автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование с использованием метода дискретных особенностей в некоторых задачах теории колебаний и волн

ВОЕННО-ВОЗДУШНАЯ ИНЖЕНЕРНАЯ АКАДЕМИЯ имени профессора Н.Е.Жуковского

РГ6 од

у о ¡-¡п'! <л>п-, На правах рукописи

О IЧ (

МОРОЗОВА НАТАЛИЯ НИКОЛАЕВНА

УДК 517.958:537.8+519.711:53

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ДИСКРЕТНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ В НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ И ВОЛН

05. 13. 18 - теоретические основы математического моделирования численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1997

Работа выполнена в Харьковском государственном университете.

доктор физико-математических наук, профессор

Гандель Юрий Владимирович.

доктор физико-математических наук, профессор

Шестопалов Юрий Викторович;

доктор физико-математических наук Шатров Александр Дмитриевич.

Ведущая организация: Московский физико-технический институт

Защита состоится " " ¿¿¿¿¿А'1997 г. в на засе-

дании диссертационного совета К.106.07.01, ВВИА имени профессора Н.Б.Жуковского по адресу: 125167, г.Москва А-167, Ленинградский проспект, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВВИА имени профессора Н.Б.Жуковского.

Автореферат разослан " ^ " ^¿гЛ- 1997 г

Ученый секретарь

диссертационного совета К.106.07.01

кандидат технических наук

старший научный сотрудник . С.В.Тицкий

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В основе решения многих теоретических и технических проблем в современной антенной, измерительной технике, электронике, ядерной и ускорительной технике лежит задача построения эффективных математических моделей процессов дифракции и рассеяния электромагнитных волн па объектах из реальных материалов.

В последние десятилетия различные подходы к решению задач дифракции на идеально проводящих объектах развиваются в работах В.П.Шестопалова, Л.Н.Литвиненко, Е.В.Захарова, В.И.Дмитриева, Ю.В.Пименова, З.Т.Назарчука, С.А.Масалова, С.Л.Просвирнина, среди которых такие методы, как метод потенциалов, метод задачи Римана-Гильберта, метод Винера-Хопфа, метод спектральных операторов. Большинство из предложенных методов существенно используют специфику геометрии рассеивающей структуры каждой конкретной задачи, которая заведомо отсутствует в близких задачах более общего типа, представляющих практический интерес.

В начале 80-х годов Ю.В.Ганделем был предложен новый подход к построению математических моделей задач дифракции. Суть его состоит в использовании параметрических представлений сингулярных интегральных преобразований для сведения краевых задач для уравнения Максвелла в строгой постановке к эквивалентным сингулярным интегральным уравнениям (СИУ) на системе отрезков. Для последующей дискретизации математических моделей используется эффективный численный метод дискретных особенностей (МДО), который возник на базе метода дискретных вихрей С.М.Белоцерковского и математического аппарата численного решения СИУ на системе отрезков, разработанного в трудах И.К.Лифапова. Такой подход позволил единообразно свести широкий класс периодических и непериодических краевых задач электродинамики, в том числе и рассмотренных в диссертации, к эквивалентным СИУ.

Для простейших математических моделей явлений дифракции и рассеяния волн на бесконечно тонких идеально проводящих отражателях теория численного решения получаемых уравнений методом дискретных особенностей детально разработана и строго обоснована в работах И.КЛифалова, А.Ф.Матвеева, Ю.В.Ганделя, Т.С.Полянской, С.В.Еременко. Реальные прикладные задачи приводят к математическим моделям, обоснования которых не могут быть проведены столь же строго, как в простейших случаях. И здесь численное моделирование играет решающую роль. Методы, разработанные и опробованные на "идеальных" моделях, где техника математического моделирования и численного эксперимента на его основе дает результаты высокой точности, переносятся затем на более сложные задачи: электродинамические задачи на телесных объектах с ребрами, с реальной проводимостью поверхностей и т. д. Получаемые результаты сравниваются с результатами для "идеальных" предельных случаев, экспериментальными данными, с результатами, полученными другими методами.

