автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование процессов переноса излучения и вещества

На правах рукописи УДК 519.6

РЫЖИКОВ Дмитрий Александрович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ

И ВЕЩЕСТВА.

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени

Москва - 2004

Работа выполнена в Обнинском государственном техническом университете атомной энергетики

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Галкин Валерий Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Андросенко Петр Александрович

кандидат физико-математических наук, Гинкин Владимир Павлович

Ведущая организация: Московский Государственный

Университет им. М. В. Ломоносова, факультет вычислительной математики и кибернетики, кафедра ВМ

Защита состоится " "_2004 г. в на заседании диссерта-

ционного совета К 002.058.01 при Институте математического моделирования РАН по адресу: 125047, Москва, Миусскал пл., 4а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН. Автореферат разослан апреля 2004 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

В. И. Похилко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность.

Диссертационная работа посвящена исследованию двух физических явлений переноса излучения и вещества:

1. пространственно однородная коагуляция в дисперсных системах;

2. движение заряженной частицы в средах с различными диэлектрическими свойствами.

Для исследования данных явлений используется имитационное моделирование, основанное на методе Монте-Карло.

Актуальность темы диссертации определяется необходимостью тестирования и обоснования имитационного моделирования (на основе метода Монте-Карло) процессов переноса излучения и вещества в дисперсных системах и через границу раздела нескольких сред, испытывающих скачок диэлектрических и магнитных параметров на границе раздела.

Интерес к процессу переноса вещества (процесс коагуляции) обусловлен исследованиями в метеорологии, астрономии, теории реакторов на быстрых нейтронах. Процесс коагуляции оказывает воздействие на рост кристаллов в растворах, рост газовых пузырьков и пор в твердом теле. Уравнение коагуляции было получено выдающимся польским физиком М. Смо-луховским в 1916 г при исследовании эволюции слипающихся частиц в электролитах.

Явление коагуляции наблюдается в различных физических ситуациях: в растворах - броуновская коагуляция, при образовании капель дождя -гравитационная коагуляция.

Важность математического моделирования процесса коагуляции, основанного на применении уравнения Смолуховского, обусловлена тем, что существуют ситуации, когда у уравнения нет классического решения. Поэтому имитационное моделирование пространственно однородного процесса коагуляции имеет большое прикладное значение.

Актуальность исследования процессов переноса излучения (переходное излучение) обусловлена применением в полномасштабных натурных экспериментах детекторов переходного излучения для идентификации частиц. Процессы, описывающие возникновение переходного излучения, не включены в стандартное программное обеспечение физики высоких энергий, в частности GEANT3 - описание и моделирование детекторов и взаимодействий в физике высоких энергий.

В основе исследования процессов переноса излучения лежит работа В. Л. Гинзбурга и И. М. Франка 1945 года <

БИБЛИОГЕКА | СПетербург .7/у'

оэ

мого переходного излучения. Данная теория заложила основу теоретических и экспериментальных исследований в физике высоких энергий, связанных с возможностью идентификации ультрарелятивистских заряженных частиц и созданием детекторов переходного излучения. Детекторы переходного излучения применяются в крупномасштабных международных экспериментах в физике высоких энергий, одним из которых является эксперимент HERA-B - исследование СР-нарушения в системе В-мезонов на ускорительном кольце HERA.

Целью данной работы является разработка и реализация программного обеспечения для моделироания процессов переноса излучения и вещества в коагулирующих системах и системах релятивистских заряженных частиц, основанного на имитационном моделировании, и проведение вычислительного эксперимента.

В рамках исследуемой проблемы следует выделить основные задачи:

1. разработка и реализация алгоритма математической модели процессов коагуляции (слипания) частиц, описываемых уравнением Смолу-ховского;

2. исследование пределов аппроксимации по методу Монте-Карло для решения нелинейных кинетических уравнений типа Больцмана;

3. обоснование и сравнение точности тестовых расчетов результатов имитационного моделирования процесса парной коагуляции с точными решениями;

4. создание программного обеспечения для моделирования переходного излучения в периодическом радиаторе с учетом интерференционных эффектов.

Методами исследования являются:

• вычислительный эксперимент;

• проведение тестирования вычислительного эксперимента;

• параллельные вычисления;

Основные положения, выносимые автором на защиту:

1. Алгоритм имитационной модели процесса парной коагуляции в пространственно однородном случае.

2. Программная реализация алгоритма имитационной модели процесса парной коагуляции на персональном компьютере и на вычислительных кластерах.

3. Проведение вычислительного эксперимента на основе имитационной модели процесса коагуляции для широкого класса интенсивностей взаимодействия частиц и проведение сравнительного анализа полученных результатов.

4. Программное обеспечение для математического моделирования переходного излучения для релятивистских условий для крупномасштабного физического эксперимента.

5. Алгоритм и база данных для расчетов распространения переходного излучения в различных материалах.

Достоверность научных положений, выводов. Научные положения и выводы, сформулированные в диссертации, обоснованы теоретическими решениями и экспериментальными данными, полученными в работе, не противоречат известным положениям физико-матема-тических наук, базируются на сравнительном анализе результатов вычислительного эксперимента. Достоверность результатов обусловлена проведением тестирования вычислительного эксперимента на основе сравниетльного анализа с точными решениями и физическим экспериментом. На основе моделирования переходного излучения был смоделирован детектор для крупномасштабного эксперимента.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Исследована новая модель пространственно однородного процесса коагуляции в дисперсных системах, основанного на применении уравнения Смолуховского.

2. Создано программное обеспечение для моделирования процесса парной коагуляции на основе имитационного моделирования.

3. Обоснована математическая корректность исследуемой модели парной коагуляции.

4. Впервые проведено детальное сравнение спектров распределения частиц по массам с точными решениями уравнения Смолуховского.

5. Исследована модель переходного излучения на основе асимптотического приближения для релятивистских условий.

6. Создано программное обеспечение для имитационного моделирования переходного излучения в периодическом радиаторе с учетом интерференционных эффектов в слоях радиатора.

7. Впервые получены результаты по исследованию математической модели переходного излучения для экспериментальных условий по исследованию СР нарушения в системе b-мезонов на протонном накопительном кольце HERA.

8. Впервые получены расчеты математического моделирования переходного излучения для экспериментальных исследований СР нарушения в системе b-мезонов на протонном накопительном кольце HERA.

9. Научные результаты внедрены в комплекс программного обеспечения крупномасштабного международного физического эксперимента HERA-B - исследование СР-нарушения в системе b-мезонов на протонном накопительном кольце HERA. Важно отметить, что эксперимент HERA-B характеризуется следующими параметрами:

♦ сложной геометрией системы;

♦ существенной неоднородностью параметров.

Практическая значимость работы состоит в следующем:

♦ проведено детальное сравнение спектров распределения частиц по массам с точными решениями уравнения Смолуховского, что дает более точное понимание смысла функции-решения уравнения Смолухов-ского;

♦ реализованная модель парной коагуляции в пространственно однородном случае может быть применена для моделирования динамики облаков, распределения пор и газовых пузырьков в твердом теле, а также роста кристаллов;

♦ реализована математическая модель переходного излучения для периодического радиатора с учетом интерференционных эффектов в слоях радиатора;

♦ результаты моделирования использованы для расчета детектора переходного излучения для крупномасштабного международного эксперимента HERA-B.

Личный вклад автора. Наиболее существенными научными результатами, полученными лично соискателем, являются:

♦ алгоритм имитационной модели процесса коагуляции в пространственно однородном случае, программная реализация алгоритма;

♦ вычислительный эксперимент имитационной модели процесса коагуляции для широкого класса интенсивностей взаимодействия;

♦ сравнительный анализ полученных данных, тестирование вычислительных экспериментов;

♦ детальное исследование модели переходного излучения для релятивистского приближения;

♦ программа расчета переходного излучения для широкого диапазона энергий заряженных частиц и переходного излучения;

♦ тестирование вычислительных экспериментов;

♦ анализ результатов, участие в экспериментальных исследованиях, математическом моделировании и анализе данных крупномасштабного эксперимента HERA-B.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались диссертантом на следующих научных конференциях и семинарах:

♦ Международная конференции "Математические идеи П. Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания", г. Обнинск, 14 - 18 мая 2002 г.

