автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Имитационное моделирование пространственно неоднородной медленной коагуляции

На правах рукописи

ЗДОРОВЦЕВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

Имитационное моделирование пространственно неоднородной медленной коагуляции

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 9 ДЕК 2013

Воронеж-2013

005544314

Работа выполнена в Обнинском институте атомной энергетики - филиале ФГАОУ ВПО «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ».

Научный руководитель

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Галкин Валерий Алексеевич

(ГОУ ВПО «Сургутский государственный университет Ханты-Мансийского автономного округа - Югры», директор политехнического института)

Дзюба Сергей Михайлович,

доктор физико-математических наук, профессор (ФГБОУ ВПО «Тверской государственный технический университет», профессор кафедры информационных систем);

Провоторов Вячеслав Васильевич,

доктор технических наук, доцент (ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет», доцент кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей).

Ведущая организация

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего

профессионального образования «Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики».

Защита диссертации состоится 25 декабря 2013 г. в 13 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.035.02 при ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет инженерных технологий» по адресу: 394036, г. Воронеж, проспект Революции, д.19, конференц-зал.

Отзывы на автореферат (в двух экземплярах), заверенные гербовой печатью учреждения, просим направлять по адресу: 394036, г. Воронеж, проспект Революции, д.19, ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет инженерных технологий».

Текст автореферата и объявление о защите размещены в сети Internet на сайте Министерства образования и науки http://vak.edu.gov.ru 25 ноября 2013 года.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет инженерных технологий».

Автореферат разослан «25» ноября 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

к.т.н., доцент jSfgzse^y/? Хаустов И.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования

Актуальность темы диссертационного исследования определяется тем, что явление коагуляции, т.е. объединения мелких частиц дисперсных систем в более крупные, является достаточно распространенным в реальных практических задачах в области метеорологии и экологии, медицины, материаловедении, теории реакторов на быстрых нейтронах и т.д. Например, процесс разрушения материалов за счет взаимных слияний дефектов обусловлен явлением коагуляции трещин. Явление коагуляции лежит в основе процессов полимеризации, свертываемости крови.

Необходимость применения математического моделирования для описания динамики систем коагулирующих частиц объясняется тем, что до сих пор лишь для относительно простых вариантов состояний газа найдены аналитические решения уравнения Больцмана. Уравнение коагуляции Смолуховского, описывающее динамику коагулирующих дисперсных систем зачастую не имеет классического решения, что делает необходимым применение методов прямого имитационного моделирования для описания состояния системы.

Широкий спектр приложений теории коагуляции в науке и технике ставит задачу разработки адекватных математических моделей динамики дисперсных систем, состоящих из взаимодействующих между собой частиц, их обоснования и тестирования, а также создания алгоритмов и программного обеспечения для имитационного моделирования на уровне отдельных частиц, основанного на применении метода Монте-Карло.

Целью диссертационной работы является совершенствование математических моделей и вычислительных алгоритмов, позволяющих реализовать численное решение уравнения коагуляции Смолуховского методом прямого статистического моделирования, а также разработка соответствующего программного обеспечения.

Для достижения поставленной цели в работе решались следующие задачи:

• Разработка математической модели пространственно

неоднородной медленной коагуляции;

• Создание вычислительного алгоритма имитационного

моделирования динамики коагуляции дисперсных систем;

• Разработка программного обеспечения для моделирования

пространственно неоднородной медленной коагуляции;

• Реализация вычислительных экспериментов для обоснования

корректности предложенной модели.

Объектом исследования являются процессы пространственно неоднородной медленной коагуляции, наблюдаемые в различных физических задачах, в т.ч. при образовании трещин за счет взаимных слияний в материалах ядерных энергетических установок.

Предметом исследования являются модели коагуляции, основанные на методе прямого моделирования на уровне отдельных молекул.

Методы исследования и используемый инструментарий:

• Элементы математического анализа;

• Теория вероятностей и математическая статистика;

• Численные методы и методы системного программирования.

• Вычислительный эксперимент.

Научная новизна заключается в том, что в результате проведенных исследований решена новая задача поиска численного решения уравнения коагуляции Смолуховского для случая пространственно неоднородной медленной коагуляции с произвольным спектром скоростей свободного переноса.

1. Создана новая математическая модель медленной коагуляции для произвольных скоростей пространственного переноса, адекватно описывающая процессы пространственно неоднородной коагуляции и согласующаяся с известными аналитическими решением уравнения Смолуховского, а также решениями по разностной схеме;

2. Обоснована корректность разработанной математической модели медленной пространственно неоднородной коагуляции;

3. Разработан алгоритм имитационного моделирования, основанный на стохастическом описании явлений коагуляции дисперсных частиц, позволяющий существенно сократить время моделирования на тестовых примерах, изученных ранее;

4. Разработано программное обеспечение, реализующее алгоритм имитационного моделирования, позволяющее обеспечить распараллеливание вычислений, визуализацию результатов.

