автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Анализ глобальной устойчивости движения двухмассовых управляемых систем методом нескольких функций Ляпунова

На правах рукописи

МАЗОВ Богдан Львович

АНАЛИЗ ГЛОБАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ ДВУХМАССОВЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ НЕСКОЛЬКИХ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (физико-матекйтические науки)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород - 2004

работа выполнена в нижег ородском государственном техническом университете

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор [Брусин В.А.|

доктор технических наук, профессор Максимов Ю.М.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Уткин Г.А.

доктор технических наук, профессор Федосенко Ю.С.

Ведущая организация: НИИ измерительных систем им. Ю.Е.Седакова

Защита состоится « _ » _ 2004 г. в _ часов

на заседании диссертационного совета Д 212.165.05 при Нижегородском государственном техническом университете по адресу:

603600 Нижний Новгород, ул. Минина, 24, НГТУ, корпус_,

аудитория_.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке НГТУ.

Автореферат разослан «__» _ 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат технических наук, доцент А.П. Иванов

¿¿¡Об*

frgn 7 Ш

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Исследование устойчивости движения существенно нелинейных динамических систем таких как обширный и практически важный класс релейных систем автоматического регулирования (управления) и механических систем с сухим трением (с характеристикой г -типа) тесно связано с математическим аппаратом нелинейной теории колебаний и теорией дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Первые работы в этом направлении были опубликованы А.А.Андроновым и л.А.Виггом в начале 30-х годов прошлого века и затем эти работы были продолжены в работах научной школы А.А.Андронова (Ю.И.Неймарк, В.И.Железцов, и др.). Большой вклад в исследование таких систем был внесен М.А.Айзерманом, Е.А.Барбашиным, В.М.Матросовым, А.Ф. Филлиповым, В.А.Якубовичем и др.

Одним из основных методов исследования устойчивости нелинейных динамических систем является метод функций Ляпунова. Использование метода функций Ляпунова позволяет свести обычную задачу изучения характера траекторий на фазовой плоскости к исследованию поведения изображающей точки на п - мерной поверхности Ляпунова. Однако регулярных методов построения функций Ляпунова до сих пор не существует.

В ряде задач теории управления представляет исследование глобальной устойчивости нулевого решения системы, т.е. устойчивости нулевого решения при любых начальных возмущениях. При исследовании глобальной устойчивости основным результатом является известная теорема Е.А. Барбашина и H.H. Красовского, в которой были сформулированы условия глобальной асимптотической устойчивости для определенно убывающих вдоль траектории функций Ляпунова. Однако, теорему Барбашина-Красовского не всегда удается применить, особенно в теории управления, т.к. в задачах теории управления как правило рассматриваются невозрастающие вдоль траектории функции Ляпунова.

Имеются попытки доказать асимптотическую устойчивость и глобальную асимптотическую устойчивость, используя функцию Ляпунова, полная производная по времени от которой вдоль траектории всего лишь не положительна, что гораздо чаще имеет место. Поэтому возник другой способ доказательства асимптотической устойчивости, опирающийся на более тонкие теоремы, позволяющие использовать невозрастающие вдоль траектории функции ляпуновского типа, но при наличии дополнительной информации о свойствах исследуемого уравнения. Поэтому идет поиск новых теорем. Известным результатом здесь является теорема В.В. Румянцева, где рассматривается задача об устойчивости данного движения по отношению только к части перемедных, которая возникает, например,

з

когда число интересующих функций меньше удвоенного числа степеней свободы системы.

Цель работы. При исследовании робастной устойчивости движения нелинейных динамических систем с разрывной правой частью с помощью нескольких функций Ляпунова, представленном в диссертации были поставлены следующие цели:

1. Разработка математического аппарата исследования устойчивости в управляемых нелинейных динамических системах с помощью нескольких функций Ляпунова.

2. Исследование устойчивости в сингулярно-возмущенных системах с помощью разработанного аппарата.

3. Исследование с помощью метода двух функций Ляпунова нелинейной модели управляемой механической системы «обращенный маятник на тележке».

Методы решения. Основными методами исследования является метод нескольких функций Ляпунова , методы теории нелинейных систем с разрывной правой частью, методы теории сингулярно-возмущенных систем, методы исследования теории нелинейных систем автоматического регулирования, а также были использованы некоторые разделы теории неравенств, теории множеств и теории пределов и методы численного моделирования с помощью системы МАТЬАВ.

Научная новизна. В диссертационной работе развит математический аппарат исследования устойчивости движения управляемых нелинейных динамических систем с помощью нескольких функций Ляпунова; установлены теоремы, лежащие в основе метода нескольких функций Ляпунова для исследования глобальной устойчивости систем с разрывной правой частью, а также теоремы, позволяющие использовать метод нескольких функций Ляпунова для исследования устойчивости в сингулярно-возмущенных нелинейных динамических системах. С помощью развитого аппарата для двух функций Ляпунова исследована глобальная устойчивость движения нелинейной механической системы «обращенный маятник на тележке» с разрывным управлением, в том числе для случая сингулярных возмущений. Проведено численное моделирование с помощью системы МАТЬАВ поведения фазовых траекторий на основе использования развитого аппарата на примере ряда известных систем, а также для случая нелинейной фазовой системы «обращенный маятник на управляемой .»>*'

1

тележке». Проведен сравнительный анализ полученных результатов с недавно появившимися в литературе результатами исследования этой системы с помощью методов теории групп.

Практическая ценность. Полученные результаты являются модельными для ряда сложных механических систем: монорельс, спутник с вращающимся ротором, подводный объект с вращающимися частями, вращающаяся стрела с грузом, датчик для системы механических шкивов, а также могут быть использованы в сейсмостойком строительстве, радиотехнических системах и др.

Положения, выносимые на защиту:

1. Метод исследования глобальной устойчивости движения нелинейных динамических систем с разрывной правой частью с помощью нескольких функций Ляпунова.

? Метот игслг'лгтяния устойчивости в синп'тгягто-лгимушенных системах с помощью глобальных функций Ляпунова.

3. Условия глобальной устойчивости нелинейной динамической системы «обращенный маятник на управляемой тележке» .

Апробация результатов работы. Результаты работы представлены на международном семинаре «Нелинейное моделирование и управление» (Самара, октябрь 1997 г.), международной конференции, посвященной 60-летию ИЛУ РАН (Москва, июнь 1999 г.),

конференции молодых ученых (Саров, сентябрь 1999 г.), международной конференции «Прогресс в нелинейной науке», посвященной 100-летию со дня рождения акад. А.А.Андронова (Н.Новгород, июль 2001 г.), Международной школе по динамическим и управляемым системам (Суздаль, август 2001 г.), Европейской конференции по управлению (ЕСС'01 БР) (Порту, Португалия, сентябрь 2001 г.), Международном математическом конгрессе (Пекин, КНР, август 2002 г.), Европейском математическом конгрессе (Стокгольм, Швеция, июнь 2004 г.).

