автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование коагуляции и диффузии в слоисто-неоднородных стохастических средах

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

ВВЕДЕНИЕ.

§1. Модель Смолуховского

§2. Динамические системы в заданном случайном поле

ГЛАВА 1 СТОХАСТИЧЕСКАЯ ВНЕШНЯЯ СРЕДА

§1.1. Коагуляция в открытых системах

§1.2. Скачкообразная динамика источников и стоков

§1.3. Скачкообразная динамика скорости коагуляции

ГЛАВА 2 СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМ ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗДЕЙСТВИЯХ

§2.1. Формулы дифференцирования статистических; средних.

§2.2. Анализ систем, возмущаемых скачкообразными воздействиями

ГЛАВА 3 КОАГУЛЯЦИЯ В СТОХАСТИЧЕСКИХ СРЕДАХ

МОДЕЛЬ СИММЕТРИЧНОГО Д-ШУМА)

§3.1. Кинетическое уравнение для плотности вероятности и его стационарное решение

§3.2. Стохастический источник

§3.3. Стохастический источник, линейный сток

§3.4. Постоянный источник, стохастический сток

§3.5. Синфазная схема включений стохастических источника и стока

§3.6. Противофазная схема включений стохастических источника и стока.

§3.7. Флуктуации ядра коагуляции .■.

§3.8. Численное моделирование коагуляции в системе мономер-димер-тример

ГЛАВА 4 МОДЕЛЬ НЕСИММЕТРИЧНОГО Д-ШУМА

§4.1. Кинетическое уравнение для плотности вероятности

§4.2. Стохастический источник

§4.3. Несимметричные флуктуации скорости коагуляции

ГЛАВА 5 ДИФФУЗИЯ В СТОХАСТИЧЕСКОЙ СРЕДЕ.

§5.1. Нестационарные эффекты в динамике частицы в стохастической слоисто-неоднородной среде .'.

§5.2. Динамика облака частиц при стохастической модуляции коэффициента диффузии

Актуальность работы

Моделирование динамики находящихся в стохастических условиях разнообразных открытых неравновесных систем является, с одной стороны, актуальной, с другой - весьма сложной задачей. С необходимостью учета сильных флуктуа-ционных воздействий встречаются при изучении и моделировании динамических систем и процессов самой различной природы (к примеру, в физической и химической кинетике, в технологических процессах, в биофизических системах и т.п.). С прикладной точки зрения наиболее интересны ситуации, при которых корреляционный радиус флуктуаций сравним с характерными временами динамических процессов. В диссертации методами математического моделирования исследуются особенности динамики процессов коагуляции и диффузии, "возмущаемых" случайными воздействиями с конечным временем спада корреляций. Используется подход, при котором внешние воздействия на систему интерпретируются в терминах "эффективной" стохастической среды. Эффективная среда вводится как результат стохастического "перемешивания" двух возможных состояний с фиксированными характеристиками. Развиваемый подход позволяет единым и стандартным образом моделировать сложное внешнее окружение, в котором протекают процессы коагуляции и диффузии. Результаты работы, в частности, иллюстрируют особенности индуцированных цветным шумом фазовых переходов в системе коагулирующих частиц.

Цель работы

В диссертации ставятся следующие задачи:

1) провести систематическое описание процессов коагуляции и диффузии в двухфазной эффективной стохастической среде;

2) выявить характерные особенности, возникающие в динамике этих процессов под влиянием случайных воздействий;

Научная новизна

1. Стохастические изменения свойств среды интерпретируются в терминах работы эффективных случайных источников и стоков частиц, либо как флуктуации скорости коагуляции. В работе впервые обсуждается вопрос о влиянии на процесс коагуляции случайных источников и стоков частиц. Задача о случайных флук-туациях скорости коагуляции в литературе также ранее не рассматривалась. В качестве модели, задающей динамику случайных изменений, выбран марковский дихотомический процесс (Д-шум). Показано, геометрическая форма стационарного распределения счетной концентрации существенно зависит от соотношений между корреляционным радиусом Д-шума и характерными временами процесса агрегации.

