автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Точные и численные решения нелинейных уравнений теплопроводности и кинетических уравнений для моделирования процессов кристаллизации

ВВЕДЕНИЕ.

1. Физические аспекты процесса кристаллизации.

2. Современное состояние исследований.

3. Цель работы.

4. Основное содержание работы.

5. Практическая ценность работы.

6. Основные результаты, выносимые на защиту.

7. Определения и обозначения.

Глава 1. Точные и численные решения задачи Стефана.

1.1. Постановка задачи Стефана.

1.2. Обобщенное и функциональное решение задачи Стефана.

1.3. Численный метод Галеркина для решения задачи Стефана.

Глава 2. Восстановление границы фазового перехода.

2.1. Постановка задачи восстановления границы фазового перехода.

2.2. Приближенный метод.

Глава 3. Кинетический подход к моделированию процесса объемной кристаллизации.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Обоснование корректности задачи.

3.3. Численное моделирование.

Развитие физики твердого тела характеризуется все возрастающим вниманием исследователей к изучению структурных и концентрационных несовершенств реальных кристаллических материалов, имеющих различную физическую природу и различные пространственные масштабы.

За последние годы рост монокристаллов приобрел исключительно важное значение, как в области академических исследований, так и в промышленности. Развитие радиоэлектроники, космонавтики, атомной энергетики, а также других новых областей техники невозможно без использования кристаллов вообще и монокристаллов (как наиболее совершенных объектов неживой природы) в особенности. Это весьма остро поставило вопрос об исследовании процессов кристаллизации и создании методов получения кристаллов со специальными физическими свойствами.

Выращивание кристаллов, до недавнего времени зависевшее в значительной мере от изобретательности и мастерства технолога, за последние годы сделало большой шаг вперед. Современные установки позволяют получать бездислокационные кристаллы значительных размеров. Эти успехи стали возможными благодаря более глубокому пониманию явлений, протекающих при фазовом переходе. Не последнюю роль в этом играет математическое моделирование таких процессов, проясняющее суть сложного механизма кристаллизационного процесса, как совокупности большого числа взаимосвязанных физико-химических явлений.

1. Физические аспекты процесса кристаллизации

Остановимся более подробно на описании физических аспектов изучаемого явления. Подробный анализ процессов кристаллизации, приведен в работе [22], выдержка из которой послужит кратким обзором возможных механизмов фазовых переходов.

Кристаллизация - процесс образования кристаллов из паров, растворов, расплавов, из вещества в другом кристаллическом или аморфном состоянии. Кристаллизация начинается при достижении некоторого предельного условия, например, переохлаждения жидкости или пересыщения пара, когда практически мгновенно возникает множество мелких кристалликов- центров кристаллизации. Кристаллики растут, присоединяя атомы или молекулы из жидкости или пара. Рост граней кристалла происходит послойно, края незавершенных атомных слоев (ступени) при росте движутся вдоль грани. Зависимость скорости роста от условий кристаллизации приводит к разнообразию форм роста и структуры кристаллов (многогранные, пластинчатые, игольчатые, скелетные, дендритные и другие формы, карандашные структуры и так далее). В процессе кристаллизации неизбежно возникают различные дефекты".

Следует отметить, что в термодинамическом аспекте могут быть фазовые переходы двух типов:

1) Фазовые переходы первого рода - фазовые превращения, при которых плотность вещества, термодинамические потенциалы, энергия, свободная энергия, энтропия меняются скачком. При реализации таких переходов выделяется или поглощается определенная теплота фазового превращения. В качестве примеров фазовых переходов первого рода можно указать изменение агрегатного состояния вещества (в частности, кристаллизацию) и превращение одной кристаллической модификации в другую.

2) Фазовые переходы второго рода, при которых все термодинамические функции непрерывны, но теплоемкость, сжимаемость и объемный коэффициент термического расширения изменяются скачком. В этом случае теплота фазового перехода равна нулю. Примером подобных фазовых переходов является, например, превращение ферромагнетика в парамагнетик.

