автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение декомпозиции для численного моделирования механических систем с подвижными контактами

На правах рукописи

Кувшинов Дмитрий Александрович

ПРИМЕНЕНИЕ ДЕКОМПОЗИЦИИ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОДВИЖНЫМИ КОНТАКТАМИ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

6 ¿¡ш

Петрозаводск - 2013

005060848

Работа выполнена на кафедре механики ФГБОУ ВПО «Петрозаводский государственный университет»

доктор технических наук, профессор Колесников Геннадий Николаевич

Заика Юрий Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией моделирования природно-технических систем ФГБУН Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН

Иванов Дмитрий Валерьевич, кандидат физико-математических наук, заместитель начальника отдела математического моделирования образовательно-научного института наноструктур и биосистем ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского»

Ведущая ФГБУН Институт информатики и математического мо-

организация: делирования технологических процессов Кольского научного центра РАН

Защита состоится 26 июня 2013 г. в 1600 часов на заседании диссертационного совета Д 212.190.03 на базе ФГБОУ ВПО «Петрозаводский государственный университет» по адресу: 185910, г. Петрозаводск, пр. Ленина, 33.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Петрозаводского государственного университета.

Автореферат разослан «24» мая 2013 г.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ученый секретарь диссертационного совета

Р. В. Воронов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена разработке, обоснованию и компьютерной реализации алгоритма численного моделирования механических систем с подвижными контактами подструктур с применением декомпозиции. Рассмотрены результаты применения алгоритма в разработанном комплексе проблемно-ориентированных программ для моделирования взаимодействия контактной сети и токоприемников электроподвижного железнодорожного состава при высокоскоростном движении.

Актуальность темы исследования. В настоящее время одним из направлений развития железнодорожного транспорта является увеличение скорости движения и массы электроподвижных составов (ЭПС), что в свою очередь требует увеличения электрической мощности, передаваемой от токоведущих проводов контактной сети к двигателям ЭПС. При этом возрастает не только электрическая нагрузка, но и интенсивность теплового и механического воздействия на токоведущие элементы.

Особенно сложными являются условия взаимодействия полоза токоприемника и контактного провода. Увеличение скорости движения приводит к возрастанию амплитуды колебаний контактных проводов и токоприемников, что может снижать качество токосъема (процесса передачи электрической энергии от контактной сети токоприемникам ЭПС) по причинам увеличения интенсивности динамических нагрузок, появления зазоров между полозом токоприемника и контактным проводом, электроэрозионного износа. В этой связи сохраняют свою актуальность вопросы совершенствования контактных сетей и токоприемников.

Степень разработанности темы исследования. Как показывает анализ публикаций, к настоящему времени накоплен большой опыт в области исследований надежности токосъема'. Однако, увеличение скорости движения, изменяя условия функционирования системы контактная сеть -токоприемник, приводит к необходимости расширения области прикладных исследований и к появлению новых задач по обеспечению надежности данной системы2. При этом к числу приоритетных относятся задачи, связанные с исключением отрыва полоза токоприемника от контактного провода и с ограничением сил контактного взаимодействия при высокоскоростном движении.

' Вологин В.Л. Взаимодействие токоприемников и контактной сети / В А. Вологин -М ■ Интекст 2006. - 256 с. : ил., табл. — (Труды Всероссийского научно-исследовательского института железнодорожного транспорта (ВНИИЖТ)).

2 Вологин В. А. Динамические параметры системы контактная сеть - токоприемник / В. А. Вологин, А. С. Герасимов // Вестник научно-исследовательского института железнодорожного транспорта (ВНИИЖТ). -2008. - № 2. - С. 19-23.

Силы контактного взаимодействия, как правило, носят односторонний характер, поэтому их принято называть односторонними. При моделировании односторонних связей условия, налагаемые на перемещения и усилия в зоне контакта, представляются в виде неравенств. Особенностью такого рода задач является то, что при изменении состояния контакта резко меняются жесткостные свойства системы, т. е. эти задачи являются конструктивно нелинейными.

В данном случае аналитическое решение задачи о контактном взаимодействии чрезвычайно затруднено и требует ряда существенных допущений. В связи с этим широко применяется математическое моделирование с использованием численных методов.

При численном моделировании упругих механических систем с односторонними связями могут применяться прямые итерационные методы, в частности те или иные разновидности алгоритмов переключения состояния связей. Вследствие своей простоты методы переключения связей получили широкое распространение, хотя они не всегда гарантируют сходимость и могут приводить к зацикливанию процесса расчета. Кроме того, необходимость многократного перебора состояния связей и, соответственно, многократного изменения структуры матрицы и решения системы уравнений требует больших затрат машинного времени.

Применение методов декомпозиции позволяет сократить затраты машинного времени на решение систем уравнений, что в свою очередь позволяет расширить класс объектов, моделирование которых может быть выполнено с применением существующей компьютерной техники. Появление многопроцессорных вычислительных систем и мультиядерных процессоров стимулировало эволюцию методов декомпозиции. К актуальным проблемам данного направления относится проблема совершенствования алгоритмов декомпозиции в задачах численного моделирования с применением метода конечных элементов3,4. Работы в этом быстро развивающемся направлении показывают как новые возможности численного моделирования, так и открытые проблемы, что отражено в материалах ежегодно проводимых конференций по методам декомпозиции5. Одну из групп в этом направлении образуют методы подструктур, а ряд алгоритмов базируется на моделях их механического взаимодействия. Большое число работ по данной теме показывает как широкие возможности методов декомпозиции, так и актуальность проблем их совершенствования.

3 Копысов С.П., Новиков Л.К. Метод декомпозиции для параллельного адаптивного конечно-элементного алгоритма // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. Серия 1. - 2010. № 3. С. 141-154.

4 Фиалко С.Ю. Прямые методы решения систем линейных уравнений в современных МКЭ - комплексах // М.: Издательство СКАДСОФТ, Издательство АСВ. - 2009. 160 с.

5 Official page of Domain Decomposition Methods: http://www.ddm.org/

Цель работы: разработка и реализация алгоритма численного моделирования механических систем с подвижными контактами подсистем и его применение в комплексе проблемно-ориентированных программ с применением декомпозиции.

