автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование распространения излучения в гетерогенных средах

Санкт-Петербургский Государственный Институт Точной Механики и Оптики (Технический Университет)

1Г~ од

- 8 МАЙ 1905 На правах рукописи

СЕРКОВ Сергей Константинович

УДК:535.36+681.3.06

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В ГЕТЕРОГЕННЫХ СРЕДАХ

05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена в Санкт-Петербургском Государственном Институте Точной Механики и Оптики (Техническом Университете)

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Владимир Николаевич Васильев

доктор физико-математических наук Валерий Михайлович Киселев,

кандидат физико-математических наук Андрей Вячеславович Беликов

Ведущее предприятие:

• Московский Государственный Институт Электронной Техники

Защита диссертации состоится "16 " И (Я Я_ 1995 года

в /5* часов 2 О минут на заседании Специализированного Совета К.054.26.04 при Санкт-Петербургском Государственном Институте Точной Механики и Оптики по адресу: 197101, Санкт-Петербург, Саблинская улица, дом 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан "_/£_" СМр^ЛА 1995 года.

Ваши отзывы и замечания по автореферату (в двух экземплярах), заверенные печатью, просим направлять по адресу Института: 197101 Санкт-Петербург, Саблинская улица, дом 14, секретарю Специализированного Совета.

Ученый секретарь Специализированного Совета К 054.26.04

кандидат технических наук, доцент

Владимир Иванович Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Проблема математического моделирования переноса излучения в гетерогенных средах и средах с макровкпючениями является актуальной в оптическом приборостроении, машиностроении, авиационной промышленности и ряде других отраслей промышленности, связанных с лазерной обработкой материалов и созданием композиционных структур. Эти вопросы также актуальны при разработке новых медицинских технологий, а именно в лазерной хирургии, терапии, офтальмологии, ангиопластике и других направлениях.

В работе детально исследуются методики моделирования переноса излучения в различных средах: полупрозрачных средах, рассеивающе-поглощающих средах и неоднородных рассеивающих средах с включениями. Для этого применяется суперпозиция методов Монте-Карпо, конечно-разностных и конечно-элементных методов. Особенностью данной работы является применение этих методов в совокупности друг с другом и учет специфики для задач рассеяния излучения в неоднородных биологических тканях. Предлагаемое сочетание методов позволяет существенно повысить скорость решения задач, точность вычислений, а также возможность расчета принципиально нового класса задач - задач с неоднородными включениями.

Цель и задачи работы

Целью диссертационной работы является выполнение исследования, направленного на моделирование процессов, протекающих в неоднородных органических тканях, на основе реализации моделей, учитывающих поглощение, рассеяние в биотканях, изменение теплового режима и эффекты деструкции, а также исследования фокусирующих систем медицинских установок для разработки оптимальных режимов облучения ткани. При этом рассматривается широкий класс объектов исследования: фокусирующие системы различной геометрии, подводящие излучение к биоткани и формирующие заданный профиль падающего излучения; различные типы биотканей: имеющие однородный состав, слоистую структуру, внутренние включения и неоднородности.

Указанная цель достигается постановкой и решением следующих частных задач:

1. Разработка методики математического моделирования радиационных и теплофизических процессов, учитывающей перенос излучения в рассеивающей среде, нагревание неоднородной ткани, разрушение отдельных ее компонентов, и проведение оценки эффективности использования различных методов решения возникающих задач.

2. Создание программного обеспечения, позволяющего реализовать процедуры энергетического проектирования фокусирующих систем медицинских установок, анализа теплофизического состояния и процессов деструкции биологических сред.

3. Исследование процессов, протекающих в биологической ткани, и выработка рекомендаций по оптимальному режиму работы фокусирующих систем лазерных медицинских установок, подбор режимов излучения, вызывающих заданное воздействие на биоткань.

Методы исследования

В работе проводилось численное моделирование процессов, происходящих в неоднородных тканях при воздействии излучения. В соответствии с этим применялись различные методы решения возникающих частных задач. Для расчета полей излучения - методы статистического моделирования (МСМ), для расчета температурного поля - конечно-разностные методы (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ), для решения возникающих систем уравнений - метод итераций, метод установления.

Научная новизна работы

Научная новизна работы заключается в следующих достигнутых результатах:

1. Разработана методика расчета процесса распространения излучения в неоднородных рассеивающих средах, позволяющая рассчитывать радиационные и теплофизические характеристики для сред со сложным геометрическим распределением оптических и теплофизических свойств и учитывающая постановку граничных условий на криволинейных границах.

