автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Аналитические методы в задачах статистического моделирования переноса излучения

РГ8 ОД

Санкт - Петербургский государственный университет

Вл пр«в«х {'укяикси

Карюкин Владимир Владимирович

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЗАДАЧАХ СТАТИСТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЯ

05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

01.03.02 - астрофизика, радиоастрономия Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физика - математических наук

Санкт — Петербург

1954

Работа выполнена, на. кафедре статистического моделирования Санкт - Петербургского государственного университета

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, ст.н.с. К.К. Попков

доктор физико-математических наук, ст.н.с. А.К. Колесов доктор физико-математических наук, проф. Ю.М.Тимофеев

Ведущая организация -Физико-энергетический институт, г. Обнинск

./—Защита диссертации состоится в /и. часов па заседании специализированного совета Д.063.57.'52 но защите диссертации па соискание ученой степени доктора наук в Санкт-Петербургском государственном университете по адресу:

198904,Санкт-Петербург, Ст. Петергоф, Библиотечная пл. 2, математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская набережная, д. 7/2.

Автореферат разослан г.

Ученый секретарь специализированного совета

Д.А. Кубенский

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Как известно, метод Монте-Карло (М.К. метод) является единственным средством решения многомерных задач переноса излучения, в особенное™ для сложных геометрических областей.

В работе рассматриваются полросы, связанные с повышением эффективности моделирования процесса переноса нейтральных частиц через вещество. Исследуются задачи переноса при наличии источника частиц в перазмножающей среде. Потребность в моделировании таких задач переноса возникает при решении самых разнообразных проблем науки и техники. Это, прежде всего, задачи физики защиты реакторов, радиобиологии и медицинской ядерной физики, физики атмосферы и астрофизики. Решение этих задач методом Монте-Карло сводится к оценке математического ожидания случайных величин, заданных на траекториях цепи Маркова с состояниями (г,-, «,■,£■,), где г € Г1®- координата взаимодействия частицы с веществом, а>г единичный вектор направления движения после взаимодействия и £,',- энергия частицы после взаимодействия. Эффективность моделирова-. дня определяется как величина, обратная трудоемкости, равной произведению дисперсии используемой случайной величины па среднее время моделирования траектории. Среднее время моделирования, рапное произведению средпего числа столкновений в траектории на средпее время моделирования перехода из одного состояния п другое, практически пе поддается аналитическому исследованию. Кроне того, среднее число столкновений может быть уменьшено введеппем некоторых дополнительных условий'обрыва траектории без увеличения дисперсии за счет небольшого смещепня оценки (см., например, гл. 3 и 4 настоящей работы). Поэтому в работе осповпое внимание направлено па оптимизацию метода по дисперсии. Это обусловлено еще одним обстоятельством, которое наиболее отчетливо проявляется при решении задач прохождения излучения на боль-

шие оптические расстояния. Так, при имитационном вычислении вероятности выхода частицы за слой большой оптической толщины рост относительной погрешности расчетов с ростом толщины настолько велик, что его невозможно компенсировать разумным увеличением статистики. Практически это вырожается в том, что программа дает сильно заниженные результаты даже на очень большой статистикс( практически достижимой), хотя оценка дисперсии дает значения, кажущиеся удовлетворительными. Отметим, что на больших толщинах практически все программы, основанные на известных алгоритмах метода Монте - Карло дают заниженные результаты, что было предметом обсуждения на V Всесоюзной научной конференции по защите от источников ионизирующих излучений (г. Протвино). Поэтому разработка эффективных алгоритмов для решения задач переноса, по-прежлему,- актуальная задача, решение которой должно сопровождаться разработкой и"исследованием соответствующих программ.

Важное значение имеет создание универсальных программ, точнее, программ для решения широкого класса задач. Этому препятствует хо обстоятельство, что оценка малых вероятностей практически невозможна методом прямого моделирования, а для ряда задач до последнего времени вообще отсутствовали средства решения путем моделирования.

Хотя теоретическое решение проблемы оптимизации, основанное на минимизации дисперсии оценки и связанное с переходом к моделированию фиктивных траекторий и введением статистических весов, известно, однако, оно требует знания решения сопряженного уравнения или удачного приближения к нему. Несмотря на значительную актуальность итого направления,, имеются лишь отдельные примеры программ, использующих результаты такого рода, которые к тому же не снимают проблемы занижения результатов, Отмеченпые обстоятельства ставят новую научную проблему: разработки аналитических методов исследова-

ашя задачи оптимизации и получения приближений к решению сопряженного уравнения, учитывающих специфику метода М.К..

Б диссертации проведел ряд теоретических исследований, расширяющий сферу применимости М.К. метода и позволяющих создать комплексы программ решения задач переноса, существенно более общие, чем до сих пор.

Приводится теория, описание программ и примеры вычислений.

Автором предлагается новый, достаточно общий подход к решению упомянутой аналитической задачи.

В работе получены и решены (точно или приближенно ) уравнения для фиктивной плотности распределения по пробегу, дающего нулевую дисперсию для оценок по поглощениям ( и столкновениям в предположении, что остальные параметры фиктивной модели выбраны оптимальным образом. Зная эту оптимальную плотность, можно найти и остальные оптимальные параметры.

