автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование пространственно однородного процесса коагуляции для больших систем



ОБНИНСКИМ институт атомной энергетики

На правах рукописи

БАГДАСАРОВА ИНЕССА РОБЕРТОВНА

УДК 519.622.2

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО ОДНОРОДНОГО ПРОЦЕССА КОАГУЛЯЦИИ ДЛЯ БОЛЬШИХ СИСТЕМ

05.13.18- Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы

программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ОБНИНСК-1999

Оглавление

Введение 4

1. Физические аспекты процесса коагуляции................ 4

2. Современное состояние исследований...................... 9

3. Цель работы...................................................... 20

4. Основное содержание работы................................. 20

5. Практическая ценность работы............................... 21

6. Основные результаты, выносимые на защиту............ 22

7. Определения и обозначения................................... 23

Глава 1. Моделирование процесса коагуляции посредством разностной схемы в пространственно однородном случае 30

§1.1. Моделирование процесса коагуляции в случае, когда

классического решения уравнения Смолуховского

может не существовать............................................ 30

§ 1.2. Моделирование процесса коагуляции в случае, когда существует классическое решение уравнения Смолуховского....................................................... 38

Глава 2. Непосредственное моделирование процесса коагуляции в пространственно однородном случае 61

§ 2.1. Описание непосредственной модели пространственно однородного процесса коагуляции................................ 61

§ 2.2. Численная реализация непосредственной модели пространственно однородного процесса коагуляции..........65

Глава 3. Сравнительный анализ результатов непосредственного моделирования процесса коагуляции и моделирования, основанного на применении разностной схемы для уравнения Смолуховского 68

§3.1. Результаты тестирования приближенного метода, основанного на разностной схеме. Результаты тестирования программы, реализующей непосредственное моделирование

процесса коагуляции. Сравнительный анализ

результатов...............................................................68

Глава 4. Периодичность решения уравнения коагуляции при наличии источника частиц 73

§ 4.1. Об одном свойстве решения уравнения коагуляции при наличии источника частиц.......................................... 73

Глава 5. Еще одна математическая модель

пространственно однородного процесса коагуляции 87

§ 5.1. Модель процесса коагуляции в случае, когда количество частиц в системе постоянно...........................87

§ 5.2. Математическая модель коагуляции при наличии в системе источника частиц..........................................89

§ 5.3. Анализ результатов, полученных в результате численной реализации модели, описанной в главе 5 и приближенных методов, основанных на применении явной и неявной разностных схем, описанных в главе 1................90

Литература 95

ВВЕДЕНИЕ

Явление коагуляции (или слияния) частиц есть одна из основных причин эволюции дисперсных систем, под которыми понимают механическую смесь среды (газообразной или жидкой) с частицами (твердыми или жидкими). Это явление наблюдается в различных физических ситуациях: в растворах - броуновская коагуляция, при образовании капель дождя - гравитационная коагуляция. Процесс коагуляции оказывает воздействие на рост кристаллов в растворах, на рост газовых пузырьков и пор в твердом теле. Серьезное влияние оказывает коагуляция продуктов горения топлива на тягу реактивных двигателей (см. [7]).

1. Физические аспекты процесса коагуляции

Остановимся более подробно на описании физических аспектов изучаемого явления коагуляции. Подробный анализ механизмов, приводящих к движению и столкновению частиц в дисперсных системах, приведен в работе [7], выдержка из которой послужит кратким обзором возможных физических причин коагуляции в дисперсных системах.

"Коагуляция аэрозольных частиц играет важную роль в протекании различных атмосферных процессов, включая эволюцию спектра тонкодисперсной аэрозольной компоненты и образование осадков. Поэтому при исследовании физики атмосферы необходимо иметь довольно четкое представление о физических механизмах, приводящих к коагуляции или препятствующих ей, правильно оценивать влияние различных факторов на взаимодействие частиц при отдельных актах коагуляции и уметь рассчитать с требуемой точностью эволюцию функции распределения по размерам в результате коагуляции.

