автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Определение температуропроводности слоистых сред методами градиентного спуска

На правах рукописи

0034Э0Э68

Пененко Алексей Владимирович

Определение температуропроводности слоистых сред методами градиентного спуска

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск 2009

2 8 ЯНВ ?010

003490968

Работа выполнена в Институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Кабанихин Сергей Игоревич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Танана Виталий Павлович

доктор физико-математических наук, Голушко Сергей Кузьмич

Ведущая организация: Институт математики и механики

УрО РАН, г.Екатеринбург

Защита состоится "5" февраля 2010 г. в 14 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета ДМ003.046.01 в Институте вычислительных технологий СО РАН по адресу: 630090, г.Новосибирск, просп. ак. Лаврентьева, 6, факс (383) 330-63-42

С диссертацией можно ознакомиться в специализированном читальном зале вычислительной математики и информатики ГПНТБ СО РАН (просп. ак. Лаврентьева, 6).

Автореферат разослан " % " декабря 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физ.-мат. наук

Л.Б.Чубаров

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Непосредственно определить внутреннюю структуру среды часто или невозможно без её разрушения, как, например, в медицине и технике, или неэффективно экономически, как в геофизике и экологии. Если же в среде протекает некоторый процесс, то на основе его математической модели, а также доступных для измерения характеристик, можно попытаться восстановить структуру среды и динамику процесса с помощью решения обратных задач. В контексте математического моделирования речь идет о решении обратной задачи, состоящей в количественной оценке параметров модели по доступной информации.

Общим подходом является нахождение таких параметров модели, при которых заданный функционал, описывающий разницу между рассчитанными по модели и измеренными величинами, достигает минимума на пространстве параметров. Однако, вследствие некорректности по Адамару, свойственной обратным задачам, минимизация таких функционалов не всегда связана с убыванием ошибки в решении. Из-за некорректности, отдельной актуальной задачей является построение устойчивых численных методов решения обратных задач на ЭВМ.

Для эффективного применения оптимизационных методов целесообразно анализировать модели с позиций теории обратных и некорректных задач, получившей развитие в работах А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова и созданных ими научных школ. К настоящему времени в этой области имеется теоретически обоснованный математический аппарат, позволяющий решать широкий класс научных и практических задач. Поэтому сведение различных обратных задач к постановкам, изучающимся в теории некорректных задач, позволяет активно использовать накопленный опыт, а возвращение от абстрактных постановок к математическим моделям даёт возможность получать новые знания о моделируемых процессах.

Моделями теплопроводности (диффузии) описывается множество физических, биологических и социальных процессов. К конкретным примерам относятся процессы теплообмена в почве, диффузии (фильтрации) в нефтяных пластах, процессы изменения элек-

тромагнитных полей и др. Так как с помощью этих процессов можно исследовать большой набор важных для практики сред, обратные задачи на основе моделей теплопроводности актуальны и применяются в геофизике, динамике атмосферы и океана, теплотехнике и физике ядерных реакторов, биологии, химии, экономике и т.д.

Объектом исследования являются процессы распространения тепла и диффузии вещества в среде.

Предметом исследования являются характеристики температуропроводности среды и методы их определения, обратные задачи для моделей теплопроводности с данными измерений на границах области, численные алгоритмы градиентного типа для решения обратных задач, численные схемы, используемые в реализации таких алгоритмов на ЭВМ.

Целью работы являются разработка и обоснование методов численного нахождения коэффициентов моделей теплопроводности по данным граничных измерений характеристик тепловых (диффузионных) процессов в слоистых средах.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

• для удобства изучения, на примере задачи об определении температуропроводности почвы выполнен переход от постановки физической задачи к общей обратной коэффициентной задаче для модели теплопроводности;

• для построения эффективного метода решения полученной задачи, она была исследована методами теории некорректных задач:

о введением оператора прямой задачи, обратная задача сформулирована в виде операторного уравнения; о построен оператор чувствительности, характеризующий связь между разницей коэффициентов температуропроводности сред и разницей соответствующих им значений функций состояния моделей на границе области; о исследованы свойства оператора прямой задачи и оператора чувствительности, выбран адекватный этим свойствам градиентный метод решения нелинейных некорректных задач;

• алгоритмическая реализация метода для решения обратной задачи получена на основе.дифференциально-разностного аналога модели теплопроводности в слоистой среде:

о изучена связь между итерациями алгоритма и решением исходной обратной задачи; о разработаны взаимно-согласованные дискретно-аналитические численные схемы для вычисления составляющих градиента функционала невязки;

о создан комплекс программ и проведены серии численных экспериментов;

• с помощью комплекса программ и полученных теоретических результатов проведено численное исследование задачи об определении температуропроводности почвы.

Методы исследования. Основные результаты диссертации получены с применением методов математического моделирования, теории обратных и некорректных задач, теории возмущений, теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории оптимизации, методов вычислительной математики. Для получения и анализа формул использовалась система компьютерной алгебры, а для повышения эффективности программной реализации - методы прикладного параллельного программирования.

Основные результаты, выносимые на защиту:

в построен оператор чувствительности, связывающий разницу коэффициентов дифференциальной модели теплопроводности с разницей следов функции состояния модели на границе области;

• определены свойства градиентного алгоритма решения дифференциально-разностного аналога обратной задачи, сформулированные в виде теорем:

о о сходимости градиента функционала невязки дифференциально-разностной обратной задачи в операторной форме к градиенту функционала невязки исходной обратной задачи в операторной форме;

о о характере локальной сходимости алгоритма решения дифференциально-разностной обратной задачи методом проекции градиента (с постоянным параметром спуска) к решению исходной обратной задачи;

• разработаны численные алгоритмы для исследования и решения дифференциально-разностной обратной задачи на основе совместного использования пространственных локально-сопряженных задач для уравнения теплопроводности и спектральных методов;

• с применением распараллеливания посредством ОрепМР создан комплекс программ, реализующий алгоритмы решения и исследования дифференциально-разностной обратной задачи;

• на примере задачи об определении температуропроводности почвы с помощью оператора чувствительности исследована прикладная обратная коэффициентная задача.

Научная новизна работы. Предложен новый подход к исследованию процессов теплопроводности в слоистых средах с использованием обратных коэффициентных задач для уравнений параболического типа с данными измерений температуры и потоков тепла на границе области.

Для исследования возможности восстановления коэффициентов модели процесса теплопроводности построен компактный интегральный оператор чувствительности и изучены его свойства.

Доказаны теоремы, описывающие сходимость алгоритма решения дифференциально-разностной обратной задачи методом проекции градиента с постоянным параметром спуска к решению исходной обратной задачи.

Построены новые согласованные численные схемы для решения дифференциально-разностных прямых и сопряженных задач, а также вычисления градиента функционала, в которых совместно применяются аналитические решения локально-сопряженных задач и спектральные методы.

Обоснованность и достоверность результатов подтверждены доказательствами, согласием между теоретическими выводами и результатами численных экспериментов, а также согласием с выводами других авторов.

Теоретическая и практическая значимость состоит в развитии теории и методов численного решения обратных задач для моделей, описываемых параболическими уравнениями. Результаты представляют интерес для специалистов по математическому моделированию, вычислительной математике, обратным и некорректным задачам. Разработанные алгоритмы и реализующие их комплексы программ могут быть использованы для решения прямых и обратных задач на основе уравнений параболического типа.

Представление работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на Международной конференции «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики», посвященной памяти акад. А.А.Самарского, Москва 2009; на Всероссийской конференции "Математика в приложениях", приуроченной к 80-летию акад. С.К. Годунова, Новосибирск 2009; на Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2009, Новосибирск 2009; на Международной школе-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач", Новосибирск 2009; на Украинском Математическом Конгрессе, посвященном памяти акад. Н.Н.Боголюбова, Киев 2009; на конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач", посвященной памяти В.К. Иванова, Екатеринбург 2008; на Международной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященной 100-летию со дня рождения C.JI. Соболева, Новосибирск 2008; на 5-ом международном конгрессе "Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS 2008)", Венеция 2008; на 6-ой Международной конференций "Inverse Problems in Engineering: Theory and Practice", Дур-дан (Париж) 2008; на 4-ой Международной конференции "Inverse Problems: Modeling and Simulation", Олудениз (Турция) 2008; на Международной конференции "Обратные и некорректные задачи математической физики" посвященной 75-летию акад. М.М. Лаврентьева, Новосибирск 2007; на Международной конференции, посвященной ЮО-летию акад. И.Н.Векуа "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", Новосибирск 2007.

