автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Стохастическое моделирование флуктуационной стадии высокотемпературного блистеринга

Введение

1 Блистеринг и пористость материалов.

1.1 Экспериментальные сведения.

1.2 Основные приближения модели.

1.3 Модель Броуновских частиц в задаче о кластеризации.

2 Стохастическое моделирование блистеринга.

2.1 Модель Броуновской частицы в задаче блистеринга.

2.2 Кинетические уравнения и их стохастические аналоги.

2.3 Связь коэффициентов стохастических дифференциальных уравнений с коэффициентами кинетических уравнений модели.

2.4 Параметры, определяемые в эксперименте.

3 Численный эксперимент, описание и результаты.

3.1 Программный код, блок-схема программы.

3.2 Численная схема.

3.3 Выбор параметров кода.

3.4 Исследование влияния функционал-коэффициентов уравнения.

3.5 Изменение физических параметров эксперимента

Актуальность темы.

В решении актуальных задач физики взаимодействия плазмы с поверхностями твердых тел разработка численных методов и создание программных кодов для их реализации приобретает черты численного эксперимента, который располагает широкими возможностями для моделирования физических процессов в приповерхностном слое материала, облучаемого ионами, и в частности процессов взаимодействия потоков заряженных частиц с кристаллической решеткой твердого тела.

Сложные технологические процессы, реализующиеся, например, в устройствах, в которых плазма граничит с различными поверхностями, требуют понимания физических процессов и возможность предсказывать их последствия. В настоящей работе вычислительный эксперимент использован как метод научного исследования в задаче блистеринга (образование газовых пузырей в приповерхностном слое твердого тела облучаемого ионами плохо растворимого газа). В данном случае компьютерное моделирование физического процесса типа фазового превращения в твердом теле производится на основе фундаментальных законов, управляющих этим процессом. Используется модель броуновского движения, описываемого средствами кинетического вычислительного эксперимента, связанного также с теоретическим аппаратом кинетической теории и моделями Марковских случайных процессов. Все это позволяет изучать явления, исследование которых лабораторным путем затруднено как в связи с малыми пространственно временными масштабами (рассматривается область ~ сотен параметров решетки, глубина от поверхности ~ 10,0 нм, длительность рассмотрения составляет микросекунды), так и с большой стоимостью лабораторных экспериментов. Численный эксперимент можно сравнить с лабораторным экспериментом на качественном уровне. Результаты численного эксперимента могут служить основой для разработки новых теорий блистеринга и проведения лабораторного исследования.

В данной работе представлен численный кинетический код, использующий численные методы из семейства стохастических аналогов физико-химических процессов в неравновесных средах. Исследования направлены на расчет изменения прочностных характеристик материалов в условиях блистеринга, создающего пористый приповерхностный слой. Проведено численное моделирование процесса, сопровождающего внедрение ионов плохо растворимого газа (гелия) в кристаллическую решетку материала. Численная стохастическая модель описывает неравновесную и очень короткую (по разным оценкам Ю-11 10~5 сек) флуктуационную стадию высокотемпературного блистеринга (образования ва-кансионно-газовых пор в кристаллической решетке).

Проблемы накопления гелия в различных материалах, образования ваканси-онно-газовых пор и в том числе образование газовых пузырей — блистеров (блистеринг) в разных материалах неизменно вызывает большой интерес. Известно, что растворимость гелия в металлах чрезвычайно мала, поэтому гелий внедренный в металлы неравновесным путем , например ионной имплантацией, имеет большую тенденцию к образованию гелий-наполненных пор или гелиевых пузырьков (блистеров). Согласно [1] значительное количество гелия образуется практически во всех конструкционных материалах активной зоны атомных реакторов за счет ядерных реакций на быстрых и тепловых нейтронах. По оценкам специалистов, работающих над проблемой УТС, накопление большого количества гелия ожидается в конструкционных материалах термоядерных реакторов. Облучению а частицами подвергаются поверхности солнечных батарей и зеркал для лазерной локации в космосе, что приводит к деградации поверхности и изменению свойств материала. Решение таких актуальных радиационно-тех-нологических проблем как распыление поверхности материалов, находящихся в плазме или под действием ионных потоков, внедрение атомов гелия в решетку таких материалов, ведущее к блистеробразованию и связанному с ним флекингу, а также рост вискаров, образование химических соединений и др., управление возникновением либо подавление этих процессов требуют создания эффективных математических моделей.

