автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование управления нелинейной механической системой декомпозицией на системы с одной степенью свободы

На правах рукописи

Беликова Елена Игоревна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМОЙ ДЕКОМПОЗИЦИЕЙ НА СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

. /

Ульяновск - 2008

003458215

Работа выполнена на кафедре механики и теории управления в ГОУ ВГЮ Ульяновский I осударственный у нияерсигет

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Андреев Александр Сергеевич

Официальные оппоненты: доктор физики-.чатемагических наук, профессор

Щенников Владимир Николаевич

кандидат физико-магемашческих наук, допет

Богданов Андрей Юрьевич

ведущая организация: ГОУ ВГЮ Ульяновский государственный технический университет

Защи.а состоится «26» декабря 2008 г. и 10® часов на заседании диссертационного совета Д 212 278.02 при Ульяновском государственном университете по адресу: Набережная р Свмяги, 106, корпус 1, ауд. 703.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государеIвенного у ниверситста, с авторефератом - на сайте вуза 1ШрУ/ууцц.ит и1аи го

Отзывы по данной работе просим направлять по адресу: 432000, г. Ульяновск, ул. Л. Толсют. 42, УлГУ. Управление научных исследований.

Лигоркферат разослан «__.» Ученый секретарь диссертационно! о совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Ак1уалытс1ь гемм. Середина 20-го века ознаменовалась интенсивным развитием математической теории управления. Это развиже было связано прежде всего с необходимостью решения задач управления механических объектов, а в дальнейшем, также и с исследованием технологических и экономических процессов. Одной из центральных задач теории и практики управления остается проблема сишеза законов управления механическими системами. Основы решения этой проблемы заложены в работах H.H. Красовского', В.В. Румянцева2, A.M. Летова3, Д.Е. Охоцимского4, Ф.Л Черноусько5 6, Е.С. Пятницкого7 и их научных школ.

Усложнение структуры управляемых механических систем, повышение качества и надежности управления ими приводит к необходимости решения задач синтеза управления этими системами с учетом их нелинейности, нестационарное! и и мпогосвязности. Поэтому разработка эффективных методов управления сложными механическими системами на основе математических моделей, отражающие рамичные их особенности (размерность, структуру, ограничения на управляющее воздействие и фазовые переменные, требование о приведении системы в ¡ерминальное состояние за наименьшее время или минимизация затраченных ресурсов) остаются актуальным предметом многих научных исследований.

Объектом исследования в диссертационной работе являются методы управления и их алгоритмы. Предметом исследования являются управляемые механические системы, декомпозиция управления сложной механической системы, компьютерное моделирование динамики конкретных управляемых систем.

Цель диссертационной работы. Целью диссертационной работы является разработка методов управления нелинейной механической системы на основе декомпозиции к

'Красовский Н Н. Теория оптимальных управляемых систем //Сб. Механика в СССР за 50 лет Т 1 М.: Наука, 1968. С.179-244

"Румянцев В. В. Об оптимальной стабилизации управляемых систем // ПММ. 1970 Т.34. № 3 С 440-456 \Петов А М. Аналитическое конструирование регуляторов // Лвюма1ика и ¡елемехапика 1960. №4. С.436-441; №5 С 561-568; №6. С 661-665 1961. №4. С.425-435; 1962. №11. С 1405-1413

'Охоцимский Д Е , Голубев Ю Ф Механика и управление движением автоматического шагающего аппарата. М • Наука. 1984.

^Чсрноусъко Ф Л , Болотник Н Н., Градецкий В Г.Манипуляционные работы: динамика, управление, олтимииция, М : Наука. 1989.

^Черноусько Ф.Л , Ананьевский И.М , Рсшмин С.А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.. ФИЗМАТЛИТ. 2006.

'11ятницкий Ь.С. Синтез иерархических систем управления механическими обьектами на принципе декомганиции//Автоматика и телемеханика. 1989 N1. С 87-99 N2 С.71-86.

механическим системам с одной степенью свободы с учетом ограничения на управляющее воздействие Для достижения постановленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Вывод новых способов исследования устойчивости и стабилизируемоеги движений механической системы с одной степенью свободы и одной позиционной координатой.

2. Вывод новой методики решения задач о построении синтезирующего управления на основе функции Ляпунова.

3. Решение задачи синтеза управления нелинейной механической системы на основе декомпозиции к системам с одной степенью свободы.

4. Построение эффективных законов управления для модельных механических систем.

Методы исследования. В работе использованы методы исследования и решения задач, широко применяемые в теории моделирования, в теоретической механике, в теории >сгойчивости и стабилизации движения, в теории управления, в теории дифференциальных уравнений.

Научная новизна. В диссертации получен ряд результатов, относящихся к моделированию в задачах управления механическими системами. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми.

Научные положения, выносимые на защиту.

1. Новая форма достаточных условий стабилизируемости движений механической системы с одной степенью свободы и одной позиционной координатой.

2. Новые способы применения функции Ляпунова в задачах синтеза управления с приведением системы в терминальное состояние за конечный промежуток времени, в том числе с оптимизацией некоторого функционала.

3 Новая форма декомпозиции в задачах управления нелинейной механической системы.

4. Модели управления конкретными механическими системами и компьютерное моделирование их динамики.

Достоверность результатов проведенных исследований. Достоверное 1ь результатов.

полеченных в данной paooie, определяется обоснованными теорешческими выкладками и строгими доказательствами, опирающимися на теорию моделирования, методы теорешческой механики, теории устойчивости и стабилизации движения, теории управления, теории дифференциальных уравнений.

Прак! ическая н теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в математической теории управления движением, в решении прикладных задач о стабилизации и управлении движением механических систем.

Апробация работы. Отдельные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Шестой Международной конференции "Математическое моделирование физических, технических, экономических социальных сисгем и процессов". (Ульяновск, 2005), IX международном семинаре им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных cncieM управления". (Москва, 2006), Девятой Международной научно-технической конференции "Моделирование, идентификация, синтез систем управления" (п.Канака, РА Крым (Украина), 2006), научной конференции "Ломоносовские чтения". (Москва, 2008), X Международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твердого тела". (Донецк (Украина), 2008), выездном заседании семинара им. В.В. Румянцева под руководством член-корреспондента РАН В.В. Белецкого и проф. A.B. Карапстяна "Аналитическая механика и устойчивость движения", (Ульяновск, 2008), семинарах кафедры механики и теории управления Ульяновскою государственного университета, (2005-2008 гг.).

Личный вклад автора. Постановка общей задачи предложена научным руководителем проф. А.С.Андреевым. Все основные резулыаш диссертации получены авюром самостоятельно.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 paooi, в том числе 2 ciaibn в журнале из списка ВАК. Список публикаций приведен в конце авюрефера1а.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 142 наименований отечественных и зарубежных авторов, включает 14 рисунков. Общий объем диссертации составляет 112 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Нумерация определений, теорем и результатов в данной работе отличайся 01 нумерации, приводимой в диссертации.

Введение содержит обоснование актуальности рассмотренных в диссертации вопросов. Определяются цель исследования, научная новизна и практическое значение. Дастся краткий обзор исследуемой проблемы и краткое содержание диссертации.

В первой главе диссертации излагаются постановка задачи, обзор резулыатов об устойчивости движений механической системы с одной степенью свободы и обоснование новых способов исследования устойчивости такой системы.

В первом параграфе дается постановка цели диссертационной работы. Задача о построении закона управления, который стабилизирует заданное программное движение голономной механической системы, может быть сведена к задаче о стабилизации или приведении в положение равновесия системы, описываемые следующими уравнениями Лагранжа 2-го рода

где ц = (д1,д1,...,дг1)т - вектор обобщенных координат, Т - кинетическая энергия

где - матрица размерности пхп является положительно-определенной, -

матрица-столбец размерности лх1, С(г^) - скалярная функция, (} - вектор обобщенных сил, которые обусловлены действием внешней среды и взаимодействий внутри системы, и - вектор управляющих сил. Уравнения движения (1) могут быть приведены к следующему виду

(1)

Т =Т2 +7] +Т0,

(2)

где матрица С определяется равенством

Ьудем полагать, что выполнены следующие условия

Q(t, О,0) - —^ (t. 0) -— (/, 0) - 0. 3q ol

при которых система (1) имеет нулевое положение равновесия

q = q = 0. (3;

Представим уравнения движения (2) в следующем виде

¿(r.q)q = QM.q) + U. (4)

где выделены члены, содержащие q и управление U, а через Q обозначены все остальные составляющие.

