автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование фазовых переходов вещества, содержащего примесь

На правах рукописи

фгч/р РГК ОД

Журавлева Елена Николаевна

2 4 МГЛП Ш

УДК519.633 + 517.958

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ ВЕЩЕСТВА, СОДЕРЖАЩЕГО ПРИМЕСЬ

05.13.16- применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук

Барнаул - 2000

Работа выполнена в Алтайском государственном университете

Научный руководитель

кандидат физико-математических наук, доцент А.Г. Петрова

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор А.Ф. Воеводин

доктор физико-математических наукВ.И. Квон

Ведущая организация

Институт Вычислительного Моделирования СО РАН, г. Красноярск

Зашита диссертации состоится 27 июля 2000 г. в 9 час 3 О мин на заседании диссертационного совета Д 064. 45. 02 в Алтайском государственном университете по адресу 656099, Барнаул - 99, ул. Димитрова, 66.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Алтайского государственного университета.

Автореферат разослан ЛО июля 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д. ф,- м. н., профессор С. А. Безносюк

К20Н- 1с11в,0

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задачи с фазовыми переходами моделируют многие процессы, возникающие в механике, биологии, экологии; они играют важную роль и в технологических процессах, таких как производство полупроводниковых материалов, очистка методом направленной кристаллизации. Исследование этих задач имеет не только прикладной, но и теоретический интерес поскольку они относятся к классу задач со свободными границами, которые активно изучаются как у нас в стране, так и за рубежом. Однако, в отличие от моделей фазового перехода в чистом веществе, которым посвящено множество исследований, модели фазового перехода в веществе, содержащем примесь изучены недостаточно. Основными результатами в этой области являются работы Э.Х. Ени-кеевой (1968), А.Г. Петровой (198Б), в которых доказаны некоторые локальные теоремы для равновесной модели в одномерном случае в рамках классического подхода, а также работы A.M. Мейрманова и И.Г. Гет-ца (1986) в которых сформулирована обобщенная постановка и доказано существование обобщенного решения одномерной стационарной задачи.

Корректность моделей фазового перехода в веществе, содержащем примесь в случае сферической симметрии ранее не исследовалась; точные решения были построены только для одномерной (в плоской геометрии) задачи в полубесконечной области.

Относительно небольшое количество работ, посвященных численному решению задач с фазовыми переходами в веществе, содержащем примесь, среди которых следует выделить работу А.Ф. Воеводина, H.A. Леонтьева, А.Г. Петровой (1982) о кристаллизации шара, не позволяет говорить о существовании достаточно универсального эффективного метода, что стимулирует разработку новых алгоритмов численного решения подобных задач.

Перераспределение примеси в веществе при фазовом переходе играет существенную роль в технологических процессах. Этим объясняется необходимость численного и аналитического исследования как традиционных, так и новых моделей фазовых переходов в веществе, содержащем примесь, таких как модель затвердевания эмульсии, движущейся под действием термокапиллярных сил, сформулированная О.В. Войно-вым, В.В. Пухначевым (1995).

Решению этих вопросов и посвящена данная работа.

Цель работы состоит в исследовании корректности различных моде-

з

лей фазовых переходов вещества, содержащего примесь в случае сферической симметрии, разработке и реализации эффективных алгоритмов численного исследования этих задач, учитывающих влияние малых параметров.

Научная новизна определяется следующими результатами. Доказана локальная по времени разрешимость в гельдеровских классах функций равновесной и модифицированной задачи, учитывающей влияние поверхностного натяжения и кинетического переохлаждения на скорость движения свободной границы, для случая сферической симметрии. Получены условия строгой монотонности движения свободной границы для сферически симметричной задачи Стефана.

Построено автомодельное решение задачи роста кристалла из переохлажденного расплава. Построено точное решение задачи кристаллизации бинарного сплава для сферически симметричного случая при отсутствии диффузии в твердой фазе. Для описания процесса зарождения фазы при решении задачи кристаллизации шара построена начальная асимптотика при различных режимах охлаждения поверхности, позволяющая установить связь скорости движения свободной границы с темпом охлаждения. Построено точное решение задачи затвердевания эмульсии.

Разработан экономичный алгоритм численного решения задач стефа-новского типа при наличии примеси. Предложен метод решения подобных задач с малыми параметрами с помощью явного выделения погран-слойных функций, а также алгоритм численного исследования задачи затвердевания эмульсии.

Проведено численное исследование влияние примеат-учета-диффу^-

зии в твердой фазе на процесс кристаллизации. Исследовано влияние режима охлаждения поверхности шара на переохлаждение, возникающее в жидкой фазе.

Практическая ценность работа. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании физических, биологических и технологических процессов, приводящих к необходимости численного решения задач фазового перехода вещества, содержащего примесь.

Методы исследований. При аналитическом и численном исследовании использовались методы функционального анализа и теории краевых задач параболического типа; асимптотические методы; численные методы механики сплошных сред.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсу-

ждались на:

— международная школа - семинар по численным методам (Новосибирск, 1997).

— краевые конференции по математике ( Барнаул, 1998, 1999, 2000),

— "Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике" ( ИНПРИМ-98, Новосибирск,1998).

— международная конференция "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1999).

— международная конференция "Nonlinear partial differential equations" (Львов, 1999).

Диссертационная работа прошла апробацию на семинаре отдела прикладной гидродинамики, руководимом чл.корр. РАН В.В. Пухначевым в Институте гидродинамики им. М.А.Лаврентьева.

На защиту выносятся следующие результаты:

Исследование корректности различных моделей фазовых переходов вещества содержащего примесь в случае сферической симметрии.

Точные и автомодельные решения различных задач с фазовыми переходами при наличии примеси.

Алгоритмы численного решения задач стефановского типа при наличии примеси для различных темпов охлаждения.

Численное исследование влияние примеси, диффузии в твердой фазе и режима охлаждения поверхности шара на процесс кристаллизации.

Численное исследование задачи затвердевания эмульсии в случае сферической симметрии.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 69 наименований.

Полный объем диссертации 97 страниц.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке гранта РФФИ 99-01-00529 и гранта Совета Программ поддержки ведущих научных школ 00-15-96162.

Содержание работы

Во введении дано обоснование актуальности темы диссертации, определена цель работы. Описаны два основных подхода к моделированию фазовых переходов в бинарных сплавах, образующих твердый раствор: классический, предполагающий существование поверхности раздела жидкой и твердой фаз, и обобщенный, допускающий существование целой

области, где температура равна равновесной температуре, определяемой фазовой диаграммой. Приведены основные из известных результатов по исследованию этих моделей.

Описаны наиболее известные модели фазовых переходов в бинарных смесях в рамках классического подхода. Предполагается, что теплопередача в жидкости описывается законом Фурье т.е. тепловые потоки за счет конвекции отсутствуют. Следовательно, температура в жидкой и твердой фазах удовлетворяет уравнению теплопроводности, а концентрация - уравнению диффузии:

Ц = <Иа2У0), ^ = <йг/(<Л7е),

где с/ = с1(х, t, С, Э) - коэффициент диффузии, а = а (а- коэффициент температуропроводности. На искомой границе фазового перехода, называемой свободной границей, задается условие Стефана для температуры, выражающее баланс энергии при переходе вещества из одного агрегатного состояния в другое и условие баланса массы:

№ = -

й—

дп

д& дп

где Уп - скорость перемещения поверхности раздела фаз в направлении нормали к этой поверхности, и - частное от деления коэффициента теплопроводности на скачок внутренней энергии, при переходе из твердой в жидкую фазу. [/]/ - разность величин при подходе к границе фазового

перехода со стороны твердой и жидкой фаз. Наиболее распространенная-равновесная модель предполагает, что характеристики фаз на свободной границе удовлетворяют условиям термодинамического равновесия:

е, = е, = е*+ф.{с,) = в*+ф1(с1), (1)

где 0* - температура плавления чистого вещества, 0 = фг{С) - линия солидуса, 0 = <6/(С) - линия ликвидуса. Значения концентрации на границе в твердой - С, и в жидкой - С; фазах определяются из диаграммы фазового состояния.