♦ Fifth International Conference "Single Crystal Growth and Heat & Mass Transfer" (ICSC 2003), Obninsk, Russia, September 22 - 26, 2003.

♦ Международный семинар "Супервычисления и математическое моделирование", г. Саров, 6-11 октября 2003 г.

♦ Международная конференция "Математическое моделирование и высокопроизводительные вычисления", г. Обнинск, 28 - 30 января 2004 г.

♦ HERA-B Analysis Meeting, DESY, Hamburg, Germany, 26 November 2002.

♦ HERA-B Week, Glueball Working Group, DESY, Hamburg, Germany, August 27th 2003.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Работа изложена на ^^-страницах, в том числе основного текста страниц, 4к рисунков, список литературы из наименованиях на страницах.

СТРУКТУРА РАБОТЫ

Во введении определена актуальность рассматриваемых проблем, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, ее научная новизна и практическая значимость. Приведены основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена исследованию существующего состояния вопросов, связанных с темой диссертации.

Рассмотрены физические аспекты, связанные с процессом коагуляции в дисперсных системах. Рассмотрено уравнение Смолуховского, которое является основой для математического исследования процесса коагуляции.

Рассмотрены классы корректности задачи Коши для уравнения коагуляции с ограниченными ядрами, фигурирующими в уравнении Смолуховского.

Далее, опираясь на результаты для ограниченных ядер, рассмотрена нелокальная теория задачи Коши для уравнения коагуляции в случае ядер, растущих не быстрее чем линейно по своим аргументам. Показана разрешимость задачи Коши для уравнения Смолуховского.

Представлен разностный метод для уравнения Смолухозского в пространственно однородном случае. Обоснована сходимость метода к функциональным решениям уравнения Смолухозского.

Рассмотрено применение имитационного моделирования, основанного на методе Монте-Карло, для исследования физических задач. Общим инструментарием для моделирования методом Монте-Карло в физике высоких энергий является комплекс программных библиотек CERNLIB и входящий в нее программный пакет математического моделирования GEANT - описание детекторов и моделирование физических процессов в физике высоких энергий.

Описано существующее состояние исследований теории переходного излучения, возникающего при движении заряженной частицы через пространственную границу сред с различными диэлектрическими свойствами. Проведен анализ публикаций.

Вторая глава посвящена построению алгоритма имитационного моделирования процесса парной коагуляции в пространственно однородном

случае- Моделирование проводится на уровне взаимодействия отдельных частиц. Обосновывается сходимость имитационной модели к разностным схемам, сходимость которых показана в главе 1. Приводятся результаты вычислительного эксперимента на основе имитационной модели процесса коагуляции для широкого класса интенсивностей взаимодействия частиц, а также сравнительный анализ полученных результатов.

Эволюция физических систем, состоящих из статистически большого количества сталкивающихся в процессе движения элементов, моделируется пространственно неоднородным уравнением болъцмановского типа:

где подлежащая отысканию функция г/"'(г, 4) описывает состояния физической системы в момент времени 4 > 0 в точках с пространственными координатами г = (г^,г^)- Множество п а р а м е т{ро воп и с ы -вает возможные состояния элементов физической системы. В уравнении (2.1) мы полагаем, что неотрицательная величина ш - это масса частиц системы. Величины € К** определяют скорость движения элементов физической системы между столкновениями, т. е. скорость свободного переноса.

Будем рассматривать случай дискретных масс. В этом случае Г2 = И, а оператор столкновений (коагуляции), стоящий в правой части уравнения, определяется соотношением:

При выводе уравнения (2.1) Смолуховский полагал, что есть

фактическое число частиц в момент времени Ь > 0, обладающих массой ш и находящихся в элементе пространства ¿г. Статистическое обоснование уравнения коагуляции показало, что функция имеет вероятностный характер. Смысл искомой функции объясняется в работах ВАГалкина. Для сравнения экспериментальных данных и полученных решений уравнения Смолуховского требуется точное понимание физического смысла функции

При построении математической модели процесса коагуляции на дисперсную систему налагаются следующие предположения физического ха-

рактера:

♦ частиц достаточно большое число, чтобы можно было применить функцию распределения числа частиц по массам;.

♦ дисперсная система настолько разрежена, что можно рассматривать лишь парные взаимодействия частиц, а взаимодействиями более высокого порядка можно пренебречь;

♦ частицы дисперсной системы образуют хаотическое множество.

Первое условие необходимо для возможности статистического описания системы. Второе условие вводится из следующих соображений. Процесс коагуляции представляет собой объединение нескольких частиц дисперсной системы в одну частицу. Вообще говоря, можно предполагать, что объединение нескольких частиц в одну может произойти в результате парных, двойных, тройных, четверных и т. д. взаимодействий. Однако если дисперсная система разрежена, то основной вклад в процесс эволюции системы под влиянием коагуляции вносят только парные взаимодействия, а тройные столкновения и т.д. при этом условии маловероятны, поэтому их вкладом пренебрегают. Третье условие необходимо, поскольку с точки зрения математического моделирования нам важно не учитывать изменения, вызванные актом коагуляции, при рассмотрении следующего акта коагуляции. А это есть условие хаотичности.

Рассмотрим модель, которая реализует процесс коагуляции на уровне взаимодействия отдельных частиц системы.

При имитационном моделировании процесса коагуляции рассматривается пространственно однородное уравнение, т. е. случай, когда отсутствуют пространственные координаты в случае дискретных масс, допуская, что массы частиц могут принимать только целые дискретные значения. Обозначим ш = г € N = П (натуральные числа), тогда уравнение (2.1) примет вид:

(1и- 1

¿Г = 2 ~ * £ (2-2)

Первая сумма в операторе Смолуховского описывает рождение частиц из всех возможных пар, которые при слиянии приводят к рождению частицы размера 1. Вторая сумма описывает гибель частиц размера 1 за счет парного взаимодействия.

Пусть в рассматриваемой системе каждой частице присвоен натуральный номер г (1 < г < ./V е М), и в каждый момент времени < (£ > 0) частица имеет массу е Z+. Таким образом, состояние системы из N частиц в момент времени задается вектором состояний следующего вида:

x{t) = (xl(t),...1xir(t))ez&.

Цель рассматриваемой модели состоит в определении состояния системы частиц в момент времени (t 4- т), где г — шаг по времени.

Будем рассматривать модель в предположении, что за промежуток времени г > 0 в системе коагулирует не более одной пары частиц. Определим эту пару частиц случайным образом, предполагая, что вероятность выбора каждой пары частиц одинаковая. Количество различных пар частиц системы, которые могут вступить во взаимодействие, равно С% = N(N — 1)/2. В этой записи мы учитываем, что в розыгрыше не участвуют пары, состоящие из двух одинаковых номеров, т.е. пары вида (г, г), а также мы полагаем, что розыгрыш пары (i,j) и пары (?,»), по сути, одно и то же. Таким образом, вероятность выбора каждой пары равна 1/С^.

Определение. Назовем коагуляцией пары частиц с номерами i и j (1 < t < j < N) в системе из N частиц, находящейся в состоянии х = (xi, ...,Xff) 6 Zjy, преобразование Aij : х ь-» х' = Л;,(х) € такое, что Х[ xi? если I ф i,j, и Xi Xi + Xj, Xj 0.

Паре сталкивающихся частиц с номерами i,j (г < j) в рассматриваемой системе взаимно однозначно сопоставим подстановку

f 1,2,..., i-1, г, i+l,...,j-l, j, j + l,...,N\ ,J \ 1,2,..., « - 1, j, i + 1,..., j - 1, i, j + 1,..., N J '

множество которых обозначим Очевидно, card (¿^(N)) = С%. Пусть

пара сталкивающихся частиц разыгрывается в каждый момент времени f„ = tit, г > 0, на основе независимого случайного выбора одной из подстановок 7Г € S2{N) с вероятностью Р{ж = тгц) = 1 ¡С\. Тем самым в рассматриваемой системе из N частиц моделируются хаос.