Публикации и вклад автора. Основные результаты диссертации отражены в 14 печатных работах. В совместных публикациях В.А.Брусину принадлежит постановка задачи и общий подход к ее решению на основе метода глобальных функций Ляпунова и устойчивости сингулярно-возмущенных систем. Доказательство теорем, решение конкретных задач управления и численное моделирование было проведено диссертантом.

С Ю.М.Максимовым обсуждены полученные результаты моделирования и дальнейшие возможные их применения.

Связь с планом. Проведенные в данной диссертации исследования были поддержаны грантами Министерства образования РФ и Российского фонда фундаментальных исследований, а также грантом Международного центра-фонда перспективных исследований INCAS.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения. Общий объем диссертации 139 страниц. Диссертация содержит 16 рисунков и список литературы из 92 Названий.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, приведен краткий обзор литературы по данной тематике и современное состояние проблемы, представлены цели работы, научная новизна, научная и практическая значимость результатов работы, а также дано краткое изложение достигнутых в данной работе результатов и приведена структура работы.

В первой главе приведены необходимые сведения из теории нелинейных динамических систем с разрывной правой частью.

В пункта 1 ! дано краткое введение в проблему исследования устойчивости движения существенно нелинейных динамических систем таких как обширный и практически важный класс релейных систем автоматического регулирования (управления) и механических систем с сухим трением ( с характеристикой ъ- типа). Первые работы в этом направлении были опубликованы A.A. Андроновым и A.A. Виттом в 30-х годах прошлого века и эти исследования тесно связаны с математическим аппаратом нелинейной теории колебаний и теорией дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями.

В пункте 1.2 представлен характерный вид систем дифференциальных уравнений, используемых при описании движений нелинейных динамических систем с разрывной правой частью

£ = /(*.'), (1)

т

введены используемые при анализе устойчивости в таких системах представления о решении, понятия со -предельной точки и а>-предельной траектории.

В теории автоматического регулирования, для систем с разрывной правой частью (например релейного типа) можно разделить систему на

«линейный» и «нелинейный» блоки, описываемой двумя группами уравнений

(2а) (26)

4 = <р(о, о

В случае стационарной нелинейности с релейной характеристикой г -типа нелинейная группа уравнений (26) часто задается с помощью функции

При исследовании устойчивости движения в автономных системах, когда правые части дифференциальных уравнений не зависят явно от времени /, использование понятий «-предельной точки и «-предельной траектории позволило установить ряд теорем, в частности о том, что если траектория Ь ограничена при / > 0 , то множество П ее сопредельных точек не пусто.

В пункте 1.3 сопоставлены имеющиеся в литературе подходы к определению понятия решения в нелинейных системах с разрывной правой частью/(х, I) (1): возникновение поверхности разрыва в фазовом пространстве для таких систем приводит к появлению трех существенно разных режимов поведения траекторий на этой поверхности. В режиме «прошивания» решения подходят к поверхности разрыва с одной стороны, а сходят с другой; в случае режима «скольжения» решения подходят к поверхности разрыва с обеих сторон; в случае режима «ухода с поверхности» решения только покидают поверхность разрыва в ту или лглтую стопоны от поверхности разрыва.

Представлены способы доопределения нелинейностей на этих поверхностях. Возникновение множества значений функции /(х, 0 в точке разрыва в правой части (1) позволяет применить к математическому исследованию нелинейных систем с разрывной правой частью теорию дифференциальных уравнений с многозначными правыми частями, когда система описывается дифференциальным уравнением вида

<¡>0-

<р(&) = Н>о>Ро] -<Ро

при при при

а> 0 <т = 0 <7<0

(3)

(1)

с многозначной правой частью или теорию дифференциальных включений, когда система описывается соотношением, характерным для теории множеств и

О, (4)

dt

где предполагается, что для каждой точки (х0>'о) множество Лхо<'о) является выпуклым, замкнутым и ограниченным. Тогда понятие решения (4) вводится с помощью следующего определения ( А.Х.Гелиг, Г.А.Леонов, В.А.Якубович, 1978 ).

Определение 1. Вектор-функция x(t) называется решением дифференциального включения (4), если она абсолютно непрерывна и для тех t, для которых существует производная dx/dt выполняется включение

./], (5)

dt

мнОжеСТВО ЗНаЧснйй В TG4KS разрыва, являющееся СуЩсСТБсНКЫм для такого определения решений, приводит, например, в случае срывного трения к возникновению двух решений, в то время как другие имеющиеся в литературе определения понятия решения в таких системах дают только одно решение системы.

В пункте 1.4 обсуждены существующие в литературе подходы к понятию устойчивости решения в разрывных системах.

В пункте 1.5 приведены имеющиеся в литературе основные теоремы метода функций Ляпунова для систем с разрывной правой частью. Метод функций Ляпунова позволяет сделать вывод об устойчивости движения, основываясь на свойствах вспомогательных функций V(x. t), без нахождения решения уравнений возмущенного движения. При этом существенны следующие резуль1сиы.

Лемма 1 ( Е.А. Барбашин, 1967 г.). Если существует функция Ляпунова, ограниченная снизу в области положительных

полутраекторий D и если полная производная по времени этой •

функции V вдоль траектории L знакоотрицательна (dV/dt < 0), то все ю- предельные точки данной траектории L лежат на одной и той же поверхности уровня функции V = С.

Теорема 1 ( Е.А. Барбашин, H.H. Красовский, 1952 г.). Если существует определенно-положительная бесконечно большая функция V , имеющая определенно-отрицательную производную во всем пространстве, то нулевое решение данной системы асимптотически

устойчиво при любых начальных возмущениях (глобально асимптотически устойчиво).

Одним из способов также является исследование устойчивости невозмущенного движения по отношению к части переменных .

Теорема 2 ( В.В. Румянцев, 1968 г.). Если знакоопределенпая по

отношению к переменным хи...,хт (т < п ) функция У(х].....х„, / ),

•

допускает бесконечно малый высший предел, а ее производная V представляет знакоопределенную по отношению к тем же переменным дт|,...,*т функцию противоположного знака, то невозмущенное движение будет асимптотически устойчивым по отношению к переменным х\,...,хт.

Другим способом исследования устойчивости движения нелинейной системы является исследование системы по частям, когда в дополнение к функции У(х, г) вводится вторая вспомогательная функция ^(х.г), определенная в некоторой соответствующим образом выбранной окрестности данного множества М.

Теорема 3 (В.М. Матросов, 1978 г.). Пусть существуют функции У(х,1), 1¥(х,1) , обладающие в Г следующими свойствами. 1°. Функция У(х,/) определенно положительна и допускает бесконечно малый высший предел.

2°. Производная У(х,() <У'(х)<0.

Зи. Функция Ш(х, () ограничена.

4°. Определенно в множестве Е(У* =0).

