автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Дифракция на неоднородности в волноводе

На правах рукописи

Лаврёнова Анастасия Викторовна ДИФРАКЦИЯ НА НЕОДНОРОДНОСТИ В ВОЛНОВОДЕ

Специальность 05.13.18

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук.

Москва 2006

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Александр Николаевич Боголюбов

доктор физико-математических наук, профессор Анатолий Семенович Беланов

доктор физико-математических наук, профессор Юрий Андреевич Пирогов

Институт математического моделирования РАН

еъс>

Защита диссертации состоится « ^а^уЪ^ 2006 г. в на заседании Диссертационного Совета К 5rfi.001.17 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, ауд. № СкДг>

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан « 2006 г.

Ученый секретарь

Диссертационного Совета К 501.001.17, .. -j—_ , _

, ^- П.А. Поляков

доктор физико-математических наук

¿М&6А

Общая характеристика работы

Актуальность. Применение различных численных методов к решению граничных задач электродинамики, в частности к задачам дифракции электромагнитных волн, представляет в настоящее время большой интерес. Математически задача дифракции давно поставлена и формулируется как краевая задача для системы уравнений Максвелла с определенными условиями на поверхности тела и дополнительными условиями на бесконечности. Однако общего метода ее решения для тел произвольной формы с произвольными электрическими параметрами до настоящего времени не существует. Можно записать строгое аналитическое решение дифракционной задачи только для ограниченного числа наиболее простых случаев, которые являются мало интересными в практическом отношении. При выполнении конкретных расчетов приходится либо использовать различные идеализации при постановке соответствующих задач, либо применять приближенные методы расчета, для которых часто нет строгого математического объяснения и неизвестны границы их применимости. Поэтому совершенно очевидно то исключительное значение, какое имеют численные методы для решения граничных задач электродинамики и, в частности, задач дифракции.

Задача дифракции на неоднородном теле может быть сведена к интегральному уравнению со сложным ядром по объему неоднородного тела, но реализация алгоритмов решения подобных задач связана со значительными трудностями. Проекционные методы сводят решение дифракционной задачи к решению алгебраических систем уравнений (полный метод Галеркина) или к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (неполный метод Галеркина). Весьма перспективным является неполный метод Галеркина, предложенный А.Г. Свешниковым1. Этот метод позволяет решать широкий класс различных задач дифракции на телах произвольной геометрии и в локально-неоднородных средах. Однако применение неполного метода Галеркина приводит к необходимости решения так называемых жестких систем уравнений, что вызывает значительные трудности в реализации соответствующих алгоритмов.

Большой интерес представляет применение для решения задач дифракции и, в частности, дифракции на рассеивателях в различных волноведущих системах методов конечных разностей в прямой и проекционной постановках (метод конечных элементов)2,3.

Актуальность применения конечно-разностных методов связана с разработкой эффективных численных алгоритмов для расчета нерегулярных волноведущих систем, в частности, систем с локальными неоднородностями. Поскольку такие системы имеют сложную геометрию и неоднородное заполнение, встает вопрос

1 Свешников А.Г. Волны в изогнутых трубах // Радиотехника и электроника. 1958. Т. 3. № 5. С. 641-648. __

2 Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционнс}-срц>£нэд|ЙЙЯЖ- ^^Наука. 1981.

3 Самарский А.А. Теория разностных схем. М. Наука.!

| С. Лете]

< 03

5Ш;

об использовании наиболее универсальных численных алгоритмов для их исследования. Такие алгоритмы могут быть построены на основе метода конечных разностей в прямой и вариационной постановках (проекционно-сеточные методы, например, метод конечных элементов). Метод конечных разностей для расчета электродинамических систем стал применяться относительно недавно, однако в настоящее время он широко используется для решения как прямых, так и обратных задач электродинамики4'5. Обладая большими преимуществами, метод конечных разностей вызывает определенные сложности при своем использовании. Одной из таких сложностей является проблема ограничения области, в которой ищется решение. В случае если неоднородность в волноводе носит локальный характер, для ограничения области удобно использовать парциальные условия излучения, впервые предложенные А.Г. Свешниковым6. Впервые такой подход был использован А.Н. Боголюбовым и А.Г. Свешниковым в работе, посвященной расчету плоского волновода методом конечных разностей7. Однако при расчете волноведущих систем проекционно-сеточными методами, в частности, методом конечных элементов, ограничение области с помощью парциальных условий излучения до настоящего времени практически не применялось.

В процессе применения проекционно-сеточных методов к расчету волноведущих систем возникает ряд принципиальных трудностей. Не все решения, полученные проекционно-сеточными методами (на основе методов Ритца, Галеркина и др.), имеют физический смысл и соответствуют реально распространяющимся модам. Проблема борьбы с фиктивными решениями, называемыми часто «духами», является одной из актуальных и сложных. Использование смешанных конечных элементов является решением этой проблемы.

Целью настоящей работы является:

1. Постановка задач дифракции волн на неоднородности в волноводе в скалярной формулировке и в полной векторной постановке.

2. Разработка эффективных алгоритмов решения задачи дифракции волн на неоднородности в волноводе, основанных на вариационно-разностном подходе с применением лагранжевых (для скалярной постановки) или

4 Боголюбов АН., Делицын A.JL, Красильникова A.B., Минаев Д.В., Свешников А.Г. Математическое моделирование волноведущих систем на основе метода конечных разностей // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1998. № 5. С.39-54.

5 Боголюбов А.Н., Красильникова A.B., Минаев Д.В., Свешников А.Г. Метод конечных разностей для решения задач синтеза волноведущих систем // Математическое моделирование. 2000. Т.12. № 1. С.13-24.

6 Свешников А.Г. Принцип излучения // ДАН СССР. 1950. Т. 3. № 5. С. 517-520.

7 Боголюбов А.Н., Свешников А.Г. Применение итерационного метода к исследованию плоских волноводов с неоднородным заполнением // ЖВМ и МФ. 1974. Т. 14. X» 4. С. 947-954.

смешанных конечных элементов (для векторной постановки; и использованием парциальных условий излучения для ограничения области.

3. Анализ вариационно-разностных схем с применением смешанных конечных элементов для предотвращения появления фиктивных решений («духов»).

4. Реализация алгоритмов в виде программ для ЭВМ.

5. Апробация программ на тестовых задачах и сравнение результатов с точными, а также с имеющимися данными, полученными на основе метода интегральных уравнений.

