автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Устойчивое решение некорректных задач продолжения гармонических функций и их приложения в термографии и геофизике

."И "а

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

5-2004-59

На правах рукописи УДК 519.6 517.9 550.831 577

ЛАНЕЕВ Евгений Борисович

УСТОЙЧИВОЕ РЕШЕНИЕ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ ПРОДОЛЖЕНИЯ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В ТЕРМОГРАФИИ И ГЕОФИЗИКЕ

Специальность: 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Дубна 2004

Работа выполнена в Российском университете дружбы народов

Научный консультант: доктор физ.-мат. наук, проф. Жидков Евгений Петрович

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, проф. Вабищевич Петр Николаевич доктор физ.-мат. наук, проф. Мелихов Вячеслав Романович доктор физ.-мат. наук, проф. Шелаев Игорь Александрович

Ведущая организация: Московский государственный институт электроники и математики

Защита диссертации состоится 2004 г. в на

заседании диссертационного совета Д720.001.04 в Объединенном институте ядерных исследований (Лаборатория информационных технологий), г. Дубна Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований.

Автореферат разослан «► 2004 г.

Ученый секретарь совета кандидат физико-математических наук

Иванченко З.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Совершенствование вычислительной техники и ее использование для решения прикладных задач сформировало по-существу новый инструмент научного исследования - вычислительного эксперимента, - что в свою очередь привело к формированию нового направления в научных исследованиях - математического моделирования. С 80-х годов XX века революция в вычислительной технике позволила перейти на качественно новый уровень сложности решаемых задач и, что не менее важно - уровень представления результатов. Вместе с тем возрастает значение квалифицированного проведения вычислительного эксперимента с обоснованным выбором модели и алгоритмов и их коррекции. Потенциал современной вычислительной техники позволяют говорить о возможности все более глубокой обработки результатов измерений в рамках все более усложняющихся физических и математических моделей. Это относится и к исследованиям структуры и состояния объектов по косвенной (измеряемой) информации. Проблема обработки данных с такой целью математически как правило формулируется в виде обратных задач математической физики, которые ставятся в рамках той или иной физической модели. Характерный пример задач такого рода - обратные задачи геофизики - задачи определения структуры земной коры по измеряемым физическим полям, связанным с этой структурой. Такие задачи возникают в тех случаях, когда внутренняя структура объекта по тем или иным причинам недоступна прямому исследованию, в то время как косвенная информация о структуре объекта может быть получена в виде порождаемого этой структурой пространственного распределения физических полей, собственных или полученных как отклик на внешнее воздействие, которые могут быть измерены. Среди таких задач разнообразные геофизические задачи, обратные задачи газовой динамики, теплообмена, задачи электрокардиографии, электроэнцефалографии, томографии и другие. С 80-х годов внимание исследователей привлекли собственные физические поля биологических объектов.

В диссерционной работе в прикладном плане рассматриваются обратные задачи, возникающие в термографии и геофизике (гравиразведке).

При тепловизионных исследованиях нагретых теплопроводящих объектов, излучающих в инфракрасном диапазоне, «снимок» температурного поля с поверхности объекта как правило служит материалом для непосредственной интерпретации с целью идентификации внутренней структуры (или ее аномалий). При этом воспроизведение внутренней структуры термограммой может быть искажено как за счет ее относительной удаленности от поверхности тела, так и за счет неровностей поверхности. Коррекция изображения возможна на основе метода продолжения стационарного температурного поля с поверхности в область, близкую к структурным неоднородностям. Это продолжение осуществляется решением задачи Коши для уравнения Лапласа или аналогичной ей задачи. Термограмма, полученная в результате такого продолжения как след температурного поля на некоторой поверхности вблизи структуры, может рассматриваться как результат математической обработки исходной термограммы. Отметим, что всякий способ визуализации температурного поля, формирующий термограмму, является сам по себе математической обработкой значений температурного поля. Таким образом, разработанный в диссертации метод может рассматриваться как математическая обработка термограмм методом аналитического продолжения стационарного температурного поля.

Другой круг задач связан с проблемой обработки данных гравиразвед-ки. Анализ имеющихся методов, в большинстве своем связанных с концепцией аналитического продолжения позволяет говорить о том, что задача аналитического продолжения потенциального поля с неплоской ограниченной поверхности в трехмерном случае остается до конца нерешенной и актуальной. Несмотря на то, что теория продолжения потенциального поля с неплоской неограниченной поверхности разработана достаточно полно, переход от интегралов Фурье к рядам Фурье при численной реализации методов продолжения, а также при задании поля в реальной ситуации на ограниченной поверхности использование формул, соответствующих неограни-

ченной поверхности, недостаточно обосновано и изучено. В диссертации предлагается концепция продолжения потенциального поля с неплоской поверхности в исходным образом ограниченной модели, приводящая к смешанной задаче для уравнения Лапласа. Состоятельность модели обосновывается оценками по геометрическим параметрам области. Ограниченность области позволяет решать задачу разложением в ряд Фурье. Кроме того, обосновывается дискретизация задачи и переход к дискретным рядам Фурье. Известную замкнутость концепции продолжения потенциального поля в ограниченной области придает опирающееся на полученные оценки уточнение поля по методу Рунге-Ричардсона.

Целью диссертационной работы является решение фундаментальной научной проблемы - разработка эффективных методов математической обработки данных в термографии и гравиразведке и других прикладных областях на основе концепции аналитического продолжения гармонических функций с целью восстановления внутренней структуры объектов по косвенным данным. Достижение цели осуществляется решением следующих задач:

1. Выбор математических моделей, постановка и исследование обратных задач термографии о восстановлении внутренней структуры объекта по измеренному температурному полю на поверхности, постановка задач продолжения температурного поля в виде задач Коши для уравнения Лапласа и смешанных задач.

2. Выбор математических моделей для аналитического продолжения векторных потенциальных полей с неплоских ограниченнных поверхностей. Обоснование модели получением оценок по параметрам области по отношению к модели во всем пространстве. Сведение краевых векторных задач продолжения потенциальных полей в цилиндрических областях к смешанным краевым задачам для уравнения Лапласа.

3. Построение точного и устойчивого приближенного решения задачи Коши для уравнения Лапласа и смешанных задач с данными Коши на по-

верхности произвольного вида. Имея в виду, что поверхности могут быть заданы в результате измерений или приближенного моделирования, требуется построение устойчивого приближенного решения в случае приближенного задания поверхности.

4. Разработка эффективных алгоритмов задач продолжения гармонических функций как задач Коши для уравнения Лапласа и смешанных задач с данными на поверхностях общего вида методом Фурье.

5. Обоснование дискретизации задач, получение оценок дискретизации и оценок устойчивости приближенного решения по параметрам дискретизации задачи.

6. Проведение вычислительного эксперимента по применению разработанных алгоритмов к модельным задачам термографии и геофизики.

7. Применение разработанных алгоритмов к решению практических задач термографии и геофизики.

Научная новизна и значимость

1. Предложен новый метод точного и устойчивого приближенного решения задач Коши для уравнения Лапласа и структурно близких ей рме-шанных краевых задач с данными на поверхности общего вида, в том числе заданной приближенно.

2. Предложен новый метод обработки термографических данных на основе аналитического продолжения стационарных гармонических температурных полей, учитывающий форму поверхности измерений.

3. Разработаны новые алгоритмы продолжения векторных потенциальных полей с неплоской ограниченной поверхности, в том числе заданной приближенно.

4. Впервые дано обоснование сходимости регуляризованного метода устойчивого решения задачи продолжения по параметрам области при ее расширении до всего пространства.

5. Впервые для уточнения результата аналитического продолжения применен метод Рунге-Ричардсона по параметрам области при ее расширении

до всего пространства.

6. Впервые доказаны теоремы сходимости по мере для решения линейной обратной задачи потенциала в трехмерном случае и критерий сходимости по мере применен для численного решения задачи продолжения потенциального поля.

Практическая ценность.

Разработанные алгоритмы продолжения температурного поля применяются для обработки термограмм - термографических (тепловизионных) изображений или термографических данных, полученных другими измерительными средствами, с целью повышения разрешающей способности термографических изображений и повышения их интерпретационных возможностей.

Разработанные алгоритмы продолжения потенциальных полей применяются для обработки гравиметрических данных и последующей интерпретации продолженного поля с целью выявления гравитационных аномалий, а также - оконтуривания месторождений полезных ископаемых.

Личный вклад автора.

Все результаты диссертации, выносимые на защиту, получены лично автором. В работах, выполненных в соавторстве, автору принадлежит определяющий вклад в анализ математических моделей, разработку и обоснование методов и постановку вычислительного эксперимента.

Апробация работы.

Полученные в диссертации результаты докладывались на Всесоюзной школе семинаре по некорректным задачам (г.Саратов, 1985), Всесоюзных конференциях «Вычислительная физика и математическое моделирование» ( г.Волгоград, 1988 и 1989 гг.), Международном совещании по программированию и математическим методам решения физических задач (Дубна, 1993), Международной конференции «Компьютерное моделиро-

вание и компьютерные методы в физике» (Дубна, 1996), Международных конференциях. «Актуальные проблемы вычислительной физики» (Дубна, 1998, 2000 гг.), VIII Белорусской международной математической конференции (Минск, 2000), V Международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002), Международной конференции «Вычислительные методы в прикладной математике» (Минск, 2003), семинаре В.Б.Гласко на физическом факультете МГУ, семинаре по уравнениям в частных производных В.Н.Масленниковой в РУДН, семинарах Е.П.Жидкова в ЛИТ(ЛВТА) ОИЯИ.

Публикации.

Полученные в диссертации результаты опубликованы в 33 работах [1] -[33].

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения, содержит 24 рисунка, список цитированной литературы из 222 наименований. Объем диссертации 220 страниц.

Основное содержание диссертации

Во введении дается общая характеристика работы, обосновывается актуальность, формулируется цель работы, определены научная новизна и значимость, кратко излагается содержание работы.

Первая глава посвящена постановке и анализу задач, имеющих различное содержание в прикладном аспекте, математическое содержание которых - продолжение гармонических функций с криволинейных поверхностей до носителя функции плотности источников (или особенностей) этих функций с целью получения возможно большей информации о структуре функции плотности распределения источников.

В параграфах 1.1.1, 1.1.2 ставится проблема обработки термографических изображений как задача восстановления внутренней структуры объ-

екта как функции распределения источников тепла или неоднородностей коэффициента теплопроводности. Рассматриваются стационарные математические модели в вариантах замкнутой поверхности с условием третьего рода и цилиндрических областей с прямоугольным сечением как краевых задач для гармонических функций со смешанными граничными условиями. Так, например, модель стационарного температурного поля с заданной температурой на боковых гранях цилиндра имеет вид смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа

и на поверхности S - конвективный теплообмен со средой температуры Щ В рамках выбранных моделей ставятся обратные задачи восстановления функции плотности распределения источников по измеренному температурному полю на поверхности.

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА. Пусть в рамках модели (1) функция

где S - поверхность вида (3), известна, требуется найти неизвестную функцию в области (2).

В параграфе 1.1.3 прослеживается связь обратных задач термографии с обратной задачей потенциала и обсуждаются вопросы корректности их

постановок. Дан обзор классов единственности и устойчивости ОЗП как классов единственности и устойчивости обратных задач термографии.

