автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование особенностей роста и структурных перестроек тонких пленок на подложках

06-10 2307 - 6

На правах рукописи

Тарасенко Елена Олеговна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ РОСТА И СТРУКТУРНЫХ ПЕРЕСТРОЕК ТОНКИХ ПЛЁНОК НА ПОДЛОЖКАХ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ставрополь - 2006

Работа выполнена в Ставропольском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Ссменчин Евгений Андреевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Дроздова Виктория Игоревна, доктор технических наук, старший научный сотрудник Копытов Владимир Вячеславович

Ведущая организация: Кубанский государственный технологический

университет (г. Краснодар)

Защита состоится « 10 » ноября 2006 года в 14 часов 40 минут на заседании регионального диссертационного совета ДМ 212.256.05 при Ставропольском государственном университете по адресу: 355009, г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1, ауд. 214.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ставропольского государственного университета по адресу: г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1.

Автореферат разослан « &» октября 2006 года.

Ученый секретарь

регионального диссертационного совета, кандидат физико-математических у

наук, доцент __ Л.Б. Копыткова

__оАщая характеристика работы

Актуальность темы диссертационной работы. Необходимость обработки больших массивов информации в реальном масштабе времени ставит задачу о создании электронных устройств, объединяющих функции ввода, преобразования и вывода информации для последующей её обработки в цифровом коде с помощью традиционных принципов.

Создание объектов (устройств), позволяющих объединить функции ввода, преобразования и вывода информации упирается в изучение физического процесса - структурного фазового перехода в кристаллических структурах. Исследованию такого процесса посвящено значительное число работ (Агеев В.Н., Адхамов A.A., Афанасьева Е.Ю., Брус А., Изюмов Ю. А., Каули Р., Кукушкин С.А, Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М., Лебедев В.И., Осипов A.B. и др.). Однако до настоящего времени математическое описание такого процесса еще недостаточно изучено. Среди кристаллических структур важную роль играют двумерные структуры.

Поведение двумерной кристаллической структуры, её динамические и термодинамические свойства определяются как фактором межатомного взаимодействия в ячейках плёночной структуры, так и влиянием внутри-кристаллического поля поверхности кристаллической подложки и особенностями фононных спектров подложки.

Поэтому тема диссертационной работы, посвященная построению математической модели процесса образования тонких пленок на кристаллических подложках, является актуальной и практически значимой.

Диссертация посвящена решению следующей научной задачи - построить математическую модель структурных фазовых переходов в двумерных кристаллических структурах.

Объект и предмет исследования. Объект исследования - пленочные структуры, взаимодействующие с кристаллической подложкой. Предметом исследования является структурные фазовые переходы в пленках.

Целыо диссертационной работы является построение математической модели системы двумерный кристалл - кристаллическая подложка, диффузионной модели и их апробация на экспериментальных данных.

Поставленная цель требует решения следующих задач исследования:

1. Построить математическую модель системы двумерный кристалл - кристаллическая подложка, используя математический аппарат феноменологической теории фазовых переходов Ландау.

2. Разработать математическую модель, описывающую структурный фазовый переход при образовании плёнки на кристаллической подложке и позволяющую определить величину энергетического барьера образования плёнки.

>

3. Предложить диффузионную модель, описывающую осаждение атомов вещества при адсорбционно-десорбционном процессе от мгновенного точечного источника на кристаллическую подложку, которая позволяет оценить концентрацию и количество оседающего диффундирующего вещества.

4. Проверить адекватность предложенных математических моделей экспериментальным данным.

Методология и методы проведённых исследований. Решение поставленных задач основывается на использовании результатов и методов физики твёрдого тела и термодинамики, материаловедения, уравнений математической физики, интегральных уравнений, математической статистики, численных методов, инструментальных вычислительных средств Microsoft Office Excel, пакета прикладных программ MathCAD Professional.

Обоснованность научных положений и результатов диссертации основывается на корректном

- применении апробированного математического аппарата (уравнения математической физики, интегральные уравнения, численные методы, математическая статистика),

- использовании апробированных специализированных программно-аппаратных средств (MathCAD Professional 2000, Microsoft Office Excel);

их достоверность подтверждается согласованностью расчетных данных в рамках построенных моделей с экспериментальными даиными.

