автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование кинетики сталкивающихся частиц

I На правах рукописи

| Уда 519.6

ОСЕЦКИЙ Дмитрий Юрьевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КИНЕТИКИ СТАЛКИВАЮЩИХСЯ ЧАСТИЦ.

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Москва-2006

Работа выполнена в Обнинском государственном техническом университете атомной энергетики (ИАТЭ)

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор Галкин Валерий Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Андросенко Петр Александрович

кандидат физико-математических наук Волошин Сергей Александрович

Ведущая организация Московский Государственный

Университет им. М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра математики

Защита состоится " "_ 2006 г. в _ на заседании

диссертационного совета К 002.058.01 в Институте математического моделирования РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН. Автореферат разослан " "_ 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Н. Г. Прончева

2006 А

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы

Актуальность темы диссертационной работы определяется необходимостью тестирования и обоснования прямого имитационного моделирования для решения задач, связанных с процессами переноса вещества в системах сталкивающихся частиц, установления связи прямого моделирования с уравнениями Больцмана и Смолуховского.

Интерес к системам сталкивающихся частиц обусловлен исследованиями в авиационной и космической технике, вакуумной технике, химической технологии. Уравнения гидро- и газовой динамики обладают уникальной универсальностью в том смысле, что они описывают основные физические процессы большинства современных технологий и экологических проблем от производства элементной базы микроэлектронной промышленности до переноса токсических компонентов воздушными потоками. Потребность в гидро- и газодинамических расчетах возрастает еще и потому, что по мере развития численных методов и бурного прогресса вычислительной техники увеличиваются возможности математического моделирования газодинамических процессов, и как следствие рост доверия инженеров и конструкторов к результатам вычислительного эксперимента.

Интерес к процессу коагуляции обусловлен исследованиями в метеорологии, экологии, астрономии, теории реакторов на быстрых нейтронах. Напрямую с явлениями коагуляции связаны процессы роста трещин в структуре материалов за счет их взаимных пересечений. Это имеет прямое отношение к задачам динамики разрушения деталей. Процессы коагуляции лежат в основе явлений полимеризации, створаживания, свертываемости крови.

Важность прямого имитационного математического моделирования для расчета систем сталкивающихся частиц обусловлена тем, что необходимо иметь соответствие между решениями уравнения Больцмана и распределением частиц в реальных физических системах. Возможно проведение сравнительного анализа результатов имитационного моделирования с точными решениями и решениями, полученными с помощью разностных схем. При этом большое значение имеют правила подготовки спектров имитанивнного моделирования для последующего сравнения с точны

-И*!

В настоящее время найдены точные решения уравнения Больцмана для сравнительно простых случаев малых градиентов температуры, скорости и концентраций в газе. Существуют ситуации, когда уравнение Смолуховского не имеет классического решения. Поэтому прямое имитационное моделирование процессов коагуляции имеет большое прикладное значение. Быстрый рост производительности вычислительной техники, использование многопроцессорных вычислительных систем делают реальной возможность детального моделирования газодинамических потоков.

Объектом исследования диссертационной работы являются сложные системы взаимодействующих между собой частиц в процессе их движения.

Предметом исследования являются кинетические системы, численные и имитационные методы моделирования процессов переноса вещества в дисперсных системах.

Целью работы является разработка алгоритмов, реализация программного обеспечения и проведение вычислительных экспериментов прямого имитационного моделирования систем сталкивающихся частиц для специального случая одноатомного больцмановского газа и случая пространственно неоднородной коагуляции дисперсных систем.

В рамках исследуемой проблемы следует выделить основные задачи:

1. Разработка, реализация алгоритма прямого моделирования и создание программного обеспечения для расчета специального случая больцмановского газа, приводящего к пространственно однородному уравнению Смолуховского.

2. Разработка, реализация алгоритма прямого моделирования и создание программного обеспечения для расчета пространственно неоднородной коагуляции частиц, описываемой уравнением Смолуховского.

3. Исследование пределов аппроксимации прямого имитационного моделирования для решения нелинейных кинетических уравнений типа Больцмана.

4. Обоснование и сравнение точности тестовых расчетов результатов имитационного моделирования процесса парной коагуляции с точными решениями.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Впервые проведено детальное сравнение спектров распределения молекул газа по кинетическим энергиям с точными решениями пространственно однородного уравнения Смолуховского и решениями, полученными с помощью разностных схем.

2. Проведено детальное сравнение спектров распределения частиц по массам с точными аналитическими решениями пространственно неоднородного уравнения Смолуховского и решениями, полученными с помощью разностных схем для широкого класса интенсивностей взаимодействия частиц и начальных данных.

3. Исследована новая математическая модель больцмановского газа, основанная на применении метода прямого имитационного моделирования.

4. Создан алгоритм и программное обеспечение для моделирования поведения специального случая одноатомного больцмановского газа, в котором молекулы представляют собой твердые сферы, и парные соударения молекул происходят под прямым углом.

5. Обоснована математическая корректность исследуемой модели больцмановского газа, приводящей к модели парной коагуляции кинетических энергий соударяющихся частиц.

6. Исследована новая математическая модель пространственно неоднородной коагуляции без источника при наличии дисперсии скоростей свободного переноса частиц, основанная на применении метода прямого имитационного моделирования.

7. Создан алгоритм и программное обеспечение для прямого имитационного моделирования процесса пространственно неоднородной парной коагуляции без источника.

Практическая значимость работы состоит в следующем:

1. Проведено детальное сравнение спектров распределения частиц по кинетическим энергиям и массам с точными решениями уравнения Смолуховского и численными решениями, полученными с помощью разностных схем. Это дает более точное

и глубокое понимание смысла решения уравнения Смолуховского для пространственно однородной и неоднородной модели.

2. Реализованная имитационная модель больцмановского газа может быть применена для моделирования динамики облаков, распределения пор и газовых пузырьков в твердом теле.

3. Алгоритм прямого имитационного моделирования пространственно неоднородной коагуляции и программное обеспечение может быть использовано для моделирования роста трещин в структуре материалов, моделирования роста кристаллов.

Достоверность научных положений, выводов

Научные положения и выводы, сформулированные в диссертации, обоснованы теоретическими решениями и экспериментальными данными, полученными в работе, не противоречат известным положениям физико-математических наук, базируются на сравнительном анализе результатов вычислительного эксперимента. Достоверность результатов обусловлена проведением тестирования вычислительного эксперимента на основе сравнительного анализа с точными решениями и физическим экспериментом.

