автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы Монте-Карло для оценки параметров асимптотики решения уравнения переноса излучения с учетом поляризации

На правах рукописи Трачева Наталья Валерьевна

МЕТОДЫ МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ С УЧЕТОМ ПОЛЯРИЗАЦИИ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 200£

003455687

Работа выполнена в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник, Ухинов Сергей Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор,

Иванов Михаил Самуилович

Ведущая организация: Институт теплофизики СО РАН

Защита состоится 23 декабря 2008 года в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 003.061.02 при Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (630090, Новосибирск, проспект Лаврентьева, 6).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН.

Автореферат разослан 21 ноября 2008 года.

кандидат физико-математических наук, доцент,

Соболева Ольга Николаевна

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф-м.н.

С.Б. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Существует ряд задач теории переноса, при решении которых исследователей интересует асимптотическое поведение интенсивности излучения на больших временах в светорассеивающих средах.

Для практических приложений важным оказывается исследование свойств временнбй асимптотики интенсивности отраженного веществом, которое определяет "помеху обратного рассеяния" при оптическом зондировании среды. Получение оценок параметров асимптотики для данной задачи с учетом поляризации является актуальной и до сих пор мало исследованной проблемой.

Диссертационная работа посвящена разработке и обоснованию алгоритмов вычисления асимптотических параметров интенсивности многократно рассеянного поляризованного излучения.

Математическое описание распространения поляризованного излучения предоставляет нам удобный инструмент для исследования процесса переноса поляризованного излучения. Этим инструментом являются вектор-функция Стокса, характеризующая свойства излучения в каждой конкретной точке, и интегральное уравнение переноса с обобщенным матричным ядром, описывающее сам процесс переноса.

Интенсивность и состояние поляризации излучения полностью определяются четырехкомпонентной вектор-функцией Стокса 1(г, и>), компоненты которой определяют в совокупности интенсивность, степень поляризации, плоскость поляризации и степень эллиптичности излучения.

Физико-математическая модель переноса поляризованного излучения строится на основе феноменологического предположения о том, что в результате рассеяния ассоциируемый с "фотоном" вектор Стокса преобразуется заданной матрицей рассеяния. Таким образом, процесс распространения света можно рассматривать как случайную марковскую цепь столкновений фотонов с веществом, которые приводят либо к рассеянию (с пересчетом вектора Стокса), либо к

\ ,; _

поглощению фотонов. Метод Монте-Карло заключается в моделировании траекторий этой цепи на ЭВМ и вычислении статистических оценок для искомых функционалов.

Отметим, что алгоритмы численного статистического моделирования естественным образом распараллеливаются путем распределения численных статистических испытаний по отдельным процессорам, поэтому, в связи с ростом мощностей вычислительных систем, их исследование приобретает особое значение.

Рассматриваемая математическая модель позволяет ставить достаточно большое множество практически интересных задач, для решения которых может быть эффективно применен метод Монте-Карло. Традиционный способ его использования заключается в следующем. Рассматривается некоторый линейный функционал «7 от решения уравнения переноса, для него строится стандартная весовая оценка статистического моделирования математическое ожидание которой и дает нам искомое значение функционала.

Конкретный вид функционала разумеется, зависит от поставленной задачи. Так, например, для определения характеристик поляризованного излучения "в точке" нами используются локальные оценки.

Заметим, что для применения метода Монте-Карло к вычислению линейного функционала <7 необходимо на интегральный оператор, описывающий перенос излучения, наложить некоторые ограничения, обеспечивающие существование математического ожидания оценки ее несмещенность и конечность дисперсии. Однако, даже если дисперсия оценки £ конечна, она может оказаться достаточно большой и полученный алгоритм окажется практически неприменимым. В этом случае нами применяются специальные весовые модификации моделирования переноса излучения с поляризацией, приводящие к уменьшению дисперсии оценок метода Монте-Карло.

Основные цели работы.

• Разработка и обоснование алгоритмов вычисления параметров временной асимптотики интенсивности поляризованного излучения.

• Разработка комплекса программ, реализующих предложенные алгоритмы.

• Проведение численного исследования временнбй асимптотики интенсивности поляризованного излучения для сред различной геометрии, с различными коэффициентами рассеяния и поглощения, с матрицами аэрозольного и молекулярного рассеяния.

Методы исследования базируются на теории переноса излучения, теории интегральных уравнений второго рода и теории весовых методов Монте-Карло, а также методов модульного и объектно-ориентированного программирования.

Научная новизна.

