автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Кватернионное решение задач оптимальной переориентации сферически симметричного твердого тела

ВВЩШИЕ.

ГЛАВА 1 . О РЕШЕНИЙ КВАТЕРНМОННЫХ

ДИФФШ'ЕНГШЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.1'

§1. Преобразования, связанные о киншатичесюши уравнениями вращения.1«

§2. Аналитическое решение одного кватернионного дифференциального уравнения.

Выводы.3 '

ГЛАВА 2 . КВАТ1РНИ0НН0Е РБШЕШШ КИНЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ

ОПТИМАЛЬНОГО В СМЫСЛЕ МИНИМУМА ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ

ЗАТРАТ РАЗВОРОТА ТВЕРДОГО ТЕЛА.3(

2.1. Постановка задачи.3А

2.2. Решение задачи.3 '

Вывода.4*

ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗВОРОТА СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО КОСМИЧЕСКОГО АШАРАТА.4А

3.1. Постановка задачи.4А

3.2. Решение задачи быстродействия .4А

3.3. Решение задачи на минимум энергозатрат. .5А

Вывода.

ГЛАВА 4. РШ11ЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗВОРОТА СФЕРИЧЕСКИ

СШМЕТРИЧНОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ОГРАНИЧЕННОЙ И ШШУЛЬСНОЙ ТЯГОЙ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ.вА

4.1. Постановка непрерьшной задачи. . . .6А

4.2. Замены переменных.6*.

4.3. Применение принщша максшр«а Л. С. Понтрягина . . . .6'

4.4- Переход к импульсной задаче.6А.

4.5. Решение импульсной задачи.7С

4.6. Алгоритм решения задачи (4.1.1)-(4.1.6) в импульсной форме. . . .?€

4.7. Шягульсный разворот сферически сшлметричного космического аппарата с фиксированным временем .7?

4.8. Аналитическое решение непрерывной задачи (4.1.1)

4.1.6) для одного частного случая.8С

4.9. Численное решение задачи оптимального разворота сферически симметричного космического аппарата с ограниченной и импульсной тягой при произвольных граничных условиях.

Выводы.

ГЛАВА 5. ЮСТИРОВКА КОСМИЧЕСКОГО МАНЙПУЛЯЦИОННОГО КОМПЛЕКСА

5.1. Краткое описание комплекса, его основные системы координат и их взаимная ориентация.

5.2. Взаимная ориентация систем координат комплекса с учетом юстировки.

5-3- Постановка задачи юстировки.

5.4. Решение задачи определения юстировочных параметров.

5.5. О статистической обработке и стендовых испытаниях . 113 Выводы.

Задачам управления угловьвм движением космического аппарата (КА) посвящено большое количество публикаций как в России, так и за рубежом. Однако сложность стоящих здесь проблем, отсутствие обших аналитических решений и трудности численного решения дифференциальных краевых задач, к которьш сводятся задачи оптимального управления пространственным движением КА, продолжают оставлять вту проблематику актуальной.

Построение управления угловым движением КА как твердого тела Б традиционной постановке включает задачу построения программного углового движения (разворота) , программного управления и задачу построения управления, стабилизирущего программное угловое движение в малом. Задача построения программного углового движения и программного управления во многих случаях решается с помощью методов теории оптимального рЕравленйЯ. Аналитическое решение этой задачи для наиболее часто используемых функционалов оптимизации при произвольных заданных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости КА не найдено (в том числе и в случае сферической симметрииА не говоря уже о произвольной динамической конфигурации КА) . Поэтому в общем случае приходится рассчитывать лишь на приближенное аналитическое или численное решение задачи.

Следует также отметить, что задача оптимального пространственного разворота КА как твердого тела является одной из основных в классе задач, связанных с проблемой управления космическими аппаратами. Шюгочисленные примеры приложений задачи оптимального разворота включают в себя оптимальную (в том или ином смысле) переориентацию спутников связи, исследовательских

КА, костческих станций, а также перенацеливание косшческих платформ военного назначения (обзор S.L. Scrivener, R.O. Thompson [78]) .

Как отмечено многими авторами, аналитическое решение задачи оптшушльного разворота в замкнутой форме, если бы оно было найдено, имело бы большой практический интерес. Решение задачи оптшАлального разворота, как правило [8-10,48,54,77,78] , строится на основе принщпга максимума Л. С. Понтрягина. В результате применения необходимых условий принципа максимума исходная задача оптгшального управлешш приводится к краевой задаче, численное решение которой (в случае отсутствия аналитического решения) достаточно трудоеАжо. Особенно эта проблема ощущается Б случае оптимальных по быстродействию разворотов КА, когда может сложиться ситуация, при которой время, затрачиваемое на построение оптАшальной nporpaiviMH, будет существенно больше, чем время быстродействия.