Вторая из рассматриваемых моделей предполагает, что температура фазового перехода зависит не только от концентрации примеси, но и от других факторов, а именно, кривизна свободной границы приводит к необходимости учета влияния поверхностного натяжения на температуру фазового перехода. В этом случае условие (1) примет вид:

0, = 0, = 0*(1 - а К) + ф,{С,) = 0*(1 - огК) + ¿(С/),

где а > 0 - частное от деления удельной поверхностной энергии на скрытую теплоту плавления, /{"-кривизна поверхности.

В третьей модели условие термодинамического равновесия (1) дополняется с учетом влияние поверхностного натяжения и кинетики на температуру фазового перехода и принимает вид:

е5 = е, = ©*(1 - ак) + ф,(с.) + упр = е*(1 - ак) + т{с,) + у„р,

где в - кинетический коэффициент, характеризующий скорость обмена атомами между твердой и жидкой фазами. Аналогичная модель для чистого вещества называется модифицированной задачей Стефана.

Зачастую в реальных ситуациях концентрация примеси в бинарных смесях мала. Например, концентрация легирующей примеси в полупроводниках не превышает 10~4% по массе. В этих случаях обосновано использование модели с малой начальной концентрацией. Для построения этой модели используется тот факт, что при нулевой концентрации примеси термодиффузионная задача редуцируется к обычной двухфазной задачи Стефана, после этого концентрация определяется из системы уравнений диффузии с условиями на известных границах.

В первой главе рассматривается трехмерная задача кристаллизации бинарного сплава, образующего твердый раствор в случае сферической симметрии. Исследуется разрешимость в малом по времени в гельдеров-ских классах функций модифицированной задачи, учитывающей поверхностное натяжение и кинетическое переохлаждение на свободной границе. Также доказывается локальная по времени теорема существования решения равновесной задачи, в которой фазы определяются диаграммой фазового состояния вещества.

В пункте 1.1 приведена постановка рассматриваемых начально - краевых задач. Предполагается, что шар радиуса х = 1, занятый изучаемым веществом, в момент времени Ь разделен гладкой поверхностью х = у(Ь) на две подобласти: твердую П5(£) и жидкую фазы:

(1,(4) = {я : х < у(Ь)}, = {я : »(«) < х < 1},

Считаем, что начальная температура и концентрация зависят только от радиуса, а значит, можем рассматривать одномерную задачу для переменной х. Будем считать коэффициенты температуропроводности и диффузии постоянными, тогда после стандартной для сферически-симметричных задач замены:

и = х • 0 + <7, V = х • С,

исследуемые модели примут вид:

Задача 1. (модифицированная модель)

Щ 2д%\ дУг д2Ц - <¡1 ----А- - -

т г дх2 ' дь 1 дх2

где .г е

На свободной границе х = у^) выполнены условия:

2 , ( 81}в дип . Л/тт .

и у = г' ~1/1 ~ ~ * ~ а)

Г, = 1Т! = - /3^2/' = тМ - ,вуу'

где к - пц/т8

Задача 2. (равновесная модель)

т_ дУг _ д2Уг

Э1 ~ а< дх2 ' т ~ 5а;2

где ,г е

На свободной границе выполнены следующие условия:

2 , / ди$

£7, = ЭД = т3\г6 - ггцЦ, кроме того, в каждой из фаз справедливы неравенства:

ие(х, 0 < в Щх, 0 > тщЦ(х, ¿) в ф,(Т). (2)

Не уменьшая общности дальнейших рассуждений, рассмотрим следующие граничные и начальные условия:

[7,(0,*) = а, гУ/(М) =/;(*) +«т, П((М) = о, жм) - = о.

= 2/(0) = 2/о #0,1.

Будем исследовать разрешимость в гельдеровских классах функций, поэтому от начальных и граничных данных потребуем, чтобы:

/,: е я1+й/'2[о, г], р,., ф{ е я2+а(ЗД)

где а б (0,1). В случае равновесной модели начальные данные подчинены неравенствам:

<ре(г) < т,фг(х), *р\{х) >

> т^уо), ^¡(уй) > тщгрЦуо). (3)

В пункте 1.2 приведено доказательство разрешимости в малом по времени поставленных задач. Доказаны следующие теоремы.

Теорема1. Существует Г», 0 < Т* < Т такое, что задача 1 имеет решение

у е н1+а'2+1/\о,т<\,

е г =8,1.

ТеоремаВ. Существует Г»*, 0 < Г», < Т* такое, что задача 2 с данными, удовлетворяющими условиям (3) имеет решение

У € Я1+а/2+1/2[0,Т„],

ииК е н2+°-1+а'2тт„)) 1 = 8,1, для которого выполнены условия (2).

Доказательство основано на применении теоремы Шаудера о неподвижной точке к оператору, построенному по задаче. Заметим, что предположения о постоянстве коэффициентов температуропроводности и диффузии, а также о линейной зависимости температуры фазового перехода от концентрации примеси не являются принципиальными. Аналогичная теорема может быть доказана и для квазилинейных уравнений теплопроводности и диффузии в случае произвольных достаточно гладких функций е>;(С).

В пункте 1.3 проведено обезразмеривание исходной задачи и выделены малые параметры, возникающие в следствии малого коэффициента диффузии и малой начальной концентрации примеси. Эта процедура дает возможность использовать различные асимптотические методы, а также делает численное исследование более грамотным и эффективным.

Пункт 1.4 посвящен изучению автомодельных и точных решений термодиффузионной сферически симметричной задачи. Приведены уже известные решения и новые, построенные автором. Доказаны следующие утверждения:

Утверждение 1

При

пцС^/к - а}/VI < 0° < т/С0,

задача роста кристалла из переохлажденного расплава имеет автомодельное решение вида:

е,(аг,*) = С5, С3{х^)=с6,

©,(*,<) = С1 Г2ехр(-е2/4а?) + сг,

С,(х, 0 = с3 Г2ехР(~е/Щ + С4, где константы ^,02,03,04,05,06 определяемые начальными данными.

Утверждение 2

Задача кристаллизации бинарного сплава в случае сферической симметрии при отсутствии диффузии в твердой фазе при условии

ке М- ^

имеет единственное точное решение вида:

у(1) = ©Дм) = £Ц1уД=Щ ехр(?р/4а?) С

X ■'О

«С V ---

х Г^ехр^ЩАа1) Ц, где а,Ь - некоторые константы, зависящие от начальных данных.

В пункте 1.5 с помощью формального разложения в ряды по автомодельным переменным строится асимптотика, описывающая процесс зарождения твердой фазы. Необходимость в этом возникает в следствии особенности задачи кристаллизации шара - наличие в начальный момент только одной - жидкой фазы, Асимптотика позволяет проследить процесс зарождения фазы и избавиться от проблемы вырожденной задачи. Кроме того, эта асимптотика дает возможность увидеть связь скорости движения свободной границы и темпа охлаждения.

Во второй главе разрабатываются алгоритмы численного исследования различных моделей, описывающих процесс кристаллизации и плавления бинарного сплава. Предлагаемые алгоритмы основаны на использовании преобразования Риккати, которое позволяет свести решение диф-

ференциальных уравнений второго порядка к последовательному решению задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

В пункте 2.1 приводится обзор основных алгоритмов решения задач с фазовыми переходами. Среди относительно немногих эффективных методов численного решения таких задач выделяют две группы: схемы сквозного счета и алгоритмы с явным выделением фронта. Экономичные разностные методы сквозного счета, основанные на нахождении обобщенного решения с помощью процедуры сглаживания, которая значительно уменьшает общность подхода. Разностные схемы с явным выделением фронта применяются для одномерного случая и, как правило, возникают существенные трудности при их использовании для решения многомерных и многофазных задач. Основные сложности решения задач с фазовыми переходами заключаются в том, что рассматриваемая система уравнений связана условиями на неизвестной границе, которая не является линией уровня, что исключает возможность вариационной постановки. Описывается метод, предложенный Г. Мейером (1989), позволяющий избежать этих сложностей. Этот метод пригоден для решения задач с непостоянными коэффициентами теплопроводности и с весьма сложными условиями на свободной границе, учитывающими кинетику, поверхностное натяжение и другие факты.