• На основе двух подходов - с использованием итераций резольвенты оператора переноса и применением параметрического дифференцирования по времени специального представления решения нестационарного уравнения переноса с поляризацией, разработаны и обоснованы алгоритмы вычисления параметров временнбй асимптотики интенсивности поляризованного излучения.

• Аналитически получено значение экспоненциальной временнбй асимптотики интенсивности поляризованного излучения для бесконечного однородного изотропного пространства.

• Предложен и численно апробирован новый эффективный метод аналитического осреднения для оценки функционалов и их параметрических производных.

• Осуществлена численная реализация полученных алгоритмов с использованием локальных оценок.

• Проведено численное исследования временнбй асимптотики интенсивности поляризованного излучения для сред различной геометрии, с различными коэффициентами рассеяния и поглощения, с матрицами аэрозольного и молекулярного рассеяния.

• С помощью прецизионных расчетов методом Монте-Карло показано, что для ограниченных сред в случаях молекулярного и аэрозольного рассеяния параметры экспоненциальной временнбй асимптотики интенсивности излучения с учетом поляризации и без ее учета статистически различимы, т.е. деполяризация потока частиц несколько запаздывает относительно перехода к асимптотике.

• Численно получены значения параметров временной асимптотики интенсивности излучения, выходящего из полупространства в направлении, перпендикулярном к границе рассеивающей и поглощающей среды в случаях молекулярного и аэрозольного рассеяния. Показано, что они совпадают с точностью до статистической погрешности.

• С помощью вычислений методом Монте-Карло получены значения параметров временнбй асимптотики интегральной освещенности границы выходящим из рассеивающей и поглощающей среды излучением в случаях молекулярного и аэрозольного рассеяния. Показано, что они совпадают с точностью до статистической погрешности.

• Численно получены значения параметров временной асимптотики освещенности точечного приемника, находящегося за пределами рассеивающей и поглощающей среды в случае аэрозольного рассеяния. Показано, что они совпадают с точностью до статистической погрешности.

Практическая значимость работы. Полученные параметры асимптотики "помехи обратного рассеяния" могут быть использованы при решении задач дистанционного зондирования атмосферы и океана. Разработанные методы и алгоритмы могут применяться при исследовании асимптотического поведения линейных функционалов от векторной интенсивности излучения.

Личный вклад соискателя заключается в анализе существующих методов оценки параметров временнбй асимптотики интенсивности неполяризованного излучения и разработке и обосновании на их основе методов оценки параметров временнбй асимптотики интенсивности поляризованного излучения, а также создании на базе полученных методов программных алгоритмов, предусматривающих параллельную реализацию, и проведении численных экспериментов. Все результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно или при ее непосредственном участии.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинаре Отдела статистического моделирования в физике ИВМиМГ СО РАН (2005 - 2008 гг.), а также на следующих конференциях:

- Конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН (2006, 2008 гг.)

- Всероссийская конференция по вычислительной математике КВМ-2007 (г. Новосибирск, 2007 г.)

- Международная конференция по математическим методам в геофизике ММГ-2008 (г. Новосибирск, 2008 г.)

Публикации. По тематике диссертации автором опубликовано 6 работ, среди которых 5 работ в изданиях из списка ВАК [1-5]. Список опубликованных работ помещен в конце автореферата.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, приложения, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 92 страницах, включает библиографический список из 48 наименований работ, 1 рисунок, 21 таблицу.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, цель и задачи исследований, дается обзор литературы по изучаемым в диссертации вопросам, краткое содержание диссертации по главам и параграфам, приведен перечень результатов, выносимых на защиту.

Первая глава посвящена вопросам теории и алгоритмов метода Монте-Карло.

В разделе 1.1 приводится вводная информация о вектор-функции Стокса и интегро-дифференциальное уравнение переноса с учетом поляризации

аЛ7Ф+о-Ф= I а3Р(и',ш)Ф(г,ш')(]ш'+^(г,ш), или ЬФ+сгФ = БФ+Ъ, J гг

где Ф = (ФьФ2,Ф3,Ф4)г - вектор-функция плотности потока частиц ("векторных фотонов"), иначе - интенсивности излучения; Г2 -пространство единичных векторов направления, ш £ П, г ё Д С К3; Р{ш',ш) - матричная функция рассеяния, а = и (г) - полное сечение, а = сгц + сгс, <тс - сечение поглощения, аа - сечение рассеяния;

fo = ~ вектор-функция плотности распределе-

ния источника частиц. Матрица Р(и>', и>) определяется соотношением Р(и>',uj) = L(tt — i2)R(fj)L(—ii), где L(-) - специальная матрица поворота, Д(-) - матрица рассеяния; ii ~ угол между плоскостью ш',«и плоскостью рассеяния ¿2 - угол между плоскостью рассеяния ш, ш' и плоскостью ui,s; fi = (о/, ш).