Тогда невозмущенное движение х = 0 системы (1) асимптотически устойчиво равномерно по *о>'о-

Кроме того, рядом авторов получено большое количество теорем ляпуновского типа, т.е.теорем, в которых задача об устойчивости инвариантных множеств сводится к проблеме нахождения функций Ляпунова, обладающих определенными свойствами, что и представляет основную трудность, в том числе и для разрывных систем.

В пункте 1.6 приведены примеры, позволяющие иллюстрировать с помощью системы МАТЪАВ процедуру получения и доопределения решения согласно определению 1, а также проследить процесс движения изображающей точки по поверхности Ляпунова при стабилизирующем воздействии для известных динамических систем с разрывным управлением релейного типа.

Во второй главе диссертации устанавливаются основные теоремы аппарата метода нескольких функций Ляпунова для исследования глобальной устойчивости движения нелинейных динамических систем общего вида.

В пункте 2.1 представлено состояние исследований по данной проблеме в настоящее время, откуда следует необходимость поиска новых теорем, позволяющих установить устойчивость движения нелинейной динамической системы при ослаблении требований на скорость изменения функции Ляпунова вдоль траекторий системы.

В пункте 2.2 рассматривается управляемая динамическая система, описываемая нелинейными уравнениями

= /(х(1)>У(0,и,у(1)) (6а)

^ = ё(х([),у(0,и^({)) (66)

ш

где х(0 6 Як, у(1)еНт, и е Л1, (х(1),у(0)е Як+т - вектор

состояния системы, и - вектор управления, - возмущение, /(х((), у(0, и, и %(х0), уО), и, - непрерывные функции. Предполагается, что управление генерируется обратной связью "по состоянию" вида

и = и(х, у) (7)

где Щх, у) - кусочно-непрерывная функция, могущая иметь разрыв 1-го рода вдоль некоторой гладкой поверхности в Як+т. Под решением системы здесь понимается решение в смысле Гелига, Леонова, Якубовича (см. главу 1). Для применения аппарата теории автономных динамических систем предполагается, что система (6), (7) либо не зависит от V , либо допускает автономное расширение путем добавления дифференциальных уравнений для у , Для определенности предполагается, что процесс V удовлетворяет векторному дифференциальному уравнению вида

у ^ЙО-Я-.У«-1*), и> = Г(иО, \ = С(у>) (8)

с непрерывной функцией И , все решения которого ограничены в пространстве вместе с производными до (я - 1) -го порядка включительно.

В пункте 2.3 установлены три основные теоремы аппарата метода исследования устойчивости движения нелинейных динамических систем с разрывной правой частью с помощью нескольких глобальных функций Ляпунова.

Теорема 4. Пусть для автономной системы (6), (7) выполнены следующие условия:

1.1.Решение (х = 0,у-в) является асимптотически устойчивым по Ляпунову (в малом) решением нестационарной системы (б), (7), где

¡о

под в понимается нулевой вектор соответствующего линейного пространства (для простоты без указания его размерности); 1.2. Существует гладкая положительная функция У(х) : Rlc У(9) = О, для которой справедливо

/дУ

(9)

для любых х, у и v , где у/{х) - положительно определенная (в смысле гл. 1) функция : Rk у/(в) = О и (у) - скалярное произведение.

¡.¡.Существует положительная функция W(y) : Rm >R!, W{&) = О, для которой справедливо

(Ю)

°У / х(0=о

где rj(y) либо положительно определена, либо из тоги, , '/(>(;) ~ 1 следует, что y(t) ¡¡¡О в силу (6), (7) .

Тогда для всех ограниченных при t -> да фазовых траекторий системы (6), (7) будет справедливо

х(/)-*0, y(t)->0, т.е. система (б), (7) будет иметь глобальную асимптотику в смысле главы 1.

Далее устанавливается утверждение, дающее способ проверки условий теоремы 4.

Теорема 5. Пусть для системы (6) выполнены следующие условия-2.1. Выполнены условия 1.2, 1.3 теоремы 4 с положительными функциями V(x), W(x) и существует такое R> 0 что при |д>| < R

\ду\

где ср(у) - положительная функция при [у| < Й, Rm -+RI.

2.2. Функция g(y) в R- окрестности начала координат

удовлетворяет соотношению

У) * о(х), (12)

где | х |2 +1 у |2< /?2 и а{х) - положительная функция при |х| < R , Rk -+R'.

2 3. Существует число р > 0, такое, что в Я- окрестности точки (в, в) функция

V (*) + /»7( У) ~ ро(*)9>(у)

Ик+т ->й'положительно определена. Тогда стационарное решение (х=в,у=0) системы (б), (7) асимптотически устойчиво по Ляпунову.

Установим теорему, которая позволяет проверить условия ограниченности.

Теорема б. Пусть \(1), м/ф , - непрерывные положительные функции [0, да]-» Л1, удовлетворяющие условиям

VI/<0(у), V-»со, (т.е. М^о при V-->&>), (13)

V

и

X

|й(0Л<ю . (И)

о

Пусть для любого временного отрезка [О,Г], Т > 0 справедливо неравенство

I

<2(0 < с0 + с, (Г) + с2 |0(/Ж'Уг, 1в [0, 77, (15)

о

где <20) = + и/У, с0 м г2 - константы, независящие от Т, с|(Г) = шахн'(/), Ге[0,Г].

I

Тогда существует константа с3 такая, что яир

/>0

Эйр ^ Су . <>0

Установленные в этой главе теоремы составляют основу математического аппарата метода нескольких функций Ляпунова для анализа устойчивости движения нелинейных управляемых динамических систем с разрывными правыми частями, решение которых понимается в смысле Гелига, Леонова, Якубовича (см. главу 1). Полученные здесь результаты позволяют установить глобальную асимптотику таких систем. Введение нескольких функций Ляпунова позволяет использовать менее жесткие условия на соответствующие динамические свойства.

В третьей главе диссертации проводится анализ устойчивости движения нелинейных сингулярно-возмущенных систем и существования области диссипативности для случая двух малых

положительных параметров с использованием развитого в предыдущей главе аппарата метода нескольких функций Ляпунова.

В пункте 3.1 вводятся основные понятия и определения, которые затем используются в этой и последующих главах.

В пункте 3.2 рассмотрены имеющиеся к настоящему времени подходы к исследованию (глобальной) асимптотической устойчивости в нелинейных сингулярно-возмущенных системах (разделение масштабов по времени относительно малого параметра на конечном интервале времени, декомпозиция сложной (крупномасштабной) динамической системы на бесконечном интервале времени) и др. В частности представлен аппарат, основанный на методе векторных функций Ляпунова и теории сингулярных возмущений в рамках теории устойчивости и используемый при анализе устойчивости в сложных (в смысле их структуры, размерности, числа и формы нелинейностей) динамических системах с несколькими малыми положительными параметрами. Представлены установленные к настоящему времени результаты В.А.Брусина по исследованию асимптотических свойств некоторого класса сингулярно-возмущенных систем, возникающих в теории управления (адаптивных систем) на бесконечном промежутке времени.

