автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Устойчивое решение обратной задачи термографии как смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа с данными на приближенно заданной поверхности

На правах рукописи

Муратов Михаил Николаевич

УСТОЙЧИВОЕ РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕРМОГРАФИИ КАК СМЕШАННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА С ДАННЫМИ НА ПРИБЛИЖЕННО ЗАДАННОЙ ПОВЕРХНОСТИ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2006

Работа выполнена в Российском университете дружбы народов, г Москва

Научный руководитель-

Официальные оппоненты-

Ведущая организация-

доктор физико-математических наук, доцент

Ланеев Евгений Борисович

доктор физико-математических наук, профессор

Вабищевич Петр Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент

Жидков Евгений Николаевич

Московский инженерно-физический институт

Защита диссертации состоится «07» апреля 2006 г в 16 ч 00 мин на заседании диссертационного совета К 217.203 08 в Российском университете дружбы народов по адресу 117419, г. Москва, ул Орджоникидзе, д 3

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Российского университета дружбы народов по адресу 117198, г Москва, ул Миклухо-Маклаи, д б

Автореферат разослан < ^__» марта 2006 г

Учёный секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

Фомин М Б

^ъАг

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

Обратные задачи восстановления структуры объектов по косвенным данным возникают в тех случаях, когда внутренняя структура объекта по тем или иным причинам недоступна прямому исследованию, в то время как косвенная информация о структуре объекта может быть получрна в виде порождаемых этой структурой пространственного распределения физических нолей, собственных или полученных как отклик на внешнее воздействие, и которые могут быть измерены. Среди таких задач обратные задачи грофизики, разнообразные обратные задачи теплообмена, электрокардиографии, электроэнцефалографии, томографии и другие. В рамках выбранных физических и математических моделей такие задачи формулируются обычно в виде обратных задач, отличительной особенностью которых, как правило, является их некорректность. Методы решения некорректно поставленных задач активно развивались с начала 60-х годов 20-го века и. прежде всего, в трудах советских .математиков А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, В.К.Иванова, В Н Страхова, В Я Ари-нина, В.Б.Гласко и их учеников

В диссертационной работе в прикладном плане рассматриваются обратные задачи, воэникающие в термографии При тепловизиопных исследованиях нагретых теплолроводящих объектов, излучающих в инфракрасном диапазоне, «снимок» температурного поля с поверхности объекта, как правило, служит материалом для непосредственной интерпретации с целью идеигификации внутренней структуры (или ее аномалий) При чтом воспроизведение внутренней структуры термограммой искажено как за счет ее относительной удаленности от поверхности тела, так и на счет неровностей поверхности. Для более точной интерщнтации необходима коррекции изображения, и па актуальная практическая проблема решается в диссертации на основе продолжения стационарного (гармонического) температурного поли с поверхности в область, близкую к структурным нсоднородногтям. Термограмма, полученная в результате такою продолжения как след температурного ноля на некоторой поверхности вблизи структуры, может рассматриваться как ее уточненное

РОС. НАЦИОНАЛ«'! \'ч БИБЛИОТЕКА | С.Петербург [о Л, « ОЭ шкг &

изображение.

В математическом плане проблема гармонического продолжения сводится в диссертации к решению некоторой некорректно поставленной смешанной краевой задачи, структурно близкой к задаче Коши для уравнения Лапласа, с данными Коши на поверхности произвольного вида. Конструктивные методы решения задачи Коши для уравнения Лапласа были предложены в работах ГМ Голузина, В.И.Крылова, В.К.Иванова, М М.Лаврентьева, П.Н.Вабищевича, Л.А.Чудова, Ш Ярмухамедова, ТКарлемана, К.Пуччи, Д.Дж.Неймана, ДжЛ.Лионса и др. Задачи такого рода ранее, как правило, решались в простых областях, допускающих разделепие переменных. В более общих случаях используется метод фупкции Карлемана, которая, как правило, имеет сложный вид и затрудняет проведение численных расчетов Потребность в решении прикладных задач приводит к необходимости построения эффективных алгоритмов численного решения задач Коши для уравнения Лапласа и аналогичных ей некорректных задач с данными на произвольных поверхностях. Данные о поверхности, как и данные Коши, являясь результатом измерений или моделирования, как правило, известны с некоторой погрешностью, что требует построения устойчивых методов решения некорректных смешанных задач с неточными данными на приближенно заданпых поверхностях Таким обратом, актуальна проблема развития математического аппарата для устойчивого численного решения таких некорректных краевых задач

Цель работы

Цель работы заключается в решении следующих задач:

1. Выбор и анализ математической модели, допускающей решение обратной задачи термографии о восстановлении внутренней структуры объекта по измеренному температурному полю на поверхности в рамках концепции аналитическою продолжения как смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа

2 Постановка, обоснование и численное исследование задачи вычисления нормали к приближенно заданной поверхности в приложении к смешанной краевой задаче для уравнения Лапласа с данными иа поверхности общего вида.

3. Построение и исследование устойчивого приближенного решения смешанной краевой задачи с неточными данными Коши на поверхности произвольного вида, заданной приближенно

4 Разработка и обоснование эффективных численных алгоритмов решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа с данными на поверхностях общего вида методом дискретного ряда Фурье.

5 Применение разработанных алгоритмов к решению модельных и практических задач термографии методом аналитического продолжения температурного поля.

Методы исследования

В работе использовались методы теории уравнений с частными производными, методы регуляризации некорректно поставленных задач, а также средства современного вычислительного эксперимента.

Научная новизна работы

1. Впервые дано у<тойчивое решения задачи пост}юения нормали к поверхности, заданной приближенно

2. Разработан новый эффективный метод устойчивого численно!« решения некорректной смешанной задачи для уравнения Лапласа с данными на поверхности общего вида, заданной приближенно

3 Разработана новая методика математической обработки термографических данных на основе аналитического продолжения стационарных гармонических температурных полей, учитывающая форму поверхносги измерений

Практическая ценность работы

Диссертация носит теоретический и прикладной харак1ер Разрабоханныс алгоритмы продолжения температурного поля могут применяйся для обработки термограмм - термографических (тепловизионных) изображений или термографических данных, полученных другими измерительными средствами, с целью повышения разрешающей способности термографических изображений и повышения их интерпретационных возможностей, а также для математической обработки данных о других физических полях, описываемых гармоническими функциями.

Апробация работы

Полученные в диссертации результаты докладывались на XXXVIII, XXXIX и Х1Л Всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. Российский университет дружбы народов (Москва, 2002, 2003, 2005), V Международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002). Международной конференция «Вычислительные методы в прикладной математике» (Минск. 2003), семинаре лаборатории вычислительной физики и математического моделирования под руководством профессора Е П Жидкова и щюфессора Л.А.Севастьянова в РУДН, семинаре кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа в РУДН, семинаре профессора Е П Жидкова в ЛИТ(ЛВТА) ОИЯИ, семинаре кафедры прикладной математики МИФИ, семинаре НИВЦ МГУ по обратным задачам математической физики под руководством профессора А Г.Яголы, про<|>ессора А.Б.Бакушинского, профессора А. В .Тихонравова.

Публикации

Но материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, четырех гнав и заключения, содержит 25 рисунков, список цитированной литературы содержит 181 наименование. Объем диссертации - 161 страница машинописного текста.

Краткое содержание диссертации

Во введении обосновывается актуальность тематики диссертации, формулируются цели исследования, излагается краткое содержание каждой главы диссертации.

