автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование динамики гранулированных сред

На правах рукописи

Логинова Надежда Борисовна

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ГРАНУЛИРОВАННЫХ СРЕД

05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва-2004

Работа выполнена в Московском государственном университете путей сообщения (МИИТ)

кандидат физико-математических наук, доцент Власов Юрий Павлович

доктор физико-математических наук Клочихин Владимир Леонидович

доктор физико-математических наук, профессор Кокин Сергей Михайлович

Московский инженерно-физический институт (государственный университет)

Защита состоится 4 сентября 2004г. в ^-часов на заседании диссертационного совета Д218.005.10 при Московском государственном университете путей сообщения (МИИТ) по адресу: г. Москва, ул. Образцова, 15; ауд. ^

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета. Автореферат разослан_июня 2004г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д218.005.10 кандидат технических наук, профессор

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работа посвящена исследованию методами математического моделирования динамики гранулированных сред, находящихся в замкнутом объеме пространства под воздействием гравитационного поля.

Актуальность темы диссертационной работы

Актуальность темы диссертационной работы связана с наличием гранулированных сред в природе, с многочисленным практическим применением гранулированных веществ в повседневной жизни, а также с использованием новых технологий в различных отраслях производства от фармацевтики и промышленности строительных материалов до микроэлектроники.

Промышленные технологии обработки и использования гранулированных материалов встречаются практически во всех отраслях народного хозяйства. Однако физика процессов приготовления однородных смесей нескольких ингредиентов с различными, дополняющими друг друга воздействиями, исследована и объяснена недостаточно полно.

При исследовании физики гранулированных систем рассматриваются дискретные объекты, разброс размеров частиц которых составляет несколько порядков. Тот факт, что вещества, состоящие из отдельных частиц, диапазон размеров которых охватывает несколько порядков, могут подчиняться универсальным законам поведения, что физические законы динамики и статики гранулированных сред могут объединять объекты, различные по форме, природе, размерам, - этот факт инициирует интенсивные исследования, разработки в данной области.

К настоящему времени накоплен обширный материал результатов физических экспериментов по динамике гранулированных сред. Ведется активная работа по созданию теории, отражающей существенные особенности поведения гранулированных сред, как это сделано для газов, жидкостей и твердых тел. Сложность такой задачи заключается в том, что гранулированная среда в зависимости от условий, в которых она находится, может проявлять себя как вещество в любом из перечисленных агрегатных состояний, но при этом обнаруживает и эффекты, свойственные только гравированным веществам; кроме того, не все особенности поведения гранулированных сред полностью объяснены.

БИБЛИОТЕКА I

-4В настоящее время теория, описывающая особенности и эффекты поведения гранулированных сред, отсутствует. Успешному сотрудничеству экспериментаторов и теоретиков может содействовать разработка математической модели, адекватно сочетающей в себе и условия физического эксперимента, и гипотезы, допущения теории, в рамках которой рассматривается данная модель. Компьютерные эксперименты позволяют получать результаты в обширном диапазоне варьируемых параметров модели, что зачастую невозможно в лабораторных условиях. Поэтому математическое моделирование динамики гранулированных сред служит связующим звеном между разрабатываемой теорией и существующими экспериментальными результатами, способным помочь в их трактовке и обосновании. Исследование физических объектов и процессов методами прямого компьютерного моделирования является интересной и важной задачей.

При проведении исследований особый интерес представляют следующие задачи. Во-первых, в реальных условиях на поведение объектов и характер протекающих процессов играет воздействие гравитационного поля. Во-вторых, интересно изучать динамику систем, находящихся в замкнутых областях пространства. В-третьих, более существенную роль, чем в газах, на поведение гранулированных сред оказывает частичная неупругость соударений и возможность вращения частиц при столкновениях, поэтому интерес представляет использование в расчетах моделей, учитывающих эти свойства частиц гранулированных систем. В-четвертых, важно изучить поведение системы при переходе к плотным гранулированным средам, так как именно такие среды интенсивно используются в промышленности, технике, медицине и многих других отраслях.

В ряде отраслей и стадий промышленного производства актуальны вопросы поведения гранулированных сред при наличии внешнего воздействия. Однако явления и особенности, возникающие в таких средах, не подверженных внешнему воздействию, недостаточно изучены как теоретически, так и экспериментально.

Из сказанного выше следует, что изучение «собственной» динамики гранулированных сред, находящихся в гравитационном поле и не возбуждаемых внешними воздействиями, является актуальной задачей, имеющей важное научное и практическое значение.

Состояние вопроса

Динамика гранулированных сред сложна и разнообразна (среди обзорных полезно отметить работы (Jaeger & Nagel, 1996; Kadanoff, 1999; Duran, 2000; Pöschel & Luding, 2000; Ristow, 2000)): это флюидизация и конденсация гранулированной среды в контейнере с осциллирующим дном (Bernu & Mazighi, 1990; McNamara & Young, 1993; Luding et al, 1994a; Luding et al, 19946; Luding, 1995; Volfson et al, 2003; Marconi & Conti, 2004); и формирование в гранулированной системе, находящейся под воздействием вибрации, конвекционных течений (Laroche et al, 1989; Herrmann, 1992; Taguchi, 1992; Knight et al, 1993; Hayakawa et al, 1995; Pak et al, 1995; Aoki et al, 1996; Khain & Meerson, 2003); и явления перемешивания и разделения вещества в гранулированных системах с образованием разнообразных пространственно-временных структур (Оуата, 1939; Rosato et al, 1987; Bretz et al, 1992; Jullien et al, 1992; Benza et al, 1993; Duran et al, 1993; Duran et al, 1994; Zik et al, 1994; Hill et al, 1997; Makse, 1997; Aranson et al, 1999; Elperin & Vikhansky 1999; Chakraborty et al, 2000; Rapaport, 2002; Gilchrist & Ottino, 2003; Sri-bro & Levine, 2003); и возникновение бегущих и стоячих волн на поверхности гранулированного слоя под действием вибрации (Gallas et al, 1992а; Pak & Behringer, 1993; Melo et al, 1994; Melo et al, 1995; Clement et al, 1996; Cedra et al, 1997); и волны плотности, возникающие при течении гранулированного образца в вертикальных воронках и трубках (Baxter et al, 1989; Lee, 1994; Duran et al, 1996; Pouliquen & Gutfraind, 1996; Quinn & Hong, 2000; Hong, 2001; To & Lai, 2002); и образование кластеров (областей высокой плотности) в свободно эволюционирующей гранулированной системе (Goldhirsch & Zanetti, 1993; McNamara & Young, 1995; Brey et al, 1996; McNamara & Young, 1996; vanNoije & Ernst, 1998; Zhou, 1998; Salazar & Brenig, 1999; Tobochnik, 1999; Sapozhnikov et al, 2003; Hill & Mazenko, 2003).

Сформировавшиеся в области исследования динамики гранулированных сред направления содержат две основные особенности. Во-первых, исследование поведения гранулированных систем, подверженных внеш-

нему воздействию (в частности, вертикальной вибрации), нацелено на изучение поведения системы под влиянием этого воздействия (в частности, вынужденных колебаний, возникающих в рассматриваемой системе под влиянием внешней периодически изменяющейся силы). Во-вторых, анализ поведения таких гранулированных систем проводится после того, как в системе устанавливается некоторое стационарное или равновесное состояние.

В диссертационной работе поставлены и решены вопросы о поведении аналогичной гранулированной системы, не подверженной внешнему воздействию (в частности, вибрации); об эволюции системы из начального состояния к стационарному или равновесному; об особенностях переходных процессов, протекающих в гранулированной системе, по мере достижения системой стационарного или равновесного состояния.

