автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Исследование технической устойчивости и предельных свойств управляемых динамических систем

На правах рукописи

□□3471285

Клпмачкова Татьяна Сергеевна

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ И ПРЕДЕЛЬНЫХ СВОЙСТВ УПРАВЛЯЕМЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (физико-математические науки) (промышленность)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Москва-2009

003471285

На правах рукописи

Климачкова Татьяна Сергеевна

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ И ПРЕДЕЛЬНЫХ СВОЙСТВ УПРАВЛЯЕМЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (физико-математические науки) (промышленность)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2009

Работа выполнена в Российской открытой академии транспорта Московского государственного университета путей сообщения

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

профессор О.В. Дружинина

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор В.В. Дикусар,

доктор физико-математических наук профессор А.П. Колесников

Ведущая организация: Московский государственный институт

электроники и математики (технический университет)

Защита состоится « //» ¿¿/¿У-С^Я. 2009 г. в К"* на заседании совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 002.017.03 при Учреждении Российской академии наук Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН по адресу: 119991, г. Москва, ул. Вавилова, д. 40, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного центра им. А.А. Дородницына Российской академии наук.

Автореферат разослан « Ч » 2009 г.

Ученый секретарь совета по защите докторских и кандидатских диссертаций Д 002.017.03 кандидат физико-математических наук /,

А.В. Мухин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время предъявляются повышенные требования к проектированию, эксплуатации сложных технических объектов и технологических процессов, а также к управлению ими. В связи с указанным обстоятельством разрабатываются новые математические модели динамических процессов, описываемые векторными нелинейными дифференциальными уравнениями. При этом возникает необходимость в дальнейшем развитии теории нелинейных динамических систем, расширении понимания целей управления, возрастании практического значения учета параметрических и постоянно действующих возмущений.

Во многих технических задачах структура управляемых динамических систем и ее параметры известны с некоторой погрешностью. Следовательно, необходимым требованием к управляемым динамическим системам является их устойчивость (в том или ином смысле) по отношению к структурным и внешним возмущениям. Построение алгоритмов исследования устойчивости позволяет проводить анализ влияния различных проектных параметров на качество функционирования сложного технического объекта.

Практические задачи, связанные с необходимостью оценки движения на конечном промежутке времени, повлекли многочисленные обобщения и стимулировали развитие понятия устойчивости, учитывающее те или иные специфические особенности процесса функционирования систем. Одной из разновидностей такого рода устойчивости является понятие технической устойчивости.

Начиная с работ Н.Г. Четаева и Н.Д. Моисеева, вопросы технической устойчивости и задачи стабилизации до технической устойчивости различных типов управляемых систем рассматривались в работах К.А. Карачарова и А.Н. Пилютика, Г.В. Каменкова, A.A. Мартынюка, К.А. Абгаряна, A.A. Лебедева, Н.Ф. Кириченко, Вань Дань-чжи, СЛ. Степанова, В.В. Семенова, А.П. Тарасова, J1. Вейса, Е. Инфанте и других ученых.

Изучение технической устойчивости систем и управления технической устойчивостью оказывается плодотворным в системном анализе динамических процессов, когда другие понятия устойчивости не соответствуют постановке задачи системного анализа. Как известно, в ряде случаев не представляется возможным рассматривать движение на бесконечных промежутках времени или особенности структуры фазовых множеств требуют использования понятия технической устойчивости относительно совокупности параметров, возникающих в прикладной задаче.

Важной задачей в исследовании качества функционирования динамической системы является. получение количественных оценок, обеспечивающих наличие технической устойчивости, причем движение изучаемой системы оценивается на некотором заранее заданном промежутке времени при учете ограниченных возмущающих сил, начальные и последующие возмущения которых являются ограниченными величинами.

Эффективным методом исследования качественных свойств неавтономных динамических систем является метод предельных уравнений в сочетании с методом функций Ляпунова. Метод предельных уравнений позволяет использовать свойства предельной системы, сопоставляемой с исходной неавтономной системой, и исследовать предельную систему с помощью приемов топологической динамики. Значительные результаты по изучению предельных свойств динамических систем получены, начиная с работ A.M. Ляпунова и А. Пуанкаре, в работах Дж. Селла, 3. Артштейна, Дж. Като, A.C. Андреева, A.A. Мартынкжа, A.A. Шестакова, В.Н. Щенникова, И.Г. Башмакова, А.М. Матвиенко, А.И. Багровой и других ученых. Особенно важным и эффективным оказался метод предельных уравнений для изучения управляемых систем, что вытекает из результатов A.A. Шестакова, A.A. Мартынкжа, Дж. Като, A.C. Андреева, И.Г. Башмакова.

Актуальность темы диссертации обусловлена также тем, что результаты исследований по управлению технической устойчивостью и по методу предельных уравнений находят эффективное применение при решении разнообразных прикладных задач, возникающих при исследовании

технических и промышленных систем. В частности, к указанным задачам можно отнести задачи динамики подвижного состава железнодорожного и автомобильного транспорта, задачи оценки безопасности, устойчивости и обеспечения надежности функционирования систем.

В диссертации рассмотрены управляемые динамические системы, описываемые обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями, и предметом исследования является имеющая важное значение для разработки сложных систем промышленной эксплуатации задача получения условий технической устойчивости, стабилизации до технической устойчивости управляемых гироскопических систем, изучения предельных циклов и автоколебаний непрерывных динамических систем, а также исследования предельных свойств нелинейных управляемых систем.

Целью работы является разработка эффективных условий управления технической устойчивостью динамических систем, описываемых многомерными дифференциальными уравнениями, решение задач системного анализа динамических процессов, возникающих при промышленной эксплуатации объектов, а также получение условий устойчивости состояний равновесия, предельных циклов динамических систем и анализ предельных свойств управляемых динамических процессов.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории управления, системного анализа, качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости движения.

Научная новизна. В диссертационной работе доказаны новые, а также обобщены, дополнены и уточнены известные результаты в теории управления и в теории технической устойчивости управляемых динамических процессов. Дано развитие метода функций Ляпунова и метода предельных уравнений, причем ослаблены требования как на правые части управляемой динамической системы, так и на производную обобщенной функции Ляпунова. Получены новые условия технической устойчивости динамических систем, изучены качественные свойства управляемых систем, доказаны необходимые и достаточные условия существования предельных циклов и автоколебаний в динамических системах, а также достаточные

условия существования предельного уравнения для управляемых процессов. Полученные результаты служат основой нового подхода к изучению устойчивости, обеспечению надежности и безопасности сложных технических систем.

Достоверность и обоснованность полученных результатов основана на корректности постановок задач, строгом использовании методов теории управления и качественного анализа динамических процессов. Все полученные результаты имеют строгие доказательства.

Практическая ценность. Областью применения установленных в диссертации условий технической. устойчивости на конечном интервале времени являются задачи теории управления, задачи динамики подвижного состава железнодорожного и автомобильного транспорта, а также задачи оценки безопасности и надежности функционирования систем промышленности. Методы предельного анализа управляемых динамических процессов находят применение при качественном изучении динамических процессов естествознания и техники, а также при разработке и проектировании инженерных систем с управлением. Разработанный в диссертации подход к решению задач стабилизации до технической устойчивости применен для исследования гироскопического маятника, стабилизируемого в окрестности верхнего неустойчивого состояния равновесия моментом, приложенным к наружной рамке.

Работа выполнена в соответствии с планом научно-исследовательских работ Российской открытой академии транспорта Московского государственного университета путей сообщения, а также в рамках программы Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых (грант № МД-1199.2005.1).

Личный вклад автора в проведенное исследование. В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично автором. В совместно опубликованных работах научному руководителю принадлежат постановки задач, соавторам - рассмотрение технических деталей, кроме работы [1], в которой результаты принадлежат авторам в равных долях.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались: на Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, РУДН, 2005, 2006, 2008 гг.); на международном семинаре «Applications of the «Mathematica» system to social processes and mathematical physics» (Брест, 2003 г.); на Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Н. Новгород, 2006 г.); на Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Иркутск, 2007); на Международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ-2007» (Санкт-Петербург, СПбГУ, 2007 г.); на Всероссийской научно-практической конференции «Инженерные системы-2008» (Москва, РУДН, 2008 г.); на Международном семинаре им. Е.С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, ИПУ РАН, 2008 г.); на XX межвузовской конференции «Актуальные проблемы естествознания» (Н. Новгород, РГОТУПС, 2008); на семинаре кафедры «Физика и химия» в Российской открытой академии транспорта Московского государственного университета путей сообщения (Москва, 2009).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 23 печатных работах, список которых приведен в конце автореферата. Четыре работы из этого списка опубликованы в научных изданиях, рекомендованных ВАК России, в том числе статья в журнале «Доклады РАН».

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 141 страница, список литературы включает в себя 178 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование актуальности темы диссертации и характеристику области исследований. Дан обзор научных результатов исследований по теме диссертации, формулируется основная цель исследования, охарактеризованы методы исследования, отмечается научная

новизна и практическая ценность работы. Приводятся сведения об апробации результатов диссертации и публикациях.

Глава 1 посвящена постановке задачи о технической устойчивости динамической системы и получению условий технической устойчивости, имеющих прикладное значение при изучении управляемых систем.