Первая глава посвящена выбору математической модели задачи аналитически!'!) продолжения стационарного температурного поля. В первом параграфе описывается техника тепловидения, ее физические основы, принцип работы тепловизора, схема получения термографиче< ких изображений исследуемых объектов Во втором параграфе могивируечся выбор математической модели в виде смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона, являющейся основой для построения обрашой задачи

Рассматривается стациопарное температурное поле и в однородном теплонроводящем теле

D(F, оо) = {(х, у, z) : 0 < х < tx, О < у < F(x, у) < z < оо}, имеющем форму цилиндра прямоугольного ссчсния, ограниченного поверхностью S = {(я,у,г) . О < х < 1Х, 0 < у < /„, z = F(x,y)},

F е С2(п), п = [о, ix] ® [о, 1У],

и содержащем источники тепла плотности р, не зависящей от времени:

Ди(М) = -4ттр(М), М € D(F, оо),

= 0, и|з-=;1 = 0, и|м=0 = 0, и\уыу = 0, (2)

it —* 0 ири z —> оо.

Предполагается, что на боковых гранях поддерживается постоянная температура (для простоты равная нулю), а на поверхности 5 имеет место конвективный

теплообмен ( внешней средой нуиевой температуры, описываемый законом Ньютона и приводящий к условию третьего рода

ди дтг

— -hu

s

(3)

Для моделирования эталонных решений «прямой» задачи проведена редукция задачи (2)-(3) к интегральному уравнению первого рода для ею последующею численного решения. Приведено решение прямой задачи (2)-(3) в янном виде в случае, когда поверхность S являезся плоское imo. В третьем параграфе с рамках сформулированной модельной задачи (2)-(3) ставится обращая задача

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА. Путь в рамках модели (2)-(3) задано граничное гиачение

« = fis-

Требуется определить неизвестную плотность р. При этом мы будем считать, что как функция /, так и поверхность S. на практике представляющие собой результагы измерений, заданы приближенно.

Показана гнязь поставленной обратной задачи с обратной задачей потенциала. Отмечены (рудности на пути решения обратной задачи потепииана обсуждайся (цюблема единственности решения и проблема ею устойчивости, указывается на относительную узость классов единственно!ти. в которых может быть построено 1>ешение обратной задачи потенциала. Дан обзор литературы по этой теме Вместе с тем отмечается, что в ряде случаев для практических целей бывает достаточно иметь неполную информацию об исследуемом объекте, например, характерные параметры формы носителя плотности р, распределение особенностей решения, или же, в случае, когда уже есть некоторая априорная информация о структуре объекта, исследовать аномалии в »той структуре В четвертом параграфе показано, что в смысле неполного решения задача восстановления плотности може-i быть решена в рамках концепции продолжения гармонической функции в область вне источников Дается обзор методов аналитического продолжения В заключение параграфа гадача продолжения в рамках моде ни (2)-(3) формулируется в виде смешанной краевой

задачи для уравнения Лапласа в области, не содержащей источники' Дг/(М) =0, М € £>(Р, Я), и|5 = /,

«¡«о = 0, и\х=и = 0, и\у=0 = 0, и|„=1„ = О, Я) =-- {(х, у, г) : 0 < х < 1Х, 0 < у < 1у, Р(х, у) < г < Я},

(5)

поверхность 5 имеет вид (1) Предполагается, что источники плотности р располагаются в области г>Н Задача (4) структурно близка задаче Коти для уравнения Лапласа и некорректно поставлена.

Во второй главе построено устойчивое приближенное решение сметанной краевой задачи для уравнения Лапласа с данными Коши на приближенно заданной поверхности общего вида. В первом параграфе приведен обзор методов решения задачи Коши для уравнения Ланласа, отмечено, что существующие методы разработаны, как правило, для довольно простых областей (и преимущественно двумерных), допускающих разделение переменных, для более общих постановок, в том числе трехмерных, предда1ается использовать, например, ¿пиара! функций Карлемана, которые в общем случае могут иметь сложный вид, существенно затрудняющий вычисления, в то время как практические исследования требуют наличия эффект ивных численных методов решения трехмерных задач, при этом необходимо учитывать, что входные данные для таких задач, включая данные о поверхности, представляют собой результаты измерений, то есть, являются приближенными Во втором параграфе в явном виде приведено точное решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа в общей постановке

где П(Е, Н) и Я имеют вид (5) и (1) соответственно, ошованиое на приведении ее к интегральному уравнению Фредгольма первого рода Отмечена проблема

Аи(М) = 0, М е 0(Р, Н),

«и = /,

ди

(6)

и|*-0 = о, и\х=1х = 0, и|И=о - о, = 0,

неустойчивости «ого решения В третьем параграфе на основе метода регуляризации Тихонова с использованием схемы, описанной во втором параграфе, приведена схема построения приближенного решения, устойчивого к погрешностям в данных Коши, таких, что

II/ -/II <6. \\д5-д\\<5. (7)

Приближенное устойчивое решение задачи Коши при этом имеет вид

<{М) = уЦМ) - Ф\М), М е Я), (8)

« ii / \

21г./ч? + чД L

7гпхм . жтум

Sin-—;-, (9)

—. , + ae2"fi+i """ L ..... 1»

Ф\М) = - J[с/*(Р)<р(М,Р) - f*(P)$L(M, P)]dcrp, (10)

2

У n.I't—1

e V '»

/п2 , m2

V 'ü

7ГП.ГЛ, тппум ЖПХр . ктур „,,

xsm—-—sm—--sin——sm———, (11)

'j tj, ty

Ф«т(я) ~ коэффициенты Фурье функции Ф*(М)|м<-ща) па уровне z—a, а < min F(i, у), облас ть D(FН) имеет иид (5), а - параметр регуляри <ации.

(х,»)6Н

Сформулирована теорема о равномерной «"ходимости приближенною решения задачи Коши к точному В четвертом параграфе, имея в к иду приложения рассматриваемой задачи и считая, что поверхность S задается на основе измерений, то есть, приближенно, ставится задача вычисления нормали к такой поверхности Эта задача появляется в ходе решения смешанной краевой задачи при вычислении интеграла (10), содержащего нормаль к этой поверхности:

J [о^РЫМ.РЫР)-fs(P)(VMM,P),ni(P))\fHPdyP, (12)

ф*(

п

где ненормированная на единицу нормаль имеет вид

«Ii

Задача вычисления нормали некорректно поставлена как задача дифференцирования неточно заданной функпии Построено приближенное устойчивое решение -этой задачи, основанное на подходе В А Морозова к задаче вычисления значений неограниченного оператора. В случае, когда поверхность 5 вида (1) задается с некоторой погрешностью, а именно - вместо точной функции К задана функция Р41 такая, что

(13)

в качестве приближения к функции У/1', вычисляемого по известной функции Р", связанной с Р условием (13), будем использовать градиент от экстремали И^ функционала Тихонова

и, т.о. для приближенного значения нормали получена формула

< = (14)

Доказана теорема о сходимости приближенной нормали к точной при /<(//.) -- —-— ■

цдлг

Пятый параграф объединяет результаты предыдущих двух параграфов В нем в явном виде построено приближенное устойчивое решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа (6) для случая неточных данных Коши (7) на приближенно заданной границе (13), отличающееся от решения (8) (11) приближенно вычисленной нормалью В общем виде сформулирована и доказана - с учетом неточных данных Коши на неточной границе - теорема о равномерной сходимости приближенного устойчивого решения смешанной краевой задачи (6) к точному В шестом пара!рафе получено приближенное устойчивое решение >,адачи продолжения температурного поля (4) как смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа (6) при д* = -/г/\ приближенное устойчивое решение которой было построено в пятом параграфе

Доказана теорема о равномерной сходимости приближенного устойчивого решения задачи продолжения температурного ноля к точному.