Научная новизна полученных результатов.

1. Разработана и исследована математическая модель взаимодействия двумерного кристалла с кристаллической подложкой.

2. Построена и исследована математическая модель структурного фазового перехода при образовании пленочной структуры на кристаллической подложке.

Практическая значимость результатов диссертации. На основе предложенных математических моделей можно разработать новые, более совершенные по сравнению с существующими, технологические разработки процессов образования пленок на кристаллических подложках. Подобные разработки имеют важное значение в полупроводниковой промышленности и электронике.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Математическая модель термодинамических характеристик взаимодействия адсорбирующего слоя пленки с кристаллической подложкой. Данная модель базируется на результатах теории структурных фазовых переходов Ландау Л.Д.

2. Методика расчета фононной частоты тонких пленок, адсорбируемых на кристаллическую подложку.

3. Математическая модель энергетического барьера пленочных структур на кристаллических подложках, позволяющая вычислить ширину этого барьера.

4. Диффузионная модель, описывающая осаждение атомов вещества при адсорбционно-десорбционном процессе от мгновенного точечного источника на кристаллическую подложку. Она позволяет оценить концентрацию диффундирующего и количество оседающего на подложку вещества.

Реализация и внедрение. Математическая модель структурных фазовых переходов системы двумерный кристалл - кристаллическая подложка, методика расчета фоионной частоты указанных объектов внедрены в практическую деятельность ООО «ИНВЕСТИЗЫСКАНИЕ», что подтверждается соответствующим актом о внедрении результатов диссертационных исследований.

Отдельные положения диссертационного исследования использованы в учебном процессе Ставропольского государственного университета при обучении студентов 5 курса специальностей «Компьютерная безопасность» и «Организация и технология защиты информации» по учебной дисциплине «Защита информации в корпоративных сетях» (об этом свидетельствует акт о внедрении результатов диссертационных исследований в учебный процесс).

Апробация результатов исследования. Результаты проведенных исследований докладывались на: I международной научно-технической конференции «Инфотелекоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании» (г. Ставрополь, 2004 г.); XII Всероссийском школе-коллоквиуме по стохастическим методам, (г. Сочи, 2005 г.); VI и VII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике, (г. Сочи, 2005 г. и г. Кисловодск, 2006 г.); IV Всероссийской конференции «Прогрессивные технологии в обучении и производстве» (г. Камышин, 2006 г.); 50-й и 51-й научно-методической конференции преподавателей и студентов СГУ «Университетская наука - региону» (г. Ставрополь, 2005 и 2006 гг.).

Опубликованность результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 печатных работах: три из них - в изданиях, включенных в перечень научных и научно-технических журналов, издаваемых в Российской Федерации, рекомендуемых ВАК для опубликования основных результатов диссертационных исследований («Вестник Ставропольского государственного университета» и «Обозрение прикладной и промышленной математики»), семь - в сборниках материалов Международных, Всероссийских и региональных конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы (содержащего 102 наименования). Основная часть работы изложена на 133 страницах машинописного текста, содержит 35 рисунков и 7 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбора темы, сформулирована научная проблема, на решение которой направлено данное диссертационное исследование, поставлены цели и задачи исследования, сформулированы защищаемые положения, указаны научная новизна и практическая значимость полученных результатов исследования.

Первая глава - вводная. В ней приведен обзор современных проблем в области математизации структурных фазовых переходов (СФП); различной научной литературы по жидкостной эпитаксии, по структурным фазовым переходам в кристаллических плёнках, а также экспериментальное изучение поверхностных структур, которые позволили выявить теоретические предпосылки образования несоразмерных структур в кристаллах [7].

Во второй главе построена и исследована математическая модель системы двумерный кристалл, взаимодействующий с кристаллической подложкой [3, 4, 8, 9]. Для построения данной модели был использован гамильтониан, описывающий ангармонические колебания осцилляторов и содержащий: V,(R,) - одночастичный потенциал взаимодействия атомов в пленке, С2(Л,,Я;) - парный межчастичный потенциал взаимодействия атомов пленки с атомами подложки. Здесь

*,(<)=', +»,(<)+«,(<). 0)

Ii - среднее равновесное положение ячейки пленки, si - равновесные положения в одном из минимумов потенциала К/, и, - малые смещения.

