автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Устойчивый метод решения некорректно поставленной задачи Коши для уравнения теплопроводности

Табет Адель Салех Абдулхак

УСТОЙЧИВЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 2 МАЙ 2011

Москва — 2011

4845133

Работа выполнена на кафедре нелинейного анализа и оптимизации Российского университетеа дружбы народов

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Ланеев Евгений Борисович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Зотов Владимир Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент

Жидков Евгений Николаевич

Ведущая организация:

Центральный экономико-математический институт РАН

Защита диссертации состоится «13» мая 2011 г. в 16 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.28 в Российском университете дружбы народов по адресу: г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 110

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.6. (Отзывы на автореферат просьба направлять по указанному адресу.)

Автореферат разослан с Ь » апреля 2011 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Фомин М.Б.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

Современные вычислительные средства, непрерывный рост их возможностей позволяют проводить все более глубокую обработку данных измерений, извлекая из них все больший объем информации, а также расширяя круг «решаемых» задач. Появляется возможность усложнения моделей, в рамках которых производится обработка данных. Обработка данных измерений с целью извлечения новой информации особенно актуальна в тех случаях, когда непосредственное измерение параметра невозможно в силу тех или иных причин, что характерно для так называемых обратных задач. К числу последних относится обратная задача термографии, заключающаяся в восстановлении внутренней тепловыделяющей структуры объекта по данным измерений температурного поля на поверхности объекта. Уже это, например, тепловизионное, изображение представляет собой изображение этой структуры, в той или иной мере искаженное процессом теплопроводности. В рамках той или иной выбранной модели теплопроводящих свойств тела это изображение может быть скорректировано методом продолжения нестационарного температурного поля. При широком распространении в настоящее время тепловизионных методов исследования такая корректировка и интерпретация термографических изображений весьма актуальна.

Задача продолжения нестационарного температурного поля сформулирована как некорректно поставленная задача Коши для уравнения теплопроводности. Базовые принципы построения устойчивых методов решения некорректных задач заложены в трудах А.Н.Тихонова, В.К.Иванова, М.М.Лаврентьева и других российских и зарубежных математиков. Вместе с тем актуально развитие теории и методов решении некорректно поставленных задач, в переходе ко все более сложным моделям. Сложность рассматриваемой в диссертации задачи состоит в том, что модель трехмерная, поверхность имеет произвольный вид, задана приближенно и температурное поле нестационарно. Перечисленные характеристики задачи позволяют в принципе исследовать эволюцию внутренней тепловыделяющей

с ,

структуры объекта по косвенным данным - по эволюдаи температурного поля на его поверхности.

Сложность выбранной модели объективно ведет и к усложнению алгоритмов. Актуальная задача - построение эффективных вычислительных алгоритмов, минимизирующих объем вычислительной работы.

Цель работы

Цель работы заключается в решении следующих задач:

1. Выбор и анализ математической модели, допускающей восстановление эволюции внутренней структуры объекта по эволюции измеренного температурного поля на поверхности объекта в рамках концепции продолжения нестационарного температурного поля как продолжения решения уравнения теплопроводности с границы.

2. Построение и исследование устойчивого приближенного решения некорректной начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности с данными Коши на поверхности произвольного вида, заданной приближенно.

3. Разработка эффективных алгоритмов численного решения некорректно поставленной начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.

4. Применение разработанных алгоритмов к решению модельных и практических задач термографии методом продолжения нестационарного температурного поля.

Методы исследования

В работе использовались методы теории уравнений с частными производными, методы регуляризации некорректно поставленных задач, метод Фурье и преобразование Лапласа, а также средства современного вычислительного эксперимента.

Научная новизна работы

Научная новизна работы заключается в разработке новых методов исследования эволюции внутренней тепловыделяющей структуры объекта на основе косвенных данных измерений. В основе метода анализ продолжения измеренного температурного поля в рамках выбранной модели однородного теплопроводящего тела с произвольной поверхности, заданной (измеренной) приближенно. На основе устойчивых решений математической задачи получены новые вычислительные алгоритмы решения задачи продолжения методом Фурье в случае продолжения как с плоской, так и с произвольной поверхности.

Практическая ценность работы

Результаты исследования могут быть использованы для обработки тепловизионных (термографических) данных. Обратная задача термографии заключается в восстановлении внутренней тепловыделяющей структуры объекта по данным измерений температурного поля на поверхности объекта. Уже это, например, тепловизионное, изображение представляет собой изображение этой структуры, в той или иной мере искаженное процессом теплопроводности. Разработанный на базе выбранной математической модели теплопроводящих свойств тела метод продолжения нестационарных температурных полей может рассматриваться как метод обработки термографических данных с целью коррекции изображений. Метод может быть использован в медицине для исследования изменений во времени аномальных образований в организме человека, а также - для обработки тепловизионных изображений в различных технических областях.

Обоснованность и достоверность полученых результатов

Полученные в диссертации результаты обоснованы применением строгих математических методов теории дифференциальных уравнений в частных производных, теории регуляризации некорректно поставленных задач, методов вычислительной математики. Достоверность результатов подтверждается строгими

доказательствами, а также эффективностью разработанных алгоритмов при проведении вычислительного эксперимента.

Апробация работы

Основные результаты работы были доложны на ХПИ и ХЬУ1 Всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики и химии, Российский университет дружбы народов (Москва, 2007, 2010). а также на семинаре кафедры нелинейного анализа и оптимизации под руководстом проф. А.В.Арутюнова, семинаре по математическому моделированию под руководством проф. Л.А.Севастьянова.

Личное участие автора

Личное участие автора в получений результатов диссертации заключается в непосредственном участии в построении решения задачи и и его исследования, построении вычислительных алгоритмов. Все результаты, выносимые на защиту, получены лично автором.

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 4 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата. Результаты диссертации в полной мере отражены в двух работах, опубликованных в ведущих рецензируемых научных изданиях, определенных ВАК [1,2]. В работах, выполненных в соавторстве, личный вклад соискателя заключается в непосредственном участии в построении решения задачи, проведении аналитических и численных исследований.

Объём и структура работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 154 страницы машинописного текста, 8 рисунков и библиографию из 172 наименований.

Краткое содержание диссертации

Во введении обоснована актуальность рабты, сформулированы цель, научная новизна и практическая ценость работы, излагается краткое содержание каждой главы диссертации.

В Первой главе проведен выбор математической модели задачи продолжения нестационарного температурного поля. В первом параграфе описывается техника тепловидения, ее физические основы, принцип работы тепловизора, схема получения термографических изображений исследуемых объектов. Во втором параграфе обоснован выбор математической модели в виде смешанной краевой задачи Коши для уравнения теплопроводности, являющейся основой для построения обратной задачи.

Рассматривается нестационарное температурное поле и в однородном теплопроводящем теле

D(F, оо) = {(x,y,z) : 0 <х <1Х, 0 <у < ly, F(x,y) <z< оо}, имеющем форму цилиндра прямоугольного сечения, ограниченного поверхностью

S = {(х, y,z):Q<x<lx,0<y<ly,z — F{х, у)}, FeC2(II), П= [0Л]®[0,У,

и содержащем источники тепла плотности р, зависящей от времени:

^ = а2Ли(М, t) — 4np(M,t), М 6 D(F,oo), Oct,

"|i=o = 0, u)x=1, = 0, u|j,=a = 0, u\y=h = 0, ^

"|t=o = Т(х, у, z)

и —t 0 при г —> оо.