В работах, посвященных исследованию динамики гранулированных сред, переходным процессам и вопросам о том, какие явления происходят в рассматриваемом гранулированном материале на этапе его эволюции к изучаемому в дальнейшем стационарному состоянию, достаточного внимания не уделено. Естественно, во всех экспериментах рассматриваемые гранулированные системы эволюционируют, переходя их одного состояния в другое: плотность различных областей гранулированной среды при возникновении волн плотности меняется с течением времени (Baxter et al., 1989; То & Lai, 2002); на поверхности вертикально осциллирующего гранулированного слоя могут появляться различные пространственные структуры (Gallas et al, 1992a; Cedra et al, 1997); формирующиеся в гранулированной системе конвекционные потоки циркулируют и с течением времени происходит их движение (Laroche et al.t 1989; Khain & Meerson, 2003). Однако изучаемые процессы протекают в исследуемых системах в стационарном состоянии.

В диссертационной работе основное внимание уделено неравновесным процессам эволюции изучаемой гранулированной системы из заданного начального (неравновесного) состояния к состоянию равновесия.

Цель и задачи диссертационной работы

Целью диссертационной работы является изучение характера релаксационных процессов в гранулированной системе, находящейся в замкнутом объеме пространства под воздействием гравитационного поля.

Исследование проведено в рамках модели твердых сфер при следующих предположениях о свойствах частиц:

- абсолютно упругие невращающиеся сферы;

- частично неупругие невращающиеся сферы;

- абсолютно упругие вращающиеся сферы;

- частично неупругие вращающиеся сферы.

Для достижения указанной цели в диссертационной работе были поставлены и решены следующие задачи:

- выполнено компьютерное моделирование динамики каждой из исследуемых моделей для обширного набора начальных условий и варьируемых параметров моделей;

- проведена статистическая обработка и приведена графическая иллюстрация результатов моделирования; для каждой из рассмотренных моделей твердых сфер получены статистические оценки основных числовых характеристик изучаемых случайных процессов;

- предложена физическая интерпретация поведения числовых характеристик, получаемых при статистической обработке результатов компьютерного моделирования изучаемых случайных процессов; дано физическое объяснение обнаруженных эффектов поведения исследуемых систем;

- проверены гипотезы о предполагаемых законах распределения частиц исследуемых систем;

- проведено сопоставление и подробный анализ результатов численных экспериментов, осуществленных неоднократно для каждой из моделей при изменении начальных, краевых условий и значений параметров исследуемых моделей;

- проверена качественная непротиворечивость закономерностей, полученных численно и установленных аналитически.

Научная новизна диссертационной работы

Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:

- обнаружены новые эффекты поведения исследуемых систем, находящихся в замкнутом объеме пространства при наличии гравитационного поля;

- исследованы релаксационные процессы в трехмерной модели твердых абсолютно упругих невращающихся сфер под воздействием гравитационного поля;

- изучены процессы осаждения частиц в модели гранулированной системы под воздействием гравитационного поля;

- для модели абсолютно упругих невращающихся сфер исследованы получаемые в состоянии термодинамического равновесия распределения частиц по величинам скоростей и по высотам, а также характер изменения формы указанных распределений при варьировании параметров модели; изучен переходный процесс от системы с малой плотностью к системе с большой плотностью при увеличении радиуса частиц системы;

- для модели гранулированной системы исследованы распределения ее частиц по величинам скоростей и по высотам, получаемые в различных сечениях изучаемого случайного процесса по мере осаждения частиц системы; прослежено изменение формы указанных распределений частиц в процессе их осаждения.

Теоретическое и практическое значение диссертационной работы

Теоретическое и практическое значение результатов, полученных в диссертационной работе, заключается в следующем:

- в результате многочисленных компьютерных экспериментов по изучению динамики исследуемых моделей твердых сфер в обширном диапазоне варьируемых параметров модели при различных начальных условиях установлены особенности поведения трехмерной гранулированной системы, что определяет цель и дает обоснование лабораторных экспериментов;

- обнаруженные зависимости характеристик, описывающих свободные колебания (амплитуда А, период Г, коэффициент затухания /? колеба-

ний), возникающие в изученных моделях, от исходных данных модели позволяют определить количественно условия и параметры лабораторных экспериментов, а также параметры собственных колебаний в системах рассмотренного типа;

- установленные зависимости характеристик, описывающих свободные колебания в моделях твердых сфер, от параметров модели дают возможность проводить диагностику состояния среды, а также внешних условий;

- установленные пороговые значения величины С (процента заполнения частицами гранулированной среды свободного объема замкнутого кубического контейнера) позволяют провести классификацию изучаемых систем по их плотности;

- полученные временные зависимости среднеквадратичного отклонения системы от ее начального состояния позволяют оценить коэффициент диффузии среды в уравнении Эйнштейна-Смолуховского;

- объяснение особенностей поведения гранулированных сред при изучении свободных колебаний, возникающих в рассмотренных системах, дает возможность лучше понять и определить причины появления эффектов, присущих гранулированным средам, подверженным воздействию вертикальной вибрации;

- проведенный в диссертационной работе анализ процессов релаксации и осаждения частиц гранулированной системы позволяет оценить время релаксации и время осаждения, а также указать условия, при которых протекающие процессы осаждения будут равновесными.

Достоверность результатов диссертационной работы

Результаты проведенных в диссертационной работе численных экспериментов согласуются с их теоретическим обоснованием, изложенным в работе, и не противоречат фундаментальным физическим законам, применимым к системам рассмотренного типа.

Апробация диссертационной работы

Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на:

-10- XXXII International Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics 2004», Saint-Petersburg (Repino), June 24-July 1,2004;

- International Conference «PHYSICS and CONTROL 2003», Saint-Petersburg, August 20-22,2003;

- XXXI International Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics 2003», Saint-Petersburg (Repino), June 22-July 2,2003;

- IV International Conference «TOOLS FOR MATHEMATICAL MODELING», Saint-Petersburg, June 23-28,2003;

- секции «Проблемы современной математики» научной сессии Московского инженерно-физического института (государственный университет), Москва, 26-30 января 2004;

- IV Международной конференции «Участие молодых ученых, инженеров и педагогов в разработке и реализации инновационных технологий», Москва, 24-28 ноября 2003;

- научных семинарах лаборатории «Динамика жидкостей» (Fluid Dynamics Laboratory) Технического университета Эйндховена (TU/e), Нидерланды, Эйндховен, октябрь-ноябрь 2000;

- научно-практических конференциях «Неделя науки-2000», «Неделя науки-2001», «Неделя науки-2002» Московского государственного университета путей сообщения (МИИТ), Москва, 2000,2001,2002;

- научных семинарах кафедр «Прикладная математика-1», «Вычислительная математика» Московского государственного университета путей сообщения (МИИТ), Москва, 2000-2004.

Публикации по теме диссертационной работы

Основное содержание диссертационной работы опубликовано в 10 научных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертационной работы

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованных источников, насчитывающего 142 наименования. Объем диссертационной работы составляет 136 страниц машинописного текста. Диссертационная работа включает 46 иллюстраций и 4 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении определен объект исследований, проведенных в диссертационной работе; продемонстрирована актуальность выбранной темы работы; сформулированы цель и задачи работы; обоснована достоверность, научная новизна, теоретическая и практическая ценность решения поставленных задач.

В главе 1 «Особенности динамики гранулированных сред» диссертационной работы освещено состояние вопроса и сделан обзор литературы, относящейся к теме диссертационной работы. В приведенном обзоре описаны эффекты, присущие гранулированным средам в динамике.