В связи с относительной узостью известных классов единственности в параграфе 1.1.4 рассматривается концепция «продолжения гармонических функций в рамках моделей, рассмотренных в предыдущих параграфах, как задача частичного решения обратной задачи термографии: Дан обзор известных методов аналитического продолжения. Задачи аналитического продолжения стационарного температурного поля сформулированы как задачи Коши и смешанные краевые задачи для уравнения Лапласа с данными на поверхности достаточно общего вида. В частности, задача продолжения температурного поля в рамках модели (1) ставится как смешанная задача для уравнения Лапласа

ОДЯ) = {(*, у, г) : 0 < х < 1Х, 0 < у < 1у, Г(х,у) < г < Н}. (6)

Предполагается, что носитель функции р расположен в области г > Н.

К аналогичным приводят задачи продолжения векторных потенциальных полей, широко используемых в геофизике, в цилиндрических областях прямоугольного сечения, позволяющих эффективно строить решения методом Фурье. В параграфе 1.2.1 рассматриваются соответствующие задачи. В частности, в рамках нечетно-периодической модели

д«(М) = о, меОДЯ)

(5)

и\х=0= 0 и\у=0>1, = О,

где область

тоШ~(М) = 0, М € <ИьЕ~{М) = -4тг р(М), [п> Е~]|1=о,!х = ОЛп,Е-]|у=0,,, = 0, Е~ -> 0 при г —> ±оо,

где

D°° = {(х, y,z) е R3 :0 <х <lx,0 <у <ly, -оо < г < оо}, (8) векторная задача продолжения потенциального поля Е~

rotE-(M) = О, Me D(H, F) = {(x, у, z) : 0 < x < lx, divE-(M) = 0, 0 < у < ly,F(x,y) < z < H,}, Fe С2(П(0)), E-|s = E-°, 5 = {(x,j/)z);0<x</I)0<y<iyiir = F(x,y)}) (9) [n, Е~]|1=о,г1 = 0, [п,Е-]|у=0Л = 0,

Tl(z) = {(x, y, z) : 0 < x < lx, 0 < у < ly, z — const}

сводится к смешанной задаче для уравнения Лапласа

АЕ~(М) = 0, М е D(H,F), E7\s = Ea2,

дЕ~ 1 дЕ° дЕ° (10)

Ег |х=0,1* = 0, Ег |у=о,1, = 0.

В параграфе 1.2.2 приводятся оценки погрешности модели в цилиндрической области (8) по отношению к модели во всем пространстве

rotE(M) = 0, Me Rz, divE{M) = -4тгр(М)

по параметрам области 1Х, 1У

(П)

|Е~(М) - Е(М)| < Const{^ + Me G°°, (12)

X у

где

5°° = {(*, У, А ■■ -тг < * < < У < -оо < 2 <

Эти оценки вместе с результатами четвертой главы являются обоснованием использования моделей в цилиндрических областях.

В праграфе 1.2.3 устанавливается связь обратной задачи восстановления плотности источников по заданному полю в рамках периодической модели с обратной задачей потенциала.

В праграфе 1.2.4 рассматривается вариант линейной обратной задачи потенциала, позволяющий связать аналитическое продолжение гармонической функции с задачей восстановления формы носителя функции плотности распределения источников, соответствующей бесконечно тонкому телу.

Во второй главе построены устойчивые решения задачи Коши для уравнения Лапласа (ЗКУЛ) в некоторых постановках с произвольными данными на части границы достаточно общего вида. Эти постановки характерны тем, что допускают построение точного решения с использованием метода Фурье с разложением в ряд по хорошо известным ортогональным системам, хотя в исходной области переменные вообще говоря не делятся.

В параграфе 2.1 приведены соответствующие постановки ЗКУЛ и близкие им смешанные задачи, в частности, смешанная задача для уравнения Лапласа с краевыми условиями первого рода и данными Коши общего вида

Обсуждается вопрос корректности поставленных задач, приведены примеры неустойчивости для рассматриваемых задач, аналогичные примеру Адамара. Для задачи (13) в качестве такого примера приведена функция

Обзор известных методов решения, в Том числе численного,' приведен в параграфе 2.2.

В параграфе 2.3 построены точные решения ЗКУЛ, в том числе (13) на основе оригинального метода автора, сводящего задачу к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Для задачи (13) это уравнение имеет вид

У ^-(М,Р)Ун(Р№Р<1ур = -Ф(М),

п(н)

М 6 П(а), а < у), (18)

(*.у)

где (7 - функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области £>(—оо, Н), для нормальной производной которой имеет место разложение

— (М,Р)|реП(я) = -ц- £ е V'.

. 7Гпхм . птум . ппхр . жтуР xsin—-—sin—-—sin —-—sin—-—, (19)

*x ^x ^y

позволяющее решать уравнение (18) методом Фурье. Правая часть уравнения - функция Ф - вычисляется как интеграл по поверхности S по известным функциям /ид

ЧМ) = I[/(Р)|^(М,Р) - д{Р)<р{М,Р)]<ЬтР, (20)

где

<р(м,р) = -4-г £ /, ,

*и» Vf + f

. 7гпхм . тгтум . тспхр . птпуР . х sin —-— sm —-— sin —— sin —-— (21)

"I ¿y *>x *y

- функция Грина задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области D°° вида (8). Точное решение задачи (13) может быть предствлено в виде

u(M) = v(M) - Ф(М), М е D{F, Я), (22)

где функция Ф вычисляется-по известным функциям / и д по формуле (20), а функция у по найденному решению ь\ц интегрального уравнения •

/ЭО

—{M,P)vH{P)dxPdyP =

п(я)

Е°° ; , V »»/тг+^гим-0) . ЖПХм . птум

Ф« m(a)eV'x «, MeD(-oo,H),

n,m=l l*

í. '»

i / \ 4 /"/*_, v . 7ГПХ . 7rmü , , ._„.

$z,nm{a) = YTJ J <Mx>2/'a)sin~j— sm~j—'dxdV- (23)

yo o

Этот же метод позволяет применить схему регуляризации А.Н.Тихонова для построения устойчивого решения. Это построение приведено и обосновано соответствующими теоремами сходимости в параграфе 2.4. А именно, приближенное решение интегрального уравнения (18) в случае, когда функции / и g в задаче (13) заданы с погрешностью, то есть вместо / и g заданы функции /' и gs, такие что

\\fS-f\\L¿s)<6, Hfl'-ffllms^Const-í, (24)

строится как экстремаль функционала Тихонова

= || / + Ф'||2мп(в)) + alMlW», (25)

s

где

Ф>(М) = I[f(P)^-(M> Р) - gs(P)ip(M, P)]d(TP. (26)

s

Приближенное решение задачи (13) в соответствии с (22) строится как

<{М) = - М € D(F, Я), (27)

vi(M) = £ sin ^L sin (28)

В параграфе 2.5 рассмотрены ЗКУЛ, в которых граница и данные Коши на ней заданы приближенно. Будем считать, что поверхность S в задаче (13) задается с некоторой погрешностью, а именно: вместо точной функции Р в (15) задана функция ^ такая, что

(29)

В связи с этим рассматривается задача о вычислении нормали к поверхности, заданной приближенно. Вычисление нормали необходимо для формирования правой части основного интегрального уравнения, представленной поверхностными интегралами (20)

Ф(М) = I [/(Р) [Чр<р(М,Р),щ{Р)) -

- д[Р)<р(М, Р)гм(Р)] йхРйуР, (30)

п(0)

где

(31)

Вектор-функция п1 представляет собой градиент функции Г — г,

Так как функция Г известна с некоторой погрешностью, задача вычисления ее градиента - некорректно поставленная задача - рассматривается как задача вычисления значений неограниченного оператора в постановке ВАМорозова. В качестве приближения к функции УР рассматривается градиент экстремали функционала

= IIи'-р* Г +д||уи'||2

1 1 II 1мп(о)) II II ¿¡(що))

а для вычисления нормали к поверхности используется приближение:

(32)

П'

1,0

= - к.

(33)

Доказано, что если

/З(^) = Const'1 ц.

При приближенном задании поверхности S, определяемом условием (29), а также функций fug, функция (30) может быть вычислена как

Ф'*(М)= J [f{P)(Vp4>{M,P),i^{P))-

- g6(P)tp(M, Р)<(Р)] ^dxpdyp, (34)

где

причем

^тах^ |Ф,'"(М) - Ф(М) | <0^ + 020 = Д(м,<*) 0> (36)

Доказана сходимость приближенного решения к точному по параметрам д и 5.

Завершается глава параграфом 2.6, в котором из приближенного устойчивого решения выделяется конструкция, являющаяся по смыслу функцией Карлемана-Лаврентьева. Приближенное решение (27) задачи (13) может быть записано в виде

s

"у ч 'у

Доказывается, что эта контструкция Са(М,Р) удовлетворяет определению функции Карлемана-Лаврентьева.

В третьей главе устойчивые методы решения ЗКУЛ, разработанные во второй главе, применены к решению задачи продолжения гармонического температурного поля как основы для обработки термографических изображений.

В параграфе 3.1 рассматриваются варианты обработки термограммы (температурного поля на поверхности объекта) гармоническим продолжением в цилиндрическую область и использованием разложения решения в двойной тригонометрический ряд. Для задачи (5) решение получаем в виде (27), где

В параграфе 3.2 рассматривается вариант продолжения стационарного температурного поля с замкнутой поверхности в ряд по многочленам Лежандра в сферической системе координат. Для определения центра си-

стемы координат получена формула

использующая только заданное температурное поле на поверхности и устойчивая к погрешностям в задании этого температурного поля.

В четвертой главе методы решения ЗКУЛ как смешанной задачи использованы для решения задачи продолжения потенциального поля

Е|5 = Е0^ 5={(1,у,г):0<1<1,,0<!,,<1!,г = Г(1,5)}, (40)

В параграфе 4.1 решается базовая задача о продолжениии «вертикальной» составляющей гармонического потенциального поля по полному полю, заданному на неплоской поверхности как смешанная задача для уравнения Лапласа

(41)

полученная из векторной в параграфе 1.2.1. Приближенное решение этой задачи получено в виде

КЛМ) = <а(М) - Ф'г(М), М е ОД Я), (42)

где

вш

. ппхм . тгтум

•х

эт

'V

(44)

Ф'„т(а) - коэффициенты Фурье функции Ф'|п(в)- Доказана теорема сходимости приближенного решения к точному при уменьшении погрешности в данных согласованно с параметром регуляризации.

Теорема. Пусть решение задачи (41) существует в области Г>(/р1 Н). Тогда для любого а = а(<5) > 0 такого, что а(<5) 0 и 8/л/аЩ 0 при 5 0 функция Е\а вида (42) равномерно сходится к точному решению в £)(Р + £,Я -е), е > 0.

В параграфе 4.2 та же задача решается в случае, когда в качестве погрешности в данных взята погрешность модели, полученная параграфе 1.2.2 первой главы. Особенность доказательства сходимости приближенного решения к точному в этом случае состоит в том, что константы в оценках, полученных в первом параграфе, зависят от параметров области и при расширении области до Д3 эта зависимость должна быть раскрыта и учтена при предельном переходе. , ,•

Теорема. Пусть а = а(Д) > 0, а(Д) 0 и Д/у/а(Д) 0 при Д ->• 0 и пусть

Тогда функция вида (42), где

I

»1 'у

сходится равномерно к ¿-компоненте поля (11) в Б(Р+е,Я-е), е > 0 при 1Х —у оо, где область

С71у <1Х< С*1У.