2. Исследуется временная динамика броуновской частицы в случайно-слоистой среде. В литературе анализ подобных задач проводился в рамках моделирования слоистой среды посредством ступенчатой модуляции аддитивной вынуждающей силы. В диссертации случайное чередование слоев с различными характеристиками задается модуляцией коэффициента трения частицы марковским Д-шумом (мультипликативное воздействие). Показано, в частности, что в такой среде среднеквадратичные флуктуации скорости частицы могут описываться немонотонной функцией времени.

3. Исследуется поведение облака частиц при стохастическом перемешивании по пуассоновской статистике состояний двухфазной среды. Изменение во времени начального профиля распределения концентрации обсуждается на языке кумулянтов до четвертого порядка включительно. Рассмотрены дисперсионные соотношения. Обсуждаются временные и пространственные масштабы, на которых в стохастически неоднородной среде диффузия имеет существенно негауссовский характер.

Практическая ценность работы

Зависимость динамики рассмотренных кинетических процессов от характерной частоты флуктуаций важна при решении задачи управления процессами агрегации и диффузии. В частности, в работе показано, что управляя положением максимумов и минимумов стационарного распределения счетной концентрации можно влиять на средний размер формируемых кластеров. По исследованию установившегося распределения для счетной концентрации при известных характеристиках источника и стока возможна оценка скорости коагуляции. С другой стороны, если известны скорость коагуляции и интенсивности поступления и стока частиц, появляется принципиальная возможность определения эффективной частоты флуктуаций внешней среды, что позволяет производить оценку ее состояния экспериментальными средствами. Такая возможность может оказаться полезной при разработке экспериментальных подходов для определения характеристик среды, в которой протекают процессы агрегации.

Основные публикации

Основные результаты опубликованы в восьми научных работах:

1. Логинов В.М., Лешаков О.Э. Коагуляция в системах со стохастическим источником и стоком. // "IV Симпозиум "Оптика атмосферы и океана". Томск, 1997: Тезисы докладов - Ин-т оптики атмосферы СО РАН, 1997.- С. 144 - 146.

2. Логинов В.М., Лешаков О.Э. Диффузия в нестационарной стохастической среде. // "Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ- 98)". Новосибирск, 1998: Тезисы докладов, Часть IV. - Ин-т математики СО РАН, 1998. - С. 65 - 66.

3. В.М.Логинов, О.Э.Лешаков. Точно решаемая модель коагуляции в присутствии стохастического источника и стока. // Препринт N'2. - ТувИКОПР СО РАН, Кызыл, 1998. - 24.с.

4. Логинов В.М., Лешаков О.Э. Коагуляция в присутствии стохастического источника частиц. // Вестник КГТУ, Вып.16: Математические методы и моделирование. - Красноярск, '2000. - С.111116.

5. Лешаков О.Э., Логинов В.М. Динамика коагуляции в возмущаемой шумом системе. // "Четвертый сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000)". Новосибирск, 2000: Тезисы докладов, Часть III- Ин-т математики СО РАН, 2000. - С. 16.

6. Лешаков О.Э., Логинов В.М. Процессы коагуляции при флуктуации параметра взаимодействия между частицами. Применение к динамике атмосферного аэрозоля. // "Состояние и освоение природных ресурсов Тувы и сопредельных регионов Центральной Азии". - сб. трудов ТувИКОПР СО РАН. - Изд-во СО РАН, Новосибирск, 2000.- С. 44 - 46.

7. Лешаков О.Э., Логинов В.М. Коагуляция частиц в стохастической среде // Сибирский журнал индустриальной математики, т.З, N 2, 2000. - С. 159 - 171.

8. Логинов В.М., Лешаков О.Э. Индуцированные шумом переходы в системе коагулирующих частиц. // Письма в ЖТФ, т.27, вып. 15, 2001. - С. 9 - 14.