В диссертации рассмотрена декомпозиция задачи синтеза управления для системы (1) в постановке8, состоящей в построении закона управления, при котором любые движения (1) из некоторой области G^c/f1", содержащей точку q = q = 0, черет конечный промежуток времени начинает двигаться но заданному закону по каждой координате

<7, =/('.<?,) (' = Ы (5)

т.е. в виде несвязных невзаимодействующих подсистем. При этом проявляется свойство равномерной асимптотической устойчивое! и положения равновесия (3).

Подобная декомпозиция к системам с одной степенью свободы применяется также для механической системы с одной позициоиной координатой.

Допустим, что система (1) имеет одну позиционную координату, >ак что ее кинетическая энергия представима в следующем виде

T(t,q,q,z) = ^a(t,q)q2 + ДО,q)zqzT A(t,q)z + b(l,q)q + zr Й,(t,q) + Tu(t.q).

|де q - позиционная координата, z = (г,,г2,...,г„.,)г - циклические координаты, a(t,q) и b(t,q) - скалярные функции, A(t,q)e R" ' xR"~' является положительно-определенной, Д(г,г/)е КхЯ"'1, B,(t,q)(E К"чхК.

Уравнения движения такой системы могут быть представлены в виде уравнений

Рауса

,, ... dd . . 1 bd. 9VV, . de. .

dt 2 oq àq àl

+Q'(l,q,q) + U\ ^sQ' +U2, (6)

dt

x

i 1ятницкий E С. Синтез иерархических систем управления механическими объектами на принципе

декомпозиции//Автоматика и телемеханика. 1989. N1 С 87-99 N2 С 71-86.

I дс

d(t.q) = a(t,q)-A] (t,q)A(/, q)Aj(t,q), e(t, q, p) = b(t,q) + Л (t.q)A'' (l. q)(p-B, (t,q)),

W(i.q,p) = i(p -S,(f,q)f A'1 (/,q)(p-B,(t,q))-T0(t,q) + П(/,q),

Q(t,q,q,i) = (Q\t,q,q),Q4t,q,q,i)), U = (U1,U2),

П = П(t,q) - потенциальная энергия.

Первое из уравнений (6) можно рассматривать отдельно от второй совокупности

уравнений (6). Она представляет собой уравнение движения механической системы с одной степенью свободы.

В диссертационной работе рассматривается построение законов управления U, обеспечивающих стабилизацию и реализацию заданного движения системы (6).

Для решения поставленных задач изучаются достаючныс условия асимптотической устойчивости положения равновесия механической системы с одной степенью свободы.

Во втором параграфе излагается анализ исследований по устойчивости систем с одной степенью свободы, одной из распроараненных модельных задач теории устойчивое! и и стабилизации.

В третьем параграфе проводится построение функции Ляпунова нового типа, выводится новая форма достаточных условий асимптотической устойчивости и стабилизиру£мости движений механической системы с одной степенью свободы.

Рассмотрим механическую систему с одной степенью свободы, модель которой описывается уравнением

x+k(t)x + g(t)f(x)=0, / (0) = 0, (7)

где feC(R), k<=C(R*) и geC'(R), f(x)x>0.

Обозначим

p(l) = exp{v(t)\ v{t) = ¡¿u(T)dT,

о

p(0 = ^-fc(0, «СО = M')g(') +«СО-

Допустим, что существует последовательность отрезков 17„,г„+л], (/, -»+oo,0<i</ntl-fii < Г),такая что для f е [г„./„+1 ]

k(t)<k„, (1<р„ < p(i)<,pr 0<g„ < g(t)p(t) < gr (8)

p(t)mq(t),

d 1 d ' p'(t) = — Hm \[)(t+z)dr, q'(l) = — lim [q(t,,+r)dT.

dt->« ' dt I. — i

Имеет место следующее утверждение.

Результат 1. При условиях (8) положение равновесия х = л = 0 уравнения (7) равномерно асимптотически устойчиво.

Для управляемой системы, описываемой уравнением

х+8(1,х )/(х) = и, /(0) = 0. (9)

получен следующий результат.

Ре)ультат 2. Управление и=-кх решает задачу о стабилизации положения равновесия х = х = 0 при следующих условиях

8(1,х)>80>0, /-(л)=|/(гИг,

о

2(J)¡(a) + g(t))<k^]<1(a)g(l),

ß\, а> 0, /?>0, к = const >0.

Т]„(а)= max 4(0!)= max ,

F(x) ax

Получены также другие результаты об асимптотической устойчивости и стабилизации положения равновесия механической системы с одной степенью свободы, развивающие результаты целого ряда работ, в том числе9,10.

Во второй главе диссертации излагается новая методика применения функции Ляпунова в задаче синтеза управления для общей модели управляемой системы, при которой система приводится в терминальное состояние за конечный промежуток времени.

В первом параграфе рассматривается управляемая система, движение которой описывается системой дифференциальных уравнений

x=X(t,x,u),X(t,0,0) = 0. (10)

где jc = (jc,.....xj1 - вектор n-мерного линейного действительного пространства R" с

нормой ||дг|| = max(jx,¡,[д;2|,...,|), u = (uv...,um)T - вектор управляющих воздействий, не R", Rm - т-мерное линейное действительное пространство с нормой ||м|| = (|и||,|и2|,."+|и,|), X ->#" -вектор-функция.

9

Александров А Ю. Оо устойчивости положений равновесия нелинейных неавтономных механических систем //ПММ. 2007. Т.71. Вып.З. С. 361-376

ü Андреев А С , Юрьева О Д. Об >сгойчивости механической системы с одной степенью свободы // Ичвестия РАЕН серия МММИУ. 1997. Т 1 №1 С.102-114.

Пусть и с Л™ есть класс управляющих воздействий ¡¡ = и(г,лг), (¿(/,0) = 0, которые могут бьиь носIроены на основе обратной связи. Допустим, что для класса С управляющих воздействий и-и(1,х), определенных и непрерывных в области /?+хГ, Г = {|л| < Я, 0 < Я <+°°}, за исключением, быть может, точки л: = 0 и некоторого заданного множества, правая часть системы (10) удовлетворяет условиям существования и единственности решения, х = х(1.10,ха), хио,10,х(1) = х0.

Исследуется задача о синтезе управления для системы (10) в следующей иос!ановкс.

Определение 1. Задача синтеза управления на конечном отрезке времени состоит в нахождении управления м = и°(г,х), не С/ , такого, чтобы траектория х-х(1) системы (10), начинающаяся в произвольной точке д:0 из некоторой окрестности точки ^ = 0 в любой начальный момент времени Г0, попадала в конечный момент времени /„+7", где Т = Т(!0,х0), в заданную точку х = 0.

При этом синтез будем называть устойчивым, если при м = и"(г,л), решающем поставленную задачу, для любого (0еЯ*, и для любого е > 0 существует 8 > 0, такое, ч""о ||л:(0[|<£, если |х0||<(? и Ге [Г0,Г0+Г). Синтез будем называть равномерно устойчивым, если Т не зависит от (/0,л0)е й*хГ0, Г0 ={||.г||< Н0, 0 < Н0 < Я}

Определение 2. Задача оптимального синтеза состоит в нахождении управляющею воздейсшия и~и°{!,х), решающею задачу синтеза управления на конечном отрезке и такого, что по сравнению с любыми другими управляющими воздействиями и =и(1,х), решающими эту задачу достигается минимум функционала

где функция гу>0 характеризует критерий качества переходного процесса.

Определение 3. Задача равномерного оптимального сишеза состоит в нахождении управляющего воздействия и = м°(Г,х), решающего задачу равномерно устойчивого синтеза управления на конечном отрезке, оптимального по сравнению с любыми другими управляющими воздействиями и =и(их), решающими эту же задачу.

По втором параграфе излагается решение задачи о синтезе управления на конечном отрезке времени для автономной системы, X = Х(х,и).

