализа для одного класса задач с параметром в краевых условиях / Е.А. Баранова // Дифференц. уравнения,- 1972. Т. 7, № 8. - С. 2130 - 2139.

4. Березанский, Ю.М. Об обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера / Ю.М. Березанский // ДАН СССР.- 1955.Т. 105, № 2.- С. 197 200.

5. Березанский, Ю.М. О теореме единственности в обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера / Ю.М. Березанский // Труды Моск. математ. о-ва.- 1958.- Т. 7 С.З - 51.

6. Березанский, Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов / Ю.М. Березанский.- Киев: Наукова Думка, 1965. 799 с.

7. Бехери, С.Э. О восстановлении регулярного двучленного оператора произвольного четного порядка по спектру / С.Э. Бехери, А.Р. Каза-рян, И.Г. Хачатрян // Уч. зап. Ереванского ун-та. Естеств. науки.-1994,- Т. 181, № 2,- С. 8 22.

8. Бухгейм, А.Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи / А.Л. Бух-гейм. Новосибирск: Наука, 1983. - 207 с.

9. Бухгейм, А.Л. Введение в теорию обратных задач / A.JI. Бухгейм.- Новосибирск: Наука, 1988. 181 с.

10. Великих, A.C. Обратные задачи спектрального анализа: дис. . канд. физ.-мат. наук / A.C. Великих. Магнитогорск, 1999.

11. Гасимое, М.Г. Определение уравнения Штурма Лиувилля с особенностью по двум спектрам / М.Г. Гасымов // ДАН СССР. - 1965.- Т. 161, № 3 С. 274 - 276.

12. Гасымов, М.Г. Единственность решения обратной задачи теории рассеяния для одного класса обыкновенных дифференциальных операторов четного порядка / М.Г. Гасымов // ДАН СССР. 1982. - Т. 266, № 5.- С. 1033 - 1036.

13. Гасымов, М.Г. Обратная задача рассеяния для системы уравнений Дирака порядка 2п / М.Г. Гасымов // Труды Моск. матем. о-ва. Т. 19. - 1968. - С. 41 - 119.

14. Гасымов, М.Г. Определение дифференциального оператора по двум спектрам / М.Г. Гасымов, Б.М. Левитан // УМН. 1964. - Т. 19, № 2.- С. 3 63.

15. Гасымов, М.Г. Обратная задача для системы Дирака / М.Г. Гасымов, Б.М. Левитан // ДАН СССР.- 1966. Т. 167. - С.967 - 970.

16. Гелъфанд, И.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции /И.М. Гельфанд, Б.М. Левитан // Известия АН СССР, сер. матем. 1951. - Т. 15. - С. 309 - 360.

17. Гласко, В.Б. Обратные задачи математической физики / В.Б. Гласко- М.: Изд-во МГУ, 1984. 112 с.

18. Гохберг, И.Ц. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов / И.Ц. Гохберг, И.Г. Крейн. М.: Наука, 1965. - 448 с.

19. Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. - 896 с.

20. Данфорд, Н. Линейные операторы. Спектральная теория / Н. Данфорд, Дж. Т. Шварц. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. - 1064 с.

21. Денисов, A.M. Введение в теорию обратных задач / A.M. Денисов. М.: Изд-во МГУ, 1994. - 208 с.

22. Денисов, A.M. Единственность решения некоторых обратных задач / A.M. Денисов // ЖВМ и МФ. 1982. - Т. 22, № 4. - С. 858 - 864.

23. Дубровский, В.В. Теория возмущений и следы операторов: дис. . д-ра физ.-мат. наук / В.В. Дубровский. М.: МГУ, 1992. - 145 с.

24. Дубровский, В.В. К асимптотике спектральной функции дифференциальных операторов в ЬР(М) / В.В. Дубровский // Дифференц. уравнения. 1992. - Т. 28, № 1. - С. 69 - 75.

25. Дубровский, В. В. Восстановление потенциала по собственным значениям разных задач / В.В. Дубровский // УМН. 1997. - С. 155 -156.

26. Дубровский, В.В. Теорема о единственности решения обратных задач спектрального анализа / В.В. Дубровский // Дифференц. уравнения. 1997. - Т. 33, № 3. - С. 421 - 422.

27. Дубровский, B.B. Обратные задачи спектрального анализа и интерполяция по JI. Карлесону / В.В. Дубровский // Математ. заметки. -2001. Т. 70, № 3. - С. 468 - 471.

28. Дубровский, В. В. К обратной задаче для оператора Лапласа с непрерывным потенциалом / В.В. Дубровский, A.B. Нагорный // Дифферент уравнения. 1990. - Т. 26, № 9. - С. 1563 - 1567.