Основные результаты докладывались на семинарах: в Институ-

те математики СО РАН на семинаре лаборатории волновых процессов (под рук. чл.-корр. РАН В.Г. Романова), в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН на семинаре под рук. проф. А.Ф. Воеводина, в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН на объединенном семинаре ИВМиМГ и кафедры вычислительной математики НГУ (под рук. проф. В.П. Ильина), в Институте математики и механики УрО РАН на семинаре отдела некорректных задач анализа и приложений (под рук. чл.-корр. РАН В.В. Васина), в Институте вычислительных технологий СО РАН на семинаре "Информационно-вычислительные технологии" (под рук. акад. Ю.И. Шокина и проф. В.М. Ковени).

Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [120]. Из них (в скобках в числителе указан общий объем этого типа публикаций, в знаменателе - объем, принадлежащий лично автору): [1] в журнале, рекомендованном ВАК (14/6 стр.); [4,5] в спец. выпусках журнала, рекомендованного ВАК (15/15 стр.); [2] в международном рецензируемом журнале (20/15 стр.); [3,6] в международных рецензируемых журналах по материалам международных конференций (17/13 стр.); [9] в трудах международной конференции (7/3 стр.); [4,7] в трудах конференций молодых ученых ИВМиМГ СО РАН (22/22 стр.); одиннадцать работ в тезисах всероссийских и международных конференций [10-20] (11/10.5 стр.).

Личный вклад автора. Все результаты, выносимые на защиту, получены автором лично. В [1] автор принимал участие в постановке задачи, получил доказательство леммы о приближенном градиенте функционала невязки для обратной задачи в слабой постановке с использованием оценок, полученных проф. А.Гасановым для алгоритма грубых-тонких сеток ("coarse-fine mesh method") в его более ранней статье. Автор разработал и реализовал численный алгоритм, провел численные эксперименты. В [2] для задачи теплопроводности с обратным временем автор получил оценку сходимости итераций алгоритма градиентного спуска, минимизирующего функционал специального вида, реализовал алгоритм, провел численные эксперименты на примере задачи о восстановлении размытого изображения. В [3,9] автор принимал участие в постановке задачи, подготовил

разделы статей, посвященные обратной коэффициентной и "боковой" (sideways) задачам теплопроводности, разработал программы и провел расчеты. В [18] автор получил оценку скорости сходимости алгоритма градиентного спуска для "боковой" (sideways) задачи теплопроводности, реализовал программу и провел численные эксперименты.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы из 132 наименований. Объем работы 161 страница (36 рисунков и 4 таблицы). Основной текст диссертации составляет 125 страниц.

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору С.И. Кабанихину за внимание к работе и ценные замечания.

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы исследования, излагаются цели и краткое содержание диссертации. Формулируются основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе приводятся примеры практических задач, сводящихся к обратной коэффициентной задаче для модели процесса теплопроводности в слоистых средах, теоретически исследуются свойства этих моделей и на основе обнаруженных свойств доказывается теорема о локальной сходимости численного алгоритма проекции градиента с постоянным параметром спуска к решению обратной задачи.

В параграфе 1.1 на примере модели процесса теплопроводности в почве с измерениями на границе области ставится обратная задача (1)-(5) по определению коэффициента к по известным / и а:

Ut = (fc(t+0.5)(х, t) е {Xi, xi+1) x [0,1], ie {1, N} , (1) fc(i+o.5)MO+,i) = a(t), fc(tf+0.5)«x(l-,i) = 0, t e [0,1], (2) [uj t) = 0, [ku*] (xu t) = 0, t e [0,1], i € {2, N} , (3)

Содержание диссертации

u(z,o) = о, x e [o,i],

«(0-м) =/(<), te[o,i],

(4)

(5)

где N, {xi}^1, {^(г+о.б)}^! " число интервалов постоянства, точки разрыва и значения коэффициента к(х) на интервалах постоянства соответственно, {1,./V} - дискретное множество 1, безразмерные коэффициенты к(х), характеризующие температуропроводность, принадлежат множеству кусочно-постоянных на отрезке [0,1] функций К, таких, что 0 < кт\п < к(х) < ктах < оо, и Ç nili^'H^i.^+i) х (0,1)) nc^axi.xi+i] х [0,1])).

Введением оператора А прямой задачи, который при фиксированной a £ Cq [0,1] ставит в соответствие коэффициенту к & К след u(0+, t) решения краевой задачи (1)-(4), обратная задача сводится к операторному уравнению

А(к) = /. (6)

В параграфе 1.2 приводится обзор литературы по тематике исследования. По данной и смежным темам работали: О.М. Алифанов, Е.А. Артюхин, А.Б. Бакушинский, Н.Я. Безнощенко, Д. Бек, П.Н. Вабищевич, В.В. Васин, А. Гасанов, С.К. Годунов, A.B. Гончарский, П.Г. Данилаев, A.M. Денисов, П. Дю Шато, В. Исаков, К.Т. Иска-ков, А.Д. Искендеров, С.И. Кабанихин, Дж. Р. Кэннон, А.Л. Кар-чевский, М.В. Клибанов, А.И. Кожанов, А.И. Козлов, А.И. Кокурин, В.И. Костин, A.C. Леонов, Д. Лесник, Ж.-Л. Лионе, Г.И. Марчук, В.А. Морозов, A.B. Ненарокомов, В.В. Пененко, А.И. Прилепко, А. Рамм, C.B. Румянцев, Б. Рысбайулы, A.A. Самарский, Р.К. Тагиев, В.П. Танана, А.Н. Тихонов, Д. Хао, Н.С. Хоанг, В.А. Чеверда, А.Г. Ягола и др.

В параграфе 1.3 для эффективного решения (6), лежащая в его основе модель (1)-(5) исследована с позиций теории обратных и некорректных задач. С применением теории сопряженных уравнений получены следующие результаты:

Теорема 1.1, Следствия 1.3, 1.5, 1.6: Для любых fc, к, к* G К, / =

А(к%), а £ Cq [0,1], верны соотношения

A(k)-f = C[k.,k)(k-k») = C[k,k,)(k-k.), А'(к) = С[к,к], (7)

где £[&, fc] : £2(0,1) -> ¿2(0,1) - оператор чувствительности, который является обобщением производной Фреше оператора А{к) и

действует по правилу

Цк, к)у /ViК x]*U[k, x}a)y(x)dx, у G Ь2{0,1), (8)

J о

||l/[fc,.]*f7^.]a||¿2((0)1)x(0il))<M, (9)

min

\\V[k, .}Щк, .]* - v\k, •]aIL2((o,i)x(o,i)) ^ vß- P - MI •

min

U[k, x], V[k, x] : ¿2(0,1) -» ¿2(0,1) - операторы, определенные при x e U^1(x¿,x¿+i) и действующие по правилам

и\к,х]а:= lim их(х,.; ап, к), (10)

п—юо

V[k,x]a:=[U[k,x}a( 1 - .)] (1 - .), OD

и {ctn}ngN с Со[0>1]> Ит&п = а; пределы понимаются в смысле

п—юо

нормы ¿г(0,1); выражение у(.) означает, что некоторая функция у рассматривается как элемент £2(0,1); и(х, t; ап, к) - решение прямой задачи (1)-(4), соответствующее ап и к; верхним индексом * отмечен сопряженный оператор.

С использованием найденных свойств в параграфе 1.4 доказывается Теорема 1.2 о связи решения обратной задачи и последовательности приближений, порождаемой при минимизации функционала невязки (6) алгоритмом проекции градиента с постоянным параметром спуска.

Из (9) вытекает, что £[£,&] является компактным и, следовательно, его сингулярные числа стремятся к 0. Кроме того, он обладает гладкостью по параметрам. Поэтому чувствительность следа решения (на границе) прямой задачи (1)-(4) к возмущению коэффициента модели определяется принадлежностью этого возмущения к определенному сингулярному подпространству, натянутому на правые сингулярные векторы оператора чувствительности.

