автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Устойчивое продолжение потенциального поля с неплоской поверхности

□□3055663

На правах рукописи

Бобрикова Екатерина Васильевна

УСТОЙЧИВОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ПОЛЯ С НЕПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

05 13 18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2007

003055663

Работа выполнена на кафедре нелинейного анализа и оптимизации Российского университета дружбы народов

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

доцент

Ланеев Евгений Борисович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Чуличков Алексей Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент

Жидков Евгений Николаевич Ведущая организация Московский инженерно-физический институт

Защита диссертации состоится 20 апреля 2007 г в 16 ч 00 мин на заседании диссертационного совета К 212 203 08 в Российском университете дружбы народов по адресу г Москва, ул Орджоникидзе, д 3

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу г Москва, ул Миклухо-Маклая, Дб

Автореферат разослан « 13 » марта 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук, доцент

Фомин М Б

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

Обратные задачи восстановления структуры объектов по косвенным данным возникают в тех случаях, когда внутренняя структура объекта по тем или иным причинам недоступна прямому исследованию, в то время как косвенная информация о структуре объекта может быть получена в виде порождаемых этой структурой пространственного распределения физических полей, собственных или полученных как отклик на внешнее воздействие, и которые могут быть измерены Среди таких задач обратные задачи геофизики, разнообразные обратные задачи теплообмена, электрокардиографии, электроэнцефалографии, томографии и другие В рамках выбранных физических и математических моделей такие задачи формулируются обычно в виде обратных задач, отличительной особенностью которых, как правило, является их некорректность Методы решения некорректно поставленных задач активно развивались с начала 60-х годов ХХ-го века и, прежде всего, в трудах советских математиков А Н Тихонова, М М Лаврентьева, В К Иванова, В Н Страхова, В Я Арсенина, В Б Гласко и их учеников

В диссертационной работе в прикладном аспекте рассматривается обратная задача, связанная с проблемой обработки данных в геофизике (гравиразведке) на основе аналитического продолжения гармонического поля Анализируя поле вблизи его источников, можно получить представление об их структуре и, таким образом, продолжая поле с некоторой поверхности, на которой поле задано, в сторону исследуемых источников можно по продолженному полю восстановить структуру плотности источников поля с той или иной степенью полноты Концепция аналитического продолжения развивалась в работах А Н Тихонова, В Н Страхова, М С Жданова, В Б.Гласко, Г Я Голиздры, А В Цирульского, Г М Воскобойникова, Е А Мудрецовой, О К Литвиненко, В Р Мелихова и др Методы решения задачи

продолжения развивались в основном в двумерном случае Несмотря на то, что в трехмерном случае теория продолжения потенциального поля с неплоской неограниченной поверхности разработана, весьма актуально изучение вопросов, связанных с переходом к рядам Фурье при численной реализации методов продолжения, а также при задании поля в реальной ситуации на ограниченной поверхности Анализ методов решения позволяет говорить о том, что задача аналитического продолжения потенциального векторного поля с неплоской ограниченной поверхности в трехмерном случае остается до конца нерешенной и актуальной При этом имеется потребность в разработке эффективных и устойчивых численных алгоритмов решения такой задачи

В данной работе рассматривается векторная трехмерная задача продолжения потенциального поля с ограниченной поверхности общего вида Эта задача формулируется как смешанная краевая задача в ограниченной области с условиями Коши на поверхности Такая постановка задачи позволяет получать и точное, и приближенное решения в виде двойных рядов Фурье, что существенно для построения численного решения задачи продолжения поля и математической обработки гравиметрических данных на ограниченных площадях В математическом плане векторная задача продолжения поля сводится в диссертации к некоторой скалярной смешанной краевой задаче структурно близкой к задаче Коши для уравнения Лапласа с данными на поверхности общего вида Причем в отличии от исходной векторной задачи здесь данные Коши содержат производные компонент заданного вектора поля на поверхности Рассматриваемая задача некорректно поставлена Задачи Коши для уравнения Лапласа ранее решались в простых областях, допускающих разделение переменных Потребность в решении прикладных задач приводит к необходимости решения задач Коши для уравнения Лапласа и аналогичных ей некорректных задач с данными на произвольных поверхностях Эти данные в реальной ситуации представляют собой, как правило, результат измерений, известны с некоторой погрешностью, и это требует построения

устойчивых методов решения Таким образом, актуальна проблема развития математического аппарата для устойчивого численного решения таких некорректных краевых задач

Цель работы

Целью диссертационной работы является разработка эффективных устойчивых методов продолжения потенциальных векторных полей с поверхности общего вида для получения информации о структуре их источников и приложение полученных результатов для математической обработки данных в гравиразведке

Достижение цели осуществляется решением следующих задач-

1 Выбор математической модели для аналитического продолжения потенциального поля с ограниченной поверхности общего вида Обоснование модели получением оценки по параметрам области по отношению к модели во всем пространстве Сведение векторной краевой задачи продолжения потенциального поля в цилиндрической области к трем скалярным смешанным краевым задачам для уравнения Лапласа с данными Коши на ограниченной поверхности общего вида

2 Построение точного и приближенного устойчивого решений смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа с данными Коши на ограниченной поверхности общего вида методом рядов Фурье

3 Построение точного и приближенного устойчивого решений векторной задачи продолжения потенциального поля с данными на ограниченной поверхности общего вида, используя способ нахождения двух неизвестных «горизонтальных» составляющих вектора поля по найденной «вертикальной» составляющей

4 Разработка эффективного алгоритма для решения задачи продолжения потенциального поля с ограниченной поверхности

общего вида методом дискретных рядов Фурье

5 Обоснование дискретизации задачи на основе получения оценок дискретизации и оценки устойчивости приближенного решения по параметрам дискретизации задачи

6 Проведение вычислительного эксперимента по применению разработанных алгоритмов к решению модельных задач и практических задач геофизики

Методы исследования

В работе использовались методы теории уравнений с частными производными, методы регуляризации некорректно поставленных задач, а также средства современного вычислительного эксперимента

Научная новизна работы

В диссертации впервые получено и обосновано устойчивое решение задачи продолжения потенциального поля с поверхности общего вида в рамках модели поля в ограниченной области, позволяющее построить и обосновать новые эффективные вычислительные алгоритмы решения такой задачи Проведен вычислительный эксперимент на новых модельных примерах

Практическая ценность работы

Диссертация носит теоретический и прикладной характер Разработанные алгоритмы продолжения потенциального поля могут применяться для обработки гравиметрических данных и последующей интерпретации продолженного поля с целью выявления гравитационных аномалий, оконтуривания месторождений полезных ископаемых, а также—для математической обработки данных о других потенциальных физических полях

Апробация работы

Полученные в диссертации результаты докладывались на XXXVII-XXXIX, ХЫ, ХЫ1 Всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин, Российский университет дружбы народов (Москва, 2001-2003, 2005, 2006г.г), Первой международной конференции «Вычислительные методы в прикладной математике» (СМАМ-1) (Минск, 2003г), семинаре под руководством профессора Е П Жидкова и профессора Л А Севастьянова в РУДН, семинаре кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа РУДН, семинаре под руководством профессора Е П Жидкова в ЛИТ(ЛВТА) ОИЯИ, семинаре кафедры прикладной математики МИФИ

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата

Личный вклад автора

Все результаты диссертации получены лично автором В целом в совместных работах по теме диссертации автор участвовал в разработке методов и алгоритмов, их обосновании. Автором выполнена основная часть работ по проведению вычислительного эксперимента

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 61 рисунок, список цитированной литературы содержит 169 наименований Объем диссертации — 166 страниц машинописного текста

Краткое содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность тематики диссертации, формулируются цели исследования, излагается краткое содержание каждой главы диссертации

