автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование задач электродинамики и гравиразведки на основе интегральных представлений Коши и Стрэттона-Чу

На правах рукописи

ФИЛИППОВ Алексей Викторович

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И ГРАВИРАЗВЕДКИ НА ОСНОВЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ КОШИ И СТРЭТТОНА-ЧУ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Ав1ореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

003 176082

ПЕНЗА 2007

003176082

Диссертационная работа выполнена на кафедре «Высшая и прикладная математика» в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет».

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор

Бойков Илья Владимирович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Голованов Олег Александрович;

доктор технических наук, профессор Якимов Александр Николаевич.

Ведущая организация - ФГУП «НИИЭМП».

Защита диссертации состоится «23» 2007 г, в » часов,

на заседании диссертационного совета Д 212.186 04 в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» по адресу. 440026, г Пенза, ул. Красная, 40.

С диссертацией и авторефератом можно ознакомиться в научной библиотеке государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» и на сайте: \у\¥\у.рг^и га

Автореферат разослан « » октября 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук,

профессор Смогунов В. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. При решении многочисленных задач создания и эксплуатации радиоэлектронной аппаратуры, цифровых микросхем, используемых в составе цифровых устройств обработки, передачи и защиты информации, возникает принципиальная задача защиты аппаратуры от влияния помехонесущих полей.

Для защиты от влияния помехонесущего поля, в ряде задач - для защиты от утечки информации через помехонесущее поле, применяются экраны. Для оценки эффективности применяемых экранов необходимо решить ряд технических задач, и в первую очередь задачу определения глубины проникновения электромагнитного поля в материал экрана для различных видов экранов.

К настоящему времени еще не разработаны эффективные численные методы моделирования подобных задач. Разработка этих методов составляет первый круг задач, рассматриваемых в диссертации.

Ко второму кругу задач относятся прямые и обратные задачи грави-разведки в трехмерной постановке В настоящее время достаточно подробно исследованы задачи гравиметрии в двумерной постановке и получен ряд теоретических результатов в трехмерной постановке. Однако до сих пор не разработаны методы численного моделирования многих важнейших задач гравиразведки: восстановления потенциальных полей, продолжения потенциальных полей и разделения потенциальных полей.

Описанные выше проблемы связаны между собой одним математическим аппаратом - интегралами типа Коши и Стрэтгона-Чу и интегральными уравнениями с этими интегралами В работе предлагается общий подход к решению указанных выше задач- моделирование электромагнитных и потенциальных полей интегралами типа Коши и Стрэттона-Чу и интегральными уравнениями с интегралами типа Коши и Стрэттона-Чу.

К настоящему времени не известны работы, посвященные численному моделированию задач продолжения и восстановления электромагнитных и потенциальных полей в трехмерном случае, а также не известны численные методы решения интегральных уравнений с интегралами типа Коши и Стрэтгона-Чу

Разработке, обоснованию и программной реализации численных алгоритмов решения перечисленных проблем посвящена данная диссертация, что и определяет её актуальность

Цель и задачи исследования. Целью исследования является разработка алгоритмов численного моделирования потенциальных и электромагнитных полей на основе аппарата интегральных представлений Коши и Стрэттона-Чу Результатом исследования должно стать решение следующих задач, имеющих большое теоретическое и практическое значение:

• построение алгоритма локализации источников потенциальных и электромагнитных полей,

• построение алгоритма решения обратной задачи теории потенциала,

• построение и программная реализация алгоритмов, позволяющих производить оптимизацию конструкций электромагнитных экранов

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи-

• построить оптимальные по порядку кубатурные формулы вычисления интегралов типа Коши и Стрэттона-Чу на классе гладких функций и классе Гёльдера;

• построить численный алгоритм вычисления интегралов типа Коши и Стрэтгона-Чу, заданных на поверхностях Ляпунова,

• построить численные алгоритмы восстановления, продолжения и разделения потенциальных электростатических и гравитационных, и стационарных электромагнитных полей, которые описываются интегралами типа Коши и Стрэттона-Чу

Методы исследования. В работе использованы методы функционального анализа, решения краевых задач, теории функций комплексного переменного, проекционные методы, теория приближения функций, теория интегральных уравнений, методы оптимизации

Достоверность научных положений подтверждается соответствием теоретических результатов результатам математического моделирования тестовых задач

Научная новизна работы состоит в следующем.

• построены кубатурные формулы вычисления интегралов типа Коши и Стрэттона-Чу на классе Гёльдера и классе гладких функций Полученные кубатурные формулы отличаются оптимальностью по порядку, что позволяет моделировать структуру потенциальных и стационарных электромагнитных полей с заранее заданной точностью при наименьшей априорной информации о граничных значениях;

• предложен и обоснован численный алгоритм вычисления интегралов типа Коши и Стрэтгона-Чу, заданных на поверхностях Ляпунова. Построенный алгоритм отличается возможностью вычисления интегралов, заданных на трехмерных поверхностях, удовлетворяющих условиям Ляпунова;

• предложены и обоснованы численные алгоритмы восстановления, продолжения и разделения потенциальных и стационарных электромагнитных полей, которые описываются интегралами типа Коши и Стрэттона-Чу, и используемых для моделирования помехо-несущих полей внутри и вне области экранирования, а также для оценки эффективности экранирования;

• предложен и обоснован алгоритм дискретного продолжения потенциальных полей с плоскости в рассматриваемую область, отличающийся от существующих меньшим объемом необходимых начальных данных

Теоретическая и практическая ценность работы.

Теоретическая ценность заключается в следующем1

• построены оптимальные по порядку кубатурные формулы вычисления интегралов типа Коши и Стрэттона-Чу на классе гладких функций и классе Гёльдера, позволяющие моделировать структуру потенциальных и стационарных электромагнитных полей с заранее заданной точностью при наименьшей априорной информации о граничных значениях;

• предложен и обоснован численный алгоритм вычисления интегралов типа Коши и Стрэттона-Чу, заданных на поверхностях Ляпунова, который позволяет производить расчеты на трехмерных поверхностях, удовлетворяющих условиям Ляпунова и ограничивающих тела сложной геометрической формы,

• предложены и обоснованы численные алгоритмы восстановления, продолжения и разделения потенциальных и стационарных электромагнитных полей, которые описываются интегралами типа Коши и Стрэтгона-Чу Для предложенных алгоритмов получены оценки вычислительных погрешностей и показана их оптимальность по порядку,

• предложен и обоснован алгоритм дискретного продолжения потенциальных полей с поверхности в рассматриваемую область, отличающийся от существующих меньшим объемом необходимых начальных данных,

• разработаны параллельные численные алгоритмы продолжения потенциальных электростатических и гравитационных полей, позволяющие повысить скорость вычислений

Практическая ценность работы заключается в следующем.