В главе 2 «Математическое описание динамики гранулированной системы» диссертационной работы изложен подход к математическому описанию динамики гранулированных систем в рамках модели твердых сфер.

В разделе 2.1 сформулирована постановка задач об исследовании динамики трехмерной системы твердых абсолютно упругих невращающихся сфер и трехмерной модели гранулированной системы, находящихся в замкнутом объеме пространства под воздействием гравитационного поля.

В разделе 2.2 охарактеризована сущность и изложена последовательность этапов моделирования - метода, с помощью которого в работе проведено исследование динамики модели гранулированной системы.

В разделе 2.3 описана использованная в работе математическая модель исследуемой гранулированной системы.

В разделе 2.4 приведено описание выбранного в работе метода (ЕБ-а^огИИт) и реализованного в работе алгоритма моделирования динамики исследуемых систем. Проведено краткое сравнение методов моделирования поведения ансамбля многих частиц. Объяснены причины выбора в работе ББ-алгоритма.

В разделе 2.5 изложен вывод и получены конечные формулы, на основании которых производится пересчет скоростей сталкивающихся частиц гранулированной системы.

В разделе 2.6 обсуждается выбор и постановка для решаемых задач начальных и краевых условий, а также приведены использованные в работе значения безразмерных параметров модели.

-12В разделе 2.7 определены исследуемые в работе величины, характеризующие состояние изучаемых систем. В работе вычислены статистические оценки основных числовых характеристик изучаемых случайных процессов в сечении г:

- оценка математического ожидания векторов скоростей частиц системы - скорость центра масс системы;

- оценка математического ожидания квадратов полных скоростей частиц системы - среднее значение квадратов полных скоростей движения частиц системы;

- оценка дисперсии ^ (I) скоростей теплового движения частиц системы - квадрат среднеквадратичной скорости системы;

- оценка математического ожидания Гст(0 радиус-векторов частиц системы - положение центра масс системы.

В главе 3 «Релаксационные процессы в системе абсолютно упругих невращающихся сфер» диссертационной работы исследованы релаксационные процессы, проходящие в трехмерной системе одинаковых твердых абсолютно упругих невращающихся сфер, находящейся в замкнутом объеме пространства под воздействием гравитационного поля. Методами компьютерного моделирования прослежена эволюция системы из задаваемого начального состояния к состоянию ее термодинамического равновесия. Изучен характер изменения с течением времени величин, характеризующих состояние системы.

В разделе 3.1 сформулирована постановка задачи об исследовании динамики изучаемой системы твердых сфер.

Раздел 3.2 посвящен исследованию релаксационных процессов в системе, находящейся под воздействием гравитационного поля. Установлено, что переход изучаемой системы твердых сфер к состоянию термодинамического равновесия носит осциллирующий характер.

На рис. 1 изображены полученные с помощью компьютерного модели-

2 2 2 2 — —

рования графики зависимостей

и г— и /I) от времени г исследуемых в работе величин - среднего значения

у2(г) квадратов полных скоростей движения частиц системы (Ж символы)

и значения у2т (/) квадрата среднеквадратичной скорости системы (Т символы), значений высоты ТСП1(/) (• символы) и г-компоненты ТГ2(() скорости (► символы) центра масс системы - при следующих значениях параметров: £ = 420, 512, g = 20,1>тж = 25, Л = 15, £ = 1, ц = 0, Д, = -1.

и ,= и ,(/) при I» 420, ЛГ= 512, 20, р„„ - 25, Л = 15, е = I, р - 0, #>=-!: - среднее значение квадратов полных скоростей движения частиц системы; ▼ - квадрат среднеквадратичной скорости системы; • - высота центра масс системы; ► — 2— компонента скорости центра масс системы.

Из рис. 1 видно, что по мере достижения системой состояния термодинамического равновесия каждая из исследуемых величин колеблется с затухающей амплитудой, принимая стационарное значение:

- каждая из величин стремится к соответствующему постоянному значению, а именно: скорость "й"(Г) центра масс системы стремится к нулю; среднее значение у2 (*) квадратов полных скоростей движения частиц системы становится равным значению квадрата среднеквадратичной скорости системы;

- направленное движение частиц системы исчезает: энергия направленного движения частиц системы переходит в энергию их теплового движения;

-14- центр масс г с т (?) системы занимает равновесное положение;

- колебания величины квадрата среднеквадратичной скорости системы происходят относительно значения, определяющего температуру системы в состоянии ее термодинамического равновесия;

- значение высоты центра масс системы совершает колебания относительно положения, которое центр масс займет в равновесном состоянии.

Показано, что происхождение обнаруженных колебаний, возникающих в исследуемой системе, связано с движением центра масс при наличии анизотропии направлений, приводящей к возникновению отличной от нуля скорости направленного движения частиц, то есть скорости центра масс системы. Движение центра масс системы происходит до тех пор, пока энергия направленного движения частиц системы не перейдет в энергию их теплового движения, при этом скорость центра масс системы станет равной нулю (рис. 1(6), ► символы), центр масс системы достигнет положения равновесия (рис. 1(6), • символы).

Следовательно, колебания указанных величин будут отсутствовать тогда, когда центр масс системы находится в состоянии покоя и занимает равновесное положение.

В разделе 3.3 сформулированы условия отсутствия колебаний исследуемых величин в системе твердых упруго взаимодействующих невра-щающихся сфер, заключенных в замкнутом объеме пространства: центр масс системы должен оставаться в покое и занимать равновесное положение. При этом аналитические формы распределений частиц системы в пространстве координат и в пространстве скоростей не существенны. Для возбуждения в исследуемой системе колебаний рассмотренных в работе величин достаточно нарушения, по крайней мере, одного из сформулированных условий. Однако выполнение этих условий не гарантирует того, что состояние системы является равновесным.

В разделе 3.4 рассмотрены примеры и детально пояснен смысл сформулированных в разд. 3.3 утверждений. Отмечены и объяснены особенности релаксационных процессов, протекающих в изучаемой системе твердых сфер. Определены случаи, когда релаксационные процессы не сопро-

вождаются возникновением осцилляционного режима или когда колебания исследуемых в работе величин зарегистрировать невозможно.

В разделе 3.5 изучены релаксационные процессы, проходящие в рассматриваемой системе твердых сфер, без учета гравитации. Определены условия, при которых возникновение колебаний исследуемых в работе величин возможно в отсутствии гравитационного поля.

В разделе 3.6 показано, что для системы абсолютно упругих невра-щающихся сфер выполняется закон сохранения полной механической энергии: при моделировании динамики системы в предположении, что все столкновения являются абсолютно упругими, а все частицы и стенки контейнера - абсолютно гладкими, полная механическая энергия системы не меняется с течением времени /. Колебания значений кинетической и потенциальной энергий происходят в противофазе. Это обстоятельство отражает происходящий в системе процесс взаимного превращения энергии кинетической в потенциальную (и наоборот) таким образом, что полная механическая энергия системы с течением вречг^" сохраняется.-Анало-гичным образом связаны колебания величин среднего значения

квадратов полных скоростей движения частиц системы (рис. 1(а), А символы) и 2 <¡,„.(0 высоты центра масс системы (рис. 1(а), • символы).

В разделе 3.7 приведены оценки коэффициента диффузии, полученные при различных значениях радиуса Я частиц для исследуемой системы твердых сфер с помощью уравнения Эйнштейна-Смолуховского и на основании формул молекулярной физики.

В разделе 3.8 указаны полученные в работе зависимости характеристик обнаруженных колебаний от параметров модели. В работе исследован характер изменения параметров Т (период), А (амплитуда), /9 (коэффициент

затухания), описывающих колебания величины квадрата средне-

квадратичной скорости системы, в зависимости от исходных данных модели - значения g ускорения свободного падения, максимального значения Утах модуля начальной скорости частиц, радиуса Я частиц системы.

