автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели на основе теории парных интегральных уравнений и метода дискретных особенностей в задачах электродинамики

Г--

с:?

frV/

'ВОЕННО-ВОЗДУШНАЯ ИНЖЕНЕРНАЯ АКАДЕМИЯ им. профессора Н.Е. Жуковского

C4J

На правах рукописи

СИДЕЛЬНИКОВ Геннадии Леонидович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ ПАРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ В ЗАДАЧАХ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

05.13.18 — теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Автореферат дисертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1997

Работа выполнена в Харьковском государственном университет

Научный руководитель: доктор фиоико-математических наук, профессор Гандель Юрии Владимирович (ХГУ)

Официальные оллоненты: доктор фиоико-математических наук, профессор Захаров Евгений Владимирович (МГУ) доктор фиоико-математических наук, профессор Кравченко Виктор Филиппович (ИРЭ РАН)

Ведущая организация:

Харьковский технический университет радиоэлектроники

Защита состоится "_"_1997г. в_час.

на оаседании специализированного Совета К.106.07.01 при ВВИА им. проф. Жуковского по адресу: 125167, г. Москва А-167, Ленинградский проспект, 40.

Автореферат разослан " " 1997г.

Ученый секретарь специализированного Совета

кандидат технических наук, // ^—'

старш. научн. сотрудник Тицкий C.B.

Формат бумаги 60x84 1/16 усл. п.л.

В автореферате пронумеровано IV стр.

Общая характеристика работы.

стуальность проблемы.

атематическое моделирование стационарных процессов дифрак-га электромагнитных волн в широком диапазоне параметров па-кЮщего поля и рассеивающей системы, на структурах геометри-:ские свойства которых меняются скачкообразно, является важ->й научной задачей, имеющей большое методическое и прикладное гачение.

Актуальность таких исследований в значительной степени обу-ювлена их тесной связью с решением многих проблем техниче-:ои физики и прикладной электродинамики. В частности, расчет 1медляющих структур линейных резонансных ускорителей, содер-ащих волноведущие системы основан на решении задачи дифрак-1И и рассеяния собственных волн волновода на последовательности злотых диафрагм, дисков, связанных резонаторов и т.п. При со-(ании СВЧ приборов, с целью предупреждения и подавления олек-рического пробоя, всегда требуется уметь аффективно вычислять эля вблизи острых кромок и двугранных углов в резонансном диа-азоне параметров поля и рассеивающей системы, можно привести другие примеры.

В настоящее время к наиболее употребительным аналитическим численно-аналитическим методам исследования задач стационар-ой дифракции относятся методы основанные на сведении исходных раевых задач к системе функциональных или интегральных уравнё-ий типа Винера-Хопфа или сведении ж граничной задаче Гильберта яя кусочно аналитической функции. Однако, оти методы дают устой-ивые численные результаты и адекватно отражают физичесгую одель только в длинноволновом диапазоне. Кроме того при ис-недовании дифракционных явлений в резонансном диапазоне и для груктур с конечным числом неоднородностей раоличного типа оти :етоды практически не пригодны, а такие задачи нередки в прак-ике СВЧ-приборостроения.

Новый подход х исследованию дифракционных явлений в реоо-ансном диапазоне для многоолементных на периоде структур пред-эжил в начале 80-х годов Ю.В. Гандель. Этот подход пооволил по-гроить адекватные математические модели дифракционных задач

на ленточных структурах, системах диафрагм волноводов и п менить единообраоный вычислительный алгоритмический аппа| одинаково эффективно работающий как в задачах на многоолем тных ограниченных так и на периодических структурах.

Развитию этого подхода и его применению для построения нок математических моделей для численного аналиоа дифракции на сочно однородных пленарных и аксиальных структурах и посвящ» диссертация.

Цель работы.

Построение и исследование математических моделей для численн< аналиоа оадач дифракции электромагнитных волн на основе тео| интегро-сумматорных уравнений и метода дискретных особен стей включающее:

• Математические модели дифракции на открытых планарн структурах.

• Математические модели оадач дифракции с цилиндрической с метрией.

—Сведение оадач дифракции рассматриваемых типов к системе < нгулярных интегральных уравнений (СИУ) первого рода, поср ством использования параметрических представлении преобраво ния Гильберта на всей оси и сингулярного интегрального оператс Гильберта для периодических функций.

—Эффективная аппроксимация ядер систем интегральных урав НИИ.