(П)

Допустим, что и = и°(х), и" е I/, есть некоторое выбранное управляющее воздейс!вие. мод действием которого уравнения управляемого движения принимают вид:

¿ = Х°и), = *(*.'<"( 0). (12)

Пусть У:Г —> Я* сеть скалярная функция Ляпунова, непрерывно дифференцируемая за исключением может бып, множества (V = 0)

Введем класс К функций типа Хана11, Ие К , если 1г: Я* -»Л* есть непрерывная, строго монотонно возрастающая функция со значением Л(0) = 0 и подкласс К, с К фу нкций /г, для которых при а > О

о

т.е. сходится.

Теорема 1. Предположим, что можно найти функцию Ляпунова У = У°(л)>0 и у правляющее воздействие и = и"(х), такие, что выполнены условия:

1) производная в силу (12) А„е К,;

2) точка * = 0 асимптотически устойчива относительно множества {У°(.г) = 0}. Тогда д: = 0 сис!емы (12) асимптотически устойчиво, а возмущенные движения

попадают на множество (V0 =0) за конечный промежуток времени.

Если же движения, начинающиеся на множестве = 0,л:б Г,}, попадают в

ючку л- = 0 за конечный отрезок времени, тогда и=и"(х) ренте! задачу устойчивого синтеза управляющего воздействия на конечном отрезке времени

Теорема 2. Предположим, что можно найти функцию У = У°(х) и управляющее воздействие и = и°(х), не и , такие, что выполнены условия:

1) для всех .(£ Г выполняется соотношение У°(л)>0, при этом \'а(х) = 0 только при х — 0;

2) функция С0(х,и) удовлетворяет неравенству

¿фг,и°и))2Л(У°(;г)). Ле А",;

3) для всех хе Г0 выполняется соотношение

ВГУ°(дг),д-,«°(л:)] = 0. = Х(х,и) + СО(х,иУ,

" Руш Н . Абстс П., Лалуа М Прямой метод Ляпунова в теорииустойчшшсги. М • Мир 19К0 3(Х)с

4) для любого и = и(х), и е ¡7 , в области Г справедливо неравенство В[У\х),х,и(хУ\> 0.

Тогда и-и"(х) решает задачу оптимального синтеза.

В третьем параграфе рассмотрена задача синтеза управления для неавтономной системы.

Пусть и=и°(1,х), и°еи есть некоторое выбранное управляющее воздействие, под действием которого уравнения управляемого движения принимают вид:

* = X0 (Г, х), X° (I, х) = X (I, х, и0 (/, .*)). (13)

Теорема 3. Предположим, что можно найти функцию Ляпунова V — У"(1ух) >0, У°(г,.х)<й,(|.х||) и управляющее воздействие и =и°0,х), такие, что:

1) производная в силу (13) у°(1,х) < -^(У0(¡,х)), Л^е К,;

2) точка -г = 0 равномерно асимптотически устойчива относительно множества {У\1,х) = 0).

Тогда * = 0 системы (13) равномерно асимптотически устойчиво, а возмущенные движения попадают на множество {V0 =0) за конечный промежуток времени.

Если же движения, начинающиеся на множестве {V0 =0), попадают в точку за конечный промежуток времени равномерно по гей+, тогда и = и"(1,х) решает задачу равномерного устойчивого синтеза на конечном промежутке времени.

Теор(.ма 4. Предположим, что можно найти функцию V = У"(г,х) и управляющее воздействие и = , и е (/ , такие, что выполнены условия:

1) для всех (1,х)е К' хГ выполняется соотношение /¡,(|[д:|[)<У°(1,х) ¿/^фф;

2) функция со(1,х,и) удовлетворяет неравенству

аКг,х,ип(1,х))>И3(У'>(1,х)), }це К,;

3)для всех (г,д:)е Я*хГп

В[1,У00,х),х,и"(1,х)]^ 0, = —+ Г—1 Х0,х,и) + оК1,х,и).;

Эг ^ )

4) для любою и = и(',х), ие и , в области Я* хГ справедливо неравенство

В[г,У°(1,х),х,и(1,х)]>0

Тогда и = и°(1,х) решает задачу равномерною оптимального-синтеза системы

11олученные результаты обобщают результаты работ12 '13

В третьей главе излагаются ре!ульгаш работы но построению законов синтеза управления механическими системами.

В первом параграфе исследуется задача об управлении общей нелинейной системой декомпозицией на системы с одной степенью свободы.

Рассмофим уравнения (1) движения мкой системы в предположении, что составляющая Q = Q(i,q,q) непрерывна, ограничена, управление U = U(/,q.q) есть измеримая функция для (f,q,q)e Г, ={/> 0,||q|| <0', ||q|| < ¡3} , так что

инерционная матрица /4(i,q) для (f,q)e Г, = j? >0,||q[| < а) удовлешоряе! неравенствам

||эд| |эл|| _

W - ао ЬН - а\ • k- - °2 = ccnst ('= ")•

|| Э» || ||3<?J

Пус1ь

Я. ~f,(t.q.) = 0 (i=Ui) (14)

еегь выбранный закон декомпозиции, по которому должна двигаться механическая система через конечный промежуток времени, при этом ft для (i,q)e удовлетворяют ограничениям

ИЬ

Будем считать, что движение на множестве (14) реализуется при некотором управлении U = U0(/,q,q), |U0||</V

Применением теорем 1, 4, 3 показано, что поставленная задача pemaeica управлением

U,=-/i,sign(q,-fXt,q,)) (15)

если число fit таково, что

А именно, при этом управлении положение равновесия (3) является равномерно асимптотически устойчивым, а каждое ограниченное движение q=q(i) при некотором

12 Коробов В.И. Метод функции управляемости. М.-Ижевск. ИИЦ "Регулярная и хлотическая динамика" 2007. 576с.

11 Румянцев В В., Андреев А С. О стабилизации движения нестационарной управляемой системы Доклады Академии наук. 2007 Т. 416 № 5. С. 627-629

'=/„ +Т, Т>0, попадает на множество (14) и несвязанным образом, по каждой координате , продолжает движение по закону ¿¡: = /,(1,у,), нео| раниченно приближаясь при 1 —» +0« к положению С) = q — 0 .

Законы управления (15) сравниваются по эффективности при различных заданиях функции /(?,?,), а также с управлениями, обеспечивающими оабилизацию на бесконечном интервале времени. В качестве объекта сравнения выбраны модели переверну юго математического маятника и маятника с подвижным грузом.

На рис.1 и рис.2 представлены изменения во времени угла отклонения и его скороет для математического маятника в модели (9) и (14) при ^(Г,л:) = 0.5(1 + к1пг)я1пд:,

О 5

□ - ~ '20 " 40

- О 5т |

Рис.1. Изменение угла отклонения при различных начальных условиях

О 5

20 40 г

- П 5 •

Рис.2. Изменение угловой скорости при различных начальных условиях

Во втором параграфе исследуется задача об управлении движением механической системы с одной позиционной координатой в соответствии с уравнением (6).

Допустим, что при и = () для некоторых и р0 выполнены следующие равенства

Тогда система (6) имеет при р = р„ обобщенное стационарное движение 9(0 = 0. 9(0=90, г = Л-'(Л9о)(Ро-Я,(»,9о)). г(0 = г„ + {¿(г)Л. (16)

о

Результат I позволяет вывести следующие достаточные условия асимптотической устойчивости движения при отсутствии управления, и = 0.

Результат 3. Пусть при |9|<ог>0, |</|</?>0, |[р-р0||< 0 выполнены соотношения

ЭТУ де

-^- + -^" = 8(0/•(<?)■ е'=-Л(/,9.9)9.

1 Л//

-—9 + А(Л9,9)>*:(0, (р-р^'О^О,

2 ог

где функции g , / , к удовлетворяют (8).

Тогда обобщенное стационарное движение (16) равномерно устойчиво, равномерно асимптотически устойчиво относительно возмущенных движений о гвечающих значению р = р„.

В соответствии с результаюм 2 выводятся следующие условия стабилизируемое™ движения (16).

Результат 4. Пусть

Э/ Эг

и'=-кц, и2=-Л(0(р-р„) (р-р„)'Л(О(р-р0)2г0(О(р-р0)2 где функции /, % удовлетворяю! условиям примера (9) г0(0 - положительна в среднем.