В пункте 2.2 предлагается экономичный численный метод решения термодиффузионной задачи, основанный на подходе Г. Мейера. Суть метода состоит в том, что система одномерных уравнений теплопроводности и диффузии, связанных условием на свободной границе, решается с использованием преобразования Риккати т.е. после аппроксимации производной по времени разностью назад на п-ом временном слое решение ищется в виде:

0;,п = ЩхЩ„ + Иг{[х) или С[>п = Щх)С{,п + 1У{(х).

Форма преобразования Риккати зависит от вида условий на известных границах. Здесь \¥;(х) - неизвестные функции от х. Исполь-

зуя исходные уравнения, получим системы дифференциальных уравнений первого порядка, а с учетом граничных условий - задачи Коши для определения Я^х), И^г). Решение уравнений для Д- можно выписать в явном виде или найти используя численные методы решения задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Вид функций И7, определяется либо численным решением непосредственно задач Коши,

либо численным интегрированием. После этого свободная граница находится как корень некоторого алгебраического уравнения, полученного из условий баланса масс и энергии, без дополнительных итераций.

В пункте 2.3 предлагается способ аппроксимации граничного условия в нуле для сферически симметричной задачи, который позволяет повысить точность вычислении вблизи нуля. Идея состоит в переносе условия из центра симметрии :в ближайший узел сетки. В результате на границе х = Ах возникает условие третьего рода:

1в"(д*> = 6щм(е"(Аг) - е-(0>)+0((А*)3)'

которое с третьим порядком точности аппроксимирует исходное условие - нулевой поток температуры в центре шара. Здесь &п(Ах) - значение температуры на п-ом временном слое в ближайшем к нулю узле сетки, ©„_!(()) - значение температуры в нуле на (п — 1)—ом временном слое, которое определяется с помощью реккурентной формулы.

В пункте 2.4 предлагается метод численного исследования задачи кристаллизации бинарного сплава с реальным коэффициентом диффузии при медленных темпах охлаждения. Заметим, что предложенный в пункте 2.2 метод эффективен для решения задачи Стефана и модельной термодиффузионной задачи, однако, реальная термодиффузионная задача имеет свою особенность, а именно, малый коэффициент диффузии. Это приводит к уравнению с малым параметром при старшей производной. Наличие малого параметра приводит к неравномерной~сходимосп/гпри Ах 0, (Ах - шаг разностной сетки) численного решения к точному. Классические методы, типа методов Рунге - Кутта, при использовании равномерной сетки, практически не пригодны для решения подобных задач. Главная причина этого заключается в том, что оценки производных от решения для задач с малым параметром при производной существенно зависят от параметра.

Однако, надо заметить, что погранслой, возникающий для концентрации вызван не столько малым параметром при старшей производной в уравнении диффузии, сколько движением свободной границы. Наш подход состоит в том, что при медленных темпах охлаждения (скорость свободной границы имеет тот же порядок, что и малый параметр у' ~ ¿¡¡х) переход к характерному времени, связанному с процессом диффузии позволяет избежать диффузионных погранслоев. Следовательно, при обез-

размеривании возьмем в качестве ¿о - характерного времени

¿0 = х\/й1

При этом малый параметр пропадет и мы вновь можем воспользоваться методом, предложенным в пункте 2.2. Анализ начальной асимптотики, приведенной в пункте 1.5, позволяет сделать вывод о том, что скорость движения свободной границы у' ~ ф/х соответствует темпу охлаждения порядка 0.1 град./час.

В пункте 2.5 предлагается метод решения задачи с реальным коэффициентом диффузии при достаточно быстрых скоростях движения свободной границы. Идея метода основана на том, что при \у'\ х возникает ярко выраженный погранслой, который выделяется явно. Получена оценка разности точного и погранслойного решения в зависимости от соотношения скорости движения свободной границы и коэффициента диффузии. Проведен анализ способов численного решения задачи кристаллизации бинарного сплава с реальным коэффициентом диффузии при различных темпах охлаждения поверхности шара:

1. При темпе охлаждения порядка 10~5 - Ю-4 град./сек. переход к характерному времени, связанному с процессом диффузии позволяет избежать погранслоев и использовать алгоритм, изложенный в пункте 2.4.

2. Если сфера охлаждается "быстро" т.е. со скоростью порядка Ю-1 -1 град./сек., то концентрация на свободной границе постоянна с точностью порядка Ю-5 и численный алгоритм сводится к решению задачи Стефана с постоянной температурой фазового перехода, при этом концентрация определяется из погранслойного разложения. Отметим, что, по существу, в данном случае используется асимптотическая модель, приведенная во введении.

3. Для темпов охлаждения Ю-3 - 10~2 град./сек. следует также выделять погранслойные функции, однако, для достижения достаточной точности необходимо использовать асимптотическое разложение более высокого порядка.

4. При медленных темпах охлаждения вычисления дают хорошие результаты даже при уменьшении размера жидкой фазы до Ю-2, в остальных случаях требуется исследование асимптотики исчезновения фазы.

В третьей главе приводятся результаты тестирования алгоритмов предложенных в главе 2, а также численные исследования различных задач, проведенные с использованием данных алгоритмов.

В пункте ЗД алгоритм решения термодиффузионной задачи тестируется на одномерной задачи Дирихле. Для тестирования использовалась стационарная задача. При этом положение свободной границы выходит на стационарное значение после 107-го шага по времени, в то время как для установления концентрации с относительной погрешностью 0.02% необходимо сделать 2000 шагов. Это различие обусловлено существенной разницей коэффициентов температуропроводности и диффузии.

В пункте 3.2 предлагаемый алгоритм используется для решения трехмерной сферически симметричной задачи при отсутствии диффузии в твердой фазе. Для ее расчета возможны два алгоритма, описанные в пункте 2.4. Первый состоит в переходе к функциям и = х<д, V = хС, второй - непосредственное вычисление температуры и концентрации в области, не содержащей ноль с переносом условия из нуля в ближайший узел сетки методом описанным в пункте 2.3. В качестве теста использовалось точное решение данной задачи, приведенное в пункте 1.4. Относительна погрешность вычисления положения свободной границы для первого алгоритма составила 8%, в то время как для второго - 0.7%.

В пункте 3.3 приводятся результаты численного решения задач кристаллизации и плавления шара, содержащего примесь в случае сферической симметрии при малом коэффициенте диффузии и "медленном" темпе охлаждения. Используя алгоритм, описанный в пункте 2.2 исследовались задачи с реальными коэффициентами диффузии = 10~7см2/с, с// = 10-5см2/с, при характерном времени, связанном с процессом диффузии ¿о = ¿оМ- Исследовалось влияние примеси на процесс кристаллизации. Для этого проводилось сравнение скорости движения свободной границы для чистой задачи Стефана и термодиффузионной задачи с реальными коэффициентами диффузии и малой начальной концентрацией примеси. Показано, что наличие примеси существенно замедляет процесс кристаллизации сферы вблизи центра. Часто при решении задач кристаллизации считают = 0, что несколько упрощает исходную задачу. Это обоснованно тем, что во-первых «С а во-вторых характеристики направлены так, что задача остается корректно поставленной и при = 0. Численно исследовались задачи кристаллизации при ¿8 = 10~'см2/с и = 0. Оказалось, что диффузия в твердой фазе оказывает незначительное влияние только вблизи центра шара, что делает вполне обоснованным численное решение задачи кристаллизации при с1$ = 0. Для задачи кристаллизации без диффузии в твердой фазе

исследовалось влияние режима охлаждения на переохлаждение, возникающее в жидкой фазе. Показано, что увеличение темпа охлаждения приводит к росту переохлаждения в жидкой фазе. Максимум переохлаждения достигается в ближайшем к нулю узле сетки. Этот результат позволяет считать гипотезу о возможности зарождения твердой фазы в центре шара и кристаллизации "изнутри" вполне правдоподобной.

В четвертой главе рассматривается еще одна модель фазового перехода вещества, содержащего примесь, а именно, модель затвердевания эмульсии, движущейся под действием термокапиллярных сил. Исследуется задача первого приближения, возникающая при представлении решений в виде асимптотических рядов по малому параметру.