Известно, что для неполяризованного излучения асимптотика потока частиц при выполнении довольно общих условий является экспоненциальной

$i(r,uj,t) ~ C(r,u),t) • ехч, t-*+ 00,

то есть асимптотика интенсивности излучения определяется функцией еА 4 (Дэвисон Б., I960) с точностью до множителя C(r,uj,t), который изменяется при t —► 00 слабее экспоненты.

Параметром экспоненциальной асимптотики является ведущее характеристическое число А* однородного стационарного уравнения переноса без учета поляризации

L$i + (а + \/v)$! = S$l5

со стандартными краевыми условиями (Дэвисон Б., 1960).

Ряд публикаций (Зеге Э.П., Кацев И.Л., 1973; Романова JI. М-, 1965) показывает, что для функционалов от интенсивности, определяющих "помеху обратного рассеяния" при оптическом зондировании полубесконечной среды, имеет место асимптотическое соотношение:

(г, ш, t) ~ С(г, ш) ■ t~a ■ e~°°vt, t -> +00.

Задача стоит в распространении данных утверждений на случай излучения с поляризацией и решении вопроса о связи значений и Ху, т.е. значений параметра асимптотики соответственно для скалярного (без учета поляризации) и векторного (с учетом поляризации) вариантов с одинаковой индикатрисой рассеяния.

В разделе 1.2 рассматривается интегральное уравнение второго рода с обобщенным матричным ядром, записываемое в операторном виде ip = Кtp + f. Здесь (р вектор-функция плотности столкновений, которая связана с вектор-функцией интенсивности излучения

СООТНОШеНИеМ уз = (or$l,0^2,cr$3>cr$4)T = {1Р1т(Р2,<РЗ,<Р4:)Т■

Приводятся сведения из общей теории весовых оценок метода Монте-Карло для вычисления линейных функционалов от решения матричного интегрального уравнения и их параметрических производных. Далее рассматриваются условия несмещенности и конечности дисперсии этих оценок.

В разделе 1.3 описывается построение векторных локальных оценок.

В разделе 1.4 автором доказана теорема о главном характеристическом числе однородного интегро-дифференциального уравнения переноса поляризованного излучения в изотропной однородной среде. Показано, что в случае пространственно-однородной задачи для изотропной среды поляризация не влияет на асимптотику излучения.

Раздел 1.5 содержит обоснование специального метода вычисления параметра А* экспоненциальной временнбй асимптотики, основанного на реализации итераций резольвенты соответствующего оператора переноса. Данный метод представляет собой реализацию общего алгоритма метода Монте-Карло для оценки главного собственного числа с использованием итераций Келлога. Однако, этот метод не позволяет находить параметр асимптотики а. Для его нахождения используется метод, основанный на вычисления параметрических производных по времени, приведенный в разделе 1.6. Данный метод позволяет вычислять оба параметра А* и а временнбй асимптотики.

Асимптотические оценки функционалов и их производных можно улучшить, вычисляя вместо функционалов их среднеинтегральные значения по некоторому интервалу. В разделе 1.7 приведены полученные формулы.

Вторая глава посвящена описанию применяемых вычислительных алгоритмов.

Раздел 2.1 описывает общий весовой алгоритм моделирования траектории "векторного фотона" и расчета функционалов от решения уравнения переноса поляризованного излучения.

Раздел 2.2 содержит общий алгоритм пересчета вектора-параметра Стокса после рассеяния.

Раздел 2.3 описывает весовые алгоритмы моделирования траектории "векторного фотона" при использовании локальной и двойной

локальной оценок.

В третьей главе собраны результаты, проведенных автором численных экспериментов, использующих полученные формулы и алгоритмы.

Расчеты, анализ результатов которых приведен в разделах 3.1 и 3.2, проводились на ПЭВМ с процессором Intel Pentium D 920, 2.8GHz, 1Gb RAM с использованием конгруэнтного мультипликативного генератора псевдослучайных чисел с параметрами М = 517 и г = 40.

В разделе 3.1 приведен анализ результатов тестовых расчетов параметра Л* экспоненциальной асимптотики интенсивности излучения в бесконечном слое рассеивающего и поглощающего вещества. Расчеты проводились для среды с молекулярным рассеянием.

