автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование граничных обратных задач теплопроводности

003485827

На крапах рукописи

КОЛЕСНИКОВА Наталья Юрьевна

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГРАНИЧНЫХ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЧЕЛЯБИНСК - 2009

003485827

Работа выполнена в Южно-Уральским государственном университете на кафедре вычислительной математики

Научный руководитель доктор фншко математических наук,

профессор ТАНАНЛ Виталий Павлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор МЕНИХЕС Леонид Давидович доктор физико-математических наук, профессор ХАЧАИ Юрий Васильевич.

Ведущая организация Государственный ракетный центр

"КБ им. акад. В.Г1. Макеева ".

Защита состоится 18 ноября '2009 года, в 12 ч 00 ми., на заседании диссертационного совета Д 212.298.14 при Южно-Уральском государственном университете но адресу: 454080, г. Челябинск, пр. им. В.И. Ленина, 70.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Южно Уральского государственного университета.

Автореферат разослан 15 октября 2009 г.

Ученый секретарь дне«; рта цио! I но1'о со пета, д. ф - м. п., профессор ~ ССЖОЛИНСКИЙ Л.Б.

Общая характеристика работы

Объект исследования. Диссертация посвящена численному моделированию обратных граничных задач теплопроводности.

Актуальность темы. При математическом моделировании многих процессов и явлений, происходящих в природе н обществе, приходится сталкиваться с задачами, не удовлетворяющими требованиям корректности, сформулированных Адамаром. Для решения таких задач необходимо привлечение методов теории условно-корректных задач, основы которой заложены в трудах академиков А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева и чл. кор. РАН В.К. Иванова.

К настоящему моменту теория некорректно поставленных задач стала одним из основных направлений современной прикладной математики, которое бурно развиваясь, находит все новые и новые приложения н естествознании и технике. Для приближенных решений, соответствующих задач, необходимо получение точных гарантированных оценок. Построением оптимальных методов и получением оценок погрешности занимались такие математики, как В.К. Иванов, М.М. Лаврентьев, В.Н. Страхов, В.В. Васин, А.Л. Агеев, A.B. Бакушннскин, В.Л. Морозов, A.C. Леонов, В.П. Танана, Г.В. Хромова, А.Г. Ягола и др.

Исследованию оптимальности различных методов решения обратных задач и получению точных оценок погрешности этих методов посвящены работы В.П. Тананы.

Настоящая работа представляет собой продолжение исследовании в этом нраиравленни для метода проекционной регуляризации.

Цель работы. Решение широкого класса обратных задач тепловой диагностики методом проекционной регуляризации и получение точных по порядку оценок погрешности этого метода.

Доказательство оптимальности метода М.М Лаврентьева и получение точных оценок погрешности этого метода для широкого класса обратных и некорректно поставленных задач. Решение методом М.М. Лаврентьева некоторых обратных граничных задач теплопроводности.

Разработка программ на основе указанных методов и численное решение обратных граничных задач тепловой диагностики.

Методы исследования. В работе используются методы теории функций и функционального анализа, методы теории некорректных задач.

Научная новизна. В работе доказана оптимальность метода М.М. Лаврентьева и получены точные оценки погрешности этого метода для решения широкого класса некорректно поставленных задач. Приложение метода М.М. Лаврентьева для решения обратной граничной задачи тепловой диагностики для уравнения с постоянными коэффициентами.

Дано решение методом проекционной регуляризации обратной граничной задачи для дифференциального уравнения параболического типа с переменным коэффициентом и получена точная по порядку оценка погрешности метода проекционной регуляризации и доказана оптимальность по порядку этого метода.

Разработан и реализован алгоритм численного решения обратной задачи тепловой диагностики.

Теоретическая значимость. Разработаны методы получения точных 01 юн!ж погрешности при решении граничных обратных задач для параболических уравнений с переменными коэффициентами.

Доказана оптимальность метода М.М. Лаврентьева при решение опера-горных уравнений первого рода и получены точные оценки погрешности этот метода.

Практическая значимость. При планировании стендовых испытании ракетных двигателей, а также проектировании литейио прокатных модулей и в других технических и естественных задачах важную роль играет точность решения обратных задач тепловой диагностики.

Для приближенных решений, соответствующих задач, необходимо получение точных гарантированных оценок.

Апробация работы. Основные результаты докладывались и обсуждались на 60-й юбилейной научной конференции ЮУрГУ (апрель 2008 года), на конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач.

Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения В.К. Иванова"(Екатеринбург, 1-6 сентября 2008 года), на "Первой конференции аспирантов ЮУрГУ"(апрель 2009 года), на международной конференции "Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики"(8 12 октября 2007 г., Тамбов), на научных семинарах кафедры вычислительной математики ЮУрГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-10], список которых приведен в конце автореферата. Статьи [1, 2) опубликованы в научных журналах "Известия вузов. Математика, "н "Системы управления и информационные технологии" , включенных НЛК в перечень журналов, в которых должны быть опубликованы основные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата и доктора наук. В работах [1, 4, 5, 9] В. П. Тапаие принадлежит постановка задачи, Н. Ю. Колесниковой принадлежат вое полученные результаты.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, изложена на 120 страницах. Библиографический список содержит 130 наименований.

Содержание работы

Введение содержит обзор основных публикаций и монографий, посвященных некорректным задачам и методам их решения. В этом разделе приводится обоснование актуальности выбранной области, сделан краткий обзор результатов, полученных другими авторами в области некорректных задач. Обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель и излагаются основные результаты исследования, показана научная новизна работы.

В главе 1 рассмотрено линейное операторное уравнение

Аи = /; ив и, /б¥. (1)

где и и Р - гильбертовы пространства, А - линейный ограниченный оператор, отображающий и в Р такой, что существует А~1 и ||Л-1|| = оо.