В пункте 3.3 установлены теоремы о существовании области диссипативности (и при определенных условиях на величину малого параметра, области притяжения состояния равновесия) исходной нелинейной сингулярно-возмущенной системы с двумя малыми параметрами.

где хе И", ге Ят, ц > 0 - малый скалярный параметр, Г -устойчивая матрица. Функции предполагаются непрерывными и

гладкими: /(в) = Ц{в) = й(0) = 0 . Требуется исследовать устойчивость этой системы при достаточно малых ц и поведение области устойчивости при ц 0.

Положим сначала = 0 и зафиксируем некоторое значение "Ц\ , О < < 1. Пусть ц\ е (0,/7)]. Тогда система (16) принимает вид

— = /0,2) + //2£(х,Г) т

(16а)

(166)

(17а)

(176)

Для этой системы будет существовать глобальная функция Ляпунова вида

Гр(х,г) = У(х) + р1Г(г) (18)

где V определяется выражением

00

У(х)= ¡\х(х,Г)\2Л, хеЯ" , (19)

о

р> 0 - произвольная константа, IV - квадратичная форма (г,Вг), а матрица В > 0 определяется из уравнения Ляпунова

ГгЯ + ВГ = £, (20)

Е - единичная матрица.

Теорема 7. Пусть для системы (17) существует глобальная функция Ляпунова вида

Шр{у) = У{х) + р\У(1), у = (х,г), |>»|2Н(*,г)|2=|х|2 +И2, (21)

удовлетворяющая в силу системы (16) равенству

-^и=о=-(и12+Р|г|2) (22)

для любого р и всех щ из интервала О < щ <щ.

Тогда для любого С> 0 будет существовать такое

6№ (С)= шш (И2+р|г|2), ' И'р=С

что

Шр(у)

—^— (О (23)

т.е. для любого щ е (0,/7]], система (17) имеет область диссипативности О = {(у),^р(х,г) < С}.

Из теоремы 7 вытекает следующая теорема для системы (16) . Теорема 8. Пусть выполнены условия теоремы 7. Тогда для любого С > 0 существует 0<р2£1, такое, что для любых р, е (0,р, ] в силу системы (16) справедливо

т. е. будет существовать область диссипативности для всех Лб(0,/7,] 0 = 1,2,...).

Следующая теорема устанавливает существование области устойчивости «в большом» системы (16)

Теорема 9. Для любого С > 0 существует < /712, что при всех О < //] < /7, область диссипативности {(х,2),№р(х,г)<С] из теорем 7,8

является областью притяжения состояния равновесия системы (16).

В четвертой главе диссертации с помощью двух функций Ляпунова исследована глобальная устойчивость движения в нелинейной модели конкретной сингулярно-возмущенной системы «обращенный ма»шш тележке» с разрывным управлением релейного типа при наличии неизмеряемого возмущения. При этом решение понимается в смысле Гелига, Леонова, Якубовича (см. главу 1). Проведено численное моделирование поведения траекторий на фазовой плоскости и поверхности Ляпунова в такой системе.

Рассматривается объект управления - двухмассовая модель системы «обращенный маятник на тележке», описываемая системой дифференциальных уравнений

где - равномерно ограниченная непрерывная функция I ,

описывающая внешнее воздействие на тележку ( |0(1)| <П, где П -известная величина ), Ь = т1, с = с0 + / = 3 + а, а=т12, М>0, т

> 0 - массы тележки и маятника, соответственно; / - длина маятника; N

> 0 , к > о - коэффициенты сил сопротивления (типа вязкого трения) движению тележки и маятника ; с0 - коэффициент момента упругой силы сопротивления вращению маятника; g - гравитационная постоянная; О > 0 - коэффициент усиления двигателя; J> 0 - момент инерции маятника относительно центра масс; г - координата центра масс тележки; р, | р |< л / 2 - угол между осью маятника и вертикалью, отсчитываемый от вертикального неустойчивого положения равновесия маятника; и($ - величина управляющего сигнала регулятора.

Цель управления задается следующими соотношениями

М г+ £ ¿сое р + N г-Ь Р2 «п р = См(/) + £>(/)

(24а) (246)

£ сое р г+1 р+ с Р+ к г сое Р - Lg вт р = О

если /?(0)«(-|,|),

2*2

(25)

lim |2(/)|=0, z = col (r,r,ß,ß ) {26)

lim | i/(i) |=0 (27)

/—»00

и состоит в приведении в асимптотике управляемой тележки в заданное положение, а прикрепленного к ней маятника - в вертикальное положение (ß-О ) из любого начального положения (25) при наличии неизмеряемого равномерно ограниченного воздействия функции D(t) . Задача состоит в нахождении закона управления в виде

и = U(z), z = col (r,r,ß,ß ), U(0) = 0 (28)

где U(z) - кусочно-гладкая функция с разрывами 1-го рода вдоль некоторой поверхности (линии) и т.о. решение (26), (27) будет пониматься в смысле Гелига, Леонова, Якубовича (см. главу 1) . Замкнутая система объект-регулятор, определя-емая системой (24) , будет обладать свойствами (25) - (27).

В пункте 4.2 проведен краткий обзор других постановок и методов решения этой задачи.

В пункте 4.3 с помощью введения новых переменных (í,s,fi,fi) на основе соотношений

v4 2Л

/? = 2(;г / 4 - <jrcfg(exp(-Q))) (3 0)

3 . „Л > Н е V „>-,•'> \'-J >

4 2 2 2

система уравнений (24) сводится к системе четырех дифференциальных уравнений первого порядка

У ¿У .. /ч „ ¿П ■

— = —--<ю, — = -чм-ЛДи(0-ЯД(0, — = П

А у/(Р) (¡1 Л

- = (31) Л

+ _L_ (-ау-AAu(t)-BD(t))y/-уу + ■ pL-I

В пункте 4.4 решена задача управления для системы «обращенный маятник на тележке» при постоянно действующем возмущении на основе теорем главы 2 для конкретного вида функций Ляпунова и функций сравнения.

Для стабилизации используется разрывная функция «релейного»

типа

где

и = и + Дк

(1,Г>0

[н,1],г=о

_ и

(32)

(33)

(34)

а функции и, берутся из работы В.А.Брусина и др., 1991. Введение разрывного управление приводи! к р<ирьшности правых частей системы уравнений (31), что требует для описания поведения решений привлечения теории систем с разрывной правой частью и соответствующей трактовки понятия решения (решение в смысле Гелига, Леонова, Якубовича, см. главы 1,2).

Далее показано, что условия 1.2, 1.3 теоремы 6 выполняются, если функции У, Щ у/, ц выбраны в виде

У(5,г) = а2+кг2

О*

сов4'2 /?(П)

-г > О

(35)

2аП

«О-2

где к > 0 , е>0 - соответствующим образом выбранные константы, 9 = 2 рЦрЬ-1)~1, г = 2(9-1)-|1я(^-/Г1 >0.