Предполагается, что распределение температуры при t = 0 ровно T(x,y,z) и на боковых гранях поддерживается постоянная температура (для простоты равная нулю), а на поверхности S поддерживается конвективный теплообмен с окружающей средой (нулевой) по закону Ньютона и приводящий к условию третьего рода

Для формирования эталонных решений «прямой» задачи (модельных примеров) проведена редукция задачи (2)-(3) к интегральному уравнению для его последующего численного решения. В третьем параграфе приведено решение прямой задачи (2)-(3) в явном виде в случае, когда поверхность 5 является плоскостью. В четвертом параграфе в рамках сформулированной модельной задачи (2)-(3) ставится обратная задача.

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА. Пусть в рамках модели (2)-(3) плотность р не известна, но задано граничное значение

и = /и, о<г.

Необходимо найти функцию плотность р. При этом мы будем считать, что как функция /, так и поверхность й, на практике представляющие собой результаты измерений, заданы приближенно.

Показана связь поставленной обратной задачи с обратной задачей потенциала. Отмечены трудности на пути решения обратной задачи потенциала - обсуждается проблема единственности решения и проблема его устойчивости, указывается на узость классов единственности, в которых может быть построено решение обратной задачи потенциала. Дан обзор литературы по этой теме. Вместе с тем отмечается, что в ряде случаев для практических целей бывает достаточно иметь неполную информацию об исследуемом объекте, например, характерные параметры формы носителя плотности р, распределение особенностей решения, или же, в случае, когда уже есть некоторая априорная информация о структуре объекта, исследовать аномалии в этой структуре. В пятом параграфе приведена замена обратной задачи потенцала на задачу продолжения нестационарного температурного поля в область вне источников. В шестом параграфе задача продолжения в рамках модели (2)-(3) формулируется в виде смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности

в области, не содержащей источники:

§ = а2Ди(Л/,«), М 6 ОД Я), 0<И

т = /,

ди

дп

я

(4)

4=о = т(М), л/еодя)

«|х=о = 0, «|1=|* = о, «|„=о = О, щ|„=/„ = О,

ОД, Я) = {(х,у,г) :0 < х < 1х, 0 < у < 1у, Р(х,у) < г < Я}, (5)

поверхность 5 имеет вид (1). Предполагается, что источники плотности р располагаются в области г>Н. Задача (4) содержит условия Коши по пространственным переменным и некорректно поставлена.

Во второй главе построено устойчивое приближенное решение некорректной задачи Коши для уравнения теплопроводности с данными Коши на приближенно заданной поверхности общего вида. В первом параграфе приведен обзор методов решения некорректно поставленных задач Коши. Во втором параграфе в явном виде приведено точное решение сметанной краевой задачи для уравнения теплопроводности в общей постановке

^ = а2Ди(М,г), МбВ(Р,Я), 0<«

= Л

ди 1Г\

«|4=о = Т{х, у, г)

«|х=о = 0, и|х_(, = 0, ■и|у_о = 0, и|у_;в = О,

где Я) и 5 имеют вид (5) и (1) соответственно, основанное на приведении ее к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Отмечена проблема неустойчивости этого решения. В третьем параграфе на основе метода регуляризации Тихонова с использованием схемы, описанной во втором параграфе, приведена схема построения приближенного решения, устойчивого к погрешностям в данных Коши,' таких, что

||/а-/||<<5, ||зг-р||<5. (7)

Приближенное устойчивое решение смешанной краевой задачи при этом имеет вид и1а(М,ь) = у6а(М,г)-Ф*{М,г), МеО(Р,н), о<г, (8)

,+ioo J'+'^li+fl

I f

Es? / ePt

dpx

, 7гш; . тсту ,„.

x sm —¡— sin ——, (9)

y

t

¥(M,t) = -J Jlg\P,T)<p(M,P,t,T)-f\P,T)^-(M,P,t,T)}daPdT, (10) o s

^ n,£il П1)

. тахм . 7гт2/м . irnxp . жтур ' ^ '

x sin —-— sin —-— sm —-— sin —-.—.

«¡E íy *y

Фпт{Ъ,р) - образ Лапласа коэффициентов Фурье функции Ф6{М, ¿)}МеЩЬ) на уровне » 2=6, i < .min F(x,y), область D(F,H) имеет вид (5), а - параметр регуляризации. Сформулирована теорема о равномерной сходимости приближенного решения смешанной краевой задачи к точному. В четвертом параграфе в предположении, что поверхность S задается на основе измерений, то есть, приближенно, ставится задача вычисления нормали к такой поверхности. Эта задача появляется в ходе решения смешанной краевой задачи при вычислении интеграла (10), содержащего нормаль к этой поверхности:

Ф*(М,*) = - J J [gs(P,TMM,P,t,T)ni(P)-

о П(0)

- ftP.TXVMM.Pit.Tlniíñil^tepdypdr, (12)

где

Задача вычисления нормали некорректно поставлена как задача дифференцирования неточно заданной функции. Для построения приближенного

устойчивого решения задачи (6) использовано решение задачи вычисления нормали, основанное на подходе В.А.Морозова к задаче вычисления значений неограниченного оператора. В случае, когда поверхность 3 вида (1) задается с некоторой погрешностью, а именно - вместо точной функции ^ задана функция К*1 такая, что

(13)

в качестве приближения к функции ЧР, вычисляемого по известной функции Р*1, связанной с Р условием (13), будем использовать градиент от экстремали И^1 функционала Тихонова

и^Щ = IIIV-.р* II2 +/З||УИН|2 ,

1 1 II 11 ¿2(П) II 11£2(П)

для приближенного значения нормали имеет место формула

= = (14)

с оценкой при /3(/х) =

К-^т* >/11^11"

В пятом параграфе объединяются результаты предыдущих двух параграфов. В нем в явном виде построено приближенное устойчивое решение смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности (6) в случае неточных данных Коши » (7) на приближенно заданной границе (13), отличающееся от решения (8)—(11) приближенно вычисленной нормалью. В общем виде сформулирована и доказана - с учетом неточных данных Коши на неточной границе - теорема о равномерной сходимости приближенного устойчивого решения смешанной краевой задачи (6) к точному. В тестом параграфе получено приближенное устойчивое решение задачи продолжения температурного поля (4) как сметанной краевой задачи для уравнения теплопроводности (6) при gs = —/г/5, приближенное устойчивое решение которой было построено в пятом параграфе. Доказана теорема о равномерной сходимости приближенного устойчивого решения задачи продолжения температурного поля к точному.

В третьей главе разработаны и обоснованы вычислительные алгоритмы решения прямых и обратных задач, рассматриваемых в диссертации. В первом параграфе указывается на необходимость дискретизации задачи для ее численного решения, вводится равномерная сетка с временом, интегралы заменяются интегральными суммами, ряды Фурье, которые использовались во второй главе при решении смешанной краевой задачи (б), заменяются конечными рядами Фурье, что позволяет пользоваться аппаратом дискретных рядов Фурье, Во втором параграфе проведена, дискретизация смешанной краевой задачи (6) при условии использования точных входных данных, сделан переход к конечным рядам, получены оценки дискретизации задачи. В третьем параграфе предложен и обоснован экономичный метод вычисления коэффициентов Фурье решения смешанной краевой задачи (6). В четвертом параграфе проведена дискретизация задачи вычисления нормали к поверхности, заданной приближенно, получены оценки разности приближенной и точной нормали. В пятом параграфе проведена дискретизация смешанной краевой задачи (6) при условии использования приближенно заданной поверхности и данных Коши на ней, получено приближенное устойчивое ее решение:

у,, г, I) = VI, г,«) - у„ г, <), (*,, щ, г) € ОЩ, Н) (15)

у. , л = V V — I с* (

V. [х»у„г,г)- ^ ^ у е- ф

хвш^вш^р-, *®

, , «-1 лг,-1 N,-1

Х У Г=1 ¿=1 ; = 1

п=1 т=1 1 /

Получены оценки дискретизации задачи. Сформулирована теорема о равномерной сходимости устойчивого приближенного решения смешанной краевой задачи к

точному. В шестом параграфе полученные результаты использованы для построения вычислительных алгоритмов решения задачи продолжения нестационарного температурного поля (4) как задачи обработки термографических данных. В седьмом параграфе приведены вычислительные алгоритмы решения прямых модельных задач, приведены дискретные формулы для моделирования потенциала и его нормальной производной, получены дискретные формулы для решения прямой задачи (2) для формирования температурного поля на плоской поверхности, для случая неплоской поверхности предложен алгоритм построения численного решения. Эти решения используются в четвертой главе в качестве исходных данных при решении задачи продолжения нестационарного температурного поля.