Основные положения, выдвинутые автором на защиту

1. Проведение вычислительного эксперимента на основе имитационной модели поведения больцмановского газа для одноуровневого и многоуровневого взаимодействия частиц. Проведение детального сравнительного анализа полученных результатов.

2. Проведение вычислительного эксперимента на основе прямого имитационного моделирования процесса пространственно неоднородной парной коагуляции без источника для широкого класса интенсивностей взаимодействия частиц и начальных данных. Проведение детального сравнительного анализа полученных результатов.

3. Алгоритм и программная реализация на ЭВМ прямого имитационного моделирования специального случая больцмановского газа, приводящего к пространственно однородному уравнению Смолуховского.

4. Алгоритм и программная реализация на ЭВМ прямого имитационного моделирования процесса парной коагуляции в пространственно неоднородном случае без источника.

Личный вклад автора

Наиболее существенными научными результатами, полученными лично соискателем, являются:

1. Вычислительный эксперимент по отысканию связи результатов прямого моделирования с аналитическими и численными решениями уравнения Больцмана для специальной модели разреженного газа в случае одноуровневого и многоуровневого взаимодействия молекул.

2. Вычислительный эксперимент по отысканию связи результатов прямого моделирования с аналитическими и численными решениями пространственно неоднородного уравнения Смолуховского для широкого класса интенсивностей взаимодействия и начальных данных.

3. Детальный сравнительный анализ полученных результатов с точными решениями уравнения Смолуховского.

4. Алгоритм прямого имитационного моделирования и программная реализация на ЭВМ математической модели специального случая больцмановского газа, приводящего к коагуляции кинетических энергий соударяющихся частиц.

5. Алгоритм прямого имитационного моделирования и программная реализация на ЭВМ процесса пространственно неоднородной коагуляции в дисперсных системах без источника частиц.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Работа изложена на 95 страницах, в том числе основного текста 91 страница, 13 рисунков, список литературы из 50 наименований на 3 страницах.

Краткое содержание диссертации

Во введении отражена актуальность математического моделирования кинетики сталкивающихся частиц и разработки алгоритмов прямого имитационного моделирования.

Сформулированы цели работы, научная новизна и практическая значимость. Представлены положения, выносимые автором на защиту.

Первая глава посвящена исследованию существующего состояния вопросов, связанных с темой диссертации по математическому моделированию кинетики сталкивающихся частиц.

Рассмотрено уравнение больцмановского типа, описывающее состояние системы сталкивающихся частиц. Рассмотрено уравнение Смолуховского, которое является основой для математического исследования процесса коагуляции. Рассмотрены операторы столкновения в случае дискретных и непрерывных масс для уравнения Смолуховского.

Рассмотрены области применения имитационного моделирования, основанного на методе Монте-Карло, для исследования физических задач.

Описано существующее состояние исследований в области имитационных методов решения уравнения больцмановского типа и, в частности, метода прямого имитационного моделирования, которому посвящена диссертационная работа. Дана краткая историческая справка существующим методам имитационного моделирования, указаны слабые и сильные стороны методов, проведен анализ публикаций. Особо отмечено, что к настоящему времени строгого математического обоснования связи метода прямого моделирования с уравнением Больцмана не получено.

Во второй главе рассматривается особая модель разреженного газа, состоящего из твердых сфер, столкновения между которыми подчинены законам абсолютно упругого взаимодействия. В рассматриваемой модели предполагается, что соударения частиц возможны лишь в том случае, когда ненулевые векторы скоростей налетающих частиц ориентированы ортогонально друг другу.

Физические системы, состоящие из статистически большого количества сталкивающихся в процессе движения элементов, описываются пространственно неоднородным уравнением больцмановского типа:

д( (1) ¿уеО, /е/?,+, геДдг,

где подлежащая отысканию функция описывает состояние

физической системы в момент времени / > 0 в точках с пространственными координатами - = (г1,. Множество параметров {т} = П описывают возможные состояния элементов физической системы. В уравнении (1) мы полагаем, что неотрицательная величина <о - это кинетическая энергия частицы

системы. Величины о^ е /?д,- определяют скорость движения элементов физической системы между столкновениями, т.е. скорость свободного переноса.

При построении математической модели процесса соударений частиц на систему налагают следующие предположения физического характера:

1. система состоит из твердых сфер, испытывающих абсолютно упругие столкновения;

2. физическая система настолько разрежена, что можно рассматривать лишь парные взаимодействия, а более высокого порядка взаимодействиями пренебречь;

3. частицы физической системы образуют локально хаотическое множество.

Пусть в объеме У( М) рассматривается система из N частиц, имеющих значения кинетической энергии во множестве неотрицательных чисел. Занумеруем частицы натуральными числами и будем рассматривать пространственно однородную модель, тогда состояние системы в момент времени *>0 полностью задается вектором скоростей частиц й = (61,62,...,

Будем рассматривать только те столкновения, для которых векторы соударяющихся частиц ориентированы ортогонально друг другу. Будем полагать, что вектор <7 (единичный вектор, направленный вдоль линии, соединяющей центры сфер в момент столкновения) в момент соударения сонаправлен с одним из векторов скоростей налетающих частиц. Таким образом, учитывая сделанные предположения относительно сталкивающихся частиц, получим, что в рассматриваемой модели каждый акт взаимодействия приводит к тому, что одна из частиц, участвующая во взаимодействии, останавливается и теряет свою кинетическую энергию, а другая -

приобретает суммарную кинетическую энергию налетающих частиц и продолжает свое движение. Следовательно, мы имеем полную аналогию с явлением коагуляции (слияние масс), только в нашем случае речь идет о коагуляции частиц в смысле коагуляции кинетических энергий этих частиц.

Далее в главе приводится схема моделирования явления путем случайного розыгрыша (метод Монте-Карло).

Пусть V(N) = N е N. Положим, что каждой частице присвоен номер / (1 < / < N) и она имеет в момент времени t > О кинетическую

энергию /и,- e Z+. Таким образом, кинетическая энергия системы из N частиц задается вектором m(t) = (mj(/),/»2(')>-,«.v(i)) e Z^. Определение. Назовем коагуляцией пары частиц с номерами i и j (\<i<j<N) в системе из N частиц, находящейся в состоянии

m(t) = (mi(t),m2(t),...,m^(i)) 6 z^, преобразование

Ajj :тнм' = Aij (m)eZ^ такое, что т^ н-> т^, если к Ф /, j, и ю,- m,- + rrij, mj i-» 0.