Для того, чтобы "ограничить" выявленную некорректность, в качестве алгоритма решения рассмотрен градиентный алгоритм минимизации функционала невязки J(k) = —/|(2 на Q := ЛГ)К,

где Я := ко+У, ко 6 К и У - некоторое конечномерное подпространство пространства кусочно-постоянных функций. Оператор С[к,к] позволяет получить следующее представление для градиента минимизируемого функционала:

Лемма 1.5: Пусть к, к + /г 6 ф, /г е У, тогда

./(Л + /г) - ./(А:) = <Уу./(*), К) + о(||А||), ЪАк) = 2Ру(А'(к)У(А(к) - /) =

= /V[fc,a:]a(i)^[fe,s](A(fc)-/)(t)dt, (12)

J о

где Ру- - ортогональный проектор на У.

Так как при проведении реальных вычислений точное решение краевой задачи (1)-(4) в общем случае невозможно, то и VyJ{k) может вычисляться только приближенно, поэтому в алгоритме приходится использовать некоторое его приближение VvJm(A:)- Выяснить характер сходимости и оценить влияние различных факторов на сходимость градиентного алгоритма позволяет следующая

Теорема1: 1.2 Пусть к\,к* е К, / = A(kr)-\-5f, последовательность индуктивно порождается алгоритмом проекции градиента с постоянным параметром спуска:

kn+i := Pq (кп - jVyJm (м). (13)

где 7 > 0, Pq - метрический проектор на Q,

1 - а > 0, (1 - о)2 - Abc > 0, (14)

||VyJM(A;n) - VyJ(fcn)|| < W, п > 0, (15)

11^-РяМ<(1"а) + ^'а)2"4ЬС, 06)

'на основе Бакушинский А. Б., Кокурин М. Ю., Козлов А. И. Стабилизирующиеся методы градиентного типа для решения нерегулярных нелинейных операторных уравнений. — Москва: ЛКИ, 2007. — 192 с.

тогда

\\kn+l - PRkt\\ < а ]|kn - PRKII + b ||kn - PRK||2 + c, (17)

Ш ii^-ъм< (18)

п—юо 2b

где

a = * ,11 - 27A| + 87dim YW~ ll^il'

b = 27Ja|| (4dimF + v = k.- PrK, £ = PRK - PqK,

-H[k] = {(A'(k)ei,A'(k)ej)}tl

dim Y i,j=1 >

V^miii \ min min / )

||.|| - норма ¿2(0,1), Pr - метрический проектор на R, -

ортонормированный базис Y, dimY - размерность Y, SpH - спектр матрицы Ц.

Во второй главе на основе введения дискретной по времени модели предлагается и обосновывается способ построения приближенного градиента функционала невязки, фигурирующего в Теореме 1.2.

В параграфе 2.1 дискретизацией модели (1)-(5) по времени вводится её дифференциально-разностный аналог

u(x,j) - Tk(i+0 ^uxx(x,j) - u(x,j - 1), (19)

(x,j) e (xi,xi+1) x {1 ,M}, i € {l,w>,

1 ftj+i

k(i.a)Ux(0tj) = - a(t)dt, k{N+0.5)ux(l,j) = 0,

T J4

(20)

j G {1,M},

[u](xi,j) = 0, [kux](xij) = 0, j£{l,M}, ie{2,N}, (21) uix: j) = 0, x e [0,1], j < 1, (22)

1 гь+1

«(О, j) = - / =: /м(Я, j G {1,M}, (23)

r Jtj

где tt(.,j) € П^С2(хьхт) nj^j j € {1,M}, к (E K,

a € Ьг(0,1), т = T/M, S {1 ,M + 1}} - равномерная сетка на временном отрезке [0,1].

Аналогично дифференциальному случаю строится дискретный аналог оператора прямой задачи Ам и градиент функционала невязки JM(k) = \\Ам{к) - fM\\2-

В параграфе 2.2 проверяется сходимость VyJm(&) к VyJ(fc).

Теорема 2.1: Пусть аеС03 [0,1], к £ К, ' ортонормирован-

ный базис Y, который используется при вычислении градиента, тогда для любого е > 0 существует такое Ме — М(е, , а, /, к), что

при M > Ме выполняется оценка погрешности

l|VyJM(£)- VrJ(fc)|| <е.

В третьей главе обсуждаются вопросы построения численных схем для реализации на ЭВМ алгоритма решения обратной задачи, полученного в предыдущих главах. Приводится описание численных экспериментов и, в частности, на примере задачи об определении температуропроводности почвы с помощью оператора чувствительности проводится исследование прикладной обратной задачи. Результаты диссертации сравниваются с выводами других авторов.

В параграфе 3.1 обсуждается вычисление \7у7м(&) по аналогии с (12). Базовым компонентом его вычисления является алгоритм решения (19)-(22). Показано, что (19)-(22) сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Методом построения дискретно-аналитических схем, использующим тождество Лагранжа для дифференциальных операторов и фундаментальные решения локально-сопряженных задач в пределах интервалов [a^xi+i], находятся элементы матрицы системы. Для получения правых частей системы применяются методы аппроксимации в гильбертовых пространствах с использованием ортонормированного базиса, составленного из собственных функций задачи Штурма-Лиувилля, и разложения Фурье по этому базису.

Теорема 3.1: Пусть к € К, а € 1/2(0,1), и{х,з) - решение дифференциально-разностной прямой задачи (19)-(22), тогда для з 6 {1 ,М}

тких{хг, Л = - 1) - (Л+ + Б+)и{хиз) + 11?и(х{+1, тких(х1+из) = ^хО' - 1) - (Я~+1 + И-+1)и(х1+1,з) + П~+1и{хиз)\

значения функции и{хг,з) удовлетворяют трехдиагональной системе линейных алгебраических уравнений:

гЬ+1

{КУ + Вг+)и(ъ,з) - Я+и(х{+из) = Г+(з - 1) - / а(*)А, г = 1,

Jtj

+ {К~ + ПГ + + 11+)и(хи^ - Е+и(Хг+1Л) = -Л~и(х^из) + (ДГ + Л-)и(хг,з) = - 1). г = Ы + 1,

-„„ ту — /»<+0.5 — ^<±0.5 ТапЬ(Я;±0.5) р± _ _^<±0.5_

где ^¿+0.5 - 5) . "г - . Щ - 8шЬ(Н4±о.5)Я1±о.5 '

¿-1

- 1) = ^±0.5 Е5"«-!-Ш> я»±о.5)и(^±ь тп)+

т=1

¿-1

+^¿±0.5 - 1 - т,Щ±о.ь)и(хг,тп),

т— 1

^¿+о.5 = — аГг и функции 5± определены для р £ Н, Я > О абсолютно сходящимися рядами

Н) = 2Н~2 V ^ ^ ^ (1 + (7г02Я-2)Р+2'

Полученные схемы являются точными по пространству и точно учитывают краевые условия. Они обладают свойствами аппроксимации, устойчивости и монотонности.

На основе величин и{хиз), г 6 {1,ЛГ + 1}, 3 е {1,М} и с применением того же аппарата, что и при доказательстве Теоремы 3.1, строится алгоритм вычисления Уу«/м(/с), сводящийся к суммированию рядов и векторно-матричным операциям.

0.2

04

0.6

i,__j

Jr ....... 1

П!Н------------ЛГ {

> t

—точное решение, к. 4 1 rt»««?5

—dlmRJ iv ! r- [ j/

—dlmRS

—dim R 30

0.1

0 А

0.6

0.8

Рис. I: Влияние шума в данных 6/ на" результат восстановления коэффициента (слева); влияние точности аппроксимации решения к* линейным многообразием Д, определяемой размерностью (Пт.?? (справа)

Параграф 3.2 содержит описание численного алгоритма проекции сопряженных градиентов и серии проведенных с его помощью численных экспериментов, выполненных для проверки теоретических результатов. Исследуется влияние следующих факторов на сходимость алгоритма решения обратной задачи: наличия шума <5/ в данных (рис. 1, слева), точности аппроксимации решения линейным многообразием Я (рис. 1, справа) и погрешностей, обусловленных приближенным вычислением градиента.