—Дискретизация систем СИУ—построение дискретных матема-чесхих моделей и численный эксперимент.

Новизна, теоретическая и практическая ценность работ

На основе общих положений теории парных интегро-сумматорн уравнений и метода дискретных особенностей (МДО) построе и численно исследованы математические модели оадач дифракл

а планарных структурах открытого типа и продольно неодноро-иых (электродинамических системах цилиндрического типа, Рао-нтие метода и его применимость демонстрируются построением атематических моделей конкретных физических задач, имеющих бщетеоретическое и прикладное значение.

Аппарат параметрических представлении преобразования Гиль-ерта для функций из оо, оо), 1 < р < 2, заданных на всей оси и ангулярный оператор Гильберта для периодических функций того :е класса

+оо

<3(0 = I Л(А)еа^А,

—со

я- 3 (— у 3 А

—со —оо

т

Н : £2(-тг, тг) : ад - (НО)(<р0)=±-

—к

анимающий одно ио основных мест в исследовании, позволил для собенностей рассматриваемого типа отдельным блоком вычленить ингулярную часть и свести рассматриваемые задачи дифракции к ешению систем СЙУ первого рода на отрезке.

Новый подход к решению краевых задач уравнения Гельмгольца ил двух типов поляризации первичного поля и граничных условий -го, 2-го и 3-го рода показал высокую эффективность и может ыть предложен в качестве инструмента решения многих практи-ески важных задач дифракции электромагнитных волн на систе-ах открытого типа. Высокая эффективность метода для параме-ров системы сравнимых с длиной волны падающего поля, делает го весьма привлекательным для исследования спектра рассеянного оля в резонансном диапазоне.

Особо отметим случай, когда задача дифракции на рассеивающей истеме со сложной структурой поверхности, например, гребенча-ого типа (в том числе и с переменной высотой ребер) путем вве-гния эффективного импеданса может быть переформулирована б ерминах задачи дифракции на кусочно-гладкой поверхности с гра-

ничными условиями 3-го рода и решена развитым в диссертащ способом.

Разработанный аппарат, в частности, впервые позволил, в то ной постановке, без предварительного упрощения физической м дели построить математическую модель одной из важных зад; прикладной электродинамики—оадачи дифракции и аналогичной i задачи возбуждения волноведущей системы цилиндрического ти] с произвольным числом связанных резонаторов с приосевой обл стью взаимодействия.

Построенная математическая модель позволяет на основе ед ного алгоритма решения задачи вычислять поля в каждом из рез наторов не прибегая к последовательному упрощению физическ< модели путем разбиения всей дифракционной области на более пр стые в геометрическом отношении части с последующим сшивание полей на границах сопряжения.

Показано, что использование именно МДО в качестве численно] метода наиболее предпочтительно как с точки зрения физическс трактовки результатов так и с точки зрения организации выч: слительного процесса. Достоинство применения метода дискретнь особенностей для решения полученных систем СИУ состоит в toi что дискретизация проводится именно на тех системах СИУ, » торые выведены, без предварительной обработки их характернее ческой части в форме интегралов с сингулярными ядрами. В ото смысле, в отличие от других подходов (проекционных, вариациоз ных и т.п.), предложенный метод является прямым, что исключае внесение дополнительных неконтролируемых погрешностей, связал ных с опосредованным применением непрямых методов.

Апробация работы.

Результаты работы, изложенные в диссертации, были представлен на международных конференциях:

• им. Ак. Кравчука 17-20 мая 1995г. город Киев;

• им. Ак. Кравчука 16-19 мая 1996г. город Киев;

• "СВЧ-техника и спутниковый прием." 26-30 сентября 1994] город Севатополь;

• "СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии." 21-26 сентября 1995г. город Севатополь;

• "СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии." 16-19 сентября 1996г. город Севатополь.

[убликации.

сновные результаты, положенные в диссертации, опубликованы в ~ти работах, список которых приведен в конце автореферата.

1етоды исследования.

работе испольоованы методы теории дифракции, вычислительной атематики, теории интегральных уравнений, методы математиче-кого моделирования и численный эксперимент.

Структура и объем работы.

