автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Методы Монте-Карло для решения задач теории переноса поляризованного излучения

Ухинов Сергей Анатольевич

МЕТОДЫ МОНТЕ-КАРЛО ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА ПОЛЯРИЗОВАННОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

О з МАР 2011

Новосибирск - 2010

4856518

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН.

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических паук, член-корреспопдент РАН Михайлов Геннадий Алексеевич

доктор физико-математических наук, профессор

Сушкевич Тамара Алексеевна

доктор физико-математических наук, профессор

Кабанихин Сергей Игоревич

доктор физико-математических наук, профессор

Креков Георгий Михайлович

Учреждение Российской академии наук Институт теоретической и прикладной механики им. С. А. Христиановича Сибирского отделения РАН

Защита состоится 29 марта 2011 года в 17 часов на заседании диссертационного совета Д 003.061.02 при Учреждении Российской академии наук Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН (630090, Новосибирск, проспект Лаврентьева, 6).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН.

Автореферат разослан 2011 года.

Ученый секретарь диссертационного совета д. ф.-м. н.

С. Б. Сорокин

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Имеется целый ряд физических проблем, требующих достаточно точного решения задач теории переноса излучения в атмосфере с учетом поляризации. Это, прежде всего, задачи интерпретации оптических наблюдений.

Диссертационная работа посвящена разработке методов статистического моделирования и вычислительных алгоритмов для исследования свойств поляризованного излучения и решения обратных задач атмосферной оптики по определению параметров, определяющих взаимодействие излучения с рассеивающей и поглощающей средой (коэффициентов взаимодействия, индикатрисы рассеяния).

Известное математическое описание процесса переноса поляризованного излучения предоставляет удобный инструмент для исследования этого процесса. Базовыми при этом являются вектор-функции Стокса, компоненты которых определяют в совокупности интенсивность, степень поляризации, плоскость поляризации и степень эллиптичности излучения, и интегро-дифференциальное уравнение переноса, описывающее процесс переноса.

Процесс переноса излучения можно также описать интегральным уравнением второго рода, оператор которого, в силу физических особенностей задачи, оставляет инвариантным множество вектор-функций Стокса.

Изучению уравнений переноса излучения посвящена обширная литература. В ней содержатся математические постановки задач теории переноса, вывод интегро-дифференциалыюго и интегрального уравнений переноса, дается обоснование условий существования собственных значений, разрабатываются численные методы решения соответствующих задач. Существенное место здесь занимает метод статистического моделирования (метод Монте-Карло), так как уравнение переноса трудно разрешимо классическими методами вычислительной математики, если учитываются реальные индикатрисы и неоднородность среды. Во многих случаях практически это можно осуществить методом Монте-Карло.

Процесс распространения света можно рассматривать как случайную марковскую цепь столкновений фотонов с веществом, которые приводят либо к рассеянию (с пересчетом вектора Стокса), либо к поглощению фотонов. Метод Монте-Карло заключается в модели-

рованни траекторий этой цепи на ЭВМ и вычислении статистических оценок для искомых функционалов. Построение случайных траекторий для "физической" модели процесса принято называть прямым моделированием. При этом в скалярном варианте веса не используются и дисперсии оценок метода Монте-Карло заведомо конечны. Указанный выше пересчет вектора Стокса уже предполагает использование матричного веса. В связи с этим ранее были построены и предварительно исследованы общие матрично-весовые алгоритмы для решения систем интегральных уравнений теории переноса излучения с учетом поляризации.

Отметим, что алгоритмы численного статистического моделирования естественным образом распараллеливаются путем распределения численных статистических испытаний по отдельным процессорам, поэтому, в связи с ростом мощностей вычислительных систем, их исследование приобретает особое значение.

Рассматриваемая математическая модель процесса переноса излучения позволяет ставить достаточно большое множество практически интересных задач, для решения которых может быть эффективно применен метод Монте-Карло. Традиционный способ его использования заключается в следующем. Рассматривается некоторый линейный функционал X от решения уравнения переноса, для него строится стандартная весовая оценка статистического моделирования математическое ожидание которой и дает нам искомое значение функционала.

Конкретный вид функционала X, разумеется, зависит от поставленной задачи. Так, для определения характеристик поляризованного излучения "в точке" используются локальные оценки. Обладая же возможностью вычисления характеристик излучения можно ставить и решать задачи определения параметров рассеивающей среды по некоторым заданным результатам наблюдений.

Для успешного применения метода Монте-Карло к вычислению линейного функционала I необходимо на интегральный оператор, описывающий перенос излучения, наложить некоторые ограничения, обеспечивающие существование математического ожидания оценки ее несмещенность и конечность дисперсии. В общем случае эти условия оказываются достаточно жесткими, однако специфика рассматриваемой системы интегральных уравнений позволяет существенно их ослабить. При этом оказывается, что дисперсия векторных оценок метода Монте-Карло может быть бесконечной даже

в том случае, когда соответствующие скалярные оценки (без учета поляризации) имеют конечную дисперсию. Это, естественно, приводит к необходимости проведения дополнительного теоретического и численного анализа условий конечности дисперсии в векторном случае.

Однако, даже если дисперсия оценки £ конечна, она может быть довольно большой, и соответствующий алгоритм метода Монте-Карло может оказаться практически неприменимым. В этом случае необходимо применять специальные весовые модификации моделирования переноса излучения с поляризацией, приводящие к уменьшению дисперешг оценок метода Монте-Карло.

Рассмотрение обратных задач и, применительно к ним, итерационных процессов (Ныотоиа-Канторовича и других) приводит к необходимости получения оценок параметрических производных соответствующих линейных функционалов. В этом случае целесообразным представляется использовать уже имеющиеся стандартные оценки сведя задачу к вычислению параметрических производных этих оценок. При этом опять возникает необходимость рассмотрения условий несмещенности и конечности дисперсии полученных оценок производных.

Отметим, что использование итерационного процесса Ньютона-Канторовича обладает, помимо вссго прочего, еще одной особенностью. А имешю, его применение сопряжено с обращением матриц, элементы которых рассчитываются с использованием реализаций оценок производных При этом обращаемые матрицы, как правило, являются плохо обусловленными. В этом случае на первый план выступают вопросы уменьшения дисперсии оценок производных и исследования альтернативных итерационных методов.

В диссертации рассмотрены три задачи оптического зондирования атмосферы, имеющие практическое значение. Две из них относятся к так называемому пассивному зондированию, когда по измерениям приходящего в приемник рассеянного солнечного излучения требуется определить параметры аэрозольной составляющей атмосферы.

Первая задача состоит в определении высотного хода (распределения) коэффициента аэрозольного рассеяния в атмосфере.

Наиболее информативными наблюдениями в этой задаче считаются наблюдения из космоса, численному моделированию которых и сравнению с экспериментальными данными посвящено много работ.

Очевидно, что наземные наблюдения рассеянного солнечного излучения являются менее дорогостоящими, однако их информативность возможна только в сумерках. Исследованию сумеречного метода зондирования с поверхности Земли, моделированию наблюдений методом Монте-Карло и сравнению с экспериментом также посвящено много работ.

Следует отметить, что решение задач переноса излучения в сумерках является значительно более сложной проблемой, чем в дневной области. Во-первых, необходимо рассматривать сферическую геометрию атмосферы Земли, что усложняет алгоритмы, а во-вторых, в этих задачах присутствуют большие оптические толщи среды на пути света от Солнца к приемнику, которые приводят к необходимости учета вкладов от рассеяний многих порядков. Погрешности метода Монте-Карло в сумеречных расчетах, при этом, оказываются на порядок больше погрешностей расчетов в дневной области Земли, а погрешности расчетов параметрических производных от функционалов на порядок больше погрешностей расчета самих функционалов. Поэтому важными этапами решения обратных задач являются как разработка и исследование алгоритмов расчета соответствующих параметрических производных, так и анализ погрешностей соответствующих оценок. "Учет поляризации излучения еще больше усложняет обратную задачу, но дает возможность ее решения не только по данным измерений интенсивности излучения, но и по измерениям других компонент вектор-параметра Стокса.

Вторая задача состоит в определении индикатрисы аэрозольного рассеяния по наблюдениям яркости неба с поверхности Земли в альмукантарате Солнца, то есть в различных направлениях, составляющих с зенитом тот же угол, что и направление на Солнце. Поле излучения в атмосфере формируется одно- и многократно рассеянным солнечным светом, а также отраженным от подстилающей поверхности излучением. В приближении однократного рассеяния наблюдаемые значения яркости пропорциональны соответствующим значениям индикатрисы. Для оценки индикатрисы было построено несколько итерационных алгоритмов, в которых с помощью математического моделирования последовательно уточняются значения индикатрисы на основании информации об угловом распределении поля яркости на подстилающей поверхности и предположения, что доля однократно рассеянного излучения достаточно велика.

Учет поляризации излучения в этой задаче ранее не производил-

ся, хотя известно, что она влияет на интенсивность приходящего в альмукантарате излучения.

Третья задача состоит в исследовании временной асимптотики многократно рассеянного поляризованного излучения, выходящего из среды и являющегося помехой обратного рассеяния при дистанционном зондировании атмосферы. Получение оценок параметров асимптотики для данной задачи является актуальной и до сих пор мало исследованной проблемой.

Основные цели работы.

• Обоснование применения метода Монте-Карло для расчета функционалов и их параметрических производных от решения системы интегральных уравнений переноса поляризованного излучения. Получение условий несмещенности и конечности дисперсий соответствующих статистических оценок. Исследование спектрального радиуса оператора, определяющего матрицу вторых моментов стандартной векторной оценки метода Монте-Карло, построение и реализация алгоритма для его численной оценки.