У проблемы блистеринга существует и еще один аспект: блистеринг не развивается на пористой среде, которую сам же и формирует в процессе развития. Но на формирование пористой среды требуется время, в течении которого наблюдаются блистеринг и флекинг, изменяется коэффициент распыления поверхности, а также состав пристеночной плазмы и свойства самой поверхности (механические, электрические, оптические и др.), находящейся в потоках плазмы. Причем время, необходимое для образования пористой среды и прекращение блистеринга и флекинга зависит от многих факторов, в том числе от дозы облучения, энергии падающих на поверхность частиц, угла падения, температуры, при которой находится образец и т.д. [2, 1, 3]. Таким образом сам процесс блистеринга можно рассматривать как формирование пористой поверхности. От интенсивности процесса выхода блистеров на поверхность зависит рельеф поверхности, количество отшелушенного материала поверхности, "запыленность" пространства вблизи электрода, прочность материала и особенно его приповерхностного слоя.

Математическое моделирование позволяет диагностировать поведение дефектов в приповерхностном слое и как следствие этого производить диагностику физических свойств самого материала, что также имеет значение для развития нано-технологий.

Состояние вопроса.

Поскольку процесс образования гелиевых пузырьков при облучении поверхности образца приводит к нежелательным изменением свойств материалов (охруп-чивании, изменении оптических, электро-механических, пластических и других свойств), он постоянно изучается с тех пор, как гелиевые пузырьки были обнаружены экспериментально [4, 5, б, 7, 3, 8, 9, 1, 10, 11].

С начала изучения зарождения и развития блистеров проблемам возникновения и подавления этого явления было уделено достаточное внимание, однако среди этих исследований преобладает качественное описание вопроса. Теоретические модели блистеринга начали разрабатываться более 20 лет назад [4, 5, 11, 8, 1, 12, 13, 14, 15, 9, 16], особое внимание было уделено поведению уже сформировавшихся, имеющих большой размер ~ 1 мкм пузырьков и их влиянию на кристаллическую решетку материала. В [8, 1] приведены результаты для плотности гелия в таких пузырьках и давления в них, так по этим оценкам плотность гелия в пузырьках достигает значения ~ 103 1/нм3, а давление ~ Ю10 Па. Авторы [12, 13, 14, 15, 9, 16] разработали упрощенную полу-феноменологи-ческую модель образования блистеров (в частности гелиевых) в твердом теле, основанную на оценке среднего по объему избыточного давления, создаваемого атомами Не при внедрении их в решетку, и предположении, что концентрации Не и вакансий имеют гауссовские распределения по глубине. В работе [17] процесс образования вакансионной поры рассмотрен теоретически, причем учтено заполнение ее газовыми частицами и выведено условие минимума свободной энергии Гиббса при зарождении блистера. Однако, в модели энергии Гиббса не была учтена реакция кристаллической решетки, что было сделано в [7].

К настоящему моменту не существует единой теории, адекватно аппроксимирующей основные закономерности, вытекающие из богатого экспериментального материала и позволяющей прогнозировать процесс зарождения блистеров в различных условиях. В настоящее время особое внимание уделяется блистерингу на углеродосодержащих материалах [18, 19], влиянию лазерного облучения на образование и развитие кластеров [20] и моделированию кластеризации легких примесей при понижении температуры [21, 22, 23]. В работах [21, 22] была создана модель подвижности кластеров в результате прыжковой диффузии легкой примеси с учетом взаимодействия кластеров дефектов между собой и с электронами и фононами кристаллической решетки, изучен вклад подвижности кластеров в низкотемпературный коэффициент диффузии системы легких примесей внедрения: величина этого вклада существенно зависит от параметров потенциала взаимодействия примесей (кластеров дефектов), а немонотонный характер его температурной зависимости связан с изменением формы кластеров, выявлен эффект "вымерзания" одного из нескольких механизмов подвижности. В этих же работах было показано, что в случае разбавленных сплавов внедрения (например, в гидридах переходных металлов) вместо предполагаемого расслоения на фазы с высокой и низкой концентрацией примесей система переходит в метастабильное состояние, характеризующееся наличием большого количества мелких класте-ов. Диффузия примесей в таком состоянии обусловлена диффузией примесей по границе кластера без отрыва от него. Моделирование проводилось методами Монте-Карло.

Образование кластеров дефектов с точки зрения возникновения фазового перехода 1-ого рода было впервые рассмотрено в [24], для чего уравнения математической физики (УМФ) [25, 26], характеризующие флуктуационную стадию фазовых переходов в пространстве {С}, были модифицированы и решены численно методом стохастического аналога [27, 28] в случае конденсации водяного пара [29, 30].

Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ) Ито [31], описывающие эволюцию МП и статистически эквивалентные уравнениям Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК) для моделирования плотности переходной вероятности того же диффузионного МП и уравнения Больцмана для скачкообразных МП были применены при моделировании неравновесных физико-химических процессов в газах и плазме [32, 27, 28] и [33, 34, 35].