Для наших целей важно, что возможность реализации метастабильных состояний (то есть существования фазы в условиях, при которых более устойчива иная фаза) характерна лишь для фазовых переходов первого рода.

Таким образом, движущей силой фазового превращения является разность свободных энергий сосуществующих в метастабильном состоянии фаз.

Одной из важных задач современной теории роста кристаллов является установление устойчивых форм роста кристаллов в различных условиях. При определенных условиях фронт кристаллизации оказывается неустойчивым. Это явление весьма важно, в частности, потому, что многие особенности структуры кристалла определяются именно морфологией границы раздела фаз при его формировании. Нарушение устойчивости фронта кристаллизации вследствие независимого зарождения кристаллов в объеме переохлажденного расплава перед ним или в результате выбрасывания дендритов естественно отражается на конечной структуре кристалла.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе "Точные и численные решения нелинейных уравнений теплопроводности и кинетических уравнений для моделирования процессов кристаллизации" представлены следующие оригинальные результаты.

1. Исследовано условие Стефана и доказана его эквивалентность условию Гюгонио для уравнений газовой динамики, что позволяет не учитывать это условие при решении задачи Стефана.

2. Обосновано использование метода Галеркина для решения задачи Стефана. Доказана его сходимость к регулярному функциональному решению задачи Стефана.

3. Построено точное решение задачи Стефана для двумерного случая. Точное решение необходимо для тестирования программ, реализующих алгоритмы нахождения численного решения задачи.

4. Построена новая математическая модель для точного восстановления границы фазового перехода и проведено обоснование ее математической корректности. Информация о форме и положении границы фазового перехода является очень важной для управления технологическим процессом выращивания кристаллов в космосе.

5. Обоснован численный метод отыскания границы фазового перехода на основе метода Галеркина. Доказана его сходимость к регулярному функциональному решению задачи.

6. Построена новая математическая модель кристаллизации в объеме переохлажденного расплава, основанная на кинетическом подходе. Доказана математическая корректность предложенной модели.

1. Асхабов A.M. Критический размер зародыша и предельное пересыщение растворов. Тезисы докладов. Второй российский симпозиум. Процессы тепломассопереноса и рост монокристаллов и тонкопленочных структур. Обнинск, 1997.- с. 9.

2. Асхабов A.M. Состояние и перспективы количественной оценки основных параметров кристаллизации. Тезисы докладов. Второй российский симпозиум. Процессы тепломассопереноса и рост монокристаллов и тонкопленочных структур. Обнинск, 1997.- с. 10.

3. Будак Б.М., Гапоненко Ю.Л. О решении задачи Стефана для квазилинейного параболического уравнения с квазилинейными граничными условиями // Труды вычислительного центра МГУ.- Москва, 1971.- с.235-284.

4. Будак Б.М., Москал М.Б. О классическом решении 1-ой краевой задачи Стефана для многомерного уравнения теплопроводности в координатном параллелепипеде // Труды вычислительного центра МГУ.- Москва, 1971.-с. 87-114.

5. Гадияк Г. В. Об осцилляциях критического размера в теории зародышеобразования. Тезисы докладов. Второй российский симпозиум. Процессы тепломассопереноса и рост монокристаллов и тонкопленочных структур. -Обнинск, 1997.- с. 39-40.

6. Галкин В.А. Теория функциональных решений квазилинейных систем законов сохранения и ее приложения // Труды семинара им. И.Г. Петровского, 1997, № 20.- с. 81-120.

7. Галкин В.А., Забудъко М.А. Точные и численные решения нелинейных уравнений теплопроводности и кинетических уравнений // Ядерная энергетика. Известия высших учебных заведений, 2000. №1.

8. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М. Высшая школа, 1966.

9. Джураев Т.Д., Тахиров Ж.О. Гиперболическая задача Стефана // Дифференциальные уравнения.- 1994, т.30, №5.- с. 821-831.