Первая глава посвящена выбору и анализу математической модели потенциального поля В первом параграфе рассматривается проблема обработки и интерпретации данных гравиметрических измерений В диссертационной работе в прикладном аспекте рассматривается, связанная с этой проблемой, обратная задача по известному аномальному полю силы тяжести найти плотность источников, создающих эту аномалию Как правило, данные гравиметрических измерений известны на ограниченных областях, а рассматриваемое гравитационное поле является векторным Учитывая эти особенности, предлагается рассматривать векторную трехмерную нечетно-периодическую модель потенциального поля Е- в цилиндрической области прямоугольного сечения

гсЛЕ-(М) = 0, <ЬЕ ~(М) = -4тгр(М), [п,Е-Ц1=ол = 0> [п, Е~]\у=о,\у = О, Е- —> 0 при 2 —► ±оо,

.О00 = {(х,у,г) е М3 0 < х < 1Х, 0 < у < 1У, -оо < г < оо} ,

где р — плотность источников поля с ограниченным носителем в цилиндре I)00, поле Е- представляет собой суперпозицию полей источников, плотность которых р~ распределена нечетно-периодическим образом в пространстве М3 и совпадает с р цилиндре Vх Модель поля (1) рассматривается как приближение к модели потенциального поля во всем пространстве К3 Обоснованием такого приближения является приводимая в четвертом параграфе оценка по параметрам области погрешности модели (1) по отношению к модели во всем пространстве Как правило, на практике данные измеряются на

неплоских ограниченных поверхностях Поэтому в рамках нечетно-периодической модели (1) ставится обратная задача, как задача восстановления плотности источников р по заданному полю E~js = (Е-)0 на ограниченной поверхности S общего вида

S={(x,y,z) : 0<®</*, Осу <ly, z = F(x,y), F € С2 (П(0))} , П(г) = {(х, y,z) . О < х < 1Х, 0 < у < 1У, z = const}, S П Suppp = 0

Устанавливается возможность сведения поставленной обратной задачи к обратной задаче потенциала (ОЗП) Отмечаются трудности на пути решения ОЗП — обсуждаются проблема единственности решения и проблема его устойчивости Дается обзор классов единственности и устойчивости ОЗП В связи с относительной узостью известных классов единственности, в которых может быть построено решение ОЗП, рассматривается концепция аналитического продолжения гармонических функций с последующей интерпретацией продолженного поля как задача частичного решения ОЗП В ряде случаев для практических целей бывает достаточно иметь неполную информацию об исследуемом объекте, например, характерные параметры формы носителя плотности, распределение особенностей решения Дается обзор известных методов аналитического продолжения Отмечается, что в рамках модели поля во всем пространстве задача продолжения потенциального поля решается методом интегралов Фурье В рамках нечетно-периодической модели поля (1) формулируется задача аналитического продолжения потенциального поля с ограниченной поверхности общего вида S в область гармоничности поля D(F, Н)

rotE-(M) = 0, М G D(F, Н), divE-(M) = 0, E-|s = (E-)°,

[n, E~]|x=o,i„ - 0, [n, E-]|„=0,!„ = 0, где D(F,H) = {(x,y,z) . 0 < x < lx, 0 < у < ly, F(x,y) < z < H}. Источники поля вне области D(F, Н) могут располагаться как по одну сторону от поверхности S, так и по другую Задача (2) позволяет

получать векторное решение точно в виде рядов Фурье, что важно при численной реализации Показано, что векторная задача продолжения (2) сводится к совокупности трех скалярных задач для компонент вектора поля в области Я), где каждая из трех задач является смешанной краевой задачей для уравнения Лапласа с условиями Коши на поверхности 5 и нулевыми условиями первого и второго рода на боковых гранях области, в частности, для «вертикальной» составляющей (¿-компоненты) поля

«Горизонтальные» составляющие (х- и у-компоненты) можно также найти, зная «вертикальную» с помощью двумерного преобразования Гильберта, рассматриваемого в седьмом параграфе В случае источника, представляющего собой бесконечно тонкое тело, ¿-компонента поля может рассматриваться как приближение к характеристической функции носителя плотности источника Этот факт используется в дальнейшем при решении задачи продолжения для восстановления формы носителя функции плотности Векторная задача продолжения (2), а значит и задача (3), некорректно поставлена И поэтому необходимо построение устойчивого решения этой задачи при приближенно заданном поле на поверхности 5 в реальной ситуации

Во второй главе построены точное и приближенное устойчивое решения векторной задачи продолжения потенциального поля (2) Метод решения векторной задачи продолжения основан на решении задачи продолжения (3) ¿-компоненты поля, которая представляет собой смешанную краевую задачу структурно близкую задаче Коши для уравнения Лапласа (ЗКУЛ) В связи с этим в первом параграфе дан краткий обзор приближенных методов решения ЗКУЛ Для

АЕ~(М) = 0, МеОДЯ),

(3)

получения точного решения задачи (3) и приближенного устойчивого решения этой задачи при неточно заданном поле на поверхности 5 ||Е° — Е0,4|)х2(5) < <5, используется метод, основанный на сведении задачи (3) к интегральному уравнению Фредгольма первого рода, что позволяет с одной стороны получить в явном виде решение задачи, а с другой стороны — применить схему регуляризации Тихонова для получения устойчивого решения Особенностью задачи (3) является то, что данные Коши на поверхности Б содержат производные по ж и у от известных компонент поля, хотя эти производные не входят в данные на 5 исходной векторной задачи продолжения (2) Используемый метод решения позволяет в ходе решения перейти от производных компонент вектора Е° к самим компонентам Приближенное устойчивое решение интегрального уравнению Фредгольма первого рода строится в виде двойного ряда Фурье содержащего регуляризирующий

множитель с параметром регуляризации а Эта функция в сумме с функцией Ф^, вычисляемой как поверхностный интеграл от известных приближенных значений компонент Е0'15 и от известных производных функции источника 9? задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области .О00, является устойчивым решением задачи продолжения (3) для г-компоненты

<а(М) = <0(М) - Ф*{М), М € ОД Я), (4)

00 Ф* (< где <а(М) —-

X *

Фг,ггт(а)е ТТПХМ ПГПум

_!_ С1П _ от

■кпхм ктум

14- ае

-, -эт——

. у 1 »

вт

'У

Ф 1(М)= I Е°/(хр,ур)

д{<р(М,Рд)) дхр

+ Е°/(ХР,УР)

0(р(М,Р5))

дур

+

П(0)

nlxly , /l£ 22^ ¿a; i«

1 » n,m=l у 7J + If У

2 v^ e V 1 » . тгпхр . тгтур

sm —-— sm —=— x

7гпхм . птум x sm —-— sm —-—,

il ly

Ф5гпт(а) — коэффициенты Фурье функции Ф f(M) по системе {sin^smS^}^, при М € П(а), а < min F(x, у) Ha основе

I lx ly j n,m—i г n (х,у)€ЩО)

полученного решения (4) для z-компоненты строятся векторные точное и приближенное устойчивое решения задачи продолжения поля (2) Эти решения находятся применением преобразования Гильберта, описанным в первой главе, к найденным точной и приближенной z-компонентам соответственно Таким образом, приближенное решение E£q = ЕуА, векторной задачи (2) представляется как суперпозиция приближенных полей v*a = {г£а, и Ф* = {Ф*,Ф£,Ф*}