В пункте 4.5 рассматривается система (24) при 0(/)г0, в

предположении, что в регуляторе скорости г и ¡} измеряются неточно,

л л

а их приближенные значения г\ , г2 генерируются с помощью системы

4 г2 ^

где 0 < ц < 1 - малый параметр. Процессы гХ 2 аппроксимируют процессы

г,р. Существенно, что в отличие от последних , они могут быть вычислены без использования операции дифференцирования

(37)

Тогда система (31) может быть представлена в виде шести дифференциальных уравнений первого порядка

у

— = -си + ——

л ИР)

аг_ л

¿о л

<ш

Л

11

/=1

= С2

л

(38)

где г2=г2-/? , и? =и,-и, , а и, определяется из

непрерывных функций и, путем замены г,р на г] г2, соответственно. Система (38) с функциями

/Г = г = ф,г>П,£2)-/*}(«,у,П,П) /р =0 = О(5,г, (1,П)со5/}-П25\п0со5р

может быть сведена к виду (16), если обозначить * = col(s,у, fj,fi) и

Z = COl(Z\,Zl).

(ylwiP)-os

f \

s

Г ¿1

-ar

i=l

Q = fi

g(x,z) = 0

f \ z\

\Z2)

- fz =

h(X,z):

s-p П 4Q cos P - fi sin Рсо$Р;

(41)

При = 0 > z = 0 получается исходная невозмущенная система.

В пункте 4.6 приведены результаты численного моделирования поведения нелинейной системы "обращенный маятник на тележке" с управлением релейного типа при воздействии постоянно действующего неизмеряемого возмущения, проведенное с помощью системы MATLAB. Результаты хорошо согласуются с выводами, полученными на основе применяемого аппарата.

В заключении перечислены основные результаты работы и следующие из них выводы.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Mazov B.L. Global stabilization of controlled nonlinear system "inverted pendulum on a cart" using method of two Lyapunov functions // http://arXiv.org/ mathDS/ 0312495 10 p. (2003, preprint)

2. Mazov B.L. Global stabilization of nonlinear system with using of two Lyapunov functions // in: Proc. of European Control Conference ECC'01, SF, Porto, Portugal ,2001, P. 17-20.

3. Брусин B.A., Мазов Б.Л. Метод двух функций Ляпунова в задаче глобальной стабилизации нелинейных систем // Дифференциальные уравнения Т.35, № 5, С.623-629, 1999.

4. Мазов Б.Л. Использование функций Ляпунова для решения задачи глобальной стабилизации системы "обращенный маятник на тележке" // Труды аспирантов / Изд.: Нижегород. гос. арх.-стр. ун-та, Нижний Новгород, 1998, С.18-30

5. Брусин В.А., Мазов Б.Л. О возможности использования нескольких функций Ляпунова в задачах глобальной стабилизации // Известия РАЕН. Серия МММИУ, Т.1, № 4, С.75-81,1998.

6. Mazov B.L. Global stability of controlled nonlinear system with continuously acting immeasurable perturbation // European Congress of Mathematics ECM'04, Stockholm, Sweden, 2004, Abst.Book, p.24

7. Mazov B.L. Stability of Singularly Perturbed Nonlinear System // International Congress of Mathematicians ICM'02, Beijing, China, 2002, Abst.Book, p. 127

8. Мазов Б.Л. О диссипативности и устойчивости сингулярно-возмущенной системы (метод двух функций Ляпунова) // Международная школа по динамическим и управляемым системам, Суздаль, 2001, Тез.докл., с. 37-38

9. Brusin V.A., Mazov B.L. Invariability of stability property for nonlinear mechanical system under singular disturbances // Symp.Digest of IntConf. "Progress in Nonlinear Science", Nizhny Novgorod, Russia, 2001, p.285

Ю.Мазов Б.Л. Глобальная стабилизация нелинейной двухмассовой системы с использованием функций Ляпунова // Четвертая нижегородская сессия молодых ученых, Саров, 2000, Тез.докл., с. 3738

11.Брусин В.А., Мазов Б.Л. О робастности алгоритма стабилизации системы "обращенный маятник на тележке" // Международная конференция по проблемам управления "60 лет ИЛУ РАН", 1999, Тез.докл., Т.1, с. 159-160

12.Мазов Б.Л. Алгоритм стабилизации системы "обращенный маятник на тележке" Научно-техническая конференция "Строительный комплекс - 98", НГАСУ, Н. Новгород, 1998, Тез.докл., с. 55-56

13.Брусин В.А., Мазов Б.Л. Метод функций Ляпунова для класса задач глобальной стабилизации нелинейных задач в теории управления // Научно-техническая конференция "Строительный комплекс - 97", НГАСУ, Н.Новгород, 1997, Тез.докл., с. 43-44

14.Brusin V.A., Mazov B.L. The problem of global stabilization for nonlinear systems: a method of two Lyapunov functions // Symp.Digest of IntConf. on Nonlinear Modelling and Control, Samara, Russia, 1997, p.43-44

Подписано в печать 28.04.04. Формат 60 х 84 '/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ 294.

Нижегородский государственный технический университет. Типография НГТУ. 603600, Нижний Новгород, ул. Минина, 24.

/ У

*

I

í

\

?

>

P2706Ö

РНБ Русский фонд

2006-4 444

t

Введение.

Глава 1. Необходимые сведения из теории нелинейных систем с разрывной правой частью.

1.1. Введение.

1.2. Основные характеристики движений динамических систем

1.3. Понятие решения в нелинейных системах с разрывной правой частью.

1.4. Типы устойчивости решений в разрывных системах.

1.5. Основные теоремы метода Ляпунова для систем с разрывной правой частью.

1.6. Иллюстративные примеры.

2.2. Постановка задачи.45

2.3. Основные теоремы аппарата.47

2.3.1. Глобальная асимптотика нелинейной системы: две функции Ляпунова.47

2.3.2. Асимптотическая устойчивость по Ляпунову стационарного решения нелинейной системы.50

2.3.3. Свойство ограниченности решений нелинейной системы.52

2.4. Выводы.56

Глава 3. Использование метода нескольких функций Ляпунова для исследования устойчивости сингулярно- возмущенных систем.57

3.1. Постановка задачи.58

3.2. Исследование устойчивости сложных динамических систем с несколькими малыми параметрами.60

3.3. Исследование устойчивости класса нелинейных систем, возникающих в теории управления при сингулярных возмущениях.69

3.4. Выводы.78

Глава 4. Нелинейная модель системы «обращенный маятник на управляемой тележке».80

4.1. Постановка задачи.80

4.2. История вопроса. Другие постановки и методы решения этой задачи.82

4.3. Переход к новым переменным.84

4.4. Решение задачи управления в условиях постоянно действующего возмущения .88

4.5. Задача с неизмеримыми скоростями. Сведение к сингулярно-возмущенной системе.97