Развитие кинетического подхода к исследованию фазовых переходов было предпринято в работе [36], в которой рассматривались Броуновские частицы (БЧ) в связи с явлениями, индуцированными внешними шумами в плазменных и лазерных средах.

В [25] рассматривалось образование капелек воды в пересыщенном паре и было выведено уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК) для распределения зародышей по размерам в одномерном случае, "множитель Зельдовича", хорошо известный в задачах газодинамики конденсирующихся сред.

Для численной модели образования блистеров в твердых телах разработан вычислительный код, основанный на кинетической теории [26] плазмы и использующий теорию разряженного газа [37], а также теорию и практику вычислительного эксперимента в моделировании нелинейной плазмы [38, 39, 40], метод стохастического аналога [28, 27] для численного анализа неравновесных процессов в твердом теле и на его поверхности.

Кинетический подход, развиваемый в [2Б, 26, 36], отличается от методов молекулярной динамики для задач твердого тела, описание модели кластеризации дефектов в твердом теле, развиваемой авторами содержится в работах [41, 24, 42, 43] и согласуется с микродинамикой больших ансамблей частиц в твердом теле [44, 45], развивая модели кинетического уровня описания флуктуационной стадии фазового перехода [26, 32]. Вероятностная интерпретация результатов численного эксперимента отвечает известному в теории твердого тела методу условных статистических распределений [44, 45], но уже для численной оценки состояния среды и в частности для рассмотрения роли кластеров дефектов. Результат применения кинетических моделей позволяет численно определить эволюцию во времени функций распределения (ФР) кластеров по размерам. Численное моделирование неравновесной плазмы [38, 40] в приложении к задачам описания плазмы и твердого тела на кинетическом уровне, может быть объединено со стохастическим моделированием кластеров как модели одного уровня детализации.

Целю работы являются:

1. Построить численную модель высокотемпературного блистеринга в 3-х мерном пространстве кристаллической решетки, изменяющего механические свойства поверхности, находящейся под действием потоков заряженных частиц.

2. Рассмотреть возникновение и эволюцию размера вакансионно-газовых дефектов сферической формы как фазовый переход 1-ого рода на его флуктуационной стадии при заданном потоке вакансий и ионов на поверхность дефекта путем построения стохастической модели блистеринга, используя для этого модель броуновской частицы /БЧ/ с переменной массой, перемещение которой моделируется с учетом дальнодействующего потенциала непрямого взаимодействия блистеров.

3. Создать универсальный эффективный кинетический программный код, позволяющий моделировать развитие и перемещение пузырьков газа в приповерхностном слое материала.

4. Исследовать численно образование в решетке никеля заполненных гелием блистеров — важный для приложения космофизики и управляемого термоядерного синтеза пример развития пористости материала, имеющий значение для понимания процессов, разрушающих (упрочняющих) поверхность материала, помещенного в плазму.

В работе решены следующие задачи:

1. Сформулирована стохастическая модель фазового перехода 1-ого рода на его флуктуационной стадии с использованием метода взаимодействующих броуновских частиц сферической формы и переменной массы, роли которых играют блистеры. При этом в энергии Гиббса учтены не только разности химических потенциалов фаз, поверхностное натяжение на границе пузырька газ-металл, упругая сила реакции решетки, но и вклад расположения кластера внутри решетки. Также учитываются скачкообразные процессы слияния кластеров, возможность гибели блистеров при выходе их на физическую поверхность материала.

2. Проведено математическое моделирование существенно неравновесной флук-туационной стадии высокотемпературного блистеринга, для чего численно решены с использованием метода стохастического аналога квазилинейные уравнения математической физики Фоккера-Планка-Колмогорова /ФПК/ и Крамерса-Смолуховского /ФПКС/ с нелинейными функционал-коэффициентами сноса и диффузии.

3. Модифицирован метод Артемьева для решения систем СДУ с нелинейными коэффициентами.

4. На временах, характерных для флуктуационной стадии блистеринга рассмотрена деградация приповерхностного слоя за счет выхода пузырьков на поверхность и их гибели на ней.