...Рассмотрим возможные механизмы, способствующие или препятствующие коагуляции частиц в атмосфере. Надо, однако, иметь в виду, что они зачастую действуют совместно.

Броуновская коагуляция. Мелкие аэрозольные частицы (для нижней тропосферы Земли при Я < 1 мкм) реагируют на случайные молекулярные флуктуации плотности и средней скорости молекул воздуха, поэтому пребывают все время в нерегулярном

(броуновском) движении. Броуновское блуждание приводит к их взаимному столкновению, поэтому является одним из основных, постоянно действующих механизмов, способствующих коагуляции мелких аэрозольных частиц.

Броуновская диффузия. Броуновское блуждание частиц приводит к так называемой броуновской диффузии и способствует также их осаждению на более крупные предметы, например на растения, деревья и т.д. Этот процесс является одной из основных причин сухого вымывания тонкодисперсной аэрозольной компоненты из атмосферы. Естественно, что броуновская диффузия возможна и на крупные атмосферные частицы, физически не находящиеся в состоянии броуновского блуждания, например, на крупные частицы атмосферной пыли, частицы облаков и осадков. Однако, вследствие седиментации крупных частиц в атмосфере последние обтекаются воздухом. Следовательно, мы имеем дело одновременно с конвективным переносом мелких аэрозольных частиц и броуновской диффузией, т. е. с конвективной броуновской диффузией. Этот процесс является одной из основных причин влажного вымывания тонкодисперсной аэрозольной компоненты из атмосферы.

Эффект "зацепления". Конвективный перенос мелких аэрозольных частичек в окрестности падающей крупной частицы сам по себе, без влияния других причин, практически не может привести к захвату. Это связано с тем, что переменная составляющая скорости воздуха на поверхности этой частицы исчезает. Следовательно, безынерционная неброуновская частичка должна, вообще говоря, крупную частицы обойти таким же образом, как ее обтекает воздух. Однако частички обладают конечным размером. И поскольку на расстоянии порядка радиуса частички от поверхности крупной частицы нормальная составляющая скорости воздуха конечна, при конвективном переносе возможно "зацепление" мелкой частички за крупную. Эффект зацепления играет основную роль при влажном вымывании каплями облаков и осадков мелких аэрозольных частиц в диапазоне размеров, где конвективная броуновская диффузия уже неэффективна, а влияние инерции на осаждение еще очень мало.

Влияние седиментации осаждающихся частичек. Падение частичек под влиянием силы тяжести (седиментация) может приводить как к уменьшению, так и к увеличению их осаждения на закрепленные тела. Это зависит, естественно, от направления действия силы тяжести. Если же и крупные частицы и частички находятся в состоянии падения, то сила тяжести всегда приводит к

уменьшению осаждения, поскольку она направлена против конвективного переноса частичек воздухом, обтекающим крупную частицу. Влияние седиментации осаждающихся частичек сравнимо по порядку величины с влиянием эффекта зацепления.

Инерционное осаждение. Поскольку гидродинамическое поле крупной частицы неоднородно, на движение мелких частичек в этом поле всегда в той или иной мере будет оказывать влияние их инерция. Влияние инерции проявляется в уменьшении в некоторых областях течения кривизны траекторий частичек по сравнению с кривизной линий тока среды. Возможны два различных режима движения частичек под влиянием инерции в неоднородном поле среды: докритический, когда траектории частичек и линий тока среды в окрестности поверхности крупной частицы не совпадают, но их поведение аналогично, и сверхкритический, когда влияние инерции столь велико, что траектории частиц пересекают поверхность крупных частиц. В первом случае инерция частиц либо усиливает, либо уменьшает действие других механизмов коагуляции, например, эффекта зацепления. При сверхкритическом режиме мы имеем дело с новым механизмом коагуляции, действующим самостоятельно, - инерционным осаждением.