С учетом (1) плёночный потенциал системы примет вид

I-YD^x^M-qixJ + const, (2)

IS/iSJ v, „v,

Djfo.jj) - динамическая матрица системы.

Динамическую матрицу фононных частот можно представить [1 *, 2*|:

йг=Со\к) = ]g2(*)- cos(kx)}dx. (3)

О Л

Уравнение (3) является интегральным уравнением Фредгольма 11-го рода: из (3) требуется определить неизвестный параметр к. Преобразуем (3), воспользовавшись синус-преобразованием Фурье и допущением, что g2{x) является квадратичной функцией [1*; 2*]. Тогда (3) примет вид:

. в

а>2 (А) = — fsin(4jt) (l - cos(jfct)}dr. (4)

■4л- J

На рис. 1 представлено решение уравнения (4) для системы Zr-Zr, которое было получено при помощи пакета прикладных программ MathCAD Professional 2000.

Рисунок 1 - Фазовая диаграмма изменения квадрата фононной частоты о}1 {к) для Zr, полученная синус-преобразованием Фурье

Из рис. 1 видно, что квадрат фононной частоты ®2(к) принимает нулевые значения при к - О и к = 2,6. Этот факт свидетельствует о существовании замкнутой области — зоны Бриллюэна, следовательно, рассматриваемая модель имеет кристаллическую структуру.

Для решения уравнения (3) также был использован метод регуляризации Тихонова А.Н., применив который, уравнение (3) преобразовали к системе линейных алгебраических уравнений вида

^-созМ^Дг,^2^)- (5)

На рис. 2 представлено решение системы линейных алгебраических уравнений (5) для системы Ъх-Тл, полученное с помощью средств пакета Ма1ЬСАО. Как видно из рис. 2 значения параметра порядка к изменяются в диапазоне от к = 0 до к = 2,36.

1 / 1 \ \

/ / / \

1

.0. * 3

Рисунок 2 - Фазовая диаграмма изменения квадрата фононной частоты (о2 {к) для Хг, полученная методом регуляризации Тихонова А Н.

Сравнивая результаты расчетов, представленные на рис. 1 и 2, следует отметить, что применение метода регуляризации Тихонова А.Н. дает

результат, более близкий к экспериментальным данным, чем метод синус-преобразования Фурье при решении интегрального уравнения для квадрата фононной частоты (3).

Отсюда следует, что одночастичный плёночный потенциал У{(Л,) описывает силовое поле, создаваемое атомами плёнки при фазовом переходе типа соразмерная-несоразмерная фаза. С помощью полученных результатов легко объяснить образование в плёнке кристаллической структуры.

Для парного межчастичиого потенциала, описывающего взаимодействие атомов плёнки с атомами подложки, возможно следующее представление:

кг(я„д;) = ^ШЛ-Л,]1 -яу]3 + -Л/Г =

4 12 24 (б) = +«[Л(. - Д,))[/?, - /?, ]2 + № - я, г},

где к и а, /? - соответственно гармоническая и ангармонические силовые константы, определяющие взаимодействие активных при СФГ1 атомов пленки и подложки.

Соотношения (2) и (6) определяют модель для случая с1=2, имеющую возможность описывать «метастабильные» состояния атомов плёнки и атомов подложки. Эта модель позволяет описывать фазовый переход типа соразмерная-несоразмерная фаза.

Предложена также диффузионная модель проникновения атомов вещества при адсорбционно-десорбционном процессе от мгновенного точечного источника в кристаллическую подложку, представляющая собой начально-граничную задачу [10]

2

— + 1.4; —+ о</+ Е I К: - = 0 , (7)

д! / = 1 ас, / = I у = I ' дх'дх!