6. Применение разработанных алгоритмов для исследования дифракции волн на неоднородности в волноводе.

Научная новизна. Впервые для решения задачи дифракции волн в волноведушей системе используются смешанные конечные элементы различного вида, в комбинации с парциальными условиями излучения, которые применяются для сведения внешней задачи к внутренней.

Практическая ценность. Построены и апробированы эффективные алгоритмы, позволяющие решать задачи дифракции волн в волноведущих системах со сложной геометрией рассеивателя. Данные алгоритмы применимы для расчета волноведущих систем как в акустическом, так и в электромагнитных случаях.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. математическая модель дифракции электромагнитной волны на частичных диэлектрических заполнениях в плоском волноводе в скалярной и полной векторной постановках с использованием парциальных условий излучения для ограничения области в продольном направлении;

2 численный алгоритм решения скалярной задачи дифракции электромагнитной волны на неоднородности в плоском волноводе на основе метода конечных элементов с использованием элементов лагранжевого типа;

3. численный алгоритм решения векторной задачи дифракции электромагнитной волны на неоднородности в плоском волноводе на основе метода конечных элементов с использованием элементов смешанного типа;

4 применение разработанного алгоритма для расчета характеристик рассеяния электрома1ншной волны при дифракции нормальной волны на неоднородностях в плоском волноводе;

5. реализация рассматриваемых численных алгоритмов в виде комплекса ЭВМ-программ.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на:

— Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-2002", секция "Физика" (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2002);

— IX Всероссийской школе-семинаре «Физика и применение микроволн». (Московская область, г. Звенигород, 26-30 мая 2003 года);

— научном семинаре кафедры математики (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, физический факультет);

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6 работах [1Н6].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, трех приложений. Объем диссертации составляет 107 страниц основного текста, включая 34 иллюстрации и 1 таблицу. Список цитируемой литературы содержит 113 библиографических ссылок

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава посвящена методу решения задач дифракции на неоднородности в волноводе - методу конечных элементов. В первом параграфе отмечается ряд преимуществ данного метода, основным из которых является возможность его применения для областей произвольной формы и граничных условий общего вида, причем возможно нерегулярное разбиение области. На расположение элементов при разбиении области не накладываются ограничения, что позволяет применять метод конечных элементов для широкого круга областей без использования глобальной фиксированной системы координат. Второй параграф посвящен методу смешанных конечных элементов и его применению к задачам электродинамики. При применении проекционно-сеточных методов к решению задач дифракции волн в волноводе в векторных постановках основной проблемой является борьба с фиктивными решениями («духами»), которые не имеют физического смысла и не соответствуют реально распространяющимся модам. Метод смешанных конечных элементов является способом предотвращения появления «духов». В третьем параграфе формулируются скалярная и векторные вариационно-разностные постановки. Отмечается, что математические модели на основе скалярной вариационно-разностной формулировки, обладая рядом несомненных преимуществ (простота реализации, экономичность, отсутствие фиктивных решений и т.д.), не могут быть использованы для решения определенных классов практически важных задач. В этом случае приходится переходить к различным векторным вариационно-разностным формулировкам. В четвертом параграфе рассмотрен случай появления нефизических решений («духов») при К'- постановке. Ряд методов, существующих в настоящее время для борьбы с нефизическими решениями, можно разделить на два больших класса: апостериорные и априорные. Апостериорные методы представляют собой различные способы выделения и отсеивания фиктивных решений. Они весьма трудоемки и зачастую малоэффективны. Обычно используется метод проверки выполнения дивергентного уравнения. Априорные методы предполагают использование таких формулировок исходной задачи, при которых исключалось бы появление фиктивных решений или по крайней мере определенных видов фиктивных решений. Пятый параграф посвящен лагранжевым конечным элементам, которые применяются в скалярной постановке задач дифракции, и смешанным конечным элементам, применяемым при векторных постановках.

Вторая глава диссертации посвящена решению скалярной задачи дифракции электромагнитных волн на неоднородности в волноводе. В первом параграфе формулируется математическая постановка задачи. Задача дифракции волн на неоднородности в волноводе в скалярном случае сводится к краевой задаче для уравнения Гельмгольца:

Аи+к2ди=Ъ (1)

в области П = {ге(-оо,ос);д;б(0,1)} с однородными граничными условиями 1го рода на боковой поверхности волновода:

щ п = о

и! =0

1х=1

(2) (3)

Я®-

(4)

где и е - поле в волноводе, ^ (г ) - неоднородность, имеющая вид:

1, г<21,г>г2 [<? > 1, < г < г2 к = со!с - волновое число.

Считаем, что <7(2) - кусочно-гладкая функция. На поверхностях разрыва ц

~ди

ставим условия сопряжения: [и]5 = 0,

дп

= 0, где п - нормаль к поверхности

разрыва. На сечениях волновода плоскостями г = 21 и г = г2 поставим парциальные условия излучения, которые позволяют рассматривать внутреннюю краевую задачу с нелокальными краевыми условиями. Приводится полный вывод постановки парциальных условий излучения, которые в результате записываются 5 ы

в виде: = (и> ¥п)зх 4>п + Е2г>„ ^ > (5)

г=2\ " я

(6)

г=г2

5г.

ди 8г

где Л„, у/п - собственные значения и собственные функции индуцированной задачи в сечении, а £ - поле возбуждения.

Также приводится вывод вариационной постановки, который окончательно для уравнения Гельмгольца записывается следующим образом:

2 оо оо

+ (у,у05/ (у,(//А ■ (7)

/=1и=1 В=1

Второй параграф посвящен построению алгоритма решения скалярной задачи дифракции, основанный на применении лагранжевых конечных элементов. В качестве базисных функций метода выбираются билинейные и биквадратные на элементах функции вида: = X, (лхе(ОД),

г е(г1,г2). Причем, для билинейных функций х~х1-\

Х1 ~ х1-1 х1+1 ~х

хм ~ хг

О,

х е (х,.^,*,),

х е (хпх1+{), х & (Х1-1>Х1+1Х

/ = 1, ... Ых-1

лгг(хм,;к,+1), ¿ = 1, ... Ых-1 ,

/ = ... Ыг .