• Разработка и численная апробация алгоритмов решения задачи восстановления высотного хода коэффициента аэрозольного рассеяния атмосферы по результатам измерений поляризационных характеристик рассеянного солнечного излучения с поверхности Земли в сумерках.

• Построение и обоснование итерационного метода восстановления индикатрисы рассеяния по наземным наблюдениям интенсивности поляризованного излучения в альмукантарате Солнца. Разработка комплекса программ, реализующих рассматриваемые алгоритмы. Исследование сходимости алгоритмов при различных параметрах среды.

• Разработка и обоснование алгоритмов оценки параметров временной асимптотики многократно рассеянного поляризованного излучения. Разработка комплекса программ, проведение численных расчетов и определение параметров асимптотики для различных сред и функционалов от интенсивности поляризованного излучения.

Методы исследования базируются на теории переноса излучения, теории интегральных уравнений второго рода и теории весовых

методов численного статистического моделирования.

Научная новизна.

1. Получены ослабленные условия несмещенности и конечности дисперсии весовых векторных оценок метода Монте-Карло в случае нестоксовского свободного члена сопряженного векторного уравнения переноса.

2. Впервые получены условия несмещенности и конечности дисперсии весовых оценок производных по параметрам, входящим в матричное ядро уравнения переноса.

3. Проведено исследование спектрального радиуса р матрично-интегрального оператора Кр, определяющего матрицу вторых моментов стандартной векторной оценки метода Монте-Карло. Построен алгоритм оценки спектрального радиуса оператора Кр методом Монте-Карло на основе итераций соответствующей резольвенты. С помощью расчетов, а также приближенно аналитически, показано, что величина р(Кр) для ограниченной среды приближенно равна произведению спектральных радиусов оператора, соответствующего переносу излучения без поляризации и оператора, соответствующего переносу излучения в бесконечной однородной среде, который вычислен для молекулярного и тестового аэрозольного типов рассеяния.

4. Впервые получены теоретические выводы о конечности дисперсий оценок функционалов при использовании различных весовых модификаций метода Монте-Карло. Проведены численные эксперименты по исследованию поведения статистических оценок и их дисперсий при значениях коэффициента поглощения в среде близких к критическим, для которых теоретически дисперсия оценок бесконечна.

5. Впервые получены выражения для вычисления производных весовых оценок по коэффициентам поглощения, рассеяния и аэрозольного рассеяния в неоднородной атмосфере с учетом поляризации.

6. Предложены способы уменьшения дисперсии оценок производных, основанные на методе рандомизации и билинейном представлении оцениваемых функционалов.

7. Осуществлена численная реализация разработанных автором алгоритмов с использованием модифицированной двойной локальной оценки для сферической геометрии атмосферы.

8. Впервые получены условия применимости разработанных алгоритмов к решению задачи восстановления высотного хода коэффициента аэрозольного рассеяния по наблюдениям поляризационных характеристик рассеянного солнечного излучения с поверхности Земли в сумерках.

9. Для решения задачи восстановления индикатрисы рассеяния атмосферы по наземным наблюдениям яркости поляризованного излучения в альмукантарате Солнца предложен новый итерационный метод, эффективно учитывающий отражение от подстилающей поверхности. Дано теоретическое обоснование сходимости предложенного метода, подтвержденное численными расчетами.

10. На основе теории параметрического дифференцирования векторных оценок разработан алгоритм вычисления матрицы Яко-би для построенного итерационного метода. Численные эксперименты позволили обосновать сходимость этого метода для различных параметров среды и также показали целесообразность учета поляризации при восстановлении индикатрисы.

11. Разработаны и обоснованы новые алгоритмы вычисления параметров временной асимптотики интенсивности многократно рассеянного поляризованного излучения. Первый алгоритм, основанный на реализации итераций резольвенты соответствующего оператора переноса, позволяет оценивать параметр экспоненциальной асимптотики. Второй алгоритм, основанный на параметрическом дифференцирования по времени специального представления решения нестационарного уравнения переноса с поляризацией, позволяет оценивать параметры как экспоненциальной, так и степенной асимптотик.

12. Впервые аналитически получено значение экспоненциальной временной асимптотики интенсивности поляризованного излучения для бесконечного однородного пространства.

13. С помощью прецизионных расчетов впервые показано, что для ограниченных сред и различных типов рассеяния значения параметров экспоненциальной временной асимптотики в случае

учета поляризации и без ее учета не совпадают, то есть деполяризация потока излучения несколько запаздывает относительно перехода к асимптотике.

14. Получены значения параметров асимптотик для различных функционалов от интенсивности поляризованного излучения, в том числе для излучения, являющегося помехой обратного рассеяния при дистанционном зондировании полубесконечной атмосферы. Показано, что в этом случае тип рассеяния и поляризация не влияют па параметры асимптотики с точностью до статистической погрешности.

Достоверность полученных выводов подтверждается математическим анализом разработанных алгоритмов, проведением численных экспериментов для модельных задач с известным точным решением, контрольными расчетами альтернативными методами, сравнением результатов с исследованиями других авторов.

Практическая значимость работы. Для решения ряда важных прикладных задач существенным является то обстоятельство, что полученные в диссертации условия несмещенности и конечности дисперсии оценок параметрических производных функционалов от решения векторного уравнения переноса оказались практически совпадающими с аналогичными условиями для оценок самих функционалов. Критерий конечности дисперсии при этом связал с величиной спектрального радиуса матрично-интегралыюго оператора, определяющего матрицу вторых моментов стандартной векторной оценки метода Монте-Карло. Применение разработанных автором алгоритмов оценки этого спектрального радиуса позволяет сделать выводы о конечности дисперсии оценок, используемых при решении практических задач.

Разработанные новые математические методы и вычислительные алгоритмы определения параметров атмосферного аэрозоля по наблюдениям поляризованного солнечного излучения могут найти применение при интерпретации соответствующих экспериментальных данных.

Разработанные автором методы и алгоритмы оценки параметров асимптотики поляризованного излучения могут быть использованы при исследовании поведения практически важных функционалов на больших временах. Полученные в диссертации параметры асимптотики "помехи обратного рассеяния" могут быть использованы при

решении задач лазерного зондирования атмосферы и океана.

Личный вклад автора. Все представленные в диссертации новые результаты получены при непосредственном личном определяющем участии автора. Соавторы совместных работ Юрков Д. И, Трачсва II. В., Чимаева Л. С. являются учениками Ухииова С. Л.: он был научным руководителем их кандидатских диссертаций.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертационной работе, докладывались и обсуждались па семинарах Отдела статистического моделирования в физике ИВМиМГ СО РАН, на Международных семинарах по математическому моделированию (С.-Петербург; 1998, 2001, 2009 гг.), на Международном симпозиуме стран СНГ "Атмосферная радиация" (С-Петербург; 1999 г.), на Всероссийских конференциях по вычислительной математике (Новосибирск; 2002, 2007, 2009 гг.), на Международной конференции по математическим методам в геофизике (Новосибирск; 2008 г.), на Второй молодежной международной научной школе-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" (Новосибирск; 2010 г.), на Объединенном семинаре ИВМиМГ СО РАН (2010 г.).

Публикации. По теме диссертации в ведущих рецензируемых научных журналах автором с соавторами опубликовано более двадцати работ. Основные результаты диссертации содержатся в тринадцати работах в журналах из Перечня ВАК.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы и подразделы, приложения, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 235 страницах, включает библиографический список из 80 наименований работ, 20 рисунков, 41 таблицу.

Краткое содержание работы

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, цель и задачи исследований, дается краткий обзор литературы по изучаемым в диссертации вопросам, изложено содержание диссертации по главам и подразделам.

Глава 1 посвящена описанию математической модели переноса поляризованного излучения, построению и обоснованию соответствующих оценок метода Монте-Карло.

В разделе 1.1 рассматривается множество вектор-функций Сток-

са, имеющих вид I = (l,Q,U,V)T в четырехмерном функциональном пространстве Lp. При этом для компонент этих функций (параметров Стокса) справедливы следующие соотношения: I > О, 12 > Q2 + U2 + V2. Для стационарных задач компоненты стоксов-ских вектор-функций зависят от пяти переменных: I = 1(ж), х е X, где X = R х Í1,R С R3 - пространство координат, П = {ш € R.3 : = 1} С R2 - пространство единичных векторов направлений. В нестационарном случае появляется зависимость от времени: X — fíxQxT,TCR. Доказано, что это множество является нормальным воспроизводящим конусом. При этом оказалось, что множество операторов, оставляющих инвариантным конус вектор-фупкций Стокса (множество положительных операторов), также является воспроизводящим конусом.

В разделе 1.2 введены интегро-дифференциальное и интегральные уравнения второго рода с обобщенным ядром, описывающие процесс переноса поляризованного излучения.

Традиционной математической моделью процесса переноса поляризованного излучения является стационарное интегро-дифференциальное уравнение переноса

и\7Ф(г,и) + а(г)Ф(г,и) = / <Тв(г)Р(ш',Ы,г)Ф(г,ы')йш' + f0{r,Lj), J п

или в операторном виде

ЬФ + аФ = вФ + fo, (1)

где

Ф(х) = ($!(*), Ф2(х), Ф3(х), ад)г = I(¡r)

- вектор-функция (вектор Стокса) плотности потока частиц ("векторных фотонов"), иначе - вектор функция интенсивности излучения, as(r) - сечение (коэффициент) рассеяния, <т(г) = <тя(г) + ас (г) - полное сечение (коэффициент полного взаимодействия со средой), <7с(г) - сечение (коэффициент) поглощения; /о = (/о1' i Ú2) i /о3' i /о*' )Т ~ вектор-функция плотности распределения источника частиц, символ Т у вектора означает его транспонирование, то есть вектор-столбец.