2. Проведена оптимизация фокусирующих элементов лазерных медицинских установок, . позволяющая из анализа осесимметричных моделей распространения излучения выбирать их оптические, теплофизические и геометрические характеристики.

3. В двумерном приближении для нелинейной задачи распространения излучения в биоткани определены оптимальные режимы воздействия излучения (длина волны, плотность мощности излучения, распределение плотности мощности на поверхности, длительность воздействия), приводящие к заданному состоянию среды.

Защищаемые положения

1. Методика численного решения уравнения переноса излучения в сочетании с уравнением энергии, основанная на сочетании

использования методов МСМ, МКР, МКЭ и позволяющая реализовать математическую модель процесса распространения излучения в гетерогенной среде, включая ' исследование оптических, теплофизических процессов и процессов разрушения для низко- и среднеинтенсивного монохроматического излучения.

2. Комплексы прикладных программ расчета характеристик радиационного и теплового режима в двумерных областях сложной геометрии при наличии неоднородных включений, реализующие указанную методику и выполненные с применением современного интерфейса пользователя.

3. Результаты исследования процесса распространения излучения для различных геометрий и типов сред (полупрозрачные среды, рассеизающе-поглощающие среды, среды с неоднородными включениями).

4. Результаты исследования теплофизического состояния органической ткани с учетом эффектов деструкции, позволяющие разработать рекомендации для оптимального воздействия излучения на биообъекты.

Достоверность результатов

Достоверность результатов обусповпена применением математических моделей и методов, корректность использования которых подтверждается сравнением результатов проведенных вычислительных экспериментов с известными аналитическими решениями, с результатами решений, полученными другими авторами, а также данными тщательного тестирования разработанных программ на решениях известных тестовых задач.

Практические результаты

1. Разработан комплекс программ, позволяющий проводить моделирование процессов распространения излучения в системах фокусировки излучения и определять входные данные для теплофизического моделирования облучаемой среды.

2. Разработано программное обеспечение для моделирования процессов распространения излучения в биологических средах, учитывающее как фототермические процессы, так и процессы разрушения биоткани низко- и среднеинтенсивным лазерным излучением.

3. Даны рекомендации по выбору параметров лазерного излучения, вызывающего в биоткани процессы с требуемыми характеристиками (темп нагрева, максимальная температура в области, скорость разрушения).

4. Выработаны рекомендации по оптимальной форме и структуре фокусирующих систем медицинских установок, формирующих заданный профиль излучения на поверхности ткани.

Реализация результатов работы

Результаты диссертационной работы внедрены в Учебно-Научно-Производственном Объединении "Лазерный Центр", Санкт-Петербург, и Рыбинском Конструкторском Бюро Моторостроения.

Апробация работы

По материалам диссертации сделаны доклады на конференции "Лазерная биология и лазерная медицина: практика", Тарту, Эстония, 1990, на рабочей конференции "Lasermedizintechnic. Sensortechnic. Fasertechnic", Германия, 1991, на международном симпозиуме "Biomedical Optics Europe'93", Будапешт, Венгрия, 1993. Доклад по тематике работы представлен на международной конференции "BiOS Europe'94", Лилль, Франция, 1994.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и библиографического списка из 89 наименований, содержит 123 страницы основного текста, 31 рисунок и 2 таблицы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы ее цель, задачи и основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе произведен анализ опубликованных работ по тематике моделирования взаимодействия излучения с гетерогенной рассеивающей средой, приведены характеристики методов, применяемых для решения задач переноса излучения. Кратко рассмотрены и сопоставлены приближенные методы решения, основанные на предельных случаях теории переноса: приближении разреженной среды, диффузном приближении, изотропном рассеянии, приближении для больших частиц. Приведены их сравнительные характеристики, допущения, которые возникают при их применении к моделированию распространения излучения, ограничения на области применения. Область использования приближенных методов ограничена из-за ряда допущений, накладываемых на систему в каждом приближении: концентрация рассеивателей, меньшая 0.1% и большая 10%, определенный частный вид индикатрисы рассеяния, ограничения на оптическую толщину среды. В силу этого они могут служить только для оценочных расчетов или для расчетов задач со сравнительно простой геометрией (приближения плоского слоя,

полупространства и др.)- В ряде известных публикаций внимание уделяется конечно-разностным и статистическим методам решения задач и возможности их применения для конкретных случаев. Приведенные характеристики позволяют сделать выводы об области применения каждого из методов и возможности составления смешанных методов решения сложных задач. На основании проведенного анализа многообразия используемых методов для среды с концентрацией микрорассеивателей в диапазоне 1-10%, наличием неоднородных включений с размерами, большими длины волны излучения, и при необходимости учета граничных эффектов можно сделать вывод о перспективности применения для расчета переноса излучения статистических методов или композиции методов, включающих статистические как составную часть. При этом число допущений, накладываемых на систему, сводится к минимуму, но одновременно с этим возрастают вычислительные трудности, связанные со значительным увеличением времени вычислений при необходимости повышения точности и выполнением граничных условий отражения-преломления на внутренних границах области.

