автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы построения областей притяжения для нелинейных динамических систем

На правах рукописи

Горбунов Артур Валерьевич

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.01 — Системный анализ, управление

и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2009

1 9 ноя "г*?

003483860

Работа выполнена в Государственном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный технический университет имени Н. Э. Баумана».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Крищенко А. П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

в.н.с. Шамолин М. В.

кандидат физико-математических наук, с.н.с. Матросов И. В.

Ведущая организация: Вычислительный центр

имени А. А. Дородницына РАН

Защита диссертации состоится «. 03 » 2009 года

в // часов мин. на заседании диссертационного совета

Д 212.141.15 при Московском государственном техническом университете имени Н. Э. Баумана по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5. 4006*,

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью организации, просим высылать по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, МГТУ им. Н. Э. Баумана, ученому секретарю совета Д 212.141.15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГТУ им. Н. Э. Баумана.

Автореферат разослан « 30» О к ТА 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.т.н., доцент

Аттетков А.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Устойчивость к возмущениям и противодействие их накоплению являются необходимым условием для стабильного функционирования большинства технических систем. Поэтому в теории управления особую важность получила задача асимптотической стабилизации. Обычно задача асимптотической стабилизации имеет много решений, с чем связана необходимость выбора того из них, которое обеспечивает замкнутой системе лучшие характеристики. Одной из важнейших количественных характеристик асимптотически устойчивого движения является область притяжения. В связи с этим актуальна задача построения области притяжения (А. М. Лётов1).

Для аппроксимации области притяжения может использоваться множество, ограниченное некоторой поверхностью уровня функции Ляпунова (Н. Н. Красовский; В. И. Зубов; J. La-Salle; В. Г. Веретенников, В. В. Зайцев и др.). Качество такой оценки зависит от того, насколько удачно выбрана функция Ляпунова и определено значение константы уровня, т. е. возникают две до конца не решённые задачи: поиска подходящей функции Ляпунова и вычисления значения константы уровня. Существует гипотеза (J. J. Rodden; S. G. Margolis, W. G. Vogt и др.), что критическое значение константы уровня является одним из решений некоторой задачи на локальный экстремум с ограничениями. Однако способ выбора такого решения не формализован. Поэтому требуется метод однозначного вычисления критического значения константы уровня.

Многие задачи управления и устойчивости систем с ограниченными ресурсами могут быть переформулированы (А. М. Формаль-ский; Р.-О. Gutman, Р. Hagander; В. А. Каменецкий) как задачи построения области притяжения для системы с фазовыми ограничениями. Часто для аппроксимации такой области используется аппарат функций Ляпунова (Р. М. Jülich; В. А. Каменецкий), но остается открытым вопрос о полноте такого приближения. Поэтому представляют интерес методы построения области притяжения для системы с фазовыми ограничениями, не использующие функцию Ляпунова.

■Лётов A.M. Некоторые нерешенные задачи теории автоматического управления // Дифференциальные уравнения. — 1970. — Т. VI, № 4. — С. 592-615.

Важным как с практической, так и с теоретической точки зре-1шя является класс систем, содержащих запаздывание. Также как для не содержащих запаздывание динамических систем, для анализа устойчивости систем с запаздыванием может использоваться прямой метод Ляпунова (Н. Н. Красовский; Б. С. Разумихин и др.), а при аппроксимации области притяжения возникают задачи поиска подходящих функционалов и вычисления значения константы уровня. Основанные на таком подходе методы (В. Д. Горяченко; А. П. Блинов и др.) обычно не предполагают реализации на ЭВМ и приводят к трудностям при использовании для автоматизированного построения области притяжения. Поэтому для систем с запаздыванием представляют интерес методы построения области притяжения, пригодные для автоматизированных приложений.

Цель исследования. Целью диссертационной работы является развитие классических и разработка новых методов построения областей притяжения для нелинейных динамических систем, в том числе содержащих запаздывание и фазовые ограничения, и апробация этих методов для конкретных технических систем.

Методы исследования. В работе применяются методы теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, топологии, математического программирования, теории многозначных отображений и дифференциальных включений.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается при сопоставлении с результатами, полученными другими методами и различными вычислительными экспериментами.

Научная новизна. Предложен метод для вычисления критического значения константы уровня при аппроксимации области притяжения с помощью аппарата функций Ляпунова.

Для системы с фазовыми ограничениями предложена система, не содержащая ограничений, область притяжения которой при достаточно общих предположениях совпадает с областью притяжения исходной системы с фазовыми ограничениями.

Предложен метод для построения области притяжения системы с фазовыми ограничениями, использующий теоретико-множественные операции и операцию выделения линейно связной компоненты множества, в терминах границы допустимой области, области притяжения системы без ограничений на состояние и некоторого отрицательно инвариантного многообразия. Получено выражение для

области притяжения линейной системы, замкнутой ограниченным по величине линейным управлением.

Для нелинейных систем с запаздыванием разработан метод аппроксимации области притяжения положительно инвариантным множеством, целиком содержащимся в области притяжения.

Получено достаточное условие существования квадратичной функции Ляпунова - Разумихина для системы с запаздыванием.

Решена задача робастной асимптотической стабилизации с помощью малого управляющего воздействия для положения равновесия двухзвенника с упругим шарниром между звеньями, представляющего механическую систему, не являющуюся полностью ро-бастно управляемой в смысле Е. С. Пятницкого2. Построена область притяжения для замкнутой системы.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием математической теории устойчивости движения и могут использоваться при создании автоматизированных систем анализа устойчивости.

Работа является составной частью фундаментальных научных исследований, выполняемых в рамках научных проектов РФФИ (гранты №02-01-00704, №04-01-00391, №05-01-00840, №07-01-00223, №08-01-00203). Полученные результаты использованы при выполнении грантов Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ РФ (гранты 00-15-96137, НШ-2094.2003.1, НШ-1676.2008.1), научных программ «Университеты России - фундаментальные исследования» (проекты УР.03.01.018, УР.03.01.141), «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект РНП 2.1.1.2381) и фундаментальных исследований Президиума РАН РФ (проект 19-1.5).

На защиту выносятся следующие положения:

1. Метод вычисления критической константы уровня при аппроксимации области притяжения с использованием аппарата функций Ляпунова.

2. Методы точного построения области притяжения системы с фазовыми ограничениями и множества линейной стабилизации линейной системы, замкнутой ограниченным по величине линейным управлением.

2Пятницкий Е.С. Критерии полной робастной управляемости механических систем с ограниченными управлениями // Доклады

РАН. — 1997. — Т. 352, № 5. — С. 620-623.

3. Метод аппроксимации области притяжения системы с запаздыванием положительно инвариантным множеством, целиком содержащимся в области притяжения.

4. Решение задачи нелокальной робастной асимптотической стабилизации малым управляющим воздействием положения равновесия механической системы, не являющейся полностью ро-бастно управляемой в смысле Е. С. Пятницкого.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на VII Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2002); II Международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ (NDA'2)>> (Москва, 2002); VIII международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2004); II Московской конференции «Декомпозиционные методы в математическом моделировании» (Москва, 2005); Тихоновских Чтениях (Москва, 2005); V Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» (Москва, 2006); IX Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2006); III Международной конференции по проблемам управления (Москва, 2006); X Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2008); семинаре «Нелинейная динамика: качественный анализ и управление» (Москва, 2008).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 4 научных статьях [3,6,7,13], в том числе в 3 статьях Перечня ведущих научных журналов и изданий ВАК, и 9 тезисах докладов [1,2,4,5,8-12].

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы. Работа изложена на 147 страницах, содержит 18 иллюстраций. Библиография включает 115 наименований.

Автор выражает глубокую признательность к.ф.-м.н., с.н.с. В. А. Каменецкому за полезные обсуждения и консультации, которые во многом определили направление настоящей работы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, основные положения, выносимые на защиту, приведены данные о структуре и объеме диссертационной работы.

В первой главе рассматривается ряд задач, к которым приводит использование метода функций Ляпунова для аппроксимации области притяжения пулевого решения системы

х(1) = /(х(£)), х £ И С К", (1)

где функция / £ С (Б, К") удовлетворяет локальному условию Липшица в открытой области Б С К" и /(0) = 0.

В разделах 1.1 и 1.2 вводятся основные понятия, используемые в первой главе, и формулируются предложения, применяемые в работе для аппроксимации области притяжения инвариантными множествами, вложенными в область притяжения.

В подразделе 1.2.1 предлагается пример, показывающий, что существуют функции Ляпунова, для которых использование теоремы Ла-Салля при аппроксимации области притяжения приводит к получению лишь пустой оценки. Поэтому доказывается следующее предложение, обеспечивающее для любой функции Ляпунова существование непустой оценки области притяжения.

Теорема 1. Пусть V £ Сг (Еп, К) — определённо положительная функция, г > 0 — такое, что ¿"„(г) = агйго{:г | ь(х) < г} — ограниченное множество, ¿"„(г) С О и ь(х) < 0 для всех х £ 5,,;(г)\{0}. Тогда нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво, а множество 5\,(г) положительно инвариантно и вложено в область притяжения нулевого решения системы (1).

В теореме 1 и ниже по тексту символом аг\Уо Б обозначена та линейно связная компонента множества 5, которая содержит точку 0.

