автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Динамика складчатых систем при подвижных нагрузках

На правах рукописи УДК 624.042.8.074.421:642.2

Кадисов Григорий Михайлович ДИНАМИКА СКЛАДЧАТЫХ СИСТЕМ ПРИ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗКАХ

05.23.17 — строительная механика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Москва • 1998

Работа выполнена в Сибирском автомобильно-дорожном институте. Официальные оппоненты:

- доктор технических наук, профессор ЛУЖИН О.В.

- доктор технических наук, профессор СМИРНОВ В.А.

- доктор технических наук, профессор ИВАНЧЕНКО И.И.

Ведущая организация - С0ЮЗД0РПР0ЕКТ

Защита состоится

/Ь/О. 199<Рг. в часов на заседании диссертационного совета Д114.05.02 при Московском государственном университете путей сообщения (МИИТ) по адресу:

101475, ГСП, Москва, А-55, ул. Образцова, 15, ауд.^<Р

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета

Отзыв на автореферат, заверенный печатью, просим направлять по адресу университета.

Ученый секретарь диссертационного совета, д-р техн. наук, профессор

В.П. Мальцев

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Совершенствование методик расчета конструкций как единых пространственных систем, широкое применение ЭВМ в проектном деле, создание новых высокопрочных материалов обусловили тенденцию к уменьшению веса несущих конструкций. С другой стороны, увеличиваются скорость движения и грузоподъемность транспортных средств. Конструкции становятся все более чувствительными к динамическим воздействиям. В связи с этим проблема динамического расчета сооружений, воспринимающих подвижные нагрузки, является актуальной.

Сложность проблемы заключается в том, что такой расчет должен учитывать совместные колебания сооружения и подвижной нагрузки в виде одного или нескольких механических объектов со своими инерционными, диссипативными и упругими свойствами. Ее решение сопряжено с большими вычислительными трудностями, во-первых, из-за высокой размерности пространственной расчетной схемы и, во-вторых, из-за необходимости получения решения в виде динамических перемещений, напряжений и внутренних усилий на достаточно длительном отрезке времени (порядка нескольких десятков, а то и сотен периодов колебаний), охватывая начальный нестационарный и в ряде случаев последующий стационарный режимы.

Цель работы — разработка новых численных методов решения задач динамики сложных пространственных систем, состоящих из несущих конструкций типа призматических складок и подвижных механических объектов, с определением динамических перемещений, усилий и напряжений, а также исследования устойчивости колебаний таких систем, рассматриваемых как параметрические.

Научную новизну представляемой работы составляют разработанные новые математические модели, методы решения и анализа динамических задач о пространственных колебаниях однопролет-ных и многопролетных складчатых систем совместно с подвижными (одиночными и в колонне) механическими объектами: модификация метода декомпозиции; аналитические выражения коэффициентов алгебраических уравнений при дискретизации интегральных уравнений типа Вольтерры первого рода методом коллокаций с кусочно-линейной интерполяцией основных неизвестных; метод числен-

ного исследования устойчивости пространственных колебаний, включающий учет нулевых начальных условий входящих на складку автомобилей, сведение непериодической задачи к периодической стробоскопическим "освещением", вычисление матрицы перехода и ее комплексных собственных значений - мультипликаторов; базисные функции поперечного распределения полей перемещений, напряжений и внутренних усилий в прямоугольных пластинках; матрицы геометрической жесткости и матрицы масс прямоугольных пластинок; серия методов расчета складок с поперечными диафрагмами и консольных складок на статические нагрузки, одно-пролетных складок на статическую устойчивость, собственных частот и собственных форм однопролетных и многопролетных складок; выводы о существовании у складчатых систем множества резонансных зон в реально достижимом диапазоне скоростей движения колонны автомобилей при абсолютно ровной проезжей части; результаты численного анализа устойчивости резонансных колебаний, рассматриваемых как параметрические.

Достоверность полученных результатов подтверждается удовлетворительным их совпадением с данными из литературных источников и основана на тщательном анализе в процессе отладки программ результатов расчетов тестовых задач со сложными, специально выбираемыми несимметричными расчетными схемами симметричных конструкций.

Практическая ценность. Разработанные математические модели, методы решения, выполненный анализ результатов, а также алгоритмы и действующие программы для ЯК позволяют применять их непосредственно в расчетной и проектной практике по определению динамического эффекта воздействия реальных подвижных объектов (одиночных и в колонне) на складчатые системы, в частности на плитно-ребристые, коробчатые однопролетные и многопролетные строения мостов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на XV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин, Казань, 1990г.; на III Международной конференции "Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте",С.-Петербург, 1995г.; на семинарах кафедры "Строительная механика" МИИТа в 1992г. (руководитель проф. Б.Я.Лащеников) и в феврале 1998г. (руко-

водитель проф. В.Д. Потапов); на Международной научно-практической конференции "Город и транспорт", Омск, 1996 г.; на 49-й,51-й,53-й,55-й и 57-й научно-технических конференциях СибАДИ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 2 6 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 11 глав, заключения, списка литературы и приложения. Материал диссертации изложен на 257 страницах машинописного текста, включая 11 таблиц, 119 рисунков, список литературы из 148 наименований .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность темы, сформулированы цели и задачи диссертации.

Задача о расчете упругих систем на подвижные нагрузки рассматривалась многими исследователями.

В.В.Болотин получил систему дифференциальных уравнений, описывающую колебания упругой системы под воздействием любой подвижной, обладающей массой нагрузки, и в связи с тем, что коэффициенты этой системы уравнений для случая бесконечной регулярной инерционной нагрузки периодически изменяются во времени, определил класс задач, родственных задачам, рассматриваемым в теории динамической устойчивости упругих систем.

Задача о движении по балке с постоянной скоростью частично подрессоренной полосовой нагрузки рассмотрена С. И. Кона-шенко, и получены формулы критических скоростей, соответствующих потере устойчивости типа дивергенции. В случае движения бесконечной регулярной последовательности сосредоточенных, частично подрессоренных грузов Г.М.Кадисовым построены границы областей динамической неустойчивости путем численного нахождения корней характеристического уравнения.

Решения задач о воздействии подвижной нагрузки на упругие системы строились численными методами со времени появления

первых ЭВМ многими иследователями (Н.Н Боголюбов, Ю.А.Митро-польский, Ю.М.Майзель, А.С.Вольпер, А. Б.Моргаевский, Н.Г. Бондарь). Следует отметить, что в некоторых работах учитывается только одна собственная форма изгибных колебаний балки, тем самым, как отмечает Я.Г.Пановко, полученные в них результаты сомнительны из-за неучета изменения во времени формы упругой линии.

А.Г.Барченков путем численного интегрирования нелинейной системы дифференциальных уравнений популярным в то время методом Рунге-Кутты решил ряд задач с учетом неровностей проезжей части на реальных мостах. В дальнейшем задачи о колебаниях системы "мост + автомобиль" при неровной проезжей части им решались с применением теории случайных процессов. Пролетное строение рассматривалось как конструктивно ортотропная пластинка, параметры автомобиля принимались как для независимой подвески передней и задней осей. Вместе с тем, при решении ряда задач пренебрегалось влиянием "обратной связи", т.е. влиянием колебаний пролетного строения на колебания автомобиля .

К настоящему времени решение задач о динамическом воздействии подвижных нагрузок на упругие системы сформировалось в несколько направлений: 1)экспериментально-теоретические исследования, в которых на основании теории формулируется зависимость коэффициента динамичности от основных параметров системы и на основе опытных данных вводятся корректирующие коэффициенты (Н.Г.Бондарь, Ю.Г.Козьмин); 2)широко применяемое направление для изучения динамики автодорожных мостов с учетом неровностей проезжей части (А.Г.Барченков, В.С.Сафронов); 3)работы теоретические (А.П.Филиппов, С.С.Кохманюк), в которых изучается воздействие подвижных грузов на упругие системы без каких-либо упрощений системы дифференциальных уравнений.

Отмеченные выше решения с применением численных методов относятся к плоским задачам или сводятся к ним. Несмотря на

успехи в теории, все же решение задач о воздействии подвижной нагрузки на упругие системы представляет большие трудности, которые обусловлены возможностями современных ЭВМ и используемыми численными методами.