Пусть в каждый момент времени tn рассматриваются независимые случайные величины 7r(f), принимающие значения на Запись 7r(i) = 7Г,7-означает, что в момент времени t сталкиваются частицы с номерами t < j. Положим -A(?r(i)) — Aij, если ж(t) — обозначим Е - тождественное преобразование. Определим случайную величину щ (г < j), принимающую два значения - 0 и 1, где 1 означает коагуляцию сталкивающихся частиц с номерами i < j, а 0 - отсутствие коагуляции этих частиц.

Вероятность коагуляции частицы массы х,- с частицей массы Xj связана с ядром Ф(х^, Xj), фигурирующем в уравнении Смолуховского, числом.частиц N и шагом по времени г следующим образом :

Р = t{N)(N - 1)Ф(х<, Xj), Р< 1,

где запись т(./У) означает, что шаг по времени т в нашей модели зависит от числа частиц N. Отметим, что это выражение задает ограничение на шаг по времени. Величину т т{И) назовем временем столкновения и подчиним соотношению

Состояние системы в момент времени Ь + т определяется вектором состояний:

где первое значение вектора принимается с вероятностью Р, а второе - с вероятностью (1 — Р).

В данной главе обоснована сходимость результатов имитационного моделирования к решению задачи Коши для уравнения Смолуховского для пространственно однородного случая.

Исследуемая модель была реализована и протестирована на основе сравнительного анализа с точными решениями задачи Коши для уравнения Смолуховского для широкого класса интенсивностей взаимодействия частиц Ф(х, у).

Рассмотрим задачу Коши, для которой были вычислены аналитические решения.

= Ни ~ ь>1,ш1)и(ш - иъг)и(ш1,

(2.3)

оо

о

и(^,0) = ио(о;)>0. (2.4)

На рис. 1-3 приведены результаты имитационного моделирования, а также аналитические решения уравнения Смолуховского, которые приведены в тексте второй главы.

Основные результаты, полученные в третьей главе, относятся к математическому моделированию переходного излучения для физических экспериментов, в частности для идентификации частиц высоких энергий.

234 5 «7»» 10

i, мессе

Рис. 1: Графики, отражающие зависимость спектров распределения частиц по массам от времени для Ф(и,их) —w + ut, и0(ш) = ехр(—х):

-аналитическое решение задачи Коши (2.3),(2.4)

--вычислительный эксперимент (N = 500, 16 истории)

- • - вычислительный эксперимент {N = 500, 81 история)

Исследована математическая модель для расчетов переходного излучения на основе асимптотического приближения для релятивистских условий, переходного излучения в рентгеновской области в направлении, совпадающем с направлением движения заряженной частицы.

Создано программное обеспечение для моделирования переходного излучения в периодическом радиаторе, включающее алгоритм генерации переходного излучения с учетом интерференционных эффектов в слоях радиатора, алгоритм распространения переходного излучения в материале радиатора и на выходе из него. Программа моделирует переходное излучение в асимптотическом приближении и заполняет базу данных переходного излучения по параметрам: энергия параметры радиатора, положения радиатора. Данная база данных используется в основном моделировании методом Монте-Карло детектора переходного излучения для физических экспериментов.

Получены данные математического моделирования для широкого диапазона энергий заряженных частиц и переходного излучения, характерных для физических экспериментов. Данное программное обеспечение является частью программного обеспечения крупномасштабного эксперимента HERA-B - исследование СР-нарушения в системе b-мезонов на протонном накопительном кольце HERA.

о5 04 06 51 Г5 й

Рис. 2: Графики, отражающие зависимость концентрации частиц массы 1 от времени для Ф(ш,0>1) = О/Ы), щ(и) — 6„у.

-аналитическое решевие задачи Коти (2.3),(2.4)

--вычислительный эксперимент (4 истории)

- • - вычислительный эксперимент (36 историй)

Экспериментальные результаты, полученные в данном эксперименте, представляют существенный вклад, в частности впервые получено сечение рождения Ь-мезонов на энергии 920 МэВ. Внесен значительный вклад в детальное исследование рождения З^.

Переходное излучение впервые было предсказано И. М. Франком и В. Л. Гинзбургом в 1945 году. Оно возникает при прохождении заряженной частицы через границу раздела между двумя средами с различными диэлектрическими свойствами. В более общем случае переходное излучение есть результат трансформации электромагнитного поля движущейся заряженной частицы за счет разрывных диэлектрических свойств среды.

Волновая теория переходного излучения была развита в конце 1950-х Г. Гарибяном и другими, из которой следовало значительное усиление данного физического явления для заряженных частиц при релятивистских условиях.

В настоящее время это явление широко применяется в экспериментальной физике высоких энергий для идентификации элементарных частиц и диагностики пучков элементарных частиц.

В данной работе представлено математическое моделирование и исследование методом Монте-Карло физического явления переходного излучения, возникающего при пересечении заряженной частицей границы раз-

0.2 04 0.6 0.8 ¡5 ¡3 ГЗ Г?1

Рис. 3: Графики, отражающие зависимость относительного числа частиц от времени для Ф(ы,о)а) = 1, и(о>,0) = ехр(-и): -аналитическое решение задачи Каши (2.3),(2.4)

— — вычислительный эксперимент (4 истории)

- ■ - вычислительный эксперимент (81 история)

дела диэлектриков.

Метод Мопте-Карло является одним из важнейших методов, используемых в экспериментальной физике для математического моделирования физических явлении и экспериментальных установок.

Несмотря на широкое практическое использование переходного излучения в экспериментальных исследованиях его теоретическая и математическая модель требует серьезного развития, а практические цели - создания математического инструмента для анализа и моделирования данного явления и сопутствующих процессов. Метод Монте-Карло представляется в данном случае наиболее адекватным.

Математическое моделирование динамики заряжепных частил представляет совокупность нескольких процессов: возникновение переходного излучения, распространение переходного излучения в соответствующем пространстве.

Постулируются следующие свойства математической модели процесса возникновения и переноса переходного излучения:

• процесс возникновения излучения при движении заряженной частицы является марковским случайным процессом, однородным во времени;

• движение частиц в 3-х мерном пространстве происходит независимо

друг от друга, и они имеют эквивалентные вероятностные распределения;

• соответствующие энергетическое и пространственное распределения переходного излучения определяются и полностью описываются классическим представлением переходного излучения на основе уравнений Максвелла. Теория переходного излучения как электромагнитного явления взаимодействия заряда с веществом базируется на классической теории электромагнетизма Максвелла, позволяющей описывать явление трансформации электромагнитного поля при пересечении элементарным зарядом, движущимся равномерно и прямолинейно, границы раздела сред.

Для практических целей используется асимптотическое приближение для переходного излучения заряженной частицы, полученное Гарибяном на основе волнового подхода. Согласно этому, интенсивность переходного излучения в случае одной поверхности раздела, пересекаемой по нормали в интервале частот ¿и в телесном угле сШ, выражается следующем соотношением:

(РБр _ - £1|2дгга202Соя202

<1ш<И} 7г2с \£1СОЗд2 + — г^г^я^г!

(1 — Ру/ехЦх — е2М2«п20г - 0

2£2Ц2 -

г2)

(1 — Р2£2Ц2С08262)(1 — Ру/ефх — 2вгп262)

(3.1)

где комплексные диэлектрические постоянные сред,

магнитные проницаемости сред, которые в общем случае могут быть комплексными,

угол излучения относительно направления скорости частицы в среде 2, скорость света, п у

- релятивистская скорость частицы,

с

7 = Е/то(т — Лоренц фактор.

Применяя приближения для ультрарелятивистских частиц и малых углов для общего случая двух различных сред и используя соотношения «¿Г2 = е2

вгпвсШс1<р и а — уравнение (3.1) принимает вид: пс

В экспериментальных условиях наблюдать переходное излучение при прохождении частицы через одиночную границу достаточно сложно из-за его низкой интенсивности, пропорциональной электромагнитной константе. На практике заряженная частица пересекает по крайней мере две границы раздела, например, пластину или фольгу. Более того, интенсивность переходного излучения значительно усиливается в случае использования периодических структур сред с различными диэлектрическими свойствами, когда частица пересекает множество границ, например, набор тонких фольг из материала с малым Z, расположенных в воздухе на одинаковом расстоянии друг от друга.