• разработаны и численно реализованы вычислительные алгоритмы, позволяющие решать прикладные задачи теории потенциала в трехмерной постановке. 1) локализация источников потенциального поля; 2) восстановление функции распределения источников потенциального поля, 3) решение обратной задачи теории потенциала со свободной границей. Предложенные алгоритмы позволяют повысить эффективность при решении большого числа технических задач, например, при проведении гравиразведки;

• разработан пакет прикладных программ- 1) вычисления интегралов типа Коши и Стрэттона-Чу на классе гладких функций и классе Гельдера, 2) восстановления потенциальных и электромагнитных полей, которые описываются интегралами типа Коши и Стрэттона-Чу, 3) разделения потенциальных и электромагнитных полей; 4) продолжения потенциальных и электромагнитных полей Программы, входящие в пакет, реализуют численные алгоритмы, полученные в диссертации, и могут применяться для оптимизации конструкции экранов.

Основные положения, выносимые на защиту:

• способ численного моделирования потенциальных и стационарных электромагнитных полей, заключающийся в представлении полей интегралами типа Коши и Стрэттона-Чу, что позволяет аппроксимировать указанные поля вне области задания граничных условий,

• численный алгоритм вычисления интегралов типа Коши и Стрэттона-Чу, заданных на поверхностях Ляпунова, применение которого позволяет моделировать помехонесущие поля вблизи поверхности электромагнитного экрана сложной геометрической формы,

• численные алгоритмы восстановления, продолжения и разделения потенциальных и стационарных электромагнитных полей, которые описываются интегралами типа Коши и Стрэттона-Чу Применение перечисленных алгоритмов позволяет моделировать помехонесущие поля внутри и вне области экранирования, оценивать эффективность экранирования,

• оптимальные по порядку кубатурные формулы вычисления интегралов типа Коши и Стрэтгона-Чу, позволяющие моделировать структуру потенциальных и стационарных электромагнитных полей с заранее заданной точностью.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 9 печатных работ.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международном симпозиуме «Надежность и качество» (г Пенза, 2006 г.), Международном семинаре им Д. Г Успенского «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» (г. Екатеринбург, 2006 г); Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г Саранск, 2006 г ), Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (г. Пенза, 2006, 2007 гг); Международной научно-технической конференции «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем» (г. Пенза, 2007 г.).

Пакет прикладных программ «Вычисление интегралов типа Коши и Стрэттона-Чу», реализующих алгоритмы, разработанные в диссертации, зарегистрирован в Отраслевом фонде алгоритмов и программ (ОФАП) Выдано «Свидетельство об отраслевой регистрации разработки» за № 7590 (номер государственной регистрации. 50200700221, 31 января 2007)

Пакет прикладных программ «Вычисление интегралов типа Коши и Стрэттона-Чу» используется в производственной деятельности ООО НПП «Криптософт» (акт о внедрении прилагается к диссертации)

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении показана актуальность выбранной темы, обоснованы и сформулированы цели, задачи исследования, обозначены его научная новизна и практическая ценность, основные результаты, выносимые на защиту, а также приведены сведения о реализации и внедрении результатов, апробации работы и публикациях

В первой главе раскрывается содержание предмета исследования Даются постановки прямых и обратных задач теории потенциала, задачи оптимизации вычисления интегралов Приводится определение классов функций, дается краткий обзор численных методов вычисления интегралов типа Коши и Стрэттона-Чу. Описываются методы представления потенциальных и электромагнитных полей интегралами типа Коши и Стрэттона-Чу. Перечисляются основные требования, предъявляемые к электромагнитным экранам

Вторая глава посвящена численному моделированию потенциальных и электромагнитных полей интегралами типа Коши и Стрэттона-Чу. Так как в явном виде интегралы типа Коши и Стрэттона-Чу не берутся, решается задача построения оптимальных по порядку кубатурных формул для различных классов функций Параллельно решается задача построения численных алгоритмов вычисления интегралов типа Коши и Стрэттона-Чу, заданных на произвольных замкнутых поверхностях Ляпунова

Интегралы типа Коши и Стрэттона-Чу, описывающие потенциальные и электромагнитные поля, имеют следующий вид-

где 5 - ограниченная замкнутая гладкая поверхность; п- единичный вектор нормали, f - функция, описывающая потенциальное или электромагнитное поле на поверхности 5.

Для простоты обозначений при получении оценок погрешности

2

кубатурных формул полагается 5 -- [-1,1] Интеграл (1) распадается на сумму интегралов вида

Нг',/) = ) )— г' = (*',/) (2)

Отметим, что все оценки и рассуждения остаются справедливыми и для интеграла (1) - отличие заключается в константах

При решении практических задач восстановления, разделения и продолжения потенциальных и электромагнитных полей реализованы кубатурные формулы вычисления интеграла (1), заданного на гладких поверхностях Ляпунова

Рассматриваются кубатурные формулы с произвольными весами рк и узлами 1к вида

= Ел (г')/Ы + (г',Рк (<Мь/)- (3)

к=1

При построении оптимальных по порядку кубатурных формул вида (3) на различных классах функций получены следующие результаты

Пусть функция /(х,у) в области Г2 = [-1,1] принадлежит классу функций Наа (1), 0 < а < 1 Тогда верхняя грань оценки снизу погрешности вычислений интеграла (2) по кубатурным формулам вида (3) ограничена неравенством С,дг [Яаа (1)] < АИ~а /2ЫЫ Рассматривается кубатурная формула

ЕТМ.уЬ Я—+

к=01=0

<4)

*=0Ы> Ак1кх-ху+(у-уу\

д ^х-хУ+Ог-уГ) где Дк1=[хк>хк+ьУ1>Ум]> к,1 = 0,1, ,п-1, хк=ук=-\ + к2!п, к = 0,1, ,п,х*к=(хк+хк+1)/2, у] ={У1+УМ)!2, 1Г(1£") -суммирование по квадратам Ди (Д'&/), не пересекающимся (пересекающимся) с областью Дх = \х'-Ь,х'+ Ъ,-\,\\ и \~\\,у'~Ъ,У+6],

6-([21/а-2] + 1)/и, А^=СДи(АиПД1), Сд^ДА^ПДО - дополнение Д«ПА| ДО А*/.

Погрешность кубатурной формулы (4) для класса функций Гель-дера оценивается неравенством [Наа 0)]| ^ АЫ~а!21п N, где N -

л

число узлов кубатурной формулы, очевидно, что N = п . Из сопоставления с оценкой снизу следует оптимальность по порядку построенной кубатурной формулы

Оценки и оптимальная по порядку кубатурная формула для класса гладких функций приводятся в диссертации

Так как аналитическое задание поверхности 5 возможно лишь в редких случаях, вычисление интегралов вида (1) будем производить по пространственной сетке Б', полученной с помощью аппроксимации поверхности Я.