В параграфе 3.3 приводится пример исследования, с использованием сингулярного спектра оператора чувствительности, информативности данных обратной задачи для определения коэффициента температуропроводности почвы в зависимости от точности данных измерений. Полученные выводы проверяются посредством расчетов по алгоритму решения обратной задачи (рис. 2).

В параграфе 3.4 полученные в диссертации результаты сравниваются с выводами других авторов.

В Заключении приводятся основные выводы и обсуждаются перспективы развития полученных результатов.

Таким образом, в диссертационной работе представлен теоретически обоснованный математический аппарат, позволяющий получать решения и проводить анализ широкого круга прикладных задач,

4.5 г 4

« х

*Ь 5.

гл 2-

—с —5±1С" "•&±0.1С"

-5*0.01С*

•—510Л01С"

0.2 0.3 глубина, м

Рис. 2: Результаты восстановления размерного коэффициента температуропроводности почвы ас* в зависимости от точности 5 измерений температуры на поверхности для двух модельных почв

сводящихся к обратным коэффициентным задачам теплопроводности и диффузии. На точность восстановления коэффициента градиентными методами влияют такие факторы как: погрешность в данных измерений, погрешность вычисления градиента, ошибка в априорном выборе общего вида решения, характер убывания сингулярного спектра оператора чувствительности. При решении обратных задач построение точных и согласованных численных схем играет особенно важную роль, так как любые погрешности, вносимые численной схемой, могут существенно влиять на сходимость алгоритма решения обратной задачи.

В приложении А даётся краткое описание комплекса программ. В приложении В приводятся различные вспомогательные утверждения, используемые в работе, как общеизвестные, так и полученные автором.

Публикации по теме исследования В рецензируемых журналах, рекомендуемых ВАК:

[1] Кабанихин С. И., Гасанов А., Пененко А. В. Метод градиентного типа для решения обратной коэффициентной задачи теплопроводности // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. 2008. Т. 11 № 1, С. 41-54.

В рецензируемых международных журналах:

[2] Kabanikhin S. I., Penenko А. V. Convergence analysis of gradient descend methods generated by two different functionals in a backward heat conduction problem // J. Inv. Ill-Posed Problems. 2009. Vol. 17 No. 7. P. 713-732.

[3] Kabanikhin S., Penenko A. Gradient-type methods in inverse parabolic problems [Электронный ресурс] // J. of Phys.: Conf. Ser. 2008. Vol. 135 No. 012054. P. 1-7. URL: http://www.iop. org/EJ/article/1742-6596/135/l/012054/jpconf8_135_012054.pdf (дата обращения: 23.11.2009)

В рецензируемых журналах по материалам конференций:

[4] Пененко А. В. Обнаружение источников загрязнений с помощью вариационных методов // Вычисл. технологии. 2008. Т. 13. Спец.выпуск Ч.З. С. 44-50.

[5] Пененко А. В. Некоторые теоретические и прикладные вопросы последовательного вариационного усвоения данных // Вычисл. технологии. - 2006. Т. 11. Спец.выпуск 4.2. С. 35-40.

[6] Penenko А. V. Sequential variational data assimilation // Proc. of SPIE. 2005. Vol.6160. No. 61602D. P. 1-9.

В трудах конференций:

[7] Пененко А. В. Анализ сходимости метода проекции градиента для обратной коэффициентной задачи теплопроводности // Труды конф. молодых ученых. Изд. ИВМиМГ СО РАН 2009. С. 125-136.

[8] Пененко А. В. Локализация систем точечных источников для уравнения адвекции-диффузии // Труды конф. молодых ученых. Изд. ИВМиМГ СО РАН. 2008. С. 83-92.

[9] Kabanikhin S., Penenko A. Gradient-type methods in inverse parabolic problems // Book of presentations of the 6th Int. Conf. on Inverse Problems in Engineering: Theory and Practice. Dourdan (Paris). France. Nancy:CIRIL. 2008. P.52 (1-7).

В тезисах всероссийских и международных конференций:

[10] Пененко A.B. Численный метод решения обратной коэффициентной задачи теплопроводности с применением дискретно-аналитических аппроксимаций [Электронный ресурс] // Тез. Украинского математического конгресса - 2009 (посвященного 100-летию со дня рождения Н. Н. Боголюбова). Киев. 2009. URL: http://www.imath.kiev.ua/~congress2009/ Abstracts/Penenkol.pdf (дата обращения: 23.11.2009)

[11] Пененко A.B. Метод решения обратной коэффициентной задачи теплопроводности с использованием свойств интегрального оператора типа разделенных разностей // Межд. науч. конф. «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики», посвященная памяти академика А.А.Самарского в связи с 90-летием со дня его рождения. Москва. 2009. С.85.

[12] Пененко A.B. Применение дискретно-аналитических схем для численного решения обратной коэффициентной задачи теплопроводности [Электронный ресурс] // Тез. Всерос. конф. по вычислительной математике КВМ-2009. Новосибирск. 2009.

[13] Пененко A.B. Решение обратной коэффициентной задачи теплопроводности с применением дискретно-аналитических схем // "Математика в приложениях". Всерос. конф., приуроченная к 80-летию академика С.К. Годунова: Тез. докладов / Ин-т математики СО РАН, Новосибирск. 2009. С.203.

[14] Пененко A.B. Итерационное решение обратной коэффициентной задачи теплопроводности с использованием дискретно-аналитических численных схем [электронный ресурс] //Тез. Межд. школы-конф. "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач". Новосибирск. 2009. С.74. URL: http://www.math.nsc.ru/conierence/onz09/kmga.pdi (дата обращения: 23.11.2009).

[15] Пененко A.B. Об одном алгоритме нахождения старшего коэффициента в обратной задаче теплопроводности по данным на границе области. // Тез. докл. конф. "Алгоритмический анализ неустойчивых задач". Екатеринбург. 2008. С. 228.

[16] Пененко А.В. Об одном методе секущих в применении к задаче идентификации старшего коэффициента в уравнении теплопроводности //Тез. док. Межд. конф. "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений" посвященной 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева / Ин-т математики СО РАН. Новосибирск. 2008. С.541.

[17] Penenko A. On some aspects of numerical solution of linear inverse heat conduction problems //Abstracts of the 4th Int. Conf. "Inverse Problems: Modeling and Simulation". Oludeniz. Fethiye-Turkey. 2008. P.141.

[18] Penenko A.V., Kabanikhin S.I. Estimating the gradient descent method convergence rate for the sideways heat conduction problem [Электронный ресурс] //Тез. Межд. конф. "Обратные и некорректные задачи математической физики", посвященной 75-летию акад. М.М. Лаврентьева. Новосибирск. 2007. URL: http://www.math.nsc.ru/conference/ipmp07/ abstracts/Section3/PenenkoAVKabanikhinSI.pdf (дата обращения: 23.11.2009).

[19] Penenko A.V. A theoretical estimate of the convergence rate of the steepest descent method for the inverse heat conduction problem //Тез. Межд. конф. «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», посвященной 100-летию со дня рождения акад. И. Н. Векуа. Новосибирск. 2007. С. 403.

[20] Penenko A.V. Multi-point source localization methodology for the advection-diffusion equation [Электронный ресурс] //Abstracts of the 5th European Congr. on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS 2008). Venice. 2008. (CD-ROM).

Автореферат:

Формат 60x84 1/16, 1,25 п. л. Тираж 100 экз. Заказ №774. 28.12. 2009

Отпечатано ЗАО РИЦ «Прайс-курьер» ул. Кутателадзе, 4г, т. 330-7202

Список использованных сокращений и обозначений

Введение

ГЛАВА 1. Определение структуры среды с помощью математической модели процесса теплопроводности

1.1. Задача об определении коэффициента температуропроводности почвы и другие приложения обратных задач для моделей теплопроводности

1.2. Обзор литературы.

1.3. Чувствительность модели к изменению коэффициента.

1.3.1. Функции чувствительности

1.3.2. Построение оператора чувствительности.

1.3.3. Исследование свойств гладкости оператора чувствительности

1.4. Исследование сходимости алгоритма проекции градиента.

