автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Статистический метод частиц в задачах коагуляции

На правах рукописи

Самылкин Александр Александрович

Статистический метод частиц в задачах коагуляции.

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 9 СЕН 2011

Москва - 2011

4854899

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М. В.

Келдыша РАН.

Научный руководитель: Научный консультант: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

кандидат физико-математических наук КОРОЛЕВ Александр Евгеньевич доктор физико-математических наук, академик МАРОВ Михаил Яковлевич доктор физико-математических наук, профессор ГАЛКИН Валерий Алексеевич; доктор физико-математических наук, профессор ШЕМАТОВИЧ Валерий Иванович. Институт космических исследований РАН

Защита состоится «13» октября 2011г. в 10 часов на заседании диссертационного совета 002.024-03 при Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, расположенном по адресу: 125041, Москва, Миусская пл., д.4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПМ им. М.В.Келдыша РАН по адресу 125047, Москва, Миусская пл., д.4-

Автореферат разослан « » , — 2011 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

Змитренко Н. В.

Общая характеристика работы

Актуальность работы определяется необходимостью построению модификаций численных методов для решения задач, связанными с процессами коагуляции в системах сталкивающихся частиц, описываемых уравнениями Больцмана и Смолуховского.

Интерес к системам сталкивающихся частиц обусловлен исследованиями в астрофизике, авиационной и вакуумной технике, биологических систем и химических процессов. Процессы кластерообразования возникают во многих природных явлениях: коагуляция пылевых частиц в газовых облаках, процессы полимеризации, свертываемости крови, динамика разрушений деталей.

Важность развития численных методов решения уравнений Больцмана и Смолуховского связана с необходимостью расчетов прямых математических моделей, соответствующих реальным физическим системам. В настоящее время найдены точные решения уравнений только для сравнительно простых случаев, а в некоторых ситуациях уравнение Смолуховского не имеет классического решения. Поэтому прямое математическое моделирование имеет большое прикладное значение. Быстрый рост производительности вычислительной техники, использование многопроцессорных вычислительных систем делают реальной возможность детального моделирования газодинамических потоков.

Цель диссертационной работы состоит в разработке модификаций статистического метода частиц, его анализа, реализации и проведении вычислительных экспериментов прямого моделирования систем взаимодействующих частиц с процессами кластерообразования.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

1. Модификация статистического метода частиц для моделирования процессов кластерообразования.

2. Анализ соответсвия алгоритмов моделируемых процессов уравнениям

Больцмана и Смолуховского.

3. Реализация алгоритма моделирования и проведение численных экспериментов для проведения тестовых расчетов на известных задачах.

Научная новизна

1. Предложена модификация весовой схемы испытаниями Бернулли для численного решения дискретного одно- и многокомпонентного уравнения Смолуховского.

2. Проведен теоретический анализ предложенных схем, доказано соответствие моделируемого процесса дискретному уравнению Смолуховского. На примере тестовых задач проведена проверка работы модификации весовой схемы.

3. Предложена имитационная равнопредставительная модель для столкно-вительной коагуляции и численного исследования уравнения Больцмана.

4. Проведен теоретический анализ предложенных схем, доказано соответствие моделируемого процесса уравнению Больцмана с первым порядком точности.

5. На примере расчета задачи столкновения встречных потоков показана принципиальная возможность использования схемы для моделирования астрофизических явлений, в первую очередь для планетной космогонии.

Практическая значимость работы состоит в следующем:

1. Создан алгоритм и программное обеспечение для численного решения дискретного одно- и многокомпонентного уравнения Смолуховского весовой схемой Бернулли.

2. Проведен теоретический анализ предложенных схем, доказано соответствие моделируемого процесса дискретному уравнению Смолуховского. На примере тестовых задач проведена проверка работы модификации весовой схемы.

3. Создан алгоритм и программное обеспечение для численного решения уравнения Больцмана с процессами кластерообразования.

4. Проведена серия численных расчетов для исследования процессов коагуляции при столкновительном взаимодействии массивных пылевых сгущений.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Построена модификация весовой схемы испытаниями Бернулли для численного решения одно- и многокомпонентного уравнения Смолуховского. На примере тестовых задач проведена проверка работы модификации весовой схемы.

2. Построена имитационная равнопредставительная модель для столкнови-тельной коагуляции и численного исследования уравнения Больцмана.

3. Проведен теоретический анализ предложенных схем, доказано соответствие моделируемого процесса уравнению Больцмана с первым порядком точности.

4. На примере расчета задачи столкновения встречных потоков показана принципиальная возможность использования схемы для моделирования астрофизических явлений, в первую очередь для планетной космогонии.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:

1. XXXIII Академические чтения по космонавтике. Москва, 2009

2. VIII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. Сочи, 2007

3. XV и XVI Международная конференция по механике и современным прикладным программным системам. Алушта, 2007, 2009.

4. VI Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях. Санкт-Петербург, 2006.

5. VII и VIII Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях. Алушта, 2008, 2010.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 15 печатных работах, из них 5 статей в рецензируемых журналах [1-5], 10 статей в сборниках трудов конференций и тезисов докладов.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в результаты проведенных исследований. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором и полностью отражены в публикациях .

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 3 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 104 страницы печатного текста. Библиография содержит 130 наименований.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения, приведен обзор исследований, связанных с математическим моделированием кинетики сталкивающихся частиц.

В первой главе изложен метод моделирования испытаниями Бернулли с весовыми множителями для численного решения дискретного уравнения Смо-луховского:

= \Ек{-1 -- о - Ек('• О"«.о

г=1 1=1

с начальными условиями п(/,0) = ф{1). п(1,£) - концентрация кластеров, состоящих из I частиц в момент времени г, а ЛТ(а;, у) - ядро коагуляции, которое определяет скорость с которой частицы размером х взаимодействуют с частицами размером у.

В §1 изложен алгоритм моделирования процессов коагуляции схемой испытаниями Бернулли с пропорциональной представленностью кластеров, показаны трудности, возникающие при использовании такой схемы: необходимость с течением времени создавать копии частиц с уменьшенным весом и увеличение общего количества частиц при переходе к моделированию многокомпонентных процессов кластерообразования.

