автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическая модель и численное исследование твердотельного фазового перехода в наноразмерном образце

На правах рукописи УДК 539.3

005006221

ФРЕЙМАН Евгений Игоревич

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ТВЕРДОТЕЛЬНОГО ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА В НАНОРАЗМЕРНОМ ОБРАЗЦЕ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 5 ДЕК 2011

ТВЕРЬ 2011

005006221

Работа выполнена на кафедре математического анализа в ФГБОУ ВПО «Тульский государственный университет».

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор

Левин Владимир Анатольевич Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник Фрейдин Александр Борисович доктор физико-математических наук, доцент Цирулёв Александр Николаевич

Ведущая организация Учреждение Российской академии наук

«Институт химической физики им. Н.Н.Семенова РАН»

Защита состоится «23» декабря 2011 года в 12:00 часов на заседании диссертационного совета Д212.263.04 при Тверском государственном университете по адресу: 170002, г. Тверь, Садовый пер., 35, ауд. 200.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного университета по адресу: 170100, г. Тверь, ул. Володарского, 44а.

Объявление о защите диссертации опубликовано «22» ноября 2011 года на сайте ВАК и на официальном сайте Тверского государственного университета по адресу: http://university.tversu.ru/aspirants/abstaract/

Автореферат разослан «22» ноября 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, Л

доктор физико-математических наук, ( ус) (/

доцент С.М. Дудаков

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Проблема описания фазовых превращений в деформируемых телах является одной из важнейших задач механики деформируемого твердого тела, а также материаловедения. Её актуальность определяется тем, что большинство материалов, используемых в современной технике, испытывают фазовые превращения либо в процессе их изготовления, либо в процессе эксплуатации, либо контактируют со средой, в которой происходят фазовые переходы. В частности, фазовые превращения ответственны за эффект памяти формы, наблюдаемый в некоторых сплавах (сплавах с памятью формы1), широко используемых в современной технике. Одной из неразработанных инфраструктурных проблем наноиндустрии при проектировании, мониторинге и эксплуатации изделий является необходимость точного и быстрого проведения численного анализа поведения изделия. Часть этой проблемы - учет изменения свойств элементов наноизделия при эксплуатации в результате твердотельных фазовых переходов (в том числе и проблема "выпучивания" нано- и микропленок2). Для принятия решения при мониторинге работы такого изделия требуются адекватная модель и достаточно быстрый расчет в рамках этой модели, что актуально как в России, так и за рубежом.

Одним из примеров наноструктурированного материала, в котором происходит фазовый переход, является сплав №65А1з53. Данный сплав используется изготовления конструкций с памятью формы. Под воздействием механических напряжений в сплаве Т^А^ происходит фазовый переход и возникают мар-тенситные наноструктуры, вследствие чего материал можно считать нанострук-турированным. Изучая представительный объем данного сплава далее можно делать выводы об эффективных характеристиках макротел с памятью формы.

Сплавы с памятью формы используют для создания интеллектуальных материалов (материалы со специфическими функциональными характеристиками на молекулярном уровне).

'Уорден К. Новые интеллектуальные материалы и конструкции. Свойства и применение М.: Техносфера, 2006. 224 с.

2 Мовчан А. А., Силъченко Л. Г. Об устойчивости пластины из сплава с памятью формы при прямом термоупругом фазовом превращении// ПММ. 2004. Т. 68. вып. 1. С. 60-72.

3 Levitas V.I., Preston D.L. Thermomechanical lattice instability and phase field theory of marten-sitic phase transformations, twinning and dislocations at large strains// Physics Letters. 2005. vol. A343, p. 32-39.

Имеющиеся CAE-системы, принятые в мировой расчетной практике (например, ведущие ANSYS, Dassault Systymes (ABAQUS), COMSOL), не позволяют моделировать (рассчитывать) механические параметры нагруженного образца при перераспределении конечных деформаций (образования дефектов) и тем более с учетом изменения свойств материала в процессе нагружения.

Целями диссертационной работы являются:

модификация модели фазового перехода для случая конечных деформаций, учитывающая наличие собственных деформаций фаз, градиентные эффекты, поверхностное натяжение и зависимость свойств материала от фазового состояния;

разработка алгоритма решения и программного модуля, его реализующего;

проведение численных экспериментов и анализ результатов.

Методы исследования. Фазовый переход описывается на основе континуальной модели, основанной на теории Ландау - Гинзбурга и обобщенной на случай фазового превращения, вызванного механическими напряжениями с учетом конечности деформаций. Для численного решения задач в работе использовался метод конечных элементов. Программный модуль, реализующий алгоритм решения, был разработан на языке С++ с использованием математических пакетов, таких, как Boost, VTK, MKL и др.

Положения выносимые на защиту:

Усовершенствована математическая модель твердотельного фазового перехода для случая конечных деформаций, учитывающая наличие собственных деформаций фаз, градиентные эффекты, поверхностное натяжение и зависимость свойств материала от фазового состояния.

Разработан алгоритм решения связанной задачи о напряженно-деформированном и фазовом состоянии наноразмерных тел в процессе твердотельного фазового перехода, вызванного действием механических напряжений, и его программная реализация.

Проведены численные эксперименты, анализ результатов которых показал:

возможность получения установившихся наноструктур из сплава Ni65Ab5, качественно согласующихся с эксперементальными данными;

существенное различие между линейным и нелинейным решением для определенных задач;

возможность образования устойчивых наноструктур, возникающих при учете поверхностного натяжения на границах наноразмерных полостей.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые модифицирована модель фазового перехода для случая конечных деформаций, учитывающая наличие собственных деформаций фаз, градиентные эффекты, поверхностное натяжение и зависимость свойств материала от фазового состояния. Разработаны алгоритм решения и программный модуль, его реализующий. Предложен подход к моделированию поверхностного натяжения на границах нанополостей.

Достоверность и обоснованность научных результатов базируются на корректной математической постановке задачи, использовании апробированных соотношений теории многократного наложения больших деформаций и апробированных при малых деформациях моделей фазовых переходов, корректно обобщенных на случай конечных деформаций и их наложения, применении общепризнанных численных методов (таких, как метод конечных элементов). Полученные в работе результаты согласуются с решением задачи для случая однородного напряженно-деформированного и фазового состояния, которое получено в среде Maple путем численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты численных расчетов по моделированию образования стационарных наноструктур при нагружении качественно согласуются с экспериментальными данными для сплава Ni6JAl3j.

Практическая значимость

Автором разработан программный комплекс для расчета наноразмерных тел, в том числе и нанопленок (испытывающих конечные деформации), в которых происходят изменения свойств материалов (фазовые переходы) под действием напряжений различной природы. Данный программный комплекс является инфраструктурным продуктом для нанотехнологической отрасли.

Разработанная модель и алгоритм решения могут быть использованы как для разработки технологий получения наноструктурированных материалов с желаемыми свойствами (интеллектуальных материалов), так и для мониторинга уже существующих конструкций, сделанных из данных материалов.

Также с помощью данного программного комплекса возможно численное моделирование эффекта выпучивания нанопленок (потеря устойчивости наноп-ленки при фазовом переходе).

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях: «Ломоносовские чтения» в 2006, 2007, 2010 гг. (г. Москва); «Инженерные сис-

темы - 2009» (г. Москва); «Современные проблемы математики, механики, информатики» в 2005, 2007 и 2010 гг. (г. Тула), а также на IV Европейской конференции по вычислительной механике «ЕССМ 2010» (г. Париж) и на XVI, XVIII и XXI симпозиумах «Проблемы шин и резинокордных композитов» в 2005, 2007 и 2010 гг. (г. Москва). Результаты работы использованы при выполнении инициативных научных проектов РФФИ № 06-01-00682-а, 11-08-01284-а.

На программный модуль получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ за № 2010611589. Для дальнейшей разработки программного комплекса создано малое предприятие «ООО «НАНОСОФТ», получившее поддержку Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере.

Публикации. Основные результаты диссертации представлены в 18 работах, 4 из которых - в изданиях, рекомендованных ВАК Минобразования РФ.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка использованных источников из 117 наименований. Работа изложена на 118 страницах машинописного текста, содержит 18 рисунков.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели и задачи данной работы, приведено краткое содержание диссертации.

В первой главе кратко изложены основные соотношения теории многократного наложения больших деформаций в упругих телах. Приводятся основные термины и обозначения, используемые в работе. Детально рассмотрена математическая модель твердотельного фазового перехода:

п—\

= I + V ип - аффинор деформаций при переходе из (п-1)-го в п-е состояние;

У, - аффинор собственной деформации (считается заданным для каждой

фазы);

Ч*, = Чу' • - аффинор упругой деформации;

А/»,п - относительное изменение объема при переходе из ш-го в п-е состояние;

О ] , *

Ее = — • -1) - тензор упругой деформации;

п-1 О

Е о.„ = о.п-1 • Ео.л- , — тензор обобщенных напряжений для п-ого состояния, записанный в координатах (п-1)-го состояния. Свободная энергия записывается в виде

/ О Л л "-1 " , ч

V = А Е„щ,...,т1й + £/(%) + £ ХЪМ'Ъ), упругий потенциал - в форме потенциала Мурнагана:

+ C3(Î7, 17„ )(£, )3 + Сч(17, ,...,П„ )ЕХЕ1 + С5 (//,,..., rj„ )£3

/о у о

где Ек = Е* : I - инварианты тензора Ее.

