автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическая теория кинетики коагуляции-дробления

РРВ од

2 5 МАЙ 2000

На правах рукописи

ДУБОВСКИЙ Павел Борисович

Математическая теория кинетики коагулящш-дробления

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического оделиропаиня и математических методов в научных исследованиях 01.01.03 - Математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2000

Работа выполнена в Институте вычислительной математики РАН

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук АЛОЯН А.Е. доктор физико-математических наук, профессор АРИНШТЕЙН A.S доктор физико-математических наук, профессор КРЯНЕВ A.B.

Ведущая организация: Институт прикладной математики РАН

Защита состоится "70 " июня 2000 г. в /'Ч час. на засед; нии диссертационного совета Д.003.47.01 в Институте вычислител: ной математики РАН по адресу: 117930, Москва, ул. Губкина, 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института в] числительной математики РАН.

Автореферат разослан _" мая 2000г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

С.А.ФИНОГЕНС

г~ „ A-JC п

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Работа посвящена построению математической теории кинетики коагуляции-дробления. Процессы коагуляции (слияния) и дробления (расщепления) являются одними из основных процессов, характеризующих эволюцию дисперсных систем, т.е. двухфазных систем, являющихся механической смесью среды (газообразной или жидкой) с взвесью (жидкой или твердообразной). Такие системы появляются в различных естественных и техногенных процессах. Примерами дисперсных систем, в исследовании которых активно используются модели коагуляции и дробления, могут служить воднокапельные облака в атмосфере, аэрозольные загрязнения воздуха, клубы вулканической или метеоритной пыли, дым от лесных пожаров, топливные смеси в двигателях внутреннего сгорания, космические пылевые облака и туманности, коллоидные растворы, золи, эмульсии, суспензии, полимеры в химических реакторах.

Модели коагуляции и дробления используются астрофизиками для изучения образования звезд, формирования галактик, распределения астероидов и малых планет. Другие важные приложения имеются в теории коллоидов, в теории аэрозолей и метеорологии, гематологии, инженерных науках, химии полимеров, фото- и кинотехнологиях, теории роста зерен в сплавах, радиационном материаловедении, в технологических процессах, связанных с воздействием на эмульсии и суспензии и флотационным разделением руд, разрушением пен, удалением воды из нефти, подготовкой сточных вод, при разработке многих моющих средств. Столкновения частиц, приводящие к их коагуляции (слиянию, слипанию) и/или дроблению могут быть обусловлены самыми разнообразными эффектами - случайным (броуновским или турбулентным) блужданием, сближением под действием электрических, гидродинамических и гравитационных сил. При соединении кластеров в полимерных растворах это явление иногда называют агрегацией.

Процессам коагуляции и дробления иногда могут сопутствовать поступление извне в дисперсную систему новых частиц и/или их поглощение. При их заметном влиянии на спектр необходимо включить

в рассмотрение внешние источники и стоки.

Явления, подобные коагуляции, характерны и для таких процессов, как рост кристаллов, образование дислокаций и пузырей в твердом теле под действием излучения. Таким образом, проблематика, связанная с изучением процессов коагуляции и дробления, особен. но важна в метеорологии, астрофизике, технике, экологии, химии полимеров и в радиационном материаловедении. Глубокое проникновение в суть описываемых явлений невозможно без построения и изучения их математических моделей, которые, в свою очередь, требуют развитой математической теории. Именно это обстоятельство свидетельствует об актуальности представленной работы.

Целью диссертационной работы является построение математической теории кинетики коагуляции-дробления.

Научная новизна. Представленные в диссертации результаты оригинальны и являются важным вкладом в общую математическую теорию нелинейных уравнений физической и химической кинетики, в теорию интегральных и интегродифференциальных уравнений и в теорию нелинейных законов сохранения.

Доказаны существование и единственность непрерывного решения для пространственно однородного кинетического уравнения Смолу-ховского коагуляции-дробления с неограниченными ядрами для широкого круга практически важных задач.

Выявлены случаи, когда решение удовлетворяет физически значимому закону сохранения массы частиц в единице объема системы.

Сделаны выводы о свойствах решений: их асимптотическом по х поведении, выявлены случаи положительности решений и оценен порядок сингулярности стационарного решения уравнения коагуляции без дробления. Доказано существование непрерывных стационарных решений для уравнения коагуляции-дробления в важном случае линейного ядра коагуляции и постоянного ядра; дробления, доказана их единственность при фиксированной массе системы и сходимость к ним нестационарных решений. Оценены свойства стационарного решения уравнения коагуляции с источником и доказана сходимость к нему нестационарного решения при больших Показано, что при других ядрах коагуляции и дробления стационарные решения могут,

>бще говоря, отсутствовать.

Построены два однопараметрических семейства новых дискретных я,елей коагуляции, причем оказалось, что при максимальном зна-ши параметра коагуляции одна из новых моделей является дис-зтной версией известной модели коагуляции В.С.Сафронова. Про-|,ен сравнительный теоретический и численный анализ моделей ко-'ляции М.Смолуховского с одной стороны и В.С.Сафронова и но-I модели - с другой. Введено понятие фронта коагуляции и об-эужено, что во всех известных случаях фронт коагуляции уходит бесконечность в тот же самый критический момент времени, кок происходит нарушение закона сохранения массы. На основании ютезы о совпадении этих моментов сделаны оценки нарушения за-\ъ, сохранения массы для ряда новых ядер коагуляции, причем шм из новых выводов является тот, что подобное нарушение мот происходить и для ядер коагуляции, соответствующих слабому дмодействию частиц равных масс.

Доказана теорема существования и единственности непрерывного пения для пространственно неоднородного уравнения коагуляции-)бления с, вообще говоря, неограниченными ядрами. Эсуществлен переход к гидродинамическому пределу для кинети-коагуляции-дробления и получено новое уравнение динамики дис->сных систем.

На базе теории сопряженных уравнений введено понятие квази-нкционала, что позволило разработать методы нахождения явных цений для широкого класса линейных кинетических уравнений, хючая уравнение дробления, для бесконечных алгебраических сим и систем обыкновенных дифференциальных уравнений и в част-£ производных. Установлена взаимосвязь скалярных законов со-ънения и бесконечных систем уравнений в частных производных, годом квазифункционалов построены основы теории линейных ин-ральных уравнений с нефредгольмовыми ядрами, причем выводы [менены к уравнению коагуллции-дробления с получением новых ультатов.

практическая значимость. Полученные результаты обосновы-?т корректность уравнений коагуляции-дробления и их модифика-

ций для широких классов важных физически значимых параметров, что является основой для численных расчетов и аналитических оценок в этих задачах. Получены и обоснованы новые модели кинетики коагуляции и динамики дисперсных систем. Построены основы теории линейных интегральных уравнений с нефредгольмовыми ядрами, что, помимо задач коагуляции-дробления, имеет очень широкие приложения.

• Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались на семинарах Института вычислительной математики РАН, Института прикладной математики РАН, Обнинского института атомной энергетики, кафедры прикладной математики Московского инженерно-физического института, кафедры газодинамики и волновых процессов механико-математического факультета МГУ, кафедры высшей математики Московского физико-технического института, математического отдела ГНЦ Физико-энергетического института (Обнинск, 1999), Института проблем безопасного развития атомной энергетики РАН (Москва, 2000).

Результаты диссертации докладывались в Международном математическом центре им. С.Банаха (Варшава, 1998), на Международных конференциях по интегральным методам в науке и технике (Финляндия, 1996 и США, 1998), на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям (Ст. Петербург, 1998), Международной конференции по дифференциальным уравнениям ЕС^иАБЕРР^Э (Берлин, 1999), Воронежской зимней математической школе "Современный анализ и его приложения" (Воронеж, 2000), Саратовской зимней математической школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2000), 2-м Европейском конгрессе математиков (Будапешт, 1996), 3-ей международной конференции "Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах" (Тверь, 1998), на Международной конференции "Анализ, расчеты и приложения дифференциальных и интегральных уравнений" (Германия, 1996), на Международном конгрессе математиков (Цюрих, 1994).

Публикации. По теме диссертации опубликовано около 30 печат-

пых работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, девяти глав, дополнения, заключения и списка литературы (302 наименования); изложена на 253 страницах и включает 27 рисунков.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, дается обзор содержания диссертации и обсуждаются основные математические результаты по кинетике коагуляции-дробления, не включенные в данную диссертацию.

Первая глава носит по существу вводный и обзорный характер и ее результаты являются вспомогательными для использования в последующих главах. Описываются математические модели кинетики коагуляции и дробления, делаются постановки задач, обсуждаются основные свойства уравнения коагуляции-дробления и вводятся необходимые функциональные пространства.

Предполагая, что размеры (массы) всех частиц кратны какой-то величине то, М.Смолуховский в 1916 году получил следующую бесконечную систему нелинейных дифференциальных уравнений для процесса коагуляции:

^г = 5 £ Ъ-м-МФ) - Ф) Е *иФ) (1)

аг г ^ ;=1

с начальными условиями

<ч(0) = с|0)>0. (2)

Неизвестная функция с,(£) является концентрацией частиц массой гтпо (г-меров) в момент времени Ь. Функция Кц называется ядром коагуляции, она описывает интенсивность взаимодействий между частицами с массами г и ] и предполагается известной из физики процесса. Из определения ядра коагуляции ясно, что коэффициенты К^ неотрицательны и симметричны, т.е. — К^ > 0 для всех г, > 1.

Г.Мюллер (1928) переписал уравнение (1) как интегродифференци-альное уравнение для функции распределения частиц. Пусть с(х, t) является функцией распределения частиц по массам х в момент времени t. Функция К(х,у) (ядро коагуляции) вводится в предположении, что в течение временного интервала (t,t+dt) среднее количество слияний частиц с массой от х до х -J- dx и с частицами с массой от у до у + dy равно с(х, t)c(y,t)K(x, y)dxdydt. Используя также подход А.Мелзака (1957) и предполагал, что частицы могут дробиться на две частицы, приходим к уравнению

= \ £К{х-у>у)с(х-у,г)с{у№у-с(х^) /о°°K(x,y)c(ylt)dy+

/ОО 1 /X

+ jx F(y - x,x)c(yyt)dy - -c(x,t) Jo F(x - y,y)dy. (3)

Первый интеграл выражает тот факт, что частица с массой х может появиться, если только соединились две частицы с массами х — у и у. Второй интеграл говорит, что каждая частица массой х уходит из интервала (x,x + dx) в результате слияния с частицей массы у. Ядро коагуляции К(х,у) (или множитель частоты столкновений) может быть ограниченной или неограниченной функцией в зависимости от физики процесса.

Распределение частиц по массам является здесь результатом двух противоположных процессов - коагуляции и дробления. Функция дробления F(x,y) > 0 характеризует интенсивность дробления частиц массой х + у на две частицы массой х и у. Третий интеграл в (3) описывает приток частиц х в процессе дробления частиц у (х < у < оо)\ четвертое слагаемое отражает исчезновение частиц с массой х в результате их дробления.

В §1,1 приводится постановка задач коагуляции-дробления, использовавшихся в работах М.Смолуховского, Г.Мюллера, Р.Беккера и В.Дёринга, А.Мелзака, В.С.Сафронова и других авторов. Обсуждаются математические выражения для физически значимых ядер коагуляции и дробления, приводятся дополнительные слагаемые, возникающие в уравнениях при учете источников и стоков частиц и пространственной неоднородности, выражающейся во внесении в левую часть уравнения оператора переноса частиц.

В §1.2 описываются основные свойства уравнения коагуляции-дробления. Ключевым наблюдением является тот факт, что уравнения удовлетворяют закону сохранения массы. Действительно, из определения функции распределения c(x,t) мы заключаем, что общая масса частиц в единице объема системы выражается первым моментом решения:

Г 00

M{(t) = Jo xc(x,t)dx. (4)

Умножая уравнения на х, интегрируя на R\, и предполагая, что все получающиеся двойные интегралы ограничены, мы устанавливаем закон сохранения массы

f^l-a (5)

Другим важным наблюдением является то, что рассматриваемая задача Коши обладает свойством мгновенного распространения возмущений. Следствием из этого является вывод о том, что нет смысла сужать начальные данные до финитных (имеющих компактный носитель). Показано, что наименьшими начальными данными, которые есть смысл рассматривать при математическом анализе этих уравнений, являются экспоненциально спадающие начальные данные, для которых в следующих главах доказываются теоремы существования п единственности решения. В этой связи отметим близкие результаты А.Н.Колмогорова, оценившего функцию распределения дробящихся частиц при больших временах и показавшего, что она подчиняется логарифмически нормальному распределению.

В §1.3 вводятся основные функциональные пространства, необходимые для построения представленной в диссертации теории. Обозначим П\(Т) и fio,т{Т) пространства непрерывных функций с с ограниченными нормами

||c||ir,= sup Гехр{\х)\с(х,фх, Л > О

0<Í<T

№?= sup / (1 + xr)\c(x,t)\dx, r> 1, 0<t<T J0

соответственно.

н

В главе 2 на основании признаков компактности доказывается существование непрерывного решения уравнения коагуляции-дроб-леиия с неограниченными ядрами (теорема 2.3). При ослаблении условий регулярности на исходные данные задачи потребуется ввести определение обобщенного решения1, однако для получения максимальной информации о решениях мы в данной диссертации избегаем, по возможности, ослабления понятия решения.

В §2.1 с помощью принципа сжимающих отображений, сформулированного в пространствах £1\(Т) и По(Г(Т), доказывается локальная разрешимость по времени уравнения коагуляции-дробления с учетом источников и стоков частиц (теорема 2.1). Неотрицательность полученного решения доказывается на основе следующей леммы.

Лемма 2.1 Пусть отображение Y является сжимающим в банаховом пространстве X с неподвижной тонкой х 6 X. Предположим, что оператор Y является пределом последовательности операторов Уп по норме, причем операторы Yn имеют неподвижные точки {х„}, ограниченные в совокупности. Тогда ||х„ — х|| О, п -» оо.

Далее в §2.2 доказывается разрешимость в целом по времени для задач с финитными ядрами и единственность решения в пространствах й\(Т) и По,г{Т) в зависимости от того, принадлежит ли начальная функция тому или иному пространству (теорема 2.2). В §2.3 формулируется основная теорема главы 2.

Теорема 2.3 Пусть функции К[х,у) и F(x,y) непрерывны, неотрицательны и симметричны. Предположим также, что

К(х,у)<к(1 + х + у), к> 0 (6)

и найдутся положительные постоянные т, mi ub такие что

£ F(x - у,y)dy < Ь(1 + х"»)> П* ~ У'. У) < Ь( 1 + хт), (7)

0<у<у'<х, ае[0,оо).

Пусть начальные данные удовлетворяют одному из следующих условий:

'Если начальные данные рассматриваются в пространстве борелевых мер, то такая процедура выполнена, например, в работе: Дубовский П.Б., "Об обобщенных решеннлх уравнения коагуляции", Функциональный анализ и прил., т. 25, No. 2, 1391,62-64

1° О) € По,.(0), г > тах{т, 1}, и г > тi; или

2° с0 G П+(0).

Тогда задача Коши для уравнения (3) имеет, соответственно:

1° по крайней мере одно решение в fig Т(Т);

или

2° решение в Q+(T).

Доказательство основано на рассмотрении последовательности решений {c„}£L, для уравнения с финитными ядрами, аппроксимирующими исходные неограниченные ядра коагуляции и дробления. Существование таких решений следует из теоремы 2.2. Доказательство компактности этой последовательности основано на получении ряда априорных оценок решения. Сначала докалывается равномерная по п ограниченность моментов функций сп вплоть до r-го порядка. Первое из условий (7) требуется именно для доказательства ограниченности нулевых моментов решения. Далее доказывается лемма о компактности указанной последовательности в пространстве непрерывных функций. Подобная схема рассуждений использовалась ранее в работе В.А.Галкина, где не рассматривалось дробление частиц, однако учет этого явления заметно усложняет оценивание моментов решения.