В диссертационной работе данный подход распространяется на случай импедансных граничных условий, что позволяет строить математические модели более близкие к реальным физическим задачам. Последнее обстоятельство важно, если учесть возрастающий интерес к расчету электродинамических характеристик сверхпроводящих объектов. Исследованиям в этой области посвящены работы В.Ф.Кравченко, Ф.Ф.Менде и др., чьи теоретические и расчетные материалы использовались автором диссертации при численном моделировании дифракции электромагнитных волн на произвольной ограниченной решетке, состоящей из конечного числа сверхпроводящих лент, дифракции электромагнитных волн на полуограниченном волноводе с бесконечным импедансным фланцем и излучения из такого волновода.

Важной теоретической и прикладной задачей является расчет спектральных характеристик механических и электродинамических систем.

Такие задачи возникают при конструировании электронной аппаратуры, в частности, при рассчете полосковых и щелевых линий передачи. Их анализу посвящены работы А.С.Ильинского, Ю.В.Шестопалова, В.Шу-гурова. В диссертационной работе впервые идеи метода дискретных особенностей применены к решению спектральных задач на примере задачи отыскания первых собственных частот колебаний круговой мембраны со смешанными уел ов л ми закрепления на границе. Эта задача с одной стороны представляет интерес как практическая задача теории механических колебаний, а с другой стороны, является модельной для изучения возможностей применимости метода дискретных особенностей к решению актуальных задач расчета спектральных характеристик электродинамических систем.

Цель работы и основные задания научного исследования. Целью диссертационной работы является построение на основе теории граничных сингулярных интегральных уравнений и метода дискретных особенностей математических моделей

- дифракции электромагнитных волн на решетке из конечного числа тонких сверхпроводящих лент;

- дифракции электромагнитных волн на полуограниченном волноводе с бесконечным импедансным фланцем и излучения из такого волновода;

- нахождения собственных частот колебаний круговой мембраны со смешанными граничными условямн.

Основные задания работы состоят в:

1) строгом сведении указанных задач к системам граничных интегральных уравнений;

2) построении дискретных математических моделей на основе метода дискретных особенностей;

3) разработке эффективных алгоритмов и пакета программ для численного анализа дискретной математической модели;

4) исследовании адекватности и эффективности полученных моделей в численном экперименте, определение границ их применимости.

На защиту выносятся следующие результаты;

1. Аналитические математические модели задачи дифракции плоской электромагнитной волны на произвольной ограниченной решетке, состоящей из конечного числа тонких сверхпроводящих лент; задач дифракции плоской электромагнитной волны на полуограниченном волноводе с импедансным фланцем и излучения из такого волновода; задачи отыскания первых собственных частот колебаний круговой мембраны со смешанными условиями закрепления на границе.

2. Модификация МДО для дискретизации аналитических математических моделей указанных задач, в том числе квадратурная формула интерполяционного типа по узлам полиномов Чебышева 1-го рода для интеграла с переменным пределом интегрирования.

3. Асимптотические формулы для определения приближенного значения поля в дальней зоне.

4. Эффективные алгоритмы численной реализации построенных дискретных математических моделей.

5. Результаты исследования средствами вычислительного эксперимента построенных математических моделей с определением границ их эффективной применимости.

6. Комплекс программ на языке Си для персонального компьютера типа IBM PC, реализующий предложенные дискретные математические модели.

Теоретическая ценность исследования и его научная новизна. На базе теории граничных интегральных уравнений и МДО впервые построены дискретные математические модели важных в теоретическом и прикладном плане задач теории рассеяния:

— дифракции электромагнитных волн на решетке из конечного числа тонких сверхпроводящих лент ;

— дифракции электромагнитных волн на полуограниченном волноводе с бесконечным импедансным фланцем и излучения из такого волновода.

