автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование теплопроводности кристаллизации расплавов с движущимися границами

ВВЕДЕНИЕ.

1 Известные теории кристаллизации расплавов.

1.1 Математическое моделирование роста кристаллов.

1.2 Проблема Стефана в классической постановке.

1.3 Движущиеся границы.

1.4 Закономерности движения границ.

1.5 Рост одиночного кристалла.

1.6 Выводы.

2 Задачи кристаллизации расплавов с движущимися границами.

2.1 Рост кристалла в бесконечном объеме.

2.2 Рост боковой поверхности неограниченной пластины.

2.3 Рост боковой поверхности неограниченного цилиндра.

2.4 Рост сферического тела.

2.5 Выводы.

3 Математические алгоритмы кристаллизации тел.

3.1 Движения границ фазового перехода с внутренней поверхности.

3.2 Движения границ фазового перехода с внешней поверхности.

3.3 Нестационарный режим кристаллизации с внутренней поверхности.

3.4 Нестационарный режим кристаллизации с внешней поверхности.

3.5 Выводы.

4 Вычислительный комплекс.

4.1 Описание программного продукта.

4.2 Программный модуль.

4.3 Описание шашки-детонатора.

4.4 Выводы.

Актуальность темы исследования. Современные электронные вычислительные машины дали в руки исследователей эффективное средство для математического моделирования сложных задач науки и техники. Одной из распространенных задач математической физики является задача, в которой присутствует изменение агрегатного состояния вещества (кристаллизации). Подобные задачи возникают в проблемах атомной энергетики, космической и лазерной технике, экологии, медицине, строительстве, металлургии и при производстве промышленных взрывчатых веществ.

В литературе известен математический аппарат, позволяющий решать задачу теории теплопроводности в случае с движением только границ фазового перехода, но не рассматривается динамика перемещения границы прогрева в окружающей среде без таких существенных упрощений, как квазистационарное приближение, что влияет на точность расчета.

В большинстве задач считается, что в любой точке окружающей среды, удаленной на значительное расстояние от границы фазового перехода, даже в начальный момент изменения агрегатного состояния вещества температура отлична от начальной температуры окружающей среды, т.е. зона прогрева считается бесконечной. Этот результат можно рассматривать как следствие мгновенного распространения температуры, а, следовательно, и теплоты, что противоречит молекулярно-кинетическим представлениям о природе теплоты. Все это приводит к необходимости разработки математической модели задачи нестационарной теплопроводности, в которой изменяется агрегатное состояние вещества и учитывается динамика зоны прогрева в окружающей среде, что и определяет актуальность данной работы.

Цель работы — математическое моделирование теплопроводности кристаллизации расплавов с движущейся границей фазового перехода при одновременном учете влияния динамики перемещения границы прогрева в окружающей среде.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

- разработка математической модели нестационарной теплопроводности, в которой изменяется агрегатное состояние вещества и учитывается зона прогрева в окружающей среде;

- вывод уравнений расчета роста частиц при решении задач нестационарного переноса в области с движущимися границами;

- моделирование динамики температурных полей;

- сравнение решений задачи, в которой учитывается величина зоны прогрева и задачи, в которой зона прогрева считается бесконечной;

- вывод закономерностей движения границы фазового перехода для неограниченного полого цилиндра;

- реализация программного модуля и пакета интерактивных электронных документов, позволяющих автоматизировать расчет в математическом программном пакете Maple 8 для проведения вычислительных экспериментов и их графической интерпретации.

Научная новизна состоит в следующем:

1. Разработана математическая модель задачи нестационарной теплопроводности кристаллизации расплавов, в которой учитывается величина зона прогрева в окружающей среде.

2. Выведены определяющие уравнения роста частиц различных форм при решении задачи нестационарной теплопроводности с движущимися границами.

3. Получены новые закономерности движения границы фазового перехода для неограниченного полого цилиндра с использованием специальной функции Ламберта W.

4. Разработан программный модуль, позволяющий автоматизировать расчет в математическом программном пакете Maple 8 для проведения вычислительных экспериментов и их графической интерпретации.

5. Создан пакет интерактивных электронных документов с решением рассмотренных задач, использующих разработанный модуль.

Теоретическая ценность работы заключается в том, что в ней получены определяющие уравнения и закономерности роста частиц различных форм при решении задачи нестационарного теплопереноса с движущимися границами.

Практическая ценность работы заключается в том, что полученные результаты теоретических исследований, расчетные соотношения реализованы в разработанном программном модуле, который используется для моделирования температурного состояния веществ при кристаллизации, движения границ фазового перехода и зоны прогрева в окружающей среде, научных расчетов.