Первый случай теоремы 2.3 доказывается в начале §2.6. Для доказательства второго случая теоремы 2.3 необходимо получить априорную оценку ограниченности решения, проинтегрированного с экспоненциальным весом. Этому посвящена оставшаяся часть §2.6, в которой путем преобразования решения удается получить такую оценку на основании следующей леммы.

Лемма 2.5 Рассмотрим уравнение

+ + (8)

с начальным условием

сг(Л,0) = ст0(Л), Л > 0, 0 < t < Т. (9)

Пусть о0{\) > 0, если А > 0, ст0(0) = 0; д(\) - G - ¿(A), G = const > 0; ¿(А) —)■ 0 при А —>• 0 и <7q(0) < G. Пусть сто(А) являетсл

голоморфной функцией в окрестности X = 0. Зафиксируем Т > 0. Тогда найдутся Л(Т) > 0 и ё(Т) > 0 такие, что задача Коши (8),. (9) имеет при Ь 6 [О, Т\ единственное решение 0<А<А,0<е<е.

После этого завершение доказательства теоремы 2.3 не вызывает затруднений.

На основании доказательства теоремы 2.3 в Замечании 2.1 указано одно из свойств решения, заключающееся в том, что ни для какого фиксированного значения Л решение не принадлежит пространству $1\(Т) даже если со 6 П\(0). Дело в том, что правые "хвосты" решений (т.е. при больших значениях х) возрастают по времени достаточно быстро, и решение покидает й\(Т) за конечное время. Однако в любой момент времени оно остается в П = 1)л>о,т>о Пл(Т), т.е. ухудшение его свойств со временем происходит достаточно медленно.

Отметим, что в 1997-1998 годах была вышла серия из четырех работ группы авторов2, в которых передоказываются результаты главы 2, опубликованные на год раньше в [4].

Глава 3 начинается с доказательства следующей теоремы, связывающей существование решений, не сохраняющих массу, с начальными данными.

Теорема 3.1 Пусть условия теоремы 2.8 выполнены и предположим, что г > 2. Если к тому же,

¡*уР[х-у,у)<1у<сопз1-( 1 + гг), . (10)

то выполняется закон сохранения массы (5).

Таким образом, при достаточно малых начальных данных, решение уравнения коагуляции-дробления удовлетворяет закону сохранения массы, т.е. постоянству его первого момента. Как только начальные данные увеличиваются, то могут возникнуть решения, не подчиняющиеся закону сохранения. Интересно отметить, что границы параметров, указанные в теореме, в точности совпадают с двумя известными примерами точных решений, не сохраняющих массу. Действительно, в известном примере неединственности и нарушения

'БШЛ .ШаЛ.Апа!. 28,1997,1158-1172; 28,1997,1171-1190; Mbtb.Meth.Appl.Sci.20,1997,1313-1323; 21, 1998,1067-1084.

закона сохранения массы для ядер К = О, F = 2 и начальных условий со(а:) = (Л + ж)-3,Л > 0, имеются два решения

c{x,t) = c(x,t) = e"fl ^со(х) + Jco(y)[2t + í2(y - x)]dyj .

(П)

В этом примере начальные данные не удовлетворяют условиям теоремы 3.1, поскольку для таких начальных данных г < 2. Это означает, что условие на г в формулировке теоремы 3.1 оптимально.

Затем в §3.2 формулируются и доказываются теоремы единственности.

Теорема 3.2 Пусть имеет место случай & теоремы 2.3 и предположим дополнительно, что т\ < 1. Тогда решение задачи Коши для уравнения (3) единственно в П.

Отметим, что в вышеприведенном примере неединственности решения начальные данные не удовлетворяют условиям теоремы 3.2,' условия теоремы единственности 3.2 соответствуют условиям теоремы существования 2.3 и сделанному ранее замечанию, что минимальные значимые начальные данные должны рассматриваться в классе экспоненциально спадающих решений.

Теорема единственности из §3.3 позволяет рассматривать максимально возможные начальные данные, которые всего лишь должны иметь ограниченный первый момент. Введем класс неотрицательных непрерывных функций от (x,t) G [0,оо) х [0,оо), имеющих одинаковый первый момент cj(t), т.е. для любых ci, с% £ Уш

roo /оо

уо xci(x,t)dx = Jo xc2(x,t)dx = w[t) < oo, t > 0. (12)

Таким образом, пространство непрерывных функций с ограниченным первым моментом разбивается на множество непересекающихся 1слассов Уш((), зависящих от значения первого момента.

Теорема 3.3 Пусть ядра коагуляции и дробления неотрицательны, симметричны и предположим, что для всех х > 0 найдется Х(х) > 1 такое, что

К(х, у) = а(х)у + Ь(х, у) если у > Х(х) (13)

и найдутся копстанты Л > О, G > 0 и неотрицательные непрерывные функции а и Ь, что

sup К(х,у) + sup b(x,y) + а(х)Х(х) < Gexp(Áx), х > 0.

0<y<X(i) y>X(z)

Пусть для некоторых положительных констант ц и Ср:

J* F{х - у,у) exp(—fiy)dy < Cj?, х> 0.

Тогда задача Ноши для уравнения (S) умеет не более одного неотрицательного непрерывного решения в любом классе tu(í) > О, í > 0.

Отметим, что рассмотренные в теореме 3.3 функции К(х, у) включают много физически значимых ядер коагуляции. В частности, этот класс имеет большое пересечение с ядрами коагуляции, удовлетворяющими условиям существования главы 2, в частности, с ограниченными и линейными. Также, этот класс функций включает важные мультипликативные ядра К = (Ах + В)(Ау + В), которые изучались во многих работах связанных с гелеобразованием и нарушением закона сохранения массы. Условия на ядра дробления позволяют рассматривать ограниченные ядра и ядра, имеющие сингулярность в нуле, что покрывает большинство физически значимых случаев. Частным случаем теоремы 3.3 является ранее известное утверждение о единственности решения для мультипликативного ядра коагуляции К{х,у)=ху.

Доказательство теоремы 3-3 основано на представлении "хвоста" бесконечного интеграла /jp в форме J§° —J* и использовании того факта, что первый момент от разности двух решений из одного класса Yu равен нулю, так что удается приравнять первый из интегралов к нулю. За счет этого удается обойти основную трудность в доказательстве единственности решений: оценивание интеграла

Jroo

0 K{xty)\ci{y,t)-c2{y,t)\dx.

Конечной целью доказательства является демонстрация того, что разность решений должна быть равна нулю. Дальнейшее преобразование заключается в рассмотрении вещественного преобразования

Лапласа от разности двух решений. Наибольшую сложность на этом этапе представляет оценивание сверху нулевого момента разности решений с помощью вещественного образа Лапласа. Именно из-за отсутствия ранее подобных оценок не удавалось расширить класс начальных данных, обеспечивающих единственность решения. Для завершения доказательства теоремы 3.3 применяется следующая лемма.

Лемма 3.2 Пусть является действительной непрерывной

функцией с непрерывными частными производными уч и п,1Ч в прямоугольнике I? = {0 < до < <7 < <2ь 0 < £ < Т]. Предположим, что а(<7),/?(<?,£)) 7(<7>^) и являются действительными функци-

ями на Ю и их первые частные производные по д непрерывны. Пусть неотрицательны и ач, вч неположительны на Б. Предположим также, что справедливы следующие неравенства на О:

г1

<а(д) + У0 (-/?(<?, + (14)

( ^

7,0 > а,(д) + / (-£(?■ ¿Н(д, з) + -у(д, «)«(?, а) + в(д, з)) ¿з. (15)

Пусть Со = зирЧо<д<91 а,Сг = вирр/З, С2 = вир^, С3 = вирдА. Тогда < С0ехр(С20 + (С3/С2) (ехр(СгО - 1)

в области Яс О:

Я= {(д,0 :0<4 <Т; д0 + < д < д\ - е + с^, 0 < е < д1 - д0, } ,

Т' = тт{Т,е/С1}.

Отметим, что вышеприведенный пример неединственности решения не противоречит теореме 3.3, поскольку решения лежат в разных классах Следовательно, ограничения теоремы 3.3 существенны.

В главе 4 проводится анализ некоторых свойств решений. В §4.1 формулируется один достаточно общий принцип максимума.

Пусть множество G является компактом в метрическом пространстве fI = {ш}. Пусть действительные функции v(u,t) и m(w,f) определены в цилиндре G X [О,Г]. Предположим, что v имеет в этом цилиндре непрерывную производную по времени Vt. Определим для каждого фиксированного t 6 (0,Т] точки UJ £ G как точки максимума, т.е.

v(u),t) = ma.Kv(u),t).

Точки uj заведомо существуют благодаря компактности множества G.

Лемма 4.1 Предположим, что

vt{Uj,t)< 0, (16)

если выполнено неравенство

v(yS,t)>m{U},t). (17)

Тогда максимум функции v либо не превосходит т, либо достигается в начальный момент времени:

max v(iv,t) <max| max miw.t), maxu(u>,0

В §4.2 принцип максимума применяется к оцениванию решений уравнения коагуляции-дробления.

Теорема 4.1 Пусть симметричное неотрицательное ядро коагуляции удовлетворяет условию

К(х-у,у) <К{х,у), 0<у<^1, 0 < i < оо. (19) Пусть найдется положительная функция т(х) такая, что

т(х)К(х,у) > F(y — х,х) для всех у > х (20)

Пусть начальное распределение со неотрицательно и непрерывно. Тогда решение уравнения (3) удовлетворяет следующим оценкам: 1) на каждом интервале 0 < х < b

c(x,t) < max{m(x), прх со(х)}, t > 0; 14

)}- (18)

2) если 81ф0<^<00с«(х) < оо, то

c(r, i) < max{m(2:), sup c()(:r)}, i > 0.

0<:г<оо

В частности, на основании теоремы 4.1 в §4.2 диссертации указаны классы физически значимых ядер коагуляции и дробления, для которых удается найти верхние оценки решения, в виде убывающей степенной функции.

В {j.1.3 рассматривается вопрос строгой положительности решения чадами (1), (2). Доказано следующее утверждение

Теорема 4.2 Предположим, что ядра коагуляции и дробления удовлетворяют следующему условию:

' ' Ки > 0, Fhi >0, i > 1.

Пусть с является неотрицательным непрерывным решением задачи (1), (2) на [0,Т]. Предположим, что найдется k > 1 такое, что а(0) > 0. Тогда c,(í) > 0 для всех t Е (0,Т] и всех i > 1.

Таким образом, либо решение задачи (1), (2) является тождественным нулем, либо оно строго положительно для всех t > 0 независимо от того, имеют ли начальные данные участки равенства нулю.

В §4.3 анализируется порядок сингулярности стационарного ре- ' шения уравнения коагуляции без дробления. Ранее диссертантом с соавторами были найдены следующие стационарные решения:

lîl:

где а > — 1. Затем, после интенсивной дискуссии,3 Симоне, следуя нашему методу, нашел и другие стационарные решения. Но всех их объединяет одно: в нуле они имеют третий порядок сингулярности. Поэтому в §4.3 мы обсуждаем, насколько общим является это наблюдение и доказываем, что стационарные решения уравнения коагуляции имеют не менее чем второй порядок сингулярности в нуле. С этой целыо вводится определение порядка сингулярности и

M. Plus. Л: M.illi. Gen. 25, 1092, >1737-4744; 20, 1993, 1259; 28, 1995, 35G3 35GI; 29, 1990, 11 ЗУ 1110.

на осноНе нового метода усреднения но сходящимся треугольникам и решения возникающего функционального уравнения доказывается теорема 4.3, гласящая, что решение стационарного уравнения коагуляции имеет не менее чем второй порядок сингулярности в нуле. Ее доказательство проиллюстрировано на рис. 4.1.

Глава 5 посвящена исследованию непрерывных стационарных решений для пространственно однородного уравнения коагуляцйи-дроб-лення с источниками. Ранее было известно, что при постоянных ядрах коагуляции и дробления существует равновесное экспоненциальное решение, к которому сходится решение нестационарной задачи. В §5.1 обсуждается проблема существования стационарных решений. Следует подчеркнуть, что существование равновесия и сходимость к нему при больших временах совсем не очевидны, что вытекает, например, из работы диссертанта.4 В §5.2 доказывается существование и единственность непрерывного стационарного решения уравнения коагуляции-дробления (3). С помощью принципа сжимающих отображений в лемме 5.1 доказывается существование единственного локально интегрируемого решения видоизмененного стационарного уравнения (3)'на малом отрезке! € [0, а] (которое оказывается непрерывным). Метод доказательства единственности основан на рассмотрении меньшего интервала а: 6 [0,е], что позволяет неограниченно увеличивать размер шара в функциональном пространстве, который при уменьшении е рано или поздно захватит второе решение (если оно существует). Но в силу принципа сжимающих отображений в данном шаре может быть только одно решение, что противоречит гипотезе неединственности. В лемме 5.2 единственность доказывается уже при всех х > 0. Доказательство основано на продолжении решения с отрезка [0, а] на интервал [а, 2а]. На этом участке нелинейность исчезает, и решение удовлетворяет линейному интегральному уравнению Вольтерра, которое гарантирует существование и единственность непрерывного решения. Далее решение продлевается на отрезок [2а, 4а] и т.д. на всю полуось х > 0. Отметим, что на этом

'ДубоигкпН П.Б., "О решениях пространственно неоднородного уравнения коагуляции с учен» :1|к/).|«ни)1 частиц," Дифферснц. ур-нии 20, 1990, N0 3, 508-513.

этане неотрицательность стационарного решения, его ограниченность и интегрируемость на [0, оо) пока не доказаны, это делается в следующих параграфах при доказательстве сходимости неотрицательных интегрируемых нестационарных решений к равновесному.

В §5.3 получена следующая оценка в С[0,В], В > О для решения u(x,t) задачи, линеаризованной в окрестности стационарного решения:

¿)i!c < Сг exp (-C2¿) Htzollc- (21)

В §5.4 с помощью теории сжимающих полугрупп, неравенства (21) и результатов §4.2 доказываются следующие утверждения:

Теорема 5.1 Пусть ядро коагуляции линейно, а дробления постоянно. Тогда для каждого Mj > 0 существует единственное неотрицательное равновесное решение с(х) уравнения (3), первый момент которого равен М\. Это решение ограничено, бесконечно много раз дифференцируемо и для всех х > 0 удовлетворяет неравенству с(х) < С/х.

Теорема 5.2 Пусть справедливы условия теорем 2.3 и 5.1. Пред-полоо!сим, что начальная функция имеет ограниченный второй момент и ее отклонения от стационарного решения достаточно малы (точнее определено в диссертации). Тогда нестационарные решения уравнения (3) (существование, единственность и сохранение массы для которых доказаны в главах 2 и 3) с экспоненциальной скоростью сходятся при t оо к стационарному решению, первый момент которого равен первому моменту начального распределения. Сходимость имеет место в пространствах С[0, оо] u Li[0,оо].

Завершают §5.4 рисунки 5.1 и 5.2, на которых изображены найденные стационарные решения и сходимость к ним нестационарных.

В §5.5 рассматриваются свойства стационарных решений уравнения коагуляции с учетом постоянных источников частиц, что математически выражается добавлением неотрицательной функции q(x) в правую часть уравнения (3). Для упрощения рассуждений процессы дробления не учитываются. Показано, что если ядро коагуляции ограничено, то первый момент стационарного решения неограничен. Тем не менее, при постоянном ядре коагуляции нулевой момент стационарного решения ограничен. Возникает естественный вопрос, при

каких а соответствующий момент Ма порядка а заведомо становится неограниченным?