Тогда управление и = (£/'. Ч2) стабилизирует движение (16).

Результат 5. Управление

и1 = -м, s'gnUit -fit, <¡, ))• и? = -д р, - /',о)

решает задачу синтсза для системы (15).

В третьем параграфе приведены результаты моделирования в задачах управления движениями физического маяшика, плоского маяшика па вращающемся основании. Предложены универсальные законы управления в этих задачах, численным образом исследована динамика управляемого движения в этих задачах.

В частности, для физического маятника представлены следующий результат. Уравнения приведенного движения маятника

Ав = ~(ог (В-С) cos в- mgza) sin в + Аиг. При и, ~и2=0, ВфС эти уравнения допускают существование стационарного движения

Показано, что управляющие воздействия

иг = -Ив-р(в-0„)- ащп(2в + Ь{в - <90)), кр,а>0 решают задачу приведения маятника в движение (17) за конечный промежуток времени. Ниже представлены графики переходного процесса.

dt

о)=со0, — с|й)ц >TngZy

(17)

□

ю

20

30

Рис.3. Изменение угла поворота в вокру! i оризонтальпой оси во времени

Рис.4. Изменение угловой скорое ж в во времени

Рис.5. Изменение угловой скорости (й вокруг вертикальной оси во времени

Исследованные механические модели являются составными элементами многих сложных механических систем - манипуляционных роботов, лета1ельных аппаратов и т.д.

ВЫВОДЫ

Таким образом, в диссертационной работе получены следующие результаты.

1. Новая обобщающая форма достаточных условий асимптотической устойчивости и стабилизируемое™ модельной механической системы с одной степенью свободы.

2. Новые методы синтеза управления нелинейной управляемой системы на основе применения знакопостоянной функции Ляпунова.

3. Новая форма декомпозиции задачи управления в нелинейной механической сие теме с п степенями свободы, с одной позиционной координатой.

4. Компьютерное моделирование динамики управляемых систем, являющихся составными частями сложных динамических объектов - манипуляционных роботов, крановых систем и т.д.

По теме диссертации опублнковаиы следующие pa6oi ы:

В изданиях из перечня ВАК:

1. Андреев A.C., Беликова Е.И. Задача о синтезе управления в автономной нелинейной системе. // Обозрение прикладной и промышленной матсмажки. - М.: Ol М IM. - 1.15. - Вып.4. - 2008. - С.652-653.

2. Андреев A.C., Беликова Е.И., Зайнетдинов Р.Б. Метод функций Ляпунова в решении задач управления. // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М.: ОПиПМ - Т.15. - Вып.4,- 2008. - С.653-654.

В других изданиях:

3. Беликова Е.И, Карасев. A.A. Об устойчивости неустановивше;ося движения механической системы с одной степенью свободы // Труды Шестой Международной конференции "Математическое моделирование физических, технических, экономических социальных систем ипроцеесов". - Ульяновск. - 2005. - С.22-23.

4. Беликова Е.И., Малкина И.А. Устойчивость положения равновесия механической системы с одной степенью свободы // Ученые записки УлГУ. Сер. "Фундаментальные проблемы математики и механики". - Ульяновск. - 2006. - Вып.1(14). - С.23-27.

5. Беликова Е.И. Об устойчивости и стабилизации положения равновесия механической системы с одной степенью свободы // IX Международный семинар им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". - М. - 2006. -С.38-39.

6. Беликова Е.И. Об устойчивости положения равновесия механической системы при действии неограниченных диссипативных сил // Ученые записки УлГУ. Сер "Математика и информационные технологии". - Ульяновск. -2007. - Выл.1. - С.40-43.

7. Беликова Е.И. Об устойчивости положения равновесия нестационарной механической системы // X Международная конференция "Устойчивость, управление и

динамика твердого юла". Донецк, изд. Инстит^(а прикладной математики и механики НЛН Украины -2008.-C.3V34.

8 Беликова Н.И. О декомпозиции задачи сишсга управления нелинейной механической системой // Семинар "Аналитическая механика и теория устойчивости" кафедры теоретической механики и мехафоники механико-математического факультета МГУ им. Ломоносова. 17-19 июня 2008. Материалы докладов Ульяновск. - 2008 - С.8-9.

9 Беликова Е.И. Об управлении механической системой с одной позиционной координатой // Семинар "Аналитическая механика и теория усюйчивоыи" кафедры теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета МГУ им Ломоносова 17-19 июня 2008. Материалы докладов. Ульяновск. - 2008 -С.27.

Подписано в печать 24.11 08. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 134 / 61 3

Отпечатано с оригинал-макета в Издательском центре Ульяновского государственного университета 432000, г. Ульяновск, ул. Л. Толстого, 42

Введение

Глава I. Об устойчивости и стабилизации движения механической системы с одной степенью свободы

§1.1. Постановка задачи о стабилизации и синтезе управления для механической системы

§1.2. Анализ результатов об устойчивости и стабилизации движений механической системы с одной степенью свободы и с одной позиционной координатой

§1.3. Новая форма достаточных условий устойчивости и стабилизации движений механической системы с одной степенью свободы

Глава II. Метод знакопостоянных функций Ляпунова в задачах о стабилизации и синтезе управления для нелинейной управляемой системы.

§2.1. Постановка задачи о синтезе управления

§2.2. Задача синтеза управления для автономной управляемой системы

§2.3. О синтезе управления для неавтономной управляемой системы

Глава III. Задача синтеза управления механическими системами

§3.1. Новая модель управления нелинейной механической системой

§3.2. Модель управления механической системой с одной позиционной координатой

§3.3. Решения модельных задач

Середина 20-го века ознаменовалась интенсивным развитием математической теории управления. Это развитие было связано прежде всего с необходимостью решения задач управления механическими объектами, а в дальнейшем, также и с исследованием технологических и экономических процессов. Одной из центральных задач теории и практики управления остается проблема синтеза законов управления механическими системами. Основы решения этой проблемы заложены в работах H.H. Красовско-го, В.В. Румянцева, A.M. Летова, д.Е. Охоцимского, Ф.Л. Черноусько, Е.С. Пятницкого и их научных школ.

Усложнение структуры управляемых механических систем, повышение качества и надежности управления ими приводит к необходимости решения задач синтеза управления этими системами с учетом их нелинейности, песта ционарности и многосвязности. Поэтому разработка эффективных методов управления сложными механическими системами на основе математических моделей, отражающих различные их особенности (размерность, структуру, ограничения на управляющее воздействие и фазовые переменные, требование о приведении системы в терминальное состояние за наименьшее время или минимизации затраченных ресурсов), остается актуальным предметом многих научных исследований.

Практически невозможно даже в рамках широкого изучения осветить все направления математической теории управления механическими системами и ее приложения. Ниже приводится небольшой обзор исследований, в достаточной степени затрагивающий круг решаемых в диссертации задач.

Основы теории аналитического конструирования регуляторов были заложены в работах A.M. Летова [G4], затем развиты H.H. Красовским [59] и его школой в теорию оптимальной стабилизации управляемых движений. Эти результаты освещены в обзоре [61], приведены в [60], включены во многие учебники (например, [4, 25, 44, 89] и др.) и широко используются при расчетах систем управления [5, 58, 82, 98, 103] и др.

Широкое применение получил предложенный В.В. Румянцевым полуобратный метод [91], состоящий в определении части подынтегральной функции минимизуемого функционала по известной оптимальной функции Ляпунова, являющейся устойчивой функцией Ляпунова для системы без управления. Как развитие полуобратного метода, в работах [14, 140] дана постановка задачи о стабилизации невозмущенного движения с гарантированной оценкой качества управления и ее решение на основе функции Ляпунова.

Методы исследования задач стабилизации и оптимальной стабилизации тесно переплетаются с результатами об устойчивости. Решение задач об устойчивости установившихся движений голоиомных и иеголономных механических систем [48-51 и др.] служит основой для эффективного решения соответствующих задач о стабилизации и управляемости движений управляемых механических систем. В работе [92] исследоваиа задача о стабилизации стационарного движения механической системы с циклическими координатами по позиционным координатам и импульсам при помощи управляющих сил, приложенных по циклическим координатам. Ее изучение продолжено в работах [35, 45, 96] и других. В них сформулирован ряд эффективных критериев управляемости и стабилизируем ости установившихся движений голономных и иеголономных механических систем.