источников, располагающихся по разные стороны от поверхности S Причем v£a — приближенное поле источника, расположенного в D°° при условии z > Н, ysza является устойчивым приближением к точному полю этого источника Ф^ = {ф£, Фу, Ф^} — приближенное поле источника, расположенного в D°° при условии z < F(x,y) В шестом параграфе при решении задачи продолжения (2) потенциального поля получено равномерное приближение поля вплоть до границы S области D(F, Н) за счет представления поля в виде суперпозиции равномерных устойчивых приближений полей источников, расположенных по разные стороны от криволинейной поверхности S В седьмом параграфе разработанная схема решения задачи продолжения потенциального поля применяется для случая продолжения поля в область D(F, Я), содержащую источники известной плотности pi, с целью восстановления поля вблизи носителя неизвестной функции плотности источников В восьмом параграфе в случае, когда источник поля — бесконечно тонкое тело, предлагается эффективный критерий качества приближенного продолженного поля — оценка сходимости по мере Оценивается мера симметрической разности приближенного и точного носителей

плотности Где приближенный носитель — это множество, на котором приближенное решение превышает определенное значение Такой критерий эффективен в том случае, когда ¿-компонента поля совпадает с точностью до множителя с характеристической функцией носителя плотности источников. В девятом параграфе на основе полученной в четвертом параграфе первой главы оценки погрешности нечетно-периодической модели по параметрам области реализован вариант уточнения приближения поля в нечетно-периодической модели по методу Рунге-Ричардсона

В третьей главе разработаны и обоснованы вычислительные алгоритмы решения задачи аналитического продолжения потенциального поля (2), которые используют аппарат дискретных рядов Фурье Из схемы решения задачи следует, что алгоритм численного решения задачи продолжения поля (2) строится на базе алгоритма решения задачи продолжения для ¿-компоненты поля (3) Для численного решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа для ¿-компоненты (3) проводится дискретизация задачи вводится равномерная сетка, интегралы заменяются интегральными суммами, ряды Фурье заменяются конечными рядами. Приводятся оценки дискретизации задачи На основе решения (4) получено приближенное устойчивое решение в области 0(Р, Н) задачи (3) на равномерной сетке, заданной на прямоугольнике П(0)

Е%т{хи у„г) = ¿£т{хи у„г)- Ф1/Т(хг, у3,г),

г-0, . з =0, (5)

«их ять

где г^.у,,*) Ф—(а)е ^-зт^рзт^,

Nx-lNt-l

«м = -7=]vV E E k^/t + f У .=1 ;=1

+ E°/(xl,yJ)FUxl,y3))e V'x <» cos — sin

'x ly

+ ™ 2 E E (^(S., + (*., У3)П(хи у,)) x

x e V !» sm cos

lx Ly

+EE - E«/(xt,yjmxt,yj)-

x y »=1 j=i

. .4 7Т71хг ттту.

a< min Pki = (xk,yi,F{xk,yi))

(х,г/)еП(о)

Функция в формуле (5) получается из Ф^ в формуле (4)

применением составной квадратурной формулы трапеции к двойному интегралу и заменой двойного ряда для функции ц> двойной конечной суммой Отметим, что для вычисления коэффициентов Фурье Ф^Д'(а), входящих в решение (5), предлагается и обосновывается экономичный метод их вычисления Таким образом, формула, полученная для Фf'Jfm(a), сводит порядок операций, необходимых для вычисления этих коэффициентов, с (NxNy)3 до (NxNy)2, при этом сама функция Фsz'NT(a) предварительно не вычисляется Несмотря на довольно громоздкий вид, формула для вычисления коэффициентов Фурье Ф^'^(а) практически не отличается по организации вычислений от обычного вычисления коэффициентов Фурье функции, заданной на плоской поверхности В пятом параграфе описана общая схема численного решения задачи продолжения поля В шестом параграфе приводятся расчетные формулы для решения прямой задачи в рамках нечетно-периодической модели поля (1) Поле, полученное по этим формулам, используется в качестве исходных данных в модельных примерах при решении задачи

Рис. 3. Рис, 4,

продолжения потенциального поля в четвертой главе.

В четвертой главе приведены результаты вычислительного эксперимента но решению задач и продолжения потенциального поля (2) на модельных примерах с использованием полученных в третьей главе алгоритмов. Показана необходимость применения метода регуляризации даже, если входные данные заданы без погрешности. Показана эффективность применения полученного в работе алгоритма, в случае, когда исходное поле задается на неплоской поверхности 3 с большой вариацией. Для оценки качества приближения к носителю функции плотности источников поля применен эффективный критерий — мера симметрической разности точного носителя ¡[лотности и приближенного носителя плотности, полученного описанным во второй главе способом. Получено векторное решение задачи продолжения

потенциального поля (2) с использованием преобразования Гильберта В третьем параграфе для получения более полного представления о векторном решении задачи продолжения поля решение представлено в плоскостях х = const и у — const В четвертом параграфе получено численное решение задачи продолжения (3) с неплоской поверхности при условии, что источники поля неизвестной плотности расположены по обе стороны от поверхности S Такие условия ранее не рассматривалась при продолжении поля с плоскости на плоскость Получено численное решение задачи продолжения z-компоненты потенциального поля с криволинейной поверхности S в область, содержащую источники поля известной плотности Эта ситуация близка к реальной, возникающей в гравиразведке На модельной задаче продемонстрировано применение метода Рунге-Ричардсона для получения существенного уточнения по параметрам области приближения ¿-компоненты поля в нечетно-периодической модели Применение разработанного алгоритма для решения задачи (3) продолжения ¿-компоненты поля в случае, когда источники поля неизвестной плотности расположены по одну сторону от неплоской поверхности S показано на рисунках 1—4 Так, на рисунке 4 представлено продолжение к источникам ¿-компоненты поля, показанной на рисунке 2, заданной на неплоской поверхности на рисунке 1 При сравнении с точной ¿-компонентой на рисунке 3 видно, что получено достаточно хорошее приближение

В заключении перечислены основные оригинальные результаты, полученные автором

На защиту выносятся следующие результаты

1 Построены точное и устойчивое приближенное решения трехмерной векторной задачи продолжения потенциального поля с ограниченной поверхности общего вида, в том числе в область, содержащую источники известной плотности Доказана сходимость приближенного решения к точному

2 Предложен и обоснован критерий качества приближенного решения линейной обратной задачи потенциала, основанный на сходимости по мере Предложен метод уточнения приближенного решения задачи продолжения потенциального поля на основе метода Рунге-Ричардсона и оценки погрешности нечетно-периодической модели потенциального поля по отношению к модели поля во всем пространстве по параметрам области

3 Получен эффективный, в том числе по количеству операций алгоритм численного решения трехмерной векторной задачи продолжения потенциального поля с криволинейной ограниченной поверхности, сопоставимый по сложности с алгоритмом продолжения потенциального поля с плоской поверхности Доказана сходимость приближенного решения к точному по параметрам дискретизации задачи; получены оценки

4 Показана эффективность работы полученных методов и алгоритмов в вычислительном эксперименте на модельных примерах

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

[1] Ланеев Е Б, Лузгачева Е В Устойчивые алгоритмы решения задачи продолжения потенциального поля в периодической модели // XXXVII Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии 22-26 мая 2001 г Тезисы докладов Физические секции М Изд-во РУДН, 2001, с 26-27

[2] Ланеев Е Б, Лузгачева Е В Об устойчивом решении одной краевой задачи для системы уравнений потенциального поля // Вестник РУДН Серия Математика 2002 №9(1) С 92-101

[3] Ланеев Е Б, Лузгачева ЕВ Об устойчивом решении одной некорректно поставленной краевой задачи для системы уравнений

потенциального поля.// XXXVIII Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии 14-17 мая 2002 г Тезисы докладов Математические секции М Изд-во РУДН, 2002, с 19

[4] Bobrtkova Е V, Laneev Е В and Zhidkov Е Р Stable potential field continuation from non-planar surface // Abstracts of International Conference CMAM-1, July 20-24, 2003, Minsk, Belarus, p 14

[5] Ланеев Е.Б, Бобрикова E.B. О равномерном устойчивом приближении одной некорректной краевой задачи для системы уравнений потенциального поля // Вестник РУДН, сер Математика, 2003, №1(10), С 8-15