1.5. Краткие выводы по главе.

ГЛАВА 2. Применение дифференциально-разностной модели для построения численного алгоритма решения обратной задачи

2.1. Дифференциально-разностный аналог обратной задачи.

2.1.1. Определения и свойства.

2.1.2. Дискретно-аналитическая численная схема для ДР прямой задачи

2.1.3. Градиент функционала невязки ДР обратной задачи

2.2. О сходимости градиента функционала невязки для ДР модели к градиенту функционала невязки для исходной модели

2.2.1. Сильная сходимость аппроксимации оператора прямой задачи

2.2.2. Сильная сходимость оператора производной на гладких функциях

2.2.3. Слабая сходимость оператора производной на кусочно-постоянных функциях

2.2.4. Сходимость градиента.

2.3. Краткие выводы по главе.

ГЛАВА 3. Численное решение обратной задачи

3.1. Вычисление алгоритмических конструкций

3.1.1. Алгоритм вычисления правой части численной схемы.

3.1.2. Вычисление градиента функционала невязки и оператора чувствительности

3.2. Численные эксперименты.

3.2.1. Алгоритм проекции сопряженных градиентов.

3.2.2. Влияние различных факторов на сходимость алгоритма.

3.3. Численное исследование обратной задачи об определении температуропроводности почвы

3.4. Сравнительный анализ результатов.

3.5. Краткие выводы по главе.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Непосредственно узнать внутреннюю структуру среды часто или невозможно без её разрушения (как, например, в медицине и технике) или неэффективно экономически (как в геофизике и экологии). Если же в среде протекает некоторый процесс, то на основе его математической модели, а также доступных для измерения характеристик этого процесса можно попытаться восстановить структуру среды и самого процесса методами решения обратных задач. В контексте математического моделирования речь идет о решении обратной задачи, состоящей в количественной оценке параметров модели.

Модели теплопроводности (диффузии) достаточно универсальны и описывают широкий спектр физических, биологических и даже социальных процессов. К конкретным примерам относятся процессы теплообмена в почве, процессы диффузии (фильтрации) в нефтяных пластах, процессы изменения электромагнитных полей. Обратные задачи на основе моделей теплопроводности возникают в таких областях как геофизика, динамика атмосферы и океана, теплотехника и физика ядерных реакторов, биология, химия, экономика и др.

Как правило, обратные задачи некорректны по Адамару. Вследствие этого, минимизация функционалов, описывающих разницу между рассчитанными по модели и измеренными величинами, не всегда связана с убыванием ошибки в решении обратной задачи. Отдельной актуальной задачей является построение устойчивых численных методов и алгоритмов для решения обратных задач на ЭВМ.

Для нахождения условий применимости оптимизационных методов целесообразно анализировать модели с позиций теории обратных и некорректных задач, с тем, чтобы применять методы решения, адекватные найденным свойствам. Источником общих методов решения может служить теория некорректных задач, получившая развитие в работах А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова и созданных ими научных школ. К настоящему времени в этой области имеется теоретически обоснованный математический аппарат, позволяющий решать широкий класс научных и практических задач. Поэтому сведение различных обратных задач к постановкам, изучающимся в теории некорректных задач, позволяет активно использовать накопленный опыт, а возвращение от абстрактных постановок к математическим моделям даёт возможность получать новые знания о моделируемых процессах.

Объектом исследования являются процессы распространения тепла и диффузии вещества в среде.

Предметом исследования являются характеристики температуропроводности среды и методы их определения, обратные задачи для моделей теплопроводности с данными измерений на границах области, численные алгоритмы градиентного типа для решения обратных задач, численные схемы, используемые в реализации таких алгоритмов на ЭВМ.

Целыо работы являются разработка и обоснование методов численного нахождения коэффициентов моделей теплопроводности по данным граничных измерений характеристик тепловых (диффузионных) процессов в слоистых средах.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

• на примере задачи об определении температуропроводности почвы выполнен переход от постановки физической задачи к общей обратной коэффициентной задаче для модели теплопроводности;

• для исследования полученной обратной задачи и построения эффективного алгоритма её решения использованы методы теории обратных и некорректных задач:

- введением оператора прямой задачи, обратная задача переписана в виде операторного уравнения;

- построен оператор чувствительности, характеризующий связь между разницей коэффициентов температуропроводности сред и разницей соответствующих им данных измерений на границе области;

- исследованы свойства оператора прямой задачи и оператора чувствительности, применен адекватный этим свойствам градиентный метод решения нелинейных некорректных задач;

• на основе дифференциально-разностного аналога модели теплопроводности в слоистой среде построен алгоритм решения дискретного аналога операторного уравнения:

- изучена связь между итерациями алгоритма и решением исходной обратной задачи;

- разработаны взаимно-согласованные дискретно-аналитические численные схемы для вычисления составляющих градиента функционала невязки;

- создан комплекс программ и проведены серии численных экспериментов;

• с помощью комплекса программ и полученных теоретических результатов проведено численное исследование обратной задачи об определении температуропроводности почвы.

Методы исследования. Основные результаты диссертации получены с применением методов математического моделирования, теории обратных и некорректных задач, теории возмущений, теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, теории оптимизации, методов вычислительной математики. Для получения и анализа формул использовалась система

15 А компьютерной алгебры, а для повышения эффективности программной реализации - методы прикладного параллельного программирования. Основные результаты, выносимые на защиту:

• построен оператор чувствительности, связывающий разницу коэффициентов дифференциальной модели теплопроводности с разницей следов функции состояния модели на границе области;

• определены свойства градиентных алгоритмов решения дифференциально-разностного аналога обратной задачи, сформулированные в виде теорем:

- о сходимости градиента функционала невязки дифференциально-разностной обратной задачи в операторной форме к градиенту функционала невязки исходной обратной задачи в операторной форме;

- о характере локальной сходимости алгоритма решения дифференциально-разностной обратной задачи методом проекции градиента (с постоянным параметром спуска) к решению исходной обратной задачи;

• разработаны численные алгоритмы для исследования и решения дифференциально-разностной обратной задачи на основе совместного использования пространственных локально-сопряженных задач для уравнения теплопроводности и спектральных методов;

• с применением распараллеливания посредством ОрепМР создан комплекс программ, реализующий алгоритмы решения и исследования дифференциально-разностной обратной задачи;

• на примере задачи об определении температуропроводности почвы с помощью оператора чувствительности исследована прикладная обратная коэффициентная задача для уравнения теплопроводности.

Научная новизна работы. Для исследования возможности восстановления коэффициентов модели процесса теплопроводности построен компактный интегральный оператор чувствительности и изучены его свойства.

Доказаны теоремы, описывающие сходимость алгоритма решения дифференциально-разностной обратной задачи методом проекции градиента с постоянным параметром спуска к решению исходной обратной задачи.

Построены новые согласованные численные схемы для решения дифференциально-разностных прямых и сопряженных задач, а также вычисления градиента функционала, в которых совместно применяются аналитические решения локально-сопряженных задач и спектральные методы.

Обоснованность и достоверность результатов подтверждены доказательствами, согласием между теоретическими выводами и результатами численных экспериментов, а также согласием с выводами других авторов.

Теоретическая и практическая значимость состоит в том, что полученные результаты развивают теорию и методы численного решения обратных задач для моделей, описываемых системами параболических уравнений. Они представляют интерес для специалистов по математическому моделированию, вычислительной математике, обратным и некорректным задачам. Разработанные алгоритмы и реализующие их комплексы программ могут быть использованы для решения прямых и обратных задач, описываемых уравнениями параболического типа.

Представление работы: Основные результаты докладывались и обсуждались на Международной научной конференции «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики», посвященной памяти академика А.А.Самарского, Москва 2009; на Всероссийской конференции "Математика в приложениях", приуроченной к 80-летию академика С.К. Годунова, Новосибирск 2009; на Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2009, Новосибирск 2009; на Международной школе-конференции "Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач" Новосибирск 2009; на Украинском Математическом Конгрессе, посвященном памяти академика Н.Н.Боголюбова, Киев 2009; на конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач", посвященной памяти В.К. Иванова, Екатеринбург 2008; на Международной конференции "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященной 100-летию со дня рождения C.JI. Соболева, Новосибирск 2008; на 5-ом международном конгрессе "Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS 2008)", Венеция 2008; на 6-ой Международной конференции "Inverse Problems in Engineering: Theory and Practice", Дурдан (Париж) 2008; на 4-ой Международной конференции "Inverse Problems: Modeling and Simulation", Олудениз (Турция) 2008; на Международной конференции "Обратные и некорректные задачи математической физики" посвященной 75-летию академика М.М. Лаврентьева, Новосибирск 2007; на Международной конференции, посвященной 100-летию академика И.Н.Векуа "Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения", Новосибирск 2007.