29. Дубровский, В.В. Обратная задача для степени оператора Лапласа с потенциалом из L2 / В.В. Дубровский, A.B. Нагорный // Дифферент уравнения. 1992. - Т. 28, № 9. - С. 1552 - 1561.

30. Дубровский, В.В. Устойчивость решения обратных задач / В.В. Дубровский, A.B. Нагорный // Дифференц. уравнения. 1992. - Т. 28, № 5. - С. 839 - 843.

31. Дубровский, В. В. Теорема о существовании решения обратной задачи спектрального анализа для степени оператора Лапласа / В.В. Дубровский, A.C. Великих // Электромагнитные волны и электронные системы. 1998. - Т. 3, № 5. - С. 6 - 9.

32. Дубровский В.В. (мл.) Обратные задачи спектрального анализа для некоторых дифференциальных операторов в частных производных: дис. . канд. физ.-мат. наук / В.В. Дубровский (мл.). Магнитогорск, 2006. - 121 с.

33. Захарьев, В.Н. Послушная квантовая механика. Новый статус теории в подходе обратной задачи / Б.Н. Захарьев, В.М. Чабанов. М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - 300 с.

34. Като, Т. Теория возмущений линейных операторов / Т. Като. М.: Мир, 1972. - 740 с.

35. Курант, Р. Методы математической физики. Т. 1. / Р. Курант, Д. Гильберт. М.: ГТТИ, 1933. - 476 с.

36. Лаврентьев, М.М. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений / М.М. Лаврентьев, В.Г. Васильев, В.Г. Романов. Новосибирск: Наука, 1969. - 68 с.

37. Лаврентьев, М.М. Одномерные обратные задачи математической физики / М.М. Лаврентьев, К.Г. Резницкая, В.Г. Яхно. Новосибирск: Наука, 1982. - 88 с.

38. Лаврентьев, М.М. Некорректные задачи математической физики и анализа / М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.П. Шишатский. М.: Наука, 1980. - 286 с.

39. Ландау, Л.Д. Квантовая механика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц . Т2. М.: Наука, 1972. - 470 с.

40. Левитан, Б.М. Обратные задачи Штурма Лиувилля / Б.М. Левитан. - М.: Наука, 1984. - 240 с.

41. Левитан, Б.М. Теория операторов обощенного сдвига / Б.М. Левитан. М.: Наука, 1973. - 312 с.

42. Левитан, Б.М. Операторы Штурма Лиувилля и Дирака / Б.М. Левитан, И.С. Саргасян. - М.: Наука, 1988. - 432 с.

43. Лейбензон, З.Л. Единственность решения обратной задачи для обыкновенных дифференциальных операторов порядка и преобразованиятаких операторов / З.Л. Лейбензон // ДАН СССР. 1962. - Т. 142, № 3. - С. 534 - 537.

44. Лейбензон, З.Л. Обратная задача спектрального анализа для дифференциальных операторов высших порядков / З.Л. Лейбензон // Труды моек, матем. о-ва, 1966. № 15. - С. 70 - 144.

45. Лейбензон, З.Л. Спектральные разложения отображений систем краевых задач / З.Л. Лейбензон // Труды моек, матем. о-ва. 1971. - № 25. - С. 15 - 58.

46. Леонтьев, А.Ф. Оценка роста решения одного дифференциального уравнения при больших значениях параметра / А.Ф. Леонтьев // СМЖ. 1960. - № 3. - С. 456 - 487.

47. Лидский, В.Б. Несамосопряженные операторы, имеющие след / В.Б. Лидский // ДАН СССР. 1959. - Т. 125. № 3. - С. 485 - 487.

48. Литвиненко, О.Н. Теория неоднородных линий и их применение в радиотехнике / О.Н. Литвиненко, В.И. Сошников. М.: Сов. Радио, 1964. - 536 с.

49. Маламуд, М.М. Подобие вольтерровых операторов и смежные вопросы теории дифференциальных уравнений дробных порядков /М.М. Маламуд // Труды Моск. матем. об-ва. 1994. - № 55. - С. 73 - 148.

50. Маламуд, М.М. Вопросы единственности в обратных задачах для систем дифференциальных уравнений на коненом интервале /М.М. Маламуд // Труды Моск. матем. о-ва. 1999. - № 60. - С. 199 - 259 с.

51. Марченко, В.А. Некоторые вопросы теории дифференциального оператора второго порядка / В.А. Марченко // ДАН СССР . 1950. Т. 72, № 3. С. 457 -460.

52. Марченко, В.А. Некоторые вопросы теории одномерных линейных дифференциальных операторов второго порядка / В.А. Марченко // Труды моек, матем. о-ва. 1951. - Т. 1. - С. 328 - 420.

53. Марченко, В.А. Спектральная теория операторов Штурма Лиу-вилля / В.А. Марченко. - Киев: Наукова Думка, 1972. - 220 с.