В третьей главе разработаны и обоснованы вычислительные алгоритмы решения прямых и обратных задач, рассматриваемых в диссертации. В первом параграфе указывается на необходимость дискретизации задачи для ее численного решения, вводится равномерная сетка, интегралы заменяются интегральными суммами, ряды Фурье, которые использовались во второй главе при решении смешанной краевой задачи (6), заменяются конечными рядами Фурье, что позволяет пользоваться аппаратом дискретных рядов Фурье Во втором параграфе проведена дискретизация смешанной крарвой задачи (6) при условии использования точных входных данных, сделан переход к конечным рядам, получены оценки дискретизации задачи В грстьем параграфе предложен и обоснован экономичный метод вычисления коэффициентов Фурье решения смешанной краевой задачи (6). В четвертом параграфе проведена дискретизация задачи вычисления нормали к поверхности, эаданной приближенно, получены оценки разности приближенной и точной нормали, доказана сходимость нриближенног о решения к точному. В пятом параграфе проведена дискретизация смешанной краевой задачи (6) при условии использования приближенно заданной поверхности и данных Коши на пей, получено приближенное устойчивое ее решение- -Ф*"'"т(х„%,2), (х„У],г) е (15)

N¿„«ит, . »•/ттт-'Зг (--а)

= £ Е Ф- (а)С/-1' , ' зт^аш^р, (16)

Ф^{х„У},г) = -^Г £ Ё [¡Л*,,

3=1

1 т=1

1 + 0

[(^)^(^)5

Помучены оценки дискретизации задачи Сформулирована георема о равномерной сходимости устойчивого приближенного решения смешанной краевой задачи к точному. Для вычисления коэффициентов Фурье функции Ф6>'мт (17) при дискретизации задачи в случае приближенно заданной поверхности и данных Коши на ней получены формулы, сводящие порядок операций с (МГЫУ)\ что обусловлено наличием под знаком сумм (17) двойных рядов Фурье, до В шестом

параграфе полученные результаты использовапы для построения вычислительных алгоритмов решения задачи продолжения стационарного температурного поля (4). В седьмом параграфе приведены вычислительные алгоритмы решения прямых модельных задач, приведены дискретные формулы для модеиирования потенциала и его нормальной производной, получены дискретные формулы для решения прямой задачи (2) для формирования температурного поля на плоской поверхности, для случая неплоской поверхности предложен алгоритм построения численного решения. Эти решения используются в че> вертой главе в качестве исходных данных при решении задачи продолжения стационарного температурного поля.

В четвертой главе приведены результаты вычислительного эксперимента. На основе расчетных формул, полученных в третьей главе, проведен вычислительный эксперимент ни модельных примерах, приведен пример обработки реальных данных термограммы, полученной при тепловнзиоином исследовании В нервом параграфе описан вычислительный эксперимент, решения смешанной краевой задачи с использованием а качестве данных Коши потенциала и ею нормальной производной от четырех точечных источников Демонстрируется чффекгивность разработанных регуляризирующих алгоритмов визуальным разделением источников при продолжении как с плоской, гак и неплоской поверхности, нешюская поверхнос1ь в этом случае предполагается нечочпо заданной В третьем параграфе приведены результаты численного решения прямых модельных задач термографии, коюрые в четвертом параграфе используются в качепве данных для численного решения задачи продолжения темперагурпого поля При решении задачи продолжения в данные о поверхности, на кторой ставятся условия Коши, и и сами ус иония Коши предварите и ьмо вносится погрешность Сравнение с решением прямой задачи вблизи

источников показывает эффективноеп> алгоритмов, разработанных в третьей главе В пятом параграф приведены результаты обработки реальных данных Все расчеты, описанные в четвертой главе, сопровождаются рисунками.

В заключении перечислены основные оригинальные результаты, полученные авюром.

На защиту выносятся следующие результаты

1. Построено и исследовано устойчивое численное решение задачи восстановления нормали к приближенно заданной поверхности.

2 На основе решения задачи о построении нормали к поверхности построено устойчивое решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа для данных Коши на приближенно заданной поверхности. Доказана теорема сходимости приближенного решения к точному.

3 Предложены экономичные алюритмы численного решения методом дискретного ряда Фурье задачи продолжения «тдционарного 1емпературного поля как смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа

4 Эффективность вычислительных алгоритмов показана в вычислительном эксперименте по решению модельных задач и применением к решению практических задач термографии.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

|1| Laneev Е.В., Mouratov M N, Zhidkov E P. On stable solution for a mixed boundary-value problem for Laplace equation with inexact data on an aproximately defined boundary// V Intern Congress on Math Modelling Sept 30-0ct G, 2002. Dubna. Book of abstracts. Vol.1.Dubna. JINR. 2002 P. 183

(2) Ланеев E Б , Муратов M. H Об устойчивом решении одной смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа с приближенно заданной границей.// Вестник РУДН Серия Математика. 2002 №9(1). С. 102-111

[3| Ланеев E.B, Муратов M.I1 Об устойчивом решении одной смешанной некорректно поставленной задачи для уравнения Лапласа с данными на возмущенной границе //'XXXVIIl Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии Москва 14-17 мая 2002 г. С 20.

[4] Laneev Е В., Mouratov M.N, Zhtdkov Е.Р Analytical continuation of the temperature field measuured on an approximately defined surface.// Abstracts of International Conference CMAM-1, July 20-24, 2003, Minsk, Belarus, pp. 34-35.

|5) Лансев E. В., Муратов M. Я Об одной обратной задаче к краевой задаче для уравнения Лапласа с условием третьего рода на неточно заданной границе // Вестник РУДН Серия Математика. 2003 №10(1) С. 100-110

[6] Myjxirnoe М Н Численное решение задачи продолжения температурного поля с поверхности, заданной приближенно. //ХХХТХ Все[>осеийекая конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Москва 21-25 апреля 2003 г С.46.

[7] Муратов М.Н. О некоторых эффективных численных алгоритмах решения задачи продолжения температурного поля методом дискретного ряда Фурье. //X Г Л В<еросс ийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Москва 18-22 апреля 2005 г. С.28-29.

*

I I

L

Отпечатано в ООО «Оргсервис-2000» Подписано в печать 2%. 02,200^г Объем пл.