При численной реализации алгоритма на основе итераций резольвенты использовалась модификация "оценки по столкновениям" в состоянии после рассеяния для функционала, определяющего число рассеяний до поглощения частицы.

При численной реализации алгоритма, основанного на параметрических временных производных от специального представления решения нестационарного уравнения переноса с поляризацией рассматривалась функция источника вида: f(t) = í2e~~2í, при t > 0. Моделирование проводилось с использованием модификации "без поглощения".

Отметим, что метод итераций резольвенты дает точный результат уже на первой итерации и в случае расчетов без поляризации, и в случае расчетов с учетом поляризации. Если же используется метод параметрических временных производных, то сходимость метода зависит от функции источника.

Полученные результаты статистического моделирования, с точностью до погрешности, совпадают с известным значением параметра экспоненциальной асимптотики интенсивности неполяризованно-го излучения для бесконечной среды А* = —егсг>. Здесь сгс - сечение поглощения, v - скорость частиц.

В разделе 3.2 приведен анализ результатов расчетов параметра А* экспоненциальной асимптотики интенсивности излучения в плоских слоях рассеивающего и поглощающего вещества. Расчеты проводились для сред с молекулярным и аэрозольным рассеянием.

Пусть т обозначает оптическую толщину слоя. Моделирование процесса переноса было реализовано в двух плоских слоях: 0 < z < 1ct = 1ii0<z<5ct = 5ot равномерно распределенных изотропных источников.

При численной реализации алгоритма на основе итераций резольвенты использовалась модификация "оценки по столкновениям" в состоянии после рассеяния с моделированием цепи Маркова "без поглощения". Также использовалась "оценка по поглощениям". Расчеты проводились для функционала, определяющего число рассеяний до поглощения или вылета за пределы среды.

При численной реализации алгоритма, основанного на параметрических временных производных от специального представления решения нестационарного уравнения переноса с поляризацией рассматривалась функция источника вида: /(t) = te~t, при t > 0.

Полученные результаты показали, что значения временной постоянной, вычисленные разными методами, совпадают в пределах статистической погрешности, однако, статистически различаются при моделировании с учетом поляризации и без ее учета, т.е. деполяризация потока частиц несколько запаздывает относительно перехода к асимптотике. Особенно существенным является этот эффект для молекулярного рассеяния. Отметим также, что метод итераций резольвенты оказался более точным.

Полученные для молекулярного рассеяния оценки подтвердили гипотезу о том, что параметр экспоненциальной асимптотики интенсивности поляризованного излучения X*s = А у = А^ = ~acv и для полупространства.

Отметим, что полученные результаты показывают, что как и в скалярном случае, временная экспоненциальная асимптотика первой компоненты векторной интенсивности поляризованного излучения определяется главным характеристическим числом соответствующего однородного уравнения переноса. Следовательно, аналогичными являются асимптотики и остальных векторных компонент интенсивности. Проведенные дополнительные расчеты подтвердили это утверждение.

Для проведения расчетов, результаты которых приведены в разделах 3.3 и 3.4 была создана параллельная реализация алгоритма. Код программы был написан на языке Intel Fortran с использова-

нием MVAPICH на коммуникационной среде InfiniBand. Также использовалась библиотека Intel MKL. Вычисления выполнялись на многопроцессорной системе НКС-160 Сибирского суперкомпьютерного центра. Расчеты проводились с использованием двух генераторов псевдослучайных чисел: мультипликативного конгруэнтного генератора с параметрами М — 5100109(mod 2128) и г — 128 и генератора МТ2203 из математической библиотеки Intel MKL. Отметим, что результаты расчетов с разными генераторами псевдослучайных чисел статистически не отличаются.

В разделе 3.3 приведен анализ результатов расчетов параметров А* и а временнбй асимптотики интенсивности излучения, выходящего из полупространства в направлении, перпендикулярном к границе и интегральной освещенности границы полубесконечной рассеивающей и поглощающей среды. Расчеты проводились для среды с аэрозольным и молекулярным рассеянием.

В расчетах методом Монте-Карло был использован стандартный алгоритм моделирования "векторного фотона" с учетом "веса". Для вычисления асимптотических параметров освещенности использовалась модификация локальной оценки "по столкновениям" в состоянии после рассеяния с моделированием цепи Маркова без поглощения. Для вычисления асимптотических параметров интенсивности излучения использовалась локальная оценка с моделированием цепи Маркова без поглощения. Также, в обоих случаях, использовалась модификация "моделирования без вылета".

В качестве временнбй составляющей плотности распределения первых столкновений использовались функции вида f(t) = ie-t, t > 0 и /(f) = i(l — i), 0 < t < 1. Так же использовалось полученное автором аналитическое осреднение финитной функции источника J-(t).