Вторая глава посвящена моделированию процессов переноса излучения в полупрозрачных средах. Предложен метод статистического моделирования для решения подобного класса задач. Описан алгоритм определения распространения излучения в фокусирующих системах медицинских установок. Проведены расчеты температурного состояния среды, учитывающие влияние теплообмена излучением. Описаны пути построения комплекса прикладных программ, реализующего предложенный алгоритм и позволяющего проводить расчеты фокусирующих систем. Приведены результаты расчетов для конкретных типов фокусирующих систем.

Подобная задача возникает при расчете различных оптических систем со сложной геометрией, волоконных передающих устройств, фокусирующих и концентрирующих оптических деталей. Рассмотренная в работе методика расчета таких сред применяется к фокусирующим системам лазерных медицинских установок. Лазерная медицинская установка представляет из себя систему, состоящую из лазера, оптического тракта доставки излучения (волоконно-оптический кабель) и дистальной фокусирующе-коллимирующей системы. Первые две составные части (лазер и волоконно-оптический тракт) тесно взаимосвязаны друг с другом. Выбор лазера определяет выбор соответствующего типа передающего световода.

Перенос излучения в дистальной фокусирующей системе определяется из решения осесимметричного уравнения переноса для полупрозрачной среды:

г-бI 1-ц2 51 . _ ж

л/1-У Ц—+-— — + у —+ к1 = 0 (1)

V, 5 г г д\х) о г

Здесь I - интенсивность излучения, которая представляет собой функцию пространственных координат (г, г) и угловых переменных (ц,у), к -коэффициент поглощения среды.

Методом, применяемым к решению этой задачи с соответствующими граничными условиями, учитывающими отражение и преломление излучения, является метод статистического моделирования. Он позволяет учесть следующие особенности задания начальных данных и эффекты, происходящие в среде:

• неравномерный профиль входящего в систему излучения (наличие углового и радиального градиента на входе);

• сходящиеся-расходящиеся входные пучки излучения;

• поглощение излучения в среде, в том числе с неоднородным коэффициентом поглощения;

• преломление излучения на криволинейной границе, в том числе для сред с комплексным показателем преломления.

При моделировании производится прослеживание распространения дискретных порций света ("пучков"). Рассматривается поглощение пучков в среде, отражение от сложной границы и после осреднения определяются интенсивность света и плотность энергии излучения. Отражение пучков от криволинейной границы раздела двух сред определяется методами линейной оптики в соответствии с формулами Френеля для сред с комплексными показателями преломления.

Задание вектора начальных параметров пуча, определяемого плотностями вероятностей соответствующих распределений, является важным моментом в разработанной методике. Входной профиль мощности излучения, угловое и пространственное распределение лучей на входе в систему моделируется с использованием функций случайного аргумента. При этом обеспечивается выполнение граничных условий.

В результате статистического решения уравнения (1) находятся двумерные распределения плотности мощности излучения на выходе фокусирующей системы:

Р(г*' <р) = £ I 5>о('. Ч>, ф, е)Х о - 5*)П 8 Л [1- ехр(-кзп)]

г <р ф в 1 к<1 п<1

Здесь 5| - коэффициент отражения, ро(г,ф,ф,0) - входное граничное условие, К5П - оптические толщины.

Разработанный программный комплекс позволяет производить вычисления в интерактивном режиме, при этом входными данными

являются теплофизические и оптические свойства среды, геометрические характеристики системы. Выходными данными являются распределение плотности мощности излучения после прохождения через систему и характеристики эффективности системы, показывающие степень концентрации излучения, равномерность облучения и степень использования заданной мощности.