Развитие прямого метода Ляпунова исследования асимптотической устойчивости невозмущенного движения неавтономной системы на основе знакопостоянной функции Ляпунова [10-12, 17, 19] позволило решить ряд задач об устойчивости и стабилизации нестационарных механических систем [13, 18, 19, 21, 22].

Школой Д.Е. Охоцимского внесен огромный вклад в теорию и практику разработки шагающих и манипуляциониых роботов (см. например [80]).

Большое внимание методам управления нелинейными механическими системами уделяется в исследованиях научной школы акад. Ф.Л. Черноусько [88, 106-111]. Особое внимание при этом уделяется декомпозиции сложных управляемых систем, построению управлений при неизвестных инерционных параметрах, с учетом ограничений на управление и фазовые координаты, с приведением в терминальное состояние за конечный промежуток времени, динамике процесса управления [1, 2, 6-9, 41, 106111]. Определенная часть этих исследований подытожена в монографии [110]. В ней излагаются два подхода к декомпозиции управления системой. Первый подход основан на построении синтезирующего управления, исходя из решения задачи об оптимальном управлении одномерной механической системой в соответствии с принципом максимума Понтрягина [65, 81, 89]. Другой подход основан на последовательном построении управления, которое вначале переводит движения всей системы за конечное время в заданную область, а затем из нее в терминальное состояние. Представлен алгоритм построения кусочно-линейной управляемой системы с помощью функции Ляпунова. Рассмотрены также другие общие и конкретные задачи.

Большое внимание задачам управления механическими системами уделяется в работах ученых Института проблем управления РАН [47, 70-75, 83-86, 100, 101].

Приведение управляемой системы в заданное терминальное состояние невозможно при непрерывных обратных связях. Предлагается использовать для этого разрывные управления вида U = —/./sign((j — q(t)). При таком управлении замкнутая механическая система начинает двигаться в скользящем режиме, так что нелинейная многосвязная динамическая система высокого порядка через конечный интервал времени начинает двигаться в силу простейшей одномерной системы. Этот способ декомпозиции управления, предложенный Е.С. Пятницким [83-86, 74-75], развит в работах [70-73].

Принцип динамического программирования представляет собой синтез вариационного исчисления и метода функций Ляпунова [46, 60, 66]. На этом базируются основные методы стабилизации движений управляемых систем, в том числе механических, на бесконечном интервале времени [14, 19, 60, 61, 63, 91, 92, 97, 119] и синтеза управления на конечном отрезке времени [33, 34, 53-57] с применением функции Ляпунова.

В [63] показано применение функции Ляпунова со знакоотрицатель-ной производной в задаче синтеза управления в системе, асимптотически устойчивой на бесконечном интервале относительно множества, на котором управление вырождается. Развитие этого подхода с использованием функции Ляпунова, имеющем знакопостоянную производную, проведено в работах [36-38].

В работах В.И. Коробова и его учеников [33, 34, 54-57] представлены результаты целенаправленных исследований по синтезу управления на конечном отрезке с помощью функции управляемости, удовлетворяющей по существу условиям классической теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости [66, 94].

Внимание ряда исследователей в области теоретической и прикладной механики посвящено проблеме построения систем программного движения и исследования свойств и условий их устойчивости. А.С. Галлиули-ным, И.А. Мухаметзяновым, Р.Г. Мухарлямовым и другими учеными в работах [39, 40, 76, 77] получены теоремы, дающие способы построения систем программых движений на заданных многообразиях, на основе второго метода Ляпунова определены условия устойчивости и стабилизируемое™ заданных движений и исследованы оценки полученных решений.

Кроме отмеченных методов построения управления нелинейными системами имеются также другие общие методы: метод систем переменной структуры [42, 100, 101], метод линеаризации по обра тной связи [127, 128, 135] и различные их обобщения.

Применение теории моделирования [62, 68, 95, 112] позволяет проанализировать подходы и алгоритмы решения задач об управлении механическими системами с точки зрения их эффективности по затратам управления, времени переходного процесса и динамики. Подробно этим вопросам уделено внимание в работах [5, 24, 43, 52, 58, 78, 79, 87, 132].

До настоящего времени решение задач о стабилизации и управлении движением нелинейных систем с применением функций Ляпунова основывалось на знакоопределенных функциях [25, 44, 57, 60, 63, 85, 87, 129]. В работах [17, 19, 22, 93, 126] показана эффективность использования в этих задачах знакопостоянных функций. Развитие данного направления исследуется в настоящей диссертационной работе.

Целью диссертационной работы является разработка методов управления нелинейной механической системы на основе декомпозиции к механическим системам с одной степенью свободы с учетом ограничения на управляющее воздействие. Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решаются следующие задачи:

1. Вывод новых способов исследования устойчивости и стабилизируемое™ движений механической системы с одной степенью свободы и одной позиционной координатой.

2. Вывод новой методики решения задач о построении синтезирующего управления на основе функции Ляпунова.

3. Решение задачи синтеза управления нелинейной механической системы на основе ее декомпозиции к системам с одной степенью свободы.

4. Построение эффективных законов управления для модельных механических систем.

В первой главе диссертации излагаются постановка задачи, обзор результатов об устойчивости движений механической системы с одной степенью свободы п обоснование новых способов исследования устойчивости такой системы.

В первом параграфе дается постановка цели диссертационной работы. Задача о построении закона управления, который стабилизирует заданное программное движение механической системы, может быть сведена к задаче о стабилизации или приведении в положение равновесия голономной механической системы с нестационарными связями. Уравнения движения такой системы приводятся к следующему виду с!)с1 = дм, 4) + и, где выделены члены, содержащие q, и управление U, а через Q обозначены все остальные составляющие.

В диссертации рассмотрена декомпозиция задачи синтеза управления для рассматриваемой системы в постановке [85], состоящей в построении закона управления U. при котором любые движения системы из некоторой области Со С R2n, содержащей точку q = q = 0, через конечный промежуток времени начинают двигаться по заданному закону по каждой координате. При этом проявляется свойство равномерной асимптотической устойчивости положения равновесия q = q = 0.

Подобная декомпозиция к системам с одной степенью свободы применяется также для механической системы с одной позиционной координатой.

Модель механической системы с одной степенью свободы является одной из основных в задачах моделирования управляемых механических систем. Она широко применяется в задачах устойчивости, стабилизации и анализа динамики систем. Во втором параграфе проводится подробный анализ многих известных работ по исследованию достаточных условий устойчивости и стабилизации положения равновесия механической системы с одной степенью свободы [3, 23, 99, 105, 114, 116-118, 121-125, 130, 131, 134, 138, 141].

Теоремы об асимптотической устойчивости из [11, 20] на основе построения функции Ляпунова нового вида позволяют получить новую форму достаточных условий асимптотической устойчивости и стабилизируемое™ движения механической системы с одной степенью свободы. Такое исследование проведено в третьем параграфе первой главы.

Во второй главе диссертации излагается новая методика применения функции Ляпунова в задаче синтеза управления для общей модели управляемой системы, при которой система приводится в терминальное состояние за конечный промежуток времени.

В первом параграфе второй главы согласно работе В.И. Коробова [54] дается постановка задачи о синтезе управления на конечном отрезке времени для приведения системы в заданное положение равновесия и ее модификации.

Во втором параграфе рассмотрена автономная нелинейная управляемая система, доказаны две теоремы об асимптотической устойчивости и приведении в положение равновесия за конечный промежуток времени, в том числе с минимизацией некоторого функционала.

В третьем параграфе получены аналогичные результаты для задачи о синтезе и оптимальном синтезе управления нелинейной нестационарной управляемой системы.

Эти результаты представляют собой развитие и дополнение результатов известных работ [22, 93].

В третьей главе излагаются результаты работы по построению законов синтеза управления общей и конкретными механическими системами.

В первом параграфе исследуется задача об управлении общей нелинейной системой декомпозицией на системы с одной степенью свободы. Применением теорем 2.2, 3.3 и 3.4 главы 2 показано, что поставленная задача решается управлением

С/,- = -¡11з1дп{сц - /¿(г, %)), г = 1, 2,., п.