В последнее время для динамических расчетов мостов становится популярным метод Ньюмарка (К.Бате,Е.Вилсон). Выполнен расчет висячего моста (Н.Н.Шапошников, Р.А.Римский, Г.В. Пол-торак, В.Б.Бабаев) с применением декомпозиционного подхода. Этот подход продемонстрирован на примере задачи о движении сосредоточенного груза по балке при высоких скоростях ((Г.Б.Муравский, М.Ф.Поволоцкая). Отметим, что методы численного интегрирования уравнений движения динамических систем для практически важных задач продолжают совершенствоваться (Н.Н.Шапошников, С.К.Катаев, О.В.Белозерская) .

Расчет висячих и ванговых мостов на подвижную нагрузку с учетом нелинейных эффектов выполнен в работе B.C. Сафронова, а с учетом выключения вант — в работе А.Джахра, Д.Г.Рыдченко,

B.C. Сафронова.

В работе И.И.Иванченко разработана безусловно устойчивая пошаговая процедура, в основу которой положены фундаментальные решения дифференциальных уравнений в частных производных, в дальнейшем она применена в специальных задачах динамики мостов.

О важности исследования динамики пролетных строений мостов говорит тот факт, что имеются публикации о гашении колебаний таких конструкций (А.Л.Закора, М.И.Казакевич). М.И. Казакевич рассматривает аэродинамику мостов. Методы исследования, включая численные, азроупругих колебаний сооружений в ветровом потоке изложены в работе Ю.А.Гуляева, В.А.Баженова,

C.Л.Попова. Там же отмечается, что в связи с развитием эффективных численных методов теории колебаний появляется возможность "ставить . . . вычислительные" эксперименты, связанные с созданием более точных динамических моделей, на степени адек-

ватности которых не сказываются ограниченные возможности традиционных методов". Эффективность одновременного использования вычислительного и физического экспериментов продемонстрирована в работе В.С.Анищенко при исследовании общих закономерностей развития хаотических колебаний на примере радиофизических систем.

Для расчета складчатых систем, состоящих из жестко соединенных по продольным кромкам прямоугольных пластинок и опертых шарнирно по торцам, на статические нагрузки A.B. Александров разработал метод перемещений, смешанный метод и рассмотрел простейшую задачу о движении по двухреберному пролетному строению двух сил, имитирующих движение по мосту колесной пары.

В диссертации разрабатываются численные методы динамического расчета складчатых систем с подвижной нагрузкой, представленной одним или несколькими механическими объектами, имитирующими реальные автомобили, с целью создать математическое и программное обеспечение для проведения вычислительных экспериментов.

В первой главе рассматриваются известные линейные дифференциальные уравнения и соответствующие им интегральные уравнения, которые применяются в дальнейшем для описания движения простейших механических объектов. Эти все известные факты приводятся здесь для ссылок на них в последующих разделах. Рассматриваемые интегральные уравнения, как правило, имеют вырожденные ядра или могут быть сведены к ним, что позволяет составить, по мнению автора, однообразные вычислительные процедуры с минимальными требованиями к памяти ЭВМ и сократить время вычислений. Более сложные ядра в ряде случаев можно аппроксимировать вырожденными. Поэтому интегральные уравнения с

дробно-экспоненциальными ядрами здесь не рассматриваются.

Исследование в этом разделе уравнений, описывающих движение только простейших элементов, основано на том факте, что

любую сложную линейную механическую систему, применяя метод декомпозиции, можно свести к ансамблю простейших. Тогда уравнения движения всей системы будут состоять из уравнений движения раздельных элементов под действием внешних сил и сил взаимодействия между ними и уравнений совместности перемещений .

Рассмотрены уравнения движения точечной массы вдоль прямой линии под действием силы, переменной во времени, но не меняющей направления; материальной точки в вязкой среде; системы с одной степенью свободы без учета затухания и с учетом сил вязкого сопротивления; вязкоупругого элемента; деформирования вязкого элемента.

Во второй главе для решения интегральных уравнений

г

и = . (1)

о

предложена временная кусочно-линейная интерполяция основных неизвестных Х(т):

X = 1 Хк , (2)

где Хк - Х$к) - узловое значение силы в момент времени tk ; ф/с^-базисная функция кусочно-линейной интерполяции:

Фк(*) = |(»к+1-0/(**+1-У (1к<*<*ш); (3) О р <1к_и1>1к+1).

Подставив (2) с учетом (3) в (1), после интегрирования получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых сил Хк :

±

",=1\AjkXk' (4)

о

Ч

где А^ =

о

Система алгебраических уравнений !4) решается по рекур-

рентным соотношениям по известному закону изменения во времени обобщенного перемещения и/

X¿ = ("j - S AjfcXfc) / A_g (J = 1,2,...) . (5)

Для вырожденного ядра K(t,T)=Ki(t)K2(t) коэффициенты Ajk = Kj(tj)Ak и для получения очередного узлового значения .X) имеем рекуррентный процесс:

Si = AoXo; Sj= Sj-i + Aj-iXj-i; Xj = (uj-KjSj)/Ajj (j=I~ñ), (6) где л. - число шагов по времени на интересующем нас интервале.

Для коэффициентов Ajk в результате аналитического интегрирования получены формулы для следующих элементарных задач: движение точечной массы без учета (п.2.2} и с учетом (п.2.3) сопротивления вязкой среды; система с одной степенью свободы без учета (п.2.4) и с учетом (п.2.5) затухания; специальный случай — вынужденные колебания линейной системы с одной степенью свободы, когда на нее действует сила, изменяющаяся по закону X(t)sin8t (п. 2.6). Перемещение такой системы в момент времени tj с учетом начальных условий определяется по формуле

-lt,( , "о + SUp . .

Uj=e ' I и0 cos atj +———-sin coi Л +

4 e'^Sjj sin atj + S2j coscoij } + A^Xj , (7)

где SXj и S2j вычисляются по рекуррентным соотношениям:

Slj = S1 j-1 + (^5,-1 + RSj-l)xj-1 ' S2j = S2j-1 + (^Cj'-l - R6j-l)Xj-i . ( 8 )

Для коэффициентов Rs¿-i> Rsj-i> Л6j-i> получены формулы,

в которых исключены неопределенности типа 0/0 при малом шаге дискретизации. Далее рассмотрено деформирование вязкоупругого элемента (п.2.7) и движение вязкого элемента (п.2.8).

В третьей главе рассматривается численное решение элементарных задач динамики с применением метода декомпозиции. Механическую систему, состоящую из твердых тел, соединенных между собой абсолютно жесткими и (или) упругими (вязкоупругими) связями, и находящуюся в движении под действием внешних сил, мысленно разделим на простейшие элементы. Для каждого отдельного элемента можно записать интегральные соотношения между силами, внешними и действующими на него со стороны других элементов, и его перемещениями. Добавляя уравнения равновесия узлов механической системы и уравнения совместности перемещений, получаем полную систему разрешающих уравнений. Интегральные уравнения отражают влияние истории нагружения элемента на его перемещения, т.е. перемещение элемента в данный текущий момент зависит от всех значений силы от начала нагружения до текущего момента. Уравнения равновесия и уравнения совместности перемещений составляются для текущего момента.

Применяя кусочно-линейную интерполяцию, вместо интегральных уравнений получаем систему алгебраических уравнений, которую можно решать последовательно, рекуррентно.

Отметим, что при разбиении механической системы на отдельные простейшие элементы можно исходить из физических соображений, представляя элемент конструкции как вполне реальный физический объект, или из чисто математических, абстрактных, соображений. Например, сначала можно получить систему дифференциальных уравнений, применяя стандартные методы, МКЭ, метод конечных разностей и т.п., а затем эту систему уравнений разбить на ряд простейших, включающих интегральные уравнения, легко приводящиеся кусочно-линейной интерполяцией действующих сил к системе алгебраических уравнений.

Применяя декомпозицию с использованием интегральных уравнений, уравнений равновесия и уравнений совместности перемещений, а также кусочно-линейной интерполяции внешних сил и

сил взаимодействия элементов, приходим к решению, которым обеспечивается непрерывность полей напряжений и усилий в любой момент времени, а совместность перемещений только в узловые моменты.

