автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение интегральных уравнений второго рода в теории периодически нерегулярных электродинамических систем

На правах рукописи

Фильченков Сергей Евгеньевич

ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО РОДА В ТЕОРИИ ПЕРИОДИЧЕСКИ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Нижний Новгород - 2005

Работа выполнена в Институте прикладной физики РАН, г. Нижний Новгород

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Н. Ф. Ковалев

кандидат физико-математических наук А. Д. Юнаковский

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

В. Г. Яхно

доктор физико-математических наук, профессор С. Н. Слугин

Ведущая организация: ФГНУ Научно-исследовательский

радиофизический институт

Защита состоится 30 июня 2005 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д212.166.13 при Нижегородском государственном университете им. Н.И.Лобачевского (603950 г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского.

Автореферат разослан

2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к. ф.-м. н., доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В СВЧ технике тенденция к повышению мощностей и рабочих частот порождает проблему разработки весьма сложных электродинамических структур с размерами, существенно превосходящими длину волны в свободном пространстве [1-5]. При расчетах таких сверхразмерных структур приближенные аналитические методы становятся неприменимыми, а универсальные численные сеточные алгоритмы оказываются малопригодными вследствие быстро нарастающих объемов вычислений.

Однако при наличии в такого рода структурах определенной симметрии - осевой или трансляционной - возможна разработка весьма эффективных методов, основанных на сведении задачи к решению интегральных уравнений относительно реальных или фиктивных источников, которые расположены на граничной поверхности [6-10]. При этом особая задача заключается в выводе таких интегральных уравнений, численное решение которых обеспечивало бы быструю сходимость.

Данная диссертационная работа, направленная на решение задач о расчетах сверхразмерных электродинамических систем, результаты которой широко используются в теоретических исследованиях и в практических расчетах, является актуальной и современной.

Целью работы является развитие метода граничных интегральных уравнений применительно к сверхразмерным периодическим волноводам, к многослойным дифракционным решеткам с подложками, и создание на его основе эффективных численных алгоритмов и программ. Проведены исследования математических моделей, описывающих следующие конкретные электродинамические объекты:

1. собственные осесимметричные электромагнитные волны осесим-метричных периодически гофрированных волноводов (полого металлического, коаксиального металлического и диэлектрического);

2. собственные осесимметричные электромагнитные волны вне осе-симметричного периодически гофрированного стержня, а также в периодической системе изолированных соосных металлических или диэлектрических тел вращения;

3. колебания электромагнитного поля в осесимметричном резонаторе с произвольным гладким профилем;

4. дифракция плоской электромагнитной волны на решетках различного типа, а также на периодической границе двух диэлектриков.

Научную новизну проделанной работы характеризуют следующие основные достижения.

Предложен метод получения интегральных уравнений второго рода

типа Фредгольма, которые не требуют регуляризации при их численной

реализации. Уравнения позволяют исследовать перечисленные задачи в электродинамических структурах с произвольной по форме и глубине гофрировкой в широком диапазоне изменения параметров и частот. Ядра полученных уравнений представлены в виде, удобном для их численного решения. Этот метод применим как для решения задач о распространении собственных волн в периодических волноведущих системах, так и для задач дифракции плоских волн на периодических структурах.

Программно реализована методика решения полученных интегральных уравнений. Проведены численные расчеты ряда волноведущих систем и рассеивающих структур.

Разработан принцип размещения точек при дискретном описании поверхности, пригодный для сложных волноведущих и рассеивающих СВЧ структур с негладким профилем.

Практическое значение. Созданные на основе предложенной методики программы позволяют проводить расчеты (в том числе и в интерактивном режиме) с высокой степенью точности применительно к электродинамическим системам с характерными размерами порядка и больше длины волны, когда широко используемые универсальные программы не дают достоверных результатов. Большинство созданных программ использовались и используются при разработках новых уникальных электродинамических систем, в частности, для приборов высокочастотной релятивистской электроники и для линий передачи мощного электромагнитного излучения, а также при обработке результатов экспериментов на установках, содержащих сложные электродинамические системы.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на семинарах отделения физики плазмы и электроники больших мощностей ИПФ РАН, на международной рабочей группе по мощным микроволнам в плазме (Суздаль, 1990), на Крымских осенних математических школах-симпозиумах по спектральным и эволюционным задачам (Симферополь, 1991, 1993 гг.), на республиканской конференции по нелинейным задачам математической физики и задачам со свободной границей (Донецк, 1991), на 21-й конференции Европейского физического общества по управляемому синтезу и физике плазмы (1994), на школе по математическому моделированию в естественных и гуманитарных науках (Воронеж, 2000).