9(/0,*„*„*,)= е■ г(г, -х,0)«^-х°г)${х} -*?), /6 [/..7-], (8)

а*,

= 0,/>/„, (9)

если атомы вещества отражаются от подложки, находящейся на высоте х" и начально-граничную задачу (7), (8),

</(/,х„х2,х,1. =0, 1>(0, (10)

если вещество полностью поглощается подложкой; начально-граничную задачу (7), (8),

=м,=1,;, с)

если вещество частично отражается и частично поглощается подложкой. Здесь д = </(/,л-,,д'г.д-,) - концентрация адсорбционно-десорбционного вещества в момент времени I в точке (*-,,д-2.д-,); £/ = (н,,и2,н,) - вектор сноса; а - коэффициент, характеризующий взаимодействие вещества с окружающей сре-

дой (или его радиоактивный распад); к = {к,^ - матрица коэффициентов

диффузии вещества в окружающей среде; О - мощность мгновенного источника, действовавшего в момент i„ в точке (т.е. количество вещества, выброшенного источником в момент /0); S - дельта-функция Дирака; /3 = const, 0</?<1 - коэффициент, характеризующий осаждение на подложку; ut - скорость осаждения вещества на подложку. Равенство (11) показывает, что поток примеси на подложку складывается из двух составляющих: диффузионного потока

'кЛ

и гравитационного потока

Граничное условие (9) означает, что граница полностью отражает вещество, (10) - полностью его поглощает, а (11) - частично отражает и частично поглощает.

Если диффузия является изотропной, то AT,. = К, /, j = 1,2,3, а К можно найти, воспользовавшись соотношением

где = const > 0, ДЕ - энергия активации диффузии, k - постоянная Больц-мана, 7-температура диффундирующего вещества в °К.

Если точечный источник, расположенный в точке (х0,у„,-0), является источником непрерывного действия, т.е. Q~Q{i), то для вычисления концентрации ¿у,jfj,лг-,jr-,) от такого источника решение ¿¡г(г,х,,г,,*,) рассматриваемой задачи (7)-(9), или (7), (8), (10), или (7), (8), (II) следует, очевидно, проинтегрировать по промежутку [(„,7"], т.е.

V

7, (<, дг,, jt2 , jr,) = J<7(j, j, , хг, x, )Js .

Если источник является линейным, площадным, поверхностным, то концентрация от такого источника определяется путем интегрирования (/,(/■,jг,,л,,х,) по области, образованной точками, принадлежащими источнику.

Из (11) следует, что поток диффундирующего вещества p(t,.\{,x2,x°) в момент I в точке ,х2,х") равен

здесь их = const. Количество оседающего диффундирующего вещества в точке (xp.Tj.j;) за время Т равно

/ I

jp{l,x{, дг2,х" V' = ч, JV(',*,,х2.х" V' •

Количество оседающего за время Т диффундирующего вещества на подложку, представляющую собой горизонтальную площадку размером 5x5, расположенную на высоте 5 равно

г г

I JC,,JC2, )л Л, A2=uJ JJ9(i, x>,x1,x"}it dXi dx2.

l„ Л r0 Л*

В отдельных частных случаях задачи (7) - (9) и (7), (8), (10) допускают аналитическое решение. Будем предполагать, что компоненты вектора U = (и,, и2, и1) являются постоянными величинами и он направлен вдоль оси Ох, (это означает, что и1=и,= 0); элементы матрицы К имеют вид

^ _ |о",!, i - j, а, = const > 0; * ~{о, i* j, fj = 1,2,3; a = 0 (т.е. вещество не вступает в реакцию с окружающей средой и не разлагается). Тогда решение задачи (7) - (10) имеет вид:

q(t,x„x1,x,) =

сехр'

ехр

(4 *(/-/„))"

(X]-ur(t-t0)f 4 a\{t-l0)

+ exp-^ -

4c72 ■(/-/„)

(12)

решение задачи (7), (8), (10) -

q{t,xx, дгг,дг,) =

; ехр

{*

(M'-'o Г «г('-<о)У

] 2 3 2

4а,2 •(/-/„) 4а2

('-'о).

(13)

где (0,0,//) - координаты мгновенного точечного источника адсорбционно-десорбционного вещества мощности <2=сош/>0, действовавшего в момент времени /„.