В §2 предложена весовая модификация метода для однокомпонентного уравнения Смолуховского. Модельная частица р представляется двумя параметрами (/, и>), где I 6 N - определяет размер кластеров, которые представляет модельная частица, а и> е М+ - определяет ее вес: количество кластеров, которые она представляет. Столкновение двух частиц - функция, отображающая

частицы и ру в себя следующим образом (ад (р*) < и>(р^):

ги(х ),1{х)

™{у)Ау)

ш(ж), 1{х) + 1{у)

ю{у) - ы{х), 1{х)

Эволюцию модели на временном шаге проходит по следующему алгоритму. В системе из N частиц для всех возможных пар частиц (рьр^) выполняются следующие процедуры:

Шаг 1. Разыгрывается факт взаимодействия с вероятностью

Шаг 2. Если взаимодействие произошло, то частицы заменяются на новые, в соответствии с функцией столкновения. В противном случае параметры частиц не меняются.

Шаг 3. Перемешивание модельных частиц между реализациями случайного

В §3,4 проведен теоретический анализ используемого алгоритма, показано соответствие моделируемому уравнению и ограниченность дисперсии весовых множителей. Приведен пример, показывающий необходимость введения в расчетную схему процедуры перемешивания модельных представителей между независимыми реализациями случайного процесса. В §5 на примере расчета известных аналитических решений проверяется качество работы данной схемы.

В §6 приводится модификация весовой схемы испытаниями Бернулли для многокомпонентного уравнения Смолуховского, вместо фиксации одного сорта частиц, можно представить сорт в виде вектора т = (т1,..., тр), где р - число компонент смеси, а т, € N.

Р = К(1(р1),1(р1))тах{1и{рг),гю(р1)№

процесса.

В §7-8проводится теоретический анализ алгоритма и сравнение с известными аналитическими решениями для двухкомпонетной смеси. При использовании 40000 реализаций случайного процесса с 2 модельными частицами погрешность не превышала 1% для различных моментов функции распределения кластеров.

Во второй главе изложено расширение весового подхода для процессов коагуляции, описываемых уравнением Больцмана. Существенно новым является использование индивидуальной сортовой характеристики частиц, которая изменяется при участии частиц в процессе кластерообразования.

В §1 приводится весовой алгоритм моделирования уравнения Больцмана в пространственно неоднородном случае. Алгоритм моделирования строится следующим образом. Фиксируется К независимых реализаций случайного процесса, расчетная область разбивается на ряд ячеек, в которых содержится постоянное число п модельных частиц. Функцией распределения скоростей частиц сорта I в ячейке будет ^(и) = = Алгоритм моделиро-

вания можно представить в виде следующей последовательности действий на каждом шаге Д< для всех реализаций:

Шаг 1. Столкновительная релаксация частиц.

Шаг 2. Перемещение частиц в соседние ячейки.

Шаг 3. Перемешивание частиц между независимыми реализациями случайного процесса.

Случайный процесс строится как последовательность столкновений, разыгрываемых по Монте-Карло. Отличительной чертой схемы Бернулли является возможность использования в расчетах предельно малого числа представителей каждого компонента с сохранением больцмановской частоты столкнове-

ний. Для каждой пары частиц в ячейке с вероятностью:

1 , при I Ф к

_ пко1к$Ы

13 мк

= К

щащд^АЬ N1

К =

N1, Щ - количество модельных представителей компонент I и к

происходит столкновение, а скорости определяются в соответствии с механикой упругого удара. Для частиц с разными весами при достоверно произошедшем столкновении скорости частиц не обязательно изменятся. Модельные частицы, обладающие меньшим весом ,шт1П изменят скорости с вероятностью 1, а частицы с большим весом и)тах изменят скорость с вероятностью гитгге/готаа;. Такая особенность моделирования связана с парностью столкновений. Общее число столкнувшихся пар частиц будет гит1П, а ъитах — адтг„ частиц не будут участвовать в столкновении. Таким образом образуется 3 множества частиц, и для сохранения постоянного количества модельных частиц используется метод Монте-Карло, чтобы определить новые параметры модельных представителей.

Введение весовых множителей позволяет представлять каждый из 5 компонентов А[ концентраций щ,1 = 1,2, рассматриваемой газовой смеси одним и тем же числом модельных частиц N независимо от значений щ. В результате все многообразие реальных молекул каждого компонента заменяется N подмножествами частиц, обладающих одним и тем же вектором скорости внутри каждого подмножества (см. рис. 1). Любое подмножество частиц может быть подвергнуто внешнему воздействию различной природы и интенсивности.

Таким образом, каждый модельный представитель фактически характеризует собой поведение значительного числа реальных частиц. Мощности каждого подмножества соответствует вес т его модельного представителя. В начальный момент моделирования все веса для простоты принимаются равными го((0) = щ/Ы. При химических превращениях в процессе расчета значения

N

1=1

Рис. 1. Весовая схема моделирования

весов могут изменяться, однако неизменно для каждого компонента смеси выполняется условие: = п({).

Существенно подчеркнуть, что при взаимодействии модельных молекул скорость частицы, обладающей большим весом изменяется не обязательно, а лишь с вероятностью, равной отношению меньшего веса к большему. При этом всегда строго соблюдается принцип парности взаимодействия реальных молекул. На рис. 2 показана схема реализации весового подхода при моделировании упругого взаимодействия двух модельных представителей различной мощности.

Для пространственно неоднородных нестационарных задач на каждом временном шаге, наряду с этапом молекулярных столкновений, имитируется этап пространственного сдвига, в ходе которого возможен переход частиц в соседние пространственные ячейки расчетной области.

Была разработана вычислительная процедура, при реализации которой в течение всего процесса моделирования в отдельной пространственной ячейке каждый компонент смеси представляется одним и тем же постоянным числом частиц. Алгоритм расчета пространственного сдвига на малом временном шаге АЬ сводится к моделированию методом Монте-Карло акта обмена частицами

Рис. 2. Весовой подход при моделировании столкновений

между соседними ячейками. Далее для упрощения символики индексы компонентов газовой смеси опускаются.