Определяющее соотношение, соответствующее потенциалу Мурнагана,

£о., =-^-

ЗЕ,

Постановка задачи осуществляется на основе теории многократного наложения больших деформаций и теории фазовых переходов Ландау - Гинзбурга. Механическая постановка задачи следующая. Рассмотрим произвольное упругое тело (рис. 1). Материал тела может находиться в нескольких фазовых состояниях (например, для сплава М165А1з5 это аустенит и три мартенситных фазы). Механические свойства материала в разных фазовых состояниях различны. В процессе изотермического деформирования в теле происходит фазовый переход.

Далее приводится математическая постановка краевой задачи в координатах первого (промежуточного) состояния. Данная постановка приводится впервые, и в отличие от модели, предложенной В.И.Левитасом4, учитывает конечность не только собственных, но и упругих деформаций фазового перехода:

уравнение движения с учетом наложения больших деформаций, записанное в координатах р-1 состояния

4Lcvitas V.I., Preston D.L. Thermomechanical lattice instability and phase field theory of martensit-ic phase transformations, twinning and dislocations at large strains// Physics Letters. 2005. Vol. A343, p. 32-39.

р-1 V-

„ £^2 п

эволюционное уравнение для п параметров порядка с учетом градиентных эффектов

^ - 2А/3 V■('V Пк ]+ ЛХ„ к = 1...П;

к = 1...«;

01

Ъ-г.чГ.

дщ 9%

Здесь Р - тензор напряжений Пиолы; X,, - движущие силы фазового перехода.

Граничные условия: заданные напряжения на внешней границе

Р-1 Р-1

сг0.р = сг,,, заданные нормальные напряжения на контуре отверстий Ы-1, о.Р = /; в случае необходимости учета поверхностного натяжения граничные условия

р-1 р-1 ;>Ч

могут быть записаны как М- 2 п = Г- ¿V , где = 2 у к ; к - локальная кривизна деформированной поверхности, коэффициент пропорциональности; нулевые производные параметров порядка по направлению нормали к контуру, как

Р~\ Гр-\ \

на внешней границе, так и на контурах отверстий ДЧ V % = О, к = 1,...,«.

Начальные условия: в момент /„ начала фазового перехода Чк = г\к в некоторой заданной области; - некоторое заданное значение (о<%* <1); в остальной части тела в момент начала фазового перехода т/к = 0.

Рис. 1. Нелинейно - упругое тело

Во второй главе диссертации мы описываем разработанный нами алгоритм решения поставленной задачи о твердотельном фазовом переходе под действием механических напряжений с учетом конечности деформаций.

Для приближения уравнений на конечноэлементной сетке использовался метод Б.Г.Галеркина. Рассмотрим применение этого метода к нелинейному уравнению равновесия

||/V, | V• (1+А0р_,) ' Ео,рЧр-,.р |<&ф = 0, где К,- функции формы, которое преобразуем с помощью формулы Грина:

Я(7лО"Г(1+ло.,ыГ Ъ»-?*?-,.= Г»р-(1 +V-") ' Я"<*Г.

о Л Г I J

В правую часть подставим граничные условия:

аГ

где /-давление на границе.

При реализации МКЭ возможно использование различных типов конечных элементов. Были выбраны треугольные симплекс-элементы (рис. 2), так как для данной задачи достаточно линейного приближения перемещений, и эти элементы являются наиболее простыми с точки зрения программной реализации.

Рис. 2. Элементы, использующиеся при расчете (слева-для уравнения равновесия, справа - для эволюционного уравнения)

Интеграл по всей области записывается, как сумма интегралов по элементам разбиения:

V

хя

-I I г,

-/(1 + До.,-.)"'

йГ

Нелинейная система, получающаяся при решении уравнения равновесия, решалась методом Ньютона. В качестве критерия отбора решений был выбран критерий физической достоверности: отбирались решения без самопересечения границ элементов.

Эволюционное уравнение содержит производную по времени, которая заменяется конечной разностью, этим задача разбивается на шаги по времени. Для того чтобы одновременно удовлетворить уравнениям и равновесия и эволюции на шаге по времени, использовался итерационный процесс: I. Сохранение распределения параметров порядка.

2. Решение уравнений равновесия V-И1+Д0;М)~1Х0;,-Ч',,_

= 0 (при задан-

ном распределении параметров порядка). Вычисление «предварительных» напряжений и деформаций.

3. Вычисление х4(/,„,), к=1,...,п.

4. Решение эволюционных уравнений

) Пк 0,-1) _ у / у ^ + дХ> )) к=1,...,п. Предварительное вычисле-

ние параметров порядка к=1,...,п.

5. Пересчет уравнений равновесия (при найденном предварительном распределении параметров порядка). Вычисление текущих напряжений и деформаций.

6. Вычисление Х„(/;), к=1,...,п.

7. Восстановление параметров порядка (сохраненных в п. 1).

8. Окончательное решение эволюционных уравнений

----— = 2Л/? У-^У //Д/^+ЛХД/,), к=1,...,п. Окончательное вычисление

параметров порядка ^(г, ), к=1,...,п.

В третьей главе мы исследуем результат численного решения задачи, постановка которой приведена в первой главе, с помощью программного комплекса, реализующего алгоритм, рассмотренный во второй главе. Приводятся полученные с помощью МКЭ численные решения. Они представлены полями распределения напряжений и параметров порядка. Расчеты выполнены для сплава Ni65Al35 5 для случая плоской деформации. Для тестирования программного модуля были проведены тестовые расчеты для случая однородного напряженно-деформированного и фазового состояния в среде Maple путем численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений средствами пакета и сопоставлены с решением аналогичной задачи разработанным программным модулем.

В качестве экспериментального подтверждения корректности работы программы приводятся фотографии (рис. 3) мартенситных наноструктур, полученные с помощью туннельного электронного микроскопа6. На рис. 3 показаны полосы, соответствующие различным фазам мартенсита, которые являются чередующимися областями различной атомной структуры.

Похожие полосы из разных фаз мартенсита являются наиболее типичной структурой, которая получается при численных экспериментах с однородным образцом и случайным начальным распределением зародышей новых фаз.

Рис. 3. Мартенситные наноструктуры, возникающие в сплаве №65А1,5 под воздействием механических напряжений

5 Параметры материала взяты из статьи Levitas V.I., Preston D.L. // Phys. Rev. В. 2002. V.66, 134207.

6 Boullay Ph., Schryvers D„ Ball J.M. Nano-structures at martensite macrotwin interfaces in N165AI35// Acta Materialia. 51 (2003) 1421-1436.

11

С помощью программного комплекса мы исследовали следующие задачи: Задача 1 - образование стационарных наноструктур при однородном растяжении. Требуется показать возможность образования наноструктур в однородном теле со случайным начальным распределением параметров порядка, сравнить линейное и нелинейное решения, провести аналогию с наноструктурами, наблюдаемыми с помощью туннельного микроскопа.

Был взят образец размером Ь = 27 нм и приложена нагрузка ру =-рх = 0,7 ГПа. Начальные условия: случайное распределение параметров порядка в диапазоне от 0 до 0,1. Задача решалась в квазистатической постановке. Через некоторое время после запуска процесса фазового перехода было достигнуто стационарное напряженно-деформированное и фазовое состояние образца. Распределение параметров порядка в стационарном состоянии показано на рис. 4.

б ШЯВШЖ

ж

м

°5

Рис. 4. Установившееся распределение параметров порядка: а - линейное решение, б-нелинейное решение; зависимость решения от времени в черной точке в центре образца для линейного (L) и нелинейного (NL) решений: в - для параметра порядка, г - для компонент напряжения Похожие полосы описаны в статье Ph. Boullay, D. Schryvers, J.M. Bali Na-no-structures at martensite macrotwin interfaces in Ni65Al35. Они же являются наиболее типичной структурой, которая возникает при расчетах в случае отсутствия отверстий.

Из результатов видно существенное отличие линейного и нелинейного решений. Из графика рис. 4, г видно, что напряжения а2 различаются в 5 раз, на графике рис. 4, в показано существенное отличие распределения параметров

12

; порядка.

Задача 2 - образование стационарных наноструктур при всестороннем

растяжении в теле с круговыми концентраторами напряжений. Требуется

1,1

показать наноструктуры, возникающие при всестороннем нагружении тела, содержащего зародыши новых фаз в виде круговых включений, сравнить линейное и нелинейное решения.

Был взят образец размером Ь = 40,22 нм и приложена нагрузка - всесто-; роннее растяжение (рх = ру = 1,5 ГПа). Начальные условия: в центральной ок! ружности г|, = 0,1, Т1г = 0, в двух других окружностях г)] = 0, т)2 = 0,1. Диаметр включений 6,7 нм. Задача решалась в квазистатической постановке. Через неко-I торое время после запуска процесса фазового перехода было достигнуто стационарное напряженно-деформированное и фазовое состояние образца. Поля распределения параметров порядка в стационарном состоянии показаны на рис. 5.