Основные результаты диссертации изложены в 13 работах: в 7 статьях (из которых 4 в отечественных и 2 в зарубежных рецензируемых журналах, 1 статья в сборнике трудов международной конференции), в 1 препринте ИПФ РАН и в 5 аннотациях докладов на международных и всероссийских конференциях и школах.

Структура и объем. Диссертация состоит из Введения, двух Глав, Заключения и Приложения. Она содержит 129 страниц основного текста, включая 40 рисунков и 2 таблицы. Библиография включает 34 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы ее цель и основные задачи, научная новизна и практическая значимость.

В начале каждой главы определен круг рассматриваемых в ней вопросов.

Первая глава посвящена осесимметричным собственным волнам в осе-симметричных направляющих системах.

В пункте 1.1 на примере металлического волновода подробно описана методика получения интегрального уравнения и алгоритм его решения.

Осесимметричные электромагнитные волны в осесимметричных системах делятся на волны магнитного типа, у которых продольная составляющая напряженности электрического поля равны нулю, и электрического типа, у которых продольная составляющая напряженности магнитного поля равна нулю. Волны электрического типа описываются азимутальной компонентой напряженности магнитного поля, которая удовлетворяет скалярному уравнению Гельмгольца

АНр-Ну/г2 +к2Ну=0 , - (1)

граничному условию на внутренней поверхности идеального металлического волновода

=0 ' (2)

дп Ш г -О

и Флоке-периодическим условиям вдоль оси волновода

Я,(г,г + « = ехр(1М,)Я,(г,г). (3)

Множество пар для которых однородная задача (1)-(3) имеет

нетривиальное решение, называется дисперсионной зависимостью. Рассматриваем только действительные значения волнового числа и параметра Флоке

Решение задачи (1)-(3), переформулированной для ее периодической части, представлено в виде интеграла типа потенциала простого слоя на периоде волновода, с неизвестной функцией, определенной на поверхности.

В качестве ядра использована функция Грина периодической задачи, разложенная в ряд по цилиндрическим пространственным гармоникам. Этот ряд сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом множестве, не содержащем область совпадения пар аргументов функции Грина. Интеграл, представляющий решение, обладает свойствами потенциала простого слоя, благодаря которым из граничного условия получается интегральное уравнение для внутренней задачи волновода. В качестве переменной интегрирования при выводе уравнения использовалась длина дуги образующей поверхности волновода. Оказалось, что ядро уравнения инвариантно при замене переменной интегрирования. Это свойство, во-первых, допускает произвол при дискретном описании профиля волновода, а, во-вторых, позволяет использовать уравнение для волноводов не только с гладкой поверхностью, но и имеющих на периоде конечное число изломов.

Для улучшения сходимости ряда в ядре уравнения из него выделена плохо сходящаяся суммируемая часть с явно выраженной логарифмической особенностью, которая допускает аналитическое разложение в ряд Фурье.

Методом Галеркина, с использованием в качестве базиса периодической тригонометрической системы, полученное интегральное уравнение сводится к системе линейных однородных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Фурье искомой функции. Элементы матрицы этой системы представляют собой коэффициенты Фурье ядра. При численной реализации они вычисляются с помощью дискретного преобразования Фурье на сетке точек, описывающих профиль волновода. За дисперсионную зависимость принимают такие значения волнового числа к и параметра Флоке которые минимизируют определитель однородной системы в

некоторой окрестности этих параметров.

Описанный алгоритм реализован в программе, где для заданного параметра Флоке находится волновое число. Точность расчетов проверяется увеличением числа учитываемых гармоник решения, а контролируется по скорости уменьшения этих гармоник и по минимальной величине определителя системы.

Граничное условие внешней задачи для гофрированного металлического стержня записывается в виде

и из него описанным способом получается интегральное уравнение второго рода, которое отличается от уравнения для внутренней задачи лишь знаком перед искомой функцией вне интеграла, а решается так же.

В диссертации показано существование пар (к,кд), для которых решение полученных интегральных уравнений отвечает задачам на собственные

волны магнитного типа с обратной стороны граничной поверхности, и ' предложен критерий выбора нужного решения.'

'Полученные интегральные уравнения используются и для расчета собственных колебаний осесимметричных круглых (и тороидальных) резона-торов. ; ■ " ' ' ' ■

' Приведены дисперсионные" кривые* полученные в'результате расчетов по этим интегральным уравнениям, для собственных, волн полого металлического волновода с синусоидальной ¡гофрировкой различной глубины, внешней задачи для ребристого стержня и системы соосных металлических торов, а также внутренней зЙдатадлйтороидал^Ного резбйатора.' 1 В пункте 1.2 указанным способом • построена система интегральных

осесимметричных волн

электрического типа в металлическом осесимметричном коаксиальном вол-новоде. (Способ решения этой системы аналогичен приведенному в п. 1.1.