Параллельно с этим моделируется тепловой режим фокусирующей системы с использованием метода конечных элементов. Данные для учета поверхностных и внутренних источников теплоты, входящих в уравнение теплопроводности

_ _ 00

сМ}.дгас1 Т) - ¿¡V У/ = 0, V/= ^[с^П^сШ (2)

о

берутся из статистического решения уравнения переноса излучения. Здесь

X - теплопроводность материала, V - частота излучения, - телесный угол и Т - температура среды.

Произведен анализ температурного состояния фокусирующих систем в рабочем режиме при контакте с тканью. Составлено соответствующее программное обеспечение, реализующее расчет температурных полей внутри системы и являющееся составной частью комплекса программ для расчета процессов переноса внутри фокусирующей системы.

В третьей главе рассматривается моделирование излучения в погпощающе-рассеивающей биологической ткани. Предложен приближенный метод расчета полей излучения в такой гетерогенной среде и разработана методика, позволяющая рассчитать тепловой режим биоткани при облучении низкоинтенсивным и среднеинтенсивным излучением лазера. Разработан комплекс программ, позволяющий с учетом нелинейных эффектов рассчитывать тепловые поля, индуцированные излучением лазера, в биоткани. При этом для расчета теплового режима используется метод конечных элементов. Результаты расчетов, проведенных с помощью программного обеспечения для моделирования фокусирующих систем установки, используются в граничных условиях радиационной и тепловой задачи в'биоткани.

Предложенная методика расчета процесса распространения излучения в погпощающе-рассеивающей среде основана на решении интегродифференциального уравнения переноса:

СИ сЬ

+ [к(5) + с(5)]| = —о(5) к(П,ГУ)1<Ш

(3)

Здесь к и сг коэффициенты поглощения и рассеяния,

- индикатриса рассеяния. Сущность методики заключается в априорном определении качественного вида рассеяния с последующим решением приближенных уравнений для плотности мощности излучения.

Качественный вид распространения излучения в среде задается исходя из характеристик рассеяния:

• неоднородности коэффициента поглощения по глубине ткани, определяющей размеры зон поглощения;

• индикатрисы рассеяния, определяющей угловые характеристики зон поглощения.

Предложенное деление всей рассеивающей среды на отдельные зоны и последующее решение уравнения (3) в каждой зоне отдельно вносит некоторую погрешность, с одной стороны, но и существенно упрощает решение, с другой. При этом в каждой зоне интегродифференциальное уравнение сводится к более простому дифференциальному уравнению для плотности мощности излучения внутри каждой рассеивающей зоны:

Результаты решения уравнения переноса используются для определения энергетического режима в среде. В этом состоит предложенная двухэтапность решения задач, определяющих энергетический режим среды с учетом излучения.

При реализации второго этапа решения задачи анализируются температурные поля и интегральные энергетические характеристики биоткани. Построены простые аналитические формулы, позволяющие определять тепловой режим ткани для предельных случаев, соответствующих сильному поглощению в приповерхностном слое или однородному поглощению и рассеянию по глубине ткани. Указанные формулы были получены путем решения уравнения теплопроводности с учетом излучения аналитическим методом интегральных преобразований. Эти данные позволяют проводить оценочные расчеты и делать инженерные оценки требуемых параметров воздействующего лазерного излучения. С цепью оценки границ применимости указанных результатов проведено сравнение аналитического и численного решений для задачи моделирования теплового режима рассеивающей биоткани до этапа ее разрушения. Проведенный численный анализ с использованием метода конечных элементов позволил оценить погрешность приближенных формул для

вычисления темпа нагрева среды. Полученное расхождение результатов является допустимым, что позволяет применять аналитические формулы для качественных оценок теплового режима.

В заключении главы описан разработанный комплекс программ для расчета теплового режима рассеивающей ткани, позволяющий по данным экспериментальных исследований свойств ткани строить тепловую картину и картину распространения излучения внутри области. Удобный интерфейс пользователя позволяет при помощи системы меню выбирать исходные данные задачи (теплофизические и оптические свойства, геометрические параметры, параметры расчетных сеток), производить их изменение в процессе решения задачи, анализировать темпы теплового нагрева, распределения температурного поля в процессе решения задачи. Используя имеющийся комплекс программ, проведены расчеты, определившие динамику распределения поля внутри среды и форму образующихся зон перегретой ткани с частичным изменением внутренних свойств (коагуляция ткани).

В четвертой главе рассмотрены вторичные эффекты при облучении биоткани лазерным излучением большой интенсивности. При этом, кроме нагревания, существенное значение имеют процессы изменения внутренней структуры ткани и ее разрушения. Предложена трехфазная модель деструкции ткани, учитывающая испарение водной компоненты ткани, пиролиз и разрушение сухого вещества.