Для исследования уравнения (1) в работе введены понятия класса корректности н модуля непрерывности обратного оператора Л-1, а также сформулированы и доказаны основные свойства модуля непрерывности обратного оператора.

Поставим условно - корректную задачу приближенного решения уравнения (1), для этого предположим, что при / = /о существует точное решение щ уравнения (1), которое принадлежит некоторому классу М СО, но точное значение правой части /о нам не известно, а вместо него даны некоторое приближение /{ 6 Р и уровень погрешности 5 > 0 такие, что

Требуется по исходным данным задачи М,/« и 5 определить приближенное решение щ уравнения (1) и оценить его уклонение — «0|| на классе М.

Определение 1. Множество М будем называть классом корректности для уравнения (1), если сужение Л у1 оператора А-1 на множество N равномерно непрерывно.

Функцию ш(т, М), определяемую формулой

и{т, М) = б"и/Н1М1 : и € М, || Аи|| < г} (2)

будем называть модулем непрерывности в пуле оператора Л-1 на множестве N = АМ.

Множество Меи является классом корректности для уравнения (1) тогда н только тогда, когда

и(т, М) —» 0 при т —► 0.

Определение 2. Семейство операторов {Тг: 0 < 5 < ¿о} будем называть методом приближенного решения уравнения (1) , на классе корректности М, если для любого 3 е (0, До] оператор Т{ непрерывно отображает пространство РвОи

Тв/б -* "о при <5 -> 0 равномерно на множестве М при условии, что ||/г - Л«о|| < 6.

Введем количественную характеристику точности метода {7,} на множестве M

A(TS) = sup{||u - Тф\\ : и S M, || Au - f6\\ < 6}. (3)

U./i

Пусть в дальнейшем U = F = H, a C(H) множество всех операторов P непрерывно отображающих H в H. Рассмотрим величину А0/1, определяемую формулой

Af = inf{А6(Р) : Р е С(Н)},

где

Д,(Р) = sup{||u - PftW : и € А/, ||/, - Аи\\ < Л}.

Определение 3. Метод {T°pt : 0 < <5 < ¿о} будем называть оптимальным на классе M, если для любого S 6 (0,50]

Д(77') = Af.

Определение 4. Метод {Ts : 0 < <î < Îq} будем называть оптимальным по порядку на классе М, если существует число к такое, что для любого 6 S (0, ¿о]

Д(П) < kbf.

Далее в работе исследован метод М.М. Лаврентьева, который использует регуляризующее семейство операторов {Да : 0 < а < ао} определяемых формулой

Ra = В(С + aE)~1Q*, а е (0, о0], (4)

где В = V В В*, В - линейный ограниченный оператор, отображающий U в U, С = А В, А = А' А, Е тождественный оператор, a Q унитарный оператор, определяемый формулой

Л = QA, (5)

a Q* оператор сопряженный Q.

Предположим, что М — Мг = В5Г, 5Г = {и : г' € О, ||и|| < г}, а

В = С{А\ (6)

где спектр Зр(А) = [О, ||Л||], С(<т) непрерывна на [О, ||Л||] С(0) = 0 п для любою а б (О, ||Л||) С(ег) > 0.

Приближенное решение и" уравнения (1) определим формулой

и? = Я«,/*, (?)

в котором зависимость а ~ а{5) определим формулой

а ст(<5) является решением уравнения

тС{а)а = 5. (9)

Теорема 1. Если функция возрастает на отрезке [0, ||Л||] то метод Л/. Л/. Лаврентьева (Дрц^)} определяемый формул/мм (4) —(9), оптимален ни Л/,, и для него имеет место точная оценка погрешности

Д(Лад) = гС?(а(<5)).

Далее рассматривается метод проекционной регуляризации решения уравнения (1). Доказана оптимальность по порядку этого метода и получены точные по порядку оценки его погрешности.

Глава 2 поевяшона решению обратных задач тепловой диагностики и получению точных оценок погрешности.

В первой части главы дана постановка обратной граничной задачи для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами, зависящими от состояния исследуемой системы. Для получения приближенного решения этой задачи использован метод М.М. Лаврентьева п получены ас:сп.\штотически точные оценки погрешности соответствующего приближенного решения. Особо примечательным является зависимость оценки от точки .то в которой замеряется температурное поле системы.

Далее рассмотрена обратная граничная задача для уравнения теплопроводности с переменным коэффициентом

du(x,t) d'2u(x,t) , . , , ,

= (10)

в котором х G [0,1], t > 0, а(х) < 0 и а{х) е С2[0,1]. Предполагается, что

и{х, 0) = 0, л; 6 [0,1], (11)

и(0,£) = 0, t> 0, (12)

и

u(x„,f) = /(£); 0 < а-() < 1, £>0, ('13)

a граничное значение ц(1,£) функции u(x,t) требуется определить. Так как задача (10) - (13) некорректно поставленна, то предположим, что при f(t) = J0{t). 1-де /о 6 Lî[0,oo), существует точное решение uq(1,£) ф 0 задачи (10) — (13), которое принадлежит пространству С^О.оо), и удовлетворяет следующим условиям uq(1,0) = 0 и существует число Т > 0 такое, что для любого t >Т

ио(М) = 0,

кроме того, и0(1. t) S Мг, где

M,. = {uo : uo € ^[0, зо), Huolli, + Kilt, < r2},

где v'0(l,t) производная от функции «o(l,i) по £, но точное значение /о(£) нам не известно, а вместо него даны некоторое приближение }'s(t) S ¿2[0,оо) и уровень погрешности 5 > 0 такие, что

\\h-fs\\L2<S.

Требуется, используя исходные данные fs, S н Мг задачи , построить приближенное решение us(t) и оценить его уклонение ||u$ — «o|U2 от точного решения u0(t) = uo(l,i).

Данная задача решена методом проекционной регуляризации и основной результат этой главы может быть сформулирован в виде теоремы.