Среди разнообразных подходов к построению оптимальных программ, по - видимому, наиболее популярен метод существенной выборки и использование оценок по столкновениям или по поглощениям. В силу принципа суперпозиции понятно, что, если аналитически решить задачу оптимизации оценок по столкновениям н методе существенной выборки для точечного источника, расположенного в точке г, б II3 и испускающего частицы в направлении ы, ,

51(г,ы) = {(г — г„)5(и> — и,), г,г„ € К3, | ш, и 1,

н точечного детектора( источника сопряженного интегрального уравнения)

кг(г,ы) = 6(г - Г- и), п, б Я3, | |= 1,

то оптимальпая плотность для моделирования пе-

реходов (г,и>) (г1,и') и рождений г,(г,и>) для произвольных источника ¿"(г.ш) и детектора Л(г,ш) получается интегрированием полу-

ченпой оптимальной плотности Грина по распределению детекторов. Более точно имеем

р((т,ы) - (г ,ш')) = J (!г1(к/ J

,СхП РхП

я

/ р((г,ы)-(г'.ы'^Л/

/ V__РхП_

Ыг,<->> у ^ 5(г,и)р(г,ит'^аг'^и1'

£>Х|Э £х£1

где

5(г,ш) - плотность распределения источников, Ь(г,и) - функция детектирования, р((г,ы) (г',и')) - плотность переходов (г,и) -» (г',и*), дающая пулевую дисперсию для оценок по столкновениям или поглощениям, в задаче с функцией детектирования Л(г,ы);

-> г',и') - то же, что и р(г,ы -♦ г',и/), но в задаче с точечным детектором ( оптимальная плотность Грина ). Отметим, что оптимальную плотность для широко известных локальных ( по всем координатам ) оценок естественно называть резольвентной оптимальной плотностью.

Аналогичный подход применим, если г„и € К.. Очевидно, что подобн: 1Й результат справедлив и для задач с зависимостью характеристик рассеивающей среды от энергии частицы. Реализации этого подхода и посвящены первые три главы работы.

Упомянутые уравнения для оптимальной плотности по пробегу получены для базовой - плоской геометрии задачи (г4 € II). Зная эти базовые плотности, можно получить оптимальные фиктивные платности для локальных оценок (г* е Л3) в той же геометрии. Используя последние в качестве оптимальной плотности Грина, можно приближенно решить задачу оптимизации для вычисления любого линейного непрерывного функционала для произвольной геометрии. Это сделано для однородной среды. Переход к гетерогенной задаче можно осуществить, если воспользоваться методом сложения слоев.

Существующие оценки метода Монте-Карло, в частности, рас. сматриваемые нами оценки по поглощениям и по столкновениям, обладают тем свойством, что их математическое ожидание естественным образом связано с суммой ряда Неймана (схема Улама-Неймана). Однако, известны преобразования этого ряда, которые дают ряды, сходящиеся значительно быстрее. Это ставит задачу построения и исследования схем альтернативных схеме Улама-Неймана, что особенно актуально для задач переноса, в которых вероятность поглощения частицы близка к пулю, а размеры области велики.

Цель работы заключалась в следующем:

1. разработка аналитического аппарата, позволяющего создавать адаптивные программы метода Мопте - Карло, то есть программы, которые по заданной оптимальной плотности Грина, путем численного или аналитического интегрирования производят настройку на геометрию задачи и вычисляемый функционал;

2. поиск схем моделирования, альтернативпых схеме У лама -Неймана;

3. исследование влияния предварительных преобразований системы линейных алгебраических уравнений ( конечно- разностных приближений уравнения переноса) иа свойства оценок метода Монте - Карло и обобщении их на интегральные уравнения.

Научная новизпа.

1. В работе впервые выведены и решены уравнения для оптимальной резольвентной плотности фиктивных переходов в бесконечной и полубесконечпой средах и пластине конечной оптической толщипы в случае одпоскоростной задачи, что может быть использовано для построения адаптивных программ как для од-носкоростных задач переноса,"так и для задач со слабой зависимостью характеристик взаимодействия частицы с веществом от энергии частицы.

2.Впервые решена задача оптимизации моделирования пере-

noca быстрых нейтронов в водородосодержащизс средах, идейно близкая к задаче 1.

3. Проведен теоретический анализ оптимизации локальных оценок поля излучения (h,d(г) - ¿(r-rj),rä е íl3) . Показана связь решения этой задачи и задачи нз н.1 (hu(r) = 6(r - ij),rj е Г!) , что в принципе позволяет строить адаптивные алгоритмы для сложных'трехмерных геометрий. Кроме того, впервые решена задача полной оптимизации локальной оценки поля излучения, что имеет и большой самостоятельный интерес.

4. Впервые показано, что, если метод Монте - Карло используется для решения конечно - разностных задач ( в частности, задач переноса ), то предварительное преобразование Якоби, Зей-деля, Некрасова и некоторые другие п ряде случаев приводят к более эффективным оценкам метода Мойте - Карло.