.иссертация состоит ио • введения с кратким обсором аналигиче-ких и численно-аналитических методов решения оадач дифракции а открытых структурах, • постановочного раодела с классифика-ией и характеристикой рассматриваемых оадач дифракции, • главы которой дана общая постановка внешней краевой оадачи для трех ипов граничных условий при наличии у границ острых ребер и вугранных углов, • главы, посвященной анализу математических юделей и численных алгоритмов оадач дифракции на планарных труктурах, • главы посвященной построению математических мо-елей на цилиндрических структурах, • заключения и • списка цитированной литературы (всего 93 наименования). )бщий объем работы составляет 101 страниц.

Содержание работы.

Во введении дана мотивация исследований, краткий анализ с.о-тояння теории СИУ и численных методов их решения. Изложены •сновные аналитические методы решения дифракционных оадач на труктурах со скачкообразно изменяющимися свойствами.

В постановочном разделе обоснована актуальность темы ди< сертации, проведена классификация и дана характеристика иссл< дуемых в диссертации задач дифракции и систем СИУ к которы они сводятся.

В главе 1 определены общие условия постановки внешней краева задачи дифракции для трех типов краевых условий на телах с грг лицами в виде острых ребер и двугранных углов. Глава 2 посвящена изложению аналитического и численного иссл< дования систем СИУ задач дифракции на планарных структура: Построены математические модели дифракции плоской монохром} тической электромагнитной волны для случаев Е- и Н- лоляризаци на плоском волноводе с бесконечным фланцем. Для решения это хорошо известной в теории дифракции задачи предложен новы численно-аналитический подход, позволяющий, исследовать снект{ альный состав дифракционного поля в резонансном диапазоне длин волн.

Метод основан на теории парных интегральных и парных суммг торных уравнений в основе которого лежит идея использования га раметрического представления преобразования Гильберта на все оси и интегрального оператора Гильберта для 27г-периодичес.ких фу кций. Применение этих операторов позволяет естественным обре вом выделить сингулярные части формально отвечающие за эле» тродинамические особенности нолей вблизи геометрических осс бенностей структуры. Причем в тех случаях когда дифракционно (рассеянное) поле представляется в виде интеграла Фурье мы ш пользуем параметрическое представление интегрального оператор Гильберта, для функций заданных на всей оси. Если дифракциок ное (рассеянное) поле представляется рядом Фурье то используетс сингулярный интегральный оператор Гильберта для периодически функций.

Использование указанных интегральных преобразований ноовс ляет естественным образом свести рассматриваемую задачу де фракции к системе сингулярных интегральных уравнений на ви^ туальной границе сопряжения областей рассеянного (отраженного поля и дифрагированного (прошедшего) поля. Класс решений полу ченной системы СИУ, исходя из физических условий задачи, опр<

ияется классом функций, удовлетворяющих условию Майкснера на брах. Специфика полученной системы СИУ состоит в том, что характеристическая часть наряду с интегралом от неиовестной нкции с ядром Коши содержит слагаемое в виде интеграла от не-вестной функции с ядром в форме разности котангенсов или еди-ца деленная на раоность косинусов. Выяснено, что гладкая часть стемы СИУ содержит функции гельдеровсхого класса по обеим ременным и, следовательно, легко аппроксимируется. Решение полученного СИУ на совокупности непересекающихся тервалов основано на сведении ее к системе СИУ на отрезке [-1,1] шпроксимации искомых функций полиномами Чебышева первого да. При ©том точки коллокации, в которых удовлетворяется фиои-ское условие непрерывности касательных составляющих олектри-ского и магнитного полей задаются в нулях полиномов Чебышева орого рода. Решение системы СИУ, проведенное в численном окс-рименте показало высокую эффективность и устойчивость преданного алгоритма.

главе 3 исследованы математические модели задач дифракции, ладающих цилиндрической симметрией.

Показано, что представление искомых полей в виде интегралов ядов) Фурье по продольным волновым числам, с цилиндрическими 'нкциями от мнимого аргумента, пооволяет использовать единую эму вывода систем СИУ в основных чертах совпадающую со схе->й вывода систем СИУ для задач дифракции на пленарных струк-рах и свести рассматриваемый круг задач к исследуемым классам тегральных уравнений. При этом, исследование аналитических ойс/гв ядер регулярной части полученных систем СИУ, устанавли-я их принадлежность к гельдеровскому классу функций, подтвер-щет справедливость применения процедуры замены порядков нитрирования и интегрирования и суммирования или другими сломи устанавливает справедливость применения теоремы Фубини. [я рассматриваемой в отой главе задачи дифракции (и аналогичной задали пообуждения) на цепочке связанных реоонаторов удалось строить математическую модель адекватно отражающую физи-ские и структурные геометрические особенности волноведущеи стемы. Первоначально сложная структура матрицы СЛАУ, ап-