Формат 60x90/16. Тираж {00 экз. Заказ № гч/ог -¥У 115419, Москва, Орджоникидзе, 3

Муратов Михаил Николаевич Устойчивое решение обратной задачи термографии как смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа с данными на приближенно заданной поверхности

В диссертационной работе в прикладном плане рассматриваются обратные задачи, возникающие в термографии При тепловизионных исследованиях воспроизведение внутренней структуры термограммы искажено как за счет ее относительной удаленности от поверхности тела, так и за счет неровностей поверхности В диссертации предлагается метод коррекции тепловизнонного изображения, основанный на продолжении стационарного температурного поля с поверхности в область, близкую к структурным неоднородности м Математически проблема обработки термограмм сведена к некорректно поставленной смешанной краевой задаче для уравнения Лапласа, особенностью кото1Юй, имея в виду ее прикладной характер, является приближенное задание исходных данных на неточно заданной поверхности Предложен устойчивый метод решения этой задачи, включающий как составную часть решение задачи об устойчивом построении нормали к поверхности, заданной приближенно Численный эксперимен! показывает эффективность вычислительных алгоритмов, разработанных на основе предложенного метода

Michael Mouratov

Stable solution of a thermography inverse problem stated as a mixed boundary-value problem for Laplace equation with boundary conditions on an approximately defined surface

The paper considers inverse pioblems arising ш thermography. Thermogram reproducing the internal structure of an object may be skewed due to the distance between the internal structure and the surface on which thermal image is taken as well as to specific features of the surface shape The papei offers an approach to thermal images correction based on stationary temperature held continuation from the surface int.o the domain which is close to structural non-homogeneities The problem of thermal images correction mathematically reduced to an ill-posed mixed boundary-value problem for Laplace equation The special feature of the problem is that approximate initial conditions are given on an approximately defined surface. A stable method of solving the stated problem including as a component part of it solving the problem of building stable normal to an approximately defined surface is proposed Numei к al experiment shows efficiency of calculation algorithms developed on the proposed method

P - 4 5 4 2

Введение.

Глава 1 Постановка задачи.

1.1 Техника тепловидения.

1.2 Математическая модель.

1.3 Постановка обратной задачи и ее связь с обратной задачей потенциала

1.4 Решение обратной задачи в рамках концепции аналитического продолжения гармонического стационарного температурного поля.

Глава 2 Построение устойчивого приближенного решения обратной задачи термографии как смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа.

2.1 Задача Коши для уравнения Лапласа. Методы решения

2.2 Постановка смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа. Схема построения точного решения в случае данных Коши на поверхности произвольного вида.

2.3 Построение устойчивого решения в случае неточных данных на точно заданной границе.

2.4 Приближенно заданная поверхность. Вычисление нормали

2.5 Устойчивое приближенное решение в случае неточных данных на приближенно заданной границе.

2.6 Решение задачи продолжения температурного поля как смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа.

Глава 3 Вычислительные алгоритмы.

3.1 Использование дискретных рядов Фурье для решения задачи

3.2 Дискретизация задачи и ее обоснование для точных данных

- функций /, д и поверхности S.

3.3 Вычисление коэффициентов Фурье функции Ф.

3.4 Численные алгоритмы вычисления нормали к поверхности, заданной приближенно.

3.5 Дискретизация задачи при неточно заданных входных данных и поверхности.

3.6 Схема численного решения задачи (2.2.4).

3.7 Вычислительные алгоритмы решения модельных задач

3.7.1 Вычисление потенциала для решения модельной задачи продолжения потенциала.

3.7.2 Моделирование прямой задачи для формирования температурного поля.

Глава 4 Вычислительный эксперимент.

4.1 Численное решение задачи смешанной краевой задачи в случае продолжения потенциала.

4.1.1 Случай плоской границы.

4.1.2 Случай неплоской границы.

4.2 Приближенно заданная поверхность. Вычисление нормали к поверхности.

4.3 Решение прямой модельной задачи термографии.

4.4 Численное продолжение заданного температурного поля с неточной поверхности.

4.5 Обработка термографических изображений.

Применение вычислительной техники к решению прикладных задач привело к формированию по существу нового инструмента научного исследования - вычислительного эксперимента, - что в свою очередь привело к формированию нового направления в научных исследованиях революция в вычислительной технике позволила перейти на качественно новый уровень сложности решаемых задач и, что не менее важно - уровень представления результатов. Вместе с тем возрастает значение квалифицированного проведения вычислительного эксперимента с обоснованным выбором модели и алгоритмов и их коррекции. Потенциал современной вычислительной техники позволяют говорить о возможности все более глубокой обработки результатов измерений в рамках все более усложняющихся физических и математических моделей. В частности, это относится к исследованиям структуры и состояния объектов по косвенной (измеряемой) информации. Проблема обработки данных с такой целыо математически как правило формулируется в виде обратных задач математической физики [38,68], которые ставятся в рамках той или иной физической модели. Характерный пример задач такого рода - обратные задачи геофизики [37,104,123,133,139] - задачи определения структуры земной коры по измеряемым физическим поля, связанным с этой структурой.

Состоятельность задачи в смысле реальной возможности ее решения, то есть в конечном счете - возможности вычисления и представления результата определяется понятием корректности [62,69,151]. Особенность обратных задач состоит в том, что они, как правило, некорректно поставлены [37, 70,75,151] в естественных классах. Вместе с тем в ряде случаев для таких задач удается найти более узкие классы - единственности и устойчивости - определяемые некоторыми условиями. Существование таких классов позволяет отнести некорректную задачу к числу условно корректных [70]. Конструктивный учет дополнительных условий в применении к решению таких задач приводит к получению регуляризирующих алгоритмов их решения [151], не выводящих решения за пределы указанных классов.

Определенный круг обратных задач составляют задачи восстановления структуры объектов по косвенным данным. Такие задачи возникают в тех случаях, когда внутренняя структура объекта по тем или иным причинам недоступна прямому исследованию, в то время как косвенная информация о структуре объекта может быть получена в виде порождаемых этой структурой пространственного распределения физических полей, собственных или полученных как отклик на внешнее воздействие, которые могут быть измерены. Среди таких задач разнообразные задачи теплообмена [3], задачи электрокардиографии [174], электроэнцефалографии [52], томографии [155] и другие. С 80-х годов внимание исследователей привлекли собственные физические поля биологических объектов [41-43,159,165,170].

В диссертационной работе в прикладном плане рассматриваются обратные задачи, возникающие в термографии [51,95].

При тепловизионных исследованиях нагретых теплопроводящих объектов, излучающих в инфракрасном диапазоне, «снимок» температурного поля с поверхности объекта как правило служит материалом для непосредственной интерпретации с целью идентификации внутренней структуры (или ее аномалий). При этом воспроизведение внутренней структуры тер-мограммой искажено как за счет ее относительной удаленности от поверхности тела, так и за счет неровностей поверхности. Коррекция изображения возможна на основе метода продолжения стационарного температурного поля с поверхности в область, близкую к структурным неоднородностям. Это продолжение осуществляется решением задачи (или аналогичной)

Аи(М) = О, Me D\D0, u\dD = /, (0.0.1) ди дп h(U0 - f)

OD dD где Do содержит структурные неоднородности и источники. Термограмма, полученная в результате такого продолжения как след температурного поля на некоторой поверхности вблизи структуры, может рассматриваться как результат математической обработки исходной термограммы. Отметим, что всякий способ визуализации температурного поля, формирующий термограмму, является сам по себе математической обработкой значений температурного поля. Таким образом, разработанный в диссертации метод может рассматриваться как математическая обработка термограмм методом аналитического продолжения стационарного температурного поля.

Целью диссертационной работы является разработка эффективных численных методов математической обработки данных в термографии на основе аналитического продолжения гармонической функции с целыо восстановления внутренней структуры объектов по косвенным данным. Достижение цели осуществляется решением следующих задач:

1. Выбор и анализ математической модели, допускающей решение обратной задачи термографии о восстановлении внутренней структуры объекта по измеренному температурному полю на поверхности в рамках концепции аналитического продолжения как смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа

2. Постановка, обоснование и численное исследование задачи вычисления нормали к приближенно заданной поверхности в приложении к смешанной краевой задаче для уравнения Лапласа

3. Построение и исследование устойчивого приближенного решения смешанной краевой задачи с данными Коши на поверхности произвольного вида, заданной приближенно

4. Разработка эффективных численных алгоритмов решения смешанной задачи для уравнения Лапласа с данными на поверхностях общего вида методом дискретного ряда Фурье

5. Применение разработанных алгоритмов к решению модельных и практических задач термографии методом аналитического продолжения температурного поля Научная новизна и значимость.