Функцию и в вариационной постановке приближаем функцией и,

являющейся линейной комбинацией базисных функций и = ,

к=О

ик=и(х,,). Подстановкой ее в вариационную постановку задачи получаем линейное матричное уравнениеАаик = В1, где Аы - элементы матрицы А. В третьем параграфе представлены результаты применения данного алгоритма к решению скалярной задачи дифракции. В качестве падающей волны берется первая собственная волна, т.е. <рх =

а/2 ътж хетг, которая распространяется вдоль оси г в положительном направлении. По оси перпендикулярной плоскости (г,х) отложена действительная часть функции и. А в качестве пробной задачи для проверки правильности работы алгоритма был исследован полый волновод -без неоднородности. Результаты решения задачи приведены для ряда неоднородностей, в частности на рис. 1 представлено распределение поля в волноводе с простой вставкой, когда неоднородность имеет вид «пробки», т.е. при хе(0,1), ге(гиг2), <7 = 2. В отсутствие поглощения амплитуда практически не изменяется.

г-VI

VI - 2

VI

о,

а для биквадратных:

{х-х1+1)(х-хмп)

(х, ~хм)(х^хм/2)

(х, - */_1)(*1 ~Х1-1/2) 0,

2^) = -

(2- VI

VI/г)

~г]-мг)

0,

а)

б)

Рис. 1. Распределение поля в волноводе с простой вставкой: вставка в виде «пробки» с д = 2: а) конечные элементы первого порядка, б) конечные элементы второго порядка Четко видно влияние поглощения на изменение амплитуды распространяющейся по волноводу волны на рис. 2 (в данном случае д=2 + Г):

Рис. 2. Распределение поля в волноводе со вставкой в виде «пробки» с <7=2+г: а) конечные элементы первого порядка, б) конечные элементы второго порядка.

Введение сильного поглощения: 1тд/Яед = 1/2 приводит к значительному ослаблению интенсивности поля (здесь 1т д - мнимая часть диэлектрической проницаемость, а Кед - ее вещественная часть).

О

а)

б)

2'

1 5-1

1 1 05Э

0; -0 5

а)

б)

Рис. 3. Распределение поля в волноводе со вставкой в верхней половине: а) конечные элементы первого порядка, б) конечные элементы второго порядка.

На рис. 3 показана картина распределения поля в волноводе в случае расположения неоднородности в верхней половине волновода - х е (1/2,1), ге(2;,г,), д=2+г. При наличии такой несимметрично расположенной вставки появляется эффект втягивания поля в область с большей оптической плотностью Поглощение в данном случае является причиной относительного выравнивания амплитуды поля в области неоднородности.

а) б)

Рис. 4. Распределение поля в волноводе со вставкой в центральной части: а) конечные элементы первого порядка, б) конечные элементы второго порядка.

На рис. 4 показана картина распределения поля в волноводе в случае расположения неоднородности по середине волновода, д=2+г. Четко видно, что при прохождении волны по волноводу поле концентрируется в центральной области.

г

Рис. 5. Распределение поля в волноводе с двумя вставками'

а) конечные элементы первого порядка, б) конечные элементы второго порядка.

»

На рис. 5 поле распределяется по волноводу, в котором две вставки, первая го которых с 9]= 2+г расположена в нижней половине волновода, а вторая с (¡2 =4+г- в верхней половине. Интенсивность поля тем больше, чем больше значение действительной части <?. Для каждого из вышеперечисленных случаев

рассчитаны и представлены графически зависимости коэффициентов прохождения (Г) и отражения (Л) от частоты. В четвертом параграфе проведен анализ точности результатов расчетов путем сравнения их с точными значениями, полученными из аналитических формул. Коэффициенты отражения и прохождения - основные характеристики, по которым проводилось сравнение. Также проверялось выполнение энергетического соотношения при вещественных i |2 t |2

значениях q: |Д| + |Г = 1. Отмечается достаточно малая погрешность полученных результатов порядка 1-3%.

Было проведено сравнение с результатами, полученными с помощью метода интегральных уравнений, и с точным решением, из которого можно сделать вывод, что результаты, полученные с применением метода конечных элементов, сравнимы по точности с результатами, полученными с применением метода интегральных уравнений, а в ряде случаев являются более точными.

Третья глава диссертации посвящена решению задачи дифракции электромагнитных волн на неоднородности в волноводе в полной векторной постановке. В первом параграфе формулируется математическая постановка задачи. В связи с решением задачи дифракции на неоднородности в волноводе рассматривается задача для уравнения:

rot e 'rot Н - к2Н = О (8)

divH = О

в области Q = {ze(-oo,oo);;ce[0,l]} с однородными граничными условиями на боковой поверхности волновода, т.е. при х=0 и х=1:

[rot Н х п] = 0 (9)

Н - поле с компонентами: Н = {Нг ,Нл}, s(z) - диэлектрическая проницаемость:

, v Г 1, z<zu z>z2

*(*)= J \ (10)

> 1, Zy<Z<Z2

к - волновое число. Область D = {z e(z,,z2);xе [0,l]}, в которой заключена неоднородность заполнения, ограничена сечениями 5, ={z = z, ;xe[0,l]} и S2 = {z = z2;x е [0,1]}. На этих сечениях ставятся парциальные условия излучения:

Х = Сх sm(nx)einz +|)Л,яп (nnx)e~ir"z (11)

в=1

Х=^Тп*1п{хпх)е*г»*, (12)

п=\

где С, - амплитуда падающей волны.

Приводится вывод вариационной постановки задачи, которая окончательно имеет вид:

\е^го1НхгоШ\1Ых- ¡к2(Н',Н)<кс1х-

я-1

-21*4

У.+"

ж и

2 2 я: и

Г,

(Нх, втттх)5(Н'х, «тш^ -(нх,$ттх\(н1,&ттх1г =

= -2 В £-'■(/* +я2) е'«* (я;, зш та\.

зн'дн. зя;ая зя; эя. ен'дн.