В четвертой главе приведены результаты вычислительного эксперимента на модельных примерах по продолжению нестационарных температурных полей как результаты обработки термографических данных.

В заключении перечислены основные оригинальные результаты, полученные автором.

На защиту выносятся следующие результаты

В рамках математической модели однородного теплопроводящего тела содержащего изменяющуюся во времени тепловыдяющую структуру.

1. Разработан эффективный метод устойчивого решения некорректной начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности с данными на поверхности произвольного вида.

2. На основе начально-краевой задачи разработан метод продолжения нестационарных температурных полей с поверхности, заданной приближенно, с целью восстановления плотности источников.

3. Разработаны эффективные вычислительные алгоритмы продолжения нестационарных температурных полей с приближенно заданной поверхности произвольного вида.

4. Разработан метод математической обработки термографических данных с целью восстановления эволюции внутренней структуры исследуемого объекта.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

|1| Ланссм Е. Б., Муратов М. Н., Табстп Адсль Салкх Абдулхак. Задача продолжения нестационарного температурного поля с произвольной поверхности. // Вестник РУДН. Серия Математика. 2010. №2(1). С. 110112.

|2| Ланг.е.н Е. Б., Муриппн М. Я., Тибет Адгль Салпх Абдулхак. Об устойчивом продолжении решений уравнения теплопроводности с неточно заданной границы. // Вестник РУДН, Серия Математика. Информатика. Физика.2011. .VI. С. 36-43.

|3| Табг.т Адсль Силах. Об устойчивом вычислении значений некоторых операторов векторного анализа. //ХЫП Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Москва. 23-27 апреля 2007 г. С.35.

[4] Табет Аделъ Салех Абдулхак. Задача продолжения нестационарного температурного поля с произвольной поверхности. // Х1Л/1 Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Москва. 19-23 апреля 2010 г. С.60.

Табет Адель Салех Абдулхак Устойчивый метод решения некорректно поставленной задачи Коши для уравнения теплопроводности

В диссертации предлагается метод коррекции тепловиэионного изображения, основанный на продолжении нестационарного температурного поля с поверхности в область, близкую к структурным неоднородностям. Математически проблема обработки термограмм сведена к некорректно поставленной смешанной краевой задаче для уравнения теплопроводности, особенностью которой, имея в виду ее прикладной характер, является приближенное задание исходных данных на неточно заданной поверхности в зависимости от времени. Предложен устойчивый метод решения этой задачи, включающий иснользишшис решения задачи об устойчивом построении нормали к поверхности, заданной приближенно.

Adel Saleh Abdulhak Thabet Robust method for solving inconsistently formulated Cauchy problem for heat conduction equation

In the theses, a method for the correction of thermal image based on continuation of unsteady temperature fields from the surface in the region close to the structural heterogeneity is proposed. Mathematically, the problem of processing thermograms was reduced to inconsistently formulated mixed boundary value problem for the heat equation, which feature, meaning its applied nature, is an approximation of initial data on inaccurately defined surface against time. A robust method for solving this problem, which includes the component of the solution to the problem on steady construction of normal to an approximately given surface, is proposed.

Подписано в печать 30.03.2011. Формат 60x84/16. Гарнитура "Times New Roman". Бумага офсетная. Печать офсетная. Тираж 100 экз. Заказ 110.

ООО «Издательско-Полиграфическая Компания «Информкнига» 141231, Московская обл., Пушкинский район, Поселок сельского типа Лесной, ул.Пушкина, д.8, корпус А

Введение.

Глава 1 Постановка задачи.

1.1 Физическая модель.

1.2 Математическая модель

1.3 Решение прямой задачи для плоскости поверхности.

1.4 Постановка обратной задачи и ее сведение к обратной задаче потенциала.

1.5 Замена обратной задачи потенциала на задачу продолжения нестационарного температурного поля.

1.6 Формулировка задачи продолжения как задачи Коши

Глава 2 Построение устойчивого решения некорректной задачи Коши для уравнения теплопроводности.

2.1 Обзор методов решения некорректно поставленных задач Коши

2.2 Общая постановка. Схема построения точного решения для плоскости и для поверхности общего вида

2.3 Устойчивое решение для произвольной поверхности.

2.4 Устойчивое решение для приближенно заданной поверхности

2.5 Устойчивое приближенное решение в случае неточных данных на приближенно заданной границе.

2.6 Решение задачи продолжения нестационарного температурного поля как смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности.

Глава 3 Вычислительные алгоритмы.

3.1 Использование дискретных рядов Фурье для решения задачи

3.2 Дискретизация задачи и ее обоснование для точных данных

- функций /, д и поверхности в.

3.3 Вычисление коэффициентов Фурье функции Ф.

3.4 Численные алгоритмы вычисления нормали к поверхности, заданной приближенно.

3.5 Дискретизация задачи при неточно заданных входных данных и поверхности.

3.6 Схема численного решения задачи (2.2.3).

3.7 Вычислительные алгоритмы решения модельных задач

3.7.1 Вычисление потенциала для решения модельной задачи продолжения потенциала.

3.7.2 Моделирование прямой задачи для формирования температурного поля.

Глава 4 Вычислительный эксперимент.

4.1 Численное решение задачи смешанной краевой задачи в случае продолжения потенциала.

Современные вычислительные средства, непрерывный рост их возможностей позволяют проводить все более глубокую обработку данных измерений, извлекая из них все больший объем информации, а также расширяя круг «решаемых» задач. Появляется возможность усложнения моделей, в рамках которых производится обработка данных. Обработка данных измерений с целью извлечения новой информации особенно актуальна в тех случаях, когда непосредственное измерение параметра невозможно в силу тех или иных причин, что характерно для так называемых обратных задач. К числу последних относится обратная задача термографии, заключающаяся в восстановлении внутренней тепловыделяющей структуры объекта но данным измерений температурного поля на поверхности объекта. Уже это, например, тепловизионное, изображение представляет собой изображение этой структуры, в той или иной мере искаженное процессом теплопроводности ( как за счет ее относительной удаленности от поверхности тела, так и за счет неровностей поверхности). В рамках той или иной выбранной модели теплопроводящих свойств тела это изображение может быть скорректировано методом продолжения нестационарного температурного поля. При широком распространении в настоящее время тспловизионных методов исследования такая корректировка и интерпретация термографических изображений весьма актуальна.