Теорема 5.3 Пусть симметричное неотрицательное ядро коагуляции ограничено в Ьоа(Щ.) и ненулевая неотрицательная функция источников д имеет ограниченный первый момент. Пусть существует по крайней мере одно неотрицательное измеримое решение с. стационарного уравнения

^ £ К(х-у,у)Ф~у)с(у)Лу-ф) К(х,1/)с(у)с1у+д(х) ■= 0, х > 0.

(22)

Тогда при а > 1/2 его моменты Ма равны бесконечности.

Отметим, что гипотеза разрешимости уравнения (22) существенна. В самом деле, если К(х)у) = 0 при х > 1 или у > 1 и функция источников д не равна нулю при а: > 2, то уравнение (22) не имеет решения. Доказательство теоремы основано на следующем алгебраическом неравенстве, которое доказано для всех х,у > 0 в Дополнении диссертации:

(х + у)а -ха- уа > (2° - 2)ха/у/2, если 0 < а < 1, а > 2. (23)

Если ядро коагуляции постоянно, то оказывается, что оценка а = 1/2 теоремы 5.3 является точной, что является содержанием леммы 5.3. В §5.6 доказывается теорема сходимости нестационарного решения к стационарному:

Теорема 5.4 Пусть условия теоремы 5.8 выполнены, ядро коагуляции К постоянно, а функция источника д непрерывна и имеет ограниченный первый момент. Тогда решение нестационарной задачи Ноши для (22) сходится к равновесию при £ -> оо в С[а, Ь] для всех 0 < а < Ь < оо. Если, дополнительно, функция источника д(х) убывает по х с экспоненциальной скоростью, то сходимость имеет место и в ¿¡[0, оо). Скорость сходимости экспоненциальна по времени. ■

Для доказательства теоремы 5.4 потребовалось разработать методы мажорантных оценок для сверточных рядов, т.е. рядов, содержащих бесконечное количество слагаемых вида с'1' = с * с * • • • * с с г сверточными "множителями". Именно в такой форме получается.решение линеаризированной в окрестности стационарного решения

задачи. Нелинейную исходную задачу удалось проанализировать за ■ счет метода вариации постоянной, примененного к выражению для решения линеаризированной задачи.

§5.5 завершается рисунками 5.3 и 5.4, на которых изображен график стационарного решения и приведены результаты численных расчетов, демонстрирующих справедливость теоремы 5.3.

Глава 6 посвящена получению новых дискретных математических моделей коагуляции, установлению их взаимосвязи и выводам, позволяющим, в частности, оценить критические моменты наступления структурной неустойчивости дисперсных систем. В §6.1 рассматривается следующий механизм роста частиц как результат столкновений нар частиц с массами imо and jma, здесь и далее для определенности мы предполагаем, что i > j.

Пусть столкновение г-мера и j-мера приводит к дроблению меньшего j-мера на а мономеров (а — a(j)) и один (j — а)-мер. Каждый из этих а мономеров присоединяется мгновенно к i-меру (своему для каждого мономера). Итак, в качестве результата одного акта столкновений мы имеем а новых (г+ 1)-меров и один (j — а)-мер (рис. 6.1). Параметр a(j) предполагается неубывающим по j. Из соображений баланса мы приходим к кинетической модели, которая в частном случае a(j) = j принимает вид:

dc■ * 00

~7Г = <4-1 Е Ki-ijjcj - с,- Е Kijjcj - Е KijdCj. (24)

ai j=i j=i j=i

В §6.2 рассматривается другой механизм взаимодействия частиц. Предположим, что большая частица i "откусывает" от j-мера один /?-мер (/в = P(j) < j) и, таким образом, размер большей частицы становится равным (г + /?). Размер j-мера становится равным (j — /3) (рис. 6.2). Если P(j) = j, то приходим к уравнению Смолуховского (1). При а = 0 = 1 оба семейства моделей коагуляции дают одну и ту же новую кинетическую модель, соответствующую коагуляции с м и и и мал ьной и нтенсивностью.

В §6.3 делается предельный переход при то 0 и оказывается, что уравнение (24) является дискретной версией ранее известного урав-

нения коагуляции В.С.Сафронова

= !о уК^Му^у] - I™ К(х,у)с{х,1)с(у,1)с1у.

(25)

Отсюда делается вывод, что две ранее известные модели коагуляции (М.Смолуховского и В.С.Сафронова) взаимно переходят друг в друга при изменении параметров а а /3. Обе они соответствуют максимальным значениям этих параметров.

В §6.4 проводится сравнительный математический анализ моделей коагуляции Смолуховского и Сафронова (теперь уже вместе с его дискретной версией). Обсуждаются законы сохранения массы и диссипации числа частиц, показывается, что в простейшем случае, когда взаимодействия могут происходить только с мономерами, дискретные версии обеих моделей приводят к одной и той же системе кинетических уравнений Веккера-Дёринга. Описано, что непрерывные стационарные уравнения Смолуховского и Сафронова имеют по крайней мере одно одинаковое решение (при обсуждении §4.4 указано, что это решение имеет сингулярность третьего порядка). Получены выражения для моментов решения уравнения Сафронова, причем оказалось, что они близки к известным результатам лдя уравнения Смолуховского. Приведены результаты обширных численных расчетов (рис. 6.5-6.19), которые также демонстрируют близость результатов, получаемых по обеим моделям. Доказано, что важным различием между моделями Смолуховского и Сафронова является то, что в отличие от уравнения Сафронова уравнение Смолуховского распространяет возмущения с бесконечной скоростью. Для дискретной версии уравнения Смолуховского это было показано в главе 1 диссертации, а для непрерывного случая - в §6.4 с использованием теоремы Стоуна-Вейерштрасса. Таким образом, уравнение Сафронова позволяет вычислять фронт коагуляции, что продемонстрировано в §6.5. Под фронтом коагуляции понимается граница смещения во времени ненулевого значения функции распределения частиц по размерам в тех случаях, когда начальное распределение было финитным. Сделаны оценки фронта коагуляции для ряда важных ядер. Оказалось, что для важных мультипликативных ядер фронт коагуляции уходит

на бесконечность в тот же самый критический момент времени, когда происходит нарушение закона сохранения массы (гель-переход). Постулировав это наблюдение в качестве гипотезы, в §6.6 и §6.7 получены оценки момента гель-перехода для ряда важных ядер коагуляции, ранее не поддававшихся анализу. В частности, построен пример ядра коагуляции, убывающего при равных значениях аргументов (т.е. К(х,х) —> 0, ас —> оо), но для которого нарушается •закон сохранения массы. Все ранее известные ядра, допускавшие голь-переход, имели преобладание на диагонали, т.е. было не только К(х,х) -> оо, х оо, но и К(х,х) > К{х — у, у), 0 < у < х. Следовательно, природа нарушения закона сохранения лежит не только в интенсивной коагуляции частиц примерно равных масс, как предполагалось ранее.

В глапе 7 мы переходим к исследованию пространственно неоднородного уравнения коагуляции-дробления, которое записывается в следующем виде:

Ос(х х 1 /

' +&уг{у(х,г,ь)с(х,г,г)) = - у К(х-у,у)с{х-у, г,1)с(у, г,г)(1у~

о

roo

—с{х, z, t) уо К(х, у)с(у, z, t)dy + q{x, z, t) — a(x, z, t)c(x, z, <)-f

roo 1 /X

+ ¿ F{y-x,x)c{y,z,t)--c(x,z,t) ^ F{x-y,y)dy, x>0,t>0, (26)

где z = (zi,Z2,z¡) является пространственной переменной. В §7.1 доказывается локальная разрешимость краевой задачи для уравнения (2G) в классах и Í7J(T) (лемма 7.1). Метод доказательства

похож на метод теоремы 2.1 с использованием супремума по г в соответствующих нормах. В отличие от теоремы 2.2 это локальное но времени решение не удается продолжить на всю временную ось, поскольку априорная оценка ограниченности нулевого момента решения, использовавшаяся в теореме 2.2 при оценке положительного интегрального слагаемого дробления с бесконечными пределами интегрирования в пространственно неоднородном случае отсутствует. Это одно из первых отличий от пространственно однородной ситуа-

ции, которая с математической точки зрения гораздо проще задачи, учитывающей конвективный перенос частиц в пространстве.

В §7.2 доказывается теорема существования локального по времени решения для неограниченных ядер коагуляции и дробления. Теорема 7.1 Пусть

divzv(x, z, t) > -b = const, 0 < t < T, z € R+, x > 0. (27)

Функции ti u div2v предполагаются пепрерывпъши. Пусть начальные и краевые условия coi,co2 непрерывного сопряэ/сеиы. Пусть для некоторого Ло > 0 : 7, со2 € coi €Пусть ядра коагуляцгш и дробления непрерывны, неотрицательны,

К(х,у) <k-{l+x)(l + ij), х,у>0, (28)

и выполнено условие

J*(l + y)F{x-y,y)dy<C0-(l + x)\ ж > 0, (29)

Тогда для некоторого т > 0 и любого А, 0 < А < Ло, существует непрерывное неотрицательное решение уравнения (26) в пространстве ПА(г), которое непрерывно дифференцируемо вдоль характеристик уравнения (26). Оно единственно в Пд(т) и непрерывно зависит от начальных условий coi, краевых значений со2 и функции источников Я-

Общая схема доказательства теоремы 7.1 напоминает доказательство теоремы 2.3: рассматривается последовательность финитных ядер, аппроксимирующая данные неограниченные ядра коагуляции и дробления и порождающая в силу леммы 7.1 последовательность {cn(x,2:,£)}ÎÎLi решений регуляризированных таким образом задач. Важнейшим этапом доказательства является получение для всех 0 < А < Aq интегральной априорной оценки решения

Г ОС

/ ехр(Ах) sup cJx, z,t)dx <С\ = const, 0 < f < т, n > 1, (30) J0 гея3

что осуществляется за счет перехода к квазилинейному уравнению первого порядка, равномерно по n мажорирующему интегралы (30). Благодаря аналитичности начального условия для этого мажорирующего уравнения удается применить теорему Коши-Ковалевской и

тем самым доказать разрешимость мажорирующего уравнения и, следовательно, оценку (30). Степенные ограничения в (28), (29) нельзя ослабить, поскольку тогда мажорирующее квазилинейное уравнение для интегралов с экспоненциальным весом будет иметь второй порядок, и применение теоремы Коши-Ковалевской станет невозможным. Далее с помощью интегральной оценки (30) в лемме 7.3 доказывается компактность в С последовательности {сп}, после чего, сделав оценки малости "хвостов" интегралов с бесконечными пределами (опять на основании интегральной оценки (30)), удается доказать существование решения. Его устойчивость и единственность доказываются аналогично теореме 3.2 путем рассмотрения супремума решения по пространственной переменной.

Таким образом, на основании схемы, реализованной для пространственно однородного случая в главах 1,2 и 3, доказываются существование, единственность и устойчивость локального по времени решения для очень широкого класса неограниченных ядер.

Начиная с §7.3 рассматривается уравнение коагуляции-дробления в одномерном пространстве г € Я1 и предполагается, что скорость пространственного переноса зависит только от массы: и = ь{х). Для получения решения "в целом" с неограниченными ядрами коагуляции и дробления требуется ряд оценок, сильно отличающихся от пространственно однородного случая. На основании подхода В.А.Галкина в §7.4 удается получить новую интегральную оценку решения. Этой оценки вполне достаточно для доказательства разрешимости в классе обобщенных решений из Ь\, однако в §7.5 нам удается, применив принципиально новый для этих задач метод, существенно улучшить предыдущую интегральную оценку и тем самым доказать разрешимость в классе непрерывных функций. Заодно удается получить единственность и устойчивость решения.

Для последовательности решений аппроксимирующих задач с помощью принципа максимума (лемма 4.1) доказана первая важная априорная оценка решения в пространстве С.

Лемма 7.4 Пусть для постоянной ш выполнены условия (19) и (20). Тогда для непрерывного решения задачи Коши (26) имеет ме-

сто неравенство

sup с(х, z, t) < шах < m, sup coi(x, 2;) + Q, 0<i<oo ,zenV [ 0<1<оо,геЯ1|.

sup em[x,t) + Q} = C2, 0 < í < r, n > 1. (31) 0<x<oo,0<t<T J

Здесь Q = Jq supIZ q(x, z, s)ds, coi и сог - начальное и краевое условия, соответственно.

В §7.4 доказывается априорная оценка решения в пространстве Li с весом, причем выбор весовой функции весьма широк и осуществляется на основании ядер коагуляции и дробления и скорости переноса с точки зрения оптимизации результатов.

Лемма 7.5 Пусть z € Í2+, Coi € ^о,1(0),д,со2 £ Под СП) яФа коагуляции и дробления неотрицательны, непрерывны и удовлетворяют условиям (19), (SO). Пусть функция К(х,у) симметрична. Пусть скорость пространственного переноса имеет непрерывную производную и'(х) и неотрицательна. Пусть также найдутся константы А > 1, р > 1 и функции у(х), t/>(x),tu(x) > 0 такие, что начальное, краевое условия it функция источников имеют ограниченные интегралы

roo reo

/ tu(x) sup CQ\(x,z)dx < oo, / w(x) sup Cq2(x, t)dx < 00, (32)

JA z>o JA o<t<r

f wix) sup q(x, z, t)dx < 00. (33)

JA *,t>o

Пусть ядро коагуляции К и скорость переноса v связаны для некоторой зависящей от А константы C¡ соотношением

w(x)<p(x)K(x - у,у) < С3 • x|t/(x)|, х > А, 0 < у < х, (34) причем

j™ т{х)\ф))1-р j* К{х - y,y)dydx < 00. (35)

Пусть также

/¿{Ф(х)]1~Р fA ~ У) y)w(y)dy dx < 00, (36)

F{x - у, у)ю{у)ф{х) < САх ■ |и'(у)|, А < у < х < оо. (37)

Тогда

sup sup I w(x)c(x, z,t)dx < Cs < oo. (38)

0 <t<Tz€R\Ja

Условия (35) и (36) выполнены, если подынтегральные ядра имеют не более чем степенную скорость роста, а функции ф монотонно возрастают и неограничены на бесконечности. Так что эти условия практически не являются ограничительными. Что касается условия (34), то, например, при F(x,y) < 1, К(х,у) < 1 + х 4- у выбираем ip = т/> = хе, е > 0, iü(i) = (1 + х)7, и имеем из (34) следующее условие на v :

v'{x) > C;lx-{1-£){1 + хУ+\ х > Л, (39)

откуда видим, что (34) означает, что при некотором а > 0 должно быть v'(x) > Сха, х > А, а уж тогда мы по данному а всегда подберем положительные константы е и 7, определяющие функции <р,ф и w такие, что е + 7 < а.

В §7.5 выводится априорная оценка, улучшающая (38) путем переноса супремума под знак интеграла. Это изменение очень существенно, поскольку позволяет доказать разрешимость в классе непрерывных функций.