Практическая ценность. В работе предложен повий подход к аналитическому исследованшо оптимальных фиктивных плотностей переходов, что позволяет разрабатывать адаптивные программы метода Монте - Карло, что, по-существу, является новым направлением в теории оптимизации оценок. Кроме того, предложены алгоритмы либо дополняющие, либо заменяющие схему Улама - Неймана, использование которых позволяет повысить эффективность разрабатываемых Программ. Предлагаемые алгоритмы реализованы в виде программ или процедур.

Апробация р.аботы. Основные результаты, полученные в работе, докладывались na II, IV, V' Всесоюзной научной конференции по защите от источников ионизирующих излучений, на Vil, VIII Всесоюзном совещании по методу Монте - Карло в вычислительной математике, на Школе - семинаре по методу Мопте - Карло в г. Ташкенте (1991 г.), на конференции III - Modei'Orien-.Ы Data Analisis (MODA-3) в С.-Петербурге, на семинарах в СПбГУ, СПГТУ, ВЦ СО РАН, ИПМ СО РАН, ФЭИ, обсуждались со специалистами ИПМ, ИАЭ, МИФИ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из вве-

дения, С г лап, заключения и приложения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается вь!бор темы и обсуждаются цели работы.

В нерпой тлаве рассматривается задача нахождения оптимальных плотностей переходов по пробегу и по углу рассеяния в плоских задачах переноса частиц для вычисления потока через плоскость. Выведены уравнения для искомой оптимальной плотпости переходов по пробегу в случае задачи с изотропным рассеянием. Более точно, пусть среда, в которой рассматривается односкоростная задача переноса, является плас.тппой оптической толщины Т = г, - т0, бесконечной в поперечпом направлении и распределение источников частиц £(г,ы) зависит лишь от оптического расстояния г -т0 до границы т = та , то плотность потока частиц Ф(г,ш) зависит лишь от т и папраплепия движения /( = («,«) , а Ф(т,ш) является решением уравнения

(1.1) Ф(г,иО = Г Ф{т,и) + 5(г,а)),

где

и

ГФ(т,Ц)) = . .

(

5(г,в) = £(г,ч>).

(и, п) = О

. 1

Здесь »- внешняя нормаль к границе т = п. Перепишем это уравнение , введя полярный и азимутальный углы рассеяния. Поскольку индикатриса рассеяния 5((ы,ч')) зависит лишь от /I = и, = со5 0, а среда также Аксиально симметрична, то Ф(г,/1,у>) не зависит от V и, интегрируя (1.1) по р, получаем

/1 > 0;

(1.2)

где т е [^¡п]- оптическая глубина, ¡1 е [—1;1]- косинус направления движения частицы, вероятность выживания при элементарном акте взаимодействия частицы с веществом. Лля этого уравнения решается задача оптимального вычисления величины

4(т) = j Ф[т,р)<1ц

с помощью оценок по столкновениям или поглощениям. Теорема 1.1.

Для бесконечной среда! (т0 = -оо, г, = оо, т4 = 0) плотность переходов по пробегу, минимизирующая дисперсию оценок по столкновениям (поглощениям) для вычисления равна

Здесь р.(г,т() и р+(т,ч) являются решением системы уравнений Р+(г>7.0 = -О/Ч ~ 1/С)р+(т, 7,С) + + ») + ^ ^ <Н(

+р+(+0,4, (Щг)

(1.3)

гГ-(т,П,0 = -(1/7+ 1/<)р-(г,Ч,0-"С-Цг+х)- I'Р^ъОК

где I) - косинус угла рассеяния ( в силу симметрии задачи относительно плоскости детектирования рассматривается только случай 1} > 0 ), г - проекция случайного пробега X на нормаль к плоскости детектирования т = Ху^- вероятность выживания при элементарном акте взаимодействия частицы с веществом, х б (г0;г,) - координата частицы-, из которой моделируется пробег, ( € (0;1] -некоторый параметр, такой что

есть оптпималъмые фиктивные плотности переходов по пробегу для оценки интегралов

0 Р±(Т*Ч*О есть оптимальная резольвентная плотность.

Система решается методом преобразования Лапласа, в результате получаем

Теорема 1.2. Решение системы уравнений (1.3) имеет вид

| г |) + 2*» | ~ | +(г)+

+

Здесь х— координата часпш1{и, т е [0; со), к > 0- решение хорошо известного в теории переноса уравнения

а Я+(г) V 1_(г) -индикаторы промежутков ¡0;оо) и(-оо;0]. Получены выражения для р(т,1/,() и р±(г,ч,() Теорема 1.3.

Для оценки величины Ф(т^) па границе полу бесконечной среди (т0 — —со, п = 7у е II) оптимальная фиктивная плотность по пробегу о направлении (г, > 0) «а плоскость детектирования' т = и является решением уравнения

(1.4) р'(т> I), () = ~(1/ч - 1/<)?(т, ч, С) - ^Ул(С) £ р(т,ч,<№

+í(+0, чЛЖО - p(n - я - 0, ч, ()í(r - Ti + г). Здесь r,i/,( > 0,т е [0;rj - i], T¡- координата плоскости ограничивающей полупространство, a v/(0" функция Амбарцумяна для полубесконечной среди, определяемая как решение уравнения

Ыч) = 1 + ~WÁV) f €

¿ Jo 1 + tj

[0,1].