Дг.я различных случаев внешних воздействий в результате исследования были проанализированы основные эффекты, возникающие при облучении ткани лазерным излучением: фотохимические процессы (длительность воздействия Ю'-103с, плотность мощности 10"г-10°Вт/см2); коагуляция (длительность воздействия 10-10' с, плотность мощности 10 -10 Вт/см ); денатурация; нагревание; карбонизация; испарение (длительность воздействия 10"-10 с, плотность мощности 10 -10 Вт/см ); пиролиз; абляция (длительность воздействия Ю'-Ю^с, плотность мощности 104-108Вт/см*); фрагментация; оптический взрыв (длительность воздействия 10 -10 с, плотность мощности 10,0-Ю14Вт/см2);

Было показано, что воздействия с характерными временем процесса, плотностью мощности и энергией излучения, соответствующими излучению Ыс1:УАО лазера, вызывают процесс разрушения, который можно описать, используя модель, математически сводящуюся к трехфазной задаче типа Стефана. Правомерность такой постановки объясняется наличием стабильных границ раздела фаз при разрушении ткани низко- и среднеинтенсивным инфракрасным лазерным излучением.

Используя численный метод, основанный на построении адаптивной сетки, связанной с движущимися фазовыми границами, проведено

численное моделирование указанной задачи. Для решения возникающей разностной системы уравнений в случае среды с нелинейными свойствами применены итерационные методы. Программное обеспечение позволяет получать результаты для изменяющихся входных плотностей мощности, времен воздействия, различных оптических, теплофизических свойств и теплот фазовых переходов, учитывающие влияние состава ткани на формирование фазовой границы.

При анализе решений для конкретных тканей и режимов облучения показано, что:

1. Для рассматриваемой задачи существует два режима: переходный и квазистационарный;

2. При квазистационарном режиме температуры и скорости фазовых границ постоянны, межфазовое расстояние не изменяется;

3. Длительность переходного режима определяется подводимой мощностью излучения и обратно пропорциональна ей. Предложенный метод решения задачи типа Стефана основан на

сочетании использования конечно-разностных методов для области с построением адаптивной сетки, привязанной к фазовой границе, метода итераций при наличии нелинейных свойств, проявляющихся при расчетах среды в большом диапазоне температур, и сплайн-интерполяции для нахождения температурного поля вне узлов пространственной сетки.

В пятой главе описан комплексный подход к задаче переноса излучения в гетерогенных средах с неоднородными включениями. Предложена методика расчета индикатрисы отражения и рассеяния и расчета поля излучения в среде с включениями. Разработано программное обеспечение для анализа теплового и радиационного режима ткани, содержащей включения с оптическими свойствами, отличными от окружающей ткани.

Предложенный способ моделирования процесса переноса излучения без априорного знания индикатрисы рассеяния основан на использовании информации о распределении включений и их геометрических размерах и форме. Этой информации достаточно для определения индикатрисы рассеяния

) = ЕЕПап+1) + (1 -бк)[1 -5(пп,пп+1)]]г бк е{о,1}

I 8Ь п<1 к<|

где 5(Пп,Г2п+|) - коэффициент отражения от поверхности включений, и замыкания уравнения переноса.

Разработана двумерная модель, определяющая поле излучения в рассеивающей среде с включениями, которая учитывает следующие эффекты:

• поглощение излучения в среде;

• рассеяние излучения в среде, имеющей фазовую функцию Хени-Гринстейна;

• отражение и преломление лучей на границах включений;

• расщепление и умножение лучей на границе включение-среда;

• эффект обратного рассеяния в ткани.

Проведенные расчеты позволили рассчитать температурное поле и распределение излучения в среде с цилиндрическими включениями. Определены темпы нагрева биологической системы при воздействии лазерного излучения различной длины волны. Оценены влияния размеров пучка, апертуры входного луча и распределения плотности мощности излучения в пучке на темп нагрева биоткани и равномерность нагрева ее внутренних зон. Найдены оптимальные параметры лазерного излучения, обеспечивающие выполнение требования коагуляции внутренних тканей без повреждения поверхностных слоев.

Оценены факторы, влияющие на погрешность вычислений, оптимальный размер сетки для расчета двумерной задачи, оптимальные характеристики времени расчета с учетом заданной погрешности.