В подразделе 1.2.2 даётся постановка задачи вычисления критического значения константы уровня, т. е. такой постоянной Я, что для всех г £ (0,/?] выполнены условия теоремы 1, а для любого г > Я условия теоремы 1 нарушены. Предлагается пример, показывающий отсутствие решения задачи в такой постановке. С учётом этого, предлагается заменить требование ограниченности 5„(г) в

теореме 1 на условие Sv(r) С Я, где Я — некоторый компакт. Поскольку в рассматриваемой задаче существенны лишь определённые свойства функции Ь, то далее вместо функции v(x) : D —> К. рассматривается её обобщение — функция Nvj(x) : D —+ R такая, что выполнены предположения: AI) v £ Cl{D,К); А2) v определённо положительная; A3) первые частные производные J^- функции v удовлетворяют в области D локальному условию Липшица; A4) Nvj еС(Д1); А5) функция Nvj определённо отрицательная; А6) существует компакт Я такой, что Я С int Я С D С R"; А7) 0 € int Я; А8) для любого ж е Я из равенства gradw(x) = О следует, что х = 0; А9) Я — линейно связное множество.

По функциям v и Nvj определяются следующие множества: В = ({х | Nvj(x) = 0}ПЯ)\{0}; G — множество таких yQ G R", что решение y{t) : системы y(t) = — gradu(?/(£)) с началь-

ным условием у(0) = уо, единственно, неограниченно продолжимо и существует lim ylt) = 0; S*(г) = {х I v(x) < г} П G.

(—»+оо

В подразделе 1.2.3 с учётом предположений А1)-А9) доказывается, что (В U дН) П(?^0и существует наименьшее значение

R = min v(x). (2)

ze(BU9H)nG

Теорема 2. Пусть R определяется по (2). Тогда:

1) SV{R) = s;(R)-

2) SV{R) С | NvJ{x) < 0} U {0}) П Я;

3) для любого R > R имеет место по меньшей мере одно из неравенств Sv{R)\({x | NvJ(x) < 0} U {0}) ф 0 или SV{R)\H ф 0.

Вследствие теоремы 2 постоянная R из (2) — искомое критическое значение константы уровня.

В подразделе 1.2.4 рассматривается задача вычисления критического значения константы уровня для частного случая функции Ляпунова v(х) : ffi" —> К, удовлетворяющей предположениям AI) - A3) и А10) gradf(x) ф 0 при х ф 0; All) lim v(x) = +оо.

X—»00

Доказывается, что наименьшее значение

R* = mmv{x), ß = {x\ NvJ{x) = 0}\{0} (3)

x£ß

существует при условии ß Ф 0.

Теорема 3. Пусть ß ф 0, R* определяется по (3). Тогда:

1) множество SV(R*) — ограниченное;

2) SV(R*) С {х \_NvJ(x) < 0} U {0};

3) для любого R* > R* выполнено неравенство

S„(/T)\({z | NvJ(x) < 0} U {0}) ф 0.

По теореме 3 постоянная R* из (3) — искомое критическое значение константы уровня.

Разделы 1.3 и 1.4 содержат обзор. В разделе 1.3 изложены методы построения функций Ляпунова для аппроксимации области притяжения, принадлежащие В. И. Зубову, R. Genesio и A. Vicino, Н. Chiang и J. S. Thorp, В. А. Каменецкому и др. В разделе 1.4 описан метод приближённого построения сечений границы области притяжения для системы третьего порядка, предложенный А. Тонд-лом.

В разделе 1.5 на примере конкретной нелинейной системы, описывающей боковое движение самолёта, выполнено сравнение методов аппроксимации области притяжения, принадлежащих В. И. Зубову, Н. Chiang и J. S. Thorp, В. А. Каменецкому и А. Тондлу.

Во второй главе предложены не связанные с использованием функций Ляпунова методы построения области притяжения для системы с фазовыми ограничениями.

В разделе 2.1 вводятся основные определения и обозначения, используемые во второй главе.

Рассматривается система

x(t) = f(x(t)), xeöcr, (4)

где функция / 6 С (К", R71) удовлетворяет локальному условию Липшица в R", /(0) = Ü, х — 0 — асимптотически устойчивое положение равновесия системы (4). В (4) допустимое множество D задаётся фазовыми ограничениями

д(х) > 0, (5)

где д € С(М", К"), д(0) > 0. Для области притяжения нулевого решения системы (4) с фазовыми ограничениями (5) используется обозначение flg.

В разделе 2.2 доказано следующее утверждение, определяющее метод редукции ограничений (5).

Теорема 4. Пусть функция д удовлетворяет в К™ локальному условию Липшица. Тогда х = 0 — асимптотически устойчивое положение равновесия системы

системы (6).

В разделе 2.3 предложен метод для построения области притяжения системы с фазовыми ограничениями, использующий теоретико-множественные операции и операцию выделения линейно связной компоненты множества.

Пусть д е С^ИГД). Вводятся множества

где X{t,x) — решение (4) с начальным условием Х{0,х) = х. Доказаны следующие утверждения, позволяющие строить область Пд при известной области притяжения О, системы (4) (без ограничений на состояние) или оценивать Ц, при известном положительно инвариантном множестве S СИ.

Теорема 5. Пусть д € C^R", R). Тогда Пд = arw0(O \ {Л U В)).

Теорема 6. Пусть д G С1 (К", К), множество S положительно инвариантное и S С П, Тогда множество Sg = arwo{S \ (Л U В)) положительно инвариантное ж Sg С £1д.

В разделе 2.4 с помощью теоремы 5 решаются задачи точного построения областей притяжения системы

при различных фазовых ограничениях, в частности, когда состояние х — (х! Х2)1 (Е К2 должно находится в множестве, заданном одним из неравенств д\{х) = х\ — х\ >0 или д2{х) = х\ — х2 > 0.

е = {х е М" I д{х) = д(х) = 0}, A = {X(-t,x) | ieG.oo}, В = {х\ д{х) = 0},

(7)

(8) (9)

Г ¿1 = {ах 1 + Ьхг)(1 + xi)

\ х2 = Xi - х2,

, а < 0, b < — а

(10)

Уравнения (10) описывают поведение ядерного реактора3, а неравенства дг{х) > 0, г = 1,2 имеют смысл ограничений на мгновенную мощность (г = 1) и температуру (г = 2) активной зоны.

Рис. 1 Рис. 2

Искомые области выделены на рис. 1 (г = 1) и рис. 2 (г = 2) для а = -0,2, b — -0,4, х\ = 1 и х\ = 0,2, Пд. = arw0(fi\(AuSi)), где П = {х | Х\ > —1}, Вг = {х | Xi = ж*}, множества А,, найдены по (8) численным методом, Oi = j — ^^ j, 02 = {(a^i3^)}-

В разделе 2.5 с помощью теоремы 6 решается задача4 аппроксимации области устойчивости для интегратора, замкнутого динамической обратной связью

£(t)=u(t), u(t) = -sat«(i) +/3sat(u(i))), (11)

где a = 0,0045, /3 = 1,0045, а величина и ограничена |w| < 1.

Записывая ограничения в виде и) = 1 — и2 > 0, имеем Пд Э Sg = arw0(S \ (Л U В)), где 5 = |(£,u) G К2 | £ + < — инвариантное множество, вложенное в область притяжения системы (11), В = {(±|,^1)}, В = {{£,и) е К2 | и2 = 1}, Л вычислено приближённо по (8). При а = 0,0045, /3 = 1,0045 непосредственной проверкой обнаружено, что в П S = 0, следовательно,

3Горяченко В.Д. Методы теории устойчивости в динамике ядерных реакторов. — М.: Атомиздат, 1971. — 264 с.

aShewchun J.M., Feron Е. High perfomance bounded control // Proceedings of the American Control Conf. — Albuquerque (USA), 1997. — P. 3250-3254.

Яд = 51 П {(£,и) £Ё2 | 1 — V? > О}. Найденная оценка Яя, выделенная на рис. 3, незначительно отличается от точной области устойчивости, выделенной на рис. 4, и существенно превосходит оценку, полученную Л. М. Shewchun и Е. Гегоп4 (малый эллипс на рис. 3).

В разделе 2.6 рассматривается задача построения области притяжения линейной системы, замкнутой стабилизирующей линейной обратной связью

x(t) = Ax(t) + bu{t), u(t) = cTx(t)

(12)

с ограниченным управлением |u| ^ итах, итах > 0, т. е. множе-

rT (A+bcT)t

ства L

-{

х G.

Vi > 0 :

< Umax}, где А + ЬсТ

с е1-х

гурвицевая матрица. Задача построения множества Ь может рассматриваться как задача построения области притяжения с фазовыми ограничениями, которые, в отличие от (5), заданы нестрогим неравенством.

Рис. з

Рис. 4

Теорема 7. Пусть — область притяжения системы (12) с фазовыми ограничениями д(х) = (стж)2 > 0. Тогда L = ii3Uc>fifl.

Рассматривается пример5, для которого область притяжения, построенная с помощью теорем 5 и 7, совпала с областью, построенной А. М. Формальским5 другим методом.

В третьей главе рассматривается задача аппроксимации области притяжения для системы с запаздыванием

±(t) = f(x(t), x(t-k)), xeD С Rn, (13)

5Формальский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. — М.: Наука, 1974. — 368 с.