Рис. 5. Установившееся распределение параметров порядка; а, б-линейное решение; в, г- нелинейное решение

Из приведенных результатов видно существенное различие распределе-I ния параметров порядка при линейном и нелинейном решениях, как количественное (в нелинейном расчете ни одна область не перешла в новые фазы полностью), так и качественное (в нелинейном расчете видна «сетка» из разных фаз мартенсита, а в линейном только полосы).

Задача 3 - образование мартенситных наноструктур при изгибе пластины из материала 1Ч165А135. Требуется рассмотреть подход к моделированию эффекта

выпучивания нанопленок на примере изгиба пластины из материала Ы165А135, показать значимость учета нелинейных эффектов в этой задачи.

Была взята пластина прямоугольной формы со сторонами 2x20 нм, жестко закрепленная по левой стороне, как показано на рис. 6. В правой её части было расположено включение В = 2 нм (серая окружность). Включение представляло собой "смешанный" зародыш фаз М, и М2 О], = 0.1, т^ = 0.1). В остальной части образца в начальный момент времени было т), = т)2 = 0. Нагрузки задавались, как показано на рис. 6: оа = I ГПа, оуу = 0.005 ГПа. Задача решалась в квазистатической постановке. Собственные деформации фаз:

1,215 0 О" 0 0,922 0 0 0 1

0,922 0 0 0 1,215 0 0 0 1

1 ? Т Т Т ! ? ! ! ! ! Г

Рис. 6. Схема закрепления и нагружения образца

Через некоторое время после запуска процесса фазового перехода было достигнуто стационарное напряженно-деформированное и фазовое состояние образца. Из рис. 7 и рис. 8 видно, что в случае линейного решения весь материал остался в фазе аустенита (оба параметра порядка равны нулю), а в случае нелинейного решения материал разделился на две зоны, состоящие из разных фаз мартенсита, с резким переходом между ними. Максимальные напряжения в установившемся состоянии для линейного и нелинейного решений отличались более чем в 20 раз.

Рис. 7. Нелинейное решение г|) и ^(установившееся состояние)

Рис. 8. Линейное решение г|, и т\2 (установившееся состояние)

Задача 4 - образование мартенситных наноструктур под воздействием сил поверхностного натяжения. Требуется показать, что в случае учета поверхностного натяжения в материале могут происходить фазовые превращения и образовываться стационарные наноструктуры даже без приложения внешних нагрузок.

Рассматривалось кольцо с внешним диаметром 01 = 5 нм, внутренним диаметром 02=2 нм. Вокруг отверстия располагалось включение в форме кру-1 гового кольца с внешним диаметром с1 = 2,4 нм. Включение представляло собой «смешанный» зародыш фаз М, и М2 (т^ = 0,1, % = 0,1). В остальной части образца в начальный момент времени т|, = г^ = 0. В качестве нагрузки было задано поверхностное натяжение на внешней и внутренней границах. Коэффициент | поверхностного натяжения к = 2, собственные деформации фаз задавались как в | предыдущей задаче.

Задача решалась в нелинейной постановке, через некоторое время после запуска процесса фазового перехода было достигнуто стационарное напряженно-деформированное и фазовое состояние образца. Установившееся распреде-| ление параметра порядка г|, показано на рис. 9, распределение ц2 получается ' поворотом рис. 9 на 90° относительно центра образца.

Из приведенного поля распределения параметров порядка видно, что под действием поверхностного натяжения в теле образовались мартенситные наноструктуры.

В заключении приведены основные результаты и выводы диссертационной работы:

I Модифицирована модель твердотельного фазового перехода для случая

конечных деформаций, учитывающая наличие собственных деформаций фаз, градиентные эффекты, поверхностное натяжение и зависимость свойств материала от фазового состояния;

Разработан алгоритм решения связанной задачи о напряженно-деформированном и фазовом состоянии наноразмерных тел в процессе твердо-

тельного фазового перехода, вызванного действием механических напряжений, и его программная реализация.

Рис. 9. Установившееся распределение параметра порядка г).

Проведены численные эксперименты, анализ результатов которых показал:

возможность получения установившихся наноструктур из сплава М1б5А1з5, качественно согласующихся с экспериментальными данными.

для задачи о нагружении образца с 3 нановключениями и задачи об изгибе пластины получено качественное различие между линейным и нелинейным решениями, в задаче об изгибе пластины максимальные напряжения в установившемся состоянии отличаются более чем в 20 раз;

возможность образования устойчивых наноструктур, возникающих при учете поверхностного натяжения на границах наноразмерных полостей.

Разработанная модель и программный комплекс могут быть использованы для разработки технологий получения наноструктурированных материалов с желаемыми свойствами (интеллектуальных материалов) и мониторинга уже существующих конструкций, сделанных из данных материалов.

Публикации по теме диссертации

1. Displacive Phase Transitions at Large Strains: Phase-Field Theory and Simulations/ V.l. Levitas, V.A. Levin, K.M. Zingerman, E.I. Freiman // Physical Review Letters. 2009.103. 025702.

2. Твердотельные фазовые переходы, вызванные действием механических напряжений в материале с наноразмернымн неоднородностями: модель и вычислительный эксперимент/ В.А. Левин, В.И. Левитас, В.В. Лохнн, K.M. Зингерман, Л.Ф. Саяхова, Е.И. Фрейман // Доклады академии наук, 2010, Т. 434. № 4. С. 481-485.

3. Левин В.А., Зингерман K.M., Фрейман Е.И. Вариант модели фазового перехода в теле с конечными деформациями. Численный эксперимент // Вестник Тверского государственного университета. Сер. Прикладная математика. Вып. 2(13). 2009. С. 23-30.

4. Фрейман Е.И. Вариант численного решения задачи теории многократного наложения больших деформаций для случая твердотельных фазовых переходов // Вестник Тверского государственного университета. Сер. Прикладная математика. Вып. 1(20). 2011. С. 65-77.

5. Использование пакета ABAQUS для описания развития зоны предраз-рушения вблизи носика повреждения в теле из упругого или вязкоупругого материала/ В.А. Левин, К.А. Ильин, H.A. Агапов, Е.Д. Комолова, A.B. Кукушкин, Е.И. Фрейман // Проблемы шин и резинокордных композитов, материалы шестнадцатого симпозиума. М., 2005. Т. 2. С. 28 - 30.

6. К оценке микронапряжений при моделировании свойств наноматериа-лов в рамках механики деформируемого твердого тела при конечных деформациях/ В.А. Левин, A.B. Вершинин, Е.И. Фрейман, Е.Д. Комолова // Современные проблемы математики, механики, информатики, материалы 6-й международной конференции. Тула. 2005. С. 98 - 101.

7. Результаты решения плоских задачи задач теории многократного наложения больших деформаций с помощью программного комплекса «Наложение»/ A.B. Вершинин, В.А. Левин, Е.Д. Комолова, Е.И. Фрейман // Ломоносовские чтения, тезисы докладов научной конференции. М, 2006. С. 43 - 44.

8. Левин В.А., Фрейман Е.И. Модельная задача о развитии и торможении полости в нагруженном теле. Конечные деформации // Ломоносовские чтения, тезисы докладов научной конференции. М., 2007. С. 107.

9. Левин В.А., Фрейман Е.И. Модель вязкого роста трещины не нулевого раскрытия. Конечные деформации // Проблемы шин и резинокордовых композитов. материалы XVIII симпозиума. М., 2007. Т. 2. С. 52 - 59.

10. Левин В.А., Фрейман Е.И. К модели принудительной остановки трещины не нулевого раскрытия. Конечные деформации // Современные проблемы математики, механики, информатики, материалы 8-й международной конференции. Тула. 2007. С. 161 - 162.

11. Фрейман Е.И. Модель и её программная реализация плоской задачи о принудительной остановки трещины // III магистерская научно-техническая конференция, тезисы докладов. Тула. 2008. 136 - 138.

12. Об одном подходе к моделированию твердотельных фазовых переходов, происходящих под действием механических напряжений в наноразмерных образцах/ В.А. Левин, В.И. Левитас, K.M. Зингерман, Е.И. Фрейман, Л.Ф. Сая-хова // Современные проблемы математики, механики, информатики, материалы международной конференции, посвященной 85-летию Л.А. Толоконникова. Тула, 2008. С. 245-249.

13. О разработке совместимого программного модуля для учета фазовых переходов под действием механических напряжений для наноразмерных образцов/ В.А. Левин, В.И. Левитас, K.M. Зингерман, Е.И. Фрейман, Л.Ф. Саяхова // Инженерные системы - 2009. материалы международной научно-практической конференции. М., 2009. Т. 1. С. 120 - 124.