5. Разработаны методики численного анализа характеристик пористости поверхности позволяют определить: одномерные профили функции распределения кластеров дефектов по размерам F(g,t), анализируемые в фиксированных точках решетки для заданных моментов времени t^ti < Гя^ь, Tfmish — время счета; двумерные функции распределения блистеров по размерам и положению в пространстве F(g,r,t), представляющие собой поверхность, на которой линиями равной плотности в разные моменты времени анализируется вероятность обнаружить дефекты, распределенные по размеру в точках г = л/х2 + у2 + z2\ карты линий равной вероятности обнаружения кластеров с данным размером; средние размеры дефектов для рассматриваемой системы, их положение в пространстве, дисперсии этих величин и изменение их с течением времени; напряжения, создаваемые пузырьками в слоях (в каждой точке внутри выбранного объема), среднее значение напряжения в слое; пористость всего образца и его отдельных слоев; б. Разработана стохастическая модель явления и реализован вычислительный код, позволяющие численно исследовать процесс блистеробразования в твердом теле как фазовый переход 1-ого рода на стадии образования зародышей и аналогичным образом возможно численное моделирование таких явлений как: изотермическая кавитация (образование зародышей пузырьков газа в жидкости); кристаллизация паров воды при рассмотрении флуктуационно-го механизма образования регулярных пространственных структур; кластеризация при фазовых превращениях в твердом теле; образование вискаров на поверхности твердого тела; флекинг (отшелушивания крышек блистеров, оказавшихся на поверхности), трещиновидность кристалла; зарождение жидких кластеров в парах металла, возникающих в плазме разряда вблизи металлических поверхностей (заряженных электродов) в результате распыления материала.

Научная новизна.

1. Построена стохастическая модель флуктуационной стадии высокотемпературного блистеринга, позволяющая рассматривать эволюцию размера зародышей блистеров и миграцию их по кристаллической решетке.

2. Проведено математическое моделирование существенно неравновесной флуктуационной стадии высокотемпературного блистеринга, в течение которой формируются зародыши, распределение которых по размерам и положению в пространстве определяет развитие процесса фазового перехода.

3. Модифицирован численный метод Артемьева решения систем СДУ для описания роста/деградации и миграции блистеров по кристаллической решетке.

4. Впервые в практике численного моделирования дефектов в твердом теле получены распределения дефектов по размерам (кинетические функции распределения вакансионно-газовых пор по размерам и глубине нахождения).

5. Разработана методика теоретико-вычислительной оценки макроскопических характеристик материала и дефектов, получаемых в результате реализации вычислительного эксперимента, моделирование блистеринга в слабоанизотропной решетке, которая позволяет рассчитать неравновесные функции распределения дефектов по размерам и положению в пространстве, статистическая обработка которых позволяет анализировать: эволюцию напряжений; изменение пористости с течением времени и в зависимости от параметров эксперимента (температуры образца, дозы облучения, энергии падающих ионов, угла падения ионов на поверхность материала); а также производить оценку среднего размера блистера и дисперсию этой величины в зависимости от параметров численного эксперимента.

Практическая ценность. Теоретическое исследование блистеринга на стадии зародышеобразования позволяет оценить перспективу деградации приповерхностного слоя образца, помещенного в плазму газового разряда и изменение прочностных свойств материала.

Расчеты взаимодействия гелия с металлом типа N1 дают возможность проанализировать характерные особенности образования дефектов типа вакансионно-газовых пор и их миграции, исследовать этот процесс средствами вычислительного эксперимента.

Создание вычислительного кода для решения уравнений математической физики 2-ого порядка в частных производных с функционал-коэффициентами для исследования неравновесных процессов в твердом теле на основе кинетической теории и стохастического моделирования путем решения систем СДУ Ито-Стра-тоновича методом стохастического аналога для модели БЧ с переменной массой.

Предложена методика анализа в численном эксперименте факторов, влияющих на прочностные свойства материалов на флуктуационной стадии.

Кинетический код можно использовать как для моделирования блистеринга в условиях, близких к реальным экспериментам, так и для целей образования (возможность проведения лабораторного практикума для студентов специальностей, имеющих отношение к физике плазмы и/или материаловедению). Физические результаты, описанные в работе могут объяснить поведение конструкционных материалов, находящихся под воздействием ионов плохо растворимых газов, а также служить основой для постановки лабораторных экспериментов.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Разработана ЗЭШ кинетическая модель высокотемпературного блистерин-га Не в кристаллической решетке при постоянном потоке и температуре, основанная на суперпозиции четырех диффузионных Марковских процессов с пространственно-временными масштабами флуктуационно-неустой-чивой стадии развития зародышей блистеров. Модель позволяет оценить математическое ожидание среднего размера дефектов, дисперсию размера, скорость роста блистера, изменение положения блистеров в кристаллической решетке.

2. Разработан нестационарный кинетический код для стохастического моделирования блистеринга, основанный на модификации метода Артемьева для решения систем СДУ Ито-Стратоновича. Получено распределение дефектов по размерам и глубине нахождения — кинетические функции распределения, по которым оценены эволюция напряжений, изменение пористости с течением времени и в зависимости от параметров эксперимента.

3. В результате численных экспериментов выявлены следующие закономерности: блистеры радиусом > ЪА практически не мигрируют по кристаллической решетке; наблюдается слоистая структура приповерхностного слоя; наибольшая пористость наблюдается на глубинах ~ 0.85-Яр и 0.35после достижения блистером радиуса ~ 12А его рост замедляется, что является следствием разрывов связей кристаллической решетки.