В общей постановке задачи оптимального пространственного разворота твердого тела (К4) [8,78] объект управления описывается дврля группами уравнений: динамическими уравнениям Эйлера и системой кшематических уравнений, записанных в тех или иных параметрах (углах Эйлера - Крылова, направляющих косинусах, параметрах Родрига - Гамильтона, Кейли - Клейна) в инер-циальной или связанной с твердым телом системе координат. Как отмечено, напрршер, Ю.Н. Челноковым [61] , оредн кинематических параметров, с помощью которых задается ориентация твердого тела, параметры Родрига - Гамильтона и Кейли - Клейна заншЛлают особое место, так как шАеют перед другими кш-юматическими параметрами известные аналитические и вычислительные преимущества. Благодаря этому аппарат параметров Родрига - Гамильтона и Кейли -Клейна (матричный и кватернионный) находит более широкое применение в различных геометрических и кинематических задачах вращательного движения твердого тела (КА) . В диссертационной работе задача оптшАлального разворота рассматривается в кватернион-ной постановке [8 ] . Приведем уравнения объекта управления. Динамические уравнения Эйлера:

1) где J , J,., -1 - главные центральные моменты инерции твердого тела; ы . ш , а - котоненты вектора угловой скорости 5 твердого тела ; М , М , М - кошоненты вектора внешнего (приложенного к телу) управляющего момента М в связанной с твердым телом системе координат; точка означает дифференцирование по времени 1 Кинематические уравнешгя, записанные в кватернионной и векторно - матричной (с использованием изоморфной кватерниону [50,61] кватернионной матрицы п-типа) формах, имеют вид: Л о и. (2)

0 " 0

0 М с -Из 0 а, а 01 где А = X + 11 + Ц + Хг - кватернион, описывакшщй ориен

Х л £м лЗ тащш твердого тела, "о" - означает кватернионное произведеше L 8 J .

Решение уравнений (1) - (2) в замкнутой форде не найдено даже для такого простого, но важного при решении задач, оптимального управления К4 случая, как вращение тела со сферической симметрией * при котором тензор инерции в уравнениях Эйлера становится шаровым. Таким образом, получение аналитического решения задачи оптимального разворота твердого тела (К4) в общем случае (при произвольных граничных условиях по угловой скорости й и угловому положению, задаваемому кватернионом Л) упирается в нерешенность одной из фундаментальных проблем теоретической механики и теории дифференциальных уравнений - построения аналитического решения кинематических уравнений вращательного движения твердого тела и динамических уравнений Эйлера.

Отдельный, самостоятельный интерес в проблеме интегрирования дифференциальной системы (1)-(2) имеет задача построения решения в замкнутой форме кинематического уравнения (2 ) при 5 = 5(t). Данная задача широко известна в литературе и носит название задачи Дарбу [19,23,32] по имени французского математика БагЪоих, который впервые занимался ею в общей постановке. Подход Дарбу, заключаюащйся в сведении с помощью замен переменных исходных уравнений к интегрированию нелинейного дщфференциаль-ного уравнения типа Ргпскати с переменными коэффициентам^ получил в последнее время свое максимальное развитие в работе Г.П. Сачкова и Ю.Н. Харламова [53 J . В этой работе получен наиболее общий частный случай решения задачи, при котором на компоненты вектора угловой скорости «(t) накладывается условие: л ЫАы - Ш 6?А А . А «л)лл2 (а + ф'лЧх+Ь) = О, (3)

3 ,,2 , „,,2 о 1 2 1 2

Ш ' + й ' 2 О где а, b - произвольные постоянные, обобщающий более простые известные частные случаи (например, случай постоянного по направлению вектора угловой скорости [8 ] , конических движений [8 , 22], случай Гриож [58]), и обсуждается вопрос дальнейшего развития данного подхода. Проблему интегрирования кинематических уравнений, как показано Ю.Н. Челноковым, можно также свести к проблеме интегрирования линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. В [65] такой переход строится для кинематических уравнений, записанных в параметрах Кейли - Клейна.