Для реализации дискретных математических моделей разработаны универсальные алгоритмы. Важным элементом предлагаемой вычислительной схемы является эффективное вычисление ядер интегральных уравнений, содержащих бесконечные ряды и интегралы по всей оси.

Получена квадратурная формула специального вида для интеграла с переменным пределом интегрирования, позволяющая применить численную схему МДО к уравнению с таким слагаемым.

С помощью созданного пакета программ проведен численный эксперимент. Предложенные модели по анализу большого числа модельных задач показали себя эффективными в широком диапазоне параметров падающего поля, геометрии и проводимости рассеивающих структур.

Впервые подход, в основе которого лежит численная схема МДО, применен к решению спектральных задач на примере задачи отыскания первых собственных частот колебаний круговой мембраны со смешанными граничными условиями (в том числе и с граничными условиями 3-го рода по части границы)- Для задачи нахождения собственных частот мембраны, закрепленной по части границы и свободной по ее оставшейся части, предложены альтернативные модели. По результатам численного эксперимента их совместное использование оказалось наиболее эффективным. Созданный пакет программ позволил исследовать полученные модели на устойчивость при различной величине и взаимном расположении участков закрепления.

В целом, теоретическая ценность работы состоит в распространении метода математического моделирования на базе построения граничных сингулярных интегральных уравнений и дискретизации по МДО на новый класс задач: задачи дифракции и рассеяния с импедансными граничными условиями и на спектральные задачи.

s

Достоверность подученных результатов обеспечивается

— строгими постановками задач для стационарного волнового уравнения;

— получением систем интегральных уравнений, эквивалентных исходным краевым задачам;

— сравнением результатов с результатами, полученными другими методами и экспериментальными данными;

— сравнением результатов с результатами в предельных случаях, для которых численная схема метода дискретных особенностей полностью обосновала в имеются строгие оценки сходимости приближенных решений к точным;

— завершением численного эксперимента только при фиксации устойчивости результатов при увеличении порядка аппроксимации.

Практическая ценность исследования. Развитый в диссертации подход к решению двумерных задач электродинамики с имледанс-ными граничными условиями и к решению спектральных задач имеет существенную практическую ценность для большого класса научно-технических задач, которые находят применение при рассчете и проектировании различных электронных устройств, антенн, приборов СВЧ и ускорительной техники. Практическая значимость исследования определяется возможностью моделирования физических процессов для объектов из реальных материалов за счет разработки аппарата численного решения краевых задач с импедансныни граничными условиями. Привлечение мощного аппарата МДО к решению спектральных задач позволит в дальнейшем расширить круг исследуемых структур. В частности, этим метом предполагается изучать спектральные характеристики волноводов различной геометрии и сложных систем резонаторов.

Практическое значение имеет комплекс программ на языке Си для персонального компьютера типа IBM PC и отдельные компоненты этого комплекса, которые обеспечивают

— выбор на каждом из интервалов, соответствующих определенным участкам границы произвольного количества узлов дискретизации, исходя из физических соображений;

— эффективное вычисление ядер интегральных уравнений, содержащих бесконечные ряды и несобственные интегралы;

— эффективную аппроксимацию специальных математических функций;

— построение дискретной модели в виде СЛАУ, матрица которой хорошо обусловлена;

— решение СЛАУ с использованием эффективных алгоритмов на основе метода Гаусса;

— вычисление по полученным решениям приближенных значений интересующих физических характеристик.

Разработанные алгоритмы и программы использованы в численном эксперименте, который является составной частью плановой работы кафедры математической физики и вычислительной математики Харьковского государственного университета.

Методы исследования. В работе использованы методы математической физики, теории интегральных уравнений, специальных функций и их аппроксимации, математического моделирования и вычислительной математики.

Реализация результатов работы. Результаты работы реализованы в учебном процессе Харьковского государственного университета. Апробация работы.