Основные результаты докладывались на семинарах: в Институте математики СО РАН на семинаре лаборатории волновых процессов (под рук. чл.-корр. РАН В.Г. Романова), в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН на семинаре под рук. проф. А.Ф. Воеводина, в Институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН на объединенном семинаре ИВМиМГ и кафедры вычислительной математики НГУ (под рук. проф. В.П. Ильина), в Институте математики и механики УРО РАН на семинаре отдела некорректных задач анализа и приложений (под рук. чл.-корр. РАН В.В. Васина), в Институте вычислительных технологий на семинаре "Информационно-вычислительные технологии" (под рук. акад. Ю.И. Шокина и проф. В.М. Ко-вени).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 20 работ. Из них (в скобках в числителе указан общий объем этого типа публикаций, в знаменателе

- объем, принадлежащий лично автору) работа [29] в журнале, рекомендованном ВАК (14/6 стр.), [51, 48] в спец. выпусках журнала, рекомендованного ВАК (15/15 стр.), [106] в международном рецензируемом журнале (20/15 стр.), [104, 121] в международных рецензируемых журналах по материалам международных конференций (17/13 стр.), [105] в трудах международной конференции (7/3 стр.), [51, 53] в трудах конференций молодых ученых ИВМиМГ (22/22 стр.), одиннадцать работ в тезисах всероссийских и международных конференций [58, 55, 56, 57, 54, 50, 52, 120, 124, 122, 123](11/10.5 стр.).

Личный вклад автора. Все результаты, выносимые на защиту, получены автором лично. В работе [29] автор принимал участие в постановке задачи, получил доказательство леммы о приближенном градиенте функционала невязки для обратной задачи в слабой постановке с использованием оценок, полученных проф. А.Гасановым для алгоритма грубых-тонких сеток ("coarse-fine mesh method") в его более ранней статье. Автор разработал и реализовал численный алгоритм, провел численные эксперименты. В [106] для задачи теплопроводности с обратным временем автор получил оценку сходимости итераций алгоритма градиентного спуска, минимизирующего функционал специального вида, реализовал алгоритм, провел численные эксперименты на примере задачи о восстановлении размытого изображения. В [104, 105] автор принимал участие в постановке задачи, подготовил разделы статей, посвященные обратной коэффициентной и "боковой" (sideways) задачам теплопроводности, разработал программы и провел расчеты. В [124] автор получил оценку скорости сходимости алгоритма градиентного спуска для "боковой" (sideways) задачи теплопроводности, реализовал программу и провел численные эксперименты.

Структура и объём работы: Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы из 132 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложен новый подход к исследованию процессов теплопроводности в многослойных средах с использованием обратных коэффициентных задач для уравнений параболического типа с данными измерений температуры и потоков тепла на границе области.

Разработан теоретически обоснованный математический аппарат, позволяющий получать решения и проводить анализ широкого круга прикладных задач рассматриваемого класса.

• Предложен оригинальный метод теории чувствительности для исследования математических моделей процессов, операторов обратной задачи и функционалов в пространстве параметров. На основе этого метода организованы эффективные алгоритмы градиентного типа для решения обратных задач.

• Исследования характера сходимости итераций градиентного алгоритма показали, что если начальное приближение для градиентного алгоритма находится в достаточно малой окрестности точного решения, то итерации сходятся к его ещё более узкой окрестности.

• Теоретическими исследованиями и численными экспериментами установлено, что на точность восстановления коэффициента влияют такие факторы как: погрешность в данных измерений, погрешность вычисления градиента, ошибка в выборе общего вида предполагаемого решения (т.е. ошибка в выборе конечномерного линейного многообразия К), характер убывания сингулярного спектра сужений оператора чувствительности на заданные конечномерные подпространства.

• Развит новый метод построения дискретно-аналитических численных схем для решения прямых и сопряженных задач с использованием локальных сопряженных задач для дифференциальных операторов модели. Полученные схемы являются точными по пространству и точно учитывают краевые условия. Они обладают свойствами аппроксимации, устойчивости и монотонности. На их основе сформулированы алгоритмы вычисления градиентов минимизируемых функционалов.

• Разработан программный комплекс, реализующий предложенные математические модели и алгоритмы. Выполнены серии численных экспериментов, результаты которых показали хорошее согласие с теоретическими положениями диссертации и выводами других авторов.

• Созданная вычислительная технология отрабатывалась на решении практически важной задачи по определению коэффициентов температуропроводности почвы по данным измерений на поверхности Земли.

Дальнейшее развитие работы состоит в расширении круга приложений, в переходе к многомерным случаям, в исследовании возможности построения глобально сходящегося алгоритма для обратной коэффициентной задачи теплопроводности, продолжении работ [50, 52] по построению алгоритмов, основанных на сингулярном разложении оператора чувствительности и, в частности, алгоритмов с адаптивным выбором подпространств проектирования.

1. Алифанов О. М. Обратные задачи теплообмена. — Москва: Машиностроение, 1988.- 280 с.

2. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Ненарокомов А. В. Идентификация математических моделей сложного теплообмена. — Москва: Изд. МАИ, 1999.-252 с.

3. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы' решения некорректных задач и их приложения к обратным задачам теплообмена. — Москва: Наука, 1988. — 288 с.

4. Бакушинский А. Б., Кокурин М. Ю., Козлов А. И. Стабилизирующиеся методы градиентного типа для решения нерегулярных нелинейных операторных уравнений, — Москва: ЛКИ, 2007.— 192 с.

5. Безнощенко Н. Я. Об определении коэффициентов при старших производных в параболическом уравнении // Дифф. уравнения. — 1975. — Т. 11, № 1. — С. 19—26.

6. Безнощенко Н. Я., Прилепко А. И. Пробл. матем. физ. и вычисл. матем. — Москва: Наука, 1977,- С. 51-63.

7. Бек Д., Блакуэлл Б., Сент-Клэр Ч. Некорректные обратные задачи теплопроводности. — Москва: Мир, 1989.— 312 с.

8. Будак Б. М., Д. И. А. Об одном классе обратных задач с неизвестными коэффициентами II Докл. АН СССР. 1967. - Т. 176, № 1. - С. 20—23.

9. Вайникко Г. М., Веретенников А. Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. — Москва: Наука, 1986.— 177 с.

10. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. — Москва: Наука, 1981.-400 с.

11. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач.— Москва: Наука, 1988.— 552 с.

12. Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. — Москва: Наука. Физматлит, 1986. — 448 с.

13. Воеводин А. Ф. Метод факторизации для линейных и квазилинейных сингулярно возмущенных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений // Сиб. журн. вычисл. математики / РАН. Сиб. отд-ние. 2009. - Т. 12, № 1. - С. 1-15.

14. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. — Москва: Наука, 1984.-320 с.

15. Годунов С. К, Рябенький В. С. Разностные схемы: введение в теорию,— Москва: Наука, 1977. 440 с.

16. Денисов А. М. Единственность решения некоторых обратных задач для уравнения теплопроводности с кусочно-постоянным коэффициентом // Журн. вычисл. математики и мат. физики.— 1982,— Т. 22, № 4.— С. 858-864.

17. Зорич В. А. Математический анализ (часть II). — Москва: Наука, 1984. — 640 с.

18. Зорич В. А. Математический анализ (часть I).— Москва: Наука, 1997. — 554 с.

19. Иванов В. К. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР.— 1943.-Т. 39, № 5.- С. 195—198.

20. Иванов В. К. Интегральное уравнение обратной задачи логарифмического потенциала // Докл. АН СССР. 1955. - Т. 105. - С. 409-411.