Однако возможен альтернативный подход к решению задачи интегрирования кинематического уравнения в общем случае, основанный на методах теории приводимости. Как уже отмечалось, кватернионное кг-шематическое уравнение (2) эквивалентно линейной дифференциальной системе четвертого порядка, в которой в качестве матрицы коэффициентов выступает, например, кватернионная матрица п - типа (возможна также запись с использованием кватернионной матрицы m - типа [50,61]). Кватернионные матрицы п- и т- тшов являются косооишАетрическими матрицами четного (четвертого) порядка. Как показывается Н.П. Еругиным [16], жшейная дагфференциальная система с кососимметрической матрицей коэффициентов относится к классу приводимых систем, то есть систем, для которых существуют замены переменных (преобразования Ляпунова), приводящие данные системы к системам с постоянный! коэффициенташ. Впервые определение приводимой системы дал A.M. Ляпунов [33]. В качестве примера приводимых систем он привел систему, где элементы матрицы коэффициентов являются периодическими функциями с сдЕшгЛл периодом. Никаких общих соображений о приводимости систем А-М. Ляпунов не высказал и других примеров не пртаел. Дальнейшее развитие теории приводимости и ее приложений для конкретных линейных дифференциальных систем принадлежит И.А. Лаппо-Данилевокому [271, Н.П. Еругину [16,17] ,

A.M. Шифнеру [66] , В.А. Якубовичу [67] , Ю.С. Богданову [6], Й.М. СалихоБОй и Г.В. Чеботареву [7 , 52 , 59], В.В. Морозову [45, 4 6], В.Н. КаленоБОй и В.М. Морозову [22 , 47], В. Ф. Ляшенко [34],

B. Н. Кошлякову [24,25], В.Н. Бранцу, И. П. ШМыглевскому [8] , П.К. Плотникову [4 9] , Ю.Н. Челнокову [60] , а также M.-Y. Wu, I.M. Horowitz, J.С. Dennison [81, 82 , 83].

Существует шесть хорошо изученных случаев интегрируемости систем линейных дафференциальных уравнений и критериев приводимости к шт. Как указывается в [22] , фундаментальная матрица лигейной дифференциальной еиотекш где X - п-мерный вектор состояния системы, A(t) - матрица размерности пхп, элементы которой - непрерывно дифференцируемые функции времени t, может быть найдена в явном виде по элементам матрицы коэффищшнтов, когда матрица коэффициентов принадлежит одному из классов: 1) A{t) = А = oonst; 2) A(t) - диагональная; 3) A (t ) - треугольная; 4) A (t ) удовлетворяет условию

Для выполнешш этого условия необходимо и достаточно [45], чтобы матрица A (t ) представлялась в виде

X' = A (t)x,

4)

A(r)dT A(t) = A(t) ["A(r)dt.

5)

A(t) = Y. \(л)\'

6) где « (t ) - шнейно-незаЕИСимые скалярные функции, а матрицы А const - попарно коммутативны А А. = А.А (к, А = 1,2,.,m); к J J к

5) A (t ) удовлетворяет уравнению d(A(t) /'f(t) ) /dt = А A (t) - A (t) A . (7)

1 1 в котором АА= const, f (t) - некоторая скалярная функция, \p{t)*0, vt; б) матрица A (t ) представляется в виде суммы матриц А ( t ) [83]:

A(t) = i Ait) ( 8 ) таких, что можно построить матрицы fjt) = T-A(t)AA(t)i;A.A(t), (9)

TA (t) = Е, TA (t) = ®A (t)Tj aa (t) , (к = 1,2, . ,m) причем Ф (t ) ~ решение уравнения Ф' = F ( t ) $ (Ф, (О) = Е ) , где Е - единичная матрица. Если построенные таким образом матрицы Р ( t ) относятся к одному из перечисленных выше классов 1 ) - 5 ) , то срютема (4) с матрицей A ( t ) , удовлетворяющей условиям (8), (9), также относится к классу систем, интегрируемых в замкнутой форме.

Ряд известных частных случаев интегрируемости кинематического уравнения (2) хорошо вписывается в теорию приводимости. Например, случай конической прецессии [8 , 22 , 4 7] , когда вектор угловой скорости обращается по круговому конусу вокруг некоторой оси, подпадает под критерий приводимости (7) при ?|i(t)=1. Рассмотрения же задачи интегрирования кинематического уравнения в общем случае как системы линейных дйф |) еренциальных уравнеш1й с коеосимметрической матрицей коэффьщиентов в аспекте теории приводимости на основе вывода, сделанного Н.П. Еругиным, в литературе встречено не было. В первой главе диссертационной работы строятся преобразования, связанные с попыткой такого интегрирования кинематического уравнения. Предложены преобразования, приводящие кинематическое уравнение в случае произвольного вектора угловой скорости к линейной дифференциальной системе, матрица коэффициентов которой имеет геометрический смысл прецессш вектора угловой скорости вокруг одной из осей, но, при этом, в отличие от известного классического случая конической прецессии, даьшый вектор имеет произвольный переменный модуль . Напршлер, матрица коэффициентов может иметь вид: sin t -COS t О

О О -COS t

О О -sin t cos t sin t 0 иди в векторной форме f(t)(-T sin t + IAcos t), где f ( t ) - некоторая скалярная функция.