Задачи, решение которых необходимо для достижения цели:

1. Выполнить математическое описание физической модели механической системы с подвижными одно- и двусторонними контактами подсистем.

2. Разработать алгоритм численного моделирования динамического взаимодействия подсистем модели (п.1) с применением декомпозиции. Оценить эффективность алгоритма по критерию времени счета.

3. Выполнить компьютерную реализацию алгоритма (п. 2) в комплексе проблемно-ориентированных программ.

4. Установить адекватность полученных результатов (п. 1-3) с применением известных данных натурного эксперимента по определению наибольших по величине сил взаимодействия контактной сети и полоза токоприемника электроподвижного железнодорожного состава при высокоскоростном движении.

Объект исследования: математическая модель и алгоритмы декомпозиции в классе задач численного моделирования динамики механических систем с неподвижными и подвижными контактами подсистем и ограничениями параметров состояния в виде равенств и неравенств.

Предмет исследования: вычислительная эффективность алгоритма декомпозиции конечно-элементной модели и адекватность полученных результатов в проблемно-ориентированной программе на основе известных данных натурного эксперимента.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработан алгоритм декомпозиции и числено реализации в комплексе проблемно-ориентированных программ моделирования механических систем с неподвижными и подвижными, одно- и двусторонними контактами подсистем при динамических воздействиях. Применение алгоритма позволяет уменьшить продолжительность счета.

2. С применением полученных результатов разработана методика численного моделирования механического взаимодействия контактной сети и токоприемников электроподвижного железнодорожного состава при высокоскоростном движении.

Теоретическая и практическая значимость работы: 1. Разработанный алгоритм декомпозиции вносит вклад в развитие численного моделирования класса механических систем с подвижными контактами подсистем. Применение данного алгоритма в комплексе проблемно-ориентированных программ позволяет уменьшить время счета.

2. Применение разработанной методики декомпозиции в проблемно-ориентированных программах позволяет расширить класс объектов, численное моделирование которых может быть выполнено с применением существующей компьютерной техники.

3. На примерах показано, что разработанная с применением предложенного алгоритма декомпозиции методика численного моделирования позволяет уточнить закономерности механического взаимодействия контактной сети и токоприемников электроподвижного железнодорожного состава при высокоскоростном движении.

4. Разработанный алгоритм декомпозиции и его компьютерная реализация могут быть использованы в целях уменьшения времени счета при численном решении контактных задач и задач моделирования механических систем с односторонними ограничениями перемещений подсистем.

Работа выполнена в рамках государственного задания Минобрнауки РФ по госбюджетной теме 126-12, проект 7.6185.2011 (2012 г., рук. Г.Н. Колесников) и гранта РФФИ № 08-08-00979 (2008-2010 г., рук. В.Н. Бакулин и Г.Н. Колесников).

Методология и методы исследования. Исследование выполнено на методологической основе математического моделирования с применением численных методов (метод конечных разностей, метод конечных элементов, итерационные и приближенные шаговые методы, методы декомпозиции).

Положения, выносимые на защиту:

1.Методика решения задачи численного моделирования механической системы с неподвижными и подвижными контактами подсистем.

2. Сформулированные в виде правил алгоритмы перемножения матриц в разработанной модели, применение которых позволяет исключить арифметические операции с заведомо нулевыми элементами матриц.

3. Разработанный алгоритм численного моделирования механической системы с неподвижными и подвижными контактами подсистем с применением декомпозиции.

4. Результаты практического применения разработанного комплекса проблемно-ориентированных программ для численного моделирования механического взаимодействия контактной сети и токоприемников электроподвижного железнодорожного состава при высокоскоростном движении.

Степень достоверности результатов исследования подтверждена их непротиворечивостью и согласованностью с известными по литературе экспериментальными данными, физической адекватностью результатов компьютерного моделирования, а также при апробации предлагаемых методик и рекомендаций.

Апробация работы. Материалы диссертационного исследования были представлены на следующих конференциях:

1. XIII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (летняя сессия). Петрозаводск, 2-9 июня 2012 г.

2. XVI Международная конф. по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС-2009), Алушта, 25 -31 мая 2009 г.

3. Вторая международная конференция «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела». Казань, 8-11 декабря 2009 г. http://www.ksu.ru/conf/pnmdtt09/

4. XXII и XXIII Международные конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов». СПб., 2007 и 2009.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. В диссертации предложен эффективный по времени счета, как показали результаты тестирования, алгоритм декомпозиции конечно-элементных моделей, который реализован в комплексе проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента. Тем самым вносится вклад в совершенствование инструментов комплексного исследования научных и технических проблем прикладных исследований с применением современных информационных технологий и математического моделирования. Проверка адекватности разработанной модели выполнена на основе вычислительных экспериментов и известных по литературе данных натурного эксперимента. Таким образом, выполненное исследование соответствует формуле специальности 05.13.18 (математическое моделирование, численные методы и комплексы программ) и пунктам 3, 4, 5 в паспорте данной специальности.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, из них три статьи в журналах, указанных в списке ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка использованной литературы (102 наименования), имеет общий объем 105 страниц, содержит 32 рисунка, 2 таблицы, 2 приложения.

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель и задачи, определены объект, предмет и методы исследования, перечислены основные результаты, научная новизна, практическая значимость работы, представлена структура диссертации.

Первая глава содержит обзор литературы по теме диссертации. По результатам анализа публикаций, в том числе представленных в виде Интернет-ресурсов, конкретизированы подходы к решению задач, сформулированных во введении. Отмечено, что идея декомпозиции конечно-

элементных моделей развивалась в рамках методов подструктур и под-конструкций, макроэлементов, суперэлементов, фрагментов, модуль-элементов, редуцированных элементов, методов Шварца и других методов6. В работе указанных авторов содержится методологически важная для диссертационного исследования рекомендация о том, что при решении задачи с помощью метода декомпозиции необходимо рассматривать совместно прикладную задачу, математическую модель и вычислительные алгоритмы.