...Все три рассмотренных выше процесса действуют совместно при гравитационной коагуляции падающих в атмосфере частиц сравнимых размеров. Гравитационная коагуляция является одним из основных микрофизических механизмов образования осадков.

Анализ характера протекания коагуляционных процессов в среде (в особенности, для частиц сравнимых размеров) сильно осложнен из-за влияния гидродинамического взаимодействия. При вращении или поступательном движении частиц в среде вокруг них образуются неоднородные гидродинамические поля. Взаимное искажение гидродинамических полей, в особенности при сближении частиц, и приводит к появлению гидродинамического взаимодействия.

Силы гидродинамического взаимодействия пары частиц при малых скоростях движения (малых числах Рейнольдса) препятствует сближению частиц, при больших числах Рейнольдса и определенных углах между линией центров и направлением движения способствует ему. Заметим, что силы гидродинамического взаимодействия, по крайней мере для малых чисел Рейнольдса, неограниченно возрастают при сближении частиц. Это явление ... приводит к гидродинамическому "запрету" коагуляции.

Следовательно, в каждом конкретном случае необходим строгий физико-химический анализ эффектов, возникающих на малых расстояниях между поверхностями частиц и способствующих снятию гидродинамического запрета коагуляции.

...Эффект "втягивания в гидродинамический след". При

движении тела за ним всегда, кроме случая очень малых чисел Рейнольдса, образуется гидродинамический след. Режим течения в следе при разных числах Рейнольдса различен. Однако всегда среда в следе в той или иной мере увлекается падающим телом. Поэтому частица, попавшая в гидродинамический след движущегося в атмосфере тела, будет падать несколько быстрее, чем в невозмущенной атмосфере. Этот эффект должен приводить к гравитационной коагуляции частиц одинаковых масс, если они падают вдоль линии, близкой к линии центров. Даже в случае, когда в среде находится другая частица, с несколько меньшей массой, гравитационная коагуляция возможна. Если бы эффекта втягивания в гидродинамический след не существовало, в последнем случае частицы просто разошлись бы. Однако здесь становится нетривиальным вопрос о причинах появления таких частиц в гидродинамическом следе частиц с большей (или равной) массой, ведь на очень большом расстоянии взаимное влияние их гидродинамических полей на седиментацию исчезает. Поэтому роль эффекта втягивания в гидродинамический след в процессах коагуляции может проявляться в случае, когда легкие частицы образуются непосредственно в гидродинамическом следе тяжелой, либо в случае, когда в дисперсных системах существуют силы, забрасывающие легкие частицы в гидродинамический след тяжелой.

Электростатическая коагуляция имеет место, естественно, когда существуют частицы, несущие заряды противоположных знаков. Поскольку электризация частиц в атмосфере - довольно обычное явление, электростатическая коагуляция может оказывать определенное влияние на эволюцию аэрозольной компоненты атмосферы. Анализ электростатической коагуляции частиц в атмосфере сильно усложняется по следующим двум причинам. Первая - из-за седиментации частиц мы, как правило, всегда имеем дело одновременно и с гравитационной коагуляцией (или, в предельных случаях, с каким-нибудь из перечисленных выше первичных процессов, ее определяющих). Вторая - необходимость учета влияния индукционных (зеркальных) сил, возникающих всегда, когда перемещение частиц в зарядах возможно.

Индукционные силы, независимо от знаков зарядов частиц, всегда способствуют коагуляции. Под их влиянием даже

одноименно заряженные частицы могут коагулировать. Однако в последнем случае всегда существуют две различных области: внешняя, где частицы отталкиваются, и внутренняя (зона доминирующего влияния индукционных сил), где они притягиваются. Поэтому, как и эффект втягивания в гидродинамический след, роль индукционных сил в процессах коагуляции одноименно заряженных частиц может проявляться либо в случае, когда частицы образуются непосредственно в зоне доминирующего влияния индукционных сил, либо в случае, когда в дисперсных системах существуют силы, забрасывающие их в эту зону. Влияние индукционных сил уменьшается, если по каким-нибудь причинам либо перемещение зарядов в частицах затруднено, либо число носителей элементарных зарядов в частицах сравнительно мало.