Теорема 1.4.

Решение уравнения (1.4) для оптимальной фиктивной плотности по пробегу для вычисления величины ¿(щ) ш границе полубеско-нечпоц среды имеет вид

Ыт = 4 1 с-(1-ь.)'е-*[т,-«) , I /' . ±

•где X 6 (~оо;т1];г 5 [0;г< - > 0;

к > 0 определено в теореме 1.2., я ц>л{п)- функция Амбарцумяпа для полу5ескоие*1нои, среды.

Зная р(г,?), из (1.4) можно найти и р(т,ч,()

Теорема 1.5. При вычислении величин Ф(т0) и Ф(г,) на граница,х - - т0 и т - ги (г„,п € И) пласяшы конечной оптической тол-щппм 7-1 - т0 уравнения для оптимальней фиктивной плотности в глуше V > 0 имеют вид

Рпр^пХ) = -(1/ч-1Ю!>пг(т,Ч,<) + ^т

± 2С

(1.5)

л>

г'отр(т,'). О = -(1/4 + 1К)ТотТ{г, >),() + щШ) ] Рпр(г,ц,0'К-

Ротр{г,-о,()'К 1-Ротр{ЩЦт)-р1,тр[п-х- 0)Цт - (т,, - х)).

Здесь

?пр{т,п)~ / Рпр(т,ч,С;)<1(-

JO

оптимальная фиктивная плотность плотность для оцениаани-я Ф(п) , а

Ротр{г, I)) = / Ротр{г,Ч,СЩ J о

- для оценивания Ф(т0), а У>(СЬ функции Амбарцумяна для пластины конечной оптической толщины, определяемые как решение

системы уравнении

Найдено решение р-пр и pomp полученной системы уравпений. Получено и решен а уравнение для оптимальной фиктивной плотности переходов для оценки потока через плоскость, расположенную внутри пластины конечной оптической толщины. Показано, что в случае плоской задачи с анизотропным рассеянием фиктивные оптимальные плотности должпы иметь тот же вид, что и для изотропного случая. На рис.1 приведены результаты сравнения расчетов Ф(и] в бесконечной среде в зависимости от расстояния i = и - т, до плоскости изотропного источника с использованием оптимальной фиктивной плотности из т.1.2. при оптимизации по всем переменным задачи с точными значениями. Для сравнения приведена кривая ослабления нерассеянного излучения. На рис.2 эти результаты сравниваются с результатами расчетов при оптимизации плотностей распределения по пробегу и углу рассеяния на асимптотику решения уравнения переноса. Наблюдается занижение результатов, связанное с пренебрежением интегральными членами, что отражено на рис.3, из которого видно, что расхождение растет и па толщине 20 достигает коэффициента 4. Эти расчеты выполнены для ' бесконечной среды. Такие же результаты получены и в случае расчетов потока на границе как полубескопечной среды, так и пластины конечной оптической толщины. Во всех геометриях оптимальная плотность распределения по углу

Рис.1.- 3.

рассеяпия связана с оптимальной плотностью

по пробегу процедурой интегрирования и легко паходится, если последняя известна. Кроме того, поскольку к рассматриваемой задаче не применимы стандартные рассуждения о сходимости ряда Неймана, доказана несмещенность рассматриваемых оценок.

Во второй главе решена задача оптимизации, аналогичная рассмотренной в первой, для задачи переноса быстрых нейтронов в водородосодержащих средах. Показано, что в первом приближении оптимальная фиктивная плотность распределения по пробегу есть просто равномерное распределение. Доказана ограниченность дисперсии и приведены результаты численного исследования эффективности алгоритма.

Более подробно. Рассматривалось уравнение переноса ней-

тропов с энергетической зависимостью (2.1.) 1ф = S& + S,

где

I Ф = \/1(ы,УФ) + л/£Е,Ф

и

£А,|Ф(г,и,В) = УУа'В'(Ь'ф(г>ш')£,)/Ё'^м (fi')x

',B,u>', у), Q = V(! х (0;Я„),

a индекс Л- нумерует возмояшые типы взаимодействия нейтрала с веществом, ! - ядра много элементной среды. Следуя работе 1 , мы ограничились рассмотрением следующих типов взаимодействия. ■

Упругое рассеяпие описывалось выражением

£ф(г,<■»,£!) = j j dB'éu,4i{T,u',E')y/ÏÏ;,i.(E')\V.{E,,E,u,,u), Q

где

\V,{E',E,u',w) = W,(E',E)

. l + A ГЁ A — l [Ë7 причем для IV, (Е', Е) считалось выполненным условие нормировки

W,{E\E)iE^\.

Jo

Здесь Е' - энергия нейтрона перед соударением, а Е - после соударения; S - ¿-функция, учитывающая функциональную связь

'Шихов C.B. Вопросы математической теории реакторов. Линейный анализ. М.: Атомиздат, 1973.