Был проведен численный эксперимент, позволяющий оценить концентрацию и количество оседающего диффундирующего вещества.

Анализ проведенных расчетов показывает, что при условии бесконечного источника примеси на поверхности пластины и одинаковом времени диффузии, профиль распределения примеси в полупроводнике будет различен при различных температурах. Таким образом, изменяя температурный режим можно изменить профиль распределения примеси в глубину полупроводника.

В третьей главе разработана и исследована математическая модель образования плёнки на кристаллической подложке [1, 2, 5,6].

Для рассмотрения процесса образования пленки на кристаллической подложке был использован гамильтониан общего вида

" = y[ïM)df - A +

_ 1 _ ___ (,4)

где и (¿/(г) - полевые операторы, m — масса частиц, А - химический

потенциал, v - объем системы, Ф^) - потенциал парного взаимодействия частиц пленки, U(r) - потенциал поля подложки.

Введение химического потенциала учитывает несохранение числа частиц системы за счет стохастических процессов осаждения и возгонки. Последнее слагаемое суммы в (14) описывает взаимодействие системы с полем подложки, обладающим симметрией решетки и зависящее от температуры подложки.

Используя метод двухвременных функций Грина и метод квазисредних, было построено уравнение для определения энергетического барьера

A + L = o, (15)

'i <р

где Е = ^js2 + |Д|2 , е - энергия одночастичных возбуждений. Уравнение (15) внешне похоже на обычное уравнение для энергетического барьера в спектре возбуждений конденсата, однако в данном случае это энергетический барьер пленочной структуры на кристаллической подложке. Кроме парного взаимодействия частиц пленки ф(г, -г2) в (15) содержится потенциал взаимодействия частиц пленки с подложкой, зависящий от температуры подложки.

На рис. 3 показана температурная зависимость решения уравнения (15), полученная с помощью средств Microsoft Office Excel 2003. Из графика видно, что при некоторой критической температуре 1\р происходит структурный фазовый переход I рода. При Т<Т Д ^0, что является свидетельством процесса образования пленочной структуры на кристаллической подложке. Выше этой температуры Д = 0 и оседание частиц на подложку не наблюдается.

1000 -1---

Д .ЭВ 500

о :_

1ЭОО 1375 1450

т,к

Рисунок 3 - Температурная зависимость решения уравнения (15)

Экспериментальное подтверждение полученных результатов затруднено, так как в момент образования пленки на кристаллической подложке довольно не просто определить некоторые параметры этого процесса. Однако если отождествить Д с величиной активационного барьера, то уравнение (15) дает возможность получить зависимость энергии активации от степени покрытия.

Экспериментальные данные значений энергии активации десорбции были взяты из [3*], где проводилось изучение начальных стадий формирования границы раздела УЬ-81(Ш). Сопоставление полученных результатов и данных, взятых из эксперимента, показывает, что по мере увеличения степени покрытия происходит скачкообразное уменьшение энергии активации (рис. 4).

В таблице 1 представлены значения энергии активации десорбции, полученные при численном решении уравнения (15), описывающего энергетический барьер, и данные, взятые из эксперимента.

Как видно из таблицы 1 и рис. 4 результаты численного решения уравнения (15) и экспериментальные данные хорошо согласуются друг с другом. При этом средняя относительная погрешность вычислений составила 2,6%.

.0. Х,р 0.47

Рисунок 4 - Экспериментальная и расчётная зависимости энергии активации десорбции

от степени покрытия

Таблица 1

Значения энергии активации десорбции, полученные при численном решении уравнения (15) и взятые из эксперимента