Личный вклад автора в получение научных результатов заключается в: в создании кинетического программного кода, основанного на решении систем СДУ для моделирования флуктуационной стадии блистеринга в приповерхностном слое металла, т.е. решении нестационарной четырехмерной задачи ЗБЮ: проведении численных экспериментов направленных на исследование высокотемпературного блистеринга, а также включающих тестирование программ и сравнение с расчетами другими численными методами; внесении существенного вклада в сравнение полученных результатов с особенностями высокотемпературного блистеринга, известными из экспериментов и качественных моделей.

Достоверность и обоснованность научных результатов достигается: использованием численного метода стохастического аналога, опирающегося на строгие математические результаты, полученные ранее (доказательство теорем существования и единственности решения стохастических дифференциальных уравнений); выбором формы Стратоновича уравнения Ито при построении решения систем СДУ; использованием устойчивой алгоритмической схемы решения систем линейных СДУ (метод Артемьева), модифицированной для решения систем СДУ с нелинейными коэффициентами; выбором схемы расщепления по физическим процессам решения многомерной задачи; использованием в качестве аналога задачи о кластеризации дефектов легкой примеси при низких температурах, что позволило использовать опыт адаптации результатов квантово-механических расчетов потенциалов непрямого взаимодействия зародышей блистеров сферической формы; проведением предварительных серий расчетов, иллюстрирующих свойства программного комплекса, а также сравнением тестовых расчетов решения систем СДУ для моделей осцилляторов по методу Артемьева с опубликованными результатами расчетов, проведенных методом Милыптейна; качественным сравнением с экспериментальными данными наблюдения блистеринга.

Апробация работы.

Результаты, включенные в диссертацию, докладывались и обсуждались на Международных научных конференциях "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах" (г. Тверь, 1998; Москва, 2000), Звенигородских конференциях по физике плазмы и УТС (г. Звенигород, 1999, 2000, 2001), Международных конференциях "Взаимодействие ионов с поверхностью" (г. Звенигород, 1999, 2001), Международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях ММТТ-2000" (Санкт-Петербург, 2000), 22nd International Sumposium on Rarefied Gas Dynamics RGD (Sydney, Australia, 2000), XXXIInd IUVSTA (Санкт-Петербург, 2000), Юбилейной 50 Научно-технической конференции МИРЭА (Москва, 2001), "XXV ICPIG International Conference on Phenomena in Ionized Gases" (Nagoya, Japan, 2001 г.), Научной сессии МИФИ-2002 (Москва, 2002).

Публикации. Результаты, включенные в диссертацию, опубликованы в работах [46, 43, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58]

Заключение.

1. Разработана ЗБЮ кинетическая модель высокотемпературного блистерин-га Не в кристаллической решетке при постоянном потоке и температуре, основанная на суперпозиции четырех диффузионных Марковских процессов с пространственно-временными масштабами флуктуационно-неустой-чивой стадии развития зародышей блистеров. Модель позволяет оценить математическое ожидание среднего размера дефектов, дисперсию размера, скорость роста блистера, изменение положения блистеров в кристаллической решетке.

2. Разработан нестационарный кинетический код для стохастического моделирования блистеринга, основанный на модификации метода Артемьева для решения систем СДУ Ито-Стратоновича. Получено распределение дефектов по размерам и глубине нахождения — кинетические функции распределения, по которым оценены эволюция напряжений, изменение пористости с течением времени и в зависимости от параметров эксперимента.

3. В результате численных экспериментов выявлены следующие закономерности: блистеры радиусом > 5А практически не мигрируют по кристаллической решетке; наблюдается слоистая структура приповерхностного слоя; наибольшая пористость наблюдается на глубинах ~ 0.85-Др и 0.35-Яр, после достижения блистером радиуса & 12А его рост замедляется, что является следствием разрывов связей кристаллической решетки.

1. Залужный А.Г., Сокурский Ю.Н, Тебус В.Н. Гелий в реакторных материалах. — Москва: Энергоатомиздат, 1988.

2. Беграмбеков Л. Б. Разрушение поверхности твердых тел при ионном и плазменном облучении. — Москва: МИФИ, 1987.

3. Плешивцев Н.В., Бажин А. И. Вспучивание и шелушение поверхности (бли-стринг и флекинг). — Москва: Вузовская книга, 1998.

4. Ullmaier Н. Introductory remarks, helium in metals // Radiation Effects. — 1983. T. 78. - C. 1-10.

5. Ullmaier H. The influence of helium on the bulk properties of fusion reactor structural materials// Nuclear Fusion. — 1984. — T. 24, № 8. — C. 1039-1083.