Численные эксперименты показали, что параметры асимптотики освещенности и интенсивности излучения, выходящего из слоя статистически не различаются. Также показано, что значения параметров временнбй асимптотики в случаях с учетом поляризации и без ее учета совпадают с точностью до статистической погрешности.

Отметим, что полученные в расчетах значения параметра временнбй асимптотики а близки к значению —3/2, полученному в работе Романовой JI. М. (1965) аналитическими выкладками при соответствующих асимптотических предположениях.

В разделе 3.4 анализируются результаты расчетов параметров А* и а временной асимптотики освещенности точечного приемника, находящегося за пределами полубесконечной рассеивающей и поглощающей среды для узких пучков света. Расчеты проводились для среды с аэрозольным рассеянием с использованием векторной локальной оценки и аналитического осреднения финитной функции источника, разработанного автором.

Полученные в расчетах значения параметра временнбй асимптотики а близки к значению —5/2, полученному в работе Зеге Э. П., Кацева И. Л. (1973).

В приложении А даны замечания об использовании параллельных вычислений на многопроцессорных вычислительных системах. Рассматривается общая схема конгруэнтного генератора псевдослучайных чисел.

В разделах А.2.2 и А.2.3 приведены, разработанные автором 64-битная модификация ддинно-периодного конгруэнтного генератора псевдослучайных чисел с множителем М = 5100109 по основанию 2128, которая позволяет достичь значительного ускорения вычислений на процессорах, поддерживающих быструю 64-битную арифметику, а также векторизованная процедура генерирования псевдослучайных чисел, сокращающая время, затрачиваемое на реализацию одного числа. Далее в разделе А.З приведены соответствующие вычислительные программы на языке С.

В разделе А.2.4 приведена формула генератора псевдослучайных чисел "Вихрь Мерсенна", который в настоящее время становится все более и более популярным и часто используется в вычислениях. Раздел А.2.5. содержит результаты тестирования генератора МТ2203 математической библиотеки Intel MKL на многомерную равномерность по критерию "хи-квадрат", проведенного автором. Генератор МТ2203 представляет собой модификацию генератора "Вихрь Мерсенна", предназначенную для многопроцессорного моделирования. Результаты тестирования можно считать удовлетворительными, что делает данный генератор пригодным для использования в расчетах методом Монте-Карло.

В приложении Б собраны таблицы результатов численных экспериментов, анализ которых приведен в третьей главе.

Заключение содержит перечень основных результатов диссер-

тационной работы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты диссертационной работы.

1. Разработан и обоснован алгоритм вычисления параметра А* экспоненциальной временнбй асимптотики интенсивности поляризованного излучения, основанный на реализации итераций резольвенты соответствующего оператора переноса.

2. Разработан и обоснован алгоритм вычисления параметров А* и а временнбй асимптотики интенсивности поляризованного излучения, основанный на параметрическом дифференцирования по времени специального представления решения нестационарного уравнения переноса с поляризацией.

3. С помощью прецизионных расчетов разработанными методами показано, что для ограниченных сред значения параметров экспоненциальной временной асимптотики интенсивности излучения в случае учета поляризации и без ее учета, не совпадают, т.е. деполяризация потока частиц несколько запаздывает относительно прехода к асимптотике.

4. Для задач оценки асимптотики помехи обратного рассеяния при лазерном зондировании полубесконечной среды осуществлена численная реализация алгоритма расчета параметров А* и а временнбй асимптотики интенсивности поляризованного излучения с использованием двойной локальной оценки и метода, основанного на вычислении параметрических производных по времени.

5. Для задачи оценки параметров А* и а временнбй асимптотики потока излучения, выходящего из полубесконечного слоя рассеивающего и поглощающего вещества при освещении его внешним источником, на основе метода параметрического дифференцирования по времени и локальной оценки, с помощью прецизионных расчетов показано, что параметры асимптотики с учетом поляризации и без ее учета совпадают с точностью до статистической погрешности.

6. Для вычисления параметров временной асимптотики освещенности и интенсивности на границе рассеивающей и поглощающей среды предложен вариант аналитического осреднения с использованием финитной весовой функции. Проведенные расчеты показали эффективность данного подхода.

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю к.ф.-м.н., с.н.с. Сергею Анатольевичу Ухинову за постоянное внимание и плодотворное руководство работой, а также члену-корреспонденту РАН Геннадию Алексеевичу Михайлову за ценные консультации.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в журналах списка ВАК

[1] Михайлов Г.А., Грачева Н.В., Ухинов С.А. Исследование асимптотики интенсивности поляризованного излучения методом Монте-Карло // Доклады Академии Наук. - 2007, Т. 414, Л* 6, с. 727-731.