(45)

В параграфе 4.3 приведено решение векторной задачи с использованием преобразования Гильберта «вертикальной» компоненты поля в «горизонтальные»

Доказана сходимость полного векторного приближенного решения к точному решению векторной задачи.

В параграфе 4.4 разработанная схема решения задачи продолжения потенциального поля применяется для случая продолжения в область с известной плотностью источников с целью восстановления поля вблизи носителя неизвестной функции плотности источников.

В параграфе 4.5 получено равномерное приближение поля вплоть до границы S области за счет представления поля в виде суперпозиции равномерных приближений полей от источников, расположенных по разные стороны от границы S.

В параграфе 4.6 предлагается критерий качества приближенного про-' должения поля - оценка сходимости по мере. Оценивается мера симметрической разности областей, в которых приближенное и точное решение соответсвенно превышают определенное значение. Такой критерий эффективен в том случае, когда

р{х,у,г) = о0хо(х,уЩг - Н)

и компонента поля совпадает с точностью до множителя с характеристической функцией носителя плотности источников

Теорема. В условиях теоремы сходимости Е*а к Ег м(£>л00Д£>) 0 при <5 0, г Я,

где

носитель плотности

D{(z) = {(х,у) € П(0) : > A, z = const,}.

В параграфе 4.7 на основе оценок погрешности по параметрам области, полученным во втором параграфе первой главы, реализован вариант уточнения приближения поля в периодической модели по методу Рунге-Ричардсона. Уточнение поля в периодической модели имеет вид

где слева уточненное значение поля Е в пересечении областей и В™ с порядком 0 (¡V + ¡т) • Центры областей и и функции плотности источников совмещены. Размеры сечения области О™ — 1хг х 1уг.

В пятой главе приведены основные вычислительные алгоритмы решения задачи аналитического продолжения гармонических функций и дано их обоснование.

В параграфе 5.1 приводится вычислительная схема решения задачи продолжения потенциального поля. Показано, что коэффициенты Фурье z-компоненты поля потенциала источников на вспомогательной поверхности, с которой осуществляется продолжение в сторону источников, могут вычисляться по экономичным схемам, существенно сокращающим количество элементарных вычислительных операций

E-(M)=E(M)+o(i + i), М G

VI1 Р /

\ I 'у/

х

+

ттг

- — [ (Е°х(х,у)Ех(х,у) + Е°у(х,у)Еу(х,у) - Е°г(х,у))

+ г(р(х'У)-а) . 7Г ПХ . 7Г ту е V '» вш -г— эт —г-2-

(48)

'X

У

Получены оценки приближения при дискретизации задачи, а также оценки устойчивости регуляризованного решения по отношению к погрешности дискретизации.

|Ф 1'»Т(М) - Фг(М)\МеЩа) < |Ф^Т(М) - Ф^(М)|м6Щ.) +

+ \Ф?Т(М) - Фгк(М)|меП(0) + |ф7(М) - Ф,(М)|М6П(.) < < С35 + СиУ;2 + О^-2 + 1 гпт[Лг1//1, МУ/1У]

Аналогичные экономичные алгоритмы, а также оценки дискретизации и устойчивости получены в параграфе 5.2 для задачи продолжения температурного поля в цилиндре. Приведены алгоритмы решения задачи при продолжении температурного поля с замкнутой поверхности.

В шестой главе приведены результаты вычислительного эксперимента на модельных примерах, а также примеры обработки реальных данных, в термографии - в параграфе 6.1 и в геофизике - в параграфе 6.2.

В заключении перечислены основные оригинальные результаты содержащиеся в диссертации.

= А(6,^,МУ). (49)

Основные результаты диссертации

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Построены точное и устойчивое приближенное решения задачи Коши для уравнения Лапласа и примыкающих к ней смешанных задач с данными, Коши на поверхности произвольного вида. Устойчивое приближенное решение построено в случае, когда данные Коши и поверхность заданы приближенно. Доказана сходимость приближенного решения задач к точному. Из устойчивого решения выделена функция Карлемана-Лаврентьева - аналог фукции Грина для рассматриваемого круга задач.

. 2. На базе устойчивого решения задачи Коши для уравнения Лапласа построено решение обратной задачи термографии как задачи продолжения температурного поля с целью локализации источников и восстановления их пространственной структуры. Для оценки области гармоничности получены устойчивые формулы для определения «центра масс» источников тепла. Метод аналитического продолжения применен для математической обработки термограмм - тепловизионных изображений с целью уточнения формы температурных неоднородностей, связанных с внутренней структурой исследуемого объекта.

3. Получены устойчивые решения задач продолжения векторных потенциальных полей в цилиндрических областях сведением к смешанным краевым задачам для уравнения Лапласа для базовой компоненты, при этом остальные компоненты получены преобразованием Гильберта. Обоснован выбор ограниченных математических моделей для аналитического продолжения векторных потенциальных полей с неплоских ограниченных поверхностей получением оценок по параметрам области по отношению к модели поля во всем пространстве. Доказана усточивость приближенного решения задачи продолжения при применении разработанных методов продолжения по отношению к погрешности ограниченной модели. На основании полученных оценок разработан метод уточнения решения задачи продолжения в ограниченной модели с использованием метода Рунге-Ричардсона на вложенных областях. Предложен и обоснован метод оценки качества приближенного решения задачи продолжения поля сходимостью по мере-областей, ограниченных линиями уровня решения. Тем самым обоснована

возможность «оконтуривания» плотностных неоднородностей при продолжении поля.

4. Обоснована дискретизация задач гармонического продолжения, получены оценки дискретизации и оценки устойчивости приближенного решения по параметрам дискретизации задачи.

5. Разработаны эффективные алгоритмы задач продолжения гармонических функций как задач Коши для уравнения Лапласа и смешанных задач с данными на приближенно заданных поверхностях поверхностях общего вида методом дискретного ряда Фурье.

6. Показана эффективность разработанных методов и алгоритмов методом вычислительного эксперимента, примененного к модельным задачам термографии и геофизики, а также - применением к обработке реальных данных.

Содержание диссертации отражено в следующих работах:

1. Ильинский А.С., Ланеев Е.Б. Об определении положения источника тепла по косвенным данным//Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислит, матем. и кибернетика. 1988. №2. С. 18-22.

2. Ланеев Е.Б. Об одной задаче продолжения потенциала в неодно-связную область.// Современные задачи математической физики и математическое обеспечение ЭВМ. Изд-во УДН. 1986. С. 108-116.

3. Ланеев Е.Б. О задаче Коши для уравнения Лапласа в неодносвяз-ной области.// Статистическая и квантовая физика и ее приложения. Изд-во УДН. 1986. С.49-56.

4. Ланеев Е.Б. Об одной линейной обратной задаче потенциала// Системы массового обслуживания и информатика.М.: Изд-во УДН. 1987. С. 134-140.

5. Ланеев Е.Б. О регуляризации некоторых операций векторного анализа // Методы функционального анализа в математической физике.

М.: Изд-во УДН. 1987. С. 101-106.

6. Ланеев Е.Б. О функции Карлемана в задаче Коши для уравнения Лапласа в неодносвязной области.// Прямые и обратные задачи математической физики и функциональные пространства. Изд-во УДН. 1988. С. 86-93.

7. Ланеев Е.Б. О задаче Коши для уравнения Гельмгольца в неодносвязной области// Краевые задачи и пространства дифференцируемых функций. М.: Изд-во УДН. 1989. С. 19-30.

8. Ланеев Е.Б. Устойчивое решение задачи Коши для уравнения Лапласа в приложении к задаче аналитического продолжения температурных полей// Всесоюзная конф. «Вычислительная физика и мат. моделирование», Волгоград, 12-18 сент. 1988. Тезисы докладов. М : Изд-во УДН. 1989. С. 59-60.

9. Ланеев Е.Б., Ловецкий К.П., Севастьянов Л.А. Обработка термограмм методом аналитического продолжения// Всесоюзная конфер. «Вычислительная физика и мат. моделирование», Волгоград, 12-18 сент. 1988. Тезисы докладов. М.: Изд-во УДН. 1989. С. 61.

10. Ланеев Е.Б. Функция Карлемана в некорректно поставленных задачах, связанных с задачами аналитического продолжения температурных полей// II Всесоюзная конф. "Вычислительная физика и ма-тем. моделирование", Волгоград, 11-14 сент. 1989. Тезисы докладов. М.:Изд-во УДН. 1990. С. 52-54.

11. Ланеев Е.Б. Задача Коши для системы уравнений потенциального поля // Тезисы докл. XXV! научной конф. ф-та физ-мат. и естественных наук 14 - 19 мая 1990 г. М.: Изд-во РУДН. 1990. С. 42.

12. Ланеев Е. Б. Задача Коши для уравнения Лапласа и проблема аналитического продолжения температурных полей.// Математическое моделирование систем. М.:Изд-во УДН. 1990. С.33-40.

13. Laneev E. В., Sorokin V. A. Stable method for solving the Cauchy problem for elliptic equation and analytic continuation of physical fields // Proceedings of the Internati-onal Conference on Programming and Math. Methods for solving Physical Problems. World Science. Singapore. 1994. P. 170-172.

14. Laneev E. B. On ill-posed mixed problem for Laplace equation// Int. Conf. Сотр. Modelling and Computing in Physics. Dubna, Sept. 16-21, 1996. Book of Abstracts. JINR. Dubna. 1996.

15. Laneev E. В., Vasudevan Bhuvana Computational Modeling of Analytic Continuation of Temperature Fields from an Uncertain Surface Furst International Confer. Modern Trends in Computational Physics. Dubna, June 15-20, 1998. Book of Abstracts. JINR. Dubna. 1998. P.110.

16. Ланеев Е.Б., Васудеван Бхувана Об устойчивом решении одной смешанной задачи для уравнения Лапласа.//Вестник РУДН. Серия Прикладная математика и информатика. 1999. №1. C.128-133.

17. Ланеев Е.Б. Устойчивое продолжение потенциального поля с поверхности// Тезисы докл. XXXVI Всеросс. научной конф. по пробл. матем., информат., физики, химии и методики преп. естественнонаучных дисциплин. 22-26 мая 2000 г. Физические секции. М.: Изд-во РУДН. 2000. С.35-36.

18. Ланеев Е.Б. Устойчивое продолжение температурного поля с поверхности// VIII Белорусская Математ. Конфер. 19-24 июня 2000 г. Тезисы докладов междунар.конф. Ч. 3. Минск. Изд-во Ин-та матем. НАН Беларуси. 2000. С.68.

19. Laneev E.B., Zhidkov E.P. Stable method of potential field continuation // Second Inter. Conf. Modern Trends in Computational Physics. Dubna, July 24-29, 2000. Book of Abstracts. JINR. Dubna. 2000. P. 109.

20. Ланеев Е.Б. О некоторых постановках задачи продолжения потенциального поля.//Вестник РУДН. Серия Физика. 2000. №8(1). С. 21-28.

21. Ланеев Е.Б. Устойчивое решение одной некорректно поставленной краевой задачи для потенциального поля.//Вестник РУДН. Серия Прикладная математика и информатика. 2000. №1. С.105-112.