Обсуждается проблема существования связи между решениями уравнений 2А*= А а 5 и 2f' = о о ij; в случае произвольного вектора i. Предлагается общее решение одного кватернионного дифференциального уравнения, близкого по структуре к классическому кватернионному кинематическому уравнению С 3 8].

Как отмечено в [ 8] , задача оптимального пространственного разворота твердого тела (КА) может рассматриваться в кинематической и дшшмической постановках. Под кинематической задачей О sin t CCS t О пространственного разворота твердого тела поншлается задача управления движением твердого тела» когда управлящей функцией является вектор угловой скорости твердого тела. Такая постановка задачи не учитывает того факта, что в действительности движение твердого тела (К4) описывается также и динамичеокаями уравнениями Эйлера (1) и в качестве функции управления выступают величины моментов, действушщх на тело. Тем не менее, кинематическая задача пространственного разворота имеет не только теоретический, но и практический интерес. Например, в случае управления ориентацией КА с помощью вращащихся маховиков построение необходимых законов изменения вектора кинетического момента маховиков включает в себя построение вектора требуемой абсолютной угловой скорости ЕА на основе теории кинематического управления угловым движением твердого тела. Другим примером практического применения кинематической задачи управления служит синтез законов изменения вектора требуемой угловой скорости трехосной стабилизированной платформы космического орбитального комплекса "Аргус" проекта "Марс", проводимый на основе теории кинематического управления угловым движением твердого тела [18].

Отличительной особенностью кинематической задачи оптимального разворота твердого тела является то, что она для ряда ми-нимизируегжх функционалов, определяющих качество переходных процессов, решается на основе принципа максимума Л.С. Понтряги-на аналитически до конца в силу самосопряженности системы дифференциальных уравнений объекта управления. В литературе (В.Н. Бранец, И. П. 1Шшглевский [ 8 ] , Д. В. Лебедев, А. И. Ткаченко [28] ) хорошо изучена задача оптимального по быстродействию кинематичеекого разворота твердого тела (КА). В рамках работ, проводимых Шститутом проблем точной механики и управления РАН (г.Саратов) по Государственной программе "Марс" по заказу Российского косшческого агенства автором диссертационной работы решалась задача кинематического оптимального разворота твердого тела (КА) в смысле минимума энергозатрат [18,36]. Во второй главе диссертационной работы представлено аналитическое решение этой задачи на основе принципа максимума Л.С. Понтрягина . Получены явные выражения, определяющие оптимальное управление и оптимальную траекторию.

Постановка задачи динамического оптимального разворота твердого тела (КА) содержит в. себе всю совокупность уравнений (1)-(2) и граничных условий к ним; в качестве управляющих воздействий, как уже отмечалось ранее, выступают внешние моменты М , М , М . Аналитческое решение задачи в общей постановке не найдено. Имеются аналитические решения задачи оптимального разворота твердого тела (КА) со сферическим распределением масс из положения покоя в положение покоя и, более общие, для случая, когда векторы граничных условий по угловой скорости твердого тела коллинеарны оси плоского эйлерова разворота, определяемого граничными условиями по угловому положению твердого тела; также известен частный случай аналитического решения задачи оптимального разворота твердого тела (КА) с одной осью симметрии. (Работы В.Н. Бранца, И.П. Шмыглевского, Ю.В. Казначеева, М-Б. Чертока [8,9], Б.Н.Петрова, В.А. Боднера, К.Б. Алексеева L1, 4 8 J , Ю.Н.Челнокова [62 J , А.Н.Сиротина [54 J , Н.А.Стрелковой [55], а также целый ряд работ, указанных в обзоре S.L.Scri-vener и R.G. Thompson [69-80] ; критерии оптимальности - быстродействие, шшшщ расхода рабочего тела, максимизация терминальной точности переориентации). А.Н. Сиротиным задача оптимального управления переориентацией сферически симметричного твердого тела из положения покоя в положение покоя решается на основе предварительного сведения исходной динамической задачи с постоянным ограничением на модуль управляющего воздействия к соответствующей кинематической задаче оптимального разворота с переменной областью возможных управлений с последующим применением принципа максимума Л. С. Понтрягина. В третьей главе диссертационной работы подход А.Н. Сиротина обобщается на примере задачи быстродействия на случай граничных условий по угловой скорости коллинеарных оси плоского эйлерова разворота. К преимуществам данного подхода можно отнести то, что для целого ряда критериев оптимальности по уже имеющимся решениям кинематических задач оптимального разворота можно сразу же построить решения соответствующих задач динамического оптимального разворота твердого тела со сферическим распределением масс. Недостатком подхода является то, что он не применим к случаям, когда функционал оптшАшзации в динамической задаче содержит в себе функцию управляющего момента M(t) (напршлер, квадратичный критерий качества на минимум энергозатрат), так как критерий оптимальности соответствующей кинематической задачи оптимального разворота функцию M(t) содержать не может. В связи с этим, решение задачи оптимального в смысле минимума энергозатрат разворота сферически симметричного твердого тела (КА) при тех же грашиных условиях по угловой скорости, полученное в данной диссертационной работе, строится на основе непосредственного применения принципа максимума. Представлены явные выражения, определяющие оптимальное управление, оптимальную траекторию, время переходного процесса, а также моменты переключения оптимального управления. Результаты, содержащиеся в третьей главе опубликованы в [35, 371.