Задача продолжения нестационарного температурного поля сформулирована как некорректно поставленная задача Коши для уравнения теплопроводности. Базовые принципы построения устойчивых методов решения некорректных задач заложены в трудах А.Н.Тихонова, В.К.Иванова, М.М.Лаврентьева и других российских и зарубежных математиков. Вместе с тем актуально развитие теории и методов решения некорректно поставленных задач, в переходе ко все более сложным моделям. Сложность рассматриваемой в диссертации задачи состоит в том, что модель трехмерная, поверхность имеет произвольный вид, задана приближенно и температурное поле нестационарно. Перечисленные характеристики задачи позволяют в принципе исследовать эволюцию внутренней тепловыделяющей структуры объекта по косвенным данным — по эволюции температурного поля на его поверхности. Характерный пример задач такого рода - обратные задачи геофизики [19, 25, 41, 104, 127, 138, 144]- задачи определения структуры земной коры по измеряемым физическим поля, связанным с этой структурой. Особенность обратных задач состоит в том, что они, как правило, некорректно поставлены [41, 75, 76,121,158] в естественных классах. При тепловизионных исследованиях нагретых теплоироводящих объектов, излучающих в инфракрасном диапазоне, «снимок» температурного поля с поверхности объекта как правило служит материалом для непосредственной интерпретации с целью идентификации внутренней структуры. Коррекция изображения возможна па основе метода продолжения нестационарного температурного поля с поверхности в область, близкую к структурным неоднородностям. Это продолжение осуществляется решением задачи

§ = а2Аи(М, *), М е £>\Д), 0 < 1 и\ь=о = Т,

0.0.1) и\дВ = /, ди дп Ни0 - Л дБ дБ где Д) содержит структурные неоднородности и источники. Термограмма, полученная в результате такого продолжения как след температурного поля на некоторой поверхности вблизи структуры, может рассматриваться как результат математической обработки исходной термограммы. Таким образом, разработанный в диссертации метод может рассматриваться как математическая обработка термограмм методом продолжения нестационарного температурного поля.

Целью диссертационной работы является разработка эффективных численных методов математической обработки данных в термографии на основе продолжения функции и решений уравнения теплопроводности с целью восстановления внутренней структуры объектов по косвенным данным. Поставленная цель была достигнута в результате решения следующих основных задач:

1. Выбор и анализ математической модели, допускающей восстановление эволюции внутренней структуры объекта по эволюции измеренного температурного поля на поверхности объекта в рамках концепции продолжения нестационарного температурного поля как продолжения решения уравнения теплопроводности с границы.

2. Построение и исследование устойчивого приближенного решения некорректной начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности с данными Коши на поверхности произвольного вида, заданной приближенно.

3. Разработка эффективных алгоритмов численного решения некорректно поставленной начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.

4. Применение разработанных алгоритмов к решению модельных и практических задач термографии методом продолжения нестационарного продолжения температурного поля.

Научная новизна и значимость.

Научная новизна работы заключается в разработке новых методов исследования эволюции внутренней тепловыделяющей структуры объекта на основе косвенных данных измерений. В основе метода анализ продолжения измеренного температурного поля в рамках выбранной модели однородного теплопроводящего тела с произвольной поверхности, заданной (измеренной) приближенно. На основе устойчивых решений математической задачи получены новые вычислительные алгоритмы решения задачи продолжения методом Фурье в случае продолжения как с плоской, так и с произвольной поверхности.

Практическая ценность.

Результаты исследования могут быть использованы для обработки тепловизионных (термографических) данных. Обратная задача термографии заключается в восстановлении внутренней тепловыделяющей структуры объекта по данным измерений температурного поля на поверхности объекта. Уже это, например, тепловизионное, изображение представляет собой изображение этой структуры, в той или ииой мере искаженное процессом теплопроводности. Разработанный на базе выбранной математическох"! модели теплопроводящих свойств тела метод продолжения нестационарных температурных полей может рассматриваться как метод обработки термографических данных с целью коррекции изображений. Метод может быть использован в медицине для исследования изменений во времени аномальных образований в организме человека, а также - для обработки тепловизионных изображений в различных технических областях.

Основное содержание диссертации

Первая глава посвящена постановке математической модели задачи продолжения нестационарного температурного поля. В первом параграфе описывается техника тепловидения, ее физические основы, принцип работы тепловизора, схема получения термографических изображений исследуемых объектов. Во втором параграфе в виде, смешанной краевой задачи Коши для уравнения теплопроводности, являющейся основой для построения обратной задачи. Построено решение прямой задачи. В третьем параграфе постоеио решения прямой задачи для плоскости поверхности. В четвертом параграфе в рамках построенной модельной задачи ставится обратная задача. Показана связь поставленной обратной задачи с обратной задачей потенциала. Отмечены трудности на пути решения обратной задачи потенциала - обсуждается проблема единственности решения и проблема его устойчивости, указывается на относительную узость классов данных, для которых может быть построено решение обратной задачи потенциала. Дан обзор литературы по этой теме. Вместе с тем отмечается, что в ряде случаев для практических целей бывает достаточно иметь неполную информацию об исследуемом объекте, например, характерные особенности формы носителя плотности, распределение таких особенностей, или же, в случае, когда уже есть некоторая априорная информация о структуре объекта, исследовать аномалии в этой структуре. В пятом параграфе приведена, замена обратной задачи потенцала на задачу продолжения нестационарного температурного поля в область вне источников. Показано, что в смысле неполного решения задача восстановления плотности может быть решена в рамках концепции продолжения функций. Дается обзор методов аналитического продолжения функций. В шетом параграфе задача продолжения формулируется в виде смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности в области, не содержащей источники, структурно близкой к задаче Коти для уравнения теплопроводности и некорректно поставлена.

Во второй главе построено устойчивое приближенное решение некорректной задачи Коши для уравнения теплопроводности с данными Коши на приближенно заданной поверхности общего вида. В первом параграфе приведен обзор методов решения некорректно поставленных задач Коши. Во втором параграфе в явном виде построено точное решение смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности в общей постановке, основанное на приведении задачи к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Отмечена проблема неустойчивости этого решения. В третьем параграфе на основе метода регуляризации Тихонова с использованием схемы, построенной в втором параграфе, строится устойчивое к погрешностям в данных Коши решение смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности. Сформулирована теорема о равномерной сходимости приближенного решения к точному. В четвертом параграфе поверхность $ часть границы области, в которой ищется решение, задается на основе измерений, то есть, приближенно. - ставится задача вычисления нормали к такой поверхности. Эта задача появляется в ходе решения смешанной краевой задачи при вычислении интеграла по части границы области, заданной приближенно, содержащего нормаль к этой поверхности. Такая задача является некорректно поставленной как задача численного дифференцирования.

Построено приближенное устойчивое решение этой задачи, основанное на подходе В.А.Морозова к задаче вычисления значений неограниченного оператора. Доказана теорема о сходимости приближенного решения к точному.В пятом параграфе объединяются результаты предыдущих двух параграфов. В нем в явном виде построено приближенное устойчивое решение смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности в случае неточных данных на приближенно заданной границе. В общем виде сформулирована и доказана - с учетом неточных данных на неточной границе - сформулированная в третьем параграфе теорема о равномерной сходимости приближенного устойчивого решения к точному. В шестом параграфе получено приближенное устойчивое решение задачи продолжения температурного поля как смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности, приближенное устойчивое решение которой было построено в пятом параграфе. Доказана теорема о равномерной сходимости приближенного устойчивого решения к точному.