Здесь гоШ гоШ\ =

\ дх дх дх дг дг дх дгдг Спецификой данной задачи является то, что парциальные условия излучения включаются в явном виде в саму вариационную постановку задачи. Второй параграф посвящен построению алгоритма решения векторной задачи дифракции, основанный на применении смешанных конечных элементов. Вводятся описанные во втором параграфе первой главы функции вида

ВД/»Л7+1(*) и М](х)Рим(2)>

где ЯДг) - функция - крышка (см. рис. 6),

рис. 6

равная 1 в г-ом узле, кусочно-линейная на отрезках [(г-1)/г2,г'/г2] и [гй2,(г + 1)Л2] и равная нулю вне отрезка [(г — 1)Аг,(г +1)йг], а дг+1(г) - функция ступенька (см. рис. 7),

J 1

1

-►

рис. 7

(/+1)Аг

равная 1 на отрезке [г И2, (г +1) йг ] и нулю всюду, за исключением этого отрезка. Для аппроксимации поля Н2 будем использовать функции N](х)рХ1+1{г), для аппроксимации Нх - функции

(Н2 нг

задача сводится к системе

_ . Таким образом,

1Н Ъ&р^х)

линейных алгебраических уравнений с матрицей А и столбцом правых частей В. В третьем параграфе представлены результаты применения данного алгоритма к решению векторной задачи дифракции. Результаты решения векторной задачи дифракции электромагнитных волн на локальной неоднородности в волноводе без поглощения методом конечных элементов представлены для нескольких видов неоднородности. В качестве падающей волны берется первая собственная волна,

т.е. Хх ~ (ж х) е'П*' которая распространяется вдоль оси г в положительном направлении. По оси перпендикулярной плоскости (г,х) отложены вещественные части Я, и Я, компонент поля Н.

а) б)

Рис. 8. Распределение поля в волноводе со вставкой в виде «пробки» с £ = 2: а) Н г компонента поля Н, б) Нх компонента поля Н.

На рис. 8 представлено распределение поля в волноводе, если неоднородность имеет вид «пробки», т.е. при хе(0,1), г е(г,,г2), е = 2 . В отсутствие поглощения амплитуда практически не изменяется. Четко видно влияние поглощения на изменение амплитуды распространяющейся по волноводу волны на рис. 9 (в данном случае е=2+г):

08 оГо7

а)

б)

Рис. 9. Распределение поля в волноводе со вставкой в виде «пробки» с 8=2+1: а) Нг компонента поля Н, б) Нх компонента поля Н .

Введение сильного поглощения: 1т£ Шее = 1/ 2 приводит к значительному ослаблению интенсивности поля (здесь 1т £ - мнимая часть диэлектрической проницаемость, а Яег - ее вещественная часть).

Нг

Нх

а) б)

Рис. 10. Распределение поля в волноводе со вставкой в виде «пробки» с е = 2 + 0.1г: а) Н х компонента поля Н, б) Нх компонента поля Н.

Введение более слабого поглощения: Гт^/Ле,? = 1 /20 приводит к меньшему ослаблению интенсивности поля.

а) б)

Рис. 11. Распределение поля в волноводе со вставкой в верхней половине, £-2 + /:

а) Н, компонента поля Н, б) Нл компонента поля Н .

На рис. 11 показана картина распределения поля в волноводе в случае расположения неоднородности в верхней половине волновода - хе (1/2.1), 2&(г £•=2+/. При наличии такой несимметрично расположенной вставки появляется эффект втягивания поля в область с большей оптической плотностью. Поглощение в данном случае является причиной относительного выравнивания амплитуды поля в области неоднородности.

X

Рис. 12. Распределение поля в волноводе со вставкой в центральной части. £ = 2 + 1.

а) Н: компонента поля Н ,5) Нх компонента поля Н .

На рис. 12 показана картина распределения поля в волноводе в случае расположения неоднородности по середине волновода, е-2 + /. Четко видно, что

при прохождении волны по волноводу поле концентрируется в центральной области. В четвертом параграфе проведен анализ точности результатов расчетов. Посчитаны и приведены графики зависимости коэффициентов прохождения и отражения от частоты для волноводов с различными видами вставок.

Результаты диссертации.

1. Разработан эффективный алгоритм решения задачи дифракции волн на неоднородности в волноводе, основанный на вариационно-разностном подходе с применением смешанных конечных элементов и использованием парциальных условий излучения для ограничения области.

2. Построена и численно исследована математическая модель задачи дифракции волн на неоднородности в волноводе в скалярной формулировке.

3. Построена и численно исследована математическая модель задачи дифракции волн на неоднородности в волноводе в полной векторной постановке.

4. Разработана и применена методика вариационного учета парциальных условий излучения.

5. Проанализированы вариационно-разностные схемы с применением смешанных конечных элементов для предотвращения появления фиктивных решений («духов»).

6. На основе разработанной методики создан комплекс программ для решения широкого круга задач дифракции волн на неоднородностях в плоском волноводе.

Список публикаций по теме диссертации

1. Лавренова A.B. Задача рассеяния на неоднородности в волноводе // Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2002» секция «Физика». Сборник тезисов. М. Физич. ф-тМГУ. 2002. С. 29-31.

2. Боголюбов Ä.H., Делицын A.JI., Лавренова A.B. Метод конечных элементов в задаче волноводной дифракции // IX Всероссийская школа-семинар «Физика и применение микроволн». 26-30 мая 2003 года, г. Звенигород, Московская область. Сборник тезисов. С. 61-62.

3. Лавренова A.B. Расчет неоднородности волновода методом конечных элементов // Вестник Московского университета. Серия 3. Физика. Астрономия. 2004. №1. С. 22-24.

4. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Лавренова A.B. Метод конечных элементов в задаче волноводной дифракции // Электромагнитные волны и электронные системы. 2004. Т.9. №8. С. 22-25.

5. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Лавренова A.B. Применение метода конечных элементов в волноводных задачах дифракции // Радиотехника. 2004. №12. С. 20-26.

6. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Лавренова A.B. Численное моделирование методом конечных элементов дифракции в волноводе // Журнал радиоэлектроники (электронный журнал), http://jre.cplire.ru. 2004. №3.

к исполнению 06/02/2006 Исполнено 07/02/2006

Заказ № 53 Тираж: 100 экз.

ООО «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Варшавское ш., 36 (495) 975-78-56 (495) 747-64-70 www.autoreferat.ru

5UY

- 33 1 4

Введение.

I Метод конечных элементов в задачах дифракции на неоднородности в волноводе.

1. Метод конечных элементов.

2. Метод смешанных конечных элементов и его применение к задачам электродинамики.

3. Скалярная и векторные вариационно-разностные постановки.

4. Нефизические решения («духи»).

5. Лагранжевые и смешанные конечные элементы.

II Скалярная задача дифракции на неоднородности в волноводе

1 Постановка скалярной задачи дифракции на неоднородности в волноводе.

1.1 Постановка задачи.

1.2 Парциальные условия излучения.

1.3 Вариационная постановка задачи.

2 Алгоритм построения решения задачи.

3 Результаты решения задачи.