В отличие от исследований, проведенных ранее Д.Ю. Осецким и A.B. Галкиным, в данной работе рассматривается модель медленной коагуляции, что определяет вид ядра в уравнении Смолуховского и, соответственно, специфику динамики процесса коагуляции. Кроме того, в ранее опубликованных работах В. А. Галкина накладывается дополнительное условие на целочисленность скоростей свободного переноса, что не требуется для модели, описанной в данной работе. Необходимо также отметить, что алгоритм моделирования, разработанный в настоящем диссертационном исследовании, в отличие от ранее изученных (В .А. Галкин, 2009) позволяет проводить моделирование процесса коагуляции по полному спектру координат без разбиения пространства на ячейки, что обеспечивает сокращение времени вычислений и возможность распараллеливание вычислений.

Основные положения, выносимые автором на защиту:

1. Новая математическая модель, описывающая динамику пространственно неоднородных коагулирующих систем для произвольных скоростей пространственного переноса;

2. Обоснование корректности разработанной модели динамики пространственно неоднородной медленной коагуляции;

3. Новый метод имитационного моделирования пространственно неоднородной медленной коагуляции.

Соответствие диссертации области исследования специальности

Диссертационная работа соответствует следующим областям исследований паспорта специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»:

1. Разработка, обоснование и тестирование эффективных численных методов с применением ЭВМ.

2. Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

3. Разработка систем имитационного моделирования.

Теоретическая значимость работы:

Проведенные исследования развивают теорию математического моделирования в части поиска численных решений уравнения коагуляции Смолуховского для нового типа задач: пространственно

неоднородной медленной коагуляции с произвольным спектром скоростей свободного переноса. В работе сформулированы и доказаны теоремы о:

1. существовании решения задачи Коши для уравнения Смолуховского при любом наборе скоростей свободного переноса.

2. устойчивости разностной схемы, в равномерной метрике, аппроксимации и сходимости к гладким неотрицательным решениям задачи Коши для уравнения Смолуховского.

Практическая ценность работы:

1. Проведен детальный анализ соответствия результатов прямого статистического моделирования и численных решений, полученных с помощью известных разностных схем, что позволяет точнее понимать смысл решения классического уравнения коагуляции Смолуховского для случая пространственно неоднородных дисперсных систем;

2. Реализованная модель имитационного моделирования может быть использована для моделирования динамики коагуляционных процессов в случае пространственной неоднородности;

3. Разработано программное обеспечение, основанное на алгоритме прямого моделирования, может быть использовано для моделирования различных явлений коагуляции, в т.ч. для описания динамики роста трещин в материалах.

Достоверность полученных результатов обеспечивается математическим обоснованием предлагаемых моделей, алгоритмов, а также удовлетворительным согласованием результатов моделирования с обоснованными вычислениями по разностной схеме. Программное обеспечение, разработанное для реализации алгоритма, зарегистрировано Федеральной службой по интеллектуальной собственности 06.07.2012 года.

Личный вклад автора состоит в разработке усовершенствованной модели коагуляции,, основанной на стохастическом описании явлений взаимодействия дисперсных частиц с повторным выборам коагулирующих элементов, разработке алгоритмов, описанных в главах 2 и 3, а также их практической реализации в виде программного продукта,

б

разработанного на базе кафедры прикладной математики Обнинского института атомной энергетики НИЯУ МИФИ.

Результаты, содержащиеся в работах, выполненных в соавторстве, и включенные в диссертацию, получены автором лично.

Апробация работы.

Полученные в ходе диссертационного исследования результаты были доложены на семи российских и международных научных конференциях и семинарах:

1. Научный семинар «Проблемы современной математики» кафедры №31 «Прикладная математика» Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ» под руководством лауреата Государственной премии СССР, заслуженного деятеля науки РФ, профессора, д.ф.-м.н. H.A. Кудряшова, май 2013 г., г. Москва;

2. XV международная конференция молодых ученых и студентов «Молодежь и наука», декабрь 2011, г. Москва;

3. V международная конференция «Математические идеи П.Л. Чебышёва и их приложение к современным проблемам естествознания», май 2011, г. Обнинск.

4. XI международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование», Октябрь 2010, г. Саров;

5. X международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование», Октябрь 2009, г. Саров;

6. XI международная конференция «Безопасность АЭС и подготовка кадров», Сентябрь 2009, г.Обнинск;

7. IV международная конференция «Математические идеи П.Л. Чебышёва и их приложение к современным проблемам естествознания», май 2008, г. Обнинск.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, заключения и списка литературы, содержащего 63 наименования. Объем диссертационной работы составляет 94 страницы.

По теме исследования опубликовано 11 научных работ, в том числе 3 публикации в рецензируемых научных журналах из списка ВАК. Получено свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012616213.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе диссертационной работы приведен обзор литературы по предметной области исследования, рассмотрены ранее полученные модели и результаты, сформулированы некоторые нерешенные вопросы теории коагуляции.

Во второй главе проводится построение и обоснование новой модели пространственно неоднородной медленной коагуляции.