Очевидно, для каждого преобразования Ajj выполнен закон сохранения кинетической энергии

N N ,

Ътк =Лтк ■ к=1 к=\

Паре сталкивающихся частиц с номерами i,j(i<j) в рассматриваемой системе взаимно однозначно сопоставим подстановку

(U 2,...,/-1, /, г +1, ...J-l, j, j+l, ,J 2,..., i -1, J, i +1,... J -1, i, j +1,..., N j'

множество которых обозначим Очевидно, card(S2{N)) = C^.

Пусть пара сталкивающихся частиц разыгрывается в каждый момент

времени = иг, г > 0, на основе независимого выбора одной из подстановок я s S2(N) с вероятностью

CN

Тем самым в рассматриваемой системе из N частиц моделируется хаос, приводящий к парным столкновениям частиц. Пусть в каждый момент времени tn = пт, т > 0, рассматриваются независимые случайные величины л-(/), принимающие значения на S2(N). Запись n{t) = ni j означает, что в момент времени сталкиваются частицы с номерами i<j. Положим A(n{t)) = A,j, если л(/) = nh} ; обозначим

- тождественное преобразование. Определим случайную величину 77,у, i<j, принимающую два значения - 0 и 1, где 1 означает

коагуляцию сталкивающихся частиц с номерами i<j, а 0 -отсутствие коагуляции этих частиц.

Положим, что вероятность столкновения частицы энергии к с частицей энергии / равна t(AT)(JV/ < 1, где функция Ф^/

называется интенсивностью.

В главе доказывается теорема о сходимости результатов алгоритма моделирования к точным решениям. Тестируется сходимость результатов вычислительного эксперимента к точным решениям уравнения Смолуховского и решениям, полученным с помощью разностных схем. Вычислительный эксперимент демонстрирует сходимость результатов моделирования к аналитическим решениям и решениям, полученным с помощью разностных схем (рис. 1).

0.24 0.22 0.20 0.18 0.16 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0

0.0025 1.0 1.8 2.5 3.2 4.0 4.8 5.5 6.2 7Л 7.8 8.5 9.2

Рис. 1. Графики, отражающие зависимость концентрации частиц с кинетической энергией 2 (и2 (/)) от времени для ядра Ф^ = 1.

— Разностная схема, — Вычислительный эксперимент

Глава 3 посвящена сходимости метода непосредственного моделирования к решениям пространственно неоднородного уравнения коагуляции Смолуховского. Приводится схема моделирования явления, основанная на прямом случайном розыгрыше (метод Монте-Карло) физического процесса на уровне отдельных частиц.

Пусть в начальный момент времени / > 0 рассматривается система из N частиц, находящихся на отрезке [0, ¿] е Д]. Положим, что каждой частице присвоен номер /(!</< Л^), и она имеет в момент времени

/ > 0, находясь в точке дг, > О одномерного пространства X е [О, Ц,

массу «, (/) е г+ и скорость и(/и,(0) е 2+.

Пусть ит[п=тгаи/,1е1..Л. Выберем шаг по пространству А и шаг по времени г, исходя из следующих соображений. Положим, что вероятность коагуляции частицы массы к с частицей массы / равна Р = ®к,1т > гДе функция Фщ является интенсивностью коагуляции и

подчиняется условию

%,/ = Ф/,^0, к,1е2+ Ф*,/=0, *>Л/.

Разобьем координатное пространство X на интервалы (ячейки)

~1

длины И каждый. Таким образом, получим

интервалов, где

О < к < Ь < сс представляет область, в которой происходит розыгрыш случайного взаимодействия частиц. В каждый из интервалов положим

0<^<[м]Де 1,..., — частиц ненулевой массы, причем в

I. _и

Ш

начальный момент времени / = 0 справедливо равенство: = N ■

к= 1

Дополним каждый из интервалов покоящимися частицами с нулевой массой так, чтобы в каждом из интервалов было [Л7г] частиц.

Алгоритм пространственно неоднородной коагуляции организуем с учетом свободного переноса частиц и будем проводить по следующей схеме.

А

В каждой из ячеек разыгрываем

столкновении по алгоритму

пространственно однородной коагуляции лишь с теми отличиями, что вероятность слияния пары частиц определяется формулой Р = Ф^г, а

выборка очередной пары осуществляется с вероятностью

Л* = =

1Щ

Пространственный перенос частиц после очередного розыгрыша по всем ячейкам подчиним преобразованию х'^ = х^ + и^ т, ; е , где

хк, > ик, ~~ координата и скорость соответственно / -й частицы в к -й

ячейке пространства Ь. Концентрации «/(/,*) частиц массы

от/ е [1,..., М] вычислим по формуле

и/(*,*) =

Ж.

[МИ]'

где А'/ - количество частиц массы /и/ в момент времени ¡ = д

в ячейке с координатой х- рИ,р&2+.

Для случая пространственно неоднородной коагуляции демонстрируется сходимость результатов имитационного алгоритма к точным решениям уравнения Смолуховского и приближенным решениям, полученным с помощью разностных схем для различных ядер взаимодействий, начальных условий и скоростей свободного переноса.

В тестовом примере значения скоростей переноса положим и, = /, где / = 1,2. Тогда задача Коши для уравнения Смолуховского имеет следующий вид:

+ = " 2Ф12"1"2, ^Г + 2 ^Г = Ф" 2Ф,'2И1"2 " 2Ф2,2«2'

/ > О, < 00.

(2)

Ядро взаимодействия Ф,^ и начальные условия задаем следующими соотношениями:

фц = 1, Ф12 = Ф2Д = О, ^(х)=в(х)в(1-х), < со, Р2(х) = 0, |дс|<оо.

На (рис. 2-3) сопоставлены графики аналитических выражений и результатов прямого численного эксперимента для задачи Коши (2), (3).

Рис. 2. Графики, отражающие зависимость концентрации частиц массы 2 («2(*)) ПРИ 1 - 0 5 Для задачи Коши (2), (3). — Аналитическое решение, +++ Вычислительный эксперимент.