4 Анализ точности решения задачи.

III Векторная задача дифракции на неоднородности в волноводе.

1 Постановка векторной задачи дифракции на неоднородности в волноводе

1.1 Постановка задачи.

1.2 Вариационная постановка задачи.

2 Алгоритм построения решения задачи.

3 Результаты решения задачи

4 Анализ точности решения задачи.

В настоящее время большой интерес представляет применение различных численных методов к решению граничных задач электродинамики, в частности, к задачам дифракции электромагнитных волн. Математически задача дифракции давно поставлена и формулируется как краевая задача для системы уравнений Максвелла с определенными условиями на поверхности тела и дополнительными условиями на бесконечности. Однако общего метода ее решения для тел произвольной формы с произвольными электрическими параметрами до настоящего времени не существует [1]. Можно записать строгое аналитическое решение дифракционной задачи только для ограниченного числа наиболее простых случаев, которые являются мало интересными в практическом отношении. При выполнении N конкретных расчетов приходится либо использовать различные идеализации при постановке соответствующих задач, либо применять приближенные методы расчета, для которых часто нет строгого математического объяснения и неизвестны границы их применимости. Поэтому совершенно очевидно то исключительное значение, какое имеют численные методы для решения граничных задач электродинамики и, в частности, задач дифракции [2].

С математической точки зрения типичной особенностью дифракционных задач является то, что они представляют собой краевые задачи для эллиптических операторов с переменными коэффициентами, причем эти операторы не являются знакоопределенными. Кроме того, часть граничных условий для этих задач обычно является интегральными условиями особого типа, например, парциальными условиями излучения, вследствие чего оператор данной краевой задачи не является самосопряженным. Таким образом, проблема состоит в численном решении краевых задач с несамосопряженными и незнакоопределенными операторами.

Все методы решения задач дифракции можно подразделить на три группы в зависимости от отношения длины волны, падающей на рассеивающее препятствие, к характерному размеру рассеивателя.

К первой группе методов относятся различные асимптотические методы, которые широко применяются в случае высокочастотной дифракции - когда размеры тел и диаметры областей неоднородности среды много больше длины падающей волны. Например, существует формальный способ построения асимптотического разложения по обратным степеням частоты со решений краевых задач для уравнения Гельмгольца - лучевой метод. В простейшем случае он был предложен Зоммерфельдом и Рунге [3]. Отметим, что построение высокочастотной асимптотики лучевым методом возможно только для так называемого регулярного поля лучей. Для нерегулярных лучевых полей в ряде случаев удается получить высокочастотное асимптотическое разложение другими методами [3]. Академиками М.А. Леонтовичем и В.А. Фоком для описания волновых полей в дифракционных пограничных слоях был предложен метод параболического уравнения [4]. Замена уравнения Гельмгольца параболическим уравнением позволяет получить при й)->оо лишь главные члены асимптотического разложения. Построение последующих членов асимптотического разложения привело к созданию метода эталонных задач [3]. Плохая алгоритмезуе-мость является одним из основных недостатков этого метода. Существуют различные модификации метода параболического уравнения, например, метод опорной волны, предложенный в работе [5]. Отметим также работы, в которых развиваются различные методы улучшения точности метода параболического уравнения [6].

Ко второй группе методов решения задач дифракции относятся вариационные и квазистатические методы, которые нашли широкое применение в так называемом низкочастотном или рэлеевском случае - когда

• размеры рассеивателя малы по сравнению с длиной падающей волны. Так как статические задачи, то есть краевые задачи для уравнения Лапласа, изучены значительно более полно, то применяются методы разложения в ряд теории возмущений по частоте или проекционные методы. При этом в качестве исходного берется решение статической задачи.

Промежуточной между низкочастотной и высокочастотной областями является так называемая «резонансная» область, для которой размеры объекта дифракции соизмеримы с длиной падающей волны. В этой области невозможно применение асимптотических методов исследования, основанных на геометрооптических представлениях. К третьей группе методов относятся методы функциональных и интегральных уравнений и про

• екционные методы решения задач дифракции [7], которые наиболее часто применяются в «резонансной» области. Применение методов функциональных и интегральных уравнений в том случае, когда внешняя среда обладает произвольными переменными характеристиками, представляет со® бой весьма сложную проблему.

В принципе, задача дифракции на неоднородном теле может быть сведена к интегральному уравнению со сложным ядром по объему неоднородного тела, но реализация алгоритмов решения подобных задач связана со значительными трудностями [24]. Проекционные методы сводят решение дифракционной задачи к решению алгебраических систем уравнений (полный метод Галеркина) или к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (неполный метод Галеркина) [23, 43]. Весьма перспективным является неполный метод Галеркина, предло-А женный А.Г. Свешниковым [8, 28]. Этот метод позволяет решать широкий класс различных задач дифракции на телах произвольной геометрии и в локально-неоднородных средах [29-37, 41, 42, 66]. Однако применение неполного метода Галеркина приводит к необходимости решения так на

• зываемых жестких систем уравнений, что как правило вызывает значительные трудности в реализации соответствующих алгоритмов.

В этой связи большой интерес вызывает применение для решения задач дифракции и, в частности, дифракции на рассеивателях в различных волноведущих системах методов конечных разностей в прямой и проекционной постановках (метод конечных элементов) [9, 10, 17, 18, 47, 48, 63].

Актуальность применения конечно-разностных методов связана в частности с тем, что в настоящее время большой интерес представляет разработка эффективных численных алгоритмов для расчета нерегулярных волноведущих систем, в частности, систем с локальными неоднородно-стями. Поскольку такие системы имеют, как правило, сложную геометрию

• и неоднородное заполнение, то встает вопрос об использовании наиболее универсальных численных алгоритмов для их исследования. Такие алгоритмы могут быть построены на основе метода конечных разностей в прямой и вариационной постановках (проекционно-сеточные методы, на® пример, метод конечных элементов). Отметим, что, хотя метод конечных разностей для расчета электродинамических систем стал применяться относительно недавно, в настоящее время он достаточно широко используется для решения как прямых, так и обратных задач электродинамики [11, 12]. Обладая большими преимуществами, метод конечных разностей вызывает и определенные сложности при своем использовании. Одной из таких сложностей является проблема ограничения области, в которой ищется решение. В случае, если неоднородность в волноводе носит локальный характер, для ограничения области удобно использовать парциальные ус-Ф ловия излучения, впервые предложенные А.Г. Свешниковым в работе [13].