— VI Международный симпозиум "Методы дискретных особенностей в задачах математической физики" (г.Харьков, 24-28 мая 1993г.);

— V Международная конференция " Математические методы в электромагнитной теории" ММЕТ*94 (г.Харьков, 7-10 сентября 1994г.);

— IV Международная конференция им. академика М.Кравчука (г.Киев, 14-16 мая 1995г.);

— Научно-техническая конференция "Техника и физика электронных

систем и устройств" (г.Сумы, 18-20 мая 1995 г.);

— VI Международная конференция " Математические методы в электромагнитной теории" ММЕТ*96 (г.Львов, 10-13 сентября 1996г.);

— Международная конференция "Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление" (г.Минск, 16-20 февраля 1996г.).

— семинар "Метод дискретных особенностей в задачах электродинамики", руководитель д.ф.-м.н. Ю.В.Гандель (г.Харьков, 1995г.,1996г.);

— республиканский семинар "Эффективные методы решения задач математической физики", руководители д. ф.-м. н. В.А.Щербина и д. ф.-м. н. Ю.В.Гандель (г. Харьков, 1996 г.);

— семинар кафедры высшей математики ВВИА им. профессора Н.Е.Жуковского, руководитель д.ф.-м.н. И.К.Лифанов (г.Москва, 1996г.).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 7 научных трудах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы из 93 наименований, общий объем работы составляет 148 страниц машинописного текста .

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность тематики исследований, представлен краткий обзор методов построения математических моделей двумерных задач дифракции, дана характеристика методологии исследо-><ваиия('^формуяировашл1цаяи1р^ош1июановныо1рсоулкт%1ш)1получашшс в диссертации.

Глава 1 посвящена построению математической модели двумерной задачи дифракции плоской монохроматической (зависимость от времени дается множителем е-""') электромагнитной волны на ограниченной решетке, состоящей из конечного числа тонких сверхпроводящих лент, лежащих в плоскости ХОУ с ребрами, параллельными оси ОХ.

а

В первом параграфе исходная краевая задача дифракции сведена к краевой задаче для уравнения Гельмгольца с 3-им граничным условием (1)—(2), для чего привлечена модель импедансного граничного условия на поверхностях тонких объектов, использованная ранее в работах В.Ф.Кравченко, В.Т.Ерофеенко и др.

Д«(у,*) + = (у,*)$Л, к = ы/с, (1)

~±о ^ Т Аи(-У»*>} = /(у)> у е (2)

где Л = {(х,у,г)бй3:1 = 0, у е Е, г = 0},

т

^ = и (а?А)> < < ¿1 < ... < ат <Ьт < +оо.

1=1

Здесь в случае Н-поляризацни функция и(у, г) есть компонента Нх{у, г) рассеянного электромагнитного поля, А = —ше2с, в случае Е-поляри-зации и(у,г) = Ех(у,г), А = — поверхностный импеданс

сверхпроводника, /(у) — известная функция, зависящая только от падающего поля.

Функция и(у, г) в полупространстве над лентами (г > 0) и под ними (г < 0) ищется в виде интегралов Фурье, удовлетворяющих уравнению Гельмгольца в соответствующих областях и условиям излучения на бесконечности. Класс решений ограничен функциями, удовлетворяющими условию Мейкснера на ребрах лент. Граничное условие (2) и условия сшивания представлений функции и(у, г) в щелях между лентами образуют парное интегральное уравнение.

Ю.В.Ганделем было предложено использование параметрического представления преобразования Гильберта для функций из Ьр(К), р > 1,

00

ад - / д(ХУхЧХ, у ей, (3)

—оо

17?Ж=7д{х)\Ае^ уеи (4)

7Г ' С — V л

—оо 4 " —оо

для выделения сингулярных частей интегральных уравнений. Это позволило во втором параграфе свести парные уравнения к СИУ на системе

отрезков

-f^dZ + ±(K(y-OF1(Odí + AfF1(Odt = My), yeL, (5)

где ^

JC(«) = /(T(A)-A)^dA (6)

с дополнительными условиями

g = 1,...,го, (7)

««

и уравнению Фредгольма П-го рода

= уец (8)

ь

где fi(y), /г(у) — известные непрерывные по Гельдеру функции.