В главе дан сравнительный анализ различных современных модификаций понятия технической устойчивости, указана специфика использования определений в различных прикладных задачах. Термин «техническая устойчивость» введен в науку Н.Д. Моисеевым - одним из основоположников теории технической устойчивости. Ряд ученых употребляет вместо этого термина термин «практическая устойчивость».

Известно большое число различных определений понятия технической устойчивости, однако при всем их разнообразии указанные определения имеют одни и те же предпосылки. А именно, в каждой постановке задачи о технической устойчивости: 1) рассматривается дифференциальное уравнение x = g(x) или x = g(t,x), где хе Д"; 2) вводится некоторое множество

M0(t)c.R" начальных возмущений x.Q = / = 1,2.....п, и

рассматриваются траектории, исходящие из точек xQ е MQ (tg); 3) задается

определенный интервал Т значений времени t\ 4) вводится некоторое множество А/ (0 допустимых значений возмущений x(t) на Т.

Понятие технической устойчивости принимает конкретное содержание в зависимости от выбора множеств M0(t), M{(t) на Т, и этот выбор имеет

существенное значение в отличие от постановки задачи об устойчивости по Ляпунову.

Рассмотрена неавтономная динамическая система, описываемая дифференциальным уравнением

x = g(t,x), 0)

где g(/,*) - заданная вектор-функция от входящих аргументов, где tsT:-~[t0,t0+т), т<+оо, хеР? - вектор состояния. Предполагается, что уравнение удовлетворяет условиям существования и единственности решения.

Фазовое множество Л/0(7) технически устойчиво на временном конечном промежутке Т относительно множества Л/,(/), если все полутраектории, начинающиеся в момент времени Г = во множестве Л/0(/0), при всех значениях / из заданного промежутка Г содержатся в множестве М,(0. Если же хотя бы одна полутраектория, начинающаяся при / = в множестве М0(/0), выходит в какой-то момент из множества Л/,(/), то фазовое множество А/0(0 технически неустойчиво на Т относительно фазового множества А/,(г). Совокупность {Л/0, М, Т} и ее модификации названы в работе определяющими совокупностями. В главе 1 методом функций Ляпунова получены признаки технической устойчивости фазового множества относительно заданной определяющей совокупности, причем отдельно рассмотрен случай, когда фазовые множества определяющей совокупности являются шарами в фазовом пространстве. Получена теорема о технической устойчивости фазового шара относительно заданной определяющей совокупности при постоянно действующих возмещениях.

Кроме того, в главе разработан метод исследования технической устойчивости при постоянно действующих возмущениях неавтономной динамической системы, базирующийся на свойствах логарифмической нормы, матрицы первого приближения и метода оценок В.М. Алексеева.

Наряду с уравнением (1) рассмотрено возмущенное уравнение

У = 8(',У) + Ф(1,У)- (2)

Предполагается, что вектор-функция х) и ее производная непрерывны в некоторой области х) пространства Д"4, возмущение Ф((,х) удовлетворяет в области (3 условию Липшица относительно х.

Обозначим через — матрицу

ду [dyj

, (р\х - решение уравнения (1), для

д д которого <р'г=х, J(t,x) = —g(t,x), A(x,T,i) =—{ф'гх\■ Рассматривается

ах дхк '

логарифмическая норма lim ^ + —матрицы А, где I -

о- h

единичная (пхп )-матрица. Получены следующие теоремы.

Теорема 1. Решение (р\х дифференциального уравнения (1) технически устойчиво относительно заданной определяющей совокупности при постоянно действующих возмущениях, если для функций Ф(1,х), А(х,(1г0 и 3(х) выполнены условия: 1) |ф(Г,:с)[<для всех \/(1,х)е[10,1)хЦ; 2) для всех дгбД и для всех и / таких, что для ¿0 </,</</ решение <р^х0

д

удовлетворяет условию \A(x,tvt)\ =

дх®*

<Л(/,,/), где Dt - нормальное

семейство на [Г0,/); 3) N(p'hx0,S(t))c D, V/ е[/„,?), где N(x,8)-S-окрестность точки ' х; 4) |.y0-x0|<<?(i0), где

S(t) = R(t0,t)S(ta) + '¡R(s,t)F(s)ds.

Установлено, что при выполнении условий 1)-4) теоремы 1 решение <р'чу возмущенного дифференциального уравнения (2) определено для всех

te [/0,/), причем fyy-<р',х\5 5(t), т.е. решение <р\х уравнения (1) технически устойчиво при постоянно действующих возмущениях.

Теорема 2. Решение <р',х дифференциального уравнения (1) технически

устойчиво относительно заданной определяющей совокупности при постоянно действующих возмущениях, если выполнены условия: 1) q(l)>0,F(t)>0,fi(t) - непрерывные функции, a fit) - дифференцируемая функция; 2) уе <4, где N, = N{(p',x0,f{t)) - окрестность

вокруг решения радиуса f(t); 3) [(t,x):t0 <t <t,xe Nt} czG, где G = [/0,f,]xD; 4) \j(t,y)-j(t,<p]x„)|<)|y-1,уe jV,;

5) <?'(/)> F(/)+M0/(0+^(0/2(0;

7) \y0-xa\<f(t0).

Установлено, что при выполнении условий 1)-7) теоремы 2 на полуинтервале [r0,f) существует решение (р'^у возмущенного уравнения (2),

причем где г(1,Л) - решение

соответствующего уравнения Риккати.

Во второй главе изучена стабилизация до технической устойчивости линейных и нелинейных управляемых динамических систем.

В главе рассмотрена постановка задачи стабилизации до технической устойчивости и охарактеризованы алгоритмы ее решения. Рассмотрен вопрос о построении алгоритмов стабилизации до обобщенной технической устойчивости для динамических систем некоторых классов. Алгоритм стабилизации сводится к наховдению необходимых и достаточных условий технической устойчивости для линейной системы, размерность пространства состояний которой выше, чем размерность пространства состояний исходной нелинейной системы.

Для системы, задаваемой нелинейным векторным уравнением

х = Я',*), (3)

где векторная функция /г(г,х(/)) удовлетворяет условиям существования и единственности решения, рассмотрены замкнутые для всех /е [/„,/,] множества фазового пространства М, ={х:|/*(г)х|^1, р = \,2,...,Щ, где 1р(1)

- заданные л-мерные векторы. Невозмущенное движение х(1) = 0 системы (3) называется технически устойчивым относительно определяющей совокупности {е,Л/(,если из выполнения условий для начальных данных ||дс(г0)||<£ для траекторий системы следуют соотношения х(1)еМ,, Техническая устойчивость при постоянно действующих возмущениях /?,{*,*) определена как техническая устойчивость относительно определяющей совокупности {£,Л/„/0,*,,Пя}, где Од - ограниченное множество,

Стабилизацией до технической устойчивости движения х(() = 0 управляемой системы

называется такой выбор управления ¡¿(¿,х(/)), при котором движение х(1) = О этой системы технически устойчиво относительно определяющей совокупности {е,М,М,Пк}.

Рассмотрена динамическая система, задаваемая нелинейным векторным управляемым дифференциальным уравнением вида

х = Г(х) + С(х)и, (4)

где Дх), б(х) - известные л-мерные вектор-функции, и - скалярная функция управления, зависимость которой от х требуется определить. На множестве М рассмотрена совокупность функций <рх(х),...,<рк(х),..., обладающая свойствами ограниченности и полноты в некотором смысле. Функция управления ищется в виде

К=1

где Ч'д-Сх) - заданные функции х, ск - постоянные, которые необходимо

определить из области значений ||с|| = ^ с\ < с1.

1

С помощью введения новых переменных zi= /=1,...Д, записана система линейных дифференциальных уравнений относительно г,:

¿/=Ён+£ +^ (о'1=1.....к> (5)

М *=1

где функции описывают постоянно действующие возмущения и

удовлетворяют заданным ограничениям. Показано, что задача стабилизации управляемой системы (4) до технической устойчивости сводится к задаче технической устойчивости движения линейной системы (5) относительно заданной определяющей совокупности {£,М),70,<],ПЛ}. Переход от системы (4) к системе (5) используется для построения функций Ляпунова ¥{г) и У(х). С помощью функций Ляпунова получено условие стабилизации до технической устойчивости относительно определяющей совокупности {£,М,/0,со}.

В главе также рассмотрена задача стабилизации управляемого гироскопического маятника до технической устойчивости в окрестности верхнего неустойчивого состояния равновесия моментом и, который приложен к наружной рамке (рис. 1).

Здесь т - масса маховичка, насаженного на стержень длины /, который жестко связан с внутренней рамкой, о - постоянна угловая скорость маховичка вокруг оси стержня, qx и q2 -углы поворота (обобщенные координаты) соответственно наружной и внутренней рамок, (Г/ и <52 имеют смысл соответствующих радиусов инерции, г -расстояние от точки пересечение рамок до центра тяжести маховичка. Если пренебречь массами колец и стержня, то кинетическая и потенциальная энергии примут вид

Т = ^[ma1l{qx sin^2 + а)1 + ma\q\ cos2 q2 + m<r2q2], П = mgr(cosql cos q1 -1).