Структура работы

Во Введении дано обоснование актуальности работы, сформулированы цель и предмет исследования. В Главе 1 рассмотрены некоторые физические механизмы, обуславливающие стохастическую работу источников и стоков, а также вызывающие флуктуации ядра коагуляции. В Главе 2 дается краткое изложение средств анализа динамических систем при случайных воздействиях, основанных на формулах дифференцирования статистических средних. Главы 3 и 4 посвящены описанию системы коагулирующих частиц в стохастической среде, моделируемой симметричным и несимметричным дихотомическим процессом. В Главе

5 рассматривается процесс диффузии в стохастической среде. В Приложении приводится структурная схема имитационной модели динамики броуновской частицы в стохастической слоисто-неоднородной среде, построенной с применением пакета МаЙаЬ.

ВВЕДЕНИЕ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. распределение может быть монотонным, или иметь один или два экстремума, величина и положение которых определяются частотой флуктуаций. Найденная зависимость позволяет путем изменения частоты переключений Д-шума управлять распределением, локализуя его максимум (или минимум) в нужной области допустимых значений счетной концентрации. Отмечается, что геометрическая форма распределения по разному зависит от различных параметров среды, что позволяет ставить обратную задачу - восстановление характеристик среды по экспериментально определяемому распределению счетной концентрации. Проведено численное моделирование временного поведения усредненной счетной концентрации для системы мономер-димер-тример со стохастическим источником мономеров. Показано, что уровень ее стационарного режима зависит от средней частоты включений источника, что согласуется с полученными аналитическими результатами.

2. Исследуется временная динамика броуновской частицы в случайно-слоистой среде. Случайное чередование слоев с различными характеристиками задается модуляцией коэффициента трения частицы марковским Д-шумом (мультипликативное воздействие). Выведена цепочка зацепляющихся уравнений для момент-ных функций скорости броуновской частицы, и проведен анализ ее решений для первых четырех моментов. Показано, что существует область параметров, в которой среднеквадратичные флуктуации скорости частицы имеют немонотонную динамику - имеют минимум, указывающий на определенную локализацию частицы по скоростям. Показано, что в слоисто-неоднородной среде среднеквадратичные флуктуации координаты броуновской частицы растут быстрее, чем в случае однородной. Решен вопрос о виде одноточечной плотности вероятности скорости броуновской частицы в случае "тонких" слоев. Показано, что в этом случае стационарная плотность вероятности является степенной функцией (бета-распределение Пирсона), что принципиально отличается от равновесного максвелловского распределения для случая однородной среды. Проведено имитационное моделирование поведения коэффициентов асимметрии и эксцесса распределения скорости броуновской частицы. Выявлена немонотонная зависимость коэффициента асимметрии от времени и управляющего параметра, а также знакопеременность коэффициента эксцесса, указывающие на существенную негауссовость процесса на конечных временах.

3. Исследуется поведение облака частиц при стохастическом перемешивании по пуассоновской статистике состояний двухфазной среды. Изменение во времени начального профиля распределения концентрации обсуждается на языке моментов до четвертого порядка включительно. Рассмотрены дисперсионные соотношения. Показано, что в стохастически неоднородной среде существуют характерные временные и пространственные масштабы, на которых диффузия имеет существенно негауссовский характер.

1. Kinetics of Aggregation and Gelation / Ed. by F. Family, D.P. Landau. -Amsterdam.: North Holland, 1984.

2. Matsushita M., Sano M., Hayakawa Y., Honjo H., Sawada Y., Fractal Structures of Zinc Metal Leaves Grown by Electrodeposition, Pliys.Rev. Lett., 1984, 53, P. 286-289.

3. Elam W.T., Wolf S.A., Sprague D.U., Gubser D.V., VanVechten D., Barz G.L., Jr. Maekin P. Fractal aggregates in sputter-deposited NbGe-2 films, Phys. Rev. Lett., 1985, 54, P. 701-703.

4. Мазин И.П., Шметер С.М. Облака, строение и физика образования. JL: Ги-дрометеоиздат, 1983, 279 с.

5. Кирюхин Б.В., Красиков П.Н. Дождь и снег по воле человека. JL: Гидроме-теоиздат, 1963, 186 с.

6. Tang С., Diffusion-limited aggregation and the Saffman-Taylor problem, Phys. Rev. 1.985, A31, P.1977-1979.

7. Русанов А.И. К термодинамике нуклеации на загрязненных центрах // ДАН СССР, 1978, Т. 238, 4, С.831-834.