В разделе 3.9 сформулированы выводы по третьей главе диссертационной работы.

-16В главе 4 «Равновесные распределения частиц системы абсолютно упругих невращающихся сфер» диссертационной работы исследованы получаемые в состоянии термодинамического равновесия под воздействием гравитационного поля распределения по величинам скоростей и по высотам частиц трехмерной системы одинаковых твердых абсолютно упругих невращающихся сфер в замкнутом кубическом контейнере. Указаны использованные в работе критерии практической проверки равновесности текущего состояния системы. Проанализирован характер изменения формы равновесных распределений частиц системы по величинам скоростей и по высотам в зависимости от параметров модели. В данной главе также рассмотрен гидростатический подход к описанию равновесных состояний вещества.

В разделе 4.1 сформулирована постановка задачи об изучении равновесных распределений частиц исследуемой системы.

В разделе 4.2 обсуждаются предложенные в работе критерии, на основании выполнения которых принималось решение о том, что установившееся в системе к некоторому моменту времени состояние является состоянием термодинамического равновесия системы.

В разделе 4.3 проанализированы получаемые в состоянии термодинамического равновесия распределения по величинам скоростей частиц изучаемой системы твердых сфер. Установлено, что при изменении параметров модели - радиуса Л частиц системы, максимального значения "Ома модуля начальной скорости частиц системы, величины § ускорения свободного падения - аналитические выражения равновесных распределений частиц по величинам скоростей не меняются. В состоянии термодинамического равновесия системы распределение частиц по величинам скоростей не противоречит максвелловскому при проверке по критерию уровнем значимости

В данном разделе показано, что при изменении варьируемых параметров системы происходит сдвиг вдоль оси абсцисс максимума кривой равновесной плотности распределения частиц по величинам скоростей с изменением параметров максвелловского распределения: максимум указанной кривой сместится влево (в сторону меньших скоростей) при увеличении радиуса Л частиц системы или при уменьшении максимального значе-

ния итах модуля начальной скорости частиц системы или величины gускорения свободного падения.

В разделе .4.4 для изучаемой системы твердых сфер проведен анализ получаемых в состоянии термодинамического равновесия распределений» ее частиц по высотам. При определенных значениях радиуса Я частиц системы их равновесное распределение по высотам на противоречит закону Больцмана (при проверке по критерию ^ с уровнем значимости а = 0.01). При других, больших, значениях Я равновесное распределение частиц исследуемой системы по высотам является равномерным. В данном разделе установлено, что с увеличением радиуса частиц системы переход от одного вида кривой (больцмановского распределения) к другому виду (равномерному распределению) сопровождается появлением в состоянии термодинамического равновесия на кривой плотности распределения частиц, системы по высотам точки перегиба.

На рис. 2 для изучаемой системы твердых сфер представлена гистограмма равновесного распределе-нияр(к) частиц по высотам, соответствующая случаю возникновения на кривой р(к) точки перегиба при определенном значении радиуса Я частиц системы.

0.004' 10097

О о

0.00-4

0.002

О 75 О ВЭ О

33

О 24

° о 12 1 О о 3

4-

геб ^оо ^оо чагл. Рис. 2. Гистограммы распределения р(Н) частиц по высотам при Л = 420, Л'= 512, х = 20, »„„ = 25, /?= 15,е= \,ц = 0, Д> = -1, <=51: о-значение плот-кости распределения, полученное в ходе моделирования.

В ходе проведенных в работе исследований для рассматриваемой системы из N=512 твердых абсолютно упругих невращающихся.сфер, заключенных в замкнутом кубическом контейнере с ребром Ь - 420 под воздействием гравитационного поля, установлены следующие закономерности (соответствуют увеличению значения Я):

- при Я= 10 произошло отклонение равновесной плотности распределения частиц по высотам от больцмановской, однако при этом для всех к сохраняется неравенство р"(И) > О, то есть кривая р(к) равновесной плотности распределения частиц по высотам выпукла вниз во всем диапазоне

высот; значение радиуса Я= 10 соответствует случаю заполнения частицами контейнера примерно на 3%;

- при Я= 13 на кривой p(h) равновесной плотности распределения частиц по высотам появилась точка перегиба; при таком значении радиуса Я частицы системы занимают около 6% свободного объема контейнера;

- при Я = 20 точка перегиба графика функции p(h) равновесной плотности распределения частиц по высотам исчезла; кривая p(h) становится выпуклой вверх во всем диапазоне высот, то есть в этом случае ^ = 20) контейнер заполнен частицами примерно на 23%.

В данном разделе также изучено влияние на вид равновесных распределений p(h) частиц исследуемой системы по высотам величины средней скорости их движения и величины ускорения свободного падения. При увеличении максимального значения модуля начальной скорости частиц системы или при уменьшении величины g ускорения свободного падения при фиксированных значениях остальных параметров системы точка перегиба на кривой p(h) плотности распределения частиц по высотам в равновесии, не обнаружена: установлено, что кривая p(h) равновесной плотности распределения частиц по высотам стремится к горизонтальной прямой:

Для рассматриваемой системы из N = 512 твердых абсолютно упругих невращающихся сфер, заключенных в замкнутом кубическом контейнере под воздействием гравитационного поля, при фиксированных значениях параметров L, N, g, Я в зависимости от величины Т)тах максимального значения модуля начальной скорости частиц системы установлены различные типы равновесных распределений частиц по высотам (соответствуют увеличению значения

- при фиксированных значениях параметров L, N, g, Яu заданной величине кривая в равновесии соответствует одному из первых двух типов равновесных распределений p(h) частиц по высотам, выделенных в зависимости от величины радиуса Я - p(h) сохраняет характер выпуклости вниз илиp(h) имеет точку перегиба;

- кривая р{И) стремится к прямой р{И) = кИ +а, причем к Ф ОД < 0;

- угловой коэффициент к кривой р{И) стремится к нулю; равновесное распределение частиц по высотам становится равномерным.

-19В разделе 4.5 предложен гидростатический подход к описанию равновесных состояний вещества, дающий возможное аналитическое объяснение эффекта возникновения в состоянии термодинамического равновесия точки перегиба на кривой плотности распределения частиц по высотам. Изложенный теоретический анализ проведен с применением к системе твердых сфер уравнений состояния Ван-дер-Ваальса и Карнагана-Старлинга. При определенных значениях параметров модели достигнуто согласование кривых, соответствующих результатам численного моделирования динамики исследуемой системы и полученных аналитически.

В разделе 4.6 сформулированы выводы по четвертой главе диссертационной работы.

В главе 5 «Процессы осаждения в гранулированной системе» диссертационной работы в рамках моделей твердых сфер исследована эволюция трехмерной гранулированной системы, находящейся в замкнутом объеме пространства под воздействием гравитационного поля. Динамика такой системы прослежена с помощью компьютерного моделирования из заданного начального состояния до момента осаждения частиц на дно контейнера. Изучен характер процессов осаждения, протекающих в трехмерных моделях частично неупругих невращающихся сфер, абсолютно упругих вращающихся сфер, частично неупругих вращающихся сфер.

В разделе 5.1 сформулирована постановка задачи об исследовании эволюционных процессов, протекающих в рассматриваемой гранулированной системе.