Теорема 2. Пусть выполнены условия сформулированные в постановке задачи (10) (13) и щ{1) приближенное решение этой задачи, полученное методом проекн,ионной регуляризации {Р/, : 0 < 6 < ¿о}- Тогда точная по порядку оценка погрешности этого метода определяется формулой

А(Рг) <С\п~25, где С некоторая константа.

Как приложение этого результата рассмотрено решение обратной граничной задачи для кольца.

Далее в главе рассматривается обратная граничная задача для уравнения теплопроводности с разрывным коэффициентом, которое может быть описано системой уравнений

дщ (х. <) д2щ (.т, ¿)

дх2

'; 0 < х < хъ £ > 0, ж, > 0, (14)

ди2Ш) д2и2{хЛ) , ,

д1 = ж дх2 ' (15) где аз ф 1 - некоторая известная положительная константа.

Предположим, что решения щ(х, £) и щ{х, Ь) удовлетворяют начальным условиям

и1(х',0)=0; 0<ж<хь (16)

и2(х',0) = 0; XI < х < 1, (17) а также граничным условиям

щ(0,0 = /(«);«> 0, (18)

41(561,4) =3(4); 4 > 0, (19)

и условиям согласования

■и1(хь() = и2(^ь<); 4 > 0, (20)

= Х (21) ох дх

где А( и Аг некоторые известные положительные константы.

Функции 1^(1, () и требуется определить.

ах

Предположим, что при некоторых значениях /"(£), дЦ) € ¿2(0.00) существуют решения их(х, I), и2(х,(.) задачи (14) - (21) такие, что для люэс

бого х € [О, .Т]] интеграл |гг1 (лт, сходится, а для любого х € (.Т1,1) о

зо х

сходится интеграл / Ь)\<&. Кроме того, интеграл /| "ад сходит-о о

ся равномерно на [0,11], а интеграл [ \(И сходится равномерно на

о

[.Т), 1], а интегралы f |а и / сходятся локально равно-

0 0 е мерно на [0, .тг^) и (.тх, 1] соответственно.

Пусть и2(М) и принадлежит множеству Мг

Мг = {т : т б И^О.ос), \\ф\\1 + \\ф'\\12 < г2}, а вместо функций /(¿) и <?(<) нам известны некоторые приближения /¿(¿)> дз^) <Е оо) и уровень их погрешности <5 > 0 такие, что

т г ' 11 ¿^¿(М)

Требуется, определить ириолиженное решение им{1,ъ) и-^— задачи

(14) (21) и оценить их уклонения от точных решений 7x2(1. £) и

ах

Используя интегральные преобразования косинус и Р, •- синус, задачу (14) - (21) сведем к следующей

^Г1 = ^ ^ (22>

и2(х,0) =0; х € [хь1], (23)

и2{х1,1)=д*{1у, (24)

= Ш <>0 (25)

ох

, а ("и-е"^'1)2

где е = \/2гз^з + ^ = N 1 6, а ке € Ь2[0, оо), а также

\\11е-1ь\\<е, а \\д-дб\\<6.

Далее, используя Рс - косинус и Р., ~ синус преобразования Фурье сводим задачу (22) - (25) к задаче Коши для семейства обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, решая которую методом проекционной регуляризации, получим приближенные решения , £) и задачи (22) - (25). Кроме того, для этих приближенных решений получена оценка погрешности

Ml, i) - «2(1, i)|f +||

2 цдигДМ) Зи2(М)|12

<С\п~26.

дх дх

В главе 3 приведено численное решение обратной задачи теплопроводности методом проекционной регуляризации в среде программирования МаЛаЪ. К получению приближенного решения применяется метод проекционной регуляризации. Получено графическое изображение приближенного решения. На графике видно отклонение приближенного решения от точного. Программа позволяет выбрать параметр регуляризации так, чтобы приближенное решение было очень близко к точному. Тепловой процесс опишем системой уравнений:

и(х,0) =0; 0 <х < 1, (27)

«(0,0=0; г > 0, (28)

и(х0,*) = /(е); 0<х0<1, (29)

а значение

u(l,i) =u(t); t > 0. (30)

треоуется определить.

Так как задача (26) - (30) некорректная, то предположим, что при /п(£) € ¿г[0, оо) существует се точное решение ип(£) принадлежащее пространству W\[0, ос). Но точное значение правой части /o(i) нам не известно, а вместо него даны некоторое приближение fs и уровень погрешности 5 > 0 такие, что

\\fs-fo\\h<S.

Требуется по исходным данным х0, /ц и 5 > 0 определить приближенное решение щ(хо, £) минимально уклоняющееся от томного.

Исходные данные берутся с погрешностью 5 = 1%, при численном решении задачи получается погрешность порядка 11%.

На рисунке изображены графики точного и приближенного решения задачи. Значение хп = 1, £ € [О,2]

1.2' 1

0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2

—г _.. . . . _

/ /' 1 \\

/ / /У У л \ч \ч

/ / / у У / / у / / \\ \\ \\ \\ \\

/ / / / V V

/ /

0

0.5

1.5

Риг. 1: I прими, п(1) температура

Пунктирной линией изображено приближенное решение, непрерывной линией точное решение.

Основные результаты диссертационной работы

На защиту выносятся следующие новые научные результаты

1. В работе доказана оптимальность метода М.М. Лаврентьева и получены точные оценки погрешности этого метода для решения широкого класса задач.

2. Получена точная по порядку оценка погрешности приближенного решения одной обратной задачи для параболического уравнения с пере-

менным коэффициентом. Ранее никогда не делались оценки такого класса задач.

3. В работе разработан и реализован алгоритм численного решения одной обратной задачи тепловой диагностики.

4. В работе решена обратная задача тепловой диагностики оптимальным методом ММ. Лаврентьева и выведена константа, позволяющая судить о скорости сходимости приближенного решения к точному, зависящая от положения точки хо-

Публикации по теме диссертации

Статьи, опубликованные в научных журналах из списка ВАК

1. Танана В.П., Колесникова 11.10. Об оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачи для параболического уравнения // Известия вузов. Математика. 2009. № 9. С. 46-52.