Вторая глава содержит обоснование предлагаемого алгоритма декомпозиции конечно-элементной модели механической системы при динамическом воздействии. Численное решение строится шаговым методом (по времени). Используется подход к декомпозиции, основанный на анализе и математическом моделировании механического взаимодействия подструктур. Предполагается, что конечно-элементная модель каждой подструктуры построена. Основное внимание фокусируется на геометрических и физических аспектах контактного взаимодействия подструктур в узлах на интерфейсных границах подструктур. Задача нахождения сил контактного взаимодействия, зазоров и перемещений узлов конечно-элементной модели сведена к поиску решения линейной задачи дополнительности на каждом шаге по времени.

Пусть конечно-элементная модель разбита на р подструктур. Запишем в векторно-матричной форме уравнения движения каждой подструктуры к, к=1,...,р:

мти(*> + к(4)и(4> + н(4)и(4) = + С<ЦГ< . (1)

Здесь , и<4) и - векторы (одномерные массивы), соответственно, перемещений, скоростей и ускорений узлов; и'*', К(4) и Мт- матрицы, соответственно, жесткости, демпфирования и масс, Р<4)- вектор внешних воздействий (внешних сил). Соотношение (1), которое можно интерпретировать как систему уравнений равновесия, отличается от общепринятой формулировки наличием слагаемого где С(к> - матрица коэффици-

ентов в уравнениях равновесия. Элементами вектора N являются силы, появляющиеся при контактном взаимодействии подсистем. N и и(Лг'заранее не известны, их определение - цель решения задачи.

Перемещения и, текущие и начальные значения зазоров (Б и Г)0 соответственно) связаны между собой геометрическим соотношением вида

'Копысов С.п., Красноперов И.В., Рынков В.Н. Объектно-ориентированный метод декомпозиции области // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. 2003.Т. 4. №2. С. 1-18.

В = Сти + Б0

Не указывая верхние индексы, запишем дискретный аналог уравнения (1), используя явную схему с односторонними конечными разностями:

и =

и, - и,

и =

(3)

г г

С учетом (2) при Б0 = 0 получим:

Аи,. = Р,.+Ш; Д =С'и,, (4)

где: А = Мг Чкг' + Я, Р, = Р, + г~2Ми,._2 +(2Мг"2 +Кт_1)им, г - шаг по времени, / - номер шага.

В задачах рассматриваемого класса допускается контакт любого узла с т другими, т > 1. Контакту любого узла конечно-элементной сетки одной подсистемы с любым узлом другой подструктуры соответствует один элемент вектора Б, и, соответственно, одна строка матрицы СТ, в которой по физическому смыслу ненулевыми может быть не более двух элементов, причем они относятся к разным подструктурам. Использование этого обстоятельства позволяет уменьшить объем вычислений.

Для подструктуры к на шаге / получим (индекс не указан): Д_ с(4)1Ч = Р'** • б(<:) = с^^и"1

Систему этих соотношений для всех подструктур к = \,...,р представим в виде блочного векторно-матричного равенства:

А(,) О

О

с(1)Г

о

а(2) о

с(2,г

о о

А(р) С(")Г

-С(1) -С(2)

-С<р)

о

\ Ги(1)' Гр(1) Л

и(2) р(2)

и(р) р(р)

)

Запишем:

А<*>и(*)=(Р(*) + С(*^) и(*)=А-вд(Р(*) + С(*)К).

(5)

(6) (7)

Используя (7) и учитывая, что Сги = =1Ст,и<ч = О (5), получим:

Если односторонних связей нет, то 0 = 0. Тогда N найдем, решив систему линейных алгебраических уравнений:

СГ(*> А^'С^Г* + ^ Спк) А~Чк)Р^ = 0. (8)

Подставив найденное значение N в (6), определим U(t), к = \,...,п. Таким образом, задача определения векторов N и U при D = 0 решена.

Если связи односторонние, то D^O и определение векторов N и U сводится к решению системы равенств и неравенств, в которой неизвестными являются N и D :

D=ZLCnt)A-'(t)C(*)N+X;=1Cr(t)A-1(t)P(i), (9)

N>0, D>0, Nr D = 0.

Если обозначить:

w=D(t), H = Xt,Cr(t)A-1(t)C(t), z = N, q=S=1Cr(i)A-,(*)P(*), тогда выражение (9) приводится к виду:

w = H z + q , (10)

vv>0 , q>0, wrq>0. (11)

Выражения (10), (11) - линейная задача дополнительности, которая является важным частным случаем вариационных неравенств7.

Решив ^адачу (10), (11), найдем силы контактного взаимодействия N и зазоры D между узлами на смежных границах подструктур. Затем из (6) определим Uw, к = 1,...,р.

Применение декомпозиции (5) позволяет осуществлять формирование матриц и решение соответствующих уравнений независимо для каждой подструктуры. Данное обстоятельство может быть использовано для распараллеливания вычислений с целью уменьшения продолжительности времени счета.

Разработанный в диссертационной работе алгоритм был численно реализован в среде программирования Microsoft® Visual С++ 2008. Для возможности распараллеливания вычислений использовались библиотеки открытого стандарта ОрепМР.

Тестирование алгоритма проводилось на компьютере с 4-х ядерным процессором Intel® Core™2 Quad CPU Q9400@2.66 GHz, оперативной памятью DDR2 667 MHz 4 Gb, операционной системой Windows ХР 32 bit.

Конечно-элементная модель разбивалась на равные подконструк-ции. По аналогии с известным подходом к решению волновых задач8 были определены:

7Голиков А.И., Евтушенко Ю. Г. Новый метод решения систем линейных равенств и неравенств// Доклады Академии наук. 2001. Т. 381. № 4. С. 444.

8 Зылев В. Б. Вычислительные методы в нелинейной механике конструкций // М.: НИЦ «Инженер». 1999. 145 с.

1. Скорости продольных и поперечных волн в контактной подвеске при различных значениях сил натяжения контактного провода и несущего троса;

2. Частота собственных колебаний контактного провода;

3. Затраты машинного времени на решение модельной задачи, указанной в пункте 2.