Рис. 3. Графики, отражающие зависимость концентрации частиц массы 2 («2(0) при * = 1 для задачи Коши (2), (3). — Аналитическое решение, +++ Вычислительный эксперимент.

В заключении представлены основные результаты проделанной

работы.

1. Исследована новая математическая модель больцмановского газа, приводящая к уравнению Смолуховского пространственно однородной коагуляции. Рассмотрен переход от уравнения больцмановского типа к уравнению коагуляции кинетических энергий сталкивающихся молекул. Разработан алгоритм прямого имитационного для моделирования процесса столкновений молекул разреженного газа. Создана и протестирована компьютерная программа на ЭВМ для алгоритма прямого имитационного моделирования. Реализованная математическая модель парного столкновения частиц больцмановского газа может быть применена для моделирования динамики облаков,

распределения пор и газовых пузырьков в твердом теле, а также для имитационного моделирования роста кристаллов.

2. Проведен вычислительный эксперимент на основе имитационной модели процесса коагуляции кинетических энергий молекул больцмановского газа при наличии одного или нескольких энергетических уровней. Выведена формула для коэффициента сокращения фазового объема, которая играет важную роль в определении начального распределения молекул по энергетическим уровням.

3. Впервые проведено детальное сравнение спектров распределения частиц по кинетическим энергиям с точными решениями уравнения Смолуховского и решениями, полученными с помощью разностных схем. Сравнительный анализ дает более точное понимание смысла функции - решения в уравнении Смолуховского.

4. Исследована математическая модель процесса пространственно неоднородной коагуляции в дисперсных системах, в основе которой лежит пространственно неоднородное уравнение коагуляции Смолуховского для дискретных масс.

5. Разработан алгоритм прямого имитационного моделирования процесса пространственно неоднородной коагуляции в дисперсных системах. Создана и протестирована вычислительная программа на ЭВМ на основе предложенного алгоритма.

6. Для задачи Коши в случае пространственно неоднородного уравнения коагуляции Смолуховского выведены аналитические решения и получены численные решения с помощью разностных схем для широкого класса интенсивностей и различных начальных условий.

7. Проведено детальное сравнение спектров распределения частиц по массам, полученных с помощью алгоритма и вычислительной программы прямого имитационного моделирования, с аналитическими и численными решениями задач Коши для широкого класса интенсивностей взаимодействия частиц. Сравнительный анализ дает более точное и глубокое понимание смысла функции - решения в пространственно неоднородном уравнении Смолуховского.

8. Разработанный алгоритм прямого имитационного моделирования и вычислительная программа на ЭВМ могут быть использованы

для математического моделирования роста трещин в структуре материалов, моделирования роста кристаллов.

Апробация результатов работы

Результаты исследований были представлены автором на следующих международных конференциях и семинарах:

1. 8-я Международная конференция «Безопасность АЭС и подготовка кадров», г. Обнинск, 6-8 октября 2003 г.

2. Международная конференция «Математическое моделирование и высокопроизводительные вычисления», г. Обнинск, 28 - 30 января

2004 г.

3. 6-й Международный конгресс по математическому моделированию, г. Нижний Новгород, 20-26 сентября 2004 г.

4. 2-я международная конференция «Математические идеи П. Л. Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания», г. Обнинск, 26-29 ноября, 2004 г.

5. 8-й Международный семинар «Структурные основы модифицирования материалов методами нетрадиционных технологий (МНТ-УШ)», г. Обнинск, 14-18 июня 2005 г.

6. 6-я Международная конференция «Рост монокристаллов и тепломассоперенос (ГСБС 2005)», г. Обнинск, 25-30 сентября

2005 г.

7. 9-я Международная конференция «Безопасность АЭС и подготовка кадров», г. Обнинск, 24-28 октября 2005 г.

По теме диссертации опубликованы следующие работы

1. Галкин В. А., Осецкий Д. Ю. Случай больцмановского газа, приводящий к уравнению коагуляции Смолуховского // ЖВМ и МФ, 2006, Т. 46, №3, С. 535-547.

2. Галкин В. А., Осецкий Д. Ю. Математическое моделирование кинетики коагуляции // Математическое моделирование, 2006, Т. 18, №1, С. 99-117.

3. Галкин В. А., Забудько М. А., Осецкий Д. Ю., Рыжиков Д. А., Галкина И. В. Математическое моделирование процессов роста агломератов // Труды регионального конкурса научных проектов в области естественных наук, 2005, Вып. 8, С. 31-35.

4. Галкин В. А., Осецкий Д. Ю. Математическое моделирование кинетики пространственно неоднородной коагуляции // Сборник трудов 6-й Международной конференции «Рост монокристаллов и тепломассоперенос (1СБС 2005)», Обнинск, 25-30 сентября, 2005. - Т. 3, С. 612-621.

5. Осецкий Д. Ю. Разработка программного комплекса для математического моделирования кинетики коагуляции // Сборник научных работ лауреатов областных премий и стипендий. Выпуск 1 .-Калуга: КГГТУ им. К. Э. Циолковского, 2005. С. 171177.

6. Галкин В. А., Забудько М. А., Осецкий Д. Ю., Рыжиков Д. А., Галкина И. В. Математическое моделирование процессов роста агломератов в приближения Смолуховского и Власова-Лиувилля-Смолуховского // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского, 2005, Вып. 1(28), С. 67-74.

т

ЛР № 020713 от 27.04.1998

Подписано к печати 15 02.06. Формат бумаги 60x84/16

Печать ризограф. Бумага МВ Заказ № <0 Тираж 100 экз. Печ. л. 1,25 Цена договорная

Отдел множительной техники ИАТЭ 249035, г. Обнинск, Студгородок, 1

I !

¿ÛOGA

4 555

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ, СВЯЗАННЫХ С МАТЕМАТИЧЕСКИМ МОДЕЛИРОВАНИЕМ КИНЕТИКИ СТАЛКИВАЮЩИХСЯ ЧАСТИЦ.

1.1 Исследование процессов, приводящих к столкновениям частиц.

1.2 Уравнения больцмановского типа. Уравнение Смолуховского.

1.3 Метод Монте-Карло.

1.4 Имитационные методы решения уравнений больцмановского типа.

1.5 Выводы по главе.