1. Впервые дано устойчивое решение задачи построения нормали к поверхности, заданной приближенно

2. Разработан новый эффективный метод устойчивого численного решения некорректной смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа с данными на поверхности общего вида, в том числе заданной приближенно

3. Разработана новая методика математической обработки термографических данных на основе аналитического продолжения стационарных гармонических температурных полей, учитывающий форму поверхности измерений

Практическая ценность.

Разработанные алгоритмы продолжения температурного поля применяются для обработки термограмм - термографических (тепловизионных) изображений или термографических данных, полученных другими измерительными средствами, с целыо повышения разрешающей способности термографических изображений и повышения их интерпретационных возможностей.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 25 рисунков, список цитированной литературы содержит 181 наименование. Объем диссертации - 156 страниц машинописного текста.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Построено и исследовано устойчивое численное решение задачи восстановления нормали к приближенно заданной поверхности.

2. На основе решения задачи о построении нормали к поверхности построено устойчивое решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа для данных Коши на приближенно заданной поверхности. Доказана теорема сходимости приближенного решения к точному.

3. Предложены экономичные алгоритмы численного решения методом дискретного ряда Фурье задачи продолжения стационарного температурного поля как смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа.

4. Эффективность вычислительных алгоритмов показана в вычислительном эксперименте по решению модельных задач и применением к решению практических задач термографии.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, доценту Ланееву Евгению Борисовичу за руководство над работой, создание условий для ее проведения, постоянную поддержку и внимание. Автор признателен сотрудникам лаборатории вычислительной физики и математического моделирования и кафедры нелинейного анализа и оптимизации за помощь и поддержку.

Заключение

Цель диссертационной работы, заявленная как разработка эффективных численных методов математической обработки данных в термографии на основе аналитического продолжения гармонической функции с целью восстановления внутренней структуры объектов по косвенным данным, достигнута решением следующих задач:

1. В области, содержащей источники тепла, имеющие компактный носитель, принадлежащий этой области, и представляющей собой однородный теплопроводящий полубесконечный цилиндр прямоугольного сечения, ограниченный произвольной поверхностью, выбрана и проанализирована математическая модель, в рамках которой поставлена и решена обратная задача термографии о восстановлении внутренней структуры объекта по измеренному температурному полю на поверхности в рамках концепции аналитического продолжения как смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа.

2. Поставлена и обоснована задача вычисления нормали к приближенно заданной поверхности в приложении к смешанной краевой задаче для уравнения Лапласа, проведено ее численное исследование.

3. Построено и исследовано устойчивое приближенное решение смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа с данными Коши на поверхности произвольного вида, заданной приближенно.

4. Разработаны эффективные численные алгоритмы решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа с данными на поверхностях общего вида методом дискретного тригонометрического ряда Фурье.

5. Разработанные алгоритмы применены для решения модельных и практических задач термографии методом аналитического продолжения температурного поля.

На защиту выносятся следующие

1. Агеев А.Л., Болотова Т.В.,Васин В.В. Решение обратной задачи гравиметрии о границах раздела трех сред.// Физика Земли, 1998, №3, с.54-57.

2. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. // М.: Наука, 1978, 352 с.

3. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. // М.: Наука. 1988. 288 с.

4. Андреев Б.А. Расчеты пространственного распределения потенциальных полей и их использование в разведочной геофизике I// Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз. 1947. Т. 11. №1. С. 79-92.

5. Андреев Б.А. Расчеты пространственного распределения потенциальных полей и их использование в разведочной геофизике II// Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз. 1949. Т. 3. №3. С. 257-266.

6. Андреев Б.А. Расчеты пространственного распределения потенциальных полей и их использование в разведочной геофизике III// Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз. 1952. №2. С. 22-30.

7. Андреев Б.А. Расчеты пространственного распределения потенциальных полей и их использование в разведочной геофизике IY// Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз. 1954. М. С. 49-64.

8. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В., Степанова Л.Д. Применение алгоритмов итерационной регуляризации для решения обратных задач гравиметрии // Изв.АН СССР. Физика Земли. 1986. №10. С.43-50.

9. Балк П.И. Использование априорной информации о топологических особенностях источников поля при решении обратной задачи гравиметрии в рамках монтажного подхода.// Физика Земли, 1993, №5, с 59-71.

10. Балк П.И., Балк Т.В. Совмещенная обратная задача грави- и магнитометрии./ / Физика Земли, 1996, №2, с. 16-30.

11. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука. 1975.

12. Бойков И.В., Мойко Н.В. Об одном итерационном методе решения обратной задачи гравиметрии для контактной поверхности.// Физика Земли, 1999, №2. С.52-56.

13. Бойков И.В., Бойкова А.И. Оптимальные методы восстановления потенциальных полей. 1.// Физика Земли, 2001, №12, с.78-89.

14. Бродский М.А., Страхов В.Н. В классе однородных многогранников, гомеоморфных шару, решение обратной задачи ньютонова потенциала единственно// ДАН СССР. 1987. Т. 292. №6. С. 1337-1340.

15. Бродский М.А., Страхов В.Н. О решении обратной задачи потенциала для многогранников с переменными полиномиальными плотностями // ДАН СССР. 1987. Т. 293. №2. С. 336-339.

16. Вабищевич П.Н. О решении задачи Коши для уравнения Лапласа в двухсвязной области// ДАН СССР. 1978. Т. 241, №6. С. 1257-1260.

17. Вабищевич П.Н., Гласко В.В., Криксип Ю.А. О решении одной задачи Адамара с помощью регуляризующего по А.Н.Тихонову алгоритма// ЖВМиМФ. 1979. Т. 19. №6. С. 1463-1570.

18. Вабищевич П.Н. Численное решение задачи Коши для эллиптических уравнений и систем// Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислит, матем. и кибернетика. 1979. №3. С. 3-10.

19. Вабищевич П.Н. Разностные методы решения задачи Коши для эллиптических уравнений// ЖВМиМФ. 1981. Т. 21. №2. С. 509-511.

20. Вабищевич П.Н. О численном решении нелокальных эллиптических задач // Изв. ВУЗов. 1983. №5. С. 13-19.

21. Вабищевич П.Н., Пулатов П.А. Об одном вычислительном алгоритме решения задачи продолжения потенциала в гравиметрии// ДАН Тадж. ССР. 1983. Т. 26. №9. С. 539-541.

22. Вабищевич П.Н., Пулатов П.А. Об одном методе численного решения задачи Коши для эллиптических уравнений// Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислит, матем. и кибернетика. 1984. №2. С. 3-8.

23. Вабищевич П.Н. Численное решение задачи продолжения потенциала в сторону возмущающих масс// Изв. АН СССР. 1983. №7. С. 31-36.

24. Вабищевич П.Н. Разностные методы решения неустойчивых эволюционных задач// Вычислительные методы в математической физике. М., 1986. С. 73-87.

25. Вабищевич П.Н. Разностные методы решения некоторых некорректных задач// Изв. ВУЗов. Математика. 1984. №8. С. 3-9.