Рассеянное поле выражается через решения системы граничных уравнений по формуле

Io? , ( _ i £ 1

где 7(Д) = \/А2 - А:2 и, в соответствии с условиями излучения, Re 7 > О, 7гп7 < 0.

В соответствии с условиями на ребре решения полученной системы (5)—(8) Fi(y), F2(y) ищутся в классе функций, сужения которых Fiqiv), F2q{y) на (ая, Ьд) представимы в виде :

FM= ... Vlq[f ,, F2q(y) - aq < у < bq,

/(¿г ~ у){у - ав) \J{h - у)(у - at)

где viq(y), v2,(y) - непрерывны по Гельдеру при у € [а,,6?].

В третьем параграфе изложена общая схема метода дискретных особенностей числепного решения сингулярного интегрального уравнения на системе отрезков, предложенная в работах И.К.Лифанова. Она основана на сведении СИУ на системе отрезков к системе СИУ на отрезке [—1,1] и использовании для вычисления интегралов интерполяционных квадратур гауссова типа по узлам полиномов Чебышева.

Получена интерполяционная квадратурная формула для интеграла с переменным пределом интегрирования, позволившая провести дискретизацию СИУ (5) в рамках общей схемы МДО:

(9)

где p(i) — многочлен степени п— 1, t¡¡ Е (-1,1); t¡ ~ cos^|^-7r, i — 1,...,тг— узлы полинома Чебышева 1-го рода Tn(t), í € [—1,1];

а = arccos ío;

= 4Я) = f.+r-iW) + u^r-itf).

Предложен способ дискретизации уравнения Фредгольма II-ro рода (8), основалшый па применении тех же квадратурных формул, что и общая схема МДО.

В четвертом параграфе первой главы с использованием метода стационарной фазы получены простые асомтотические формулы для поля в дальней зоне

Ф±(<р) — диаграмма направленности рассеянного поля соответственно над и под лентами выражается непосредственно через решения (5)—(8)

= lü/ {±FM{e~ZZ~ Sia V ~ ¿e. (11)

В пятом параграфе первой главы дало описание проведенного численного эксперимента , приведены результаты в виде диаграмм направленности поля в дальней зоне, рассеянного решетками с различным количеством и взаимным расположением лент для различных углов наклона падающей волны, определены границы эффективной применимости построенной математической модели. Проведено сравнение результатов для лент из сверхпроводящего материала с результатами для случая идеально проводящих лент.

Изложена процедура "ускорения сходимости" несобственных интегралов на примере ядра £(г), определенного формулой (6).

Глава 2 посвящена построению математических моделей двумерных задач дифракции плоской монохроматической волны на полуограниченном волноводе Б = {(г, у) Е К2 : а < у < Ь, г < 0} с бесконечным пм-педансным фланцем Р = {(ж,у) 6 К2 : У < а, Ь>у, г — 0} и излучения из такого волновода. Стенки волноводного канала Э = {(я, у) € К2 : у = а, у — Ь, г < 0} предполагаются идеально проводящими.

Поле и(у, г) есть компонента Ых(у, г) электромагнитного поля в случае Н-поляризации и Ех(у, г) в случал Е-поляризации.

В рассматриваемой в первом параграфе второй главы задаче дифракции наклонно падающей волны полное поле и{у, г) представляется в виде

, . Г «О{у,г) + и+(у,г), г>0, уеК

-1 х п , , ч (12)

(. и (у,г), г<0,уе(а,Ь)

Здесь щ(у, г) — полное поле в полупространстве г > 0 в отсутствие волноводного канала. щ{у, г) удовлетворяет уравнению Гельмгольца

Д«о + к2иа = 0, г > 0, у е К, (13)

и импедансному граничному условию на фланце

— + Аи0 = 0, г = 0, у е К, (14)

ах

А = гв случае Н-поляризации, А = в случае Е-поляризации,

2 — поверхностный импеданс материала фланца.