В разделе 5.2 рассмотрен вопрос о влиянии частичной неупругости соударений и возможности вращения частиц (значений коэффициента восстановления и коэффициента трения на существование колебательного режима при осаждении частиц гранулированной системы, находящейся в замкнутом контейнере под воздействием гравитационного поля. Установлено, что даже при существенной неупругости соударений (е = 0.8, или существенной величине коэффициента трения осциллирующий характер изменения во времени исследуемых в работе величин при осаждении частиц сохраняется. В ходе эволюционных процессов, протекающих в исследуемой гранулированной системе, осцилляционный режим отсутствует лишь при условии, что величина § ускорения свободного

падения равна нулю если в начальный момент времени выполнены

условия отсутствия колебаний. В противном случае, то есть при любом ненулевом значении в ходе процессов осаждения частиц гранулиро-

ванной системы в рассмотренном в работе диапазоне варьируемых параметров модели колебательный режим возникает.

В разделе 5.3 установлены случаи, когда процесс осаждения частиц гранулированной системы на дно контейнера является равновесным. Исследование показало, что протекающий в гранулированной системе процесс осаждения ее частиц является термодинамически равновесным лишь в случае малой неупругости ударов в отсутствии вращения частиц. Установлено, что в процессе осаждения частиц такая гранулированная система последовательно проходит ряд равновесных состояний: начиная с некоторого момента времени в последующие моменты времени распределения частиц системы по величинам скоростей и по высотам не противоречат, соответственно, законам Максвелла и Больцмана (при проверке по критерию с уровнем значимости но числовые характеристики указанных распределений с течением времени I меняются. Это означает, что в каждом сечении система успевает перейти к состоянию термодинамического равновесия прежде, чем составляющие ее частицы осядут на дно контейнера, то есть время осаждения частиц существенно превышает время релаксации системы.

В данном разделе показано, что при уменьшении значения коэффициента восстановления а также при отличной от нуля величине коэффициента трения ^{ц — 0.2, [1-2,/л — 20) процесс осаждения частиц гранулированной системы перестает быть равновесным: гипотеза о распределении частиц системы по величинам скоростей и по высотам в соответст-вин с законами Максвелла и Больцмана оказывается неверной на всем временном интервале моделирования при проверке по критерию с уровнем значимости Это означает, что при уменьшении значения коэффициента восстановления и ненулевой величине коэффициента трения частицы исследуемой гранулированной системы оседают быстрее, чем система успевает достичь состояния термодинамического равновесия.

В разделе 5.4 приведены оценки величин, характеризующих процессы осаждения частиц гранулированной системы, в зависимости от значений

коэффициента восстановления е и коэффициента трения ц. Определены доли полной механической энергии, приходящиеся на поступательное и вращательное движение частиц гранулированной системы. Найдены значения коэффициента диффузии, полученные для изучаемой гранулированной системы с помощью уравнения Эйнштейна-Смолуховского.

В разделе 5.5 сформулированы выводы по пятой главе диссертационной работы.

В заключении представлены основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту:

- обнаруженный осциллирующий характер релаксационных процессов, протекающих при наличии гравитационного поля в исследуемых трехмерных системах твердых сфер — модели абсолютно упругих невра-щающихся сфер, модели частично неупругих невращающихся сфер, модели абсолютно упругих вращающихся сфер, модели частично неупругих вращающихся сфер;

- временные зависимости характеризующих состояние системы величин, установленные при исследовании возникающих в рассмотренных системах свободных колебаний;

- условия отсутствия колебаний исследуемых величин в системе абсолютно упругих невращающихся сфер;

- эффект появления на кривой равновесной плотности распределения частиц по высотам точки перегиба для системы абсолютно упругих нев-ращающихся сфер при переходе от системы с малой плотностью к системе с большой плотностью с увеличением радиуса частиц системы;

- критерий равновесности процессов осаждения частиц гранулированной системы и характер изменения формы распределений частиц гранулированной системы по величинам скоростей и по высотам, получаемых в различных сечениях случайного процесса по мере осаждения ее частиц.

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих

публикациях:

1. Loguinova N.B., van Heijst G.J.F., Schram P.P.J.M., Trigger SA, Vlasov Yu.P. Relaxation of granular gas under gravity.//PHYSICA A. - 2003. -Vol. 323.-P. 155-170.

2. Loguinova N.B. Evolution under gravity of a three-dimensional hard-sphere system and a three-dimensional granular gas. // Book of abstracts of the XXXII International Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics 2004». - Saint-Petersburg (Repino), 2004. - P. 60.

3. Loguinova N.B. Granular matter: Transition to equilibrium under grav-ity.//Proceedings of the International Conference «PHYSICS and CONTROL 2003». - Saint-Peterburg, 2003. - P. 52-57.

4. Loguinova N.B. Transition to equilibrium of a three-dimensional hard-sphere system under gravity. // Proceedings of the XXXI International Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics 2003». -Saint-Petersburg (Repino), 2003.

5. Loguinova N.B., Trigger S.A., Vlasov Yu.P. Mathematical simulation of relaxation of granular medium under gravity. // Book of abstracts of the IV International Conference «TOOLS FOR MATHEMATICAL MODELING 2003». - Saint-Petersburg, 2003. - P. 102.

6. Loguinova N.B. Mathematical simulation of relaxation processes in granular medium in a closed container under gravity. // Book of abstracts of the XXXI International Summer School-Conference «Advanced Problems in Mechanics 2003». - Saint-Petersburg (Repino), 2003. - P. 66.

7. Логинова Н.Б. Эволюция гранулированного газа под воздействием гравитационного поля.//Сборник научных трудов научной сессии МИФИ-2004. - Москва, 2004. - С. 102.

8. Логинова Н.Б. Релаксация и равновесные распределения системы твердых сфер. // Сборник докладов IV Международной конференции «Участие молодых ученых, инженеров и педагогов в разработке и реализации инновационных технологий». - Москва, 2003. - С. 249-251.

-239. Логинова Н.Б. Равновесные распределения частиц гранулированной среды при наличии гравитационного поля. // Вестник МИИТа. - 2003. -№8.-С. 95-102.

Ю.Логинова Н.Б. Численное моделирование релаксации гранулированного газа. // Сборник трудов научно-практической конференции «Неделя науки-2002». - Москва, 2002. - С. ХХШ-2.

«м 2 5 78

Логинова Надежда Борисовна

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ГРАНУЛИРОВАННЫХ СРЕД

Специальность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Подписано к печати - /7- СбХ'Ь. Формат -

Заказ 376, №

Усл.-печ. л. -/£ Тираж - 80 *

127994, г. Москва, ГСП-4, ул. Образцова, 15 Типография МИИТ

ВВЕДЕНИЕ

1. ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ ГРАНУЛИРОВАННЫХ СРЕД

1.1. Флюидизация и конденсация гранулированных сред под воздействием вибрации1 б

1.2. Конвекционные течения в гранулированных средах

1.3. Сегрегация гранулированных сред

1.4. Поверхностные структуры в тонких слоях гранулированных сред

1.5. Волны плотности при свободном падении гранулированных сред

1.6. Кластеризация и коллапс в гранулированных средах

1.7. Гидродинамический подход к описанию динамики гранулированных сред

1.8. Возможные направления исследования динамики гранулированных сред

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИНАМИКИ ГРАНУЛИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ

2.1. Постановка задачи о релаксации гранулированной системы

2.2. Этапы математического моделирования

2.3. Математическая модель гранулированной системы ;

2.4. Метод моделирования динамики гранулированной системы

2.5. Формулы пересчета скоростей сталкивающихся частиц гранулированной системы

2.6. Начальные и краевые условия. Значения параметров модели '

2.7. Исследуемые величины, характеризующие состояние гранулированной системы

3. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕ

ТВЕРДЫХ АБСОЛЮТНО УПРУГИХ НЕВРАЩАЮЩИХСЯ СФЕР

3.1. Постановка задачи

3.2. Релаксация системы в гравитационном поле (g Ф 0)