! В качестве иллюстрации предложен расчет коаксиального волновода с внутренним проводником в виде системы периодически расположенных; цилиндрических резонаторов и, э частности, в виде сфер. . - - : - ^ л ; . . В пункте 1.3 построена система интегральных уравнений второго рода,; описывающая собственные осесимметричные электромагнитные волны электрического и магнитаогатапов периодически гофрированного, осесим-. метричного диэлектрического волновода. В отличие, от задач с металлической границей, решения внутри и вне диэлектрика представлены в виде интегралов типа потенциалов простого слоя с неизвестными функциями,-определенными на сторонах, поверхности волновода.: На границе диэлектрика эти решения удовлетворяют условиям непрерывности касательных; составляющих электрических и магнитных полей.: ¡•.; .•'¡••¡..V

, ; В качестве примера диэлектрических систем. приведены; расчеты для ребристого стержня с синусоидальной гофрировкой и для периодической > системы соосных торов круглого сечения. , > с ^ (>.; ; >.-.*?

:. Приведенная в Главе I методика позволяет моделировать и более сложные комбинированные, волноводные и резонансные структуры. - , 7 • Во Второй главе приведено решение задачи дифракции плоской .электромагнитной волны на периодических поверхностях различной природы методом интегральных уравнений. • ' ¡т - - .

В пункте 2.1 рассмотрена задача дифракции плоской электромагнитной волны йа идёально'йроводащей,^мётаюшческой, однортдной вдоль оси'У'и1 периодически гофрированной вдоль , оси X поверхности. Волны, однородные в направлении К, делятся на магнитные л электрические.

Волны магнитного типа описываются одной декартовой составляющей; магнитного ноля Ну, удовлетворяют скалярному уравнению Гедьмгольца

;; : </'. с; ■.:■'•; • _ г2'»г ''п " ' • " ■ ■ *1 «< '''*.. *

граничному условию на верхней стороне поверхности

и Флоке-периодическим условиям вдоль 7.

Ну (х, г+ ехрЩЦНу (х, г) .

Полное поле разделено на две части

Ну (х, ¿) = Н1пс (х, ¿)+Н(х, г) ,

(6)

(7)

где Я1ПС(лг, г) = схр(^0х+/Ад г) - известная падающая плоская волна, а Н(х,г) - неизвестное рассеяное поле.

Рассеяное поле ищем в виде интеграла типа потенциала простого слоя на периоде поверхности.' Ядром является периодическая функция Грина, разложенная в ряд по пространственным гармоникам. Этот ряд имеет такую же сходимость, как и ряд функции Грина цилиндрической задачи в Главе I. Выражающий решение интеграл обладает свойствами потенциала простого слоя и позволяет из граничного условия (5) получить неоднородное интегральное уравнение второго рода. Как и в Главе I, ядро этого уравнения инвариантно относительно замены переменной интегрирования, что при численном решении дает указанные ранее преимущества.

Для улучшения сходимости ряда ядра была выделена его главная суммируемая часть с устранимой особенностью. Как и ранее, методом Галер-кина с периодической тригонометрической системой в качестве базиса интегральное уравнение сводится к системе линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Фурье (гармоник) искомой функции. Матрица системы вычисляется с использованием дискретного преобразования Фурье на выбранном множестве точек дискретизации профиля отражающей поверхности.

При фиксированном числе этих точек (а значит, при фиксированном числе гармоник решения) точность расчетов контролируется по скорости убывания старших гармоник решения, а также по точности выполнения закона сохранения энергии.

Волны электрического типа описываются одной составляющей напряженности электрического поля которая удовлетворяет уравнению Гельмгольца (4), граничному условию на поверхности идеального металла

и Флоке-периодическим условиям (7).

Здесь решение для периодической части рассеянного поля ищем в виде интеграла типа потенциала двойного слоя, ядром которого служит производная по нормали той же функции Грина, что и для волн магнитного типа.

Этот интеграл обладает свойствами потенциала двойного слоя и позволяет из граничного условия (8) получить неоднородное интегральное уравнение второго рода. Решается это уравнение описанным выше способом.

Дня иллюстрации расчетов полученных интегральных уравнений предложена поверхность с синусоидальной гофрировкой. Угол падения и волновое число выбраны такими, чтобы распространялась только нулевая отраженная пространственная гармоника. Приведены графики ее зависимости от глубины гофрировки для волн электрического и магнитного типов, а также их разности.

В пункте 2.2 построена система неоднородных интегральных уравнений второго рода, описывающая дифракцию плоской электромагнитной волны магнитного типа на периодической границе двух однородных диэлектрических сред. В каждой среде поле представлено интегралом типа потенциала простого слоя с неизвестной функцией плотности, определенной на своей стороне границы. На границе диэлектриков выполняется непрерывность касательных компонент поля.

