автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели и алгоритмы решения прямых и обратных задач гравиразведки

На правах рукописи

РЯЗАНЦЕВ Владимир Андреевич

МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГРАВИРАЗВЕДКИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 СЕН 2015

ПЕНЗА 2015

Работа выполнена на кафедре высшей и прикладной математики Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет».

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор

Бойков Илья Владимирович

Официальные оппоненты: Данилов Александр Максимович,

доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет архитектуры и строительства» (г. Пенза), заведующий кафедрой математики и математического моделирования;

Сизиков Валерий Сергеевич,

доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики» (г. Санкт-Петербург), профессор кафедры сенсорики

Ведущая организация - ФГБОУ ВПО «Мордовский

государственный университет им. Н. П. Огарева» (г. Саранск)

Защита диссертации состоится 1 октября 2015 г., в '/^часов. на заседании диссертационного совета Д 212.186.04 в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» по адресу: 440026, г. Пенза, ул. Красная, 40.

С диссертацией и авторефератом можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет» и на сайте: http://dissov.pnzgu.ru/ecspertiza/ryazancev

Автореферат разослан «19 » СХцЬиПгиХ 2015 г.

Ученый секретарь —

диссертационного совета Косников Юрий Николаевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Гравиразведка представляет собой комплекс методов, предназначенных для анализа строения коры Земли и поиска и исследования залежей полезных ископаемых на основе измерений различных характеристик аномального поля, создаваемого распределениями притягивающих масс. Значение этих методов особенно возросло в последние десятилетия благодаря появлению и развитию спутниковой градиен-тометрии, а также совершенствованию измерительных приборов, позволяющих регистрировать малые возмущения гравитационных полей.

Помимо точности измерительной техники, успешность применения гравиразведки к решению практических задач обусловливается эффективностью используемых, для интерпретации гравиметрических данных математических моделей и численных методов. В прямой задаче гравиразведки речь идет в первую очередь о построении достаточно точных и адекватных реальной геофизической практике математических моделей, связывающих основные параметры гравитирующего тела со значениями создаваемого этим телом поля силы тяжести, а также о построении численных алгоритмов определения гравитационных аномалий по заданным характеристикам распределения источников потенциального поля. Обратная задача гравиразведки заключается в определении параметров распределения гравитирующих масс по измерениям создаваемого этим распределением поля силы тяжести. Хорошо известно, что в настоящее время отсутствуют аналитические методы решения обратных задач в нелинейной постановке и единственным источником информации являются численные алгоритмы решения линеаризованных задач.

В настоящее время наиболее хорошо разработанными и часто используемыми в гравиразведке являются линейные математические модели, накладывающие существенные ограничения на точность решения прикладных проблем. Поэтому значительный интерес представляет построение нелинейных моделей, более адекватных реальной геофизической практике и описывающих более широкие классы задач геофизики.

Фундаментальное значение для современной гравиразведки играет такое свойство обратной задачи, как ее некорректность, обусловливающая значительные трудности при ее решении. Эти трудности связаны с возможной неединственностью решения обратной задачи при одинаковых входных данных, а также с чувствительностью решения задачи к малым колебаниям заданных характеристик гравитационного поля. Теория некорректно поставленных задач начала активно развиваться с исследований А. Н. Тихонова и получила дальнейшее развитие в работах В. К. Иванова и М. М. Лаврентьева. В развитие теории решения некорректно поставленных задач большой вклад внесли В. Я. Арсенин, А. Б. Бакушинский, В. Г. Васильев, В. В. Васин, В. В. Воеводин, В. Б. Гласко, А. В. Гончарский, О. А. Лис-ковец, Г. И. Марчук, В. А. Морозов, В. Н. Страхов, В. П. Танана, А. Г. Ягола и др. Важнейшие результаты в области решения обратных задач гравираз-

ведки были получены такими учеными, как 3.3. Арсанукаев, В. М. Березкин, Ю. И. Блох, Е. Г. Булах, Г. М. Воскобойников, В. Б. Гласко, Г. Я. Голиздра, М. С. Жданов, А. А. Заморев, А. И. Кобрунов, А. К. Маловичко, П. С. Мар-тышко, Е. А. Мудрецова, П. С. Новиков, Б. В. Нумеров, С. М. Оганесян, И. Л. Пруткин, В. И. Старостенко, В. Н. Страхов, В. Г. Чередниченко, А. Ф. Шестаков, A. Bethencourt, M. Commer, О. L. Colombo, T. Gerya, D. P. Hajela, D. J. Hofsommer, M. H. Payne, F. Sanso и др.