Если оригинальная поверхность 5 является поверхностью Ляпунова с показателем X, 0 < X < 1, то погрешность вычисления интеграла (1), возникающая вследствие замены исходной поверхности 5 аппроксимирующей поверхностью 5", оценивается величиной

, где N - число элементов поверхности 5", участвующих в триангуляции.

Третья глава посвящена решению задач восстановления и разделения потенциальных и электромагнитных полей, которые описываются интегралами типа Коши и Стрэттона-Чу Для решения указанных задач используются схожие алгоритмы

Задача восстановления полей В области ограниченной

замкнутой гладкой поверхностью 5, векторное поле Г является потенциальным Значение поля Г известно на поверхности 5 области О, а внутри области определяется по формуле

где г = г' = (х',у',г')<=П

Нужно найти функцию , определенную формулой (5),

внутри области В

Задача разделения полей. Рассматриваемая модель структуры векторного поля Р позволяет представить поле в виде суперпозиции

внутренней Р' и внешней Ре составляющих Внутренняя составляющая Рг создается внутренними источниками д1, сосредоточенными в односвязанной области ОеЩ, ограниченной замкнутой гладкой поверхностью 5, внешняя составляющая - внешними источниками qe, расположенными вне области И

Требуется найти внутреннюю Р' и внешнюю ¥е составляющие поля на поверхности £ по суммарному полю Р, известному на поверхности 5 области/)

Решение этой задачи в обыкновенных точках дается аналогами интегралов типа Коши.

Г (г') = Р(г') / 2 - 3(г', V), ¥е (г') - Е(г') / 2 + Г),

где

,1(г'р)="кЯ{(-•р)^ххёга<1 ]гЬ[}Л (6)

Здесь п - нормаль к поверхности а радиус-векторы г, г' е 5 Непосредственное вычисление интеграла (6) возможно лишь в исключительных случаях, поэтому ставится задача построения численного алгоритма вычисления функций, которые описываются интегралами вида (6), на поверхности 5 ,

Решение поставленных задач состоит из трёх этапов. На первом этапе исследуется гладкость функции Л(г',Р), т е. определяется класс Ч*, к которому принадлежит функция .1(г',Р), когда функция Р(г) принадлежит классу функций ¥, а радиус-вектор

г' пробегает заданную область

На втором этапе строятся оптимальные методы восстановления функций из класса Ф Для этого вычисляются поперечники Бабенко и

Колмогорова класса функций , и на этом классе строятся локальные сплайны, погрешность которых совпадает с величиной поперечников

На третьем этапе с помощью оптимальных кубатурных формул вычисляются приближенные значения функции J(r',F) в узлах локального сплайна.

Решение задачи разделения полей принципиально отличается от решения задачи восстановления полей тем, *гго в задаче восстановления полей функция J(r',F) аппроксимируется в области D, а в задаче разделения полей - непосредственно на поверхности S.

Четвертая глава посвящена решению задачи продолжения потенциальных и электромагнитных полей, которые описываются интегралами типа Коши и Стрэттона-Чу. Дается приложение полученных численных алгоритмов к решению прямых и обратных задач, возникающих в теории потенциала и электродинамике

При построении и обосновании численных алгоритмов продолжения потенциальных полей в трехмерном пространстве рассматриваются как непрерывные, так и дискретные модели потенциальных полей.

Задача продолжения полей Пусть DczD*. В области D* существует потенциальное поле F(r), значения которого известны на поверхности S, ограничивающей область D. Требуется продолжить поле на область D*.

Для решения этой задачи используется алгоритм, в основу которого положено интегральное уравнение

где интегрирование и дифференцирование ведутся по переменной г,

г еS*, а радиус-вектор г' eS.

В диссертации приводятся две вычислительные схемы решения интегрального уравнения (7) в предположении, что поверхности S

и S* заданы аналитически, а компоненты векторной функции F(r) на поверхности S* принадлежат классам функций Наа (1) и Wrr(l)

_1_ 4п

Л (> • F)+ [„х F]жgradJ-L, ids = F(r'), (7)

Так как аналитическое задание поверхности возможно в редких случаях, построен численный алгоритм продолжения потенциальных и стационарных электромагнитных полей, заданных на произвольных поверхностях Ляпунова.

Замкнутая гладкая поверхность 5*, удовлетворяющая условиям Ляпунова, аппроксимируется кусочно-гладкой поверхностью S', полученной в результате триангуляции поверхности S* с использованием пространственной сетки S"

Пусть N - число элементов покрытия поверхности S' Вводятся узлы t,, tt е Л,, г ~ 1,2,. , N, и узлы , где - образ узла tt на поверхности S, i-l,2, ,N .

Пусть каждая компонента fx, fy, fz функции f(r), описывающей векторное поле F, на поверхности S принадлежит классу функций #аа( 1), 0<а<1

При использовании оптимальных кубатурных формул, описанных во второй главе, решение задачи сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений' N

IУх {Ч )Щ\{(гЛк) + fy (0™12 (t,Ak ) + fz ) т\Ъ {¡гЛк ) = fx fe )

г=1

N

•J^fxi^mi^ + fyi^zih^ + M^Zsi^-fyi^ (8)

N

£/* {h )щ\{чЛк)+fy {*t) щ2 [h&k)+fz (О^зз )=fz (4*) Ы

Погрешность данного численного алгоритма определяется погрешностью кубатурных формул и оценивается неравенством

|/?д/[Яаа(1)]| < AN~~a^2, где N - число элементов покрытия поверхности S'.

В дискретной постановке задача продолжения полей имеет следующий вид Пусть граничное значение f(x,y) гармонической функции u(x,y,z) задано на прямоугольнике Q.=[-A,A,-B,B,z=Q]

Требуется построить продолжение гармонической функции и(х,у,г) с прямоугольника О в области В=[-А, А; -В, В\0,Н], где Н - некоторая константа

Решение поставленной задачи, в основу которого положены разностные аналогии оператора Лапласа, состоит из нескольких этапов

Пусть А-В, через к обозначена величина к- А! N. Введены узлы хк^ук=-А + кИ, к = 0,1,...,2Ы, гк=кк, к = 0,1,...,М, М = [Н/к\, 2м+1 = Н. Через г1]к обозначены узлы г,у = 0,1, ..,2N,

А: = 0,1,. ,М

Первый этап Для нахождения г,) = 0,1,. ,2N использует-

ся интеграл Пуассона для плоскости Известно, что если функция и(х,у,г) является гармонической в полуплоскости г = 0 и имеет непрерывное и интегрируемое граничное значение /(х,у), то при 2 = 0 функция и(х,у,г) выражается интегралом Пуассона

>([х-х')2+(у-у')2+г'2)

где Г(а) - гамма-функция Для вычисления интеграла Пуассона используются кубатурные формулы, приведенные во второй главе Второй этап. После того, как вычислены значения ,

г,7 = 0,1,. ,2Ы, продолжение гармонической функции и(х,у,г) осуществляется по семиточечной разностной схеме и(*ук+0 = и{г1]к_,) -

\

]к) ~ )+Щ-1 }к) и(*у+\к) - м^к) + и(*у~\к) ^ + к2у

(10)

Выше отмечалось, что кх -Ьу =к2 = А/N

Задача локализации источников пот. В ограниченной области Щ расположено конечное число п источников ql, г-1,2, ,п, создающее векторное поле Р, определённое как F(r) = grad£/(r), где и (г) - скалярный потенциал поля В области О расположена од-

несвязанная область С е £>. На поверхности 5, ограничивающей область О, известно значение векторного поля Ж Требуется определить положение каждого источника д1, / = 1,2,.. ,и, и его вклад в общее поле.