Для примера применения этой системы решена задача о прохождении электромагнитных волн через диэлектрическую пластину с гофрированными поверхностями. Приведен график зависимостей коэффициента отражения от частоты падающей волны, полученных экспериментально и численно из системы интегральных уравнений. Из графика видно их хорошее соответствие.

В пункте 2.3 рассмотрена задача дифракции плоской электромагнитной волны магнитного типа на электродинамической системе, состоящей из однородных металлических стержней, периодически расположенных над поверхностью с известными отражающими свойствами. Такая система предложена в токамаках для возбуждения медленных волн в плазме с помощью мощного высокочастотного излучения. Построено интегральное уравнение, соответствующее этой задаче. Приведены примеры расчетов для стержней круглого и эллиптического сечений.

В Заключении приводятся основные результаты диссертационной работы, которые одновременно являются и положениями, выносимыми на защиту.

1. Разработана методика вывода интегральных уравнений второго рода для задач дифракции и распространения электромагнитных волн в периодических системах. К особенностям метода относятся:

выбор функций источников поля, которые могут и не иметь физического смысла, если их расположить вне области определения решений;

представление функции Грина рядом Фурье без использования фундаментального решения, что позволяет существенно расширить класс допустимых граничных условий и, соответствен-

1 но, класс задач, приводимых к исйользуемому типу интегральных " - • ■ уравнений. • ' • > < < < '

Получаемйе интегральные уравнения корректны по Адамару и обладают повышенной устойчивостью к ошибкам дискретизации, что позволяет использовать простые и быстросходящйеся'вЫчислителыдае схемы.

Показана инвариантность ядер полученных интегральных уравнений по отношению к преобразованию йфеменндй интегрирования, что позволяет, корректно исследовать электродинамические системы с ребрами и кромка-' ми. >•>..'

и . ■ . . ' ■■■ j ...' ......' ;1

2. ПЬказано, что множество* бобстаенных функций интегральных- уравне-ний исследуемого типа содержит как решения исходной задачи для вблн элегического, так и магнитного типа, и наоборот. Сформулиро-' Ьан критерий выбора. В ряде'случаев дополнительные решения имеют - физический Смысл волн," существующих вне области "определения искомых решений. ' V ' 'I

Г- X ' • ' " I '.'< * • » I 1

Ъ.< Разработаны программы расчета:5' ' *' ■.<•>...> j •

■ >' , -i-'i осбсимметриЧных волн* осесимметричных полых и-коак--" сиальных периодических волноводах с различными профйлями гофрировки;" ' v,r '. j • i ■ ;

осесимметричных медленных волн (k<kg) в открытых осесимметричных волноводах типа ребристого металлического или диэлектрического стержня и периодически расположенных, метал-' лических или диэлектрических колец; , . . \ ( ( " У -" собственных волн плоских гофрированных волноводов; '' * " " * - полей рассеяния дифракционными решетками следующих " ' ^ типов: гофрированные металлические "плоскости и/или гофрированные'границы раздела диэлектриков,''параллельные металличе-. ские или дюлектрические| стержни'около отражающей поверхности из материалов с различными электродинамическими свойствами, многослойные решетки. Период, глубина и конфигурация профилей ограничены только условиями просачивания полей при дискретном описании'поверхности заданным числом точек. Время расчета одного варианта составляет несколько секунд на ЭВМ с процессором Intel Р4:1400 для систем, у которых период и глубина профиля соразмерны ¿'длиной волны. ' f ( , ' (

4. Решены задачи: . .......

' - 'о собственных,волнах в электродинамических системах

мощных релятивистских СВЧ приборов черенковского типа;

i ) ( - ..!;) ' ' 1 ■ .(

возбуждения нижнегибридных волн в установках управляемого термоядерного синтеза с помощью квазиоптического грилла;

преобразователей типов волн в гофрированных волноводах и преобразователей поляризации на дифракционных решетках;

расчета вакуумных диэлектрических окон для гиротронов. Результаты решения задач были использованы и используются во многих действующих экспериментальных установках.

В Приложении приводится текст программы расчета дисперсионной зависимости для собственной осесимметричной электромагнитной волны электрического типа в металлическом полом гофрированном волноводе (внутренняя задача) и ребристом стержне (внешняя задача).

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Белов В.Е., Родыгин Л.В., Фильченков С.Е., Юнаковский АД. Применение метода интегральных уравнений к расчету электродинамических характеристик периодически гофрированных волноводов // Известия ВУЗов. Радиофизика. 1988. Т. XXXI, № 2. С. 180 - 189.

2. Ковалев Н.Ф., Фильченков С.Е., Юнаковский АД. Электродинамические системы релятивистских карсинотронов: Препринт ИПФ АН СССР № 268. Н.Новгород, 1990. 32 с.