[2] Михайлов Г.А., Трачева Н.В.,Ухинов С.А. Исследование временной асимптотики интенсивности поляризованного излучения методом Монте-Карло // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2007. Т. 47, № 7. С. 1264-1275.

[3] G.A. Mikhailov, N.V. Tracheva, S.A. Ukhinov Time asymptotics of the intensity of polarized radiation // Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2007. Vol. 22, No. 5. P. 487-503.

[4] Трачева H.В., Ухинов С. А., Чимаева A.C. Расчет параметров временной асимптотики выходящего из полубесконечного слоя поляризованного излучения // Вычисл. технологии. 2008. Т. 13, Специальный выпуск 4. С. 120-130.

[5] G.A. Mikhailov, N.V. Tracheva, S.A. Ukhinov The Monte Carlo method and analytic averaging for estimation of parame-ters of polarized radia-tion asymptotics // Russian J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2008. Vol. 23, No. 3. P. 239-250.

Прочие публикации

[6] Трачева Н.В. Численное исследование временной асимптотики интенсивности излучения с учетом поляризации // Труды конференции молодых ученых ИВМиМГ СО РАН. - Новосибирск, 2006. С. 225-231.

Трачева Наталья Валерьевна

МЕТОДЫ МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ ОЦЕНКИ

ПАРАМЕТРОВ АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЯ

УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ С УЧЕТОМ ПОЛЯРИЗАЦИИ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия ИД N0 02202 от 30 июня 2000 г. Подписано в печать 14.11.2008 г.

Формат бумаги 60 х 841/16 Объем 1,0 п. л. 0,9 уч.-изд. л. Тираж 100 экз. Заказ N0

ООО "Омега Принт", Новосибирск-90, пр. Лаврентьева, 6

Введение

1. Вопросы теории и алгоритмов метода Монте-Карло

1.1. Вводная информация

1.2. Общая теория решения системы интегральных уравнений методом Монте-Карло.

1.3. Локальные оценки.

1.4. Значение параметра Л* экспоненциальной временной асимптотики для бесконечного однородного изотропного пространства

1.5. Оценка параметра Л* экспоненциальной временной асимптотики с помощью итераций резольвенты.

1.6. Оценка параметров А* и а: временной асимптотики на основе параметрических производных по времени

1.7. Оценка параметров А* и а временной асимптотики на основе специального аналитического осреднения.

2. Вычислительные алгоритмы

2.1. Общий алгоритм моделирования траекторий.

2.2. Алгоритм пересчета вектора Стокса.

2.3. Алгоритм моделирования для решения задач лазерного зондирования

3. Решение модельных и прикладных задач

3.1. Модельная задача вычисления параметра А* экспоненциальной временной асимптотики в бесконечной среде.

3.2. Вычисление параметра А* экспоненциальной временной асимптотики в плоском слое

3.3. Вычисление параметров А* и а: временной асимптотики освещенности границы полупространства

3.4. Вычисление параметров Л* и а временной асимптотики интенсивности отраженного средой света в задачах оптического зондирования

А. Генераторы псевдослучайных чисел и распределенные вычисления методом Монте-Карло

А.1. Параллельная реализация расчетов методом Монте-Карло

А.2. Генераторы псевдослучайных чисел.

А.2.1. Мультипликативный конгруэнтный генератор псевдослучайных чисел.

А.2.2. Модификация генератора с параметрами М = 5100109 и г = 128.

А.2.3. Векторизация генераторов псевдослучайных чисел . 67 А.2.4. Генератор псевдослучайных чисел "Вихрь Мерсенна"

А.2.5. Тест на ^-равномерность.

А.З. Вычислительные программы, константы, инструкции для использования.

Б. Таблицы результатов

Существует ряд задач теории переноса, при решении которых исследователей интересует асимптотическое поведение интенсивности излучения на больших временах в светорассеивающих средах.

Для практических приложений важным оказывается исследование свойств временной асимптотики интенсивности излучения отраженного веществом, которое определяет "помеху обратного рассеяния" при оптическом зондировании среды. Получение оценок параметров асимптотики для данной задачи с учетом поляризации является актуальной и до сих пор мало исследованной проблемой.

Диссертационная работа посвящена разработке и обоснованию алгоритмов вычисления асимптотических параметров интенсивности многократно рассеянного поляризованного излучения.