Ищем и+(у, г) в виде интеграла Фурье, удовлетворяющего (13) в своей области определения и условиям излучения на бесконечности. и+(у, г) удовлетворяет (14) на Р. Ищем и"{у, г) в виде ряда Фурье, удовлетворяющего (13) внутри волноводного канала, условиям излучения на бесконечности и условию Дирихле на 5 в случае Е-поляризации, условию Неймана на 5 в случае Н-поляризации. Ищем ы±(у, г) в классе функций, определяемом условием на ребре. Связав эти функции условиями сопря-

жения в раскрыве волновода, приходим к парному интегро-сумматорному уравнению.

Использование для выделения сингулярных частей уравнений параметрического представления интегрального преобразования Гильберта для функций, заданных на всей оси, (3)-(4) в случае интеграла Фурье и интегрального оператора Гильберта для периодических функций £?(£), £ е [-7Г,7г]

(ЯС)(у) = ^ / (15)

в случае ряда Фурье позволило свести парное уравнение к сингулярному интегральному уравнению:

* / / ^

Т ' £ - У 6 - а ^ соз(^(у - а)) - соз(£# - а)) 1 6

+- / Р(ОЩ, уЩ = -/'(у), У е (а, Ъ) (16)

с дополнительным условием 1 1

-/ПО<?(£.1/оК=/Ы, (17)

где <3(£,уо) представимо в виде

<Ж,Уо) = 21п|£-у0| + д(£,уо).

Здесь К(£,у), <7(С,уо) — известные регулярные ядра, /(у) — функция, зависящая от ио(у, 0), уо — произвольная, но фиксированная точка (а, Ь).

Искомые функции «±(у,г) легко выражаются через решение СИУ (16), которое в соответствии с условием на ребре ищется в классе функций, представимых в рамках предлагаемой модели в виде Ну) = "(у)/1/(6? - у)(у- а?), а < у < Ь, где г(у) - непрерывна по Гельдеру при у 6 [а,Ь].

Во втором параграфе второй главы рассмотрена задача излучения, когда плоский полуограниченный волновод с бесконечным импедансным фланцем возбуждается одной из собственных волн и^д(у)г). Полное поле в этом случае ищется в виде

( и+{у,г), -оо <у <+оо, г > О,

ЧУ'*} \ <°а(у, г) + «"(у, г), о < у < Ь, г < 0, ' где м±(у, г) имеют тот же смысл, что и в задаче дифракции и для их отыскания приходим к СИУ (16) с дополнительным условием (17), в которых функция /(у) зависит только от и™д(у,г).

Дискретизация СИУ (16) в третьем параграфе по МДО приводит к СЛАУ относительно значений полиномиальных приближений функции г(у) в точках отрезка [а,Ь], соответствующих узлам полинома Чебышева 1-го рода на [—1,1].

Через функцию Р(у) легко выражаются коэффициенты амплитуд гармоник, прошедших в волновод. Для определения поля в дальней зоне в четвертом параграфе второй главы с использованием асимптотики по методу стационарной фазы получена формула

е.(*я-*/4)

где Ф(<р) — диаграмма направленности рассеянного поля в дальней зоне, выражающая зависимость амплитуды поля на бесконечности от угла наблюдения, выражается через функцию Р(у)

\/2тг А + гк5т<р{ ^ ^

Приближенное значение диаграммы направленности легко выражается через решение СЛАУ.

В пятом параграфе второй главы проведено обобщение построенной математической модели на случай произвольного числа волноведу-щих каналов с общим импедансным фланцем.