14. О разработке совместимого специализированного программного комплекса "НАЛОЖЕНИЕ", предназначенного для учета изменения нагрузок, дефектов и свойств материала в процессе нагружения при больших деформациях/ В.А. Левин, A.B. Вершинин, Е.И. Фрейман, Г.Е. Пекарь // Инженерные системы - 2009. материалы международной научно-практической конференции. М., 2009. Т 1.С. 125- 132.

15. К решению связанных задач механики деформируемого твердого тела с помощью CAE "FIDESYS" на примере задач о твердотельных фазовых переходах/ В.А. Левин, K.M. Зингерман, Е.И. Фрейман, К.А. Петровский // Проблемы шин и резинокордных композитов, материалы XXI симпозиума, М., 2010. Т. 2. С. 30-33.

16. Левин В.А., Фрейман Е.И., Петровский К.А. Модель, алгоритм и численная реализация твердотельных фазовых переходов в материале с нанораз-мерными неоднородностями // Современные проблемы математики, механики,

информатики, материалы международной конференции, посвященной 80-летию Тульского государствег'юго университета, Тула, 2010. С. 172 - 175.

17. Levin V.A., Zingerman К.М., Vershinin A.V., Freiman E.I., Kukushkin A. V., Trachenko A.V. Development and use of the CAE-system "FIDESYS" for nonlinear analysis of solids with microstructure that changed during loading [Электронный ресурс] // European Conference on Computational Mechanics, Paris: [сайт].[2010]. URL: http://www.eccm2010.org/ (дата обращения: 9.11.2011).

18. Левин В.А., Фрейман Е.И. К разработке программного модуля для решения нестационарных задач о перераспределении конечных деформаций // Ломоносовские чтения, тезисы докладов научной конференции. М., 2010. С.

Технический редактор: А.В.Жильцов Подписано в печать 17Л 1.2011. Формат 60x84 1 /16. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № 467. Тверской государственный университет Редакционно-издательское управление Адрес: 170100, г. Тверь, ул. Желябова, 33.

126.

Тел. РИУ: (4822) 35-60-63

Оглавление.

Введение.

Глава 1. Математические модели твердотельных фазовых переходов при малых и конечных деформациях и их наложении.

1.1. Теория фазовых переходов Ландау-Гинзбурга и её модификация с учетом градиентных эффектов.

1.2. Теория многократного наложения больших деформаций.

1.3. Постановка задачи о твердотельном фазовом переходе при конечных деформациях и их наложении.

Глава 2. Методы и алгоритмы решения задач о твердотельных фазовых переходах при конечных деформациях и их наложении.

2.1. Краткая постановка задачи.

2.2. Алгоритм решения.

2.3 Подход к численному решению связанной задачи.

2.4. Численно решение эволюционных уравнений на шаге по времени.

2.5. Численное решение уравнения равновесия на шаге по времени

2.5 Программная реализация.

Глава 3. Результаты численного анализа твердотельных фазовых переходов в наноразмерных образцах.

3.1. Тестирование программного модуля.

3.2 Экспериментальное наблюдение мартенситных наноструктур.

3.3 Численные эксперименты.

Общая характеристика работы

В диссертационной работе рассматриваются модификация модели твердотельного фазового перехода для случая конечных деформаций [50 ,98], алгоритм решения поставленной задачи и разработка программного модуля, реализующего этот алгоритм. С помощью данного программного модуля в работе проведены численные эксперименты и анализ результатов.

Особенности используемой модели фазового перехода: переход 1-го рода, неравновесный, твердотельный, при постоянной температуре, под действием механических напряжений, с учетом собственных деформаций, при конечных деформациях, с учетом градиентных эффектов, многокомпонентная среда. Учтена зависимость свойств материала от фазового состояния.

В работе описаны постановка задачи и её математическая модель. Задача является связанной и базируется на эволюционном уравнении Ландау -Гинзбурга [36] и уравнениях механики деформируемого твердого тела, записанных для случая наложения больших деформаций. Рассмотрен алгоритм решения поставленной связанной задачи, основанный на методе конечных элементов [112, 114] с применением неявной конечно-разностной схемы по времени. Показаны особенности реализации этого алгоритма на ЭВМ с использованием языка программирования С++ [68] и математических пакетов, таких, как Boost, VTK, MKL [84, 109, 92] и др. В процессе исследования проведено большое количество численных экспериментов, приведены некоторые результаты. Анализ результатов показывает возможность получения установившихся наноструктур под действием механических напряжений, наноструктуры, возникшие в результате учета поверхностного натяжения, существенное отличие между решениями для конечных и малых деформаций, что подтверждает практическую ценность и научную значимость данной модификации модели фазового перехода.

Целью работы являются модификация в рамках механики деформируемого твердого тела модели твердотельного фазового перехода [96, 97] с использованием нескольких фаз [29] для случая конечных деформаций и разработка на ее основе программного комплекса для решения задач.

В данной модификации учтены нелинейные эффекты, возникающие при конечных деформациях и их перераспределении, причем конечными считаются» не только собственные, но и упругие деформации. Предложен подход к моделированию поверхностного натяжения.

Понятия «фаза» и «фазовый переход»

Фаза - это однородная часть термодинамической системы, то есть тело, физические и химические свойства которого во всех точках одинаковы и не зависят от количества вещества. Фазы отделены одна от другой поверхностями, раздела. Эти поверхности раздела представляют собой слои небольшой толщины, внутри которых свойства системы могут меняться очень сильно.

Если посмотреть, например, на воду, кипящую в закрытом сосуде, можно увидеть две фазы - пар и жидкость, которые разделены пограничным слоем. Если начать нагревать лед, то при 0° С наряду с кусками льда в сосуде появится вода. Первоначально однородная система - лед, то есть одна фаза, распадется, на две. В этом случае граница раздела является очень четкой. Однако если посмотреть в микроскоп, то узкий пограничный слой будет сложно отнести к твердому или жидкому состоянию. Кристалл, жидкость и пар - самые привычные и часто встречающиеся примеры разных фаз одного и того 5 же вещества. Они существенно отличаются по плотности и их называют агрегатными состояниями.

Различные фазы одного и того же вещества совсем не обязательно существуют в разных агрегатных состояниях. Например, алмаз и графит — две твердые фазы углерода. Плотности алмаза и графита различаются всего на 25 - 30 %. Однако они имеют разные кристаллические решетки и это обусловливает колоссальные различия в их свойствах: среди всех известных кристаллических веществ алмаз обладает наибольшей твердостью, а графит -наименьшей. Фазы могут быть почти неразличимы по плотности или твердости, но отличаться друг от друга своими магнитными характеристиками (способные-к намагничиванию — ферромагнетики и неспособные к этому - парамагнетики) или какими-либо другими свойствами, например'способностью проводить электрический ток. При изменении внешних условий — температуры, давления, электрического или магнитного поля - фазы могут превращаться, друг в друга. Такой процесс называют фазовым, превращением, или фазовым переходом.

Характерной особенностью фазового превращения, или фазового перехода, является резкое изменение свойств вещества. Поэтому фазовые переходы представляют собой интересный объект для изучения как,с точки,зрения фундаментальной.науки, так и с точки зрения практических применений [22]. Существует еще одно обстоятельство, делающее важным изучение фазовых переходов. В окрестностях фазового перехода свойства системы не только меняются резким и зачастую непредсказуемым образом, а интервал этих изменений чрезвычайно узок, но и поведение системы в этом интервале оказывается чувствительным к небольшим внешним воздействиям - примесям, слабым полям, что существенно с точки зрения технических приложений и вызывает интерес у представителей других областей науки, например, у биологов и медиков [10, 80, 78]. Фазовые переходы являются предметом многочисленных исследований. В настоящее время принято относить исследование фазовых переходов к числу наиболее фундаментальных проблем физики.

Согласно классификации Эренфеста [79], существуют два типа фазовых переходов - первого и второго рода. Обычные фазовые переходы, подобные кипению, плавлению или возгонке, сопровождаются скачкообразными изменениями внутренней энергии и объема (поглощением или выделением скрытого тепла перехода). Поскольку энергия и объем являются первыми производными от свободной энергии по температуре и давлению, то при этих фазовых переходах первые производные свободной энергии являются разрывной функцией. Это послужило основанием назвать такие превращения фазовыми переходами первого рода.

Переходы первого рода характеризуются бесконечно большим возрастанием теплоемкости в очень узкой области вокруг точки перехода. Физическая причина этого состоит в том, что добавление теплоты к системе в точке фазового перехода не повышает температуру системы, а расходуется на перестройку системы.

При теоретическом описании фазовых переходов первого рода каждую из фаз обычно описывают отдельно. Так, кристаллическую ветвь рассматривают, пользуясь моделью идеального кристалла [3], то есть предполагая регулярное расположение всех атомов. Парообразную же ветвь получают, используя модель идеального газа, предполагающую полный беспорядок в системе. Зависимости, полученные для различных моделей, накладывают друг на друга и исследуют, какая из возможностей реализуется в данных условиях.