В пункте 4.1 приводятся основные принципы построения математической модель, описывающая движение эмульсии под действием термокапиллярных сил предложенной О.В. Войновым и В.В. Пухначевым в 1995 году. Эта модель весьма сложна в силу ее нелинейности и высокого порядка, поэтому предпринимаются различные попытки ее упростить. Одним из таких вариантов является рассмотрение одномерных движений с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами, поскольку в этих случаях система допускает понижение порядка. Приводится вид этой модели в случае одномерного движения со сферическими волнами, рассматриваемого в диссертации.

В пункте 4.2 формулируется задача затвердевания эмульсии в первом приближении относительно малой начальной концентрации для одномерного движения со сферическими волнами. Построение модели затвердевания эмульсии в случае одномерного движения с плоскими волнами выполнено А.Г. Петровой, В.В. Пухначевым (1999). Процесс затвердевания описывается в рамках классической задачи Стефана, скачком плотности при затвердевании пренебрегаем. На свободной границе ставятся условия сильного разрыва для температуры и концентрации:

[C(1-C)L?01

[су =

дх.

[iЩу'

д/\

(pAd - ртхт)С{ 1 - с)ье

:0,

где символ [.] обозначает разность значений функций по разные стороны линии разрыва, причем скачок внутренней энергии [и] считается постоянным; у'- скорость фазовой границы. Проводится линеаризация задачи затвердевания эмульсии. Малость начальной концентрации дисперсной

фазы дает основания для этой процедуры.

В пункте 4.3 исследуются условия разрешимости линеаризованной задачи затвердевания эмульсии. Получены условия строгой монотонности движения свободной границы задачи Стефана в случае сферической симметрии. Показано, что задача затвердевания эмульсии имеет единственное ограниченное сверху решение при условии существования классического решения задачи Стефана такого, что:

Ь^(УШ) > у; V* е (о, т].

Это условие фактически означает, что скорость переноса примеси в жидкости, вызванного термокапиллярным эффектом, должно быть меньше скорости продвижения границы затвердевания. Построено точное решение задачи затвердевания эмульсии, соответствующее случаю полного затвердевания шара за время Т.

В пункте 4.4 описывается метод численного решения задачи затвердевания эмульсии состоящий в решении задачи Стефана для определения температуры и положения свободной границы методом Г. Мейера и применении явная схема с направленными разностями для расчета концентрации дисперсной фазы в жидкой матрице. Приведены результаты тестирования. В качестве теста использовалось точное решение, приведенное в пункте 4.3, при этом относительная погрешность вычислений составила 0.01%. Расчеты проводились при различных режимах охла-

ждения. При постоянной безразмерной температуре на внешней границе-

9<,(1Л) = -2 наблюдается значительное оттеснение примеси в жидкую фазу. Если в качестве начальных данных берется точное решение, то наблюдается большое - до 8% отклонение от начального распределения примеси.

В заключении сформулируем основные результаты работы.

1. Получена локальная по времени разрешимость в гельдеровских классах функций модифицированной задачи, учитывающей влияние поверхностного натяжения и кинетического переохлаждения на скорость движения свободной границы. Доказана локальная теорема существования решения равновесной задачи, в которой фазы определяются диаграммой фазового состояния.

2. Построено автомодельное решение задачи роста кристалла из переохлажденного расплава. Построено точное решение задачи кристаллизации бинарного сплава при с1$ = 0. Для описания процесса зарождения

фазы при решении задачи кристаллизации шара построена начальная асимптотика при различных режимах охлаждения поверхности, позволяющая установить связь скорости движения свободной границы с темпом охлаждения.

3. Разработан эффективный численный алгоритм решения задач сте-фановского типа при наличии примеси. Предложен метод решения подобных задач с малыми параметрами с помощью явного выделения по-гранслойных функций.

4. Получены условия строгой монотонности движения свободной границы чистой задачи Стефана в случае сферической симметрии.

5. Построено точное решение задачи затвердевания эмульсии, предложен алгоритм численного исследования этой задачи.

6. Проведено численное исследование влияние примеси и диффузии в твердой фазе на процесс кристаллизации. Исследовано влияние режима охлаждения на переохлаждение, возникающее в жидкой фазе.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю к.ф.-м.н., доценту А.Г. Петровой и д.ф.-м.н., члену корреспонденту РАН В.В. Пухначеву за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Список работ по теме диссертации.

1. Журавлева E.H. Численное решение задачи кристаллизации бинарного сплава//Известия АГУ. Барнаул: изд-во госуниверситета, 1, 1996, с. 15-17.

2. Журавлева E.H. Численное решение задач плавления и кристаллизации бинарного сплава// XV международная школа - семинар по численным методам. Тезисы докладов. Новосибирск,1997.

3. Журавлева E.H. Численное решение задач плавления и кристаллизации бинарного сплава//Динамика сплошной среды. Сб. научных трудов, вып. 113. Новосибирск,1998, с.70-72.

4. Журавлева E.H. Задачи плавления и кристаллизации бинарного сплава в случае сферической симметрии // 1-ая краевая конференция по математике. Тезисы докладов. Барнаул,1998.

5. Журавлева E.H., Петрова А.Г. Аналитическое и численное исследование задач затвердевания эмульсии // Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике - 1/1НПР1/1М-98. Тезисы докладов. Новосибирск,1998.

6. Журавлева E.H. Разрешимость в малом по времени сферически

симметричной термодиффузионной задачи // 2-ая краевая конференция по математике. Тезисы докладов. Барнаул,1999.

7. Petrova A.G., Pukhnachov V.V., Zhuravleva E.N. Solidification of emulsion moving under effect of thermocapillary forces and microacceleration // Nonlinear partial differential equations, Lviv,1999, p. 160.

8. Журавлева E.H., Петрова А.Г. Сферически симметричная задача затвердевания эмульсии // Международная конференция "Математические модели и методы их исследования". Тезисы докладов. Красноярск, 1999.

9. Журавлева Е.Н., Петрова А.Г. Асимптотические методы в задачах затвердевания бинарного сплава // 3-я краевая конференция по математике. Тезисы докладов. Барнаул, 2000.

10. Журавлева Е.Н. Локальная разрешимость сферически симметричной термодиффузионной задачи // Известия АГУ. Барнаул: изд-во госуниверситета, 1, 2000, с.7-11.

ВВЕДЕНИЕ

Во введении приводятся некоторые из основных моделей фазовых переходов в бинарных смесях: равновесная модель, модель учитывающая поверхностное натяжение и кинетику, асимптотическая модель. Кратко излагается содержание основных разделов диссертации.

На современном этапе научных исследований математическое моделирование и вычислительный эксперимент является мощным научным методом, предназначенным для изучения, прогнозирования, оптимизации сложных многопараметрических нелинейных процессов, теоретическое и экспериментальное исследование которых традиционными методами затруднено или невозможно [1].

Исследование прикладной задачи начинается с формализации объекта, с построения соответствующей математической модели. Основное требование, предъявляемой к к математической модели - это адекватное описание физических процессов, протекажщщх,р. исследуемых системах. Однако, охватить все многообразие, физических^яблений чрезвычайно трудно. Необходимо упростить проблему и рассмотреть только основные процессы. Имеется ряд общих положений, которые лежат в основе каждой модели. Система уравнений, составляющая математическую модель, должна быть замкнута и непротиворечивой. Она должна описывать широкий класс физических явл'ений, чтобы можно было рассматривать целый ряд интересующих систем. Алгоритм решения задач должен быть легко реализуем, чтобы решение соответствующей системы уравнений с краевыми условиями не отнимало много времени и средств, С помощью таких математических моделей можно проводить вычислительный эксперимент.

Для решения входящих в математическую модель уравнений при различных краевых условиях используется основной аппарат вычислительной математики - численные методы. На втором этапе вычислительного эксперимента разрабатывается численный алгоритм и проводится его исследование. На следующем этапе составляется программа для ЭВМ, реализующая выбранный алгоритм. Далее проводятся вычисления на ЭВМ по составленным программам. На завершающем этапе выполняется анализ результатов, сопоставление их с теоретическими прогнозами и данными натурного эксперимента.

Данная диссертация выполнялась по приведенным выше принципам и дальнейшее изложение работы будет вестись в соответствии с основными канонами математического моделирования.