В тестовой задаче о вынужденных колебаниях линейного осциллятора применено несколько вариантов декомпозиции (п.3.2). Предложены аналогичные алгоритмы и для системы с конечным числом степеней свободы (п.3.3), а также для распределенной системы при переменной во времени подвижной нагрузке (п.3.4). В задаче о свободных колебаниях осциллятора полученное решение сравнивается с точным {п.3.5). Декомпозиция применена и для решения нелинейного уравнения Дуффинга (п.3.6).

В четвертой главе рассматриваются вопросы, связанные с расчетами складчатых систем на статические нагрузки. Предложена матричная формулировка метода перемещений A.B. Александрова. Например, матрица обобщенных реакций Rn складки при деформировании по закону п-й гармоники вычисляется по формуле

где De- матрица перехода от общей к локальной системе отсчета узловых перемещений; Пеп- матрица вращения; Ten -матрица, учитывающая несовпадение продольных кромок пластинки с узловыми линиями; Ren- матрица реакций элемента е.

Для определения матрицы реакций прямоугольной пластинки применен метод расширения заданной системы (п.4.2). Плоское напряженное состояние пластинки можно получить путем наложения напряженно-деформированных состояний двух полубесконечных пластинок, шарнирно опертых своими полубесконечными кромками. Обе пластинки покрывают заданную таким образом, чтобы короткая кромка одной полуполосы совпала с левой продольной кромкой заданной пластинки, а короткая кромка другой - с правой кромкой заданной пластинки. Произвольные постоянные при функ-

циях, описывающих напряженно-деформированное состояние каждой полуполосы, находятся из краевых условий на продольных кромках заданной пластинки.

При исследовании изгиба консольной прямоугольной пластинки (п.4.3) в результате вертикального смещения закрепленной продольной кромки по закону синуса л-й гармоники обнаружено, что свободная продольная кромка достаточно узкой пластинки может иметь прогибы большие, чем закрепленная.

В п.4.4 исследуется погрешность, возникающая при усечении тригонометрических рядов, применяемых при расчетах нормальных напряжений в поперечных сечениях складчатых систем, и показано, что при возмущении узловой линии с большим значением волнового числа а=ттЬ/1 общее, локальное и местное напряженно-деформированные состояния плитно-ребристой или коробчатой складки практически не различаются.

В п.4.5 получены функции прогибов прямоугольной пластинки при синусоидальных смещениях ее продольных кромок.

Функция прогибов

вЬ к^Ъ. \ + (3 сК %) - А:(вЬ (3 + ^ сЬ ¡3)

на левой кромке пластинки равна 1, на правой - нулю, ее первая производная на обеих кромках равна нулю. Функция, обращающаяся в нуль на концах интервала и имеющая первую производную, равную на левом конце единице, на правом - нулю,

-эЬ2 к-к • (П>

В (10) и (11) р= пжу/1; С, = пл(Ь - у) (I - относительные поперечные координаты с началом отсчета на левой и правой кромках пластинки соответственно; к= пяЬ/1 ; Ъ -ширина, 2- пролет пластинки.

В пределе при к.->0 функции (р1(Р), Фз(Р) превращаются в из-

вестные кубические многочлены Эрмита, применяемые в полуаналитическом варианте МКЭ для расчета тонкостенных пространственных систем.

Статический расчет складки с регулярным набором диафрагм рассмотрен в п.4.6, где использован смешанный метод A.B. Александрова и применена взаимно уравновешенная система сил взаимодействия между каждой диафрагмой и складкой. В разделе 4.7 изложен расчет консольных складок методом компенсирующих нагрузок, в основу которого предлагается в дополнение к уравнениям смешанного метода ввести уравнения равенства нулю усилий и напряжений в сечении на конце консоли, из которых определяются значения компенсирующих сил, расположенных на расширенной однопролетной шарнирно опертой складке за пределами действительной.

В пятой главе рассмотрена устойчивость цилиндрических складчатых систем. Матрица геометрической жесткости прямоугольной пластинки Rrопределяется из вариационного уравнения

h + а°б£у + т^бY^)dS = 8zrRrz , (12 )

s

где вариации нелинейных составляющих деформаций

вычисляются с учетом деформаций выпучивания из и в плоскости пластинки поперек пролета, так как возможны случаи, когда пластинка находится в составе элемента конструкции, который в критическом состоянии может выпучиться в направлении, параллельном срединной плоскости пластинки, например, в случае сжатого стержня с тонкостенным коробчатым поперечным сечением, высота которого мала по сравнению с его длиной.

Матрица геометрической жесткости получается путем аналитического интегрирования по продольной координате и численного интегрирования по поперечной. В интегралы по продольной

гв

координате входят интегралы от произведения трех тригонометрических функций, две из которых относятся к перемещениям или их производным смежного искривленного состояния, одна - к напряжению основного начального состояния, устойчивость которого исследуется. Для численного интегрирования рекомендуется формула Ныотона-Котеса замкнутого типа с 11 узловыми точками. Глобальная матрица геометрической жесткости состоит из

квадратных блоков размерность каждого из них равна раз-

мерности матрицы реакций И, ¡-й гармоники.

Решение обобщенной проблемы на собственные значения может быть выполнено по известным стандартным процедурам с учетом разряженности блоков матриц И и .

Далее рассмотрены следующие задачи с вычислением критических параметров нагрузки: устойчивость свободно опертой прямоугольной пластинки, равномерно сжатой в одном направлении (п.5.4); устойчивость плоской формы изгиба двутавровой балки (п.5.5); выпучивание тонкой стенки двутавровой балки в приопорных участках (п.5.б); устойчивость свободно опертой прямоугольной пластинки, сжатой двумя равными и противоположными сосредоточенными силами(рис.1) (п.5.7). Сравнение с известными решениями

полученных числовых результатов показало их практическую точность .

В шестой главе предложена методика расчета собственных частот и собственных форм складчатых систем.

В отличие от методики А.В.Александрова, где инерционные силы и инерционные моменты предполагались сосредоточенными на узловых линиях, можно приближенно составить матрицу масс, используя в качестве базисных (интерполирующих) функции перемещений, применяемые в статическом расчете. Так как для пластинки мембранное и изгибное состояния не взаимодействуют, матрицы масс для каждого из этих напряженно-деформированных

состояний можно строить раздельно.

Для матрицы масс (инерционности)в случае плоской деформации получено следующее выражение:

т1

М =

пк

~слл с™1 "Ни И12" 0ЛЛ £лп

слп спп Н21 ^22. рПЛ £ПП

(14)

Элементы блоков М^ вычисляются по приведенным в работе

формулам; СШ,.,.,СШ - квадратные матрицы-блоки второго порядка, определяемые из статической задачи. Матрица масс в случае изгиба определяется аналогично.

Используя базисные функции, определяющие поле прогибов при деформировании прямоугольной пластинки вдоль пролета по закону эл-па с волновым числом пп/1, матрицу масс можно теперь вычислить интегрированием:

. к

(15)

Для элементов матрицы масс можно предложить сокращенные формулы:

16е

от, =

1бв

-[(зЬ2к+к2)^-2кР;+18Ьк] (¿ = 1; 3; 5); (16) зЬ/с] (¡ = 2; 4; б), (17)

где функции Рг определяются по соответствующим формулам. Все функции Л и определитель Л = 4е2{рЪ2к- к2) стремятся к

нулю при уменьшении параметра к до нуля. Для исключения неопределенностей типа 0/0 и числители, и знаменатели разложены в ряды по степеням параметра к, в результате получены расчетные формулы для элементов матрицы масс при изгибных колебаниях пластинки. В пределе, когда к->0, элементы матрицы масс пластинки с точностью до числового множителя совпадают с элементами матрицы масс стержня при аппроксимации его перемещений эрмитовыми кубическими функциями.

В п.6.3 приведены примеры расчета собственных частот складок типа плитно-ребристых однопролетных строений, графики зависимости собственных частот от волнового числа

(рис.2). На рис.3 показана одна из собственных форм.

Рис.2

/

/

В седьмой главе рассматривается задача о воздействии подвижных нагрузок на упругие складчатые системы.

Для составления уравнений пространственных колебаний тонкостенной призматической складчатой системы, по которой с постоянной скоростью движется механический объект - двухосный экипаж (рис.4), используется метод декомпозиции. Кузов считается недеформируемым, подвеска колес - независимой. Рессоры и шины моделируются линейными вязкоупругими элементами. Подвижной механический объект рассматривается как система с семью степенями свободы, из которых тремя обладает кузов и по одной - каждое колесо.