Объектом исследования является дисперсная физическая система. Характеристиками элементов данной системы являются масса т, которая для определенности будет принимать натуральные значения, а также скорость переноса каждого дисперсного элемента вдоль пространственной оси: , которая в свою очередь определяется массой

каждого элемента. Примером подобного процесса может служить движение в вязкой среде по закону Стокса. Дисперсные элементы в ходе движения испытывают акты парных взаимодействий. Два элемента массой г>\ и щ в процессе соударения, с некоторой вероятностью ф^ ^,

могут объединиться в одну частицу суммарной массы щ + тг. Данное явление далее и будем называть коагуляцией. Определим относительное количество (концентрацию) элементов системы заданной массы т в каждый момент времени ¿£0 в точке пространства хеОх через ыя (*,<)» т = 1,2,.... Динамика концентраций дисперсных элементов системы «(х,0 = {«„(*,определяется функциями ия(х,0(>и = 1,2,...),

являющимися решением задачи Коши для пространственно неоднородного случая уравнения коагуляции Смолуховского:

Ё0&1О^ЁИ^^фМ теН, />0,

(1)

где оператор соударений задается следующим образом:

^ т-1

оо

(2)

начальные условия:

ии(*>0) = ы°(*)£0, теМ, хеК. (3)

В работах В.А. Галкина ранее доказано существование обобщенных решений задачи (1)-(3). Для этого применялся метод компенсированной компактности для последовательности гладких решений конечномерных

аппроксимации оператора сооударений Смолуховского (2) на S^о) =/^Mo)1S,m(/(M°)-и), где - индикатор-функция.

В множестве пространственных координат разместим элементы, каждому из которых соответствует порядковый номер l £i<,N, Nè. 1. Порядковому номеру / поставим в соответствие массу /-го элемента дисперсной системы m, (t), а вектор координат каждого элемента в пространстве обозначим через x,(t). В случае, если mt (t) = 0 в каждой

пространственной ячейке, это означает, что элемент с порядковым номером i не существует в системе. Положим, что если дисперсный элемент присутствует в системе, это означает его нахождение лишь в одной пространственной ячейке в каждый момент времени. Следовательно, эволюция системы определяется распределением масс элементов m(t) = и координат {х,(Г)}ы-

Примем эволюцию времени дискретной: tn=nг, и е Z+, т> 0. Элементы системы в каждый момент времени th, имеют

возможность принимать участие в парных столкновениях, которые приводят к коагуляции. Каждый розыгрыш истории метода статистических испытаний происходит по следующим правилам.

Пусть множество Д состоит из пар порядковых номеров элементов системы (i,j), 1 <i<j<N- В момент времени tn методом Монте-Карло определим независимые случайные величины n(s){tn), значения которых заданы во множестве д таким образом, что:

Пары частиц, которые могут столкнуться в системе в момент времени tn определим как значения из набора |л-(')(?л)|с<|Л'), при

дополнительном условии: если хотя бы один из порядковых номеров, которые входят в пару n{'\t„) при s>2, также входит в пару ,T0)(/J x(s~l)(tn), то в этом случае для пары n{s\tn) акт коагуляции в данный момент времени tn не возможен. Таким образом обеспечивается

задач

при м которые получались благодаря

р{л-">(0 = O'J)} = î^sQ(N)■

исключение возможности кратных взаимодеиствии для каждого дисперсного элемента коагулирующей системы.

Определим вероятность выбора пары для возможного взаимодействия двух частиц с порядковыми номерами (г,у)1£»'< j¿N• Вероятность выбора такой пары на 5-м шаге в серии испытаний <е(Л0 определяется как:

✓ - VI-]

1

С2 ^

У-2

С2

'-К

С1

^N

Первый сомножитель равен вероятности того, что в первых (,у-1)-ой итерации во множестве А не обнаружена пара с ранее объявленными порядковыми номерами частиц / или }. Второй сомножитель определяет вероятность отбора искомых частиц на последней итерации. Следовательно, вероятность определения пары (г, _/') из множества А на каждом из шагов в серии 1 < 5 < £)(Ы) испытаний определяется как сумма конечного числа членов геометрической прогрессии, являющихся описанными выше вероятностями которая равна:

>2 чат

1 _ К-2

С2

С2 -С2

В случае, если количество повторных испытаний 0(Л') при определении пары коагулирующих частиц таково, что величина —> <х>, то при

достаточно больших значениях N получаем

(Г1

1-

С'

С2

., 1 С2-С2 ~2N

<-'ЛГ N-2 •4iv

Возможность акта взаимодействия для определенных вышеописанным образом пар порядковых номеров коагулирующих частиц определим путем розыгрыша независимых случайных величин 77(,у)(/„)> ('.У)еД)>

которые могут принимать значения либо 0, либо 1. Равенство щ1Л(!п) О

означает невозможность акта взаимодействия а 1 - напротив, коагуляции пары частиц с порядковыми номерами (/,./), в случае, если координаты в

момент времени tn удовлетворяют условию |х((0_х/(01-^> где /г > О

задается характерным масштабом парной коагуляции частиц. Определение этих значений случайным образом зададим следующим

ю

образом. Пусть ?7((/)(О = 0> еслИ (О = О т-е- если хотя бы одной из

частиц в паре нет, то взаимодействия не происходит. В случае, если т,(От/(О>0' то слУчайная величина 7((;)(/п) определяется условной функцией распределения

где 0<Ф„, =Ф™ п, ~ это вероятность акта коагуляции

м А }'(и ГПууГи

сталкивающейся пары частиц массы которых равны щ и щ.

Когда пара (/,/)еД выбрана, а значение т}(1 л{гп) = \, то величина

вектора состояния т (?„) преобразуется в соответствии со следующим принципом:

где через т обозначены векторы состояния до акта взаимодействия, через т - после, а векторы та соответствуют состоянию частиц, которые не участвуют в разаргрываемом взаимодействии.