26. Вабищевич П.Н., Пулатов П.А. Численное решение задачи продолжения потенциальных полей.// Математическое моделирование, 2002, том 14, №4, с.91-104.

27. Васин В.В., Пруткин И.Л., Тимерханова Л.Ю. О восстановлении трехмерного рельефа геологической границы по гравитационным данным.// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли, 1996, №9, с.1-5.

28. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1976. 528 с.

29. Воскобойников Г.М. Функция Карлемана и ее применение к решению некоторых задач геофизики// Изв. АН СССР. Сер. Геофизич. 1962. №11. С. 1579-1590.

30. Воскобойников Г.М. Интегральные преобразования и распределение особенностей логарифмического потенциала// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1965. №1. С. 76-89.

31. Воскобойников Г.М., Сиротин М.И. Об определении особенностей аналитического продолжения потенциальных полей// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1965. №12. С. 21-30.

32. Воскобойников Г.М., Шестаков А.Ф. Метод гасящих функций и его применение для определения особых точек геофизических полей, удовлетворяющим трехмерным уравнениям Лапласа и Гельмшольца.// Изв.АН СССР. Физика Земли. 1982. №3. С.62-75.

33. Гласко В.Б., Кравцов В.В., Кравцова Г.Н. Об одной обратной задаче гравиметрии// Вестник МГУ. Сер. 3. Физика, астрономия. 1970. №2. С. 174-179.

34. Гласко В.В., Володин Б.А., Мудрецова Е.А., Нефедова Н.Ю. О решении обратной задачи гравиметрии для контактной поверхности на основе метода регуляризации// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1973. №2. С. 30-41.

35. Гласко В.В., Остромогилъский А.Х., Филатов В.Г. О восстановлении глубины и формы контактной поверхности на основе регуляризации// ЖВМиМФ. 1970. Т. 10. №5. С. 1292-1297.

36. Гласко В.Б., Гущин Г.В., Гущина Л.Г., Мудрецова Е.А. Об использовании данных бурений при восстановлении формы контакта с помощью метода регуляризации// ЖВМиМФ. 1974. Т. 14. №5. С. 12721280.

37. Гласко В.Б., Литвипенко O.K., Мудрецова Е.А., Страхов В.Н., Федынский В.В. Метод регуляризации А.Н.Тихонова в современной разведочной геофизике// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1977. т. С. 24-39.

38. Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики. Изд-во МГУ, 1984. 112 С.

39. Гласко В.Б., Кондорская Е.Е. О некоторых стабилизирующих по А.Н.Тихонову функционалах для многомерных некорректных задач// ЖВМиМФ. 1983. Т. 23. №2. С. 301-306.

40. Голузин Г.М., Крылов В.И. Обобщенная формула Саг1емап'а и приложение ее к аналитическому продолжению функций// Матем. сборник. 1933. Т. 40. №2. С. 144-149.

41. Гуляев Ю.В., Годик Э.Э., Петров А.В., Таратории A.M. О возможностях дистанционной функциональной диагностики биологических объектов по их собственному инфракрасному излучению// ДАН СССР. 1984. Т. 277. №6. С. 1486-1491.

42. Гуляев Ю.В., Годик Э.Э., Демеитиеико В.В., Пасечник В.И., Рубцов А.А. О возможностях акустической термографии биологических об'ектов// ДАН СССР. 1985. Т. 238. №. С. 1495-1499.

43. Гуляев Ю.В., Годик Э.Э., Дементиенко В.В., Калашников Н.Э., Кра-сюк Н.Я., Кузнецов И.В. Радиотепловое динамическое картирование биологических объектов// ДАН СССР. 1988. Т.299. №5. С.1259-1262.

44. Данилов В.Л. Методы установления в прикладных обратных задачах потенциала. М.: Наука. 1996. 248 с.

45. Девицын В.М. Численный метод аналитического продолжения двумерных потенциальных полей I// Изв. АН СССР. Сер. Геофизич. 1964. №9. С. 1376-1388.

46. Девицын В.М. Численный метод аналитического продолжения двумерных потенциальных полей II// Изв. АН СССР. Сер. Геофизич. 1964. №11. С. 1654-1673.

47. Девицын В.М. Об изучении строения двумерных слоистых сред по комплексу наземной и скважинной гравиметрии// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1981. №9. С. 44-50.

48. Жданов М.С. Развитие теории аналитического продолжения в криволинейных областях// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1971. №5. С. 114-121.

49. Жданов М. С. Аналог интеграла Коши в теории геофизических полей. М.: Наука. 1984.

50. Заморев А.А. Решение обратной задачи теории потенциала// ДАН СССР. 1941. Т. 32. №8. С. 546-547.

51. Зарецкий В.В., Выховская А.Г. Клиническая термография. М., 1976. 168 с.

52. Захаров Е.В., Коптелов Ю.М. О решении одной задачи математической обработки электроэнцефалографических данных// ДАН СССР. 1987. Т. 292. №3. С. 576-581.

53. Иванов В.К. Обратная задача потенциала для тела, близкого к данному// Изв. АН СССР. Сер. матем. 1956. Т. 20. №6. С. 793-818.

54. Иванов В. К. Интегральное уравнение обратной задачи логарифмического потенциала// ДАН СССР. 1955. Т. 105. №3. С. 409-411.

55. Иванов В.К. О распределении особенностей потенциала// УМН. 1956. №5. С. 67-70.

56. Иванов В.К. Об устойчивости обратной задачи логарифмического потенциала// Изв. ВУЗов. Математика. 1958. №4. С. 96-99.

57. Иванов В.К. Теорема единственности обратной задачи логарифмического потенциала для звездных множеств// Изв. ВУЗов. Математика. 1958. ЖЗ. С. 99-106.

58. Иванов В.К. О разрешимости обратной задачи логарифмического потенциала в конечном виде// ДАН СССР. 1956. Т. 106. №. С. 598-599.

59. Иванов В.К. Интегральные уравнения первого рода и приближенное решение обратной задачи потенциала// ДАН СССР. 1962. Т. 142. №5. С. 998-1000.

60. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах// Матем. сборник. 1963. Т. 61. №2. С. 211-223.

61. Иванов В. К. Задача Коши для уравнения лапласа в бесконечной полосе// Дифференц. уравн. 1965. Т. 1. №1. С. 131-136.

62. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. теория линейных некорректных задач и ее приложения. М., 1978. 206 с.

63. Исаков В.М. О единственности решения контактной обратной задачи теории потенциала//Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8. №1. С. 30-40.

64. Исаков В.М. О единственности решения обратной задачи теории потенциала// ДАН СССР. 1979. Т. 245. №5. С. 1045-1047.

65. Казакова Л.Э. Теоремы единственности и устойчивости обратной задачи ньютоновского потенциала для звездных множеств // Изв. ВУЗов. Математика. 1963. №1. С. 85-93.

66. Калиткин Н.И. Численные методы. М., 1978. 512 с.

67. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1972. 496 с.

68. Костин А.Б. Обратные задачи для математических моделей физических процессов. М: Изд-во МИФИ, 1991.

69. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. // Новосибирск: СО АН СССР, 1962, 92 с.

70. Лаврентьев М.М., Савельев Л.Я. Теория операторов и некорректные задачи. Новосибирск: Изд-во Института математики, 1999, 702 с.