Как уже отмечалось, аналитическое решение задачи оптимального разворота в общем случае (при произвольных граничных условиях) не найдено, но имело бы большую практическую значимость, так как позволило бы иметь, например, на борту КА готовые законы програглЕого управления и изменения программной оптимальной траектории. До сих пор под задачей оптимального разворота мы имели в виду классическую задачу оптимального управления Пон-трягинского типа , в постановке которой функция управления полагалась кусочно-непрерывной. В действительности же, управление КА может осуществляться импульсными воздействиями (например, посредством импульсных газовых двигателей) (Г.Г. Бебенин, Б.С.Скребушевский, Г.А. Соколов [ 4 ] ) . В этом случае траектория КА может "склеиваться" из участков более простого движения, то есть аппроксимироваться ими. Вероятность нахождения аналитического решения задачи управления КА при этом значительно возрастает. Построение импульсных оптимальных управлений получило свое широкое развитие при решении задач оптимальных перелетов КА (В.А. Ильин, Г.Е. Кузмак [21] , Я.Г. Сапунков ). В задачах оптимальных импульсных перелетов траектория КА "склеивается" из участков кеплерова движения; по аналогии с этим, в задаче импульсного оптимального разворота КА со сферическим распределением масс траектория будет представлять собой совокупность плоских эйлеровых разворотов. Импульсные решения некоторых оптимальных и квазиоптимальных разворотов представлены в работах

М.В- Левского [31] и др.

В четвертой главе диооертационной работы рассматривается задача оптшАдального разворота сферически симметричного КА с ограниченной и импульсной тягой при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости. Функционал, определяющий качество переходного процесса, объединяет два критерия: время и интегральную величину импульсов тяги, затраченных на процесс управления. Задача решается в два этапа {по Я.Г. Сапункову). На первом этапе на основании принципа максимума Л.С. Понтрягина получаются выражения оптимального управления и еопряжешой системы уравнений для исходной непрерывной задачи. Также строится аналитическое решение задачи для частного случая, когда векторы граничных условий по угловой скорости Ш1 коллинеареы оси плоского эйлерова разворота, определяемого грашчными условиями по угловому положению КА. На втором этапе, используя предельный переход [21] , в котором верхнее значение величины тяги неограниченно возрастает, строится аналитическое решение задачи оптимального разворота КА с Ц^Б1ульсной тягой при ПРОИЗВОЛЬНЫХ граничных условиях, реализующее двухимпульсную схему управления. Приводится полный аналитический алгоритм решения задачи, содержащий явные соотношения, определявждш величины и направления импульсов тяги, скачки фазовых и сопряженных переменных и время разворота КА. В главе приводится также численное решение задачи оптимального разворота в классической (непрерывной) постановке и численная апробация предложенного алгоритма решения импульсной задачи. Результаты, содержащиеся в четвертой главе опубликованы в [4 0-431.

Помимо кьшематических и динамических задач управления ориентацией твердого тела ощеетвутот геометрические задачи определения ориентации твердого тела и их систем, где эффективно использование кватернионного метода описания углового движения твердого тела и алгебры кватернионов. Примером такой геометрической задачи является задача юстировки кинематических осей механизмов с вращательными сочленениями, имеющая важное прикладное значение, например с точки зрения точности управления движением тактш механизмами.

Так, на точность управления движением космического манипу-ляционного платформенного комплекса с вращательными сочленениями существешое влияние оказывают технологические погрешности изготовления, сборки и крепления комплекса на борту КА. Важными составляющими этих погрешностей являются угловые отклонения действительных положений осей вращения в сочленениях комплекса от их расчетных положений. Поэтому возникает необходимость в определении (юстировке) этих отклонений.