Для иллюстрации алгоритма ниже рассмотрено двумерное плоское течение. Пусть все пространственные ячейки имеют прямоугольную форму и одинаковые размеры Ах и Ау, число ячеек по осям ОХ и ОУ одинаково и равно К. Без потери общности рассуждений будем считать, что частица имеет положительные составляющие вектора скорости сх > 0, су > 0. Тогда схема реализации пространственного сдвига частицы Акп весом ткп, находящейся в пространственной ячейке с номером к по оси ОХ и номером п по оси ОУ будет такова:

Шаг 1. Вычисляется доля частиц в группе Акп, перешедших в ячейки с номерами (к + 1 ,п), (к+1,п+ 1), и (/с,п+ 1):

(схы СуАЬ

СхЫ СуЫ

дк(п+1) = «Ы1 -

(к, п+1) Ц-СхДИхМСуДЕ/йу) 1--- (к+1, п+1) (с^АШШс^Шу)

(к, п) , 1___ (1- с^ММ/Ц - с,ШАу) (к+1, п) __1 (с,Д0Их)/(1 - с,ДУДу)

Рис. 3. Схема пространственного сдвига.

Шаг 2. Доля частиц, оставшихся в ячейке (к,п), уменьшается на величину: ^ = 4(п+1) + ¿((с+1)(п+1) + <5(Ь+1)п, т.е. их вес становится равным: и]*кп = ги/сп —

Шаг 3. Веса частиц Ак(п+1), !)(„+!) увеличиваются соответствен-

но на величины 6(к+1)п, 4(п+1), ¿(Ш)(п+1)-

Шаг 4. Скорости частиц Ак(п+1), изменяются с вероятно-

стями, соответствующими весовому подходу:

Р(к+1)п(скп ~> С((;+1)п) —

Рк(п+1){скп —> с(с(га+1)) = Р(к+1)(п+1){Скп —» С()Ь+1)(п+1)) :

Щ+1)п

¿к(п+1)

Мк(п+1) <5(*+1)(га+1)

И>(*+1)(п+1)

На границе раздела фаз реализуется аналогичная весовая схема, описывающая различные типы взаимодействия модельных частиц со стенкой расчетной области, включая отражение частиц в прежнюю или соседние ячейки в зависимости от значения соответствующих компонент скорости.

Алгоритм поддерживает в ячейках постоянное число частиц независимо от интенсивности переходов как на равномерных сетках так и на переменных. При этом, алгоритм естественным образом сохраняет это условие при работе с адаптивными сетками. Без каких-либо принципиальных изменений в алгоритме возможно рассмотрение осесимметричных и трехмерных течений.

В §2,3 проводится теоретический анализ предлагаемого алгоритма. Использование весовых множителей приводит к нарушению детального соблюдения законов сохранения при моделировании взаимодействия частиц. Анализ схемы устанавливает наличие в ней консервативности на уровне математического ожидания. Исследование алгоритма позволяет сделать вывод о соответствии порождаемого им случайного процесса уравнению Больцмана для упругого взаимодействия частиц с точностью до разностной аппроксимации производной <2/<Й и статистической зависимости частиц. В §4 приведены результаты расчетов задачи теплопередачи между параллельными пластинами для бинарной смеси газов.

В §5,6 предложена модификация весовой схемы Бернулли для процессов коагуляции, зависящих от относительных скоростей взаимодействующих частиц. Существенно новым является введение в модель индивидуальной сортовой характеристики частицы, позволяющей избежать квадратичной зависимости относительно количества сортов частиц. Проводится теоретический анализ соответствия предложенной схемы уравнению Больцмана, описывающему процессы коагуляции.

Третья глава посвящена апробированию алгоритма для задач астрофизики: моделированию взаимодействия массивных пылевых сгущений. В большинстве существующих моделей [4] с динамикой частиц и их ростом при соударениях связывают образование зародышей планет - планетезималей. Однако численные и лабораторные эксперименты последних лет показали, что при относительных скоростях пылевых частиц выше 1 м/с преобладает процесс

разрушения, а не объединения. Не достаточно обоснована и возможность роста частиц путем объединения при столкновениях в интервале размеров от 10 см до 10 м, как и возможность образования самогравитирующих тел размерами 0.1-1 км. Более вероятным сценарием эволюции газопылевого субдиска может быть модель образования пылевых сгущений (пылевых кластеров) с начальной массой порядка массы астероидов ( 1015 —1019 г.) и размерами в пределах «0,1-10 км, особенно внутри вихревых структур, с учетом процессов самоорганизации в турбулентной среде.

Результаты численных экспериментов по изучению столкновительного взаимодействия массивных пылевых сгущений в зависимости от концентрации частиц и относительных поступательных скоростей позволяют проследить характер эволюции поля концентраций и наложить вполне определенные ограничения на условия слипания частиц в сгущениях (кластерообразования). Это подкрепляет представления о начальном этапе образования зародышей планет вследствие возникновения в протопланетном диске первичных пылевых сгущений и их взаимодействий, как значительно более вероятном механизме, чем рост пылевых частиц при непосредственных соударениях в диске.

В Заключении диссертации сформулированы основные результаты, полученные впервые и выносимые на защиту.

1. Построена модификация весовой схемы испытаниями Бернулли для численного решения дискретного одно- и многокомпонентного уравнения Смолуховского. Использование весовых множителей, а так же свойства исходной схемы моделирования позволяют эффективно моделировать релаксацию в смесях с большим различием в концентрациях, используя небольшое число частиц в одной модели. С целью уменьшения статистических флуктуаций осуществляется параллельный розыгрыш большого числа реализаций модели. Проведен теоретический анализ предложенной схемы, создана и протестирована компьютерная программа для алгорит-

ма моделирования.

2. Предложена имитационная равнопредставительная модель для столкно-вительной коагуляции и численного решения уравнения Больцмана. Существенно новым моментом является введение в модель переменных масс и диаметров частиц, что позволяет учитывать изменение концентраций кластеров в результате процессов коагуляции, сохраняя постоянное и равное число модельных представителей.

Проведен теоретический анализ предложенных схем, доказано соответствие моделируемого процесса уравнению Больцмана с точностью до величины разностной аппроксимации производной d/dt и статистической зависимости частиц.

3. Проведена серия численных расчетов для исследования процессов коагуляции при столкновительном взаимодействии массивных пылевых сгущений. Исследовано влияние концентраций и диаметров частиц на процессы кластерообразования.

4. Разработанные алгоритмы моделирования и вычислительная программа могут быть использованы для математического моделирования коагуляции в молекулярных облаках, исследования процессов кластерообразования в протопланетных дисках и массивных пылевых сгущениях.