Корректность моделей фазового перехода в веществе, содержащем примесь в случае сферической симметрии ранее не исследовалась; точные решения были построены только для одномерной (в плоской геометрии) задачи в полубесконечной области.

Относительно небольшое количество работ, посвященных численному решению задач с фазовыми переходами в веществе, содержащем примесь, среди которых следует выделить работу А.Ф. Воеводина, H.A. Леонтьева, А.Г. Петровой [6] о кристаллизации шара, не позволяет говорить о существований достаточно универсального эффективного алгоритма, что стимулирует разработку новых численных методов для решения подобных задач.

Перераспределение примеси в веществе при фазовом переходе играет существенную роль в технологических процессах. Этим объясняется необходимость численного и аналитического исследования как традиционных, так и новых моделей фазовых переходов в веществе, содержащем примесь, таких как модель затвердевания эмульсии, движущейся под действием термокапиллярных сил, сформулированная О.В. Войповым, В.В. Пухиачевым [7].

Решению этих вопросов и посвящена данная работа.

Цель работы состоит в исследовании корректности различных моделей фазовых переходов вещества, содержащего примесь в случае сферической симметрии, разработке и реализации эффективных алгоритмов численного исследования этих задач, учитывающих влияние малых параметров.

Научная новизна заключается в получении локальной по времени разрешимости в гельдеровских классах функций термодиффузиоппой сферически симметричной задачи для равновесной и модифицированной моделей, последняя из которых учитывает влияние поверхностного натяжения и кинетического переохлаждения на. скорость движения свободной границы.

Кроме того, получены условия строгой монотонности свободной границы чистой задачи Стефана в случае сферической симметрии.

Построено автомодельное решение задачи роста кристалла из переохлажденного расплава. Построено точное решение задачи кристаллизации бинарного сплава для сферически симметричного случая при отсутствии диффузии в твердой фазе. Для описания процесса зарождения фазы при решении задачи кристаллизации шара построена начальная асимптотика при различных режимах охлаждения поверхности, позволяющая устаповить связь скорости движения свободной границы с темпом охлаждения. Построено точное решение задачи затвердевания эмульсии.

Разработан экономичный алгоритм численного решения задач стефа-новского типа при наличии примеси. Предложен метод решения подобных задач с малыми параметрами с помощью явного выделения погргш-слойных функций, а также алгоритм численного исследования задачи затвердевания эмульсии.

Проведено численное исследование влияние примеси и учета диффузии в твердой фазе на процесс кристаллизации. Исследовано влияние режима охлаждения поверхности шара на переохлаждение, возникающее в жидкой фазе.

Практическая ценность работа состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы при исследовании физических, биологических и технологических процессов, приводящих к необходимости численного решения задач фазового перехода вещества, содержащего примесь.

При аналитическом и численном исследовании использовались методы функционального анализа и теории краевых задач параболического типа; асимптотические методы; численные методы механики сплошных сред.

Прежде чем перейти к построению математической модели, сделаем некоторые физические замечания. Во многих технологических процессах (производство полупроводников, кристаллизационная очистка методом направленной кристаллизации) используются такие физико-химические системы, компоненты А и В которых неограниченно растворимы как в жидком, так и в. Твердом состоянии. Это системы с непрерывным рядом твердых растворов и диаграммы фазового равновесия (графическое выражение связи между агрегатным состоянием вещества и условиями, в которых оно находится, а также его составом) таких систем имеют вид [8], представленный на рисунках 1 и 2. Эти диаграммы различаются тем, что наличие примеси либо понижает (рис.1), либо повышает (рис.2) температуру плавления чистого вещества. 1 - линия ликвидуса, выше которой система находится в однофазном жидком состоянии, ниже - в двухфазном, представляющем смесь кристаллов и жидкости, б - линия солидуса, ниже которой система находится в твердом состоянии. Диаграмма 1 хаI рактерна, например, для таких полупроводниковых систем как германий, легированный галлием; кремний, легированный алюминием; вид 2 типичен для системы' медь с примесыо железа.

Существует два основных подхода к моделированию фазовых переходов в бинарных сплавах, образующих твердый раствор: классический, предполагающий существование поверхности раздела жидкой и твердой фаз, и обобщенный, допускающий существование целой области, где температура равна равновесной.

Обобщенная постановка задачи кристаллизации чистого вещества (задача Стефана) исследовалась в работах [9],[10],[11]. Доказаны теоремы существования и единственности обобщенного решения задачи Стефана.

Постановка обобщенной задачи в случае кристаллизации бинариого сплава приведена в работе [4], однако, аналитически она исследована еще недостаточно. Отметим в этой области работу [5], где доказана теорема существования для одномерной стационарной задачи.

Обобщенная постановка и соответствующее численное решение приводятся в работах [12],[13],[14] и ряде других публикаций, посвященных переходной твердожидкой зоне. Обобщенная постановка в некоторых случаях более адекватно отражает реальную физическую ситуацию, однако, она приводит к сильно нелинейной системе, слабо изученной в литературе.

Всюду в дальнейшем будем использовать классический подход т.е. полагать, что существует поверхность раздела фаз.

Даже одномерная задача кристаллизации бинарного сплава представляет большие сложности для аналитического и численного исследования в силу ряда причин. Во-первых, рассматриваемая система уравнений связана нелинейными условиями на неизвестной границе, кроме того поверхность раздела не является линией уровня, что исключает возможность вариационной постановки. Наличие малых параметров приводит к существованию диффузионных погранслоев, что существенно усложняет численное решение задачи.

Рассмотрим некоторые из существующих моделей описания фазовых переходов в бинарных смесях в рамках классического подхода.

Равновесная модель

Предполагается, что теплопередача в жидкости описывается законом Фурье т.е. тепловые потоки за счет конвекции отсутствуют. Это верно при малых перегревах, когда законы теплопроводности в жидкости близки к характерным для твердого тела. Таким образом, температурное поле в жидкой Г2/ и твердой фазах описывается уравнением теплопроводности: дв dt div(a2Ve), где а = а(х, t, С, 0) - коэффициент температуропроводности. Концентрация удовлетворяет уравнению диффузии: дС dt div(dVQ), где d~— d(x, t, С, 6). - коэффициент диффузии. На искомой границе фазового перехода, называемой свободной границей, задается условие Стефана:

-К дв к дп где Уп - скорость перемещения поверхности раздела фаз в направлении нормали к этой поверхности, к - частное от деления коэффициента теплопроводности на произведение плотности и удельной скрытой теплоты плавления, [/]® - разность величин при подходе к границе фазового перехода со стороны твердой и жидкой фаз. Условие Стефана выражает баланс энергии при переходе среды из одного агрегатного состояния в другое. Заметим, что в рассматриваемой модели скачком плотности при затвердевании пренебрегают, хотя существуют модели, учитывающие этот скачок [15].

Кроме того, на свободной границе ставится условие баланса массы

В общем случае температура фаз на межфазной границе может претерпевать скачок [16]. Однако,, молекулярно-кинетический анализ различных процессов фазовых переходов показывает, что для многих веществ можно пренебречь этим скачком. Более того, наиболее простая - равновесная модель предполагает, что характеристики фаз на свободной границе удовлетворяют условиям термодинайического равновесия: где 0 = ф3-(С) - линия солидуса, 0 = ф\{С) - линия ликвидуса, 0* - температура плавления чистого вещества. Значения концентрации на границе в твердой - Ся и в жидкой - С/ фазах определяются из диаграммы фазового состояния.

Математическая модель замыкается заданием начальных условий и условий на известных границах для температуры и концентрации, а также начального положения границы раздела фаз.

Назовем модель с условиями (0.1) па свободной границе - М1. Если для 6 и С выполнены неравенства:

То есть в твердой фазе температура ниже равновесной, а в жидкой-выше, то такое решение называют классическим решением равновесной модели. Отказ от этих требований приводит к неравновесной модели допускающей переохлаждение жидкости или перегрев твердого тела. Автомодельное решение данной задачи для полубесконечпой прямой, проанализированное Г.П. Иванцовым [17], показывает возможность появления переохлаждения перед фронтом кристаллизации т.е. нарушение условий

• е, - ©/ = ©* + ф8(С3) = о* + <ма)

0.1)

0(м) <Фа{С{х, *)), (м)еП-, > ф1{С(х,*)), (х,£) 6 П/.