В третьей главе приведены основные вычислительные алгоритмы, используемые в дальнейшем для проведения экспериментов, и дано их обоснование . В первом параграфе отмечена необходимость перехода к дискретным рядам Фурье, непрерывные аналоги которых использовались во второй главе при решении смешанной краевой задачи, введены дискретные ряды Фурье. Отмечена возможность использования «экономичных» алгоритмов. Во втором параграфе проведена дискретизация задачи при условии использования точных входных данных, сделан переход к конечным рядам, получены оценки разности непрерывных и дискретных рядов. В третьем параграфе предложен и обоснован экономичный метод вычисления дискретных коэффициентов Фурье. В четвертом параграфе проведена дискретизация задачи вычисления нормали к поверхности, заданной приближенно, получены оценки разности непрерывных и дискретных рядов. В пятом параграфе проведена дискретизация смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности при условии использования приближенно заданных входных данных, получены оценки разности непрерывных и дискретных рядов. Сформулирована теорема о равномерной сходимости дискретного приближенного решения смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности к точному. В шестом параграфе построена схема численного исследования задачи продолжения температурного поля. В седьмом параграфе приведены вычислительные алгоритмы решения модельных задач. Эти решения используются потом в качестве входных данных при решении задачи продолжения. Приведены дискретные формулы для моделирования потенциала и его нормальной производной. Получены дискретные формулы для решения прямой задачи для формирования температурного поля на плоской и неплоской поверхности.

В четвертой главе приведены результаты вычислительного эксперимента на модельных примерах по продолжению нестационарных температурных полей как результаты обработки термографических данных. Все расчеты, проведенные в четвертой главе, сопровождаются рисунками.

В заключении перечислены основные оригинальные результаты, содержащиеся в диссертации. Полученные в диссертации результаты опубликованы в 4 работах [86,87,152,153]

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Разработан эффективный метод устойчивого решения некорректной начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности с данными на поверхности произвольного вида.

2. На основе начально-краевой задачи разработан метод продолжения нестационарных температурных полей с поверхности, заданной приближенно, с целью восстановления плотности источников.

3. Разработаны эффективные вычислительные алгоритмы продолжения нестационарных температурных полей с приближенно заданной поверхности произвольного вида.

4. Разработан метод математической обработки термографических данных с целью восстановления эволюции внутренней структуры исследуемого объекта.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору Ланееву Евгению Борисовичу за руководство над работой, создание условий для ее проведения, постоянную поддержку и внимание. Автор признателен - кандидату физико-математических наук, Муратову Михаилу Николаевичу и сотрудникам кафедры нелинейного анализа и оптимизации за помощь и поддержку.

Заключение

Цель диссертационной работы, заявленная как разработка эффективных численных методов математической обработки данных в термографии на основе продолжения функции и решений уравнения теплопроводности с целью восстановления внутренней структуры объектов по косвенным данным, достигнута в результате решения следующих основных задач:

1. В области, содержащей источники тепла, имеющие компактный носитель, принадлежащий этой области, и представляющей собой однородный теплопроводящий иолубесконечный цилиндр прямоугольного сечения, ограниченный произвольной поверхностью, выбрана и проанализирована математическая модель, в рамках которой поставлена и решена обратная задача термографии о восстановлении эволюции внутренней структуры объекта по эволюции измеренного температурного поля на поверхности объекта в рамках концепции продолжения нестационарного температурного поля как продолжения решения уравнения теплопроводности с границы.

2. Построено и исследовано устойчивое приближенное решение некорректной начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности с данными Коши на поверхности произвольного вида, заданной приближенно.

3. Разработаны эффективные численные алгоритмы решения некорректно поставленной начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности.

4. Разработанные алгоритмы применены к решению модельных и практических задач термографии методом продолжения нестационарного температурного поля.

На защиту выносятся следующие

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. // М.: Наука, 1978, 352 с.

2. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач. // М.: Наука. 1988. 288 с.

3. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов (введение в теории обратных задач теплообмена). М.: Машиностроение, 1979.-216с.

4. Андреев Б.А. Расчеты пространственного распределения потенциальных полей и их использование в разведочной геофизике I// Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз. 1947. Т. 11. №. С. 79-92.

5. Андреев Б. А. Расчеты пространственного распределения потенциальных полей и их использование в разведочной геофизике И// Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз. 1949. Т. 3. №3. С. 257-266.

6. Андреев Б.А. Расчеты пространственного распределенияпотенциальных полей и их использование в разведочной геофизике III// Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз. 1952. №2. С. 22-30.

7. Андреев Б. А. Расчеты пространственного распределения потенциальных полей и их использование в разведочной геофизике IY// Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз. 1954. №1. С. 49-64.

8. Ахметов Д.Р. О необходимых и достаточных условиях классической разрешимости задачи Коши для линейных параболических уравнений. // математические труды. 1998. Т. 1. № 1. С. 3-28.

9. Баев A.B. Принцип Лагранжа в задаче оптимального обращения линейных операторов в конечномерных пространствах при наличии априорной информации о решении //ЖВМ и МФ. 2007. Т. 47. №9. С. 1512-1523.

10. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Степанова Л. Д. Применение алгоритмов итерационной регуляризации для решения обратных задач гравиметрии // Изв.АН СССР. Физика Земли. 1986. №10. С.43-50.

11. Балк П. И. Использование априорной информации о топологических особенностях источников поля при решении обратной задачи гравиметрии в рамках монтажного подхода.// Физика Земли, 1993, №5, с 59-71.

12. Балк П.И., Балк Т.В. Совмещенная обратная задача грави- и магнитометрии.// Физика Земли, 1996, №2, с. 16-30.

13. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука. 1975.

14. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М., 1996.

15. Бойков И.В., Мойко Н.В. Об одном итерационном методе решения обратной задачи гравиметрии для контактной поверхности.// Физика Земли, 1999, №2. С.52-56.

16. Бойков И.В., Войкова А. И. Оптимальные методы восстановления потенциальных полей. 1.// Физика Земли, 2001, №12, с.78-89.

17. Бойков И.В., Бойкова А.И. Об одном параллельном методе решения нелинейных обратных задач гравиметрии и магнитометрии.// Физика Земли, 2009, №3, с.73-82.

18. Бойкова А.И. Оптимальные методы вычисления трансформаций потенциальных полей.// Физика Земли, 2008, №4, с.83-92.

19. Бродский М.А., Страхов В.Н. В классе однородных многогранников, гомеоморфных шару, решение обратной задачи ньютонова потенциала единственно// ДАН СССР. 1987. Т. 292. №6. С. 1337-1340.

20. Бродский М.А., Страхов В.Н. О решении обратной задачи потенциала для многогранников с переменными полиномиальными плотностями // ДАН СССР. 1987. Т. 293. №2. С. 336-339.

21. Булах Е.Г., Коростиль Т. В. Метод простого моделирования прирешения обратной задачи магнитометрии в классе двухмерных контактных поверхностей.// Физика Земли, 2002, №12, с.22-32.

22. Булах Е.Г, Маркова М.Н. Обратные задачи гравиметрии для совокупности тел класса Л.Н. Сретенского.// Физика Земли, 2008, №7, с.21-27.

23. Булах Е.Г., Маркова М.Н., Лапина Е.П. Прямая и обратная задачи магнитометрии для совокупности трехменых звездных тел класса А.Н. Тихонова.// Физика Земли, 2009, №2, с.88-96.

24. Булах Е.Г. К вопросу о методе подбора рпи решении обратных задач гравиметрии и магнитометрии.Обзор// Физика Земли, 2006, №2, с.72-77.

25. Вабищевич П.Н. Численное решение задачи продолжения потенциала в сторону возмущающих масс// Изв. АН СССР. 1983. №7. С. 31-36.

26. Вабищевич П.Н. Разностные методы решения неустойчивых эволюционных задач// Вычислительные методы в математической физике. М., 1986. С. 73-87.