Наряду с усилением интенсивности переходного излучения, необходимо принять во внимание интерференционные процессы между излучением от отдельных границ периодической структуры, которые приводят к модуляции интенсивности переходного излучения, полученных от одной границы, для разных частот.

Для периодической структуры из N параллельных фольг с диэлектрической постоянной расположенных на расстоянии друг от друга в среде с диэлектрической постоянной интенсивность переходного излучения при прохождении релятивистской частицы может Сыть представлена:

(3.3)

Интегрирование уравнения (3.1) ко всем углам было проведено Г. Га-рибяном. Множитель перед суммой определяет переходное излучение от одной границы, умноженное на число границ Ш. Сумма определяется влиянием интерференции между излучениями от отдельных границ периодической структуры.

Суммирование проводится по всем целым числам г из интервала гтт < г < гтах, где

■Ь(_

2ТГ7С V ^ + ¿2 )

(3.4)

Гтах — КгтЫ' (3.5)

Значения гт^„ и гтах определяют область, где существует интерференция излучения от нескольких границ, так как с изменением фазы интерференция исчезает, на близких же расстояниях волны еще нельзя разделить, в силу этого интерференции не будет.

Для каждого значения г Е [»•„„„, гтах] выражение (3.3) имеет смысл только в интервале частот:

(3-6)

Наибольший вклад в соотношение (3.3) дают величины близкие к

Выражения (З.З)-(З.б) являются основными формулами при моделировании переходного излучения.

На рис. 4 представлено моделирование спектров рентгеновского переходного излучения для периодических гетерогенных структур с учетом интерференционных эффектов, для параметра 7 = 100...8000. Интерференционные эффекты приводят к появлению резонансных максимумов в спектре переходного излучения и ограничению максимально возможной энергии переходного излучения. Энергетический максимум переходного, излучения, определяемый как положение интерференционного максимума с максимально возможной энергией, находится в области 10 кэВ.

Моделирование распространения фотонов переходного излучения в веществе периодической структуры осуществляется с учетом соответствующих процессов. Прохождение фотонов через среду характеризуется несколькими основными процессами взаимодействия с веществом, основными из которых являются фотоэффект, когерентное рассеяние, комптоновское рассеяние.

С целью моделирования процесса фотопоглощения в программное обеспечение включена база данных коэффициента фотопоглощения для различных материалов в соответствии с данными NIST (Американский институт стандартов), а также программа расчета коэффициента фотопоглощения для составных сред.

Рис. 4: Распределение интенсивности переходного излучения для периодической структуры с учетом интерференционных эффектов (7 = 100, 200, 400, 1200, 2000, 4000, 8000).

Спектры переходного излучения на выходе периодической структуры с учетом процессов поглощения приведены на рис. 5

Рисунок 6 показывает угловое распределение переходного излучения, направыленного вперед, в зависимости от энергии проходящей частицы.

Сравнительный анализ полученных при моделировании данных с экспериментальными данными показал, что данная модель является адекватной математической моделью переходного излучения в реальных ситуациях для экспериментов в области релятивистских энергий, использующихся при создании крупномасштабных физических экспериментальных установок.

Получены данные математического моделирования для широкого диапазона энергий заряженных частиц и переходного излучения, характерных для физических экспериментов. Созданное программное обеспечение является частью программного обеспечения крупномасштабного эксперимента HERA-B. Важно отметить, что тестирование данной модели показало, что отличие между моделированными спектрами и экспериментальными данными не превышает 5 - 10 %.

В заключении приведены краткие выводы по теме диссертации.

I ТО 102

Энергия фотона переходного излучения, кзВ

Рис. 5: Распределение интенсивности переходного излучения на выходе периодической структуры с учетом процессов поглощения фотонов переходного излучения (7 — 100, 200, 400, 1200, 2000, 4000, 8000).

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Исследована новая модель пространственно однородного процесса коагуляции в дисперсных системах, в основе которого лежит уравнение Смолуховского. Обоснована математическая корректность исследуемой модели парной коагуляции. Разработан алгоритм исследуемой модели процесса коагуляции, основанный на имитационном моделировании, который был реализован на персональном компьютере и на вычислительных кластерах. Реализованная модель парной коагуляции в пространственно однородном случае может быть применена для моделирования динамики облаков, распределения пор и газовых пузырьков в твердом теле, а также роста кристаллов.

2. Проведен вычислительный эксперимент на основе имитационной модели процесса коагуляции для широкого класса интенсивностей взаимодействия частиц и проведен сравнительный анализ полученных результатов, выполнено тестирование вычислительных экспериментов. Впервые проведено детальное сравнение спектров распределения частиц по массам с точными решениями уравнения Смолуховского, что дает более точное понимание смысла функции-решения уравнения Смолуховского.

450 -

0, мрад

Рис. 6: Угловое распределение рентгеновского переходного излучения в направлении вперед, произведенного заряженной релятивистской частицей при пересечении границы раздела среда-вакуум (7 = 100, 200, 400, 1200, 2000, 4000, 8000).

3. Исследована модель переходного излучения, на основе асимптотического приближения для релятивистских условий, которая связана с возможностью идентификации ультрарелятивистских заряженных частиц и созданием детекторов переходного излучения.

4. Создано программное обеспечение для имитационного моделирования переходного излучения в периодическом радиаторе с учетом интерференционных эффектов в слоях радиатора. Следует подчеркнуть однородность вычислительного алгоритма, что позволяет легко использовать данный алгоритм в различных экспериментах. Разработан алгоритм и база данных для расчетов распространения переходного излучения в различных материалах.

5. Впервые получены результаты по исследованию математической модели переходного излучения для экспериментальных условий по исследованию СР нарушения в системе b-мезонов на протонном накопительном кольце HERA. Впервые получены расчеты математического моделирования переходного излучения.

6. Научные результаты внедрены в комплекс программного обеспечения крупномасштабного международного физического эксперимента

HERA-B - исследование СР-нарушения в системе b-мезонов на протонном накопительном кольце HERA. Эксперимент HERA-B характеризуется сложной геометрией системы, существенной неоднородностью параметров. Тестирование данной модели показало, что отличие между моделированными спектрами и экспериментальными данными не превышает 5 - 10 %.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. HERA-B Collaboration (Ryzhikov D.) Measurement of the bb production cross section in 920 GeV fixed-target proton-nucleus collisions // The European Physical Journal C, Volume 26, Number 3, January 2003, p. 345 -355.

2. HERA-B Collaboration (Ryzhikov D.) J/Ф production via decays in 920 GeV pA interactions // Physics Letters В Volume 561, Issues 1 - 2, 22 May 2003, Pages 61-72.

3. HERA-B Collaboration (Ryzhikov D.) Inclusive V° production cross sections from 920 GeV fixed target proton-nucleus collisions // The European Physical Journal C, Volume 29, Number 2, July 2003, p. 181 - 190.

4. Galkin V. A., Ryzhikov D. A. Mathematical simulation of cluster growth based on Vlasov - Liouville - Maxwell equations in media, possessing discontinuity of dielectric parameter // Proc. of 5-th Int. Conference "Single Crystal Growth and Heat & Mass Transfer" (ICSC 2003), Obninsk, September 22 - 26, 2003, Vol. 2, p. 592 - 601.

5. Галкин В. А., Рыжиков Д. А., Савельев В. И. Моделирование спектров излучения заряженных частиц, движущихся в гетерогенных средах // Известия высших учебных заведений. Ядерная энергетика. -2004. - № 2. - С. 3-11.

ЛР №020713 от 27.04.1998

Подписано к печати 29.03.2004 Формат бум. 60 х 84/16 Печать офсетная Бумага офсетная Печ. л. 1,5 Заказ № 4 09 Тираж_экз.

Множительная лаборатория ИАТЭ, 249040. г. Обнинск, Студгородок, 1

(î - 6 6 4 О

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ, СВЯЗАННЫХ С МОДЕЛИРОВАНИЕМ ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА

ИЗЛУЧЕНИЯ И ВЕЩЕСТВА.