Когда ?7(/у)(О = 0> то ве™чины та(1„), \<а<Ы остаются без

изменения. Указанная процедура повторяется для всех пар порядковых номеров путем последовательного перебора яг(1)(/„),...,

Рассмотрим число заполнений частицами массы к е N пространственных ячеек с центром в заданных точках х(1) е Ох, которые обозначим

Здесь 5 ~ это дельта-функция Кронекера, а в - функция Хевисайда. Этой процедуре розыгрыша каждого акта взаимодействия коагулирующих частиц в ячейке ц отвечает следующее преобразование чисел

заполнения N1° Щп :

Щ (О ^ Щ (/„) = т, +

«,(*„)>-> «ДО = 0-

<¥ И

= {хеОх:\х-х(1)

¡¡е/ N

= хЮ-х(,) I)-

А/

И

ем

(IJ>=i j-1 v 'J' 9-1 4

feo oo 1

Каждая сумма состоит из конечного количества ненулевых слагаемых, где через т обозначены векторы состояния до акта взаимодействия, через т -после.

Затем, после окончания определения актов слияния частиц коагулирующей пространственно неоднородной системы, осуществляется перемещение частиц. Обозначим через vk скорость пространственного переноса частицы с массой к е N. Подчиним размер каждой пространственной ячейки h и шага по времени г следующему условию: т/г"1 =1. В этом случае, если элемент системы с порядковым номером г имеет массу к, то за время г произойдет его перемещение в пространстве согласно закона x,(tn + r) = x¡(tn)+vkT. Таким образом, задается состояние коагулирующей системы в каждый момент времени t . По этому алгоритму определяется эволюция коагулирующей

системы для всех t„> 0 •

Среднее количество частиц массы к в момент времени t„ > О обозначим величиной (л^'е,)) • Средняя концентрация частиц массы к в момент времени tn равна:

„» л &А

Nh '

Сформулируем основные теоремы для произвольных скоростей пространственного переноса.

ТЕОРЕМА 1. Пусть значения скоростей свободного переноса частицvk еК, а вероятность акта коагуляции Фкх>к1 ~ 0 при >М0 или

k2'¿iM0. В этом случае, средние концентрации u^N{tn) подчиняются разностному уравнению:

где S - оператор столкновений Смолуховского, определенный выше.

СЛЕДСТВИЕ. Предположим, что выполнены условия из Теоремы 1 и существует Нт И^Д0) = и^'Чо). Пусть, 6(^0 >е0 при 7/->оо. В этом

' N

случае, при каждом ^>0 существует = который

удовлетворяет разностному уравнению

(4)

ТЕОРЕМА 2, Пусть начальные функции обладают свойством гладкости, а начальные значения в разностном уравнении (4) согласованы с (3) таким образом, что

ы^(0) = и°к(х1)>0, 1 <к<М0 (5)

для любого /. В этом случае, при выполненном условии т/г1 = 1, разностная схема (4), (5) сходится к единственному гладкому неотрицательному решению задачи Коши

(х,0). ^0, (6)

д( дх ' 0

икМо(х,0) = и°к(х) 1 <кйМй, хеШ. (7)

Уравнение Смолуховского пространственно неоднородного типа (1) является уравнением больцмановского типа. Рассматриваемая разностная схема для численного решения для такого типа уравнений дает возможность определить корректность задачи Коши с ядрами коагуляции элементов системы и с начальными данными, которые представляют интерес для изучения реальных физических процессов. В частности, для пространственно неоднородных уравнений Больцмана и Смолуховского достаточным условием глобальной корректности задачи Коши задачи является локальная ограниченность (т.е. ограниченность на каждом компакте) неотрицательных симметричных ядер взаимодействия и скорости свободного переноса частиц, а также суммируемость неотрицательных начальных данных.

Следующая разностная схема задает приближенный метод решения задачи Коши (6), (7): и[к)(х!1 + т)-и[к\х,1) 0 з8п(ук)>1)-и["\Х,1) _

г * А

х = 1к, г = пт, г> 0, й>0, и[и\х,0) = Х^Х^д^иЦх)), 0 <? < г. где компактым с /У» М,сМ, а /(*) /М- индикатор-функции этих

1 2 ' А/| * Л»2

компактов. Значения оператора ПРИ к>М0 по

13

определению примем равными 0. Шаги сетки г, к подчиняются условию Куранта-Фридрихса-Леви

г^й-'+Щи0))^!,

Таким образом, во второй главе диссертационной работы построена и обоснована корректность новой математической модели пространственно неоднородной медленной коагуляции (6)-(7).

В третьей главе работы проводится разработка вычислительного алгоритма и программного обеспечения для моделирования динамики коагуляции дисперсных систем, а также проводится сравнение результатов моделирования с известными аналитическими решениями уравнения Смолуховского, решениями по предложенной разностной схеме, а также с экспериментальными данными. Численное решение задачи Коши полностью соответствует аналитическому. Ошибка в вычислительных экспериментах составляет не более 3%.