71. Лаврентьев М.М. О задаче коши для уравнения Лапласа// ДАН СССР. 1955. Т. 102. №2. С. 205-206.

72. Лаврентьев М.М. О задаче коши для уравнения Лапласа// Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1956. Т. 20. №6. С. 819-842.

73. Лаврентьев М.М. О задаче Коши для линейных эллиптических уравнений второго порядка// ДАН СССР. 1957. Т. 112. №2. С. 195-197.

74. Лаврентьев М.М., Васильев В.Г. О постановке некоторых некорректных задач математической физики// СМЖ. 1966. Т. 7. №3. С. 559-576.

75. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.:Наука, 1980. 288 с.

76. Ландис Е.М. О свойствах решений эллиптических уравнений// ДАН СССР. 1956. Т. 107. №5. С. 640-643.

77. Ландис Е.М. Некоторые вопросы качественной теории эллиптических уравнений второго порядка (случай многих независимых переменных// УМН. 1963. Т.18. т. С.3-62.

78. Ландсберг Г.С. Оптика. М.:Наука. 1976. 928 с.

79. Ланеев Е.Б., Губин В.Б. и др. Методические указания по использованию стандартных программ ЭВМ для решения задач информатики. М.:Изд-во УДН. 1985.

80. JIaueee Е.Б. О регуляризации некоторых операций векторного анализа // Методы функционального анализа в математической физике. М.: Изд-во УДН. 1987. С. 101-106.

81. Ланеев Е.Б., Васудеван Бхуваиа Об устойчивом решении одной смешанной задачи для уравнения Лапласа.//Вестник РУДН. Серия Прикладная математика и информатика. 1999. №1. С.128-133.

82. Ланеев Е.Б. О некоторых постановках задачи продолжения потенциального поля.//Вестник РУДН. Серия Физика. 2000. №8(1). С. 21-28.

83. Ланеев E. Б., Муратов M. H. Об устойчивом решении одной смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа с приближенно заданной границей.// Вестник РУДН. Серия Математика. 2002. №9(1). С. 102111.

84. Laneev Е.В., Mouratov M.N, Zhidkov E.P. Analytical continuation of the temperature field measuured on an approximately defined surface.// Abstracts of International Conference CMAM-1, July 20-24, 2003, Minsk, Belarus, pp. 34-35.

85. Ланеев Е. Б., Муратов М. Н. Об одной обратной задаче к краевой задаче для уравнения Лапласа с условием третьего рода иа неточно заданной границе.// Вестник РУДН. Серия Математика. 2003. №10(1). С. 100-110.

86. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М., 1970. 33G с.

87. Леонов А.С. Об устойчивом решении обратной задачи гравиметрии на классе выпуклых тел// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1976. №-7. с. 55-64.

88. Малкин Н.Р. Определение толщины однородного материального слоя, покрывающего сферу или плоскость по заданному потенциалу его// Труды Физико-математического института им. В.А.Стеклова. 1932. Т. 2. Вып. 4. С. 17-26.

89. Маловичко А.К. Об определении контактной поверхности гравиметрическим аномалиям// Прикладная геофизика. 1948. Вып. 4.

90. Махмудов О.И., Ниёзов И.Э. Регуляризация решения задачи Кошидля системы уравнений теории упругости в перемещениях // Сиб. Мат. журн. 1998. Т. 39. №2. С. 369-376.

91. Махмудов О. И. Регуляризация решения задачи Коши для системы уравнений теории упругости // Математические заметки. 2000. Т. 68. №6.

92. Мергелян С.Н. Гармоническая аппроксимация и приближенное решение задачи Коши для уранения Лапласа// УМН. 1956. Т. 11.JV25. С.З-26.

93. Мирошников М.М., Алипов В.И., Гершанович М.А., Мельникова М.П., Сухарев В.Ф. Тепловидение и его применение в медицине. М., 1981. 184 с.

94. Морозов В.А. Регулярные методы решения некоррекно поставленных задач. М., 1987. 240 с.

95. Морозов В.А. Об одном устойчивом методе вычисления неограниченных операторов. //ДАН СССР, 1969, Т.185, №2. С.267-270.

96. Муратов М.Н. Численное решение задачи продолжения температурного поля с поверхности, заданной приближенно. //XXXIX Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Москва. 21-25 апреля 2003 г. С.46.

97. Недялков И.П., Бырпев П.Х. Аналитическое продолжение гравитационных аномалий// Изв. АН СССР. Сер. геофизич. 1963. №6. С. 922935.

98. Недялков И.П. Редукция решений дифференциальных уравнений эллиптического типа// ДАН СССР. 1962. Т. 144. №4. С. 751-754.

99. Недялков И.П. Разделение потенциальных полей// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1965. №12. С. 31-44.

100. Недялков И.П. О решении обратной задачи теории потенциала методом подбора при помощи дисплея// ДАН СССР. 1970. Т. 193. т. С. 576-578.

101. Недялков И.П. О некоторых некорректных задачах теории потенциала и их приложении в разведочной геофизике. София: Изд-во Волг. АН. 1978.

102. Новиков П.С. О единственности обратной задачи потенциала// ДАН СССР. 1938. Т. 19. т. С. 165-169.

103. Оганесян СМ., Старостенко В.И. Тела нулевого внешнего гравитационного потенциала: о забытых работах и современном состоянии теории // Изв.АН СССР. Физика Земли. 1985. №3. С.49-62.

104. Остромогилъский А.Х. О единственности решения обратной задачи теории потенциала// ЖВМиМФ. 1969. Т. 9. №5. С. 1189-1191.

105. Остромогилъский А.Х. О единственности решения обратной задачи теории потенциала// ЖВМиМФ. 1970. Т. 10. №2. С. 352-361.

106. Прилепко А.И. Обратная задача метагармонического потенциала для тела, близкого к данному// Сиб. матем. журнал. 1965. Т. 6. №6. С. 1332-1356.

107. Прилепко А.И. Внешняя обратная задача объемного потенциала переменной плотности для тела, близкого к данному// ДАН СССР. 1969. Т. 185. т. С. 40-42.

108. Прилепко А.И. Об единственности определения формы и плотности тела в обратных задачах теории потенциала// ДАН СССР. 1970. Т. 193. т. С. 288-291.

109. Прилепко А.И. О единственности решения внешней обратной задачах ныотонового потенциала// Дифференц. уравн. 1966. Т. 2. №1. С. 107124.

110. ИЗ. Прилепко А.И. Об обратных задачах теории потенциала// Дифференц. уравн. 1967. Т. 3. №1. С. 30-44.

111. Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала// Матем. заметки. 1973. Т. 14. №5. С. 755-767.

112. Рапопорт И.М. О плоской обратной задаче теории потенциала// ДАН СССР. 1940. Т. 28. №4. С. 305-307.

113. Рапопорт И.М. Об устойчивости в обратной задаче теории потенциала// ДАН СССР. 1941. Т. 31. №4. С. 303-306.

114. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики// М.: Едиториал УРСС, 2004. 480 с.

115. Симонов В.П. К вопросу об единственности обратной задачи потен-циала//Научные доклады высшей школы. 1958. №6. С. 14-18.

116. Сретенский JI.H. Теория ньютоновского потенциала. M.-JI. 1946.

117. Сретенский JI.H. О единственности определения формы притягивающего тела по значениям его внешнего потенциала// ДАН СССР. 1954. Т. 99. т. С. 21-22. .