22. Ланеев Е.Б. Двумерный аналог преобразования Гильберта в задаче продолжения потенциального поля.//Вестник РУДН. Серия Прикладная математика и информатика. 2001. №1. С. 110-119.

23. Ланеев Е.Б. О погрешности периодической модели задаче продолжения потенциального поля.//Вестник РУДН. Серия Физика. 2001. №9(1). с.4-16.

24. Laneev ЕВ., Mouratov M.N, Zhidkov E.P. On stable solution for a mixed boundary-value problem for Laplace equation with inexect data on an aproximately defined boundary// V Intern. Congress on Math. Modelling.Sept.30-Oct.6, 2002. Dubna. Book of abstracts. Vol.l.Dubna.

. JINR. 2002. P. 183.

25. Laneev E.B., Zhidkov E.P. Stable method of potential field continuation // Journal Comput. Methods in Science and Enginering. 2002. Vol.2. №12. P. 181-188.

26. Ланеев Е. Б., Муратов М. Н. Об устойчивом решении одной смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа с приближенно заданной границей.// Вестник РУДН. Серия Математика. 2002. №9(1). С. 102111.

27. Ланеев Е. Б., Лузгачева Е. В. Об устойчивом решении одной краевой задачи для системы уравнений потенциального поля.// Вестник РУДН. Серия Математика. 2002. №9(1). С.92-101.

28. Ланеев Е.Б. Об особенностях применения метода Фурье при численном решении задачи продолжения потенциального поля. //Вестник

РУДН. Серия Прикладная и компьютерная математика. 2002. №1(1). С87-97.

29. Bobrikova E.V., Laneev Е.В. and Zhidkov E.P. Stable potential field continuation from non-planar surface.// Abstracts of International Conference CMAM-1, July 20-24, 2003, Minsk, Belarus, p. 14.

30. Laneev E.B., Mouratov M.N, Zhidkov E.P. Analytical continuation of the temperature field measuured on an approximately defined surface.// Abstracts of International Conference CMAM-1, July 20-24, 2003, Minsk, Belarus, pp. 34-35.

31. Ланеев Е. В., Муратов М. Н. Об одной обратной задаче к краевой задаче для уравнения Лапласа с условием третьего рода на неточно заданной границе.// Вестник РУДН. Серия Математика. 2003. №10(1). С. 100-110.

32. Ланеев Е.Б., Бобрикова Е.В. О равномерном устойчивом приближении одной некорректной краевой задачи для системы уравнений потенциального поля.// Вестник РУДН, сер. Математика, 2003, №10(1), С. 8-16.

33. Ланеев Е.В. Об устойчивом решении одной смешанной задачи для уравнения Лапласа с краевыми условиями второго рода //Вестник РУДН. Серия Прикладная и компьютерная математика. 2003. Т. 2. №2. С. 52-60.

Получено 20 апреля 2004 г.

Макет Н. А. Киселевой

Подписано в печать 21.04.2004. Формат 60 X 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,62. Уч.-изд. л. 1,65. Тираж 100 экз. Заказ № 54401.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@pds.jinr.ru www.jinr.ru/publish/

ВВЕДЕНИЕ

1 Некоторые задачи термографии и геофизики, приводящие к обратной задаче потенциала и задаче Коши для уравнения Лапласа

1.1 Обратная задача термографии. Сведение к обратной задаче потенциала. Концепция аналитического продолжения.

1.1.1 Проблема обработки и интерпретации термографических изображений.

1.1.2 Физическая и математическая модель. Постановка обратных задач

1.1.3 Связь обратных задач термографии с обратной задачей потенциала (ОЗП). Некорректность обратных задач термографии

1.1.4 Концепция аналитического продолжения. Сведение обратных задач термографии к задачам Коши для уравнения Лапласа

1.2 Задача продолжения потенциального поля.

1.2.1 О постановках периодических задач продолжения потенциального поля с данными на произвольной поверхности и их связь с задачей Коши для уравнения Лапласа.

1.2.2 О погрешности периодической модели в задаче продолжения потенциального поля.

1.2.3 Связь с обратной задачей потенциала.

1.2.4 Линейная обратная задача потенциала (связь поля с характеристической функцией носителя плотности источников поля)

2 Задача Коши для уравнения Лапласа с данными на поверхностях ф: общего вида

2.1 Некоторые постановки задач Коши для уравнения Лапласа с данными на произвольной поверхности. Некорректность.

2.2 Задача Коши для уравнения Лапласа. Устойчивые методы решения

2.3 Задача Коши для уравнения Лапласа. Точное решение.

2.3.1 ЗКУЛ как смешанная задача в цилиндрической области с граничными условиями первого рода.

2.3.2 ЗКУЛ как смешанная задача в цилиндрической области с граничными условиями второго рода.

2.3.3 ЗКУЛ с данными Коши на замкнутой поверхности.

2.4 Задача Коши для уравнения Лапласа. Устойчивое решение.

2.4.1 Устойчивое решение ЗКУЛ как смешанной задачи в цилиндрической области с граничными условиями первого рода.

2.4.2 Устойчивое решение ЗКУЛ как смешанной задачи в цилиндрической области с граничными условиями второго рода.

2.4.3 Устойчивое решение ЗКУЛ с данными Коши на замкнутой поверхности.

2.5 Об усточивом решениии ЗКУЛ с приближенно заданной границей

2.6 Функция Карлемана-Лаврентьева.

3 Устойчивое решение задачи продолжения температурного поля

3.1 Устойчивое продолжение температурного поля в цилиндрическую область прямоугольного сечения.

3.1.1 Продолжение температурного поля в случае граничных условий первого рода.

3.1.2 Продолжение температурного поля в случае граничных условий второго рода.

3.2 Продолжение температурного поля с замкнутой поверхности.

3.2.1 Определение начала сферической системы координат как центра масс источников тепла.

3.2.2 Обработка термограмм продолжением температурного поля с замкнутой поверхности.

Устойчивое решение задачи продолжения потенциального поля

4.1 Устойчивое решение задачи продолжения «вертикальной» составляющей потенциального поля.

4.2 Устойчивое продолжение потенциального поля с учетом погрешности периодической модели.

4.3 Двумерный аналог преобразования Гильберта в задаче продолжения потенциального поля

4.4 Об устойчивом продолжении негармонических потенциальных полей

4.5 О равномерном устойчивом приближении решения задачи продолжения потенциального поля.

4.6 Сходимость устойчивого приближенного решения задачи продолжения потенциального поля по мере.

4.7 Метод Рунге-Ричардсона уточнения продолженного поля по расширяющимся областям.

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ

5.1 Об особенностях применения метода Фурье при численном решении задачи продолжения потенциального поля.

5.1.1 Постановка задачи и ее точное решение

5.1.2 Вычисление коэффициентов Фурье решения смешанной краевой задачи.

5.1.3 Оценка погрешности при дискретизации задачи.

5.1.4 Построение и оценка погрешности устойчивого приближенного решения задачи в случае неточно заданных граничных значений

5.2 Вычислительные алгоритмы для задачи термографии.

5.2.1 Продолжение температурного поля в цилиндрическую область прямоугольного сечения

5.2.2 Продолжение температурного поля с замкнутой поверхности

Вычислительный эксперимент

6.1 Обработка термографических изображений методом гармонического продолжения.

6.1.1 Обработка модельных термографических изображений продолжением в цилинрическую область.

6.1.2 Численное продолжение температурного поля с замкнутой поверхности

6.1.3 Обработка реальных термографических данных

6.2 Численное продолжение потенциального поля.

6.2.1 Численное продолжение поля в «горизонтальной» плоскостях на модельных примерах

6.2.2 Восстановление формы неоднородности в плане и сходимость продолженного поля по мере.

6.2.3 Уточнение продолженного поля методом Рунге-Ричардсона

Применение вычислительной техники к решению прикладных задач привело к формированию по-существу нового инструмента научного исследования - вычислительного эксперимента, - что в свою очередь привело к формированию нового направления в научных исследованиях - математического моделирования [149]. В 80-х годах революция в вычислительной технике позволила перейти на качественно новый уровень сложности решаемых задач и, что не менее важно - уровень представления результатов. Вместе с тем возрастает значение квалифицированного проведения вычислительного эксперимента с обоснованным выбором модели и алгоритмов и их коррекции. Потенциал современной вычислительной техники позволяют говорить о возможности все более глубокой обработки результатов измерений в рамках все более усложняющихся физических и математических моделей. В частности, это относится к исследованиям структуры и состояния объектов по косвенной (измеряемой) информации. Проблема обработки данных с такой целью математически как правило формулируется в виде обратных задач математической физики [39, 70], которые ставятся в рамках той или иной физической модели. Характерный пример задач такого рода - обратные задачи геофизики [38,156,129,166,173] - задачи определения структуры земной коры по измеряемым физическим поля, связанным с этой структурой.

Состоятельность задачи в смысле реальной возможности ее решения, то есть в конечном счете - возможности вычиления и представления результата определяется понятием корректности [63, 71, 192]. Особенность обратных задач состоит в том, что они, как правило, некорректно поставлены [38, 78, 72, 192] в естественных классах. Вместе с тем в ряде случаев для таких задач удается найти более узкие классы - единственности и устойчивости - определяемые некоторыми условиями. Существование таких классов позволяет отнести некорректную задачу к числу условно корректных [72]. Конструктивный учет дополнительных условий в применении к решению таких задач приводит к получению регуляризирующих алгоритмов их решения [192], не выводящих решения за пределы указанных классов.

Определенный круг обратных задач составляют задачи восстановления структуры объектов по клсвенным данным. Такие задачи возникают в тех случаях, когда внутренняя структура объекта по тем или иным причинам недоступна прямому исследованию, в то время как косвенная информация о структуре объекта может быть получена в виде порождаемых этой структурой пространственного распределения физических полей, собственных или полученных как отклик на внешнее воздействие, которые могут быть измерены. Среди таких задач разнообразные геофизические задачи [38, 156, 151], обратные задачи газовой динамики [33], теплообмена [3], задачи электрокардиографии [216], электроэнцефалографии [53], томографии [196] и другие. С 80-х годов внимание исследователей привлекли собственные физические поля биологических объектов [42]-[44], [201, 207, 212].

В диссерционной работе в прикладном плане рассматриваются обратные задачи, возникающие в термографии [52, 122] и геофизики (гравиразведки) [173].

При тепловизионных исследованиях нагретых теплопроводящих объектов, излучающих в инфракрасном диапазоне, «снимок» температурного поля с поверхности объекта как правило служит материалом для непосредственной интерпретации с целью идентификации внутренней структуры (или ее аномалий). При этом воспроизведение внутренней структуры термограммой искажено как за счет ее относительной удаленности от поверхности тела, так и за счет неровностей поверхности. Коррекция изображения возможна на основе метода продолжения стационарного температурного поля с поверхности в область, близкую к структурным неоднородностям. Это продолжение осуществляется решением задачи (или аналогичной)

Аи(М) = 0, Me D\D0, = /, h(U0 - /) u\dD = f, (i) du dn dD

3D где D0 содержит структурные неоднородности и источники. Термограмма, полученная в результате такого продолжения как след температурного поля на некоторой поверхности вблизи структуры, может рассматриваться как результат математической обработки исходной термограммы. Отметим, что всякий способ визуализации температурного поля, формирующий термограмму, является сам по себе математической обработкой значений температурного поля. Таким образом, разработанный в диссертации метод может рассматриваться как математическая обработка термограмм методом аналитического продолжения стационарного температурного поля.