Численное решение уравнения (15) Экспериментальные данные

1 2 3 4 5 6 7 8

0 3.05 17 Ъ.1ЬЪ1 0 2.91 17 3.735

1 4.3737 18 3.71048 1 4.2647 18 3.647

2 4.4755 19 3.6449 2 4.3235 19 3.515

3 4.3837 20 3.57381 3 4.2647 20 3.206

4 4.27788 21 3.3651 4 4.2353 21 3.103

5 4.18475 22 3.3056 5 4.206 22 3.0785

/ 2 3 4 5 б 7 8

6 4.11285 23 3.09105 6 4.13235 23 3.059

7 3.8981 24 3.1931 7 3.959 24 3.088

8 3.7985 25 3.2456 8 3.882 25 3.147

9 3.70125 26 3.2755 9 3.588 26 3.191

10 3.5236 27 3.29738 10 3.4265 27 3.235

11 3.69165 28 3.31185 И 3.588 28 3.25

12 3.97158 29 3.29185 12 4.044 29 3.25

13 3.9751 30 3.25738 13 3.956 30 3.235

14 3.96714 31 3.1577 14 3.897 31 3.1176

15 3.9303 32 3.041 15 3.853 32 2.985

16 3.853 16 3.8235

Проведена аппроксимация решения уравнения (15), описывающего энергетический барьер процесса образования тонких плёнок на кристаллических подложках. Получено приближенное соотношение зависимости энергии активации десорбции от степени покрытия:

P(t) = а</6 + а/ + а/ + а,!1 + а21г + а,1 + а0, значения коэффициентов <з, представлены в таблице 2.

Таблица 2

Значения коэффициентов аппроксимирующего полинома, полученного методом наименьших квадратов (МНК) для расчетной кривой

Щ «0 аг "а аь

Числовое значение коэффициентов 3.293 80.033 -1.706*103 1.489*104 -6.329*104 1.29*105 -1.008*105

На рис. 5 приведены графические изображения расчётной зависимости энергии активации десорбции от степени покрытия у, и график аппроксимирующей её функции P(t). Функция P(t) построена с помощью метода наименьших квадратов в пакете прикладных программ MathCAD Professional 2000.

Из рисунка 5 видно, что сравнение аппроксимационного полинома и экспериментальной кривой дает хороший качественный и количественный результат. При этом коэффициент корреляции, полученного полинома и экспериментальных данных составил у = 0,95997.

Рисунок 5 - Расчётная зависимость энергии активации десорбции от степени покрытия у, {х:) и аппроксимирующий полином /*(/), построенный методом наименьших квадратов

На рис. 6 представлены результаты численного решения уравнения (15), описывающего энергетический барьер, и его аппроксимирующего полинома, построенного методом сплайн-интерполирования.

Рисунок 6 - Расчётная зависимость энергии активации десорбции от степени покрытия _у(х) и аппроксимирующая её функция /l(/), построенная методом сплайн-

интерполяции

В таблице 3 приведены значения коэффициентов аппроксимирующих полиномов, полученные с помощью МНК и метода сплайн-интерполирования.

Таблица 3

Значения коэффициентов аппроксимирующих полиномов(МНК и сплайн-интерполяция) для расчетной кривой и коэффициентов экспериментальной кривой [3*]

а, МНК Сплайи-интерполнция Эксперимент

1 2 3 4

3.293 3.191 3.177

«i 80.033 76.144 75.65

/ 2 3 4

о2 -1.706*1 (? -1.561*10'' -1.552*103

1.489*104 1.352*1 1.34*10^

«4 -6.329*104 -5.729*104 -5.724* 10т

1.29*105 1.21*105 1.18*105

-1.008*105 -9.357* 104- -9.344*104

коэф. корреляции у =0,95997 у =0,99999

Из таблицы 3 видно, что сравнение значений коэффициентов аппроксимирующих полиномов и экспериментальных данных позволяют сделать вывод, что они хорошо согласуются друг с другом. В случае сплайн-интерполяции наблюдается более точное согласование с экспериментальными данными. При этом коэффициент корреляции равен у = 0,99999.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основании приведенных выше результатов исследования можно сделать следующие выводы:

1. Разработана математическая модель (2), (6) системы взаимодействия двумерный кристалл - кристаллическая подложка. Эта модель позволяет описать структурные фазовые переходы в плёнках с образованием несоразмерных структур.

2. Получено соотношение для расчета фононной частоты тонких кристаллических плёнок (3), адсорбируемых на подложку.

3. Предложена диффузионная модель (7) - (13), описывающая осаждение атомов вещества при адсорбционно-десорбционном процессе от мгновенного точечного источника на кристаллическую подложку. Она позволяет оценить концентрацию диффундирующего и количество оседающего на подложку вещества.