Задача локализации источников поля в данной постановке решается по алгоритму, использующему численные алгоритмы продолжения потенциальных полей Отметим, что численное моделирование показало линейное накопление погрешности вычислений, а это свидетельствует об устойчивости предложенного алгоритма

Задача восстановления функции распределения источников поля На гладкой поверхности 5 задана функция /(х,у,г) распределения электрических зарядов ст. Заряды а создают электростатическое

поле Е вокруг поверхности £. На поверхности 5*, не пересекающейся с поверхностью Я, известно значение поля Е. Требуется восстановить функцию распределения зарядов на поверхности «У

Задача решается по алгоритму, использующему численные алгоритмы продолжения электромагнитных полей. Рассматривается один

из частных случаев при £=[-1,1] Результаты численного моделирования показали высокую эффективность.

Обратная задача теории потенциала с открытой границей. В Щ задана двусвязная область (7, ограниченная поверхностью Г^иГо, Г] ПГ0 = 0 Область С расположена внутри поверхности Г1 и вне поверхности Г0. Поверхности Г0 и Г] предполагаются гладкими и удовлетворяющими условию Ляпунова.

В области О задана функция и(х,у,г), удовлетворяющая уравнению Лапласа Ди = 0 при граничных условиях иЦ = /(х,у,г),

ди/дп\Г^ = (х,у,г) и ы|Го = 0 .

Требуется, располагая граничными значениями на известной поверхности Г1, определить поверхность Г0.

Обратная задача теории потенциала с открытой границей в данной постановке решается по алгоритму, использующему численные алгоритмы дискретного продолжения полей и оптимальные кубатур-ные формулы вычисления интегралов типа Коши и Стрэттона-Чу, построенные во второй главе.

В заключении обобщены основные результаты теоретических и практических исследований

В приложении к диссертации помещены тексты программ, входящих в пакет «Вычисление интегралов типа Коши и Стрэттона-Чу» и результаты численного моделирования некоторых задач теории потенциала и электродинамики.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1 Построен численный алгоритм моделирования потенциальных и стационарных электромагнитных полей, которые описываются интегралами типа Коши и Стрэттона-Чу. Алгоритм основан на применении оптимальных по порядку кубатурных формул вычисления интегралов типа Коши и Стрэттона-Чу, полученных для класса гладких функций и класса Гельдера, что позволяет производить численное моделирование с заранее заданной точностью

2. Предложен численный алгоритм моделирования потенциальных и стационарных электромагнитных полей, которые описываются интегралами типа Коши и Стрэттона-Чу, заданными на произвольных замкнутых поверхностях Ляпунова. Алгоритм основан на аппроксимации оригинальной поверхности, удовлетворяющей условиям Ляпунова, кусочно-линейной поверхностью, что позволяет производить численное моделирование на трехмерных поверхностях, ограничивающих тела сложной геометрической формы

3 Предложены численные алгоритмы восстановления, продолжения и разделения потенциальных и стационарных электромагнитных полей Для данных алгоритмов получены оценки вычислительных погрешностей и показана их оптимальность по порядку, что позволяет применять их для моделирования помехонесущих полей внутри и вне области экранирования и оценивать эффективность экранирования

4 Предложен алгоритм дискретного продолжения потенциальных полей с плоскости в рассматриваемую область, отличающийся от существующих меньшим объемом необходимых начальных данных

5. Предложены численные алгоритмы решения прямых и обратных задач теории потенциала в трехмерной постановке, моделирующих структуру потенциальных и стационарных электромагнитных полей Применение данных алгоритмов позволяет повысить эффек-

тивность при решении большого числа технических задач, например, при проведении гравиразведки

6. Разработан пакет прикладных программ, реализующий численные алгоритмы, полученные в диссертации, и позволяющий производить численное моделирование структуры потенциальных и стационарных электромагнитных полей. Программы, входящие в пакет, могут применяться для оптимизации конструкции экранов.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Филиппов, А. В. Приближенное решение обратной задачи теории потенциала / А. В. Филиппов, И В. Бойков, А И. Бойкова, В И Крюч-ко // Известия вузов. Поволжский регион. - 2006. - Вып № 6. -С 54-63

Публикации в других изданиях

2 Филиппов, А В. Оптимальные методы разделения потенциальных полей / А. В. Филиппов, И. В. Бойков, А. И. Бойкова, В. И. Крючко // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей материалы 33 сессии Междунар. семинара им. Д. Г Успенского - Екатеринбург, 2006 -С. 59-64.

3. Филиппов, А В Оптимальные методы восстановления геофизических полей и их приложение к разделению потенциальных полей / А В. Филиппов, И В. Бойков, А И. Бойкова, В И. Крючко // Труды Средневолжского математического общества. - 2006 - Т. 8. - № 1. -С 13-23

4 Филиппов, А В. Дискретные модели продолжения потенциальных полей / А В Филиппов, И. В Бойков, А. И Бойкова, В И Крючко // Геофизический журнал -2007 -Т. 29 -Вып. № 4 - С 67-82.

5 Филиппов, А В. Оптимальные методы продолжения потенциальных полей и их приложение к решению обратных задач теории потенциала / А. В Филиппов, И. В Бойков // Труды Средневолжского математического общества. - 2007. - Т. 9. - № 1 - С 106-116

6 Филиппов, А В Повышение точности приближенного вычисления поверхностных интегралов / А. В Филиппов, И. В. Бойков //

Надежность и качество : тр. Междунар симп. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2006 - С 297-298.

7 Филиппов, А В Приближенные методы продолжения стационарных электромагнитных полей / А В. Филиппов // Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем : тр. I Междунар науч -техн конф - Пенза, 2006. -С. 3-6.

8. Филиппов, А. В Геометрическое моделирование шероховатых поверхностей в задачах потенциальных полей / А. В. Филиппов // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем . тр I Междунар науч -техн конф -Пенза, 2007 - С 128-131.