А именно при этом управлении положение равновесия 4 = д = 0 является равномерно асимптотически устойчивым, а каждое ограниченное движение q = q(¿) при некотором t = ¿о + Т, Т > О, попадает на множество {¿¡{ — ^г) = 0} и несвязанным образом продолжает движение по закону щ = неограниченно приближаясь при £ —> +оо к положению с[ = С1 = 0.

Полученные результаты дополняют и развивают результаты работ, представленных в монографиях [73, 110].

Законы управления 1/г сравниваются по эффективности при различных заданиях функции а также с управлениями, обеспечивающими стабилизацию на бесконечном интервале времени. В качестве объекта сравнения выбраны модели перевернутого математического маятника и маятника с подвижным грузом.

Во втором параграфе исследуется задача об управлении движением механической системы с одной позиционной координатой. Применением результатов первой главы получены достаточные условия асимптотической устойчивости обобщенного стационарного движения, о стабилизируемое™ этого движения и управлении движением такой системы.

В третьем параграфе приведены результаты моделирования в задачах управления движениями физического маятника, плоского маятника на вращающемся основании. Предложены различные законы управления в этих задачах, численным образом исследована динамика управляемого движения.

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 142 наименований отечественных и зарубежных авторов, включает 14 рисунков. Общий объем диссертации составляет 112 страниц.

Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Получена новая форма достаточных условий асимптотической устойчивости и стабилизации движений механической системы с одной степенью свободы. Они развивают и обобщают целый ряд известных результатов [3, 23, 25, 94, 118 и др.] и позволяют получить более точные условия стабилизируемое™ и управляемости в модельных задачах об управлении нелинейными системами.

2. Получены новые способы построения оптимального синтезирующего управления нелинейной управляемой системой на основе функции Ляпунова. Полученные результаты развивают и дополняют результаты работ [57, 110 и др.], и представляют собой основу для новых исследований в моделировании систем управления с положительной обратной связью.

3. Предложена новая форма декомпозиции задачи о синтезе управления в нелинейной механической системе с приведением движения к заданному закону по каждой координате отдельно, т.е. в виде одномерных невзаимодействующих подсистем. Разработан алгоритм управления общей нелинейной механической системой. Этот алгоритм позволяет составить программный продукт по реализации допустимого программного движения конкретной механической системы на основе декомпозиции.

4. Представлен новый способ получения синтезирующего управления в задачах о стабилизации и управлении механической системы с одной позиционной координатой.

Результаты, указанные в пунктах 3 и 4, дополняют результаты работ, представленных в монографиях [73, 110] и целом ряде предшествующих работ их авторов, и могут быть использованы в моделировании систем управления механическими объектами.

5. Даны решения ряда задач об управлении механическими системами, которые являются составными элементами сложных механических конструкций. Представлено компьютерное моделирование динамики управления этими системами и проведен соответствующий анализ.

Заключение

В диссертационной работе получены новые результаты по разработке методов управления нелинейной механической системы на основе декомпозиции к механическим системам с одной степенью свободы.

1. Акуленко Л.Ф. Управление относительными движениями маятника на вращающемся основании // ПММ. 2000. Т. 14. Вып.2. С.204-216.

2. Акуленко Л.Ф., Болотник H.H., Кумашев С.А., Чернов A.A. Активное гашение колебаний крупногабаритных несущих конструкций посредством перемещения внутренних масс // Изв. РАН. Теор. и сист. упр. 2000. №1. С.135-145.

3. Александров А.Ю. Об устойчивости положений равновесия нелинейных неавтономных механических систем // ПММ. 2007. Т.71. Вып.З. С.361-376.

4. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников А., Тихомиров В.М. Оптимизация динамики управляемых систем. М.: МГУ. 2000. 303с.

5. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ систем управления // Под.ред. А.А.Воронова и И.А.Орурка. М.: Наука. 1984. 412с.

6. Ананьевский И.М. Управление реономпыми механическими системами с неизвестными параметрами // Докл. РАН. 2001. Т.377. №4. С.459-463.

7. Ананьевский И.М. Два подхода к управлению механической системой с неизвестными параметрами // Изв. РАН. Теор. и сист. упр. 2001. №2. С.39-47.

8. Ананьевский И.М., Добрынина И.С., Черпоусько Ф.Л. Метод декомпозиции в задаче управления динамической системой // Изв. РАН. Теор. и сист. упр. 1995. Ш. С.3-14.

9. Ананьевский И.М., Решмин С.А. Метод декомпозиции в задаче об отслеживании траекторий механических систем // Изв. РАН. Теор. и сист. упр. 2002. №5. С.25-32.

10. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости неавтономных систем // ПММ. 1979. Т.49. Вып.5. С.796-805.

11. Андреев A.C. Об асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения неавтономной системы // ПММ. 1984. Т.48. Вып.2. С.225-232.

12. Андреев A.C. Об устойчивости неустановившегося движения // Ученые записки Ульяновского государственного университета. Фундаментальные проблемы математики и механики. 1996. Часть 1. Вып.1. С.15-23.

13. Андреев A.C. Об устойчивости положения равновесия неавтономной механической системы // ПММ. 1996. Т.60. Вып.З. С.388-396.

14. Андреев A.C., Безгласный С.П. О стабилизации управляемых систем с гарантированной оценкой качества управления // ПММ. 1997. Т.61. Вып.1. С.44-51.

15. Андреев A.C., Беликова е.и. Задача о синтезе управления в автономной нелинейной системе // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ. Т.15. Вып.4. 2008. С.652-653.

16. Андреев A.C. Беликова Е.И., Зайнетдинов Р.Б. Метод функций Ляпунова в решении задач управления // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ОПиПМ. Т.15. Вып.4. 2008. С.653-654.

17. Андреев A.C., Бойкова Т.А. Знакопостоянные функции Ляпунова в задачах об устойчивости // Механика твердого тела. 2002. Вып.32 С.109-116.

18. Андреев A.C., Бойкова Т.А. Об устойчивости неустановившегося движения механической системы // ПММ. 2004. Т.68. Вып.4. С.678-686.

19. Андреев A.C., Ким Е.Б. Об оптимальной стабилизации установившегося движения управляемой системы // Механика твердого тела. ИПМН HAH Украины (Донецк). 2004. Т.34. С.119-126.

20. Андреев A.C., Перегудова O.A. К методу сравнения в задачах об асимптотической устойчивости // ПММ. Т.70. В.6. 2006. С.965-976.

21. Андреев A.C., Ризито К. Об устойчивости стационарного движения // ПММ. 2002. Т.66. Вып.З. С.339-350.

22. Андреев A.C., Румянцев В.В. О стабилизации движения нестационарной управляемой системы // Автоматика и телемеханика. 2007. №8. С.18-31.

23. Андреев A.C., Юрьева О.Д. Об устойчивости механической системы с одной степенью свободы // Р1звестия РАЕН. Серия МММИУ. 1997. Т.1. Ж. С.102-114.

24. Анкилов A.B., Вельмисов П.А. Устойчивость- решений интегро-дифференциального уравнения в частных производных // Журнал "Труды Средпеволжского математического общества". Т.7. №1. Саранск. 2005. С.138-145.

25. Афанасьев В.Н., Колмановский В.В., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа. 2003. 615с.

26. Беликова Е.И. Об устойчивости и стабилизации положения равновесия механической системы с одной степенью свободы //IX Международный семинар им. Е.С. Пятницкого "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления". М.: Изд-во ИПУ РАН. 2006. С.38-39.

27. Беликова Е.И. Об устойчивости положения равновесия механической системы при действии неограниченных диссипативных сил // Ученые записки УлГУ. Сер. "Математика и информационные технологии". Ульяновск. 2007. Вып.1. С.40-43.

28. Беликова Е.И. Об устойчивости положения равновесия нестационарной механической системы // X Международная конференция "Устойчивость, управление и динамика твердого тела". Донецк: изд.

29. Института прикладной математики и механики HAH Украины. 2008. С.33-34.