При переходах второго рода внутренняя энергия вещества [36] и- его объем не изменяются в точке перехода и, следовательно, не происходит выделения или поглощения скрытой теплоты. Однако свободная энергия системы [36] при фазовых переходах второго рода имеет некоторую особенность, которая проявляется в том, что вторые производные - теплоемкость и сжи7 маемость - становятся бесконечными. Выявление характера этой особенности - одна из наиболее трудных задач статистической физики. Существует всего несколько систем, для которых эта особенность была выяснена. Одной из таких систем является двумерная модель Изинга (модель двумерного ферромагнетика), рассмотренная JL Онсагером [102, 103]

В данной работе рассматривается твердотельный фазовый переход, то есть во всех фазах материал остается твердым, но меняются его механические характеристики — модули упругости и собственные деформации. Такое изменение происходит из-за перестроения кристаллической решетки материала под действием механических напряжений.

При фазовом переходе первого рода происходит скачкообразное изменение состояния тела, в механике — изменение деформаций и напряжений. В данной работе рассматривается случай, когда фазовый переход сопровождается собственными деформациями и, следовательно, изменением плотности, поэтому он является переходом первого рода.

Обзор литературы

Начиная с Гиббса и Стефана.исследованию фазовых переходов, в рамках механики сплошных, сред посвящено множество работ. Значительный вклад в развитие механики тел, содержащих фазовые границы, внесли Н.Х Арутюнян, B.JI. Бердичевский, A.A. Вакуленко, М.А. Гринфельд [17, 18],

A.Д. Дроздов, В.И. Кондауров [33], Н.Ф. Морозов [63], А.Б. Фрейдин [75, 87, 88], Дж. Болл, М. Гратин, Р. Джеймс, Дж. Ноулс, Г. Пэрри, М. Шилхави, В.А. Еремеев [24, 25, 26]. Они рассматривают процессы деформирования тел, состоящих из двух или нескольких фаз, разделенных поверхностью раздела и испытывающих фронтальные фазовые превращения.

Описанию фазовых переходов посвящены также работы JI. Д. Ландау [36, 37], A.A. Мовчана, В. И. Левитаса [95 - 101], Ю.А. Изюмова [29],

B.Н. Сыромятникова, Дж. Э. Хилларда, Дж. У. Кана [89 - 91], 8

С. М. Аллена [83] и др., в которых межфазовые границы явно не вводятся, а описание деформирования многофазных тел опирается на введение дополнительных параметров состояния, например, долей фаз [36]. В работах М.А. Гринфельда [17, 18] рассматриваются в рамках механики деформируемого твердого тела фазовые переходы при конечных деформациях. В работах В.А. Левина [41, 39, 38] изучается образование фаз с учетом перераспределения конечных деформаций, в работах А.И. Потапова, A.A. Васильева и др. [1] - модели механики твердого тела, в которых напряжения (и плотность энергии) зависят не только от деформаций, но и от производных от деформаций по координатам, т.е. от градиента деформаций. В этих моделях нет фазовых переходов, но можно ввести и модели фазовых переходов, в которых учитываются градиентные эффекты, как это делают Дж. У. Кан, Дж. Э. Хиллард [89 - 91] и В. И. Левитас [95 - 101].

Одним из подходов к описанию фазовых переходов является феноменологическая теория Ландау - Гинзбурга [36, 37]. Основным понятием в этой теории является понятие параметра порядка, который характеризует атомную конфигурацию в материале в процессе фазового перехода. При этом изучаются процессы деформирования тела, включая определение полей перемещения, напряжений, распределение параметров порядка, учитывающих фазовые превращения. Этот подход позволяет корректно описывать деформации многофазных тел с позиций механики сплошной среды. В работах Ю.А. Изюмова и В.Н. Сыромятникова [29] для описания состояния среды используется несколько параметров порядка. На основе теории Ландау

Гинзбурга П. Толедано, В. Дмитриевым [106], Ю. Вангом, А. Хачатуряном [110], В.И. Кондауровым [33] разработан ряд моделей, описывающих фазовые переходы в твердых телах. В.И. Левитасом и Д.Л. Престоном [96, 99] предложен подход к моделированию неравновесных твердотельных фазовых переходов, вызванных действием механических напряжений. В рамках этого подхода учитываются собственные деформации фаз, скрытая энергия фазо9 вого перехода, зависимость модулей упругости от параметров порядка, зависимость свободной энергии от градиентов параметров порядка. Данный подход ориентирован на моделирование фазовых переходов в сталях и материалах с памятью формы [78].

В данной работе осуществлено дальнейшее развитие этого подхода [98]. Рассмотрены задачи в динамической постановке [50]. Исследована возможность изменения фазового состояния образца вследствие образования нового дефекта в процессе фазового перехода [40]. При постановке и решении задач учтены нелинейные эффекты, возникающие при конечных деформациях и их перераспределении [39], причем конечными считались не только собственные, но и упругие деформации. Исследовано влияние нанораз-мерных неоднородностей на напряженно-деформированное и фазовое состояние тела.

Актуальность темы исследования

Проблема описания фазовых превращений в деформируемых телах является одной из важнейших задач механики деформируемого твердого тела, а также материаловедения. Её актуальность определяется тем, что большинство материалов, используемых в современной технике, испытывают фазовые превращения либо в процессе их изготовления, либо в процессе эксплуатации, либо'контактируют со средой, в которой происходят фазовые переходы. Примерами процессов, где необходим учет взаимного влияния деформирования и фазовых переходов, являются твердотельные фазовые переходы в сплавах и сталях, рост кристаллов, формирование ледяного покрова, затвердевание металла в изложнице, превращения в минералах и горных породах при высоких давлениях, процессы получения нанопленок, ориентационные превращения в полимерах, переходы в термотропных и лиотропных жидких кристаллах, а также ряд других. В частности, фазовые превращения ответственны за эффект памяти формы, наблюдаемый в некоторых сплавах (сплавах с памятью формы [78]), широко используемых в современной технике.

Одной из неразработанных инфраструктурных проблем наноиндустрии при проектировании,. мониторинге и эксплуатации изделий является необходимость точного и быстрого проведения численного анализа поведения изделия. Частью этой проблемы, является; учет изменения^ свойств; элементов наноизделия при эксплуатации в результате твердотельных фазовых переходов (в том числе, и проблема "выпучивания" нано- и микропленок [61]). Для принятия решения при : мониторинге работы такого изделия требуются адекватная модель и достаточно быстрый, расчет в рамках этой модели. Эта проблема актуальна как в России, так и за рубежом^

Одним из примеров наноструктурированного материала, в котором происходит фазовый? переход, является сплав N165AI35 [100]: Данный сплав, используется изготовления конструкций с памятью формы. Под, воздействием механических напряжений в сплаве Ni¿5АІ35 происходит фазовый переход и возникают мартенситные наноструктуры, вследствие чего материал можно считать наноструктурированным. Изучая представительный; объем данного сплава можно сделать выводы о эффективных характеристиках макротел с памятью формы [93].

Сплавы с памятью формы используют для создания интеллектуальных материалов (материалов; со специфическими функциональными характеристиками на молекулярном уровне [73]).

Имеющиеся. CAE-системы, принятые в мировой расчетной? практике (например, ведущие ANSYS [62], Dassault Systymes (ABAQUS), COMSOL) , не позволяют моделировать (рассчитывать) : механические параметры нагруженного образца при перераспределении конечных деформаций (образования дефектов) и тем более с учетом изменения свойств материала в; процессе нагружения.

Цель работы

Основными целями диссертационной работы являются: модификация модели фазового перехода для случая конечных деформаций, учитывающая наличие собственных деформаций фаз, градиентные эффекты, поверхностное натяжение и зависимость свойств материала от фазового состояния; разработка алгоритма решения и программного модуля его реализующего; проведение численных экспериментов и анализ результатов. Научная новизна

Впервые получена модификация модели фазового перехода для случая конечных деформаций, учитывающая наличие собственных деформаций фаз, градиентные эффекты, поверхностное натяжение и зависимость свойств материала от фазового состояния.

Разработан алгоритм решения нелинейной связанной задачи, предложен подход к моделированию поверхностного натяжения на границах нано-полостей, разработан программный модуль и проведен ряд численных экспериментов.

Достоверность результатов

Достоверность результатов базируется на корректной математической постановке задачи, использовании апробированных соотношений теории многократного наложения больших деформаций и апробированных при малых деформациях моделей фазовых переходов, корректно обобщенных на случай конечных деформаций и их наложения, применении общепризнанных численных методов (таких, как метод конечных элементов), Полученные в работе результаты согласуются с решением задачи для случая однородного напряженно-деформированного и фазового состояния, которое получено в среде Maple путем численного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты численных расчетов по моделированию образования стационарных наноструктур при нагружении качественно согласуются с экспериментальными данными для сплава Ni65Al35.

Практическая значимость

Разработанные модель и алгоритм решения могут быть использованы для разработки технологий получения наноструктурированных материалов с желаемыми свойствами (интеллектуальных материалов [73]) и управления^ фазовыми переходами.

Автором разработан работоспособный вариант программного комплекса для расчета наноразмерных тел, испытывающих конечные деформации, в которых происходят изменения свойств материалов (фазовые переходы) под действием напряжений различной природы. Данный программный комплекс является инфраструктурным продуктом для нанотехнологической отрасли.