Математическое описание распространения поляризованного излучения, изложенное в работах [7, 38], предоставляет нам удобный инструмент для исследования процесса переноса поляризованного излучения. Этим инструментом являются вектор-функции Стокса, характеризующие свойства излучения в каждой конкретной точке, и интегральное уравнение переноса с обобщенным ядром, описывающее сам процесс переноса.

Интенсивность и состояние поляризации излучения полностью определяются четырехкомпонентной вектор-функцией Стокса, компоненты которой определяют в совокупности интенсивность, степень поляризации, плоскость поляризации и степень эллиптичности излучения.

Процесс переноса излучения с поляризацией описывается интегральным уравнением второго рода (см., например, [9, 19, 21, 27]), оператор которого, в силу физических особенностей задачи, оставляет инвариантным множество вектор-функций Стокса. Исследованию свойств подобных операторов посвящены, например, работы [5, 14].

Изучению уравнения переноса посвящена обширная литература (см., например, [8, 18, 39, 32]). В ней содержатся математические постановки задач теории переноса, вывод интегро-дифференциального уравнения переноса. Обоснование условий существования собственных значений дается в работах [10, 39]. Численные методы решения соответствующих задач рассмотрены в известных монографиях [3, 17, 18]. Среди них существенное место занимает метод Монте-Карло [9, 17, 23].

Физико-математическая модель переноса поляризованного излучения строится на основе феноменологического предположения о том, что в результате рассеяния ассоциируемый с "фотоном" вектор Стокса преобразуется заданной матрицей рассеяния [19]. Таким образом, процесс распространения света можно рассматривать как случайную марковскую цепь столкновений фотонов с веществом, которые приводят либо к рассеянию (с пересчетом вектора Стокса), либо к поглощению фотонов. Метод Монте-Карло заключается в моделировании траекторий этой цепи на ЭВМ и вычислении статистических оценок для искомых функционалов.

Отметим, что алгоритмы численного статистического моделирования естественным образом распараллеливаются путем распределения численных статистических испытаний по отдельным процессорам, поэтому, в связи с ростом мощностей вычислительных систем, их исследование приобретает особое значение.

Итак, основными целями диссертационной работы являются:

• Разработка и обоснование алгоритмов вычисления параметров временной асимптотики интенсивности поляризованного излучения.

• Разработка комплекса программ, реализующих предложенные алгоритмы.

• Проведение численного исследования временной асимптотики интенсивности поляризованного излучения для сред различной геометрии, с различными коэффициентами рассеяния и поглощения, с матрицами аэрозольного и молекулярного рассеяния.

В диссертационной работе рассматривается подробное описание алгоритма метода Монте-Карло для расчета интенсивности многократно рассеянного поляризованного излучения. Отметим, что соответствующий алгоритм моделирования переноса излучения из физических соображений был предложен в [42]. В этой же работе было указано, что "более точной", по отношению к первой компоненте вектора Стокса, является угловая переходная плотность, пропорциональная новому значению этой компоненты. Однако, соответствующая случайная векторная оценка является нестандартной; ее математическое исследование, а также использование для решения ряда прикладных задач затруднительно. В частности, рассматриваемая в настоящей работе стандартная оценка сравнительно эффективна для вычисления изменения изучаемых функционалов при изменении матрицы рассеяния.

Рассматриваемая математическая модель позволяет ставить достаточно большое множество практически интересных задач, для решения которых может быть эффективно применен метод Монте-Карло. Традиционный способ его использования заключается в следующем [9, 22, 21, 33]. Рассматривается некоторый линейный функционал J от решения уравнения переноса, для него строится стандартная весовая оценка статистического моделирования математическое ожидание которой и дает нам искомое значение функционала.

Конкретный вид функционала J, разумеется, зависит от поставленной задачи. Так, например, для определения характеристик поляризованного излучения "в точке" используются локальные оценки [19, 27].

Заметим, что для применения метода Монте-Карло к вычислению линейного функционала J необходимо на интегральный оператор, описывающий перенос излучения, наложить некоторые ограничения, обеспечивающие существование математического ожидания оценки ее несмещенность и конечность дисперсии [26]. Однако, даже если дисперсия оценки £ конечна, она может оказаться настолько большой, что полученный алгоритм окажется практически неприменимым. В этом случае приходится применять некоторые приемы уменьшения дисперсии оценок метода Монте-Карло (см., например, [22]).

Далее следует краткое содержание диссертации по главам.

Первая глава посвящена вопросам теории и алгоритмов метода Монте-Карло.