Матричная функция рассеяния (фазовая матрица рассеяния) Р{ш',со,г) определяется соотношением

p( J, ы, г) = е(тг - »2)л(ы', и, r)e(-ii),

где в - специальная матрица поворота, R - матрица рассеяния, ¿1 - угол между плоскостью и>',е и плоскостью рассеяния ¿2 - угол между плоскостью рассеяния си, ш' и плоскостью ш, е; е - вектор локальной сферической системы координат, обычно равный (0,0,1) в плоской геометрии и г/|г| в сферической геометрии.

В общем случае, при существовании в среде различных видов рассеяния (рассеивающих субстанций), матрица R представляется как средневзвешенное от соответствующих матриц рассеяния. Так, для молекулярного (рэлеевского) и аэрозольного в изотропной среде типов рассеяния:

Ra{jJ.,r)oa{r) + Rm(fl)am(r)

o-aW + ат(г) ' V ;

где Ra, Rm - матрицы аэрозольного и молекулярного рассеяния, £га,(гт - соответствующие сечения рассеяния, fi = (u>,uir) - косинус угла рассеяния.

Рассмотрим вектор-функцию плотности столкновений Ф(г, oj), котрая связана с вектор-функцией интенсивности излучения соотношением: Ф = аФ = (аФ1,аФ2,(тФз,аФ^)Т = (tpi, <р2, <рз, fi)T■

Известно, что она удовлетворяет векторно-интегральному уравнение переноса с учетом поляризации в Li(X) :

Ф(х) = J К{х', х)Ф(i')dx' + F(x), или Ф = КФ + F, (3) х

Ядро оператора К имеет вид:

к-!-,-' -И - °(г)ехр{-т(г', г)}<т.(г')Р(ш', ш, г')

гдег(г',г) = /J1" г ' a(r' + st)dt — оптическая толщина отрезка (г', г); вектор s — (г — r')/\r — r'\, х = (г,ш) G X.

В разделе 1.2 также определены обобщенные интегральные операторы рассеяния С и столкновений 1, причем оператор К является их композицией: К = 1 о С, а уравнение с оператором Ке = С о 1 определяет вектор-функцию Фе плотности рассеяний (плотности эффективного излучения).

R(fi,r)

Алгоритмы метода Монте-Карло основаны на представлении решения уравнения (3) рядом Неймана. Такое представление имеет место, если норма оператора К (или какой-нибудь его степени К"0) меньше единицы, или, переходя к пределу, если спектральный радиус р(К) = Ншц-юо < 1. В разделе 1.3 приведено (несколько более точное, чем в [Марчук Г. И., Михайлов Г. А., Назаралиев М. А. и др., 1976]) ) обоснование сходимости ряда Неймана для уравнения (3) на основе мажорантного свойства первой компоненты вектора Стокса.

В разделе 1.3 описано построение стандартной весовой векторной оценки метода Монте-Карло для вычисления функционалов от решения рассматриваемого векторно-интсгрального уравнения переноса вида:

Гн = <Ф,Я) = <Ф*,Г),

где <Ф,#) = /Фт{х)Н{х)в.х, (Ф= $ Рт{х)Ф*{х)<1х, где Ф* -

х х

решение сопряженного уравнения Ф* = К*Ф* + Н, Н - функция, определяющая рассчитываемый функционал.

В разделе введена также оценка "по рассеяниям" для вычисления функционалов от решения уравнения с оператором Ке.

Раздел 1.4 посвящен вопросу ослабления условий несмещенности и конечности дисперсии стандартной весовой оценки в случае нестоксовского свободного члена Н сопряженного уравнения. В этом случае оказывается существенным, что конус вектор-функций Стокса является воспроизводящим. В разделе приведено уравнение для матрицы вторых моментов векторной оценки решения сопряженного уравнения. Для оценки этого решения методом Монте-Карло построена векторная случайная величина такая, что Е£х = Ф*(х). Если почленное осредпение ряда для допустимо, то матрица вторых моментов = Ф(х) удовлетворяет матрично-интегральному

уравнению [Михайлов Г. А., 1987]

или в операторном виде Ф = А+КрФ, где А = ЯФ*Т + Ф*ЯТ-ЯЯТ, р(х, у) - переходная плотность моделируемой цепи Маркова.

В разделе 1.5 проведено исследование спектрального радиуса оператора Кр. Дан детальный вывод системы уравнений для определе-

ния величины спектрального радиуса оператора соответствующего оператору переноса в бесконечной однородной непоглощающей среде, которая приведена в [Михайлов Г. А., 2003] фактически без обоснования. Приведен общий алгоритм решения полученной системы.

На основе полученной оценки спектрального радиуса оператора Кр (соответствующему оператору Ке) через спектральный радиус оператора С® выведены условия на коэффициент поглощения, обеспечивающие конечность дисперсии оценок функционалов, для различных модификаций моделирования процесса переноса. Здесь же дано объяснение полученным в разделе 4.1.2 численным результатам, согласно которым спектральный радиус оператора К® приближенно равен произведению спектрального радиуса оператора на спектральный радиус скалярного оператора соответствующему переносу излучения без поляризации.

Раздел 1.6 посвящен теории дифференцирования векторных оценок метода Монте-Карло.

В подразделе 1.6.1 приведены утверждения относительно спектральных радиусов систем интегральных уравнений второго рода с блочно-треугольными ядрами. Результаты этого подраздела необходимы для получения условий несмещенности и конечности дисперсии оценок т-кратпых параметрических производных, рассмотренных в подразделе 1.6.2.

Подраздел 1.6.3 содержит утверждения о несмещенности и конечности дисперсии для практически важного случая получения первых производных весовых оценок метода Монте-Карло.

В подразделе 1.6.4 рассмотрены и обоснованы алгоритмы вычисления параметрических производных оценки "по столкновениям" по сечениям поглощения, рассеяния и аэрозольного рассеяния для однородной среды и для неоднородной среды. В последнем случае соответствующие коэффициенты задаются в виде кусочно-постоянных функций и решается задача отыскания параметрической производной по соответствующему коэффициенту, варьируемому в одном из слоев.

В разделе 1.7 приведен алгоритм вычисления спектрального радиуса оператора Кр методом Монте-Карло на основе итераций резольвенты.

В разделе 1.8 дана постановка и описаны алгоритмы решения прямых задач атмосферной оптики в сферической (Рис. 1) и плоско-

параллельной (Рис. 2) геометриях.

В подразделе 1.8.1 сформулирован общий алгоритм моделирования переноса поляризованного излучения и приведены его весовые модификации.

В подразделе 1.8.2 приведены локальная и двойная локальная векторные оценки метода Монте-Карло, описан способ комбинирования этих оценок, приведена модифицированная двойная локальная оценка, используемая при решении задач в сферической геометрии атмосферы.

В подразделе 1.8.3 исследован вопрос вычисления производных модифицированной двойной локальной оценки по коэффициентам поглощения и рассеяния. Выписаны расчетные формулы и дано обоснование конечности дисперсии смещенной оценки производных.

В подразделе 1.8.4 обоснована возможность адаптации рассмотренных выше алгоритмов к вычислению степени поляризации, являющейся элементарной функцией первых двух компонент вектор-функции Стокса, и ее параметрических производных.

Раздел 1.8.5, посвященный вычислению вклада однократно рассеянного излучения в оценки параметрических производных, слу-

Рис. 2. Наблюдения в альмукантарате Солнца.

жит двум целям. Во-первых, сравнение результатов расчетов соответствующих вкладов однократно рассеянного излучения с использованием детерминированного и недетерминированного алгоритмов служит хорошей проверкой правильности полученных формул дифференцирования. Во-вторых, меньшая трудоемкость получения производных вкладов однократно рассеянного излучения делает эти величины привлекательными для использования при решении обратных задач атмосферной оптики.

В разделе 1.9 доказана эквивалентность двух подходов к получению параметрических производных весовых оценок, первый из которых состоит в прямом дифференцировании стандартной оценки, а второй заключается в применении метода зависимых испытаний к решению этой же проблемы.

Раздел 1.10 посвящен некоторым способам уменьшения дисперсии векторных оценок параметрических производных. Рассмотрены возможности использования билинейного представления параметрической производной исходного функционала, применения метода рандомизации к соответствующей треугольной системе интегральных уравнений и представления коэффициентов взаимодействия со средой в виде линейной комбинации функций специального вида. Предложенные алгоритмы численно исследованы в разделе 4.3.2.

Глава 2 посвящена решению обратных задачи оптики атмосферы с учетом поляризации излучения.

В подразделе 2.1.1 раздела 2.1 дана постановка задачи и приве-

ден метод решения задачи по определению вертикального распределения коэффициента аэрозольного рассеяния атмосферы. Метод основан на итерационном процессе Ньютона-Канторовича и методе Монте-Карло для вычисления коэффициентов возникающих при этом систем линейных алгебраических уравнений.

В подразделе 2.1.2 теоретически исследовано влияние вероятностных погрешностей оценок элементов обращаемой системы на погрешности вектора решений; предложен метод, аналогичный методу покоординатного спуска, учитывающий на первых итерациях только знаки параметрических производных.

Раздел 2.2 посвящен рассмотрению задачи восстановления индикатрисы рассеяния по наземным наблюдениям яркости неба в альмукантарате Солнца и методов ее решения.