где / : Р х Д 1" — непрерывная функция, /(0,0) = О, /г > О. Предлагается метод аппроксимации области притяжения, использующий функцию, удовлетворяющую требованиям теоремы Б. С. Ра-зумихина об асимптотической устойчивости (функцию Ляпунова -Разумихина), и условия существования квадратичной функции Ляпунова - Разумихина.

В разделе 3.1 приводятся основные определения, используемые в третьей главе.

В разделе 3.2 предлагаются условия асимптотической устойчивости нулевого решения системы (13). Для этого вводится вспомогательная функция Лг,,(х) : Б —> К, заданная выражением

К,/{х)= тах (д:аАу(х)Лх,у))п, (14)

уеУ(и(х))

где У (г) = свц {у € О | у(у) ^ г}. Здесь символом сэо Б обозначена связная компонента множества 5, содержащая точку 0, символом (•, -)п — скалярное произведение в К".

При условии определённой положительности V доказывается, что функция определена и непрерывна в некоторой окрестности точки х — 0.

Получены следующие условия асимптотической устойчивости «в большом» нулевого решения системы (13), использующие функцию

Теорема 8. Пусть V £ С1 (О, Ж) — определённо положительная функция, г > 0 — такая постоянная, что множество ¿>„(г) = агш(){.т е Б | и(х) < г} — ограниченное, 5„(г) С Б и NVJ(х) < 0 для всех х е 5'„(г)\{0}. Тогда нулевое решение системы (13) асимптотически устойчиво, множество гу(г) = С([-/1,0], (г)) положительно инвариантно и вложено в область притяжения нулевого решения системы (13).

В разделе 3.3 предложены достаточные условия существования квадратичной функции Ляпунова - Разумихина.

Пусть функция /(х, у) : К" X Е" —► К" из (13) непрерывно дифференцируемая в точке х = у — 0, А = В = . Усло-

вия существования квадратичной функции Ляпунова для системы с запаздыванием (13) определяет следующая теорема.

Теорема 9. Пусть существуют скаляр г > 0 и матрица Ь = = Ьт > 0 такие, что выполнено матричное неравенство

т2Ь + т(ЬАт + АЬ) + ВЬВТ < 0. (15)

Тогда функция v(x) = хтРх при Р = L 1 удовлетворяет условиям теоремы 8 при некотором г > 0.

Далее предлагается метод решения (15), использующий линейность неравенства по переменной L и следующую оценку для т.

Теорема 10. Пусть для матрицы L = LT > 0 и числа т > 0 выполнено неравенство (15). Тогда т < — 2 max ReAt M), где Re A, (А)

O^i^n

— действительная часть г-го корня характеристического уравнения матрицы А.

В разделах 3.4 и 3.5 представлены иллюстрирующие метод примеры. В частности, в разделе 3.5 рассмотрена задача аппроксимации области притяжения нулевого решения системы6

{±i(i) = x^t) + l,5x2{t) - x2{t - h) + 150и, ±2{t) = 0,3xi{t) - 2x2(t) + 15u,

и = sat (—0,15556 • xi(t) — 0,05156 • x2(t)).

Рис. 5

С помощью теоремы 9 получена функция Ляпунова - Разуми-хина v(x) = х'1 Рх, где

( 0,9294 0,2424 \ ( 4,3980 -9,0172 \ _

^ 0,2424 0,1670 )' V -9,0172 24,4759 ) ' ¿.-^о,

6Tarbouriech S. Local stabilization of continuous-time delay systems with bounded inputs // Proc. of European Control Conf. — Brussels (Belgium), 1997. — CD-ROM Paper № 921. — 6 p.

обеспечивают выполнение матричного неравенства (15). По формуле (3), где функция определена выражением (14), вычислено критическое значение Я = 1115,6 константы уровня г из теоремы 8. В качестве оценки области притяжения принято множество ^(г) = С([-М],ЗД), где £„(Д) = {х 6 М2 | у(х) < Я}.

На рис. 5 показаны границы областей допустимых отклонений, найденных в работе Б. ТагЬоипесЬ6 (два малых эллипса) и полученной в настоящей работе Б „(Я) (большой эллипс), а также множество ¡3 из (3) (тонкая линия).

В четвёртой главе для двухзвенника с упругим шарниром между звеньями, совершающего движение в горизонтальной плоскости, предлагается ограниченное управление моментом силы, приложенным к одному из звеньев, обеспечивающее решение задачи ро-бастной асимптотической стабилизации положения равновесия механизма. Для замкнутой системы построена область притяжения.

Рис. 6

При составлении математической модели в качестве обобщённых координат выбраны угол ^ между первым звеном и некоторой фиксированной осью в плоскости движения механизма и угол (¡2, на который повёрнута ось второго звена от положения, соответствующего ведеформированному состоянию шарнира. Внешний угол, образуемый звеньями в состоянии, когда шарннр не деформирован, обозначен через а (все утлы откладываются в одном и том же направлении), при деформации в шарнире возникает реактивный момент, равный /.72 (ф). Уравнения движения имеют вид:

от + С(д, д)д + К(д) =Ви, д = (91 Ч2)Т, (16)

Г7ТР Din) - + + 2^3 cosq2 ^2 + ^со8д2\ _ /l\

где V(q) - y o2 + Ú3COSq2 J> B ~

см=('l (h), m = (k¡m) = q2 + a,

= m2ll + mi/2 + h, i%¿ = m2/c2 +I2, = tt¿2Множество значений параметров $¿ определяется следующей леммой.

Лемма 1. Пусть тi > 0, т2 > О, h ^ О, I2 ^ О, h ^ О, /С1 > О, lc.2 ^ 0, причём имеет место по меньшей мере один из следующих случаев: 1) lCl > 0 и /С2 > 0; 2) /2 > 0 и h > 0; 3) /2 > 0 и h > 0. Тогда имеют место неравенства

i?i>0, 1?2>0, $3 ^ 0, (17)

+ Í?2 + 2т?зcosa > 0, 1?!1?2 - eos2(g2 + a) > 0. (18)

Показано, что система (16) является пассивной и для решения задачи стабилизации предлагается управление

w = -^i(gi)-o-2(<ji), (19)

где для функций a¿ выполняются предположения:

Г1) аг удовлетворяют в R локальным условиям Липшица; Г2) sgn(<T¿(s)) = sgn(s), для всех s € К, i = 1,2. Доказаны следующие результаты.

Теорема 11. Пусть функции 0i(s), c2(s) и k2(s) дифференцируемы в точке s = 0 и ст'^О) = ci > 0, а'2(0) = с2 > О, А;2(0) = к > О, $2eos с* ф 0, выполнены предположение Г1) и неравенства (17)-(18). Тогда решение q = q = 0 замкнутой системы (16),(19) экспоненциально устойчиво.

Теорема 12. Пусть выполнены предположения Г1), Г2) и неравенства (17)—(18), k2(q2) = kq2, где к > 0 и П(х) = fg <Ti(fld£ —> +00 при |а;| —у оо. Тогда решение q = q = 0 системы (16),(19) асимптотически устойчиво в целом.

Приводятся примеры переходных процессов в системе (16),(19). ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Получены формулы для вычисления критического значения константы уровня при аппроксимации области притяжения методом функций Ляпунова.

2. Разработаны методы построения области притяжения системы с фазовыми ограничениями и области притяжения линейной системы, замкнутой ограниченным по величине линейным управлением.

3. Разработан метод аппроксимации области притяжения системы с запаздыванием положительно инвариантным множеством, целиком содержащимся в области притяжения.

4. Решена задача нелокальной асимптотической стабилизации малым управляющим воздействием положения равновесия механической системы, не являющейся полностью робастно управляемой в смысле Е. С. Пятницкого, и построена область притяжения для замкнутой системы.

5. На конкретных примерах показано, что разработанные методы могут быть использованы как для точного построения области притяжения, так и для её аппроксимации с высокой степенью точности.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ

1. Горбунов A.B. Робастная стабилизация в целом двузвенного робота-манипулятора ограниченной обратной связью // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов VII Международного семинара. — М., 2002. — С. 93-95.

2. Горбунов A.B. Стабилизация в целом двузвенного робота-манипулятора ограниченной нелинейной обратной связью // Нелинейный динамический анализ: Тезисы докладов II Международного конгресса (NDA'2). — М., 2002. — С. 111.

3. Горбунов A.B., Каменецкий В.А. Робастная стабилизация в целом двухзвенного робота-манипулятора обратной связью с насыщением // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Приборостроение. — 2002. — № 3. — С. 110-120.

4. Горбунов A.B., Каменецкий В.А. Об использовании метода функций Ляпунова для построения областей притяжения систем с запаздыванием // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов VIII Международного семинара памяти Е. С. Пятницкого. — М., 2004. — С. 46-48.

5. Gorbunov А.V., Kamenetskiy V.A. A construction method for attraction domain of time delay systems // Декомпозиционные методы в математическом моделировании и информатике: Тезисы докладов II Московской конференции. — М., 2004. — С. 38.

6. Горбунов A.B., Каменецкий В.А. Метод функций Ляпунова для построения областей притяжения систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. — 2005.

— № 10. — С. 42-53.