Другой круг задач связан с проблемой обработки данных гравиразведки. Анализ имеющихся методов, в большинстве своем связанных с концепцией аналитического продолжения [173] позволяет говорить о том, что задача аналитического продолжения потенциального поля с неплоской ограниченной поверхности в трехмерном случае остается до конца нерешенной и актуальной. Несмотря на то, что теория продолжения потенциального паля с неплоской неограниченной поверхности разработана достаточно полно [50], переход от интегралов Фурье к рядам Фурье при численной реализации методов продолжения, а также при задании поля в реальной ситуации на ограниченной поверхности использование формул [50] недостаточно обосновано и изучено.

В диссертации предлагается концепция продолжения потенциального поля с неплоской поверхности в исходным образом ограниченной модели, например: гоШ(М) = 0, М <= Я) = {(х, у, г) : 0 < х < 1Х,

ИуЕ (АГ) = 0, 0 <у<1у, Г(х, у) < г < Н, Н > 0},

Е|в = Е°, 3 = {{х,у,г):0<х<1х,0<у<1у,г = ^(х, у)}, (2) п,Е]|1=0,г1=0, [п, Е]|у=о,г„ = 0, Г е С2(П(0)),

П(,г) = {(х,у, г) : 0 < х < 1Х, 0 < у < 1у, г = схтвЬ}. сводящейся к задаче Коши для уравнения Лапласа

АЕг{М) = 0, МеП{Г,Н)

Е*\з = Е°г, дЕх 1 дЕ°х дЩ дп щ дх ду г Щ=(Гх,Гу,~1),

Ег\х=0,1Х ~ 0, Ег\у=0,1У = 0.

Состоятельность модели обосновывается оценками по геометрическим параметрам области. Ограниченность области позволяет решать задачу разложением в ряд Фурье. Кроме того, обосновывается дискретизация задачи и переход к дискретным рядам Фурье. Известную замкнутость концепции продолжения потенциального поля в ограниченной области придает опирающееся на полученные оценки уточнение Рунге-Ричардсона.

Целью диссертационной работы является решение фундаментальной научной проблемы - разработка эффективных методов математической обработки данных в термографии и гравиразведке и других прикладных областях на основе концепции аналитического продолжения гармонических функций с целью восстановления внутренней структуры объектов по косвенным данным. Достижение цели осуществляется решением следующих задач:

1. Выбор математических моделей, постановка и исследование обратных задач термографии о восстановлении внутренней структуры объекта по измеренному температурному полю на поверхности, постановка задач продолжения температурного поля в виде задач Коши для уравнения Лапласа и смешанных задач.

2. Выбор математических моделей для аналитического продолжения векторных потенциальных полей с неплоских ограниченнных поверхностей. Обоснование модели получением оценок по параметрам области по отношению к модели во всем пространстве. Сведение краевых векторных задач продолжения потенциальных полей в цилиндрических областях к смешанным краевым задачам для уравнения Лапласа.

3. Построение точного и устойчивого приближенного решения Задачи Коши для уравнения Лапласа и смешанных задач с данными Коши на поверхности произвольного вида. Имея в виду, что поверхности могут быть заданы в результате измерений или приближенного моделирования, требуется построение устойчивого приближенного решения в случае приближенного задания поверхности.

4. Разработка эффективных алгоритмов задач продолжения гармонических функций как задач Коши для уравнения Лапласа и смешанных задач с данными на поверхностях общего вида методом Фурье.

5. Обоснование дискретизации задач, получение оценок дискретизации и оценок устойчивости приближенного решения по параметрам дискретизации задачи.

6. Проведение вычислительного эксперимента по применению разработанных алгоритмов к модельным задачам термографии и геофизики.

7. Применение разработанных алгоритмов к к решению практических задач термографии и геофизики.

Научная новизна и значимость

1. Предложен новый метод точного и устойчивого приближенного решения задач Коши для уравнения Лапласа и структурно близких ей смешанных краевых задач с данными на поверхности общего вида, в том числе заданной приближенно.

2. Предложен новый метод обработки термографических данных на основе аналитического продолжения стационарных гармонических температурных полей, учитывающий форму поверхности измерений.

3. Разработаны новые алгоритмы продолжения векторных потенциальных полей с неплоской ограниченной поверхности, в том числе заданной приближенно.

4. Впервые дано обоснование сходимости регуляризованного метода устойчивого решения задачи продолжения по параметрам области при ее расширении до всего пространства.

5. Впервые для уточнения результата аналитического продолжения применен метод Рунге-Ричардсона по параметрам области при ее расширении до всего пространства.

6. Впервые доказаны теоремы сходимости по мере для решения линейной обратной задачи потенциала в трехмерном случае и критерий сходимости по мере применен для численного решения задачи продолжения потенциального поля.

Практическая ценность.

Разработанные алгоритмы продолжения температурного поля применяются для обработки термограмм - термографических (тепловизионных) изображений или термографических данных, полученных другими измерительными средствами, с целью повышения разрешающей способности термографических изображений и повышения их интерпретационных возможностей.

Разработанные алгоритмы продолжения потенциальных полей применяются для обработки гравиметрических данных и последующей интерпретации продолженного поля с целью выявления гравитационных аномалий, а также - оконтуривания месторождений полезных ископаемых.

Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения, содержит 24 рисунка, список цитированной литературы содержит 222 наименования. Объем диссертации 220 страниц машинописного текста.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Построены точное и устойчивое приближенное решения задачи Коши для уравнения Лапласа и примыкающих к ней смешанных задач с данными Коши на поверхности произвольного вида. Устойчивое приближенное решение построено в случае, когда данные Коши и поверхность заданы приближенно. Доказана сходимость приближенного решения задач к точному. Из устойчивого решения выделена функция Карлемана-Лаврентьева - аналог фукции Грина для рассматриваемого круга задач.

2. На базе устойчивого решения задачи Коши для уравнения Лапласа построено решение обратной задачи термографии как задачи продолжения температурного поля с целью локализации источников и восстановления их пространственной структуры. Для оценки области гармоничности получены устойчивые формулы для определения «центра масс» источников тепла. Метод аналитического продолжения применен для математической обработки термограмм - тепловизионных изображений с целью уточнения формы температурных неоднородностей, связанных с внутренней структурой исследуемого объекта.

3. Получены устойчивые решения задач продолжения векторных потенциальных полей в цилиндрических областях сведением к смешанным краевым задачам для уравнения Лапласа для базовой компоненты, при этом остальные компоненты получены преобразованием Гильберта. Обоснован выбор ограниченных математических моделей для аналитического продолжения векторных потенциальных полей с неплоских ограниченнных поверхностей получением оценок по параметрам области по отношению к модели поля во всем пространстве. Доказана усточивость приближенного решения задачи продолжения при применении разработанных методов продолжения по отношению к погрешности ограниченной модели. На основании полученных оценок разработан метод уточнения решения задачи продолжения в ограниченной модели с использованием метода Рунге-Ричардсона на вложенных областях. Предложен и обоснован метод оценки качества приближенного решения задачи продолжения поля сходимостью по мере областей, ограниченных линиями уровня решения. Тем самым обоснована возможность «оконтуривания» плотностных неоднородностей при продолжении поля.

4. Обоснована дискретизация задач гармонического продолжения, получены оценки дискретизации и оценки устойчивости приближенного решения по параметрам дискретизации задачи.

5. Разработаны эффективные алгоритмы задач продолжения гармонических функций как задач Коши для уравнения Лапласа и смешанных задач с данными на приближенно заданных поверхностях общего вида методом дискретного ряда Фурье.

6. Показана эффективность разработанных методов и алгоритмов методом вычислительного эксперимента, примененного к модельным задачам термографии и геофизики, а также - применением к обработке реальных данных.

Автор благодарен проф. Е.П.Жидкову за внимание к работе и плодотворное обсуждение результатов, а также проф.Л.А.Севастьянову за поддержку.

Заключение

Цель диссертационной работы, заявленная как решение фундаментальной научной проблемы - разработка эффективных методов математической обработки данных в термографии и гравиразведке и других прикладных областях на основе концепции аналитического продолжения гармонических функций для восстановления внутренней структуры объектов по косвенным данным, достигнута решением следующих задач:

1. Выбраны математические модели, в рамках которых поставлены и исследованы обратные задачи термографии восстановления внутренней структуры объекта по измеренному температурному полю на поверхности, поставлены задачи продолжения температурного поля в виде задач Коши для уравнения Лапласа и смешанных задач.

2. Обоснован выбор математических моделей для аналитического продолжения векторных потенциальных полей с неплоских ограниченнных поверхностей получением оценок по параметрам области по отношению к модели во всем пространстве. Выбор моделей мотивируется необходимостью обоснованного применения рядов Фурье.

3. Построены точное и устойчивое приближенное решения задачи Коши для уравнения Лапласа и смешанных задач с данными Коши на поверхности произвольного вида. Устойчивое приближенное решение построено в случае, когда и данные Коши и поверхность заданы приближенно.

4. Полученные результаты применены к решению соответствующих задач термографии как задач продолжения температурного поля с целью локализации источников и восстановления их пространственной структуры.

5. Полученные результаты применены также к решению соответствующих задач продолжения векторных потенциальных полей с целью локализации источников поля и восстановления их пространственной структуры. Краевые векторные задачи продолжения потенциальных полей в цилиндрических областях сведены к смешанным краевым задачам для уравнения Лапласа для базовой компоненты, при этом остальные компоненты получены преобразованием Гильберта.

6. Разработаны эффективные алгоритмы решения задач продолжения гармонических функций как задач Коши для уравнения Лапласа и смешанных задач с данными на при ближенно заданных поверхностях общего вида методом Фурье.

7. Обоснована дискретизация задач, получены оценки дискретизации и оценки устойчивости приближенного решения по параметрам дискретизации задачи.

8. Проведен вычислительный эксперимент по применению разработанных алгоритмов к модельным задачам термографии и геофизики.

9. Разработанные алгоритмы применены к решению практических задач термографии и геофизики.

На защиту выносятся следующие

1. Агеев А.Л., Болотова Т.В.,Васин В.В. Решение обратной задачи гравиметрии о границах раздела трех сред.// Физика Земли, 1998, №3, с.54-57.

2. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. // М.: Наука, 1978, 352 с.

3. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач. // М.: Наука. 1988. 288 с.

4. Андреев Б.А. Расчеты пространственного распределения потенциальных полей и их использование в разведочной геофизике I// Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз. 1947. Т. 11. т. С. 79-92.

5. Андреев Б.А. Расчеты пространственного распределения потенциальных полей и их использование в разведочной геофизике II// Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз. 1949. Т. 3. №3. С. 257-266.

6. Андреев Б.А. Расчеты пространственного распределения потенциальных полей и их использование в разведочной геофизике III// Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз. 1952. №2. С. 22-30.

7. Андреев Б.А. Расчеты пространственного распределения потенциальных полей и их использование в разведочной геофизике IY// Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз. 1954. №1. С. 49-64.

8. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B., 'Степанова Л.Д. Применение алгоритмов итерационной регуляризации для решения обратных задач гравиметрии // Изв.АН СССР. Физика Земли. 1986. №10. С.43-50.