В заключении автор благодарит научного консультанта данной работы академика Марова М.Я., который высказал идею создания алгоритмов для решения задач коагуляции в приложении к задачам образования планет и научного руководителя к.ф.-м.н. Королева А.Б. за плодотворное обсуждение методов Монте-Карло. Автор также благодарит заведующего отделом ИПМ им. М.В. Келдыша РАН д.ф.-м.н. Колесниченко A.B. и к.т.н. Осипова В.П. за постоянное внимание к работе.

Список публикаций

1. Королев А.Е., Осипов В.П., Самылкин A.A. Модификация статистического метода частиц в приложении к задачам тепломассопереноса в разреженных газовых смесях // Космонавтика и ракетостроение. 2006. № 4(45). С. 16-23.

2. Маров М.Я., Королев А.Е., Осипов В.П., Самылкин A.A. Развитие метода прямого численного моделирования в приложении к задачам кластеро-образования в разреженных гетерогенных средах. // Вестник Калужского университета. 2008. № 3. С. 3-8.

3. Маров М.Я., Королев А.Е., Осипов В.П., Самылкин A.A. Имитационное моделирование струйных течений и диссипативных потоков методом переменных весовых множителей. // Матем. моделирование. 2009. Т. 21, № 9. С. 34-42.

4. Маров М.Я., Королев А.Е., Осипов В.П., Самылкин A.A. Численное стохастическое моделирование образования кластеров. // Доклады Академии Наук. 2010. Т. 432, № 4. С. 1-4.

5. Marov М. Ya., Korolev А.Е., Osipov V.P., Samylkin A.A. Numerical Stochastic Simulation of Cluster Formation // Doklady Physics. 2010. Vol. 55, no. 6. Pp. 283-286.

Подписано в печать: 08.09.11

Объем: 1,5 усл.п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 478 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, ул.Рождественка, 5/7,стр.1 (495)978-43-34; www.reglet.ru

Введение

Обзор литературы.

Глава 1. Численное решение дискретного уравнения Смолу-ховского с использованием схемы испытаний Бернулли. . 24 1.1. Алгоритм моделирования процесса кластерообразования с постоянными весами.

1.2. Алгоритм моделирования процесса коагуляции схемой испытаний Бернулли с использованием весовых множителей.

1.3. Анализ соответствия модели кластерообразования с использованием весовых множителей дискретному уравнению Смолуховского.

1.4. Исследование дисперсии весовых множителей в схеме испытаниями Бернулли.

1.5. Сравнение результатов численного моделирования с известными аналитическими решениями однокомпонентного уравнения Смолуховского.

1.6. Схема моделирования дискретного многокомпонентного уравнения Смолуховского испытаниями Бернулли.

1.7. Анализ соответствия модели кластерообразования с использованием весовых множителей многокомпонентному уравнению Смолуховского.

1.8. Сравнение результатов численного моделирования с известными аналитическими решениями многокомпонентного уравнения Смолуховского.

Глава 2. Численное решение уравнения Больцмана с использованием весовой схемы Бернулли.

2.1. Алгоритм моделирования пространственно-неоднородного уравнения Больцмана весовой схемой Бернулли.

2.2. Исследование соответствия весовой схемы Бернулли пространственно-неоднородному уравнению Больцмана.

2.3. Консервативность в схеме моделирования испытаниями Бернулли с весами.

2.4. Численное моделирование задачи теплопередачи в смеси газов между плоскопараллельными пластинами.

2.5. Алгоритм моделирования процессов кластерообразования в весовой схеме Бернулли.

2.6. Анализ соответствия весовой схемы моделирования коагуляции уравнению Больцмана.

Глава 3. Апробирование весового алгоритма на примере моделирования задачи столкновения массивных пылевых облаков.

3.1. Процесс образования планетных систем.

3.2. Результаты наблюдений за планетными и протопланетными системами.

3.3. Постановка задачи моделирования столкновения массивных пылевых сгущений.

3.4. Анализ влияния гравитации на ссчения столкновений частиц.

3.5. Результаты численных экспериментов.

Актуальность работы определяется необходимостью построению модификаций численных методов для решения задач, связанными с процессами коагуляции в системах сталкивающихся частиц, описываемых уравнениями Больцмана и Смолуховского.

Интерес к системам сталкивающихся частиц обусловлен исследованиями в астрофизике, авиационной и вакуумной технике, биологических систем и химических процессов. Процессы кластерообразования возникают во многих природных явлениях: коагуляция пылевых частиц в газовых облаках, процессы полимеризации, свертываемости крови, динамика разрушений деталей.

Важность развития численных методов решения уравнений Больцмана и Смолуховского связана с необходимостью расчетов прямых математических моделей, соответствующих реальным физическим системам. В настоящее время найдены точные решения уравнений только для сравнительно простых случаев, а в некоторых ситуациях уравнение Смолуховского не имеет классического решения. Поэтому прямое математическое моделирование имеет большое прикладное значение. Быстрый рост производительности вычислительной техники, использование многопроцессорных вычислительных систем делают реальной возможность детального моделирования газодинамических потоков.

Цель диссертационной работы состоит в разработке модификаций статистического метода частиц, его анализа, реализации и проведении вычислительных экспериментов прямого моделирования систем взаимодействующих частиц с процессами кластерообразования.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

1. Модификация статистического метода частиц для моделирования процессов кластерообразования.

2. Анализ соответсвия алгоритмов моделируемых процессов уравнениям Больцмана и Смолуховского.

3. Реализация алгоритма моделирования и проведение численных экспериментов для проведения тестовых расчетов на известных задачах.

Научная новизна

1. Предложена модификация весовой схемы испытаниями Бернулли для численного решения дискретного одно- и многокомпонентного уравнения Смолуховского.

2. Проведен теоретический анализ предложенных схем, доказано соответствие моделируемого процесса дискретному уравнению Смолуховского. На примере тестовых задач проведена проверка работы модификации весовой схемы.

3. Предложена имитационная равнопредставительная модель для столк-новительной коагуляции и численного исследования уравнения Больцмана.

4. Проведен теоретический анализ предложенных схем, доказано соответствие моделируемого процесса уравнению Больцмана с первым порядком точности.