2. СЛУЧАЙ БОЛЬЦМАНОВСКОГО ГАЗА, ПРИВОДЯЩИЙ К УРАВНЕНИЮ КОАГУЛЯЦИИ СМОЛУХОВСКОГО.

2.1 Простой разреженный газ, модель твердых сфер.

2.2 Переход от уравнения Больцмана к уравнению коагуляции Смолуховского.

2.3 Задача Коши для пространственно однородного уравнения коагуляции без источника.

2.4 Сходимость разностных схем к решениям уравнения Смолуховского в пространственно однородном случае.

2.5 Статистическое моделирование процесса пространственно однородной парной коагуляции.

2.6 Вычислительный эксперимент по отысканию связи решений уравнения Больцмана с имитацией столкновений молекул в разреженном газе.

2.6.1 Моделирование эксперимента при наличии единственного энергетического уровня в начальный момент времени.

2.6.2 Многоуровневое моделирование процесса парной коагуляции методом Монте-Карло.

2.7 Выводы по главе.

3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО

НЕОДНОРОДНОЙ КОАГУЛЯЦИИ.

3.1 Пространственно неоднородная коагуляция.

3.2 Пространственно неоднородное уравнение коагуляции Смолуховского.

3.3 Сходимость разностных схем к решениям уравнения Смолуховского в пространственно неоднородном случае

3.4 Статистическое моделирование процесса пространственно неоднородной коагуляции методом Монте-Карло.

3.5 Вычислительный эксперимент, подтверждающий сходимость алгоритма прямого моделирования.

3.5.1 Сравнение результатов алгоритма прямого моделирования с аналитическими решениями.

3.5.2 Сравнение результатов алгоритма прямого моделирования с численными решениями.

3.6 Выводы по главе.

Диссертационная работа посвящена исследованию двух физических явлений, связанных с кинетикой сталкивающихся частиц:

1. случай больцмановского газа, приводящий к пространственно однородному уравнению Смолуховского,

2. пространственно неоднородная коагуляция в дисперсных системах.

Для исследования данных явлений используется прямое имитационное моделирование на уровне отдельных молекул, основанное на методе Монте-Карло.

Объектом исследования диссертационной работы являются сложные системы взаимодействующих между собой частиц в процессе их движения. Предметом исследования являются кинетические системы, численные и имитационные методы моделирования процессов переноса вещества в дисперсных системах.

Актуальность темы диссертационной работы определяется необходимостью тестирования и обоснования прямого имитационного моделирования для решения задач, связанных с процессами переноса вещества в системах сталкивающихся частиц, установления связи прямого моделирования с уравнениями Больцмана и Смолуховского.

Интерес к системам сталкивающихся частиц обусловлен исследованиями в авиационной и космической технике, вакуумной технике, химической технологии. Уравнения гидро- и газовой динамики обладают уникальной универсальностью в том смысле, что они описывают основные физические процессы большинства современных технологий и экологических проблем от производства элементной базы микроэлектронной промышленности до переноса токсических компонентов воздушными потоками. Потребность в гидро- и газодинамических расчетах возрастает еще и потому, что по мере развития численных методов и бурного прогресса вычислительной техники увеличиваются возможности математического моделирования газодинамических процессов, и как следствие рост доверия инженеров и конструкторов к результатам вычислительного эксперимента. Помимо внешних стимулов со стороны промышленности неослабевающий интерес к развитию вычислительной гидро- и газовой динамики поддерживается и внутренней логикой научного исследования этой интереснейшей с точки зрения развития механики, прикладной и общей математики проблемы [6].

Интерес к процессу коагуляции обусловлен исследованиями в метеорологии, экологии, астрономии, теории реакторов на быстрых нейтронах. Напрямую с явлениями коагуляции связаны процессы роста трещин в структуре материалов за счет их взаимных пересечений. Это имеет прямое отношение к задачам динамики разрушения деталей. Процессы коагуляции лежат в основе явлений полимеризации, створаживания, свертываемости крови.

Важность прямого имитационного математического моделирования для расчета систем сталкивающихся частиц обусловлена тем, что необходимо иметь соответствие между решениями уравнения Больцмана и распределением частиц в реальных физических системах. Возможно проведение сравнительного анализа результатов имитационного моделирования с точными решениями и решениями, полученными с помощью разностных схем. При этом большое значение имеют правила подготовки спектров имитационного моделирования для последующего сравнения с точными решениями.

В настоящее время найдены точные решения уравнения Больцмана для сравнительно простых случаев малых градиентов температуры, скорости и концентраций в газе. Существуют ситуации, когда уравнение Смолуховского не имеет классического решения. Поэтому прямое имитационное моделирование процессов коагуляции имеет большое прикладное значение. Быстрый рост производительности вычислительной техники, использование многопроцессорных вычислительных систем делают реальной возможность детального моделирования газодинамических потоков.

Целью данной работы является разработка алгоритмов, реализация программного обеспечения и проведение вычислительных экспериментов прямого имитационного моделирования систем сталкивающихся частиц для специального случая одноатомного больцмановского газа и случая пространственно неоднородной коагуляции дисперсных систем.

В рамках исследуемой проблемы следует выделить основные задачи:

1. Разработка, реализация алгоритма прямого моделирования и создание программного обеспечения для расчета специального случая больцмановского газа, приводящего к пространственно однородному уравнению Смолуховского.

2. Разработка, реализация алгоритма прямого моделирования и создание программного обеспечения для расчета пространственно неоднородной коагуляции частиц, описываемой уравнением Смолуховского.

3. Исследование пределов аппроксимации прямого имитационного моделирования для решения нелинейных кинетических уравнений типа Больцмана.

4. Обоснование и сравнение точности тестовых расчетов результатов имитационного моделирования процесса парной коагуляции с точными решениями.

Методами исследования являются:

1. Вычислительный эксперимент

2. Проведение тестирования вычислительного эксперимента

Основные положения, выносимые автором на защиту:

1. Проведение вычислительного эксперимента на основе имитационной модели поведения больцмановского газа для одноуровневого и многоуровневого взаимодействия частиц. Проведение детального сравнительного анализа полученных результатов.

2. Проведение вычислительного эксперимента на основе прямого имитационного моделирования процесса пространственно неоднородной парной коагуляции без источника для широкого класса интенсивностей взаимодействия частиц и начальных данных. Проведение детального сравнительного анализа полученных результатов.