Тем не менее, несмотря на большой объем исследований, проведенных учеными различных стран, многие вопросы численного моделирования прямых и обратных задач гравиразведки остались неисследованными. В частности, в связи с бурным развитием вычислительной техники чрезвычайно актуальной является потребность в разработке достаточно точных и устойчивых численных алгоритмов решения обратной задачи гравиразведки. В связи с этим активно развивается новый подход к решению прямых и'обратных задач гравиразведки, предложенный В. Н. Страховым и заключающийся в построении дискретных аппроксимаций потенциальных полей и последующей алгебраизации решаемой задачи. В рамках этого подхода, в частности, огромное прикладное значение приобретает применение к решению геофизических задач аппарата теории разностных схем вследствие его относительной простоты и легкости его программной реализации.

В настоящее время отсутствуют аналитические и численные методы одновременного определения области, занимаемой телом, вызывающим возмущения силы тяжести, плотности этого тела и глубины его залегания.

Принципиальной и чрезвычайно актуальной для современной геофизики является проблема разработки устойчивых разностных методов продолжения потенциальных полей, создаваемых локальными источниками.

Наконец, на сегодняшний день большое значение для геологоразведочной практики имеет задача разработки оптимальных методов размещения измерительной аппаратуры при исследовании потенциальных, магнитных и тепловых полей.

В последние десятилетия в различных областях физики и техники активно исследуются эредитарные процессы, позволяющие обнаружить новые закономерности, связанные с эффектом последействия. Подобные исследования в рамках гравиразведки ранее не проводились.

Тем самым разработка точных, эффективных и быстродействующих алгоритмов решения прямой и обратной задач гравиразведки в различных постановках является актуальной задачей.

Цель диссертационной работы - повышение точности, быстродействия и устойчивости решения прямых и обратных задач гравиразведки за счет разработки математических моделей, алгоритмов численной реализации этих .моделей и методик исследования их точности и устойчивости.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Проанализировать основные результаты, полученные в области исследования прямых и обратных задач гравиразведки.

2. Разработать методику построения математических моделей одновременного восстановления формы тела, его плотности и глубины залегания по создаваемым им гравитационным полям.

3. Разработать аналитический метод и численные алгоритмы одновременного восстановления формы тела, его плотности и глубины залегания по создаваемым им гравитационным полям.

4. Разработать оптимальные алгоритмы аппроксимации потенциальных и тепловых полей.

5. Разработать методику построения оптимальных алгоритмов размещения измерительной аппаратуры при исследовании потенциальных и тепловых полей.

6. Разработать численные алгоритмы продолжения потенциальных полей и локализации вызвавших их источников.

7. Разработать методику исследования устойчивости математических моделей и численных методов решения обратных задач гравиразведки.

Методы исследований. Основные результаты диссертационной работы получены с использованием методов математического моделирования, функционального анализа, численных методов, методов теории устойчивости по Ляпунову, методов математической физики и информационных технологий.

Соответствие паспорту специальности. Диссертация выполнена в соответствии с требованиями специальности 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Области исследования: 1) разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений; 2) развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей; 3) разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий и 5) комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Разработана методика построения нелинейных математических моделей обратных задач гравиразведки для контактных поверхностей в двухмерном и трехмерном случаях.

2. Разработан аналитический метод одновременного восстановления формы, плотности и глубины залегания гравитирующего тела по заданным значениям гравитационного поля или его производных.

3. Разработаны численные алгоритмы одновременного восстановления формы, плотности и глубины залегания гравитирующего тела по заданным значениям гравитационного поля или его производных.

4. Разработан численный алгоритм оптимальной аппроксимации тепловых полей.

5. Разработаны устойчивые разностные схемы восстановления потенциальных и тепловых полей, положенные в основу построения оптималь-

ных алгоритмов размещения измерительной аппаратуры при исследовании упомянутых полей.

6. Разработана методика исследования устойчивости математических моделей, описываемых параболическими и гиперболическими уравнениями, в том числе уравнениями с дробными производными.

Практическая значимость работы. Разработан программный комплекс, в рамках которого реализованы адаптивные разностные схемы продолжения потенциальных и тепловых полей, а также численный алгоритм одновременного определения плотности и формы гравитирующего тела при решении задачи потенциала.

Разработанные алгоритмы оптимальной аппроксимации тепловых полей и программный комплекс, используемые при конструировании измерительных преобразователей, позволяют на 10 % повысить точность преобразователей и на 15-20 % ускорить процесс проектирования. Разработанная методика оптимального размещения измерительной аппаратуры позволяет существенно сократить время проведения поисковых работ в геофизике и снизить на 15-20 % их стоимость.