30. Беликова Е.И., Малкина И.А. Устойчивость положения равновесия механической системы с одной степенью свободы // Ученые записки УлГУ. Сер. "Фундаментальные проблемы математики и механики". Ульяновск. 2006. Вып. 1(14). С.23-27.

31. Бессонов Г.А., Коробов В.И., Скляр Г.М. Задача устойчивого синтеза ограниченных управлений для некоторого класса нестационарных систем // ПММ. Т.52. Вып.1. 1988. С.9-15.

32. Бессонов Г.А., Коробова Е.В. Решение задачи позиционного управления для некоторых классов нелинейных систем // Вестник Харьковского университета. 1991. №361: Прикладная математика и механика. С.27-33.

33. Блинов А.П. К оптимальной стабилизации управляемых систем // ПММ. 1982. Т.46. Вып.З. С.366-373.

34. Богданов А.Ю. Синтез асимптотически устойчивых непрерывных нестационарных систем управления // Ученые записки УлГУ. Сер. "Фундаментальные проблемы математики и механики". Ульяновск: УлГУ. 2000. Т.8. Вып.1. С.31-38.

35. Богданов А.Ю. Развитие метода функций Ляпунова-Разумихипа для неавтономных дискретных систем с неограниченных запаздыванием // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Сер. "Естественные науки". 2007. 1. С.28-39.

36. Богданов А.Ю. Дискретные динамические системы: проблемы устойчивости и управления. Ульяновск.: изд-во УлГТУ. 2008. 282с.

37. Галиуллин A.C., Мухаметзянов И.А., Мухарлямов Р.Г., Фурасов В.Д. Постоение систем программного движения. М.: Наука. 1971. 352с.

38. Галиуллин A.C. Обратные задачи динамики. М.: Наука. 1981. 143с.

39. Добрынина И.С. Моделирование динамики манипуляционных роботов с применением метода декомпозиции управления // Известия РАН. Техническая кибернетика. 1995. №4. С.246-256.

40. Емельянов C.B. Системы автоматического управления с переменной структурой. М.: Наука. 1967. 336с.

41. Жевнин A.A., Крищенко А.П. Управляемость нелинейных систем и синтез алгоритмов управления // Докл. АН СССР. 1981. Т.258. №4. С.805-809.

42. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука. 1975. 495с.

43. Каленова В.И., Морозов В.М., Салмина М.А. Управляемость и наблюдаемость в задаче стабилизации механических систем с циклическими координатами // ПММ. 1992. Т.6. Вып.6. С.959-967.

44. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.:Мир. 1971. 400с.

45. Камеиецкий В.А. Параметрическая стабилизация нелинейных систем управления с фазовыми ограничениями // АиТ. 1996. .№10. С.65-71.

46. Карапетян A.B. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдито-риал УРСС. 1998. 160с.

47. Карапетян A.B., Рубановский В.Н. Об устойчивости стационарных движений неконсервативных механических систем // ПММ. 1986. Т.50. Вып.1. С.43-49.

48. Карапетян A.B., Румянцев В.В. Устойчивость консервативных и дис-сипативных систем // Итоги науки и техники. Общая механика. Т.6. М.: ВИНИТИ. 1983. С.3-128.

49. Карапетян A.B., Степанов С.Я. О стационарных движениях и относительных равновесиях механических систем с симметрией // ПММ. 1996. Т.60. Вып.5. С.736-743.

50. Клименко E.JI., Коваленко Н.П., Онищенко С.М., Сусол М.Н. Анализ алгоритмов жесткостного синтеза нелинейных систем стабилизации // Проблемы управления и информатики. 2006. №3. С.42-52.

51. Ковалев A.M. Нелинейные задачи управления и наблюдения в теории динамических систем. Киев: Наукова думка. 1980. 174с.

52. Коробов В.И. Общий подход к решению задачи синтеза ограниченных управлений в задаче управляемости // Матем. сборник. 1979. Т.109(151), №4(8). С.582-606.

53. Коробов В.И. Решение задачи синтеза для управляемых процессов с возмущением с помощью функции управляемости // Дифферепц. уравнения. 1987. Т.23, №2. С.236-244.

54. Коробов В.И., Скляр Г.М. Методы построения позиционных управлений и допустимый принцип максимума // Дифференц. уравнения. 1990. Т.26, №11. С.1914-1924.

55. Коробов В.И. Метод функции управляемости. М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хлотическая динамика". 2007. 576с.

56. Красовский A.A., Буков В.П., Шендрик B.C. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами.М.: Наука. 1977. 272с.

57. Красовский H.H. К теории оптимального регулирования // Автоматика и телемеханика. 1957. Т.18, №11. С.1005-1016.

58. Красовский H.H. Проблемы стабилизации управляемых движений // Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. Доп.4. М.: Наука. 1966. С.475-514

59. Красовский H.H. Теория оптимальных управляемых систем // Сб.: Механика в СССР за 50 лет. Т.1. М.: Наука. 1968. С.179-244.

60. Краснощеков П.С., Петров A.A. Принципы построения моделей. М.: Изд-во МГУ. 1983. 264с.

61. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова. М.: Наука. 1977. 400с.

62. Летов А. М. Аналитическое конструирование регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1960. №4. С.436-441; №5. С.561-568; №6. С.661-665.1961. №4. С.425-435; 1962. №11. С.1405-1413.

63. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 574с.

64. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. Доп. 4. М.: Наука. 1966. С.475-514.

65. Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: ЧеРО. 1999. 569с.

66. Математическое моделирование / Под ред.Дж.Эндрюса, Р.Мак-Лоуна; пер. с англ. М.: Мир. 1979. 278с.

67. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем. М: Физматлит. 2001. 380с.

68. Матюхин В.И. Устойчивость движения мапипуляционных роботов в режиме декомпозиции // Автоматики и телемеханика. 1989. №3. С.ЗЗ-44.

69. Матюхин В.И. Непрерывные универсальные законы управления ма-нипуляционным роботом // Автоматики и телемеханика. 1997. JVH. С.69-82.

70. Матюхин В.И. Стабилизация движений лагранжевых систем за конечное время переходного процесса // Докл. АН РФ. Т.353. №4. 1997. С.484-487.

71. Матюхин В.И. Универсальные законы управления механическими системами М.: МАКС Пресс. 2001. 252с.

72. Матюхин В.И., Пятницкий Е.С. Синтез систем управления многозвенными механизмами на принципе декомпозиции при учете динамики приводов // Машиностроение. 1989. №3. С.42-48.

73. Матюхин В.И., Пятницкий Е.С. Управление движением манипуляци-онных роботов на принципе декомпозиции при учете динамики приводов // Автоматики и телемеханика. 1989. №9. С.67-82.

74. Мухарлямов Р.Г. О построении множества систем дифференциальных уравнений устойчивого движения по интегральному многообразию. Диф. уравнения. 1969. T.V. №4. С.688-699.

75. Мухарлямов Р.Г. Об уравнениях движения механических систем. Диф. уравнения. 1983. Т.19. №12. С.2047-2056.

76. Окунев Ю.М., Парусников Н.А. Структурные и алгоритмические аспекты моделирования задач управления. М.: Изд-во МГУ. 1983.

77. Онищенко С.М. Прямой подход к синтезу нелинейных систем стабилизации: метод прямого жесткого синтеза // Проблемы управления и информатики. 2000. №3. С.17-25.

78. Охоцимский Д.Е., Голубев Ю.Ф. Механика и управление движением автоматического шагающего аппарата. М.: Наука. 1984.

79. Понтрягин Л.С. и др. Математическая теория оптимальных процессов. 4-е изд. М.: Наука. Гл.ред.физ-мат.лит. 1983. 392с.

80. Попов Е.П., Верещагина А.Ф., Зенкевич C.J1. Маиипуляционные роботы: динамика и алгоритмы. М.: Наука. 1970.

81. Пятницкий Е.С. Синтез управления манипуляционными роботами на принципе декомпозиции // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1987. .№3. С.92-99.

82. Пятницкий Е.С. Принцип декомпозиции в управлении механическими системами // Докл. АН РФ. Т.300. №. 1988. С.300-303.

83. Пятницкий Е.С. Синтез иерархических систем управления механическими объектами на принципе декомпозиции // Автоматика и телемеханика. 1989. Ш. С.87-99. №2. С.71-86.