Реализация работы. Разработанные алгоритмы расчета и созданные на их основе программный модуль и пакет интерактивных электронных документов были переданы в ФГУП "Бийский олеумный завод". На основании переданной методики была рассчитана литая шашка-детонатор.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и представлялись на Первой всероссийской научно-практической конференции молодых ученых "Материалы и технологии XXI века", г. Бийск, 2000 г., на Четвертой и Пятой конференциях по математике, г. Барнаул, 2001 - 2002 гг., на Третьей всероссийской конференции "Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики", г. Томск, 2002 г., на Научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука. Техника. Инновации.", г. Новосибирск, 2001 г., на Всероссийской научной конференции "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB", г. Москва, 2002 г., на Третьей международной научно-технической конференции "Компьютерное моделирование 2002", г. Санкт-Петербург, 2002 г.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 12 работ, в том числе две статьи и одно свидетельство на полезную модель.

Личный вклад автора. Совместно с руководителем было определено общее направление исследований и возможные подходы к реализации поставленных задач. Диссертантом самостоятельно построены аналитические модели рассматриваемых процессов, получены новые закономерности движения границ фазового перехода с использованием функции Ламберта W, создан программный модуль и пакет интерактивных электронных документов с решением поставленных задач.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 102 наименования. Работа содержит 104 страницы, 34 рисунка и таблицу.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе получены следующие основные результаты.

1. Разработана математическая модель задачи нестационарной теплопроводности кристаллизации расплавов, в которой учитывается небесконечная зона прогрева в окружающей среде.

2. Выведены уравнения, определяющие рост частиц в виде пластины, цилиндра и сферы при решении задачи нестационарной теплопроводности с движущимися границами.

3. С помощью предложенных уравнений моделируется динамика роста частиц и зоны прогрева при учете движения границы фазового перехода и границы прогрева в окружающей среде.

4. Проведено сравнение решений задачи, в которой учитывается величина небесконечной зоны прогрева и задачи, в которой зона прогрева считается бесконечной. Сравнение результатов вычислительных экспериментов показывает, что рост частиц при условии учета небесконечной величины зоны прогрева происходит быстрее, чем в задаче с границей прогрева устремленной в бесконечность.

5. Получены новые закономерности движения границы фазового перехода для неограниченного полого цилиндра при кристаллизации с внутренней и внешней поверхностей с использованием специальной функции Ламберта W.

6. Разработан программный модуль, позволяющий автоматизировать расчет в математическом программном пакете Maple 8 для проведения вычислительных экспериментов и их графической интерпретации.

7. Реализован пакет интерактивных электронных документов с решением рассмотренных задач, использующих разработанный модуль.

94

8. Результаты теоретических исследований, алгоритмы, расчетные соотношения и разработанный программный модуль внедрены на производстве и могут быть использованы в учебном процессе.

Автор выражает признательность за помощь на всех стадиях выполнения работы научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Ф.Ф. Спиридонову и научно-педагогическому коллективу Бийского технологического института.

1. Авдонин Н. А. Математическое описание процессов кристаллизации. -Рига: Зинатне, 1980. 180 с.

2. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Панкратов Б. М. Решение нелинейной обратной задачи для обобщенного уравнения теплопроводности в области с подвижными границами. // ИФЖ. 1975. т. 29. № 1. С. 151-158.

3. Аминова Г. А., Мануйко Г. В., Дьяконов Г. С., Сопин В. Ф. Численное решение задачи диффузии низкомолекулярного вещества в полимерном материале с движущейся границей раздела фаз. // ИФЖ. 1999. т. 72. № 3. С. 502-506.

4. Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции. М., 1984.

5. Баландин Г. Ф, Теория формирования отливки: Основы тепловой теории. Затвердевание и охлаждение отливки. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1998. - 360 е., ил.

6. Бахвалов Н. С. Численные методы. М., 1973.

7. Беленький В. 3. Геометрико-вероятностные модели кристаллизации. Феноменологический подход. -М.: Наука, 1980. 88 с.

8. Беляев Н. М., Рядно А. Л. Методы теории теплопроводности. Ч. 1, 2. М.: Высшая школа, 1982. - 327 е., ил.

9. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. М.: Наука,1976.

10. Бондарев Э. А., Попов Ф. С. Сравнительная оценка приближенных методов решения одномерных задач. // ИФЖ. 1989. т. 56. № 2. С. 302306.

11. П.Вабищев П. Н. Численные методы решения задач со свободной границей. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. - 164 с.