9. Балк П. И. Использование априорной информации о топологических особенностях источников поля при решении обратной задачи гравиметрии в рамках монтажного подхода.// Физика Земли, 1993, №5, с 59-71.

10. Балк П.И., Балк Т.В. Совмещенная обратная задача грави- и магнитометрии.// Физика Земли, 1996, №, с. 16-30.

11. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука. 1975.

12. Бицадзе A.B. К задаче коши для гармонических функций// Дифференц. уравн.1986. Т. 22. №1. С. 11-18.

13. Бойков И.В., Мойко Н.В. Об одном итерационном методе решения обратной задачи гравиметрии для контактной поверхности.// Физика Земли, 1999, №2. С.52-56.

14. Бойков И.В., Бойкова А.И. Оптимальные методы восстановления потенциальных полей. 1.// Физика Земли, 2001, №12, с.78-89.

15. Бродский М.А., Страхов В.Н. В классе однородных многогранников, гомеоморфных шару, решение обратной задачи ньютонова потенциала единственно// ДАН СССР. 1987. Т. 292. №6. С. 1337-1340.

16. Бродский М.А., Страхов В.Н. О решении обра/гной задачи потенциала для многогранников с переменными полиномиальными плотностями // ДАН СССР.1987. Т. 293. №2. С. 336-339.

17. Вабищевич П.Н. О решении задачи Коши для уравнения Лапласа в двухсвязной области// ДАН СССР. 1978. Т. 241, №6. С. 1257-1260.

18. Вабищевич П.Н., Гласко В.Б., Криксин Ю.А. О решении одной задачи Адамара с помощью регуляризующего по А.Н.Тихонову алгоритма// ЖВМиМФ. 1979. Т. 19. №6. С. 1463-1570.

19. Вабищевич П.Н. Численное решение задачи Коши для эллиптических уравнений и систем// Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислит, матем. и кибернетика. 1979. №3. С. 3-10.

20. Вабищевич П.Н. Разностные методы решения задачи Коши для эллиптических уравнений// ЖВМиМФ. 1981. Т. 21. №2. С. 509-511.

21. Вабищевич П.Н. О численном решении нелокальных эллиптических задач // Изв. ВУЗов. 1983. №5. С. 13-19.

22. Вабищевич П.Н., Пулатов П.А. Об одном вычислительном алгоритме решения задачи продолжения потенциала в гравиметрии// ДАН Тадж. ССР. 1983. Т. 26. №9. С. 539-541.

23. Вабищевич П.Н., Пулатов П.А. Об одном методе численного решения задачи Коши для эллиптических уравнений// Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислит, матем. и кибернетика. 1984. №2. С. 3-8.

24. Вабищевич П.Н. Численное решение задачи продолжения потенциала в сторону возмущающих масс// Изв. АН СССР. 1983. №7. С. 31-36.

25. Вабищевич П.Н. Разностные методы решения неустойчивых эволюционных задач// Вычислительные методы в математической физике. М., 1986. С. 73-87.

26. Вабищевич П.Н. Разностные методы решения некоторых некорректных задач// Изв. ВУЗов. Математика. 1984. №8. С. 3-9.

27. Вабищевич П.Н., Пулатов П.А. Численное решение задачи продолжения потенциальных полей.// Математическое моделирование, 2002, том 14, №4, с.91-104.

28. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1976. 528 с.

29. Воскобойников Г.М. Функция Карлемана и ее применение к решению некоторых задач геофизики// Изв. АН СССР. Сер. Геофизич. 1962. №11. С. 1579-1590.

30. Воскобойников Г.М. Интегральные преобразования и распределение особенностей логарифмического потенциала// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1965. №1. С. 76-89.

31. Воскобойников Г.М., Сиротин М.И. Об определении особенностей аналитического продолжения потенциальных полей// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1965. №12. С. 21-30.

32. Воскобойников Г.М., Шестаков А.Ф. Метод гасящих функций и его применение для определения особых точек геофизических полей, удовлетворяющим трехмерным уравнениям Лапласа и Гельмшольца.// Изв.АН СССР. Физика Земли. 1982. т. С.62-75.

33. Воскобойников Г.М., Преображенский Н.Г., Седельников А.И. Математическая обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. Новосибирск: Наука. 1984. 240 с.

34. Гласко В.Б., Кравцов В.В., Кравцова Г.Н. Об одной обратной задаче гравиметрии// Вестник МГУ. Сер. 3. Физика, астрономия. 1970. №2. С. 174-179.

35. Гласко В.Б., Володин Б.А., Мудрецова Е.А., Нефедова Н.Ю. О решении обратной задачи гравиметрии для контактной поверхности на основе метода регуляризации// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1973. №2. С. 30-41.

36. Гласко В.Б., Остромогильский А.Х., Филатов В.Г, О восстановлении глубины и формы контактной поверхности на основе регуляризации// ЖВМиМФ. 1970. Т. 10. №5. С. 1292-1297.

37. Гласко В.В., Гущин Г.В., Гущина Л.Г., Мудрецова Е.А. Об использовании данных бурений при восстановлении формы контакта с помощью метода регуляризации// ЖВМиМФ. 1974. Т. 14. №5. С. 1272-1280.

38. Гласко В.Б., Литвиненко O.K., Мудрецова Е.А., Страхов В.Н., Федынский

39. B. В. Метод регуляризации А.Н.Тихонова в современной разведочной геофизике// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1977. №1. С. 24-39.

40. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики. Изд-во МГУ, 1984. 1121. C.

41. Гласко В.Б., Кондорская Е.Е. О некоторых стабилизирующих по А.Н.Тихонову функционалах для многомерных некорректных задач// ЖВМиМФ. 1983. Т. 23. №2. С. 301-306.

42. Голузин Г.М., Крылов В.И. Обобщенная формула Саг1емап'а и приложение ее к аналитическому продолжению .функций// Матем. сборник. 1933. Т. 40. №2. С. 144-149.

43. Гуляев Ю.В., Годик Э.Э., Петров A.B., Тараторил, A.M. О возможностях дистанционной функциональной диагностики биологических объектов по их собственному инфракрасному излучению// ДАН СССР. 1984. Т. 277. №6. С. 1486-1491.

44. Гуляев Ю.В., Годик Э.Э., Дементиенко В.В., Пасечник В.И., Рубцов A.A. О возможностях акустической термографии биологических об'ектов// ДАН СССР. 1985. Т. 238. №6. С. 1495-1499.

45. Гуляев Ю.В., Годик Э.Э., Дементиенко В.В., Калашников Н.Э., Красюк Н.Я., Кузнецов И.В. Радиотепловое динамическое картирование биологических объектов// ДАН СССР. 1988. Т.299. №5. С.1259-1262.

46. Данилов В. Л. Методы установления в прикладных обратных задачах потенциала. М.: Наука. 1996. 248 с.

47. Девицын В.М. Численный метод аналитического продолжения двумерных потенциальных полей I// Изв. АН СССР. Сер. Геофизич. 1964. №9. С. 1376-1388.

48. Девицын В.М. Численный метод аналитического продолжения двумерных потенциальных полей II// Изв. АН СССР. Сер. Геофизич. 1964. №11. С. 16541673.

49. Девицын В.М. Об изучении строения двумерных слоистых сред по комплексу наземной и скважинной гравиметрии// изв. ан ссср. сер. Физика Земли. 1981. №9. С. 44.50.

50. Жданов М.С. Развитие теории аналитического продолжения в криволинейных областях// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1971. №5. С. 114-121.

51. Жданов М. С. Аналог интеграла Коши в теории геофизических полей. М.:Наука. 1984.

52. Заморев А.А. Решение обратной задачи теории потенциала// ДАН СССР. 1941. Т. 32. №8. С. 546-547.

53. Зарецкий В.В., Выховская А.Г. Клиническая термография. М., 1976. 168 с.

54. Захаров Е.В., Коптелов Ю.М. О решении одной задачи математической обработки электроэнцефалографических данных// ДАН СССР. 1987. Т. 292. №3. С. 576-581.

55. Иванов В.К. Обратная задача потенциала для тела, близкого к данному// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1956. Т. 20. №6. С. 793-818.

56. Иванов В.К. Интегральное уравнение обратной задачи логарифмического потенциала// ДАН СССР. 1955. Т. 105. №3. С. 409-411.

57. Иванов В.К. О распределении особенностей потенциала// УМН. 1956. №5. С. 67-70.

58. Иванов В.К. Об устойчивости обратной задачи логарифмического потенциала// Изв. ВУЗов. Математика. 1958. №4. С. 96-99.

59. Иванов В.К. Теорема единственности обратной задачи логарифмического потенциала для звездных множеств// Изв. ВУЗов. Математика. 1958. №3. С. 99-106.

60. Иванов В.К. О разрешимости обратной задачи логарифмического потенциала в конечном виде// ДАН СССР. 1956. Т. 106. №4. С. 598-599.

61. Иванов В. К. Интегральные уравнения первого рода и приближенное решение обратной задачи потенциала// ДАН СССР. 1962. Т. 142. №5. С. 998-1000.

62. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах// Матем. сборник. 1963. Т. 61. №2. С. 211-223.

63. Иванов B.K. Задача Коши для уравнения лапласа в бесконечной полосе// Дифферент уравн. 1965. Т. 1. т. С. 131-136.

64. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. теория линейных некорректных задач и ее приложения. М., 1978. 206 с.

65. Ильинский A.C., Ланеев Е.Б. Об определении положения источника тепла по косвенным данным//Вестник МГУ. Сер.15. Вычислит, матем. и кибернетика. 1988. №2. С. 18-22.

66. Исаков В.М. О единственности решения контактной обратной задачи теории потенциал а//Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8. №1. С. 30-40.

67. Исаков В.М. О единственности решения обратной задачи теории потенциала// ДАН СССР. 1979. Т. 245. №5. С. 1045-1047.

68. Казакова Л.Э. Теоремы единственности и устойчивости обратной задачи ньютоновского потенциала для звездных множеств // Изв. ВУЗов. Математика. 1963. №1. С. 85-93.

69. Калиткин H.H. Численные методы. М., 1978. 512 с.

70. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1972. 496 с.

71. Костин А.Б. Обратные задачи для математических моделей физических процессов. М: Изд-во МИФИ, 1991.

72. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. // Новосибирск: СО АН СССР, 1962, 92 с.

73. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск: Изд-во Института математики, 1999, 702 с.

74. Лаврентьев М.М. О задаче коши для уравнения Лапласа// ДАН СССР. 1955. Т. 102. №2. С. 205-206.

75. Лаврентьев М.М. О задаче коши для уравнения Лапласа// Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1956. Т. 20. №6. С. 819-842.

76. Лаврентьев М.М. К вопросу об обратной .задаче теории потенциала// ДАН СССР. 1956. Т. 106. №3. С. 389-390.

77. Лаврентьев М.М. О задаче Коши для линейных эллиптических уравнений второго порядка// ДАН СССР. 1957. Т. 112. №2. С. 195-197.

78. Лаврентьев М.М., Васильев В. Г. О постановке некоторых некорректных задач математической физики// СМЖ. 1966. Т. 7. №3. С. 559-576.

79. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.:Наука, 1980. 288 с.

80. Ландис Е.М. О свойствах решений эллиптических уравнений// ДАН СССР. 1956. Т. 107. №5. С. 640-643.

81. Ландис Е.М. Некоторые вопросы качественной теории эллиптических уравнений второго порядка (случай многих независимых переменных// УМН. 1963. Т.18. №1. С.3-62.