Достоверность и обоснованность результатов, сформулированных в диссертации, обеспечены корректным использованием математических методов и сопоставлением теоретических утверждений с результатами тестовых экспериментов, а также регистрацией разработанного комплекса программ.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Аналитический метод одновременного восстановления формы гра-витирующего тела, его плотности и глубины залегания по заданным характеристикам аномального потенциального поля на поверхности Земли или вблизи нее.

2. Численные алгоритмы решения задачи одновременного восстановления формы гравитирующего тела, его плотности и глубины залегания по заданным характеристикам аномального потенциального поля на поверхности Земли или вблизи нее.

3. Оптимальные по точности алгоритмы дискретных аппроксимаций физических (потенциальных и тепловых) полей и их использование для оптимального размещения измерительной аппаратуры.

4. Методика построения устойчивых разностных схем восстановления теплового и потенциального полей, основанных на использовании неравномерных сеток, и их применение к продолжению потенциальных полей.

5. Критерии устойчивости разностных схем с неравномерными сетками узлов.

6. Критерии устойчивости решений дифференциальных уравнений в частных производных целых и дробных порядков.

7. Комплекс программ для расчета аппроксимации потенциальных полей и решения обратной задачи гравиразведки в двух- и трехмерной постановках.

Внедрение результатов работы и связь с научными программами.

Диссертационные исследования были проведены на кафедре высшей и прикладной математики факультета вычислительной техники ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет». Выбранная тема исследований является частью научной работы, которая проводится на кафедре в рамках научно-исследовательских работ, выполняемых по государственному заданию Минобрнауки РФ:

— «Оптимальные методы вычисления гиперсингулярных интегралов, решения гиперсингулярных интегральных уравнений и их применение к задачам аэродинамики, электродинамики и геофизики» (2005-2009), регистрационный номер 0120.0502705;

- «Аналитические и численные методы исследования динамических процессов в биосистемах и физической кинетике» (2010-2011), регистрационный номер 0120105992;

— «Численные методы анализа прямых и обратных задач переноса излучения на наноструктурах» (2012-2013), регистрационный номер 1.656.2011.

Результаты диссертационной работы используются в учебном процессе направления «Прикладная математика» при выборе тем курсовых и дипломных проектов.

Разработан программный комплекс (свидетельства № 2014663162 и № 2015610120 о государственной регистрации программы для ЭВМ) решения задачи восстановления потенциального поля на заданную глубину по заданным значениям потенциала на поверхности Земли, а также на некоторой высоте от поверхности. Указанный программный комплекс, использованный в исследовательской, производственной и проектно-конструкторской деятельности при исследовании и разработке перспективных для поисков полезных ископаемых районов и при оценке залежей углеводородного сырья, позволяет улучшить методы расчета и анализа источников возмущения полей силы тяжести.

Апробация диссертации. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на таких научных конференциях, как: X научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании» с участием зарубежных ученых (г. Саранск, 2012); VII Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем» (г. Пенза, 2012); VII Международная научно-техническая конференция молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем» (г. Пенза, 2013); VI Международная математическая школа-семинар им. Е. В. Воскресенского «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (г. Саранск, 2013); VIII Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем» (г. Пенза, 2013); 41-я сессия Международного семинара им. Д. Г. Успенского «Вопросы тео-

рии и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей» (г. Екатеринбург, 2014); VIII Международная научно-техническая конференция молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем» (г. Пенза, 2014); Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях» (г. Тамбов, 2014); XI научная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения в математическом моделировании» с участием зарубежных ученых (г. Саранск, 2014); IX Международная научно-техническая конференция «Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем» (г. Пенза, 2014); IX Международная научно-техническая конференция молодых специалистов, аспирантов и студентов «Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем» (г. Пенза, 2015); ежегодные научные конференции профессорско-преподавательского состава Пензенского государственного университета (2012—2015).

Личный вклад автора. Все основные результаты, представленные в диссертационной работе, сформулированы и получены автором самостоятельно. Работы [1-8, 12, 13] опубликованы в соавторстве с научным руководителем, которому принадлежат формулировка решаемой проблемы и концепция ее решения. В работе [9] автором предложен подход к анализу устойчивости решения систем уравнений с дробными производными. В работе [10] разработанный в цикле работ [3, 4, 13] адаптивный разностный метод продолжения физических полей распространен автором на решение уравнения Гельмгольца. В работах [11, 14] автором проведено обобщение методики исследования устойчивости систем дифференциальных уравнений в частных производных, изложенной в работах [1, 2, 5, 6, 8, 9]. В программном комплексе [15, 16] автором разработаны основные алгоритмы и составлены программные коды.