6. Михайлова Ю.В., Максимов JI.A. Кинетика образования пор из пересыщенного раствора вакансий// ЖЭТФ. 1970. - Т. 59, № 4(10). - С. 1368-1377.

7. Беграмбеков Л.Б., Горбатов Ю.Б., Тронин В.Н. Исследование блистерооб-разования на оптических материалах. Ионизирующее излучение и лазерные материалы. Л.Б. Беграмбеков и Ю.Н. Девятко, редактор. — Москва: Энергоатомиздат, 1982.

8. В.Н. Тебус. Термодинамика гелиевых пузырьков, давление, плотность и уравнение состояния гелия в пузырьках // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика радиационных повреждений и радиационное материаловедение. 1987. - Т. 4, ДО 42. - С. 14-23.

9. Гусева M.И., Мартыненко Ю.В. Эрозия поверхности материалов при облучении ускоренными частицами // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика радиационных повреждений и радиационное материаловедение: Харьков, ХФТИ. 1984. - Т. 1, № 29. - С. 187-200.

10. Калинин Б.А., Коршунов С.Н., Чернов И.И. Газовая пористость в металлах и сплавах, облученных ионами гелия // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика радиационных повреждений и радиационное материаловедение. 1987. - Т. 4, № 42. - С. 3-13.

11. Wilson W.D. Theory of small clusters of hélium in metals // Radiation Effects. — 1983. T. 78. - C. 11-24.

12. Гусева M.И., Мартыненко Ю.В. Радиационный блистринг // Успехи физических наук. 1981. - Т. 135, № 4. - С. 671-691.

13. Гусева М.И., Мартыненко Ю.В., Рыбалко В.Ф. Поверхностные эффекты при облучении// Вопросы атомной науки и техники. Серия: Физика радиационных повреждений и радиационное материаловедение: Харьков, ХФТИ. — 1981. Т. 4, № 18. - С. 35-48.

14. Мартыненко Ю.В., Рязанов А.И., Фирсов О.Б., Явлинский Ю.Н. Взаимодействие атомных частиц с твердым телом // Вопросы теории плазмы. Москва, Энергоатомиздат. 1982. - Т. 12. - С. 205-266.

15. Мартыненко Ю.В. Взаимодействие плазмы с поверхностями// Итоги науки и техники. Серия: Физика плазмы. — 1982. — Т. 3. — С. 119-175.

16. Мартыненко Ю.В. Теория блистринга, препринт ИАЭ-3145. — Москва: ИАЭ им. И,В,Курчатова, 1979.

17. Гайков A.JI. Кинетика зарождения вакансионно-газовых пор// Физика твердого тела. 1991. - Т. 33, № 6. - С. 1860-1864.

18. АоЫ Т., Seki Т., Matsuo J., Fnsepov Z., Yamada I. Cluster size dependence of the impact process on carbon substrate // Beam interactions with materials and atoms. June 1999. - T. 153, № 1-4.

19. Webb R, Kerford M., Way A., Wilson I. Comparison of gold and carbon cluster impacts on graphite using molecular dynamics simulation // Beam interactions with materials and atoms. — June 1999. — T. 153, № 1-4.

20. Han M., Kiyama S., Muto M., Fukuda A., Sawada Т., Iwata Y. Cluster formation dynamics in a locally-confined gas layer mixed with the plume ablated by pulsed laser irradiation // Beam interactions with materials and atoms. — June 1999. T. 153, № 1-4.

21. Морозов А.И., Овченков П.А., Сигов А.С. Взаимодействие дефектов в кристалле и процессы кластеризации. Дискретное моделирование плазмы. Ю.С. Сигов, редактор. — Москва: ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР, 1990. Сборник научных трудов.

22. Берзин А.А., Морозов А.И., Сигов А.С. Диффузия легких атомов на поверхности кристалла и процессы кластеризации // ФТТ. — 1996. — Т. 38, № 5. С. 1349-1356.

23. Берзин A.A., Морозов А.И., Сигов A.C. Изменение спектра 12шума в металлах при кластеризации легких примесей внедрения. Труды 4-ой международной конференции по математическому моделированию. — том I. — С. 11-18. Москва: СТАНКИН, 2001.

24. Змиевская Г.И., Зиньковская Т.В. Численная модель кластеризации дефектов на поверхности металла. Материалы XII Межд. конф."Взаимодействие ионов с поверхностью", 5-8 сентября 1995 г. — том 1. — С. 89-92. — Звенигород: Изд-во МАИ, 1995.

25. Зельдович Я.Б. К теории образования новой фазы, кавитация // ЖЭТФ. — 1942. Т. 12, № 11-12. - С. 525-538.