[6] Бобрикова Е В Построение равномерных приближений рядами Фурье решений задачи продолжения потенциального поля // XXXIX Всероссийская научная конференция по проблемам математики, информатики, физики, химии 21-25 апреля 2003 г Тезисы докладов Физические секции М Изд-во РУДН, 2003, с 58

[7] Бобрикова Е В Численное решение задачи восстановления функции распределения источников в задаче продолжения потенциального поля // XLI Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии 18-22 апреля 2005 г Тезисы докладов. Физические секции - М Изд-во РУДН, 2005, с 9-10

[8] Бобрикова ЕВ Уточнение решения задачи продолжения потенциального поля методом Рунге-Ричардсона // XLII Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии 17-21 апреля 2006 г Тезисы докладов Секции физики - М Изд-во РУДН, 2006, с 48

Бобрикова Екатерина Васильевна Устойчивое продолжение потенциального поля с неплоской

поверхности

В диссертационной работе в прикладном аспекте рассматривается обратная задача, связанная с проблемой обработки данных в грави-разведке по известному аномальному полю силы тяжести найти плотность источников, создающих эту аномалию Эта задача решается в работе в рамках широко известной концепция аналитического продолжения гармонических функций Рассматривается векторная трехмерная задача продолжения потенциального поля с ограниченной поверхности общего вида Векторная задача продолжения поля сводится к некоторой скалярной смешанной краевой задаче структурно близкой к задаче Коши для уравнения Лапласа с данными на поверхности общего вида Эта задача некорректно поставлена Данные прикладных задач, как правило, известны на ограниченных площадях и с некоторой погрешностью Постановка рассматриваемой задачи позволяет строить приближенное устойчивое решение в виде двойных рядов Фурье

Ekaterma Bobrikova The stable continuation of the potential field from non-planar

surface

The paper considers the applied aspect of an inverse problem connected with the problem of data processing m gravitational exploration by the known anomalous field of gravity to find the density of the sources, forming this anomaly In the paper the problem is solved on basis of a well-known conception of an analytic continuation of harmonic functions A vectorial three-dimensional problem of the continuation of the potential field from bounded surface of a general form is considered The vectorial problem of the continuation of the field is brought to a scalar mixed boundary-value problem, which structure is close to Cauchy problem for Laplace's equation with data on the surface of a general form This problem is ill-posed As a rule, the data of applied problems are known on bounded areas and with some inaccuracy The problem statement allows to construct an approximate stable solution in the form of Fourier's double series

Принято к исполнению 14/03/2007 Исполнено 14/03/2007

Заказ №181 Тираж 100 экз

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш, 36 (495) 975-78-56 www autoreferat ni

Введение.

Глава 1 Постановка задачи.

1.1 Проблема обработки и интерпретации данных гравиметрических измерений

1.2 Обратная задача потенциала. Некорректность. Концепция аналитического продолжения

1.3 Физическая и математическая модель нечетно-периодического поля

1.4 Оценка погрешности нечетно-периодической модели по параметрам 1х, 1у по отношению к модели во всем пространстве

1.5 Обратная задача для нечетно-периодической модели.

1.6 Постановка векторной задачи продолжения и сведение ее к трем скалярным краевым задачам.

1.7 Двумерное преобразование Гильберта.

1.8 Связь поля с характеристической функцией носителя плотности источников поля.

Глава 2 Построение устойчивого решения задачи продолжения потенциального поля.

2.1 Приближенные методы решения задачи Коши для уравнения Лапласа

2.2 Точное решение задачи продолжения «вертикальной» составляющей поля

2.3 Точное решение векторной задачи продолжения поля

2.4 Приближенное устойчивое решение задачи продолжения «вертикальной» составляющей поля.

2.5 Приближенное устойчивое решение векторной задачи продолжения поля

2.6 Устойчивое решение задачи продолжения поля как суперпозиция равномерных приближений полей источников.

2.7 Устойчивое продолжение негармонического потенциального поля.

2.8 Сходимость по мере приближенного решения задачи продолжения «вертикальной» составляющей поля.

2.9 Уточнение продолженного поля по расширяющимся областям методом

Рунге-Ричардсона.

Глава 3 Вычислительные алгоритмы.

3.1 Использование дискретных рядов Фурье для решения задачи.

3.2 Дискретизация задачи для точно заданной функции Е°.

3.3 Вычисление дискретных коэффициентов Фурье функции Ф2 при М £ П(а)

3.4 Дискретизация задачи и ее обоснование для приближенно заданной функции Е0,<5. Расчетные формулы.

3.5 Схема численного решения задачи продолжения потенциального поля

3.6 Вычисление поля источников известной плотности на поверхности S в нечетно-периодической модели

3.7 Вычисление поля в непериодической модели.

Глава 4 Вычислительный эксперимент по решению векторной задачи продолжения потенциального поля с криволинейной поверхности.

4.1 Численное решение задачи продолжения z-компоненты потенциального поля.

4.1.1 Выбор параметра регуляризации а.

4.1.2 Продолжение z-компоненты поля с неплоской поверхности как с плоской.

4.1.3 Мера множества — критерий качества приближения.

4.2 Векторное численное решение задачи продолжения потенциального поля

4.3 Представление решения задачи продолжения поля при х = const и у = const.

4.4 Численное решение задачи продолжения z-компоненты потенциального поля в случае, когда источники расположены по обе стороны от поверхности S.

4.5 Продолжение негармонического потенциального поля.

4.5.1 Случай наличия источника известной плотности в области D(F, Н)

4.5.2 Случай заполнения области D(F, оо) источником известной плотности.

4.6 Уточнение продолженного поля по параметрам области методом Рунге

Ричардсона.

Применение вычислительной техники к решению прикладных задач привело к формированию по-существу нового инструмента научного исследования — вычислительного эксперимента, — что в свою очередь привело к формированию нового направления в научных исследованиях. Революция в вычислительной технике позволила перейти на качественно новый уровень сложности решаемых задач и, что не менее важно — уровень представления результатов. Вместе с тем возрастает значение квалифицированного проведения вычислительного эксперимента с обоснованным выбором модели и алгоритмов и их коррекции. Потенциал современной вычислительной техники позволяют говорить о возможности все более глубокой обработки результатов измерений в рамках все более усложняющихся физических и математических моделей. В частности, это относится к исследованиям структуры и состояния объектов по косвенной (измеряемой) информации. Проблема обработки данных с такой целью математически как правило формулируется в виде обратных задач математической физики [41, 65], которые ставятся в рамках той или иной физической модели. Характерный пример задач такого рода — обратные задачи геофизики [40,97,115,125, 132] - задачи определения структуры земной коры по измеряемым физическим поля, связанным с этой структурой.

Состоятельность задачи в смысле реальной возможности ее решения, то есть в конечном счете - возможности вычиления и представления результата определяется понятием корректности [59,66,144]. Особенность обратных задач состоит в том, что они, как правило, некорректно поставлены [40, 67, 72,144] в естественных классах. Вместе с тем в ряде случаев для таких задач удается найти более узкие классы -единственности и устойчивости - определяемые некоторыми условиями. Существование таких классов позволяет отнести некорректную задачу к числу условно корректных [67]. Конструктивный учет дополнительных условий в применении к решению таких задач приводит к получению регуляризирующих алгоритмов их решения [92,144,149], не выводящих решения за пределы указанных классов.

Определенный круг обратных задач составляют задачи восстановления структуры объектов по косвенным данным. Такие задачи возникают в тех случаях, когда внутренняя структура объекта по тем или иным причинам недоступна прямому исследованию, в то время как косвенная информация о структуре объекта может быть получена в виде порождаемых этой структурой пространственного распределения физических полей, собственных или полученных как отклик на внешнее воздействие, которые могут быть измерены. Среди таких задач разнообразные геофизические задачи [40,110,115], обратные задачи газовой динамики [35], теплообмена [3], задачи электрокардиографии [164], томографии [148] и другие.