В пятой главе рассматривается задача определения (юстировки) погрешностей сборки и установки на борту КА трехзвенного манипуляцонного платформенного комплекса "Аргус" проекта "Марс" с вращательными сочленениями на основе информации о нескольких абсолютных угловых положениях выходного звена комплекса (платформы) в пространстве и известных углах относительных поворотов его звеньев. Число определяемых юстировочных параметров равно девяти (по три параметра на каждую кинематическую ось комплекса;

Решение задачи сводится к решению соответствукщим образом поставленной обратной задачи кинематики манипулятора и использует аппарат алгебры кватернионов и кватернионные формулы сложения конечных поворотов. В рамках этой концепции предлагаются аналитический алгоритм (полученньй совместно с Ю.Н. Челноковым) , заключающийся в поочередной юстировке каждой из кинематических осей комплекса, и численный алгоритм решения задачи юситровки с применением метода регуляризации А.Н. Тихонова

Входной информаьщей алгоритмов являются относительные углы поворотов звеньев манипулятора, измеренные датчиками углов манипулятора, и кватернионы абсолютной ориентации выходного звена комплекса (платформы) в базовой системе координат для нескольких (не более, чем трех) угловых положений выходного звена. Выходной ршформацией алгоритмов являются линейные комбинации и "явные" значения девяти величин отклонений кинематических осей от их расчетных положений.

Юстировка платформенного комплекса проводилась в наземных условиях на этапах сборки и установки комплекса на борту КА; предусмотрен был также штатный режим дополнительной юстировки комплекса в условиях космоса, после выхода КА. на орбиту планеты Марс и выведения комплекса из транспортного в рабочее положение. Следует отметить, что в наземных условиях ориентация выходного звена комплекса определялась на специальном стенде, сконструированном в АО "ВНМйТрансмаш" (г.Санкт-Петербург) ; в условиях космоса ориентацию выходного звена (платформы) предполагалось определять на основе показаний навигационной камеры, установленной на платформе (посредством разворотов комплекса, камеру предполагалось нацеливать на заданные ориентиры звездного неба) . Юстировка комплекса в наземных условиях показала работоспособность полученных алгоритмов.

Результаты, содержащиеся в пятой главе опубликованы в [2, 63,641.

ВЫВОДЫ

В главе рассмотрена задача определения погрешностей сборки и установки на борту космического аппарата манипуляционного платформенного ко!Лд1лекса на основе информации об абсолютном угловом положении выходного звена комплекса (платфорлы) в пространстве. Получено два варианта решения данной задачи, отличающиеся методом решения: аналитический кватернионный разностный алгоритм и вычислительный алгоритм, основанный на применении метода регуляризации А.И. Тихонова.

ЗАКЯЮЧЕШ1Е

1. Предложены преобразования, приводящие кватернионныА кшематические уравнения вращательного движения твердого тел£ при произвольной заданной вектор-функции угловой скорости к линейной дифференциальной системе, матрица коэффициентов которое отвечает некоторому новому переменному по модулю вектору угловой скорости, прецессирующему вокруг одной из осей декартво! системы коордашат; получен новый частный случай интегрируемости кшематических уравнений в замкнутой форме.

2. Получен в замкнутой форме аналитический алгоритм решения кинематической задачи оптимального в смысле минимума энергозатрат разворота твердого тела.

3. Построены кватерьжошые аналитические решения динамической задачи оптимального разворота КА со сферическим распределением масс при различных критериях качества переходных процессов (опт1шальность по быстродействию, митаийч, !ум внерозатрат, комбинированный функционал) для частного случая, когда векторь начальной и конечной угловых скоростей К4 йа, коллинеарш га вектору veot(AAo АА) (кватернионы АА и АА определяют начальное и конечное положение КА соответственно).

4. Получен аналитический алгоритм решения задачи импульсного оптшхлального разворота сферически симметричного КА при произвольных граничных условиях по угловой скорости КА, реализующий двухимпульсную схему управления.

5. Разработаны алгоритмы и программы численного решения задачи оптимального разворота сферически симметричного КА при

126 произвольных граничных условиях.

6. Получены кватернионный аналитический и численный (нг основе метода регуляризации А.Н. Тихонова) алгоритмы решение задачи юстировки кинематических осей трехзвенного манштуляцион-ного кошлекоа "Аргус" проекта "Марс".