Публикации. По материалам диссертационного исследования опубликовано 16 работ, включая 4 работы в изданиях, рекомендованных ВАК РФ, и 2 свидетельства о регистрации программ для ЭВМ; 4 работы опубликовано без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав с выводами, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем работы составляет 159 страниц, из них 127 страниц основного текста, включая 19 рисунков. Список литературы содержит 224 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы; сформулированы цель и задачи; аргументирована научная новизна исследований; показана практическая значимость полученных результатов; перечислены методы исследования; приведены результаты, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена постановке решаемых в рамках диссертационной работы прямых и обратных задач гравиразведки, а также обзору основных методов их решения.

Проведен анализ развития теории и численных методов решения прямой и обратной задач гравиразведки, дана краткая история развития геофизики в целом и гравиразведки в частности, описано современное состояние гравиразведки, а также перечислены решаемые ею задачи.

Отмечено, что геофизика и, в частности, гравиразведка в настоящее время переживают третий этап развития, называемый этапом зрелой компьютерной эпохи.

Приведены постановки прямой и обратной задач гравиразведки, а также коротко описаны основные подходы к их решению.

Пусть на некоторой глубине под поверхностью Земли залегает грави-тирующее тело с известными характеристиками. Тогда прямая задача гравиразведки состоит в расчете параметров (напряженность поля, потенциал поля, его производные и т.д.) создаваемой гравитирующим телом аномалии силы тяжести в точках заданной пространственной области.

На сегодняшний день в области решения прямой задачи гравиразведки достигнуты значительные успехи, в частности, задача полностью решена для множества гравитирующих тел правильной геометрической формы, а также разработаны численные (в том числе графические) методы решения прямой задачи гравиразведки для тел произвольной формы.

Обратная задача гравиразведки определяется следующим образом: необходимо найти параметры гравитирующего тела (форму, плотность, глубину залегания), если известны характеристики создаваемой этим телом на (вблизи) поверхности Земли гравитационной аномалии. Вводится трехмерная декартова система координат с осью Ог, направленной вертикально вниз. Тогда зависимость параметров тела от значений поля силы тяжести определяется следующим интегральным уравнением:

-=0 -со Я-<Р(5,Т1) ((ЛГ - + (У - Т1) + (г - С) )

где С — гравитационная постоянная; /(х,у,г) — поле силы тяжести над поверхностью Земли; Н> О — глубина залегания тела; а(£,г|,£) - его плотность; <р(1;,т|) - функция, определяющая контактную поверхность тела.

Как правило, уравнение (1) приближенно заменяется линеаризованным уравнением

си]]--^лЖЫО--= (2)

((х-4)2 + О; - Г])2 + (Я - 2)2 )

и затем решается задача определения формы тела при известной плотности либо плотности тела при известной форме.

В связи с этим большую актуальность приобретают как задачи построения более точных нелинейных моделей обратной задачи гравираз-

ведки, так и задачи одновременного определения формы, плотности и глубины залегания тела по известным характеристикам потенциального поля.

Наиболее важным свойством обратной задачи, обусловливающим ее сложность, является некорректность. Поэтому определяющую роль при решении обратной задачи гравиразведки играют методы регуляризации, а также выделение классов единственности и устойчивости решений. Однако, несмотря на большое число результатов, эти проблемы до сих пор не решены.

В настоящее время чрезвычайно актуальной является задача разработки достаточно простых, эффективных и быстродействующих алгоритмов решения как прямых, так и обратных задач гравиразведки для тел произвольной формы и плотности. Одно из возможных решений указанной задачи предложено в рамках настоящей диссертационной работы.

Вторая глава посвящена разработке методов одновременного восстановления плотности, формы и глубины залегания гравитирующего тела при решении контактной задачи в двух- и трехмерном случаях.

Предложен аналитический метод и разработаны численные алгоритмы одновременного восстановления плотности, формы и глубины залегания гравитирующего тела в задачах логарифмического и ньютоновского потенциалов.

Метод основан на использовании предложенных в диссертационной работе нелинейных моделей теории потенциала. Входными данными являются характеристики гравитационного поля, заданные на поверхности Земли, а также вблизи нее.

Построение нелинейных моделей, предложенных в диссертации, основано на аппроксимации интегральной модели (1) обратной задачи гравиразведки следующей нелинейной моделью:

— ] ] ----3/2 <Мт\ = /{х,у,г), (3)

2-«-со ((д;-£)2 + 0/-71)2+(Я-г)2)

где Н - глубина залегания; а(£,т|) - плотность; <р(4,т!) - контактная поверхность гравитирующего тела; /(л,у,г) — поле силы тяжести над поверхностью Земли.