3. Алгоритм и программная реализация на ЭВМ прямого имитационного моделирования специального случая больцмановского газа, приводящего к пространственно однородному уравнению Смолуховского.

4. Алгоритм и программная реализация на ЭВМ прямого имитационного моделирования процесса парной коагуляции в пространственно неоднородном случае без источника.

Достоверность научных положений, выводов. Научные положения и выводы, сформулированные в диссертации, обоснованы теоретическими решениями и экспериментальными данными, полученными в работе, не противоречат известным положениям физико-математических наук, базируются на сравнительном анализе результатов вычислительного эксперимента. Достоверность результатов обусловлена проведением тестирования вычислительного эксперимента на основе сравнительного анализа с точными решениями и физическим экспериментом.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Впервые проведено детальное сравнение спектров распределения молекул газа по кинетическим энергиям с точными решениями пространственно однородного уравнения Смолуховского и решениями, полученными с помощью разностных схем.

2. Проведено детальное сравнение спектров распределения частиц по массам с точными аналитическими решениями пространственно неоднородного уравнения Смолуховского и решениями, полученными с помощью разностных схем для широкого класса интенсивностей взаимодействия частиц и начальных данных.

3. Исследована новая математическая модель больцмановского газа, основанная на применении метода прямого имитационного моделирования.

4. Создан алгоритм и программное обеспечение для моделирования поведения специального случая одноатомного больцмановского газа, в котором молекулы представляют собой твердые сферы, и парные соударения молекул происходят под прямым углом.

5. Обоснована математическая корректность исследуемой модели больцмановского газа, приводящей к модели парной коагуляции кинетических энергий соударяющихся частиц.

6. Исследована новая математическая модель пространственно неоднородной коагуляции без источника при наличии дисперсии скоростей свободного переноса частиц, основанная на применении метода прямого имитационного моделирования.

7. Создан алгоритм и программное обеспечение для прямого имитационного моделирования процесса пространственно неоднородной парной коагуляции без источника.

Практическая значимость работы состоит в следующем:

1. Проведено детальное сравнение спектров распределения частиц по кинетическим энергиям и массам с точными решениями уравнения Смолуховского и численными решениями, полученными с помощью разностных схем. Это дает более точное и глубокое понимание смысла решения уравнения Смолуховского для пространственно однородной и неоднородной модели.

2. Реализованная имитационная модель больцмановского газа может быть применена для моделирования динамики облаков, распределения пор и газовых пузырьков в твердом теле.

3. Алгоритм прямого имитационного моделирования пространственно неоднородной коагуляции и программное обеспечение может быть использовано для моделирования роста трещин в структуре материалов, моделирования роста кристаллов.

Личный вклад автора. Наиболее существенными научными результатами, полученными лично соискателем, являются:

1. Вычислительный эксперимент по отысканию связи результатов прямого моделирования с аналитическими и численными решениями уравнения Больцмана для специальной модели разреженного газа в случае одноуровневого и многоуровневого взаимодействия молекул.

2. Вычислительный эксперимент по отысканию связи результатов прямого моделирования с аналитическими и численными решениями пространственно неоднородного уравнения Смолуховского для широкого класса интенсивностей взаимодействия и начальных данных.

3. Детальный сравнительный анализ полученных результатов с точными решениями уравнения Смолуховского.

4. Алгоритм прямого имитационного моделирования и программная реализация на ЭВМ математической модели специального случая больцмановского газа, приводящего к коагуляции кинетических энергий соударяющихся частиц.

5. Алгоритм прямого имитационного моделирования и программная реализация на ЭВМ процесса пространственно неоднородной коагуляции в дисперсных системах без источника частиц.

Публикации. Основные публикации по теме диссертации:

1. Галкин В. А., Осецкий Д. Ю. Случай больцмановского газа, приводящий к уравнению коагуляции Смолуховского // ЖВМ и МФ, 2006, Т. 46, №3, С. 535-547.

2. Галкин В. А., Осецкий Д. Ю. Математическое моделирование кинетики коагуляции // Математическое моделирование, 2006, Т. 18, №1, С. 99-116.

3. Галкин В. А., Забудько М. А., Осецкий Д. Ю., Рыжиков Д. А., Галкина И. В. Математическое моделирование процессов роста агломератов // Труды регионального конкурса научных проектов в области естественных наук, 2005, Вып. 8, С. 31-35.

4. Галкин В. А., Осецкий Д. Ю. Математическое моделирование кинетики пространственно неоднородной коагуляции // Сборник трудов 6-й Международной конференции «Рост монокристаллов и тепломассоперенос (ICSC 2005)», Обнинск, 25-30 сентября, 2005. - Т. 3, С. 612-621.

5. Осецкий Д. Ю. Разработка программного комплекса для математического моделирования кинетики коагуляции // Сборник научных работ лауреатов областных премий и стипендий. Выпуск 1-Калуга: КГПУ им. К. Э. Циолковского, 2005. С. 171-177.

6. Галкин В. А., Забудько М. А., Осецкий Д. Ю., Рыжиков Д. А., Галкина И. В. Математическое моделирование процессов роста агломератов в приближения Смолуховского и Власова-Лиувилля-Смолуховского // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского, 2005, Вып. 1(28), С. 67-74.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались диссертантом на следующих научных конференциях и семинарах:

1. 8-я Международная конференция «Безопасность АЭС и подготовка кадров», г. Обнинск, 6-8 октября 2003 г.

2. 6-й Международный конгресс по математическому моделированию, г. Нижний Новгород, 20-26 сентября 2004 г.

3. 2-я международная конференция «Математические идеи П. Л. Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания», г. Обнинск, 26-29 ноября, 2004 г.

4. 8-й Международный семинар «Структурные основы модифицирования материалов методами нетрадиционных технологий (MHT-VIII)», г. Обнинск, 14-18 июня 2005 г.

5. 6-я Международная конференция «Рост монокристаллов и тепломассоперенос (ICSC 2005)», г. Обнинск, 25-30 сентября 2005 г.

6. 9-я Международная конференция «Безопасность АЭС и подготовка кадров», г. Обнинск, 24-28 октября 2005 г.

Выполнение исследований в рамках настоящей работы было поддержано грантом РФФИ, код проекта 05-01-00688(A).

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Работа изложена на 95 страницах, в том числе основного текста 91 страница, 13 рисунков, список литературы из 50 наименований на 4 страницах.