Впервые такой подход был использован А.Н. Боголюбовым, А.Г. Свешниковым и их учениками в работах [14-16, 38-40, 67-72, 74, 78-81], посвященных расчету плоского волновода методом конечных разностей. Однако при расчете волноведущих систем проекционно-сеточными методами, в частности, методом конечных элементов, ограничение области с помощью парциальных условий излучения до настоящего времени практически не применялось.

Основной целью диссертационной работы является разработка алгоритма решения задачи дифракции на неоднородности в волноводе на основе метода конечных элементов с использованием парциальных условий излучения, создание на основе разработанного алгоритма комплекса программ и решения с его помощью ряда задач математического моделирования неоднородных волноводов со вставками.

Данная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений.

В первой главе рассмотрены методы решения задач дифракции электромагнитных волн на неоднородности в волноводе, в частности метод конечных элементов, специфика его применения, метод смешанных конечных элементов и его применение к задачам электродинамики; описаны различные скалярные и векторные вариационно-разностные постановки задач дифракции и нефизические решения («духи»), возникающие при решении задач дифракции при векторных вариационно-разностных постановках.

Во второй главе поставлена и решена задача дифракции электромагнитных волн на неоднородности в волноводе в скалярной формулировке, численно исследована ее математическая модель. Записана полная постановка задачи, выводы парциальных условий излучения и вариационной постановки задачи, описан алгоритм построения решения задачи, приведены результаты решения задачи и анализ точности решения.

В третьей главе поставлена и решена задача дифракции электромагнитных волн на неоднородности в волноводе в полной векторной постановке, численно исследована ее математическая модель. Записана полная постановка задачи, вывод вариационной постановки задачи, описан алгоритм построения решения задачи, приведены результаты решения задачи и анализ точности решения.

В заключении приводятся основные результаты, полученные в работе.

Основные результаты опубликованы в 6 работах [108-113].

Заключение

Основные итоги диссертационной работы:

1. Разработан эффективный алгоритм решения задачи дифракции волн на неоднородности в волноводе, основанный на вариационно-разностном подходе с применением смешанных конечных элементов и использованием парциальных условий излучения.

2. Разработана и применена на практике методика вариационного учета парциальных условий излучения для ограничения области.

3. Проанализированы вариационно-разностные схемы с применением смешанных конечных элементов для предотвращения появления фиктивных решений («духов»).

4. На основе разработанной методики создан комплекс программ для решения широкого круга задач дифракции волн на неоднородно-стях в плоском волноводе.

5. С использованием разработанного алгоритма исследованы математические модели, описывающие процесс дифракции волн на произвольной локальной неоднородности в волноводе в широком частотном диапазоне в скалярной и векторной постановках.

В заключение выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору А.Н. Боголюбову и доценту А.Л. Делицыну за постоянную помощь и поддержку в работе, а также особую признательность профессору А.Г. Свешникову за ценные рекомендации и внимание к работе.

1. Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М.: Мир. 1974.

2. Вычислительные методы в электродинамике / сб. статей под ред. Митры. М.: Мир. 1977.

3. Бабич В.М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М. Наука. 1972.

4. Леонтович М.А., Фон В.А. Решение задачи о распространении электромагнитных волн вдоль поверхности земли по методу параболического уравнения // ЖЭТФ. 1946. Т. 16. №17.

5. Уфимцев А.Я., Яковлева Г.Д. Параксиальные пучки волн в регулярных и нерегулярных волноводах // Радиотехника и Электроника. 1977. Т. 22. №3. С. 451-465.

6. Полянский Э.А. Метод коррекции решения параболических уравнений в неоднородном волноводе. М. Наука. 1985.

7. Ильинский A.C., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М. Изд-во Высш.школа. 1991.

8. Свешников А.Г. Волны в изогнутых трубах // Радиотехника и Электроника. 1958. Т. 3. № 5. с. 641-648.

9. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М. Наука. 1981.

10. Самарский A.A. Теория разностных схем. М. Наука. 1983. П.Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Красильникова A.B., Минаев Д.В.,

11. Свешников А.Г. Математическое моделирование волноведущих систем на основе метода конечных разностей // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1998. № 5. С.39-54.

12. Боголюбов А.Н., Свешников А.Г. Применение итерационного метода к исследованию плоских волноводов с неоднородным заполнением // ЖВМ и МФ. 1974. Т. 14. № 4. С. 947-954.

13. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н. Применение итерационного метода к расчету плоского волновода с неоднородным заполнением. М. Изд-во МГУ. "Вычислительные методы и программирование". 1975. Выпуск 24. С. 262-279.

14. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н. Расчет плоского волноводного трансформатора конечно-разностным методом. М. Изд-во МГУ. 1978. Вы• пуск 28. С. 118-133.

15. Зенкевич O.K. Метод конечных элементов в технике. М. Мир. 1975.

16. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М. Мир. 1982.

17. Кисунько Г.В. Электродинамика полых систем. Л. Изд-во ВКАС. 1949.

18. Слэтер Дж. Передача ультракоротких радиоволн. ОГИЗ. 1946.

19. Houdras D., Debye Р. Electromagnetische wellen an dielectrischen drahten //Ann. Phys. 1910. v.32. P. 465-476.

20. Де Бройль Л. Электромагнитные волны в волноводах и полых резонаторах. ОГИЗ. 1948.

21. Shelkunoff S.A. // Теория распространения плоских электромагнитных волн. Pro с. Inst. Rad. Eng. 1936. No.24. P. 1936.

22. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения математической физики. М. Л. ОНТИ. 1937.

23. Кисунько Г.В. К теории возбуждения радиоволновода // ЖТФ. 1946. № 6. С.565.

24. Самарский A.A., Тихонов А.Н. О возбуждении радиоволноводов I // ЖТФ. 1947. Т. 17. № 11. С. 1283-1296.

25. Самарский A.A., Тихонов А.Н. О возбуждении радиоволноводов II // ЖТФ. 1947. Т. 17. № 11. С. 1283-1296.

26. Ильинский A.C., Слепян Г.Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. М. Изд-во МГУ. 1983.

27. Свешников А.Г. К изгибу волноводов // ЖВМ и МФ. 1961. Т. 1. № 4. С. 737-741.

28. Свешников А.Г. К обоснованию метода расчета электромагнитных полей в нерегулярных волноводах // ЖВМ и МФ. 1963. Т. 3. № 2. С.314-326.