8. Vicsek Т., Pattern Formation in Diffusion-Limited Aggregation, Phys. Rev. Lett., 1984, 53, P. 2281-2284. .

9. Koch-Miramond L. // Aerogels / Ed. J. Fricke. Berlin.: Springer-Verlag, 1986, P. 188.

10. JI. Пьетронеро, P. Купере, Стохастический подход к крупномасштабной кластеризации во Вселенной. Фракталы в физике (труды VI междунар. симд. по фракталам в физике).М., "Мир", 1988, с. 454 462.

11. Ф. Луккин, Кластеризация во Вселенной. Там ж.е с. 446 453.

12. Drake R.L., In: Topics in Current Aerosol Research, vol. 3, eds. G.M.Hicly, J.R.Brock, Pergamon Press, New York, part 2, 1972.

13. Friedlander S.K., Smoke, Dust and Haze, Wiley-Interscience, New York, 1972.

14. Ziff R.M., in: Kinetics of Aggregation and Gelation, eds. F. Family, D.P.Landau, Elseviers Sc. Publ. B.V., Amsterdam, 1984, 191 p.

15. Ernst M.H., in: Fundamental Problems in Statistical Mechanics VI, ed. E. G. D. Cohen, Elseviers Sc. Publ. B.V., Amsterdam, 1985.

16. Волощук B.M., Седунов К).С. Процессы коагуляции в дисперсных системах.-Л.: Гидрометеоиздат, 1975, 320 с.

17. Волощук В.М. Кинетическая теория коагуляции. JL: Гидрометеоиздат, 1984, 283 с.

18. Кучанов С.И. Методы кинетических расчетов в химии полимеров. М.: Химия, 1978.

19. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman and ( .yOIIipä-liy, San Francisco, 1982.

20. Fractals in Science. Armin Bunde, Shlomo Halvin (Eds). Springer-Verlag, Berlin Heidelberg - New York, 1995, 298 p.

21. Fractals and Disordered Systems. Armin Bunde, Shlomo Halvin (Eds). SpringerVerlag, Berlin Heidelberg - New York, 1991, 350 p.

22. Смирнов Б.М. Физика фрактальных кластеров. -М.: Наука, 1991, 133 с.

23. Witten Т.А., Sander L.M., Diffusion-Limited Aggregation, a Kinetic Critical Phenomenon, Phys. Rev. Lett., 1981, 47, P. 1400-1403.

24. Meakin P., Diffusion-controlled cluster formation in two, three, and four dimensions, Phys. Rev., 1983, A27, P. 604-607.

25. Meakin P., Diffusion-controlled cluster formation in 2-6 dimensional space, Phys. Rev., 1983, A27, P. 1495-1507.

26. Witten Т.A., Sander L.M., Diffusion-limited aggregation, Phys. Rev., 1983, B27, P. 5686-5697.

27. Степанов A.C. К выводу уравнения коагуляции. Труды ИЭМ, 1971, вып.23, с.З 16.

28. Степанов A.C. Вывод уравнения коагуляции для броуновски движущихся частиц. Там же, с.42 64.

29. Bayewitz М.Н., Yerushalmi J., Katz S., Sliiimar R. The extent of correlations in a stochastic coalescence process. J. Atm. Sei., 1974, Ж 6, P.1604 1614.

30. Smoluchowsky M. Drei Vortage über Diffusion, Brounische Bewegung und Koagulation von Kolloidteilclien. Phis. Zeits., 1916, Bd. 17, s. 557-585. (Пер. с. нем. В кн.: Броуновское движение. М.: ОНТИ, 1936, с. 332-417.)

31. Сафонов B.C. Эволюция допланетного облака и образование Земли и планет. М., 1969.

32. Дубровский П.Б. Треугольник моделей коагуляции и гель переход в дисперсных системах. Природа, №5 (1017), 2000, с. 32-37.

33. Душников A.A. Некоторые новые аспекты теории коагуляции. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1978, №10, с. 1046-1054.

34. Marcus А. Н. Stochastic coalescence. Technometrics, 1968, №. 1, P. 133-143.

35. Л ушников A.A., Смирнов В.И. О механизме формирования распространений частиц атмосферных аэрозолей по размерам. Тезисы VIII Международной конференции по нуклеации, 1973, с. 152.