7. Горбунов A.B., Каменецкий В.А., Пестряков Д.П. Нелокальная параметрическая стабилизация бокового движения самолета // Идентификация систем и задачи управления: Труды V Международной конференции. — М., 2006. — С. 2401-2414.

8. Большакова М.В., Горбунов A.B. Алгоритмическое описание функции Ляпунова для аппроксимации области притяжения // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов IX Международного семинара им. Е. С. Пятницкого.

— М., 2006. — С. 40-41.

9. Горбунов A.B. О структуре области притяжения для системы с фазовыми ограничениями // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов IX Международного семинара им. Е. С. Пятницкого. — М., 2006. — С. 62-63.

10. Горбунов A.B. О стабилизации двухзвенника с нелинейной характеристикой упругого шарнира // Третья Международная конференция по проблемам управления: Тезисы докладов. — М., 2006.

— Т. 1. — С. 32.

11. Горбунов A.B. Области притяжения для системы, описывающей поведение ядерного реактора при ограничениях на состояние // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов X Международного семинара им. Е. С. Пятницкого.

— М., 2008. — С. 82-84.

12. Горбунов A.B., Каменецкий В.А. Оценка области устойчивости для систем, замкнутых управлением, ограниченным по величине и по скорости // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов X Международного семинара им. Е. С. Пятницкого. — М., 2008. — С. 84-86.

13. Горбунов A.B. О методах построения области притяжения динамической системы с ограничениями на состояние // Дифференциальные уравнения. — 2009. — Т. 45, № 2. — С. 283-284.

Подписано к печати 13.07.09. Заказ № 445 Объем 1,0 печ.л. Тираж 100 экз. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д.5 263-62-01

ВВЕДЕНИЕ

1. МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.

1.1. Область притяжения.

1.2. Аппроксимация области притяжения методом функций

Ляпунова.

1.2.1. Основные предложения.

1.2.2. Постановка задачи вычисления критического значения константы уровня функции Ляпунова

1.2.3. Вывод формулы для вычисления критической константы уровня.

1.2.4. Случай функции Ляпунова с бесконечно большим низшим пределом и одной критической точкой

1.3. Методы построения функций Ляпунова для аппроксимации области притяжения.

1.3.1. Метод Зубова.

1.3.2. Метод интегрирования с обращением времени

1.3.3. Метод Чанга - Торпа.

1.3.4. Алгоритмическое определение функции Ляпунова в методе Чанга - Торпа.

1.3.5. Методы поиска функции Ляпунова в заданном параметрическом классе функций.

1.3.6. Обоснование эффективности одного класса дискретных процедур поиска функции Ляпунова в параметрическом классе функций.

1.4. Метод Тондла приближённого построения сечений границы области притяжения.

1.5. Сравнение методов аппроксимации области притяжения на примере системы, описывающей боковое движение самолёта

1.6. Выводы.

2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ

ДЛЯ СИСТЕМЫ С ФАЗОВЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

2.1. Область притяжения для системы с фазовыми ограничениями

2.2. Редукция фазовых ограничений в задаче построения области притяжения

2.3. Метод построения области притяжения системы с фазовыми ограничениями, использующий операцию выделения линейно связной компоненты.

2.4. Построение областей притяжения стационарного режима работы ядерного реактора при ограничениях на состояние

2.4.1. Область притяжения без ограничений на состояние

2.4.2. Область притяжения при ограничении на температуру активной зоны.

2.4.3. Область притяжения при ограничении на мгновенную тепловую мощность.

2.4.4. Область притяжения при ограничении на скорость изменения мгновенной тепловой мощности.

2.5. Аппроксимация области устойчивости интегратора с ограничениями на величину и скорость изменения управления.

2.6. Построение области притяжения линейной системы, замкнутой ограниченным линейным управлением.

2.7. Выводы.

3. МЕТОД АППРОКСИМАЦИИ ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

3.1. Область притяжения системы с запаздыванием.

3.2. Аппроксимация области притяжения методом функций Ляпунова.

3.3. Условия существования квадратичной функции Ляпунова для системы с запаздыванием.

3.4. Оценка области притяжения для системы Минорского

3.5. Оценка области притяжения для линейной системы, замкнутой обратной связью с насыщением.

3.6. Выводы.

4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ РОБАСТНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ДВУХЗВЕННИКА.

4.1. Математическая модель двухзвенника.

4.2. Решение задачи робастной стабилизации малым управляющим воздействием.

4.3. Условие экспоненциальной стабилизации.

4.4. Условие асимптотической стабилизации в целом

4.5. Примеры переходных процессов.

4.6. Выводы.

Актуальность темы. Устойчивость к возмущениям и противодействие их накоплению являются необходимыми условиями для стабильного функционирования большинства технических систем. Поэтому в теории управления особую важность получила задача асимптотической стабилизации, состоящая в нахождении допустимого управления, обеспечивающего требуемому движению замкнутой системы асимптотическую устойчивость. Как правило, задача асимптотической стабилизации имеет много решений, поэтому возникает необходимость выбора того из них, которое обеспечивает замкнутой системе лучшие характеристики.

Одной из важнейших количественных характеристик асимптотически устойчивого движения является область притяжения [52], т. е. множество тех, и только тех, начальных возмущений, для которых имеет место асимптотическое стремление возмущенных движений к невозмущённому. В связи с этим, актуальны задачи точного построения области притяжения или даже её оценивания [53,54].

Иногда область притяжения асимптотически устойчивого движения совпадает со всем пространством состояний, т. е. движение является асимптотически устойчивым в целом. Асимптотическая устойчивость в целом, например, всегда имеет место в линейных системах хотя бы с одним асимптотически устойчивым решением [35,52]. Как правило, область притяжения в нелинейной системе является собственным подмножеством пространства состояний. Если оценка области притяжения не найдена, то говорят об устойчивости «в малом»1, в остальных случаях — об устойчивости «в большом».

В последние десятилетия задача построения области притяжения привлекла внимание большого числа исследователей (см., например, библиографию в [82]). Интерес к этой тематике можно объяснить, во-первых, потребностями для приложений, а, во-вторых, бурным развитием методологии исследования, прежде всего — прямого метода

1термин «устойчивость в малом» может употребляться также в ином смысле [8]

Ляпунова [38, 52]. Особое прикладное значение задача приобретает при исследовании устойчивости технических объектов с повышенными требованиями к безопасности. Примерами таких объектов служат летательные аппараты [18-20] и ядерные реакторы [33,34].

Обычно выделяют две группы методов построения области притяжения [19,82]. Первая группа содержит методы, в которых область притяжения оценивается множеством, ограниченным поверхностью уровня некоторой функции Ляпунова. Во второй группе объединены методы, основанные на качественных представлениях о структуре границы области притяжения.

Известно [38], что граница области притяжения является инвариантным множеством, т. е. состоит из траекторий системы. Идея выделения таких («особых») траекторий для построения фазового портрета нелинейной динамической системы восходит к работам А. А. Андронова по качественной теории дифференциальных уравнений второго порядка [4, 5]. В [5] дано общее определение особой траектории динамической системы второго порядка и указано, что к их числу относятся особые точки, сепаратрисы и предельные циклы. На идее особых траекторий базируются много методов построения границы области притяжения для систем второго порядка (см., например, [19,67,75] и библиографию в [82]).

В [67] для системы порядка 3, все особые точки которой являются простыми седло-узлами либо седло-фокусами, предложен метод для построения сечения границы области притяжения заданной плоскостью. В [19] метод из [67] получил дальнейшее развитие. В частности, в [19] выведено дифференциальное уравнение линии сечения границы области притяжения плоскостью и на основе метода продолжения по параметру получена итерационная процедура построения линии сечения границы области притяжения. В [75] дано строгое обоснование метода из [67], а для более общей чем в [67] системы получены условия, при которых инвариантное многообразие особой точки или периодического решения образует границу области притяжения. Отметим, что методы из [19,67,75] позволяют точно найти границу области притяжения, но необходимость проведения трудоёмкого исследования качественных свойств системы сужает круг приложений, в которых они могли бы быть использованы.

Условия, позволяющие использовать функцию Ляпунова для построения области притяжения, были получены в работах В. И. Зубова [37,38], Е. А. Барбашина [7], Н. Н. Красовского [7,49], Ж. Ла-Салля [52], В. Г. Веретенникова и В. В. Зайцева [13,14] и др. В частности, в [14,52] приводятся условия, при которых множество, ограниченное поверхностью уровня функции Ляпунова, инвариантно и вложено в область притяжения. Качество оценки таким множеством определяется тем, насколько удачно выбрана функция Ляпунова и определена искомая поверхность уровня. Таким образом, практическое использование условий теорем [14,52] связано с двумя до конца не решёнными задачами: поиска подходящей функции Ляпунова и вычисления критического значения константы уровня. В [14] также отмечено, что не для всякой функции Ляпунова, используя теорему Ла-Салля из [52], может быть получена непустая оценка области притяжения. Поэтому для приложений интересны более общие, чем в теореме из [52], условия.

Необходимость вычисления критической константы уровня возникает при использовании результатов многих работ (см., например, [15,40, 50,103,109,111]). Обычно для этого используется утверждение о том, что критическое значение константы уровня является одним из решений некоторой задачи на локальный экстремум с ограничениями. Однако способ выбора такого решения не формализован. Поэтому требуется метод однозначного вычисления критического значения константы уровня.