4.6. Результаты численного моделирования.105

4.7. Выводы.108

Заключение.110

Список литературы.112

Введение

Актуальность темы. Использование аппарата функций Ляпунова при исследовании устойчивости управляемых динамических систем позволяет решить задачу глобальной стабилизации нелинейных систем [17, 21]. Так в работе [17] была решена задача глобальной стабилизации нелинейной динамической системы с учетом вязкости среды для специального вида управления. В работе [13] была развита идея работы [17] при наличии внешнего неизвестного возмущения. В работе [19] была рассмотрена задача о глобальной стабилизации системы, если размерность вектора управления меньше размерности вектора состояния управляемой системы. В то же время представляет интерес исследование устойчивости такой системы при наличии в системе малого параметра, обусловленного неидеальностью системы. Одним из существенных факторов в задачах стабилизации нелинейных систем, создающих особые трудности при их решении, является фактор "дефицита размерности управления"(см. выше). Для линейных стационарных объектов эта трудность была преодолена еще в 60-х годах теорией управляемости линейных систем Р.Калмана [39]. Для существенно нелинейных систем этот фактор создает дополнительные сложности, когда речь идет о глобальной стабилизации, о создании той или иной глобальной асимптотики фазового пространства, определенной целью управления. Используемые в последнее время в задачах нелинейной стабилизации методы "линеаризации с помощью обратной связи"[39], при наличии дефицита в размерности управления, сталкиваются со своими трудностями. Основным методом решения задач стабилизации нелинейных систем в условиях дефицита размерности управления является метод глобальных функций Ляпунова [21]. Цель работы. Целью данной работы является исследование глобальной устойчивости движения нелинейных динамических систем с разрывной правой частью с помощью двух функций Ляпунова. Задачи диссертационной работы.

1. Разработка математического аппарата исследования управляемых нелинейных динамических систем с помощью нескольких функций Ляпунова.

2. Исследование устойчивости сингулярно-возмущенных систем с помощью разработанного аппарата.

3. Исследование с помощью метода двух функций Ляпунова нелинейной механической системы "обращенный маятник на управляемой тележке". Методы исследования. Основными методами исследования является метод глобальных функций Ляпунова, методы теории нелинейных систем с разрывной правой частью, методы теории сингулярно-возмущенных систем, методы исследования теории нелинейных систем автоматического регулирования, а также некоторые разделы теории неравенств, теории множеств и теории пределов.

Связь с планом. Исследования по теме диссертационной работы проводились в соответствии с планом научно-исследовательских работ НГАСУ и НГТУ, выполняемых в рамках единого заказ-наряда Министерства образования РФ, а также были поддержаны грантами Министерства образования Российской Федерации и Российского фонда фундаментальных исследований, а также грантом Международного центра-фонда перспективных исследований в Нижнем Новгороде (МЦФПИН), N0: 99-1-01. Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие научные результаты:

- Сформулированы и доказаны теоремы, лежащие в основе метода нескольких функций Ляпунова, для исследования глобальной устойчивости нелинейных динамических систем с разрывной правой частью.

- Сформулированы и доказаны теоремы, позволяющие использовать метод нескольких функций Ляпунова для исследования устойчивости сингулярно-возмущенных нелинейных динамических систем.

- С помощью развитого аппарата для двух функций Ляпунова исследована глобальная устойчивость нелинейной механической системы "обращенный маятник на тележке" с разрывным управлением, в том числе, для случая

4) сингулярных возмущений.

- Проведено численное моделирование с помощью системы МАТ1АВ поведения фазовых траекторий на основе использования развитого аппарата на примере ряда известных систем, а также для случая нелинейной фазовой системы "обращенный маятник на управляемой тележке".

- Проведен сравнительный анализ полученных результатов с недавно появившимися результатами исследования этой системы зарубежными учеными (США) с помощью методов теории групп.

Практическая ценность. Полученные результаты являются модельными для ряда сложных механических систем: монорельс (Япония [90]), спутник с вращающимся ротором, подводный объект с вращающимися частями, вращающаяся стрела с грузом (США [78, 79]), а также могут быть использованы в датчиках для механических шкивов (Португалия [82]), сейсмостойком строительстве, радиотехнических системах и др.

Апробация результатов. Основные результаты работы были представР лены на международном семинаре "Нелинейное моделирование и управление", Самара, октябрь 1997 г., международной конференции, посвященной 60-летию ИПУ РАН, Москва, июль 1999 г., 4-й нижегородской сессии молодых ученых, Саров, сентябрь 1999 г., международной конференции "Прогресс в нелинейной науке", посвященной 100-летию со дня рождения акад. A.A. Андронова, Нижний Новгород, июль 2001 г., Европейской конференции по управлению (SF), Порто, Португалия, июль 2001 г., Международной школе по динамическим и управляемым системам, Суздаль, август 2001 г., Международном математическом конгрессе, Пекин, КНР, август 2002 г. Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 14 печатных работах.

Личным вкладом диссертанта в совместные работы является вывод результатов, анализ имеющихся в научной литературе результатов по проблеме, подходов к решению аналогичного класса задач, проведение численного моделирования. Брусину В.А., как научному руководителю, принадлежат постановка задач и формулировка базисного метода. С Ю.М.Максимовым были обсуждены результаты численного моделирования и возможные применения. Структура и объем диссертации. Основной текст диссертации состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, содержащего 92 названия и занимает 111 машинописных страниц и 16 рисунков.

Основные результаты, полученные в данной работе, заключаются в следующем:

- Разработан математический аппарат для исследования глобальной устойчивости существенно нелинейных динамических систем с разрывным управлением г-типа.

- Доказаны теоремы, содержащие условия глобальной устойчивости нелинейных динамических систем данного класса для случая полного наблюдения вектора состояния.

- Разработан алгоритм управления, обеспечивающий глобальную асимптотическую устойчивость исходной замкнутой системы.

- Доказаны теоремы, содержащие условия устойчивости сингулярно-возмущенных динамических систем с разрывным управлением релейного типа.

- Разработан алгоритм управления для случая сингулярно-возмущенных систем.

- Проведено численное моделирование помощью системы МАТ1-АВ поведения нелинейной динамической системы "обращенный маятник на управляемой тележке"при постоянно действующем возмущении .

- Проведенное сравнение полученных результатов с недавно появившимися результатами исследования устойчивости этой системы зарубежными учеными (США) с помощью теории групп показало большую эффективность стабилизации исследованной системы в нашем случае.

Исходя из анализа полученных результатов определены основные направления дальнейших исследований:

1. Т.к. нелинейные системы с разрывной правой частью являются лишь одной из разновидностей систем дифференциальных включений, представляется актуальной задача получения условий устойчивости с учетом неидеальности задания начальных условий.

2. Исследование вопросов устойчивости для систем с переменной амплитудой переключения.

3. Синтез разрывного управления релейного типа для нелинейных систем со сложной структурой.

Заключение

В диссертационной работе исследовалась задача анализа глобальной устойчивости движения нелинейных динамических систем с помощью нескольких функций Ляпунова, и , на основе полученных результатов, проведено исследование устойчивости нелинейной фазовой системы "обращенный маятник на тележке" с разрывным управлением.