В разделе 1.1 приводится вводная информация о вектор-функции Стокса и интегро-дифференциальное уравнение переноса с учетом поляризации

В разделе 1.2 рассматривается интегральное уравнение второго рода с обобщенным матричным ядром. Приводятся сведения из общей теории весовых оценок метода Монте-Карло для вычисления линейных функционалов от решения матричного интегрального, уравнения и их параметрических производных. Далее рассматриваются условия несмещенности и конечности дисперсии этих оценок.

В разделе 1.3 описывается построение векторных локальных оценок.

В разделе 1.4 автором доказана теорема о главном характеристическом числе однородного интегро-дифференциального уравнения переноса поляризованного излучения в изотропной однородной среде. Показано, что в случае пространственно-однородной задачи для изотропной среды поляризация не влияет на асимптотику излучения.

Основные результаты диссертационной работы:

1. Разработан и обоснован алгоритм вычисления параметра Л* экспоненциальной временной асимптотики интенсивности поляризованного излучения, основанный на реализации итераций резольвенты соответствующего оператора переноса.

2. Разработан и обоснован алгоритм вычисления параметров А* и а временной асимптотики интенсивности поляризованного излучения, основанный на параметрическом дифференцирования по времени специального представления решения нестационарного уравнения переноса с поляризацией.

3. С помощью прецизионных расчетов разработанными методами показано, что для ограниченных сред значения параметров экспоненциальной временной асимптотики интенсивности излучения в случае учета поляризации и без ее учета, не совпадают, т.е. деполяризация потока частиц несколько запаздывает относительно прехода к асимптотике.

4. Для задач лазерного зондирования полубесконечной среды осуществлена численная реализация алгоритма расчета параметров Л* и о; временной асимптотики интенсивности поляризованного излучения с использованием модифицированной двойной локальной оценки и метода, основанного на вычислении параметрических производных по времени.

5. Для задачи оценки параметров Л* и а временной асимптотики потока излучения, выходящего из полубесконечного слоя рассеивающего и поглощающего вещества при освещении его внешним источником, на основе метода параметрического дифференцирования по времени и модифицированной локальной оценки, с помощью прецизионных расчетов показано, что параметры асимптотики с учетом поляризации и без ее учета совпадают с точностью до статистической погрешности.

6. Для вычисления параметров временной асимптотики освещенности и интенсивности на границе рассеивающей и поглощающей среды предложен вариант аналитического осреднения с использованием финитной весовой функции. Проведенные расчеты показали эффективность данного подхода.

Заключение

1. Антонов А.С. Параллельное программирование с использованием технологии MP1. М.: Издательство Московского университета, 2004.

2. Бирман М.Ш. и др. Функциональный анализ. М.: Наука, 1972.

3. Владимиров В. С. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. // Тр.МИАН СССР. 1961. - Т. 61.

4. Владимиров В. С. О применении метода Монте-Карло для отыскания наименьшего характеристического числа и соответствующей собственной функции линейного интегрального уравнения // Теор. вероятн. и ее примен. 1956. - Т. 1, № 1. - С.113-130.

5. Гермогенова Т. А., Коновалов Н. В. Спектр характеристического уравнения с учетом поляризации. ИПМ АН СССР, Препринт № 62, М., 1978.

6. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы (общая теория). М.: ИЛ, 1962.

7. Дейрменджан Д. Рассеяние электромагнитного излучения сферическими полидисперсными частицами. М., Мир; 1971.

8. Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов. -М.:Атомиздат, 1960.

9. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. М., Наука; 1982.

10. Ершов Ю.И., Шихов С.Б. Математические основы теории переноса Т.1. -М.:Энергоатомиздат, 1985.

11. Зеге Э.П., Кацев И.Л. Временные асимптотические решения уравнения переноса излучения и их применения. Минск, 1973. - (Препринт/АН БССР ИФ).

12. Кендалл М., Стюарт А. Статистические выводы и связи. М., Наука; 1973.

13. Крейн С. Г., ред. Функциональный анализ. М., Наука; 1972.

14. Кузьмина М. Г. Общие функциональные свойства уравнения переноса поляризованного излучения // Докл. АН СССР, 1978, т. 238, № 2, стр. 314-317.

15. Лотова Г. 3., Михайлов Г. А. Новые методы Монте-Карло для решения нестационарных задач теории переноса излучения// Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2002. - Т. 42, № 4. - С. 569-579.

16. Марченко М.А. Михайлов Г.А. Распределенные вычисления по методу Монте-Карло// Автоматика и телемеханика. 2007, Ns 5. С. 157-170.17 1819