10. Забудъко М.А., Островский Е.И., Рыбак Л.И. и др. Способ оценки воздействия микродинамики на параметры процессов роста кристаллов вусловиях микрогравитации // Проблемы машиностроения и надежности машин.- 1999, №3.- с. 72- 78.

11. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М. Наука. 1981.

12. Кружков С.Н. Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными // Мат. сб.- 1970, т. 81, № 2.- с. 228-255.

13. Кружков С.Н. К методам построения обобщенных решений задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка // Успехи мат. наук.-, 1965, т. 20, №6.-с. 112-118.

14. Ладыженская O.A., Солоников В.В., Уралъцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука.- 1967.

15. Любое Б.Я. Теория кристаллизации в больших объемах. М.: Наука.-1975.

16. Марченко М.П., Фрязинов И.В. Комплекс программ Карма1 решения нестационарных задач выращивания монокристаллов в ампулах // Журнал вычислительной математики и математической физики.- 1997, т.37, №8.-с. 988-998.

17. Овчарова A.C. Метод решения двумерной многофронтовой задачи Стефана // Прикладная механика и техническая физика.- 1995, т. 36, №4.-с. 110-119.

18. Олейник O.A. Об одном методе решения общей задачи Стефана // ДАН СССР.- 135, i960.- с. 1054-1057.

19. Омелъянов Г.А., Данилов В.Г., Радкевич Е.В. О регуляризации начальных данных модифицированной задачи Стефана // Дифф. уравн.- 1994.- с. 793795.

20. Рашкович Л.Н. Как растут кристаллы в растворах // Соросовский образовательный журнал. -1996, №3.- с. 95-103.

21. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М. Мир. 1968.

22. Самарский А.А., Моисеенко БД. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана // Журн. вычислил, математики и мат. физики.- 1965, т. 5, № 5.- с. 816-827.

23. Филлипов А.Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями // Математический сборник.- 1960, т. 51, №4.- с.101-128.

24. Хартман Ф. Обыкновенные дифференцальные уравнения. М. Мир.-1970.

25. Эдварде Р.Е. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир,-1969.

26. Athanasopoulos I., Caffarelli L.A., Salsa S. Phase transition problems of parabolic type: flat free boundaries are smooth // Communications on pure and applied mathematics.- 1998. vol. LI.- p. 77-112.

27. Barmin I.V., Egorov A.V., Senchenkov A.S. Technological equipment of Splav Technical Center for producing materials in space. Some results of the experiments on crystal growth // Microgravity Q., 1993, Vol.3, #2-4.- p. 233239.

28. Ettouney H.M., Brown R.A. Finite- element methods for steady solidification problems // J. Comput. Phys.,1983, 49, #1.- p. 118- 150.

29. Galkin V.A., Zaboudko M.A. Galerkin approximate method for solving of phase transition equations // Abstracts of the Third International Conference Single crystal growth, strength problems, and heat mass transfer (ICSC 99).- Obninsk, 1999.-p. 221-222.

30. Galkin V.A., Zaboudko M.A., Tertycnny R.G. The simulation of particles growth based on Vlasov's approach // Proceedings of the Fifth International

31. Conference on Simulation of Devices and Technologies (ICSDT'95).- Obninsk, 1995.- p. 41-42.

32. Prostomolotov A.I., Verezub N.A. Global model of heat transfer in Czochralski silicon crystal growth // Abstracts of Third International Conference. Single crystal growth, strength problems, and heat mass transfer.- Obninsk, 1999.-p. 219-220

33. Prostomolotov A.I., Verezub N.A., Panfilov I. V. Test of global model in silicon CZ-crystal growth//Abstracts of Third International Conference. Single crystal growth, strength problems, and heat mass transfer. 1999. Obninsk, p.211-212

34. Smoluchowskii M. V. Drei Vortrage Uber Diffusion Brownsche Molekularheven gung und Koagulation vonkolloidteilchen I I Phys. Z., 1916, v. 17, № 6.- p. 557571.