12. Васильев ,JL Л,, Вааз С. Л. Замораживание и нагрев грунта с помощью охлаждающих устройств. Минск, 1986.

13. Гельперин Н. И., Носов Г. А. Основы техники кристаллизации расплавов. -М.: Химия, 1975. 352 с.

14. Гидромеханика невесомости / Под ред. А. Д. Мышкиса. М.,1976.

15. Годунов С. К. Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука,1973.

16. Годунов С. К. Уравнения математической физики. — М.: Наука,1971.

17. Гришин С. Д., Лесков Л. В. Индустриализация космоса. М., 1987.

18. Динамика формирования поверхностных структур в системах со свободной границей / Гафийчук В. В., Лубашевский И. А., Осипов В. В.,; Отв. ред. Подстригач Я. С.; АН УССР. Ин-т прикладных проблем механики и математики. Киев: Наук, думка, 1990. - 126 с.

19. Дьяконов В. П. Математическая система Maple V R3/R4/R5. -М.:Солон,1998. 400 С.

20. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными. Точные решения. М., 1996.

21. Золотарев П. П., Рошаль А. А. Точные решения некоторых задач промерзания толщи раствора // ИФЖ. 1973. т. 24. № 5. С. 921-928.

22. Иванов Н. С., Филиппов П. М. Теплопроводность твердых тел и дисперсных сред при фазовых превращениях. Иркутск, 1988.23 .Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М., 1989.

23. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 е., ил.

24. Камья Ф. М. Импульсная теория теплопроводности. Пер. с франц. под ред. А. В. Лыкова. М.: Энергия, 1972. - 272с., ил.

25. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука,1964.

26. Карташов Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел.: Учеб. пособие. 2-е изд., доп. - М.: Высш. шк., 1985. -480 е., ил.

27. Карташов Э. М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами. //ИФЖ. 2001. т. 74. №2. С. 171-195.

28. Карташов Э. М. Метод обобщенного интегрального преобразования при решении уравнения теплопроводности в области с движущимися границами //ИФЖ. 1987. т. 52. № 3. С. 495-505.

29. Карташов Э. М. Новые интегральные представления аналитических решений краевых задач нестационарного переноса в областях с движущимися границами. //ИФЖ. 1999. т. 72. № 5. С. 825-836.

30. Кидяров Б. И. Кинетика образования кристаллов из жидких фаз. -Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1979. 134 с.

31. Клубович В. В., Толочко Н. К. Методы выращивания кристаллов из растворов Минск.: Наука i тэхнша, 1991. - 296 с.

32. Ковнер С. С. О промерзании сферы. Тр. первой геологоразведочной конференции Главсевморпути. 3. Вечная мерзлота, Л., 1936. (ГУСМП).

33. Ковнер С. С. Об одной задаче теплопроводности. Журнал геофизики. Т. 3. Вып. I, 1933, с. 32-41.

34. Коздоба Л. А. Решения нелинейных задач теплопроводности. -Киев: Наукова думка, 1976. 136 с.

35. Козлов В. П., Мандрик П. А., Юрчук Н. И. Об одном подходе к аналитическому решению двумерной нестационарной задачи теплопроводности в областях с движущимися границами на модели полупространства. //ИФЖ. 2002. т. 75. № 1. С. 181-185.

36. Кутателадзе С. С. Избранные труды. Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1989, - 434 е., ил.

37. Кутателадзе С. С. Основы теории теплообмена. 5-е изд., доп. -М.: Атомиздат, 1979, - 415с., ил.

38. Лейбензон Л. С. К вопросу об отвердевании земного шара из первоначального расплавленного состояния. Изв. АН СССР, сер. геогр. и геофиз. 1939, № 6.

39. Лейбензон Л. С. Руководство по нефтепромысловой механике. -М: Гос. науч.-техн. изд-во, 1931.

40. Леонтьев А. И. (под редакцией). Теория тепломассопереноса. М.,1997.

41. Лодиз Р., Паркер Р. Рост монокристаллов. М.: Мир, 1974. - 340с.

42. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967.-599 с.

43. Лыков А. В. Тепломассообмен: (Справочник). 2-е изд., перераб. и доп. М.: Энергия, 1978. - 480 е., ил.

44. Лыков А. В., Михайлов Ю. А. Теория тепломассопереноса. М.: Госэнергоиздат, 1963.

45. Львовский Е. Н. Статистические методы построения эмпирических формул. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1988. - 239 е., ил.

46. Любов Б. Я. Кинетическая теория фазовых превращений. М.: Металлургия, 1969.

47. Любов Б. Я. Теория кристаллизации в больших объемах. М.: Наука, 1975. - 256 е., ил.

48. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на Фортране: Пер. с англ. М.: Мир, 1977. - 584 с.

49. Малевич Ю. А., Самойлович Ю. А. Теплофизические основы затвердевания отливок и слитков. Мн.: Выш. шк., 1989. - 203 с.

50. Мартыненко О. Г., Березовский А. А., Соковишин Ю. А. Асимптотические методы в теории свободно-конвективного теплообмена. Минск, 1979.

51. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. 3-е изд., перераб. и доп. -М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 608 с.

52. Масленникова В. Н. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., 1997.

53. Маслов В. П., Данилов В. Г. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. Эволюция диссипативных структур. М., 1987.

54. Мейрманов А. М. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986.239 с.

55. Меламед В. Г. Тепло- и массообмен в горных породах при фазовых переходах. М., 1980.

56. Мюллер Г. Выращивание кристаллов из расплава. Конвекция и неоднородности: Пер. с англ. М.: Мир, 1991. - 143 с.

57. Несенко Г. А. Пограничный слой в нелинейных температурных полях многослойных тел с подвижными границами. М., 1993.

58. Основы научных исследований / Под ред. В. И. Крутова, В. В. Попова. -М.: Высш. шк., 1989.-400 е., ил.

59. Пехович А. П., Жидких В. М. Расчеты теплового режима твердых тел. Л.: Энергия, 1976. - 352 с.

60. Полянин А. Д., Вязьмин А. В., Журов А. И., Казенин Д. А. Справочник по точным решениям уравнений тепло- и массопереноса. М. 1998.

61. Потемкин В. Г. Система инженерных и научных расчетов MATLAB 5.x: -В 2-х т. -М.: Диалог-МИФИ, 1999. Т.1. -368 С. -Т.2. -304с.63 .Проблемы теплообмена. Сборник статей. Пер. с англ. Под ред. П. Л. Кирилова. М.: Атомиздат, 1967. - 335 е., ил.

62. Прохоров Г. В., Леденев М. А., Колбеев В. В. Пакет символьных вычислений Maple V. М.: Компания "Петит", 1997. - 200 е., ил.

63. Раддл Р. У. Затвердевание отливок. М.: МАШГИЗ, 1960.

64. Радкевич Е. В., Меликулов А. С. Краевые задачи со свободной границей. Ташкент: Фан, 1988. - 186с.

65. Рубинштейн Jl. И. О начальной скорости продвижения фронта кристаллизации одномерной задаче Стефана. ДАН СССР, т. 62, № 6, 1948.

66. Рубинштейн Л. И. О распространении тепла в многослойной среде с изменяющимся фазовым состоянием. ДАН СССР, т. 79, № 2, 1951.

67. Рубинштейн Л. И. О распространении тепла двухфазной среде при наличии цилиндрической симметрии. ДАН СССР, т. 79, № 6, 1951.

68. Рубинштейн Л. И. Об определении границы раздела фаз в одномерной задаче Стефана. ДАН СССР, т. 58, № 2, 1947.

69. Рубинштейн Л. И. Об устойчивости границы раздела фаз в двухфазной теплопроводящей среде. Изв. АН СССР, сер. геогр. и геофиз., т. 12, № 6, 1948.

70. Рубинштейн Л. И. Проблема Стефана. Рига: Эвайгзне, 1967.

71. Самарский А. А. (под редакцией). Математические модели, аналитические и численные методы в теории переноса. Минск, 1982.

72. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

73. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов

74. A. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М., 1987.

75. Самойлович Ю. А., Тимошпольский В. И., Трусова И. А. Анализ кристаллизации переохлажденного расплава методом интегрального баланса. //ИФЖ. 2001. т. 74. № 1. С. 139-144.

76. Свидетельство на полезную модель № 24879 от 09.01.2002, кл. 7 F 42 С 1/06. Шашка-детонатор для промышленного взрывания / Жуков Ю. Н., Ананьин А. А., Додух В. Г., Черниловский А. М., Старшинов А.

77. B., Янкилевич В. М., Левушкин Д. А., Жуков А. Н., Угрюмов В. С., Сергеев С. А., Спиридонов Ф. Ф.

78. Сергеев С. А. Рост сферической частицы в ограниченном объеме // Молодежь науке будущего. Тезисы докладов Международной молодежной научной конференции. Набережные Челны: КамПИ, 2000. С. 2324.

79. Сергеев С. А., Спиридонов Ф. Ф. Исследование роста частиц сферической формы // Четвертая конференция по математике. Материалы конференции. Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2001. С. 24-26.