- 1Л-и

«

^ N

Рис.4

Обозначим: векторы перемещений кузова через га и колес — 2к, векторы усилий в рессорах - Кк и шинах - Х3. Амплитуды перемещений узловых линий складки при деформировании ее по 1-й гармонике обозначим 2; ,вектор абсолютных деформаций рессор -Аг и шин - Замкнутая система уравнений смешанного метода (метода декомпозиции) относительно неизвестных векторов 2а • гк ' = 1' ' Хг ' ' дг г содержит матричные дифференциальные уравнения движения кузова, колес и складки, деформирования рессор и шин и матричные уравнения совместности перемещений кузова, рессор и колес, а также колес, шин и складки.

Перейдя к интегральным уравнениям и исключив векторы

тральных уравнений относительно неизвестных векторов Хг и Х5 :

где П - матрица преобразования усилий в рессорах в главный вектор и главный момент относительно центральных осей кузова; К — диагональные матричные интегральные операторы Вольтерры;

- строка с числом элементов, равным числу подвижных сил, есть проекция 1-й собственной формы складки на множество точек приложения сил, составляющих подвижной вектор Х3. Присоединяя переменную во времени строку к ядру оператора К*, можно

получить ядро, аналогичное ядру специального случая, рассмотренного в п.2.6.

В п.7.2 система интегральных уравнений (18) путем применения кусочно-линейной интерполяции усилий в рессорах и шинах сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Затем в п. 7.3 приведен алгоритм вычисления статических перемещений экипажа, рессор и шин от собственного веса.

В связи с тем, что непосредственное решение алгебраической системы приводит к неустойчивости счета из-за появления в ее правой части малых разностей больших чисел, она преобразуется в систему уравнений относительно отклонений х от усилий, соответствующих начальному статическому положению равновесия экипажа:

(л = 1, м),и А,, Д5 , получим систему двух матричных инте-

(кг + ПТК0П + К,)х, - = ПтКаО„ - К^О, ;

{ " }

- К,ХГ + К, + К, + Цч'/К,«?, + к, X, = КкОк , (18 )

к /

1=1

Ах = В,

где

В — матрица-столбец, зависящая от всех предшествующих значений вектора хи статических давлений в шинах Хво.

По известным векторам и хг вычисляются амплитуды узловых перемещений и напряжений в складке (п.7.5).

В п.7.б приведена схема решения задачи на собственные значения для складки в случае, когда матрица реакций и матрица масс сильно разряженные.

При расчете вынужденных колебаний конструкции можно учитывать только те собственные формы, которые удовлетворяют неравенству

(Х<1) , (20)

СО; Ш!

где уос - ордината I -й собственной формы в точке приложения сосредоточенной внешней нагрузки (п.7.7).

В момент, когда шина колеса экипажа находится над точкой перелома профиля дороги в начале или в конце пролета, ее скорость деформации претерпевает скачок VI, соответственно усилие в шине меняется скачком на величину ¥о=Ьг>1 (п. 7.8).

В п.7.9 обсуждаются результаты численного моделирования колебаний складки при движении гипотетического автомобиля общей массой 13.0 т с базой В=4.0 м, Ь= 20.4 м (см. рис.4). Пролетное строение — складка с 12-ю узловыми линиями. При движении автомобиля эксцентрично относительно продольной оси проезжей части выбрано 3 6 собственных форм, при симметричном — 37. Логарифмический декремент колебаний для складки Л! = 0.01.

На графиках (рис.5) изменения давлений в шинах переднего и заднего колес видны скачки. На

рис. 6 приведены "осциллограммы" напряжений в нижних фибрах всех шести ребер в сечении х=(3/4)Ь при относительной скорости автомобиля ур=0.25.

В п.7.10 предложена полная система разрешающих уравнений колебаний консольной складчатой упругой системы при движении механического объекта. В пролете консольная складка может иметь промежуточные опоры, расположенные произвольным образом в плане.

Мысленно удлиним складку со стороны консолей и будем рассматривать колебания расширенной системы, опирающейся по торцам на идеальные диафрагмы. К расширенной системе за пределами реальной конструкции приложим компенсирующие нагрузки У. Реакции промежуточных опор обозначим вектором X, контактные давления при взаимодействии подвижного объекта со складкой -вектором Х5 .

Запишем интегральное уравнение колебаний расширенной складчатой системы

=-г(к^Х + КпГУ + КпвХ5). (21)

Ипх, Нпу, Кпз - прямоугольные матрицы, компоненты Км непрерывно зависят от координат точек контакта объекта со складкой.

Комбинируя уравнение (21) с уравнениями совместности деформаций складки и промежуточных опор и равенствами нулю внутренних усилий и напряжений в торцевых сечениях заданной складки, можно получить интегральную зависимость гп от контактных давлений Х5 . Дальнейшее решение задачи по определению контактных давлений производится аналогично рассмотренным ранее задачам.

В восьмой главе рассмотрены колебания упругой складки под

воздействием колонны подвижных механических объектов. Обозначим верхним индексом а ((3) порядковый номер автомобиля. Тогда систему интегральных уравнений можно записать в виде (п.8.1): (К" + ПтКдП + к£)х£ - К^х" = О (а6Ка);

- << + (к: + К«)х£ + Е Е^^К,^(хР + хЦо) = О , (22 )

¡=1р=1

где - множество порядковых номеров активных экипажей. Ак-

тивным считается экипаж с момента входа его на упругую систему и до момента схода с нее. Применяя временную кусочно-линейную интерполяцию, получим алгебраическую систему уравнений относительно усилий в вязкоупругих элементах в дискретные моменты времени. Особенность такой системы заключается в том, чтобы не учитывать сошедшие с пролета автомобили и добавлять входящие на него.

В п.8.2 приведены результаты моделирования колебаний складки при движении колонны механических объектов. Колонна состоит из 40 автомобилей. На рис.7 показаны вычисленные "виброграммы" перемещений, а на рис. 8 — "осциллограммы" напряжений в нижних фибрах всех шести ребер в середине пролета при несимметричном относительно продольной оси складки движении колонны с относительной скоростью ьр=0.3698.

пах- 7.4Р62е-03 я1п=-Х ■ 3367е-03__И= 35

Ни (1 -[ 1> 1 5. ОЕ-< И г .5 е>< ш v , ' ' ' 1 'ир=0.3б'980 У1» IIИ V у —^\ЛЛЛЛЛЛЛА^—^ллЛЛЛЛ/

\лл/тщтшъ^щтщщт^

нак= 6.983бе+Об .0873е+06

-М1

ш

ífVwvУW^

Рис. 8

8.3. Процесс колебаний вначале, при движении нескольких первых автомобилей, будет нестационарным, затем он постепенно переходит в установившиеся вынужденные колебания с периодом Т=(1/V, где с1 - «шаг» автомобилей в колонне. Назовем критической скорость VI =Ьа>1/яг, с которой каждый автомобиль проходит путь, равный пролету, за половину основного периода свободных колебаний несущей упругой конструкции. Тогда при относительно высоких скоростях движения колонны, близких к критической, преобладает по наибольшим максимальным динамическим прогибам несущей конструкции начальный, нестационарный, режим колебаний. При меньших скоростях разница в максимальных прогибах обоих режимов уменьшается, однако при скоростях колонны, значительно меньших критической и равных

(г = 1;2;3;...;к = 1;2;3;...), (23)

возможны резонансные стационарные режимы колебаний, в которых наибольшие динамические прогибы несущей конструкции могут превышать прогибы нестационарного режима.

На рис.9 приведены максимальные (1) в нестационарном режиме, максимальные (2) и минимальные (3) в стационарном режиме перемещения крайнего ребра в сечении х=Ь/2 в зависимости от относительной скорости движения колонны [1>р=и/1>1) при Ь=20.4и, й=15.2м и Е=0.001.