[Г

между E'/E и существующую в силу законов сохранения

энергии и импульса. Кроме того, полагалось, что

где

,„, „. / i, B6 »,£';i'| ' /Л-К»

= BiiKB'ii'l И а'=(лТТ)' Если в системе центра инерции рассеяпие изотропно, то использовалось представление

= 7,

(1

где функция G(E',E) удовлетворяет условиям: G(E',E) -гладкая функция такая, что

О <д'= inf G{E', Е) < (?(£,", £) < sup G(£ ',£) < j < oo,

E e [a„E'-,E'], i,"6[0;S„), 0 < Д, < со. Неупругое рассеяние характеризовалось функцией

WAE', В,ы',и) <

удовлетворяющей условиям:

ЩЕ\Е,и\и)-0 При Ё>£' и Е при Я-»0.

Считалось, что сечения соответствующих реакций взаимодействия удовлетворяют условиям: £,(£), £<(Е) - ограниченные и абсолютно непрерывные функции в любом интервале [£i;oo) и

lim/Ё £„(£) = С,, lim •/!£,(£) = С,;

Е-о v v '

где £;(£) - ограниченная и абсолютно непрерывная функция на (0;оо), имеющая пороговый характер

Е < Et < оо

Е> Ei

Уравнения замедления рассматривалось в классе функций ЭТр(0) с LF{^D), введенных в [1] ( с. 47). Считалось, что область V может быть представлена в виде V = V х Уп х (0-,£„), где V - выпуклая область «Е1 ,1>а • область в П; а граница сIV такова , что почти всюду существует внешняя нормаль.

Для аналитического решения задачи оптимизации использовался групповой подход к приближенному аналитическому решению уравнения для функции ценности (Ж? - оптимальные алгоритмы), учитывающий специфику метода Монте - Карло, а именно: использовался динамический выбор энергитических групп нейтронов, в котором верхняя очень узкая группа энергий имеет постоянную ширину, а нижняя группа все время сужается (14 = 2). При аналитическом решении уравнений переноса излучения удобно пользоваться методом функций Грина. При конструировании оптимальных алгоритмов , использующих функцию ценности при оценивании потока в точке, естественно использовать функцию Грина сопряженного уравнения . Оптимальные плотности переходов для оценки других функционалов могут быть получены с помощью-метода суперпозиции. В связи с этим в рассматриваемых ниже уравнениях и качестве источников использовалась дельта-функция Дирака. Отметим, что при статистическом моделировании поля излучения основные трудности возникают аа больших расстояниях от источника. Поэтому в настоящей главе рассматривался вопрос асимптотической оптимизации ( ДООЛ-оптимальпые алгоритмы).

В соответствии со сказанным выше, использовалась следующая система групповые уравнений для функции ценности

/„- Л/ги-»«')(>-с")+ <

где верхний индекс 1 обозначает нижнюю, 2 - верхнюю группу энергий , а ц*- = /■ ± [2( 1 - ¡¡2){1 - /ir)]'/!- Приближеиный анализ этой системы привел к решению, приведенному в т.2.1.

Теорема 2.1. При моделировании переноса быстрых нейтронов в пластине из чистого водорода 2С1А-оптимальные платности определяются следующими соотношениями.

1. Пусть ¡iK.i < к.Ё < £ (£- среднее сечение для нейтронов нижней группы). Это соотношение заведомо выполуигется для области , в которой Щи) - const. Тогда

Ф'(<"") = гА1-(а^)'аг1-К-£1' ~

ffM = (1 + 2IC.A/IV(«2 - (<*f)~2). I' ~ ~>

где

a = £./E>, A о f/^-,

Jo l-K./i

а к.- решение уравнения

2GLA -оптимальная плотность для пробега имеет вид

. p{X)d\ = ехр[(Ё - K.£/i)AJdA,,

a 2GLA -оптимальная плотность по угловой переменной пропорциональна

w [l-^rf)-1.

2. Пусть теперь К < к.Е. Эти соотношения можно считать выполненными в области энергий, « которой монотонно возрастает с убиванием внергии нейтрона. Тогда, если > то

**(<. f) = - U)hl l< - М -> со,

о 2■ вттишалтде плотпмасть и^(еет ви<?

„ш_ I м*), /'>"

14 ' "" \ 2Еехр(-2ЕЛ), ), < 0. Здесь /£ > 0 соответствует расссзг "ю в направлении детектора, а

' "" и - ( + р/(2Е)'

рз(А) = 2£ехр[-22Д4 2Е(^-<)//1]И3(Д). Здесь 1Ь(А), индикаторы, интервалов [0,— п [(и — соот-

ветствгнно. Теперь легко указать вид 20ЬЛ ■ оптимальной плотности по углу рассеяния, а именно: в качестве сопряженной функции г.стпеспвепно использовать <?(/*). Если < Е/(/с,Б) , то все сводится к случаю, рассмотренному в пункте 1.