В диссертационной работе в прикладном аспекте рассматривается обратная задача, возникающая в геофизике (гравиразведке) [131]: задача, связанная с проблемой обработки данных гравиразведки. Анализ имеющихся методов решения, в большинстве своем связанных с концепцией аналитического продолжения [131] позволяет говорить о том, что задача аналитического продолжения потенциального поля с неплоской ограниченной поверхности в трехмерном случае остается до конца нерешенной и актуальной. Несмотря на то, что теория продолжения потенциального поля с неплоской неограниченной поверхности разработана достаточно полно [48], но в то же время использование формул [48] недостаточно обосновано и изучено при переходе от интегралов Фурье к рядам Фурье при численной реализации методов продолжения, а также при задании поля в реальной ситуации на ограниченной поверхности.

В диссертации в рамках исходным образом «ограниченной» модели предлагается концепция аналитического продолжения потенциального поля с неплоской поверхности: rotEJ-(M) = 0, М е D(F,H), divE-(M) = 0, E"|s = (Е-)°, n>E~]|x=o,/x = 0, [n,E-]|j,=0,/y=0,

D(F,H) = {(x,y,z): 0 < х < lx, 0 <у < ly, F(x,y) < z < Н, H> 0},

S={(x,y,z): 0 < х < lx, 0 < у < ly, z = F(x,y), F e С2 (П(0))} ,

П(г) = {(x, y,z) : 0 < x < lx, 0 < у < ly, z = const}, сводящейся к смешанной краевой задаче для уравнения Лапласа с данными Коши на поверхности: ье~{М) = о, меадя), дЕ: г дп 1 | д{Е-Г

5 щУдх ду

Пх = -1}, Щ = |щ|, „=*

71х=<у* = о, £71^=0,^ = о. Состоятельность модели обосновывается оценками по геометрическим параметрам области. Ограниченность области позволяет решать задачу разложением в ряд Фурье. Кроме того, обосновывается дискретизация задачи и переход к дискретным рядам Фурье. Известную замкнутость концепции продолжения потенциального поля в ограниченной области придает опирающееся на полученные оценки уточнение Рунге-Ричардсона.

Целью диссертационной работы является разработка эффективных устойчивых методов продолжения потенциальных векторных полей с поверхности общего вида для получения информации о структуре их источников и приложение полученных результатов для математической обработки данных в гравиразведке. Достижение цели осуществляется решением следующих задач:

1. Выбор математической модели для аналитического продолжения потенциального поля с ограниченной поверхности общего вида. Обоснование модели получением оценки по параметрам области по отношению к модели во всем пространстве. Сведение векторной краевой задачи продолжения потенциального поля в цилиндрической области к трем скалярным смешанным краевым задачам для уравнения Лапласа с данными Коши на ограниченной поверхности общего вида.

2. Построение точного и приближенного устойчивого решений смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа с данными Коши на ограниченной поверхности общего вида методом рядов Фурье.

3. Построение точного и приближенного устойчивого решений векторной задачи продолжения потенциального поля с данными на ограниченной поверхности общего вида, используя способ нахождения двух неизвестных «горизонтальных» составляющих вектора поля по найденной «вертикальной» составляющей.

4. Разработка эффективного алгоритма для решения задачи продолжения потенциального поля с ограниченной поверхности общего вида методом дискретных рядов Фурье.

5. Обоснование дискретизации задачи на основе получения оценок дискретизации и оценки устойчивости приближенного решения по параметрам дискретизации задачи.

6. Проведение вычислительного эксперимента по применению разработанных алгоритмов к решению модельных задач и практических задач геофизики.

Научная новизна работы.

В диссертации впервые получено и обосновано устойчивое решение задачи продолжения потенциального поля с поверхности общего вида в рамках модели поля в ограниченной области, позволяющее построить и обосновать новые эффективные вычислительные алгоритмы решения такой задачи. Проведен вычислительный эксперимент на новых модельных примерах. Практическая ценность работы.

Диссертация носит теоретический и прикладной характер. Разработанные алгоритмы продолжения потенциального поля могут применяться для обработки гравиметрических данных и последующей интерпретации продолженного поля с целью выявления гравитационных аномалий, оконтуривания месторождений полезных ископаемых, а также — для математической обработки данных о других потенциальных физических полях.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 61 рисунок, список цитированной литературы содержит 169 наименований. Объем диссертации — 166 страниц машинописного текста.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Построены точное и устойчивое приближенное решения трехмерной векторной задачи продолжения потенциального поля с ограниченной поверхности общего вида, в том числе в область, содержащую источники известной плотности. Доказана сходимость приближенного решения к точному.

2. Предложен и обоснован критерий качества приближенного решения линейной обратной задачи потенциала, основанный на сходимости по мере. Предложен метод уточнения приближенного решения задачи продолжения потенциального поля на основе метода Рунге-Ричардсона и оценки погрешности нечетно-периодической модели потенциального поля по отношению к модели поля во всем пространстве по параметрам области.

3. Получен эффективный, в том числе по количеству операций, алгоритм численного решения трехмерной векторной задачи продолжения потенциального поля с криволинейной ограниченной поверхности, сопоставимый по сложности с алгоритмом продолжения потенциального поля с плоской поверхности. Доказана сходимость приближенного решения к точному по параметрам дискретизации задачи; получены оценки.

4. Показана эффективность работы полученных методов и алгоритмов в вычислительном эксперименте на модельных примерах.

Автор выражает огромную благодарность своему научному руководителю — доктору физико-математических наук, доценту Ланееву Евгению Борисовичу за помощь и поддержку, оказанные при работе над диссертацией.

Заключение

Цель работы, сформулированная во введении, достигнута получением устойчивого решения векторной трехмерной задачи продолжения потенциального поля с ограниченной поверхности общего вида. Получен эффективный алгоритм численного решения этой задачи. Проведен вычислительный эксперимент на модельных примерах, демонстрирующий эффективность в целом метода решения поставленной задачи.

На защиту выносятся следующие

1. Агеев А.Д., Болотова Т.В.,Васин В.В. Решение обратной задачи гравиметрии о границах раздела трех сред.// Физика Земли, 1998, №3, с.54-57.

2. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. // М.: Наука, 1978, 352 с.

3. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач. // М.: Наука. 1988. 288 с.

4. Андреев Б.А. Расчеты пространственного распределения потенциальных полей и их использование в разведочной геофизике I// Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз. 1947. Т. И. №1. С. 79-92.

5. Андреев Б.А. Расчеты пространственного распределения потенциальных полей и их использование в разведочной геофизике II// Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз. 1949. Т. 3. №3. С. 257-266.

6. Андреев Б.А. Расчеты пространственного распределения потенциальных полей и их использование в разведочной геофизике III// Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз. 1952. №2. С. 22-30.

7. Андреев Б.А. Расчеты пространственного распределения потенциальных полей и их использование в разведочной геофизике IY// Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз. 1954. №1. С. 49-64.

8. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B., Степанова Л.Д. Применение алгоритмов итерационной регуляризации для решения обратных задач гравиметрии // Изв.АН СССР. Физика Земли. 1986. №10. С.43-50.

9. Балк П.И. Использование априорной информации о топологических особенностях источников поля при решении обратной задачи гравиметрии в рамках монтажного подхода.// Физика Земли, 1993, №5, с 59-71.

10. Балк П.И., Балк Т.В. Совмещенная обратная задача грави- и магнитометрии.// Физика Земли, 1996, №2, с. 16-30.

11. И. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука. 1975.