27. Вабищевич П. Н. Вычислительные методы математической физики. Обратные задачи и задачи управления. М.: Вузовская книга. 2009. -268 с.

28. Вабищевич П.Н. Разностные методы решения некоторых некорректных задач// Изв. ВУЗов. Математика. 1984. №8. С. 3-9.

29. Вабищевич П.Н., Пулатов П.А. Численное решение задачи продолжения потенциальных полей.// Математическое моделирование, 2002, том 14, №4, с.91-104.

30. Васин В.В., Пруткин И.Л., Тимерханова Л.Ю. О восстановлении трехмерного рельефа геологической границы по гравитационным данным.// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли, 1996, №9, с.1-5.

31. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1976. 528 с.

32. Воскобойников Г.М. Функция Карлемана и ее применение к решению некоторых задач геофизики// Изв. АН СССР. Сер. Геофизич. 1962. №11. С. 1579-1590.

33. Воскобойников Г.М. Интегральные преобразования и распределение особенностей логарифмического потенциала// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1965. №1. С. 76-89.

34. Воскобойников Г.М., Сиротин М.И. Об определении особенностей аналитического продолжения потенциальных полей// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1965. №12. С. 21-30.

35. Воскобойников Г.М., Шестаков А.Ф. Метод гасящих функций и его применение для определения особых точек геофизических полей, удовлетворяющим трехмерным уравнениям Лапласа и Гельмшольца.// Изв.АН СССР. Физика Земли. 1982. №3. С.62-75.

36. Гласко В.В.} Кравцов В.В., Кравцова Г.Н. Об одной обратной задаче гравиметрии// Вестник МГУ. Сер. 3. Физика, астрономия. 1970. №2. С. 174-179.

37. Гласко В.В., Володин Б.А., Мудрецова Е.А., Нефедова Н.Ю. О решении обратной задачи гравиметрии для контактной поверхности на основе метода регуляризации// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1973. №2. С. 30-41.

38. Гласко В. В., Остромогилъский А.Х., Филатов В. Г. О восстановлении глубины и формы контактной поверхности на основе регуляризации// ЖВМиМФ. 1970. Т. 10. №5. С. 1292-1297.

39. Гласко В.В., Гущин Г.В., Гущина Л.Г., Мудрецова Е.А. Об использовании данных бурений при восстановлении формы контакта с помощью метода регуляризации// ЖВМиМФ. 1974. Т. 14. N°-5. С. 1272-1280.

40. Гласко В.В., Литвиненко O.K., Мудрецова Е.А., Страхов В.Н., Федынский В.В. Метод регуляризации А.Н.Тихонова в современной разведочной геофизике// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1977. №1. С. 24-39.

41. Гласко В. Б. Обратные задачи математической физики. Изд-во МГУ, 1984. 112 С.

42. Гулин A.B., Ионкин Н.И., Морозова В.А. Разностные схемы длянелокальных задач // Известия Вузов. Математика. 2005. № 1(512). С. 40-51.

43. Гулин A.B., Ионкин Н.И., Морозова В.А. Исследование нормы в задачах об устойчивости нелокальных разностных схем // Дифференциальные уравнения. 2006. Т.42, № 7. С. 914-923.

44. Данилов B.JI. Методы установления в прикладных обратных задачах потенциала. М.: Наука. 1996. 248 с.

45. Девицын В.М. Численный метод аналитического продолжения двумерных потенциальных полей I// Изв. АН СССР. Сер. Геофизич. 1964. т. С. 1376-1388.

46. Девицын В.М. Численный метод аналитического продолжения двумерных потенциальных полей II// Изв. АН СССР. Сер. Геофизич. 1964. №11. С. 1654-1673.

47. Девицын В.М. Об изучении строения двумерных слоистых сред по комплексу наземной и скважинной гравиметрии// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1981. №9. С. 44-50.

48. Жданов М.С. Развитие теории аналитического продолжения в криволинейных областях// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1971. №5. С. 114-121.

49. Жданов М. С. Аналог интеграла Коши в теории геофизических полей. М.: Наука. 1984.

50. Заморев A.A. Решение обратной задачи теории потенциала// ДАН СССР. 1941. Т. 32. т. С. 546-547.

51. Зарецкий В.В., Выховская А.Г. Клиническая термография. М., 1976. 168 с.

52. Иванов В.К. Обратная задача потенциала для тела, близкого к данному// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1956. Т. 20. №6. С. 793-818.

53. Иванов В. К. Интегральное уравнение обратной задачи логарифмического потенциала// ДАН СССР. 1955. Т. 105. №3. С. 409-411.

54. Иванов В.К. О распределении особенностей потенциала// УМН. 1956. №5. С. 67-70.

55. Иванов В.К. Об устойчивости обратной задачи логарифмического потенциала// Изв. ВУЗов. Математика. 1958. №4. С. 96-99.

56. Иванов В. К. Теорема единственности обратной задачи логарифмического потенциала для звездных множеств// Изв. ВУЗов. Математика. 1958. №3. С. 99-106.

57. Иванов В.К. О разрешимости обратной задачи логарифмического потенциала в конечном виде// ДАН СССР. 1956. Т. 106. №4. С. 598599.

58. Иванов В.К. Интегральные уравнения первого рода и приближенноерешение обратной задачи потенциала// ДАН СССР. 1962. Т. 142. №5. С. 998-1000.

59. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. теория линейных некорректных задач и ее приложения. М., 1978. 206 с.

60. Иванович М.Д. // Вестн. Моск. ун-та. Математика, механика. 1966. № 4. С. 31-41

61. Ионкин Н.И. Разностные схемы для одной неклассической задачи / / Вестник московского университета. Серия вычислительная математика и кибернетика. 1977. № 2. С.53-63.

62. Ионкин Н.И. Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием / / Дифференциальные уравнения. 1977. Т. 13 № 2. С.294-304.

63. Исаков В.М. О единственности решения контактной обратной задачи теории потенциала//Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8. №1. С. 30-40.

64. Исаков В.М. О единственности решения обратной задачи теории потенциала// ДАН СССР. 1979. Т. 245. №5. С. 1045-1047.

65. Казакова Л.Э. Теоремы единственности и устойчивости обратной задачи ньютоновского потенциала для звездных множеств // Изв. ВУЗов. Математика. 1963. №1. С. 85-93.

66. Керимов И.А. Использование Р-аппроксимации при инрепретации гравиметрических данных. II. Результаты опробования на материалахгравиметрических и магнитометрических съемок.// Физика Земли, 2009, №5, с.77-93.

67. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1972. 496 с.

68. Конёнков А.Н. Задача Коши для уравнения теплопроводности в пространстве Зигмунда. // Дифференциальные уравнения, 2005, Т. 41. № 6. С. 820-831.

69. Коновалъцев И.В. Устойчивость в С и Lp двухслойных разностных схем для параболических уравнений // Журн. вычесл. матем. И мат. физики. 1968. -Т. 8, № 4.- С. 465-469.

70. Костин А. Б. Обратные задачи для математических моделей физических процессов. М: Изд-во МИФИ, 1991.

71. Кружков C.H./J Мат. заметки. 1967. Т. 2 № 2. С. 549-560

72. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. // Новосибирск: СО АН СССР, 1962, 92 с.

73. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода, ДАН СССР, Т. 133, m (1960), 277-280.

74. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск: Изд-во Института математики, 1999, 702 с.

75. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.:Наука, 1980. 288 с.

76. Ладыженская О.А, Солоничков В.А, уральцева Н.Н Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М., 1968.