Проведен теоретический анализ погрешностей, возникающих в результате большинства допущенных упрощений, основанный на том, что ограниченное решение одпоскоростного уравнения переноса, в плоской геометрии должно удовлетворять условию Гельдера . А именно: показано, что |ф|г - Ф*| -> 0 при /¡>- -> 1 , где <5>§."- точное решение групповых уравнении. Далее показано, что дисперсия метода конечна. Доказательство проведено для случая ограниченной выпуклой области V с К3 . При этом считалось, что распределение по пробегу равномерно как для рассеяния вперед , так и для рассеяния назад. Очевидно, что такое упрощение может лишь увеличить дисперсию оценок. Практика расчетов , как и результаты т.2.1., показала, что равномерное распределение хорошо работает в области энергий нейтронов выше 0.5-1 МэВ, поэтому мы ограничились задачами при наличии порога регистрации.

'Георема 2.2. Дисперсия 201А -метода с равномерным распределением по пробегу в чадачах замедления с энергетическим порогом регистрации конечна, если выполнены условия

И'ЛЯ'.Е) л \У.2(Е',Е, ы'М -ЩЕ',1!) " ЩЕ',Е,и\и)

5 € Ьг{Т>), 52/й- в 4»(Х>),

и

И € ¿2(0) - для оценок по столкновениям, ^ е ¿Л®) - ^л.г оценок по поглои^епиям,

где \\/,(Е'1Е)и \\',(Е',Е,и>',и) плотности перегодов Е' -» Е и (Е',и>') ~> (Е,ы) э фиктивной цепи Маркова, а II- функция детектирования.

В третьей глапе рассматривается задача оптимизации оценок для точечного детектора «(г - е II3. Формально решение этой задачи можно получить, решая задачу для индикатора Л., некоторой окрестности точки п и совершая некоторый предельный переход . Поэтому значительная часть главы посвящена исследованию задачи оптимизации для функции детектирования в форме индикатора. В частности, доказано, что, если в качестве функции ценности для оценок по поглощениям и для оценок по столкновениям с нулевой вероятностью перехода в поглощающее состояние используется одна и та же функция, то оценка по столкновениям имеет меньшую дисперсию. Кроме того, показано, что оптимальные оценки обладают тем свойством, что траектория частицы с вероятностью 1 попадают в область {г: 1Г4 ф 0}.

Показано, что точное решение задачи оптимизации локальной оценки и плоской задаче получается, если использовать связь между решениями задач в сферической и плоской геометриях. Это дает соотношение

Р,(Л, Я,,) = #,,')+ р( А, К,,')],

где

Я =1 Г - П = I) + Г}а,и - 1140,40 = (ги-г,п)/я

Здесь п- нормаль к плоскости детектирования, р(\,И, ч')- оптимальная фиктивная плотность по пробегу А для частицы с направлением ч', находящейся от плоскости детектирования на расстоянии /?, - то же для локальной оценки.

Из этого соотношения и результатов первой главы можно получить оптимальные локальные оценки ( г< е И3) в случае, если и находится как внутри, так и на границе области.

Четвертая глава посвящена исследованию сходимости ряда Неймана при его суммировании методом Монте - Карло. Проанализирована задача минимизации суммы систематической и статистической погрешностей, возникающих при оценивании частичных сумм ряда Неймана. Рассмотрела проблема построения оценок метода Монте - Карло, реализующих идею ускорения сходимости ряда Неймана. Приведены некоторые оценки, реализующие эту идею, и рассмотрены их статистические свойства. Приведена оценка, основанная па суммировании рядов Фредгольма.

Более подробно. Рассмотрен вопрос о выборе наилучшей проекционной оценки в условиях применимости схемы Улама-Неймана, который можно трактовать и как вопрос о выборе оптимального детерминированного ( дополнительного ) правила обрыва цепи Маркова. Для этого уравнение

И") = / лг(У,*МУМу + ЛХ)

V

рассматривалось как операторное уравнение у = Су> + /, / йХ,1С:Х->Х в банаховом пространстве X, причем считались выполненными

условия:

ПСИ*-* = Ч < 6 < 1>где |£|Л(х) = I\КЬ,хЩу)Ъ.

V

Вычисление функционала (р.Л) от решения этого уравнения методом Монте-Карло связало с оцепкой математического ожидания некоторой случайной величины

ЕрЙ = (»>,'•) = * = У ^Я,

г

где мера V задана на прямом произведении Г = П™о(У х {а}) (а - поглощающее состояние), и с соответствующей ей последовательностью

л» = (¥>.Л)» = J 1<п> = у Г {¿Т.

г, г

Здесь Р - оператор проектирования { па Гт. Рассматривался случай, когда ( - либо оценка по столкновениям, либо по поглощениям.

Приближенное значение г,„ функционала г равно

= ЕгК'Д

а его оценка методом Монте-Карло имеет вид

1 "

*»=т

где N - число реализаций на ЭВМ.

Для решения вопроса о выборе оптимального т оценивались скорости изменения систематической

(г-*„)'=( £ (ХГ/, А))*

П~1Г. + 1

и случайпой

составляющей погрешности расчета с ростом т, что привело к следующим предложениям.