В подразделе 2.2.1 дана постановка задачи, приведен алгоритм построения индикатрисы рассеяния g(ß) по вектору д значений в узловых точках и введены условные обозначения: F(g),Fi(g),FA(g) -соответственно векторы полной яркости, яркости однократного рассеяния (при А — 0) и яркости от "альбедного источника" ("подсветка"), наблюдаемых в альмукантарате Солнца при индикатрисе рассеяния g(fi), представляющей собой средневзвешенное от известной рэлеевской индикатрисы gm(ß) и аэрозольной индикатрисы ga(ß), построенной по вектору значений да; F* — F(g*) - вектор измеренных яркостей.

В подразделе 2.2.2 описаны итерационные методы решения рассматриваемой обратной задачи - известные в скалярном случае: аддитивный, мультипликативный и новый, эффективно учитывающий отражение от подстилающей поверхности, определяемый формулой:

9'

W =

Fii^-V) . F*-FA(gV"V) = G{g(k-1)}

В подразделе 2.2.3 выведены формулы для расчета матриц Якоби для операторов перехода рассматриваемых итерационных методов.

В подразделе 2.2.4 сформулировано утверждение о том, что сходимость последовательных приближений к решению следует из того, что спектральный радиус матрицы Якоби оператора перехода меньше единицы. Приведено теоретическое обоснование сходимости нового метода при малых оптической толще атмосферы и коэффициенте отражения от Земли. Исследование сходимости рассмотренных ме-

тодов при не малых значениях этих параметров дано в подразделе 4.4.3 на основе численного изучения свойств матриц Якоби.

В подразделе 2.2.5 описан алгоритм вычисления интенсивности излучения и ее производной в альмукантарате с помощью локальной векторной оценки метода Монте-Карло.

В подразделе 2.2.0 сформулирован алгоритм восстановления индикатрисы рассеяния с учетом поляризации излучения.

Подраздел 2.2.7 содержит алгоритм расчета матриц Якоби.

Глава 3 посвящена задаче исследования временной асимптотики многократно рассеянного поляризованного излучения, выходящего из среды и являющегося помехой обратного рассеяния при дистанционном зондировании атмосферы.

Известно, что для неполяризованного излучения асимптотика нестационарного потока частиц при выполнении довольно общих условий является экспоненциальной:

Фх{т, ш, г) ~ С(г,ш,{) ■ еА*\ ¿->+оо,

то есть асимптотика интенсивности излучения определяется функцией ех"г [Дэвисон Б., 1960] с точностью до множителя С(г, ш, £), который изменяется при í —> оо слабее экспоненты.

Ряд публикаций (см., например, [Романова Л. М., 1965; Зе-ге Э. П., Кацев И. Л., 1973] показывает, что для функционалов от интенсивности без учета поляризации, определяющих помеху обратного рассеяния при оптическом зондировании полубесконечной среды, имеет место асимптотическое соотношение:

Л {г, и, г) ~ С[г,ы) ■ г~а ■ е~сг"уЬ, Ь -> +оо,

здесь V - скорость частиц (света). Глава 3 посвящена решению вопросов, связанных с распространением этих утверждений на случай поляризованного излучения.

В разделе 3.1 доказано утверждение о главном характеристическом числе однородного интегро-дифференциального уравнения переноса поляризованного излучения в изотропной пространственно-однородной среде. Показано, что значение параметра экспоненциальной временной асимптотики в этой среде и полупространстве совпадает с главным характеристическим числом Л* = — асу и не зависит от поляризации излучения.

Раздел 3.2 посвящен методам Монте-Карло, применяемым для оценки параметров асимптотики решения уравнения переноса излучения с поляризацией.

В подразделе 3.2.1 рассмотрены особенности представлений ядра интегрального уравнения переноса и переходной плотности цепи Маркова, связанные с нестационарностью процесса переноса.

Подраздел 3.2.2 содержит обоснование специального метода вычисления параметра Л* экспоненциальной временной асимптотики, основанного на реализации итераций резольвенты соответствующего оператора переноса. Данный метод представляет собой реализацию общего алгоритма метода Монте-Карло для оценки главного собственного числа с использованием итераций Келлога. Однако этот метод но позволяет находить параметр степенной асимптотики а. Для его нахождения используется метод, основанный на вычислении параметрических производных по времени, приведенный в разделе 3.2.3. Данный метод позволяет вычислять оба параметра Л* и а временной асимптотики.

Асимптотические оценки функционалов и их производных можно улучшить, вычисляя вместо функционалов их средпсинтегральные значения по некоторому временному интервалу. В подразделе 3.2.4 приведены расчетные формулы аналитического осреднения для финитной временной функции источника излучения.

В главе 4 собраны результаты численных экспериментов по решению поставленных в работе задач и приведен их анализ.

При проведении численных расчетов использовалась известная матрица молекулярного рассеяния и матрица аэрозольного рассеяния, рассчитанная по теории Ми для следующих параметров среды: коэффициент преломления частиц п = 1.331-¿1.3-Ю-4 (вода), распределение частиц по размерам логнормально с функцией распределения /(г) = (1/r) ехр(—(l/2cr^)ln2(r/rff)), г <= (0,10 мкм), гд = 0.12 мкм, <7д = 0.5, длина волны излучения равна 0.65 мкм.

Расчеты, результаты которых приведены в разделах 4.1 — 4.5.2 проводились на различных ПЭВМ с процессорами Intel частоты от 665 МГц до 2.8 ГГц с использованием конгруэнтного мультипликативного генератора псевдослучайных чисел с параметрами М = 517 и г = 40. Расчеты, результаты которых приведены в подразделах 4.5.3 - 4.5.4 выполнялись на многопроцессорной системе НКС-160 (см. ниже).

Раздел 4.1 посвящен вычислению спектральных радиусов опера-

торов.

В подразделе 4.1.1 приведены результаты вычисления спектрального радиуса и первого собственного элемента оператора С®.

В подразделе 4.1.2 приведены результаты вычислений и сравнения первых собственных чисел операторов К® и в средах с различными оптическими толщинами.

В разделе 4.2 проведено численное исследование дисперсии стандартной векторной оценки метода Монте-Карло при значениях коэффициента поглощения, близких к критическому.

Раздел 4.3 посвящен численным исследованиям в задаче определения высотного хода коэффициента аэрозольного рассеяния по сумеречным наблюдениям с поверхности Земли.

В подразделе 4.3.1 проведен анализ результатов численных расчетов производных модифицированной двойной локальной оценки.

В подразделе 4.3.2 проведено сравнение приемов уменьшения дисперсии оценок производных.

В подразделе 4.3.3 приведены результаты численных экспериментов по восстановлению высотного хода коэффициента аэрозольного рассеяния. Анализ чисел обусловленности обращаемых матриц и результаты восстановления показали, что наиболее предпочтительным в этой задаче является использование второй компоненты вектор-функции Стокса.

В разделе 4.4 приведены результаты численных исследований в задаче определения индикатрисы рассеяния по наблюдениям в альмукантарате Солнца.

Подраздел 4.4.1 содержит результаты расчета интенсивности излучения. Проанализированы вклады в общую яркость яркостей однократно рассеянного, многократно рассеянного излучения и излучения "подсветки".

В подразделе 4.4.2 приведен анализ и сравнение результатов восстановления индикатрисы рассеяния различными методами. Расчеты проводились с помощью комбинированного, мультипликативного и аддитивного методов, при этом для каждого метода был реализован вариант моделирования переноса излучения с поляризацией и без нее.

В подразделе 4.4.3 приведены результаты вычислений спектральных радиусов матриц Якоби рассмотренных методов, и на их основе объяснена сходимость или расходимость методов.

Контроль правильности алгоритмов и программ при расчетах па-

раметрических производных во всех задачах осуществлялся сравнением результатов с полученными альтернативным разностным методом, использующим метод зависимых испытаний.

В разделе 4.5 приведены численные результаты определения параметров временной асимптотики.

Численные эксперименты были проведены для трех вариантов рассеивающей и поглощающей среды: бесконечная среда, плоский слой и полубесконечная среда. Во всех вариантах задачи параметры среды и модификации моделирования были такими, что дисперсии используемых оценок были конечными в силу исследований, проведенных в разделе 4.1.

В подразделе 4.5.1 рассмотрена модельная задача вычисления параметра Л* экспоненциальной временной асимптотики в бесконечной среде. Ее решение разработанными методами использовано для проверки правильности соответствующих алгоритмов и программ. Полученные результаты статистического моделирования, с точностью до погрешности, дали совпадение значения А* с параметром экспоненциальной асимптотики интенсивности для бесконечной среды Л^ = —сгсу.

Особо отметим, что метод итераций резольвенты позволил получить точный результат уже на первой итерации и в случае расчетов без поляризации, и в случае расчетов с учетом поляризации. Выяснено также, что при использовании метода параметрических временных производных сходимость алгоритма зависит от функции источника.

В подразделе 4.5.2 приведены результаты расчетов параметра Л* экспоненциальной асимптотики в плоских слоях рассеивающего и поглощающего вещества разной оптической толщины. Расчеты проводились для функционала, определяющего число рассеяний до поглощения или вылета за пределы среды.

Полученные результаты показали, что значения временной постоянной, полученные разными методами для одного и того же типа рассеяния, совпадают в пределах статистической погрешности, однако, различаются при моделировании с учетом поляризации и без ее учета, то есть деполяризация потока частиц несколько запаздывает относительно перехода к асимптотике и зависит от типа рассеяния. Этот эффект является особенно существенным для молекулярного рассеяния. Отметим также, что метод итераций резольвенты является более точным.