2. Колесникова НЛО. О точной оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачи тепловой диагностики // Системы управления и информационные технологии. 2009. № 1.2(35). С. 268-272.

Другие публикации

3. Танана В.П., Колесникова НЛО, Об оптимальном методе решения одной обратной задачи тепловой диагностики // Вестник Тамбовского университета. Материалы международной конференции "Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики."Серия: Естественные и технические науки. 2007. Т. 12. № 4. С. 531.

• 4. Танана В.П., Колесникова НЛО. Об оптимальном методе решения одной обратной задачи тепловой диагностики // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математика, физика, химия. 2007. Выпуск 9. № 19(91). С. 48-54.

5. Танана В.П., Колесникова Н.Ю. Об оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачи тепловой диагностики // Известия Уральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2008. № 58. С. 155-162.

С. Колесникова. ILIO. Оптимальный метод решения одной обратной задачи тепловой диагностики // Наука ЮУрГУ: материалы 00-й юбилейной научной конференции. Челябинск. Нзд во ЮУрГУ. 2008. Т. 2. С. 138 МО.

7. Колесникова II.10. Об оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачи / Информационные технологии моделирования и управления. 2009. № 2(54). С. 199 207.

8. Колесникова ILIO. Об оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачи для параболического уравнения / Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Тезисы докладов Международной конференции, посвященной 100 лстию со дня рождения В.К. Иванова. Екатеринбург. 2008. С. 132 133.

9. Ташша В.П., Колесникова. Н.Ю. Об оптимальном методе приближенного решения операторных уравнений с возмущенным оператором / Известия ЧИЦУрО РАИ. 2008. Выи. 4(42). URL: http:/ csc.ac.ru/oj/issnp/ru

lü. Колесникова I LIO. Об оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачи // Известия ЧНЦ УрО РАН. 2008. Вып. 1(39). URL: littp://cHC.ac.ru/cj/insuc/ru

Подписано в печать 15.09.09. Формат (>0x84 1/16. Усл. псч. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Бумага офесиля. Тираж 100 экз. Издательство Южно-Уральского государственного университета 454080, г. Челябинск, пр. им. В.И. Ленина, 76

к;

Введение

1 Основные определения

1.1 Модуль непрерывности обратного оператора и его свойства

1.2 Понятие метода решения условно - корректной задачи.

1.3 Исследование на оптимальность метода М.М. Лаврентьева.

1.4 Метод проекционной регуляризации.

2 Обратные задачи теплообмена

2.1 Деление задач на прямые и обратные.

2.2 Тепловой эксперимент и обратные задачи теплопроводности.

2.3 Обратная задача тепловой диагностики.

2.4 Об оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачи для параболического уравнения.

2.5 Обратная задача для уравнения теплопроводности на кольце.

2.6 Об оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачи тепловой диагностики с разрывным коэффициентом

3 Численное решение обратных задач теплопроводности

3.1 Численное решение обратной задачи теплопроводности

В начале двадцатого века Ж. Адамар в работах [112, 113] сформулировал условия, которым должны удовлетворять постановки краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Эти условия состоят в следующем: существования решения, единственности решения и непрерывной зависимости полученных решений от исходных данных. Задачи, которые удовлетворяют данным условиям Ж. Адамар назвал корректными. Если же при постановке задачи не выполняется хотя бы одно условие, то такие задачи не являются корректно поставленными по Адамару. Следствием этого является непригодность для их решения традиционных методов, связанных с обращением оператора задачи.

Такие задачи получили название некорректно поставленные и ими математики долгое время мало интересовались, считая их неудачно поставленными и мало пригодными для практики.

Впервые практическая ценность таких задач была замечена А.Н. Тихоновым в работе [100]. Кроме того, в данной работе была отмечена важность правильной постановки некорректно поставленных задач как для их дальнейшего исследования, так и для решения.

В вопросах постановки некорректных задач, а также в создании теории специальных методов их решения основополагающее место занимают работы А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова. Дальнейшее развитие теории некорректных задач происходило в математических центрах под руководством академиков А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева и члена-корреспондента РАН В.К. Иванова, а также их учеников и последователей: В.Я. Арсенина, А.Л. Агеева, A.B. Вакушинского, А.Л. Бухгейма, Г.М. Вайникко, Ф.П. Васильева, В.В. Васина, В.А. Винокурова, Ю.Л. Гапоненко, A.B. Гончарского, В.Б. Гласко, A.M. Денисова, В.И. Дмитриева,

A.C. Ильинского, A.C. Леонова, O.A. Лисковца, И.В. Мельниковой, Л.Д. Менихеса, В.А. Морозова, А.И. Прилепко, В.Г. Романова, В.Н. Страхова, С.Б. Стечкина, В.П. Тананы, A.M. Федотова, Г.В. Хромовой, A.B. Чечкина, А.Г. Яголы и многих других математиков [2] - [5], [6] - [36], [38] - [42], [46] - [54], [60] - [65], [67] - [68], [72], [77] -[78], [87] - [108], [110].

К настоящему моменту теория некорректно поставленных задач стала одним из основных направлений современной прикладной математики, которое бурно развиваясь, находит все новые и новые приложения в естествознании и технике.

За время развития некорректных задач накоплен теоретический и практический материал, который частично отражен в монографиях М.М. Лаврентьева [60], А.Н. Тихонова и В.Я. Арсенина [103],

B.К. Иванова, В.В. Васина и В.П. Тананы [49], В.В. Васина и А.Л. Агеева [26], В.А. Морозова [78], М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова и С.П. Шишатского [64], В.К. Иванова, И.В. Мельниковой и А.И. Филинкова [51], O.A. Лисковца [68], В.П. Тананы [93],В.П. Тананы, М.А. Реканта, С.И. Янченко [98], А.Б. Вакушинского, A.B. Гончарского [16], A.M. Федотова [108], А.Н. Тихонова, A.C. Леонова, А.Г. Яголы [104] и работы многих других математиков.