3.3. Условия отсутствия колебаний

3.4. Особенности протекания релаксационных процессов

3.5. Релаксация системы без учета гравитации (g = 0)

3.6. Оценка полной механической энергии системы

3.7. Вычисление коэффициента диффузии системы

3.8. Зависимости характеристик колебаний от параметров модели

3.9. Выводы

4. РАВНОВЕСНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТИЦ СИСТЕМЫ

ТВЕРДЫХ АБСОЛЮТНО УПРУГИХ НЕВРАЩАЮЩИХСЯ СФЕР

4.1. Постановка задачи

4.2. Критерии проверки достижения системой состояния термодинамического равновесия

4.3. Равновесные распределения частиц системы по величинам скоростей

4.4. Равновесные распределения частиц системы по высотам

4.5. Гидростатический подход к описанию равновесных состояний системы

Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса

Уравнение состояния Карнагана-Старлинга

4.6. Выводы

5. ПРОЦЕССЫ ОСАЖДЕНИЯ В ГРАНУЛИРОВАННОЙ СИСТЕМЕ

5.1. Постановка задачи

5.2. Осциллирующий характер процессов осаждения частиц гранулированной системы

5.3. Равновесность и неравновесность процессов осаждения частиц гранулированной системы

5.4. Вычисление величин, характеризующих процессы осаждения частиц гранулированной системы

5.5. Выводы

Диссертационная работа посвящена исследованию динамики гранулированной системы методами математического (и компьютерного) моделирования.

Гранулированной средой называется дискретная система, состоящая из большого числа частиц, размеры которых сопоставимы с расстояниями между ними. Существенно, что при изучении свойств таких систем взаимодействие между частицами гранулированной среды рассматриваются как столкновения твердых тел. Это означает, что силы взаимного притяжения и отталкивания, подобные межмолекулярному взаимодействию в жидкостях, между частицами гранулированной системы не учитываются.

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. В диссертационной работе проведено математическое моделирование динамики гранулированных сред, заключенных в замкнутом объеме пространства под воздействием гравитационного поля, и исследованы возможности компьютерного моделирования.

Актуальность темы диссертационной работы связана с наличием гранулированных сред в природе, с многочисленным практическим применением гранулированных веществ в повседневной жизни, а также с использованием новых технологий в различных отраслях производства от фармацевтики и промышленности строительных материалов до микроэлектроники.

В природе гранулированные среды встречаются повсеместно: пустыни (Bagnold, 1941), прибрежные зоны морей и океанов, древние морские глубины представляют собой неисчерпаемые источники кварцевого песка - основного строительного материала современной цивилизации.

На производство гранулированных материалов расходуется порядка десяти процентов вырабатываемой на планете энергии. По использованию человеком в повседневной деятельности гранулированные вещества занимают второе место после воды.

В промышленности строительных материалов, строительной индустрии, жилищно-гражданском строительстве интенсивно применяются гранулированные строительные смеси - гравий, щебень, галька, песок, глина; уголь, соли; руды алюминия, марганца, железа; россыпи золота, платины, алмазов; фосфориты, — которые используются как облицовочные, электроизоляционные, кислотоупорные материалы, сырье для каменного литья, декоративный камень и проч.

Промышленные технологии обработки и использования гранулированных материалов встречаются практически во всех отраслях народного хозяйства. Процессы дробления, измельчения, соединения, перемешивания ингредиентов, находящихся в состоянии гранулированных веществ, играют существенную роль в химической, горнодобывающей промышленностях, машиностроении, косметологии, парфюмерии, фармакологии, фармацевтической химии, медицине. Однако физика процессов приготовления однородных смесей нескольких ингредиентов с различными, дополняющими друг друга воздействиями, исследована и объяснена недостаточно полно. При этом качество и степень перемешивания ингредиентов особенно важны: нарушение технологий изготовления косметических и лекарственных средств может иметь тяжелые последствия.

При исследовании физики гранулированных систем рассматриваются дискретные объекты, разброс размеров частиц которых составляет несколько порядков. Тот факт, что вещества, состоящие из отдельных частиц, диапазон размеров которых охватывает несколько порядков, могут подчиняться универсальным законам поведения, что физические законы динамики и статики гранулированных сред могут объединять объекты, различные по форме, природе, размерам, - этот факт инициирует интенсивные исследования, разработки в данной области.

Как сказано выше, диссертационная работа посвящена исследованию методами математического моделирования динамики гранулированных сред, находящихся в замкнутом объеме пространства под воздействием гравитационного поля.

Гранулированные среды в динамике проявляют уникальные эффекты, не присущие веществам в иных агрегатных состояниях. Такие особенности гранулированных сред были замечены и описаны еще несколько столетий назад, но не все из них получили свое объяснение даже к настоящему времени. С конца 50-х годов XX века в области динамики гранулированных сред проводятся исследования с интенсивным привлечением средств компьютерной техники. К настоящему времени накоплен обширный материал результатов физических экспериментов по динамике гранулированных сред. Ведется активная работа по созданию теории, отражающей существенные особенности поведения гранулированных сред, как это сделано для газов, жидкостей и твердых тел. Сложность такой задачи заключается в том, что гранулированная среда в зависимости от условий, в которых она находится, может проявпять себя как вещество в любом из перечисленных агрегатных состояний, но при этом обнаруживает и эффекты, свойственные только гранулированным веществам.

В настоящее время теория, описывающая особенности и эффекты поведения гранулированных сред, отсутствует. Успешному сотрудничеству экспериментаторов и теоретиков может содействовать разработка математической модели, адекватно сочетающей в себе и условия реального физического эксперимента, и гипотезы, допущения теории, в рамках которой рассматривается данная модель. Такому сотрудничеству способствует появление современных суперкомпьютеров, которые позволяют моделировать поведение системы многих частиц. Компьютерные эксперименты позволяют получать результаты для обширного набора варьируемых параметров модели, что зачастую невозможно в лабораторных условиях. Поэтому математическое моделирование динамики гранулированных сред служит связующим звеном между разрабатываемой теорией и существующими экспериментальными результатами, способным помочь в их трактовке и обосновании. Исследование физических объектов и процессов методами прямого компьютерного моделирования является интересной и важной задачей.

При проведении исследований особый интерес представляют следующие задачи. Во-первых, в реальных условиях на поведение объектов и характер протекающих процессов играет воздействие гравитационного поля. Во-вторых, интересно изучать динамику систем, находящихся в замкнутых областях пространства. В-третьих, более существенную роль, чем в газах, на поведение гранулированных сред оказывает частичная неупругость соударений и возможность вращения частиц при столкновениях, поэтому интерес представляет использование в расчетах моделей, учитывающих эти свойства частиц гранулированных систем. В-четвертых, важно изучить поведение системы при переходе к плотным гранулированным средам, так как именно такие среды интенсивно используются в промышленности, технике, медицине и многих других отраслях.

В диссертационной работе рассмотрена модель гранулированной среды - трехмерная система одинаковых твердых сфер. В реальных условиях частицы гранулированных сред отличаются по размерам, массе, форме. Однако с помощью простой модели, рассмотренной в диссертационной работе, обнаружены и объяснены важные особенности поведения гранулированной системы, находящейся в замкнутом объеме пространства под воздействием гравитационного поля, а также исследованы пределы применимости использованных в работе моделей твердых сфер.

Результаты, полученные в диссертационной работе, могут найти применение при рассмотрении гранулированных систем, подверженных внешним воздействиям, например, вибрациям.