82. Ландсберг Г. С. Оптика. М.:Наука. 1976. 928 с.

83. Ланеев Е.Б. Об одной задаче продолжения потенциала в неодносвязную область.// Современные задачи математической физики и математическое обеспечение ЭВМ. Изд-во УДН. 1986. С.108-116.

84. Ланеев Е.Б. О задаче Коши для уравнения Лапласа в неодносвязной области.// Статистическая и квантовая физика и ее приложения. Изд-во УДН. 1986. С. 4956.

85. Ланеев Е.Б. Об одной линейной обратной задаче потенциала//Системы массового обслуживания и информатика.М.: Изд-во УДН. 1987. С. 134-140.

86. Ланеев Е.Б. О регуляризации некоторых операций векторного анализа // Методы функционального анализа в математической физике. М.: Изд-во УДН. 1987. С. 101-106.

87. Ланеев Е.Б. О функции Карлемана в задаче Коши для уравнения Лапласа в неодносвязной области.// Прямые и обратные задачи математической физики и функциональные пространства. Изд-во УДН. 1988. С. 86-93.

88. Ланеев Е.Б. О задаче Коши для уравнения Гельмгольца в неодносвязной области/ / Краевые задачи и пространства дифференцируемых функций. М.: Изд-во УДН. 1989. С. 19-30.

89. Ланеев Е.Б., Ловецкий К.П., Севастьянов Л.А. Обработка термограмм методом аналитического продолжения// Всесоюзная конф. "Вычислительная физика и мат. моделирование", Волгоград, 12-18 сент. 1988. Тезисы докладов. М.: Изд-во УДН. 1989. С. 61.

90. Ланеев Е.Б. Задача Коши для системы уравнений потенциального поля // Тезисы докл. XXVI научной конф. ф-та физ-мат. и естественных наук 14-19 мая 1990 г. М.: Изд-во РУДН. 1990. С. 42.

91. Ланеев Е. Б. Задача Коши для уравнения Лапласа и проблема аналитического продолжения температурных полей.// Математическое моделирование систем. М.:Изд-во УДН. 1990. С.33-40.

92. Laneev E. В. On ill-posed mixed problem for Laplace equation// Int. Conf. Сотр. Modelling and Computing in Physics. Dubna, Sept. 16-21, 1996. Book of Abstracts. JINR. Dubna. 1996.

93. Ланеев Е.Б., Васудеван Бхувана Об устойчивом решении одной смешанной задачи для уравнения Лапласа.//Вестник РУДН. Серия Прикладная математика и информатика. 1999. №1. С. 128-133.

94. Ланеев Е.Б. Устойчивое продолжение температурного поля с поверхности// VIII Белорусская Математ. Конфер. 19-24 июня 2000 г. Тезисы докладов меж-дунар.конф. Ч. 3. Минск. Изд-во Ин-та матем. НАН Беларуси. 2000. С.68.

95. Laneev Е.В., Zhidkov Е.Р. Stable method of potential field continuation//Second Inter. Conf. Modern Trends in Computational Physics. Dubna, July 24-29, 2000. Book of Abstracts. JINR. Dubna. 2000. P.109.

96. Ланеев Е.Б. О некоторых постановках задачи продолжения потенциального поля.//Вестник РУДН. Серия Физика. 2000. №8(1). С. 21-28.

97. Ланеев Е.Б. Устойчивое решение одной некорректно поставленной краевой задачи для потенциального поля.//Вестник РУДН. Серия Прикладная математика и информатика. 2000. №1. С.105-112.

98. Ланеев Е.Б. Двумерный аналог преобразования Гильберта в задаче продолжения потенциального поля.//Вестник РУДН. Серия Прикладная математика и информатика. 2001. №1. С.110-119.

99. Ланеев Е.В. О погрешности периодической модели задаче продолжения потенциального поля.//Вестник РУДН. Серия Физика. 2001. №9(1). с.4-16.

100. Laneev E.B., Zhidkov E.P. Stable method of potential field continuation//Journal Comput. Methods in Science and Enginering. 2002. Vol.2. №1-2. P. 181-188.

101. Ланеев E. Б., Муратов M. H. Об устойчивом решении одной смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа с приближенно заданной границей.// Вестник РУДН. Серия Математика. 2002. №9(1). С. 102-111.

102. Ланеев Е. Б., Лузгачева Е. В. Об устойчивом решении одной краевой задачи для системы уравнений потенциального поля.// Вестник РУДН. Серия Математика. 2002. №9(1). С.92-101.

103. Ланеев Е.В. Об особенностях применения метода Фурье при численном решении задачи продолжения потенциального поля. //Вестник РУДН. Серия Прикладная и компьютерная математика. 2002. №1(1). С.87-97.

104. Bobrikova Е. V., Laneev Е.В. and Zhidkov E.P. Stable potential field continuation from non-planar surface.// Abstracts of International Conference CMAM-1, July 20-24, 2003, Minsk, Belarus, p. 14.

105. Laneev E.B., Mouratov M.N, Zhidkov E.P. Analytical continuation of the temperature field measuured on an approximately defined surface.// Abstracts of International Conference CMAM-1, July 20-24, 2003, Minsk, Belarus, pp. 34-35.

106. Ланеев E. Б., Муратов M. H. Об одной обратной задаче к краевой задаче для уравнения Лапласа с условием третьего рода на неточно заданной границе.// Вестник РУДН. Серия Математика. 2003. №10(1). С. 100-110.

107. Ланеев Е.Б., Бобрикова E.B. О равномерном устойчивом приближении одной некорректной краевой задачи для системы уравнений потенциального поля.// Вестник РУДН, сер. Математика, 2003, №10(1), С. 8-16.

108. Ланеев Е.Б. Об устойчивом решении одной смешанной задачи для уравнения Лапласа с краевыми условиями второго рода //Вестник РУДН. Серия Прикладная и компьютерная математика. 2003. Т. 2. №2. С. 52-60.

109. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М., 1970. 336 с.

110. Леонов A.C. Об устойчивом решении обратной задачи гравиметрии на классе выпуклых тел// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1976. №7. с. 55-64.

111. Лыков A.B. Теория теплопроводности. М., 1967. 599 с.

112. Малкин Н.Р. Определение толщины однородногоматериального слоя, покрывающего сферу или плоскость по заданному потенциалу его// Труды Физико-математического института им. В.А.Стеклова. 1932. Т. 2. Вып. 4. С. 17-26.

113. Маловичко А.К. Об определении контактной поверхности гравиметрическим аномалиям// Прикладная геофизика. 1948. Вып. 4.

114. Маловичко А.К. Способ аналитического продолжения гравитационных аномалий// Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1952. №1. С. 35-39.

115. Марчук Г.И., Шайдуров В.В. Повышение точности решений разностных схем. М.:Наука. 1979. 320 с.

116. Мергелян С.Н. Гармоническая аппроксимация и приближенное решение задачи Коши для уранения Лапласа// УМН. 1956. Т. 11.№5. С.3-26.

117. Мирошников М.М., Алипов В,И., Гершанович М.А., Мельникова М.П., Сухарев В.Ф. Тепловидение и его применение в медицине. М., 1981. 184 с.

118. Морозов В.А. Регулярные методы решения некоррекно поставленных задач. М., 1987. 240 с.

119. Морозов В.А. Об одном устойчивом методе вычисления неограниченных операторов. //ДАН СССР, 1969, Т. 185, №2. С.267-270.

120. Недялков И.П., Бырнев П.Х. Аналитическое продолжение гравитационных аномалий// Изв. АН СССР. Сер. геофизич. 1963. №6. С. 922-935.

121. Недялков И. П. Редукция решений дифференциальных уравнений эллиптического типа// ДАН СССР. 1962. Т. 144. №4. С. 751-754.

122. Недялков И. П. Разделение потенциальных полей// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1965. №12. С. 31-44.

123. Недялков И. П. О решении обратной задачи теории потенциала методом подбора при помощи дисплея// ДАН СССР, 1970. Т. 193. №3. С. 576-578.

124. Недялков И. П. О некоторых некорректных задачах теории потенциала и их приложении в разведочной геофизике. София: Изд-во Волг. АН. 1978.

125. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Основы теории специальных функций. М., 1974. 304 с.

126. Новиков П. С. О единственности обратной задачи потенциала// ДАН СССР. 1938. Т. 19. №3. С. 165-169.

127. Оганесян С.М., Старостенко В. И. Тела нулевого внешнего гравитационного потенциала: о забытых работах и современном состоянии теории // Изв.АН СССР. Физика Земли. 1985. №3. С.49-62.

128. Остромогилъский А.Х. О единственности решения обратной задачи теории потенциала// ЖВМиМФ. 1969. Т. 9. №5. С. 1189-1191.

129. Остромогилъский А.Х. О единственности решения обратной задачи теории потенциала// ЖВМиМФ. 1970. Т. 10. №2. С. 352-361.

130. Привалов И.И. Интегральные уравнения. М.-Л.: ОНТИ 1937.

131. Прилепко А.И. Обратная задача метагармонического потенциала для тела, близкого к данному// Сиб. матем. журнал. 1965. Т. 6. №6. С. 1332-1356.

132. Прилепко А.И. Внешняя обратная задача объемного потенциала переменной плотности для тела, близкого к данному// ДАН СССР. 1969. Т. 185. №1. С. 40-42.

133. Прилепко А.И. Об единственности определения формы и плотности тела в обратных задачах теории потенциала// ДАН СССР. 1970. Т. 193. №2. С. 288291.

134. Прилепко А.И. О единственности решения внешней обратной задачах ньюто-нового потенциала// Дифференц. уравн. 1966. Т. 2. №1. С. 107-124.

135. Прилепко А.И. О единственности решения обратных задач метагармонических потенциалов// Дифференц. уравн. 1966. Т. 2. №2. С. 194-204.

136. Прилепко А.И. Об обратных задачах теории потенциала// Дифференц. уравн. 1967. Т. 3. №1. С. 30-44.

137. Прилепко А.И. Контактные обратные задачи обобщенных магнитных потенциалов// ДАН СССР. 1968. Т. 181. №5. с. 1065-1068.

138. Прилепко А.И. Об единственности определения формы тела по значениям внешнего потенциала// ДАН СССР. 1965. Т. 160. №1. С. 40-43.

139. Прилепко А.И. Существование решений обратных задач теории потенциала// ДАН СССР. 1971. Т. 199. №1. С. 30-32.

140. Прилепко А.И. О разрешимости обратной задачи объемного потенциала переменной плотности для тела, близкого к данному// СМЖ. 1970. Т. 11. №6. С. 1321-1332.

141. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала// Матем. заметки. 1973. Т. 14. №5. С. 755-767.

142. Рапопорт И.М. О плоской обратной задаче теории потенциала// ДАН СССР. 1940. Т. 28. №4. С. 305-307.

143. Рапопорт И.М. Об устойчивости в обратной задаче теории потенциала// ДАН СССР. 1941. Т. 31. №4. С. 303-306.

144. Самарский A.A. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент// Вестник АН СССР. 1979. №5. С. 38-41.

145. Симонов В. П. К вопросу об единственности обратной задачи потен-циала//Научные доклады высшей школьг. 1958. №6. С. 14-18.