Полученные оценки подтвердили гипотезу о том, что параметр экспоненциальной асимптотики интенсивности поляризованного излучения Л* = А^. = — acv и для полупространства.

Для проведения прецизионных расчетов, результаты которых приведены в подразделах 4.5.3 и 4.5.4, были созданы параллельные реализации алгоритмов. Код программ написан на языке Intel Fortran с использованием MVAPICH па коммуникационной среде InfiniBand. Использовалась также библиотека Intel MKL. Вычисления выполнялись на многопроцессорной системе НКС-160 Сибирского суперкомпыотерного центра. Расчеты проводились с использованием двух генераторов псевдослучайных чисел: мультипликативного конгруэнтного генератора с параметрами М = 5100109(mod 2128) и г — 128 и генератора МТ2203 из математической библиотеки Intel MKL. Отметим, что результаты расчетов с разными генераторами псевдослучайных чисел статистически не отличаются.

В подразделе 4.5.3 приведены результаты расчетов параметров А* и а временной асимптотики интенсивности излучения, выходящего из полупространства в направлении, перпендикулярном к границе и интегральной освещенности границы полубесконечной рассеивающей и поглощающей среды при облучении ее из вне направленным источником.

Численные эксперименты показали, что параметры асимптотики освещенности и интенсивности излучения, выходящего из слоя, а также значения параметров временной асимптотики в случаях с учетом поляризации и без ее учета совпадают с точностью до статистической погрешности.

Отметим, что полученные в расчетах значения параметра временной асимптотики а близки к значению —3/2, полученному в работе [Романова JI. М., 1965) аналитическими выкладками при соответствующих асимптотических предположениях.

В подразделе 4.5.4 приведены результаты расчетов параметров А* и а временной асимптотики излучения, принимаемого точечным приемником, находящемся за пределами полубесконечной среды при облучении ее узким пучком света. Расчеты проводились для среды с аэрозольным рассеянием с использованием комбинации локальной и двойной локальной оценок и аналитического осреднения финитной функции источника. Полученные в расчетах значения параметра временной асимптотики а для приемника с полным полусферическим обзором близки к значению —5/2, полученному для рассматри-

ваемой задачи в диффузионном приближении в работе [Зеге Э. П., Кацев И. Л., 1973]. Для приемника с полуапертурой, равной 0.5° проведенные на настоящий момент расчеты в среде с аэрозольным рассеянием дают основание полагать, что параметр а = —2.8, однако среднеквадратичная погрешность данной оценки велика и составляет более 35%. В силу большой вычислительной сложности получение прецизионных оценок параметра а временной асимптотики для данной задачи оказалось весьма затруднительным.

В приложении А приведены замечания о реализации параллельных вычислений методом Монте-Карло на многопроцессорных вычислительных системах;. Дано описание имеющихся в распоряжении генераторов псевдослучайных чисел, пригодных для использования в параллельных вычислениях [Трачева Н. В., 2008].

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертационной работы.

1. Теоретически обосновано применение метода Монте-Карло для расчета функционалов от решения системы интегральных уравнений переноса поляризованного излучения и соответствующих параметрических производных. Получены условия несмещенности и конечности дисперсий построенных статистических оценок. Проведено теоретическое и численное исследование величины спектрального радиуса матрично-интег-рального оператора, определяющего матрицу вторых моментов стандартной векторной оценки метода Монте-Карло. Показано, что эта величина приближенно равна произведению соответствующих спектральных радиусов для однородной среды и для скалярного варианта.

2. Разработаны и численно апробированы алгоритмы решения задачи восстановления высотного хода коэффициента аэрозольного рассеяния атмосферы по результатам измерений поляризационных характеристик рассеянного солнечного излучения с поверхности Земли в сумерках.

3. Для решения задачи восстановления индикатрисы рассеяния атмосферы по наземным наблюдениям яркости поляризованного излучения в альмукантарате Солнца предложен новый итерационный метод, эффективно учитывающий отражение от

подстилающей поверхности. Сходимость этого метода исследована с помощью теоретических и численных оценок элементов соответствующей матрицы Якоби. Сравнение результатов, полученных разными методами показало преимущество нового метода и целесообразность учета поляризации излучения.

4. Проведено исследование временной асимптотики многократно рассеянного поляризованного излучения, выходящего из среды и являющегося помехой обратного рассеяния при дистанционном зондировании атмосферы. Разработаны и обоснованы алгоритмы оценки параметров экспоненциальной и степенной асимптотик, проведены численные расчеты и определены значения этих параметров для различных сред и функционалов от интенсивности поляризованного излучения.

5. На основе рассмотренных задач, разработанных методов и алгоритмов создан комплекс программ, с помощью которого проведено численное исследование эффективности и применимости алгоритмов, получены новые практически важные результаты. Программы, реализующие алгоритмы переноса поляризованного излучения для определения параметров его асимптотики, являются параллельными и предназначены для выполнения прецизионных вычислений методом Монте-Карло на многопроцессорных компьютерных системах.

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность члену-корреспонденту РАН Геннадию Алексеевичу Михайлову за постоянное внимание к работе и цепные консультации; доктору физмат. наук, профессору Владимиру Евгеньевичу Павлову за постановку и обсуждение задачи сумеречного зондирования атмосферы; а также кандидатам физ.-мат. наук Юркову Д. И., Трачевой Н. В. и Чимаевой А. С., которые во время обучения в аспирантуре ИВМиМГ СО РАН были хорошими учениками и стали перспективными учеными.

Список основных публикаций по теме диссертации

[1] Grechko G. М., Elansky N. Ph., Plotkin М. Е., Postylyakov О. V., Ukhinov S. A. OZAFS space experiment for observing the fine

structure of the ozone and aerosol distribution in the atmosphere // Adv. Space Res. 1992. V. 12, N 10. P. (10)157-(10)160.

[2] Егорова JI. А., Кардополов В. И., Павлов В. Е., Рспаев Ф. К., Ухинов С. А. Поляризация многократно рассеянного света сумеречного неба в зените //' Известия РАН. Физ. атмосф. и океана. 1994. Т. 30, № 4. С. 478-484.

[3] Ukhinov S. A., Yurkov D. I. Monte Carlo method of calculating the derivatives of polarized radiation // Rus. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1998. У. 13, N 5, P. 425-444.

[4] Ukhinov S. A., Yurkov D. I. Computation of the parametric derivatives of polarized radiation and the solution of inverse atmosphere optic problems /f Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2002. V. 17, N 3. P. 283-303.

[5] Ухинов С. А., Юрков Д. И. Оценки методов Монте-Карло для параметрических производных поляризованного излучения // Сиб. журн. вычисл. матем. 2002. Т. 5, № 1. С. 40-56.

[6] Михайлов Г. А., Ухинов С. А.,Чимаева А. С. Дисперсия стандартной векторной оценки метода Монте-Карло в теории переноса поляризованного излучения // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2006. Т. 46, № 11. С. 2199-2212.

[7] Mikhailov G. A., Tracheva N. V., Ukhinov S. A. Time asymptotics of the intensity of polarized radiation / / Rus. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2007. V. 22, N 5. P. 487-503.

[8] Михайлов Г. А., Трачева H. В., Ухинов С. А. Исследование асимптотики интенсивности поляризованного излучения методом Монте-Карло // Докл. Академии Наук. 2007. Т. 414, № 6. С. 727-731.

[9] Михайлов Г. А., Трачева Н. В., Ухинов С. А. Исследование временной асимптотики интенсивности поляризованного излучения методом Монте-Карло // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2007. Т. 47, № 7. С. 1264-1275.

[10] Mikhailov G. A., Tracheva N. V., Ukhinov S. A. The

Monte Carlo method and analytic averaging for estimation of parameters of polarized radiation asymptotics / /

Rus. J. Nuiner. Anal. Math. Modelling. 2008, V. 23, N 3. P. 239-250.

[11] Михайлов Г. Л., Ухинов С. А., Чимаева Л. С. Алгоритмы метода Монте-Карло для восстановления индикатрисы рассеяния с учетом поляризации // Докл. Академии Наук. 2008. Т. 423, № 2. С. 161—164.

[12] Chimaeva A. S., Mikhailov G. A., Ukhinov S. A. Monte Carlo algorithms for reconstruction of the scattering indicatrix adjusted for polarization // Rus. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2009. V. 24, N 5. P. 455-465.

[13] Михайлов Г. А., Трачева H. В., Ухинов С. А. Оценка методом Монте-Карло параметров асимптотики помехи обратного рассеяния с учетом поляризации // Оптика атмосферы и океана. 2010. Т. 23, № 9. С. 739-748.

Автореферат

Формат 60x84 1/8,1,75 п. л. Тираж 100 экз.

Заказ №698. 26.12. 2010

Отпечатано

ЗАО РИЦ «Прайс-курьер» ул. Кутателадэс, 4г, т. 330-7202

Введение

1. Математическая модель переноса поляризованного излучения и соответствующие оценки метода Монте-Карло

1.1. Конус вектор-функций Стокса.

1.2. Система уравнений переноса излучения с поляризацией

1.3. Векторные оценки метода Монте-Карло.

1.4. Несмещенность и дисперсия векторных оценок, уравнение для матрицы вторых моментов оценки сопряженного решения

1.5. Исследование спектрального радиуса оператора Кр уравнения для матрицы вторых моментов

1.6. Теория дифференцирования векторных оценок.

1.6.1. Треугольные системы интегральных уравнений.

1.6.2. Вычисление параметрических производных решения сопряженного уравнения переноса путем дифференцирования исходного уравнения.