В качестве исходных параметров использовались следующие данные: силы начального натяжения несущего троса Т= 14,7 кН и контактного провода Л"=9,8 кН, модуль упругости £-1,1 ■ 10й Н/м2, плотность ¿>=8960 кг/м3. Результаты численного моделирования представлены на рисунках 1-4 и в таблице 1.

1. Скорость продольной и поперечной волны.

По результатам расчета (рис.1, 2) время распространения поперечной волны в контактном проводе на участке длинной 5 м составляет 0,028 с, продольной волны 0,0014 с. Соответственно, скорость продольной волны 3570 м/с, скорость поперечной волны 179 м/с.

О 0,01 0,02 0.03

Рис. 1. Распространение попере1 участке длиной 5 м

0,04 0.05 0,06 0,07 0.08 0,09

юи волны в токоведущем проводе на при Т= 14,7 кН, ,К=9,8 кН

Рис. 2. Распространение продольной волны па том же участке (рисунок 1) при Т=14,7 кН, К=9,8 кН

Практический интерес представляет исследование влияния сил начального натяжения Г и А" на динамические характеристики контактной подвески9. Разработанная в диссертации методика позволяет ответить на ряд появляющихся в этой связи важных для практики вопросов.

По результатам моделирования было получено, что при четырехкратном увеличении сил начального натяжения Т и К скорость продольной вольны возрастает незначительно (с 3570 до 3590 м/с), скорость поперечной волны возрастает с 179 до 250 м/с.

Чтобы оценить с физической точки зрения адекватность результатов моделирования, сравним полученные результаты с известными данными. Воспользуемся формулой для скорости распространения продольной волны в материале:

V, =,/— (12)

\Р

Полученное по этой формуле значение У]=3500 м/с мало отличается от найденных по предлагаемой методике (3570 и 3590 м/с).

Для скорости распространения поперечной волны в контактной подвеске известна формула10

(.3)

тт+тк

где тТ, тк - масса единицы длины, соответственно, несущего троса и контактного провода.

По формуле (13) при 7М4,7 кН и К= 9,8 кН получаем у2=129 м/с. Четырехкратное увеличение сил натяжения Т и К теоретически приводит к возрастанию скорости у2 в два раза. Численное моделирование по предлагаемой методике дает увеличение скорости в 1,4 раза. Расхождение результатов объясняется тем, что «аналитически вычисленные скорости распространения волн не являются абсолютно точными, так как провод имеет искривление, все перемещения конечны, продольные и поперечные волны взаимодействуют между собой. Все эти факторы не учитываются в аналитическом решении. В численном решении эти особенности полностью отражены»11.

2. Частота собственных колебаний контактной подвески.

На рисунке 3 представлены результаты расчета вертикальных перемещений контактного провода в середине пролета.

Вологин В. А., Герасимов А. С. Динамические параметры системы контактная сеть - токоприемник // Вестник ВНИИЖТ. 2008. № 2. С. 19-23.

10 Вологин В. А. Взаимодействие токоприемников и контактной сети // М.: Интекст. 2006. 256 с.

Зылев В.Б. Вычислительные методы в нелинейной механике конструкций // М.: НИЦ «Инженер». 1999. С. 91

дУ,,м

Рис. 3. Вертикальные перемещения контактного провода в середине пролета при собственных колебаниях контактной подвески

Было получено, что частота собственных колебаний контактного провода составляет 0,94 с"'. Полученный результат совпадает с известными экспериментальными данными, согласно которым, частота собственных колебаний для рассматриваемого типа контактных подвесок варьируется в диапазоне от 0,83 до 0,98 с"1. 3. Затраты машинного времени

Для проверки эффективности алгоритма решалась задача численного моделирования собственных колебаний участка контактной подвески -длина участка 1200 м, 4452 конечных элемента, 13356 уравнений, число шагов по времени 5000. В зависимости от числа разбиений конечно-элементной модели на подконструкции и количества ядер процессора (параллельных потоков), задействованных для вычислений, определялись затраты машинного времени I (таблица I) и ускорение счета Бр=(х/1р

(рис.4). При распараллеливании вычислений, количество задействованных потоков п равнялось числу подконструкций р.

Таблица 1. Затраты машинного времени I (в секундах) на решение модельной

N Р

1 2 3 4

1 485 587 636 664 1

2 - 326 - - 1.49

3 - - 236 - 2.06

4 - - - 184 2.63

Эр

Рис. 4. Ускорение счета

При реализации разработанного алгоритма без распараллеливания вычислений затраты машинного времени возрастают с увеличением числа подконструкции. Это связано с необходимостью решения уравнений (8) для определения сил контактного взаимодействия N на смежных границах, количество которых увеличивается пропорционально числу механических подсистем.

Вместе с тем, разработанный алгоритм может быть достаточно легко реализован с использованием нескольких параллельных потоков, что в свою очередь позволяет компенсировать затраты машинного времени на расчет сил контактного взаимодействия, и уменьшить общее время счета при решении задачи.

Третья глава содержит результаты применения разработанного алгоритма в прикладной задаче моделирования механического взаимодействия контактной сети и токоприемников электровоза при высокоскоростном движении. Отличительная особенность алгоритма расчета заключается в том, что стандартные зависимости метода конечных элементов дополнены соотношениями для сил контактного взаимодействия и величин зазоров (1)-(9), а задача на каждом шаге по времени сведена к поиску решения линейной задачи дополнительности.

При высокоскоростном движении необходимо моделировать взаимодействие токоприемников электроподвижного состава (ЭПС) с участками контактной сети длиной сотни и тысячи метров, что приводит к большому количеству неизвестных в конечно-элементной модели. В данном классе задач логически оправданным является применение декомпозиции.