Теорема 4.1. В условиях применимости схемы Улалш-Пеймана оптимальная скорость убывания погрешности проекционных оценок по поглощениям и по столкновениям равная

. ЕрК-- -*.)'] Ж ЛГ\

достигается при выборе т(IV) порядка Ы N/Ы(\/q), где ч =

При оценивании погрешности в метрике 12 получаем теорему. Теорема 4.2. Наилучшая аппроксимация ряда Неймана в метрике Iз , основанная на. оценке по столкновениям с? = 1 и г < 1, достигается при оценке х Г(Л',) членов ряда. При этом уклонение оценки от истинного значения имеет порядок £ ж уУ1_1Г(Л',), где Г(п) - функция обратная к г(п) = тг(^)"+1, <; = ||Х."||.

Пусть процессу интегрирования оператора К соответствует цень Маркова с плотностью рождений ж0 и плотпостью переходов г —> к , равной 1\к и вероятностью поглощения = 1 - гц . Тогда случайная величина

= "Ее.-, о=¿/941 -ег^рь, 1=0

. где

^(0 _ /гут Кьм ^ . 1

' ьГо ,5"+1 '/0—9-1'

а п -случайный номер при котором произошел переход в поглощающее состояние, обладает свойством

*™ = 1 т = (1 -ДО + /ЭЛГ

*=0

и реализует идею ускорения сходимости ряда Неймана. Цепь Маркова с мрк.к-и, пропорциональной |Л'»,,1-м|, будем называть имитационной. Изучены ситуации, при которых дисперсия введенной оценки меньше, чем диеперсия оценки при ,4=1. Среди этих

теорем дли нас, с учетом результатов предыдущих глав, наибольший интерес представляет

Теорема 4.3. Если ? ~ 1 и Е({) = (Л,р)> гпо пРи любом /3 дисперсия преобразованной оценки равна дисперсии исходной оценки.

В пятой главе проредеш» исследование некоторых хорошо известных преобразований (Якоби, Зейделя и некоторых других ) на статистические свойства стандартных опенок метода Монте -Карло. Показано, что если п уравнении

X =- ИХ' + /', X, Г € 1Г, А : - а", 1М11/./К1,

где

|ИЧ|=|М+1|/ ^¿«¿Ы, либо ||Д+|ЫИ+1|// = тах]ГЫ, *

то есть, если уравнение допускает имитационное оценивание , го в результате преобразования получается система, так же допускающее имитационное оцешгаание, причем среднее число столкновений в траектории получается меньше, чем для исходного уравнения, а дисперсия оценки пе увеличивается. Рассмотрена проблема построения оцепок, если || А ||> 1.

Эти результаты позволяют повысить эффективность расчетов без привлечепия информации о решепии сопряженного уравнения, которая необходима для существующих способов оптимизации. Более того, к преобразованной системе уравнений можно применять любой другой способ повышения эффективности расчетов.

Более подробно. Рассматривались преобразования:

1 ) Преобразование уравнения X = АХ + Р к пиду X = ВХ + ¿Р, где В = Е- ~{Е - /1), а Е- единичная матрица.

2 ) Преобразование Якоби. Это преобразование уравнения АХ = F{A= Е-В) к виду X = BX + Ü , где

0 •и «41 0 — глл •и •33 ,G = ' А. ' % »23

— ЬЦ. • 0 ".L

3 ) Обобщенное преобразование Якоби приводит уравнения X =

BX + F к виду Х = 6X + (E-H)-*F, где В= (Е - U)-l(B-Н). Здесь Н- блочпо-диагональная матрица для В.

4 ) Преобразованием Зейделя уравнения X = ВХ + F будем назы-

вать приведение уравнения к виду X = (Е - М)~хNX + (£-М)~'X, где Л/-НИЖШШ треугольная матрица для В, я. N = В - М.

Для всех приведенных преобразований исследован вопрос об их влиянии на эффективность имитационных оценок метода. Представление об этих результатах дают теоремы, приводимые ниже, и относящиеся к преобразованию Якоби.

Теорема 5.1. Если ||В|| <), то у ¡|Ü|| < ||В|| < 1. Здесь В - матрица ,полученная из В преобразованием Якоби.

Следствие. Если ||Z)|| < 1 , то среднее число столкновений в траектории при имитационном решении уравнения для преобразованного по Якоби уравнения Меньше, чем для исходного.

Теорема 5.2. Если ||В|| <1, ¿„ = 4 , то дисперсия оценок по столкновениям и по поглощениям для преобразованного по Якоби уравнения не больше, чем для исходного.

Матрица Л называется монотонной, если любой вектор X, для которого АХ > 0, является неотрицательным.

Пусть для А существует регулярное расщепление

А = В-С,

такое, что В - неособенная матрица, С-1 > 0 и С > О, тогда преобразование уравнения к виду

X^B-'cx + B-'F

позволяет естественным образом построить оценки метода Монте-Карло, поскольку 2

Р(О-'С) = КД-'С)/(14 Р(Л-'С)) < 1

и ß+ = Я, С+ = С, где = IM

Теорема 5.3. Если существуют два регулярных расщепления монотонной матриц и Л : А = В\ - С| и Л — Di - С3 , причем С\ < Cj, mo преобразование уравнения Л Л' = У к виду X = Bf'C,- + В~'\\ » — 1,2 дает уравнение,к которому применима схема У лама-Неймана, причем первое расщепление приводит к более аффективным оценкам (, < :

1. Оценки, соответствующие первому преобразованию, иле ют лехь-

шую дисперсию.