Лемма 7.6 Пусть ядра коагуляции и дробления непрерывны, неотрицательны, функция К(х, у) симметрична. Пусть выполнено неравенство (38) леммы 7.5 (и тем самым определена функция w(x)) и пусть найдется такая монотонно возрастающая положительная функция ф(х), что выполнены следующие условия

reo dx

/. <40> sup ф(х)с(ц(х,г) = Cr < 00; (41)

I6[0,oo),ze[0,oo)

sup ф(х)ссг(х,Ь) = Cs < 00 (42)

X6[0,oo),t€[0,r] u ™

ft

JQ sup ф(х)д(х, z,s)ds = Cg < 00. (43)

Предположим, что для некоторой константы г^ > 0 ядро коагуляции удовлетворяет при всех у € [0,2/2], х > 0 или при у 6 [§,х], х > О условию

ф(х)К(х - у, у) < гIV)(у) • ф(х ~ у), (44)

а для ядра дробления и некоторых констант Гг,гз > 0 выполнено хотя бы одно из двух нижеприведенных условий:

Ф{х)Сн7^х)(1у~Г2' х>0] (45)

или

Тогда

<¡>{x)F(y - х,х) < r3w(y), у>х. (46)

Сю

Ф(*У

c(x,z,t) < х, z > О, t в [0,Т]. (47)

В частности,

sup / sup|c(x, z,t)Idx < Си = const. (48)

0<i<tj° z> o

Эту важную лемму удаются доказать путем приведения исходного уравнения к дифференциальному неравенству для функции sup Хгф(х)с(хуг,{).

Теперь мы можем сформулировать теорему разрешимости в целом начально-краевой задачи для уравнения (26).

Теорема 7.2 Пусть z G Л+, cq\ € Фод(0).,д,со2 € АодСП, я^Ра коагуляции и дробления неотрицательны, непрерывны, симметричны и удовлетворяют условиям (19), (20). Пусть скорость пространственного переноса имеет непрерывную производную v'(x) и неотрицательна. Пусть функции coi и сог непрерывно сопряжены и выполнены условия лемм 7.5 и 7.6. Пусть также для достаточно большого значения А интегралы

-«Mi • <«>

равномерно ограничены по х при любом В < со.

Тогда существует непрерывное неотрицательное решение уравнения (26), имеющее непрерывную производную вдоль характеристик.

Если к тому оке ядра коагуляции и дробления ограничены в и

/ОО [X

Уо /о -У*У)ЛУЛх < °°>

то это решение еЗинствекко и непрерывно зависит от возмущений в С П Ь\ исходных данных задачи: начальных, краевых значений, источников и стоков.

Поскольку формулировка теоремы 7.2 осложнена введением вспомогательных функций (хотя именно благодаря им удается максимально расширить класс интегральных ядер), то ниже приводится ее частный случай для важных конкретных типов ядер коагуляции и дробления.

Следствие 7.1 Пусть ядра коагуляции и дробления неотрицательны, непрерывны, симметричны, удовлетворяют условиям (19), (20) и при некотором а > 0 неравенствам

К{х,у) <С(1 + х + у)а, Р{х,у)<С(1 + х + у)*, (50)

где /3 < 1 при а > 1 и /3 > а при 0 < ос < 1.

Пусть и(х) > 0, : £ Я\, функция ь'(х) непрерывна и при достаточно большом А > 0

|и'(х)| >Сх3а+£, х > А, е > 0. . (51)

Пусть функции со1,со2,д при некотором > 0 имеют ограниченный момент порядка 1 + 2а -Ъ ■

Тогда выполняется утверждение теоремы 7.2.

Дальнейшее исследование пространственно неоднородной кинетики коагуляции-дробления продолжается в заключительном §7.6, где путем перехода к гидродинамическому пределу, на основании закона сохранения массы, выводится новое уравнение динамики дисперсных систем, подверженных коагуляции и дроблению с постоянными ядрами. Неизвестной функцией в этом уравнении является плотность частиц дисперсной системы, равная первому моменту функции распределения частиц по размерам. Ранее все попытки записать за-

мкнутое уравнение для плотности наталкивались на незамкнутость цепочки моментов функции распределения.5

При ряде дополнительных предположений доказана следующая теорема.

Теорема 7.3 Пусть ядра коагуляции и дробления К и F постоянны, и пусть с£, е > 0 есть неотрицательные решения масштабированного уравнения

dtce + V • dzce - -S(c£), ' е

где е > 0 - малый параметр, a S (с) - столкновительный оператор, выражаемый правой частью уравнения (26).

Пусть скорость пространственного переноса v[x) имеет не более чем степенной рост по х,6 а начальное распределение со интегрируемо по x,z с весом xv(x).

Тогда при некоторых дополнительных предположениях существует функция c(x,z,t), к которой в смысле распределений сходится некоторая подпоследовательность из {с£}.

Предположим, что

cCi lnc£j cinc, t -> oo, (52)

в смысле распределений. Предположим также, что

f™S{c)ln{KcJF)dx <0

и

lim /о°° S(ce) In {Kce/F)dx < /о°° S (с) In {Kc/F)dx.

Тогда плотность p{z,t) удовлетворяет следующему уравнению динамики (гидродинамическому пределу)

1 f F ]3/2

.Ь

d2p{z,t) = 0.

'си., например, Стернин Л.Е., Шрайбер А.А. Многофазные течения газа с частицами. М.: Машиностроение, 1994.

'Это допущение не является физически ограничительным.

Доказательство теоремы 7.3 основано на явной форме стационарного решения уравнения коагуляции-дробления, известной для постоянных ядер. К сожалению, несмотря на теорему 5.1 о существовании стационарного решения для линейного ядра коагуляции и постоянного ядра дробления, аналогичный переход к гидродинамическому пределу невозможен из-за отсутствия явной формы для зависимости этого решения от первого момента р.

Глава 8 посвящена новому подходу, разработанному в рамках теории сопряженных уравнений и основанному на получении оценок для квазифункционалов, входящих в исходные уравнения. На основании этой идеи в некоторых случаях удалось аналитически решить уравнение дробления и объяснить случаи неединственности решения уравнения дробления и ряда других линейных интегральных уравнений, включая стационарное уравнение коагуляции в сингулярной, форме, рассмотренное в §4.4. При этом на основании построенной с помощью квазифункционального подхода основ теории корректности линейных интегральных уравнений с нефредгольмовыми ядрами удается улучшить результат §4.4 и доказать, что стационарное уравнение коагуляции имеет не менее чем третий порядок сингулярности (что было ранее продемонстрировано на конкретных примерах).

В §8.1 вводится понятие квазифункционалов, под которыми понимается однопараметрическое семейство линейных функционалов от решения, причем параметром является аргумент исходного уравнения. Показано, как это понятие в некоторых случаях помогает строить явные решения линейных интегральных уравнений и их систем, особенно бесконечных. На основе понятия квазифункционала строятся основы теории корректности для линейных интегральных уравнений Фредгольма 2 рода с нефредгольмовыми ядрами (т.е. не-интегрируемыми с квадратом):

«(*) = /п К(х, у)ч{у)<1у + ¡{х). (53)

По-новому объясняется роль соответствующего резольвентного уравнения

1>(х; *)= /а К*{х,у)и{х-,у)йу + К(х, г), х 6 П. (54)

Рассмотрение ведется и наиболее общих пространствах Ь\к локально интегрируемых функций.

Теорема 8.1 Пусть резольвентное уравнение имеет в Ь\п (С1) решение у(х\.) и пусть для почти всех х Е (2 / Е ¿¡(у(х;.); П). Тогда исходное интегральное уравнение (53) имеет по крайней мере одно решение и. Если к тому же резольвентное уравнение (54) однозначно разрешимо в [}°с(0.) и функция / такова, что и Е то это решение единственно в Ту.

Здесь Тк - введенное специальное функциональное пространство, являющееся естественным для данного уравнения (свое для каждого уравнения) и зависящее от решения резольвентного уравнения v.

Теорема 8.2 Пусть резольвентное уравнение (54) не имеет решения в Ь]\с{0), а однородное сопряэюенное уравнение имеет нетривиальные решения ю 6 Ь1"0. Тогда для разрешимости уравнения (53) « пространстве Ти1 необходимо, чтобы для всех решений выполнялось условие ортогональности

1ПЧУ)1ШУ = О- (55)

В качестве одного из примеров в диссертации рассматривается уравнение

и(а) = ¡* + х2, 0 < х < 1. (56)

Оно имеет следующие решения

ы(аг) = аг(и(1) - 2) + 2х2, (57)

которые зависят от произвольной константы и(1). Однако резольвентное уравнение

/ ч 1 /■* / . . 6(1-2)

у(х\ г) = - / у[х\ х))йу +-

X z

имеет единственное решение

х

ь(х\г) = - г),

так что, найдя методом квазифункционалов решение и(х) = 2а:2, заключаем, что это решение единственно в пространстве

1„ = Ь\(х~2\ (0,1)). Отметим, что остальные решения в (57), возникающие при и(1) ф 2, не принадлежат этому естественному пространству решений.

В §8.2 методом квазифункционалов строится явное решение уравнения дробления для некоторого класса функций дробления. Указано, что пример неединственности (11) решения уравнения дробления может, помимо использовании результатов главы 3, найти свое объяснение в рамках метода квазифункционалов. Показано, что в этом примере естественным пространством решений Ту является пространство функций с ограниченным вторым моментом, так что в нем решение, согласно теореме 8.1, должно быть единственно, выражения (11) полностью подтверждают это наблюдение: "лишнее" решение лежит снаружи указанного естественного пространства решений. Интересно отметить, что, оказывается, решения уравнения дробления из естественных функциональных пространств удовлетворяют закону сохранения массы, что, напомним, математически выражается постоянством первого момента от решения. Так что неудивительно, что "лишняя" функция ехр(А<)/(А + я)3 имеет переменный первый момент.

В §8.3 методом квазифункционалов строится явное решение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. Отметим, что для таких систем верны слегка измененные утверждения теорем 8.1 и 8.2, так что в данной главе строятся основы теории и для таких систем.

В качестве демонстрации метода квазифункционалов в §8.4 явно решается бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений, а в §8.5 - бесконечная система уравнений в частных производных. В §8.6 установлена удивительная взаимосвязь этой бесконечной системы линейных уравнений в частных производных и скалярных гиперболических законов сохранения (теорема 8.3). В качестве следствий доказаны теоремы локальной разрешимости для бесконечных систем. Отметим, что указанные законы сохранения обобщают уравнение динамики дисперсных систем, полученное как гидродинамический предел в главе 7.

В заключительной 9-й главе находят свое применение разработки всех предыдущих глав. Здесь мы применяем построенную в предыдущих главах теорию коагуляции-дробления к задачам кинетики полимеризации, а именно, к системе уравнений Беккера-Дёринга как важного частного случая уравнения Смолуховского и новой модели коагуляции, полученной в главе 6. Ранее полученные общие теоремы переформулируются, приводя к новым результатам о свойствах решений, о их разрешимости, единственности и устойчивости.

Так, комбинируя теорему существования (теорема 2.3) и теорему сохранения массы (теорема 3.1), мы приходим к следующему утверждению.

Теорема 9.1 Предположим, что fc¡ < С • i и найдется такая положительная константа тп > 0, что

íi<C-im, i > 1.

Пусть начальное распределение cq € fí£r(0) при некотором г > тах{т, 1}. Тогда на любом временном промежутке [О, Г] существует по крайней мере одно решение задачи Ноши для системы уравнений Беккера-Дёринга, принадлежащее пространству íííjГ(Т). Если к тому otee г > 2 и b¡ < С • ir, то полученное решение удовлетворяет. закону сохранения массы.

Если же начальное распределение подчиняется более строгому условию со € П+(0), то решение лежит в £2+(Т).

Из теоремы единственности 3.2 получаем следующую теорему.

Теорема 9.2 Пусть h < С-i и fr < С-i. Если со G Q£(0), А0 > 1, то найдется такое А = А(Т), 1 < А < Ао, что задача Коши для уравнений (1.6), (1.7) имеет не более одного решения в пространстве ПлСП, Т < оо.

Теорема 3.3 приводит к следующему результату.

Теорема 9.3 Пусть Со « Ci - неотрицательные константы и для некоторой неубывающей функции Х(г) и чисел h¡ < Cj, г > 1,

k¡ = С0 ■ i + hi > О, i> X(i).

Пусть коэффициенты дробления fi ограничены равномерно по i > 1. Тогда решение уравнений Беккера-Дёринга единственно в пространстве fii,i(T).

В §9.2 на основании подходов главы 7 доказывается следующая теорема существования решения для пространственно неоднородной системы уравнений Беккера-Дёринга.

Теорема 9.4 Пусть кинетические коэффициенты ki, fi неотрицательны и предположим, что кинетические коэффициенты равномерно ограничены, т.е. найдется такая константа С, что

ki<C, fi<C, i> 1. (58)

Пусть выполнены неравенства

"Ф- < оо, sup ~ <С. оо, (59)

«2 ¿>з h

которые означают, что интенсивность дробления не может слишком сильно превышать интенсивность слияния полимеров с мономерами. Пусть начальное распределение с,(0) является непрерывной неотрицательной функцией, ее первый момент ограничен и

sup c-°'(z) < со.

г€Д3, 1<«'<оо

Пусть также найдется положительная последовательность {</>;} такая, что выполнены неравенства

<t>i < гп\ф{-хф\, < тпгфйа, ф\ < г > 2,

сумма E^i ограничена и начальная функция суммируема с весом ф{ равномерно по z, т.е.

00

supE^0)(^) <оо. (60)

1 i=1 .

Тогда существует единственное непрерывное неотрицательное решение "в целом" задачи Коши для системы уравнений Беккера-Дёринга. Для этого решения в любой момент времени t выполнено соотношение (60).

В §9.3 уравнения полимеризации Беккера-Дёринга изучаются методами главы 8, что позволяет явно построить решение при отсутствии агрегации частиц. Метод квазифункционалов применяется

также н §9.4, где предлагается метод построения решения для нелинейной кинетической модели полимеризации Аринштейна, близкой к системе Беккера-Дёринга.

Все представленные в диссертации результаты являются новыми. Они опубликованы в работах диссертанта в 1994-1999 годы, в том числе в монографии [1].

В заключении сформулированы следующие

Основные результаты работы

Построена математическая теория для уравнений кинетики коагуляции-дробления:

• доказана корректность пространственно однородного уравнения с неограниченными ядрами коагуляции, допускающими линейный рост, а также широкого класса ядер дробления, включающего важные неограниченные ядра;

• сделаны выводы о свойствах решений, оценены скорости их убывания на бесконечности, выявлены случаи, когда могут возникать решения, не подчиняющиеся закону сохранения массы, доказана положительность решений и определен порядок сингулярности стационарного решения для уравнения коагуляции без учета дробления;

• установлены критерии существования, единственности, устойчивости стационарных решений как для уравнения с учетом дробления, так и при наличии постоянного внешнего источника частиц, выявлены свойства стационарных решений и сходимость к ним решений нестационарных задач при больших временах;

• построены новые модели кинетики коагуляции и показана их взаимосвязь с известными уравнениями. Установлена зависимость поведения фронта коагуляции при финитных начальных данных от наличия гель-перехода в дисперсной системе, приводящего к нарушению закона сохранения массы;

• доказаны теоремы существования и единственности для пространственно неоднородных задач при различных ядрах коагуляции и дробления и при различных скоростях пространственного переноса;

• построена новая динамическая модель, являющаяся гидродинамическим пределом для кинетики коагуляции-дробления;

• на основе понятия квазифункционала разработан новый метод анализа уравнений и систем уравнений, с помощью которого построены основы теории корректности линейных интегральных уравнений с нефредгольмовыми ядрами и их систем, а также получены явные решения бесконечных систем алгебраических, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, что, в частности, позволило решить уравнение дробления, оценить порядок сингулярности решения стационарного уравнения коагуляции и решить бесконечную систему кинетических интегральных уравнений, сходных с цепочкой Н.Н.Боголюбова;

• в качестве применения построенной теории доказана корректность системы кинетических уравнений Беккера-Дёринга, и построено явное решение этой бесконечной системы для задачи распада полимеров, исследована также близкая кинетическая модель свободнорадикальной полимеризации Аринштейна.