36. Лушников A.A., Смирнов В.И. Стационарная коагуляция и распределния частиц атмосферных аэрозолей по размерам. ДАН СССР, 1976. Т. 222, №5, с. 11411144.

37. Лушников A.A., Пискунов В.Н. Коагуляция в присутствии внешних источников. ДАН СССР, 1976. Т. 231, №6, с. 1403-1406.

38. Лушников A.A., Пискунов В.Н. Асимптотические режимы коагуляции в системах с внешним источником частиц. Коллоидный журнал. T.XXXIX, 1977, с. 1076-1080.

39. Лушников A.A., Пискунов В.Н., Осидзе И.Г. Коагуляция в системах с периодическим источником частиц. ДАН СССР, 1986.Т. 287, №3, с. 679- 682.

40. Винокуров JI.И., Кац А.В. Степенные решения кинетического уравнения при стационарной коагуляции атмосферных аэрозолей. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1980, №6, с. 601-607.

41. Смирнов В.И., Сергеев Б.Н. "Псевдостепенные" решения кинетических уравнений и интерпретация некоторых спектров размеров частиц атмосферного аэрозоля, облачных и дождевых капель. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1980, №12, с. 1310-1312.

42. Klett J.D. A class of solutions to the steady-stat, source-enhancecl, kinetic coagulation équation. J. Atm. Sri., 1975, v. 32, P. 380-389.

43. Лушников A.A. Изв. АН СССР, Физика атмосферы и океана, 1978, вып. 10, с. 1046.

44. Ziff R.M., J. Stat. Phys., 23, 1980, Р.241.

45. Dubovski P.B. J. Phys. A: Gen. 32. №. 5, P. 781-793.

46. Дубовский П.В. ЖЭТФ, 1999, т. 116, №2(8), с. 717-730.

47. Рязанов M.И. Электродинамика конденсированного вещества. М.: Наука. 1984. 303 с.

48. Ландау Л.Д., Лившиц И.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 623 с.

49. Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. М.: Наука, 1969.623 с.

50. Ландау Л.Д., Лившиц И.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

51. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая механика. М.: Наука, ч.1. 1965. 639с.; 4.2. 1967. 720 с.

52. Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел. М.: Наука, 1967. 491 с.

53. Лившиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. М.: Наука, 1979. 528с.

54. Барьяхтар В.Г., Криворучко В.Н., Яблонский Д.А. Функции Грина в теориимагнетизма. Киев: Наукова Думка. 1984. 336 с.

55. Хорстхемке В., Лефевер Р. Индуцированные шумом переходы. М.:Мир, 1987, 397 с.

56. Noise in Nonlinear Dynamical Systems: Theory, Experiment, Simulation /eds. Moss F., McClintock P.V.E./ (3 Volumes). Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989.

57. Risken H. The Fokker-Planck Equation (Methods of solution and applications). Berlin-New-York: SpringerVerlag, 1989.

58. Gardiner C.W. Handbook of Stochastic Methods. Berlin-Heidelberg: Springer, 1985.

59. Kabashima S., Kawakubo T. Observation of a noise induced phase transition in a parametric oscillator. Phys. Lett., 1970, A7Q, P. 375-378.

60. Kabashima S., Kogure S., Kawakubo T., Okada T. Oscillatory to nonoscillatory transition due to external noise in parametric oscillator. J. Appl. Phys., 1979, 50, P. 6296.

61. Roux J.С., Swinney H.L. Topology of Chaos in a Chemical Reaction. In: Nonlinear Phenomena in Chemical Dynamics / Springer Series in Synergetics, vol. 12 / Ed. by C. Vidal, A. Pacault.- Berlin, Heidelberg, N.Y.: Springer, 1981, P. 38.

62. De Kepper P., Horsthemke W. Etude d'une reaction chimique périodique. Influence de la lumière et transitions induites par un bruit externe. // С R. Acad. Sci. Paris, 1978, С287, P. 251.