80. Сергеев С. А., Спиридонов Ф. Ф. Математическое моделирование кристаллизации расплавов // Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB. Тезисы докладов всероссийской научной конференции. М.: ИПУ РАН, 2002. С. 43-44.

81. Сергеев С. А., Спиридонов Ф. Ф. Моделирование роста кристалла цилиндрической формы // Компьютерное моделирование 2002. Труды 3-й международной научно-технической конференции. СПб: Изд-во СПбГПУ, 2002. С. 103-105.

82. Сергеев С. А., Спиридонов Ф. Ф. Применение функции Ламберта W в решении задачи теплопроводности // Горизонты образования. 2002, - № 4. - http://edu.secna.ru. - 5 с.

83. Сергеев С. А., Спиридонов Ф. Ф. Расчет динамики поведения температурного поля окружающей среды растущего кристалла // Пятая конференция по математике. Материалы конференции. Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2002. С. 23-24.

84. Сергеев С.А. Математическое моделирование нестационарной теплопроводности кристаллизации частицы сферической формы в расплаве с движущимися границами // Журнал "Исследовано в России". 2003. -С. 664-672.

85. Сергеев С.А., Спиридонов Ф.Ф. Математическое моделирование в переохлажденном расплаве // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: Доклады конференции. Томск: Изд-во Томского ун-та, 2002. С. 307-308.

86. Соболев С. JI. Уравнения математической физики. М.: Наука,1966.

87. Сопряженные и обратные задачи тепломассопереноса / Никитен-ко Н. И. Киев: Наук, думка, 1988. - 240 с.

88. Стеклов В. А. Основные задачи математической физики. 2-е изд. М, 1983.

89. Таганов И. Н. Моделирование процессов массо- и энергопереноса. Нелинейные системы. JL: Химия, 1979. - 208 е., ил.

90. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.

91. Тихонов А. Н., Швидковский Е. Г. К теории непрерывного слитка. -ЖТФ. Т. 17. Вып. II. 1947, с. 161-176.

92. Цицын А. Г., Забелин В. В., Мухин Е. Б. // Тепломассообмен-ММФ-92: Вычислительный эксперимент в задачах тепломассообмена и теплопередачи. Т. 9. ч. 1. Минск, 1992. С. 193-193.103

93. Чарный И. А. О продвижении границы изменения агрегатного состояния при охлаждении и нагревании тел. Изв. АН СССР, ОТН, 1948, № 2, с. 187-202.

94. Chen G. Ballistic-Diffusive Heat-Conduction Equations. // Physical Review Letters. 2001. V. 86. № 11. P. 2297-2300.

95. Corless R.M., Gonnet G.H., Hare D.E., Jeffrey D.J., Knuth D.E. On the Lambert W function. // Advances Computational Maths. 1996. Vol. 5, p. 329-359.

96. Eric W. Weisstein. The CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. -Boca Raton: CRC Press LLC, 1998. P. 1969.

97. Frankel M. L., Roytburd V. Compact attractors for Stefan problem with kinetics. // Elecronic Journal of Differential Equations. 2002. Vol. 2002.

98. Ishikawa M., Noda S., Hirata T. Numerical simulation of ice formation around cylinders in a flow with overlapped grids. // European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering. 2002. P. 13.

99. Valluri S.R., Jeffrey D.J., Corless R.M. Some applications of the Lambert W function to physics. // Canadian J. Physics, 2000. Vol 78, p. 823831.гтт»т ж ттгллттт гт тг>1.LT IT.I.JlWYIVU/riJ'iJI,

100. ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УНИТАРНОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ1. БИЙСКИЙ ОЛЕУМНЫЙ ЗАВОД659315 г.Бийск, Алтайского края

101. Комиссия в составе: зам. главного инженера ФГУП «БОЗ» Левуш-кина Д.А., начальника ТО Жукова А.Н. заведующего кафедрой ИВМ БТИ АлтГТУ Спиридонова Ф.Ф. и аспиранта Сергеева С.А. рассмотрела следующие документы:

102. Диссертацию Сергеева С.А, выполненной по теме: «Математическое моделирование теплопроводности кристаллизации расплавов с движущимися границами»

103. Результаты расчетов в виде распечаток и отображений на экране дисплея.

104. Список опубликованных работ (10 наименований, в том числе свидетельство на полезную модель № 24879 «Шашка-детонатор для промышленного взрывания»).1. Комиссия установила:

105. Доктор физ.-мат. наук, профессор От ФГУП «БОЗ»: Зам.главного инженера, к.т.н. Начальник технологического отдела1. А. Сергеев Ф Ф.Спиридонов1. Д.А. Левушкина Жуков