Для построения функции Ляпунова в условиях теоремы Ла-Салля могут использоваться метод Зубова [38], методы поиска в параметрическом классе [40] и методы [76, 82], в которых некоторая исходная функция Ляпунова, не содержащая параметров, последовательно изменяется, обеспечивая при этом монотонное улучшение соответствующей оценки области притяжения.

Метод Зубова предписывает искать функцию Ляпунова как решение дифференциального уравнения в частных производных — уравнения Зубова. Существование решения уравнения Зубова, обеспечивающего наилучшую оценку области притяжения, следует из результатов [38]. Однако получить такое решение в конечной аналитической форме, как правило, удаётся лишь в специальных случаях. В [102] предложено искать решение уравнения Зубова в виде степенного ряда (суммы однородных форм), используя метод неопределённых коэффициентов и ограничиваясь вычислением коэффициентов лишь при младших степенях. Коэффициенты квадратичной формы, содержащейся в степенном ряде, в [102] находят из уравнения Ляпунова [55]. Полученная частичная сумма ряда является приближённым решением уравнения Зубова и может использоваться для аппроксимации области притяжения с помощью теоремы Ла-Салля. Вычислительные эксперименты, проведённые в [78] для систем до четвёртого порядка включительно, показали, что при увеличении числа членов ряда последовательность таких оценок стремится к области притяжения медленно и неравномерно. В [101] предложена процедура построения решения уравнения Зубова в виде ряда, обеспечивающая с увеличением числа членов в частичной сумме более быструю сходимость оценок к области притяжения чем в [102]. Иные приёмы увеличения сходимости обсуждались в [83,114]. Обзор многих других работ, связанных с развитием метода Зубова, можно найти в [45,82].

В [81,82] рассмотрен метод такого непрерывного изменения некоторой исходной функции Ляпунова, что соответствующие новым функциям оценки области притяжения монотонно увеличиваются в смысле вложения. Для этого в аргумент исходной функции, выполняется подстановка образа оператора сдвига вдоль положительной полутраектории динамической системы. В результате, поверхности уровня функции Ляпунова перемещаются относительно первоначального положения вдоль отрицательной полутраектории динамической системы. Такая, процедура, вместе с этим, обеспечивает сохранение знака производной функции Ляпунова внутри её поверхностей уровня, что даёт возможность оценивания области притяжения с любой степенью точности. Отметим, что практическое использование метода связано со сложной задачей поиска аналитического представления для оператора сдвига вдоль траектории.

В [76] X. Чангом и Ж. Торпом для преодоления вычислительных трудностей метода из [81,82] предложено заменить значение оператора сдвига приближённым, используя для интегрирования дифференциального уравнения разностные схемы методов Эйлера или Эйлера -Коши. Там же получены условия работоспособности предлагаемого метода, из которых следует, что требуемое изменение функции Ляпунова и соответствующей оценки области притяжения обеспечивается при достаточно малом шаге разностной схемы.

Процедура Чанга - Торпа из [76] позволяет получать функцию Ляпунова в аналитической форме, а при небольшом количестве итераций может быть выполнена даже без использования ЭВМ, но для получения более точных оценок области притяжения необходимо значительно большее количество итераций метода. Как правило, это приводит к сложным выражениям для функции Ляпунова, которые уже не могут использоваться на практике. Отсутствие способа выбора шага в методе из [76] требует контроля выполнения условий теоремы Ла-Салля на каждом шаге и, как следствие, возникает необходимость вычисления производной функции Ляпунова. Поэтому для практического применения метода Чанга - Торпа существует потребность в алгоритме для вычисления на каждой итерации значений функции Ляпунова и её производной, не используя для этого их аналитического представления.

Методы поиска функции Ляпунова в фиксированном параметрическом классе рассматривались в работах [40-42,74,77,81,86,103,111,115]. Методы построения функций Ляпунова, оптимальных в смысле меры соответствующих оценок области притяжения, предложены в [74, 77, 103,111]. В [111] на конкретных примерах показано, что задача оптимизации меры области притяжения может иметь несколько решений, а целевая функция, вообще говоря, не является дифференцируемой. Отсутствие дифференцируемости целевой функции не позволяет использовать в качестве методов оптимизации классические методы градиентного спуска. Поэтому в [40-42,81] для этой цели предложены специальные методы градиентного типа.

Особое место в ряду методов поиска функции Ляпунова в фиксированном параметрическом классе функций занимают методы из [40,42, 81]. Процедура из [81], определяет такое изменение параметров функции Ляпунова, представляющей сумму однородных форм, что соответствующие оценки области притяжения увеличиваются в смысле вложения. Для этого вектор коэффициентов при одночленах изменяется вдоль решения некоторой системы линейных дифференциальных уравнений. Отметим, что процедура из [81] может применяться лишь для специального параметрического класса функций Ляпунова.

В [40,42] рассматривается ряд методов такого изменения параметров функции Ляпунова, что соответствующая оценка области притяжения увеличивается либо в смысле вложения, либо увеличивается критическая константа уровня, либо определённые точки на границе области притяжения становятся внутренними. Для этого в [40,42] предложено изменять вектор параметров функции Ляпунова вдоль произвольного непрерывного решения определённого дифференциального включения. Одна из трудностей, которая возникает при использовании методов из [40,42] состоит в решении дифференциального включения. В [40,42] для реализации на ЭВМ предложено использовать разностный аналог дифференциального включения, но доказательство того, что сеточный аналог соответствующего непрерывного решения также будет обеспечивать нужное изменение функции Ляпунова, в [40,42] не дано. Поэтому актуальным является получение условий, при которых ломаная, являющаяся линейным сплайном сеточного решения дифференциального включения, будет его точным непрерывным решением.

Многие задачи управления и устойчивости систем с ограниченными ресурсами могут быть переформулированы как задачи построения области притяжения для динамической системы с фазовыми ограничениями [42,43,68,85]. Такая задача естественно возникает и в случаях, когда у конкретного технического объекта определена некоторая рабочая зона, выход за пределы которой равносилен аварии, или математическая модель объекта адекватна лишь на ограниченном множестве состояний. Областью притяжения при наличии фазовых ограничений называется множество таких начальных состояний, что выходящие из них положительные полутраектории системы притягиваются к невозмущённому движению, не покидая заданной допустимой области. Ясно, что область притяжения при наличии фазовых ограничений целиком расположена в допустимой области, т. е. в общем случае является собственным подмножеством пространства состояний. Поэтому задача построения области притяжения при наличии фазовых ограничений актуальна даже для линейных систем. Примером может служить рассмотренная в [42,68] задача построения области притяжения линейной системы, замкнутой ограниченным линейным управлением (множества линейной стабилизации).

Задача построения области притяжения для систем с фазовыми ограничениями рассматривалась в [42,68,94,105,106]. Для оценки искомой области в [42,94] используется множество, целиком находящееся внутри допустимой области и ограниченное поверхностью уровня некоторой функции Ляпунова. В [42] предложены методы построения последовательностей функций Ляпунова таких, что соответствующие оценки области притяжения монотонно улучшаются. В связи с этим, возникает вопрос о полноте такого приближения. В некоторых случаях [43,44] обнаружены классы функций Ляпунова, позволяющие сделать такую оценку наиболее полно. В общем случае вопрос о полноте аппроксимации остаётся открытым. Поэтому сохраняется интерес к методам, позволяющие построить область притяжения для системы с фазовыми ограничениями, не используя для этого функции Ляпунова.

В [105] для задачи аппроксимации области притяжения системы с фазовыми ограничениями использован метод распознавания образов. Образ искомого множества в [105] определяется статистически на основе экспериментальных данных о принадлежности ему точек из конечной случайной совокупности. Ясно, что такая оценка случайна, может не быть положительно инвариантной или не содержаться в аппроксимируемой области.

Для нелинейных систем естественный интерес представляет подход, позволяющий свести задачу построения области притяжения системы с фазовыми ограничениями к задаче построения области притяжения системы без ограничений на состояние.

Иной перспективный подход связан с исследованием структуры границы области притяжения системы с фазовыми ограничениями. В [106] для дифференциально алгебраических уравнений с фазовыми ограничениями получены условия, при которых граница области притяжения представляет объединение некоторых инвариантных многообразий, части границ допустимой области и области притяжения системы без ограничений на состояние. Для использования результата из [106] необходимо, чтобы правая часть системы дифференциальных уравнений и индикатор допустимой области были дважды непрерывно дифференцируемыми функциями. Проверка условий из [106] сопряжена с трудной задачей исследования характера периодических решений исходной системы. В связи со сказанным, представляют интерес результаты, позволяющие получить более простое представление для области притяжения системы с фазовыми ограничениями при более общих предположениях.

Другим, важным как с практической, так и с теоретической точки зрения, является класс систем, содержащих запаздывание. Наличие запаздывания в контурах большинства реальных систем управления определяет интенсивные исследования систем с запаздыванием в последнее время (обзор см. в [108]). Пространство состояний системы с запаздыванием бесконечномерное, что значительно усложняет задачу построения области притяжения.

Для аппроксимации области притяжения систем с запаздыванием часто используется прямой метод Ляпунова [9,33,90,112]. Обобщение основных теорем прямого метода Ляпунова на системы с запаздыванием впервые было произведено в работах Н. Н. Красовского [49] и Б. С. Разумихина [63].