1.1 Исследование процесса коагуляции.

1.2 Классы корректности.

1.2.1 Задача Коши для уравнения Смолуховского с ограниченными ядрами.

1.2.2 Задача Коши для уравнения Смолуховского с неограниченными ядрами.

1.3 Разностный метод решения уравнения Смолуховского.

1.4 Имитационное моделирование.

1.5 Математическое моделирование переходного излучения

1.6 Выводы по главе.

2. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ПРОЦЕССА КОАГУЛЯЦИИ.

2.1 Процесс коагуляции.

2.2 Подготовка начальных данных.

2.3 Имитационная модель процесса коагуляции.

2.4 Аналитические решения задачи Коши для уравнения Смолуховского.

2.5 Результаты тестирования имитационной модели.

2.6 Выводы по главе.

3. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

В ФИЗИКЕ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ.

3.1 Математическое моделирование переходного излучения » в физике высоких энергий.

3.2 Теоретическое обоснование.

3.3 Расчет плотности вероятности переходного излучения

3.4 Вывод формулы для периодической структуры.

3.5 Математическое моделирование.

3.6 Выводы по главе.

Диссертационная работа посвящена исследованию двух физических явлений переноса излучения и вещества:

1. пространственно однородная коагуляция в дисперсных системах;

2. движение заряженной частицы в средах с различными диэлектрическими свойствами.

Для исследования данных явлений используется имитационное моделирование, основанное на методе Монте-Карло [32, 47].

Объектом исследования диссертационной работы являются сложные системы взаимодействующих между собой частиц в процессе их движения. Предметом исследования являются кинетические системы, численные и имитационные методы моделирования процессов переноса излучения в системах релятивистских заряженных частиц и процессов переноса вещества в дисперсных системах.

Актуальность темы диссертации определяется необходимостью тестирования и обоснования имитационного моделирования (на основе метода Монте-Карло) процессов переноса излучения и вещества в дисперсных системах и через границу раздела нескольких сред, испытывающих скачок диэлектрических и магнитных параметров на границе раздела.

Интерес к процессу переноса вещества (процесс коагуляции) [5, 98] обусловлен исследованиями в метеорологии, астрономии, теории реакторов на быстрых нейтронах. Процесс коагуляции оказывает воздействие на рост кристаллов в растворах, рост газовых пузырьков и пор в твердом теле. Уравнение коагуляции было получено выдающимся польским физиком М. Смолуховским [46] в 1916 г. при исследовании эволюции слипающихся частиц в электролитах.

Явление коагуляции наблюдается в различных физических ситуациях: в растворах - броуновская коагуляция, при образовании капель дождя - гравитационная коагуляция.

Важность математического моделирования процесса коагуляции, основанного на применении уравнения Смолуховского, обусловлена тем, что существуют ситуации, когда у уравнения нет классического решения. Поэтому имитационное моделирование пространственно однородного процесса коагуляции имеет большое прикладное значение.

Актуальность исследования процессов переноса излучения (переходное излучение) [25, 75] обусловлена применением в полномасштабных натурных экспериментах детекторов переходного излучения для идентификации частиц. Процессы, описывающие возникновение переходного излучения, не включены в стандартное программное обеспечение физики высоких энергий, в частности GEANT3 - описание и моделирование детекторов и взаимодействий в физике высоких энергий.

В основе исследования процессов переноса излучения лежит работа В. JI. Гинзбурга и И. М. Франка 1945 года [75] о возникновении так называемого переходного излучения. Данная теория заложила основу теоретических и экспериментальных исследований в физике высоких энергий, связанных с возможностью идентификации ультрарелятивистских заряженных частиц и созданием детекторов переходного излучения. Детекторы переходного излучения применяются в крупномасштабных международных экспериментах в физике высоких энергий, одним из которых является эксперимент HERA-B - исследование CP-нарушения в системе В-мезонов на ускорительном кольце HERA.

Целью данной работы является разработка и реализация программного обеспечения для моделирования процессов переноса излучения и вещества в коагулирующих системах и системах релятивистских заряженных частиц, основанного на имитационном моделировании, и проведение вычислительного эксперимента.

В рамках исследуемой проблемы следует выделить основные задачи:

1. разработка и реализация алгоритма математической модели процессов коагуляции (слипания) частиц, описываемых уравнением Смолуховского;

2. исследование пределов аппроксимации по методу Монте-Карло для решения нелинейных кинетических уравнений типа Больц-мана;

3. обоснование и сравнение точности тестовых расчетов результатов имитационного моделирования процесса парной коагуляции с точными решениями;

4. создание программного обеспечения для моделирования переходного излучения в периодическом радиаторе с учетом интерференционных эффектов.

Методами исследования являются:

• вычислительный эксперимент;

• проведение тестирования вычислительного эксперимента;

• параллельные вычисления;

Основные положения, выносимые автором на защиту:

1. Алгоритм имитационной модели процесса парной коагуляции в пространственно однородном случае.

2. Программная реализация алгоритма имитационной модели процесса парной коагуляции на персональном компьютере и на вычислительных кластерах.

3. Проведение вычислительного эксперимента на основе имитационной модели процесса коагуляции для широкого класса интенсив-ностей взаимодействия частиц и проведение сравнительного анализа полученных результатов.

4. Программное обеспечение для математического моделирования переходного излучения для релятивистских условий для крупномасштабного физического эксперимента.

5. Алгоритм и база данных для расчетов распространения переходj ного излучения в различных материалах.

Достоверность научных положений, выводов. Научные положения и выводы, сформулированные в диссертации, обоснованы теоретическими решениями и экспериментальными данными, полученными в работе, не противоречат известным положениям физико-математических наук, базируются на сравнительном анализе результатов вычислительного эксперимента. Достоверность результатов обусловлена проведением тестирования вычислительного эксперимента на основе сравнительного анализа с точными решениями и физическим экспериментом. На основе моделирования переходного излучения был смоделирован детектор для крупномасштабного эксперимента.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Исследована новая модель пространственно однородного процесса коагуляции в дисперсных системах, основанного на применении уравнения Смолуховского.

2. Создано программное обеспечение для моделирования процесса парной коагуляции на основе имитационного моделирования.

3. Обоснована математическая корректность исследуемой модели парной коагуляции.

4. Впервые проведено детальное сравнение спектров распределения частиц по массам с точными решениями уравнения Смолухов-ского.

5. Исследована модель переходного излучения на основе асимптотического приближения для релятивистских условий.

6. Создано программное обеспечение для имитационного моделирования переходного излучения в периодическом радиаторе с учетом интерференционных эффектов в слоях радиатора.

7. Впервые получены результаты по исследованию математической модели переходного излучения для экспериментальных условий по исследованию CP нарушения в системе b-мезонов на протонном накопительном кольце HERA.

8. Впервые получены расчеты математического моделирования переходного излучения для экспериментальных исследований CP нарушения в системе b-мезонов на протонном накопительном кольце HERA.

9. Научные результаты внедрены в комплекс программного обеспечения крупномасштабного международного физического эксперимента HERA-B - исследование CP-нарушения в системе Ь-мезонов на протонном накопительном кольце HERA. Важно отметить, что эксперимент HERA-B характеризуется следующими параметрами:

• сложной геометриеи системы;

• существенной неоднородностью параметров.

Практическая значимость работы состоит в следующем:

• проведено детальное сравнение спектров распределения частиц по массам с точными решениями уравнения Смолуховского, что дает более точное понимание смысла функции-решения уравнения Смолуховского;

• реализованная модель парной коагуляции в пространственно однородном случае может быть применена для моделирования динамики облаков, распределения пор и газовых пузырьков в твердом теле, а также роста кристаллов;

• реализована математическая модель переходного излучения для периодического радиатора с учетом интерференционных эффектов в слоях радиатора;

• результаты моделирования использованы для расчета детектора переходного излучения для крупномасштабного международного эксперимента HERA-B.