С учетом этих равенств уравнения Лагранжа записываются в виде xt = х2,

Рис. 1

. _ ffigrsinxicosxj - marftuXf cosxj +(er22 - a})mx2x4 sin 2*3 + u2

(6)

ma} sin2 x, + mal cos2 x,

/1 aui Ад т^ me J лз

Приведенная модель рассматривалась H.H. Красовским как пример модели управления. Для системы (6) система линейного приближения имеет вид

х = Ах + Ви,

где 5 = (0, 1/таг2,0,0)*, и = (0,ы2,0,0). Определено соответствующее характеристическое уравнение. В качестве значений параметров маятниковой системы приняты значения m = 0,5 , g = 9,8 , г = 0,1 , ег1 = 0,4 , аг = 2,0 , at = 150. Управление выбрано в виде и = сх, где с = (с„с2,с3,с4) - вектор коэффициентов усиления, дг = (дг„х2,л3,д:4) - фазовый вектор маятниковой системы. Оценки областей стабилизации рассмотрены на множествах

13

{л: | х,\ < 1, / = 1, 2, 3, 4}, {х: | сх \ < 1}, на временном интервале Т= [0;9]. Маятниковая система технически устойчива относительно определяющей совокупности {£, М, 'о=0, /1=9} со следующими характеристиками: {0,1862; М, = {х:|х, |< 1, / = М}; 0; 9}; {0,7255; М,0) = {х :|х, |< 1, / = 1}; 0; 9}; {1; М\г) = {х:|х, |< 1, 1 = 2}; 0; 9}; {0,1862; М™ ={х:|х, |< 1, / = 3}; 0; 9}; {0,3587; М{А) = {х:| х, |< 1, 1 = 4}; 0; 9}.

Третья глава посвящена исследованию качественных свойств состояний равновесия динамических систем. В главе рассмотрен вопрос о существовании амплитуды, фазы и частоты для технических систем, моделируемых линейными неавтономными дифференциальными уравнениями второго порядка. Показано, что множество частот вполне характеризуется определяющим оператором для исходного дифференциального уравнения. Изучен вопрос о существовании первых интегралов для некоторых классов линейных неавтономных систем и даны приложения полученных результатов в классической и релятивистской механике. А именно, проведен анализ дифференциального уравнения второго порядка Синджа и установлено, что дифференциальное уравнение Синджа качественно подобно либо линейному уравнению гармонического осциллятора х + а2(я)х = 0, либо линейному уравнению х - а2(.?)х = 0.

В главе доказан также признак асимптотической устойчивости в большом динамической системы, моделируемой дифференциальным уравнением второго порядка специального вида. Кроме того, в главе изучен вопрос устойчивости состояний равновесия неконсервативной динамической системы, описываемой векторно-матричным дифференциальным уравнением второго порядка вида

Щ0 + Вх(0 + Сх(0 = р(1), (7)

где х(0 и /•"(/) - и-мерные векторы соответственно обобщенных координат и внешних сил; А, В, С- вещественные квадратные асимметрические матрицы размеров пхп соответственно масс, демпфирования и жесткости. Заданы следующие условия: матрица А является неособой (условие Н\) и матрицы а 'В и /Г1 С являются симметризируемыми (условие Н2).

По условию Нг матрицы А 'В и Л''С представимы в виде Л'1В=Р1Р2, Л~'С = @1()2, где Р2 и - симметричные, а Р, и <2\ -симметричные и положительно определенные матрицы. При условиях Н\ и #2 получены признаки устойчивости и неустойчивости по Ляпунову состояний равновесия системы второго порядка (7). Доказано, что если выполнены условия Н\ и Нг, Р\ = & и если собственные значения матриц А~1В и /Г'С положительны, то состояние равновесия системы (7) асимптотически устойчиво по Ляпунову.

В четвертой главе исследованы свойства предельных циклов (изолированных замкнутых траекторий) многомерных динамических систем. Как известно, для двумерного случая задача существования предельных циклов решена А. Пуанкаре и И. Бендиксоном. В многомерном случае вопрос о наличии или отсутствии предельных циклов и автоколебаний (устойчивых по Ляпунову предельных циклов) является трудным вопросом, для решения которого в настоящее время не существует общего метода. В главе 4 рассмотрен вопрос о существовании предельных циклов и автоколебаний в нелинейных непрерывных динамических системах

Й^-Ю, в с Я", й(х) х), /еУ, (8)

для которых выполнены свойства: а) <р(0,х) = х, хей; б) +5,х)=р(Г,(г>(з:,х)), хеб; в) отображение (<,р)-»?>(<,р)

непрерывно, где У означает или Я* =[0,оо), или X* :?={0, 1, 2, ...}. Случай

J = Я* соответствует непрерывной динамической системе, а случай 3 = 2* -дискретной динамической системе. Рассматриваются положительно

устойчивые по Лагранжу полутраектории С*(х)::=|^]^>(/,х), а также омега-

(го

предельные множества П(х) и замыкания С+(х):.- С+(х)иП(х).

Полученные результаты базируются на ослаблении требования об асимптотической устойчивости по Ляпунову и замене этого требования менее жестким требованием о фазовой асимптотической прочности полутраектории - устойчивости по Ляпунову в результате линейной репараметризации движения по полутраектории. Понятие асимптотической

фазы, известное из теории устойчивости, рассмотрено как для периодических траекторий, так и для множеств непериодических траекторий.

Доказана следующая теорема.

Теорема 3. Пусть полутраектория С+(р0) динамической системы (8) является фазово притягивающей. Тогда замыкание С+(р0) полутраектории С* (р0) также является фазово притягивающим, а предельное множество О(р0) есть фазово притягивающий предельный цикл.

Показано, что теорема 3 обратима. Необходимые и достаточные условия наличия фазово асимптотически прочного предельного цикла даются следующими предложениями.

Теорема 4. Пусть полутраектория С*(р0) динамической системы (8)

фазово асимптотически прочна. Тогда замыкание С*(р0) полутраектории С*{ра) также является фазово асимптотически прочным, а предельное множество П(р0) есть фазово асимптотически прочный предельный цикл.

Теорема 5. Пусть множество О(р0) есть фазово асимптотически прочный предельный цикл динамической системы (8), а замыкание С*(р0) фазово асимптотически прочно. Тогда полутраектория С*(р0) фазово асимптотически прочна.

Из теорем 4 и 5 вытекает эквивалентность следующих свойств: 1) полутраектория С*(р0) фазово асимптотически прочна; 2) каждая омега-предельная точка <аеП(р0) фазово асимптотически прочна; 3) замыкание С*(р0) полутраектории С*(р0) фазово асимптотически прочно и множество П(р0) является фазово асимптотически прочным.

Теоремы 3-5 являются обобщением и распространением на многомерный случай классической теоремы Пуанкаре-Бендиксона, а также теоремы Андронова-Витта об автоколебаниях. Из теорем 3, 4 вытекают как частные случаи условия наличия автоколебания в динамических системах непрерывного и дискретного типа.

В главе также установлена оценка числа предельных циклов двумерной динамической системы, описываемой двумерным нелинейным автономным дифференциальным уравнением

*i-gi(*i>*2)> x2=g2(xi,x2), xeA<zR\ (9)

на основе свойств дивергенции векторного поля g = (g\, gj)- Показано, что если область определения А вектор-функции, задающей правую часть, является р-связным открытым подмножеством плоскости Ä2 и выполнены соответствующие дивергентные условия, то система (9) не может иметь в А более р предельных циклов. Установленный признак оценки числа предельных циклов содержит в качестве частного случая известный признак Бендиксона-Дюлака.

Пятая глава посвящена исследованию предельных свойств и инвариантности управляемых динамических систем методом предельных уравнений. Рассмотрены неавтономные динамические системы, определенные дифференциальными уравнениями tfr

~ = f(t,x), (t,x)eR+xR", (10)

dt

~ = g(t,x), (t,x)eR+xR". (11)

dt

Динамической системе (10) сопоставляется система вида (11), называемая предельной, и ставится задача: по свойству устойчивости состояния равновесия предельной системы (11) вывести заключение о свойстве устойчивости состояния равновесия системы (10). Различные типы предельных систем были предложены Н.Г. Четаевым, Дж. Селлом, A.C. Андреевым и другими учеными. В основе определения Дж. Селла лежит сходимость по времени сдвигов правых частей системы (10) к

вектор-функции g{t,x) в соответствующем функциональном пространстве F::={f{t, *)} правых частей (10), а в основу определения Н.Г. Четаева о предельных системах кладется обычная сходимость по времени при t —> +оо в евклидовом пространстве возмущающей функции. Понятие предельной в смысле Селла системы существенно зависит от выбранной топологии (метрики) в пространстве F.

В главе приведены теоремы, характеризующие метод предельных в смысле Селла уравнений для исследования нелинейных динамических систем. Развит комбинированный метод на основе обобщенных функций Ляпунова и предельных уравнений. Доказаны теоремы,' являющиеся обобщениями теорем A.A. Шестакова о предельных уравнениях. Получена следующая теорема.