12. Бойков И.В., Мойко Н.В. Об одном итерационном методе решения обратной задачи гравиметрии для контактной поверхности.// Физика Земли, 1999, №2. С.52-56.

13. Бойков И.В., Войкова А.И. Оптимальные методы восстановления потенциальных полей. 1.// Физика Земли, 2001, №12, с.78-89.

14. Бродский М.А., Страхов В.Н. В классе однородных многогранников, гомеоморфных шару, решение обратной задачи ньютонова потенциала единственно// ДАН СССР. 1987. Т. 292. №6. С. 1337-1340.

15. Бродский М.А., Страхов В.Н. О решении обратной задачи потенциала для многогранников с переменными полиномиальными плотностями // ДАН СССР. 1987. Т. 293. №2. С. 336-339.

16. Вабищевич П.Н. О решении задачи Коши для уравнения Лапласа в двухсвязной области// ДАН СССР. 1978. Т. 241, №6. С. 1257-1260.

17. Вабищевич П.Н., Гласко В.Б., Криксин Ю.А. О решении одной задачи Адамара с помощью регуляризующего по А.Н.Тихонову алгоритма// ЖВМиМФ. 1979. Т. 19. М. С. 1463-1570.

18. Вабищевич П.Н. Численное решение задачи Коши для эллиптических уравнений и систем// Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислит, матем. и кибернетика. 1979. №3. С. 3-10.

19. Вабищевич П.Н. Разностные методы решения задачи Коши для эллиптических уравнений// ЖВМиМФ. 1981. Т. 21. №2. С. 509-511.

20. Вабищевич П.Н. О численном решении нелокальных эллиптических задач // Изв. ВУЗов. 1983. №5. С. 13-19.

21. Вабищевич П.Н., Пулатов П.А. Об одном вычислительном алгоритме решения задачи продолжения потенциала в гравиметрии// ДАН Тадж. ССР. 1983. Т. 26. №9. С. 539-541.

22. Вабищевич П.Н., Пулатов П.А. Об одном методе численного решения задачи Коши для эллиптических уравнений// Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислит, матем. и кибернетика. 1984. №2. С. 3-8.

23. Вабищевич П.Н. Численное решение задачи продолжения потенциала в сторону возмущающих масс// Изв. АН СССР. 1983. №7. С. 31-36.

24. Вабищевич П.Н. Разностные методы решения неустойчивых эволюционных задач// Вычислительные методы в математической физике. М., 1986. С. 73-87.

25. Вабищевич П.Н. Разностные методы решения некоторых некорректных задач// Изв. ВУЗов. Математика. 1984. №8. С. 3-9.

26. Вабищевич П.Н., Пулатов П.А. Численное решение задачи продолжения потенциальных полей.// Математическое моделирование, 2002, том 14, №4, с.91-104.

27. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1976. 528 с.

28. Воскобойников Г.М. Функция Карлемана и ее применение к решению некоторых задач геофизики// Изв. АН СССР. Сер. Геофизич. 1962. №11. С. 1579-1590.

29. Воскобойников Г.М. Интегральные преобразования и распределение особенностей логарифмического потенциала// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1965. №1. С. 76-89.

30. Воскобойников Г.М., Сиротин М.И. Об определении особенностей аналитического продолжения потенциальных полей// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1965. М2. С. 21-30.

31. Воскобойников Г.М., Шестаков А.Ф. Метод гасящих функций и его применение для определения особых точек геофизических полей, удовлетворяющим трехмерным уравнениям Лапласа и Гельмшольца.// Изв.АН СССР. Физика Земли. 1982. т. С.62-75.

32. Воскобойников Г.М., Преображенский Н.Г., Седельников А.И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. Новосибирск: Наука. 1984. 240 с.

33. Гласко В.В., Кравцов В.В., Кравцова Г.Н. Об одной обратной задаче гравиметрии// Вестник МГУ. Сер. 3. Физика, астрономия. 1970. №2. С. 174-179.

34. Гласко В.В., Володин Б.А., Мудрецова Е.А., Нефедова Н.Ю. О решении обратной задачи гравиметрии для контактной поверхности на основе метода регуляризации// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1973. №2. С. 30-41.

35. Гласко В.В., Остромогильский А.Х., Филатов В.Г. О восстановлении глубины и формы контактной поверхности на основе регуляризации// ЖВМиМФ. 1970. Т. 10. т. С. 1292-1297.

36. Гласко В.В., Гущин Г.В., Гущина Л.Г., Мудрецова Е.А. Об использовании данных бурений при восстановлении формы контакта с помощью метода регуляризации// ЖВМиМФ. 1974. Т. 14. №5. С. 1272-1280.

37. Гласко В.В., Литвиненко O.K., Мудрецова Е.А., Страхов В.Н., Федынский В.В. Метод регуляризации А.Н.Тихонова в современной разведочной геофизике// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1977. М. С. 24-39.

38. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики. Изд-во МГУ, 1984. 112 С.

39. Голузин Г.М., Крылов В.И. Обобщенная формула Саг1емап'а и приложение ее к аналитическому продолжению функций// Матем. сборник. 1933. Т. 40. №2. С. 144149.

40. Данилов В.Л. Методы установления в прикладных обратных задачах потенциала. М.: Наука. 1996. 248 с.

41. Девицын В.М. Численный метод аналитического продолжения двумерных потенциальных полей I// Изв. АН СССР. Сер. Геофизич. 1964. №9. С. 1376-1388.

42. Девицын В.М. Численный метод аналитического продолжения двумерных потенциальных полей И// Изв. АН СССР. Сер. Геофизич. 1964. №11. С. 1654-1673.

43. Девицын В.М. Об изучении строения двумерных слоистых сред по комплексу наземной и скважинной гравиметрии// изв. ан ссср. сер. Физика Земли. 1981. №9. С. 44-50.

44. Жданов М.С. Развитие теории аналитического продолжения в криволинейных областях// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1971. №5. С. 114-121.

45. Жданов М.С. Аналог интеграла Коши в теории геофизических полей. М.:Наука. 1984.

46. Заморев А.А. Решение обратной задачи теории потенциала// ДАН СССР. 1941. Т. 32. №8. С. 546-547.

47. Иванов В.К. Обратная задача потенциала для тела, близкого к данному// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1956. Т. 20. №6. С. 793-818.

48. Иванов В. К. Интегральное уравнение обратной задачи логарифмического потенциала// ДАН СССР. 1955. Т. 105. №3. С. 409-411.

49. Иванов В.К. О распределении особенностей потенциала// УМН. 1956. №5. С. 67-70.

50. Иванов В.К. Об устойчивости обратной задачи логарифмического потенциала// Изв. ВУЗов. Математика. 1958. №4. С. 96-99.

51. Иванов В.К. Теорема единственности обратной задачи логарифмического потенциала для звездных множеств// Изв. ВУЗов. Математика. 1958. №3. С. 99-106.

52. Иванов B.K. О разрешимости обратной задачи логарифмического потенциала в конечном виде// ДАН СССР. 1956. Т. 106. №. С. 598-599.

53. Иванов В. К. Интегральные уравнения первого рода и приближенное решение обратной задачи потенциала// ДАН СССР. 1962. Т. 142. №5. С. 998-1000.

54. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах// Матем. сборник. 1963. Т. 61. M. С. 211-223.

55. Иванов В.К. Задача Коши для уравнения лапласа в бесконечной полосе// Дифференц. уравн. 1965. Т. 1. №1. С. 131-136.

56. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. теория линейных некорректных задач и ее приложения. М., 1978. 206 с.

57. Исаков В.М. О единственности решения контактной обратной задачи теории потенциала//Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8. №1. С. 30-40.

58. Исаков В.М. О единственности решения обратной задачи теории потенциала// ДАН СССР. 1979. Т. 245. №5. С. 1045-1047.