2. Если оба преобразования допускают имитационное оценивание,

то среднее число столкновений в траектории для первого преобразования меньше, чем для второго.

В шестой главе приведены некоторые результаты расчетов переноса быстрых нейтронов в полость ограниченной защиты кубической, сферической и цилиндрической формы для гидрида лития ,титапа, углерода и некоторых других. Приведены результаты расчетов переноса быстрых нейтронов в плоской геометрии на большие расстояния от источника. Описаны программы Зи приведена система тестов для расчетов степени поляризации излучения звезды при рассеянии в эллипсоидальной

'Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. СМБ. М.: Наука, 1984.

1. Vbscfiinnilcov N.V., Griiiin V.P., Karjukin V.V. Monte Carlo simulation of light scattering io proto-

planetary disks of youiig etwa. TU« case of UX Ori and WW Vul. Astronomy and Astrophyeycs. (in pr«».)

2. Voecliinuikcv N.V., Karjukin V.V. Multiple scattering of polarized radiation in eircumsMlar dust

shell. Astroa. AsttopHys. (in press)

пылевой оболочке и степени поляризации солнечного света, рассеянного в атмосфере, в точечном детекторе.

По теме диссертации опубликовано 38 научных работ. Основные публикации по теме работы.

1. Ермаков С.М., Карюкнн В.В. Двухгруппоная оптимизация ме-

тода статистического моделирования поля излучения для во-дородо содержащих сред. ЖВМ и МФ, 1985, т. 25, с. 588 -598.

2. Карюкии В.В. О наилучшей проекционной оценке схемы Улама

- Неймана. Вестпяк ЛГУ, сер. мат., мех., астрон., 1986, сер. 1, вып. 2,М 8 с. 109 - 111 .

3. Карюкнн В.В. Линейные уравнения, связанные с оптимиза-

цией метода Монте - Карло в расчетах переноса излучения. Вестник ЛГУ, 1987, сер. 1, выи. 2, N 8, с. 14 - 22.

4 . Карюкив В.В. Об ускорении сходимости итерационного процесса при решении интегральных уравнений методом Мойте

- Карло . Вестник ЛГУ, 1987, сер. 1, вын. 4, N 22 , с. 14 -18.

5. Карюкнн В.В. О преобразованиях повышающих эффективность схемы Улама - Неймана для решения уравнений с кназитрех-диагоиальными матрицами. В сб.: "Актуальные проблемы статистического моделирования и ее приложения" Тезисы докладов школы - семинара, Ташкент, 22 - 30 октября 1989, с. 15.

е. Карюхмп В.В. О наилучшем нриближепии ряда Неймана в метрике I, методом статистических испытаний. Вестник ЛГУ, Сер. 1, 1986, вып. 3, с. 20 - 26.

7. Карюкин В.В. К теории оптимизации локальных оценок поля нзлучепия. Вестпик ЛГУ, 1985, N 8 , с. 91 -93.

8. Вдопип Л.И., Карюкин В.В., Лощаков И.И., Остроумов В.И.

Перенос нейтронов и полость цилиндрической защиты. В сб.: " Радиационная безопасность и защита АЭС", 1080, с. 162-1G4. (в соавторстве)

9. Ермаков С.М., Карюкин В.В. Об одном классе редукционных

оцепок метода Монте - Карло. Веб.: "Теория и приложения статистического моделирования", Новосибирск, 1985, с. 1624.

10. Ермаков С.М., Карюкин В.В. Мойте - карловская интерпре- .

тация метода Фредгольма. Вестник ЛГУ, 1988, вып< 3, N 15, с. 20-25 .

11. Ермаков С.М., Карюкин В.В. Двухгрупповая оптимизация

метода статистического моделирования поля быстрых нейтронов в водородосодержащих средах. IV-ft Всесоюзная научная конференция по защите от ионизирующих излучений ядерно - технических установок, Томск, 1985, с. 32.

12. Карюкин В.В. Метод симметризованных траекторий в расчетах переноса поляризованного излучения. VI/I Всесоюзное совещапие: Методы Монте - Карло в вычислительной математике и математической физике. Новосибирск, 1991, с, 54 - 57'

13. Карюкин В.В. Оптимальные плотности переходов в односко-

ростной задаче переноса с анизотропным рассеянием В сб.: "Актуальные проблемы статистического моделирования и ее приложения" Тезисы докладов школы - семинар а,. Ташкент, 22 - 30 октября 1989, с. 1G.

14. Karjukin V.V. The group approach to optimization of Monte Carlo method in radia-

tion transport problem with energy dependáis. SIAM conferece on Simulation and Monte Carlo Methods. San Francisco, California, 1993a, p. 8