Выражаю глубокую признательность д.ф.-м.н., профессору Ю.Н.Челнокову и к.ф.-м.н., доценту Я.Г.Сапункову (Саратовский государственный университет) за постановку задач, многолетнюю помощь в работе и обсуждение полученных результатов.

1. Алексеев К.Б. Экстенсивное управление ориентацией космических летательных аппаратов. U. : Машиностроение, 1977. 121 с.

2. Бебенин Г.Г., Скребушевский Б. С, Соколов Г.А. Системы управления полетом космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1978. 270 с.

3. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. 368 с. Богданов Ю.С. О нормальных системах А.М.Ляпунова //ДАН СССР. 1947. Т.57. С.215-217.

4. Богданов Ю.С. К теории систем линейных дифференциальных уравнений // ДАН СССР. 1955. Т.104. С.813-814.

5. Богданов Ю.С, Чеботарев Г.Н. О матрицах, коммутирукщих со своей производной // Изв. вузов. Математика. 1959. N4. С.27-37

6. Бранец В.Н., Цкыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. М.: Наука, 1973. 320 с.

7. Бранец B.Hl, Казначеев Ю.В., Черток М.Б. Оптимальным разворот твердого тела с одной осью симметрии // Космич. исслед. 1984-. Т.22. Вып. 3. С.352-360.

8. Ю.Бутырин С.А. Оптимальным по энергии пространственным разво-твердого тела при ограниченные управлениях // Проблемы аналитической механики, устойчивости и управления движением: Сб. научн. трудов. Новосибирск, СО АН СССР: Наука, 1991. С. 212-220.

9. И.Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М. : Наука, 1967. 576 с.12 . Гончарский A. B . , Черепащук A.M., Ягола А. Г . Численные методы решения обратных задач астрофизики. М.: Наука, 1978.

10. Гуляев В.И., Кошкин В.Л., Савилова И.В. Оптимальное по быстродействию управление трехосной ориентацией твердого тела при ограниченных параметрах управления // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. N5. С.11-15.

11. Гурлан В.И., Лавровский Э.К., Сергеев СИ. Оптимальное управление ориентацией осесшшетричного вращающегося космического аппарата //Космич. исслед. 1970. Т. 8. Вып.З. С341-349.

12. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам для персональные ЭВМ. М. : Наука, 1987. 240 с.

13. Еругин Н.П. Приводимые системы // Труды МЙАН им. В. А. Стеклова. М., 1947. Т.13. С.1-95.

14. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М. : Наука, 1976. 576 о. 2 4 . Котляков В.Н. О приводимости уравнений движения гирогоризонт-компаса //Прикл. математ. и механ. 1961. Т.25. Вып. 5. С. 801-805.

15. КОШЛЯКОВ В.Н. Об одном классе точных решений уравнений движения корректируемого гирогоризонткомпаса // Изв. АН СССР. МТТ. 1969. N 6. С. 3-9.

16. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. М. : Наука, 1973. 400 о.

17. Лебедев Д.В. К задаче управления ориентацией твердого тела // Прикл. механика. 1976. Т.12. Вып. 2. С.76-82.

18. Левский М.В. Оптимальное управление переориентацией космического аппарата, совмещенное с коррекцией его орбиты //Космич. исслед. 1998. Т.36. Вып. 2. С.189-199.

19. Лурье А.И. Аналитическая механика. М. : Шизматгиз, 19б1. 824с.

20. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Л.,М.: ОНТИ, 1935. 386 с.

21. Ляшенко В.Ф. О приводимости уравнений движения гирогоризонт-компаса и двухгироскопической вертикали //Прикл. матем. и механ. 1962. Т.26. Вып.2. С. 369-372.

22. Молоденков A.B. , Сапунков Я.Г. Аналитическое решение импульсной задачи оптимального "разворота КА // Математика. Механика: Сб. научн. трудов. Саратов: Изд-во СГУ, 2 0 00. С.171-172.

23. Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем. М. : Наука, 1975. 528 с.4 5. Морозов В.В. О коммутативных матрицах // Учен. зап. Казан, ун-та. 1952. Т.112. Кн.9. С.17-20.

24. Морозов В.В. Об одной задаче Н.П. Еругина // Изв. вузов. Математика. 1959. N 5. С.171-173.

25. Плотников П.К. Измерительные гироскопические системы. Саратов: Изд-во СГУ, 1976. 168 с.

26. Плотников П.К., Челноков Ю.Н. Применение кватернионных матриц в теории конечного поворота твердого тела //Сб. научн.-методич. статей по теоретич. механ. М.: Высшая школа, 1981. Вып. 11. С.122-129.

27. Понтрягин Л.С , Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1969. 384 е.