В частности, исследовалось изменение контактного нажатия полоза токоприемника на контактный провод и динамика контактной подвески в зависимости от скорости ЭПС с учетом возможного появления зазоров. На рисунках 5 и 6 представлены результаты расчетов вертикальных переме-

щений полоза токоприемника и силы контактного нажатия при скорости движения У=120 км/ч. Амплитуда вертикальных колебаний полоза токоприемника составляет примерно 4 см (рис. 5). и,м

Рис. 5. Вертикальные перемещения полоза токоприемника при взаимодействии с контактным проводом, К=120 км/ч

N,4

опс >ра опс )ра опс ра оп ора

1

/

О 1,8 3.6 5.4 7.2 9

Рис. 6. Изменение силы контактного нажатия Л'от времени при скорости У= 120 км/ч

Сила контактного взаимодействия N изменяется в диапазоне от 72 Н до 170 Н. Имеет место быстро протекающий процесс изменения силы N при прохождении токоприемником узлов крепления струн к контактному проводу. Максимальное значение N наблюдается при прохождении токоприемника вблизи опор, минимальное - в середине пролета. Полученные результаты согласуются с известными по литературе данными.

Для проверки адекватности разработанной методики были использованы известные по литературе1* экспериментальные данные для скорости 280 км/час. Результаты вычислений приведены на рисунках 7, 8.

12 Исследование контактной подвески по силам взаимодействия токоприемника и контактного провода // Железные дороги мира. 2007. №11. С. 45 - 52

N,H

350 300 250 200 150 100 50 0 .

0 0,77 1,54 2.31 3,08 3.85

Рис. 7. Контактное нажатие N по расчетным данным, V=280 км/ч N,H

350 ЗОО 250 200 150 100 50 0

0 0.6 12 1.8 2.4 3

Рис. 8. Контактное нажатие N по расчетным данным, К-360 км/ч С применением разработанной во второй главе диссертации методики выполнено численное моделирование влияния скорости электровоза и начального натяжении контактного провода на интервал изменения нажатия полоза токоприемника. За основу модели взята плоская схема замещения пространственной ромбовидной автокомпенсированной контактной сети (ПРАКС)13. Исследовалось изменение силы контактного взаимодействия токоведущего провода и полоза токоприемника N в зависимости от скорости движения электровоза, величины начального нажатия токоприемника N0 и силы натяжения контактного провода. Некоторые результаты вычислений по предлагаемой методике приведены на рисунках 9 и 10. Установлено, что с увеличением скорости движения ЭПС возрастает интервал изменения нажатия полоза токоприемника на контактный провод. При этом, если данная сила достигает значений, равных нулю, становится возможным появление зазора, что снижает качество токосъема.

Результаты численного моделирования позволяют обосновать практическую рекомендацию по уменьшению интервала возможного измене-

1ЭЕрошенко C.B., Демченко А.Т., Туркин В.В. Метод прямого математического моделирования динамики контактных подвесок И Наука и транспорт. Спец вып. журнала «Транспорт Российской федерации». СПб: Российская академия транспорта. 2007. С. 32 - 33.

ння силы нажатия. Для этого, как показывают расчеты (рис. 10), необходимо увеличить силу предварительного натяжения контактного провода. На уровне качественных оценок такая рекомендация известна, однако применение численного моделирования позволяет конкретизировать эти рекомендации путем получения количественных оценок, практическая ценность которых очевидна.

N.H

250

V.KM/Ч

180 250 320

Рис. 9. Интервал изменения N в зависимости от скорости движения электровоза V

К.кН

9,8 19,6 29,4

Рис. 10. Интервал изменения N в зависимости от силы натяжения К, V= 180 км/ч

Таким образом, разработанная методика численного моделирования позволяет прогнозировать состояние системы «контактная сеть - токоприемник» с заданными конструктивными параметрами при различных значениях скорости движения электроподвижного состава. Тем самым, в дополнение к возможностям известных методик14'15'16'17'18, расширяется набор инструментов для численного моделирования систем токосъема при высокоскоростном движении.

Заключение. В качестве заключения в диссертации сформулированы итоги выполненного исследования, рекомендации по использованию полученных результатов и перспективы дальнейшей разработки темы.

"Ефимов A.B., Галкнн Л.Г. Развитие теории проектирования контактной сети на основе учета продолжительности ее жизненного цикла // Транспорт Урала: науч.-техн. журнал. Екатеринбург: УрГУПС, 2004, № 1. С. 53 - 59.

15 Ерошеико C.B., Демченко А.Т., Турки» В.В. Метод прямого математического моделирования динамики контактных подвесок // Наука и транспорт. Спец вып. журнала «Транспорт Российской федерации». СПб: Российская академия транспорта, 2007, с. 32 - 33.

' Комарова О.Л. Особенности взаимодействия токоприемника с контактной подвеской при высоких скоростях движения электропоездов : Дис. ... канд. техн. наук : Санкт-Петербург, 2004 147 с. h1tp://diss. rsl.ru

'Шумейко Г. С. Методики расчета предварительно напряженных систем двойных контактных подвесок на действие статических и ветровых нагрузок : Дис.... канд. техн. наук: М.: 2003. 248 с. http://diss.rsl,ru

" Ту р к и и В.В. Исследование взаимодействия пространственных автокомпенсированных контактных подвесок с токоприемниками : Дис.... канд. техн. наук: М.: РГБ, 2005. 160 с. http://diss.rsl.ru

Итоги:

1. Разработан алгоритм декомпозиции и выполнена его реализация в комплексе проблемно-ориентированных программ численного моделирования механических систем с подвижными одно- и двусторонними контактами подсистем при динамических воздействиях (свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012619720 от 26.10.2012). Декомпозиция выполнена на уровне анализа физической модели, математического описания этой модели и ее компьютерной реализации. Расчет контактной и бесконтактной фаз движения подструктур выполняется по единой методике за счет перехода на каждом шаге по времени к линейной задаче дополнительности (9)-(11).

2. С применением декомпозиции построена математическая модель, обоснованы в виде правил алгоритмы исключения арифметических операций с заведомо нулевыми элементами матриц. Эти правила в комплексе с предложенным вариантом декомпозиции и распараллеливанием позволяют повысить эффективность алгоритма. При решении модельной задачи на 4-х ядерном затраты машинного времени уменьшены в 2,6 раза.

3. Обоснована адекватность результатов расчета по разработанному алгоритму при тестировании на модельных задачах. Определены скорости продольных и поперечных волн, частота собственных колебаний контактной подвески. Результаты расчета согласуются с известными по литературе экспериментальными данными.