26. Лифшиц Е.М., Питаевский JJ.Il. Физическая кинетика (серия "Теоретическая физика" т. 10). — М.: Наука, 1979.

27. Змиевская Г. И. Численные стохастические модели неравновесных процессов // Математическое моделирование. — 1996. — Т. 8, 11. — С. 3-40.

28. Змиевская Г. И. Стохастические аналоги неравновесных столкновительных процессов// Физика плазмы, .№4. — 1997. — Т. 23.

29. Змиевская Г.И., Зиньковская Т.В. Численная модель образования кластеров // Доклады АН СССР. 1989. - Т. 309, ДО 2. - С. 301-305.

30. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, том 2. — М.: Мир, 1984.

31. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем. — Москва: ТОО "Янус", 1995.

32. Zmievskaya G.I. Stochastic computer simulation of nonequilibrium media. Dynamics of Transport in Plasmas and Charged Beams. G. Maino, M. Ottaviani, Eds. C. 84-98. — Singapore-London: World Scientific Publishing Co, 1996.

33. Gribhov V.A., Zmievskaya G.I. Kinetic processes within the imploding laser produced plasma with multi-stripped ions and its stochastic simulation. Rarefied Gas Dynamics. A.E.Beylich, Ed. C. 469-478. - Wienheim: VCH Verlagsgesellschaft mbH, 1991.

34. Zmievskaya G.I. — Rarefied Gas Dynamics,AIAA. B.D. Shizgal, D.P. Weaver, Eds. Washington,DC. 1994. - volume 159. - C. 371-383.

35. Девятко Ю.Н., Тропин B.H. Неравновесный фазовый переход в системе взаимодействующих броуновских частиц// Доклады АН СССР, N1. — 1989. — Т. 309, № 1. С. 85-88.

36. Валапдер С.В., Нагнибеда Е.А., Рыдалевская М.А. Некоторые вопросы кинетической теории химически реагирующей смеси газов. — JL: Изд.-во ЛГУ, 1977.

37. Сигов Ю.С. Численные методы кинетической теории плазмы. — М.: изд. МФТИ, 1984.

38. Hockney R.W., Eastwood J.W. Computer simulation using particles. — N.Y.: McGraw-Hill, 1981.

39. Ю.С. Сигов, редактор. Дискретное моделирование плазмы. — Москва: ИПМ им.М.В.Келдыша АН СССР, 1990. Сборник научных трудов, ред. Ю.С.Сигов.

40. Zmievskaya G.I., Zin'kovskaya T.V., Premuda F. Defect clusterization model as a computer simulation method of fluctuation phenomena, preprint no. 134. — Moscow: Keldysh Inst, of Applied Math. RAS, 1995.

41. Змиевская Г.И., Зинъковская Т.В. Численная модель кластеризации дефектов на поверхности металла. Материалы XIII Межд. конф."Взаимодействие ионов с поверхностью", 5-8 сентября 1997 г. — том 2. — С. 297-300. — Звенигород: Изд-во МАИ, 1997.

42. Бондарева А.Л., Змиевская Г.И. Численное моделирование уравнений Эйнштейна-Фоккера, препринт N 101. — Москва: ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 1997.

43. Брук-Левинсон Э.Т. Статистическая теория реальных кристаллов. — Минск: Высшая Школа, 1989.

44. Pomm Л.А. Статистическая теория молекулярных систем. — Москва: , 1979.

45. Змиевская Г.И., Бондарева А.Л. Стохастические модели кластеризации дефектов твердого тела, препринт N102. — Москва: ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 1997.

46. Бондарева А.Л., Змиевскал Г. И. Образование кластеров на флуктуацион-ной стадии фазового перехода, препринт №73 ИПМ им. Келдыша РАН. — Москва: ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 1998.

47. Бондарева A.JI., Змиевскал Г.И. Стохастическое рассмотрение флуктуаци-онной стадии блистеробразования в твердом теле. Материалы 14 международной конференции "Взаимодействие ионов с поверхностью. ВИП-14". — С. 131-135. Звенигород: Изд-во МАИ, 1999.

48. Бондарева А.Л., Змиевскал Г.И. Численная модель образования гелиевых блистеров при воздействии плазменных потоков на поверхность твердого тела// Прикладная физика. — 2000. Т. 3. - С. 122-137.

49. Bondareva A.L., Zmievskaya G.I. Using of stochastic analog method for simulation of fluctuation stage of blistring. 32nd IUVSTA Workshop on gassurfase interaction, Abstracts of papers. — C. 17. — , 25-29 September 2000.

50. Бондарева A.JI., Змиевская Г.И. Исследование изменения свойств никеля при блистринге методом стохастического моделирования // Прикладная физика. 2001. - Т. 3. - С. 48-57.