9. Филиппов, А В Приближенное решение задачи локализации источников потенциальных полей / А В. Филиппов // Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем. тр П Междунар науч -техн конф. - Пенза, 2007. - С. 18-21

Филиппов Алексей Викторович

Численное моделирование задач электродинамики и гравиразведки на основе интегральных представлений Коши и Стрэттона-Чу

Специальность 05 13 18-Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Редактор Н Ю Пшеницына Технический редактор Н А Вьялкова Корректор С Н Сухова Компьютерная верстка Р Б Бердниковой

ИД№ 06494 от 26 12 01

Сдано в производство 18 10 07 Формат 60x845/16 Бумага писчая Печать офсетная Уел печ л 1,16 _Заказ № 576 Тираж 100_

Издательство Пензенского государственного университета 440026, Пенза, Красная, 40

Введение

1 Постановка задачи, обзор и вспомогательные утверждения

1.1 Постановка задачи.

1.1.1 Постановка прямой задачи теории потенциала

1.1.2 Постановка обратной задачи теории потенциала

1.1.3 Постановка задачи оптимизации вычислений интегралов

1.1.4 Постановка задачи оптимизации вычислений интегралов от скалярной функции нескольких переменных

1.1.5 Постановка задачи оптимизации вычислений интегралов от векторной функции нескольких аргументов

1.1.6 Постановка задачи обеспечения электромагнитной совместимости

1.2 Классы функций.

1.3 Обзор приближенных методов вычисления интегралов типа Коши и Стрэттона-Чу.

1.4 Представление потенциальных полей.

1.4.1 Представление гравитационных полей.

1.5 Представление электромагнитных полей.

1.5.1 Монохроматическое электромагнитное поле.

1.5.2 Стационарное электромагнитное поле.

1.5.3 Формулы Стрэттона-Чу как аналог формулы Коши.

1.5.4 Физическая интерпретация формул Стрэттона-Чу.

1.5.5 Интегралы типа Стрэттона-Чу.

1.5.6 Модифицированные интегралы типа Стрэттона-Чу

1.5.7 Свойства интегралов типа Стрэттона-Чу.

1.6 Обеспечение электромагнитной совместимости.

1.6.1 Электромагнитное экранирование.

1.6.2 Требования, предъявляемые к экранам.

1.6.3 Задачи, решаемые при проектировании экранов

2 Приближенные методы вычисления интегралов типа Ко-ши и Стрэттона-Чу

2.1 Вычисление интегралов типа Коши

2.1.1 Кубатурные формулы на классе функций Наа(А)

2.1.2 Кубатурные формулы на классе функций Wrr( 1)

2.2 Вычисление интегралов Стрэттона-Чу.

2.2.1 Интеграл Стрэттона-Чу как аналог интеграла Коши

2.2.2 Вычисление интегралов на поверхностях Ляпунова

3 Восстановление и разделение полей

3.1 Оптимальные методы восстановления функций, предста-вимых интегралами типа Коши и Стрэттона-Чу.

3.1.1 Постановка задачи.

3.1.2 Гладкость многомерных сингулярных интегралов

3.1.3 Оптимальные методы восстановления функций из классов Qr^(Q,M), BTi7(Q,M).

3.1.4 Оптимальные по порядку кубатурные формулы

3.2 Восстановление потенциальных полей.

3.2.1 Постановка задачи.

3.2.2 Вычислительная схема.

3.2.3 Оценка погрешности.

3.3 Восстановление электромагнитных полей.

3.3.1 Постановка задачи.

3.3.2 Вычислительная схема.

3.3.3 Оценка погрешности.

3.4 Разделение потенциальных полей.

3.4.1 Постановка задачи.

3.4.2 Аналитическое решение задачи.

3.4.3 Вычислительная схема.

3.4.4 Оценка погрешности на классе Наа( 1).

3.4.5 Оценка погрешности на классе Wrr( 1).

3.5 Разделение электромагнитных полей.

3.5.1 Постановка задачи.

3.5.2 Вычислительная схема.

3.5.3 Оценка погрешности.

4 Продолжение полей

4.1 Продолжение потенциальных полей.

4.1.1 Постановка задачи.

4.1.2 Вычислительная схема.

4.1.3 Оценка погрешности на классе Наа( 1).

4.1.4 Оценка погрешности на классе Wrr( 1).

4.2 Продолжение электромагнитных полей.

4.2.1 Постановка задачи.

4.2.2 Вычислительная схема.

4.2.3 Оценка погрешности.

4.3 Алгоритм дискретного продолжения потенциальных полей

4.3.1 Постановка задачи.

4.3.2 Вычислительная схема.

4.3.3 Оценка погрешности.

4.4 Локализация источников поля

4.4.1 Постановка задачи.

4.4.2 Вычислительная схема.

4.5 Восстановление функции распределения зарядов.

4.5.1 Постановка задачи.

4.5.2 Вычислительная схема.

4.6 Решение обратной задачи теории потенциала.

4.6.1 Постановка задачи.

4.6.2 Вычислительная схема.

Актуальность темы. При решении многочисленных задач создания и эксплуатации радиоэлектронной аппаратуры, цифровых микросхем, используемых в составе цифровых устройств обработки, передачи и защиты информации, возникает принципиальная задача защиты аппаратуры от влияния помехонесущих полей.

Для защиты от влияния помехонесущего поля, в ряде задач - для защиты от утечки информации через помехонесущее поле, применяются экраны. Для оценки эффективности применяемых экранов нужно решить ряд технических задач, и в первую очередь задачу определения глубины проникновения электромагнитного поля в материал экрана для различных видов экранов.

К настоящему времени не разработаны эффективные численные методы моделирования подобных задач. Разработка этих методов составляет первый круг задач, рассматриваемых в диссертации.

Ко второму кругу задач относятся прямые и обратные задачи гра-виразведки в трехмерной постановке. В настоящее время достаточно подробно исследованы задачи гравиметрии в двумерной постановке и получен ряд теоретических результатов в трехмерной постановке. Однако до сих пор отсутствуют методы численного моделирования многих важнейших задач гравиразведки: восстановление потенциальных полей, продолжение потенциальных полей и разделение потенциальных полей.

Описанные выше проблемы связаны между собой одним математическим аппаратом - интегралами типа Коши и Стрэттона-Чу и интегральными уравнениями с этими интегралами. В работе предлагается общий подход к решению указанных выше задач: моделирование электромагнитных и потенциальных полей интегралами типа Коши и Стрэттона-Чу и интегральными уравнениями с интегралами Коши и Стрэттона-Чу.

К настоящему времени не известны работы, посвященные численному моделированию задач продолжения и восстановления электромагнитных и потенциальных полей в трехмерном случае, а также не известны численные методы решения интегральных уравнений с интегралами типа Коши и Стрэттона-Чу.