В шестом параграфе второй главы приведены результаты анализа дискретной математической модели средствами численного эксперимен-

та. Выявлена зависимость эффективности численной схемы от значений параметров волновода с фланцем и падающего поля.

В главе 3 предложен способ нахождения первых собственных частот круговой мембраны, закрепленной либо упруго закрепленной по части границы.

Математическими постановками этих задач являются задачи па собственные значения для оператора Лапласа в круге со смешанными граничными условиями (I—II, I—III и II-III рода).

Для краевой задачи с граничными условиями 1-Й рода в первом параграфе третьей главы предложены альтернативные модели. В одной из них задача отыскания спектрального параметра ае сведена к СИУ с дополнительными условиями по свободной части границы , состоящей из конечного числа непересекающихся дуг, отвечающих полярному углу

ip, меняющемуся на множестве L = U L;, L; = (а,-, /?,•), причем,

?=i

-7Г < ах < ßi < ... < ат < ßm < 7Г.

В другой модели та же задача сведена к СИУ по закрепленным участкам границы СЬ — [—7Г, 7г] \ Ь

к = 1,... ,тп.

(19)

где

где

пЛ(ж) <eJ>n( аг)

K{z) = -ctg----£ e2ri sin nz, е2л = 1 -

1 z 1 »

1

с дополнительными условиями

- / П(Ш, = 0, к = 1,..., ш, (21)

где С}{£,фк) представимо в виде

<ж,и>) = ч*

<!(,{> Фк) — регулярное ядро, фк — произвольная фиксированная точка к-го интервала множества СЬ.

В результате дискретизации полученных СИУ по методу дискретных особенностей приходим к однородным СЛАУ. Задача на собственные значения для оператора Лапласа в круге приводит к задаче отыскания тех значений спектрального параметра ае , при которых полученные СЛАУ имеют нетривиальные решения.

Предложены эффективные алгоритмы вычисления ядер интегральных уравнений. Приведены результаты численного эксперимента по исследованию зависимости первых собственных частот от длины и взаимного расположения участков закрепления. Анализ большого числа модельных задач показал устойчивость вычислительной схемы. Сравнительный анализ альтернативных моделей одной задачи не только явился хорошей проверкой их правильности , но и позволил выявить границы их эффективной применимости и рекомендовать для использования синтез двух моделей.

Во втором и третьем параграфах задачи со смешанными граничными условиями 1-Ш и П-Ш рода в строгой постановке сведены к эквивалентным системам граничных интегральных уравнений. Для их дискретизации и последующего численного исследования предложены вычислительные схемы типа МДО.

В заключении подведены итоги проведенного научного исследования.

ЗАКЛ ЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

Основные результаты, полученные в диссертационной работе, заключаются в следующем:

1. Построена математическая модель задачи дифракции плоской электромагнитной волны на произвольной решетке из конечного числа тонких сверхпроводящих лент:

— задача в строгой постановке сведена к системе граничных интегральных уравнений с использованием параметрического представления преобразования Гильберта на всей оси для выделения сингулярной особенности в ядре;

— получена интерполяционная квадратурная формула по узлам полиномов Чебышева 1-го рода для интегралов с переменным пределом интегрирования, позволившая провести дискретизацию полученного СИУ в рамках общей схемы МДО;

— предложена модификация МДО для дискретизации уравнения Фредгольма второго рода;

— построен дискретный аналог системы граничных интегральных уравнений в виде СЛАУ, через решение которой вычисляются приближенные значения коэффициентов Фурье рассеянного и дифрагированного полей;

— получены асимптотические формулы для диаграммы направленности рассеянного поля в дальней зоне.