На основе уравнения (3) построены нелинейные математические модели задачи одновременного восстановления формы контактной поверхности, плотности и глубины залегания тела в виде систем нелинейных интегральных уравнений.

Эти математические модели описаны и исследованы для следующих видов исходных данных:

1. Значения поля силы тяжести и его первой и второй производных заданы на поверхности Земли.

2. Значения поля силы тяжести заданы на поверхности Земли, а также на высотах Л2 от поверхности.

3. Значения поля силы тяжести заданы на поверхности Земли, а для перехода к первому или второму случаям использованы численные методы.

Построение аналитического метода осуществлено в допущениях о том, что характеристики поля заданы аналитически на всей числовой прямой (в двухмерном случае) или плоскости (в трехмерном случае).

При этих предположениях к соответствующей системе интегральных уравнений применено преобразование Фурье, в результате чего получена система линейных уравнений с параметрами а>1,со2 в спектральной области относительно Фурье-образов С/1(а»1,са2)» ^2(ш1>ш2) неизвестных

функций м1(4,т1) = ст(5,т1)ф(5,л), «2й,Т1) = а(^г|)ф2(^Л)- в результате применения к решению указанной системы обратного преобразования Фурье найдены функции и2(^,г\), из которых затем выражены не-

известные функции ст(^,г|), <р(£,т|).

На основе описанного аналитического метода построены вычислительные алгоритмы решения задачи одновременного восстановления плотности, формы и глубины залегания гравитирующего тела.

На основе того, что характеристики потенциального поля заданы в виде конечного набора значений на (равномерной либо неравномерной) сетке узлов, преобразования Фурье предложено вычислять приближенно.

В результате вычисления преобразования Фурье в точках сои е Я2, £,/ = 0,Лг, осуществлен переход к системе линейных уравнений в спектральной области относительно Я, а, ф. Для их определения построен численный алгоритм. Для вычисления глубины залегания тела использована формула

, Л/-1ЛГ-1

Л X !>("«**/))•

М А=0 /=0

После подстановки в упомянутую ранее систему линейных уравнений в спектральной области найденного значения Я получена система линейных уравнений вида

относительно значений неизвестных функций а, ф. Поскольку эта система в общем случае плохо обусловлена, то для ее решения предложено использовать регуляризационный алгоритм, определяемый следующей итерационной формулой:

= + - ¿V)), » = 0,1,...,

где 0 < а, < а„ < а* < 1, у = -тг^—¡г и А* - матрица, сопряженная с А.

2\\А*А\\ '

Полученные теоретические результаты проиллюстрированы рядом модельных примеров, продемонстрировавших их эффективность при решении соответствующих геофизических задач.

Построенный численный алгоритм одновременного определения глубины залегания, формы и плотности гравитирующего тела и его реализация в виде программного комплекса, а также изложенные в третьей главе алгоритмы продолжения потенциальных полей в нижнее полупространство позволяют на 15-20 % сократить время поисковых геолого-разведочных работ и уменьшить их стоимость за счет высокой достоверности прогнозирования параметров гравитирующего тела.

Третья глава посвящена разработке устойчивых и оптимальных по точности (по порядку) разностных схем продолжения физических (потенциальных и тепловых) полей.

Описаны методика построения разностных схем для решения прямой и обратной задач гравиразведки, а также уравнения теплопроводности в двух- и трехмерном случаях.

В отличие от классических разностных схем решения уравнения Лапласа, расходящихся уже на третьем-четвертом расчетном слое, предложенные в работе адаптивные разностные схемы позволяют устойчиво восстанавливать потенциальные поля на заданную глубину. При этом узлы построенных в работе неравномерных сеток совпадают с узлами локальных сплайнов, обеспечивающих оптимальную по точности аппроксимацию физических полей.

Методика построения адаптивных схем основана на последовательном удвоении шагов по каждой из независимых переменных через каждые т расчетных слоев. С помощью этой методики в работе построены явные разностные схемы приближенного решения следующих задач:

1. Задача продолжения потенциального поля в верхнее и нижнее полупространства.

2. Задача распространения тепловых полей.

Предложенный алгоритм позволяет решать задачу восстановления потенциального поля в области

£> = {(*,у,г): -А<х<А, -А<у<А, 0<г<Н).

Для построения этого алгоритма в работе использована декартова система координат с осью Ог, направленной вниз. Распределение поля силы тяжести в заданной области вне гравитирующего тела описывается уравнением Лапласа

д2и д2и д*и п

—т + —7 + —=- = 0. (4)

дх2 ду2 дг2

В качестве исходных данных зафиксированы значения и(х,у, 0) гравитационного поля на поверхности Земли. Необходимые для однозначно-

го восстановления потенциального поля значения и(х,у,-И2) на высоте Иг над поверхностью Земли задаются различными способами:

¡.Значения и(х,у,-Н2) измерены.