Экспериментальное и численное исследование поведения гранулированных сред под воздействием вертикальной вибрации в настоящее время ведется и развивается достаточно активно (Rosato et al, 1987; Evesque & Ra-jchenbach, 1989; Laroche et al, 1989; Bernu & Mazighi, 1990; Bretz et al, 1992; Gallas et al, 1992a; Gallas et al, 19926; Herrmann, 1992; Jullien et al, 1992; Ta-guchi, 1992; Benza et al, 1993; Duran et al, 1993; Knight et al, 1993; McNamara & Young, 1993; Pak & Behringer, 1993; Duran et al, 1994; Luding et al, 1994a; Luding et al, 19946; Luding et al, 1994e; Luding et al, 1994г; Melo et al, 1994; Bourzutschky & Miller, 1995; Hayakawa et al, 1995; Knight et al, 1995; Melo et al, 1995; Pak et al, 1995; Aoki et al, 1996; Clement et al, 1996; Knight et al, 1996; Cedra et al, 1997). Одним из наиболее распространенных походов в области исследования динамики гранулированных сред является изучение поведения гранулированной системы, находящейся в стационарном состоянии или достигшей равновесия (Baxter et al, 1989; Gallas et al, 1992a; Goldhirsch & Zanetti, 1993; Pak & Behringer, 1993; Lee, 1994; Melo et al, 1994; Cantelaube & Bideau, 1995; Melo et al, 1995; McNamara & Young, 1995; Brey et al, 1996; Clement et al, 1996; Duran et al, 1996; McNamara & Young, 1996; Pouliquen & Gutfraind, 1996; Cedra et al, 1997; Hill et al, 1997; Malcse, 1997; vanNoije & Ernst, 1998; Zhou, 1998; Aranson et al, 1999; Elperin & Vikhansky 1999; Salazar & Brenig, 1999; Tobochnik, 1999; Chakraborty et al, 2000 Quinn & Hong, 2000; Hong, 2001).

Подобные работы содержат две основные особенности. Во-первых, исследование поведения гранулированных систем, подверженных внешнему воздействию (в частности, вертикальной вибрации), нацелено на изучение поведения системы под влиянием этого воздействия (в частности, вынужденных колебаний, возникающих в рассматриваемой системе под влиянием периодически изменяющейся силы). Во-вторых, анализ поведения таких гранулированных систем проводится после того, как в системе устанавливается некоторое стационарное или равновесное состояние.

Однако возникают следующие вопросы: каково поведение аналогичной гранулированной системы, не подверженной воздействию вибрации; как происходит эволюция системы из начального состояния к стационарному или равновесному; каковы особенности переходных процессов, протекающих в аналогичной гранулированной системе, по мере достижения системой стационарного или равновесного состояния.

В работах, посвященных исследованию динамики гранулированных сред, подобные вопросы не рассмотрены, в частности, не затронут вопрос о том, каков характер переходных процессов, протекающих в изучаемых гранулированных системах на этапе их эволюции из заданного начального состояния. Поэтому изучение «собственной» динамики гранулированных сред, находящихся в гравитационном поле и не подверженных внешним воздействиям, является актуальной задачей, имеющей важное научное и практическое значение.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью диссертационной работы является изучение характера релаксационных процессов в гранулированной системе, находящейся в замкнутом объеме пространства под воздействием гравитационного поля.

Исследование проведено в рамках модели твердых сфер при следующих предположениях о свойствах частиц:

- абсолютно упругие невращающиеся сферы;

- частично неупругие невращающиеся сферы;

- абсолютно упругие вращающиеся сферы;

- частично неупругие вращающиеся сферы.

Для достижения указанной цели в диссертационной работе были поставлены и решены следующие ЗАДАЧИ:

- выполнено компьютерное моделирование динамики каждой из исследуемых систем для обширного набора начальных условий и варьируемых параметров моделей;

- проведена статистическая обработка и приведена графическая иллюстрация результатов моделирования; для каждой из рассмотренных моделей твердых сфер получены статистические оценки основных числовых характеристик изучаемых случайных процессов;

- предложена физическая интерпретация поведения числовых характеристик, получаемых при статистической обработке результатов компьютерного моделирования изучаемых случайных процессов; дано физическое объяснение обнаруженных эффектов поведения исследуемых систем;

- проверены гипотезы о предполагаемых законах распределения частиц исследуемых систем;

- проведено сопоставление и подробный анализ результатов численных экспериментов, осуществленных неоднократно для каждой из моделей при изменении начальных, краевых условий и значений параметров исследуемых систем;

- проверена качественная непротиворечивость закономерностей, полученных численно и установленных аналитически.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованных источников, насчитывающего 142 наименования. Объем диссертационной работы составляет 136 страниц машинописного текста. Диссертационная работа включает 46 иллюстраций и 4 таблицы.

5.5. ВЫВОДЫ

По результатам исследования с помощью численного моделирования динамики гранулированной системы (системы твердых частично неупругих (е ф 1) вращающихся {pi Ф 0) сфер), находящихся в замкнутом объеме пространства под воздействием гравитационного поля, решены следующие задачи и сделаны следующие выводы:

- исследованы эволюционные процессы, протекающие в системе твердых частично неупругих вращающихся сфер; описаны и объяснены особенности процессов осаждения частиц гранулированной системы; описанный в главе 3 «Релаксационные процессы в системе твердых абсолютно упругих невращающихся сфер» осциллирующий характер эволюции из заданного начального состояния системы твердых абсолютно упругих невращающихся сфер сохраняется при введении в модель отличного от единицы коэффициента восстановления е Ф 1 (неупругость соударений) и ненулевого коэффициента трения pi Ф 0 (вращение частиц);

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе изучены эволюционные процессы, протекающие в находящейся в замкнутом объеме пространства под воздействием гравитационного поля трехмерной системе одинаковых твердых сфер, взаимодействия между которыми рассматриваются как соударения твердых тел. Динамика системы исследована с помощью методов математического моделирования при различных начальных условиях и разных значениях варьируемых параметров в рамках рассмотренных моделей твердых сфер. Проведен анализ временных зависимостей величин, характеризующих состояние системы в любой момент времени, на основании которых указаны и объяснены особенности процессов, проходящих в изучаемой системе на этапе ее эволюции из заданного начального состояния.

В диссертационной работе решены следующие задачи:

- осуществлено компьютерное моделирование эволюционных процессов, протекающих в рассмотренных системах в рамках трехмерных моделей твердых сфер - модели абсолютно упругих невращающихся сфер, модели частично неупругих невращающихся сфер, модели абсолютно упругих вращающихся сфер, модели частично неупругих вращающихся сфер; выполнены обработка, анализ и объяснение результатов численных экспериментов;

- для модели абсолютно упругих невращающихся сфер исследованы релаксационные процессы, протекающие в подобной системе при ее эволюции из заданного начального состояния к состоянию термодинамического равновесия системы; описан и объяснен характер релаксационных процессов;

- исследованы равновесные состояния системы абсолютно упругих невращающихся сфер; проанализированы распределения частиц такой системы по величинам скоростей и по высотам в состоянии ее термодинамического равновесия;

- предложено гидростатическое описание равновесных состояний системы твердых сфер;

- для модели гранулированной системы изучены эволюционные процессы, проходящие в системе по мере осаждения ее частиц на дно контейнера; определены и объяснены возникающие при изменении параметров модели особенности процессов осаждения частиц;

- исследованы получаемые в ходе процессов осаждения распределения по величинам скоростей и по высотам частиц гранулированной системы.