В работе [101] А.Н. Тихоновым был предложен метод регуляризации для получения приближенного решения некорректно поставленной задачи. Далее, в работе [102] А.Н. Тихоновым было дано понятие регуляризующего оператора и регуляризуемой задачи, а также предложен регуляризующий алгоритм для уравнений первого рода и приведены регуляризующие алгоритмы п-го порядка гладкости.

В современной теории некорректно поставленных задач можно выделить три направления:

1. Исследование регуляризуемости задачи, т.е. ответа на вопрос о существовании хотя бы одного регуляризующего алгоритма или линейного регуляризующего алгоритма, если исходная задача линейна. Решение такого рода вопросов позволяет отсеять тот класс задач "абсолютно некорректных" , за решение которых бесполезно браться, кроме того, данные исследования позволяют для некоторых "трудных" задач предложить новые, нетрадиционные методы их решения и тем самым еще глубже проникнуть в тайны этого явления, называемого некорректностью.

В работе Винокурова [34] было замечено, что далеко ие все задачи регуляризуемы. Например, уравнение

Аи = /, А е (и -». даже в случае линейного непрерывного оператора А, отображающего банахово пространство и в банахово пространство Р нерегу-ляризуемо, если и - несепарабельно, а Р сепарабельно. Общая постановка проблем, связанных с этим направлением, и их решение принадлежат В.А. Винокурову [34, 35], Л.Д. Менихссу [36, 73, 74] и др. математикам.

Вместе с решением вопроса о регуляризуемости данной задачи, т.е. принципиальной возможности ее решения, встает вопрос о выборе метода решения, наиболее подходящего для данной задачи. Круг этих вопросов относится ко второму направлению теории некорректных задач.

2. Построение специальных методов решения для класса регуляризуемых задач. В основу этого направления было положено решение конкретных задач математической физики.

Основополагающие работы в этом направлении принадлежат А.Н. Тихонову [100] -[106], В.К. Иванову [46] - [54], М.М. Лаврентьеву [60] - [65]. В этих работах были сформулированы основные принципы регуляризации и предложены некоторые методы, исследование которых продолжается и в настоящее время. В 1967 году в работе [13] A.B. Бакушинский предложил один общий прием построения регуляризующих алгоритмов. После публикации этой работы, в теории некорректных задач появилась некоторая неопределенность, которая заключалась в том, что для ренения одной и той же задачи имеются несколько методов. Поэтому дальнейшие исследования в теории некорректных задач были связаны с созданием объективных количественных характеристик для методов регуляризации и на их основе сравнение методов.

Одним из основных вопросов при построении метода регуляризации является вопрос о выборе параметра регуляризации, решение которого В.К. Ивановым [48] и В.А. Морозовым [77] привело к созданию принципа невязки, сыгравшего большую роль в развитии теории некорректных задач. Затем в работах В.К. Иванова, В.В. Васина и В.П. Тананы [49] появились исследования равномерной регуляризации на некоторых классах решений, которые дали возможность оценить погрешность различных методов регуляризации. Это позволило определить оптимальный или близкий к нему метод, как наиболее точный. Первые исследования, связанные с построением оптимального метода и оценке его погрешности в общем случае, принадлежат В.Н. Страхову [87]—[89] и A. Melkman, С. Micchelli [116], а для операторов дифференцирования C.B. Стечкииу [85] и

В.В. Арестову [11].

На этом закончилась неопределенность в теории некорректных задач и начались исследования, связанные с построением оптимальных и оптимальных по порядку методов, в которых приняли участие многие математики.

Параллельно с развитием оптимальных методов в теории некорректных задач появилась новая проблема, связанная с решением прикладных задач. Эта проблема заключалась в том, что оптимальные методы не давали нужного для практики решения, заглаживая его. Это привело к необходимости создания новых методов, позволяющих выявить "тонкую структуру" решения. Создание этих методов было связано с использованием в них дополнительной априорной информации о решении.

Особенностью этого направления является тесный контакт с практиками и наличие значительного численного эксперимента. В этом направлении в качестве примеров можно отметить исследования некоторых физических задач в работах В.К. Иванова, В.В. Васина и В.П. Тананы [49], и В.В. Васина, А.Л. Агеева [26].

Конкретная зависимость решения некорректно поставленной задачи от погрешности входных данных была впервые получена в работах В.П. Тананы [92, 93]. Эти исследования продолжаются и в данной работе.

С численной реализацией методов решения некорректных задач на ЭВМ связано третье направление, в рамках которого исследуются вопросы замены исходной задачи некоторым конечномерным аналогом.

3. Конечномерная аппроксимация регуляризующих алгоритмов. При реализации основных методов решения некорректно поставленных задач, таких, как метод регуляризации А.Н. Тихонова, метод М.М. Лаврентьева, метод квазирешений В.К. Иванова и метод невязки невозможны без использования ЭВМ. Для этого требуется замена исходной (бесконечномерной) задачи некоторой конечномерной. При этом указанная замена не должна испортить сходимость регуляризованных решений к точному. Исследованию этого вопроса посвящено большое число работ, среди которых отметим [2], [25, 26, 27], [49], [72, 77, 78], [93], [102, 103, 105] и многие другие.

При планировании стендовых испытаний ракетных двигателей, а также проектировании литейно - прокатных модулей и в других технических и естественных задачах важную роль играет точность решения обратных задач тепловой диагностики [55]. Для приближенных решений, соответствующих задач, необходимо получение точных гарантированных оценок.