Также с помощью данного программного комплекса возможно численное моделирование эффекта выпучивания нанопленок (потеря устойчивости нанопленки при фазовом переходе).

На программный модуль получено Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ за № 2010611589. С помощью программного модуля проведена серия численных экспериментов и получен ряд качественно новых эффектов.

Положения, выносимые на защиту

Усовершенствована математическая модель твердотельного фазового перехода для случая конечных деформаций, учитывающая наличие собственных деформаций фаз, градиентные эффекты, поверхностное натяжение и зависимость свойств материала от фазового состояния.

13

Разработан алгоритм решения связанной задачи о напряженно-деформированном и фазовом состоянии наноразмерных тел в процессе твердотельного фазового перехода, вызванного действием механических напряжений, и его программная реализация.

Проведены численные эксперименты, анализ результатов которых показал: возможность получения установившихся наноструктур из сплава №б5А1з5, качественно согласующихся с эксперементальными данными; существенное различие между линейным и нелинейным решением для определенных задач; возможность образования устойчивых наноструктур, возникающих при учете поверхностного натяжения на границах наноразмерных полостей. !

Апробация работы

Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научно-технических конференциях: «Ломоносовские чтения» в 2006, 2007, 2010 гг. (г. Москва) [42, 54]; «Инженерные системы - 2009» (г. Москва) [48, 44]; «Современные проблемы математики, механики, информатики» в 2005, 2007 и 2010 гг. (г. Тула) [43, 52], а также на IV Европейской конференции по вычислительной механике «ЕССМ 2010» (г. Париж) [94] и на XVI, XVIII и XXI симпозиумах «Проблемы шин и резино-кордных композитов» в 2005, 2007 и 2010 гг. (г. Москва) [46, 53].

Результаты работы использованы при выполнении инициативных научных проектов РФФИ № 06-01-00682-а, 11-08-01284-а.

На программный модуль получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ за № 2010611589. Для дальнейшей разработки программного комплекса создано малое предприятие «ООО «НАНО-СОФТ», получившее поддержку Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере.

14

Публикации

Основные результаты диссертации представлены в 18 публикациях. Наиболее значимые из них:

1. Displacive Phase Transitions at Large Strains: Phase-Field Theory and Simulations/ V.l. Levitas, Y.A. Levin, K.M. Zingerma, E.I. Freiman // Physical Review Letters. 103. 025702 (2009).

2. Твердотельные фазовые переходы, вызванные действием механических напряжений в материале с наноразмерными неоднородностями: модель и вычислительный эксперимент/ В.А. Левин, В.И. Левитас, В.В. Лохин, K.M. Зингерман, Л.Ф. Саяхова, Е.И.Фрейман // Доклады академии наук. 2010. Том 434. №4. С. 481-485.

3. Левин В.А., Зингерман K.M., Фрейман Е.И. Вариант модели фазового перехода в теле с конечными деформациями. Численный эксперимент // Вестник Тверского государственного университета. Сер. Прикладная математика. Вып. 2(13). 2009. С. 23-30.

4. Фрейман Е.И. Вариант численного решения задачи теории многократного наложения больших деформаций для случая твердотельных фазовых переходов // Вестник Тверского государственного университета. Сер. Прикладная математика. Вып. 1(20). 2011. С. 65 - 77.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка использованных источников из 117 наименований. Работа изложена на 118 страницах машинописного текста, содержит 18 рисунков.

Основные результаты и выводы диссертационной работы

Модифицирована модель твердотельного фазового перехода для случая конечных деформаций, учитывающая наличие собственных деформаций фаз, градиентные эффекты, поверхностное натяжение и зависимость свойств материала от фазового состояния.

Разработан алгоритм решения связанной задачи о напряженно-деформированном и фазовом состоянии наноразмерных тел в процессе твердотельного фазового перехода, вызванного действием механических напряжений, и его программная реализация.

На программный модуль получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ за № 2010611589. Для дальнейшей разработки программного комплекса создано малое предприятие «ООО «НАНО-СОФТ», получившее поддержку Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере.

Проведены численные эксперименты, анализ результатов которых показал: возможность получения установившихся наноструктур из сплава №б5А135, качественно согласующихся с экспериментальными данными. для задачи о нагружении образца с 3 нановключениями и задачи об изгибе пластины получено качественное различие между линейным и нелинейным решениями: в задаче об изгибе пластины максимальные напряжения в

62 установившемся состоянии отличаются более чем в 20 раз; возможность образования устойчивых наноструктур, возникающих при учете поверхностного натяжения на границах наноразмерных полостей.

Разработанная модель и программный комплекс могут быть использованы для разработки технологий получения наноструктурированных материалов с желаемыми свойствами (интеллектуальных материалов) и мониторинга уже существующих конструкций, сделанных из данных материалов.

Публикации по теме диссертации.

1. Displacive Phase Transitions at Large Strains: Phase-Field Theory and Simulations/ V.l. Levitas, V.A. Levin, K.M. Zingerman, E.I. Freiman // Physical Review Letters. 2009. 103. 025702.

2. Твердотельные фазовые переходы, вызванные действием механических напряжений в материале с наноразмерными неоднородностями: модель и вычислительный эксперимент/ В.А. Левин, В.И. Левитас, В.В. Лохин, K.M. Зингерман, Л.Ф. Саяхова, Е.И. Фрейман // Доклады академии наук, 2010, Т. 434. №4. С. 481-485.

3. Левин В.А., Зингерман K.M., Фрейман Е.И. Вариант модели фазового перехода в теле с конечными деформациями. Численный эксперимент // Вестник Тверского государственного университета. Сер. Прикладная математика. Вып. 2(13). 2009. С. 23-30.

4. Фрейман Е.И. Вариант численного решения задачи теории многократного наложения больших деформаций для случая твердотельных фазовых переходов // Вестник Тверского государственного университета. Сер. Прикладная математика. Вып. 1(20). 2011. С. 65-77.

5. Использование пакета ABAQUS для описания развития зоны предразрушения вблизи носика повреждения в теле из упругого или вязко-упругого материала/ В.А. Левин, К.А. Ильин, H.A. Агапов, Е.Д. Комолова, A.B. Кукушкин, Е.И. Фрейман // Проблемы шин и резинокордных композитов. материалы шестнадцатого симпозиума. М., 2005. Т. 2. С. 28 - 30.

6. К оценке микронапряжений при моделировании свойств наномате-риалов в рамках механики деформируемого твердого тела при конечных деформациях/ В.А. Левин, A.B. Вершинин, Е.И. Фрейман, Е.Д. Комолова // Современные проблемы математики, механики, информатики, материалы 6-й международной конференции. Тула. 2005. С. 98 - 101.

7. Результаты решения плоских задачи задач теории многократного наложения больших деформаций с помощью программного комплекса «Наложение»/ A.B. Вершинин, В.А. Левин, Е.Д. Комолова, Е.И. Фрейман // Ломоносовские чтения, тезисы докладов научной конференции. М., 2006. С. 43 - 44.

8. Левин В.А., Фрейман Е.И. Модельная задача о развитии и торможении полости в нагруженном теле. Конечные деформации // Ломоносовские чтения, тезисы докладов научной конференции. М., 2007. С. 107.

9. Левин В.А., Фрейман Е.И. Модель вязкого роста трещины не нулевого раскрытия. Конечные деформации // Проблемы шин и резинокордовых композитов, материалы XVIII симпозиума. М., 2007. Т. 2. С. 52 - 59.

10. Левин В.А., Фрейман Е.И. К модели принудительной остановки трещины не нулевого раскрытия. Конечные деформации // Современные проблемы математики, механики, информатики, материалы 8-й международной конференции. Тула. 2007. С. 161 — 162.

11. Фрейман Е.И. Модель и её программная реализация плоской задачи о принудительной остановки трещины // III магистерская научно-техническая конференция, тезисы докладов. Тула. 2008. 136— 138.

12. Об одном подходе к моделированию твердотельных фазовых переходов, происходящих под действием механических напряжений в нанораз-мерных образцах/ В.А. Левин, В.И. Левитас, K.M. Зингерман, Е.И. Фрейман, Л.Ф. Саяхова // Современные проблемы математики, механики, информатики. материалы международной конференции, посвященной 85-летию Л.А. Толоконникова. Тула, 2008. С. 245 - 249.

65

13. О разработке совместимого программного модуля для учета фазовых переходов под действием механических напряжений для наноразмерных образцов/ В.А. Левин, В.И. Левитас, K.M. Зингерман, Е.И. Фрейман, Л.Ф. Са-яхова // Инженерные системы - 2009. материалы международной научно-практической конференции. М., 2009. Т. 1. С. 120 - 124.

14. О разработке совместимого специализированного программного комплекса "НАЛОЖЕНИЕ", предназначенного для учета изменения нагрузок, дефектов и свойств материала в процессе нагружения при больших деформациях/ В.А. Левин, A.B. Вершинин, Е.И. Фрейман, Г.Е. Пекарь // Инженерные системы - 2009. материалы международной научно-практической конференции. М., 2009. Т 1. С. 125 - 132.