Таким образом, в результате выполнения диссертационной работы:

- обнаружено, что релаксационные процессы, протекающие в системах рассмотренных типов, носят осциллирующий характер;

- установлены и приведены в виде параметрических семейств кривых зависимости характеристик обнаруженных свободных колебаний в системе от значений ее параметров; на основании указанных зависимостей оценены характеристики возникающих в системе собственных колебаний;

- сформулированы условия отсутствия колебаний в системе твердых абсолютно упругих невращающихся сфер;

- для модели абсолютно упругих невращающихся сфер установлено, что переход от системы с малой плотностью к системе с большой плотностью сопровождается появлением на кривой равновесной плотности распределения частиц по высотам точки перегиба; точка перегиба возникает при определенных значениях процента заполнения частицами свободного объема занимаемого ими кубического контейнера; доля объема контейнера, занимаемая частицами, позволяет провести классификацию изучаемых систем по их плотности;

- для рассмотренных систем получены оценки коэффициента диффузии при различных значениях радиуса частиц системы;

- приведены оценки времени релаксации и времени осаждения частиц систем рассмотренных типов; определены условия, при которых процессы осаждения частиц гранулированной системы являются термодинамически равновесными.

1. Базаров И.П., Геворкян Э.В., Николаев П.Н. Неравновесная термодинамика и физическая кинетика. М.: МГУ, 1989. - 240 с.

2. ГулдХ., ТобочникЯ. Компьютерное моделирование в физике. — М.: Мир, 1990. Т. 1-2.

3. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1982. - 608 с.

4. Компанеец А.С. Курс теоретической физики. Т. I. Элементарные законы. М.: Просвещение, 1972. - 512 с.

5. КориолисГ. Математическая теория явлений бильярдной игры. М.: Гостехиздат, 1956.-234 с.

6. Краснощеков П.С., Петров А.А. Введение в математическое моделирование. -М.: Наука, 1984.

7. Кубо Р. Статистическая механика. М.: Мир, 1967. - 452 с.

8. Кунин С. Вычислительная физика. М.: Мир, 1992. - 518 с.

9. Лагарьков А.Н., Сергеев В.М. Метод молекулярной динамики в статистической физике. // УМН. 1978. - № 125. - С. 400.

10. Ландау Л.Д., ЛифшицЕ.М. Теоретическая физика. Т. V. Статистическая физика. -М.: Наука, 1976. 584 с.

11. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. - 736 с.

12. Левич В.Г. Курс теоретической физики. М.: Наука, 1969. — 912 с.

13. Логинова Н.Б. Равновесные распределения частиц гранулированной среды при наличии гравитационного поля. // Вестник МИИТа. 2003. -№8.-С. 95-102.

14. Логинова Н.Б. Эволюция гранулированного газа под воздействием гравитационного поля. // Сборник научных трудов научной сессии МИФИ—2004. — М.: МИФИ, 2004. С. 102.

15. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику- М.: Едиториал УРСС, 2002. -256 с.

16. Раус Э.Дж. Динамика системы твердых тел. М.: Наука, 1983. Т. 1-2.

17. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. -М.: Наука, 1984. 192 с.

18. ХирК. Статистическая механика, кинетическая теория и стохастические процессы. М.: Мир, 1976. - 600 с.

19. Экштайн В. Компьютерное моделирование взаимодействия частиц с поверхностью твердого тела. — М.: Мир, 1995. 319 с.

20. Alder B.J., Wainwright Т.Е. Decay of the velocity autocorrelation function. // Phys. Rev. A. 1970. - Vol. 1. - P. 18-21.

21. Alder B.J., Wainwright Т.Е. Studies in molecular dynamics. I. General method. // J. Chem. Phys. 1959. Vol. 31. - P. 459-466.

22. Alder B. J., Wainwright Т.Е. Velocity autocorrelations for hard spheres. // Phys. Rev. Lett. 1967. - Vol. 18. - P. 988-990.

23. Antal Т., Droz M.', Lipowski A. Exponential velocity tail in a driven inelastic Maxwell model.//Phys. Rev. E. 2002. - Vol.66. - P. 062301 (3 pages).

24. Aoki K.M., Akiyama T. Simulation studies of pressure and density wave propagations in vertically vibrated beds of granules. // Phys. Rev. E. — 1995. Vol. 52. - P. 3288-3291.

25. AokiK.M., Akiyama Т., Maki Y., WatanabeT. Convective roll patterns in vertically vibrated beds of granules. //Phys. Rev. E. 1996. - Vol. 54. -P. 874-883.

26. Aranson I.S., Tsimring L.S., Vinokur V.M. Continuum theoiy of axial segregation in a long rotating drum.//Phys. Rev. E. 1999. - Vol.60. -P. 1975-1987.

27. Barker G.C., Mehta A. Transient phenomena, self-diffusion, and orienta-tional effects in vibrated powders.//Phys. Rev. E. 1993. - Vol.47. -P. 184-188.

28. Barker G.C., Mehta A. Vibrated powders: Structure, correlations, and dynamics. //Phys. Rev. A. 1992. - Vol. 45. - P. 3435-3446.

29. Barrat A., Trizac E., Lindenberg K. Molecular dynamics simulations of vibrated granular gases. // Phys. Rev. E. 2002. - Vol.66. - P. 051303 (13 pages).

30. Baxter G.W., Behringer R.P., FagertT., Johnson G.A. Pattern formation in flowing sand. // Phys. Rev. Lett. 1989. - Vol. 62. - P. 2825-2828.

31. Benza V.G., Nori F., Pla O. Mean-field theory of sandpile avalanches: From the intermittent to the continuous-flow regime.//Phys. Rev. E. 1993. — Vol. 48.-P. 4095-4098.

32. Bernu В., Delyon F., Mazighi R. Steady states of a column of shaken inelastic beads. // Phys. Rev. E. 1994. - Vol. 50. - P. 4551-4559.

33. Bernu В., Mazighi R. One-dimensional bounce of inelastically colliding marbles on a wall. // J. Math. Phys. 1990. - Vol. 23. - P. 5745-5754.

34. Biswas P., Sancez P., Swift M.R., King P J. Numerical simulations of air-driven granular separation.//Phys. Rev. E. 2003. - Vol.68. — P. 050301(R) (4 pages).

35. Blair D.L., Kudrolli A. Clustering transitions in vibrofluidized magnetized granular materials. // Phys. Rev. E. 2003. - Vol. 67. - P. 021302 (4 pages).

36. Bourzutschky M., Miller J. «Granular» convection in a vibrated fluid. // Phys. Rev. Lett. 1995. - Vol. 74. - P. 2216-2219.

37. Bretz M., Cunningham J.B., Kurczynski P.L., Nori F. Imaging of avalanches in granular materials. // Phys. Rev. Lett. 1992. - Vol. 69. - P. 2431-2434.

38. BreyJJ., Cubero D. Steady state of a fluidized granular medium between two walls at the same temperature. //Phys. Rev. E. 1998. - Vol. 57. — P. 2019-2029.

39. Brey J J., Cubero D., Ruiz-Montero M.J. High energy tail in the velocity distribution of a granular gas. // Phys. Rev. E. 1999. - Vol. 59. - P. 1256-1258.

40. Brey J.J., Prados A. Closed model for granular compaction under weak tapping. // Phys. Rev. E. 2003. - Vol. 68. - P. 051302 (8 pages).

41. BreyJJ., Ruiz-Montero M.J. Velocity distribution of fluidized granular gases in the presence of gravity.//Phys. Rev. E. 2003. — Vol. 67 -P. 021307 (7 pages).

42. Brey J.J., Ruiz-Montero M.J., Cubero D. Homogeneous cooling state of a low-density granular flow. //Phys. Rev. E. 1996. - Vol. 54. - P. 36643671.43.