Разработке, обоснованию и программной реализации численных алгоритмов решения перечисленных проблем посвящена данная диссертация, что и определяет её актуальность.

Цель и задачи исследования. Целью исследования является разработка алгоритмов численного моделирования потенциальных и электромагнитных полей на основе аппарата интегральных представлений Коши и Стрэттона-Чу Результатом исследования должно стать решение следующих задач, имеющих большое теоретическое и практическое значение:

• построение алгоритма локализации источников потенциальных и электромагнитных полей;

• построение алгоритма решения обратной задачи теории потенциала;

• построение и программная реализация алгоритмов, позволяющих производить оптимизацию конструкций электромагнитных экранов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

• построить оптимальные по порядку кубатурные формулы вычисления интегралов типа Коши и Стрэттона-Чу на классе гладких функций и классе Гёльдера;

• построить численный алгоритм вычисления интегралов типа Коши и Стрэттона-Чу, заданных на поверхностях Ляпунова;

• построить численные алгоритмы восстановления, продолжения и разделения потенциальных электростатических и гравитационных, и стационарных электромагнитных полей, представимых интегралами типа Коши и Стрэттона-Чу.

Методы исследования. В работе использованы методы функционального анализа, решения краевых задач, теории функций комплексного переменного, проекционные методы, теория приближения функций, теория интегральных уравнений, методы оптимизации.

Достоверность научных положений подтверждается соответствием теоретических результатов результатам математического моделирования тестовых задач.

Научная новизна работы состоит в следующем:

• построены кубатурные формулы вычисления интегралов типа Ко-ши и Стрэттона-Чу на классе Гёльдера и классе гладких функций. Полученные кубатурные формулы отличаются оптимальностью по порядку, что позволяет моделировать структуру потенциальных и стационарных электромагнитных полей с заранее заданной точностью при наименьшей априорной информации о граничных значениях;

• предложен и обоснован численный алгоритм вычисления интегралов типа Коши и Стрэттона-Чу, заданных на поверхностях Ляпунова. Построенный алгоритм отличается возможностью вычисления интегралов, заданных на трехмерных поверхностях, удовлетворяющих условиям Ляпунова;

• предложены и обоснованы численные алгоритмы восстановления, продолжения и разделения потенциальных и стационарных электромагнитных полей, представимых интегралами типа Коши и Стрэттона-Чу, и используемых для моделирования помехонесущих полей внутри и вне области экранирования, а также для оценки эффективности экранирования;

• предложен и обоснован алгоритм дискретного продолжения потенциальных полей с плоскости в рассматриваемую область, отличающийся от существующих меньшим объемом необходимых начальных данных.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Теоретическая ценность заключается в следующем:

• построены оптимальные по порядку кубатурные формулы вычисления интегралов типа Коши и Стрэттона-Чу на классе гладких функций и классе Гёльдера, позволяющие моделировать структуру потенциальных и стационарных электромагнитных полей с заранее заданной точностью при наименьшей априорной информации о граничных значениях;

• предложен и обоснован численный алгоритм вычисления интегралов типа Коши и Стрэттона-Чу, заданных на поверхностях Ляпунова, который позволяет производить расчеты на трехмерных поверхностях, удовлетворяющих условиям Ляпунова, и ограничивающих тела сложной геометрической формы;

• предложены и обоснованы численные алгоритмы восстановления, продолжения и разделения потенциальных и стационарных электромагнитных полей, представимых интегралами типа Коши и Стрэтто-на-Чу. Для предложенных алгоритмов получены оценки вычислительных погрешностей и показана их оптимальность по порядку;

• предложен и обоснован алгоритм дискретного продолжения потенциальных полей с поверхности в рассматриваемую область, отличающийся от существующих меньшим объемом необходимых начальных данных;

• разработаны параллельные численные алгоритмы продолжения потенциальных электростатических и гравитационных полей, позволяющие повысить скорость вычислений.

Практическая ценность работы заключается в следующем:

• разработаны и численно реализованы вычислительные алгоритмы, позволяющих решать прикладные задачи теории потенциала в трехмерной постановке: 1) локализация источников потенциального поля; 2) восстановление функции распределения источников потенциального поля; 3) решение обратной задачи теории потенциала со свободной границей. Предложенные алгоритмы позволяют повысить эффективность при решении большого числа технических задач, например, при проведении гравиразведки;

• разработан пакет прикладных программ: 1) вычисление интегралов типа Коши и Стрэттона-Чу на классе гладких функций и классе Гёльдера; 2) восстановление потенциальных и электромагнитных полей, которые описываются интегралами типа Коши и Стрэттона-Чу; 3) разделение потенциальных и электромагнитных полей; 4) продолжение потенциальных и электромагнитных полей. Программы, входящие в пакет, реализуют численные алгоритмы, полученные в диссертации, и могут применяться для оптимизации конструкции электромагнитных экранов.

Основные положения, выносимые на защиту:

• способ численного моделирования потенциальных и стационарных электромагнитных полей, заключающийся в представлении полей интегралами типа Коши и Стрэттона-Чу, что позволяет аппроксимировать указанные поля вне области задания граничных условий;

• численный алгоритм вычисления интегралов типа Коши и Стрэттона-Чу, заданных на поверхностях Ляпунова, применение которого позволяет моделировать помехонесущие поля вблизи поверхности электромагнитного экрана сложной геометрической формы;

• численные алгоритмы восстановления, продолжения и разделения потенциальных и стационарных электромагнитных полей, предста-вимых интегралами типа Коши и Стрэттона-Чу. Применение перечисленных алгоритмов позволяет моделировать помехонесущие поля внутри и вне области экранирования, оценивать эффективность экранирования;

• оптимальные по порядку кубатурные формулы вычисления интегралов типа Коши и Стрэттона-Чу, позволяющие моделировать структуру потенциальных и стационарных электромагнитных полей с заранее заданной точностью.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 9 печатных работ.

Апробация. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

- Международном симпозиуме «Надежность и качество» (г. Пенза, 2006г.)

- 33 сессии Международного семинара им. Д.Г. Успенского «Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» (г. Екатерининбург, 2006г.)

- VII-й Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (г. Саранск, 2006г.);

- 1-ой Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (г. Пенза, 2006г.)

- 1-ой Международной научно-технической конференции «Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем» (г. Пенза, 2007г.)

- Н-ой Международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем» (г. Пенза, 2007г.)

Пакет прикладных программ «Вычисление интегралов типа Коши и Стрэттона-Чу», реализующих алгоритмы, разработанные в диссертации, зарегистрирован в Отраслевом фонде алгоритмов и программ (ОФАП). Выдано «Свидетельство об отраслевой регистрации разработики» за № 7590 (номер государственной регистрации: 50200700221, 31 января 2007).