лсг 1 1 л 1.0Е-02 !/ I 1 ---- 1 1 1 1 1

--

0.2 0.3 1 1 ир ! 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 'г 1 1 1 1 1

Рис. 9

Амплитуда вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы при резонансе, как известно, обратно пропорциональна логарифмическому декременту Е, характеризующему диссипацию энергии. У рассматриваемой динамической системы такой зависимости не наблюдается, при стремлении декремента Е к нулю амплитуда А колебаний упругой системы асимптотически стремится к некоторому пределу. Это явление, конечно, объясняется наличием вязкоупругих связей между несущей конструкцией и подвижными механическими объектами, каждый из которых входит на упругую систему с нулевыми начальными условиями.

На рис.10 показаны "траектории" движения складки в проекциях на координатную плоскость 3-4 конфигурационного пространства обобщенных координат при несимметричном загружении {ир= 0.725, й = 20.4 м, Ь = 20.4м, 6 = 0.001).

В п.8.4 приводятся соображения о зависимости коэффициента динамичности (1+ц) от множества факторов, таких, например, как конструкция и динамические свойства пролетного строения и

У*1п=-3.38е-02

Кп1П=-3.90е»00 Хнах= 4.01еЮ0

Рис.10

автомобилей, диссипация энергии, скорость движения автомобилей и расстояния между ними в колонне, их расположение на пролетном строении в поперечном направлении. В рассмотренной выше модельной задаче («¿=£=20.4м, ь*=82.2км/ч, е = 0.001) при движении колонны над двумя крайними ребрами (1+ц)=2.057 и над двумя средними (1+д)=2.357.

Девятая глава посвящена разработке численного метода исследования устойчивости колебаний упругой системы под воздействием колонны подвижных механических объектов.

Данную динамическую систему можно рассматривать как периодическую. Действительно, при перемещении подвижного объекта по упругой системе ее парциальные частоты меняются с течением времени, а при движении регулярной колонны - периодически. Поэтому эту задачу можно отнести (по В.В.Болотину) к задачам, родственным задачам теории динамической устойчивости упругих систем, и провести исследование на предмет возникновения параметрических резонансов. Теория параметрического резонанса, основанная на теории дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, представлена в монографиях В.В.Болотина, В.А. Якубовича и В.М.Старжинского, Г.Шмидта, В.Н.Фомина, при этом важную роль играет теория "движения" мультипликаторов М.Г.Крейна. В.В.Болотин предложил определять устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка с периодическими коэффициентами, оценивая норму матрицы перехода, которая строится численно, например методом Рунге-Кутты.

Для идеализированных случаев движения с постоянной скоростью бесконечной последовательности одинаковых грузов с постоянной дистанцией по однопролетной балке в работах автора показана возможность возникновения параметрических резонансов .

В нашем случае динамическая система, вообще говоря, не периодическая. При въезде на упругую систему каждый автомобиль совершает нестационарные колебания, которые после съезда с нее со временем затухают. Упругая система, если рассматривать процесс достаточно длительное время, испытывает периодические воздействия, обусловленные не только перемещением гравитационных сил, связанных с весом каждого автомобиля, но и перемещением масс. Таким образом, через равные промежутки времени в процесс колебаний вовлекаются все новые и новые автомобили .

При движении колонны положения и число экипажей на упругой конструкции с течением времени периодически меняются. Зафиксируем момент времени , когда на этой контрукции будет находиться минимальное число N активных автомобилей. В некоторый другой момент на ней могут оказаться N+1 автомобилей. Нумерацию активных автомобилей примем против направления их движения так, что первый автомобиль в течение периода Т=б./и сойдет с упругой конструкции, а (Ы+1)-й войдет в пролет. Заметим, что последний из активных автомобилей имеет нулевые начальные условия, а первый после схода с упругой системы не оказывает воздействия на нее. Поэтому можно составить матрицу перехода А от вектора фазовых координат динамической системы в момент к вектору фазовых координат в момент Ц :

= Аао • (24)

Включим в вектор а0 начальные значения фазовых координат

N первых активных автомобилей и п собственных форм упругой системы при 1 = Ц в начале первого периода, в вектор я1~ при в начале второго периода. Блочные компоненты векторов а0,а1, имеющие одинаковые индексы а, соответствуют автомобилям, одинаково расположенным по отношению к упругой системе. Порядок

квадратной матрицы А равен 2(Ыпа+п), где па- число степеней свободы одного автомобиля. Матрицу А можно назвать матрицей дискретного точечного отображения при стробоскопическом наблюдении кусочно-сшитой системы через промежутки времени, равные периоду Т .

Составим вектор перемещений динамической системы и(1) размерностью (Ы + 1)па+п, в который включим перемещения всех активных автомобилей и обобщенные координаты упругой системы.

Матрицу А можно получить, предварительно решив систему интегральных уравнений:

(пХц, +к? +к>?-к;«: =г£КРа -

- (Ц>в - кита)хаа0 - Ц>;аг«0 + - рг)2«0 + ¥1к±ак0 ; (а = +1))

(25)

= - (Р^ - )2.10 - р1к*10 - (Па ТР - Р,Па Т) Чо - Па ТРг <10 ,

где — функции влияния начальных условий.

При исследовании устойчивости колебаний, описываемых системой уравнений (9.9), вес не учитываем (Оа = О; в*. = О). Тогда решение будет зависеть только от начального вектора состояния и0 = и(0) и его производной по времени й0 = й(0) . Подставляя в (9.9) взамен и0 и й0 последовательно столбцы единичной матрицы с учетом х^д1 =0, ¿"¡¡'=0, =0, г^1 =0, можно рассчитать N па+п векторов состояния ит = и(Г) в конце периода. Столько же векторов скоростей йг=и(Т) вычисляются приближенно по формуле центральных разностей. Исключая из векторов иг , йг блочные компоненты с индексом а = 1, т.е. перемещения г'а, х. £ и их скорости ¿д, £ ^ первого автомобиля, сошедшего к концу периода с пролета, получим в совокупности матрицу перехода А (9.1) .

Теперь поведение системы можно исследовать, анализируя

мультипликаторы — собственные значения матрицы А . Векторы а, с увеличением индекса 1 будут ограниченными, если все мультипликаторы матрицы А лежат внутри единичной окружности.

На рис.11 показано движение мультипликаторов мягкого спектра на комплексной плоскости при изменении скорости колонны автомобилей как параметра. Показаны перемещающиеся с уменьшением скорости колонны против хода часовой стрелки относительно центра координат мультипликаторы первого рода; мультипликаторы второго рода, им симметричные относительно вещественной оси, не показаны. Мультипликаторы жесткого спектра находятся в круге радиусом К=0.006 (не показаны). На рис.12 приводятся зависимости мультипликаторов первого и второго рода от скорости колонны для случая, когда они перемещаются по вещественной оси (1шр=0) при 0.374 < и/и} < 0.377; (1=15.2 и; е = 0.005. С увеличением затухания абсолютные значения мультипликаторов уменьшаются.

1т р

V

м

г-(О

о

У.

СО

о

Рис.11

Рис.12

Десятая глава посвящена разработке методики расчета колебаний складчатых систем с промежуточными опорами.

Собственные формы складчатых систем с промежуточными опорами представляются в продольном направлении уже не одной гармоникой, а (теоретически) бесконечным их числом. Здесь можно провести аналогию с неразрезными балками. В отличие от методики А.П.Филиппова, для расчета собственных частот и собственных форм неразрезных балок с равными пролетами можно получить уравнение частот в виде приравненной нулю мероморфной функции.

Уравнения смешанного метода в случае свободных колебаний складчатых систем с идеальными на торцах диафрагмами и сосредоточенными промежуточными абсолютно жесткими вертикальными опорными связями содержат вектор х "лишних" неизвестных реакций промежуточных опор. Его блочные компоненты хк, в случае N+1 равных пролетов и одинаковых промежуточных опор с п0 опорными частями, запрещающими перемещения узловых линий по вертикалям, можно определить по формуле

хк= Евтл'-5^ (26)

где Хк - координата /с-й опорной плоскости, отсчитываемой от левого торца складки вдоль узловых линий; Vj - векторы групповых неизвестных. Тогда уравнения смешанного метода распадаются на N независимых систем уравнений (I, =(1,^)) :

~)вV,, (г с I) ;

где множество целых чисел, I = (ф' = 2(7У + 1)/7г±I,, т = 1,2,3,...).