21. Иванов В. К. О некорректно поставленных задачах // Матем. сб.— 1963.-Т. 61, № 103.- С. 211-223.

22. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. — Москва: Наука, 1978. — 208 с.

23. Искендеров А. Д., Тагиев Р. К. Задачи оптимизации с управлениями в коэффициентах параболических уравнений // Дифф. уравнения. — 1983.— Т. 19, № 8.- С. 1324-1334.

24. Ито К., Маккин Г. Диффузионные процессы и их траектории. — Москва: Мир, 1968.- 391 с.

25. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. — Новосибирск: Сибирское научное издательство, 2008. — 460 с.

26. Кабанихин С. И., Бектемесов М. А., Нурсеитова А. Т. Итерационные методы решения обратных и некорректных задач с данными на части границы. — Алматы-Новосибирск: Международный фонд обратных задач, 2006. 450 с.

27. Кабанихин С. И., Искаков К. Т. Оптимизационные методы решения коэффициентных обратных задач. — Новосибирск: Изд. НГУ, 2001. — 315 с.

28. Кабанихин С. И., Хасанов А., Пененко А. В. Метод градиентного типа для решения обратной коэффициентной задачи теплопроводности // Сиб. журн. вычисл. математики /РАН. Сиб. отд-ние. — 2008. — Т. 11, № 1. — С. 41-54.

29. Камынин Л. И. О существовании решения краевых задач для параболического уравнения с разрывными коэффициентами // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1964. - Т. 28, № 4. - С. 721-744.

30. Карчевский А. Л. Корректная схема действий при численном решении обратной задачи оптимизационным методом // Сиб. журн. вычисл. математики /РАН. Сиб. отд-ние. — 2008. — Т. 11, № 2. — С. 139-150.

31. Клибанов М. В., Данилаев П. Р. О решении коэффициентных обратных задач методом квазиобращения // Докл. АН СССР— 1990.— Т. 310, № З.-С. 528-532.

32. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Москва: Наука, 1976.— 543 с.

33. Корнеев В. Г. О точных сеточных схемах // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1982. — Т. 22, № 3. — С. 647-654.

34. Костин В. И., Хайдуков В. Г., Чеверда В. А. Обращение волновых полей для данных систем многократного перекрытия (линеаризованная постановка) II Докл. РАН. 1997. - Т. 352, № 5. - С. 683-686.

35. Лаврентьев М. М. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Докл. АН СССР. 1955. - Т. 102, № 2. - С. 205-206.

36. Лаврентьев М. М., Резницкая К. Г. Теоремы единственности некоторых обратных задач уравнений параболического типа // Докл. АН СССР. — 1973.-Т. 208, № З.-С. 531—532.

37. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. — Москва: Наука, 1980. — 286 с.

38. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. — Москва: Наука, 1973.-408 с.

39. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — Москва: Наука, 1967. — 736 с.

40. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — Москва: Мир, 1972. — 414 с.

41. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — Москва: Мир, 1971. — 371 с.

42. Марчук Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. — Ленинград: Гидрометеоиздат, 1974.— 303 с.

43. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. — Москва: Наука, 1976. — 391 с.

44. Морозов В. А. О принципе невязки при решении операторных уравнений методом регуляризации // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1968. Т. 8, № 26. - С. 295-309.

45. Никольский С. М. Курс математического анализа. — Москва: Наука, 1983.-Т. 1.-465 с.

46. Основы общей метеорологии. Физика атмосферы / Под ред. Л. Т. Матвеев. — Ленинград: Гидрометеорологическое издательство, 1965.— 876 с.

47. Пененко А. В. Некоторые теоретические и прикладные вопросы последовательного вариационного усвоения данных // Выч. тех. — 2006. — Т. 11, № Спец.выпуск ч.2.— С. 35-40.

48. Пененко А. В. Локализация систем точечных источников для уравнения адвекции-диффузии // Труды конф. молодых ученых.— Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2008. С. 83-92.

49. Пененко А. В. Об одном алгоритме нахождения старшего коэффициента в обратной задаче теплопроводности по данным на границе области // Тез. докл. конф. "Алгоритмический анализ неустойчивых задач". — Екатеринбург: 2008.- С. 228.

50. Пененко А. В. Обнаружение источников загрязнений с помощью вариационных методов // Выч. тех. — 2008.— Т. 13, № Спец.выпуск ч.З.— С. 44-50.

51. Пененко А. В. Анализ сходимости метода проекции градиента для обратной коэффициентной задачи теплопроводности // Труды конф. молодых ученых. Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2009,- С. 125-136.

52. Пененко А. В. Применение дискретно-аналитических схем для численного решения обратной коэффициентной задачи теплопроводности // Тез. докл. всероссийской конф. по вычислительной математике КВМ-2009. — Новосибирск: 2009.

53. Пененко В. В. Некоторые проблемы вычислительной и прикладной математики / Под ред. М. М. Лаврентьев. — Новосибирск: Наука, 1975.— С. 61-77.

54. Пененко В. В. Методы численного моделирования атмосферных процессов. — Ленинград: Гидрометиздат, 1981.— 352 с.

55. Полак Э. Численные методы оптимизации,— Москва: Мир, 1974.-— 375 с.

56. Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. — Москва: Физматлит, 2001.— 576 с.

57. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. — Москва: Наука, 1984.- 263 с.

58. Рысбайулы Б'., Байманкулов А. Т., Исмайлов А. О. Разностный метод определение коэффициента теплопроводности грунта в процессе промерзаний // Вестник НАНРК. 2008. - № 2. - С. 7-9.

59. Рысбайулы Б., Исмайлов А. О. Определение коэффициента теплопроводности однородного грунта в процессе промерзаний // Докл. НАН РК. — 2008.-№ 2.-С. 26-28.

60. Самарский А. А. Уравнение параболического типа с разрывными коэффициентами Н Докл. АН СССР. 1958. - Т. 121, № 2. - С. 225-228.

61. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. — Москва: Наука, 1971.-553 с.

62. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача.— Москва: ЛКИ, 2007.-480 с.

63. Стренг Г., Фикс Д. Теория метода конечных элементов. — Москва: Мир, 1984.- 351 с.

64. Тихонов А. Н. О становлении электрического тока в однородном проводящем полупространстве // Докл. АН СССР. Изв. АН СССР. Сер. геогр. игеофиз1946,-Т. 10, № 3. С. 213-231.

65. Тихонов А. Н. Об определении электрических характеристик глубоких слоев земной коры // Докл. АН СССР. Нов. сер. — 1950. — Т. 73, № 2. — С. 295-297.

66. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач.— Москва: Наука, 1979.- 142 с.

67. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В. Численные методы решения некорректных задач. — Москва: Наука, 1990.— 115 с.

68. Тихонов А. Н., Леонов А. С., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи.— Москва: Наука, 1995.— 312 с.

69. Физика атмосферы / Под ред. А. X. Хриган. — Ленинград: Гидрометеорологическое издательство, 1969.— 648 с.

70. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. — Москва: Мир, 1968. — 427 с.

71. Численные методы решения некорректных задач / А. Н. Тихонов, А. В. Гончарский, В. В. Степанов, А. Г. Ягола. — Москва: Наука, 1990. — 230 с.

72. Asaeda Т., CaV.T. The subsurface transport of heat and moisture and its effect on the environment: A numerical model // Boundary-Layer Meteorology. — 1993.-Vol. 65, no. 1-2.-Pp. 159—179.

73. Berger A. E., Solomon J. M., Ciment M. An analysis of a uniformly accurate difference method for a singular perturbation problem // Mathematics of computation. — 1981. — Vol. 37, no. 155. Pp. 79-94.

74. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // Journal of Political Economy. — 1973. — Vol. 81, no. 3. — Pp. 637—654.

75. Buchan G. D. Soil and Environmental analysis ¡physical methods / Ed. by IC. A. Smith, C. E. Mullins.- New York: Mcrccl Dekker AG, 2001. — Pp. 539-595.

76. Cannon J. R. Determination of an unknown coefficients in a parabolic differential equations // Duke Math. J. — 1963. — Vol. 30, no. 2. — Pp. 313— 323.