1.6.3. Первые производные векторных оценок по произвольным параметрам.

1.6.4. Прямое дифференцирование векторных оценок по коэффициентам поглощения и рассеяния.

1.7. Оценка первого собственного числа оператора методом Монте-Карло.

1.8. Постановка и решение прямых задач атмосферной оптики в сферической и плоскопараллельной геометриях

1.8.1. Общий алгоритм моделирования переноса поляризованного излучения и его весовыс модификации.

1.8.2. Локальная и двойная локальная векторные оценки метода Монте-Карло.

1.8.3. Вычисление производных модифицированной двойной локальной оценки метода Монте-Карло по коэффициентам поглощения и рассеяния.

1.8.4. Вычисление степени поляризации и ее параметрических производных.

1.8.5. Оценки производных однократно рассеянного излучения в сферической геометрии.

1.9. Сравнительный анализ метода зависимых испытаний и метода прямого дифференцирования для вычисления производных по параметрам.

1.10. Методы уменьшения дисперсии параметрических производных векторных оценок.

1.10.1. Билинейное представление параметрических производных

1.10.2. Метод рандомизации.

1.10.3. Представление коэффициентов взаимодействия в виде линейной комбинации функций специального вида

2. Решение обратных задач атмосферной оптики Д

2.1. Определение вертикального распределения коэффициента аэрозольного рассеяния атмосферы

2.1.1. Постановка задачи и метод решения.

2.1.2. Влияние погрешностей оценок элементов системы уравнений на погрешность решения.

2.2. Определение индикатрисы аэрозольного рассеяния атмосферы с учетом поляризации излучения.

2.2.1. Постановка задачи

2.2.2. Итерационные методы решения обратной задачи

2.2.3. Матрицы Якоби операторов итерационных методов

2.2.4. Исследование сходимости методов.

2.2.5. Алгоритм вычисления интенсивности излучения и ее производных.

2.2.6. Алгоритм восстановления индикатрисы итерационными методами.

2.2.7. Алгоритм расчета матриц Якоби для итерационных методов

3. Нестационарные задачи. Определение временной асимптотики поляризованного излучения

3.1. Значение параметра экспоненциальной временной асимптотики для бесконечного однородного пространства.

3.2. Методы Монте-Карло для оценки параметров асимптотики решения уравнения переноса излучения с поляризацией

3.2.1. Интегральное уравнение переноса в модифицированном фазовом пространстве

3.2.2. Оценка параметра экспоненциальной временной асимптотики с помощью итераций резольвенты

3.2.3. Оценка параметров временной асимптотики на основс параметрических производных по времени.

3.2.4. Оценка параметров временной асимптотики на основе специального аналитического осреднения.

4. Решение модельных и прикладных задач, численные результаты 159 4.1. Вычисление спектральных радиусов операторов.

4.1.1. Вычисление спектрального радиуса и первого собственного элемента оператора С°.

4.1.2. Оценка первого собственного числа оператора Кр в средах с различными оптическими толщинами.

4.2. Численное исследование дисперсии стандартной векторной оценки метода Монте-Карло при значениях коэффициента поглощения, близких к критическому.

4.3. Определение высотного хода коэффициента аэрозольного рассеяния по сумеречным наблюдениям с поверхности Земли

4.3.1. Исследование производных двойной локальной оценки

4.3.2. Использование приемов уменьшения дисперсии оценок производных.

4.3.3. Численные результаты восстановления высотного хода коэффициента аэрозольного рассеяния.

4.4. Определение индикатрисы рассеяния по наблюдениям в альмукантарате Солнца.

4.4.1. Оценка и исследование потоков поляризованного излучения

4.4.2. Восстановление индикатрисы рассеяния различными методами; сравнение результатов.

4.4.3. Исследование матриц Якоби и сходимости методов

4.5. Численные результаты определения параметров временной асимптотики

4.5.1. Модельная задача вычисления параметра Л* экспоненциальной временной асимптотики в бесконечной среде

4.5.2. Вычисление параметра Л* экспоненциальной временной асимптотики в плоском слое.

4.5.3. Вычисление параметров Л* и а временной асимптотики освещенности границы полупространства.

4.5.4. Вычисление параметров Л* и а временной асимптотики интенсивности отраженного средой света в задачах оптического зондирования.

4.5.5. Таблицы результатов.

А. Реализация расчетов методом Монте-Карло на многопроцессорной ЭВМ

А.1. Датчики псевдослучайных чиссл.

А.2. Общий алгоритм моделирования с использованием технологии MPI.

Имеется целый ряд физических проблем, требующих достаточно точного решения задач теории переноса излучения с учетом поляризации. Это, прежде всего, задачи интерпретации оптических наблюдений в атмосферах планет.

Диссертационная работа посвящена исследованию свойств поляризованного излучения и разработке методов решения обратных задач атмосферной оптики по определению параметров взаимодействия излучения с рассеивающей и поглощающей средой (коэффициентов взаимодействия, индикатрисы рассеяния).

Физико-математическое описание процесса переноса поляризованного излучения, изложенное в работах [11, 59], предоставляет удобный инструмент для исследования этого процесса. Базовыми при этом являются вектор-функции Стокса, характеризующие свойства излучения в каждой конкретной точке фазового пространства, и интегро-дифференциальное уравнение переноса, описывающее процесс переноса.

Интенсивность и состояние поляризации излучения полностью определяются четырехкомпонентной вектор-функцией Стокса, компоненты которой имеют размерность интенсивности и определяют в совокупности интенсивность, степень поляризации, плоскость поляризации и степень эллиптичности излучения. Процесс переноса излучения в этом случае может быть описан некоторым интегральным уравнением второго рода (см., например, [19, 32, 36, 45]), оператор которого, в силу физических особенностей задачи, оставляет инвариантным множество вектор-функций Стокса. Исследованию свойств подобных операторов посвящены, например, работы [9, 26].

Изучению уравнения переноса излучения посвящена обширная литература (см., например, [12, 31, 52, 54, 60]). В ней содержатся математические постановки задач теории переноса и вывод интегро-дифференциального уравнения переноса. Обоснование условий существования собственных значений дается в работах [20, 60]. Численные методы решения соответствующих задач рассмотрены в известных монографиях [6, 30, 31]. Среди них существенное место занимает метод статистического моделирования (метод Монте-Карло), см., например, [5, 19, 25, 32, 38, 53, 68], так как уравнение переноса трудно разрешимо классическими методами вычислительной математики, если учитываются реальные индикатрисы и неоднородность среды. Во многих случаях практически это можно осуществить методом Монте-Карло.

Процесс распространения света можно рассматривать как случайную марковскую цепь столкновений фотонов с веществом, которые приводят либо к рассеянию (с пересчетом вектора Стокса), либо к поглощению фотонов. Метод Монте-Карло заключается в моделировании траекторий этой цепи на ЭВМ и вычислении статистических оценок для искомых функционалов. Построение случайных траекторий для "физической" модели процесса принято называть прямым моделированием. При этом в скалярном варианте веса не используются и дисперсии оценок метода Монте-Карло заведомо конечны [32]. Указанный выше пересчет вектора Стокса уже предполагает использование матричного веса. В связи с этим в [32] были построены и предварительно исследованы общие матрично-весовые алгоритмы для решения систем интегральных уравнений теории переноса излучения с учетом поляризации.

Отметим, что алгоритмы численного статистического моделирования естественным образом распараллеливаются путем распределения численных статистических испытаний по отдельным процессорам, поэтому, в связи с ростом мощностей вычислительных систем, их исследование приобретает особое значение.

Рассматриваемая математическая модель позволяет ставить достаточно большое множество практически интересных задач, для решения которых может быть эффективно применен метод Монте-Карло. Традиционный способ его использования заключается в следующем. Рассматривается некоторый линейный функционал X от решения уравнения переноса, для него строится стандартная весовая оценка статистического моделирования математическое ожидание которой и дает нам искомое значение функционала.

Конкретный вид функционала X, разз^меется, зависит от поставленной задачи. Так, для определения характеристик поляризованного излучения "в точке" используются локальные оценки [32]. Обладая же возможностью вычисления характеристик излучения можно ставить и решать задачи определения параметров рассеивающей среды по некоторым заданным результатам наблюдений [2, 3, 32].

Заметим, что для успешного применения метода Монте-Карло к вычислению линейного функционала X необходимо на интегральный оператор, описывающий перенос излучения, наложить некоторые ограничения, обеспечивающие существование математического ожидания оценки ее несмещенность и конечность дисперсии. В общем случае эти условия оказываются достаточно жесткими, однако специфика рассматриваемой системы интегральных уравнений позволяет существенно их ослабить [35, 58]. При этом оказывается, что дисперсия векторных оценок метода Монте-Карло может быть бесконечной даже в том случае, когда соответствующие скалярные оценки (без учета поляризации) имеют конечную дисперсию [43|. Это, естественно, приводит к необходимости проведения дополнительного теоретического и численного анализа условий конечности дисперсии в векторном случае.

Однако, даже если диспераш оценки £ конечна, она может оказаться довольно большой и полученный алгоритм окажется практически неприменимым. В этом случае необходимо применять специальные весовые модификации моделирования переноса излучения с поляризацией, приводящие к уменьшению дисперсии оценок метода Монте-Карло.