Теорема 6. Пусть выполнены условия: 1) для системы (10) множество £2(Л компактно, где n(/):.-={geC(Ä+ хЖ,Я"):Э{г„}сЯ+, г„-><», {ft)~*S 6 компактно открытой топологии}', 2) существуют обобщенная функция Ляпунова V(x) и окрестность W состояния равновесия х=0 системы (10) такие, что F(0) = 0, F(x)>0 V(x*0)el¥; 3) для любого xeW

существует выпуклое компактное множество К(х) с R" такое, что a) f(t,x)e.K(x) V/>/o>0, б) из включения уеК(х) следует одно из двух

условий: (D+V(x))Ty < 0 или у=0, где D+V - правая верхняя производная Дини; 4) для любого 5 > 0 существуют числа а>0 и Ь такие, что

¡\\f(s,x^dska(i-to) + b для любого xeW при ЦхЦ>5. Тогда состояние

'о

равновесия х=0 системы (10) равномерно асимптотически устойчиво.

Рассмотрены предельные свойства динамической системы, описываемой нелинейным векторным дифференциальным уравнением

х = /(/, х, и) , xeFC, ueU, (12)

где отображение / непрерывно по совокупности (х, и) и измеримо по t, а семейство U всех допустимых управлений состоит из всех измеримых по Лебегу функций u:R->M, где М - локально компактное метрическое пространство. Предполагается, что для каждого допустимого управления и(/)е Uи каждой пары (/0, x0)e/?xi?" начальная задача

х = Д/,х,и(0), х(/0)=х0, 03)

имеет единственное решение x(t, t0,x0, и), определенное для всех teft.

Исследованы предельные свойства и инвариантность относительно семейства допустимых управлений. Для управляемых систем рассмотрен

вопрос существования предельных уравнений и установлены условия несмещенности относительно релаксированных управлений. Сдвигом /г функции / на величину т называется функция f'(t,x,u) = f(t + T,x,u). Управляемое уравнение

x = g(t,x,u) (14)

называется предельным в смысле Селла для уравнения (12), если существует последовательность jzvj, т. оо, такая, что для любых t, х, и имеет место

I I

jg(H, u)d\x = lim j/b (ц, jc, u)d\i.

о о

Если семейство предельных уравнений замкнуто относительно сдвигов, т.е. если уравнение (14) - предельное уравнение, то уравнение х - gr(t,x,u) - предельное уравнение для любого reR.

Доказано, что если S(t,0,z;r,g) - динамическая система, порожденная уравнением вида (12), x = x(t) - решение задачи (13), и - допустимое управление, то для каждого z е Q(x) существуют предельное в смысле Селла уравнение (14) и релаксированное управление г такие, что S((,0,r,r,g)en(x) VteR+.

В заключении диссертации перечислены следующие результаты, выносимые на защиту.

1. Дано развитие метода обобщенных функций Ляпунова и метода предельных уравнений исследования управляемых неавтономных динамических систем.

2. Получены необходимые и достаточные условия наличия предельных циклов и автоколебаний в нелинейных динамических системах непрерывного и дискретного типов.

3. Получены достаточные условия технической устойчивости фазового множества относительно определяющих совокупностей для нелинейной автономной динамической системы.

4. Доказаны признаки технической устойчивости на конечном интервале времени решения нелинейной неавтономной системы при постоянно действующих возмущениях на основе логарифмической нормы и оценок В.М. Алексеева.

5. Разработан алгоритм стабилизации до технической устойчивости нелинейных управляемых динамических систем и исследована техническая устойчивость управляемого гироскопического маятника на заданном интервале времени.

6. Получены достаточные условия устойчивости в смысле Ляпунова состояния равновесия динамических систем, описываемых векторно-матричным уравнением второго порядка с несимметрическими матрицами.

7. Исследованы предельные свойства и получены условия существования предельного уравнения и релаксированного управления для управляемых динамических систем.

Публикации по теме диссертации

а) в научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Дружинина О.В., Мулкиджан^ Т.С. О существовании предельных циклов и автоколебаний в нелинейных динамических системах // Доклады РАН. 2006. Т. 409. №3. с. 328-332.

2. Дружинина О.В., Захарова М.В., Мулкиджан Т.С. Оценка безопасности функционирования динамической системы на основе технической устойчивости // Наукоемкие технологии. 2007. № 10. С. 32-40.

3. Дружинина О.В., Климачкова Т.С. О методе предельных уравнений исследования управляемых динамических процессов // Труды института системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. 2008. Т. 32 (1). С. 54-57.

4. Климачкова Т.С. Условия устойчивости на конечном интервале времени II Нелинейный мир. 2009. Т. 7. № 2. С. 58-64.

б) в других научных изданиях и сборниках научных трудов:

5. Мулкиджан Т.С. Об основном определении понятия технической устойчивости одного фазового множества относительно другого фазового

1 Примечание. Мулкиджан - девичья фамилия автора диссертации Климачковой Т.С.

20

множества // Математическое моделирование транспортных динамических систем: устойчивость и качественный анализ. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2004. С. 41—45.

6. Мулкиджан Т.С. Об асимптотической устойчивости в большом механической системы, моделируемой дифференциальным уравнением второго порядка специального вида // Математическое моделирование транспортных динамических систем: устойчивость и качественный анализ. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2004. С. 78-82.

7. Мулкиджан Т.С. Исследование устойчивости состояний равновесия динамической системы, описываемой уравнением с несимметрическими матрицами // Устойчивость и качественный анализ математических моделей динамических систем транспорта. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2005. С. 45-48.

8. Мулкиджан Т.С. Фазовый портрет траекторий трехмерной нелинейной системы // Качественное и численное исследование математических моделей динамических систем. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2006. С. 41-43.

9. Дружинина О.В., Мулкиджан Т.С. О частичной прочности состояния равновесия динамической системы, обладающей первыми интегралами II Качественное и численное исследование математических моделей динамических систем. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: РГОТУПС, 2006. С. 64-68.

10. Дружинина О.В., Мулкиджан Т.С. Структура некомпактного минимального множества непрерывной динамической системы // Качественное и численное исследование математических моделей динамических систем. М.: РГОТУПС, 2007. С. 92-95.

11 .Macma О.Н., Дружинина О.В., Мулкиджан Т.С. О предельных свойствах и инвариантности управляемых динамических процессов // Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. М.: ВЦ РАН, 2008. Вып. 10. С. 55-63.

12. Дружинина О.В., Климачкова Т.С. О дивергентном методе оценки числа предельных циклов динамической системы II Известия РАЕН. Дифференц. уравнения. 2008. № 13. С. 82-84.

13. Климачкова Т.С. О проблеме исследования технической устойчивости управляемой динамической системы // Избранные вопросы современного естествознания. Межвуз. сб. научн. трудов. М.: МИИТ, 2009. С. 135-139.

в) публикации в сборниках трудов научных конференций:

14. Мулкиджан Т.С. О технической устойчивости при постоянно действующих возмущениях // Proc. of the International workshop «Applications of the

«Mathematica» system to social processes and mathematical physics». Wyssza szkola finansow i zarzadzania w Siedlcach, Polska; Брестский гос. ун-т, 2003. С. 152-154.

15. Мулкиджан Т.С. О характере устойчивости состояния равновесия неконсервативной динамической системы // Тез. докл. XLI Всероссийской конф. по проблемам математики, информатики, физики и химии. М.: РУДН, 2005. С. 13-14.

16. Мулкиджан Т.С. О нахождении амплитуды, фазы и частоты для математической модели, описываемой дифференциальным уравнением второго порядка // Тез. докл. XLI1 Всероссийской конф. по проблемам математики, информатики, физики и химии. М.: РУДН, 2006. С. 66.

П.Дружинина О.В., Мулкиджан Т.С. О прочности траекторий динамических систем по отношению к части фазовых переменных // Тез. докл. IX Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике. Н. Новгород: ННГУ, 2006. С. 49.

18. Мулкиджан Т.С. Качественное исследование механических систем, моделируемых линейными неавтономными дифференциальными уравнениями второго порядка II Труды Международной Четаевской конференции. Иркутск: ИДСиТУ СО РАН, 2007. Т. 2. С. 156-164.

19. Мулкиджан Т.С. Об условиях наличия предельных циклов и автоколебаний для нелинейных динамических систем непрерывного и дискретного типов // Тез. докл. Международного конгресса «Нелинейный динамический анализ-2007». СПб.: СПбГУ, 2007. С. 232.

20. Мулкиджан Т.С. Об условиях устойчивости на конечном интервале времени // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. Тез. докл. X Международного семинара им. Е.С. Пятницкого. М.: ИЛУ РАН, 2008. С. 210-212.

21. Мулкиджан Т.С. Об алгоритмах исследования технической устойчивости математических моделей динамических систем // Тез. докл. XLIV Всероссийской конф. по проблемам математики, информатики, физики и химии. М.: РУДН, 2008. С. 48.

22. Мулкиджан Т.С. О методе предельных уравнений изучения управляемых динамических процессов // Тез. докл. Всероссийской научно-практической конф. «Инженерные системы-2008». М.: РУДН, 2008. С. 148-149.

23. Кузьмина Т.И., Мулкиджан Т.С. Вопросы устойчивости и ограниченности решений динамических систем // Тез. докл. XX межвузовской конф. «Актуальные проблемы естествознания». М.: РГОТУПС, 2008. С. 23.