29. Свешников А.Г. Обоснование методов исследования распространения электромагнитных колебаний в волноводах с анизотропным заполнением // ЖВМ и МФ. 1963. Т. 3. № 5. С. 935-955.

30. Свешников А.Г., Ильинский A.C. Расчет волноводных переходов // ЖВМ и МФ. 1963. Т. 3. № 3.

31. Свешников А.Г. Прямые и обратные задачи электродинамики // Проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука. 1979. С.287-297.

32. Свешников А.Г., Ильинский A.C. Задачи проектирования в электродинамике // ДАН СССР. 1972. Т.204. ф 5. С.1077-1080.

33. Ильинский A.C. Распространение электромагнитных волн в нерегулярных волноводах переменного сечения. М.Изд-во МГУ. 1970.

34. Галишникова Т.Н., Ильинский A.C. Численные методы в задачах дифракции. М. Изд-во МГУ. 1987.

35. Ильинский A.C., Свешников А.Г. Методы исследования нерегулярных волноводов //ЖВМ и МФ. 1968. Т. 8. № 2. С. 363-373.

36. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н. Расчет плоского волноводного трансформатора конечно-разностным методом. В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып. 28. 1978. С. 118-133.

37. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н. Применение итерационного метода к расчету плоского волновода с неоднородным заполнением. В кн.: Вычислительные методы и программирование. Вып. 24. 1975. С. 262-279.

38. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н. Обоснование конечно-разностного метода расчета оптических волноводов // ЖВМ и МФ. 1979. Т. 19. № 6. С. 1496-1505.

39. Колесников B.C., Моденов В.П., Пирогов Ю.А., Свешников А.Г. Резонансная дифракция волны Hi0 на диэлектрической неоднородности в Н — плоскости волновода // Радиотехника и электроника. 1987. Т. 32. №9. С. 1841-1848.

40. Гладун В.В., Колесников В.Ф., Моденов В.П., Пирогов Ю.А. Резонансно-дифракционные свойства диэлектрического параллелепипеда в прямоугольном волноводе // Известия ВУЗов. Радиофизика. 1986. Т. 29. № 12. С. 1509-1511.

41. Каценеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. М. Изд-во АН СССР. 1961.

42. Каценеленбаум Б.З. Высокочастотная электродинамика. М. Наука. 1964.

43. Никольский В.В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики. М. Наука. 1967.

44. Вайнштейн JI.A. Электромагнитные волны. М. Радио и связь. 1988.

45. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики. Часть 1 // ЖВМ и МФ. 1964. Т. 4. № 3. С. 449-465.

46. Лебедев В.И. Разностные аналоги ортогональных разложений основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики. Часть 2 // ЖВМ и МФ. 1964. Т. 4. № 4. С. 649-659.

47. Lynch D.R., Paulsen K.D. Origin of vector parasites in finite-element Maxwell solutions. IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1991. No. 3. P. 383390.

48. Paulsen K.D., Lynch D.R. Elimination of vector parasites in finite-element Maxwell solutions. IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1991. No. 3. P. 395-400.

49. Raviart P.A., Thomas J.M. A mixed finite element method for 2nd order elliptic problems. In A. Dold, B. Eckman. eds. Mathematical aspects of finite element methods. Lecture notes Math. 606. Springer. Berlin Heidelburg New York. 1976. P. 292-315.

50. Nedelec J.C. Mixed finite elements in R3. Numer. Math. 35. 1980. P. 315341.

51. Nedelec J.C. A new family of mixed finite elements in R3. Numer. Math. 50. 1986. P. 57-81.

52. Hano M. Finite-element analysis of dielectric loaded waveguides. IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1984. Vol. MTT-32. No. 10. P. 1275-1279.

53. Angkaew Т., Matsuhara M., Kumagai N. Finite-element analysis of waveguide modes: a novel approach that eliminates spurious modes. IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1987. Vol. MTT-35. No.2. P. 117-123.

54. Lee J.F., Sun D.K., Cendes Z.J. Full-wave analysis of dielectric waveguides using tangential vector finite elements. IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1991. No.8. P. 1262-1269.

55. Lee J.F., Mittra R. Notion of the application of edge elements for modeling three dimensional inhomogeneously-filled cavities // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1992. No.9. pp. 1767-1774.

56. Bossavit A., Mayergoyz. Edge-elements for scattering problems. IEEE Trans. Magn. 1989. Vol. 25. P. 2816-2821.

57. Schmidt R., Russer P. Modeling of Cascaded Coplanar Waveguide Discontinuities by the Mode-Matching Approach // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 1995. Vol.43. No. 12. P.2910-2917.

58. Lindenmeier S., Russer P. Design of Planar Circuit Structures with an Efficient Magnetostatic-Field Solver // IEEE Trans. Microwave Theory Tech.1997.Vol.45. No. 12. P.2468-2473.

59. Suh Y., Chang K. Coplanar stripline resonators modeling and applications to filters // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. 2002. Vol.50. No.5. P.1289-1296.

60. Tentzeris E., Krumpholz M., Dib N., Yook J., Katehi L. FDTD characterization of waveguide-probe structures // IEEE Trans. Microwave Theory Tech.1998. Vol.46. No. 10. P.1452-1460.

61. Боголюбов A.H., Едакина T.B. Применение вариационно-разностных методов для расчета диэлектрических волноводов // Вестн. Моск. Унта. Сер. 3. Физ. Астрон. 1991. Т.32. ф 2. С.6-14.

62. Боголюбов А.Н., Телегин В.И. Об одном численном методе решения линейных систем уравнений с трехдиагональной матрицей // Журнал вычисл. матем. и матем. Физики. 1974. Т.14. ф 3. С.768-771.

63. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир. 1988.

64. Завадский В.Ю. Метод сеток для волноводов. М.: Наука. 1986.

65. Боголюбов А.Н., Делицын A.JI. Новая постановка задачи расчета мод диэлектрических волноводов методом конечных элементов // Вестн. Моск. ун-та. Сер.З. Физ. Астрон. 1995. Т.36. ф 2. С.95-98.

66. Боголюбов А.Н., Делицын A.JI. Расчет диэлектрических волноводов методом конечных элементов, исключающий появление нефизических решений // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 3. Физ. Астрон. 1996. ф 1. С.9-13.

67. Боголюбов А.Н., Лопушенко В.В. Разностные методы расчета диэлектрических волноведущих систем // Электродинамика открытых структур миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов. Сб. науч. Тр. / АН УССР. Харьков. 1990. С.45-52.

68. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Минаев Д.В., Сычкова A.B. Расчет диэлектрических волноведущих систем конечно-разностным методом // Радиотехника и электроника. 1993. Т.38. ф 5. С.80-809.

69. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Митина И.В. Расчет двухслойного световода методом конечных разностей // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1982. Т.22. ф 5. С. 1187-1194.

70. Боголюбов А.Н., Красильникова A.B., Минаев Д.В., Свешников А.Г. Синтез волноведущих систем волоконной оптики и высокочастотной электродинамики // Радиотехника. 1997. ф 1. С.81-88.

71. Noor A.K. Books and monographs on finite element technology // Finite Elements in Analysis and Design. 1985. Vol. l.No.l. P.101-111.

72. Chatelin F. Spectral Approximation of Linear Operators. Academic Press. New York. 1983.

73. Норри Д., де Фриз. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир. 1975.

74. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир. 1980.

75. Самарский A.A., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука. 1976.

76. Делицын А.Л. О задаче рассеяния на неоднородности в волноводе // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. 2000. Т. 40. № 4. С. 606-610.

77. Bogolyubov A.N., Delitsyn A.L., Mogilevskii I.E. Variational finite-difference method of waveguide system modeling and spectral problems of waveguide theory // J. Comm. Tech. El. 2000. Vol. 45. Suppl. 2. P. 126-130.

78. Sveschnikov A.G., Bogolyubov A.N., Delitsyn A.L., Krasilnikova A.V.,

79. Minaev D.V. Calculation of dielectrical waveguide systems using finite-difference method // Computers and Mathematics with Applications. 2000. Vol. 40. P. 1387-1395.

80. Bogolyubov A.N., Krasilnikova A.V., Minaev D.V. Mathematical modeling of guiding structures by finite-difference method // Journal of Communication Technology and Electronics. 2000. Vol. 45. Suppl.2. P. 131-139.

81. Oden J.T., Reddy J.N. An Introduction to the Mathematical Theory of Finite Elements. Wiley. New York. 1976.

82. Oden J.T. Finite Elements: An Introduction. In: Handbook of Numerical Analysis, vol.2 ed. Ciarlet P.G., Lions J.L., North-Holland. 199. pp.3-15.

83. Ciarlet P.G. Basic Error Estimates for Elliptic Problems. In: Handbook of

84. Numerical Analysis. 1991. vol.2 ed. Ciarlet P.G., Lions J.L., North-Holland. P. 17-351.

85. Wahlbin L.B. Local Behavior in Finite Element Methods. In: Handbook of

86. Numerical Analysis, vol.2 ed. Ciarlet P.G., Lions J.L., North-Holland. 1991. P.353-521.

87. Babusha I., Osbor J. Eigenvalue Problems. Handbook of Numerical Analysis. 1991. Vol.2 ed. Ciarlet P.G., Lions J.L., North-Holland. P.641-787.

88. Fix G.J. Eigenvalue Approximation by the Finite Element Method // Advanced in Mathematics. 1973. Vol.10. No. 2. P.300-316.

89. Nedelec J.C. Mixed Finite Elements in R3// Numersche Mathematik. 1980. Vol.35. No.3.P.315-341.

90. Raviart P.A., Thomas J.M. Primal Hybrid Finite Element Methods for 2nd Order Elliiptic Equations // Mathematics of Computation. 1977. Vol.31. No. 138. P.391-413.

91. Bermudes A., Pedreira D.G. A finite element method for computation of waveguide //Numer. Math. 1992. Vol.61. No. 2. P.39-57.

92. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конченых элементов. М. Мир. 1977.

93. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М. Мир. 1976.

94. Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов. М. Радио и связь. 1987.

95. Адаме М. Введение в теорию оптических волноводов. М. Мир. 1984.

96. Маркузе Д. Оптические волноводы. М.: Мир. 1974.

97. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М. Наука. 1973.

98. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 2. Гостех-издат. 1951.

99. Уэйт Р., Митчелл Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М. Мир. 1986.

100. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М. Наука. 1973.

101. Gruber R., Rappaz J. Finite Element Methods in Linear Ideal Magneto-hydrodynamics. Springer, Heidelberg Berlin New York. 1985.

102. Hara W., Wada Т., Kikuchi F. A three dimensional Analysis of RF electromagnetic fields by the finite element method. IEEE Trans. Magn. 19. 1983. №6. P. 2417-2420.

103. Roberts J.E., Thomas J.M. Mixed and Hybrid Methods. In P.G. Ciarlet, J.L. Lions, eds., Handbook on Numerical Analysis. Vol. 2. Finite Element Methods. North Holland. Amsterdam.

104. Боголюбов A.H., Делицын A.JI. Новая постановка расчета мод диэлектрических волноводов методом конечных элементов // Вестник Москов.ун-та. Сер.З. Физика. Астрономия. 1995. Т.36. № 2. С. 95-98.

105. Нефедов Е.И. Дифракция электромагнитных волн на диэлектрических структурах. М. Наука. 1979.

106. Илларионов Ю.А., Раевский С.Б., Сморгонский В .Я. Расчет гофрированных и частично заполненных волноводов. М. Сов. радио. 1980.

107. Лавренова А.В. Задача рассеяния на неоднородности в волноводе // Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2002». Секция «Физика». Физический факультет МГУ. С. 29-31.

108. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Лавренова А.В. Метод конечных элементов в задаче волноводной дифракции // Труды IX Всероссийской школы-семинара «Физика и применение микроволн». 26-30 мая 2003 года. г. Звенигород. Московская область. С. 61-62.

109. Лавренова А.В. Расчет неоднородности волновода методом конечных элементов // Вестник Моск.ун-та. Сер.З. Физика. Астрономия. 2004. №1, С. 22-24.

110. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Лавренова А.В. Метод конечных элементов в задаче волноводной дифракции // Электромагнитные волны и электронные системы. № 8. Т.9. 2004. С. 22-25.

111. Боголюбов А.Н., Делицын А.Д., Лавренова A.B. Применение метода конечных элементов в волноводных задачах дифракции // Радиотехника. №12. 2004. С. 20-26.

112. Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Лавренова A.B. Численное моделирование методом конечных элементов дифракции в волноводе // Журнал радиоэлектроники (электронный журнал), http://jre.cplire.ru. 2004. №3.