3. Фильченков СЕ, Юнаковский А.Д. Применение гармонических возмущений к расчету периодически гофрированных волноводов // Известия ВУЗов. Радиофизика. 1995. Т. XXXVIII, № 5. С. 467 - 480.

4. Petelin M.I., Suvorov E.V., Kovalev N.F., Filchenkov S.E., Smirnov A.I.

Quasi-optical diffraction grill for excitation of lower-hybrid waves in toka-maks // Plasma Phys. Control. Fusion. 1996. V.38. P. 593 - 610.

5. Ковалев Н.Ф., Фильченков СЕ. Осесимметричные электрические волны периодических волноведущих систем, предназначенных для релятивистской СВЧ электроники // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2000. Т. ХПП,№ 11.С.989-1003.

6. Kovalev N.F., Filchenkov S.E., Fuks M.I, Schamiloglu E. Axisymmetric waves in dielectric corrugated rods and system of periodic dielectric rings // IEEE Transactions on Plasma Science. June 2002. V. 30, № 3. P. 1082 -1088.

7. Ким Ы, Ковалев Н.Ф., Фильченков СЕ. Коаксиальный волновод с прорезями на внутреннем проводнике // Радиотехника и электроника. 2003. Т. 48, № 4. С. 1-9.

8. Kovalev N.F., Petelin M.I, Suvorov E.V., Filchenkov S.E. Quasi-optical grill for excitation of lower-hybrid wave in a plasma // Abstracts of International workshop "Strong microwaves in plasmas". Suzdal. 1990. H-21.

9. Фильченков СЕ, Юнаковский АД Применение интегральных уравнений к расчету характеристик периодических волноводов // Спектральт i еволющ'йт задачи Тезi доповдай. Кшв. 1991. С.45.

10. Фильченков СЕ. Дифракция волн на металлической решетке, расположенной вблизи отражающей поверхности со сложными электромагнитными свойствами // Нелинейные задачи математической физики и задачи со свободной границей. Тез. докл. VIII Респ. конф. Донецк. 1991. С.118.

11. Фильченков С.К, Юнаковский АД. Применение спектральных возмущений к расчету периодических волноводов // Спектральт i ево-лющйт задачь Te3i доповщей. Випуск 2. Омферополь. 1993. С.66.

12. Petelin M.I, Kovalev N.F., Suvorov E.V., Filchenkov S.E., Smirnov A.I. The concept and numerical simulation of quasi-optical grill to exitation of lower-hybrid waves in toroidal plasmas // Abstracts of 21-st EPS Conf. On CF and PP. 1994. P.344 // Contr. Paper of 21-st EPS Conf. Of CF and PP. 1994. Pt III. P. 1070-1073.

13. Ковалев Н.Ф., Фильченков С.Е., Юнаковский А.Д. Системы интегральных уравнений для описания волн в гофрированных волноводах, частично заполненных преломляющей средой // Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках. Тез. докл. Воронеж. 2000. С. 114.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Релятивистская высокочастотная электроника. Материалы Всесоюзного семинара. Горький, 1979.

2. Кулагин КС, Милославский П.Ю., Новожилова Ю.В. и др. Релятивистская высокочастотная электроника // Зарубежная радиоэлектроника. 1986,№12.С.З.

3. Балакирев В.А., Карбушев Н.И., Островский А.О., Ткач Ю.В. Теория черенковских усилителей и генераторов на релятивистских пучках. Киев: Наукова думка, 1993.

4. Бугаев СП., Канавец В.К, Кошелев В.И., Черепенин В.А. Релятивистские многоволновые СВЧ-генераторы. Новосибирск: Наука, 1991.

5. Каценеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. М.: Изд-во АН СССР, 1961.

6. Ильинский А.С, Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991.

7. Вайнштейн Л.А., Суков А.И. Дифракция на волнистой поверхности: сравнение численных методов // Радиотехника и электроника. 1984. Т.29,№8.С1472.

8. Шестопалов В.П., Литвиненко Л.Н., Масалов С.А., Сологуб В.Г. Ди-

фракция волн на решетках. Харьков: Харьковский ун-т, 1973.

9. КолтонД, Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.

10. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987.

Сергей Евгеньевич Фильченков

ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО РОДА В ТЕОРИИ ПЕРИОДИЧЕСКИ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Автореферат

Ответственный за выпуск

С. Е. Фильченков

Подписано к печати 17.05.2005 г. Формат 60 х 90 '/и Бумага офсетная № I. Усл. печ л 1,0. Тираж 100 эю Заказ №41(2005).

Отпечатано в типографии Института прикладной физики РАН, 603950 г. Н Новгород, ул Ульянова, 46

1 3 ИЮЛ 2005 Í }

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ВОЛНЫ

В ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ СИСТЕМАХ.