4. Компьютерная реализация разработанной методики численного моделирования использована для анализа динамического взаимодействия контактной сети и токоприемников электроподвижного железнодорожного состава при высокоскоростном движении. Методика адекватно отражает физическое содержание рассмотренных задач и может быть использована в прикладных исследованиях в дополнение к уже известным методам. Рекомендации:

1. Разработанный с применением декомпозиции алгоритм и его компьютерная реализация могут быть использованы в целях уменьшения времени счета при численном решении контактных задач и задач моделирования механических систем с односторонними ограничениями перемещений подсистем в контактной и бесконтактной фазах движения.

2. Методика расчета, разработанная с применением предлагаемого алгоритма декомпозиции и реализованная в комплексе программ, может быть использована для изучения закономерностей механического взаимодействия контактной сети и токоприемников электроподвижного железнодорожного состава при высокоскоростном движении.

Перспективы дальнейшей разработки темы:

Перспективы дальнейшей разработки темы ориентированы на применение многоуровневой декомпозиции для численного моделирования с учетом архитектуры современных вычислительных систем. При решении задач рассмотренного класса перспективна разработка алгоритмов численного моделирования с применением декомпозиции и параллельных вычислений, обеспечивающих оптимизацию по критерию балансировки вычислительной нагрузки на узлы вычислительной системы.

Список работ автора по теме диссертации Статьи в журналах, указанных в списке ВАК РФ:

1. Кувшинов, Д. А. Численное моделирование контактной сети и токоприемника электровоза как механической системы с полукоэрцитивным взаимодействием элементов / Д. А. Кувшинов // Системы управления и информационные технологии. - 2008. - № 2.3 (32). - С. 360-364.

2. Кувшинов, Д. А. Алгоритм декомпозиции конечно-элементной модели механической системы с односторонними контактами / Д. А. Кувшинов, Г. Н. Колесников И Ученые записки Петрозаводского государственного университета. Серия: Естественные и технические иауки. - 2012. - № 4. - С. 91-92.

3. Колесников, Г.Н. Численное моделирование динамического взаимодействия токоприемников и контактной сети / Г. Н. Колесников, Д. А. Кувшинов // Вестник научно-исследовательского института железнодорожного транспорта. - 2012. - № 1. -С. 9-12.

Другие публикации:

4. Колесников, Г. Н. Численное моделирование контактного взаимодействия элементов механических систем / Г. Н. Колесников, Д. А. Кувшинов И Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов : тез. докл. XXII Междунар. конф. Санкт-Петербург, 24-27 сент. 2007 г. -СПб. : Мориинтех, 2007. - Т.]. - С. 50-51.

5. Колесников, Г. Н. Численное моделирование колебаний контактной подвески с учетом геометрической нелинейности / Г. Н. Колесников, Д А. Кувшинов II Информационные технологии моделирования и управления. - 2008. - № 1 (44). - С. 98 - 103.

6. Колесников, Г. Н. Численное моделирование динамического взаимодействия токоприемника и контактной подвески / Г. Н. Колесников, Д. А. Кувшинов И Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2008. - Т. 15, вып. 2. - С. 319.

7. Колесников, Г. Н. Численное моделирование полукоэрцитивного механического взаимодействия токоприемника и контактной сети при высокой скорости электровоза / Г. Н. Колесников, Д. А. Кувшинов II Ученые записки Петрозаводского государственного университета. Сер.: Естественные и технические науки. - 2008. - №3. - С. 83-89, -Библиогр.: с. 87-88.

8. Колесников, Г. Н. Трехмерная модель взаимодействия контактной сети и токоприемников электровозов / Г. Н. Колесников, Д. А. Кувшинов II Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов : тез. докл. XXIII Междунар. конф. Санкт-Петербург, 28 сент. - 01 окт. 2009 г. - СПб: Моринтех, 2009.-Т.1.-С. 116-117.

9. Кувшинов, Д. А. Численное моделирование динамического взаимодействия токоприемника электровоза и контактной подвески / Д. А. Кувшинов II Проблемы нелинейной

механики деформируемого твердого тела: материалы второй междунар. конф. Казань, 8-11 дек. 2009 г. / Д. А. Кувшинов, [науч. ред. С. А. Кузнецов]. - Казань, 2009. -С. 240-242.

10. Колесников, Г. Н. Декомпозиция конечно-элементной модели механической системы в задаче динамики / Г. Н. Колесников, Д. А. Кувшинов II Сеточные методы для краевых задач и приложения: материалы девятой всероссийской конференции. - Казань, 2012.-С. 223-225.

11. Колесников, Г. Н. Декомпозиция конечно-элементной модели механической системы / Г. Н. Колесников, Д. А. Кувшинов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2012. - Т. 19, вып. 2. - С. 264.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах с заверенными подписями просим высылать по адресу: 185910, г. Петрозаводск, пр. Ленина, 33.

Ученому секретарю диссертационного совета Д 212.190.03 Воронову Р.В.

Подписано в печать 20.05.2013. Формат 60x84 '/|6. Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 1. Тираж 100 экз. Изд. № 155. Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Отпечатано в типографии Издательства ПетрГУ 185910, г. Петрозаводск, пр. Ленина, 33

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ПЕТРОЗАВОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

О4 2 013 5 V 2 4 9 На правах рукописи

Кувшинов Дмитрий Александрович

ПРИМЕНЕНИЕ ДЕКОМПОЗИЦИИ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОДВИЖНЫМИ КОНТАКТАМИ

05Л3.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор

Колесников Геннадий Николаевич

Петрозаводск 2013

СОДЕРЖАНИЕ

Введение................................................................................................................................................4

1 Методы решения контактных задач: обзор....................................................................12

1.1 Методы расчета механического взаимодействия

токоприемников и контактных подвесок..............................................................................12

1.2 Идея метода конечных элементов с позиций

механики и численного моделирования................................................................................17

1.3 О решении контактных задач

с применением метода конечных элементов..................................................................20

1.4 Об алгоритмах декомпозиции, используемых

при численном моделировании механических систем............................................23

1.5 Имплементация алгоритмов численного моделирования механических систем с применением декомпозиции................................................30

1.6 Декомпозиция на уровне физической модели........................................................32

1.7 Выводы по первой главе............................................................................................................36