Личный вклад автора. Наиболее существенными научными результатами, полученными лично соискателем, являются:

• алгоритм имитационной модели процесса коагуляции в пространственно однородном случае, программная реализация алгоритма;

• вычислительный эксперимент имитационной модели процесса коагуляции для широкого класса интенсивностей взаимодействия;

• сравнительный анализ полученных данных, тестирование вычислительных экспериментов;

• детальное исследование модели переходного излучения для релятивистского приближения;

• программа расчета переходного излучения для широкого диапазона энергий заряженных частиц и переходного излучения;

• тестирование вычислительных экспериментов;

• анализ результатов, участие в экспериментальных исследованиях, математическом моделировании и анализе данных крупномасштабного эксперимента HERA-B.

Публикации. Основные-публикации по теме диссертации

1. HERA-В Collaboration (Ryzhikov D.) Measurement of the bb production cross section in 920 GeV fixed-target proton-nucleus collisions // The European Physical Journal C. -2003. - Volume 26, Number 3. -P. 345-355.

2. HERA-B Collaboration (Ryzhikov D.) «7/Ф production via decays in 920 GeV pA interactions // Physics Letters B. - 2003. - Volume 561, Issues 1-2. - P. 61-72.

3. HERA-B Collaboration (Ryzhikov D.) Inclusive V° production cross sections from 920 GeV fixed target proton-nucleus collisions // The European Physical Journal C. - 2003. - Volume 29, Number 2. -P. 181-190.

4. Galkin V. A., Ryzhikov D. A. Mathematical simulation of cluster growth based on Vlasov - Liouville - Maxwell equations in media, possessing discontinuity of dielectric parameter // Proc. of 5-th Int. Conference "Single Crystal Growth and Heat & Mass Transfer" (ICSC 2003), Obninsk, September 22 - 26, 2003. - Vol. 2. - P. 592 - 601.

5. Галкин В. А., Рыжиков Д. А., Савельев В. И. Моделирование спектров излучения заряженных частиц, движущихся в гетерогенных средах // Известия высших учебных заведений. Ядерная энергетика. - 2004. - № 2. - С. 118-125.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались диссертантом на следующих научных конференциях и семинарах:

• Международная конференции "Математические идеи П. JI. Че-бышева и их приложение к современным проблемам естествознания" , г. Обнинск, 14 - 18 мая 2002 г.

• Fifth International Conference "Single Crystal Growth and Heat & Mass Transfer" (ICSC 2003), Obninsk, Russia, September 22 - 26, 2003.

• Международный семинар "Супервычисления и математическое моделирование", г. Саров, 6-11 октября 2003 г.

• Международная конференция "Математическое моделирование и высокопроизводительные вычисления", г. Обнинск, 28 - 30 января 2004 г.

• HERA-B Analysis Meeting, DESY, Hamburg, Germany, 26 November 2002.

• HERA-B Week, Glueball Working Group, DESY, Hamburg, Germany, August 27th 2003.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Работа изложена на 142 страницах, в том числе основного текста 131страниц, 14 рисунков, список литературы из 104 наименованиях на 11 страницах.

Основные результаты, полученные в данной главе, относятся к математическому моделированию переходного излучения для физических экспериментов, в частности для идентификации частиц высоких энергий.

Разработана математическая модель для расчетов переходного излучения на основе асимптотического приближения для релятивистских условий, переходного излучения в рентгеновской области в направлении, совпадающем с направлением движения заряженной частицы.

Создано программное обеспечение для моделирования переходного излучения в периодическом радиаторе, включающее алгоритм генерации переходного излучения с учетом интерференционных эффектов в слоях радиатора, алгоритм распространения переходного излучения в материале радиатора и на выходе из него.

Получены данные математического моделирования для широкого диапазона энергий заряженных частиц и переходного излучения, характерных для физических экспериментов.

Научные результаты внедрены в комплекс программного обеспечения крупномасштабного международного физического эксперимента HERA-B - исследование CP-нарушения в системе b-мезонов на протонном накопительном кольце HERA. Эксперимент HERA-B характеризуется сложной геометрией системы, существенной неоднородностью параметров. Тестирование данной модели показало, что отличие между моделированными спектрами и экспериментальными данными не превышает 5 - 10 %.

Экспериментальные результаты, полученные в данном эксперименте, представляют существенный вклад, в частности впервые получено сечение рождения b-мезонов на энергии 920 ГэВ, внесен значительный вклад в детальное исследование рождения «7/Ф.

Результаты представлены на коллаборационных собраниях эксперимента HERA-В.

• HERA-B Analysis Meeting, DESY, Hamburg, Germany, 26 November 2002.

• HERA-B Week, Glueball Working Group, DESY, Hamburg, Germany, August 27th 2003.

Результаты исследований опубликованы в реферируемых журналах

• HERA-B Collaboration (Ryzhikov D.) Measurement of the bb production cross section in 920 GeV fixed-target proton-nucleus collisions // The European Physical Journal C. - 2003. - Volume 26, Number 3. - P. 345-355.

• HERA-B Collaboration (Ryzhikov D.) J/Ф production via decays in 920 GeV pA interactions // Physics Letters B. - 2003. - Volume 561, Issues 1-2. - P. 61-72.

• HERA-B Collaboration (Ryzhikov D.) Inclusive V° production cross sections from 920 GeV fixed target proton-nucleus collisions // The European Physical Journal C. - 2003. - Volume 29, Number 2. -P. 181-190.

• Галкин В. А., Рыжиков Д. А., Савельев В. И. Моделирование спектров излучения заряженных частиц, движущихся в гетерогенных средах // Известия высших учебных заведений. Ядерная энергетика. - 2004. - № 2, С. 118 - 125.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертационной работе рассмотрены вопросы применения имитационного моделирования, основанного на методе Монте-Карло, для исследования процессов переноса излучения и вещества в дисперсных системах и через границу раздела нескольких сред, испытывающих скачок диэлектрических и магнитных параметров на границе раздела. В качестве основных результатов можно выделить следующие:

1. исследована новая модель пространственно однородного процесса коагуляции в дисперсных системах, в основе которого лежит уравнение Смолуховского. Обоснована математическая корректность исследуемой модели парной коагуляции. Разработан алгоритм исследуемой модели процесса коагуляции, основанный на имитационном моделировании, который был реализован на персональном компьютере и на вычислительных кластерах. Реализованная модель парной коагуляции в пространственно однородном случае может быть применена для моделирования динамики облаков, распределения пор и газовых пузырьков в твердом теле, а также роста кристаллов;

2. проведен вычислительный эксперимент на основе имитационной модели процесса коагуляции для широкого класса интенсивностей взаимодействия частиц и проведен сравнительный анализ полученных результатов, выполнен бенчмарк вычислительных экспериментов. Впервые проведено детальное сравнение спектров распределения частиц по массам с точными решениями уравнения Смолуховского, что дает более точное понимание смысла функции-решения уравнения Смолуховского;

3. исследована модель переходного излучения, на основе асимптотического приближения для релятивистских условий, которая связана с возможностью идентификации ультрарелятивистских заряженных частиц и созданием детекторов переходного излучения;

4. создано программное обеспечение для имитационного моделирования переходного излучения в периодическом радиаторе с учетом интерференционных эффектов в слоях радиатора. Следует подчеркнуть однородность вычислительного алгоритма, что позволяет легко использовать данный алгоритм в различных экспериментах. Разработан алгоритм и база данных для расчетов распространения переходного излучения в различных материалах;

5. впервые получены результаты по исследованию математической модели переходного излучения для экспериментальных условий по исследованию CP нарушения в системе b-мезонов на протонном накопительном кольце HERA. Впервые получены расчеты математического моделирования переходного излучения;

6. научные результаты внедрены в комплекс программного обеспечения крупномасштабного международного физического эксперимента HERA-B - исследование CP-нарушения в системе Ь-мезонов на протонном накопительном кольце HERA. Эксперимент HERA-В характеризуется сложной геометрией системы, существенной неоднородностью параметров. Тестирование данной модели показало, что отличие между моделированными спектрами и экспериментальными данными не превышает 5 - 10 %.

1. Аплин С. Дж., Савельев В. И. Моделирование переходного излучения для периодических и пространственно распределенных структур // Известия высших учебных заведений. Ядерная энергетика. - 2002. - № 1. - С. 103-114.