Пакет прикладных программ «Вычисление интегралов типа Коши и Стрэттона-Чу» используется в производственной деятельности ООО НПП «Криптософт» (акт о внедрении прилагается к диссертации).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Построен численный алгоритм моделирования потенциальных и стационарных электромагнитных полей, представимых интегралами типа Коши и Стрэттона-Чу. Алгоритм основан на применении оптимальных по порядку кубатурных формул вычисления интегралов типа Коши и Стрэттона-Чу, полученных для класса гладких функций и класса Гельдера, что позволяет производить численное моделирование с заранее заданной точностью.

2. Предложен численный алгоритм моделирования потенциальных и стационарных электромагнитных полей, представимых интегралами типа Коши и Стрэттона-Чу, заданными на произвольных замкнутых поверхностях Ляпунова. Алгоритм основан на аппроксимации оригинальной поверхности, удовлетворяющей условиям Ляпунова, кусочно-линейной поверхностью, что позволяет производить численное моделирование на трехмерных поверхностях, ограничивающих тела сложной геометрической формы.

3. Предложены численные алгоритмы восстановления, продолжения и разделения потенциальных и стационарных электромагнитных полей. Для данных алгоритмов получены оценки вычислительных погрешностей и показана их оптимальность по порядку, что позволяет применять их для моделирования помехонесущих полей внутри и вне области экранирования, и оценивать эффективность экранирования.

4. Предложен алгоритм дискретного продолжения потенциальных полей с плоскости в рассматриваемую область, отличающийся от существующих меньшим объемом необходимых начальных данных.

5. Предложены численные алгоритмы решения прямых и обратных задач теории потенциала в трехмерной постановке, моделирующих структуру потенциальных и стационарных электромагнитных полей. Применение данных алгоритмов позволяет повысить эффективность при решении большого числа технических задач, например, при проведении гравиразведки.

6. Разработан пакет прикладных программ, реализующий численные алгоритмы, полученные в диссертации, и позволяющий производить численное моделирование структуры потенциальных и стационарных электромагнитных полей. Программы, входящие в пакет, могут применяться для оптимизации конструкции экранов.

Заключение

В заключении обобщены основные результаты теоретических и практических исследований.

1. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. Под ред. К.И. Бабенко -М.: Наука, 1979.-196 с.

2. Бабенко К.И. Асимптотически точная оценка остатка наилучших для некоторых классов функций кубатурных формул // Математические заметки. 1976. - Т. 19. - N 3. - С. 313 - 322.

3. Бабенко К.И. Несколько замечаний о приближении функций многих переменных. //Мат. сборник. -1971. -T.86.N4. -С.179-180.

4. Бабенко К.И. О некоторых задачах теории приближений и численного анализа. //Успехи мат. наук. -1985. -Т.40. Вып.1. -С.3-28.

5. Бахвалов Н.С. Численные методы.- М.: Наука. 1973. 632 с.

6. Бенерджи П. Метод граничных элементов в прикладных задачах П. Бенерджи, Р. Батерфилд.- М.: Мир. 1984. -494 с.

7. Битюков Ю.И. Моделирование кривых и поверхностей с помощью кубических В-сплайнов. //Московский государственный университет. Электронный журнал "Прикладная геометрия". Выпуск 7, No 14 (2005), стр 1-27.

8. Бойков В.И. О вычислении сингулярных интегралов, встречающихся в задачах гравиметрии. //Методы обработки гравмиетрической информациии. -М.: Институт физики Земли АН СССР.-1978.-С.71-80.

9. Бойков В.И. Оптимальные по точности алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. -Саратов: Издательство Са-рат.Госуд.Университета, 1983. -210с.

10. Войков И.В. Аппроксимация некоторых классов функций локальными сплайнами // Журнал выч. мат. и мат. физики. 1998, Т 38, N 1, с. 25-33.

11. Бойков И.В. Оптимальные алгоритмы восстановления функций и вычисления интегралов на одном классе бесконечно дифференцируемых функций // Изв. вузов. Математика. 1998. N 9, с. 14-20.

12. Бойков И.В. Оптимальные по точности алгоритмы вычисления интегралов. //Оптимальные методы вычислений и их применение: Меж-вуз. сб. науч. тр. Пенза: Пенз. политехи, ин-т, 1987. -Вып.8 -С.14-22.

13. Бойков И.В., Бойкова А.И. Оптимальные методы восстановления потенциальных полей. //Известия РАН. Физика Земли. 1998, N8, с. 70-78.

14. Бойков И.В., Бойкова А.И. Оптимальные по точности методы восстановления потенциальных полей. I //Известия РАН. Физика Земли. 2001, No 12, С. 78-89.

15. Бойков И.В., Бойкова А.И. Оптимальные по точности методы восстановления потенциальных полей. II // Известия РАН. Физика Земли. 2003, No 3, С. 87-93.

16. Бойков И.В., Бойкова А.И. Оптимальные методы представления потенциальных полей // Известия РАН. Физика Земли. 2003, No 4. С. 68-76.

17. Бойков И.В. Пассивные и адаптивные алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Часть 1 Изд-во Пенз ГТУ г.Пенза 1995. 214 с.

18. Бойков И.В. Пассивные и адаптивные алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Часть 2 Изд-во Пенз ГТУ г.Пенза 1995.

19. Бойков И.В. Добрынина Н.Ф. Домнин JI.H. Приближенные методы вычисления интегралов Адамара и решения гиперсингулярных интегральных уравнений. Изд-во Пенз ГТУ г.Пенза 1996. 188 с.

20. Бойков И.В., Блинкова Н.Ю. Метод сингулярных интегральных уравнений в задачах аналитического продолжения. //Геофизический журнал. 2000. № 1.

21. Бойков И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений. Издательство ПГУ. 2004. 316 с.

22. Бойков И.В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Часть первая. Сингулярные интегралы. Пенза: Издательство Пензенского государственного университета. 2005. 360 с.

23. Бойков И.В., Филиппов А.В. Повышение точности приближенного вычисления поверхностных интегралов. //Труды Международного симпозиума "Надежность и качество", г.Пенза, Изд-во Пенз. гос. унта, 2006.- С. 297-298.

24. Бойков И.В., Бойкова А.П., Крючко В.П., Филиппов А.В. Оптимальные методы восстановления геофизических полей и их приложение к разделению потенциальных полей. //Труды Средневолж-ского математического общества. 2006. Т.8, № 1. С.13-23.

25. Бойков И.В., Бойкова А.П., Крючко В.П., Филиппов А.В. Приближенное решение обратной задачи теории потенциала. //Известие вузов. Поволжский регион. 2006. Выпуск №6. С. 54-63.