5. На примере расчета задачи столкновения встречных потоков показана принципиальная возможность использования схемы для моделирования астрофизических явлений, в первую очередь для планетной космогонии.

Практическая значимость работы состоит в следующем:

1. Создан алгоритм и программное обеспечение для численного решения дискретного одно- и многокомпонентного уравнения Смолухов-ского весовой схемой Бернулли.

2. Проведен теоретический анализ предложенных схем, доказано соответствие моделируемого процесса дискретному уравнению Смолухов-ского. На примере тестовых задач проведена проверка работы модификации весовой схемы.

3. Создан алгоритм и программное обеспечение для численного решения уравнения Больцмана с процессами кластерообразования.

4. Проведена серия численных расчетов для исследования процессов коагуляции при столкновительном взаимодействии массивных пылевых сгущений.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Построена модификация весовой схемы испытаниями Бернулли для численного решения одно- и многокомпонентного уравнения Смолу-ховского. На примере тестовых задач проведена проверка работы модификации весовой схемы.

2. Построена имитационная равнопредставительная модель для столк-новительной коагуляции и численного исследования уравнения Больцмана.

3. Проведен теоретический анализ предложенных схем, доказано соответствие моделируемого процесса уравнению Больцмана с первым порядком точности.

4. На примере расчета задачи столкновения встречных потоков показана принципиальная возможность использования схемы для моделирования астрофизических явлений, в первую очередь для планетной космогонии.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:

1. XXXIII Академические чтения по космонавтике. Москва, 2009

2. VIII Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике. Сочи, 2007

3. XV и XVI Международная конференция по механике и современным прикладным программным системам. Алушта, 2007, 2009.

4. VI Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях. Санкт-Петербург, 2006.

5. VII и VIII Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях. Алушта, 2008, 2010.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 15 печатных работах, из них 5 статей в рецензируемых журналах [1-5], 10 статей в сборниках трудов конференций и тезисов докладов.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в результаты проведенных исследований. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором и полностью отражены в публикациях

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 3 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 104 страницы печатного текста. Библиография содержит 130 наименований.

Заключение

В данной диссертационной работе можно выделить следующие новые результаты:

1. Построена модификация весовой схемы испытаниями Бернулли для численного решения дискретного одно- и многокомпонентного уравнения Смолуховского. Использование весовых множителей, а так же свойства исходной схемы моделирования позволяют эффективно моделировать релаксацию в смесях с большим различием в концентрациях, используя небольшое число частиц в одной модели. С целью уменьшения статистических флуктуаций осуществляется параллельный розыгрыш большого числа реализаций модели. Проведен теоретический анализ предложенной схемы, создана и протестирована компьютерная программа для алгоритма моделирования.

2. Предложена имитационная равнопредставительная модель для столк-новительной коагуляции и численого решения уравнения Больцмана. Существенно новым моментом является введение в модель переменных масс и диаметров частиц, что позволяет учитывать изменение концентраций кластеров в результате процессов коагуляции, сохраняя постоянное и равное число модельных представителей.

Проведен теоретический анализ предложенных схем, доказано соответствие моделируемого процесса уравнению Больцмана с точностью до величины разностной аппроксимации производной (1/сИ и статистической зависимости частиц.

3. Проведена серия численных расчетов для исследования процессов коагуляции при столкновительном взаимодействии массивных пылевых сгущений. Исследовано влияние концентраций и диаметров частиц на процессы кластерообразования.

4. Разработанные алгоритмы моделирования и вычислительная программа могут быть использованы для математического моделирования коагуляции в молекулярных облаках, исследования процессов кластерообразования в протопланетных дисках и массивных пылевых сгущениях.

В заключении автор благодарит научного консультанта данной работы, академика Марова М.Я., который высказал идею создания алгоритмов для решения задач коагуляции в приложении к задачам образования планет, и научного руководителя к.ф.-м.н. Королева А.Е. за плодотворное обсуждение методов Монте-Карло. Автор также благодарит заведующего отделом ИПМ им. М.В. Келдыша РАН д.ф.-м.н. Колесниченко A.B. и к.т.н. Осипова В.П. за постоянное внимание к работе.

1. Королев А.Е., Осипов В.П., Самылкин A.A. Модификация статистического метода частиц в приложении к задачам тепломассопереноса в разреженных газовых смесях // Космонавтика и ракетостроение. 2006. № 4(45). С. 16-23.

2. Маров М.Я., Королев А.Е., Осипов В.П., Самылкин A.A. Развитие метода прямого численного моделирования в приложении к задачам кластерообразования в разреженных гетерогенных средах. // Вестник Калужского университета. 2008. № 3. С. 3-8.

3. Маров М.Я., Королев А.Е., Осипов В.П., Самылкин A.A. Имитационное моделирование струйных течений и диссипативных потоков методом переменных весовых множителей. // Матем. моделирование. 2009. Т. 21, № 9. С. 34-42.

4. Маров М.Я., Королев А.Е., Осипов В.П., Самылкин A.A. Численное стохастическое моделирование образования кластеров. // Доклады Академии Наук. 2010. Т. 432, № 4. С. 1-4.

5. Marov М. Ya., Korolev А.Е., Osipov V.P., Samylkin A.A. Numerical Stochastic Simulation of Cluster Formation // Doklady Physics. 2010. Vol. 55, no. 6. Pp. 283-286.

6. Колесниченко А. В., Маров M. Я. Турбулентность и самоорганизация. Проблемы моделирования космических и природных сред. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009.

7. Friedlander S. К. Smoke, Dust and Haze: Fundamentals of Aerosol Dynamic. Oxford University Press, 2000.

8. Kiparisside C. Polymerization reactor modeling: a review of recent developments and future direction // Chemical Engineering Science. 1996. Vol. 10, no. 51. Pp. 1637-1659.

9. Tuckerman M. E. Statistical Mechanics: Theory and Molecular Simulation. Oxford University Press, 2010.

10. Poschel Т., Brilliantov N. V., Frommel C. Kinetics of prion growth. // Biophys J. 2003. Vol. 6, no. 29. Pp. 3460-3474.

11. Галкин В. А. Анализ математических моделей: системы законов сохранения, уравнения Больцмана и Смолуховского. М.: БИНОМ, 2009.