проксимирующей выведенную систему СИУ, путем олементарнь преобразований (группировка и приведение подобных) свелась структурно более простой матрице блочного типа. Последнее обет ятельство существенным обраоом пооволило уиростить процеду] дискретизации и построить оптимальный численный окспериме! на основе модификации метода дискретных особенностей. В заключении сформулированы основные результаты диссерт ционной работы и вытекающие из них методические выводы. ¿5. На конкретных физических примерах исследованы аналитически и дискретные модели задач дифракции волн на плоскопараллельнь структурах с границами в виде острых ребер и двугранных угле Показано, что специальное представление полей в раскрывах волн водов и на границах сопряжения областей при использовании пр образований Гильберта сводит исходную краевую задачу к систе! СИУ на отрезке [-1,1]. Показано, что характеристические части в] веденных систем СИУ содержат интегралы типа Коши и интеграл с сингулярными ядрами в форме разности котангенсов. Построен дискретных математических моделей и решение полученных сист< СИУ проведено в численном эксперименте и основано на примея нии модифицированного метода дискретных особенностей, в осно которого лежит аппроксимация интегралов, включая и сингулярш интегралы характеристических частей, кадратурными формула» Гаусса. В отличие от других известных подходов, данный метод я ляется прямым, т.е. решается непосредственно сама СЛАУ эквии лентная выведенной СИУ без какой бы то ни было предварител ной обработки сингулярных частей. Численная реализация предл женного алгоритма решения систем СИУ представлена для наибол типичной ситуации, когда характеристическая часть представая' собой сумму интеграла с ядром Коши и интеграла с ядром в ви единица деленная на разность косинусов. Проведенный анализ л каоал высокую эффективность и численную устойчивость предл женной модификации метода дискретных особенностей, не. смот] на столь сложную структуру сингулярного ядра. Численные реоул таты отражают реальные физические особенности рассеянных дифрагированных полей в рассматриваемых системах и убеждай нас в адекватности построенных математических моделей.

Построены и исследованы математические модели задач стаци-трной дифракции на структурах" с цилиндрической симметрией в эм числе на структурах, обладающих резонансными свойствами (епочка связанных резонаторов в волноведущей системе цилин-жческого типа). Показано, что для задачи дифракции на системе юсных кольцевых вырезов, характеристическая часть представля-гся интегралом Коши, а для задачи дифракции на цепочке свяван-лх резонаторов характеристическая часть системы СИУ опреде-[ется суммой ядра Коши и ядра—единица деленная на разность »синусов. Обе эти ситуации укладываются в единую схему численно алгоритма решения систем СИУ на основе МДО. , Следует отметить, что во всех случаях удается получить про-гые формулы для определения амплитуд и коэффициентов Фурье ■комых рассеянного и дифрагированного полей. Формулы пред-гавляют собой конечные суммы элементарных функций и могут лть легко вычислены.

, Отметим, наконец, следующие шаги, имеющие методическую цен-зсть и вытекающие из развитого в диссертации подхода, оследовательное применение "стандартных процедур" при постро-1ии математических моделей:

специальное представление полей в раскрывах волноводов на гра-ацах сопряжения областей и щелях связи;

введение новой неизвестной функции с использованием одного из ж>вий сопряжения;

выделение быстро сходящихся (по переменной интегрирования) ютей в интегро-сумматорных уравнениях;

применение преобразований Гильберта к сингулярным слагаемым, эзволяющее выделить отдельным блоком характеристическую ча-гь систем СИУ;

сведение СИУ на совокупности непересекающихся интервалов к 1стеме интегральных уравнений на отрезке [-1,1].

Дискретизация и численное решение полученной системы СИУ доводится методом дискретных особенностей с использованием задратурных формул наивысшей алгебраической степени точно-[•и но узлам полиномов Чебышева. Там гпе стоого математически

* I * 4

эименение МДО невозможно удается построить алгоритм принци-

пиально не отличающийся от МДО и провести разрешение систе: СИУ в численном эксперименте. Следует отметить, что метод Д1 кретных особенностей позволяет аппроксимировать каждое из у] внений системы СИУ с различной степенью точности в завиимос от физических требований продиктованных условиями задачи. 5. Перспективы метода. Изложенный подход может быть ад? тирован к решению планарных и аксиально симметричных за;п дифракции с граничными условиями 4-го рода и предложен в ] честве инструмента исследования электродинамики анивотропн: структур.