Кроме того, имеются собственные формы и собственные частоты, которые совпадают с собственными формами и собственными

частотами однопролетной складки без промежуточных опор:

= >.М,г, = ^ + 1)т, т = 1,2,3,...), (28)

Если из системы (27) исключить векторы 2,-, то получится одно матричное уравнение относительно группового неизвестного

[5:вг(К,-Ш£)'1ВЦ=0 (й=(Щ). (29)

Че/ ^

Уравнение частот складчатой системы с промежуточными опорами

£ Вт(11; - Ш;)"'в = 0 . (30)

Ме/ '

Левая часть уравнения (30) как функция параметра X есть мероморфная функция, имеющая нули, соответствующие собственным значениям системы со связями, и полюсы, соответствующие собственным значениям системы без связей. Это позволяет сначала решить "базовую" задачу на собственные значения для складки без промежуточных опор, в результате чего становятся известными полюсы мероморфной функции, а затем в каждом интервале между соседними полюсами производится поиск возможных нулей.

Если решена задача на собственные значения базовой задачи т

(ПгЧ>ю ; \уюЩ\ую =1) , то уравнение частот имеет вид

ёе1 1=0. (31)

Че/ /

После вычисления очередного собственного числа соот-

ветствующий собственный вектор определяется из уравнения

(29), затем — векторы амплитуд узловых линий:

= (К, - ^.М,)"1^ (: е1), (32)

которые нормируются по условию =

¡е/

На рис.12 приведены первые 10 собственных форм неразрезной складки Ь=3х20.4м с сосредоточенными опорами под каждым ребром.

4s

ООО ©21.7

-4 О О 1989.87

в О О 3356.в

1 О О 1237.3

3 О О 1905.6

5 О О 2582.49

roo 4075.в

Э О О 5Э93.05

За разрешающие уравнения колебаний складки с промежуточными опорами при движении по ней с постоянной скоростью колонны подвижных механических объектов (рис.13) можно принять

уравнения (22), в которых матрица-строка у" ординат 1-й собственной формы в точках контакта упругой системы с шинами экипажа с номером а должна вычисляться по формуле

^„¿Нк^. (33)

" ^ " - ч - ь " и У

где J = (j\j=2{N + l)m±j„ т = 1,2,3,...).

В (33) введено местное время , показывающее продолжительность движения передней оси автомобиля с номером а по пролетному строению; Vjí— строка ординат _/-й гармоники 1-й собственной формы, соответствующих левой и правой колеям.

Результат действия интегрального оператора К; на внешнее возмущение 1-й собственной формы от автомобиля с номером а теперь можно разложить на составляющие по гармоникам:

(34)

В качестве примера (п.10.4) рассмотрено плитно-ребристое пролетное строение длиной Ь = 61.2и по схеме 3x20.4 м. Размеры поперечного сечения такие же, как и в примере п.7.9. На рис.14 приведены резонансные кривые при движе- г нии по пролетному строе- 0004 нию колонны автомобилей с о.ооа расстояниями между одно- 0 именными осями й = 15.2и.

-0.002

Рассматривается случай несимметричного относительно продольной оси

Рис.14

2

О .001

о.о1о»я моста загружения. Горизонтальная шкала соответствует относительной скорости движения автомобилей ир =»/»., где V, = Ьах /я . На рис.14 отчетливо видны «во 1лоо »ооо аяоо три зоны, в которых максималь-Рис .15 ные перемещения установившего-

ся режима {¿) превышают максимальные отклонения в начальном нестационарном режиме (1). В первой зоне имеется два близко расположенных максимума, где резонансными являются вторая и третья собственные частоты пролетного строения. На рис.15 показаны "виброграммы" перемещений двух крайних нагруженных ребер в середине второго пролета при ир = 0.0535. Шаг дискретизации Н=0.1 м. Как видно из рисунка, наибольшие перемещения

о-озод« возникают в начальной стадии во время движения головного автомобиля по пролетному строению. На рис.16 показан фрагмент "виброграмм" перемещений в установившемся режиме колебаний с периодом внешнего воздействия.

В одиннадцатой главе приведен перечень программ, разработанных автором для статических и динамических расчетов складчатых систем.

Основные результаты и выводы

1.В работе рассмотрена одна из актуальных проблем строительной механики — проблема определения напряженно-деформированного состояния при колебаниях пространственных упругих конструкций под воздействием подвижных нагрузок, а также устойчивости таких колебаний с учетом диссипации энергии.

м лЛ ,1

'1! ГУ У' 1

ааоо 2400

Еис.16

2. Для ее решения созданы новые математические модели, разработаны методы исследования, получены новые решения и выполнен их анализ для задач о пространственных колебаниях од-нопролетных и многопролетных складчатых систем совместно с подвижной нагрузкой в виде одиночных и расположенных в колонне механических объектов с учетом инерционных, диссипативных и упругих свойств. Разработана новая модификация метода декомпозиции, когда исследуемая сложная пространственная динамическая система с переменной структурой рассматривается как ансамбль простейших типовых элементов (материальная точка, абсолютно твердое тело, упругий, вязкоупругий и вязкий элементы, система с одной и многими степенями свободы, распределенная система с учетом и без учета диссипации энергии и т.п.). Использованы интегральные уравнения Вольтерры первого рода с вырожденными ядрами для описания движения типовых элементов. Применена дискретизация методом коллокаций с кусочно-линейной временной аппроксимацией неизвестных функций. Получены эффективные по сравнению с существующими новые решения для динамических перемещений, напряжений и внутренних усилий на практически бесконечном временном интервале, охватывая единообразно начальный неустановившийся, установившийся и резонансные режимы колебаний. Кроме того разработан новый метод исследования, получены результаты и выполнен анализ устойчивости резонансных колебаний с учетом начальных условий входящих на складку механических объектов с предварительным сведением непериодической в целом задачи к периодической специальным стробоскопическим преобразованием матрицы перехода в усеченном многомерном фазовом пространстве.

3.В развитие метода перемещений А.В.Александрова статического расчета складок с применением рядов Фурье даны новые рекомендации по усечению таких рядов; получены новые точные решения для функций перемещений, внутренних усилий и напряже-

ний в прямоугольных пластинках, деформированных вдоль пролета по закону синуса (косинуса). Используя эти функции в качестве базисных, построены матрицы геометрической жесткости и матрицы масс. Получены новые решения в статической постановке для консольных складок путем применения разработанной новой модификации метода расширения заданной системы и для однопролет-ных складок с поперечными диафрагмами с введением взаимно уравновешенной системы сил. Решены задачи определения статической устойчивости однопролетных складок, собственных частот и собственных форм колебаний однопролетных складок и складок с промежуточными опорами.

4.Впервые выполнен систематический анализ полученных решений, установлено наличие у резонансных кривых множества максимумов в реально достижимом интервале скоростей движения колонны подвижных объектов при абсолютно ровной проезжей части, дано сравнение коэффициентов динамичности в резонансных зонах с нормативными значениями. Впервые исследована картина "уличного движения" мультипликаторов в зависимости от скорости движения колонны как параметра и на численных примерах показана устойчивость резонансных колебаний.

В целом в работе осуществлено теоретическое решение актуальной научной проблемы исследования напряженно-деформированного состояния однопролетных и многопролетных складчатых систем при неустановившихся, установившихся и резонансных режимах колебаний совместно с подвижной нагрузкой в виде одиночных и расположенных в колонне механических объектов с учетом диссипации энергии, а также устойчивости таких колебаний, что имеет важное народнохозяйственное значение.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1.Установившиеся колебания балки под действием бесконечной подвижной регулярной нагрузки// Изв. вузов. Строительство и архитектура. - 1971.-№ 12.- С. 45-50.

2.Свободные колебания неразрезных балок на упругих опорах/ /Теорет. и эксперимент, исследования мостов и строит, конструкций: Сб.науч.тр. № 8/ОмПИ.-Омск,1975.-С.5-28.

3.К оценке погрешности пространственных расчетов пролетных стро-ений мостов //Теорет. и эксперимент, исследования мостов: Межвуз. сб.- Новосибирск, 1977.- С.110-120.

4.Применение метода расширения заданной системы для получения матрицы реакций прямоугольной пластинки на синусоидальные смещения продольных кромок// Теорет. и эксперимент, исследования мостов: Сб. науч. тр./ СибАДИ.-Омск,1979.-С.13-25.