84. Пятницкий Е.С. Критерий полной управляемости классов механических систем с ограниченными управлениями // ПММ. 1996. Т.60. Вып.5 С.707-718.

85. Репин Ю.М., Третьяков В.Е. Решение задачи об аналитическом конструировании регуляторов на электронных моделирующих устройствах // Автоматика и телемеханика. 1963. Т.24. Вып.6.

86. Решмин С.А., Черноусько Ф.Л. Синтез управления в нелинейной динамической системе на основе декомпозиции // ПММ. 1998. Т.62. Вып.1. С.121.-128.

87. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука. 1971. 395с.

88. Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика"2003. 304с.

89. Румянцев В. В. Об оптимальной стабилизации управляемых систем. ПММ. 1970. Т.34. № 3. C.440-45G.

90. Румянцев В.В. Об управлении и стабилизации систем с циклическими координатами // ПММ. 1972. Т.36. Вып.б. С.966-976.

91. Румянцев В.В., Андреев A.C. О стабилизации движения нестационарной управляемой системы. Доклады Академии наук. 2007. Т. 416. № 5. С.627-629.

92. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир. 1980. 300с.

93. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Физматлит. 2002. 316с.

94. Самсонов В.А. О стабилизируемое™ установившихся движений систем с псевдоциклическими координатами // ПММ. 1983. Т.45. Вып.З. С.512-520.

95. Смирнов Е.Я., Павликов В.Ю., Щербаков П.П., Юрков A.B. Управление движением механических систем. Л.: Изд-во ЛГУ. 1985. 316с.

96. Справочник по теории автоматического регулирования // Под.ред.A.A.Кравченко. М.: Наука. 1987.

97. Сурков А.Г. Об асимптотической устойчивости некоторых двумерных линейных систем // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20. № 8. С.1452-1454.

98. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применение в системах с переменной структурой. М.: Наука. 1974.

99. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука. 1981. 368с.

100. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука. 1985. 224с.

101. Формальскии A.M. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука. 1974. 368с.

102. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1970. 720с.

103. Хатвани Л. О действии демпфирования на свойства устойчивости равновесий неавтономных систем // ПММ. 2001. Т.65. Вып.4. С.725-732.

104. Черноусько Ф.Л. Декомпозиция и субоптимальное управление в динамических системах // ПММ. 1990. Т.54. Вып.6. С.883-893.

105. Черноусько Ф.Л. Декомпозиция и синтез управления в динамических системах // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1990. №6. С.64-82.

106. Черноусько Ф.Л. Декомпозиция и синтез управления в нелинейных динамических системах // Тр. Мат. ин-та РАН. 1995. Т.211. С.457-472.

107. Черноусько Ф.Л. Управление системой с одной степенью свободы при сложных ограничениях // ПММ. 1999. Т.63. Вып.5. С.707-715.

108. Черноусько Ф.Л., Ананьевский И.М., Решмин С.А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2006. 328с.

109. Черноусько Ф.Л., Болотник Н.Н., Градецкий В.Г. Манипуляционные роботы: динамика, управление, оптимизация. М.: Наука. 1989.

110. Чуличков А.И. Математические модели нелинейной динамики. М.: Физматлит. 2003. 244с.

111. Artstein Z. Topological dynamics of ordinary differential equations // J. Differ. Equat. 1977. V.23. №2. P.216-223.

112. Artstein Z.V. Uniform asymptotic stability via the limiting equations // J. Differ. Equat. 1978. V.27. №2. P. 172-189.

113. Artstein Z. Stabilization with relaxed controls // Nonlinear Analysis, Theory, Methods, Applications. 1983. Vol.7. №11. P.1163-1173.

114. Artstein Z.V., Infante E.F. On the asymptotic stability of oscillators with unbounded damping // Quart, of Appl. Math. 1975. V.34. №7. P.195-199.

115. Andreev A., Yurjeva O. On stability of a mechanical system with one degree of freedom // Facta Universitatis, Series Mechanics, Automatic, Control and Robotics. Vol. 2. №7/2. 1997. Special issue. P.409-420.

116. Ballieu R.J. Peiffer K. Attractivity of the Origin for the Equation x + k{t,x,x)\\x\\ax + g(x) = 0 // J. of Mat. Anal. And Appl. 1978. V.65. P.321-332.

117. Besglasnyi S. On stabilization of program motions of controlled mechanical systems // Proc. of the 22 Yugoslav Congress of Theoremical and Applied Mechanics. Vrnjacka Bunja. 1997. P.107-112.

118. Corne J.L. On the asymptotic stability // Ann. Soc. Sci. Bruxelles Ser. I 87. 1973. P.217-235.

119. Hatvani L. Nonlinear oscillation with large damping // Dynamic Systems and Applications. 1992. V.l. P.257-270.

120. Hatvani L. On the asymptotic stability of the equilibrium of the damped oscillator // Ordinary and delay differential equations. N.-Y.: Longman Scien. Techn. 1992. P.68-72

121. Hatvani L., Krisztin T., Totik V. A necessary and sufficient condition for the asymptotic stability of the damped oscillator //J. Different. Equat. 1995. V.119. №. P.209-223.

122. Hatvani L. Integral conditions on the asymptotic stability for the damped linear oscillator with small damping // Proc. Amer. Math. Soc. 1996. V.124. №2. P.415-422.

123. Ianiro N., Maffei C. On the asymptotic behavior of the solutions of the nonlinear equation // Nonlinear differential equations: invariance, stability and bifurcations.: N.-Y.: Acad. Press. 1982. P.175-182.

124. Iggidr A., Sallet G. On the stability of nonautonomous systems // Automatica 39. 2003. P.167-171.

125. Isidori A. Nonlinear Control Systems. 3rd ed. New York: Springer-Verlag. 1995.

126. Isidori A. Nonlinear Control Systems. Vol.11. New York: Springer-Verlag. 1999.

127. Jakubczyk B., Zuyev A. Stabilizability conditions in terms of critical Hamiltonians and symbols // Systems and Control Letters. 2005. Vol.54. P.597-606.

128. Karsai J. On the global asymptotic stability of the zero solution of the equation // Stud. Sci. Math. Hung. 1984. V.19. No2-4. P.385-393.

129. Karsai J. On the asymptotic stability of the zero solution of certain nonlinear second order differential equation // Differ Equat.: Qualit.

130. Theory. 2-nd Colloq., Szeged, Aug. 27-31. 1984. L., N.-Y.: Acad. Press. 1987. V.l. P.495-503.

131. La Salle J.P., Lefschetz S. Stability by Liapunov's Direct Method With Applications. N.Y.: Acad.Press, 1961. (Русский перевод: Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М.: Мир. 1964.)

132. Levin J., Nohel J.A. Global asymptotic stability of nonlinear systems of differential equations and applications to reactor dynamics // Arch. Ration, mech. Anal.l. 1960. Y.5. 3. P.194-211.

133. Nijmeijer H., van der Schaft A.J. Nonlinear Dynamic Control Systems. New York: Springer-Verlag. 1990.

134. P. Pucci, J. Serrin Precise damping conditions for global asymptotic stability for nonlinear second order systems // II, J, Differential Equations V.113. 1994. P.505-534.

135. Risito C. Metodi per lo studio della stabilita' di sistemi con integrali primi noti // Annali di Mat. Рига ed Appl. 1976. V.107. P.49-94.

136. Salvadori L. Famiglie ad un parametro di funzioni di Liapunov nello studio della stabilita // Bologda: Inst. Naz. Di Alto Mat., Symp. Mat. 1971. V.4. P.175-182.

137. Sell G.R. Nonautonomous differential equations and topological dynamics. 1, 2 // Trans. Amer. Math. Soc., 1967. V.22. P.254-269.

138. Sheldon S.L., Chang Т.К., Peng C. Adaptive Guaranteed Cost Control of Systeme with Unartnin Parameters // IEEE Transactions on Automatic Control. August 1972. V.AC-17. №4. P.474-483.

139. Smith R.A. Asymptotic stability of x" -\-a{t)x' ~\-x = 0 // Quart. J. Math. 1961. V.12. №46. P.123-126.

140. Utkin V.l. Sliding Modes in Optimization and Control. New York: Springer-Verlag. 1992.