15. К решению связанных задач механики деформируемого твердого тела с помощью CAE "FIDESYS" на примере задач о твердотельных фазовых переходах/ В.А. Левин, K.M. Зингерман, Е.И. Фрейман, К.А. Петровский // Проблемы шин и резинокордных композитов, материалы XXI симпозиума, М., 2010. Т. 2. С. 30-33.

16. Левин В.А., Фрейман Е.И., Петровский К.А. Модель, алгоритм и численная реализация твердотельных фазовых переходов в материале с наноразмерными неоднородностями // Современные проблемы математики, механики, информатики, материалы международной конференции, посвященной 80-летию Тульского государственного университета, Тула, 2010. С. 172-175.

17. Levin V.A., Zingerman K.M., Vershinin A.V., Freiman E.I., Kukushkin A.V., Trachenko A.V. Development and use of the CAE-system "FIDESYS" for nonlinear analysis of solids with microstructure that changed during loading [Электронный ресурс] // European Conference on Computational Mechanics, Paris: [сайт]. [2010]. URL: http://www.eccm2010.org/ (дата обращения: 9.11.2011).

18. Левин В.А., Фрейман Е.И. К разработке программного модуля для решения нестационарных задач о перераспределении конечных деформаций // Ломоносовские чтения, тезисы докладов научной конференции. М., 2010. С. 126.

Заключение

1. Абрашкин A.A., Васильев A.A., Маневич Л.И., Лисина С.А., Павлов И.С., Потапов А.И., Смирнов В.В. Введение в микро- и наномеханику: математические модели и методы. / Под редакцией А.И. Потапова. Нижний Новгород: Нижегородский гос. тех. ун-т, 2010. 303 с.

2. Алтури С. и др. Вычислительные методы в механике разрушения. М.: Мир, 1990. 392с.

3. Алымов М.И. Порошковая металлургия нанокристаллических материалов. М.: Наука, 2007. - 169 с.

4. Амосов А.А, Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. Пособие. — М.: Высш. шк., 1994. — 544 с.

5. Аннин Б.Д., Каламкаров А.Л., Колпаков А.Г., Партон В.З. Расчет и проектирование композиционных материалов и элементов конструкций.— Новосибирск, Наука, Сиб. изд. фирма, 1993, с. 253.

6. Астафьев В.И., Радаев Ю.Н. Степанова Л.В. Нелинейная механика разрушения. Самара: Изд-во Самарского университета, 2001. 632 с.

7. Бате К. Ю. Методы конечных элементов / В.П.Шидловский (пер. с англ.) Л.И.Турчак (ред).-М.:ФИЗМАТЛИТ, 2010.-1022 с.

8. Васильев A.A., Мирошниченко А.Е. // Дискретная и обобщенно-континуальная микрополярная модели плоской структурной системы в задаче устойчивости Вестник Тверского государственного университета. Серия: Прикладная математика. 2009. № 12. С. 29-34.

9. Васильев A.A., Мирошниченко А.Е. Высокоградиентная многополевая микрополярная модель решетки с ауксетическими свойствами // Вестник Тверского государственного университета. Серия: Прикладная математика. 2008. № Ю. С. 37-45.

10. Волькенштейн М.В. Физика и биология. М.: Наука, 1980.

11. Галин JI.А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупруго-сти. М.: Наука, 1980. 303 с.

12. Годунов С. К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, 1978, 304 с.

13. Гольдштейн Р.В., Морозов Н.Ф. Механика деформирования и разрушения наноматериалов и нанотехнологии // Физическая мезомеханика. 2007. Т. 10. №5. С. 17-30.

14. Гольдштейн Р.В., Ченцов A.B. Дискретно-континуальная модель деформирования нанотрубок. М., 2003. - 68 с. - Библиогр.: 126 назв. - (Препринт Ин-та проблем механики РАН; N 739).

15. Гольдштейн Р.В., Ченцов A.B. Дискретно-континуальная модель нанотрубки // Известия РАН. МТТ. 2005. №4. с. 57-74.

16. Гольдштейн Р.В., Шифрин Е.И. Напряженное состояние в упругом пространстве, определяемое фазовыми превращениями во включении // Изв. РАН. МТТ. 2005. № 5. С. 48-64.

17. Гринфельд М.А. Методы механики сплошных сред в теории фазовых превращений. М.: Наука, 1990. 310 с.

18. Гринфельд М.А. Об условиях термодинамического равновесия фаз нелинейно-упругого материала // Докл. АН СССР. 1980. Т. 251. № 4. С. 824-827.

19. Громов В. Г., О влиянии физической нелинейности на концентрацию напряжений возле кругового отверстия при больших деформациях. Прикл. мех., 1, № 10, 1965.

20. Гросберг А.Ю., Хохлов А.Р. Физика в мире полимеров. Библиотечка "Квант". М.: Наука, 1989.

21. Гузь А.И., Роджер A.A., О построении теории разрушения нано-композитов при сжатии. //Прикладная механика, 2005. т41, №3 с.З—29.

22. Гусев А.И. Наноматериалы, наноструктуры, нанотехнологии М.: Физматлит. 2005. 410 с.

23. Дьяконов В.П. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании. М.: СОЛОН-Пресс, 2006. - 720 с.

24. Еремеев В.А., Зубов JI.M., Условия фазового равновесия в нелинейно-упругих средах с микроструктурой // Доклады АН. 1992. Т. 322. №6. С. 1052-1056.

25. Еремеев В.А., Сотниченко Д.М. Некоторые задачи о фазовых превращениях в деформируемых средах при конечных деформациях.// Изв. ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2000. Спецвыпуск "Нелинейные проблемы МСС". С. 52-74.

26. Еремеев В.А., Фрейдин А.Б., Шарипова JI.JI., Фазовые превращения и устойчивость деформируемых тел. // Тр. Международной школы-семинара "Симметрия и коссимметрия в теории бифуркаций и фазовых переходов", Сочи, 27.08-02.09.2002 г. Сочи, 2002. С. 149-152.

27. Зенкевич. О. Метод конечных элементов в технике.— М.: Мир,1975.

28. Зингерман K.M., Левин В.А. Перераспределение конечных упругих деформаций после образования включений. Приближенное аналитическое решение ПММ, 2009, №6, С. 983-1001.

29. Изюмов Ю.А., Сыромятников В.Н. Фазовые переходы и симметрия кристаллов.//М.: Наука, 1984. — 248 с.

30. Индейцев Д.А., Иванова Е.А., Морозов Н.Ф. К вопросу об определении параметров жесткости нанообъектов. Журнал технической физики, том 76, вып.10, с.с.74-80, 2006.

31. Карнет Ю.Н., Никитин С.М., Никитина Е.А., Яновский Ю.Г. Компьютерное моделирование механических свойств углеродных наноструктур // Изв. РАН. МТТ. 2010. № 4. С. 121-137.

32. Климов Д.М., Руденко В.М. Методы компьютерной алгебры в задачах механики. М.: Наука, 1989. 214 с.

33. Кондауров В.И., Фортов В.Е. Механика и термодинамика насыщенной пористой среды. М.: МФТИ, 2007. 310 с.

34. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. М.: Наука, 1975.415 с.

35. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, Т. 7. Теория упругости, 1987,247 с.

36. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 5. Статистическая физика. Часть 1. М.: Физматлит, 2002. 616 с.

37. Ландау Л.Д., Халатников И.М. // Доклады АН СССР. 1954. Т. XCVI, № 3. С. 469^472.

38. Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах, (с предисловием академика Л.И. Седова) М.: Наука, Физматлит, 1999. 223с.

39. Левин В.А. Развитие повреждений при конечных деформациях.// Вестник МГУ. Сер. Математика, механика. 2006, №1.

40. Левин В.А., Зингерман K.M., Фрейман Е.И. Вариант модели фазового перехода в теле с конечными деформациями. Численный эксперимент. //Вестник Тверского государственного университета. Сер. Прикладная« математика. Вып. 2(13), 2009. С. 23-30.

41. Левин В.А., Калинин В.В., Зингерман K.M., Вершинин A.B. (Под редакцией В.А. Левина) Развитие дефектов при конечных деформациях. Компьютерное и физическое моделирование. М.: Физматлит, 2007. - 392 с.72

42. Левин В.А., Левитас В.И., Лохин В.В., Зингерман K.M. Фазовые переходы в твердых телах с наноразмерными полостями при конечных деформациях// Современные проблемы математики и механики. Т.2. Механика. Вып. 2. М.: МГУ, 2009. С. 49-57.

43. Левин В.А., Морозов Е.М. Нелокальный критерий прочности. Конечные деформации // Доклады РАН. 2002. Т. 346, №1. С. 62—67.

44. Левин В.А., Фрейман Е.И К модели принудительной остановки трещины не нулевого раскрытия. Конечные деформации. // Современные проблемы математики, механики, информатики, материалы 8-й Международной конференции. Тула. 2007. С. 161 162.

45. Левин В.А., Фрейман Е.И Модель вязкого роста трещины не нулевого раскрытия. Конечные деформации. // Проблемы шин и резинокордо-вых композитов, материалы восемнадцатого симпозиума. М., 2007. Т. 2. С. 52-59.