0.2) (0.3)

0.2)—(0.3). Следует подчеркнуть, что при кристаллизации металлических слитков переохлаждение па фронте кристаллизации составляет десятые доли градуса. Поэтому фактор переохлаждения играет незначительную роль в тепловом балансе слитка. Если пас интересует только вопрос о скорости перемещения фронта кристаллизации, то переохлаждение молено не принимать во внимание (за исключением самого начального этапа процесса) [18].

Такая постановка задачи исследовалась в одномерном случае для полубесконечной области в работе [2]. Автор полагает функции <&(С) линейными (линии ликвидуса и солидуса заменяются отрезками прямых) т.е. осуществляется линеаризация по малой начальной концентрации. При использовании техники тепловых потенциалов, доказана теорема существования и единственности решения в малом по времени. В конечной области для одномерной (в случае плоской геометрии) задачи с коэффициентами теплопроводности и диффуции, являющимися функциями от температуры и концентрации, доказано существование решения в малом по времени [3]. Доказательство основано па примеиении теоремы Шау-дера о неподвижной точке к оператору, построенному по задаче. В работах [19],[20] ищется решение данной задачи на полупрямой в виде рядов, члены которых являются функциями автомодельных переменных.

Рассмотрим еще одну модель описания фазовых переходов в бинарных смесях.

Модель, учитывающая поверхностное натяжения.

Модель М1 полагает, что температура фазового перехода зависит лишь от концентрации примеси, но в реальных физических процессах на нее влияют и другие факторы. Так кривизна свободной границы приводит к необходимости учета влияния поверхностного натяжения на температуру фазового перехода. В этом случае условие (0.1) примет вид [21]: в, = ©/ = е*(1 - а К) + ф8(С8) = ©*(1 - а К) + ф,(С,Ъ (0.4) где о — 7/А, 7 - удельная поверхностная энергия, А - скрытая теплота плавления на единицу объема; К - кривизна поверхности, причем К > О, если отрезок х^уо (где ж0 - точка свободной поверхности, уц - центр кривизны) лежит в твердой фазе; в противном случае - К < 0. Модель с условием (0.4) па свободной границе назовем М2. Трехмерная задача плавления чистого вещества в случае сферической симметрии с учетом поверхностного натяжения исследовалась-в работе [22]. Построен пример разрушения классического решения в котором, либо существует по крайней мере одна точка V разрыва функции у(Ь) т.ч. 0 < у(Ь* — 0) < у(Ь* 4- 0) (где - радиус твердого шара в переохлажденной жидкости), либо у(Ь) переводит множество меры ноль в некоторое множество строго положительной меры.

Модель, учитывающая поверхностное натяжение и кинетику

Принято считать [23], что движущей силой процесса кристаллизации в конечном итоге является ■ переохлаждение Д0. Зависимость скорости роста кристалла от переохлаждения требует привлечения представлений о кинетики кристаллизации. Не останавливаясь на деталях вывода связи Уп (скорости движения границы фаз в направлении нормали) и Д0, отражающей особенности процесса кристаллизации, отметим, что форма этой связи определяется атомным механизмом роста кристалла. Если плотность "точек роста" на поверхности кристаллизации близка к единице ( атомы из жидкости могут подстраиваться к кристаллу в любой точке его поверхности), то Уп ~ Д0 ("нормальный" рост кристалла). В противоположном случае совершенно гладкой в атомных масштабах поверхности раздела фаз, последовательные слои твердой фазы возникают через формирование двухмерных зародышей и вид функции ^г(Д0) много сложнее ("слоистый" рост кристалла). Как правило, при моделировании процесса кристаллизации рассматривают "нормальный" механизм роста [18]. В этом случае условие (0.4) на границе фаз примет вид [24]:

0, = О, = 0* + ф8(с8) + ц,р = 0* + смс,) + ад (0.5) где Р - кинетический коэффициент, характеризующий скорость обмена атомами между твердой и жидкой фазами. При небольших значениях ДЭ можно в первом приближении считать /3 постоянной.

Таким образом, в третьей модели - МЗ, которая наиболее полно отражает реальную физическую ситуацию, требование равенства температуры на фронте кристаллизации равновесной, заменено на условие, учитывающее влияние поверхностного натяжения и кинетики на температуру фазового перехода: е, = е* = ©*(1 - ак) + ф,(с8) + упр = е*(1 - ак) + ма) + упр. (о.о)

Асимптотическая модель

Зачастую в реальных ситуациях концентрация примеси в бинарных смесях мала. Например, концентрация легирующей примеси в полупроводниках не превышает 10~4% по массе. В этих случаях обосновано использование модели с малой начальной концентрацией, которая опирается на тот факт, что при нулевой концентрации примеси термодиффузи-огшая задача редуцируется к обычной двухфазной задачи Стефана. Действительно, если искать решение исходной задачи в виде формальных степенных рядов по малой начальной концентрации, то па первом шаге получаем двухфазную задачу Стефана с условием на свободной границе: е, = е/= ©*(1 - ак) + ф8(с9) + упР = ©*(1 - <тк) + <мс,) + уп(з для определения 0 и положения свободной границы. После этого С определяется из системы уравнений диффузии в известных областях с условиями' дС дп = -на известной границе раздела фаз.

В работе [25] исследована данная модель для конечной одномерной области; доказана разрешимость задачи, сходимость степенных рядов по I малой начальной концентрации.

Диссертация посвящена изучению моделей фазовых переходов в бинарных смесях в случае сферической симметрии. Задачи в сферической симметрии имеют ряд особенностей. Прежде всего в задаче затвердевания чистого вещества при одинаковых темпах охлаждения скорость движения свободной границы для одномерной задачи ниже, чем для сферически-симметричной. Кроме того, в случае сферической симметрии поверхностного натяжения оказывает значительное влияние на поведение свободной границы вблизи центра, а также является стабилизирующим фактором для установления сферической формы свободной границы. Следовательно, естественной является модифицированная постановка - модель М2. Однако, как уже отмечалось классическое решение этой задачи разрушается за конечное время [22]. Исправить это положение можно учитывая не только влияние поверхностного натяжения, но и зависимость скорости движения свободной границы от переохлаждения т.е. рассматривая наиболее полную и. сложную модель - МЗ.

В первой главе рассматривается трехмерная задача кристаллизации бинарного сплава, образующего твердый раствор в случае сферической симметрии. Исследуется разрешимость в малом по времени в гельдеров-ских классах функций модифицированной задачи, учитывающей поверхностное натяжение и кинетическое переохлаждение на свободной границе. Также доказывается локальная по времени теорема существования решения равновесной задачи, в которой фазы определяются диаграммой фазового состояния вещества.

В пункте 1.1 приведена постановка рассматриваемых начально-краевых задач. Предполагается, что шар радиуса х — 1 занятый изучаемым веществом, в момент времени < разделен гладкой поверхностью г = у(1) па две подобласти: твердую и жидкую фазы: {х : х < у(*)}, ЗД = {х : у (г) < х < 1},

Считаем, что начальная температура и концентрация зависят только от радиуса, а значит, можем рассматривать одномерную задачу для перемеппой х. После стандартной для сферически-симметричных задач замены: и = х-в + а, У = х-С, исследуемые модели примут вид:

Задача 1. (модифицированная модель)

2д% дЦ д2Уг д1 ~ а{ дх2' 81 ~ 1 дх2 где х 6

На свободной границе х — ?/(£) выполнены условия:

2 , / ди8 диг\

У У = чв "даГ ~ к'~дх)У~ ~ ^~ а' уу'Ц(1 -*) = (<*, ^ - ф - ¿,У8 + ФЦ из = 11[ = т3У3 - руу' = тМ - (Зуу где к = т1/т3

Задача 2. (равновесная модель) дЦг сЩ д2У д1 "0,1 Эх2 ' ' где х £

На свободной границе выполнены следующие условия:

2 / ( ди* ди1\ ( \(тт \

У У = \К'5 ~дх ~ ~дх )У ~ ~ ~ °' уу'Щ 1 к) = [с13 - № + ФУ, и8 = 1/1 = т.л; = гщЦ, кроме того, в каждой из фаз справедливы неравенства: из(х,г)<тзуз{х,1) в д,(Т), и1(х,1)>гпМ(х,г) в (¿¡(Т). (0.7)

Не уменьшая общности дальнейших рассуждений, рассмотрим следующие граничные и начальные условия: ив(0^) = а, £ММ) = //(*) + *. то = о,. ^(1,0-^(1,0 = 0. иг{х,0) = х1рг{х), У>{х,0) = х-фг{х), У{0) = У[) ф 0, 1.