77. Cannon J. R., Du Chateau P. Determining unknown coefficients in a momlinear heatconduction problems // SIAM J. Appl. Math.— 1973. — Vol. 24, no. 3.-Pp. 298—314.

78. Cartel W. J., Morton J. The significance of damage and defects and their detection in composite materials: a review // Strain. Anal.— 1992. — Vol. 27. Pp. 29-42.

79. Danilaev P. G. Coefficient inverse problems for parabolic type equations and their application. Zeist: VSP, 2001.- 115 pp.

80. El-Mistikawy T. M., Werle M. J. Numerical method for boundary layers with blowing The exponential box scheme // AIAA J.— 1978.— Vol. 16.— Pp. 749-751.

81. Elayyan A., Iscikov V. On uniqueness of recovery of the discontinuous conductivity coefficient of a parabolic equation // SIAM J. Math. Anal. — 1997.-T. 28.-C. 49-59.

82. Engl H., Hanke M., Neubauer A. Regularization of inverse problems. — Dordrecht: Kluwer, 1996, — 321 pp.

83. Gevrey M. Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique // Journal de Mathematiques et appliquees.— 1913,— Vol. 9, no. 1-4.— Pp. 305-475.

84. Goebel K., Kirk W. A. Topics in metric fixed point theory.— Cambridge: Cambridge unversity press, 1990. — Vol. 28 of Cambridge studies inadvanced mathematics. — 224 pp.

85. Gutman S., Ha J. Identifiability of piecewise constant conductivity in a heat conduction process // SIAM J. Control and Optimization. — 2007. — Vol. 46, no. 2.-Pp. 694-713.

86. Gutman S., Ha J. Parameter identifiability for heat heat conduction with a boundary input // Math. Comp in Simulation. — 2009. — Vol. 79. — Pp. 21922210.

87. Hanke M., Neubauer A., Scherzer O. A convergence analysis of the Landweber iteration for nonlinear ill-posed problems // Numerische Mathematik. 1995. - Vol. 72. - Pp. 21-37.

88. Hao D. N. Methods for inverse heat conduction problems. — Frankfurt/Main: Peter Lang Pub. Inc., 1998. 249 pp.

89. Hasanov A., DuChateau P., Pektas B. An adjoint problem approach and coarse-fine mesh method for identification of the diffusion coefficient in a linear parabolic equation // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. — 2006.-T. 14, №4.-C. 1-29.

90. Hoang N. S., Ramm A. G. An inverse problem for a heat equation with piecewise-constant thermal conductivity // J. Math. Phys. — 2009. — Vol. 50, no. 6.-P. 063512.

91. Holmgren E. Sur une application de l'equation de M.Volterra // Arkiv fur Mathematic, Astronomi och Fysik. — 1907. — Vol. 3 Hafte 2, no. 12. — Pp. 14.

92. In situ thermal properties characterization using frequential methods / O. Carpentier, D. Defer, E. Antczak et al. // Energy and Buildings. — 2008. — Vol. 40. Pp. 300—307.

93. Infield L., Hull T. The factorization method // Reviews of Modern Physics. — 1951,-Vol. 23, no. l.-Pp. 21-68.

94. Isakov V., Kindermann S. Identification of the diffusion coefficient in a one-dimensional parabolic equation // Inverse problems. — 2000,— T. 16.—-C. 665-680.

95. Jones B. F. The determination of a coefficient in a parabolic differential equation, pt.l. existense and uniqueness // J. Math, and Mech.— 1962. — Vol. 11, no. 6.-Pp. 907—918.

96. Jones B. F. Various methods for finding unknown coefficient in parabolic differential equations // Communs Pure and Appl. Math. — 1963.— Vol, 16, no. l.-Pp. 33—34.

97. Kabanikhin S., Penenko A. Gradient-type methods in inverse parabolic problems // Book of presentations of the 6th Int. Conf. on Inverse Problems in

98. Engineering: Theory and Practice, Dourdan (Paris), France. — Nancy: CIRIL, 2008.-Pp. 52 (1-7).

99. Kaltenbacher B. Some Newton-type methods for the regularization of nonlinear ill-posed problems // Inverse Problems.— 1997.— Vol. 13.— Pp. 729-753.

100. Klibanov M. V., Timonov A. A. Carleman esitmates for coefficient inverse problems and numerical applications. — Boston: Utrecht, 2004. — 282 pp.

101. Koch C. Biophysics of Computation: Information Processing in Single Neurons. — New York: Oxford University Press, 1999. — 442 pp.

102. Kozhanov A. I Composite type equations. — Utrecht: VSP, 1999.— 171 pp.

103. Kushch D. V. Uniqueness of definition of piecewise constant thermal conduction equation coefficients // Mosc. Univ. Math. Bull. — 1988. — Vol. 43, no. 6. Pp. 46-52.

104. Lesnic D., Elliott L., Ingham D. B. Spacewise coefficient identification in steady and unsteady one-dimensional diffusion problems // IMA Journal of Applied Mathematics. 1997.- Vol. 59, no. 2.-Pp. 183-192.

105. Lewins J. IMPORTANCE, the Adjoint Function. — Oxford: Pergamon Press, 1965.- 175 pp.

106. Lishang J., Youshan T. Identifying the volatility of underlying assets from option prices // Inverse problems. — 2001. — Vol. 17. — Pp. 137-155.

107. Meinhardt H. Models of Biological Pattern Formation. — London: Academic Press, 1982.-230 pp.

108. Merton R. С. Theory of rational option pricing // Bell Journal of Economics and Management Science.— 1973. — Vol. 4, no. 1.—Pp. 141—-183.

109. Nakagiri S. Review of Japanese work of the last 10 years on identifiability in distributed parameter systems // Inverse Problems.— 1993.— Vol. 9.— Pp. 143-191.

110. Orlov Y., Bentman J. Adaptive distributed parameter system identification with enforceable identifiability conditions and reduced-order spatial differentiation // IEEE Transactions on Automatic Control. — 2000. — Vol. 45, no. 2.-Pp. 203-216.

111. Patel P. M., Lau S. K., Aldmond D. P. A review of image analysis techniques «applied in transient tomographic nondestructive testing // Nondestructive testing and eval. 1992. - Vol. 6. - Pp. 343-364.

112. Penenko A. On some aspects of numerical solution of linear inverse heat conduction problems // Abstracts of the 4th International Conference "Inverse Problems: Modeling and Simulation". — Oludeniz, Fethiye-Turkey: 2008.— P. 141.

113. Penenko A. V. Sequential variational data assimilation // Proceedings of SPIE. 2005. - Vol. 6160, no. 61602D.-Pp. 1-9.

114. Penenko А. V. Multi-point source localization methodology for the advection-diffusion equation // The 5th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (ECCOMAS 2008). Venice: 2008.

115. Репепко V. V., Tsvetova Е. A. Discrete-analytical methods for the implementation of variational principles in environmental applications // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2009. — Vol. 226. — Pp. 319-330.

116. Pielke R. A. Mesoscale meteorological modeling.— second edition.— San Diego, CA: Academic Press, 2002.— Vol. 78 of International geophysics series. — 599 pp.

117. Pierce A. Unique identification of eigenvalues and coefficients in a parabolic problem // SI AM J. Control and Optimization.— 1979.— Vol. 17, no. 4.— Pp. 494-499.

118. A quantitative nmr imaging study of mass transport in porous solids during drying / I. V. Koptyug, S. I. Kabanikhin, К. T. Iskakov et al. // Chemical Engineering Science. — 2000. Vol. 55, no. 9. — Pp. 1559-1571.

119. Quasi-reversibility method for data assimilation in models of mantle dynamics / A. Ismail-Zadeh, A. Korotkii, G. Schubert, I. Tsepelev // Geophys. J. Int. — 2007. — Vol. 170.-Pp. 1381—1398.

120. Ramm A. G. An inverse problem for the heat equation // J. of Math. Anal. Appl. 2001.- Vol. 264, no. 2.- Pp. 691-697.

121. Ramm A. G. An inverse problem for the heat equation ii // Applic. Analysis. — 2002. Vol. 81, no. 4. - Pp. 929-937.

122. Ramm A. G. Inverse problems: Mathematical and analytical techniques with applications to Engineering. — Boston: Springer, 2005. — 442 pp.