Рассмотрение обратных задач и применительно к ним итерационных процессов (Ньютона-Канторовича и других) приводит к необходимости получения оценок параметрических производных соответствующих линейных функционалов. В этом случае целесообразным представляется использовать уже имеющиеся стандартные оценки сведя задачу к вычислению параметрических производных этих оценок. При этом опять возникает необходимость рассмотрения условий несмещенности и конечности дисперсии полученных оценок производных. Однако, как показали исследования, результаты которых приведены в диссертационной работе, условия несмещенности и конечности дисперсии оценок налагаемые на интегральный оператор, практически совпадают с условиями, обеспечивающими несмещенность и конечность дисперсии оценки

Отметим, что использование итерационного процесса Ньютона-Канторовича обладает, помимо всего прочего, еще одной особенностью. А именно, его применение сопряжено с обращением матриц, элементы которых рассчитываются с использованием реализаций оценок производных При этом обращаемые матрицы, как правило, являются плохо обусловленными. В этом случае на первый план выступают вопросы уменьшения дисперсии оценок производных и исследования других итерационных методов, которые также рассмотрены в диссертации.

В диссертации рассмотрены три задачи оптического зондирования атмосферы, имеющие практическое значение. Две из них относятся к так называемому пассивному зондированию, когда по измерениям приходящего в приемник рассеянного солнечного излучения требуется определить параметры аэрозольной составляющей атмосферы.

Первая задача состоит в определении высотного хода (распределения) коэффициента аэрозольного рассеяния в атмосфере.

Наиболее информативными наблюдениями в этой задаче считаются наблюдения из космоса, моделированию которых методом Монте-Карло и сравнению с экспериментальными данными посвящены, например, работы [65, 66], выполненные на основе разработанного с непосредственным участием автора Пакета прикладных программ "Атмосфера" [46].

Очевидно, что наземные наблюдения рассеянного солнечного излучения являются менее дорогостоящими, однако их информативность возможна только в сумерках [49]. Исследованию сумеречного метода зондирования с поверхности Земли, моделированию наблюдений методом Монте-Карло и сравнению с экспериментом посвящены работы [13, 14, 15, 16, 17, 18, 47]. В диссертационной работе приведены результаты исследований различных подходов к решению обратной задачи по определению распределения аэрозоля в атмосфере по наземным измерениям поляризационных характеристик рассеянного солнечного излучения.

Следует отметить, что решение задач переноса излучения в сумерках является значительно более сложной проблемой, чем в дневной области. Во-первых, необходимо рассматривать сферическую геометрию атмосферы Земли, что усложняет алгоритмы, а во-вторых, в этих задачах присутствуют большие оптические толщи среды на пути света от Солнца к приемнику, которые приводят к необходимости учета вкладов от рассеяний многих порядков. Погрешности метода Монте-Карло в сумеречных расчетах, при этом, оказываются на порядок больше погрешностей расчетов в дневной области Земли, а погрешности расчетов параметрических производных от функционалов па порядок больше погрешностей расчета самих функционалов. Поэтому важными этапами решения обратных задач являются как разработка и исследование алгоритмов расчёта соответствующих параметрических производных, так и анализ погрешностей соответствующих оценок.

Учет поляризации излучения еще больше усложняет решение обратной задачи, но дает возможность ее решения не только по данным измерений интенсивности излучения, но и по измерениям других компонент вектор-параметра Стокса.

Вторая задача состоит в определении индикатрисы аэрозольного рассеяния по наблюдениям с поверхности Земли в альмукантарате Солнца, то есть в различных направлениях, составляющих с зенитом тот же угол, что и направление на Солнце [2, 3]. Учет поляризации излучения в этой задаче, сделанный в диссертационной работе, как и ожидалось, увеличил точность ее решения. При этом был предложен новый итерационный процесс, являющийся комбинаций двух известных в скалярном варианте методов, который показал лучшие результаты при определенных параметрах атмосферы. В работе дано обоснование сходимости предложенного метода,- теоретически и на основе численного изучения свойств матрицы Якоби оператора этого метода.

Третья задача состоит в исследовании временной асимптотики многократно рассеянного поляризованного излучения, выходящего из среды и являющегося помехой обратного рассеяния при дистанционном зондировании атмосферы. В диссертации разработаны алгоритмы оценки параметров экспоненциальной и степенной асимптотик, проведены численные расчеты и определены значения параметров для различных сред и функционалов от интенсивности поляризованного излучения. Полученные параметры оказались согласованными с розультатамрт работ других авторов [21, 50].

Далее следует краткое содержание диссертации по главам.

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертационной работы.

1. Теоретически обосновано применение метода Монте-Карло для расчета функционалов и их параметрических производных от решения системы интегральных уравнений переноса поляризованного излучения. Получены условия несмещенности и конечности дисперсий соответствующих статистических оценок. Проведено теоретическое и численное исследование величины спектрального радиуса матрично-интегрального оператора, определяющего матрицу вторых моментов стандартной векторной оценки метода Монте-Карло. Показано, что эта величина приближенно равна произведению соответствующих спектральных радиусов для однородной среды и для скалярного варианта.

2. Разработаны и численно апробированы алгоритмы решения задачи восстановления высотного хода коэффициента аэрозольного рассеяния атмосферы по результатам измерений поляризационных характеристик рассеянного солнечного излучения с поверхности Земли в сумерках.

3. Для решения задачи восстановления индикатрисы рассеяния атмосферы по наземным наблюдениям яркости поляризованного излучения в альмукантарате Солнца предложен новый итерационный метод, эффективно учитывающий отражение от подстилающей поверхности. Сходимость этого метода исследована с помощью теоретических и численных оценок элементов соответствующей матрицы Якоби. Сравнение результатов, полученных разными методами показало преимущество нового метода и целесообразность учета поляризации излучения.

4. Проведено исследование временной асимптотики многократно рассеянного поляризованного излучения, выходящего из среды и являющегося помехой обратного рассеяния при дистанционном зондировании атмосферы. Разработаны и обоснованы алгоритмы оценки параметров экспоненциальной и степенной асимптотик, проведены численные расчеты и определены значения этих параметров для различных сред и функционалов от интенсивности поляризованного излучения.

5. На основе рассмотренных задач, разработанных методов и алгоритмов создан комплекс программ, с помощью которого проведено численное исследование эффективности и применимости алгоритмов, получены новые практически важные результаты. Программы, реализующие алгоритмы переноса поляризованного излучения для определения параметров его асимптотики, являются параллельными и предназначены для выполнения прецизионных вычислений методом Моите-Карло на многопроцессорных компьютерных системах.

1. Антонов А. С. Параллельное программирование с использованием технологии MP1. M.: Изд-во МГУ, 2004. 71 с.

2. Антюфеев В. С., Михайлов Г. А., Лифшиц Г. Ш., Иванов А. И. Определение аэрозольных индикатрис рассеяния безоблачной атмосферы в спектральных областях 0.55Н-2.4 мкм //Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана. 1980. Т. 16, № 2. С. 146-155.

3. Антюфеев В. С., Назар&яиев М. А. Обратные задачи атмосферной оптики (постановки, алгоритмы, результаты). Новосибирск: Изд-во ВЦ СО АН СССР, 1988. 156 с.

4. Булавский Ю. В. Метод рандомизации интегрального оператора для решения уравнений второго рода // Докл. АН СССР, 1985. Т. 283, № 4. С. 797-800.

5. Владимиров В. С. О применении .метода Монте-Карло для отыскания наименьшего характеристического числа и соответствующей собственной функции линейного интегрального уравнения // Теор. вероятн. и ее примен. 1956. Т. 1, № 1. С. 113-130.

6. Владимиров В. С. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1961. Т. 61. 158 с.

7. Воеводии В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 320 с.

8. Войтишек А. В., Ухинов С. А. Использование существенной выборки в методе Монте-Карло// Сиб. журн. вычисл. матем. 2001. Т. 4, № 2. С. 111-122.

9. Гермогенова Т. А., Коновалов Н. В. Спектр характеристического уравнения с учетом поляризации // Препринт ИПМ АН СССР. 1978. № 62.

10. Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы (общая теория). М.: ИЛ, 1962. 896 с.

11. Дейрменджан Д. Рассеяние электромагнитного излучения сферическими полидисперсными частицами. М.: Мир, 1971. 302 с.12J Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1960. 520 с.

12. Егорова Л. А., Кардополов В. И., Павлов В. Е., Рспаев Ф. К., Ухинов С. А. Поляризация многократно рассеянного света сумеречного неба в зените// Изв. РАН. Физ. атмосф. и океана. 1994. Т. 30, № 4. С- 478-484.

13. Егорова Л. А., Павлов В. Е., "Ухинов С. А. О выборе физической модели атмосферы при сумеречном зондировании с поверхности Земли// Вестник АН Каз. ССР. 1991. № 9. С. 37-41.

14. Егорова Л. А., Павлов В. Е., Ухинов С. А. Об интерпретации поляризационных наблюдений сумеречного света неба в зените// Изв. НАН РК, сер. физ-мат. 1992. № 6. С. 70-76.

15. Егорова Л. А., Павлов В. Е., Ухинов С. А. Расчеты яркости первичных сумерек в вертикали Солнца// Изв. НАН РК, сер. физ-мат. 1993. № 4. С. 18-22.

16. Егорова Л. А., Павлов В. Е., Ухинов С. А. О влиянии мезосферного аэрозольного слоя на яркость сумеречного неба// Вестник НАН РК. 1994. № 1. С. 41-46.

17. Егорова Л. А., Павлов В. Е., Теп А. П., Ухинов С. А. Упрощенный способ учета многократно рассеянного света в исследованиях атмосферы сумеречным методом// Изв. НАН РК, сер. физ-мат. 1995.

18. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982. 294 с.