Будем исследовать разрешимость в гельдеровских классах функций, поэтому от начальных и граничных данных потребуем, чтобы: г € Я1+а/2[0,Т], у,,-, е Н2+а(йг(0)) где а 6 (0,1). В случае равновесной модели начальные данные подчинены неравенствам: у8(х) < тяф8(х), <р((х) > тсф^х), (0.8)

Р*(Уо) > <р'М > тФ[{уо)- , (0.9)

В пункте 1.2 приведено доказательство разрешимости в малом по времени поставленных задач. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.1. Существует Т*, 0 < Т* < Т такое, что задача 1 имеет решение у е Я3/2+а/2[0,Т,],

Теорема 1.2. Существует Т**, 0 < Т** < Г* такое, что задача 2 с данными, удовлетворяющими условиям (0.8)—(0.9), имеет решение е#3/2+о/2[о,тД е я2+аД+"/2Ю,-(Г„)) г = 5,/, для которого выполнены условия (0.7).

Доказательство основано на применении теоремы Шаудера о неподвижной точке к оператору, построенному по задаче.

Заметим, что предположение о линейной зависимости температуры фазового перехода от концентрации примеси пе является принципиальным. Аналогичная теорема может быть доказана и в случае произвольных достаточно гладких функций ф^С).

В пункте 1.3 проведено обезразмеривапие исходной задачи и выделены малые параметры, возникающие вследствие малого коэффициента диффузии и малой начальной концентрации примеси. Эта процедура дает возможность использовать различные асимптотические методы, а также делает численное исследование более грамотным и эффективным.

Пункт 1.4 посвящен изучению автомодельных и точных решений термодиффузионной сферически симметричной задачи. Приведены уже известные решения и новые, построенные автором. Доказаны следующие утверждения: Утверждение 1.1 При пцС° а 2 < ©° < т,С{\ к К1 задача роста кристалла из переохлажденного расплава имеет автомодельное решение вида:

УМ = М,

6/(М) = С1 / Г^-^'Ч + сг, С,(ж,0 = с3 / Г2е^/4(/'^ + с4,

Р 0 где константы с\, сг, сз, С4, С5, со определяемые начальными данными. Утверждение 1.2

Задача кристаллизации бинарного сплава в случае сферической симметрии при отсутствии диффузии в твердой фазе при условии к 6 (0 , |) имеет единственное точное решение вида: у{1) = у/1 -. .т/ч/ГЗЖ в,(х.0 = - 7 е™4"^, .С,(х,0 = - /

X 0 X 0

Ь щ

СО К/с

3/4,1*-а/А х/уДчЯ где а, Ь - некоторые константы, зависящие от начальных данных.

В пункте 1.5 с помощью формального разложения в ряды по автомодельным переменным строится асимптотика, описывающая процесс зарождения твердой фазы. Необходимость в этом возникает вследствие особенности задачи кристаллизации шара - наличие в начальный момент только одной - жидкой фазы.

Наличие асимптотики позволяет проследить процесс зарождения фазы и избавиться от проблемы вырожденной задачи. Кроме того, эта асимптотика дает возможность увидеть связь скорости движения свободной границы и темпа охлаждения.

Во.второй главе разрабатываются алгоритмы численного исследования различных моделей, описывающих процесс кристаллизации и плавления бинарного сплава. Предлагаемые алгоритмы основаны на использовании преобразования Риккати, которое позволяет свести решение дифференциальных уравнений второго порядка к последовательному решению задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

В пункте 2.1 приводится обзор основных алгоритмов решения задач с фазовыми переходами. Среди относительно немногих эффективных методов численного решения таких задач выделяют две группы: схемы сквозного счета и алгоритмы с явным выделением фронта. Экономичные разностные методы сквозного счета, основанные на нахождении обобщенного решения с помощью процедуры сглаживания, которая значительно уменьшает общность подхода. Разностные схемы с явным выделением фронта применяются для одномерного случая и, как правило, возникают существенные трудности при их использовании для решения многомерных и многофазных задач. Основные сложности решения задач с фазовыми переходами заключаются в том, что рассматриваемая система уравнений связана условиями па неизвестной границе и граница не является линией уровня, что исключает возможность вариационной постановки. Описывается метод, предложенный Г. Мейером (1989), позволяющий избежать этих сложностей. Этот метод пригоден для .решения задач с непостоянными коэффициентами теплопроводности и с весьма сложными условиями на свободной границе, учитывающими кинетику, поверхностное натяжение и другие факты.

В пункте 2.2 предлагается экономичный метод численного решения термодиффузионной задачи, основанный на подходе Г.Мейера. Суть метода состоит в том, что система одномерных уравнений теплопроводности и диффузии, связанных условием на свободной границе, решается с использованием преобразования Риккати, при этом свободная граница находится как корень некоторого алгебраического уравнения, полученного из условий баланса масс и энергии, без дополнительных итераций.

В пункте 2.3 предлагается способ аппроксимации граничного условия в нуле для сферически симметричной задачи, который позволяет повысить точность вычислении вблизи нуля. Идея состоит в переносе условия из центра симметрии в ближайший узел сетки.

В пункте 2.4 предлагается метод численного исследования задачи кристаллизации бинарного сплава с реальным коэффициентом диффузии при медленных темпах охлаждения. Заметим, что предложенный во пункте 2.2 метод эффективен для решения задачи Стефана и модельной термодиффузионной задачи, однако, реальная термодиффузиоиная задача имеет свою особенность, а именно, малый коэффициент диффузии и малую начальную концентрацию примеси. Это приводит к уравнению с малым параметром при старшей производной. Наличие малого параметра приводит к неравномерной сходимости при Ах —>■ 0, (Ах - шаг разностной сетки) численного решения к точному. Классические методы, типа методов Рунге - Кутта, при использовании равномерной сетки, практически не пригодны для решения подобных задач. Главная причина этого заключается в том, что оценки производных от решения для задач с малым параметром при производной существенно зависят от параметра. Наш подход состоит в том, что при медленных темпах охлаждения (скорость свободной границы имеет тот же порядок, что и малый параметр) переход к характерному времени связанному с процессом диффузии позволяет избежать диффузионных погранслоев.

В пункте 2.5 предлагается метод решения задачи с реальным коэффициентом диффузии при достаточно быстрых скоростях движения свободной границы. Идея метода основана на том, что при \у'\ ф/х возникает ярко выраженный погранслой, который выделяется явно. Получена оценка разности точного и погранслойного решения в зависимости от соотношения скорости движения свободной границы и коэффициента диффузии. Проведен анализ способов численного решения задачи кристаллизации бинарного сплава с реальным коэффициентом диффузии при различных темпах охлаждения поверхности шара:

1. При темпе охлаждения порядка Ю-0 — Ю-4 град./сек. переход к характерному времени, связанному с процессом диффузии позволяет избежать погранслоев и использовать алгоритм, изложенный в пункте 2.4.

2. Если сфера охлаждается "быстро" т.е. со скоростью порядка Ю-1 — 1 град./сек., то концентрация на свободной границе постоянна с точностью порядка Ю-5 и численный алгоритм сводится к решению задачи Стефана с постоянной температурой фазового перехода, при этом концентрация определяется из погранслойного разложения. Отметим, что, по существу, в данном случае используется асимптотическая модель, приведенная во введении.

3. Для темпов охлаждения 10~3 - 10~2 град./сек. следует также выделять погранслойные функции, однако, для достижения достаточной точности необходимо использовать асимптотическое разложение более высокого порядка. I

4. При медленных темпах охлаждения вычисления дают хорошие peзультаты даже при уменьшении размера жидкой фазы до Ю-2, в остальных случаях требуется исследование асимптотики исчезновения фазы.