Примеры использования следствий теорем из [49] для построения областей притяжения рассматривались в [90,112]. При этом исходная задача сводится к сложной задаче вложения множества уровня некоторого функционала в бесконечномерную область, где другой функционал отрицателен. Очевидные трудности такого подхода приводят к тому, что практически важные результаты получены лишь для узких классов систем нелинейных уравнений.

Часто, например в [3, 9, 33, 90], для построения области притяжения систем с запаздыванием используется функция, удовлетворяющая условиям теоремы Разумихина об асимптотической устойчивости из [63] (далее — функция Ляпунова - Разумихина). В [9] получен метод гарантированной аппроксимации области притяжения системы с запаздыванием областью притяжения соответствующей системы без запаздывания и получены условия на величину запаздывания, при которой такая оценка сохраняется. Отметим, что в случае системы с большой величиной запаздывания метод из [9] не является эффективным. В [33] получена оценка области притяжения для системы с запаздыванием, описывающей ядерный реактор с двумя связанными активными зонами, при этом в качестве функции Ляпунова - Разумихина автором использовался квадрат евклидовой нормы. В [3,90] предложены методы оценки области притяжения для систем с правой частью специального вида.

Как правило, проверка условий теорем Разумихина из [63] для конкретных систем трудна и сопряжена с привлечением индивидуальных свойств системы. Полученные в [65] для систем с запаздыванием более простые условия устойчивости связаны с введением вспомогательной функции, выполняющей роль, аналогичную роли производной функции Ляпунова по независимой переменной в силу системы (далее — аналог производной функции Ляпунова) в классических теоремах А. М. Ляпунова [55]. Однако определение аналога производной из [65] содержит параметр, затрудняющий проверку этих условий при автоматизированном построении области притяжения на ЭВМ (т.к. способ вычисления подходящего значения параметра не получен). В связи с этим, существует потребность в условиях асимптотической устойчивости «в большом», аналогичных теореме Ла-Салля из [52], но использующих более пригодный для приложений (в том числе, автоматизированных) аналог производной функции Ляпунова, чем предложенный в [65].

Поиск функции Ляпунова - Разумихина представляет сложную проблему. Обычно в качестве её кандидатуры рассматривается функция Ляпунова соответствующей системы без запаздывания [9,63-65]. Так в [64] для построения функции Ляпунова - Разумихина использовался метод, в котором поиск требуемой функции производился среди квадратичных форм с матрицей, удовлетворяющей неравенству Ляпунова для некоторой системы без запаздывания. После этого проверяется: удовлетворяет ли эта функция условиям теоремы об асимптотической устойчивости для системы с запаздыванием. Таким образом, в [64] поиск функции производился исходя лишь из необходимых условий, оставляя произвол в выборе нужного решения неравенства Ляпунова. В связи с этим, представляют интерес достаточные условия существования квадратичной функции Ляпунова, на основе которых возможна реализация метода построения функции Ляпунова - Разумихина.

Вопросы сохранения свойств динамических систем при различных вариациях входящих в них параметров имеют большое значение при решении задач управления. Для систем управления существенно сохранение свойства асимптотической устойчивости и соответствующей области допустимых начальных отклонений. Условия грубости (ро-бастности) свойств динамических систем по отношению к изменению параметров получены в работах Н. Н. Красовского [48], Е. С. Пятницкого [62], В. Л. Харитонова [69] и др. Как правило, при решении задач робастнон устойчивости используются весьма ограничительные предположения. Например, условия грубости свойства асимптотической устойчивости, рассмотренные в [48], требуют существования функции Ляпунова со знакоопределённой производной в силу системы с невозмущёнными значениями параметров. В [62] условия полной робастной управляемости класса механических систем обеспечивают существование для каждой системы из класса своей функции Ляпунова (энергетического типа), обладающей знакоопределённой производной в силу системы с некоторым управлением, общем для всего класса систем [57,62,107]. Отметим, что для широко рассматриваемого в зарубежной литературе класса механических систем с дефицитом количества управляющих приводов (underactuated mechanical systems [80,104]) условия полной робастной управляемости из [62] не выполнены. Условия асимптотической устойчивости класса линейных систем, полученные в [69], по отношению к нелинейным системам дают возможность исследования робастности лишь свойства экспоненциальной устойчивости. В связи с этим, представляют интерес методы решения задачи робастной стабилизации нелинейной системы при более слабых, чем в [48,62,69], условиях.

Цель исследования. Целью диссертационной работы является развитие классических и разработка новых методов построения областей притяжения для нелинейных динамических систем, в том числе содержащих запаздывание и фазовые ограничения, и апробация этих методов для конкретных технических систем.

Методы исследования. В работе применяются методы теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, топологии, математического программирования, теории многозначных отображений и дифференциальных включений.

Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается строгостью применяемого математического аппарата и подтверждается при сопоставлении с результатами, полученными другими методами и различными вычислительными экспериментами.

Научная новизна. Предложен метод для вычисления критического значения константы уровня при аппроксимации области притяжения с помощью аппарата функций Ляпунова.

Для системы с фазовыми ограничениями предложена система, не содержащая ограничений, область притяжения которой при достаточно общих предположениях совпадает с областью притяжения исходной системы с фазовыми ограничениями.

Предложен метод для построения области притяжения системы с фазовыми ограничениями, использующий теоретико-множественные операции и операцию выделения линейно связной компоненты множества, в терминах границы допустимой области, области притяжения системы без ограничений на состояние и некоторого отрицательно инвариантного многообразия. Получено выражение для области притяжения линейной системы замкнутой ограниченным по величине линейным управлением.

Для нелинейных систем с запаздыванием разработан метод аппроксимации области притяжения положительно инвариантным множеством, целиком содержащимся в области притяжения.

Получено достаточное условие существования квадратичной функции Ляпунова - Разумихина для системы с запаздыванием.

Решена задача робастной асимптотической стабилизации с помощью малого управляющего воздействия для положения равновесия двухзвенника с упругим шарниром между звеньями, представляющего механическую систему, не являющуюся полностью робастно управляемой в смысле Е. С. Пятницкого [62]. Построена область притяжения для замкнутой системы.

Практическая и теоретическая ценность. Результаты, полученные в диссертационной работе, являются развитием математической теории устойчивости движения и могут использоваться при создании автоматизированных систем анализа устойчивости.

Работа является составной частью фундаментальных научных исследований, выполняемых в рамках научных проектов РФФИ (гранты №02-01-00704, №04-01-00391, №05-01-00840, №07-01-00223, №08-01-00203). Полученные результаты использованы при выполнении грантов Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ РФ (гранты 00-15-96137,

НШ-2094.2003.1, НШ-1676.2008.1), научных программ «Университеты России - фундаментальные исследования» (проекты УР.03.01.018, УР.03.01.141), «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект РНП 2.1.1.2381) и фундаментальных исследований Президиума РАН РФ (проект 19-1.5).

На защиту выносятся следующие положения:

1. Метод вычисления критической константы уровня при аппроксимации области притяжения с использованием аппарата функций Ляпунова.

2. Методы точного построения области притяжения системы с фазовыми ограничениями и множества линейной стабилизации линейной системы замкнутой ограниченным по величине линейным управлением.

3. Метод аппроксимации области притяжения системы с запаздыванием положительно инвариантным множеством, целиком содержащимся в области притяжения.

4. Решение задачи нелокальной робастной асимптотической стабилизации малым управляющим воздействием положения равновесия механической системы, не являющейся полностью робастно управляемой в смысле Е. С. Пятницкого.

Апробация результатов работы. Результаты диссертационной работы докладывались на VII Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2002); II Международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ (NDA'2)» (Москва, 2002); VIII международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2004); II Московской конференции «Декомпозиционные методы в математическом моделировании» (Москва, 2005); Тихоновских Чтениях (Москва,

2005); V Международной конференции «Идентификация систем и задачи управления» (Москва, 2006); IX Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2006); III Международной конференции по проблемам управления (Москва,

2006); X Международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2008); семинаре «Нелинейная динамика: качественный анализ и управление» (Москва, 2008).

Публикации. Основные результаты работы опубликованы в 4 научных статьях [23, 25, 26, 32], в том числе в 3 статьях Перечня ведущих научных журналов и изданий ВАК, и 9 тезисах докладов [21,22,24,27-31,84].

Личный вклад соискателя. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем в процессе научной деятельности. Из совместных публикаций в диссертацию включен лишь тот материал, который непосредственно принадлежит соискателю.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов и списка литературы. Работа изложена на 147 страницах, содержит 18 иллюстраций. Библиография включает 115 наименований.

Основные выводы и результаты работы

Сформулируем основные выводы и результаты проведённых исследований.

1. Получены формулы для вычисления критического значения константы уровня при аппроксимации области притяжения методом функций Ляпунова.

2. Разработаны методы построения области притяжения системы с фазовыми ограничениями и области притяжения линейной системы, замкнутой ограниченным по величине линейным управлением.

3. Разработан метод аппроксимации области притяжения системы с запаздыванием положительно инвариантным множеством, целиком содержащимся в области притяжения.

4. Решена задача нелокальной асимптотической стабилизации малым управляющим воздействием положения равновесия механической системы, не являющейся полностью робастно управляемой в смысле Е. С. Пятницкого, и построена область притяжения для замкнутой системы.