Под нелинейной динамической системой с разрывной правой частью понимается система, описываемая с помощью дифференциальных включений, когда правые части являются многозначными, т.к. терпят разрыв на некоторых поверхностях в пространстве состояний. При этом размерность вектора управления оказывается меньше размерности вектора состояния.

Под глобальной устойчивостью понималась устойчивость в целом, т.е. когда условие устойчивости распространяется на все фазовое пространство.

Под сингулярно-возмущенной системой понималась система, когда малые параметры входят сомножителем при производных в левой части.

Под разрывным управлением понималось управление, которое приводит к разрыву правых частей нелинейной системы.

1. Айзерман М.А., Пятницкий Е.С., Основы теории разрывных систем // I, II Автоматика и телемеханика No.7,8, 1974,

2. Алимов Ю.И. Об устойчивости в целом равновесного состояния равновесия нелинейных систем автоматического регулирования // Изв.вузов. Радиофизика т.2, No.6, 1959

3. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами // М.: Наука, 1976. 367 с.

4. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. // М.: Физ-матгиз, 1959. 916 с.

5. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г., Качественная теория динамических систем второго порядка. // М.: Наука, 1966.- 568 с.

6. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. // М.: Наука, 1967.- 224 с.

7. Барбашин Е.А., Геращенко Е.И., О стабилизации систем регулирования // ПММ Т.28, No.4, С.761-765, 1964.

8. Барбашин Е.А., Красовский H.H., Об устойчивости движения в целом // ДАН СССР Т.86, No.3, С.453-456, 1952.

9. Беккенбах Э., Беллман Р., Неравенства. М.: Мир, 1981. 448 с.

10. Брусин В.А. Динамика систем. Оптимизация и адаптация.// (Межвузовский сб.) Горький, Изд-во ГГУ. 1981

11. Брусин В.А. Об одной задаче адаптивной подстройки непрерывных управляемых систем // Автоматика и телемеханика. N0.3, С.88-93, 1986.

12. Брусин В.А. Об адаптивной стабилизации двухмассовой системы "обращенный маятник на тележке"// Изв.РАН: Техническая кибернетика. N0.2, С.31-38, 1991.

13. Брусин В.А., Глобальная стабилизация системы "обращенный маятник на тележке"при действии на "маятник"неизмеряемого возмущения // Изв.РАН: Техническая кибернетика. N0.4, С.30-39, 1993.

14. Брусин В.А. Об одном классе сингулярно-возмущенных адаптивных систем I // Автоматика и телемеханика. N0.4, С.119-129, 1995.

15. Брусин В.А. Об одном классе сингулярно-возмущенных адаптивных систем II // Автоматика и телемеханика. N0.5, С.103-113, 1995.

16. Брусин В.А., Лапшина М.В. Об одном классе непрерывных алгоритмов адаптивного управления.I// Автоматика и телемеханика. N0.10, С.81-90, 1980.

17. Брусин В.А., Лейбо А.М., Серебряков Д.К. Глобальная стабилизация неустойчивой нелинейной двухмассовой системы // Известия РАН: Техническая кибернетика. N0.4, С.3-12, 1991.

18. Брусин В.А., Мазов Б.Л., Метод функций Ляпунова для класса задач глобальной стабилизации нелинейных систем в теории управления // Научно-техн.конф. "Строительный комплекс-97", НГАСУ, Нижний Новгород, 1997, Тез.докл., с. 43-44.

19. Брусин В.А., Мазов Б.Л. О возможности использования нескольких функций Ляпунова в задачах глобальной стабилизации // Известия РАЕН, серия МММИУ Т.1, No.4, С.75-81, 1998.

20. Брусин В.А., Мазов Б.Л. О робастности алгоритма стабилизации системы "обращенный маятник на тележке11// Международная конференция по проблемам управления (60 лет ИПУ РАН), Москва, 1999 г., Тез.докл. Т.1, С. 159-160.

21. Брусин В.А., Мазов Б.Л. Метод двух функций Ляпунова в задаче глобальной стабилизации нелинейных систем // Дифференциальные уравнения Т.35, No.5, С.623-629, 1999.

22. Брусин В.А., Смирнов E.H., Мазов Б.Л., Математические методы исследования устойчивости и колебаний упругих систем // Нижний Новгород.: изд. НГАСУ, 1999. 49 с.

23. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A., Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. 384 с.

24. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф., Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990. 208 с.

25. Винер Н., Кибернетика или управление и связь в животном и машине.// М.: Советское радио, 1968. 328 с.

26. Волков A.A. Введение в динамику сложных управляемых систем // М.: Наука, 1985. 352 с.

27. Гайцгори В.Г. Управление системами с быстрыми и медленными движениями. // М.: Наука, 1991. 224 с.

28. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953. 492 с.

29. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Наука, 1966. -300 с.

30. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А., Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.- 400 с.

31. Гноенский Л.С., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э., Математические основы теории управляемых систем. М.: Наука, 1969.- 512 с.

32. Демидович Б.П., Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

33. Емельянов C.B., Бермант М.А., К вопросу о построении высококачественных систем автоматического управления объектами с изменяющимися параметрами // ДАН СССР Т.145, No.4, С.748-751, 1962.

34. Емельянов C.B., Уткин В.И., Применение систем автоматического регулирования с переменной структурой для управления объектами, параметры которых изменяются в широких пределах // ДАН СССР Т.152, No.2, С.299-301, 1963.

35. Емельянов C.B., Костылева Н.Е., О некоторых особенностях движения в системах автоматического регулирования с переменной структурой, обладающих разрывной функцией переключения // ДАН СССР Т.153, Mo.4, С.776-778, 1969.

36. Железцов H.A., Метод точечного преобразования и задача о вынужденных колебаниях осциллятора с "комбинированным трением"// ПММ Т.13, No.l, С.3-40, 1949.

37. Железцов H.A., К теории разрывных колебаний в системах второго порядка // Изв.вузов: Радиофизика T.I, No.l, С.67-78, 1958.

38. Зубов В.И. Методы Ляпунова и их применение. Л.: Изд-во ЛГУ, 1957.

39. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем // М.: Мир, 1971. 245 с.

40. Колесников A.A. Синергетическая теория управления // М.: Энергоато-миздат, 1994.

41. Колесников A.A. Синергетическое управление системой "перевернутый маятник на управляемой тележке"// 7 Международный семинар "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления", ИПУ РАН, Москва, Россия, 2002, Тез.докл., с.129-131.

42. Красовский H.H. Теория управления движением . М., 1968.

43. Крищенко А.П. Дифференциальные уравнения т.31, No. 11, С. 1858-1865, 1995

44. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования // ГИТТЛ, 1951. 283 с.

45. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. 588 с.