2. Значения и(х, у,-Иг) рассчитаны приближенно на основании за-

„ ди(х,у, 0) „ _

данных значении производной —1—--; такой подход возможен благо-

-йг

даря развитию в последнее время тензорной градиентометрии.

3. Значения и(х,у,-И2) определены в результате приближенного вычисления по одной из кубатурных формул для интеграла Пуассона:

и(х,у,-к2) = -—\ ---- 3/2-

Построена разностная аппроксимация уравнения (4), из которой значения на текущем слое по переменной г явным образом выражены через значения на двух предыдущих слоях. При этом через каждые т слоев по переменной г необходимо удваивать шаги по координатным переменным, уменьшая тем самым вдвое количество узлов на слое.

Описанная методика использована для построения разностных схем как в двух-, так и в трехмерном случаях, а также для случая заданных значений потенциального поля на границах области О. Аналогичным образом построены разностные схемы приближенного восстановления тепловых полей.

Эффективность предложенных адаптивных разностных схем в сравнении с их равномерными аналогами проиллюстрирована рядом модельных задач с известными решениями.

Построенные в главе локальные сплайны, являющиеся методами аппроксимации тепловых полей, и их реализация в виде программного комплекса позволяют на 10 % повысить точность измерительных преобразователей за счет размещения датчиков в их узлах. Эти методы позволяют на 15-20 % ускорить процесс проектирования измерительных преобразователей за счет уменьшения натурных испытаний.

Четвертая глава посвящена исследованию вопросов устойчивости использованных в работе математических моделей, а также аппроксимирующих их разностных схем.

Разработана методика исследования устойчивости решений дифференциальных уравнений параболического и гиперболического типов. На основе этой методики получены критерии устойчивости решений систем параболических и гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных.

Полученные результаты обобщены на обширный класс дифференциальных уравнений с дробными производными в смысле Римана-Лиувилля, привлекающих в последние годы большой интерес исследователей.

Рассмотрены системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных параболического и гиперболического типов с коэффициентами, зависящими от времени.

В предположении суммируемости решения системы в квадрате на вещественной оси к системе применено преобразование Фурье, в результате чего получена система обыкновенных дифференциальных уравнений с параметрами в спектральной области. Для исследования устойчивости решений этой системы уравнений построено семейство операторов и вычислены их логарифмические нормы.

В результате вычисления логарифмических норм получены достаточные критерии устойчивости решений уравнений математической физики, выраженные через коэффициенты уравнений.

Полученные достаточные критерии позволили установить зависимость между устойчивостью решения исследуемой системы и значением логарифмической нормы соответствующего спектрального оператора в различных векторных пространствах.

Результаты, полученные для систем линейных параболических уравнений, распространяются на системы нелинейных уравнений, а также — посредством использования преобразований Ляпунова - на системы гиперболических уравнений.

Изучена устойчивость равномерных и адаптивных разностных схем приближенного восстановления тепловых полей. Методика исследования основана на оценках операторных решений соответствующих разностных схем сверху посредством вычисления s-чисел линейного оператора, определяющего разностную схему.

Доказано, что предложенная в работе адаптивная разностная схема в отличие от условно устойчивой равномерной разностной схемы устойчива при любом соотношении шагов сетки, а также выведена оценка, позволившая связать погрешность восстановления теплового поля на адаптивной сетке с первоначальным соотношением шагов сетки.

Пятая глава посвящена описанию разработанного на основе результатов второй и третьей глав программного комплекса.

В главе описываются программа восстановления физических (потенциальных и тепловых) полей в заданной пространственной области, а также программа одновременного восстановления формы тела и его плотности при решении задачи потенциала.

Программный комплекс реализован на языке программирования Python 2.7 с использованием стандартной графической библиотеки Tkinter.

Первая программа реализует адаптивные разностные схемы восстановления потенциальных и тепловых полей в двух- и трехмерном пространствах.

Главное окно программы изображено на рисунке 1.