5. На конкретных примерах показано, что разработанные методы могут быть использованы как для точного построения области притяжения, так и для её аппроксимации с высокой степенью точности.

1. Айзерман М.А. Классическая механика. — М.: Наука, 1980.368 с.

2. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Пер. с англ. под ред. A.M. Эфроса. — Харьков: НТИ Украины, 1939.720 с.

3. Александров А.Ю., Жабко А.П. Об устойчивости решений одного класса нелинейных систем с запаздыванием / / Автоматика и телемеханика. — 2006. — №9. — С. 3-15.

4. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. — М.: Наука, 1981. — 916 с.

5. Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон и др. — М.: Наука, 1966. —568 с.

6. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. — М.: Наука, 1970. — 240 с.

7. Барбашин Е.А., Красовский Н.Н. Об устойчивости движения в целом // Доклады Академии наук СССР. — 1952. — Т. 86, вып. 3.1. С. 453-456.

8. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Высшая школа, 1991. — 304 с.

9. Блинов А.П. Об асимптотической устойчивости систем с запаздыванием // Прикладная математика и механика. — 1986. — Т. 50, Вып. 5. — С. 851-855.

10. Методы анализа устойчивости нелинейных систем управления на ЭВМ / А.В. Богатырев, В.А. Каменецкий, А.П. Молчанов и др.

11. М.: Институт проблем управления, 1989. — 48 с.

12. Борисов В.Г., Дилигентский С.Н. Численный метод исследования устойчивости нелинейных систем // Автоматика и телемеханика.1985. — № 11. — С. 34-42.

13. Многозначные отображения / Ю.Г. Борисович, Б.Д. Гельман, А.Д. Мышкис и др. // Итоги науки и техники. Математический анализ. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1982. — Т. 19. — С. 127-230.

14. Веретенников В.Г., Зайцев В.В. Второй метод Ляпунова. Оценки областей устойчивости и притяжения. — М.: Изд-во МАИ, 1986.71 с.

15. Веретенников В.Г., Зайцев В.В. Второй метод Ляпунова для исследования устойчивости в большом // Устойчивость движения: Сб. статей. — Новосибирск: Наука, 1985. — С. 37-40.

16. Волынский В.В., Крищенко А.П. Оценки областей стабилизи-руемости нелинейных систем // Дифференциальные уравнения.1997. — Т. 33, № 11. — С. 1474-1483.

17. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1988. — 548 с.

18. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. — М.: Наука, 1978. — 400 с.

19. Гоман М.Г. Дифференциальный метод продолжения решения систем конечных уравнений, зависящих от параметров // Ученые записки ЦАГИ. — 1986. — Т. 17, № 5. — С. 94-102.

20. Гоман М.Г., Храмцовский А.В. Расчет границы области асимптотической устойчивости динамической системы // Ученые записки ЦАГИ. — 1990. — Т. 21, № 3. — С. 79-87.

21. Гоман М.Г., Храбров А.Н., Храмцовский А.В. Математическая модель описания аэродинамических характеристик на больших углах атаки и бифуркационный анализ критичесских режимов полета. — Жуковский: ЦАГИ, 1992. — 122 с.

22. Горбунов А.В. Робастная стабилизация в целом двузвенного робота-манипулятора ограниченной обратной связью // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов VII Международного семинара. — М., 2002. — С. 93-95.

23. Горбунов А.В. Стабилизация в целом двузвенного робота-манипулятора ограниченной нелинейной обратной связью // Нелинейный динамический анализ: Тезисы докладов II Междунаг-родного конгресса (NDA'2). — М., 2002. — С. 111.

24. Горбунов А.В., Каменецкий В.А. Робастная стабилизация в целом двухзвенного робота-манипулятора обратной связью с насыщением // Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Приборостроение. — 2002. — № 3. — С. 110-120.

25. Горбунов А.В., Каменецкий В.А. Метод функций Ляпунова для построения областей притяжения систем с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. — 2005. — № 10. — С. 42-53.

26. Горбунов А.В., Каменецкий В.А., Пестряков Д.П. Нелокальная параметрическая стабилизация бокового движения самолета // Идентификация систем и задачи управления: Труды V международной конференции (SICPRO'06). — М., 2006. — С. 2401-2414.

27. Горбунов А.В. О структуре области притяжения для системы с фазовыми ограничениями // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы докладов IX Международного семинара им. Е. С. Пятницкого. — М., 2006. — С. 62-63.

28. Горбунов А.В. О стабилизации двухзвенника с нелинейной характеристикой упругого шарнира // Третья Международная конференция по проблемам управления: Тезисы докладов в двух томах.

29. М., 2006. — Т. 1. — С. 32.

30. Горбунов А.В. О методах построения области притяжения динамической системы с ограничениями на состояние // Дифференциальные уравнения. — 2009. — Т. 45, № 2. — С. 283-284.

31. Горяченко В.Д. Методы теории устойчивости в динамике ядерных реакторов. — М.: Атомиздат, 1971. — 264 с.

32. Горяченко В.Д., Золотарев С.Л., Колчин В.А. Исследование ядерных реакторов качественными методами. —- М.: Энергоатомиз-дат, 1988. — 168 с.

33. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. — 480 с.

34. Зорич В.А. Математический анализ. — 4.1. — М.: Фазис, 1997.554 с.

35. Зубов В.И. Методы А. М. Ляпунова и их применение. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1957. — 241 с.

36. Зубов В.И. Устойчивость движения (методы Ляпунова и их применение). — М.: Высшая школа, 1984. — 232 с.

37. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1999.294 с.

38. Каменецкий В.А. Построение областей притяжения методом функций Ляпунова // Автоматика и телемеханика. — 1994.6. — С. 10-26.

39. Каменецкий В.А. Синтез ограниченного стабилизирующего управления для нелинейных управляемых систем // Автоматика и телемеханика. — 1995. — № 1. — С. 43-56.

40. Каменецкий В.А. Параметрическая стабилизация нелинейных систем управления с фазовыми ограничениями // Автоматика и телемеханика. — 1996. — № 10. — С. 65-71.

41. Каменецкий В.А. Аппроксимация множества линейной стабилизации // Дифференциальные уравнения. — 1997. — № 3.1. С. 113-121.

42. Каменецкий В.А. Множество линейной стабилизации для систем с неопределенностью / / Международная конференция по проблемам управления: Тезисы докладов в трех томах. — Т. 1 — М., 1999.1. С. 181-183.

43. Кирин Н.Б., Нелепин Р.А., Байдаев В.Н. Построение области притяжения по методу Зубова // Дифференциальные уравнения.1981. — Т. XVII, № 8. — С. 1347-1361.

44. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. — М.: Наука, 1981. — 448 с.

45. Комаров В.А. Уравнение динамического программирования для задачи быстродействия с фазовыми ограничениями // Математический сборник. — 1988. — Т. 135, № 1. — С. 46-58.

46. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. — М.: Физматгиз, 1959. — 212 с.

47. Красовский Н.Н. О применение второго метода А. М. Ляпунова для уравнений с запаздыванием времени // Прикладная математика и механика. — 1956. — Т. XX, вып. 3. — С. 513-518.

48. Крищенко А.П., Кавинов А.В. Стабилизация аффинных систем // Дифференциальные уравнения. — 2000. — Т. 36, № 11.1. С. 1482-1487.

49. Куратовский К. Топология. — Т. 2. — М.: Мир, 1969. — 624 с.

50. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. — М.: Мир, 1964. — 168 с.

51. Лётов A.M. Некоторые нерешенные задачи теории автоматического управления // Дифференциальные уравнения. — 1970. — Т. VI, № 4. — С. 592-615.

52. Лётов A.M. Математическая теория процессов управления / Под общ. ред. Н. Н. Красовского. — М.: Наука, 1981. — 256 с.

53. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. — М. -Л.: ГИТТЛ, 1950. — 473 с.

54. Матросов В.М. Метод векторных функция Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. — М.: Физматлит, 2001.384 с.

55. Матюхин В.И. Универсальные законы управления механическими системами. — М.: МАКС Пресс, 2001. — 252 с.

56. Обен Ж.-П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. — М.: Мир, 1988. — 512 с.

57. Постников М.М. Устойчивые многочлены. — М.: Наука, 1981.176 с.

58. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. — М.: Наука, 1969. — 152 с.

59. Пятницкий Е.С. Автоматизированные системы анализа и синтеза нелинейных систем управления движением / / Проблемы машиностроения и надёжности машин. — 1991. — № 5. — С. 74-80.

60. Пятницкий Е.С. Критерии полной робастной управляемости механических систем с ограниченными управлениями // Доклады РАН. — 1997. — Т. 352, № 5. — С. 620-623.

61. Разумихин B.C. Об устойчивости систем с запаздыванием // Прикладная математика и механика. — 1956. — Т. XX, вып. 4.1. С. 500-512.

62. Разумихин B.C. Об устойчивости по первому приближению систем с запаздыванием // Прикладная математика и механика.1958. — Т. 22, вып. 2. — С. 155-166.

63. Разумихин B.C. Устойчивость эредитарных систем. —- М.: Наука, 1988. — 108 с.

64. Толстоногов А.А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. — Новосибирск: Наука, 1986. — 298 с.