46. Левин В.А., Фрейман Е.И. Модельная задача о развитии и торможении полости в нагруженном теле. Конечные деформации. // Ломоносовские чтения, тезисы докладов. М., 2007. С. 107.

47. Левитас В. И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. Киев: Наукова думка, 1987.73

48. Левитас В.И. Термодинамика фазовых переходов и неупругого деформирования микронеоднородных материалов.- Киев: Наукова думка, 1992. 248 с.

49. Лурье А.И Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512с.

50. Лурье А.И. Теория упругости. М.:Наука, 1970.- 940 с.

51. Маркин A.A. Сотников К.Ю. Механика Сплошной Среды.-М.:Тул.Гос.ун-т.-Тула, 2003.- 132 с.

52. Маркин A.A., Толоконников Л.А. Меры процессов конечного деформирования // "Известия Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Естественные науки. 1987. - № 2. - С. 49-53.

53. Мовчан А. А., Сильченко Л. Г. Об устойчивости пластины из сплава с памятью формы при прямом термоупругом фазовом превращении// ПММ. 2004. Т. 68. Вып. 1. С. 60-72.

54. Морозов Е.М., Муйземнек А.Ю., Шадский A.C. ANSYS в руках инженера: Механика разрушения/ M.: URSS. 2008 456с.

55. Морозов Н.Ф., Фрейдин А.Б. Зоны фазовых переходов и фазовые превращения упругих тел при различных видах напряженного состояния // Тр. мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1998. Т. 223. С. 220-232.

56. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. Пер с англ. под ред. Б.Е. Победри М.: Мир, 1979. - 376 с.

57. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Госфизма-тлит, 1962. 284 с.

58. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1994.528с.

59. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 2. М.: Наука, 1994. 560с.

60. Страуструп Б. Язык программирования С++. Специальное издание. Пер. с англ. -М.: ООО «Бином-Пресс», 2005 г. 1104 с.

61. Толоконников Л. А. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости. — ПММ. 1956, т. 20, вып. 3, с. 439— 444.

62. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела.: -М.: Высшая школа, 1979. 318 с.

63. Трускиновский Л.М. Равновесные межфазные границы // Докл. АН СССР. 1982. Т. 265. №2. С. 306-310.

64. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Швейкин А.И. Определяющие соотношения и их применение для описанеия эволюции микроструктуры /Физическая мезомеханика. -Т.12, №3 (2009). -С.61-71 Физ. ме-зомех. 2008. Т. 11. № 3. С. 61-74.

65. Уорден К. Новые интеллектуальные материалы и конструкции. Свойства и применение. Москва: Техносфера, 2006. 224 с.

66. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галёркина. — М.: Мир, 1988.

67. Фрейдин А.Б. О равновесии фаз изотропного нелинейно-упругого материала. // Изв. ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2000. Спецвыпуск "Нелинейные проблемы МСС". С. 150-168.

68. Фрейман Е.И. Вариант численного решения задачи теории многократного наложения больших деформаций для случая твердотельных фазовых переходов. //Вестник Тверского государственного университета. Сер. Прикладная математика. Вып. 1,2011. С. 29-41.

69. Фридман Я.Б. Механические свойства материалов. В 2-х томах. М.: Машиностроение, 1974. Т.1. 472 е.; Т. 2. 368 с.

70. Штейнберг A.C. Репортаж из мира сплавов. Библиотечка "Квант". М.: Наука, 1989.

71. Эренфест П. Относительность. Кванты. Статистика. — М.: Наука,1972.

72. Эткинс П. Физическая химия. Т. 1. Гл. 7. М.: Мир. 1980.75

73. Яновский Ю. Г., Козлов Г. В., Буря А. И., Липатов Ю. С. Тепловое расширение полимерных композитов, наполненных углеродными нано-трубками // Физическая мезомеханика Томск 2007 Т. 10, № 6 с. 63-67.

74. Яновский Ю.Г., Григорьев Ф.В., Никитина Е.А. и др. Наномеха-нические свойства нанокластеров полимерных композитов // Физ. мезомех. 2008. Т. 11. №3. С. 61-74.

75. Allen S. М. and Cahn J. W. A Microscopic Theory for Antiphase Boundary Motion and Its Application to Antiphase Domain Coarsening // Acta Met. 27, 1085-1095 (1979).

76. Boost С++ Libraries Электронный ресурс. // URL: http://www.boost.org/ (дата обращения 10.11.2011).

77. Boullay Ph., Schryvers D., Ball J.M. Nano-structures at martensite macrotwin interfaces in Ni65Al35//Acta Materialia. 51 (2003) 1421-1436.

78. Cahn J. W. "Free Energy of a Nonuniform System. II. Thermodynamic Basis," J. Chem. Phys. 30, 1121-1124 (1959).

79. Freidin A.B., Fu Y.B., Sharipova L.L., Vilchevskaya E.N. Shperically symmetric two-phase deformations and phase transition zones // International Journal of Solids and Structures, (2006) 43, p.4484 4508.

80. Freidin A.B., Vilchevskaya E.N. Multiple development of new phase inclusions in elastic solids // International Journal of Engineering Science (2009) 47 p. 240 № 260.

81. Hilliard J. E. and Cahn J. W. "Free Energy of a Nonuniform System. III. Nucleation in a Two-Component Incompressible Fluid," J. Chem. Phys. 31, 688-699 (1959).

82. Hilliard J. E. and Cahn J. W. "Free Energy of a Nonuniform System. I. Interfacial Free Energy," J. Chem. Phys. 28, 258-267 (1958).

83. Hilliard J. E. and Cahn J. W. "On the Nature of the Interface Between a Solid Metal and Its Melt," Acta Met. 6, 772 (1958).

84. Intel Math Kernel Library (Intel MKL) Электронный ресурс. // URL: http://software.intel.com/en-us/articles/intel-mkl/ (дата обращения 10.11.2011).

85. Levitas V.I Large Deformation of Materials with Complex Rheologi-cal Properties at Normal and High Pressure. New York: Nova Science Publ. 1996. 374 p.

86. Levitas V.I. and Preston D.L. Three-dimensional Landau theory for multivariant stress-induced martensitic phase transformations. II. Multivariant phase transformations and stress space analysis// Physical Review. Vol B66, 134207(2002).

87. Levitas V.I. Thermomechanical theory of martensitic phase transformations in inelastic materials // Int. J. Solids and Structures. 1998. V. 35. № 9-10. P. 889-940.

88. Levitas V.I., Levin V.A., Zingerman K.M. and Freiman E.I. Dis-placive Phase Transitions at Large Strains: Phase-Field Theory and Simulations. //Physical Review Letters. 103, 025702 (2009).

89. Levitas V.I., Preston D.L. Thermomechanical lattice instability and phase field theory of martensitic phase transformations, twinning and dislocations at large strains// Physics Letters. 2005. Vol. A343, p. 32-39.

90. Levitas V.I., Stein E. Simple micromechanical model of thermoelastic martensitic transformations // Mech. Res. Commun., 1997. V. 24. № 3. P. 309-318.

91. Onsager L. Discussion //Nuovo Cimento (suppl.) 6: 261.

92. Onsager L. Crystal statistics. I. A two-dimensional model with an order-disorder transition // Phys. Rev. (2) 65 (3-4).

93. OpenMP API specification for parallel programming Электронный ресурс. // URL: http://openmp.org/wp/ (дата обращения 10.11.2011).

94. ParaView Электронный ресурс. // URL: http://www.paraview.org/ (дата обращения 10.11.2011).

95. Toledano P., Dmitriev V. Reconstructive Phase Transitions. New Jersey: World Sci., 1996.

96. Two-Dimensional Quality Mesh Generator and Delaunay Triangulator Электронный ресурс. // URL: http://www.cs.cmu.edu/~quake/triangle.html (дата обращения 10.11.2011).

97. UMFPACK Электронный ресурс. // URL: http://www.cise.ufl.edu/research/sparse/umfpack/ (дата обращения 10.11.2011).

98. Visualization Toolkit (VTK) Электронный ресурс. // URL: http://www.vtk.org/ (дата обращения 10.11.2011).

99. Wang Y., Khachaturyan A.G. // Acta metal, mater. 1997. V. 45. P.759.

100. Zienkiewicz O.C. Achievements and some Unsolved Problems of the Finite Element Method. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2000, vol. 47, no. 1-3, pp. 9-28.

101. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. Vol. 1. The finite element method. The basis, 2000, 707p.

102. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. Vol. 2. The finite element method. Solid mechanics, 2000, 479p.

103. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The Finite Element Method for Solid and Structural Mechanics (6th Ed.). Elsevier, 2005.

104. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Sherwin S.J., Peiro J. On discontinuous Galerkin methods. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2003, vol. 58, no. 8, pp. 1119-1148.

105. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Zhu J.Z. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals (6th Ed.). Elsevier, 2005.

106. Zienkiewicz O. C. The Finite Element Method in Engineering Science, McGraw-Hill, London, 1971.