1.1 Металлический волновод.

1.2 Коаксиальный волновод.

1.3 Диэлектрический волновод.

ГЛАВА II РАССЕЯНИЕ ВОЛН

НА ДИФРАКЦИОННЫХ РЕШЕТКАХ.

2.1 Интегральные уравнения в задачах дифракции волн на решетках.

2.2 Прохождение волн через гофрированную границу двух диэлектриков.

2.3 Двухслойная решетка.

Современные ЭВМ дали в руки иследователей эффективное средство для математического моделирования сложных задач науки и техники. Именно поэтому количественные методы исследования в настоящее время проникают практически во все сферы человеческой деятельности, а математические модели становятся средством познания.

С необходимостью решения крупных научно-технических проблем и распространением ЭВМ связано бурное развитие численных методов и становление новой науки - вычислительной математики. В свою очередь, успехи в этой области способствовали повышению интереса к математике вообще и привели к созданию новых ее разделов. В настоящее время можно говорить, что появился новый способ теоретического исследования сложных процессов, допускающих математическое описание или математическое моделирование - вычислительный эксперимент, то есть исследование реальных процессов средствами вычислительной математики [1,2].

Роль математических моделей далеко не исчерпывается проблемой познания закономерностей. Их значение непрерывно возрастает в связи с естественной тенденцией к оптимизации технических устройств и технологических схем планирования эксперимента. В процессе познания и в стремлении создать детальную картину изучаемых процессов исследователь приходит к необходимости строить все более сложные математические модели, которые, в свою очередь, требуют универсального тонкого математического аппарата. Реализация математических моделей на ЭВМ осуществляется с помощью методов вычислительной математики, которые непрерывно совершенствуются вместе с прогрессом в области электронно-вычислительной техники [3].

Настоящая работа посвящена математическому моделированию распространения собственных электромагнитных волн в гофрированных волноведущих системах, а также рассеяния плоских волн на периодических структурах.

Актуальность темы. Теория электромагнитных явлений базируется на уравнениях Максвелла, которые представляют собой естественную основу математического моделирования. Иными словами, математические модели электродинамики адекватны физической реальности. Казалось бы, надо лишь правильно сформулировать входящие в систему материальные уравнения - и нет необходимости экспериментировать, если все подлежит точному расчету с единых позиций.

В действительности до появления современных ЭВМ подобная постановка вопроса была бы бессмысленной, а в настоящее время наука и техника лишь приближаются к построению удовлетворительных математических моделей электродинамики для таких сложных объектов, как некоторые волноводные тракты, интегральные схемы СВЧ и антенные устройства. Дело в том, что для неидеализированных электродинамических задач итоговые формулы получаются крайне редко. Зато к настоящему времени разработаны методы, которые позволяют получить требуемые величины с заданной точностью за конечное число вычислительных операций.

В большинстве случаев электродинамическая задача сводится к системе алгебраических уравнений, порядок которой в принципе не ограничен, а для реализации достаточной точности модели должен быть сделан настолько большим, что принципиально важно применение ЭВМ. Сущность того или иного метода состоит в том, каким путем граничная задача сводится к системе алгебраических уравнений.

Неидеализированные задачи электродинамики почти всегда являются задачами дифракции. Разумеется, при построении математических моделей приходится решать различные промежуточные задачи. К ним относятся задачи о собственных волнах направляющих структур и о собственных колебаниях резонаторов.

Цель работы и основные задачи заключаются в применении и развитии метода граничных интегральных уравнений для численного моделирования распространения электромагнитных волн в гофрированных волноведущих системах и рассеяния волн на периодических структурах. При этом проведены исследования математических моделей, описывающих следующие конкретные электродинамические объекты:

1. собственные волны азимутально симметричных периодически гофрированных волноводов (полого и коаксиального металлического и диэлектрического);

2. собственные волны азимутально симметричного периодически гофрированного стержня, а также периодической системы изолированных соосных металлических или диэлектрических тел вращения;

3. резонансные колебания в азимутально симметричных телах с произвольным гладким сечением;

4. дифракция плоской электромагнитной волны на периодической металлической структуре (непрерывной или разрывной) и на периодической границе двух диэлектриков.

Научная новизна. Предложен метод получения интегральных уравнений второго рода типа Фредгольма, которые не требуют регуляризации при их численной реализации. Этот метод применим как для решения задач о распространении собственных волн в периодических волноведущих системах, так и для задач дифракции плоских волн на периодических структурах. Ядра полученных уравнений представлены в виде, удобном для их численного решения. Уравнения позволяют исследовать указанные задачи в электродинамических структурах с произвольной по форме и глубине гофрировкой в широком диапазоне частот.

Разработана и программно реализована методика решения полученных интегральных уравнений. Проведены численные расчеты ряда волноведущих систем и рассеивающих структур.