Личный виад автора.

В совместных публикациях особый вклад Г.Л. Сидельникова < ставляют созданные алгоритмы численного моделирования проц< сов стационарной дифракции на исследуемых кусочно однородн; структурах планарного и цилиндрического типа, програмная р< лизация алгоритмов решения выведенных систем СИУ, проведен численного эксперимента и оптимизация работы прграмм.

Список литературы

1. Гандель Ю.В., Сидельников Г.Л. Материалы 4-Й между» родной Крымской конференции "СВЧ-^гехника и спутников] прием." Метод дискретных особенностей в задаче дифракц на плоском волноводе. 1994. T.l. С.54-57.

2. Гандель Ю.В., Сидельников Г.Л. Численно-аналитическ подход в задаче дифракции электромагнитной волны на пол} граниченном плоском волноводе с бесконечным фланцем. Пр принт. ХФТИ. 1994г. 14с.

3. Гандель Ю.В., Сидельников Г.Л. Об одном подходе к решен! задачи дифракции на плоском волноводе с бесконечным фла цем. Доклады Академии Наук Украины. 1995. N11. С. 18-20.

4. Гандель Ю.В., Сиделъников Г.Л. Математические модели для численного анализа дифракции на плоском волноводе с бесконечным фланцем. // Журнал Технической Фиоики. 1995. Т.65. Вып.7. С.143-153.

5. Гандель Ю.В., Сидельников Г.Л. Математическая модель для численного аналиоа дифракции собственных волн круглого волновода на системе расширений. 1нтегральш перетворення та ix оастосування до крайових оадач. Зб. Наук. Пр. - Киш. 1н.-т. математики HAH Укра'ши. 1996. - Вип.11. С.15-22.

6. Сидельников Г.Л. Материалы 5-й международной Крымской конференции "СВЧ-техника и спутниковые телекоммуникационные технологии." Метод граничных сингулярных интегральных уравнений в оадаче дифракции собственных волн круглого волновода на кольцевых соосных вырезах. 1995. T.l. С.114-117.

7. Сидельников Г.Л. Численный анализ дифракции на Волноводе с бесконечным фланцем. Тезисы докладов 4-й международной конференции им. ак. Кравчука Н.Ф. 17-20 мая. Киев. 1995г. С. 220.

8. Сидельников Г.Л. Математическая модель для численного аналиоа дифракции электромагнитных волн на. кольцевых вырезах цилиндрического волновода. Тезисы докладов 5-й международной конференции им. ак. Кравчука Н.Ф. 16-19 мая. Киев. 1996г. С.293

9. Сидельников Г.Л. Математическая модель задачи возбуждения плоского импедансного волновода через систему прямых параллельных щелей. Тезисы докладов 6-й международной Крымской конференции "СВЧ-^гехника и телекоммуникационные технологии." г. Севастополь, 1996.

Sidelnikov G.L. " Mathematical models on a basic of the paired equ tions and discrete singularity method in electrodynamic problems," This scientific work is a manuscript to submit thesis for candidate physics and mathematics sciences in speciality 05.13.18—theoretical b sis of mathematical modelling, calculating methods and programme complexes. Kharkov University, department mechanic and mathemat 1996.

This thesis is addressed to creation and investigation of mathematic models of the diffraction problems for electromagnetic waves on the о staclee with nongomogeneous geometry properties. The investigate of specific model diffraction problems is performed for planar and ax: structures. Our basic prinsiple of the mathematical modeling is theo of the paired equations and discrete singularity method. Our approa makes possible to reduce original diffraction problems to the set of si gular integral equations of the first kind. Discretization of the set SIE performed by using the interpolation Gaussian quadratures on Chelt shev polynomial units. Prepositional algorithm for numerical solve t SIE of the first kind is shown to be effective and steady. An adequ ture of mathematical models for considered diffraction problems by pi formed investigation was shown. Prepositional modeling method of t electrodinamics problems may be extended to solve aqoustic problem

Ключевые слова: математические модели, системы сингулярн] интегральных уравнений, метод дискретных особенностей, а дек be ность модели, численный эксперимент.