В шестой главе исследованы источники возникновения погрешностей расчета, приведена их характеристика, исследованы возможные методы минимизации погрешности. Даны рекомендации по оптимальному выбору расчетных сеток, приводящих к минимальной погрешности вычислений, с одной стороны, и достаточной детализации искомого решения, с другой. Обсуждены проблемы аппаратной базы, использующейся для проведения численного эксперимента.

Можно выделить следующие составляющие погрешности проведения численного эксперимента:

• погрешность математической и физической моделей;

• методическую погрешность;

• погрешность исходных данных;

• погрешность дискретизации разбиения;

• погрешность осреднения единичных опытов.

Показано, что значение последней вносит наибольший вклад в общую погрешность. Предложен метод оценки этой погрешности и способ ее уменьшения, основанный на оптимальном выборе сетки разбиения и осреднении результатов нескольких независимых численных экспериментов.

Исследована эффективность распараллеливания процесса счета, приводящая с существенному увеличению скорости расчетов и уменьшению погрешности вычисления.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы

диссертационной работы.

1. Разработана методика моделирования переноса излучения в гетерогенных средах с неоднородными включениями, позволяющая рассчитывать радиационные и теплофизические характеристики рассеивающих сред.

2. На основании исследования процесса переноса излучения в полупрозрачных средах разработан комплекс программ, реализующий анализ распространения излучения и теплового режима в фокусирующих системах лазерных медицинских установок. С его помощью проведена оптимизация формы и структуры дистальных оптических систем.

3. Исследовано энергетическое состояние рассеивающе-поглощающей биоткани и разработано программное обеспечение, которое на основании применения указанной методики реализует процедуру моделирования теплового режима и процесса рассеяния в биологической ткани. Определены режимы воздействия лазерного излучения, вызывающие требуемый отклик в ткани.

4. Исследованы вторичные эффекты, вызываемые воздействием мощного излучения на биоткани, соответствие типов разрушения тканей и параметров лазерного облучения (плотности мощности облучения, времени воздействия). Используя предложенную многофазную модель типа Стефана для описания процесса разрушения биоткани, проведено численное моделирование процесса деструкции и проанализированы режимы разрушения (скорость деструкции, время переходного процесса).

5. Разработан метод вычисления индикатрисы рассеяния рассеивающей среды и определения поля излучения в неоднородной среде с включениями различной формы. С использованием различных вариантов фазовых функций проанализировано влияние включений на радиационное и теплофизическое состояние ткани.

6. Оценены различные составляющие погрешности численного эксперимента. Проанализированы методы минимизации погрешности на основе введения неравномерных сеток.

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РАБОТЫ:

1. Васильев В.Н., Серков С.К. Моделирование процесса переноса энергии в лазерных скальпелях // Инженерно-физический журнал. - 1991. -Т.60, № 6. - С. 1005-1010.

2. Васильев В.Н., Серков С.К. Тепловое состояние органической ткани при воздействии лазерного излучения // Инженерно-физический журнал. -1992. - Т.63, № 4. - С.449-456.

3. Васильев В.Н., Серков С.К. Разрушение биоткани при воздействии лазерного излучения // Инженерно-физический журнал. - 1993. - Т.64, № 5. - С.598-603.

4. Васильев В.Н., Серков С.К. Теоретические основы проектирования лазерных скальпелей // Лазерная медицина и лазерная биология: практика. Материалы докладов республиканской школы-семинара. Часть 2. - Тарту, 1991. - С. 172-175.

5. Vassilyev V.N., Serkov S.K. Energy Transfer Process in Tips of Laser Delivery System // Proc. SPIE. - 1993. - Vol.2084. - P.47-58.

6. Vassilyev V.N., Serkov S.K. Heal Condition and Destruction of Tissue under the Action of Nd:YAG Laser // Proc. SPIE. - 1993. - Vol.2077. - P.21-26.

7. Vassilyev V.N., Serkov S.K. Modeling Energy Transfer Processes in Laser Scalpels // Lasers in the Life Sciences. - 1994. - Vol.6, №2. - P.69-77.

Подписано к печати 3.04.95 г. Объем 1 п.п.

Заказ 316 Тираж 100 экз. Бесплатно

Напечатано на ризографе в Центре распределенных издательских систем ИТМО. Тел: (812) 238-85-38

ЦЕНТР РАСПРРЦЕЛЭ/НЫГМЗЦА ТЕЛЬСМГУСНСЮИ tazwt, САНХТ-ЛЕТЕР£МГ, СЛ&Я4НСКАЯ 14 гмефон: (в/г) гзв-вз-м <м*а>(б>я гзг-жг