Практическая значимость. В приборах СВЧ-электроники применяются полые металлические волноводы с плавной периодической гофрировкой стенок. Для расчета характеристик таких волноводов используются различные методы, ни один из которых не занимает доминирующего положения, и многие сохраняют перспективы дальнейшего развития. В диссертационной работе предложены интегральные уравнения, по спектру которых строится дисперсионная зависимость волновода, т.е. зависимость волнового числа от продольного волнового числа (параметра Флоке).

Аналогичные уравнения применимы и для расчета характеристик металлического ребристого стержня, системы из изолированных соосных колец, коаксиального и диэлектрического волноводов.

Предложенный метод обобщается на задачи дифракции электромагнитных волн на периодических металлических и диэлектрических рассеивающих структурах, которые находят широкое применение в различных электродинамических приборах.

Структура и краткое содержание диссертации. Диссертация содержит введение, 2 главы, заключение и приложение. В начале каждой главы определен круг рассматриваемых в ней вопросов. В заключении сформулированы основные выводы и результаты.

Основные результаты работы и положения, выносимые на защиту:

1. Разработана методика вывода интегральных уравнений второго рода для задач дифракции и распространения электромагнитных волн в периодических системах. К особенностям метода относятся:

- выбор функций источников поля, которые могут и не иметь физического смысла, если их расположить вне области определения решений;

- представление функции Грина рядом Фурье без использования фундаментального решения, что позволяет существенно расширить класс допустимых граничных условий и, соответственно, класс задач, приводимых к используемому типу интегральных уравнений.

Получаемые интегральные уравнения корректны по Адамару и обладают повышенной устойчивостью к ошибкам дискретизации, что позволяет использовать простые и быстросходящиеся вычислительные схемы. Показана инвариантность ядер полученных интегральных уравнений по отношению к преобразованию переменной интегрирования, что позволяет корректно исследовать электродинамические системы с ребрами и кромками.

2. Показано, что множество собственных функций интегральных уравнений исследуемого типа содержит как решения исходной задачи для волн электрического типа, так и для волн магнитного типа, и наоборот. Сформулирован критерий выбора. В ряде случаев дополнительные решения имеют физический смысл волн или колебаний, существующих вне области определения искомых решений.

3. Разработаны программы расчета:

- осесимметричных волн в осесимметричных полых и коаксиальных периодических волноводах с различными профилями гофрировки;

- осесимметричных медленных волн в открытых осесимметричных волноводах типа ребристого металлического или диэлектрического стержня и периодически расположенных металлических или диэлектрических колец;

- собственных волн плоских гофрированных волноводов;

- полей рассеяния дифракционными решетками следующих типов: гофрированные металлические плоскости и/или гофрированные границы раздела диэлектриков, параллельные металлические или диэлектрические стержни около отражающей поверхности из материалов с различными электродинамическими свойствами, многослойные решетки.

Период, глубина и конфигурация профилей ограничены только условиями просачивания полей через дискретно описанные поверхности при заданном числе точек. Время расчета одного варианта составляет несколько секунд на ЭВМ с процессором Intel Р4-1400 для систем, у которой период и глубина профиля соразмерны с длиной волны.

4. Решены задачи:

- о собственных волнах в электродинамических системах мощных релятивистских СВЧ приборов черенковского типа;

- возбуждения нижнегибридных волн в термоядерных установках с помощью квазиоптического грилла;

- преобразователей типов волн в гофрированных волноводах и преобразователей поляризации на дифракционных решетках;

- расчета вакуумных диэлектрических окон для гиротронов.

Результаты решения задач были использованы и используются во многих действующих экспериментальных установках.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.

2. МарчукГ.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.

3. Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах. М.: Наука, 1986.

4. Релятивистская высокочастотная электроника. Материалы Всесоюзного семинара. Горький, 1979.

5. Быков Н.М., Губанов В.П., Гунин А.В. и др. Релятивистские импульсно-»> периодические СВЧ-генераторы сантиметрового диапазона длин волн //

6. Релятивистская высокочастотная электроника. Вып.5. ИПФ АН СССР. Горький. 1988. С.101.

7. Ковалев Н.Ф., Петелин М.И., Райзер М.Д. и др. Приборы типа "О", основанные на индуцированном черенковском и переходном излучениях релятивистских электронов // Релятивистская высокочастотная электроника. ИПФ АН СССР. Горький. 1979. С.76.

8. Кулагин КС., Милославский П.Ю., Новожилова Ю.В. и др. Релятивистская высокочастотная электроника // Зарубежная радиоэлектроника. 1986, №12. С.З.

9. А.с. № 720591. Резонатор // Ковалев Н.Ф., Петелин М.И., Резников М.Г. Заявл. 1979 г. Опубл. 1980 г. Бюл. №9.