51. Bondareva A.L., Zmievskaya G.I. Stochastic model for fluctuation stage of blistering. Proceeding. XXV ICPIG (International Conference on Phenomena in Ionized Gases. July 17-22, 2001 Nagoya, Japan, Vol.3. C. 187-188. -Nagoya, Japan: , 2001.

52. Бондарева А.Л., Змиевская Г.И. Исследование влияния флуктуационной стадии высокотемпературного блистринга на свойства облучаемого материала. Научная сессия МИФИ-2002. Сборник научных трудов. — том 4, С. 72-73. С. 72-73. - Москва: МИФИ, 2002.

53. Бондарева A.JI., Змиевская Г.И. Исследование изменения свойств поверхности в результате высокотемпературного блистеринга методом стохастического моделирования // Известия Академии Наук. Серия физическая. — 2002. Т. 66, № 7. - С. 994-997.

54. Frenkel J. Kinetic theory of liquids. — , 1955.

55. Hanggi P., Talkner P., Borkovec M. Reaction-rate theory: fifty years after kramers // Reviews of Modern Physics. — April 1990. — T. 62.

56. Паташинский A.3., Покровский В.Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. — Москва: Наука, 1985.

57. Бондарева A.JI., Змиевская Г.И. Образование блистеров и деградация свойств поверхности, облучаемой ионами. Тезисы докладов XXVII Звенигородской конференции по физике плазмы и УТС 21-25 февраля 2000г. — С. 194. Звенигород: ПлазмаИОФАН, 2000.

58. Бондарева А.Л. Рассмотрение флуктуационной стадии блистринга с точки зрения стохастического моделирования. Тезисы докладов Юбилейной 50 Научно-технической конференции МИРЭА, 10-18 мая 2001. — С. 47-48. — Москва: МИРЭА, 2001.

59. Шематович В.И., Змиевская Г.И., Пярнпуу A.A. Стохастическое моделирование однородно расширяющихся разреженных газов // Доклады АН СССР. 1982. - Т. 266, № 3. - С. 573-576.

60. Скороход A.B. Стохастические уравнения для сложных систем. — Москва: Наука, 1983.

61. Белополъская Я. И. Статистические методы построения численных решений кинетических уравнений. "Процессы переноса теплоты". — Киев: Наукова думка, 1985.

62. Пярнпуу A.A., Шематович В.И., Змиевская Г.И. Построение конструктивного физико-вероятностного аналога столкновительных процессов в разреженном газе// Доклады АН СССР. 1981. - Т. 258, № 4. - С. 815-819.

63. Сигов Ю.С. Вычислительный эксперимент: мост между прошлым и будущим физики плазмы. Избранные труды. — Москва: Физматлит, 2001.

64. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. — Москва: Наука, 1985.

65. Kloeden P.E., Platen Е., Schurz Н. Numerical Solution of SDE through Computer Experiment. — Berlin: Springer-Ver lag, 1994.

66. Королюк B.C., Портенко Н.И., Скороход A.B., Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — Москва: Наука, 1985.

67. Яненко H.H. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. — Новосибирск: Наука, 1967.

68. Марчук Г.И. Методы расщепления. — Москва: Наука, 1988.

69. Levchenko V.D., Sigov Yu.S. Object-oriented plasma model (code SUR). Dynamics of Transport in Plasmas and Charged Beams. G. Maino, M. Ottaviani, Eds. — Singapore-London: World Scientific, 1996.

70. Милъштейн Г. H. Численное интегрирование СДУ. — Свердловск: Издательство Свердловского Университета, 1988.

71. Аверина Т.А., Артемьев С.С. Новое семейство численных методов решения стохастических дифференциальных уравнений// Доклады АН СССР. — 1986. Т. 288, № 4. - С. 777-780.

72. Артемьев С. С. Статистическое моделирование некоторых двумерных диффузионных процессов. Теория и приложения статистического моделирования. Михайлов Г.А., редактор. — С. 107-123. — Новосибирск: Вычислительный Центр, СО АН СССР, 1988.

73. Артемьев С. С. Численное решение задачи Коши для систем обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений. — Новосибирск: Вычислительный Центр, СО АН СССР, 1991. Автореферат диссертации на соискание ученой степени д.ф-м.н.

74. Артемьев С. С. Сравнение некоторых методов решения стохастических дифференциальных уравнений. Препринт N474. — Вычислительный центр: СО АН СССР, 1984.

75. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. — М.: Наука, 1985.

76. Штурко И. О. Численное решение линейных систем стохастических дифференциальных уравнений. Численные методы статистического моделирования. Г.А. Михайлов, редактор. — Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1987.