54. Марченко, В.А. Операторы Штурма Лиувилля и их приложения /B.А. Марченко. Киев: Наукова Думка, 1977. - 350 с.

55. Мещанов, В.П. Автоматизированное проектирование направленных ответвителей СВЧ / В.П. Мещанов, А.Л. Фельдштейн. М.: Связь, 1980. - 144 с.

56. Нижник, Л.П. Обратные задачи рассеяния для гиперболических уравнений / Л.П. Нижник. Киев.: Наукова думка, 1991. - 232 с.

57. Повзнер, А.Я. О дифференциальных уравнениях типа Штурма Лиувилля на полуоси / А.Я. Повзнер // Матем. сб. - 1948. 23(65):1.C. 3 52.

58. Рамм, А.Г. Многомерные обратные задачи рассеяния / А.Г. Рамм.- М.: Мир, 1994. 496 с.

59. Рисс, Ф. Лекции по функциональному анализу / Ф. Рисс, Б. С.-Надь.- М.: Изд-во иностр. лит., 1954. 499 с.

60. Романов, В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа / В.Г. Романов. Новосибирск: Наука, 1972. - 164 с.

61. Романов, В.Г. Обратные задачи математической физики / В.Г. Романов. М.: Наука, 1984. - 263 с.

62. Седов, А.И. Обратная задача для степени оператора с симметричным потенциалом / А.И. Седов, В.В.Дубровский В.В.(мл.) // Вестник МаГУ. Математика. 2004. - Вып. 6. - С. 53 - 65.

63. Садовничий, В.А. Теория операторов / В.А. Садовничий. М.: Высшая школа, 1999. - 368 с.

64. Садовничий, В.А. О некоторых свойствах операторов с дискретным спектром / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский // Дифференц. уравнения. 1979. - Т. 15, № 7. - С. 1206 - 1211.

65. Садовничий, В.А. Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа на прямоугольнике / В.А. Садовничий, В.В. Дубровский, Б.А. Пузанкова // Дифференц. уравнения. 2000. - Т. 36, № 12. - С. 1695 - 1698.

66. Садовничий, В.А. Регуляризованный след оператора с ядерной резольвентой, возмущенного ограниченным / В.А. Садовничий, С.В.Конягин, В.Е. Подольский // Доклады РАН. 2000. - Т. 373, № 1. -С. 26 - 28.

67. Садовничий, В.А. О корректности обратной задачи Штурма Лиу-вилля с нераспадающимися краевыми условиями / В.А. Садовничий, Я.Т. Султанаев, Ахтямов A.M. // Доклады РАН. - 2004. - Т. 395, № 5. - С. 592 - 595.

68. Сахнович, Л.А. Обратная задача для дифференциальных операторов порядка с аналитическим коэффициентами / Л.А. Сахнович // Матем. сб. 1958. Т. 46 (88), № 1. - С. 61 - 76.

69. Смирнова, Л. В. Математическая модель восстановления гладких потенциалов в обратных задачах спектрального анализа: дис. . канд. физ.-мат. наук / Л.В. Смирнова. Магнитогорск, 2002.

70. Сташевская, В. В. Об обратных задачах спектрального анализа для одного класса дифференциальных уравнений / В.В. Сташевская, // ДАН СССР. 1953. Т. 93, № 3. - С. 409 - 412.

71. Султанаев, Я. Т. Асимптотическое поведение решений сингулярного уравнения Штурма Лиувилля / Я.Т. Султанаев // Доклады РАН.- 1994. Т. 335, № 6. С. 67 - 70.

72. Титчмарш, Э. Ч. Разложение по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка / Э.Ч. Титчмарш. М.: Изд-во иностр. лит., 1961. - 555 с.

73. Тихонов, А.Н. О единственности решения задачи электоразведки / А.Н. Тихонов, A.A. Самарский // ДАН СССР. 1949. - Т. 69, № 6.- С.797 800.

74. Тихонов, А.Н. Методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов, В.Я. Арсенин. М.: Наука. 1986. - 288 с.

75. Фаддеев, Л. Д. Обратная задача квантовой теории рассеяния / Л.Д. Фаддеев // УМН. 1959. - Т.14, № 4. - С.57 - 119.

76. Фикера, Г. Теоремы существования в теории упругости / Г.Фикера. М.: Мир, 1974. - 160 с.

77. Хачатрян, И.Г. О восстановлении дифференциального уравнения по спектру / И.Г. Хачатрян // Функц. анализ и его прил. 1976. - Т. 10, № 1. - С. 93 - 94.

78. Хачатрян, И.Г. Об операторах преобразования для дифференциальных высших порядков / И.Г. Хачатрян // Изв. АН Арм. ССР, сер. матем. 1978. - Т. 13, № 3. - С. 215 - 237.