КЛИМАЧКОВА Татьяна Сергеевна

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕХНИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ И ПРЕДЕЛЬНЫХ СВОЙСТВ УПРАВЛЯЕМЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (физико-математические науки) (промышленность)

Тип. зак. З&З Тираж 100 экз.

Подписано в печать 04.05.09 Гарнитура Times Офсет

Усл. печ. л. 1,0 Формат 60х90Ш6

Издательский центр РОАТ 125993, Москва, Часовая ул., 22/2

Участок оперативной печати РОАТ 125993, Москва, Часовая ул., 22/2

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. ЗАДАЧА О ТЕХНИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ- И УСЛОВИЯ ТЕХНИЧЕСКОЙ

УСТОЙЧИВОСТИ.

§ 1. Основные определения технической устойчивости.

§ 2. Признаки технической устойчивости фазового множества относительно другого фазового множества.

§ 3. Признаки технической устойчивости при постоянно действующих возмущениях в смысле Н.Д. Моисеева и в смысле Г.В. Каменкова.

§ 4. Подход к оценке безопасности функционирования динамической системы на основе понятия техническошустойчивости.

Глава 2. СТАБИЛИЗАЦИЯ ДО ТЕХНИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

§ 1. Постановка и алгоритмы решения задач стабилизации до технической устойчивости.

§ 2. Стабилизация, до технической устойчивости некоторых классов линейных и нелинейных динамических систем.

§ 3. Управление гироскопическим маятником на конечном интервале.

Глава 3. ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

§ 1. Качественное исследование динамической системы, описываемой линейным неавтономным дифференциальным уравнением второго порядка.

§ 2. Асимптотическая устойчивость в большом динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением специального вида.

§ 3. Устойчивость состояний равновесия динамической системы, описываемой уравнением с несимметрическими матрицами.

§ 4. Частичная устойчивость состояния равновесия динамической системы, обладающей первыми интегралами.

Глава 4. ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ

ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

§ 1. Предварительные сведения.

§ 2. Существование предельных циклов и автоколебаний в нелинейных динамических системах.

§ 3. Дивергентный способ оценки числа предельных циклов.

Глава 5. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА УПРАВЛЯЕМЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ

СИСТЕМ.:.

§ 1. Основные теоремы о предельных уравнениях.

§ 2. Комбинированный метод на основе обобщенных функций Ляпунова и предельных уравнений.

§ 3. Предельные свойства и инвариантность управляемых неавтономных динамических систем.

§ 4. Метод предельных уравнений исследования управляемых динамических систем.

Актуальность темы и обзор результатов, относящихся к теме диссертации. В настоящее время предъявляются повышенные требования к проектированию, эксплуатации сложных технических объектов и технологических процессов, а также к управлению ими. В связи с указанным обстоятельством разрабатываются новые математические модели динамических процессов, описываемые векторными нелинейными дифференциальными уравнениями. При этом возникает необходимость в дальнейшем-развитии.теории нелинейных динамических систем, расширении понимания целей управления, возрастании практического значения учета параметрических и постоянно действующих возмущений.

Во многих технических задачах структура управляемых динамических систем и ее параметры известны с некоторой погрешностью. Следовательно, необходимым требованием к управляемым динамическим-системам является их устойчивость (в. том или ином смысле) по отношению к структурным и внешним возмущениям. Построение, алгоритмов исследования устойчивости позволяет проводить анализ влияния различных проектных параметров на качество функционирования сложного технического объекта.

Практические задачи, связанные с необходимостью оценки движения на конечном промежутке времени, повлекли многочисленные обобщения и стимулировали развитие понятия устойчивости, учитывающее те или иные специфические особенности процесса функционирования систем. Одной из разновидностей такого рода устойчивости является понятие технической устойчивости. ч

Известно большое число различных определений понятия технической устойчивости, однако при всем их разнообразии указанные определения имеют одни и те же предпосылки. А именно, в каждой постановке задачи о технической устойчивости: 1) рассматривается дифференциальное уравнение х = §(х) или х = g(í, х), где хеЯ", 2) вводится некоторое множество

MQ(i) с Rn начальных возмущений л; = x.(tQ), i = 1,2,n, и рассматриваются траектории, исходящие из точек xQ е MQ (tQ); 3) задается определенный интервал Т значений времени t; 4) вводится некоторое множество М (/) допустимых значений возмущений x(t) на Т.

Понятие технической устойчивости принимает конкретное содержание в зависимости от выбора множеств MQ (t), Mi (t) на Г и этот выбор имеет существенное значение в отличие от постановки задачи об устойчивости по Ляпунову.

Начиная с работ Н.Г. Четаева [128-130] и Н.Д.Моисеева [91, 92], вопросы технической устойчивости и задачи стабилизации до технической устойчивости различных типов управляемых систем рассматривались в работах К.А. Карачарова и А.Н. Пилютика [56, 57], Г.В. Каменкова [53, 54], A.A. Мартынюка [83,' 84], К.А. Абгаряна [1, 2], А.А.Лебедева [71], Н.Ф. Кириченко [60, 61], Вань Дань-чжи и С .Я. Степанова [21, 22], Чжан Сы-ина [132, 133], В.В. Семенова [116, 118], А.П. Тарасова [119, 120], Л. Вейса и Е. Инфанте [176, 177] и других ученых. Несмотря на значительность результатов, достигнутых к настоящему времени, круг проблем в этой области далеко не исчерпан. В задачах технической устойчивости выбор вида областей допустимых состояний имеет существенное значение, в отличие от постановки задачи устойчивости в смысле Ляпунова, когда вопрос устойчивости или неустойчивости не зависит от выбора вида областей допустимых состояний. Система, обладающая технической устойчивостью, например, относительно области в форме w-мерного параллелепипеда может оказаться неустойчивой относительно области предельных отклонений в форме шара и наоборот. Поэтому в вопросах технической устойчивости, стабилизации и оптимальной стабилизации актуальна разработка различных критериев и условий,.решающих один и тот же вопрос относительно разных форм областей допустимых состояний. Актуальность перечисленных проблем еще более возрастает в связи с необходимостью получения конструктивных результатов. Под конструктивностью понимается совокупность условий, проверку которых можно выполнить с помощью конечного числа операций.

Изучение технической устойчивости систем и управления технической устойчивостью оказывается плодотворным в системном анализе динамических процессов, когд;а другие понятия устойчивости не соответствуют постановке задачи системного анализа. Как известно, в ряде случаев не представляется возможным рассматривать движение на бесконечных промежутках времени или особенности структуры фазовых множеств требуют использования понятия технической устойчивости относительно совокупности параметров, возникающих в прикладной задаче.

Развитием теории устойчивости применительно к системам автоматического управления и регулирования является теория стабилизации движения, которая исследует такие режимы управления системой, при которых некоторое программное (невозмущенное движение) системы будет устойчивым в том или ином смысле. Во многих случаях наряду с требованием устойчивости невозмущенного движения предъявляются дополнительные требования как к характеру переходных процессов, так и к управляющим воздействиям. Часто эти требования удается выразить в виде минимума некоторого интегрального функционала [12, 23, 67, 68, 75]. Задачи стабилизации с указанными дополнительными требованиями получили название задач оптимальной стабилизации, или аналитического конструирования" регуляторов. Общее представление о методах решения, различных ее модификациях и обобщений можно составить по работам A.M. Лётова, [75, 76], A.A. Мартынюка, Дж. Като и A.A. Шестакова [86, 157], В.В.Семенова и А.П.Тарасова [116], A.A. Шестакова, О.В. Дружининой и М.В. Захаровой [49, 50, 138] и других исследователей.

Важной задачей в системном исследовании качества функционирования динамической системы является получение количественных оценок, обеспечивающих наличие технической устойчивости, причем движение изучаемой системы оценивается на некотором заранее заданном промежутке времени при учете ограниченных возмущающих сил, начальные и последующие возмущения которых являются ограниченными величинами.

Актуальной задачей в системном анализе динамических систем является исследование существования предельных циклов и автоколебаний для непрерывной многомерной динамической системы. Предельным циклом называется замкнутая траектория в фазовом пространстве автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая является а-или ю-предельным множеством хотя бы для одной другой траектории этой системы. Автоколебания - незатухающие колебания в нелинейной динамической системе, амплитуда и частота которых в течение длительного промежутка времени могут оставаться постоянными, не зависят в широких пределах от начальных условий и определяются свойствами самой системы. Термин «автоколебания» был введен A.A. Андроновым [8, 9]. Динамические системы, которые могут совершать автоколебания, называются автоколебательными системами. К таковым относятся часы, генераторы электрических колебаний, электрический звонок, духовые и смычковые музыкальные инструменты и т.п. При определенных условиях автоколебания могут возникать и в динамических системах, нормальным состоянием работы которых является отсутствие автоколебаний. Простую автоколебательную систему можно представить состоящей из постоянного источника энергии, устройства, регулирующего поступление энергии в колебательную систему, и колебательной системы. Существенным является наличие обратной связи: регулирующее устройство, с одной стороны, управляет движением колебательной системы, а с другой — управление работой регулирующего устройства осуществляется движением колебательной системы. С теоретической точки зрения автономные автоколебательные системы с одной степенью свободы можно определить как такие системы, уравнения движения которых характеризуются наличием на фазовой плоскости одного или нескольких предельных циклов. Важным характерным свойством автоколебаний является независимость их амплитуды в широких пределах от начальных условий, т.е. существование одной или нескольких областей начальных условий таких, что любым начальным условиям, принадлежащим какой-либо из этих областей, будет соответствовать одна и та же амплитуда автоколебаний.