10. Бугаев С.П., Ильин В.П., Кошелев В.И. и др. Формирование сильноточных релятивистских электронных пучков для мощных генераторов и усилителей СВЧ // ИПФ АН СССР. Горький. 1979. С.5.

11. Бугаев С.П., Канавец В.И., Кошелев В.И., Черепенин В.А. Релятивистские многоволновые СВЧ-генераторы. Новосибирск: Наука, 1991.

12. Nation J.А. II Appl.Phys. Lett. 1970. V.17, №11. Р.491.14 .Каценеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. М.: Изд-во АН СССР, 1961.

13. Special issue on high power microwave generation. IEEE Trans. Plasma Sci. Vol.26. June 1998.1 в.Ковалев Н.Ф. Электродинамическая система ультрарелятивистской ЛОВ // Электронная техника. Сер.1. Электроника СВЧ. 1978, №3. С. 102.

14. М.Белов В.Е., Богомолов Я.Л., Родыгин JI.B. Расчет электродинамических систем релятивистских ЛОВ // Тезисы докладов IX Всесоюзной конференции по электронике СВЧ. Киев. 1979. T.I. С.92.

15. Короза В.И., Трагов А.Г., Шанкин Ю.П. //Радиотехника и электроника. 1971. Т.16, №10. С.1788.21 .Дайковский А.Г., Португалов Ю.И., Рябов А.Д. : Препринт ИФВЭ № 81-60. Серпухов, 1981.

16. Алъховский Э.А., Асафьев В.И., Данилова А.Г. и dp. II Вычислительные методы и программирование (Численные методы в задачах электродинамики). М.: Гос. Ун-т. 1975. 24. С.279.

17. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991.

18. ВладимировB.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1967.

19. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984.

20. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1983.

21. Белявский Е.Д. И Радиотехника и электроника. 1971. Т.16, №1. С.208.

22. Месяц Г. А. Генерирование мощных наносекундных импульсов. М.: Сов.радио, 1974.

23. Петелин М.И., Суворов Е.В. Квазиоптический грилл для возбуждения нижнегибридной волны в тороидальной плазме // Письма в ЖТФ. 1989. Т.15. Вып.22. С.23.

24. Ъ2.Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М.: Высш.школа, 1982.

25. ЪЪ.Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.

26. ЪАДмитриев В.К, Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987.

27. СПИСОК РАБОТ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

28. Белов В.Е., Родыгин JI.B., Фильченков С.Е., Юнаковский А.Д. Применение метода интегральных уравнений к расчету электродинамических характеристик периодически гофрированных волноводов // Известия ВУЗов. Радиофизика. 1988. Т. XXXI, № 2. С. 180 189.

29. Ковалев Н.Ф., Фильченков С.Е., Юнаковский А.Д. Электродинамические системы релятивистских карсинотронов: Препринт ИПФ АН СССР № 268. Н.Новгород, 1990. 32 с.

30. Фильченков С.Е., Юнаковский А.Д. Применение гармонических возмущений к расчету периодически гофрированных волноводов // Известия ВУЗов. Радиофизика. 1995. Т. XXXVIII, № 5. С. 467 480.

31. Petelin M.I., Suvorov E.V., Kovalev N.F., Fil'chenkov S.E., Smirnov A.I. Quasi-optical diffraction grill for excitation of lower-hybrid waves in tokamaks // Plasma Phys. Control. Fusion. 1996. V.38. P. 593 610.

32. Ковалев Н.Ф., Фильченков C.E. Осесимметричные электрические волны периодических волноведущих систем, предназначенных для релятивистской СВЧ электроники // Известия ВУЗов. Радиофизика. 2000. Т. XLIII, № 11. С. 989- 1003.

33. Kovalev N.F., Fil'chenkov S.E., Fuks M.I., Schamiloglu E. Axisymmetric waves in dielectric corrugated rods and system of periodic dielectric rings // IEEE Transactions on Plasma Science. June 2002. V. 30, № 3. P. 1082 1088.

34. Ким Ы, Ковалев Н.Ф., Фильченков C.E. Коаксиальный волновод с прорезями на внутреннем проводнике // Радиотехника и электроника. 2003. Т. 48, № 4. С. 1-9.

35. Kovalev N.F., Petelin МЛ., Suvorov E.V., Fil'chenkov S.E. Quasi-optical grill for excitation of lower-hybrid wave in a plasma // Abstracts of International workshop "Strong microwaves in plasmas". Suzdal. 1990. H-21.

36. Фильченков С.Е., Юнаковский А.Д. Применение спектральных возмущений к расчету периодических волноводов // Спектральш i еволюцшш задачк Тез1 доповщей. Випуск 2. С1мферополь. 1993. С.66.