К примеру, рассмотрим решение задачи (1) с интенсивностью коагуляции, начальными скорости и массами частиц заданными следующим образом:

Н(и) = тах Ф^щ^^^ОЛФ+М) ■ „и 1 г 1

где величина

0,х>1

е"*,0 <х <1

(8)

Рис. 1. Численное решение задачи (1), (8): инициативное заполнением О4 элементов,— Разностная схема, • Результат имитационного моделирования.'

Полная концентрация ц(х) при / - 0,5.

Основываясь на серии проведенных в диссертационном исследовании численных экспериментов, можно прийти к заключению о качественном соответствии аналитических решений задачи Коши для уравнения Смолуховского, описывающего случай пространственно неоднородной медленной коагуляции, и реализации предложенного в диссертационном исследовании алгоритма математического моделирования.

Для обоснования корректности разработанной математической модели и разработанного программного обеспечения рассмотрена также задача моделирования радиоиндуцированного роста дефектов в материалах.

Дефектные кластеры радиоиндуцированной природы формируются в результате облучения кристаллической решетки материала, последующих движений и взаимных слияний междоузлий и вакансий. Для сравнения были использованы экспгриментальные данные, полученные в 2005 году A.B. Козловым и др. (по работе «Первичная повреждаемость и накопление радиационных дефектов в металлах при низкотемпературном нейтронном облучении» // Отраслевой семинар «Физика радиационных повреждений материалов атомной техники», Обнинск, 2005).

В качестве тестовых материалов использовались промышленная сталь типа Х16Н15М2 (ЭИ-844) и платина чистотой 99,99% в

1 Построено автором на основе проведенного лично эксперимента.

1S

естественном состоянии и после облучения в исследовательском водо-водяном реакторе при температурах выше 300 К.

Изучалось распределение ио размерам дефектных кластеров в облученном тестовом образце стали путем электронной микроскопии и имитационного моделирования с помощью разработанного профаммного обеспечения. Результаты приведены на рисунке 2.

Рис. 2. Математическое моделирование задачи радиоиндуцированного роста дефектов. — Экспериментальные данные, • Результат имитационного

моделирования.

Для данной задачи рассмотрен также результат моделирования с использованием ранее предложенной модели А.Г. Цариной. Полученные данные позволяют сформулировать вывод о качественно лучшем описании реально протекающих физических процессов с использованием разработанной в данном диссертационном исследовании математической модели пространственно неоднородной медленной коагуляции.

Разработанный алгоритм описания динамики коагулирующих систем для случая пространственной неоднородности был реализован в программе для ЭВМ, зарегистрированной Федеральной службой по интеллектуальной собственности за №2012616213.

Таким образом, в третьей главе диссертационной работы рассмотрены вопросы разработки вычислительного алгоритма, реализующего построенную математическую модель пространственно неоднородной медленной коагуляции, приведены тестовые примеры, обосновывающие корректность созданного алгоритма н программного обеспечения.

Основные результаты

В результате проведенных исследований решена новая научная задача поиска численного решения уравнения коагуляции Смолуховского для случая пространственно неоднородной медленной коагуляции с произвольным спектром скоростей свободного переноса. В диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Разработана новая математическая модель пространственно неоднородной медленной коагуляции;

2. Создан новый метод имитационного моделирования динамики коагуляции дисперсных систем;

3. Разработан алгоритм и программное обеспечение для моделирования пространственно неоднородной медленной коагуляции;

4. Реализована серия вычислительных экспериментов для обоснования корректности предложенной модели.

Основные публикации по теме диссертации

Статьи в научных журналах, входящих в перечень ВАК:

1. Здоровцев, П.А. Вычислительная модель пространственно неоднородной медленной коагуляции [Текст] / В.А. Галкин, A.B. Галкин, П.А. Здоровцев, Д.Ю. Осецкий // Журнал вычислительной математики и математической физики.-2012-Том 52, № 11.-С. 2101 -2112.

2. Здоровцев, П.А. Решения моментных цепочек для уравнения переноса и их приближения [Текст] / В.А. Галкин, П.А. Здоровцев // Математическое моделирование.-2012-Том 24,№ 11.-С. 65-71.

3. Здоровцев, П.А. Имитационное моделирование процесса медленной пространственно неоднородной коагуляции [Текст] // Вестник ВГУИТ. -2013.- №3.- С. 92-96.

Научные публикации в других изданиях:

4. Здоровцев, П.А. Создание алгоритма и программная реализация на вычислительном кластере алгоритма прямого моделирования пространственно неоднородной коагуляции в сложной геометрии [Текст] / В.А. Галкин, A.B. Галкин, П.А. Здоровцев, Д.Ю. Осецкий; Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». - М., 2012. - Деп. в ВИНИТИ РАН 25.05.2012 № 248-В2012.

5. Здоровцев, П.А. Моделирование образования структур в кинетических системах [Текст] / В.А. Галкин, A.B. Галкин, И.В. Галкина, A.A. Кучеров, П.А. Здоровцев, Д.Ю. Осецкий // Труды регионального

17

конкурса проектов фундаментальных научных исследований. - Калуга, 2012.-Вып. 17.-С. 57-59.

6. Здоровцев, П.А. Математическое моделирование осцилляций физических параметров в кинетических системах (высокопроизводительные вычисления, параллельные алгоритмы) [Текст] / A.B. Галкин, П.А. Здоровцев, Д.Ю. Осецкий, Д.С. Самохин; Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». - М.,

2011. - Деп. в ВИНИТИ РАН 24.02.2011 № 79-В2011.