77. Ландис ЕМ. Некоторые вопросы качественной теории эллиптических уравнений второго порядка (случай многих независимых переменных// УМН. 1963. Т. 18. №1. С.3-62.

78. Ландсберг Г. С. Оптика. М.:Наука. 1976. 928 с.

79. Ланеев Е.В., Губин В. Б. и др. Методические указания по использованию стандартных программ ЭВМ для решения задач информатики. М.:Изд-во УДН. 1985.

80. Ланеев Е.В. О регуляризации некоторых операций векторного анализа / / Методы функционального анализа в математической физике. М.: Изд-во УДН. 1987. С. 101-106.

81. Ланеев Е.В., Васудеван Вхувана Об устойчивом решении одной смешанной задачи для уравнения Лапласа.//Вестник РУДН. Серия Прикладная математика и информатика. 1999. №1. С. 128-133.

82. Ланеев Е.В. О некоторых постановках задачи продолжения потенциального поля.//Вестник РУДН. Серия Физика. 2000. №8(1). С. 21-28.

83. Ланеев Е. Б., Муратов М. Н. Об устойчивом решении одной смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа с приближенно заданной границей.// Вестник РУДН. Серия Математика. 2002. №9(1). С. 102-111.

84. Ланеев Е. Б., Муратов М. Н. Об одной обратной задаче к краевой задаче для уравнения Лапласа с условием третьего рода на неточно заданной границе.// Вестник РУДН. Серия Математика. 2003. №10(1). С. 100-110.

85. Ланеев Е. Б., Муратов М. Н., Табет Аделъ Салех Абдулхак. Задача продолжения нестационарного температурного поля с произвольной поверхности. // Вестник РУДН. Серия Математика. 2010. №2(1). С. 110-112.

86. Ланеев Е. Б., Муратов М. Н., Табет Адель Салех Абдулхак. Об устойчивом продолжении решений уравнения теплопроводности с неточно заданной границы. // Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика.2011. №1. С. 36-43.

87. Ланеев Е. Б. Некорректные задачи продолжения гармонических функций и потенциальных полей и методы их решения ,-М.: 2006.-139с.

88. Леонов А.С. Об устойчивом решении обратной задачи гравиметрии на классе выпуклых тел// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1976. №7. с. 55-64.

89. Малкин H.Р. Определение толщины однородного материального слоя, покрывающего сферу или плоскость по заданному потенциалу его// Труды Физико-математического института им. В.А.Стеклова. 1932. Т. 2. Вып. 4. С. 17-26.

90. Маловичко А. К. Об определении контактной поверхности гравиметрическим аномалиям// Прикладная геофизика. 1948. Вып. 4.

91. Мартышко П. С., Ладовский И.В. Инегральное уравнение двумерной задачи спряжения стационарных тепловых полей.// Физика Земли, 2005, №12, с.12-21.

92. Мирошников ММ., Алипов В.И., Гершанович М.А., Мельникова М.П., Сухарев В.Ф. Тепловидение и его применение в медицине. М., 1981. 184 с.

93. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М., 1983, с.385.

94. Мокин А.Ю. О спектральных свойствах одного несамосопряженного разностного оператора / / компьютерные исследования и моделирование 2010 Т. 2 С. 143-150.

95. Морозов В А. Регулярные методы решения некоррекно поставленных задач. М., 1987. 240 с.

96. Морозов В. А. Об одном устойчивом методе вычислениянеограниченных операторов. //ДАН СССР, 1969, Т. 185, №2. С.267-270.

97. Морозов В.А., Мухамадиев Э.М., Назимов А.Б. О проблеме регуляризации сдвигом вырожденных систем линейных алгебраических уравнений //ЖВМ и МФ. 2007. Т. 47. №12. С. 1971-1978.

98. Мосолов П. П. Вариационные методы в нестационарных задачах (параболический случай). // Известия АН СССР. Сирия математическая. Т. 34. 1970. С. 425-452.

99. Недялков И.П., Бырнев П.Х. Аналитическое продолжение гравитационных аномалий// Изв. АН СССР. Сер. геофизич. 1963. №6. С. 922-935.

100. Недялков И.П. Редукция решений дифференциальных уравнений эллиптического типа// ДАН СССР. 1962. Т. 144. №4. С. 751-754.

101. Недялков И.П. Разделение потенциальных полей// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1965. №12. С. 31-44.

102. Недялков И.П. О решении обратной задачи теории потенциала методом подбора при помощи дисплея// ДАН СССР. 1970. Т. 193. №3. С. 576-578.

103. Недялков И.П. О некоторых некорректных задачах теориипотенциала и их приложении в разведочной геофизике. София: Изд-во Волг. АН. 1978.

104. Новиков П. С. О единственности обратной задачи потенциала// ДАН СССР. 1938. Т. 19. т. С. 165-169.

105. Остромогилъский А.Х. О единственности решения обратной задачи теории потенциала// ЖВМиМФ. 1969. Т. 9. №5. С. 1189-1191.

106. Остромогилъский А.Х. О единственности решения обратной задачи теории потенциала// ЖВМиМФ. 1970. Т. 10. №. С. 352-361.

107. Прилепко А.И. Обратная задача метагармоничсского потенциала для тела, близкого к данному// Сиб. матем. журнал. 1965. Т. 6. №6. С. 1332-1356.

108. Прилепко А.И. Внешняя обратная задача объемного потенциала переменной плотности для тела, близкого к данному// ДАН СССР. 1969. Т. 185. №1. С. 40-42.

109. Прилепко А.И. Об единственности определения формы и плотности тела в обратных задачах теории потенциала// ДАН СССР. 1970. Т. 193. №2. С. 288-291.

110. Прилепко А.И. О единственности решения внешней обратной задачах ньютонового потенциала// Дифференц. уравн. 1966. Т. 2. №1. С. 107124.

111. Прилепко А.И. Об обратных задачах теории потенциала// Дифференц. уравн. 1967. Т. 3. №1. С. 30-44.

112. Прилепко А.И., Костин А.Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением. // Математический сборник. 1992. № 4(183). С 49-68.

113. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала// Матем. заметки. 1973. Т. 14. №5. С. 755-767.

114. Раевский А.Б. Итерационное решение обратной задачи для модуля магнитной индукции.// Физика Земли, 2008, №7, с.34-41.

115. Рапопорт И.М. О плоской обратной задаче теории потенциала// ДАН СССР. 1940. Т. 28. №4. С. 305-307.

116. Рапопорт И.М. Об устойчивости в обратной задаче теории потенциала// ДАН СССР. 1941. Т. 31. №4. С. 303-306.

117. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики// М.: Едиториал УРСС, 2004. 480 с.

118. Самарский А. А. , Вабищевич П. Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: Издателство ЛКИ. 2009. 480 с.

119. Симонов В. П. К вопросу об единственности обратной задачи потенциала//Научные доклады высшей школы. 1958. К"6. С. 14-18.

120. Советникова С.Ю., Хромова Г.В. О регуляризации уравнения I рода с оператором кратного интегрирования //ЖВМ и МФ. 2007. Т. 47. №4. С. 578-586.

121. Спичак В.В., Захарова O.K. Оценка температуры в недрах Земли по измерениям электромагнитного поля на ее поверхности.// Физика Земли, 2008, №6, с.68-73.

122. Сретенский Л.Н. Теория ньютоновского потенциала. M.-JI. 1946.

123. Сретенский Л.Н. О единственности определения формы притягивающего тела по значениям его внешнего потенциала// ДАН СССР. 1954. Т. 99. №1. С. 21-22.

124. Сретенский Л.Н. Об одной обратной задаче теории потенциала// Изв АН СССР. Сер. матем. 1938. Т. 2. №5-6. С. 551-570.