63. De Kepper P., Contribution à l'étude expérimentale de systèmes dissipatifs chimique: réactions oscillantes de Briggs-Rauscher et de Belousov- Zhabotinskii/Thèse de Doctorat, Université de Bordeaux, I, 1978.

64. Graham R., Haken H. Laser liglit—first example of a second-order phase transition far awway from thermal equilibrium.-Zs. Phys., 1970, 237, P.31.

65. De Giorgio Y., Scully M.O. Analogy between the laser threshold region and a second-order phase transition.-Phys. Rev., 1970, A2, P. 1170.

66. Gibbs H. M., McCall S.L., Venkatesan T. N. C. Differential gain and bistability using a sodium-filled Fabri-Perot interferometer. Phys. Rev. Lett., 1976, 36, P. 1135.

67. Bonifacio R., Lugiato L. A. Optical bistability and cooperative effects in resonance fluorescence. Phys. Rev., 1978, A18, P. 1129.

68. Bulsara A. R., Schieve W. C., Gragg R. F. Phase transitions induced by white noise in bistable optical systems. Phys. Lett., 1978, A68, P. 294.

69. Micheau J. C., Boue S., Van der Donckt E. Theoretical kinetic analysis of biphotonic processes: evidence for the unusual but feasible occurrence of multistationary states and chemical oscillations. J. Chem. Soc. Faraday Trans. 2, 1982, 78, P. 39.

70. Walentynowicz E. Thermoluminescence of fluorescein in boric acid glass. Acta Phys. Pol., 1966, 29, P. 713.

71. Dung M. H., Kozak J. J. Analysis of mechanisms for the cyclic cleavage of water by visible light. J. Photochem., 1981, 16, P.121.

72. Nitzan A., Ross J. Oscillations, multiple steady states, and instabilities in illuminated systems. J. ("hem. Phys., 1973, 59, P. 241.

73. Nitzan A., Octoleva P., Ross .J. Symmetry breaking instabilities in illuminated systems. J. Chem. Phys., 1974, 60, P. 3194.

74. Creel C. L., Ross J. Multiple stationary states and hysteresis in a chemical reactions. J. Chem. Phys., 1976, 65, P. 3779.

75. Lefever R., Horsthemke W. Multiple transitions induced by light intensity fluctuations in illuminated chemical systems. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1979, 76, P. 2490.

76. Ludwig D. Optimal harvesting of a randomly fluctuating resource I: application of perturbation methods. SIAM J. Appl. Math., 1979, V. 37, P. 166.

77. Заславский P.M. Стохастичность динамических систем. M.: Наука, 1974.

78. Chirikov B.V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems. Phys. Rep., 1979. V.52. P. 265.

79. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М:. Наука, 1990.

80. Шапиро В.Е., Логинов В.М. Динамические системы при случайных воздействиях, Новосибирск, "Наука", 1983 г., 160 с.

81. Вызова H.JT.,Иванов В.Н., Гаргер Е.Л. Турбулентность в пограничном слое атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат. 1987.

82. Довгалюк Ю.А., Ивлев Л.С. Физика водных и других атмосферных аэрозолей. Санкт- Петербург: Издательство СПбГУ, 1998, 321 с.

83. Белан Б.Д., Гришин А.И., Матвиенко Г.Г., Самохвалов И.В. Пространственная изменчивость характеристик атмосферного аэрозоля. Новосибирск, "Наука", 1989 г., 152 с.

84. Ивлев Л.С. Химический состав и структура атмосферных аэрозолей. Л.: Из-во ЛГУ, 1982, 368 с.

85. Кондратьев К.Я., Поздняков Д.В. Аэрозольные модели атмосферы. М.: Наука, 1981, 103 с.

86. Adams J., Endo A., Smith D.e.a. Threshold velocities for input of soil particles into the air by desert soils. // J. Geophys. Res.-1980.- Vol. 85, N10.-P. 5621-5630.

87. Жуланов Ю.В., Петрянов И.В. Исследование механизма генерации морских аэрозолей. // Докл. АН СССР.-1980.-Т. 253, 4.-С. 845-848.

88. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородныхсредах. M.: Наука, 1980, 336 с.