12. Галкин В. А., Осецкий Д. Ю. Случай больцмановского газа, приводящего к уравнению коагуляции Смолуховского // Журнал Вычислительной Математики и Математической Физики. 2006. Т. 46, № 3. С. 620-628.

13. Михайлов Г. А., Рогазинский С. В., Урева Н. М. Весовой метод Монте-Карло для приближенного решения нелинейного уравнения коагуляции // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2006. Т. 46, № 4. С. 715-726.

14. Коротченко М.А., Михайлов Г. А., Рогазинский С. В. Модификации весовых алгоритмов метода Монте-Карло для решения нелинейных кинетических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007. Т. 47, № 12. С. 2110-2121.

15. Filbet F., Laurencot P. Numerical simulation of the Smoluchowski coagulation equation // SIAM J. Sci. Comput. 2004. Vol. 25, no. 6. Pp. 2004-2028.

16. Ernst M.H., Eyre D., Everson R. C. Numerical treatment of the population balance equation using Spline-Galerkin method // Computers Chem. Engrg. 1994. Vol. 8. Pp. 775-783.

17. Бобылев А. В. О точных решениях уравнения Больцмана // ДАН СССР. 1975. Т. 225, № 6. С. 1296-1299.

18. М. Krook and Т.Т. Wu. Exact solutions of Boltzmann equation. // Phys. Fluids. 1977. Vol. 20. Pp. 1589-1595.

19. Коган M.H. Динамика разреженного газа. M.: Наука, 1967.

20. Никольский А. А. Трехмерное однородное расширение-сжатие разреженного газа со степенными функциями взаимодействия // ДАН СССР. 1963. Т. 151, № 3. С. 873-879.

21. Рыков В. А., Черемисин Ф. Г. Некоторые пространственно однородные движения газа // Числ. методы в теор. разреж. газов./ Тр. ВЦ АН СССР. 1969. С. 22-35.

22. Nordsieck A., Hicks B. Monte-Carlo evaluation of the Boltzmann collision integral // Procs. 5-th Intern. Symp. on Raref. Gas Dynam. N.Y., 1967. Vol. 1. Pp. 675-710.

23. Лимар E. Ф. О численном решении уравнения Больцмана // Ж. вы-числ. матем. и матем. физ. 1973. Т. 13, № 6. С. 1573-1580.

24. Лимар Е. Ф. Метод численного решения уравнения Больцмана // Численные методы в динамике разреженных газов. М.: ВЦ АН СССР, 1973. С. 30-45.

25. Черемисин Ф. Г. Развитие метода прямого решения уравнения Больцмана // Численные методы в динамике разреженных газов. М.: ВЦ АН СССР, 1973. С. 74-101.

26. Черемисин Ф.Г. Численное решение уравнения Больцмана для одномерных стационарных движений газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1970. Т. 10, № 3. С. 654-665.

27. Черемисин Ф. Г. Консервативный метод вычислений интеграла столкновений Больцмана // Доклады РАН. 1997. Т. 357, № 1. С. 1-4.

28. Черемисин Ф. Г. Структура разреженной сверхзвуковой газовой струи при различных молекулярных потенциалах // Матем. моделирование. 1999. Т. 11, № 3. С. 59-68.

29. Buet С. A discrete-velocity scheme for the Boltzmann operator of rarefied gas dynamics // Procs. 19-th Intern. Symp. on Raref. Gas Dynam. Weinheim, 1991. Pp. 878-884.

30. Palczewski A., Schneider J. Existence, stability, and convergence of solutions of discrete velocity models to the Boltzmann equation. //J. Statist. Phys. 1998. Vol. 91, no. 1-2. P. 307-326.

31. Panferov V. A., Heintz A. G. A new consistent discrete-velocity model for the Boltzmann equation. // Math. Methods Appl. Sci. 2002. Vol. 25, no. 7. P. 571-593.

32. Pareschi L., Perthame B. A Fourier spectral method for homogeneous Boltzmann equations. // Transport Theory Statist. Phys. 1996. Vol. 25, no. 3. Pp. 369-382.

33. Canuto C., Hussaini M. Y., Quarteroni A., Zang T. A. Spectral methods in fluid dynamics. New York: Springer Series in Computational Physics. Springer-Verlag, 1988.

34. Bobylev A. V. The theory of the nonlinear spatially uniform Boltzmann equation for Maxwell molecules. // Mathematical physics reviews. 1988. Vol. 7. Pp. 111-233.

35. Pareschi L., Russo G. Numerical solution of the Boltzmann equation. I. Spectrally accurate approximation of the collision operator. // SIAM J. Numer. Anal. 2000. Vol. 37, no. 4. Pp. 1217-1245.

36. Pareschi L., Russo G. On the stability of spectral methods for the homogeneous Boltzmann equation. // Transport Theory Statist. Phys. 2000. Vol. 29, no. 3. Pp. 431-447.

37. Filbet F., Russo G. High order numerical methods for the space non-homogeneous Boltzmann equation. //J. Comput. Phys. 2003. Vol. 186, no. 2. Pp. 457-480.

38. Filbet F., Pareschi L. A numerical method for the accurate solution of the Fokker-Planck-Landau equation in the non homogeneous case. // J. Comput. Phys. 2003. Vol. 186, no. 2. Pp. 457-480.

39. Pareschi L., Russo G., Toscani G. Fast spectral methods for the Fokker-Planck-Landau collision operator. //J. Comput. Phys. 2000. Vol. 165, no. 1. Pp. 216-236.

40. Naldi G., Pareschi L., Toscani G. Spectral methods for one-dimensional kinetic models of granular flows and numerical quasi elastic limit // M2AN Math. Model. Numer. Anal. 2003. Vol. 37, no. 1. Pp. 73-90.

41. Filbet F., Pareschi L. Accurate numerical methods for the collisional motion of (heated) granular flows. //J. Comput. Phys. 2005. Vol. 202. Pp. 216-235.

42. Bobylev A., Rjasanow S. Difference scheme for the Boltzmann equation based on the fast Fourier transform. // European J. Mech. B Fluids. 1997. Vol. 16, no. 2. P. 293-306.

43. Bobylev A. V., Rjasanow S. Fast deterministic method of solving the Boltzmann equation for hard spheres. // Eur. J. Mech. B Fluids. 1999. Vol. 18, no. 5. Pp. 869-887.