Для двумерной динамической системы задача исследования существования предельных циклов решена А.Пуанкаре [101, 102] и И. Бендиксоном [146]. В многомерном случае задача о наличии или отсутствии предельйых циклов и автоколебаний является трудной и актуальной задачей, для решения которой в настоящее время не существует общего метода.

Эффективным методом исследования качественных свойств неавтономных динамических систем является метод предельных в смысле Селла [165, 166] уравнений в сочетании с методом обобщенных функций Ляпунова [15, 20, 52, 69, 70, 89]. Метод предельных уравнений позволяет использовать свойства предельной системы, сопоставляемой с исходной неавтономной системой, и исследовать предельную систему с помощью приемов топологической динамики.

Значительные результаты по изучению предельных" свойств динамических систем получены, начиная с работ A.M. Ляпунова [79] и А.Пуанкаре [101, 102], в работах Дж. Селла [165, 166], К. Дафермоса [149, 150], 3. Артштейна [144], А.С.Андреева [6, 7], М.В. Бебутова [18], A.A. Мартынюка, Дж. Като и A.A. Шестакова [86, 157], A.A. Шестакова [134, 136], В.Н. Щенникова и Е.В. Щенниковой [141, 142], И.Г. Башмакова [16, 17], А.М.Матвиенко и А.И.Багровой [90] и других ученых. Особенно важным и эффективным оказался метод предельных уравнений для изучения управляемых систем, что вытекает из результатов A.A. Шестакова, A.A. Мартынюка, Дж. Като, A.C. Андреева, И.Г. Башмакова.

Актуальность темы диссертации обусловлена также тем, что результаты исследований по управлению технической устойчивостью и по методу предельных уравнений находят эффективное применение при решении разнообразных прикладных задач, возникающих при исследовании технических и промышленных систем. В частности, к указанным задачам можно отнести задачи динамики подвижного состава железнодорожного и автомобильного транспорта, задачи оценки безопасности, устойчивости и обеспечения надежности функционирования систем.

В диссертации рассмотрены управляемые динамические системы, описываемые обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями, и предметом исследования является имеющая важное значение для разработки сложных систем промышленной эксплуатации задача получения условий технической устойчивости, стабилизации до технической устойчивости управляемых гироскопических систем, изучения предельных циклов и автоколебаний непрерывных динамических систем, а также исследования предельных свойств нелинейных управляемых систем.

Целью работы является разработка эффективных условий управления технической устойчивостью динамических систем, описываемых многомерными дифференциальными уравнениями, решение вопросов системного анализа динамических процессов, возникающих при промышленной эксплуатации объектов, а также получение условий устойчивости состояний равновесия, предельных циклов динамических систем и анализ предельных свойств управляемых динамических процессов.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории управления, системного анализа, качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости движения.

Научная новизна. В диссертационной работе доказаны новые, а также обобщены, дополнены и уточнены известные результаты в теории управления и в теории технической устойчивости управляемых динамических процессов [1*, 2*, 11*, 15*, 17*, 22*, 23*]. Дано развитие метода функций Ляпунова и метода предельных уравнений, причем ослаблены требования как на правые части управляемой динамической системы, так и на производную обобщенной функции Ляпунова. Получены новые условия технической устойчивости динамических систем, изучены качественные $ ♦ ♦ * ♦ $ $ свойства неуправляемых и управляемых систем [3-5,7-10, 12, 14, 19], доказаны необходимые и достаточные условия существования предельных циклов и автоколебаний в динамических системах [6*, 13*, 21*], а также достаточные условия существования предельного уравнения для управляемых процессов [16*, 18*, 20*]. Полученные результаты служат основой нового подхода к изучению устойчивости, обеспечению надежности и безопасности сложных технических систем [59,115,11].

Практическая значимость. Областью применения установленных в диссертации условий технической устойчивости на конечном интервале времени являются задачи теории управления, задачи динамики подвижного состава железнодорожного и автомобильного транспорта, а также задачи оценки безопасности ' и надежности функционирования систем промышленности. Методы предельного анализа управляемых динамических процессов находят применение при качественном изучении динамических процессов естествознания и техники, а также при разработке и проектировании инженерных систем с управлением. Разработанный в диссертации подход к решению задач стабилизации до технической устойчивости применен для исследования гироскопического маятника, стабилизируемого в окрестности верхнего неустойчивого состояния равновесия моментом, приложенным к наружной рамке.

Результаты диссертации могут быть использованы при чтении курсов теории управления, теории устойчивости, системного анализа студентам старших курсов технических высших учебных заведений.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались:

- на Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии в Российском университете дружбы народов (Москва, 2005, '2006, 2008 гг.);

- на международном семинаре «Applications of the «Mathematica» system to social processes and mathematical physics» в Брестском государственном университете (Брест, 2003 г.);

- на Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Н. Новгород, 2006 г.);

- на Международной Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Иркутск, 2007);

- на Международном конгрессе «Нелинейный динамический анализ-2007» в Санкт-Петербургском государственном университете (Санкт-Петербург,

2007 г.);

- на Всероссийской' научно-практической конференции «Инженерные системы-2008» в Российском университете дружбы народов (Москва,

2008 г.);

- на Международном семинаре им. Е.С. Пятницкого «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» в ИПУ РАН (Москва, 2008 г.);

- на XX межвузовской конференции «Актуальные проблемы естествознания» в Российском государственном открытом техническом университете путей сообщения (Н. Новгород, 2008);

- на семинаре кафедры «Физика и химия» Российской открытой академии транспорта Московского государственного университета путей сообщения (Москва, 2009).

Личный вклад в проведенное исследование. В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично автором. В совместно опубликованных работах научному руководителю принадлежат постановки задач, соавторам — рассмотрение технических деталей, кроме работы [1*], в которой результаты принадлежат авторам в равных долях.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1* - 23*], приведенных в конце списка литературы.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, содержащих параграфы,' заключения и списка литературы. В каждом параграфе принята тройная нумерация формул (утверждений): первая цифра соответствует номеру главы, вторая цифра - номеру параграфа, третья цифра - порядковому"номеру формулы (утверждения).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты настоящей диссертационной работы, выносимые на защиту, состоят в следующем.

1. Дано развитие метода обобщенных функций Ляпунова и метода предельных уравнений исследования управляемых неавтономных динамических систем.

2. Получены необходимые и достаточные условия наличия предельных циклов и автоколебаний в нелинейных динамических системах непрерывного и дискретного типов.

3. Получены достаточные условия технической устойчивости фазового множества относительно определяющих совокупностей для нелинейной автономной динамической системы.

4. Доказаны признаки технической устойчивости на конечном интервале времени решения нелинейной неавтономной системы при постоянно действующих возмущениях на основе логарифмической нормы и оценок В.М. Алексеева.

5. Разработан алгоритм стабилизации до технической устойчивости нелинейных управляемых динамических систем и исследована техническая устойчивость управляемого гироскопического маятника на заданном интервале времени.

6. Получены достаточные условия устойчивости в смысле Ляпунова состояния равновесия динамических систем, описываемых векторно-матричным уравнением второго порядка с несимметрическими матрицами. 7. Исследованы предельные свойства и получены условия существования предельного уравнения и релаксированного управления для управляемых динамических систем.

1. Абгарян К.А. Устойчивость движения на конечном интервале // Итоги науки и техники. Сер. общ. Механики. М.: ВИНИТИ, 1976. Т. 3. С. 43-126.

2. Абгарян К.А. Введение в теорию устойчивости движения на конечном интервале времени. М.: Наука, 1992.

3. Айзерман М.А., Браверманн Э.М., Розоноэр Л.И. Метод потенциальных функций в теории обучения машин. М.: Наука, 1970.

4. Александров А.Ю. Устойчивость движений неавтономных динамических систем. СПб.: Изд-во€ПбГУ, 2004.

5. Алексеев В. М. Об одной оценке возмущений решений обыкновенных дифференциальных уравнений (I, II) Вестник Московского ун-та, 1961. № 2. С. 28 - 36; 1961. № 3, С. 3 - 10.

6. Андреев A.C. Об "асимптотической устойчивости и неустойчивости неавтономных систем // ПММ. 1979. Т. 45. Вып. 5. С. 796-805.

7. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы // ПММ. 1984. Т. 48. Вып. 2. С. 225-232.

8. Андронов А. А., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959.

9. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966.

10. Антончик B.C. Методы стабилизации программных движений. СПб.: СПбГУ, 1998.

11. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1979.

12. Афанасьев В.Н. Аналитическое конструирование непрерывных систем управления. Учеб. пособие. М.: РУДН, 2005.

13. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.В. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989.14. .Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.

14. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970.

15. Башмаков И.Г. Об управлении динамической системой // Проблемы динамики подвижного состава и устойчивости движения динамических систем. Сб. науч. трудов. М.: ВЗИИТ, 1990. С. 118-120.