79. Хачатрян, И. Г. О единственности восстановления дифференциального оператора с аналитическими коэффициентами по его спектральной матрице-функции / И.Г. Хачатрян // ДАН Арм. ССР. -1980. Т. 71, № 2. - С. 91 - 97.

80. Хачатрян, И. Г. О некоторых обратных задачах для дифференциальных операторов высших порядков на полуоси / И.Г. Хачатрян // Функц. анализ и его прил. 1983. - Т. 17, № 1. - С. 40 - 52.

81. Хермандер, Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. ТЗ (Псевдодифференциальные операторы) / Л. Хермандер. М.: Мир, 1987. - 470 с.

82. Шадан, К. Обратные задачи в квантовой теории рассеяния / К. Ша-дан, П. Сабатье. М.: Мир, 1980. - 408 с.

83. Шамолин, M.B. Некоторые задачи дифференциальной и топологической диагностики / М.В. Шамолин. М.: Экзамен, 2007. - 318 с.

84. Шубин, М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория / М.А. Шубин М.: Наука, 1978. - 280 с.

85. Юрко, В.А. О восстановлении дифференциальных операторов четвертого порядка / В.А. Юрко // Дифференц. уравнения. 1983. -№ 11. - С. 2016 - 2017.

86. Юрко, В.А. Единственность восстановления двучленных дифференциальных операторов по двум спектрам / В.А. Юрко // Матем. заметки. 1988. - № 43. Вып. 3. - С. 356 - 364.

87. Юрко, В.А. Восстановление дифференциальных операторов высших порядков / В.А. Юрко // Дифференц. уравнения. 1989. - Т. 25, № 9. - С. 1540 - 1550.

88. Юрко, В.А. Об одной задаче теории упругости // Прикл. Мат. Мех. 1990. Т. 54, № 6. - С. 998 - 1002.

89. Юрко, В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 384 с.

90. Ambarzumian, V.A. ?/ber eine Frage der Eigengwerttheorie / V.A. Ambarzumian // Zeits.f. Phisik. 1929. - № 53. - S. 690 - 695.

91. Anderssen, R.S. The effect of discontinuities in destiny and shear velocity on the asymptotic overtone structure of tortional ejgenfrecuencies of the Earth / R.S. Anderssen // Geophys. J.R. Astr. Soc. 1997. - V. 50. - P. 303 - 309.

92. Borg, G. Eine Umkehrung der Sturm Liouvilleschen Eigenwertaufgabe / G. Borg // Acta Math. - 1946. - Bd. 78, №1. - S. 1 - 90.

93. Isakov, V. Inverse Problems for Partial Differential Equatuons / V. Isakov // Springer-Verlag, New-York. 1998. 360 p.

94. Lapwood, F.R. Inverse Problems for Partial Differential Equatuons / F.R. Lapwood, T. Usami // Free Oscillations of the Earth, Cambridge: Cambridge University Press, 1981. 243 p.

95. Levins on, N. The inverse Sturm Liouville problem / N. Levinson // Math. Tidssk. - B. 1949. - P. 25 - 30.

96. Prilepko, A.I. Methods for solving inverse problems in mathematical physics / A.I. Prilepko, D.G. Orlovsky, I.A. Vasin // Marcel Dekker, New York. 2000. 723 p.

97. Yurko, V.A. On higher-order differential operators with a singular point / V.A. Yurko // Inverse Problems. 1993. - V. 9. - P. 495 - 502.

98. Yurko, V.A. An inverse problems for operators of a triangular structure / V.A. Yurko // Result in Mathematics. 1996. - V. 30. - P. 346 - 373.Публикации автора по теме диссертацииСтатьи, опубликованные в научных журналах из списка ВАК

99. Закирова, Г.А. Приближенное решение обратной спектральной задачи для оператора Лапласа / Г.А. Закирова // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ мат. науки. - 2008. - № 2(17). - С. 250 - 253.Другие публикации

100. Закирова, Г.А. Обратная спектральная задача для оператора Лапласа и ее приближенное решение / Г.А. Закирова, А.И. Седов // Вестник МаГУ. Математика. Вып. 9. Магнитогорск: МаГУ. - 2006.- С. 145 149.

101. Закирова, Г.А. Обратная задача спектрального анализа для степени оператора Лапласа на равнобедренном прямоугольном треугольнике / Г.А. Закирова, А.И. Седов // Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. - 2008. - №2(61). - С 34 - 42.

102. Закирова, Г.А. Приближенное решение обратной спектральной задачи для оператора Лапласа / Г.А. Закирова // Вестник ЮУрГУ. Сер. Математическое моделирование и программирование. Вып. 2.27(127). 2008. - С. 19 - 27.