46. Мазов Б.Л., Уравнение эйконала как уравнение Гамильтона-Якоби для вариационного принципа Ферма // Дипломная работа, ННГУ им.Н.И.Лобачевского, Нижний Новгород, 1993. 75 с.

47. Мазов Б.Л., О робастности алгоритма стабилизации системы "обращенный маятник на тележке11// Научно-техн.конф. "Строительный комплекс-98", НГАСУ, Нижний Новгород, 1998, Тез.докл., с. 55-56.

48. Мазов Б.Л., Использование функций Ляпунова для решения задачи глобальной стабилизации системы "обращенный маятник на тележке"// Труды аспирантов, НГАСУ, Нижний Новгород, 1998. С.18-30

49. Мазов Б.Л., Глобальная стабилизация нелинейной двухмассовой системы с использованием функций Ляпунова // Четвертая нижегородская сессия молодых ученых, Саров, 2000 г., Тез.докл. С. 37-38.

50. Мазов Б.Л., О диссипативности и устойчивости сингулярно возмущенной системы ( метод двух функций Ляпунова ) // Международная школа по динамическим и управляемым системам, Суздаль, 2001 г., Тез.докл. С. 37-38.

51. Матросов В.М., Об устойчивости движения // ПММ Т.26, N0.5, С.885-895, 1962.

52. Матросов В.М., О дифференциальных уравнениях и неравенствах с разрывными правыми частями I, II // Дифференциальные уравнения Т.З, N0.3, С.395-409; N0.5, С.839-848, 1967.

53. Матросов В.М. // Автоматика и телемеханика. N0.1, С.88-93, 1973.

54. Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова: анализ динамических свойств нелинейных систем // М.: Физматлит, 2001. 384 с.

55. Матюхин В.И. Универсальные законы управления механическими системами // М.: МАКС Пресс, 2001. 252 с.

56. Методы исследования нелинейных систем автоматического управления. ( под ред. Р.А.Нелепина ) М.: Наука, 1975. 448 с.

57. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981. 488 с.

58. Неймарк Ю.И. О скользящем режиме и периодических режимах релейной системы. Труды ГИФТИ и радиофака ГГУ, Ученые записки, т.ЗО, 1956.

59. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 472 с.

60. Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Динамика неголономных систем // М.: Наука, 1967. 519 с.

61. Немыцкий В.В., Некоторые современные проблемы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений //УМНТ.20, No.4, С.3-43, 1965.

62. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений // М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. 448 с.

63. Персидский К.П., Об устойчивости решений дифференциальных уравнений // Изв.АН Казахской ССР Т.97, No.4, С.61-64, 1950.

64. Петров Б.Н., Емельянов С.В., Костылева Н.Е., Об управлении линейными объектами с переменными параметрами // ДАН СССР Т.155, N0.1, С.61-64, 1964.

65. Плисс В.А. Некоторые проблемы теории устойчивости движения в целом // Л.: изд. Ленинградского ун-та, 1958. 183 с.

66. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1961. 332 с.

67. Рожко В.Ф., Устойчивость по Ляпунову в разрывных динамических системах // Дифференциальные уравнения Т.11, N0.6, С.1005-1012, 1975.

68. Румянцев В.В., Об устойчивости движения по отношению к части переменных // Вестник МГУ, сер. мат.и механика N0.4, С.9-16, 1957.

69. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980. 304 с.

70. Тихонов А.Н. // Математический сборник 1952.т.31. N0.5. С.574-586.

71. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1981. 368 с.

72. Филиппов А.Ф., Дифференциальные уравнения с правой частью, разрывной на пересекающихся поверхностях // Дифференциальные уравнения Т.15, N0.10, С.1814-1823, 1979.

73. Филиппов А.Ф., Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 224 с.

74. Фомин В.Н., Фрадков А.Л., Якубович В.А., Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1981. 448 с.

75. Фурасов В.Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация . М., Наука, 1977.

76. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление // М.: Наука, 1965. 424 с.

77. Якубович В.А. Решение некоторых матричных неравенств, встречающихся в теории автоматического регулирования // ДАН СССР Т.143, N0.6, С.1304-1307, 1962.

78. Bloch A.M., Leonard N.E., Mardsen J.E., Controlled Lagrangians and the stabilization of mechanical systems I: the first matching theorem // IEEE Trans.Automat.Control v.45, No.12, p.2253-2270, 2000.

79. Bloch A.M., Chang D.E., Leonard N.E., Mardsen J.E., Controlled Lagrangians and the stabilization of mechanical systems II: potential shaping and tracking // IEEE Trans.Automat.Control v.46, No.l, p. , 2001.

80. Brusin V.A., Mazov B.L., The problem of global stabilization for nonlinear systems: a method of two Lyapunov functions // Symp. Digest of Int. Conf. on Nonlinear Modelling and Control. Samara, 1997, P.43-44.

81. Brusin V.A., Mazov B.L., Invariability of stability property for nonlinear mechanical system under singular disturbances // Symp. Digest of Int. Conf. "Progress in Nonlinear Science", Nizhny Novgorod, Russia, 2001, P. 285.

82. Cardoso A., Dourado A., Robust model-based tolerant control of a mobile structure application to an inverted pendulum // in: Proc.of the 7th Int.Symp.on Intelligent Robotic Syst., July 20-23, 1999, Coimbra, Portugal.

83. Grujic L.T. Uniform asymptotic stability of non-linear singularly perturbed general and large-scale systems // Int.J.Control v.33, No.3, 481-504, 1981.

84. Ishihara J.Y., Terra M.H. On the Lyapunov theorem for singular systems // IEEE Trans.on Automat.Control v.47, No.ll, pp.1926-1930, 2002

85. Ito H., Ohmori H., Sano A. Robust performance by nonlinear H°° control with scaling parameters // in: Proc.of 3rd European Control Conference, Rome, Italy, 1995, p. 665-670

86. Jiang Z.P., Teel A.R., Praly L. Small-gain theorem for ISS systems and applications // Mathematics of Control, Signals and Systems, v.7, p.95-120, 1995

87. Mazov B.L. Global stabilization of nonlinear system with using of two Lyapunov functions // in: Proc.of European Control Conference ECC'01 (SF), Porto, Portugal 2001, p. 17-20.

88. Mazov B.L. Stability of singularly perturbed nonlinear system // Int. Congress of Matematicians ICM'02 , Beijing, China 2002, Abst.Book, p. 127.

89. Mazov B.L. Global stabilization of controlled nonlinear system "inverted pendulum on a cart"using method of two Lyapunov functions // http://arXiv.org/mathDS/0312495 (2003, preprint)

90. Mori S., Nishihaca H., Furuta K., Control of unstable mechanical system control of pendulum Int.J.Control, v.23, 5, 1976

91. Pomet J.B., Praly L. Adaptive non-linear stabilization: estimation from ♦ Lyapunov equation // IEEE Trans.Automat.Contr. v.6, 1992

92. Sontag E.D., Wang Y. On characterizations of the input-to-state stability property // Systems and Control Letters v.8, p. 34-41, 1995