2. Багдасарова И. Р., Галкин В. А. Моделирование процесса коагуляции в пространственно однородном случае // Математическое моделирование. 1999. - Т. 11, № 6. - С. 82-112.

3. Болотовский Б. М. Путь формирования и его роль в излучении движущихся зарядов // Труды ФИАН. 1982. - Т. 140. - С. 95.

4. Волощук В. М., Седунов Ю. С. Процессы коагуляции в дисперсных системах. JI.: Гидрометеоиздат, 1975. - 320 с.

5. Галкин В. А. Уравнение Смолуховского. М.: Наука. Физматлит, 2001. - 336 с.

6. Галкин В. А. Уравнение Смолуховского для пространственно неоднородных систем // ДАН СССР. 1985. - Т. 285, № 5. -С. 1087-1091.

7. Галкин В. А. Обобщенное решение уравнения Смолуховского для пространственно неоднородных систем // ДАН СССР. 1987. -Т. 293, № 1. - С. 74-77.

8. Галкин В. А. О решении уравнения коагуляции с ядром Ф = ху // Метеорология и гидрология. 1984. - № 5. - С. 33-39.

9. Галкин В. А. Решение уравнений, связанных с физической кинетикой // ДАН СССР. 1988. - Т. 298, № 1. - С. 1362-1367.

10. Галкин В. А. Функциональные решения законов сохранения // ДАН СССР. 1990. - Т. 310, № 4. - С. 834-839.

11. Галкин В. А. Итерационный метод решения одного класа эволюционных уравнений,связанных с физической кинетикой // ЖВМ и МФ. 1981. - Т. 21, № 2. - С. 385-399.

12. Галкин В. А. О существовании и единственности решения уравнения коагуляции // Дифференциальные уравнения. 1977. - Т. 13, № 8. - С. 1460-1470.

13. Галкин В. А. Об устойчивости и стабилизации решения уравнения коагуляции j j Дифференциальные уравнения. 1978. - Т. 14, № 10. - С. 1863-1874.

14. Галкин В. А. Методы расчета задач физической кинетики. Обнинск: из-во МИФИ, 1981. - 60 с.

15. Галкин В. А. Теория функциональных решений квазилинейных систем законов сохранения и ее приложения // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1997. - № 20. - С. 81-120.

16. Галкин В. А. Сходимость разностных схем и метода непосредственного моделирования к решениям уравнения Смолуховского кинетческой теории коагуляции // Доклады РАН. 2004. -Т. 397, № 1.

17. Галкин В. А., Забудько М. А. Точные и численные решения уравнений теплопроводности и кинетических уравнений // Известиявысших учебных заведений. Ядерная энергетика. 2000. - № 1.- С. 19-28.

18. Галкин В. А., Рыжиков Д. А., Савельев В. И. Моделирование спектров излучения заряженных частиц, движущихся в гетерогенных средах // Известия высших учебных заведений. Ядерная энергетика. 2004. - № 2. - С. 118-125.

19. Галкин В. А., Тупчиев В. А. О разрешимости в среднем систем квазилинейных законов сохранения // ДАН СССР. — 1988. -Т. 300, № 6. С. 1300-1304.

20. Галкин В. А., Тупчиев В. А. Об асимптотическом поведении решения уравнения коагуляции // Труды института экспериментальной метеорологии. Сер. Физика нижней атмосферы. 1978.- вып. 1972. С. 31-41.

21. Гарибян Г. М., Чаликян Г. А. Излучение от заряженной частицы пересекающей пластину // ЖЕТФ. 1958. - Т. 35. - С. 1282.

22. Гарибян Г.М. Эффекты переходного излучения в энергетических потерях частицы // ЖЕТФ. 1959. - Т. 37. - С. 527 -533.

23. Гарибян Г. М., Геворкян JI. А., Янг С. Рентгеновское переходное излучение, образуемое в нерегулярной среде // ЖЕТФ. 1974.- Т. 66. вып. 2. - С. 552.

24. Гинзбург В. и Франк И. Излучение равномерно движущегося электрона, возникающее при его переходе из одной среды в другую // ЖЭТФ. 1946. - Т. 16, вып. 1. - С. 15.

25. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1977. - 440 с.

26. Головин А. М. К вопросу о решении уравнения коагуляции дождевых капель с учетом конденсации // ДАН СССР. 1963. -Т. 148, № 6. - С. 1290-1293.

27. Головин А. М. Решение уравнения коагуляции облачных капель в восходящем потоке воздуха // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. -1963. № 5. - С. 783-791.

28. Головин А. М. О спектре коагулирующих облачных капель // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1963. - № 9. - С. 438-1447.

29. Головин А. М. О кинетическом уравнении коагулирующих облачных капель с учетом конденсации. 3 // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1963. - № 10. - С. 1571-1580.

30. Горнов М. Г., Ильин A. JL, Печкуров В. А., Савельев В. И., Сергеев Ф. М. Устройство для измерения заряженных частиц. АС 1452345. 1988.

31. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1971. - 328 с.

32. Зрелов В. П., Ружичка Я. Некоторые особенности оптического переходного излучения от частиц высоких энергий при наклонном падении // ОИЯИ. 1977. - Р1-10915.

33. Карлеман Т. Математические задачи кинетической теории газов. Перев. с франц М.: ИЛ, 1960. - 120 с.

34. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 624 с.

35. Мартынов Г. А., Баканов С. П. О решении кинетического уравнения коагуляции // М.: Из-во АН СССР. В кн: Исследования в области поверхностных сил, 1961. С. 220-229.

36. Метод Монте-Карло в проблеме переноса излучения / Под ред. Марчука Г. И. М.: Атомиздат, 1967. - 255 с.

37. Пафомов В. Е. Излучение от электрона пересекающего пластину // ЖЕТФ. 1957. - Т. 33. - С. 1074.

38. Пафомов В. Е. Излучение заряженной частицы при наличии границ раздела // Труды ФИАН. 1969. - Т. 44. - С. 28.

39. Повзнер А. Я. Об уравнении Больцмана кинетической теории газов // Матем. сборник. 1962. - Т. 58, № 1. - С. 65-86.

40. Рудин У. Функциональный анализ. Перев. с англ. М.: Мир, 1975. - 443 с.

41. Савельев В. И. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент в ядерно-физических исследованиях // Известия высших учебных заведений. Ядерная энергетика. 2002. -№ 1. - С. 89-102.

42. Савельев В. И. Математическое моделирование переходного излучения // Математическое моделирование. 2001. - Т. 14, № 11. - С. 93-112.

43. Сафронов В. С. Частный случай решения уравнения коагуляции // ДАН СССР. 1962. - Т. 147, № 1. - С. 64-67.

44. Сафронов В. С. Эволюция допланетарного облака и образование Земли и планет. М.: Наука, 1969. - 244 с.

45. Смолуховский М. Опыт математической теории кинетики коагуляции коллоидных растворов // М.: ОНТИ, в кн: Коагуляция коллоидов, 1936. С. 7-39.

46. Соболь И. М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973. - 311 с.

47. Степанов А. С. К выводу уравнения коагуляции // Труды ИЭМ.- 1971. вып. 23. - С. 3-16 .

48. Степанов А. С. Вывод уравнения коагуляции для броуновски движущихся частиц // Труды ИЭМ. 1971. - вып. 23. - С. 42-64.

49. Степанов А. С. Кинетическое уравнение диффузионного роста капель // Изв. АН СССР , Физ. атмосферы и океана. 1972. -Т. 8, № 8. - С. 853-865.

50. Тер-Микаэлян М. JI. Влияние среды на электромагнитные процессы при высоких энергиях. Ереван, 1969.

51. ТУницкий Н. Н. О коагуляции поли дисперсных систем / / ЖЭТФ.- 1938. Т. 8, вып. 4. - С. 418-424.

52. Тупчиев В. А. Об асимптотических свойствах решения уравнения коагуляции // Труды ИЭМ. 1971. - вып. 23. - С. 17-27.

53. Филиппов А. Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями // Мат. сб. 1960. - Т. 51, № 4. -С. 101-128.

54. Чандрасекар С. Стохастические проблемы в физике и астрономии. Перев. с англ. М.: ИЛ, 1947. - 168 с.

55. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. Перев. с англ. М.: Мир, 1973. - 250 с.

56. Andronic A. Transition Radiation Detector study // GSI note, 2000.

57. Apostolakis J., Giani S., Maire S., Bagulya A. V., Grichine V. M. Parametrization Models for X-ray transition Radiation in the GEANT4 package // Сотр. Phys. Comm. 2000. - 132.

58. Aplin S. J., Egorytchev V., Saveliev V. Particle Identification via Transition Radiation and Detectors // Nucl. Instr. and Meth. A. -2000. V. 453, № 1-2. - P. 346-352.

59. Appuhn R. D., Lange E., Oedingen R., Paul E. Monte Carlo Simulation of Transition Radiation and S electrons // BONN-HE-88-02. 1988.

60. Artru X., Yodh G. В., Mennesier G. Practical theory of the multilay-ered transition radiation detector // Phys. Rev. D. 1975. - V 12, № 5. - P. 1289-1306.

61. Bass F. G. and Yakovenko V. M. Theory Of Radiation from a Charge Passing through an Electrically Inhomogeneous Medium // Usp. Fiz. Nauk. 1965. - Vol 8. - P. 420.

62. Berry E. X. Cloud droplet growth by collection // Journal of the Atmospheric Sciences. 1967. - V. 24. - P. 688-701.

63. Besfamilnov S., Dolgoshein В., Saveliev V., Romaniouk A. Transition Radiation Detectors for HERA-B experiment // HERA-B 93-001, DESY. 1993.

64. Brun R., Bruyant F. McPherson A. C., Zanarini P. GEANT Detector Description and Simulation Tool // DD/EE/84-1, CERN. -1987.

65. Castellano M. et al., IEEE Particle Accelerator Conference (РАС 99), New York, NY, 29 Mar-2 Apr 1999.

66. CERN CERN Programm Library. CERN, CN Division.

67. Cherry M. L., Hartman G, Muller D., Prince T. A., Transition radiation from relativestic electrons in periodic radiator //Phys. Rev. D.- 1974. V 10, № 11. - P. 3594-3607.

68. Cherry V. L. Measurements of the spectrum and energy dependence of x-ray transition radiation // Phys. Rev. D. 1978. - V. 17, № 9.- P. 2245-2260.

69. Chin E. H. C., Neifurger M. A. A numerical simulation of gravitational coagulation process for cloud droplets // Journal of the Atmospheric Scienses. 1972. - V. 19. - P. 718-727.

70. Dolgoshein B. Transiotion Radiation Detectors and Particle Identification // Nucl. Instr. and Meth. A. 1986. - V. 252, № 2-3. -P. 137-144.

71. Ducors Y., Feinstein F., Hubburd J. R., at al. Monte Carlo simulation of the Performance of the DO Transitio Radiation Detector // Nucl. Instr. and Meth. A. 1989. - V. 277, № 2-3. - P. 401-406.

72. Durand L. Transition Radiation from Ultrarelativistic particles // Phys. Rev. D. 1975. - V. 11, № 1. - P. 89-105.

73. Egorytchev V., Saveliev V. Monte Carlo Simulations of Transition Radiation and Electron Identification for HERA-B // Preprint ITEP.- 1999. № 11.

74. Frank I. and Ginzburg V. Radiation of a uniformly moving electron due to its transition from one medium into another // Journ. Phys. USSR 1945. - Vol 9. - P. 353.

75. Frank I. M. Transition Radiation and Optical Properties of Matter // Soviet Physics Uspehi. 1966. - V. 8, № 5. - P. 729.

76. Galkin V. A. Convergence and numerical stability of approximate methods for conservation laws // World Scientific Publishing Co. International Journal of Modern Physics C. 1994. - V. 5, № 2. -P. 207-214.

77. Garibian G. M. Contribution to the theory of transition radiation // Sov. Phys. JETP. 1958. - V. 6. - P. 1079.

78. Garibian G. M. Transition Radiation Effects in Particle Energy Losses // Sov. Phys. JETP. 1960. - V. 10. - P. 372.

79. Garibian G. Radiation from a Charged particle Traversing a Layered Medium // Sov. Phys. JETP. 1986. - V. 35(8), № 6. - P. 1003.

80. Ginzburg V. L. and Tsytovich V. N Several problems of the theory of transition radiation and transition scattering // Phys. Rep. 1979. - V.49, № 1. - P. 1-89.

81. Hall A. On an experiment determination of it // Messeng. Math. -1873. 2. -P. 113-114.

82. Maziotta M. N. A Monte Carlo Code for Full Simulation of a Transition Radiation Detector // Comput. Phys. Comm. 2000.

83. Melzak Z. A. A scalar transport education // Trans. Amer. Math. Soc. 1957. - V. 85. - P. 547-566.

84. Melzak Z. A. The effect of coalescence in certain collision processes // Quart. Appl. Math. 1953. - V. 2, № 2. - P. 231-234.

85. Metropolis N., Ulam S. The Monte Carlo method // J. Amer. Stat. Assoc. 1949. - V. 44, № 247. - P. 335-341.

86. Morgenstern D. Analytical studies related to the Maxwell-Boltzmann equation // Journal of Rational Mechanics and Analysis. 1955. -V. 4. - P. 533-554.

87. Muller H. Zar allgemeinen theoric cler rashen Koagulation // Kol-loidchem. Beil. 1928. - Bd 27.

88. NIST XCOM Photon Cross Sections Database // http://physics.nist.gov/PhysRefData/Xcom/Text/XCOM.html

89. Rule D. W. Transition Radiation Diagnostics for Intanse Charged Particle Beams // Nucl. Inst, and Meth. B. 1987. - V. 24-25. -P. 901.

90. HERA-B Collaboration (Ryzhikov D.) Measurement of the bb production cross section in 920 GeV fixed-target proton-nucleus collisions // Eur. Phys. J. C. 2003. - V. 26, № 3. - P. 345-355.

91. HERA-B Collaboration (Ryzhikov D.) J/Ф production via decays in 920 GeV pA interactions // Phys. Lett. B. 2003. - V. 561, № 1-2. - P. 61-72

92. HERA-B Collaboration (Ryzhikov D.) Inclusive V° production cross sections from 920 GeV fixed target proton-nucleus collisions // Eur. Phys. J. C. 2003. - V. 29, № 2. - P. 181-190.

93. Saveliev V. The HERA-B Transition Radiation Detector // Nucl. Instr. and Meth. A. 1998. - V. 408, № 1. - P. 289-295.

94. Saveliev V. Monte Carlo Simulations of Transition Radiation for High Energy Physics // Proceedings of the International Conference on Computing in High Energy Physics, Berlin. 1997.

95. Saveliev V. HERA-B Transition Radiation Detector Simulation and Reconstruction // Proceedings of the International Conference on Computing in High Energy Physics, Chicago. 1998.

96. Smoluchowski M. Drei Vortrage iiber Diffusion, Brounsche Moleku-larbewengung und Koagulation von Kolloidteilchen // Phys. Zeits. XVII. 1916. - P. 557-585 und 585-559.

97. Smoluchowski M. Versuch Einer Mathematichen Theorie der Koagu-lationskinetik Kolloider Losungen // Z. physikalische Chemie. 1917. - 92. - P. 129-168.

98. Tartar L. Compensated compactness and applications to the partial differential equations // Res. Notes in Math. 1979. - № 39. - P. 136212.

99. Versilov V. A. Transition Radiation in the Pre-wave Zone // LNF-99/018, INFN. 1999.

100. Warshaw M. Cloud droplet coalescence. Statistical foundations and one-dimentional sedimentional model // Journal of the Atmospheric Sciences. 1967. - V. 24. - P. 278-286.

101. Wartski L. et al. Interference Fenomenon in optical Transition Radiation and its application to Particle Beam Diagnostics and Mul-tiplescattering measurements // IEEE Trans. Nucl. Sci. 1975. -V. 22. - P. 1552.

102. Wartski L., Roland S., Lasalle J., Bolore M., Fillipi G. Detection of Optical Transition Radiation and its Application to Beam Diagnostic // IEEE Trans. Nucl Sci. 1973. - V. 20. - P. 544.