44. Aristov V.V. Direct Methods for Solving the Boltzmann Equation and Study of Nonequilibrium Flows. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2001.

45. Degond P., Pareschi L., Russo G. Modeling and Computational Methods for Kinetic Equations. Boston: Birkhauser, 2004.

46. Pareschi L., Toscani G., Russo G. Modeling and numerics of kinetic dissi-pative systems. New York: Nova Science Publishers, 2006.

47. Glassey R. The Cauchy problem in Kinetic Theory. SIAM, 1996.

48. Ермаков С. M. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1971.

49. Перепухов В. А. О сопротивлении плоской пластины в потоке сильно разреженного газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1961. Т. 1, № 4. С. 680-686.

50. Bird G. Direct simulation and the Boltzmann equation // Phys. Fluids. 1970. Vol. 13, no. 11. Pp. 2677-2681.

51. Берд Г. Молекулярная газовая динамика. М.: Мир, 1981.

52. Улам С. Нерешенные математические задачи. М.: Наука, 1964.

53. Харлоу Ф.Х. Численный метод "частиц в ячейках для задач" гидродинамики // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. С. 316-342.

54. В. И. Шематович, А. А. Пярнпуу, В. В. Чередов, Г. А. Цветков. Структурное стохастическое моделирование кинетических систем // Матем. моделирование. 2002. Т. 14, № 8. С. 44-50.

55. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982.

56. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.

57. Яницкий В.Е. Применение стохастического процесса Пуассона для расчета столкновительной релаксации неравновесного газа //Ж. вы-числ. матем. и матем. физ. 1973. Т. 13, № 2. С. 505-510.

58. Белоцерковский О.М., Яницкий В.Е. Статистический метод "частиц в ячейках"для решения задач динамики разреженного газа. I. Основы построения метода // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1975. Т. 15, № 5. С. 1195-1208.

59. Белоцерковский О.М., Ерофеев А.И., Яницкий В.Е. О нестационарном методе прямого статистического моделирования течений разреженного газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1980. Т. 20, № 5. С. 1174-1204.

60. Лукшин А. В. Новый подход к построению и анализу алгоритмов метода частиц для уравнения Больцмана: Докторская диссертация / МГУ. 1997.

61. Иванов М.С., Рогазинский C.B. Метод прямого статистического моделирования в динамике разреженного газа. Новосибирск: Издат. Вычислительного центра СО РАН, 1988.

62. Михайлов Г. А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. М.: Наука, 1988.

63. Гихман И.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1982.

64. Королев А. Е., Яницкий В. Е. Развитие стохастического метода частиц для задач релаксации химически реагирующих смесей газов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1985. Т. 25, № 3. С. 431-441.

65. Graham С., Meleard S. Stochastic particle approximations for generalized Boltzmann models and convergence estimates // Ann. Probab. 1997. Vol. 25, no. 1. Pp. 115-132.

66. Nekrutkin V., Tur N. Asymptotic expansions and estimators with small bias dor Nanbu processes // Monte Carlo Methods Appl. 1997. Vol. 3, no. 1. Pp. 1-35.

67. Плотников М.Ю., Шкарупа E. В. Оценка статистической погрешности метода прямого статистического моделирования // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010. Т. 50, № 2. С. 352-361.

68. Rjasanow S., Wagner W. Stochastic Numerics for the Boltzmann Equation. Heidelberg: Springer, 2005.

69. Babovsky H., Illner R. A convergence proof for Nanbu's simulation method for the full Boltzmann equation // SIAM J. Numer. Anal. 1989. Vol. 26, no. 1. Pp. 45-65.

70. Богомолов С. В. Сходимость метода суммарной аппроксимации для уравнения Больцмана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т. 28, № 1. С. 119-126.

71. Ohwada Т. Higher order approximation methods for the Boltzmann equation // J. Comput Phys. 1998. Vol. 139. Pp. 1-14.

72. Rebrov A. K., Skovorodko P. A. An improved sampling procedure in DSMC method // Rarefied Gas Dynamics. Bejing, 1997. Pp. 215-220.

73. Hokazono Т., Kobayashi S., Ohsawa Т., Ohwada T. On the time step error of the DSMC // Rarefied Gas Dynamics. New York, 2003. Pp. 390-397.

74. Ohwada T. Higher order time integration of spatially nonhomogeneous Boltzmann equation: deterministic and stochastic computations // Transport Theory Statist. Phys. 2000. Vol. 29, no. 3. Pp. 495-508.

75. Ермаков С. M., Некруткин В. В., Сипин А. С. Случайные процессы для решения классических уравнений математической физики. М.: Наука, 1984.

76. Rogasinsky S. V. Solution of stationary boundary value problems for the Boltzmann equation by the Monte Carlo method // Monte Carlo Methods Appl. 1999. Vol. 5, no. 3. Pp. 263-280.

77. Wild E. On Boltzmann's equation in the kinetic theory of gases // Proc. Cambridge Philos. Soc. 1951. Vol. 47. Pp. 602-609.

78. Pareschi L., Wennberg B. An implicit Monte Carlo method for rarefied gas dynamics. I. The space homogeneous case //J. Comput. Phys. 1999. Vol. 154, no. 1. Pp. 90-116.

79. Pareschi L., Russo G. Time relaxed Monte Carlo methods for the Boltzmann equation // SIAM J. Sci. Comput. 2001. Vol. 23, no. 4. Pp. 1253-1273.

80. Pareschi L., Wennberg B. A recursive Monte Carlo method for the Boltzmann equation in the Maxwellian case // Monte Carlo Methods Appl. 2001. Vol. 7, no. 3. Pp. 349-357.

81. Neunzert H., Gropengiesser F., Struckmeier J. Computational methods for the Boltzmann equation // Applied and industrial mathematics. Dordrecht: Kluwer, 1991. Pp. 111-140.

82. Neunzert H., Klar A., Struckmeier J. Particle methods: theory and applications // ICIAM 95. Berlin: Akademie Verlag, 1996. Pp. 281-306.

83. Lecot C. A direct simulation Monte Carlo scheme and uniformly distributed sequences for solving the Boltzmann equation // Computing. 1989. Vol. 41, no. 1. Pp. 41-57.