Восстановление гравитзцяоньос и тепловых полей и^^я&ШШЗЙ

Восстала вливаются: • Размерность:

ф Тепловые поля | Щ Двухмерная задача |

^ Гравитационные поля 1 О Трехмерная задача 1

Расчетная глубина

| 0.0

| 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

Полуинтервал; \ Число расче-тьи слоек ;

;.......: Период увеличения ; Крутость увеличения: :

О Построить график поля на последнем слое

(г | Со«Р1и-«г. | Выгод _] |

Рисунок 1 - Главное окно программы восстановления физических полей

В качестве входных данных пользователем вводятся глубина, до которой восстанавливается поле, количество слоев по переменной г, а также параметры [т,у], определяющие структуру используемой адаптивной сетки (шаги сетки увеличиваются в у раз после каждых т слоев по переменкой г). Кроме того, пользователь указывает текстовый файл, содержащий число узлов на нулевом слое по переменной г, длину интервала, в котором определены значения поля, а также сами значения поля на первых двух слоях разностной схемы.

Результатом работы программы являются текстовый файл, содержащий рассчитанные значения поля в узлах адаптивной сетки, а также двух-или трехмерный график поля на последнем слое разностной схемы. Пример такого графика показан на рисунке 2. При этом имеется возможность настройки вида графика.

10 -1»

Рисунок 2 - Пример выводимого программой графика восстановленного потенциального поля на последнем слое

Для визуализации результатов вычислений были использованы библиотеки Ма1р1оШЬ, Т^итРу и БаРу.

Вторая программа определяет плотность и форму гравитирующего тела при заданных глубине залегания и значениях потенциала на поверхности Земли, а также на некоторой высоте от поверхности. Входными данными программы являются: значение глубины залегания тела; наборы значений потенциального поля на поверхности Земли; число используемых для аппроксимации потенциальных полей базисных функций; число узлов, в которых вычисляются значения Фурье-образов неизвестных функций; граница у интервала [-у, у], целиком содержащего гравитирую-щее тело, а также значения параметров регуляризации. Результатами работы программы являются набор значений функций плотности и формы гравитирующего тела на равномерной сетке в интервале [^у, у], а также построенные графики этих функций.

Две программы (программа восстановления тепловых полей и программа восстановления потенциальных полей), лежащие в основе программного комплекса, были зарегистрированы в Реестре программ для ЭВМ.

В заключении обобщены и систематизированы результаты диссертационного исследования.

В приложении представлены два свидетельства о регистрации программ для ЭВМ, а также два акта о внедрении разработанных программ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Проведен анализ современного состояния теории и методов решения прямых и обратных задач гравиразведки. Показано, что в настоящее время актуальными являются как построение нелинейных математических моделей обратных задач гравиразведки, так и разработка простых, точных и устойчивых численных методов решения таких задач.

2. Предложена методика построения систем нелинейных интегральных уравнений, моделирующих обратные задачи гравиразведки, на основе которой сформулирована задача одновременного восстановления формы гравитирующего тела, его плотности и глубины залегания. Для решения этой задачи были разработаны как аналитический метод, так и численные алгоритмы. Применение построенных математических моделей, алгоритмов их реализации и разработанного программного комплекса позволяет на 15—20 % сократить время поисковых геолого-разведочных работ и уменьшить их стоимость.

3. На основе принадлежности потенциальных полей функциональным классам специального вида построены явные разностные схемы продолжения потенциальных полей в верхнее и нижнее полупространства в двух-и трехмерном случаях, что позволяет локализовать источники возмущения и оптимизировать размещение измерительной аппаратуры. Показано, что построенные схемы являются устойчивыми и дают оптимальную по точности аппроксимацию потенциальных полей. Применение этих алгоритмов позволяет подтвердить и уточнить результаты, полученные на основании методов, описанных в предыдущем пункте.

4. Введен в рассмотрение новый функциональный класс, включающий в себя тепловые поля, и на этой основе построены оптимальные по точности явные разностные схемы продолжения тепловых полей, являющиеся устойчивыми. Оптимальные алгоритмы аппроксимации тепловых полей, а также программный комплекс позволяют на 10 % увеличить точность измерительных преобразователей за счет равномерной аппроксимации существенно неоднородных тепловых полей.

5. Разработана методика построения достаточных критериев устойчивости решений как линейных, так и нелинейных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений в частных производных параболического и гиперболического типов, а также уравнений с производными дробных порядков по координатным переменным. С помощью этой методики получен ряд критериев устойчивости решений указанных типов уравнений и систем уравнений. Предложенная методика отличается простотой, универсальностью, а также легкостью численной реализации.

6. Разработан программный комплекс, осуществляющий продолжение потенциальных и тепловых полей в двух- и трехмерном пространствах. Программный комплекс реализован на языке Python 2.7.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Рязанцев, В. А. Устойчивость решений параболических уравнений с дробными производными / И. В. Бойков, В. А. Рязанцев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. -№4(24).-С. 84-100.