Для сравнительно плотно упакованной дисперсной системы электростатическая коагуляция может быть затруднена из-за влияния экранировки.

Влияние турбулентности на коагуляцию частиц в дисперсных системах в различных ситуациях может сказываться совершенно различным образом, однако, по-видимому, всегда турбулентность способствует коагуляции. Если внутренний (колмогоровский) масштаб турбулентности Я меньше или сравним с размерами частиц, то мы имеем дело с турбулентным блужданием частиц, которое аналогично броуновскому. Это блуждание будет приводить к взаимному столкновению частиц, т.е. к непосредственной турбулентной коагуляции. Необходимо, однако, отметить, что в атмосферных условиях Земли внутренний масштаб турбулентности обычно равен 0,1 см, поэтому непосредственная турбулентная коагуляция будет иметь место только для очень крупных частиц, например хлопьев снега.

Влияние турбулентности на эволюцию тонкодисперсной аэрозольной компоненты осадков в обычных атмосферных условиях может проходить по иным каналам. Размеры частиц в этом случае значительно меньше X. Из-за действия молекулярной вязкости среды в областях, размеры которых меньше Я, будет происходить ламинаризация течения. Существование турбулентных флуктуаций с размерами, меньшими Я, возможно, но мало вероятно. В этом случае имеет смысл говорить не о непосредственной турбулентной коагуляции частиц, а об усилении коагуляционных процессов в дисперсных системах, вызванных другими причинами. Такое усиление будет происходить, с одной стороны по причине интенсивного турбулентного перемешивания частиц на расстояниях,

больших Я. При этом сближение частиц на масштабах, меньших Я, можно рассматривать, считая течение ламинарным. Характеристики турбулентности среды будут входить во внешние граничные условия. С другой стороны, турбулентность приводит к появлению дополнительной регулярной неоднородности гидродинамического поля на масштабах, меньших Я. Эта внешняя неоднородность может эффективно влиять на сближение частиц в ламинарных областях течения.

Заметим, что турбулентные пульсации могут способствовать втягиванию частиц в гидродинамический след или в зону действия индукционных сил в случае одноименно заряженных частиц. В плотно упакованной дисперсной системе они могут способствовать электростатической коагуляции также путем разрушения экранировки. Турбулентность атмосферы приводит к уменьшению размеров гидродинамического следа достаточно крупной частицы, т.е. к увеличению установившейся скорости ее падения. Этот эффект может существенно увеличить эффективность гравитационной коагуляции частиц осадков с облачными.

Интересные эффекты, способствующие коагуляции частиц, возникают в среде, температура которой неоднородна."

2. Современное состояние исследований

В 1916 году выдающийся польский физик М. Смолуховский, исследуя эволюцию слипающихся частиц в электролитах, записал кинетическое уравнение коагуляции для функции распределения частиц по массам (см. [50]), которое затем было обобщено и на случай непрерывных масс:

ди('У^ + сНу , <•> (X, 0) = ^ (и »(*,/)), (1)

от

со е О, t е Я*, хеКп

где подлежащая отысканию функция и описывает состояния физической системы в каждый момент времени t> 0 в точках с пространственными координатами х = (х1,х2,...,хп). Переменная сое О, есть некоторая характеристика частиц дисперсной системы. В уравнении Смолуховского (1) полагается, что сое О, - это масса частиц системы. Величины Vй"> е Кн определяют скорость движения

элементов физической системы между столкновениями, т.е. скорость свободного переноса.

В случае дискретных масс П = /V, а оператор, стоящей в правой части, определяется соотношением:

1 а»—1 °о

[а) (и[»(0) = - 21ф(® - ® 1>!® > (а'а1 }(ф1""40- и иа) (У) X ®,)«' (0,

2 =1 <»,=1

а в случае непрерывных масс П = , и оператор, стоящий в правой части уравнения, имеет вид:

ч со «з

2 О о