2 Методика декомпозиции конечно-элементной модели......................................38

2.1 Моделирование взаимодействия подструктур

как линейная задача дополнительности................................................................................38

2.1.1 Матрица преобразования перемещений

узлов в зазоры между ними............................................................................................................38

2.1.2 Уравнение движения..................................................................................................................40

2.2 О решении линейной задачи дополнительности..................................................42

2.3 Применение декомпозиции в моделях

с одно- и двусторонними контактами подструктур....................................................46

2.4 Реализация алгоритма декомпозиции............................................................................55

2.5 Выводы по второй главе............................................................................................................61

3 Моделирование механического взаимодействия контактной сети и токоприемников электроподвижных составов при высокоскоростном

движении............................................................................................................................................................62

3.1 Вводные замечания..........................................................................................................................62

3.2 Методика расчета..............................................................................................................................67

3.3 Верхняя граница сил контактного нажатия..............................................................70

3.4 Возрастание контактного нажатия с увеличением скорости....................72

3.5 Влияния скорости электроподвижного состава и натяжении контактного провода на интервал

изменения нажатия полоза токоприемника........................................................................73

3.7 Выводы по третьей главе............................................................................................................75'

Заключение......................................................................................................................................................77

Список литературы....................................................................................................................................79

Приложение 1..................................................................................................................................97

Приложение 2..................................................................................................................................103

Введение

Диссертация посвящена разработке, обоснованию и компьютерной реализации алгоритма численного моделирования механических систем с подвижными контактами подструктур с применением декомпозиции. Рассмотрены результаты применения алгоритма в разработанном комплексе проблемно-ориентированных программ для моделирования взаимодействия контактной сети и токоприемников электроподвижного железнодорожного состава при высокоскоростном движении.

Актуальность темы исследования. В настоящее время одним из направлений развития железнодорожного транспорта является увеличение скорости движения и массы электроподвижных составов (ЭПС), что в свою очередь требует увеличения электрической мощности, передаваемой от то-коведущих проводов контактной сети к двигателям ЭПС. При этом возрастает не только электрическая нагрузка, но и интенсивность теплового и механического воздействия на токоведущие элементы.

Особенно сложными являются условия взаимодействия полоза токоприемника и контактного провода. Увеличение скорости движения приводит к возрастанию амплитуды колебаний контактных проводов и токоприемников, что может снижать качество токосъема (процесса передачи электрической энергии от контактной сети к электрооборудованию движущегося электроподвижного состава через токоприёмник) по причинам увеличения интенсивности динамических нагрузок, появления зазоров между полозом токоприемника и контактным проводом, электроэрозионного износа. В этой связи сохраняют свою актуальность вопросы совершенствования контактных сетей и токоприемников.

Степень разработанности темы исследования. Как показывает анализ публикаций, к настоящему времени накоплен большой опыт в области исследований надежности токосъема. Однако, увеличение скорости движения, изменяя условия функционирования системы контактная сеть - токоприемник, приводит к необходимости расширения области прикладных исследований и к появлению новых задач по обеспечению надежности данной системы1. При этом к числу приоритетных относятся задачи, связанные с исключением отрыва полоза токоприемника от контактного провода и с ограничением сил контактного взаимодействия при высокоскоростном движении.

Силы контактного взаимодействия, как правило, носят односторонний характер, поэтому их принято называть односторонними. При моделировании односторонних связей условия, налагаемые на перемещения и усилия в зоне контакта, представляются в виде неравенств. Особенностью такого рода задач является то, что при изменении состояния контакта резко меняются жесткостные свойства системы, т. е. эти задачи являются конструктивно нелинейными.

В данном случае аналитическое решение задачи о контактном взаимодействии чрезвычайно затруднено и требует ряда существенных допущений. В связи с этим широко применяется математическое моделирование с использованием численных методов.

При численном моделировании упругих механических систем с односторонними связями могут применяться прямые итерационные методы, в частности те или иные разновидности алгоритмов переключения состояния связей. Вследствие своей простоты методы переключения связей получили

' Вологин В.А. Взаимодействие токоприемников и контактной сети / В.А. Вологин. -М. : Интекст, 2006. - 256 с. : ил., табл. - (Труды Всероссийского научно-исследовательского института железнодорожного транспорта (ВНИИЖТ)).

широкое распространение, хотя они не всегда гарантируют сходимость и могут приводить к зацикливанию процесса расчета. Кроме того, необходимость многократного перебора состояния связей и, соответственно, многократного изменения структуры матрицы и решения системы уравнений требует больших затрат машинного времени.

Применение методов декомпозиции позволяет сократить затраты машинного времени на решение систем уравнений, что в свою очередь позволяет расширить класс объектов, моделирование которых может быть выполнено с применением существующей компьютерной техники. Появление многопроцессорных вычислительных систем и мультиядерных процессоров стимулировало эволюцию методов декомпозиции. К актуальным проблемам данного направления относится проблема совершенствования алгоритмов декомпозиции в задачах численного моделирования с применением ме-

2 о

тода конечных элементов ' . Работы в этом быстро развивающемся направлении показывают как новые возможности численного моделирования, так и открытые проблемы, что отражено в материалах ежегодно проводимых конференций по методам декомпозиции4. Одну из групп в этом направлении образуют методы подструктур, а ряд алгоритмов базируется на моделях их механического взаимодействия. Большое число работ по данной теме показывает как широкие возможности методов декомпозиции, так и актуальность проблем их совершенствования.

Цель работы: разработка и реализация алгоритма декомпозиции в классе задач численного моделирования механических систем с подвижны-

2 Копысов С.П., Новиков А.К. Метод декомпозиции для параллельного адаптивного конечно-элементного алгоритма // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. Серия 1. - 2010. № 3. С. 141-154.

3 Фиалко С.Ю. Прямые методы решения систем линейных уравнений в современных МКЭ - комплексах // М.: Издательство СКАДСОФТ, Издательство АСВ. - 2009. 160 с.

4 Official page of Domain Decomposition Methods: http://www.ddm.org/

ми контактами подсистем и его применение в комплексе проблемно-ориентированных программ с применением декомпозиции.