2. Рязанцев, В. А. О достаточных критериях устойчивости решений дифференциальных уравнений гиперболического типа / И. В. Бойков, В. А. Рязанцев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2013. - № 2(26). - С. 33-49.

3. Рязанцев, В. А. Оптимальные методы аппроксимации тепловых полей / И. В. Бойков, Н. П. Кривулин, В. А. Рязанцев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2013. - № 4(28). -С. 5-16.

4. Рязанцев, В. А. Об одном разностном методе продолжения потенциальных полей / И. В. Бойков, В. А. Рязанцев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки.-2014.-№2(30).-С. 20-33.

Публикации в других изданиях

5. Рязанцев, В. А. Критерии устойчивости решения дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа / И. В. Бойков,

B. А. Рязанцев // Журнал Средневолжского математического общества. — 2012. — Т. 14, №3.-С. 12-20.

6. Рязанцев, В. А. Устойчивость по Тьюрингу динамических систем, описываемых уравнениями с дробными производными / И. В. Бойков, В. А. Рязанцев // Журнал Средневолжского математического общества. - 2013. - Т. 16, № 4. -

C. 15-24.

7. Рязанцев, В. А. Приближенные методы одновременного восстановления формы тела и его плотности в обратной задаче теории потенциала / И. В. Бойков, В. А. Рязанцев // Журнал Средневолжского математического общества - 2014. - Т. 16, №3.-С. 21-31:

8. Рязанцев, В. А. Устойчивость решений параболических уравнений с дробными производными по координатным переменным / И. В. Бойков, В. А. Рязанцев // Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем : сб. ст. VII Междунар. науч.-техн. конф. -Пенза,2012.-С. 27-31.

9. Рязанцев, В. А. Один критерий устойчивости решений системы уравнений в частных производных дробного порядка с постоянными коэффициентами / В. А. Рязанцев // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем : сб. ст. VII Междунар. науч.-техн. конф. молодых специалистов, аспирантов и студентов. - Пенза, 2013. — С. 81-88.

10. Рязанцев, В. А. Адаптивный разностный метод приближенного решения уравнения Гельмгольца / В. А. Рязанцев // Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем : сб. cr. VIII Междунар. науч.-техн. конф. молодых специалистов, аспирантов и студентов. — Пенза, 2014.-С. 66-70.

11. Рязанцев, В. А. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с производными дробного порядка / В. А. Рязанцев // Математические методы в технике и технологиях : сб. ст. XXVII Междунар. науч. конф. - Тамбов, 2014. -Т. 1.-С. 36-40.

12. Рязанцев, В. А. Численный метод решения двухмерной обратной задачи гравиразведки в конечных областях / И. В. Бойков, В. А. Рязанцев // Аналитические и численные методы моделирования естественно-научных и социальных проблем : сб. ст. IX Междунар. науч.-техн. конф. - Пенза, 2014. - С. 65-71.

13. Рязанцев, В. А. Об одном численном методе продолжения потенциальных полей / И. В. Бойков, В. А. Рязанцев // Вопросы теории и практики геологической интерпретации гравитационных, магнитных и электрических полей : материалы 41-й сессии Междунар. семинара им. Д. Г. Успенского. - Екатеринбург, 2014. - С. 50-51.

14. Рязанцев, В. А. Критерии устойчивости решений дифференциальных уравнений в частных производных / В. А. Рязанцев Н Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем : сб. ст. IX Междунар. науч.-техн. конф. молодых специалистов, аспирантов и студентов. - Пенза, 2015. - С. 36-43.

15. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ 2014663162. Адаптивный разностный метод решения параболических уравнений на сетках с переменной структурой / И. В. Бойков, В. А. Рязанцев : (зарег. в Реестре программ для ЭВМ Федеральной службы по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам РФ 16.12.2014).

16. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ 2015610120. Адаптивный разностный алгоритм восстановления потенциальных полей / И. В. Бойков, В. А. Рязанцев : (зарег. в Реестре программ для ЭВМ Федеральной службы по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам РФ 12.01.2015).

Регистрация программных продуктов

Научное издание

РЯЗАНЦЕВ Владимир Андреевич

МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ГРАВИРАЗВЕДКИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Редактор Н. А. Сидельникова Технический редактор Р. Б. Бердникова Компьютерная верстка Р. Б. Бердниковой

Распоряжение № 11/07-2015 от 15.07.2015.

Подписано в печать 16.07.2015. Формат 60х84'/16. Усл. печ. л. 0,93. Заказ № 639. Тираж 100.

Издательство ПГУ. 440026, Пенза, Красная, 40. Тел./факс: (8412) 56-47-33; e-mail: iic@pnzgu.ru