65. Тондл А. Нелинейные колебания механических систем. — М.: Мир, 1973. — 334 с.

66. Формальский A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. — М.: Наука, 1974. — 368 с.

67. Харитонов B.JI. Об асимптотической устойчивости положения равновесия сисмейства систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. — 1978. — Т. 14, № 11.1. С. 1483-1485.

68. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений.1. М.: Мир, 1984. — 424 с.

69. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. — М.: Наука, 1971.296 с.

70. Blagodatskikh V.I. Sufficient conditions for optimality in problems with state constraints // Appl. Math. Optim. — 1974. — V. 7, N° 2.1. P. 149-157.

71. Linear matrix inequalities in system and control theory / S. Boyd, L. El. Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan. — SIAM, 1994. — 206 p.

72. Chesi G., Tesi A., Vicino A. Computing optimal quadratic Lyapunov functions for polynomial nonlinear systems via LMIs // Proc. of the 15th IFAC Triennial World Congress. — Barcelona (Spain): 2002.1. P. 740-745.

73. Chiang H., Hirsch M.W., Wu F.F. Stability regions of nonlinear autonomous dynamical systems // IEEE Trans. Automat. Contr.1988. — V. 33. — P. 16-27.

74. Chiang H., Thorp J.S. Stability regions of nonlinear dynamical systems: A constructive methodology // IEEE Trans. Automat. Contr.1989. — V. 34, № 12. — P. 1229-1241.

75. Davison E.J., Kurak E.M. A computational method for determining quadratic Lyapunov functions for nonlinear systems // Automatica.1971. — V. 7. — P. 627-636.

76. Control engineering applications of V. I. Zubov's construction procedure for Lyapunov functions / F. Fallside, M.R. Patel, M. Etherton et al // IEEE Trans. Automat. Contr. — 1965. — V. 10. — P. 220-222.

77. Stabilization of a two-link robot using an energy approach / I. Fan-toni, R. Lozano, F. Mazenc, A. Annaswamy. // European Control Conf. — Karlsruhe (Germany), 1999. — CD-ROM. — 6 p.

78. Fantoni I., Lozano R. Non-linear control for underactuated mechanical systems. — London: Springer-Verlag, 2002. — 308 p.

79. Genesio R., Vicino A. New techniques for constructing asimptotic stability regions for nonlinear systems // IEEE Trans. Circ. and Syst.1984. — V. CAS-31, № 6. — P. 574-581.

80. Genesio R., Tartaglia M., Vicino A. On the estimation of asimptotic stability regions: state of the art and new proposals // IEEE Trans. Automat. Control. — 1985. — V. AC-30, № 8. — P. 747-756.

81. Goldwyn R.M., Cox K.J. Limit cycle construction using Liapunov functions // IEEE Trans. Automat. Contr. — 1965. — V. 10.1. P. 97-99.

82. Gorbunov A.V., Kamenetskiy V.A. A construction method for attraction domain of time delay systems // Декомпозиционные методы в математическом моделировании и информатике: Тезисы докладов II Московской конференции. — М., 2004. — С. 38.

83. Gutman Р.-О., Hagander P. A new design of constrained controllers for linear systems // IEEE Trans. Automat. Control. — 1985.

84. V. AC-30, № 1. — P. 22-33.

85. Hachicho O., Tibken B. Estimating domains of attraction of a class of nonlinear dynamical systems with LMI methods based on the theory of moments // Proc. of the 41st IEEE Conf. on Decision and Control.1.s Vegas (USA): 2002. — P. 3150-3155.

86. Hewit J.R., Storey С. Numerical application of Szego's method for constructing Liapunov functions // IEEE Trans. Automat. Contr.1969. — V. 14. — P. 106-108.

87. Ни Т., Lin Z. Composite quadratic Lyapunov functions // Proc. of the 41st IEEE Conf. on Decision and Control. — Las Vegas, Nevada (USA), 2002. — P. 3494-3499.

88. Ни Т., Lin Z. Composite quadratic Lyapunov functions for constrained control systems // Proc. of the 41st IEEE Conf. on Decision and Control. Las Vegas, Nevada (USA). — 2002. — P. 3500-3505.

89. On the stability of a class of nonlinear time delay systems / D. Ivanes-cu, S.I. Niculescu, J.M. Dion, L. Dugard. // Proc. of the European Control Conf. — Karlsruhe (Germany), 1999. — CD-ROM. — 6 p.

90. Johansson M., Rantzer A. On the computation of piecewise quadratic Lyapunov functions // Proc. of the 36th IEEE Conf. on Decision and Control. — San Diego, California (USA), 1997. — P. 3515-3520.

91. Johansson M., Rantzer A. Computation of piecewise quadratic Lyapunov functions for hybrid systems // IEEE Trans. Automat. Contr.1998. — V. 43. — P. 555-559.

92. Johansson M., Rantzer A. Piecewise linear quadratic optimal control // IEEE Trans. Automat. Contr. — 2000. — V. 45. — P. 629-637.

93. Julich P.M. Region of acceptable motions // IEEE Trans. Automat. Contr. — 1968. — V. 13, № 6. — P. 725-726.

94. Kamenetskiy V.A. The choice of a Lyapunov function class for close approximation of the set of linear stabilization // Proc. of the 35th IEEE Conf. on Decision and Control. — Kobe (Japan), 1996.1. P. 1059-1060.

95. Kamenetskiy V.A. A method of stabilization for control systems with state constraints and its application for construction of a linear saturated feedback // Proc. of the European Control Conf. — Brussels: 1997. — CD-ROM. — 6 p.

96. Kamenetskiy V.A. A constructive method for feedback stabilization of affine control systems with input and state constraints // Control of Oscillation and Chaos: Proc. of the 1st Int. Conf. — St. Petersburg (Russia), 1997. — V. 2. — P. 296-299.

97. Kamenetskiy V.A. A multicriteria stabilization of control systems by saturated feedback control // Control of Oscillations and Chaos: Proc. of the 2nd Int. Conf. — St. Petersburg (Russia), 2000. — V. 1.1. P. 152-153.

98. Khalil H.K. Nonlinear systems. 2nd edition. — New York: Prentice-Hall, 1996. — 750 p.

99. Kerr C.N., Margolis S.G., Vogt W.G. Discussion of "Control engineering applications of V. I. Zubovs construction procedure for Lia-punov functions" // IEEE Trans. Automat. Contr. — 1964. — V. 9.1. P. 196.

100. Kormanik J., Li C.C. Decision surface estimate of nonlinear system stability domain by Lie series method // IEEE Trans. Automat. Contr. — 1972. — V. 17. — P. 666-669.

101. Margolis S.G., Vogt W.G. Control engineering applications of V. I. Zubov's construction procedure for Lyapunov functions // IEEE Trans. Automat. Contr. — 1963. — V. 8. — P. 104-113.

102. Michel A.N., Sarabudla N.R., Miller R.K. Stability analisis of complex dinamical systems, some computational methods // Cir., Syst., Sign. Process. — 1982. — V. 1. — P. 171-202.

103. Olfati-Saber R. Nonlinear control of underactuated mechanical systems with application to robotics and aerospace vehicles // Preprint of Massachusetts Institute of Technology. — Massachusetts (USA): MIT, 2001. — 307 p.

104. Stability regions for constrained nonlinear systems and their functional characterization via support-vector-machine learning / C.J. Ong, S.S. Keerthi, E.G. Gilbert, Z.H. Zhang. // Automatica. — 2004.1. V. 40. — P. 1955-1964.

105. Praprost K.L., Loparo K.A. A stability theory for constrained dynamic systems with applications to electric power systems // IEEE Trans. Automat. Contr. — 1996. — V. 41, № 11. — P. 1605-1617.

106. Pyatnitskiy E.S. Control of blackbox of mechanical nature // Нелинейный динамический анализ: Тезисы докладов второго Международного конгресса (NDA'2). — М., 2002. — С. 39.

107. Richard J.P. Time-delay systems: an overview of some recent advances and open problems // Automatica. — 2003. — V. 39.1. P. 1667-1694.

108. Rodden J.J. Numerical applications of Lyapunov stability theory // Preprint of 5th Joint Automation Control Conf. — Stand-ford (USA), 1964. — P. 261-268.

109. Shewchun J.M., Feron E. High perfomance bounded control // Proc. of the American Control Conf. — Albuquerque (USA), 1997.1. P. 3250-3254.

110. Shields D.N., Storey C. The behavior of optimal Lyapunov function // Int. J. Contr., 1975. — V. 21, № 4. — P. 561-573.

111. Tarbouriech S. Local stabilization of continuous-time delay systems with bounded inputs // Proc. of European Control Conf. — Brussels (Belgium), 1997. — CD-ROM. — 6 p.

112. Tarbouriech S., Garcia G., Henrion D. Local stabilization of linear systems with postition and rate bounded actuators // Proc. of the 14th IFAC Triennial World Congress. — 1999. — P. 459-464.

113. Texter J. Numerical algorithm for implementing Zubov's construction in two-dimensional systems // IEEE Trans. Automat. Contr. — 1974. — V. 19. — P. 62-63.

114. Tibken В., Dilaver K.F. Computation of subsets of the domain of attraction for polynomial systems // Proc. of the 41st IEEE Conf. on Decision and Control. — Las Vegas (USA), 2002. — P. 2651-2656.