Задачи, решение которых необходимо для достижения цели:

1. Выполнить математическое описание физической модели механической системы с подвижными одно- и двусторонними контактами подсистем.

2. Разработать алгоритм численного моделирования динамического взаимодействия подсистем модели (п.1) с применением декомпозиции. Оценить эффективность алгоритма по критерию времени счета.

3. Выполнить компьютерную реализацию алгоритма (п. 2) в комплексе проблемно-ориентированных программ.

4. Установить адекватность полученных результатов (п. 1-3) с применением известных данных натурного эксперимента по определению наибольших по величине сил взаимодействия контактной сети и полоза токоприемника электроподвижного железнодорожного состава при высокоскоростном движении.

Объект исследования: математическая модель и алгоритмы декомпозиции в классе задач численного моделирования динамики механических систем с неподвижными и подвижными контактами подсистем и ограничениями параметров состояния в виде равенств и неравенств.

Предмет исследования: вычислительная эффективность алгоритма декомпозиции конечно-элементной модели и адекватность полученных результатов в проблемно-ориентированной программе на основе известных данных натурного эксперимента.

Научная новизна работы заключается в следующем: 1. Разработан алгоритм декомпозиции и численно реализован в комплексе проблемно-ориентированных программ моделирования механических систем с неподвижными и подвижными, одно- и двусторонними кон-

тактами подсистем при динамических воздействиях. Применение алгоритма позволяет уменьшить продолжительность счета.

2. С применением полученных результатов разработана методика численного моделирования механического взаимодействия контактной сети и токоприемников электроподвижного железнодорожного состава при высокоскоростном движении.

Теоретическая и практическая значимость работы:

1. Разработанный алгоритм декомпозиции вносит вклад в развитие численного моделирования класса механических систем с подвижными контактами подсистем. Применение данного алгоритма в комплексе проблемно-ориентированных программ позволяет уменьшить время счета.

2. Применение разработанной методики декомпозиции в проблемно-ориентированных программах позволяет расширить класс объектов, численное моделирование которых может быть выполнено с применением существующей компьютерной техники.

3. На примерах показано, что разработанная с применением предложенного алгоритма декомпозиции методика численного моделирования позволяет уточнить закономерности механического взаимодействия контактной сети и токоприемников электроподвижного железнодорожного состава при высокоскоростном движении.

4. Разработанный алгоритм декомпозиции и его компьютерная реализация могут быть использованы в целях уменьшения времени счета при численном решении контактных задач и задач моделирования механических систем с односторонними ограничениями перемещений подсистем.

Работа выполнена в рамках государственного задания Минобрнауки РФ по госбюджетной теме 126-12, проект 7.6185.2011 (2012 г.,

рук. Г.Н. Колесников) и гранта РФФИ № 08-08-00979 (2008-2010 г., рук. В.Н. Бакулин и Г.Н. Колесников).

Методология и методы исследования. Исследование выполнено на методологической основе математического моделирования с применением численных методов (метод конечных разностей, метод конечных элементов, итерационные и приближенные шаговые методы, методы декомпозиции).

Положения, выносимые на защиту:

1. Методика решения задачи численного моделирования механической системы с неподвижными и подвижными контактами подсистем.

2. Сформулированные в виде правил алгоритмы перемножения матриц в разработанной модели, применение которых позволяет исключить арифметические операции с заведомо нулевыми элементами матриц.

3. Разработанный алгоритм численного моделирования механической системы с неподвижными и подвижными контактами подсистем с применением декомпозиции.

4. Результаты практического применения разработанного комплекса проблемно-ориентированных программ для численного моделирования механического взаимодействия контактной сети и токоприемников электроподвижного железнодорожного состава при высокоскоростном движении.

Степень достоверности результатов исследования подтверждена их непротиворечивостью и согласованностью с известными по литературе экспериментальными данными, физической адекватностью результатов компьютерного моделирования, а также при апробации предлагаемых методик и рекомендаций.

Апробация работы. Материалы диссертационного исследования были представлены на следующих конференциях:

1. XIII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (летняя сессия). Петрозаводск, 2-9 июня 2012 г.

2. XVI Международная конф. по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС-2009), Алушта, 25 -31 мая 2009 г.

3. Вторая международная конференция «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела». Казань, 8-11 декабря 2009 г. _http://www.ksu.ru/conf/pnmdtt09/

4. XXII и XXIII Международные конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов». СПб., 2007 и 2009.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. В диссертации предложен эффективный по времени счета, как показали результаты тестирования, алгоритм декомпозиции конечно-элементных моделей, который реализован в комплексе проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента. Тем самым вносится вклад в совершенствование инструментов комплексного исследования научных и технических проблем прикладных исследований с применением современных информационных технологий и математического моделирования. Проверка адекватности разработанной модели выполнена на основе вычислительных экспериментов и известных по литературе данных натурного эксперимента. Таким образом, выполненное исследование соответствует формуле специальности 05.13.18 (математическое моделирование, численные методы и комплексы программ) и пунктам 3, 4, 5 в паспорте данной специальности.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 научных работ, из них 3 статьи в журналах, указанных в списке ВАК РФ.

и

На разработанную в рамках диссертационного исследования программу «Расчет динамических характеристик систем с подвижными контактами методом декомпозиции» получено Свидетельство о государственной регистрации программы № 2012619720 (зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 26 октября 2012 г.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка использованной литературы (102 наименования), имеет общий объем 103 страницы, 32 рисунка, 2 таблицы, 2 приложения.

1 Методы решения контактных задач: обзор

1.1 Методы расчета механического взаимодействия токоприемников и контактных подвесок

Проблеме повышения качества и надежности передачи электрической энергии от контактной сети к электрооборудованию электроподвижных составов уделяется большое внимание, как в нашей стране, так и за рубежом5'6. Токосъем считается удовлетворительным, если обеспечивается высокая надежность и продолжительный срок службы элементов контактной сети и токоприемников. Износ контактного провода и элементов полоза зависит от характера изменения нажатия токоприемника на контактный провод, поэтому динамическое взаимодействие токоприемников и контактной подвески является тем процессом, от условий протекания которого во мн