59. Казакова Л.Э. Теоремы единственности и устойчивости обратной задачи ньютоновского потенциала для звездных множеств // Изв. ВУЗов. Математика. 1963. №1. С. 85-93.

60. Калиткин H.H. Численные методы. М., 1978. 512 с.

61. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1972. 496 с.

62. Костин А.Б. Обратные задачи для математических моделей физических процессов. М: Изд-во МИФИ, 1991.

63. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. // Новосибирск: СО АН СССР, 1962, 92 с.

64. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск: Изд-во Института математики, 1999, 702 с.

65. Лаврентьев М.М. О задаче коши для уравнения Лапласа// ДАН СССР. 1955. Т. 102. №2. С. 205-206.

66. Лаврентьев М.М. О задаче коши для уравнения Лапласа// Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1956. Т. 20. №6. С. 819-842.

67. Лаврентьев М.М. О задаче Коши для линейных эллиптических уравнений второго порядка// ДАН СССР. 1957. Т. 112. №2. С. 195-197.

68. Лаврентьев М.М., Васильев В. Г. О постановке некоторых некорректных задач математической физики// СМЖ. 1966. Т. 7. №3. С. 559-576.

69. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.:Наука, 1980. 288 с.

70. Ландис Е.М. О свойствах решений эллиптических уравнений// ДАН СССР. 1956. Т. 107. №5. С. 640-643.

71. Ландис Е.М. Некоторые вопросы качественной теории эллиптических уравнений второго порядка (случай многих независимых переменных// УМН. 1963. Т. 18. №1. С.3-62.

72. Ланеев Е.Б., Губин В.Б. и др. Методические указания по использованию стандартных программ ЭВМ для решения задач информатики. М.:Изд-во УДН. 1985.

73. Ланеев Е.Б., Васудеван Вхувана Об устойчивом решении одной смешанной задачи для уравнения Лапласа.//Вестник РУДН. Серия Прикладная математика и информатика. 1999. №1. С.128-133.

74. Ланеев Е.Б. О некоторых постановках задачи продолжения потенциального поля.//Вестник РУДН. Серия Физика. 2000. №8(1). С. 21-28.

75. Ланеев Е.Б. Двумерный аналог преобразования Гильберта в задаче продолжения потенциального поля.//Вестник РУДН. Серия Прикладная математика и информатика. 2001. №1. С.110-119.

76. Ланеев Е.Б. О погрешности периодической модели в задаче продолжения потенциального поля.//Вестник РУДН. Серия Физика. 2001. №9(1). с.4-16.

77. Ланеев Е. Б., Лузгачёва Е. В. Об устойчивом решении одной краевой задачи для системы уравнений потенциального поля.// Вестник РУДН. Серия Математика. 2002. №9(1). С.92-101.

78. Bobrikova Е. V., Laneev Е.В. and, Zhidkov Е.Р. Stable potential field continuation from non-planar surface.// Abstracts of International Conference CMAM-1, July 20-24, 2003, Minsk, Belarus, p. 14.

79. Ланеев Е.Б., Бобрикова Е.В. О равномерном устойчивом приближении одной некорректной краевой задачи для системы уравнений потенциального поля.// Вестник РУДН, сер. Математика, 2003, №1(10), С. 8-15.

80. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М., 1970. 336 с.

81. Леонов А.С. Об устойчивом решении обратной задачи гравиметрии на классе выпуклых тел// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1976. №7. с. 55-64.

82. Малкин Н.Р. Определение толщины однородногоматериального слоя, покрывающего сферу или плоскость по заданному потенциалу его// Труды Физико-математического института им. В.А.Стеклова. 1932. Т. 2. Вып. 4. С. 17-26.

83. Маловичко А.К. Об определении контактной поверхности гравиметрическим аномалиям// Прикладная геофизика. 1948. Вып. 4.

84. Марчук Г.И., Шайдуров В. В. Повышение точности решений разностных схем. М.:Наука. 1979. 320 с.

85. Мергелян С.Н. Гармоническая аппроксимация и приближенное решение задачи Коши ддя уранения Лапласа// УМН. 1956. Т. 11.№5. С.3-26.

86. Миронов B.C. Курс гравиразведки. Л.: Недра, 1972, 512 с.

87. Морозов В.А. Регулярные методы решения некоррекно поставленных задач. М., 1987. 240 с.

88. Недялков И.П., Вырнев П.Х. Аналитическое продолжение гравитационных аномалий// Изв. АН СССР. Сер. геофизич. 1963. №6. С. 922-935.

89. Недялков И.П. Редукция решений дифференциальных уравнений эллиптического типа// ДАН СССР. 1962. Т. 144. №4. С. 751-754.

90. Недялков И.П. Разделение потенциальных полей// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1965. №12. С. 31-44.

91. Недялков И.П. О решении обратной задачи теории потенциала методом подбора при помощи дисплея// ДАН СССР. 1970. Т. 193. №3. С. 576-578.

92. Недялков И. П. О некоторых некорректных задачах теории потенциала и их приложении в разведочной геофизике. София: Изд-во Болг. АН. 1978.

93. Новиков П. С. О единственности обратной задачи потенциала// ДАН СССР. 1938. Т. 19. №3. С. 165-169.

94. Оганесян С.М., Старостенко В. И. Тела нулевого внешнего гравитационного потенциала: о забытых работах и современном состоянии теории // Изв.АН СССР. Физика Земли. 1985. №3. С.49-62.

95. Остромогильский А.Х. О единственности решения обратной задачи теории потенциала// ЖВМиМФ. 1969. Т. 9. №5. С. 1189-1191.

96. Остромогильский А.Х. О единственности решения обратной задачи теории потенциала// ЖВМиМФ. 1970. Т. 10. №2. С. 352-361.

97. Прилепко А.И. Внешняя обратная задача объемного потенциала переменной плотности для тела, близкого к данному// ДАН СССР. 1969. Т. 185. №1. С. 4042.

98. Прилепко А.И. Об единственности определения формы и плотности тела в обратных задачах теории потенциала// ДАН СССР. 1970. Т. 193. №2. С. 288-291.

99. Прилепко А.И. О единственности решения внешней обратной задачах ньютонового потенциала// Дифференц. уравн. 1966. Т. 2. М. С. 107-124.

100. Прилепко А.И. Об обратных задачах теории потенциала// Дифференц. уравн. 1967. Т. 3. №1. С. 30-44.

101. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала// Матем. заметки. 1973. Т. 14. №5. С. 755-767.

102. Рапопорт И.М. О плоской обратной задаче теории потенциала// ДАН СССР. 1940. Т. 28. №4. С. 305-307.

103. Рапопорт И.М. Об устойчивости в обратной задаче теории потенциала// ДАН СССР. 1941. Т. 31. №4. С. 303-306.

104. Симонов В.П. К вопросу об единственности обратной задачи потенциала//Научные доклады высшей школы. 1958. №6. С. 14-18.

105. Спичак В.В. Магнитотеллурические поля в трехмерных моделях геоэлектрики. М.: Научный мир. 1999. 204 с.

106. Сретенский JI.H. Теория ньютоновского потенциала. M.-JT. 1946.

107. Сретенский JI.H. О единственности определения формы притягивающего тела по значениям его внешнего потенциала// ДАН СССР. 1954. Т. 99. М. С. 21-22.

108. Сретенский JI.H. Об одной обратной задаче теории потенциала// Изв АН СССР. Сер. матем. 1938. Т. 2. №5-6. С. 551-570.

109. Старостенко В.И., Дядюра В.А., Заворотько А.Н. об интерпретации гравитационного поля земли методом подбора// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1975. №4. С.78-85.

110. Стпаростенко В.И. Устойчивые численные методы в гравиметрии. Киев: Наукова думка. 1978. 228 с.