7. Здоровцев, П.А. Разработка и исследование математических моделей сложных систем [Текст] / В.А. Галкин, A.B. Галкин, И.В. Галкина, П.А. Здоровцев, Д.Ю. Осецкий, В.И. Савельев // Труды регионального конкурса научных проектов в области естественных наук - Калуга, 2008. -Вып. 14.-С.11-24.

8. Здоровцев, П.А. Математическое моделирование осцилляций газодинамических параметров в кинетических системах [Текст] / A.B. Галкин, П.А. Здоровцев, Д.Ю. Осецкий // Труды XV международной конференция молодых ученых и студентов «Молодежь и наука». - М.,

2012.-С.43.

9. Здоровцев, П.А. Математическое моделирование процесса принятия решений в иерархических системах [Текст] / В.А. Галкин, П.А. Здоровцев // Труды XII международной конференции «Супервычисления и математическое моделирование».- Саров, 2010. - С.30.

10. Здоровцев, П.А. Математическое моделирование взаимодействия потребностей атомной отрасли и системы подготовки кадров [Текст] /

B.А. Галкин, П.А. Здоровцев // Труды XI международной конференции «Супервычисления и математическое моделирование».- Саров, 2009. -

C.50.

11. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012616213 от 06.07.2012 года «Моделирование пространственно неоднородной медленной коагуляции» [Текст] / Галкин В.А., Галкин A.B., Здоровцев П.А., Осецкий Д.Ю.; правообладатель Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»; заявл. 18.05.2012 г.

Подписано в печать 22.11.2013. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офисная. Усл. печ. л. 1,0 Тираж 100 экз. Заказ №113 Отпечатано в типографии Воронежский ЦНТИ - филиал ФГБУ «РЭА» Минэнерго России 394036, г. Воронеж, пр. Революции, 30

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» Обнинский институт атомной энергетики

На правах р^опи^

04201453904

ЗДОРОВЦЕВ ПАВЕЛ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО НЕОДНОРОДНОЙ МЕДЛЕННОЙ КОАГУЛЯЦИИ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель -доктор физико-математических наук профессор В.А.Галкин

Обнинск-2013

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение.............................................................................................................................3

Глава 1. Обзор исследований, связанных с математическим моделированием коагуляции........................................................................................................14

Глава 2. Математическое моделирование пространственно неоднородной медленной коагуляции............................................................................29

2.1. Модель Смолуховского пространственно неоднородной коагуляции.....29

2.2. Имитационная модель коагуляции...............................................31

2.3. Моделирование явлений пространственного переноса.....................35

2.4. Разностный метод для приближенного решения задачи Коши............37

2.5. Построение модели взаимодействия различных типов радиационных

дефектов на основе уравнения Смолуховского....................................41

2.6. Связь задачи Коши для уравнения Смолуховского и бесконечномерных систем линейных дифференциальных уравнений................................46

Глава 3. Вычислительные эксперименты, обосновывающие корректность модели пространственно неоднородной медленной коагуляции................................62

3.1. Тестирование модели пространственно неоднородной медленной коагуляции........................................................................................62

3.2. Моделирование рост радиационно-индуцированных дефектов.........70

Заключение..........................................................................................75

Список литературы................................................................................78

ВВЕДЕНИЕ

В последнее время, многие исследователи направляли свои усилия на изучение физических, механических и химических свойств дисперсных сред, изменяющихся под воздействием сторонних факторов. К ним относятся: растворы, кристаллизующиеся по достижении пресыщения, конструкционные материалы, в которых после облучения возникают дефекты структуры, биологические ткани, изменяющие состав под влиянием внешних факторов и радиации на уровне клеток и ДНК. Все перечисленные области исследований имеют большую практическую ценность. Работа над получением бездислокационных кристаллов из растворов с определёнными свойствами, полученными в результате анализа и моделирования, позволяет получать новые данные о процессах, протекающих в этих средах.

Ведутся работы над составом конструкционных материалов, исследователи пытаются достичь оптимальных составов для увеличения прочности и срока службы при экстремальных условиях. Не менее важно изучение и сбор данных о процессах в тканях организма, вызванных облучением радиацией для лечения «лучевой болезни», или же, напротив, для лечения при онкозаболеваниях. Математическое моделирование при изучении вышеназванных процессов является ключом к пониманию механизмов протекания процессов, позволяя изучить их детально и глубоко. Оно даёт возможность изучать влияние различных факторов на системы, анализировать информацию о них, определять параметры систем, в которых те протекают, получать данные о ходе процессов без высоких материальных и временных затрат.

Моделирование — это один из мощнейших способов познания мира. При его использовании исследуется не исходный объект, а упрощенный, с выделенными необходимыми для исследования свойствами. Такой объект называется моделью.

Цель моделирования - прогноз поведения процесса в системе. Оно даёт возможность с минимальными затратами воссоздать процессы оптимизации и выявить оптимальные критерии.

Существует два вида процесса моделирования: математическое и физическое моделирование.