Публикации по теме диссертации

По теме диссертации автором опубликовано около 30 печатных работ. Основные результаты диссертации представлены в следующих работах.

1. Дубовский П.Б., Математическая теория коагуляции, Lecture Notes Series, Seoul. 23. Seoul: Seoul National Univ., Research Inst, of Math., Global Analysis Research Center, 169 p. (1994).

2. Дубовский П.Б., Стюарт И.В., "О порядке сингулярности решений стационарного уравнения коагуляции," Appl. Math. Lett. 8, No. 5, 17-20 (1995).

3. Дубовский П.Б., "Сходимость решения уравнения коагуляции с источником к равновесному состоянию," Дифференц. ур-ния 31, No 4, 684-659 (1995).

4. Дубовский П.Б., Чеэ Д., "Взаимосвязь между скалярными законами сохранения н бесконечными линейными системами уравнений в частных производных," Appl. Math. Lett. 8, No 5, 21-25 (1995).

5. Дубовский П.Б., Чеэ Д., "Существование и единственность для пространственно неоднород ного уравнения коагуляции с источниками и стоками", Z. angew Malh. Phys. (ZA.MP) 4G 580-594 (10,05).

6. Дубоаскин II.В., Стюарт И.В., "Существование, единственность и сохранение массы ДЛ1 уравнения коагуляции-дробления," Math. Methods Appl. Sci. 19, 571-591 (1996).

7. Дубовский П.Б., Стюарт И.В., "Сходимость к равновесию в уравнении коагуляции-дробле ния," Math. Meth. Appl. Sci. 19 (1996), 761-772.

8. Дубовский П.Б., "Теорема единственности для уравнения Больцмана, возникающего в дина пике коагуляции-дробления," Integral Methods in Science and Engineering, 1, Pitman Researcl Notes in Mathematics Series, C.Constanda, J.Saranen and S.Seikkala eds., Longman, 1997, pp

9. Дубовский П.Б., "Теорема существования для пространственно неоднородного уравнени/ Больцмана динамики коагуляции-дробления," Analysis, Numerics and Applications of Differen tial and Integral Equations, Pitman Research Notes in Mathematics Series, M.Bach, C.Constanda G.C.Hsiao, A.-M. Sanig and P.Werner eds., Longman, 1998, pp. 77-80.

10. Дубовский П.Б., "Исследование бесконечных систем обыкновенных дифференциальных урав нений методами теории сопряженных уравнений," Дифференциальные уравнения и их применения, СПб.: СПбГТУ, 1998, 123-126.

11. Дубовский П.Б., "Треугольник" взаимосвязанных моделей коагуляции," J. Phys. A: Math Gen. 32, No.5,1999, 781-793.

12. Дубовский П.Б., "Гидродинамический предел для кинетического уравнения Больцмана, возникающего:! динамике коагуляции-дробления," Mathematical Models of Nonlinear Excitation, Transport, Dynamics, Control in Condensed Systems and Other Media, Uvarova L.A., Atinstein A.E., and Latyehev A.V. (eds.), Kluwer Academic/Plenum Publishers, NY, 1999, 71-76.

13. Дубовский П.Б., "Структурная устойчивость дисперсных систем и конечность фронта коагуляции," ЖЭТФ 116, No. 2(8), 1999, 717-730.

14. Дубовский П.Б.," Новая дискретная модель кинетики коагуляции и свойства ее непрерывного аналога," Матем. моделирование 12, No. 9, 2000.

69-73.

Введение

Глава 1. Математические модели кинетики коагуляции и дробления

1.1 Постановка задач.

1.2 Основные свойства уравнения коагуляции-дробления

1.3 Основные функциональные пространства.

Заключительные замечания.

Глава 2. Существование решения для уравнения коагуляции-дробления

2.1 Локальная разрешимость задачи Коши с финитными ядрами

2.2 Разрешимость в целом задачи с финитными ядрами

2.3 Формулировка теоремы существования решения в целом. Ограниченность моментов.

2.4 Равномерная ограниченность последовательности приближенных решений.

2.5 Компактность аппроксимирующей последовательности

2.6 Доказательство теоремы существования решения . 47 Заключительные замечания.

Глава 3. Условия выполнимости закона сохранения массы и теоремы единственности решения

3.1 Сохранение массы.

3.2 Теорема единственности в пространстве 0(Т).

3.3 Теорема единственности в пространстве Г^од(Т) . 62 Заключительные замечания.

Глава 4. Некоторые свойства решений

4.1 Принцип максимума

4.2 Применение принципа максимума к уравнению коагуляции-дробления

4.3 Положительность решений.

4.4 Порядок сингулярности стационарного решения уравнения коагуляции.

Заключительные замечания.

Глава 5. Существование равновесных состояний и сходимость к ним для некоторых моделей коагуляции-дробления с источником

5.1 Проблема существования равновесных решений

5.2 Существование и единственность равновесного решения

5.3 Линейная устойчивость.

5.4 Нелинейные оценки решений.

5.5 Свойства стационарных решений для уравнения коагуляции с источниками.

5.6 Сходимость к равновесию.

Заключительные замечания.

Глава 6. Два семейства моделей коагуляции и их применение к исследованию кинетики дисперсных систем

6.1 Семейство дискретных моделей коагуляции.

6.2 Другое семейство дискретных моделей коагуляции

6.3 Переход к уравнению Сафронова.

6.4 Сравнительный математический анализ моделей коагуляции

6.5 Вычисление фронта коагуляции.

6.6 Нарушение закона сохранения массы. Ядра К(х,у) — ху)а.

6.7 Нарушение закона сохранения массы для других ядер коагуляции.

Заключительные замечания.

Глава 7. Исследование пространственно неоднородного уравнения коагуляции-дробления

7.1 Локальная разрешимость для ядер коагуляции и дробления с компактным носителем.

7.2 Теорема существования локального решения для неограниченных ядер.

7.3 Оценки решения в равномерной норме.

7.4 Оценки решения в интегральной норме.

7.5 Разрешимость в целом в классе непрерывных функций

7.6 Гидродинамический предел для уравнения коагуляции-дробления

Заключительные замечания

Глава 8. Квазифункционалы как подход к исследованию кинетики коагуляции-дробления и других задач

8.1 Понятие квазифункционалов. Основы теории корректности линейных интегральных уравнений с нефред-гольмовыми ядрами.

8.2 Аналитическое решение уравнения дробления.

8.3 Решение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений

8.4 Решение бесконечной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

8.5 Решение бесконечной системы линейных уравнений в частных производных.

8.6 Анализ скалярных гиперболических законов сохранения

8.7 Цепочки кинетических уравнений

Заключительные замечания.

Глава 9. Применение построенной теории коагуляциидробления к задачам кинетики полимеризации

9.1 Непосредственные следствия из общей теории коагуляции-дробления для пространственно однородной системы уравнений Беккера-Дёринга.

9.2 Пространственно неоднородная модель полимеризации

9.3 Анализ уравнений Беккера-Дёринга с точки зрения квазифункционалов.

9.4 Исследование полимеризационной кинетической модели Аринштейна

Заключительные замечания.

Дополнение. Биномиальное неравенство

Работа посвящена построению математической теории кинетики коагуляции-дробления.

Процессы коагуляции (слияния) и дробления (расщепления) являются одними из основных процессов, характеризующих эволюцию дисперсных систем, т.е. двухфазных систем, являющихся механической смесью среды (газообразной или жидкой) с взвесью (жидкой или твердообразной). Такие системы появляются в различных естественных и техногенных процессах. Примерами дисперсных систем, в исследовании которых активно используются модели коагуляции и дробления, могут служить воднокапельные облака в атмосфере, аэрозольные загрязнения воздуха, клубы вулканической или метеоритной пыли, дым от лесных пожаров [267, 126, 21, 23, 135], топливные смеси в двигателях внутреннего сгорания [117], космические пылевые облака и туманности [111, 255], коллоидные растворы, золи, эмульсии, суспензии [74, 91], полимеры в химических реакторах [5, 6].

Модели коагуляции и дробления используются астрофизиками для изучения образования звезд [180, 242, 256], формирования галактик [255], распределения астероидов и малых планет [111, 169, 289, 257]. Другие важные приложения имеются в теории коллоидов [84, 105, 91, 74, 215], в теории аэрозолей [85, 248, 135], метеорологии [82, 173, 21, 23], гематологии [108], инженерии [189, 155, 117], химии полимеров [5, 6], фото- и кинотехнологиях [155], теории роста зерен в сплавах [234], радиационном материаловедении [159], в технологических процессах, связанных с воздействием на эмульсии и суспензии [106], флотационным разделением руд, разрушением пен, удалением воды из нефти, подготовкой сточных вод [74], при разработке большинства моющих средств [74]. Столкновения частиц, приводящие к их коагуляции (слиянию, слипанию) и/или дроблению могут быть обусловлены самыми разнообразными эффектами - случайным (броуновским или турбулентным) блужданием, сближением под действием электрических, гидродинамических и гравитационных сил. При соединении кластеров в полимерных растворах это явление иногда называют агрегацией.

Процессам коагуляции и дробления иногда могут сопутствовать поступление извне в дисперсную систему новых частиц и/или их поглощение. При их заметном влиянии на спектр необходимо включить в рассмотрение внешние источники и стоки.

Явления, подобные коагуляции, характерны и для таких процессов, как рост кристаллов, образование дислокаций и пузырей в твердом теле под действием излучения. Таким образом, проблематика, связанная с изучением процессов коагуляции и дробления, особенно важна в метеорологии, астрофизике, технике, экологии, химии полимеров и в радиационном материаловедении. Глубокое проникновение в суть описываемых явлений невозможно без построения и изучения их математических моделей, которые, в свою очередь, требуют развитой математической теории. Именно это обстоятельство свидетельствует об актуальности представленной работы.

Целью математической теории коагуляции-дробления является описание функции распределения коагулирующих и дробящихся частиц по размерам (массам) как функции времени и, в некоторых случаях, пространственной переменной.

Обычно предполагается, что количество частиц в единице объема системы достаточно мало, так что вероятность тройных и более частых столкновений пренебрежимо мала. Бинарные столкновения предполагаются мгновенными. Предположим также, что размеры (массы) всех частиц кратны какой-то величине то- Частицы с массой гто назовем, по аналогии с полимерами, ¿-мерами. Обозначая через сг(£) концентрацию г-меров в момент времени I и используя эти предположения, М.Смолуховский [114] получил следующую бесконечную систему нелинейных дифференциальных уравнений для процесса коагуляции: Кг-ыЪ-МсЖ*) - ф) Е КЧСз(*) (0-1) оо

И 2 с начальными условиями сг(0) = с!0) > 0.

0.2)

Функция Kij называется ядром коагуляции, она описывает интенсивность взаимодействий между частицами с массами г и; и предполагается известной из физики процесса. Ядро коагуляции вводится в предположении, что в течение временного интервала At среднее количество слияний частиц с массами г и ] в единице объема дисперсной системы равно Из определения ядра коагуляции ясно, что коэффициенты К^ неотрицательны и симметричны, т.е. К^^ > 0 для всех г,] > 1. Неизвестная неотрицательная функция Сг(£) является искомой концентрацией (функцией распределения) частиц с массами г, г > 1.

Во многих работах, начиная с работы Зигмонди [73], экспериментально показано соответствие теории Смолуховского реальной кинетике коагуляции (подробнее экспериментальные работы описаны, например, в [105]).

В уравнении (0.1) не учтена возможность дробления частиц. Однако важность учета процессов дробления в коагулирующих дисперсных системах отмечена во многих работах [23]. Так, в работе [40] описаны эксперименты, доказывающие, что возникновение ливней объясняется именно дроблением падающих облачных капель, поскольку при дроблении их легкие осколки захватываются восходящими потоками воздуха, возвращаются в исходное облако и являются зародышами новых тяжелых капель, которые, в свою очередь, претерпевают аналогичные превращения и выполняют свою роль в развертывающейся цепной реакции образования ливня.

Знание функции распределения частиц, помимо непосредственного интереса, позволяет сделать ряд важных макроскопических выводов. Самым очевидным применением является оценка плотности вещества, равной первому моменту функции распределения. Многие макроскопические величины выражаются как функционалы от функции распределения. Например, поглощение света в межзвездной среде можно оценить по формуле [239] /0°° е(х)с(х, ¿)Ах где е{х) - коэффициент интенсивности поглощения света заданной частоты. Абсорбционные свойства атмосферного аэрозоля, сильно влияющие на оптические и электромагнитные свойства атмосферы, определяются коэффициентом абсорбции а, зависящим от длины волны Л, который равен [217] а(А) = J с(х^)а(Х, х)¿х.

Здесь а есть сечение фотоабсорбции. Зная скорость у(х) движения частиц массой х можно также вычислить среднюю скорость движения облака [100] /0°° у(х)с(х, {)йх /0°° с(х, €)(1х

Рэлеевское рассеяние света пропорционально второму моменту от функции распределения частиц /0°° ж2с(ж, ¿) [105, 186]. Другие важные функционалы, вычисляемые на основе информации о функции распределения, могут быть найдены, например, в [100].

В данной работе мы изучаем общее уравнение коагуляции-дробления с математической точки зрения. Обычно результаты и используемые методы имеют место как для дискретной, так и для непрерывной версии уравнений, так что мы обычно не будем подчеркивать это обстоятельство. Мы отметим особые случаи, когда результаты для дискретного случая не могут быть трансформированы к непрерывному случаю и наоборот. Поскольку уравнение коагуляции-дробления является сложным нелинейным интегродифференци-альным уравнением в частных производных, то разработка математической теории для этого класса задач является также вкладом в общую математическую теорию интегральных и интегродифференциальных уравнений. Некоторыми свидетельствами этому замечанию являются, например, разработанные методы нахождения априорных оценок, основанные на принципе максимума, представленном в главе 4 и применимом и ко многим другим задачам, а также метод квазифункционалов, разработанный первоначально для коагуляции-дробления и, оказавшийся плодотворным для широкого ряда систем интегральных и дифференциальных уравнений (глава 8). В частности, на основе этого метода можно построить теорию линейных интегральных уравнений с нефредгольмовыми ядрами.

Обсудим основные математические результаты по кинетике коагуляции-дробления, не включенные в данную диссертацию.

Первая теорема существования решения в целом была доказана в 1957 г. Мелзаком [230]. Его теорема рассматривает ограниченные ядра коагуляции и дробления. В этом случае ограниченность ядер коагуляции К обеспечивает непрерывность столкновительного оператора, выраженного правой частью уравнения (0.1), и его инвариантность, т.е. в случае ограниченных ядер столкновительный оператор отображает пространство суммируемых функций в себя. Неограниченные ядра коагуляции и дробления не обладают таким свойством, что является главной сложностью при анализе уравнений с неограниченными ядрами. Существование решения для неограниченных ядер коагуляции с линейным ростом было доказано Галкиным [25] и Уайтом [291]. Дробление, источники и стоки частиц они не учитывали. Теорема устойчивости полученного решения и некоторые его свойства были рассмотрены в [26], где сформулирован важный принцип максимума, получивший обобщение в данном диссертационном исследовании.

Затем класс ядер с линейным ростом был расширен путем рассмотрения ядер с особенностью в нуле [15] и путем дополнительного допущения, что ядро коагуляции может расти сколь угодно быстро вдоль линий, не параллельных осям положительного квадранта (х, у) Е [27]. В работах [273, 274, 27] было доказано существование решения для ядер К(х,у) = о(х)о(у) (с некоторыми вариациями).