3.5 Выводы по главе

Центральной проблемой математического моделирования в нелинейной физической кинетике, описываемой уравнениями больцмановского вида, к которым относится уравнение Смолуховского, является доказательство адекватности реального физического процесса столкновений частиц соответствующему уравнению. Глава 3 посвящена сходимости метода непосредственного моделирования к решениям пространственно неоднородного уравнения коагуляции Смолуховского. Приводится схема моделирования явления, основанная на прямом случайном розыгрыше (метод Монте-Карло) физического процесса на уровне отдельных частиц. Для случая пространственно неоднородной коагуляции демонстрируется сходимость результатов имитационного алгоритма к точным решениям уравнения Смолуховского и приближенным решениям, полученным с помощью разностных схем для различных ядер взаимодействий, начальных условий и скоростей свободного переноса.

Результаты исследований были представлены автором на следующих международных конференциях и семинарах:

1. 8-й Международный семинар «Структурные основы модифицирования материалов методами нетрадиционных технологий (MHT-VIII)», г. Обнинск, 14-18 июня 2005 г.

2. 6-я Международная конференция «Рост монокристаллов и тепломассоперенос (ICSC 2005)», г. Обнинск, 25-30 сентября 2005 г.

3. 9-я Международная конференция «Безопасность АЭС и подготовка кадров», г. Обнинск, 24-28 октября 2005 г.

Результаты исследований опубликованы в реферируемых научных журналах:

1. Галкин В. А., Осецкий Д. Ю. Математическое моделирование кинетики коагуляции // Математическое моделирование, 2006, Т. 18, №1, С. 99-116.

2. Галкин В. А., Забудько М. А., Осецкий Д. Ю., Рыжиков Д. А., Галкина И. В. Математическое моделирование процессов роста агломератов // Труды регионального конкурса научных проектов в области естественных наук, 2005, Вып. 8, С. 31-35.

3. Осецкий Д. Ю. Разработка программного комплекса для математического моделирования кинетики коагуляции // Сборник научных работ лауреатов областных премий и стипендий. Выпуск 1.-Калуга: КГПУ им. К. Э. Циолковского, 2005. С. 171-177.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертационной работе рассмотрены вопросы применения имитационного моделирования, основанного на методе Монте-Карло, для исследования систем сталкивающихся частиц. Рассмотрен особый случай разреженного газа, при котором возможен переход от уравнения Больцмана к пространственно однородному уравнению коагуляции Смолуховского. Впервые построен алгоритм имитационного моделирования пространственно неоднородной коагуляции. В качестве основных можно выделить следующие результаты:

1. Исследована новая математическая модель больцмановского газа, приводящая к уравнению Смолуховского пространственно однородной коагуляции. Рассмотрен переход от уравнения больцмановского типа к уравнению коагуляции кинетических энергий сталкивающихся молекул. Разработан алгоритм прямого имитационного для моделирования процесса столкновений молекул разреженного газа. Создана и протестирована компьютерная программа на ЭВМ для алгоритма прямого имитационного моделирования. Реализованная математическая модель парного столкновения частиц больцмановского газа может быть применена для моделирования динамики облаков, распределения пор и газовых пузырьков в твердом теле, а также для имитационного моделирования роста кристаллов.

2. Проведен вычислительный эксперимент на основе имитационной модели процесса коагуляции кинетических энергий молекул больцмановского газа при наличии одного или нескольких энергетических уровней. Выведена формула для коэффициента сокращения фазового объема, которая играет важную роль в определении начального распределения молекул по энергетическим уровням. Впервые проведено детальное сравнение спектров распределения частиц по кинетическим энергиям с точными решениями уравнения Смолуховского и решениями, полученными с помощью разностных схем. Сравнительный анализ дает более точное понимание смысла функции - решения в уравнении Смолуховского.

3. Исследована математическая модель процесса пространственно неоднородной коагуляции в дисперсных системах, в основе которой лежит пространственно неоднородное уравнение коагуляции Смолуховского для дискретных масс.

4. Разработан алгоритм прямого имитационного моделирования процесса пространственно неоднородной коагуляции в дисперсных системах. Создана и протестирована вычислительная программа на ЭВМ на основе предложенного алгоритма.

5. Для задачи Коши в случае пространственно неоднородного уравнения коагуляции Смолуховского выведены аналитические решения и получены численные решения с помощью разностных схем для широкого класса интенсивностей и различных начальных условий.

6. Проведено детальное сравнение спектров распределения частиц по массам, полученных с помощью алгоритма и вычислительной программы прямого имитационного моделирования, с аналитическими и численными решениями задач Коши для широкого класса интенсивностей взаимодействия частиц. Сравнительный анализ дает более точное и глубокое понимание смысла функции - решения в пространственно неоднородном уравнении Смолуховского.

7. Разработанный алгоритм прямого имитационного моделирования и вычислительная программа на ЭВМ могут быть использованы для математического моделирования роста трещин в структуре материалов, моделирования роста кристаллов.

1. Галкин В. А. Уравнение Смолуховского. - М.: Наука. Физматлит, 2001. -336 с.

2. ЧерчиньяниК. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978.-495 с.

3. Волощук В. М., Седунов Ю. С. Процессы коагуляции в дисперсных системах. Д.: Гидрометеоиздат, 1975. - 320 с.

4. Бёрд Г. Молекулярная газовая динамика. М.: Мир, 1981. - 319 с.

5. Коган М. Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука. Физматлит, 1967. -440 с.

6. Четверушкин Б. Н. Кинетически согласованные схемы в газовой динамике. - М.: МГУ, 1999. - 232 с.

7. КогаТ. Введение в кинетическую теорию стохастических процессов в газах. Перев. с англ. / Под ред. В. В. Струминского. . М.: Наука. Физматлит, 1983. - 272 с.

8. Пискунов В. Н. Теоретические модели кинетики формирования аэрозолей. Монография. Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2000. - 209 с.

9. Веденяпин В. В. Кинетические уравнения Больцмана и Власова. М.: Физматлит, 2001. - 112 с.

10. Крюков А. П. Элементы физической кинетики. М.: МЭИ, 1995. - 72 с.

11. Елизарова Т. Г. Лекции Математические модели и численные методы в динамике жидкости и газа. Подходы, основанные на системах квазигазодинамических и квазигидродинамических уравнений. М.: Физ. фак. МГУ, 2005.-224 с.