2. Построены математические модели задач дифракции плоской электромагнитной волны на полуограниченном плоском волноводе с им-педансным фланцем и излучения из такого волновода:

— каждая из задач в строгой постановке с использованием параметрических представлений преобразования Гильберта на всей оси и сингулярного интегрального оператора Гильберта для периодических функций сведена к сингулярному интегральному уравнению с дополнительным

условием;

— проведена дискретизация полученных интегральных уравнений на основе МДО;

— получена асимптотическая формула для определения поля в дальней зоне;

— предложено обобщение математической модели па случай произвольного конечного числа волноведущих каналов с общим фланцем;

3. Для реализации дискретных математических моделей разработаны эффективные вычислительные алгоритмы. В частности, для вычисления ядер интегральных уравнений алгоритмы построены с привлечением теории' аппроксимации специальных функций, ускорения сходимости рядов и несобственных интегралов.

4. Разработан пакет прикладных программ на языке программирования Си для персонального компьютера типа IBM PC, реализующий дискретные математические модели. Проведенный численный эксперимент показал устойчивость используемых вычислительных схем в широком диапазоне параметров задачи и высокую эффективность в длинноволновом и резонансном диапазонах. Проведен численный анализ полей в дальней зоне и амплитуд возбужденных собственных волн для волновода с импедансным фланцем.

5. Построена математическая модель для вычисления собственных частот круговой мембраны со смешанными условиями закрепления на границе (смешанные граничные условия I—II, I—III и II-III рода):

— для краевой задачи со смешанными граничными условиями I—II рода предложены альтернативные математические модели, в одной из ко-трых задача сводится к СИУ по интервалам, соответствующим закрепленным участкам границы, а вторая к СИУ по интервалам, соответствующим свободным участкам границы;

— для краевых задач со смешанными граничными условиями I-III и II—III рода получены эквивалентные системы граничных интегральных

уравнений;

— на бале МДО построены дискретные математические модели и создан пакет программ их реализующий.

6. В численном эксперименте с помощью созданного пакета программ исследована зависимость первых собственных частот от величины и взаимного расположения участков закрепления. Исследована устойчивость вычислительной схемы. Определены области эффективной применимости каждой модели.

Список публикации автора, в которых изложено основное содержание диссертационной работы.

1. Гандель Ю.В., Морозова Н.Н., Шульга Б.А. Математическая модель для вычисления собственных значений некоторых смешанных краевых задач теории колебаний // Харьков, ун-т, -Харьков, 1993. -24 с. - Деп. в УкрИНТЭИ 10.01.93, N 451-Ук93.

2. Dushkin V., G an del Yu., Morozova N. Numerical realization for the diffraction problems on multielemental gratings // Proceedings of International Conference on Mathematical Methods in Electromagnet]с Theory. -Kharkov, 1994. -P.95-98.

3. Гандель Ю.В., Морозова H.H. Математические модели дифракции электромагнитных волн на плоском волноводе с импедансным фланцем // Харьков, ун-т, -Харьков., 1995. -21 с. - Деп. в ГНТБ Украины 28.02.95, N 537-Ук95 .

4. Гандель Ю.В., Морозова Н.Н. Математическая модель для вычисления собственных частот круговой мембраны , закрепленной по части границы // Интегральные преобразования и их применение к краевым задачам математической физики: Сб. научи, трудов, -Киев: НАН Украины, 1995. Вып. 10. С. 25-31.

5. Gandel Yu., Morozova N. Mathematical models of diffraction and radiation problems for planar waveguide with impedance flange //

Proceedings of International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory-Lviv, 1996. - P.88-91.

6. Морозова H.H. Сингулярное интегральное уравнение задачи дифракции на плоском волноводе с импедансным фланцем. //Сб. научн. трудов: Интегральные преобразования и их применение к краевым задачам математической физики. -Киев: НАН Украины, 1996. Вып. 12.-С. 152-163.

7. Гандель Ю.В., Кравченко В.Ф., Морозова Н.Н. Дифракция электромагнитных волн на решетке из тонких сверхпроводящих лент // Электромагнитные волны и электронные системы. -1997. -Т.2, N 2. С. 14-27.