В работах Маклауда [225, 228] рассматривалось мультипликативное ядро коагуляции К(х, у) = Сху, которое, согласно теории поликонденсации Флори и Штокмайера [283, 181], возникает, например, в полимерных растворах, в которых слияние полимерных цепочек пропорционально количеству мономеров (единичных частиц) в каждой цепочке. Это ядро имеет особую важность при исследовании процессов коагуляции, поскольку в этом случае решение, начиная с некоторого критического момента времени, перестает удовлетворять закону сохранения массы, что вызвано бесконечностью интегралов, возникающих при формальном суммировании столкно-вительного оператора (правой части) уравнения коагуляции-дробления. Оказалось, что для такого ядра закон сохранения массы нарушается в конечный момент времени, когда второй момент решения уходит на бесконечность. Затем в серии статей [212, 31, 179], в которых были использованы некоторые идеи из работ [78, 79, 80], было показано, что для этого ядра существует решение в целом по времени. Сравнительно недавно подход Маклауда был пересмотрен в [263] с иным получением решения после момента нарушения закона сохранения массы.

Известно, что если решение уравнения коагуляции-дробления имеет ограниченный второй момент, то для постоянных ядер коагуляции и дробления решения уравнения (0.1) сохраняют массу [133]. Некоторые условия, обеспечивающие сохранение массы, были также выведены в [140, 281].

Для дискретного варианта уравнения (2.26) существование решения, сохраняющего массу, было доказано Боллом и Карром [140] с линейным ядром коагуляции. Для подкласса ядер коагуляции и дробления им также удалось доказать единственность решения.

В [133, 282] была доказана единственность решения для постоянных ядер коагуляции и дробления К = Г =сопб1. В работе [27] было показано, что для ядер К(х,у) < к( 1 + хауа), а < 1, .Р = 0 рассматриваемая задача имеет не более одного решения в классе функций, интегрируемых с весом ехр(Ажа), А > 0.

Следующий шаг был сделан Стюартом [279], доказавшим единственность для ядер

К(х, у) < к^г + х^ + у, I* у/1 + уР(х - у, у)йу < к2л/1 + X (0.3) в классе функций с ограниченным первым моментом.

Следует отметить, что с математической точки зрения разница между дискретной и непрерывной моделями коагуляции состоит в том, что пространство I1 суммируемых последовательностей содержится в так что оценка суммируемости в дискрентном случае немедленно дает ограниченность решения. В непрерывном случае доказательство ограниченности решения в Ь^ требует дополнительных оценок.

Для случая К = а,Е = Ь с константами а, Ь сходимость к решений к равновесию изучалась с помощью функции Ляпунова Айзенманом и Баком [133] и автором [282].

Существование обобщенных решений уравнения коагуляции с начальными условиями, заданными в пространстве борелевских мер, рассмотрены в работе автора [47]. Однако при построении математической теории коагуляции-дробления нашей основной задачей будет доказательство разрешимости уравнений в классах "хороших", преимущественно непрерывных, функций. Отметим, что это требует дополнительных априорных оценок решения, которые удается получить в данной диссертации.

Эволюция дисперсных систем с учетом не только коагуляции, но и дробления, рассмотрена в работах [230, 231, 143, 198, 273, 274, 23, 133, 278, 140, 279, 157], в которых доказан ряд теорем существования и единственности решения уравнений (1.7), (1.8), в основном для пространственно однородного случая. Недавно появилась серия работ [221, 222, 223], в которых рассматривается уравнение (1.7) и передоказываются результаты, которые непосредственно следуют из ранее опубликованной работы автора [56], представленной в настоящей диссертации (глава 2).

Существование обобщенного решения для ряда пространственно неоднородных задач коагуляции (без учета дробления) было доказано в работах В.А. Галкина [28, 29], где рассмотрены ограниченные ядра коагуляции и ядра, равные нулю на диагонали первого квадранта плоскости аргументов хОу (т.е. при равных аргументах К{гг = 0). Непрерывность решения в этих работах не была выявлена. Отметим, что полученные в диссертации результаты свободны от этого недостатка.

Математический анализ пространственно неоднородной задачи коагуляции-дробления был проведен в работе автора [43], однако в ней рассматривается задача при малых начальных данных. Обсуждение других результатов, а также их сравнение с представленными в диссертации, проводится по ходу изложения.

Остановимся на структуре диссертации и представленных новых результатах.

Заключение

Построена математическая теория для уравнений кинетики ко агу л я ц и и - д р о б л е н и я:

- доказана корректность пространственно однородного уравнения с неограниченными ядрами коагуляции, допускающими линейный рост, а также широкого класса ядер дробления, включающего важные неограниченные1 ядра;

- сделаны выводы о свойствах решений, оценены скорости их убывания на бесконечности, выявлены случаи, когда могут возникать решения, не подчиняющиеся закону сохранения массы, доказана положительность решении и определен порядок сингулярности стационарного решения для уравнения коагуляции без учета дробления;

- исследованы вопросы существования, единственности, устойчивости стационарных решений как для уравнения с учетом дробления. так и при наличии постоянного внешнего источника частиц, выявлены свойства стационарных решений и сходимость к ним решении нестационарных задач при больших временах;

- построены новые модели кинетики коагуляции и показана их взаимосвязь с известными уравнениями. Установлена зависимость поведения фронта коагуляции при финитных начальных данных от наличия гель-перехода в дисперсной системе, приводящего к нарушению закола сохранения массы;

- изучено пространственно неоднородное уравнение коагуляции-дробления, доказаны теоремы существования и единственности для пространственно неоднородных задач при различных ядрах коагуляции и дробления и при различных скоростях пространственного переноса;

- путем расс мотрения семейства масштабированных пространственно неоднородных уравнений построена новая динамическая модель, являющаяся гидродинамическим пределом для кинетики коагуляции -дробления;

- разработан новый метод анализа уравнений и систем уравнений, содержащих функционалы от решения, зависящие от аргументов уравнения как от параметра (квазифункционалы), с помощью которого построены основы теории корректности линейных интегральных уравнений с нефредгольмовыми ядрами и их систем, а также получены явные решения бесконечных систем алгебраических, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, что, в частности, позволило решить уравнение дробления, оценить порядок сингулярности решения стационарного уравнения коагуляции и решить бесконечную систему кинетических интегральных уравнений, сходных с цепочкой Н.Н.Боголюбова;

- в качестве применения построенной теории доказана корректность системы кинетических уравнений Беккера-Деринга, и построено явное решение этой бесконечной системы для задачи распада полимеров, исследована также близкая кинетическая модель свобод-норадикальнои полимеризации Аринштейна.

1. Абрамовиц М., Стиган и., Справочник по специальным функциям, М.: Наука, 1979.

2. Агошков В.И., "Сопряженные уравнения в алгоритмах возмущений N-го порядка точности," Сопряженные уравнения и теория аозмугцений в задачах математической физики, М.: ОВМ1. АН СССР, 1985, 62-85.

3. Агошков В.И., Платова 13.М., "О разрешимости основных и сопряженных уравнений в нелинейных задачах.'' Сопряж< иные уравнения в задачей: математической физики, М.: ОВМ АН СССР. 1990, :; 46.

4. Аринштейн А». "Кинетика химических реакций анизотропных реагентов," Ж. хим. физики 12, No. 1, 1993.

5. Аринштейн А.':)., Межиковскин С.М., "Релаксационная модель формирования надмолекулярной структуры олигомерных жидкостей," Химическая физика 16, No. 5, 1997, 122-133.

6. Аринштейн А.:-.)., Гольданский 13.И., "Точнорешаемая модель необратимой агрегации частица-кластер," Доклады РАН 352, No. 4, 1997, 483-486.

7. Арсеньов A.A. "Задача Коши для линеаризованного уравнения Больцмана," Журн. вычислит, матом, матем. физики 5 (1965), 864-882.

8. Арсеньев A.A., Лекции по кинетическим уравнениям, М.: Наука, 1992.

9. Ашабоков Б.А., Калажоков XX., "Об алгоритмах расчета коагуляционных процессов в дисперсных системах, основанных на методе Галеркина," Труды Высокогорного геофиз. ин-та. 48. 1982, 3 12.

10. Ашабоков Б.А., Гаова З.С., Калажоков Х.Х., "Об одном алгоритме и некоторых результатах численного исследования коагуляционных процессов в дисперсных системах," Труды Высокогорного геофиз. ин-та. 53, 1984, 23-29.

11. Боголюбов h.h., Проблемы динамической теории в статистической физике, М.-Л.: Гостехиздат, 1946.

12. Борисов A.A., Гельфанд Б.Е., Натанзон М.С., Коссов О.М., "О режимах дробления капель и критериях их существования," Инженерно-физический журнал 40, No. 1, 1981, 64-70.

13. Буробин A.B., "О существовании и единственности решения задачи Коши для пространственно неоднородного уравнения коагуляции," Дифференциальные уравнения 19 (1983), 1568-1579.

14. Буробин A.B., "О задаче Коши для пространственно неоднородного уравнения коагуляции при учете диффузии," Дифференц. ур-ния 21, No. 10, 1985, 1806- 1808.

15. Буробин А. В., Галкин H.A., "О решениях уравнения коагуляции," Дифференц. ур-ни.я 17, 1981, 669 677.

16. Hi. П. Ван Допген, М. Эрнст,- "Хвост распределения для боыпих кластеров при необратимой агрегации," Фракталы в физике. М.: Мир, 1988, 430-440.

17. Васенин И.VI., Архипов В.Л., Бутон В.Г., Глазунов A.A., Трофимов В.Ф. "Газовая динамика двухфазных течений в соплах." Томск: Изд-во Томского ун-та, 1986. 262 с.

18. Владимиров B.C., Волович И.В., "Законы сохранения для нелинейных уравнений," Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования, Новосибирск, Наука, 198Г>. 147- 162.

19. Волощук В.М., Седунов Ю.С. Процессы коагуляции а дисперсных системах, Л.: Гидрометео-издат, !97-г).

20. Волощук В.М., Свиркунов H.H., "Об одной особенности коагуляции аэрозоля в турбулентной атмосфере," Метеорология и гидрология 12, 1983, 5-10.

21. Волощук В.М., Кинетическая теория коагуляции, Л.: Гидрометеоиздат, 1984.

22. Волынский A.A. "Изучение дробления капель в газовом потоке," ДАН СССР 68, No. 2, 1949, 237-240.2о. Галкин В.А., "О существовании и единственности решения уравнения коагуляции," Дифферент ур-ния 13 (1977), 1460 -1470.

23. Галкин В.А., Об устойчивости и стабилизации решений уравнения коагуляции," Дифференц. ур-ния 14 (1978). 1863 1874.

24. Галкин В.А., Дубовский П.В., "О решениях уравнения коагуляции с неограниченными ядрами." Дифференциальные уравнения 22, 504-509 (1986).

25. Галкин В.А. "О решениях уравнения Смолуховского для пространственно неоднородных систем," ДАН СССР 285 (1985), 1087 1091.

26. Галкин В.А., "Обобщенные решения пространственно неоднородного уравнения коагуляции," ДАН СССР 293 (1987), 74-77.

27. Галкин В.А., "Об одном свойстве процесса коагуляции атмосферного аэрозоля," Метеорология и гидрология 12, 1983, 11-19.

28. Галкин В.А. "О решении кинетического уравнения коагуляции с ядром Ф = ху," Метеорология и гидрология 5, 1984,33-39.

29. Галкин В.А., "Глобальная разрешимость законов сохранения," Исследование нелинейных моделей математической физики. Обнинский институт атомной энергетики. Обнинск, 1990, с. 3-23.

30. Головин A.M., "О спектре коагулирующих облачных капель. П," Изв. АН СССР, Сер. Геофизич. 9 (1963), 1438-1447.

31. Градштоки И.С., Рыжик И.М., Таблицы, интегралов, сум.м, рядов и произведений, М.: Фиэ-матгиз, 1963.

32. Данфорд Н. Шпарц Дж., Линейные операторы. I. Общая теория, М.: Мир, 1965.

33. Дерягин С.В. Аэрозоли, М.: Знание, 1961.

34. Домиловский K.P., .'ушников A.A., Пискунов В.Н., "Стационарные распределения частиц по размерам в конечных коагулирующих системах с распадами," Прикл. матем. механика 44, No. 4, 1980, 697 701.

35. Дубовский II.В., "Разрешимость уравнения коагуляции с учетом процессов конденсации," Деп. в ВИНИТИ 53 13-В89, 1989, 57с.

36. Дубовский П.Б., "О решениях пространственно неоднородного уравнения коагуляции с учетом дробления частиц," Дифференц. ур-ния 26, No 3, 508-513 (1990).

37. Дубовский II.В., 'Итерационный метод решения уравнения коагуляции с пространственно неоднородными полями скоростей," Журнал вычислит, матем. и матем. физики 30 (1990), 1755 1757.

38. Дубовский П.В., "Об обобщенных решениях уравнения коагуляции," Функциональный анализ и его приложения 25(2) (1991), 62-64.

39. Дубовский Ü.B., Галкин В.А., Стюарт И.В., "Точные решения уравнения коагуляции-дробления," Л. Phys. А: Mat.li. Сен. 25 (1992), 4737-4744.

40. Дубовский П.В., Стюарт И.В., "О порядке сингулярности решений стационарного уравнения коагуляции," Appl. Math. Lett. 8, No. 5, 17-20 (1995).

41. Дубовский П.В., Стюарт И.В., "Комментарий о сингулярных решениях стационарного уравнения коагуляции," .1. Phys. А: Mat.li. Gen. 28, 3563-3564 (1995).

42. Дубовский П.В., "Сходимость решения уравнения коагуляции с источником к равновесному состоянию," Дифференц. ур-ния 31, No 4, 684-689 (1995).

43. Дубовский П.В., Чел Д., "Взаимосвязь между скалярными законами сохранения и бесконечными линейными системами уравнений в частных производных," Appl. Math. Lett. 8, No 5, 21-25 (1995).

44. Дубовский П.В., Чеэ Д., "Существование и единственность для пространственно неоднородного уравнения коагуляции с источниками и стоками", Z. angew Math. Phys. (ZAMP) 46, 580-594 (1995).

45. Зигмонди Р., "Коагуляция и притяжение частиц," Коагуляция коллоидов, М.: ОНТИ, 1936, 40 60 (Zsigmondy R., Zeit,sehr, für physik. Chemie 92, 1918, 600-620).

46. Зонтаг Г., Штренге К., "Коагуляция и устойчивость дисперсных систем," М.: Химия, 1973.

47. Калажоков Х.Х., Ашабоков В.А., "Об одном методе аналитического решения задачи Коши для некоторого класса уравнений коагуляции," Труды Высокогорного геофиз. ин-та. 39, 1978, 91-97.

48. Колмогоров А.Н., "О логарифмически-нормальном законе распределения размеров частиц при дроблении," ДАН СССР 31, No. 2, 1941, 99-101.

49. Крянев A.B., Шихов С.Б., Вопросы математической теории реакторов. Нелинейный анализ, М.: Энергоатомиздат, 1983.

50. Кучанов С.И., "Общие принципы количественной теории гомогенной необратимой сополиме-ризации," ДАН СССР 229, 1976, No. 1, 135-138.

51. Кучанов С.И., Методы кинетических расчетов в химии полимеров, М.: Химия, 1978.

52. Кучанов С.И., "Об "эффекте замещения" в теории поликонденсационных процессов," ДАН СССР 249, 1979, No. 4, 899-903.

53. Латышев A.B., Юшканов A.A., "Аналитическое решение задачи о поведении плазмы в полупространстве во внешнем переменном электрическом поле," Теоретическая и математическаяфизика, 103, No. 2, 1995, 299-311.

54. Левин Л.М., "О функции распределения облачных и дождевых капель по размерам," ДАН СССР 94, No. 6, 1954, 1045-1048.

55. Левин Л. М., Седунов Ю.С., "Кинетическое уравнение, описывающее микрофизические процессы в облаках," ДАН СССР 170 (1966), 4-7.