84. Lecot C. Low disperancy sequences for solving the Boltzmann equation. // Comput. Appl. Math. 1989. Vol. 25, no. 2. Pp. 237-249.

85. Lecot C. A quasi-Monte Carlo method for the Boltzmann equation // Math. Сотр. 1991. Vol. 194, no. 56. Pp. 621-644.

86. Лукшин А. В., Юферов И. E. Стохастические алгоритмы решения пространственно-однородного уравнения Больцмана для смеси газов // Матем. моделирование. 1989. Т. 1, № 2. С. 151-160.

87. Sun Q., Boyd I.D. A direct simulation method for subsonic, microscale gas flows // J. Comput. Phys. 2002. Vol. 179. Pp. 400-425.

88. Liffman K. A Direct Simulation Monte-Carlo for Cluster Coagulation // Journal of Computational Physics. 1992. Vol. 100. Pp. 116-127.

89. Маров М.Я., Королев А.Е., Самылкин A.A. Моделирование процессов кластерообразования методом переменных весовых множителей. // Материалы VIII Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях. 2010. С. 197-198.

90. Grad Н. Principles of the kinetic theory. Berlin: Springer, 1958.

91. Валландер С. В. Новые кинетические уравнения в теории одноатомных газов // ДАН. 1960. Т. 131, № 1. С. 58-60.

92. Королев А.Е., Осипов В.П., Самылкин A.A. Применение "весовой" схемы имитационного моделирования молекулярных потоков. // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2007. Т. 14, № 3. С. 538.

93. Королев А.Е., Осипов В.П., Самылкин A.A. Статистический метод частиц в приложении к задачам моделирования струй в разреженных газовых смесях. // Материалы VI Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях. 2006. С. 211.

94. Аристов В. В. Методы прямого решения уравнения Больцмана и их применение для изучения течений разреженного газа: Докторская диссертация / ВЦ РАН. 1996.

95. Маров М.Я., Королев А.Е., Осипов В.П., Самылкин A.A. Имитационное моделирование молекулярных потоков в разреженных газовых

96. Королев А.Е., Осипов В.П., Самылкин А.А. Имитационное моделирование струйных течений в разреженных газовых смесях. // Материалы XV Международной конференции по механики и современным прикладным программным системам. 2007. С. 294-295.

97. Рыков В. А. О кинетических уравнениях химически реагирующих газовых смесей // Изв. АН СССР, МЖГ. 1972. № 4. С. 124-132.

98. Shakura N. I., Sunyaev R. A. Black holes in binary systems. Observational appearance. // AAP. 1973. Vol. 24. Pp. 337-355.

99. Lynden-Bell D., Pringle J. E. The evolution of viscous discs and the origin of the nebular variables. // MNRAS. 1974. Vol. 168. Pp. 603-637.

100. Blandford R. D., Payne D. G. Hydromagnetic flows from accretion discs and the production of radio jets // MNRAS. 1982. Vol. 199. Pp. 883-903.

101. Lubow S. H., Papaloizou J. С. В., Pringle J. E. Magnetic field dragging in accretion discs // MNRAS. 1994. Vol. 267. Pp. 235-240.

102. Mathis J. S., Rumpl W., Nordsieck К. H. The size distribution of interstellar grains // APJ. 1977. Vol. 217. Pp. 425-433.

103. Boss A. P. Giant planet formation by gravitational instability. // Science. 1997. Vol. 276. Pp. 1836-1839.

104. Pollack J. В., Hubickyj O., Bodenheimer P. et al. Formation of the Giant Planets by Concurrent Accretion of Solids and Gas // Icarus. 1996. Vol. 124. Pp. 62-85.

105. Johansen A., Brauer F., Dullemond C. et al. A coagulation-fragmentation model for the turbulent growth and destruction of preplanetesimals // AAP. 2008. Vol. 486. Pp. 597-611.

106. Haisch К. E., Jr., Lada E. A., Lada C. J. Disk Frequencies and Lifetimes in Young Clusters // APJL. 2001. Vol. 553. Pp. L153-L156.

107. Masset F. S. Tidal Effects in Stars, Planets and Disks // EAS Publications Series. 2008. Vol. 29. Pp. 165-244.

108. Lecar M., Franklin F. A., Holman M. J., Murray N. J. Chaos in the Solar System // ARAA. 2001. Vol. 39. Pp. 581-631.

109. Gorti U., et al. Time Evolution of Viscous Circumstellar Disks due to Photoevaporation by Far-Ultraviolet, Extreme-Ultraviolet, and X-ray Radiation from the Central Star // APJ. 2009. Vol. 705. Pp. 1237-1251.

110. Motoyama K., Yoshida T. High accretion rate curing Class 0 phase due to external trigger // MNRAS. 2003. Vol. 344. Pp. 461-467.

111. Klein R. I., et al. Current advances in methodology and computational simulation of the formation of low mass stars // Protostars and Planets V, Ed. by K. K. Reipurth В., Jewitt D.

112. Сурдин В. Г. Рождение звезд. M.: URSS, 2001.

113. Beckwith S. V. W., Sargent A. I. Circumstellar disks and the search for neighbouring planetary systems // Nature. 1996. Vol. 383. Pp. 139-144.

114. Cieza L. A., et al. Evidence for J- and H-band excess in classical T Tauri stars and the implications for disk structure and estimated ages // APJ. 2005. Vol. 635. Pp. 422-441.

115. Andrews S. M., Williams J. P. Circumstellar dust disks in Taurus-Auriga: The submillimeter perspective // APJ. 2005. Vol. 631. Pp. 1134-1160.

116. Hueso R., Guillot T. Evolution of protoplanetary disks: constrains from DM Tauri and GM Aurigae // Astron. Astrophys. 2005. Vol. 442. Pp. 703-725.

117. Calvet N., et al. Evidence for a developing gap in a 10 Myr old protoplanetary disk // APJ. 2002. Vol. 568. Pp. 1008-1016.

118. White R. J., et al. Stellar properties of embedded protostars // Protostars and Planets V, Ed. by К. К. Reipurth В., Jewitt D.

119. Beckwith S. V. W., Henning T., Nakagawa Y. Dust properties and assembly of large particles in protoplanetary disks // Protostars and Planets IV, Ed. by R. S. S. Mannings V., Boss A. P.

120. Хокни P., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. М.: Мир, 1987.1. Qj