111. Старостенко В. И. Гравитационное поле однородных n-угольных пластин и порождаемых ими призм: обзор.// Физика Земли, 1998, №3. С.37-53.

112. Степанова И.Э. О восстановлении источника гравитационных масс в задачах типа структурных. Случай открытых римановых поверхностей.// Физика Земли, 2000, №6. С.92-96.

113. Степанова И.Э. О восстановлении источника гравитационных масс в задачах типа рудных. Случай компактных римановых поверхностей.// Физика Земли, 2000, №8, с.86-91.

114. Степанова И.Э. О некоторых вариационных постановках обратной трехмерной задачи потенциала типа рудных.// Физика Земли, 2000, №12, с.67-72.

115. Степанова И.Э. Об одном устойчивом алгоритме восстановления эллипсоидов.// Физика Земли, 2001, №11, с.101-106.

116. Страхов В.Н. Об условиях однозначного определения границ раздела двухмерных слоистых сред по данным гравитационных наблюдений// ДАН УССР. Сер. Б. 1975. №12.

117. Страхов В.Н. Эквивалентность в обратной задаче гравиметрии и возможности ее практического использования при интерпретации гравитационных аномалий// Изв. АН СССР. Физика Земли. 1980. №2. С.44-64.

118. Страхов В.Н. Эквивалентность в обратной задаче гравиметрии и возможности ее практического использования при интерпретации гравитационных аномалий// Изв.АН СССР. Физика Земли. 1980. №9. С.38-69.

119. Страхов В.Н. К теории обратной задачи логарифмического потенциала для контактных поверхностей// Изв. АН СССР. Физика Земли. 1974. №6. С. 39-60.

120. Страхов В.Н., Гольдшмидт В.И., Калинина Т.Б. Состояние и перспективы развития в СССР теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий// Изв. АН СССР. Физика Земли. 1982. №5. С. 11-30.

121. Страхов В.Н. Об одной обратной задаче теории логарифмического потенциала // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1965. №1. С. 90-97.

122. Страхов В.Н. К теории интерпретации магнитных и гравитационных аномалий на основе аналитического продолжения// ДАН СССР. 1967. Т. 176. №5. С. 1059-1062.

123. Страхов В.Н. О вычислительных схемах для аналитического продолжения потенциальных полей I // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1961. №2. С. 215-223.

124. Страхов В.Н. О вычислительных схемах для аналитического продолжения потенциальных полей II // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1961. №3. С. 349-359.

125. Страхов В.Н. О вычислительных схемах для аналитического продолжения потенциальных полей III // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1961. №9. С. 1290-1313.

126. Страхов В.Н., Голиздра Г.Я., Старостенко В.И. Развитие теории и практики интерпретации потенциальных полей в XX веке.// Физика Земли, 2000, №9, с.41-64.

127. Страхов В.Н. К теории аналитического продолжения двухмерных полей методом конформных решеток// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1971. №11. С. 40-60.

128. Страхов В.Н. Теория аналитического продолжения двухмерных потенциальных полей в области нижней полуплоскости// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1972. №11. С. 38-55.

129. Страхов В.Н. Об аналитическом продолжении двухмерных потенциальных полей в произвольные области нижней полуплоскости, примыкающие к оси ох// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1970. №6. С. 35-52.

130. Страхов В.Н. Некоторые основные проблемы линейного анализа аномальных потенциальных полей// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1974. №7. С. 43-53.

131. Страхов В.Н. Интерпретационные процессы в гравиметрии и магнитометрии это реализация единого аппроксимационного подход. I. Основные идеи и конструктивные принципы.// Физика Земли. 2001. №10. С.3-18.

132. Страхов В.Н. Становление новой парадигмы это разрушение господствующего стереотипа мышления (на примере гравиметрии и магнитометрии).// Физика Земли, 2002, №3. С.3-20.

133. Страхов В.Н., Керимов И.А. Аппроксимационные конструкции спектрального анализа (F-аппроксимация) гравиметрических данных.// Физика Земли, 2001, №12. С.3-20.

134. Судаков В.Н., Халфин Л.А. Статистический подход к корректности задач математической физики// ДАН СССР. 1964. Т. 157. №5. С. 1058-1060.

135. Тарханов H.H. О матрице Карлемана для эллиптических систем// ДАН СССР. 1985. Т. 284. №2. С. 294-297.

136. Тихонов А. Н. об устойчивости обратных задач// ДАН СССР. 1943. Т. 39. №5. С. 195-197.

137. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. Применение метода регуляризации в нелинейных задачах//ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5. №3. С. 463-473.

138. Тихонов А.Н., Гласко В.В., Литвиненко O.K., Мелихов В.Р. О продолжении потенциала в сторону возмущающих масс на основе метода регуляризации// Изв. АН СССР. Физика Земли. 1968. №1. С. 30-48.

139. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

140. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. О применении метода регуляризации в задачах геофизической интерпретации// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1975. №1. С. 38-47.

141. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. О приближенном решении интегральных уравнений I рода //ЖВМ и МФ. 1964. Т. 4. №3. С. 564-571.

142. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М., 1972. 736 с.

143. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов A.A. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987. 160 с.

144. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В, Ягола А.Г. Регуляризующие алгоритмы и априорная информация. М., 1983. 198 с.

145. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации// ДАН СССР. 1963. Т. 151. №3. С. 501-504.

146. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач// ДАН СССР. 1963. Т. 153. №1. С. 49-52.

147. Тодоров И. Т., Зидаров Д. О единственности определения формы притягивающего тела по значениям его внешнего потенциала// ДАН СССР. 1958. Т. 120. №2. С. 262-264.

148. Урев М.В. Об осесимметричной задаче Коши для уравнения Лапласа// ЖВМиМФ. 1980. Т. 20. №4. С. 939-947.

149. Федотов A.M. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск. 1982. 189 с.

150. Хемминг Р. В. Численные методы для научных работников и инженеров. М.: Наука. 1968. 400 с.

151. Цирульский A.B. О единственности решения обратной задачи потенциала // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1969. №6. С.60-65.

152. Цирульский A.B. О связи задачи об аналитическом продолжении логарифмического потенциала с проблемой определения границ возмущающей области// Изв. АН СССР. Сер. геофизич. 1964. №11. С. 1693-1696.

153. Чудов Л.А. Разностные методы решения задачи Коши для уравнения Лапласа// ДАН СССР. 1962. Т. 143. №4. С. 798-801.

154. Шашкин Ю.А. О единственности в обратной задаче теории потенциала// ДАН СССР. 1957. Т. 115. т. С. 64-66.

155. Шашкин Ю.А. Теоремы единственности и устойчивости обратной задачи логарифмического потенциала// Матем. сборник. 1964. Т. 63. №2. С. 216-226.

156. Ярмухамедов Ш. О задаче Коши для уравнения Лапласа// ДАН СССР. 1977. Т. 235. №2. С. 281-283.

157. Сагкмап Т. Les fonctions quasi analytiqies. Paris. 1926.

158. John F. A note on «improper» problems in partial differential equations// Comm. pure and appl. math. 1955. v. 8. №4. p. 591-594.

159. Payne L.E. Bounds in the Cauchy proelem for the Laplace equation// Arch, rational, mech. anal. 1960. v. 5. №1. p. 35-45.

160. NewMan D.J. Numerical method for solution of an elleptic Cauchy ргов1ет// J. Math, and Phys. 1960. V. 39. №1. P. 72-75.

161. Pucci C. Sui proelemi Cauchy non 'ben posti'// Atti Accad. naz. Lincei. Rend. CI. sci. fis., mat. e natur. 1955. Serie 8. V. 18. P. 473-477.

162. Pucci C. Discussione del proelema di Cauchy pur le equazioni di tipo elliptico// Ann. mat. pura ed appl. 1958. Serie 4. V.46. P. 131-153.