146. Спичак В.В. Магнитотеллурические поля в трехмерных моделях геоэлектрики. М.: Научный мир. 1999. 204 с.

147. Сретенский Л.Н. Теория ньютоновского потенциала. M.-JI. 1946.

148. Сретенский Л.Н. О единственности определения формы притягивающего тела по значениям его внешнего потенциала// ДАН СССР. 1954. Т. 99. №1. С. 21-22.

149. Сретенский Л.Н. Об одной обратной задаче теории потенциала// Изв АН СССР. Сер. матем. 1938. Т. 2. №5-6. С. 551-570.

150. Старостенко В.И., Дядюра В.А., Заворотъко А.Н, об интерпретации гравитационного поля земли методом подбора// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1975. №4. С.78-85.

151. Старостенко В.И. Устойчивые численные методы в гравиметрии. Киев: Нау-кова думка. 1978. 228 с.

152. Старостенко В.И. Гравитационное поле однородных n-угольных пластин и порождаемых ими призм: обзор.// Физика Земли, 1998, №3. С.37-53.

153. Степанова И.Э. О восстановлении источника гравитационных масс в задачах типа структурных. Случай открытых римановых поверхностей.// Физика Земли, 2000, №6. С.92-96.

154. Степанова И.Э. О восстановлении источника гравитационных масс в задачах типа рудных. Случай компактных римановых поверхностей.// Физика Земли, 2000, №8, с.86-91.

155. Степанова Н.Э. О некоторых вариационных постановках обратной трехмерной задачи потенциала типа рудных.// Физика Земли, 2000, №12, с.67-72.

156. Степанова Н.Э. Об одном устойчивом алгоритме восстановления эллипсоидов.// Физика Земли, 2001, №11, с.101-106.

157. Страхов В.Н. Об условиях однозначного определения границ раздела двухмерных слоистых сред по данным гравитационных наблюдений// ДАН УССР. Сер. Б. 1975. №12.

158. Страхов В.Н. Эквивалентность в обратной задаче гравиметрии и возможности ее практического использования при интерпретации гравитационных аномалий// Изв. АН СССР. Физика Земли. 1980. №2. С.44-64.

159. Страхов В.Н. Эквивалентность в обратной задаче гравиметрии и возможности ее практического использования при интерпретации гравитационных аномалий// Изв.АН СССР. Физика Земли. 1980. №9. С.38-69.

160. Страхов В.Н. К теории обратной задачи логарифмического потенциала для контактных поверхностей// Изв. АН СССР. Физика Земли. 1974. №6. С. 39-60.

161. Страхов В.Н., Голъдшмидт В.И., Калинина Т.Е. Состояние и перспективы развития в СССР теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий// Изв. АН СССР. Физика Земли. 1982. №5. С. 11-30.

162. Страхов В.Н. Об одной обратной задаче теории логарифмического потенциала // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1965. №1. С. 90-97.

163. Страхов В.Н. К теории интерпретации магнитных и гравитационных аномалий на основе аналитического продолжения// ДАН СССР. 1967. Т. 176. №5. С. 10591062.

164. Страхов В.Н. О вычислительных схемах для аналитического продолжения потенциальных полей I // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1961. №2. С. 215-223,

165. Страхов В.Н. О вычислительных схемах для аналитического продолжения потенциальных полей II // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1961. №3. С. 349-359.

166. Страхов В.Н. О вычислительных схемах для аналитического продолжения потенциальных полей III // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1961. №9. С. 1290-1313.

167. Страхов В.Н., Голиздра Г.Я., Старостенко В.И. Развитие теории и практики интерпретации потенциальных полей в XX веке.// Физика Земли, 2000, №9, с.41-64.

168. Страхов В.Н. К теории аналитического продолжения двухмерных полей методом конформных решеток// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1971. №11. С. 40-60.

169. Страхов В.Н. Теория аналитического продолжения двухмерных потенциальных полей в области нижней полуплоскости// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1972. №11. С. 38-55.

170. Страхов В.Н. Об аналитическом продолжении двухмерных потенциальных полей в произвольные области нижней полуплоскости, примыкающие к оси ох// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1970. №6. С. 35-52.

171. Страхов В.Н. Некоторые основные проблемы линейного анализа аномальных потенциальных полей// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1974. №7. С. 43-53.

172. Страхов В.Н. Интерпретационные процессы в гравиметрии и магнитометрии это реализация единого аппроксимационного подход. I. Основные идеи и конструктивные принципы.// Физика Земли. 2001. №10. С.3-18.

173. Страхов В.Н. Становление новой парадигмы это разрушение господствующего стереотипа мышления (на примере гравиметрии и магнитометрии).// Физика Земли, 2002, №3. С.3-20.

174. Страхов В.Н., Керимов И.А. Аппроксимационные конструкции спектрального анализа (Р-аппроксимация) гравиметрических данных.// Физика Земли, 2001, №12. С.3-20.

175. Страхов В.Н. Аналитическое продолжение двухмерных потенциальных полей и его использование для решения обратной задачи магнитной и гравитационной разведки, i// Изв. АН СССР. Сер. геофизич. 1962. №3. С. 307-316.

176. Страхов В.Н. Аналитическое продолжение двухмерных потенциальных полей и его использование для решения обратной задачи магнитной и гравитационной разведки, и// Изв. АН СССР. Сер. геофизич. 1962. №3. С. 336-347.

177. Страхов В.Н. Аналитическое продолжение двухмерных потенциальных полей и его использование для решения обратной задачи магнитной и гравитационной разведки, iii// Изв. АН СССР. Сер. геофизич. 1962. №4. С. 491-505.

178. Страхов В.Н. Об одной задаче аналитического продолжения// Изв. ВУЗов. Геология и разведка. 1970. №6. С. 126-131.

179. Страхов В.Н. Об обратной задаче логарифмического потенциала для контактной поверхности// ДАН СССР. 1971. Т. 200. №4. С. 817-820.

180. Страхов В.Н. Об аналитическом продолжении двухмерных потенциальных полей во внешность произвольной односвязной области из нижней полуплоскости// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1972. №8. С. 48-63.

181. Страхов В.Н. Некоторые основные проблемы линейного анализа аномальных потенциальных полей// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1974. №7. С. 43-53.

182. Судаков В.Н., Халфин Л.А. Статистический подход к корректности задач математической физики// ДАН СССР. 1964. Т. 157. №5. С. 1058-1060.

183. Тарханов H.H. О матрице Карлемана для эллиптических систем// ДАН СССР. 1985. Т. 284. т. С. 294-297.

184. Тихонов А. Н. об устойчивости обратных задач// ДАН СССР. 1943. Т. 39. №5. С. 195-197.

185. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. Применение метода регуляризации в нелинейных задачах//ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5. №3. С. 463-473.

186. Тихонов А.Н., Гласко В.Б., Литвиненко O.K., Мелихов В.Р. О продолжении потенциала в сторону возмущающих масс на основе метода регуляризации// Изв. АН СССР. Физика Земли. 1968. т. С. 30-48.

187. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

188. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. О применении метода регуляризации в задачах геофизической интерпретации// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1975. №1. С. 38-47.

189. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. О приближенном решении интегральных уравнений I рода //ЖВМ и МФ. 1964. Т. 4. №3. С. 564-571.

190. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М., 1972. 736 с.

191. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов A.A. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987. 160 с.

192. Тихонов А.Н., Гончарский A.B., Степанов В.В, Ягола А.Г. Регуляризующие алгоритмы и априорная информация. М., 1983. 198 с.

193. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации// ДАН СССР. 1963. Т. 151. т. С. 501-504.

194. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач// ДАН СССР. 1963. Т. 153. №1. С. 49-52.

195. Тодоров И. Т., Зидаров Д. О единственности определения формы притягивающего тела по значениям его внешнего потенциала// ДАН СССР. 1958. Т. 120. №2. С. 262-264.

196. У рев M.B. Об осесимметричной задаче Коши для уравнения Лапласа// ЖВ-МиМФ. 1980. Т. 20. №4. С. 939-947.

197. Федотов A.M. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск. 1982. 189 с.

198. Хемминг Р. В. Численные методы для научных работников и инженеров. М.: Наука. 1968.

199. Цирульский A.B. О единственности решения обратной задачи потенциала // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1969. №6. С.60-65.

200. Цирульский A.B. О связи задачи об аналитическом продолжении логарифмического потенциала с проблемой определения границ возмущающей области// Изв. АН СССР. Сер. геофизич. 1964. №11. С. 1693-1696.

201. Цыкалов E.H., Петров A.B., Тараторин A.M., Кузнецова Г.Д., Королева В.И. Исследование собственных температурных полей, связанных с возбуждением коры большого мозга крысы// ДАН СССР. 1984. Т. 278. №1. С. 249-252.

202. Чудов Л.А. Разностные методы решения задачи Коши для уравнения Лапласа// ДАН СССР. 1962. Т. 143. №4. С. 798-801.

203. Шашкин Ю.А. О единственности в обратной задаче теории потенциала// ДАН СССР. 1957. Т. 115. №1. С. 64-66.

204. Шашкин Ю.А. Теоремы единственности и устойчивости обратной задачи логарифмического потенциала// Матем. сборник. 1964. Т. 63. №2. С. 216-226.

205. Шишатский С.П., Фаязов К.С. Об операторе Карлемана для эволюционного уравнения эллиптического типа. Препринт №81 ВЦ СО АН СССР. Новосибирск. 1977. 14 с.

206. Штейншлегер В.Б., Мисежников Г.С., Сельский А.Г. об одном радиофизическом методе обнаружения температурных аномалий внутренних органов человека// УФН. 1981. Т. 134. №1. С. 163-164.

207. Ярмухамедов Ш. О задаче Коши для уравнения Лапласа// ДАН СССР. 1977. Т. 235. №2. С. 281-283.

208. Ярмухамедов Ш. Формула Грина в бесконечной области и ее применение // ДАН СССР. 1985. Т. 285. №2. С.' 305-308.

209. СаНемап Т. Les fonctions quasi analytiqies. Paris. 1926.

210. John F. A note on «improper» proBlems in partial differential equations// Comm. pure and appl. math. 1955. v. 8. №4. p. 591-594.

211. Payne L.E. Bounds in the Cauchy proelem for the Laplace equation// Arch, rational, mech. anal. 1960. v. 5. №1. p. 35-45.

212. NewMan D.J. Numerical method for solution of an elleptic Cauchy ргов1ет// J. Math, and Phys. 1960. V. 39. №1. P. 72-75.

213. Plis A. Non-uniquness in Cauchy's problem for differential equations of elliptic type// J.Math, and Mech. 1960. V.9. №4. pp. 557-562.

214. Pucci C. Sui proelemi Cauchy non 'ben posti'// Atti Accad. naz. Lincei. Rend. CI. sci. fis., mat. e natur. 1955. Serie 8. V. 18. P. 473-477.

215. Pucci C. Discussione del proelema di Cauchy pur le equazioni di tipo elliptico// Ann. mat. pura ed appl. 1958. Serie 4. V.40. P. 131-153.

216. Stainov G., Nedyalnov I., Vitnov A., Usunov V. Separation of potenTial fields// Докл. Болг. АН. 1967. Т. 20. №8. С. 767-770.

217. Stainov G., Nedyalnov I. Analogue device computing the Cauchy problem for Laplace equations// Докл. Болг. АН. 1967. Т. 20. №8. С. 767-770.