При физическом (натурном) моделировании анализируемая система заменяется другой, подобной материальной системой, воспроизводящей свойства исходной системы с сохранением их физических свойств. Однако возможности применения натурного моделирования ограничены. Оно даёт возможность решать отдельные задачи при задании некоторого количества известных сочетаний исследуемых параметров системы, что позволяет серьезно упростить задачу. Проверка на практике множества различных типов условий затратна не только физически и отнимает много времени, но и вызывает немалые материальные затраты.

Для многих важных областей исследований физический эксперимент невозмножно провести, в силу того, что он или запрещён (если несет вред здоровью), или слишком опасен (в экологии), или же его невозможно провести в реальных условиях (астрофизика).

Математическое моделирование предпочтительнее в большинстве случаев, так как лишено этих недостатков. Математическая модель — это совокупность формул, неравенств, уравнений, логических условий, полученных в результате изучения закономерностей изменения состояния

системы, зависимости ее параметров от различных факторов. Это формулы или системы уравнений, наборы правил, выраженные в математической форме.

Особый класс математических моделей - это имитационные модели. Эти модели строятся на базе эмпирических представлений о явлении и реализуются в форме программ для ЭВМ, пошагово воспроизводя события, происходящие в реальности. Главное преимущество имитационных моделей - возможность ускорения процессов, реально протекающих в системе. В результате работы имитационной модели формируется детальная статистика обо всех протекающих событиях и, как результат - о наиболее необходимых для работы характеристиках.

Относительно дефектов кристаллов можно чётко выделить несколько методов компьютерного моделирования, разделив их на два основных направления: аналитическое и имитационное моделирование.

Аналитическое моделирование позволяет с помощью математических законов для связи объектов системы получать более точное решение.

Основная задача аналитического моделирования состоит в решении уравнений и сравнения полученных результатов с полученными на практике данными. Несомненными достоинствами этого способа являются возможность многократного использования, общность для многих типов задач, а при наличии явных зависимостей между начальными условиями и переменными системы можно провести наиболее полное исследование системы. Для поставленных задач данного направления предпочтительно использовать следующие методы решения:

• Метод молекулярной динамики используется при решении задач о движении отдельных атомов, когда каждый атом описывается как

материальная точка, обладающая массой, при взаимном воздействии друг на друга атомов, инерциальных и внешних сил, действующих на твёрдое тело, в которое и входят изучаемые атомы;

• Вариационный метод используется в целях поиска устойчивого или неустойчивого равновесия атомов.

Другое направление, быстро развивающееся, благодаря росту мощности вычислительной техники, имитационное моделирование, позволяет принимать в расчёт случайные воздействия и другие сторонние факторы, создающие трудности при аналитическом исследовании. Данная модель позволяет проводить эксперименты, изменяя при этом условия протекания процесса, и подобрать условия, при которых результат будет удовлетворять поставленным требованиям. Имитационное моделирование происходит при помощи компьютера (ЭВМ) и позволяет воспроизвести процесс функционирования системы во времени, имитируя явления, сохраняя их логическую структуру. Методом для построения подобных моделей, например, является метод Монте-Карло, названный так по аналогии с розыгрышем в казино. Суть этого метода в многократном розыгрыше некоей случайной ситуации.

Любое физическое явление можно рассмотреть как вероятностное и уподобить его случайному процессу, протекающему по времени. Всё явление раскладывается на простые компоненты до такой степени, пока не будет выделено некоторое элементарное событие, для которого уже имеются все необходимые вероятностные характеристики. Далее следует прогонка элементарных событий, полученных на предыдущем шаге, производится частотный анализ, с помощью данных которого можно вычислить апостериорные характеристики.

В данной работе рассматриваются созданные автором имитационные модели в трёхмерном пространстве. Помимо того, что учитываются все возможные факторы, способные повлиять на систему, возможно при необходимости ввести дополнительные объекты, которые также могут повлиять на ход процессов системы.

Целью диссертационной работы является совершенствование математических моделей и вычислительных алгоритмов, позволяющих реализовать численное решение уравнения коагуляции Смолуховского методом прямого статистического моделирования, а также разработка соответствующего программного обеспечения.

Для достижения поставленной цели в работе решались следующие задачи:

• Разработка математической модели пространственно неоднородной

медленной коагуляции;

• Создание вычислительного алгоритма имитационного моделирования

динамики коагуляции дисперсных систем;

• Разработка программного обеспечения для моделирования

пространственно неоднородной медленной коагуляции;

• Реализация вычислительных экспериментов для обоснования

корректности предложенной модели.

Объектом исследования являются процессы пространственно неоднородной медленной коагуляции, наблюдаемые в различных физических задачах, в т.ч. при образовании трещин за счет взаимных слияний в материалах ядерных энергетических установок.

Предметом исследования являются модели коагуляции, основанные на методе прямого моделирования на уровне отдельных молекул.

Методы исследования и используемый инструментарий:

• Элементы математического анализа;

• Теория вероятностей и математическая статистика;

• Численные методы и методы системного программирования.

• Вычислительный эксперимент.

Научная новизна заключается в том, что в результате проведенных исследований решена новая задача поиска численного решения уравнения коагуляции Смолуховского для случая пространственно неоднородной медленной коагуляции с произвольным спектром скоростей свободного переноса.