89. Brissaund A., Frisch U. Solving linear stochastic differential equations. J. Math. Phys., 1974. V.15, P. 524-534.

90. Ван Кампен H.Г. Стохастические процессы в физике и химии. М.: Высшая школа, 1990. 376 с.

91. Кляцкин В.И. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами.М.: Наука, 1975, 239 с.

92. Loginov V.M. Simple mathematical tool for statistical description of dynamical systems under random actions. I Acta Physica Polonica, 1996, V. В 27, №3, P. 693-735.

93. Bourret R.,Frisch U.,Pouquet A. Browbian motion of harmonic oscillator with stochastic frequency. Physica, 1973, V. 65, №2, P. 409-415.

94. Баруча Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969. 511 с.

95. Левин Б.Р. Теоритические основы статистической радиотехники, М.: Радио и связь, 1989.

96. Frisch U., Brissaud A. Theory of Stark broading 1. Soluble scalar model as a test // J.Quantum Spectroscop. Radiat. Transfer, 1971. V.ll. N12. P. 1753-1766.

97. Лешаков О.Э., Логинов В.M. Коагуляция частиц в стохастической среде // Сибирский журнал индустриальной математики, т.З, N2, 2000, с. 159-171.

98. В.М. Логинов, О.Э. Лешаков. Индуцированные шумом переходы в системе коагулирующих частиц // Письма в ЖТФ, т.27, вып.15, 2001, с. 9-14.

99. Логинов В.М., Лешаков О.Э. Коагуляция в присутствии стохастического источника частиц//Вестник КГТУ, Вып. 16, Математические методы и моделирование, Красноярск, 2000. с.111-116.

100. В.М.Логинов, О.Э.Лешаков. Точно решаемая модель коагуляции в присутствии стохастического источника и стока //Препринт И2./ТувИКОПР СО РАН. Кызыл/, 1998. с. 24.

101. Белан Б.Д., Зуев В.Е., Панченко М.В. Основные результаты самолетного зондирования аэрозоля в ИОА СО РАН (1981-1991). Оптика атмосферы и океана. 1995. т.8. №1-2. с. 131-156.

102. Лушников А. А., Пискунов В. Н. Формирование стационарных распределений в коагулирующих системах с распадающимися частицами. Коллоидный журнал, 1977, №5, с. 857-862.

103. Мартынов Г. А., Муллер В. М. Уравнения кинетики коагуляции с учетом распада образующихся агрегатов. ДАН СССР, 1972, т. 207, №5, с. 1161- 1164.

104. Gillespie J. R., List R/ Effects of collision-induced breakup on drop size distribution in steady state rainshafts. Pure and Appl. Geophys., 1978/79, v. 117, P. 601-625.

105. Melzak Z. A. A scalar transport equation, I.-Trans. Amer. Math. Soc., 1957, v. 85, P. 547-560.

106. Гультяев A.K. MATLAB 5.2. Имитационное моделирование в среде Windows: Практическое пособие,- СПб.: КОРОНА принт, 1999.-288 с.

107. Логинов В.М., Лешаков О.Э. Диффузия в нестационарной стохастической среде //Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98). Новосибирск, 1998 /Ин-т математики СО РАН. Часть IV. Тезисы докладов. С. 65-66.

108. Хир К. Статистическая механика, кинетическая теория и стохастические процессы. М., Мир. 1976, 600 с.

109. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса. Новыйподход к статистической теории открытых систем. М.: Наука. 1990. 317 с.

110. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе: О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991, 367 с.

111. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985, 419 с.

112. Ма Ш. Современная теория критических явлений. М.: Мир. 1980. 298 с.

113. Паташинский А.З., Покровский В.Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. М.: Наука, 1982. 381 с.

114. Laskin N.V. Non-Gaussian diffusion. J. Phys. A. Math. Gen., 1989. V.22. P. 1565-1576.

115. Gitterman M. Brownian motion in fluctuating media. Phys. Rev. E., 1995. V.52. №1. P. 303-306.

116. Ласкин H.B. Диффузия в случайно-слоистых структурах. Украинский физический журнал, 1988. Т.ЗЗ. №9, с. 1429-1434.

117. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М., "Сов. радио", 1977, 488 с.