12. Галкин В. А. Сходимость разностных схем и метода непосредственного моделирования к решениям уравнения Смолуховского кинетической теории коагуляции. // Доклады РАН, 2004, т.397, N.l. с.7 11.

13. Баранцев Р. Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями. М.: Наука, 1975.

14. Иванов Н. В., Пискунов В. Н. Моделирование процессов переноса и осаждения аэрозольных частиц методом Монте-Карло. // Вопросы атомной науки и техники, серия Математическое моделирование физических процессов, 1991, Вып. 2. с.73 78.

15. Haviland J. К, Lavin М. L. Phys. Fluids, 5, 1399 (1962).

16. Haviland J. К. In: Rarefied Gas Dynamics (Laurmann J. A., ed.), vol. I, p.274, New York, Academic Press, 1963.

17. Alder B. J., Wainwright T. In: Proceeding of the International Symposium on Transport Processes in Statistical Mechanics. -. New York: Interscience, 1958. p. 97.

18. BirdG. A.-Phys. Fluids, 1963, v. 6,p. 1518.

19. Аристов В. В. Черемисин Ф. Г. Прямое численное решение кинетического уравнения Больцмана. М.: ВЦ РАН, 1992.

20. Багдасарова И.Р. Моделирование пространственно однородного процесса коагуляции для больших систем: дис. канд. физ.-мат. наук : 05.13.18: защищена 10.04.1999.- Обнинск, ИАТЭ, 1999.-99 с.

21. Рыжиков Д.А. Моделирование процессов переноса и излучения вещества: дис. канд. физ.-мат. наук : 05.13.18: защищена 10.04.2004.- Москва, ИММ, 2004.-142 с.

22. Melzak Z. A. A scalar transport equation. // Trans. Amer. Math. Soc. 1957. -V. 85.-P. 547-560.

23. Филиппов А. Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями. // Мат. сб. 1960. - Т. 51, №4. - С. 101-128.

24. Галкин В. А. Теория функциональных решений квазилинейных систем законов сохранения и ее приложения. // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1997. -№20. - С.81-120.

25. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1971. - 328 с.

26. Hall A. On an experiment determination of к Л Messeng. Math. 1873. - № 2. -P. 113-114.

27. Metropolis N., Ulam S. The Monte Carlo method. // J. Amer. Stat. Assoc. -1949. V. 44, № 247. - P. 335-341.

28. Метод Монте-Карло в проблеме переноса излучения. / Под. ред. Марчука Г. И. М.: Атомиздат, 1967. - 255 с.

29. Багдасарова И. Р., Галкин В. А. Моделирование процесса коагуляции в пространственно однородном случае. // Математическое моделирование. -1999.-Т. 11,№6.-С. 82-112.

30. Smoluchowski М. Versuch Einer Mathematichen Theorie der Koagulationskinetik Kolloider Losungen // Z. physikalische Chemie. 1917. -92.-P. 129-168.

31. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. М.: Наука, 1985, 320 с.

32. Галкин В. А., Осецкий Д. Ю. Случай больцмановского газа, приводящий к уравнению коагуляции Смолуховского // ЖВМ и МФ, 2006, Т. 46, №3, С. 535-547.

33. Галкин В. А. Уравнение Смолуховского для пространственно неоднородных систем // ДАН СССР, 1985, Т. 285, №5, С.1087-1091.

34. Галкин В. А. Обобщенное решение уравнения Смолуховского для пространственно неоднородных систем // ДАН СССР, 1987, Т. 293, №1, С. 74-77.

35. Галкин В. А. Решение уравнений, связанных с физической кинетикой // ДАН СССР, 1988, Т. 298, №1, С. 1362-1367.

36. Галкин В. А. Теория функциональных решений систем законов сохранения и ее приложения // М.: из-во МГУ. Труды семинара им. И. Г. Петровского, 2000, Т. 20, С. 81-120.

37. Галкин В. А. Методы решения задач физической кинетики. Обнинск: из-во ИАТЭ. - 1995,171 с.

38. Степанов А. С. К выводу уравнения коагуляции. // Труды ИЭМ, 1971, вып. 23, С. 3-16.

39. Степанов А. С. Вывод уравнения коагуляции для броуновски движущихся частиц. // Труды ИЭМ, 1971, вып. 23, С.42-64.

40. Lang R., Xanh N. X. Smoluchowski's theory of coagulation in colloids holds rigorously in Boltzman-Grad limit. // Z. Wahrscheinlinchkeitsthoerie verw. Gebiette, 54,1980, 227-280.

41. Эйнштейн А., Смолуховский M. Сб. статей "Броуновское движение". М.: ОНТИ, 1936, 607.

42. Klett James D. A Class of Solutions to the Steady-State, Source-Enhanced, Kinetic Coagulation Equation // Journal of the Atmospheric Sciences, 1975, v. 32, № 2, p. 380-389.

43. Lai F.S., Friedlander S.K., Pich J., Hidy G.M. The Self-Preserving Particle Size Distribution for Brownian Coagulation in the Free-Molecule Regim // J. Colloid and Interface Sci., 1972, v. 39, № 2, p. 395-405.

44. Lang Reihard, Xanh Nguen Xuan. "Smoluchovski's Theory of Coagulation in Colloids Holds Rigorously in the Boltzmann-Grad-Limit", Wahrscheinlichkeitstheorie.

45. Langevin P. Sur la theorie du mouvement brownien // Comptes Rendus, Paris, 1906, vol. 146, № 10, p. 530-533.

46. Lee K.W., Chen H. Coagulation Rate of Polidisperse Particles // Aerosol Science and Technology, 1984, v. 3, № 3, p. 327-334.

47. McLeod I.B. On the scalar transport equation // Proc. London Math. Soc., 14, 1964, p. 445-458.

48. Melzak Z.A. A scalar transport education // Trans. Amer. Math. Soc., 1957, v. 85, p. 547-566.

49. Scott W.I. Analytical studies of cloud droplet coalescence // Journal of Atmospheric Sciences, 1968, v. 25, p. 54-65.

50. Smoluchowskii M.V. Drei Vortrage Uber Diffusion Brownsche Molekularheven gung und Koagulation vonkolloidteilchen // Phys. Z., 1916, v. 17, № 6, p. 557571.