26. Бойков И.В., Бойкова А.И., Крючко В.И., Филиппов А.В. Дискретные модели продолжения потенциальных полей. //Геофизический журнал 2007. Том 29, выпуск №4. С. 67-82.

27. Бойков И.В., Филиппов А.В. Оптимальные методы продолжения потенциальных полей и их приложение к решению обратных задач теории потенциала. //Труды Средиеволжского математического общества. 2007. Т.9, № 1. С. 106-116.

28. Гвирц М.А. Моделирование поверхностей, заданных точечным базисом, по прямоугольной и сотовой сеткам. //Московский государственный университет. Электронный журнал "Прикладная геометрия". Выпуск 7, No 17 (2005), стр 1-36.

29. Гласко В.Б., Остромогилъный А.Х., Филатов В.Г. О восстановлении глубины и формы контактной поверхности на основе регуляризации //ЖВМ и МФ. 1970.-Т10.,- 5.- С.1292-1297

30. Голъдфайн И.А. Векторный анализ и теория поля. Москва, Наука, 1968. -128с.

31. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М.: ГИТТЛ. 1953. 415 с.

32. Дзядык В.К. Аппроксимационные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. Киев, Наукова думка, 1988. 302с.

33. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. Москва, Наука, 1977. 512с.

34. Жданов М.С. Аналоги интеграла типа Коши в теории геофизических полей. М.: Наука. 1984. 327с.

35. Иванов В. В. Приближенное вычисление сингулярных интегралов //Тр. Новочеркасск, политех, университета. -1958. -Т.67(81). -С.75-86.

36. Иванов В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному рашению сингулярных интегральных уравнений. -Киев: Наук. думка, 1968. -287с.

37. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатских С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М: Наука. 1980. 288с.

38. Лебедев В.И., Бабурин O.D. О вычислении интеграла в смысле главного значния, весов и узлов квадратурных формул Гаусса. //Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965.-Т5, ДОЗ.-С454-462.

39. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва, Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. -624с.

40. Колтон Д. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. Д. Колтон, Р. Кресс М.: Мир, 1987. - 311 с.

41. Красносельский М.А., Вайникко Г.М. и другие Приближенное решение операторных уравнений.

42. Гравиразведка. Справочник геофизика. Под редакцией Е.А. Мудре-цовой, К.Е. Весёлова, М: Недра, 1990. 607с.

43. Никольский С.М. Квадратурные формулы. М.: Наука, 1979. 254с.

44. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия. Введение. Пер. с англ. М.: Мир, 1989. 478с.

45. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. Интегралы и ряды. М.:Наука. 1981.- 800 с.

46. Обломская Л.Я. О методах последовательных приближений для линейных уравнений в банаховых пространствах. //ЖВМ и ВМД968. Т.8,- 2.- С.417 - 426.

47. Скворцов А.В. Обзор алгоритмов построения триангуляции Делоне //Вычислительные методы и программирование. 2002. Т.З.

48. Скворцов А.В., Костюк Ю.Л. Применение триангуляции для решения задач вычислительной геометрии //Геоинформатика: Теория и практика. Вып.1 Томск., 1998, стр 127-138.

49. Скворцов А. В., Костюк Ю. Л. Эффективные алгоритмы построения триангуляции Делоне //Геоинформатика. Теория и практика. Выпуск 1. Томск: Издательство Томского университета, 1998. 22-47.

50. Сретенский JI.H. Теория ньютоновского потенциала. Гостехиздат. 1946.- 318с.

51. Старостенко В.И., Черная Н.Н., Черный А.В. Обратная задача гравиметрии для контактной поверхности.// Изв. РАН. Физика Земли. 1992, 6,- с.48-56

52. Старостенко В.И., Черная Н.Н., Черный А.В. Обратная задача гравиметрии для контактной поверхности.// Изв.РАН. Физика Земли. 1993, 7,- с.47-56

53. Старостенко В.И., Черная Н.Н., Черный А.В. Обратная задача гравиметрии для контактной поверхности.// Изв.РАН. Физика Земли. 1993, 7, с.57-66

54. Страхов В.Н., Гванцеладзе Т.А. О решении линейных обратных задач гравиметрии. //Сообщ. АН ССР. т.ЗЗ, 2. - 1989. - С.289 - 292

55. Страхов В.Н. Третья парадигма в теории и практике интерпретации потенциальных полей (гравитационных и магнитных аномалий) Часть I. //Электронный научно-информационный журнал. Вестник ОГГГГ РАН М.: 1997, N1. с. 163-198.

56. Страхов В.Н. Третья парадигма в теории и практике интерпретации потенциальных полей (гравитационных и магнитных аномалий) Часть II. //Электронный научно-информационный журнал. Вестник ОГГГГ РАН М.: 1997, N2. С. 56-82.

57. Страхов В.Н. Третья парадигма в теории и практике интерпретации потенциальных полей (гравитационных и магнитных аномалий) Часть III. //Электронный научно-информационный журнал. Вестник ОГГГГ РАН М.: 1998,Nl.c.l00-152.

58. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука.

59. Тихонов А.Н., Гласко В.В. О приближенном решении интегральных уравнений Фредгольма первого рода.// ЖВМ и МФ. -1964.- Т.4 , 3.-С.564-571

60. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. Применение метода регуляризации в нелинейных задачах//ЖВМ и МФ.- 1965.-Т.5, 3.-С.463-473.

61. Филатов В. Г. Применение метода Тсубои в обратных задачах грави-разведки.// Прикладная геофизика.-Вып.68.М.:Недра.1972.- С.147-152.

62. Филиппов А.В. Приближенные методы продолжения стационарных электромагнитных полей. Труды 1-ой международной научно-технической конференции «Аналитические и численные методы моделирования естественнонаучных и социальных проблем». Пенза,2006. С. 3-6.

63. Kress Rainer, Rundell William, 2005 Nonlinear integral equation and the iterative solution for an inverse boundary value problem. Inverse Problem 21, S.1207-1223.

64. Apricio N.D. and Pidcock M. K., 1996 The boundary inverse problem for the Laplace equation in two dimensions. Inverse Problems 12, S.565-77.

65. Banks H.T. and Kojima F., 2000 Boundary shape identification in two-dimensional electrostatic problems using SQUIDs J. Inverse Ill-posed Problem 8, S.467-502.

66. Bryan K. and Kallel M., Leblond J. and Marmorat J-P, 2002 Line segment crack recovery from incomplete boundary measurements. The case of multiple cracks Int. J.Eng. Sci. 32, S.579-603.

67. Fasino D. and Inglese G., 1999 Discrete methods in the study if an inverse problem for Laplace's equation IMA J. Numer. Anal. 19, S.105-18

68. Каир P.G. and Santosa F and Bogelius M., 1996 Method for imaging corrosion damage in thin plates from electrostatic data. Inverse Problems 12, S.279-93.