• Создана новая математическая модель медленной коагуляции для произвольных скоростей пространственного переноса, адекватно описывающая процессы пространственно неоднородной коагуляции и согласующаяся с известными аналитическими решением уравнения Смолуховского, а также решениями по разностной схеме;

• Обоснована корректность разработанной математической модели медленной пространственно неоднородной коагуляции;

• Разработан алгоритм имитационного моделирования, основанный на стохастическом описании явлений коагуляции дисперсных частиц, позволяющий существенно сократить время моделирования на тестовых примерах, изученных ранее;

• Разработано программное обеспечение, реализующее алгоритм имитационного моделирования, позволяющее обеспечить распараллеливание вычислений, визуализацию результатов.

В отличие от исследований, проведенных ранее И.Г. Багдасаровой [2], Д.Ю. Осецким [40] и A.B. Галкиным [29], в данной работе рассматривается модель пространственно неоднородной медленной коагуляции, что определяет вид ядра в уравнении Смолуховского и, соответственно, специфику динамики процесса коагуляции. Кроме того, в ранее опубликованных работах В.А. Галкина накладывалось дополнительное условие на целочисленность скоростей свободного переноса, что не требуется для модели, предложенной в данной работе. Необходимо также отметить, что алгоритм моделирования, разработанный в настоящем диссертационном исследовании, в отличие от ранее изученных [19] позволяет проводить моделирование процесса коагуляции по полному спектру координат без разбиения пространства на ячейки, что обеспечивает сокращение времени вычислений и возможность распараллеливание вычислений.

Основные положения, выносимые автором на защиту:

• Новая математическая модель, описывающая динамику пространственно неоднородных коагулирующих систем для произвольных скоростей пространственного переноса;

• Обоснование корректности разработанной модели динамики пространственно неоднородной медленной коагуляции;

• Новый метод имитационного моделирования пространственно неоднородной медленной коагуляции.

Соответствие диссертации области исследования специальности

Диссертационная работа соответствует следующим областям

исследований паспорта специальности 05.13.18 «Математическое

моделирование, численные методы и комплексы программ»:

9

• Разработка, обоснование и тестирование эффективных численных методов с применением ЭВМ.

• Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

• Разработка систем имитационного моделирования.

Теоретическая значимость работы:

Проведенные исследования развивают теорию математического моделирования в части поиска численных решений уравнения коагуляции Смолуховского для нового типа задач: пространственно неоднородной медленной коагуляции с произвольным спектром скоростей свободного переноса. В работе сформулированы и доказаны теоремы о:

• существовании решения задачи Коши для уравнения Смолуховского при любом наборе скоростей свободного переноса.

• устойчивости разностной схемы в равномерной метрике, аппроксимации и сходимости к гладким неотрицательным решениям задачи Коши для уравнения Смолуховского.

Практическая ценность работы:

• Проведен детальный анализ соответствия результатов прямого статистического моделирования и численных решений, полученных с помощью известных разностных схем, что позволяет точнее понимать смысл решения классического уравнения коагуляции Смолуховского для случая пространственно неоднородных дисперсных систем;

• Реализованная модель имитационного моделирования может быть использована для моделирования динамики коагуляционных процессов в случае пространственной неоднородности;

• Разработано программное обеспечение, основанное на алгоритме прямого моделирования, может быть использовано для моделирования различных явлений коагуляции, в т.ч. для описания динамики роста трещин в материалах.

Достоверность полученных результатов обеспечивается математическим обоснованием предлагаемых моделей, алгоритмов, а также удовлетворительным согласованием результатов моделирования с обоснованными вычислениями по разностной схеме. Программное обеспечение, разработанное для реализации алгоритма, зарегистрировано Федеральной службой по интеллектуальной собственности 06.07.2012 года.

Личный вклад автора состоит в разработке усовершенствованной модели коагуляции, основанной на стохастическом описании явлений взаимодействия дисперсных частиц с повторным выборам коагулирующих элементов, разработке алгоритмов, описанных в главах 2 и 3, а также их практической реализации в виде программного продукта, разработанного на базе кафедры прикладной математики Обнинского института атомной энергетики НИЯУ МИФИ.

Результаты, содержащиеся в работах, выполненных в соавторстве, и включенные в диссертацию, получены автором лично.

Апробация работы

Полученные в ходе диссертационного исследования результаты были доложены на семи российских и международных научных конференциях и семинарах:

1. Научный семинар «Проблемы современной математики» кафедры №31 «Прикладная математика» Национального исследовательского ядерного университета «МИФИ» под руководством лауреата Государственной премии СССР, заслуженного деятеля науки РФ, профессора, д.ф.-м.н. Н.А. Кудряшова, май 2013 г., г. Москва;

2. XV международная конференция молодых ученых и студентов «Молодежь и наука», декабрь 2011, г. Москва;

3. V международная конференция «Математические идеи П.Л. Чебышёва и их приложение к современным проблемам естествознания», май 2011, г. Обнинск.

4. XI международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование», Октябрь 2010, г. Саров;

5. X международный семинар «Супервычисления и математическое моделирование», Октябрь 2009, г. Саров;

6. XI международная конференция «Безопасность АЭС и подготовка кадров», Сентябрь 2009, г.Обнинск;

7. IV международная конференция «Математические идеи П.Л. Чебышёва и их приложение к современным проблемам естествознания», �