В третьей главе приводятся результаты тестирования алгоритмов предложенных в главе 2, а также численные исследования различных задач, проведенные с использованием данных алгоритмов.

В пункте 3.1 алгоритм решения термодиффузионпой задачи тестируется на одномерной задачи Дирихле. Для тестирования использовалась стационарная задача. При этом положение свободной границы выходит на стационарное значение после 107-го шага по времени, в то время как для установления концентрации с относительной погрешностью 0.02% необходимо сделать 2000 шагов. Это различие обусловлено существенной разницей коэффициентов температуропроводности и диффузии.

В пункте 3.2 предлагаемый алгоритм используется для решения трехмерной сферически симметричной задачи при отсутствии диффузии в твердой фазе. Для ее расчета возможны два алгоритма, описанные в пункте 2.4. Первый состоит в переходе к функциям II = х&, V ~ хС, второй - непосредственное вычисление температуры и копцентргщии в области, не содержащей ноль с переносом условия из нуля в ближайший узел сетки методом описанным в пункте 2.3. В качестве теста использовалось точное решение данной задачи, приведенное в пункте 1.4. Относительна погрешность вычисления положения свободной границы для первого алгоритма составила 8%, в то время как для второго - 0.7%.

В пункте 3.3 приводятся результаты численного решения задач кристаллизации и плавления шара, содержащего примесь в случае сферической симметрии при малом коэффициенте диффузии и "медленном" темпе охлаждения. Используя алгоритм, описанный в пункте 2.2 исследовались задачи с реальными коэффициентами диффузии <4 = Ю'см2/с, ¿1 = 10~5см2/с, при характерном времени, связанном с процессом диффузии ¿у — ^оМ- Исследовалось влияние примеси па процесс кристаллизации. Для этого проводилось сравнение скорости движения свободной границы для чистой задачи Стефана и термодиффузиоппой задачи с реальными коэффициентами диффузии и малой начальной концентрацией примеси. Показано, что наличие примеси существенно замедляет процесс кристаллизации сферы вблизи центра. Часто при решении задач кристаллизации считают с13 = 0, что несколько упрощает исходную задачу. Это обоснованно тем, что во-первых с13 с?/, а во-вторых характеристики направлены так, что задача остается корректно поставленной и при с£я = 0. Числеипо исследовались задачи кристаллизации при 10~7см2/с и (¿з = 0. Оказалось, что диффузия в твердой фазе оказывает незначительное влияние только вблизи центра шара, что делает вполне обоснованным численное решение задачи кристаллизации при ¿8 — 0. Для задачи кристаллизации без диффузии в твердой фазе исследовалось влияние режима охлаждения на переохлаждение, возникающее в жидкой фазе. Показано, что увеличение темпа охлаждения приводит к росту переохлаждения в жидкой фазе. Максимум переохлаждения достигается в ближайшем к нулю узле сетки. Этот результат позволяет считать гипотезу о возможности зарождения твердой фазы в центре шара и кристаллизации "изнутри" вполне правдоподобной.

В четвертой главе рассматривается еще одна модель фазового пе рехода вещества, содержащего примесь, а.именно, модель затвердевания эмульсии, движущейся под действием термокапиллярных сил. Исследуется задача первого приближения, возникающая при представлении решений в виде асимптотических рядов по малому параметру.

В пункте 4.1 приводятся основные принципы построения математической модель, описывающая движение эмульсии под действием термокапиллярных сил предложенной О.В. Войповым и В.В. Пухпачевым в 1995 году. Эта модель весьма сложна в силу ее нелинейности и высокого порядка, поэтому предпринимаются различные попытки ее упростить. Одним из таких вариантов является рассмотрение одномерных движений с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами, поскольку в этих случаях система допускает понижение порядка. Приводится вид этой модели в случае одномерного движения со сферическими волнами, рассматриваемого в диссертации.

В пункте 4.2 формулируется задача затвердевания эмульсии в первом приближении относительно малой начальной концентрации для одномерного движения со сферическими волнами. Построение модели затвердевания, эмульсии в случае одномерного движения с плоскими волнами выполнено А.Г. Петровой, В.В. Пухначевым (1999). Процесс затвердевания описывается в рамках классической задачи Стефана, скачком плотности при затвердевании пренебрегаем. На свободной границе ставятся условия сильного разрыва для температуры и концентрации: сЮ"

С}у'

С(1-С)Ь дх в] = О,

Щ/ =

М* - РтКп)С( 1 - С)ЬЭ дв дх кт( 1 - МС) ое дх где символ [.] обозначает разность значений функций по разные стороны линии разрыва, причем скачок внутренней энергии [и] считается постоянным и равным 7; у'— скорость фазовой границы. Проводится линериари-зация задачи затвердевания эмульсии. Малость начальной концентрации дисперсной фазы дает основания для этой процедуры.

В пункте 4.3 исследуются условия разрешимости линеаризованной -задачи затвердевания эмульсии. Получены условия строгой монотонности свободной границы задачи Стефана в случае сферической симметрии. Показано, что задача затвердевания эмульсии имеет единственное ограниченное сверху решение при условии существования классического решения задачи Стефана такого, что:

Это условие фактически означает, что скорость переноса примеси в жидкости, вызванного термокапиллярным эффектом, должно быть меньше скорости продвижения границы затвердевания. Построено точное решение задачи затвердевания эмульсии, соответствующее случаю полного затвердевания шара за время Т.

В пункте 4.4 описывается метод численного решения задачи затвердевания эмульсии состоящий в решении задачи Стефана для определения температуры и положения свободной границы методом Г. Мейера и применении явная схема с направленными разностями для расчета концентрации дисперсной фазы в жидкой матрице. Приведены результаты тестирования. В качестве теста использовалось точное решение, приведенное в пункте 4.3, при этом относительная погрешность вычислений составила 0.01%. Расчеты проводились при различных режимах охлаждения. При постоянной безразмерной температуре на внешней границе ©,s(l,i) = —2 наблюдается значительное оттеснение примеси в жидкую фазу. Если в качестве начальных данных берется точное решение, то наблюдается большое - до 8% отклонение от начального распределения примеси.

В заключение формулируются основные результаты, полученные в диссертации.

Материалы диссертации опубликованы в работах [26] - [35] и докладывались на следующих конференциях и школах: международная школа - семинар по численным методам (Новоси-биоск,1997). краевые конференции по математике ( Барнаул,1998, 1999, 2000).

Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике" ( ИНПРИМ-98, Новосибирск,1998). международная конференция "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 1999). международная конференция " Nonlinear partial differential equations" (Львов, 1999).

Диссертационная работа прошла апробацию на семинаре отдела прикладной гидродинамики, руководимом чл.-корр. РАН В.В. Пухначевым в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева,

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты работы.

1. Получена локальная по времени разрешимость в гельдеровских классах функций модифицированной задачи, учитывающей влияние поверхностного натяжения и кинетического переохлаждения па скорость движения свободной границы. Доказана локальная теорема существования решения равновесной задачи, в которой фазы определяются диаграммой фазового состояния.

2. Построено автомодельное решение задачи роста кристалла из переохлажденного расплава. Построено точное решение задачи кристаллизации бинарного сплава при ¿3 = 0. Для описания процесса зарождения фазы при решении задачи кристаллизации шара построена начальная асимптотика при различных режимах охлаждения поверхности, позволяющая установить связь скорости движения, свободной границы с темпом охлаждения.

3. Разработан эффективный алгоритм численного решения задач сте-фаповского типа при наличии примеси. Предложен метод решения подобных задач с малыми параметрами с помощью явного выделения по-гранслойных функций.

4. Получены условия строгой монотонности свободной границы чистой задачи Стефана в случае сферической симметрии.

5. Построено точное решение задачи затвердевания эмульсии, предложен алгоритм численного исследования этой задачи.

6. Проведено численное исследование влияние примеси и учета диффузии в твердой фазе на процесс кристаллизации. Исследовано влияние режима охлаждения на переохлаждение, возникающее в жидкой фазе.