56. Левич В.Г., "Теория коагуляции коллоидов в турбулентном потоке жидкости," ДАН СССР 99, No. 5,1954,809-812.

57. Левич В.Г., "Теория коагуляции и осаждения частиц аэрозоля в турбулентном потоке газа. О коэффициенте улавливания частиц аэрозоля," ДАН СССР 99, No. 6 (1954), 1041-1044.

58. Лушников A.A., Смирнов В.И., "Стационарная коагуляция и распределения частиц атмосферных аэрозолей по размерам," Изв. АН СССР, сер. ФАО 11, No. 2, 1975.

59. Лушников A.A., Пискунов В.П., "Сингулярные асимптотические распределения в коагулирующих системах," ДАН СССР, 231, No. 5, 1976, 1166-1169.

60. Лушников A.A., Пискунов В.Н., "Коагуляция в присутствии внешних источников," ДАН СССР, 231, No. 6, 1976, 1403-1406.

61. Лушников A.A., "Некоторые точно решаемые модели стохастической теории коагуляции," ДАН СССР 237, No. 5 (1977), 1122-1125.

62. Лушников A.A., "Некоторые новые аспекты теории коагуляции," ФАО 14, No. 10 (1978), 1046-1054.

63. Мартынов Г.А., Муллер В.М., "О роли распадов в механизме агрегативной устойчивости коллоидных систем," ДАН СССР 207, No. 2 (1972), 370-373.

64. Мартынов Г.А., Муллер В.М., "Уравнения кинетики коагуляции с учетом распада образующихся агрегатов," ДАН СССР 207, No. 5 (1972), 1161-1164.

65. Мартынов P.A., Муллер В.М., "К теории устойчивости лиофобных коллоидов," Поверхностные силы в тонких пленках и дисперсных системах. М.: Наука, 1972, 7-34.

66. Марчук Г.И., '( 'опрнжепные уравнения и чувствительность функционалов," Исследование

67. Земли из космоса 4, 1997, 100 -!25.97j Марчук Г.И., Алоян А.Е., Математическое .моделирование переноса аэрозолей в атмосфере с учетом коагуляции. Препринт No. 324 ОВМ АН СССР, Москва, 1989, 29с.

68. Марчук Г.И., Агошков В.И., Шутяев 13.П. Сопряженные уравнения и методы возмущений в ш. линейных задачах математичес кой физики. М.: Наука, 1993.

69. Марчук Г.И., Орлов 13.В., "К теории сопряженных функций," Нейтронная физика. М.: Гос-атомиздат, 1961,30-45.

70. Матвеев Л .Т. Динамика облаков. Л.: Гидрометеоиздат, 1981.

71. Морку.чович 13.М., Степанов A.C., "О возможности описания коагулирующей системы с помощью среднего чисоа частиц," Известия АН СССР, сер, ФАО 22, No. 3, 1986, 258-264.

72. Нааарин M.M., Мануйлов M.В., Балака .H.A., "К вопросу математического моделирования процесса коагуляции," Деп. в ВИНИТИ No. 454-82, Харьков, Харьковский политехнич. ин-т. 1982.

73. Назарян М.М., Мануйлов М.Б., Балака Л.А., "Применение метода моментов к решению уравнения Смолуховского," Деп. в ВИНИТИ No. 455-82, Харьков, Харьковский политехнич. ин-т, 1982.

74. ПО-)! Овероек Дж., 'Кинетика коагуляции," Наука о коллоидах, Кроит Г.!1. (ред.), М.: ИЛ, 1955, 390 421.

75. Панченков Г.М., Цабек .il.К., Поведение эмульсий во внешнем электрическом поле, М.: Химия, 1969.

76. Пискунов В.И., "Стационарные спектры частиц в дисперсных системах с коагуляцией и распадом," При к л. м «тем. мех. 49, No. (J (1985), 1035- 1039.

77. Попел ь Л.С!., Реригер С.А., Шадрина II.X., "Об уравнениях кинетики агрегационных процессов в суспензиях," Ирикл. матем. мех. 39, No. 1, 1975, 130-143.

78. Пшенай-С'еверин C.B., "Распределение частиц дисперсной системы по размерам в процессе коагуляции." ДАН СССР 94, No. 5 (1954), 865-868.10! Сафронов B.C., "Мастный случай решения уравнения коагуляции," ДАН ('ССР 147, No. 1 (1962), 64-67.

79. Сафронов B.C., Эволюция допланетарного облака и образование Земли и планет, М.: Наука, 1969, 244с.

80. Смирнов В.И. ''Микроструктура облаков и осадков," Итоги науки и техники. Метеорология и климатология 15. М.: Изд. ВИНИТИ 1987, 3-193.

81. Смирнов В.И. "Решения семейства уравнений стационарной коагуляции и модель спектра размеров частиц атмосферного аэрозоля," Изв. АН СССР, сер. ФАО 13, No. 3, 1977, 274-286.

82. Z Phys. ( 'hem, 92 (1917), 129 168).

83. Рогинского). М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1949, 137-173.119. 'I руби и ков Б.Л., "Решение уравнения коагуляции при билинейном коэффициенте слипания частиц," ДЛИ СССР 196, No. 6, 197], 1316-1319.

84. Трубников Б.А., "Гидродинамическая модель слипающихся метеоров," ДАН СССР 197, No.1, 1971, 59- 61.

85. Туницкий Н., "О коагуляции полидисперсных систем," ЖЭТФ, 8, No. 4, 1938, 418-424.

86. Тупчпев В.А. "Об асимптотических свойствах решения уравнения коагуляции," Труды ИЭМ 23, 1971, 17 27.

87. Фихтеигольц Г.М. Дифференциальное; и интегральное исчисление. Т. 2, М.: Наука, 1966.

88. Френкель Я.И., Кинетическая теория жидкостей, 1945, часть 7.12ч. Френкель Я.И., Шишкин U.C. "Роль коагуляции водных капель в возникновении грозовых разрядов," Изв. АН СССР, сер. гоогр. и геофиз. 10, No. 4, 1946.

89. Фукс Н А., Механика аэрозолей, М.: Изд-во АН СССР, 1955

90. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения М.: Мир, 1970.

91. Чандраеекар С. Стохастические проблемы в физике и астрономии, М.: ИЛ, 1947 (Chanel rasekhar S., Stochastic problems in physics and astronomy," Reviews of Modern Physics 15, No. 1,1943,1-89).

92. Эдварде P.E., "Функциональный анализ", M.: Мир, 1968.

93. Эрнст M., "Кинетика образования кластеров при необратимой агрегации," Фракталы в физике. M.: ilhp. 1988, 399- 429.

94. Abraham F.F., "Miill.islate kinet ics in nonst.cady-state nucleat.ion: a numerical soluition," J. Chem. Phys 51, No. 4, 1969, 1632-1638.

95. Aloyan A.E., Egorov V.D., Marchuk G.I., and Piskunov V.N., "Aerosol formation mathematical modelling wit,h consideration for condensation kinetics," Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling 7, No. 6. 1992,457-471.

96. Aloyan A.E., Lushnikov A.A., Makarcnko S.V., Marcbuk G.I., and Zagainov V.A., "Mathematical modelling of the atmospheric aerosol transfer with coagulation taken into account," Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling 8, No. 1, 1993, 17-30.

97. Apsitis L.V., Yeiimov V.A., Arinstein A.E., "Application of ferromagnetic fluids in dispersion media diagnostics," J. of Magnetism and Magnetic Materials 85 (1990), 264-268.

98. Arcipiani B., "The hackward Kolmogorov equation for the statistical distribution of coagulating droplets," .1. Phys. A: Math. Gen. 13 (1980), 3367-3372.

99. Bak 'I .A. and Binglin L., "Polymerization reactions in closed and open systems," Lectures in Applied Mathematics 24, 1986, 63-79.

100. Ball J.M. and Carr .]., "Asymptotic behaviour of solutions to the Becker-Döring equations for arbitrary initial data," Proc. Royal Soc. Edin. Sect.A 108 (1988), 109-116.

101. HO. Ball .i.M. and ('hit J., "The discrete coagulation-fragmentation equations: existence, uniqueness, and density conservation," .1. Stat. Phys. 61 (1990), 203-234.

102. Ball J.M., Carr •)., and Penrose O., "The Becker-Döring cluster equations: basic properties and asymptotic behaviour of solutions ," Commun.Math.Phys. 104 (1986), 657-692.

103. Bardos C., Golse F., and Levermore D., "Fluid dynamic limits of kinetic equations. I. Formal derivations," J. Stat. Phys. 63, No. 1/2, 323-344 (1991).

104. Barrow .I.D., "Coagulation with fragmentation," J. Phys. A: Math. Gen. 14 (1981), 729-733.

105. Bartlett J.T., "The growth of cloud dropl ets by coalescence," Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 921966), 93 104.

106. Bartlett J.T., "The growth of cloud droplets by coalescence," Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 931967), 269 270.

107. Bayewitz M.H., Yerushalmi J., Katz S., Sliinnar R., "The extent of correlations in a stochastic coalescence process," J. Atm. Sei. 31 (1974), 1604-1614.

108. Benilcui P., Wrzosek D., "On an infinite system of reaction-diffusion equations," Advances in Mathematical Sciences and Applications 7. No. 1, 1997, 351-366.

109. Berry E.X., "Cloud droplet growth by collection," J. Atm. Sei. 24, 1967, 688-701.

110. Hl eck R. J. Geophys. Res. 75, 1970, 5165.

111. Bogdan T.J., Lerche 1., "Classes of exact, solutions to generalizations of the coagulation equation," I'hysica D 25, No. 1-3, 1987, 382 386.

112. J. Carr, "Asymptotic behaviour of solutions to the coagulation-fragmentation equations. I. The strong fragmentation case," Proc. Royal Soc. Edin. Sect.A 121 (1992), 231-244.

113. Carr J., da Costa F.P., "Asymptotic behavior of solutions to the coagulation-fragmentation equations. II. Weak formulation," J. St.at. Phys. 77, No. 1/2, 1994, 89-123.

114. Charlesby A., "Molecular-weight, changes in the degradation of long-chain polymers," Proc. Roy. Soc., Ser. A: Math. Phys. Sci. 224, No. 1156, 1954, 120-128.

115. Cohen R.J., Benedek C.B., "Equilibrium and kinetic theory of polymerization and the sol-gel transition," J. Phys. Chem. 86, No. 19, 1982, 3696-3714.

116. Cohen R.J., Schulthess G.K., and Benedek G.B., "Equilibrium and kinetic analysis of the condensation of multifunctional units in the limit of high functionality," Ferroelectrics 30 (1980), 185-186.

117. C'onvay E., "The Formation and Decay of Shocks for a Conservation Laws in Several Dimensions," Arch. Rat. Mech. Anal. 64, 1977, 135-151.

118. Courtney W.G., "Non-steady-st.ate nucleation," J. Chem. Phys. 36, No. 8, 1962, 2009-2017.

119. Courtney W.G., "Kinetics of condensation of water vapor," J. Chem. Phys. 36, No. 8, 1962, 20182025.

120. Dobiâs B. (ed.), Coagulation and flocculation, Marcel Dekker, Inc., N.Y. 1993.

121. Dohnanyi J.S., "Collisional model of meteroids," TR-67-340-3 (1967).

122. Donoghue E., "Analytic solutions of gelation theory for finite, closed systems," J. Chem. Phys. 77, No. 7 (1982), 4236-4246.

123. Drake R.L., "A general mathematical survey of the coagulation equation," Topics in current aerosol research, International Reviews in Aerosol Physics and Chemistry, G. M . Hidy, J. R. Brock (eds.), V.3, Pt.2, Pergamon Press, Oxford, 1972, pp.201-376.

124. Drake R.L., "The scalar transport, equation of coalescence theory: moments and kernels," J. of the Atmospheric Sciences 29, No. 3, 1972, 537-547.

125. Drake R.L. and Wright, T.I., "The scalar transport equation of coalescence theory: new families of exact solutions," J. of the Atmospheric Sciences 29, No. 3, 1972, 548-556.

126. Drake R., "Similarity solutions for homogeneous and nonhomogeneous aerosol balance equations," J. of Colloid and Interface Sci. 57, No. 3, 1976, 411-423.

127. Ernst M.H., Hellesoe K., and Hauge E.H., "Nonunique solutions of kinetic equations," J. Stat. Phys. 27, No. 4 (1982), 677 691.

128. Ernst M.H., Hendriks E.M., and Ziff R.M., "Critical kinetics near the gelation transition," J. Phys. A.: Math. Gen. 15 (1982), L743-L747.

129. Ernst M.H., Ziff R.M., and Hendriks E.M., "Coagulation processes with a phase transition," J. Coll. Interf. Sci., 97 (1984), 266-277.

130. Field B. and Saslaw W., Astrophys. J. 142, 1965, 568.

131. Flory P.J., Principles of polymer chemistry, Cornell Univ., Ithaca, 1953.

132. Folland G.B., Introduction to Partial Differential Equations, Princeton Univ. Press, 1976.

133. Friedhr.der S.K., "On the particle size spectrum in a condensing vapour," Phys. Fluid 3 (I960), 693 696.

134. Friedlander S.K., "Similarity considerations for the particle size spectrum of a coagulating, sedi-menting aerosol," J. Meteorol. 17, No. 5 (1960), 479-483.

135. Friedlander S.K., ' Theoretical considerations for the particle size spectrum of the stratospheric aerosol," J. Meteorol. 18, No. 6 (1961), 753-759.

136. Friedlander S.K., Smoke, dust and haze. Fundamentals of aerosol behavior. NY: Wiley, 1977.

137. Friedlander S.K., Wang C.S., J. Colloid Sci. 22, 1966, 126.

138. Friedman A., Reitich F., "Asymptotic behavior of solutions of coagulation-fragmentation models," Indiana Univ. Math. J. 47, No. 2, 1998, 563 591.

139. Friedman A., Mathematics in industrial problems. Part 5. NY: Springer-Verlag, 1992.

140. Gajewski II., "On a first order partial differential equation with nonlocal nonlinearity," Mathematische Nachrichten 111 (1983), 289-300.

141. Gajewski H. and Zaharias K., "On a initial value problem for a coagulation equation with growth term," Math. Nahr. 109 (1982), 135-156.

142. P. Hartman and A. Winter, "On Hyperbolic Differential Equations," Amer. J. Math. 74, 1952, 834-864.

143. Hendriks E.M., "Exact solution of a coagulation equation with removal term," J. Phys. A: Math. Gen. 17, No. 11 (1984), 2299-2303.

144. Hendriks E.M. and Ernst M.H., "Transition kernels for the nonlinear Boltzmann equation," Physica 112A (1982), 119-145.

145. Hendriks E.M., Ernst M.H., and Ziff R.M., "Coagulation equations with gelation," J. Stat. Phys. 31, No. 3, 1983, 519-563.

146. Hendriks E.M. and Ernst M.H., "Exactly soluble addit, ion and condensation models in coagulation kinetics," J. Colloid Iterface Sci. 97, No. 1, 1984, 176-194.

147. Hendriks E.M., Sponge J.L., Eibl M., and Schreckenberg M., "Exact solutions for random coagulation processes," Z. Phys. B. Condensed Matter 58, 219-227 (1985)

148. Hilgers J.W. and Spahn R.J., "A perturbation method for solving a quadratic evolution equation," Quart. Appl. Math. 41, No. 3, 198.3, 343-351.

149. Hilgers J.W. and Spahn R.J., "A variation of the coagulation equation with applications in materialsciences," Math. Modelling 6, No. 5, 1985, 463-471.