16. Башмаков И.Г., ЩенниковВ.Н. Стабилизация сложной системы при постоянно действующих возмущениях специального вида// Управление динамическими системами. Якутск: Якутский гос. ун-т, 1986. С. 3-8.

17. Бебутов М.В. О динамических системах в пространстве непрерывных функций // Доклады АН СССР. 1940. Т. 27. № 9. С. 904-906.

18. БиркгофДж. Динамические системы. М.: Гостехиздат, 1941.

19. Валеев КГ., Финин Г.С. Построение функций Ляпунова. Киев: Наукова думка, 1981.

20. Ванъ Данъ-чжи, Степанов С.Я. Численное исследование на конечном интервале времени // ЖВМ и МФ. 1974. Т. 14. № 2. С. 350- 364.

21. Ванъ Данъ-чжи, Степанов С.Я. Стабилизация управляемых движений на конечном интервале времени // ЖВМ и МФ. 1975. Т. 15. № 4. С. 908- 922.

22. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.

23. Воронов A.A. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. М.: Наука, 1979.

24. Воротников В.И., Румянцев В.В. Устойчивость и управление по части координат фазового вектора динамических систем. М.: Научный мир, 2001.

25. Галиуллин A.C. Аналитическая динамика. М.: РУДН, 1995.

26. Галиуллин A.C., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г., Фурасов Ф.Д. Построение систем программного движения. М.: Наука, 1971.

27. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

28. Дружинина О.В. Критерий асимптотической устойчивости состояния равновесия механической системы с частичной диссипацией // Вестник РУДН. Сер. Прикл. матем. и информатика. 1996. №2. С. 29-31.

29. Дружинина О.В. Критерий устойчивости в смысле Ляпунова семейства периодических решений // Доклады РАН. 2000. Т. 371. №3. С.329-332.

30. Дружинина О.В. Методы анализа устойчивости и динамической прочности траекторий нелинейных дифференциальных систем. М.: ВЦ РАН, 2008.

31. Дружинина О.В., Шестаков A.A. Фазовая асимптотическая устойчивость омега-предельного множества устойчивого по Лагранжу движения стационарной динамической системы // Доклады РАН. 1996. Т. 351. № 3. С. 332-334.г

32. Дружинина О.В., Шестаков A.A. О понятиях орбитальной устойчивости и фазовой устойчивости движений динамической системы // Доклады РАН. 1997. Т. 355. № 3. С. 339-341.

33. Дружинина О.В., Шестаков A.A. Об условиях прочности в смысле Жуковского траекторий динамических систем// Доклады РАН. 2003. Т.393. № 4. С. 478-482. •

34. Дружинина О.В., Шестаков A.A. О прочности в смысле Жуковского почти периодических траекторий и свойствах предельных движений динамических систем // Доклады РАН. 2004. Т. 398. № 5. С. 615-619.

35. Дружинина О.В., Шестаков A.A. Необходимые и достаточные условия существования автоколебаний в конечномерной непрерывной динамической системе // Доклады РАН. 2008. Т. 418. № 1. С. 37-41.

36. ДюлакГ. Предельные циклы. М.: Наука, 1977.

37. Елъшин М.И. Качественные проблемы линейного дифференциального уравнения второго порядка // ДАН СССР. 1949. Т. LXVIII. №2. С. 221-224.

38. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.

39. Еругин Н.П. Первый метод Ляпунова // Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1968. С. 67-86.

40. Жабко А.П., Прасолов A.B., Харитонов B.JI. Сборник задач и упражнений по теории управления: стабилизация программных движений. М.: Высшая школа, 2003.

41. Жабко А.П., Харитонов В.А. Методы линейной алгебры в задачах управления. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1993.

42. Жуков В.П. Исследование периодических режимов в нелинейных системах // ДАН СССР. 1981. Т. 256. № 2. С. 302 305.

43. Жуковский Н.Е. О прочности движения // ПСС. Т. 1. М. Л.: ОНТИ НКТП, 1937. С. 110-208.

44. Захарова М.В. Об ограниченности и устойчивости движений механических систем, моделируемых нестационарными дифференциальными уравнениями второго порядка // Дисс. . канд. физ.-матем. наук. М.: МАИ ГТУ, 2002.

45. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.

46. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Машиностроение, 1974.

47. Каменков Г.В. Об устойчивости движения на конечном интервале времени // ПММ. 1953. Т. 17. Вып. 5. С. 529 540.

48. Каменков Г.В. Избранные труды. Т. 1,2. М.: Наука, 1972.

49. Каменков Г.В., Лебедев A.A. Замечания к статье об устойчивости на конечном интервале времени // ПММ. 1954. Т. 18, № 4. С. 512.

50. Карачаров К.А. Некоторые критерии устойчивости движения при наличии постоянно действующих возмущений // Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6, № 11. С. 1963-1969.

51. Карачаров К.А., Пжютнк А.Г. Введение в техническую теорию устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1962.

52. Карлов Н.В., Кириченко H.A. Колебания, волны, структуры. М.: Физматлит, 2003.

53. Кату лев А.Н., Северцев H.A. Исследование операций: принципы принятия решений и обеспечение безопасности. М.: Наука, 2000.

54. Кириченко Н.Ф. Некоторые задачи устойчивости и управляемости движения. Киев: Изд-во Киев, ун-та, 1972.

55. Кириченко Н.Ф. Введение в теорию стабилизации движения. Киев: Вища школа, 1978.

56. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958.

57. Красовский A.A. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973.

58. Красовский H.H. О поведении в целом интегральных кривых систем двух дифференциальных уравнений // ПММ. 1954. T. XVIII. С. 735-737.

59. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: ФизматгизД959.

60. Красовский H.H. Теоремы об устойчивости движений, определяемых системой двух уравнений// ПММ. 1952. Т. 16. Вып. 5. С. 547-554.

61. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

62. Красовский H.H. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.

63. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: Наука, 1977.

64. Ла Саллъ Ж.П., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир, 1964.

65. Лебедев A.A. К задаче об устойчивости на конечном интервале времени // ПММ. 1954. Т. 18. № 1. С. 75-94.

66. Леонов Г.А. Странные аттракторы и классическая теория устойчивости движения // Успехи механики. 2002. Т. 1. № 3. С. 3-42.

67. Леонов Г.А. Хаотическая динамика и классическая теория устойчивости движения. Москва-Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2006.

68. Леонов Г. А., Пономаренко Д.В. Критерии орбитальной устойчивости траекторий динамических систем// Изв. вузов. Сер. матем. 1993. № 4. С. 88-94.

69. Лётов A.M. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: Физматгиз, 1962.

70. Лётов A.M. Математическая теория процессов управления. М.: Наука, 1981.

71. Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1961.

72. Лозинский С.М. Оценка погрешностей численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Изв. вузов. Математика. 1958. №5. С. 52-90.

73. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М. —Л.: Гос-техиздат,1955.

74. МалкинИ.Г. Об устойчивости периодических движений динамических систем // ПММ. 1944. Т. 8. Вып. 4. С. 327-331.

75. Малкин И.Г. Существование функций Ляпунова // Изв. Казанского физ. -матем. общества. 1929/30'. Ш.4. С. 51-62.

76. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.

77. МартынюкА.А. Техническая устойчивость в динамике. Киев: Техника, 1973.

78. МартынюкА.А. Практическая устойчивость движения. Киев: Наукова думка, 1983.

79. Мартынюк A.A., Гутовски Р. Интегральные неравенства и устойчивость движения. Киев: Наукова думка, 1979.

80. МартынюкА.А., Като Дж., ШестаковA.A. Устойчивость движения: метод предельных уравйений. Киев: Наукова думка, 1990.

81. МартынюкА.А., Лакшмикантам В., Лила С. Устойчивость движения: Метод интегральных неравенств. Киев: Наукова думка, 1939.

82. Мартынюк A.A., Лобас Л.Г., Никитина Н.В. Динамика и устойчивость движения колесных транспортных машин. Киев: Техника, 1981.

83. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М.: Физматлит, 2001.

84. Матвиенко A.M., Багрова А.И. Об устойчивости решений неавтономного дифференциального уравнения, исследуемого с помощью предельных уравнений // Вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Самарканд: СамГУ им. А. Навои, 1984.

85. Моисеев Н.Д. О некоторых методах теории технической устойчивости // Тр. /Воен.-возд. академия им. Жуковского. 1945. Вып. 135.

86. Моисеев Н.Д. Обзор развития неляпуновских теорий устойчивости движения // Зап. семинара по теории устойчивости движения. Воен.-возд. академия им. Жуковского. 1946. № 1. С. 75-93.

87. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М. 1981.

88. Немыцкий В.В. Топологическая классификация особых точек и обобщённые функции Ляпунова // Дифференц. уравнения. 1967. Т.З. №3. С. 359-370.

89. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: Гостезиздат, 1949.

90. Парс Л. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971.

91. Первозванский A.A. Курс теории автоматического управления. М.: Наука, 1986.

92. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.: Наука, 1964.

93. Подчукаев В.А. Аналитические методы теории автоматического управления. М.: Физматлит, 2002.

94. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М. Л.: ГТТИ, 1947.

95. Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 1, 2. М.: Наука, 1971, 1972.

96. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978.