4. Построена математическая модель образования пленочных структур на кристаллических подложках (14) - (15).

5. С помощью методов наименьших квадратов и сплайн-интерполирования предложено приближённое соотношение для вычисления ширины энергетического барьера (15).

6. Установлена зависимость полученных численных расчетов значений энергетического барьера образования пленки на кристаллической подложке с экспериментальными данными.

Полученные результаты научных исследований дают основание считать, что поставленные в диссертационной работе задачи выполнены.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

!. Лебедев В.И., Мизина В.В., Галай Е.О. Квантовая модель образования плёнок на подложках // I международная научно-техническая конферен-

ция «Инфотелекоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании». - Ставрополь: Изд-во СевКавГТУ, 2004. - С. 450-452.

2. Лебедев В.И., Галай Е.О. Модели структурных фазовых переходов в плёнках // Материалы XXXIV научно-технической конференции по результатам работы профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов Северо-Кавказского государственного университета за 2004 год. Естественные и точные науки. Технические и прикладные науки. Том I. - Ставрополь: Изд-во СевКавГТУ, 2005. - С. 128.

3. Галай Е.О. Термодинамика решетки в модели } // Материалы

50-й юбилейной научно-методической конференции преподавателей и студентов Ставропольского государственного университета «Университетская наука - региону», посвященной 60-летию Победы в Великой Отечественной войне. (5-25 апреля 2005 г.) - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2005. - С. 147-151.

4. Галай Е.О. Математическая модель образования плёнок на подложках Н Обозрение прикладной и промышленной математики. XII Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам. VI Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. - М.: Редакция журнала «ОПиПМ», 2005, т. 12, в.4. - С.932.

5. Галай Е.О. Квантовостатистическая модель образования пленки на кристаллической подложке//Современные проблемы науки и образования. -М.: ИД «Академия естествознания», 2006, т. 2. - С. 65-66.

6. Галай Е.О. Статистическая модель образования плёнок на кристаллических подложках П Обозрение прикладной и промышленной математики. VII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. - М.: Редакция журнала «ОПиПМ», 2006, т. 13, в. 1. - С. 89.

7. Семенчин Е.А., Галай Е.О. Диэлектрические свойства кристаллов в области фазового перехода соразмерная-несоразмерная фаза // Материалы

51-й научно-методической конференции преподавателей и студентов Ставропольского государственного университета «Университетская наука - региону» (3-24 апреля 2006 г.). - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2006. - С. 187-190.

8. Семенчин Е.А., Гтай Е.О. Моделирование структурных фазовых переходов в плёнках // Фундаментальные исследования. - М.: ИД «Академия естествознания», 2006, т. 4. - С. 67-68.

9. Семенчин Е.А., Тарисенко Е.О. Моделирование структурного фазового перехода типа несоразмерная-соразмерная фаза // Вестник Ставропольского государственного университета. - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2006.-С. 5-11.

10. Семенчин Е.А., Тарасеико Е.О. Математическая модель стохастической фазы адсорбционно-десорбционного вещества при образовании пленочных структур // Материалы IV Всероссийской конференции «Прогрессивные технологии в обучении и производстве». - Камышин: Изд-во КТИ, 2006.-С. 142-146.

Цитированная литература

1*. Takeno S., Goda М. A Theory of Phonon-Like Excitations in Non-Crystalline Solids and Liquids // Progress of Theoretical Physics, 1972, V. 45, № 9. - P. 790-806.

2*. Takeno S., Goda M. Phonon-Like Excitations in Liquid Helium // Progress of Theoretical Physics, 1972, V. 48, № 3. - P. 724-730.

3*. Крачино T.B., Кузьмин M.B., Логинов M.B., Митцев М.А. Начальные стадии формирования границы раздела Yb-Si(III) // ФТТ, 1997,т.39, №2. - С. 256-263.

Подписано в печать 5.10.2006 Бумага офсетная. Печать офсетная. Формат 60x84/16. Усл.печ. 1,2. Уч.-изд.л. 1. Тираж 100. Заказ 348.

Северо-кавказский социальный институт 355037, г. Ставрополь, ул. Доваторцев, 38.