19. Ершов Ю. И., Шихов С. Б. Математические основы теории переноса. Т. 1. М.: Энергоатомиздат, 1985. 317 с.

20. Зеге Э. П., Кацев И. Л. Временные асимптотические решения уравнения переноса излучения и их применения //Препринт ИФ АН БССР. Минск, 1973. 20 с.

21. Кендалл М., Стюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973. 466 с.

22. Красносельский М. А., Вайнико Г. М., Забрейко П. П. и др. Приблиоюенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 456 с.

23. Крейн С. Г., ред. Функциональный анализ. М.: Наука, 1972. 544 с.

24. Креков Г. М. Метод Монте-Карло в проблемах атмосферной оптики// Оптика атмосферы и океана. 2007. Т. 20, № 9. С. 826-836.

25. Кузьмина М. Г. Общие функциональные свойства уравнения переноса поляризованного излучения Ц Докл. АН СССР. 1978. Т. 238, № 2. С. 314-317.

26. Лившиц Г. Ш., Назаралиев М. А., "Ухинов С. А. Фотометрический шар для исследований аэрозольного поглощения// Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана. 1988. Т. 24, Л* 1. С. 83-88.

27. Лотова Г. 3., Михайлов Г. А. Новые методы Монте-Карло для решения нестационарных задал теории переноса излучения// Журн. вычисл. математики и маг. физики. 2002. Т. 42, № 4. С. 569-579.

28. Марченко М. А. Михайлов Г. А. Распределенные вычисления по методу Монте-Карло/ / Автоматика и телемеханика. 2007, № 5. С. 157-170.

29. Марчук Г.И. Методы, расчета ядерных реакторов. М.: Гоеатомиздат, 1961. 666 с.

30. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1981. 456 с.

31. Марчук Г. И., Михайлов Г. А., Назаралиев М. А. и др. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике. Новосибирск: Паука, 1976. 284 с.

32. Михайлов Г. А. Некоторые задачи теории и приложений методов Монте-Карло//Препринт ВЦ СО АН СССР. Новосибирск, 1978.

33. Михайлов Г. А. Весовые методы Монте-Карло. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. 248 с.

34. Михайлов Г. А. Весовые алгоритмы статистического моделирования. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2003. 184 с.

35. Михайлов Г. А., Войгишек А. В. Численное статистическое моделирование. М.: Учебно-издательский центр "Академия", 2006. 368 с.

36. Михайлов Г. А., Лотова Г. 3. Новые методы Монте-Карло для решения нестационарных задач теории переноса излучения // Докл. РАН. 2000. Т. 372, № 4. С. 459-462.

37. Михайлов Г. А., Трачева Н. В., Ухинов С. А. Исследование асимптотики интенсивности поляризованного излучения методом Монте-Карло // Докл. Академии Наук. 2007. Т. 414, № 6. С. 727-731.

38. Михайлов Г. А., Трачева Н. В., Ухинов С. А. Исследование вре.менной асимптотики интенсивности поляризованного излучения методом Монте-Карло // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2007. Т. 47, jV® 7. С. 1264-1275.

39. Михайлов Г. А., Трачева Н. В., Ухинов С. А. Оценка методом Монте-Карло параметров асимптотики помехи обратного рассеяния с учетом поляризации // Оптика атмосферы и океана. 2010. Т. 23, № 9. С. 739-748.

40. Михайлов Г. А., Ухинов С. А.,Чимаева А. С. Дисперсия стандартной векторной оценки метода Монте-Карло в теории переноса поляризованного излучения //Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2006. Т. 46, № 11. С. 2199-2212.

41. Михайлов Г. А., Ухинов С. А., Чимаева А. С. Алгоритмы, метода Монте-Карло для восстановления индикатрисы рассеяния с учетом поляризации// Докл. Академии Наук. 2008. Т. 423, №2. С. 161-164.

42. Назаралиев М. А. Статистическое моделирование радиационных процессов в атмосфере. Новосибирск: Наука, 1990. 227 с.

43. Назаралиев М. А., Плотникова Г. А., Ухинов С. А. Пакет прикладных программ для решения прямых задач атмосферной оптики методом Монте-Карло (АТМОСФЕРА)// Алгоритмы и программы. М.: ВНТИЦ. 1986, №6, per. № 5086000022.

44. Назаралиев М. А., Ташенов Б. Т., Толканчинов К. К., Ухинов С. А. Влияние стратосферного аэрозоля на яркость неба при низком Солнце// Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана. 1988. Т. 24, № 12. С. 1293-1297.

45. Пригарин С. М. Введение в численное моделирование случайных процессов и полей. Новосибирск: Изд-во Новосибирского гос. ун-та, 1999. 301 с.

46. Розенберг Г. В. Сумерки. М.: Физматгиз, 1963. 380 с.

47. Романова JI. М. Предельные случаи функции распределения по пробегам фотонов, выходящих из толстого светорассеивающего слоя //Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана. 1965. Т. 1, № 6. С. 599-606.

48. Сибирский суперкомпыотерный центр. URL: http://www2.sscc.ru.

49. Смелов В. В. Лекции по теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1978. 216 с.

50. Спанье Дж., Гельбард Э. Метод Монте-Карло и задачи переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1972. 270 с.

51. Сушкевич Т. А. Математические модели переноса излучения. М.: изд-во БИНОМ, 2005. 661 с.

52. Трачева Н. В. Мет,оды Монте-Карло для оценки параметров асимптотики решения уравнения переноса излучения с учетом поляризации // Дисс. на соиск. уч. степени канд. физ.-мат. паук / Науч. рук-ль Ухииов С. А. Новосибирск, ИВМиМГ СО РАН, 2008.

53. Трачева Н. В., Ухинов С. А., Чимаева А. С. Расчет параметров временной асимптотики выходящего из полубескопечного слоя, поляризованного излучения // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13. Специальный выпуск 4. С. 120-130.

54. Уилкс С. Математическая статистика. М.: Наука, 1967. 632 с.

55. Ухинов С. А., Юрков Д. И. Оценки методов Монте-Карло для параметрических производных поляризованного излучения // Сиб. журн. вычисл. матем. 2002. Т. 5, № 1. С. 40-56.

56. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. М.: Изд-во иностр. лит., 1953. 432 с.

57. Шихов С. Б. Вопросы математической теории реакторов (линейный анализ). М.: Атомиздат, 1973. 310 с.

58. Chimaeva A. S., Mikhailov G. A. Study of polarization estimates variance by the Monte Carlo method// Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2006. V. 20, N 3. P. 305-317.

59. Cliimaeva A. S., Mikhailov G. A., Ukhiniov S. A. Monte Carlo algorithms for reconstruction of the scattering indicatrix adjusted for polarization // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2009. V. 24, N 5. P. 455-465.

60. Collins D. G, Blattner W. G., Wells M. В., Horac H. G. Backward Monte Carlo Calculations of the Polarization Characteristics of the Radiation Emerging from Spherical-Shell Atmospheres// Applied Optics. 1972. V. 11. J 11. P. 2684-2696.

61. Dyadkin I. G., Hamilton K. G. A study of 128-bit multipliers for congruential pseudorandom number generators// Сотр. Phys. Comm. 2000. V. 125. P. 239-258.

62. Grechko G. M., Elansky N. Ph., Plotkin M. E., Postylyakov O. V., Ukhinov S. A. OZAFS space experiment for observing the fine structure of the ozone and aerosol distribution in the atmosphere // Adv. Space Res. 1992. V. 12, N 10. P. (10)157-(10)160.

63. IntelR Math Kernel Library. Vector Statistical Library Notes. URL: http:// download.intel.com/software/products/mkl/docs/vslnotes.pdf.

64. Kattawar G. W., Plass G. N. Radiation and polarization of multiple scattered light from haze and clouds// Applied Optics. 1968. V. 7, N. 8. P. 1519-1527.

65. Lorentz G. G., ed. Approximation theory: Poceedings of an International Symposium conducted by the University of Texas // New York: Acad. Press, 1973. xiii+525 p.

66. Marsaglia Random Number CDROM including the Diehard Battery of Tests of Randomness. URL: http://stat.fsu.edu/pub/dieh.ard/.

67. Mikhailov G. A., Tracheva N. V., Ukhinov S. A. Time asymptotics of the intensity of polarized radiation. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2007. V. 22, N 5. P. 487-503.

68. Mikhailov G. A., Tracheva N. V., Ukhinov S. A. The Monte Carlo method and analytic averaging for estimation of parameters of polarized radiation asymptotics // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2008. V. 23, N 3. P. 239-250.

69. MVAPICH: MPI over InfiniBand. URL: http://mvapich.cse.ohio-state.edu/.

70. Rakimgulov K. B, Ukhinov S. A. Local estimates in Monte Carlo method for the ocean atmosphere system with a random interface // Rus. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1994. V. 9, N. 6. P. 547-564.

71. Ukhinov S. A. Determination of spacial distribution of tcrmal radiation sources by Monte Carlo Method // Rus. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1992. V. 7, N. 2. P. 169-186.

72. Ukhinov S. A., Yurkov D. I. Monte Carlo method of calculating the derivatives of polarized radiation // Rus. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1998. V. 13, N 5. P. 425-444.

73. Ukhinov S. A., Yurkov D. I. Estimation of special parametric derivatives for transfer equation with polarization // Proc. of the 4th Int. Workshop on Simulation. 2001. P. 481-485.

74. Ukhinov S. A., Yurkov D. I. Computation of the parametric derivatives of polarized radiation and the solution of inverse atmosphere optic problems// Russ. J. Nuiner. Anal. Math. Modelling. 2002. V. 17, N 3. P. 283-303.