В работе [61] в 1953 году М.М. Лаврентьев поднимает вапрос об улучшении точности решения системы линейных уравнений. Затем, в работе [62] М.М. Лаврентьев рассматривает линейное операторное уравнение первого рода вводит регуляризующее семейство операторов фе = В(АВ + еЕ)~1 которое позволяет найти с некоторой гарантированной точностью функцию ф по приближенным значениям правой части. Метод М.М. Лаврентьева прост и удобен в решении некорректных задач. В данной работе впервые доказано, что метод М.М. Лаврентьева, при подходяще выбранном парамктре е, является оптимальным. Он использован при решении граничной обратной задачи тепловой диагностики. Кроме того получены точные оценки погрешности данного метода. Высокая точность решения обратной задачи позволяет более надежно планировать стендовые испытания ракетных двигателей.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и библиографии, насчитывающей 130 наименований.

1. Авдуевский B.C., Галицейский Б.М., Глебов Г.А. Основы теплопередачи в авиационной и ракетно - космической технике. М.: Машиностроение, 1975.

2. Агеев А.Л. Алгоритмы конечномерной аппроксимации стабилизирующих добавок // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1991. Т. 31. № 7. С. 943-952.

3. Агеев А.Л. Об одном свойстве оператора, обратного к замкнутому // Исследования по функциональному анализу. Свердловск: Изд-во Уральского ун-та. 1978. С.3-5.

4. Агеев А.Л. К вопросу о построении оптимального метода решения линейного уравнения 1 рода // Известия Вузов. Математика. 1983. №3. С.61-68.

5. Агеев А.Л. Регуляризация нелинейных операторных уравнений на классе разрывных функций // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1980. Т. 20. № 4. С. 516-531.

6. Алифанов О.М., Зайцев В.К., Панкратов Б.М. Алгоритм диагностики тепловых нагрузок летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1983. 168 с.

7. Алифанов О.M. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. М. : Машиностроение, 1979. 216 с.

8. Алифанов О.М., Мишин В.П. Повышение качества обработки теплонагруженных конструкций и обратные задачи теплообмена. Ч. 1. Общии вопросы теории. М.: Машиностроение, 1986. № 5. С. 19 29.

9. Алифанов О.М., Артюхин Е.А. Определение граничных условий в процессе тепловых газодинамических испытаний // ТВТ. 1978. Т. 16. № 4. С. 819-825.

10. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.

11. Арестов В.В. О наилучшем приближении операторов диффе-ренцироваиия // Математические заметки. 1967. I. Вып. 2. С. 149-154.

12. Арсенин В.Я. О разрывных решениях уравнений первого рода // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1965. Т. 5. № 5. С. 922-926.

13. Бакушинский A.B. Один общий прием построения регуляри-зующих алгоритмов для линейных некорректных уравнений в гильбертовом пространстве // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1967. Т. 7. № 3. С. 672-677.

14. Бакушинский А.Б. Оптимальные и квазиоптимальные методы решения линейных задач, порожденные регуляризующими алгоритмами // Известия Вузов. Математика. 1978. № 11. С. 6-10.

15. Бакушинский A.B. Замечание о выборе параметра регуляризации // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1984. Т. 24. № 8. С. 1253-1259.

16. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ, 1989. 199 с.

17. Вайникко Г.М. Методы решения линейных некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах. Тарту: ТГУ, 1982. 110 с.

18. Вайникко Г.М. Оценки погрешности метода последовательных приближений для некорректных задач // Автоматика и телемеханика. 1980. № 3. С. 84-92.

19. Вайникко Г.М. Оценки погрешности метода регуляризации для нормально разрешимых задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1985. Т. 25. № 10. С. 14431456.

20. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. Тарту: ТГУ, 1982. 110 с.

21. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.

22. Васин В.В. Регуляризация нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных // Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4. № 12. С. 2268-2274.

23. Васин В.В. О связи некоторых вариационных методов приближенного решения некорректных задач // Математические заметки. 1970. Т. 7. № 3. С. 265-372.

24. Васин В.В. Регуляризация задачи численного дифференцирования // Математические записки. 1969. Т. 7. № 2. С. 29-33.

25. Васин В.В. Общая схема дискретизации регуляризующих алгоритмов в банаховых пространствах // ДАН СССР. 1981. Т. 256. № 2. С. 271-275.

26. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993. 261 с.

27. Васин В.В., Танана В.П. Необходимые и достаточные условия сходимости проекционных методов для линейных неустойчивых задач // ДАН СССР. 1974. Т. 215. № 5. С. 1032-1034.

28. Васин В.В. Оптимальные методы вычисления значений неограниченных операторов./ Институт кибернетики АН УССР. Киев. 1977. 17 с.

29. Васин В.В. Дискретная сходимость и конечномерная аппроксимация регуляризующих алгоритмов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1979. Т. 19. № 1. С. 11-21.

30. Васин В.В. Методы итеративной регуляризации для некорректных задач // Известия Вузов. Математика. 1995. № И. С. 402.

31. Васин В.В. Устойчивая аппроксимация негладких решений некорректно поставленных задач // Докл. РАН. 2005. Т. 402. № 5. С. 1-4.

32. Васин В.В., Танана В.П. Приближенное решение операторных уравнений первого рода. Математические записки. 1968. Т. 6. № 4. С. 27-37.

33. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. Часть первая. М.: Изд-во иностранной литературы, 1949. 748 с.

34. Винокуров В.А. Об одном необходимом условии регуляризуе-мости по Тихонову // ДАН СССР. 1970. Т. 195. № 3. С. 530-531.

35. Винокуров В.А., Петунин Ю.И., Пличко А.Н. Измеримость и регуляризуемость отображений, обратных к непрерывным линейным операторам // Математические заметки. 1973. Т. 26. № 4. С. 583-593.

36. Винокуров В.А., Менихес Л.Д. Необходимые и достаточные условия линейной регуляризуемости // ДАН СССР. 1976. Т. 229. № 6. С. 1292-1294.

37. Гольдман H.JI. Обратные задачи Стефана. Теория и методы решения. М. : Изд-во МГУ, 1999. 294 с.

38. Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. Об одном регуля-ризующем алгоритме для некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1972. Т. 12. № 6. С. 1592-1596.

39. Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А.Г. О регуляризуемости некорректно поставленных задач с приближенно заданным оператором // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1974. Т. 14. № 4. С. 1022-1027.

40. Данилин А.Р. Об оптимальных по порядку оценках конечномерных аппроксимаций решений некорректных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1985. Т. 25. № 8. С. 1123-1130.

41. Данилин А.Р. Необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций метода невязки // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1982. Т. 22. № 4. С. 824-839.

42. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ, 1994. 208 с.

43. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Наука, 1961. 524 с.

44. Дистель Д. Геометрия банаховых пространств. Киев: Головное издательство издательского объединения "Вища школа 1980.

45. Зорич В.А. Математический анализ. Часть вторая. М.: Наука, 1984. 640 с.

46. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Математический сборник. 1963. Т. 61. № 2. С. 211-213.

47. Иванов В.К. О равномерной регуляризации неустойчивых задач // Сибирский математический журнал. 1966. Т. 7. № 3. С. 546-558.

48. Иванов В.К. О приближенном решении операторных уравнений первого рода // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6. № 6. С. 1089-1094.

49. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М. : Наука, 1978. 208 с.

50. Иванов В.К., Королюк Т.И. Об оценке погрешности при решении линейных некорректно поставленных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1969. Т. 9. № 1. С. 30-41.

51. Иванов В.К., Мельникова И.В., Филинков А.И. Дифференциально операторные уравнения и некорректные задачи. М. : Физматлит, 1995, 176 с.

52. Иванов В.К. Линейные неустойчивые задачи с многозначными операторами // Сибирский математический журнал. 1970. Т. 11. № 5. С. 1009-1016.

53. Иванов В.К. О линейных некорректных задачах // ДАН СССР. 1962. Т.145, № 2. С. 270-272.

54. Иванов В.К. О применении метода Пикара к решению интегральных уравнений первого рода// Bui. Inst. Politehn. Iasi. 1968. V 4, № 3 4. P. 71-78.

55. Исаков Г.Н., Кузин А.Я., Савельев В.Н., Ермолаев Ф.В. Определение характеристик тонкослойных теплозащитных покрытий из решения обратных задач тепло и массопереноса // Физика горения и взрыва. 2003. Т. 39. № 5. С. 86-96.

56. Карслоу У., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964.

57. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М. : Наука, 1972.

58. Кондратьев Г.М. Регулярный тепловой режим. М. : Гостехиз-дат, 1954.

59. Кутузов A.C. Точная по порядку оценка приближенного решения обратной задачи для уравнения теплопроводности на кольце // Вестник ЮУрГУ. Серия "Математика, физика, химия". 2007. Вып. 9. № 19(91). С. 30-36.

60. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск : Сибирское отделение АН СССР,-1962. 92 с.

61. Лаврентьев М.М. К вопросу об улучшении точности решения системы линейных уравнений // ДАН СССР. 1953. Т. XCII. № 5. С. 885-886.

62. Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнениях первого рода // ДАН СССР. 1959. Т. 127. № 1. С. 31-33.

63. Лаврентьев М.М. Условно корректные задачи для дифференциальных уравнений. - Новосибирск. : Изд - во НГУ, 1973. 71 с.

64. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М. : Наука, 1980. 288 с.

65. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск. : Издательство института математики, 1999. 702 с.

66. Латтес Р., Лионе Ж.Л. Метод квазиобращеиия и его приложения. М. : Мир, 1970. 224 с.

67. Леонов A.C. Кусочно равномерная регуляризация некорректных задач с разрывными решениями // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1982. Т. 22. № 3. С. 516-531.

68. Лисковец O.A. Вариационные методы решения неустойчивых задач. Минск. : Наука и техника, 1981. 343 с.

69. Лыков A.B. Тепломассообмен // Справочник. М. : Энергия, 1972.

70. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М. : Наука, 1965. 520 с.

71. Мартыненко H.A., Пустыльников Л.М. Конечные интегральные преобразования и их применение к исследованию систем с распределенными параметрами. М. : Наука, 1986.

72. Менихес Л.Д., Танана В.П. Конечномерная аппроксимация в методе М.М. Лаврентьева // Сибирский журнал вычислительной математики. 1998. Т. 1. № 1. С.56-66.

73. Менихес Л.Д. О регуляризуемости некоторых классов отображений, обратных к интегральным операторам // Математические заметки. 1999. Т. 65. № 2. С. 222-229.

74. Менихес Л.Д. Об одном достаточном условии регуляризуемости линейных обратных задач // Математические заметки. 2007. Т. 82. № 2. С. 242-247.

75. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М. : Наука, 1976.

76. Михлин С.Г. Курс математической физики. М. : Наука, 1968. 576 с.

77. Морозов В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра регуляризации // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6. № 1. С. 170-175.

78. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1966. Т. 6. № 1. С. 170-175.

79. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 529 с.

80. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М. : МГУ, 1999. 238 с.

81. Платунов Е.С. Теплофизические измерения в монотонном режиме. Л. : Энергия, 1973.

82. Полежаев Ю.В., Киллих В.В., Нарожный Ю.Г. Проблемы нестационарного прогрева теплозащитных материалов // ИФЖ. 1975. Т.29, № 1. С. 39-44.

83. Полежаев Ю.В., Нарожный Ю.Г., Сафонов В.Е. О методе определения теплопроводности высокотемпературных материалов при нестационарном нагреве // ТВТ. 1973. Т.11, № 3. С. 609-615.

84. Рудин У. Функциональный анализ / пер. с англ. В.Я. Лина. 2-е изд., испр. и доп. СПб. : Издательство "Лань 2005. 448 с.

85. Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Математические заметки. 1967. Т. 1. № 2. С. 137-148.