5.Параметрические колебания упругой системы совместно с периодической по длине подвижной регулярной нагрузкой//Теорет. и эксперимент. исследования мостов: Сб.науч. тр./ОмПИ.-Омск,1980.-С.53- 84.

6.Об усечении тригонометрических рядов при расчетах тонкостенных призматических плитно-ребристых систем//Теорет. и эксперимент, исследования мостов: Сб. науч. тр./ Омск СибАДИ. 1981 .-С. 88-100 .

7. К оценке эффективности расчетной модели//Теорет. и эксперимент. исследования мостов: Сб. науч. тр./Омск СибАДИ.1982.-С.77-90.

8.Методы пространственных расчетов неразрезных плитно-ребристых пролетных строений и тонкостенных призматических упругих систем: Учебное пособие.-Омск: СибАДИ,1982.-80с.

9.Параметрические колебания упругой системы при движении с постоянной скоростью регулярной частично подрессоренной инерционной нагрузки//Теорет. и эксперимент, исследования мостов: Сб.науч.тр./ ОмПИ.-Омск, 1987.-С.83-87.

10.Критические скорости движения подрессоренной нагрузки по балке//Исследования по строительной механике и конструкциям: Сб.науч. тр. -Омск,1988.-С.72-79.

11.Свободные колебания цилиндрических складчатых систем с промежуточными опорами//Исследования по строительной механике и строительным конструкциям.-Томск: ТГУ, 198 9.-С.4 4-49.

12.Области неустойчивости параметрических колебаний балки совместно с подвижной частично подрессоренной инерционной нагрузкой// Изв. вузов. Строительство и архитектура.-198 9.-№ 10.-С.39-43.

13.Расчет консольных цилиндрических складчатых систем методом компенсирующих нагрузок//Исследования по строительной механике и строительным конструкциям. -Томск: ТГУ, 1992.-С.29-34 .

14.Расчет регулярных цилиндрических складчатых систем на статические нагрузки и колебания// Исследования по теории пластин и оболочек.-Казань:КГУ,19 92.-№ 25. -С.99-103.

15.Смешанный метод расчета призматических складок с регулярной системой поперечных диафрагм // Исследования по строительной механике и конструкциям. -Омск:ОмПИ,19 91.-С.49-54.

16.Статический расчет тонкостенных призматических складок с регулярным набором диафрагм//Исследования по строительной механике и строительным конструкциям.-Томск:ТГУ,1992.-С.22-27.

17.Напряженно-деформированное состояние складчатой системы при движении по ней механического объекта //Известия вузов. Строительство. -1992.-SO .-С.114-118.

18.Численное решение интегральных уравнений динамики складчатых систем под воздействием подвижных механических объек-тов/СибАДИ. -Омск, 1992. -113с.-Деп.в ВИНИТИ 22.04.92,№1352-В92 .

19.Колебания упругой системы под воздействием подвижной нагрузки //Машины и процессы в строительстве: Сб. науч. тр./ СибАДИ.-Омск, 1994. -С.37-41.

2 0.Колебания упругих систем под воздействием колонны подвижных механических объектов//Изв. вузов. Строительство.-1995.-№ З.-С. 114-117.

21.Колебания упругих систем под воздействием подвижных нагрузок// Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте: Тезисы докладов/ПГУПС.- СПб, 1995. -С.141-142.

22.Колебания и устойчивость складчатых систем// Известия вузов. Строительство. - 1996.- № 4.-С.16-22.

23.Устойчивость колебаний упругой системы под воздействием колонны подвижных механических объектов// Известия вузов. Строительство.-1996 .- № 8.-С.36-42.

24.Колебания упругих систем под воздействием подвижных нагрузок // Проблемы прочности материалов и конструкций на транспорте: Сб. науч. докладов/ПГУПС.- СПб, 1997. -С.98-108.

25.0 численном моделировании динамики однопролетных строений мостов//Математическое моделирование и расчет узлов и устройств объектов железнодорожного транспорта: Межвуз. темат. сб. науч. тр.- Омск: Омская гос. акад. путей сообщения, 1997. -С.15-17.

26.Колебания складчатых систем при подвижных нагрузках: Монография. -Омск: СибАДИ,19 97.-178 с.

СИБИРСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ ИНСТИТУТ

На правах рукописи

КАДИСОВ ГРИГОРИИ МИХАИЛОВИЧ

ДИНАМИКА СКЛАДЧАТЫХ СИСТЕМ ПРИ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗКАХ

05.23.17 — строительная механика

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук

О Ь

Ш

Омск-1997

Оглавление

Введение................................................................................................................................................................................................................................................................4

1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ..............................................15

1.1. Прямолинейное движение материальной точки ....................................................................................................................16

1.2. Движение материальной точки в вязкой среде ........................................................................................................................19

1.3. Система с одной степенью свободы без учета затухания ....................................................................................20

1.4. Система с одной степенью свободы с учетом сил вязкого сопротивления................................21

1.5. Вязкоупругий элемент........................................................................................................................................................................................................22

1.6. Деформирование вязкого элемента ..........................................................................................................................................................23

2. ВРЕМЕННАЯ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ..............................................................................................25

2.1. Общий случай ................................................................................................................................................................................................................................25

2.2. Движение точечной массы без учета рассеяния энергии ......................................................................................28

2.3. Движение массы в вязкой среде ....................................................................................................................................................................32

2.4. Система с одной степенью свободы без учета затухания ....................................................................................33

2.5. Система с одной степенью свободы с учетом сил вязкого сопротивления................................36

2.6. Специальный случай внешнего воздействия на систему с одной степенью свободы 40

2.7. Деформирование вязкоупругого элемента ....................................................................................................................................43

2.8. Вязкий элемент..........................................................................................................................44

3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ....................................................................46

3.1. Метод декомпозиции ..........................................................................................................................................................................................................46

3.2. Вынужденные колебания линейного осциллятора ............................................................................................................47

3.3. Вынужденные колебания системы с конечным числом степеней свободы ............................53

3.4. Вынужденные колебания распределенной системы при подвижной переменной

во времени нагрузке ..........................................................................................................................................................................................................................56

3.5. Свободные колебания линейной системы с одной степенью свободы

без учета диссипации энергии ..........................................................................................................................................................................................59

3.6. Колебания нелинейной системы с одной степенью свободы ......................................................................61

4. СТАТИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ СКЛАДЧАТЫХ СИСТЕМ ............................................................................................................65

4.1. Расчет складчатых систем методом перемещений ........................................................................................................65

4.2. Применение метода расширения заданной системы для определения матрицы реакций прямоугольной пластинки ..........................................................................................................................................................................72

4.3. Изгиб консольной прямоугольной пластинки ..............................................................................................................................79

4.4. Об усечении тригонометрических рядов ............................................................................................................................................84

4.5. Функции прогибов прямоугольной пластинки при синусоидальных смещениях

ее продольных кромок ..................................................................................................................................................................................................................91

4.6. Статический расчет складки с регулярным набором диафрагм ................................................................96

4.7. Статический расчет консольных складок методом компенсирующих нагрузок ................101

5. УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СКЛАДЧАТЫХ СИСТЕМ ................................................................107

5.1. Введение ..............................................................................................................................................................................................................................................107

5.2. Матрица геометрической жесткости прямоугольной пластинки ..................................................................110

5.3. Глобальная матрица геометрической жесткости ..............................................................................................................115

5.4. Устойчивость свободно опертой прямоугольной пластинки, равномерно сжатой

в одном направлении ....................................................................................................................................................................................................................116

5.5. Устойчивость плоской формы изгиба двутавровой балки ..................................................................................117

5.6. Выпучивание тонкой стенки двутавровой балки в приопорных участках ......................................118

5.7. Устойчивость свободно опертой прямоугольной пластинки, сжатой двумя равными

и противоположными сосредоточенными силами ............................................................................................................121

6. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СКЛАДЧАТЫХ СИСТЕМ ..........................................................................................................124

6.1. Матрица масс прямоугольной пластинки ........................................................................................................................................124

6.2. Применение базисных функций ......................................................................................................................................................................132

6.3. Примеры ..................................................................................................................................................................................................................................................135

7. ВОЗДЕЙСТВИЕ ПОДВИЖНЫХ НАГРУЗОК НА УПРУГИЕ СКЛАДЧАТЫЕ

СИСТЕМЫ..............................................................................................................................................................................................................................................................139