97. Ройтенберг Я.Н. Некоторые задачи управления движением. М.: Физматгиз, 1963.

98. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1974.

99. Румянцев В.В. Об устойчивости движения гиростатов//ПММ. 1961. Т. 25. Вып. 1.С. 9-19.

100. Румянцев В.В. Об устойчивости стационарных движений спутников. М.: Вычислительный Центр АН СССР, 1967.108. .Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения // Механика в СССР за 50 лет. Т. 1. М.: Наука, 1968. С. 7-66.

101. Румянцев В.В. Об оптимальной стабилизации управляемых систем // Прикл. матем. и механика. Т. 34. Вып. 3. 1970. С. 440-456.

102. Румянцев В.В. О развитии исследований в СССР по теории устойчивости движения// Дифференц. уравнения. 1983. Т. 19. № 5. С. 739-776.

103. Румянцев В.В., Озиранер A.C. Устойчивость и стабилизация движения по отношению к части переменных. М.: Наука, 1987.

104. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980.

105. Рябушко А.П. Проблема устойчивости движения тел в общей теории относительности. Минск: Вышейшая школа, 1987.

106. Салуквадзе М.Е. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора при постоянно действующих возмущениях// Автоматика и телемеханика, 1962. Т. 23. № 6. С. 721-731.

107. Северцев Н.А.,Бецков A.B. Введение в безопасность. М.: ТЕИС, 2008.

108. Семёнов В.В., Тарасов А.П. Техническая устойчивость и стабилизация невозмущенных движений динамических систем // 6-я Четаев. конф. «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением»: Тез. докл. Казань, 1992. С. 51-52.

109. СингДж. Общая теория относительности. М.: Изд-во иностр. лит., 1963.

110. Солодовников В.В., Семёнов В.В. Спектральная теория нестационарных систем управления. М.: Наука, 1974.

111. Тарасов А.П. Алгоритмы, основанные на методе функций Ляпунова и теории разностных схем, обеспечивающие техническую устойчивость динамических систем // Дисс. . канд. физ.-матем. наук. М.: МАИ ГТУ, 1998.

112. УиттекерЕ.Т. Аналитическая динамика. М. Л.: ОНТИ НКТП, 1937.

113. Фурасов В Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. М.: Наука, 1977.

114. Фурасов В.Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов. М.: Наука, 1982.

115. Харкевич A.A. Автоколебания. М.: Наука, 1953.

116. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

117. Чезари Л. Асймптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964.

118. ЧетаевН.Г. Об одной мысли Пуанкаре// Сб. научных трудов Казанского авиац. ин-та. 1935. №3. С. 3-6.

119. ЧетаевН.Г. О выборе параметров устойчивой механической системы // ПММ. 1951. Т. 15. № з. С. 371-372.

120. Четаев Н.Г. О некоторых вопросах, относящихся к задаче об устойчивости неустановившихся движений // ПММ. 1960. Т. 24. Вып. 1.

121. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: ГИТТЛ, 1964.

122. Чжан Сы-ин. Об устойчивости движения на конечном интервале времени // ПММ. 1959. Т. 23. № 2. С. 230-238.

123. Чжан Сы-ин. Об оценках решений систем дифференциальных уравнений, накопления возмущений и устойчивости движения на конечном интервале времени // ПММ. 1959. Т. 23. № 4. С. 640-649.

124. Шестаков A.A. О понятиях орбитальной устойчивости и прочности траекторий динамических систем // Колебания, прочность и устойчивостьдвижения в задачах механики транспортных систем. Межвуз. сб. науч. трудов. М.: РГОТУПС, 1998. С. 4-8.

125. Шестаков А.А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами.'М.: УРСС, 2007.

126. Шестаков А.А. О критериях наличия нелинейной устойчивости состояния равновесия уравнений возмущенного движения при известных первых интегралах// Изв. РАЕН. Дифференц. уравнения. 2008. № 13. С. 251-258.

127. Шестаков А.А., Степанов А.Н. Индексные и дивергентные признаки устойчивости особой точки автономной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1979.Т.18. №4. С. 650-661.

128. Шилъников Л.П., Шилъников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Часть 1. Москва Ижевск. Ин-т компьютерных исследований, 2004.

129. Щенников В.Н., Щенникова Е.В. Асимптотическая устойчивость нулевого решения сложной системы относительно части переменных// Вестник Мордовского ун-та. 1998. №3-4. С. 72-75.

130. Щенников В.Н., Щенникова Е.В. Оценки погрешности линеаризации относительно части и всех фазовых переменных // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37. №1. С. 132-133.

131. Щенникова Е.В. Устойчивоподобные свойства решений нелинейных управляемых систем. М.: Изд-во РУДН. 2006.

132. ArtsteinZ. Stability, observability and invariance// J. of Differential Equations. 1982. V. 44. P. 224-248.

133. JBohl P. Uber eine Differentialgleichung der Storungstheory // J. fur reine und angervandte Math. 1906. B. 131. S. 268 321.

134. Bendixon /. Sur les courbes définis par des equations différentielles // Acta Mathematica. 1901. V. 24. P. 1-88. (Русский перевод первой главы: И.Бендиксои. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями // УМН. 1941. №9.)

135. Chicone С., Liu W. Asymptotic phase revisited // J. Differential Equations. 204. 2004. P. 227 246.

136. Cronin J. A criterion for asymptotic stability. // J. Math. Anal. Appl. 1980. V. 74. P. 247-269.

137. Dafermos C.M. An invariance principle for compact processes // J. of Differential Equations. 1971. V. 9. P. 239-252.

138. Dafermos C.M. Applications of the invariance principle for compact processes // J. of Differential Equations. 1971. V. 9. P. 291-299.

139. Diliberto S.P. On systems of ordinary differential equations // Ann. Of Math. Stud. 1950. V. 20. P. 1-38.'

140. Dulac H. Recherche des cycles limites // C.R. Acad. Sci. Paris. 1937. V. 204. P. 1703-1706.

141. Giesl P. Unbounded basins of attraction of limit cycles // Acta. Math. Univ. Comenianae. 2003. V. LXXII. № 1. P. 81-110.

142. Hallam T.G., Komkov V. Application of Liapunov's functions to finite time stability // Rev. Roum. Math. Pures Appl. 1969. Y.14. № 4. P. 495 501.

143. Hartman P. "On stability in the large for systems of ordinary differential equations // Canad. J. Math. 1961. V. 13. P.480-492.

144. Hartman P., Olech C. On global asymptotic stability of solutions of differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1962. V. 104. P. 154-178.

145. Kurth R. A gineralisation of Bendixon's negative criterion // Atti. Accad. Naz. Linceu Rend. CI. Sci. Fis. Mat. Natur. 1973. V. 54. P. 533 535.

146. La Salle J.P., Rath R.J. Eventual Stability // Proc. of IF AC Congress (Basel, 1963). London, 1964. V. 2. P. 556 560.

147. Lewis H.R. Class of exact invariants for classical and quantum time dependent harmonic oscillator// SIAM J. Appl. Math. 1978. V. 34. P. 496 503.

148. Li Y., Muldowney JfS. On Bendixson's criterion // J. of Differential Equations. 1994. V. 106. P. 27-39.

149. Lloid N.G. A note on the number of limit cycles in certain two-dimensional systems // J. London Math. Soc. 1979. V. 20. P. 277 286.

150. Risito C. On the Liapunov stability of a system with known first integrals // Mechanics 1967. V. 2. P. 1977-2000.

151. Sell G.R. Nonautonomous differential equations and topological dynamics// Trans. AMS. 1967. V. 127. №3. P. 241-283.

152. Sell G.R. Periodic solutions and asymptotic stability // J. of Differential Equations. 1966. V. 2. P. 143-157.

153. Skowronski J., Ziemba S. Some complementary remarks on the delta method for determining phase trajectories of systems with strong non-linearity // Arch. Mech. Stos. 1958.V.10. №5. P.699-706.

154. Smith R.A. The.Poincare-Bendixson's theorem for certain differential equations of higher order // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Ser. A. 1979. V. 83. P. 63-79.

155. Smith R.A. Existence of periodic orbits of autonomous ordinary differential equations // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. Ser. A. 1980. V.85. P. 153-172.

156. Synge J.L. On the geometry of dynamics // Phil. Trans. Roy. Soc. V. 226 A. P. 31-106.

157. Synge J.L. On the neighbourhood of a geodic in Riemannian space // Duke Math. J. 1935. P. 527-537.

158. Walker J A., SchmitendorfW.E. A simple test for asymptotic stability in partially dissipative symmetric systems // ASME J. Appl. Mech. 1973. V. 40. P. 1120-1121.

159. Weiss L. Converse theorems for finite time stability // Siam. J. Appl. Math. 1968. №6. P. 1319-1324.

160. Weiss L., Infante E.F. On the stability of systems defined over a finite time interval // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1965. - V. 54, № 1. - P. 44-48.

161. Weiss L., Infante E.F. Finite time stability under perturbing forces and on product spaces // IEEE Trans. Automat. Contr. 1967. V. AC 12. № 1. P. 54-59.

162. Zaremba S.K. Divergence of vector fields and differential equations // Amer. Journal of Math. 1954. V. LXXVI. P. 220 234.