86. Стечкин C.B., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. М. : Наука, 1976.

87. Страхов В.Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6. № 8. С. 1490-1495.

88. Страхов В.Н. Об алгоритмах приближенного решения линейных условно корректныхзадач // ДАН СССР. 1972. Т.207. № 5. С. 1057-1059.

89. Страхов В.Н. О построении оптимальных по порядку приближенных решений линейных условно-корректных задач // Дифференциальные уравнения. 1973. Т. 9. № 10. С. 1862-1874.

90. Танана В.П. Об оптимальных алгоритмах для операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором // Математический сборник. 1977. Т. 146. № 10. С. 314-333.

91. Танана В.П. Об одном проекционно итеративном алгоритме для операторных уравнений первого рода с возмущенным оператором// Докл. АН СССР. 1975. Т. 224. № 5, С. 1028-1029.

92. Танана В.П. Об оптимальности по порядку метода проекционной регуляризации при решении обратных задач // Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. Т. 7. № 2. С. 117— 132.

93. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. М. : Наука, 1981.

94. Танана В.П. Об оптимальности методов регуляризации линейных операторных уравнений с приближенно заданным оператором при условии неединственности решения // ДАН СССР. 1985. Т. 238. № 5. С. 1092-1095.

95. Танана В.П. О новом подходе к оценке погрешности методов решения некорректно поставленных задач // Сибирский журнал индустриальной математики. 2002. Т. 5. № 4. С. 150-163.

96. Танана В.П., Данилин А.Р. Об оптимальности регуляризую-щих алгоритмов при решении некорректных задач // Дифференциальные уравнения. 1976. Т. 12. № 7. С. 1323-1326.

97. Танана В.П., Данилин А.Р. Необходимые и достаточные условия сходимости конечномерных аппроксимаций регуляризо-ванных решений // ДАН СССР. 1982. Т. 264. № 5. С. 1094-1096.

98. Танана В.П., Рекант М.А., Янченко С.И. Оптимизация методов решения операторных уравнений. Свердловск. : "Уральск, ун-т, 1987.

99. Танана В.П. Об оптимальном по порядку методе решения одной обратной задачи для параболического уравнения // Докл. РАН. 2006, Т. 407, № 3, С. 316-318.

100. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР. 1943. Т. 39. № 5. С. 195-198.

101. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1963. Т. 151. № 3. С. 501-504.

102. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // ДАН СССР. 1963. Т. 153. № 1. С. 49-52.

103. Тихонов А.Н., Ареенин В.Я. Методы решения некорректно поставленных задач. М. : Наука, 1974. 223 с.

104. Тихонов А.Н., Леонов A.C., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М. : Наука, 1995. 311 с.

105. Тихонов А.Н., Гончаровский A.B., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректно поставленных задач. М. : Наука, 1990. 232 с.

106. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М. : Гостехиздат, 1953. 345 с.

107. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. М. : Мир, 1985. 384 с.

108. Федотов A.M. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск. : Наука, 1982. 190 с.

109. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М. : Мир, 1968. 427 с.

110. Хромова Г.В. О задаче восстановления функций, заданных с погрешностью // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1977. Т. 17. № 5. С. 1161-1171.

111. Franklin J. N. On Tikhonov's method for ill-posed problems // Math. Comput. 1974. vol. 28. № 128. C. 889-907.

112. Hadamar J. Le problem de Cauchy et les equations aux derives partielles lineaires hyperboliques. Paris : Herman, 1932.

113. Hadamar J. Sur les problems aux derivees partielles et leur signification physique // Bull. Univ. Princeton. 1902. 13.

114. Kato T. Perturbation theory for linear operators. Springer -Verlag : New-York Jnk, 1966. 592 p.

115. Ky Fan. Some geometric properties of the spheres in a normed linear space / Ky Fan, J. Gliksberg // Duke Math. - 1958. - V. 25. - № 4. - P. 553-568.

116. Melkman A., Miccelli C. Optimal Estimation of Linear Operators in Hilbert Spaces from Inaccurate Data // SIAM J. Num. Anal. 1979. vol. 16. № 1. p. 87-105.

117. Menikhes L.D., Tanana V.P. A convergence criterion for approximations in the residual method in Banax spaces // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1997. Vol. 5. № 3. P. 255-264.

118. Menikhes L.D., Tanana V.P. A convergense for approximation in the regularization method and Tikhonov regularization method of n-th order // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1998. Vol. 6. № 3. P. 241-262.

119. Tanana V.P. A criterion of convergence of approximations // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. 1997. Vol. 5. № 2. P. 1-12.

120. Tanana V.P. Methods for solution of nonlinear operator equations // "VSP" Utrecht, The Netherland, 1997. 241 p.

121. Танана В.П., Колесникова Н.Ю. Об оптимальном методе решения одной обратной задачи тепловой диагностики // Вестник ЮУрГУ. Серия "Математика,физика, химия". 2007. Выпуск 9. № 19(91). С. 48-54.

122. Танана В.П., Колесникова Н.Ю. Об оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачи тепловой диагностики // Известия Уральского государственного университета. Серия "Математика. Механика. Информатика."2008. № 58. С. 155-162.

123. Колесникова Н.Ю. Оптимальный метод решения одной обратной задачи тепловой диагностики // Наука ЮУрГУ: материалы 60-й юбилейной научной конференции. Челябинск : Изд-во ЮУрГУ. 2008. Т. 2. С. 138-140.

124. Колесникова Н.Ю. О точной оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачи тепловой диагностики // Системы управления и информационные технологии. 2009. № 1.2(35). С. 268-272.

125. Колесникова Н.Ю. Об оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачи // Информационные технологии моделирования и управления. 2009. № 2(54). С. 199-207.

126. Танана В.П., Колесникова Н.Ю. Об оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачидля параболического уравнения // Известия вузов. Математика. 2009. № 9. С. 46-52.