28. Салихова И.М., Чеботарев Г.Н. О разрешимости в конечном виде некоторых систем линейных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. I960. N 3. С.230-234.

29. Сачков Г.П., Харламов Ю.М. Об интегрируемости кинематических уравнений вращения // Изв. АН СССР. МТТ. 1991. N 6. С.11-15.

30. Сиротин А.Н. Оптимальное управление переориентацией симметричного, твердого тела из положения покоя в положение покоя // Изв. Ж СССР. МТТ. 1989. N 1. С. 36-43.

31. Стрелкова H.A. Об оптимальной переориентации твердого тела // Проблемы механики управляемого движения. Нелинейные системы: Сб. научн. трудов. Пермь: Изд-во ПТУ, 1990. С.115-133.

32. Тихонов А.Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М. : Наука, 197 9.57 . Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 488 о.

33. Харламов Е.И., Popp Г.В. О безнутационных движениях твердого тела, имеющего неподвижную точку // Киев: Механика твердого тела. 1976. Вып. 8. С. 23-31.

34. Чеботарев Г.Н. О решении матричного уравнения елел = ел*л// ДАН СССР. 1954. Т. 96. 1954. С.1109-1112.

35. Челноков Ю.Н. Об определении ориентации объекта в параметрах Родрига-Гамильтона по его угловой скорости // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. N 3. С. 11-20.

36. Челноков Ю.Н. Кватернионные и бикватернионные методы в задачах механики твердого тела и материальных систем // Дис. докт. физ.-мат. наук. Саратов, 1986. 339 с.

37. Якубович В.А. Некоторые критерии приводимости систем // ДАН СССР. 1949. Т.66. С. 577-580.

38. Разработка алгоритмов ориентащш и программного движения съемочного комплекса "Аргус" проекта "Марс" // Отчет о НИР

39. N 51, СФ тШН РАН, Саратов, 1994. Per. Ж 01-950003915

40. Biliffloria K.D. and Wie В. MinimLun-Time Large-Angle Reorientation of a Rigid Spacecraft // AIAA Paper 90-3486.

41. TO.Biliffioria K.D. and Wie B. Titne-Optimal Tl-iree-Axis Reorientation of Rigid Spacecraft // JomAnal of Guidance, Control, and Dynamics. 1993. Vol.16. N 3- P.446-452.

42. Byers R.M. and Yadali S.R. Quasi-Olosed 1ош Solution to the

43. Dime-Optimal Rigid Spacecraft Reorientation Problem //Advances in the Astronautical Sciences. 1991. Vol.75. P.417-436.

44. Byers R.M. and Vadali S.R. Quasi-Closed Porm Solution to the Time-Optimal Rigid Spacecraft Reorientation Problem // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 1993. Vol.16. N 3. P.453-461.

45. Ghowdry R.S. and Cliff E.M. Optimal Rigid Body Reorientation Problem // AIAA Guidance, Navigation and Control Oonf., AIAA Paper 90-3485, Portland, OR, Aug. 1990.

46. Junkins J.L. and Turner J.D. Optimal Continuous Torque Attitude Maneuvers // Journal of Guidance and Control. 1980. Vol .3. N 3. P.210-217.

47. Ii.P. and Bainum P.M. Numerical Approach for Solving Rigid Spacecraft Minimum Time Attitude Maneuvers // Joui»nal of Guidance, Control, and Dynamics. 1990. Vol. 13. N 1. P.38-45

48. Scrivener S.L., Thompson R.C. Survey of Time-Optimal Attitude Maneuvers // Journal of Guidance, Control, and Dynamios. 1994. Vol. 17. N 2. P.225-233.

49. Vadali S.R. and Junkins J.L. Spacecraft Large Angle Rotational Maneuvers with Optimal Momentum Transfer // Journal of136the Astroutical Seienees. 1983. Vol.31. N 2. P.217-235.

50. Vadali S.R., Kraige L.G. and Junkins J.L. New Results on the Optimal Spacecraft Attitude Maneuver Problem // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 1984. Vol.7. N 3. P.225-233.

51. Wy M.-Y., Horowitz I.M. and Dennison J.C. On solution, stability and transformation of linear time-varying system // Intern. J. Control. 1975. Vol. 22. N 2. P. 169-180.

52. Wy M.-Y. Transf Diction of a linear time-varying system into a linear time-invariant system // Intern. J. Control. 1978. Vol. 27. N 4 . P.589-602.

53. Wy M.-Y. A succussive decomposition method for the solution of linear time-varying systems // Intern. J. Control. 1981. Vol . 33. N 1. P.181-186.