125. Старостенко В.И., Дядюра В.А., Заворотько А.Н. Об интерпретации гравитационного поля земли методом подбора// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1975. №4. С.78-85.

126. Старостенко В.И. Устойчивые численные методы в гравиметрии. Киев: Наукова думка. 1978. 228 с.

127. Старостенко В.И. Гравитационное поле однородных п-угольных пластин и порождаемых ими призм: обзор.// Физика Земли, 1998, №3. С.37-53.

128. Старостенко В.И., Куста Р.И., Шуман В.Н., Легостаева О.В. Обобщение стационарной задачи геотермии Рэлея-Тихонова для горизонтального слоя.// Физика Земли, 2006, №12, с.84-91.

129. Степанова И.Э. О восстановлении источника гравитационных масс в задачах типа структурных. Случай открытых римановых поверхностей.// Физика Земли, 2000, №6. С.92-96.

130. Степанова И.Э. О восстановлении источника гравитационных масс в задачах типа рудных. Случай компактных римановых поверхностей.// Физика Земли, 2000, №8, с.86-91.

131. Степанова И.Э. О некоторых вариационных постановках обратной трехмерной задачи потенциала типа рудных.// Физика Земли, 2000, №12, с.67-72.

132. Степанова И.Э. Об одном устойчивом алгоритме восстановления эллипсоидов.// Физика Земли, 2001, №11, с.101-106.

133. Степанова И.Э. О методах учета топографии земной поверхности при интерпретации гравиметрических данных.// Физика Земли, 2007, №6, с.26-36.

134. Степанова И.Э. Метод R-аппроксимации при интерпретации данных детальной гравимертическии и магнитометрическии съемок.// Физика Земли, 2009, №4, с. 17-30.

135. Страхов В.Н. Об условиях однозначного определения границ разделадвухмерных слоистых сред по данным гравитационных наблюдений// ДАН УССР. Сер. Б. 1975. №12.

136. Страхов В.Н. К теории обратной задачи логарифмического потенциала для контактных поверхностей// Изв. АН СССР. Физика Земли. 1974. №6. С. 39-60.

137. Страхов В.Н., Гольдшмидт В.И., Калинина Т.Е. Состояние и перспективы развития в СССР теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий// Изв. АН СССР. Физика Земли. 1982. №5. С.11-30.

138. Страхов В.Н. Об одной обратной задаче теории логарифмического потенциала // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1965. №1. С. 90-97.

139. Страхов В.Н. К теории интерпретации магнитных и гравитационных аномалий на основе аналитического продолжения// ДАН СССР. 1967 Т. 176. №5. С. 1059-1062.

140. Страхов В.Н. О вычислительных схемах для аналитического продолжения потенциальных полей I // Изв. АН СССР. Сер. геофиз 1961. №2. С. 215-223.

141. Страхов В.Н. О вычислительных схемах для аналитического продолжения потенциальных полей II // Изв. АН СССР. Сер. геофиз 1961. №3. С. 349-359.

142. Страхов В.Н. О вычислительных схемах для аналитическогопродолжения потенциальных полей III // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1961. №9. С. 1290-1313.

143. Страхов В.Н., Голиздра Г.Я., Старостенко В.И. Развитие теории и практики интерпретации потенциальных полей в XX веке.// Физика Земли, 2000, №9, с.41-64.

144. Страхов В.Н. Теория аналитического продолжения двухмерных потенциальных полей в области нижней полуплоскости// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1972. №11. С. 38-55.

145. Страхов В.Н. Об аналитическом продолжении двухмерных потенциальных полей в произвольные области нижней полуплоскости, примыкающие к оси ох// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1970. №6. С. 35-52.

146. Страхов В.Н. Некоторые основные проблемы линейного анализа аномальных потенциальных полей// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1974. №7. С. 43-53.

147. Страхов В.Н. Интерпретационные процессы в гравиметрии и магнитометрии это реализация единого аппроксимационного подход. I. Основные идеи и конструктивные принципы.// Физика Земли. 2001. №10. С.3-18.

148. Страхов В.Н. Становление новой парадигмы это разрушение господствующего стереотипа мышления (на примере гравиметрии и магнитометрии).// Физика Земли, 2002, №3. С.3-20.

149. Страхов В.H., Керимов И.А. Аппроксимационные конструкции спектрального анализа (F-аппроксимация) гравиметрических данных.// Физика Земли, 2001, №12. С.3-20.

150. Страхов В.Н. О центральной вычислительной задачи гравиметрии, магнитометрии, геодезии и геоинформатики.// Физика Земли, 2008, №2, с.63-79.

151. Табет Аделъ Салех. Об устойчивом вычислении значений некоторых операторов векторного анализа. //XLIII Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Москва. 23-27 апреля 2007 г. С.35.

152. Табет Адель Салех Абдулхак. Задача продолжения нестационарного температурного поля с произвольной поверхности. / / XLVI Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Москва. 19-23 апреля 2010 г. С.60.

153. Тараканов Ю.А., Карагиоз О.В., Кудрявицкий М.Н. Численное исследование неоднозначности решения обратной задачи гравитационного потециала на моделах.// Физика Земли, 2004, №1, с.42-57.

154. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач// ДАН СССР. 1943. Т. 39. №5. С. 195-197.

155. Тихонов А.Н.} Гласко В. Б. Применение метода регуляризации в нелинейных задачах//ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5. №3. С. 463-473.

156. Тихонов А.Н., Гласко В.Б., Литвиненко O.K., Мелихов В.Р. О продолжении потенциала в сторону возмущающих масс на основе метода регуляризации// Изв. АН СССР. Физика Земли. 1968. №1. С. 30-48.

157. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

158. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. О применении метода регуляризации в задачах геофизической интерпретации// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1975. №. С. 38-47.

159. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. О приближенном решении интегральных уравнений I рода //ЖВМ и МФ. 1964. Т. 4. №3. С. 564-571.

160. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М., 1972. 736 с.

161. Тодоров И. Т., Зидаров Д. О единственности определения формы притягивающего тела по значениям его внешнего потенциала// ДАН СССР. 1958. Т. 120. №2. С. 262-264.

162. Хемминг Р. В. Численные методы для научных работников и инженеров. М.: Наука. 1968.

163. Цирулъский А.В. О связи задачи об аналитическом продолжении логарифмического потенциала с проблемой определения границ возмущающей области// Изв. АН СССР. Сер. геофизич. 1964. №11. С. 1693-1696.

164. Цурок В.А. Об одном методе численного решения задачи Коши для параболических уравнений, январь 1984, препринт № 4(189).

165. Шашкин Ю.А. О единственности в*' обратной задаче теории потенциала// ДАН СССР. 1957. Т. 115. №1. С. 64-66.

166. Шашкин Ю.А. Теоремы единственности и устойчивости обратной задачи логарифмического потенциала// Матем. сборник. 1964. Т. 63. №2. С. 216-226.

167. Эскин Л.Д. О решении задачи Коши для уравнения теплопроводности. // Изв. ВУЗов. Математика. 1969. № 3(82). С 107-117.

168. СаНемап Т. Les fonctions quasi analytiqies. Paris. 1926.

169. Friedman., Partial differential equations of parabolic type. New York: Prentice-Hall, 1964.

170. John.F. Numerical solution of the heat equation for preceding times, Ann. Mat. Рига ed appl., 4, 40 (1955), 129-142.

171. Stainov G., NedyalKov I., VUkov A., Usunov V. SeparaTion of potenrial fields// Докл. Волг. АН. 1967. Т. 20. №8. С. 767-770.