7.1. Уравнения совместных колебаний складчатой системы и подвижного механического объекта ................................................................................................................................................................................................................139

7.2. Применение кусочно-линейной интерполяции для решения системы интегральных уравнений типа Вольтерры первого рода ......................................................................................................................................................146

7.3. Определение статических перемещений экипажа, рессор и шин

от собственного веса ........................................................................................................................................................................................................................149

7.4. Преобразование рекуррентной системы алгебраических уравнений ................................................150

7.5. Вычисление амплитуд узловых перемещений и напряжений в складке ......................................152

7.6. Решение задачи на собственные значения для складки ........................................................................................152

7.7. О количестве учитываемых в расчетах гармоник и собственных форм складки ............156

7.8. Скачки контактных сил в точках перелома профиля дороги ..............................................................................158

7.9. Моделирование колебаний складки при движении одиночного автомобиля ......................160

7.10. О построении полной системы разрешающих уравнений для расчета консольных складчатых систем ..............................................................................................................................................................................................................................173

8. КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ КОЛОННЫ

ПОДВИЖНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ........................................................................................................................................178

8.1. Разрешающие уравнения ..........................................................................................................................................................................................178

8.2. Моделирование колебаний складки при движении колонны механических

объектов................................................................................................................................................................................................................................................................181

8.3. О резонансах ....................................................................................................................................................................................................................................191

8.4. О коэффициенте динамичности........................................................................................................................................................................202

9. УСТОЙЧИВОСТЬ КОЛЕБАНИЙ УПРУГОЙ СИСТЕМЫ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ КОЛОННЫ ПОДВИЖНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ ................................................................................................205

9.1. Предварительные сведения ..................................................................................................................................................................................205

9.2. Основные уравнения с учетом начальных условий для подвижных объектов......................207

9.3. Матрица перехода ..................................................................................................................................................................................................................211

9.4. Примеры....................................................................................................................................................................................................................................................215

10. КОЛЕБАНИЯ СКЛАДЧАТЫХ СИСТЕМ С ПРОМЕЖУТОЧНЫМИ ОПОРАМИ................................219

10.1 Предварительные сведения....................................................................................................................................................................................219

10.2. Свободные колебания складок с промежуточными опорами..........................................................................219

10.3. Колебания неразрезной складки при движении колонны подвижных объектов................225

10.4. Пример......................................................................................................................................................................................................................................................227

11. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ ............................................236

Заключение ......................................................................................................................................................................................................................................................239

Литература ........................................................................................................................................................................................................................................................243

ПРИЛОЖЕНИЯ ........................................................................................................................................................................................................................................254

Справка НПКУ "Омсктранспроект" ............................................................................................................................................................................255

Расчет совместных колебаний пролетного строения L=33.0m и колонны автомобилей .. 256

Введение

Совершенствование методик расчета конструкций как единых пространственных систем, широкое применение ЭВМ в проектном деле, создание новых высокопрочных материалов обусловили тенденцию к уменьшению веса несущих конструкций. С другой стороны, увеличивается скорость движения и грузоподъемность транспортных средств. В связи с этим все большее значение приобретает динамика сооружений, воспринимающих подвижные нагрузки. Конструкции становятся все более чувствительными к динамическим воздействиям.

Задача о расчете упругих систем на подвижные нагрузки поставлена давно [126]. Известны четыре варианта постановки такой задачи [106]. Первый вариант сводится к построению линий влияния внутренних усилий и их загружению подвижной нагрузкой. Вторая постановка задачи характерна тем, что массой балки, ввиду ее малости по сравнению с массой подвижного груза, пренебрегают. Третья постановка отличается от второй тем, что в ней, наоборот, учитывается масса балки, массой груза пренебрегают. И, наконец, последняя — задача о движении с постоянной скоростью сосредоточенного груза наиболее сложна, так как необходимо учитывать и массу груза, и массу балки.

Изучение задачи в последней постановке рассматривалось в [17], [18], где, путем применения разложения функции прогибов балки в ряд по собственным формам, получена система дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Решение ищется в виде тригонометрического ряда, и из условия существования отличных от нуля его коэффициентов определяются критические скорости подвижной нагрузки. Способ построения реше-

ния аналогичен способу решения, предложенному в [123] при построении периодических решений уравнения Матье.

В работе [20] получена система дифференциальных уравнений, описывающая колебания упругой системы под воздействием любой подвижной нагрузки для случая, когда учитываются масса конструкции и масса подвижной нагрузки. При выводе уравнений используются нормированная система собственных форм балки, понятия скалярного произведения, полная производная по времени от функции прогиба балки в точке контакта с подвижным грузом.

В связи с тем, что коэффициенты системы уравнений, описывающие колебания упругой конструкции совместно с подвижной инерционной нагрузкой, оказались изменяющимися во времени, был определен класс задач, родственных задачам, рассматриваемым в теории динамической устойчивости упругих систем [19]. Этот класс задач характеризуется периодическим изменением движущейся по балке нагрузки, например, в случае бесконечной последовательности сосредоточенных одинаковых грузов, движущихся на равных расстояниях друг от друга с постоянной скоростью по упругой балке. В этом случае период изменения коэффициентов и правой части системы дифференциальных уравнений равен периоду обращения нагрузки на балке. Система уравнений не однородная. Ее правая часть обусловлена изменением на балке вертикальных гравитационных сил. Пусть эта неоднородная система уравнений имеет некоторое стационарное решение. Исследуя его устойчивость, т.е. поведение во времени малых отклонений от стационарных колебаний, приходим к необходимости построения решений однородной системы уравнений.

Для частного случая неоднородной системы уравнений, когда шаг грузов кратен пролету балки, при учете одной ее собствен-

ной формы оказалось, что коэффициенты в левой части уравнений постоянны. Это позволило получить для вынужденных колебаний решение в замкнутой форме [5 6].

Для общего случая, когда шаг не кратен пролету балки и учитываются высшие формы колебаний, в [60] получены формулы для критических скоростей и по ним построены границы областей неустойчивости. Граница первой, главной, области неустойчивости соответствует условию существования периодических решений однородной системы уравнений. Период такого решения равен удвоенному периоду обращения нагрузки на балке. В данной задаче движущиеся грузы принимались неподрессоренными, обладающими массой; эффекты, связанные со входом очередного груза на балку, не учитывались.

Задача о движении по балке с постоянной скоростью частично подрессоренной полосовой нагрузки рассмотрена в [86], где получены формулы критических скоростей, соответствующих потере устойчивости типа дивергенции. В случае движения регулярной последовательности сосредоточенных частично подрессоренных грузов задача значительно усложняется, так как для каждого надрессорного груза следует решать задачу Коши - задачу с заданными начальными условиями. Однако и в этом случае, как показано в [64], для однородной задачи возможны колебания системы с периодом вдвое большим периода обращения нагрузки на балке. При этом будут различными всего две траектории над-рессорных грузов. Если из системы дифференциальных уравнений с помощью интеграла Дюамеля исключить обобщенные координаты надрессорных грузов, получается функционально-дифференциальное уравнение, которое может иметь периодическое решение. Задача о движении полностью подрессоренных грузов рассмотрена в [65], где построены области неустойчивости путем численного

нахождения корней характеристического уравнения. Оказалось, что критические скорости, соответствующие границам главной области неустойчивости, увеличиваются с возрастанием коэффициента возбуждения, равного отношению массы надрессорного груза к массе балки.

В работе [67] рассмотрена задача о движении регулярной последовательности частично подрессоренных грузов, получены формулы критических скоростей, при которых наступает дивергенция. Получена также система однородных алгебраических уравнений, определение корней определителя которой выполнено численно для различных соотношений шага грузов, пролета, масс надрессорных и подрессорных грузов, и таким образом построены границы областей неустойчивости типа флаттера.

Рассмотренные выше решения задач о воздействии подвижной нагрузки на упругие системы ограничивались в основном определением критических скоростей. Но для оценок динамического воздействия необходимо иметь решение в виде хотя бы зависимости прогибов балки от времени, для полной и надежной оценки необходимо знание и изменения во времени динамических напряжений. Такие решения строились численными методами со времени появления первых ЭВМ. Следует отметить применение асимптотических методов [16],[98]. В работе [96] получено численное решение для случая движения подрессоренной нагрузки. Численные решения этой зад