150. Hidy J.M., Brock J.R., The dynamics of aerocolloidal systems, Pergamon Press, NY 1970.

151. Klett J.D., "A class of solutions to the steady-state, source-enhanced, kinetic coagulation equation," J. Atm. Sci. 32, No. 2, 1975.

152. Kovetz A., Olund B., "The effect of a coalescence and condensation on rain formation in a cloud of finite verbal extent," J. Atm. Sci. 26, No. 5, part 2, 1970, 1060-1065.

153. Kreer M., Penrose O., "Proof of dynamical scaling in Smoluchowski's coagulation equation with constant kernel," J. Stat. Phys. 75, Nos. 3/4 (1994), 389-407.

154. Kuttler K.I , Hilgers J.W., and Courtney T.H., "The solution of an evolution equation describing certain typos of mechanical and chemical interaction," Applicable Analysis 19, No. 2+3, 1985, 75-88.

155. R. Lang and N.X.Xanh, "Smoluchowski's theory of coagulation in colloids holds rigorously in the Boltzmann-Grad-Limit," Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 54, No. 3, 1980, 227-280.

156. Laurencot Ph., Wrzosek D., "Fragmentation-diffusion model. Existence of solutions and their asymptotic behaviour," Proc. Royal Soc., Edinburgh 128A, 1998, 759-774.

157. Laurencot Ph., Wrzosek D., "The Becker-Döring model with diffusion. I. Basic properties of solutions," Colloquium Mathematicum 75, No. 2, 1998, 245-269.

158. Laurencot Ph., Wrzosek D., "The Becker-Döring model with diffusion. II. Long time behavior," J. Differ. Eqs 148, 1998, 268-291.

159. Lai F.S., Friedlander S.K., Pich J., and Hidy J.M., J. Colloid Sei 39, 1972, 395.

160. Leyvraz F., " Existence and properties of post-gel solutions for the kinetic equations of coagulation," J. Phys. A: Math. Gen. 16 (1983), 2861-2873.

161. Leyvraz F., "New exactly solvable models of Smoluchowski's equations of coagulation," J. Phys. A: Math. Gen. 18 (1985), 321-326.

162. Leyvraz F. and Tschudi H.R., "Singularities in the kinetics of coagulation processes," J. Phys. A: Math. Gen. 14 (1981), 3389-3405.

163. Leyvraz F. and Tschudi H.R., "Critical kinetics near gelation," J. Phys. A: Math. Gen. 15 (1982), 1951-1964.

164. Low T.B., List R. "Collision, coalescencwe and breakup of rain-drops. Part I: Experimentally established coalescence efficiencies and fragment size disrtibutions in breakup," J. Atm. Sei. 39, No. 7 (1982), 1591-1606.

165. Lushnikov A.A., "Evolution of coagulating systems," J. Colloid Interface Sei. 45, No. 3 (1973),549.556.

166. Lushnikov A.A., J. Colloid Interface Sei. 65 (1978), 276.

167. Lushnikov A.A., Lyubovtseva Yu.S., "Atmospheric aerosols the subject of physico-chemicalstudy," Atmospheric Aerosols and Nucleation, Springer-Verlag, 1988, 138-157.

168. Majda A., Compressible Fluid Flow and Systems of Conservation Laws in Several Space Variables, Springer-Verlag, 1984.

169. McGrady E.D., Ziff R.M., "Shattering transition in fragmentation," Phys. Rev. Letters 58, No. 9, 1987, 892-895.

170. McLaughlin D.J., Lamb W., McBride A.C., "A semigroup approach to fragmentation models," SIAM J. Math. Anal. 28, No. 5, 1997, 1158-1172.

171. McLaughlin,' D. J.; Lamb, W.; McBride, A. C., "Existence results for non-autonomous multiple-fragmentation models," Math. Meth. Appl. Sei. 20, No.15, 1997, 1313-1323.

172. McLaughlin D.J., Lamb W., McBride A.C., "An existence and uniqueness result for a coagulation and multiple-fragmentation equation," SIAM J. Math. Anal. 28, No. 5, 1997, 1173-1190.

173. McL aughlin, D. J.; Lamb, W.; McBride, A. C., "Existence and uniqueness results for the non-autonomous coagulation and multiple-fragmentation equation," Math. Methods Appl. Sei. 21,1. No.11, 1067-1084 (1998).

174. McLeod J.B., "On an infinite set of non-linear differential equations," Quart. J. Math. Oxford (2) 13 (1962), 119-128.

175. McLeod J.B., "On an infinite set of non-linear differential equations II," Quart. J. Math. Oxford (2) 13 (1962), 193 -205.

176. McLeod J.B., "On a recurrence formula in differential equations," Quart. J. Math. Oxford (2) 13 (1962), 283-284.

177. McLeod J.B., "On the scalar transport equation," Proc. London Math. Soc. (3) 14 (1964), 445-458.

178. Melzak Z.A., "The effect of coalescence in certain collision processes," Quart. Appl. Math. 11, No. 2 (1953), 231-234.

179. Melzak Z.A., "A scalar transport equation," Trans. Amer. Math. Soc. 85 (1957), 547-560.

180. Melzak Z.A., "The positivity sets of the solutions of a transport equation," Mich. Math. J. 6 (1959), 331-334.

181. Melzak Z.A., "Multiple scalar transport," Can ad. Math. Bull. 16, No. 2, 1973, 257-268.

182. Merkulovich V.M., Stepanov A.S., "On the role of aerosol particles spatial fluctuations under coagulation growth," Atmospheric Aerosols and Nucleation, Wagner P.E., Vali G., editors, SpringerVerlag, 1988, 100-103.

183. Mirold P., Binder K., "Theory for the initial stages of grain growth and unmixing kinetics of binary alloys," Acta Metallurgica 25, 1977, 1435-1444.

184. Morgenstern Ü., "Analytical Studies Related to the Maxwell-Boltzmann Equation," Arch. Rat. Mech Anal., 1956.

185. Nanda V.S., Pathria R.K., "Polymers and theory of numbers. I, II, and III," J. Chem. Phys. 30, No. 1, 1959, 27-36.

186. Nelson L.D., "A numerical study on the initiation of warm rain," J. Atm. Sei. 28, No. 5 (1971), 752-762.

187. NorrisJ.R.,"Smoluchowski'sc.oagulationequation-.uniqueness, nonuniquenessandahydrodynamiclimit forthestochastic coalescent," Ann.Appl.Probab.9(1999), No.1,78-109.

188. Oort, J.H. and van de Hülst. H.C., "Gas and smoke in interstellar space," Bull. Astron. Inst. Netherland 10 (1946), 187 -210.

189. Oshanin G.S. and Burlatsky S.F., "Fluctuation-induced kinetics of reversible coagulation," J. Phys. A: Math. Gen. 22 (1989), L973-L976.

190. Pearcey I., Hill G., "A theoretical estimate of the collection efficiencies of small droplets," Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 83, No. 77, 1957.

191. Penston M.V., Munday V.A., Strickland C.J., and Pension M.J., "Interstellar clouds," Monthly Notes Royal Astron. Soc. 142, No. 3, 1969, 355-386.

192. Penrose O., Buhagiar A., "Kinetics of nucleation in a lattice gas model: microscopic theory and simulation compared," J. Stat. Phys. 30, No. 1, 1983, 219-241.

193. Penrose O., "Metastable states for the Becker-Döring cluster equations," Comrnun. Math. Phys. 121 (1989), 527-540.

194. Penrose O. and Lebowitz J.L., "Towards a rigorous molecular theory of metastability," Studies in statistical mechanics VII, Fluctuation phenomena, ed. Montroll E. and Lebowitz J.B., North-Holland, Amsterdam, 1976.

195. Piotrowsky S., "The collissions of asteroids," Acta Astron., Ser. A 5 (1953), 115-124.

196. Quon J.E., Mockros L.F., "The equilibrium size distribution of an aerosol continuously reinforced with particles," Int. J. Air Water Pollution 9, No. 5, 1965.

197. Ramabhadran T.W., Poeterson T.W., and Seinfeld J.H., AI Chem. Eng. J. 22, 1976, 840.

198. R ossow W.B., Gierasch P.J., "The clouds of Venus: I. An approximate technique for treating the effects of coagulation, sedimentation and turbulent, mixing on an aerosol," J. Atm. Sei. 34, 1977, 405-416.

199. Rossow W.B., "The clouds of Venus: II. An investigation of the influence of coagulation on the observed droplet size distribution," J. Atm. Sei., 34, 1977, 416.

200. Schumann T.E.W., "Theoretical aspects of the size distribution of fog particles," Quart. J. Roy.

201. Meteor. Soc. 66, No. 285, 1940, 195-207.

202. Scott W.T. "Analytical studies of cloud droplet coalescence, I," J. Atm. Sei. 25, 1968, 54-65.

203. Scott W.T., "On the connection between the Telford and kinetic equation approaches to droplet coalescence theory," J. Atm. Sei. 25, 1968, 871-873.

204. Shafrir U., "Collision efficiencies of two spheres falling in a viscous medium," J. Geophys. Res. 68, No. 13, 1963, 4141-4147.

205. Silk J. and White S.D., "The development of structure in the expanding universe," Astrophys. J. 223, No. 2, part 2, 1978, L59-L62.

206. Silk J., Star formation, Sauverny, Geneva Observatory, 1980, 131-222.

207. Simons S., Simpson I.C., and Williams I.P., Astrophys. Space. Sei. 19, 1978, 399.

208. Simons S., "On the expectation value of particle coagulation times," J. Phys. A: Math. Gen. 23, 1990, L441-L444.

209. Simons S., "Comment, on "Exact solutions for the coagulation-fragmentation equation," J. Phys. A: Math. Gen. 26, 1993, 1259.

210. Simons S., "On steady-state solutions of the coagulation equation," J. Phys. A: Math. Gen. 29, 1996, 1139-1140.

211. M. Slemrod, "Trend to equilibrium in the Becker-Döring cluster equations," Nonlinearity 2, 1989, 429-443.

212. M. Slemrod, "Coagulation-diffusion systems: derivation and existence of solutions for the diffuse interface sta ture equations," Physica D 46, 1990, 351-366.

213. M. Slemrod, "A note on the kinetic equations of coagulation," J. Int. Eqs Appl. 3, 1991, 167-173.

214. Slemrod M., Qi A., Grinfeld M., Stewart I., "A discrete velocity coagulation-fragmentation model," Math. Meth. Appl. Sei. 18, 1995, 959-993.

215. Smoluchowski M., "Drei Vorträge über Diffusion, Brownishe Bewegung und Koagulation von Kolloidteilchen," Physik. Z. 17, 1916, 557-585.

216. Sonntag H., "Coagulation kinetics," Coagulation and flocculation, Dobias B., ed. NY: Marcel Dekker, Inc., 1993, 57-99.

217. Sorensen C.M., Zhang H.X., and Taylor T.W., "Cluster-size evolution in a coagulation-fragmentation system," Phys. Rev. Lett., 59, 1987, 363-366.

218. Spouge J.L., "Solutions and critical times for the polydisperse coagulation equation when a(x, y) = .4 + B{x + y) + Cxyr J. Phys. A: Math. Gen. 16, 1983, 3127-3132.

219. Spouge J.L., "Equilibrium polymer size distributions," Macromolecules 16, 1983, 121-127.

220. Spouge J.L., "The size distribution for the AgRBf-g model of polymerization," J. Stat. Phys. 31, No. 2,1983,363-378.

221. Spoug; J.L., "An existence theorem for the discrete coagulation-fragmentation equations," Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 96, 1984, 351-357.

222. Spouge J.L., "An existence theorem for the discrete coagulation-fragmentation equations. II." Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 98, 1985, 183-185.

223. Spouge J.L., "Analytic solutions to Smoluchowski's coagulation equation: a combinatorial interpretation," J. Phys. A: Math. Gen. 18, 1985, 3063-3069.

224. Stewart I.W., "A global existence theorem for the general coagulation-fragmentation equation with unbounded kernels," Math. Methods Appl. Sei. 11, 1989, 627-648.

225. Stewart I.W., "A uniqueness theorem for the coagulation- fragmentation equation," Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 107, 1990, 573-578.

226. Stewart I.W., "On the coagulation-fragmentation equation", J.Appl. Maths.Phys. (ZAMP) 41, .1990,917-924.

227. Stewart I.W., "Density conservation for a coagulation equation," ZAMP 42, 1991, 746-756.

228. Stewart I.W., Dubovskiï P.B., "Approach to equilibrium for the coagulation-fragmentation equation via a Lyapunov functional," Math. Methods Appl. Sei. 19, No 3, 1996, 171-185.

229. Stockmayer W.U., "Theory of molecular size distribution and gel formation in branched-chain polymers," J. Chem. Phys. 11, No. 2, 1943, 45-55.

230. Suffman P. and Turner J., "On the collision of drops in turbulent clouds," J. Fluid Mech. 1, No. 16, 1956.

231. Swift D.L. and Friedlander S.K., .1. Colloid Sei. bf 19, 1964, 621.

232. Telford J.W., "A new aspect of coalescence theory," J. Meteorol. 12, 1955, 436-448.

233. Twomey S., "Statistical effects on evolution of a distribution of cloud droplets by coalescence," J. Atm. Sei. 21, 1964, 553-557.

234. Vigil R.D. and Ziff R.M., "Comment on "Cluster-size evolution in a coagulation-fragmentation system," Phys. Rev. Let. 61, No. 12, 1431.

235. Wacker J.F., Greenberg R., Hartman W.K., and Chapman C.R., "Planetesimals to planets: a simulation of collisional evolution," Bull. Amer. Astron. Soc. 9, No. 4, Part. I, 1977, 544-545.

236. Warshaw M., "Cloud droplet coalescence, statistical foundations and a one-dimentional sedimentation model," J. Atm. Sci. 24, No. 3, 1967, 278-286.

237. White W.H., "A global existence theorem for Smoluchowski's coagulation equation," Proc. Amer. Math. Soc. 80 (1980), 273- 276.

238. White W.H., "On the form of steady -state solutions to the coagulation equations," J. Coll. Interf. Sci. 87, No. 1. 1982, 204-208.

239. Williams M.M.R., "The statistical distribution of coagulating droplets," J. Phys. A: Math. Gen. 12, No. 7 (1979), 983-989.

240. Williams M.M.R., "Some exact and approximate solutions of the nonlinear Boltzmann equation with applications to aerosol coagulation," J. Phys. A: Math. Gen. 14 (1981), 2037-2089.

241. Wrzosek D., "Existence of solutions for the discrete coagulation-fragmentation model with diffusion," Topological methods in Nonlinear Analysis 9, 1997, 279-296.

242. Zagaynov V.A., Lushnikov A.A., "Modeling of coagulation processes in the atmosphere," Atmospheric Aerosols and Nucleation, Wagner P.E., Vali G., editors, Springer-Verlag, 1988, 93-95.

243. Ziff R.M., "Kinetics of polymerization," J. Stat. Phys. 23, No. 2 (1980), 241-263.

244. Ziff R.M., Ernst M.H., and Hendriks E.M., "Kinetics of gelation and universality," J. Phys. A.: Math. Gen. 16 (1983), 2293-2320.

245. Ziff R.M., Ernst M.H., and Hendriks E.M., "A transformation linking two models of coagulation," •J. Colloid and Interface Sci. 100, No. 1, 1984, 220-223.

246. Ziff R.M., Hendriks E.M., Ernst M.H., "Critical properties for gelation: a kinetic approach," Phys. Rev. Lett. 49, No. 8 (1982), 593-595.

247. Ziff R.M. and McGrady E.D., "The kinetics of cluster fragmentation and depolymerisation", J. Phys. A: Math. Gen., 18 (1985), 3027-3037.

248. Ziff R.M. and Stell G., "Kinetics of polymer gelation," .J. Chem. Phys. 73 (1980), 3492-3499.