118. Сретенский JI.H. Об одной обратной задаче теории потенциала// Изв АН СССР. Сер. матем. 1938. Т. 2. №5-6. С. 551-570.

119. Староетеико В.И., Дядюра В.А., Заворотько А.Н. Об интерпретации гравитационного поля земли методом подбора// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1975. №4. С.78-85.

120. Старостенко В.И. Устойчивые численные методы в гравиметрии. Киев: Наукова думка. 1978. 228 с.

121. Старостенко В.И. Гравитационное поле однородных n-угольных пластин и порождаемых ими призм: обзор.// Физика Земли, 1998, №3. С.37-53.

122. Степанова Н.Э. О восстановлении источника гравитационных масс в задачах типа структурных. Случай открытых римановых поверхностей.// Физика Земли, 2000, №6. С.92-96.

123. Степанова Н.Э. О восстановлении источника гравитационных масс в задачах типа рудных. Случай компактных римановых поверхностей.// Физика Земли, 2000, №8, с.86-91.

124. Степанова Н.Э. О некоторых вариационных постановках обратной трехмерной задачи потенциала типа рудных.// Физика Земли, 2000, №12, с.67-72.

125. Степанова Н.Э. Об одном устойчивом алгоритме восстановления эллипсоидов.// Физика Земли, 2001, №11, с.101-106.

126. Страхов В.Н. Об условиях однозначного определения границ раздела двухмерных слоистых сред по данным гравитационных наблюдений// ДАН УССР. Сер. Б. 1975. №12.

127. Страхов В.Н. Эквивалентность в обратной задаче гравиметрии и возможности ее практического использования при интерпретации гравитационных аномалий// Изв. АН СССР. Физика Земли. 1980. №2. С.44-64.

128. Страхов В.Н. Эквивалентность в обратной задаче гравиметрии и возможности ее практического использования при интерпретации гравитационных аномалий// Изв.АН СССР. Физика Земли. 1980. №9. С.38-69.

129. Страхов В.Н. К теории обратной задачи логарифмического потенциала для контактных поверхностей// Изв. АН СССР. Физика Земли. 1974. Ш. С. 39-60.

130. Страхов В.Н., Голъдшмидт В.И., Калинина Т.Е. Состояние и перспективы развития в СССР теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий// Изв. АН СССР. Физика Земли. 1982. №5. С.11-30.

131. Страхов В.Н. Об одной обратной задаче теории логарифмического потенциала // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1965. №. С. 90-97.

132. Страхов В.Н. К теории интерпретации магнитных и гравитационных аномалий на основе аналитического продолжения// ДАН СССР. 1967. Т. 176. №5. С. 1059-1062.

133. Страхов В.Н. О вычислительных схемах для аналитического продолжения потенциальных полей I // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1961. №2. С. 215-223.

134. Страхов В.Н. О вычислительных схемах для аналитического продолжения потенциальных полей II // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1961. т. С. 349-359.

135. Страхов В.Н. О вычислительных схемах для аналитического продолжения потенциальных полей III // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1961. т. С. 1290-1313.

136. Страхов В.Н., Голиздра Г.Я., Старостенко В.И. Развитие теории и практики интерпретации потенциальных полей в XX веке.// Физика Земли, 2000, №, с.41-64.

137. Страхов В.Н. Теория аналитического продолжения двухмерных потенциальных полей в области нижней полуплоскости// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1972. Ml. С. 38-55.

138. Страхов В.Н. Об аналитическом продолжении двухмерных потенциальных полей в произвольные области нижней полуплоскости, примыкающие к оси ох// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1970. №6. С. 35-52.

139. Страхов В.Н. Некоторые основные проблемы линейного анализа аномальных потенциальных полей// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1974. т. С. 43-53.

140. Страхов В.Н. Интерпретационные процессы в гравиметрии и магнитометрии это реализация единого аппроксимационного подход. I. Основные идеи и конструктивные принципы.// Физика Земли. 2001. №10. С.3-18.

141. Страхов В.Н. Становление новой парадигмы это разрушение господствующего стереотипа мышления (на примере гравиметрии и магнитометрии).// Физика Земли, 2002, №3. С.3-20.

142. Страхов В.Н., Керимов И.А. Аппроксимационные конструкции спектрального анализа (F-аппроксимация) гравиметрических данных.// Физика Земли, 2001, №12. С.3-20.

143. Судаков В.Н., Халфин Л.А. Статистический подход к корректности задач математической физики// ДАН СССР. 1964. Т. 157. №5. С. 10581060.

144. Тарханов Н.Н. О матрице Карлемана для эллиптических систем// ДАН СССР. 1985. Т. 284. №2. С. 294-297.

145. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач// ДАН СССР. 1943. Т. 39. №5. С. 195-197.

146. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. Применение метода регуляризации в нелинейных задачах//ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5. №3. С. 463-473.

147. Тихонов А.Н., Гласко В.Б., Литвипенко O.K., Мелихов В.Р. О продолжении потенциала в сторону возмущающих масс на основе метода регуляризации// Изв. АН СССР. Физика Земли. 1968. Ш. С. 30-48.

148. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

149. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. О применении метода регуляризации взадачах геофизической интерпретации// Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1975. №1. С. 38-47.

150. Тихонов А.Н., Гласко В.Б. О приближенном решении интегральных уравнений I рода //ЖВМ и МФ. 1964. Т. 4. №3. С. 564-571.

151. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М., 1972. 736 с.

152. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов А.А. Математические задачи компьютерной томографии. М.: Наука, 1987. 160 с.

153. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации// ДАН СССР. 1963. Т. 151. №3. С. 501-504.

154. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач// ДАН СССР. 1963. Т. 153. №1. С. 49-52.

155. Тодоров И. Т., Зидаров Д. О единственности определения формы притягивающего тела по значениям его внешнего потенциала// ДАН СССР. 1958. Т. 120. №2. С. 262-264.

156. Урев М.В. Об осесиммстричной задаче Коши для уравнения Лапласа// ЖВМиМФ. 1980. Т. 20. №4. С. 939-947.

157. Федотов A.M. Линейные некорректные задачи со случайными ошибками в данных. Новосибирск. 1982. 189 с.

158. Хеммипг Р. В. Численные методы для научных работников и инженеров. М.: Наука. 1968.

159. Цирулъский А.В. О единственности решения обратной задачи потенциала // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1969. №6. С.60-65.

160. Цирулъский А.В. О связи задачи об аналитическом продолжении логарифмического потенциала с проблемой определения границ возмущающей области// Изв. АН СССР. Сер. геофизич. 1964. №11. С. 16931696.

161. Цыкалов Е.Н., Петров А.В., Таратории A.M., Кузнецова Г.Д., Королева В.И. Исследование собственных температурных полей, связанных с возбуждением коры большого мозга крысы// ДАН СССР. 1984. Т. 278. №1. С. 249-252.

162. Чудов Л.А. Разностные методы решения задачи Коши для уравнения Лапласа// ДАН СССР. 1962. Т. 143. №4. С. 798-801.

163. Шашкин Ю.А. О единственности в обратной задаче теории потенциала// ДАН СССР. 1957. Т. 115. Ш. С. 64-66.

164. Шашкин Ю.А. Теоремы единственности и устойчивости обратной задачи логарифмического потенциала// Матем. сборник. 1964. Т. 63. №2. С. 216-226.

165. Шишатский С.П., Фаязов К. С. Об операторе Карлемана для эволюционного уравнения эллиптического типа. Препринт №81 ВЦ СО АН СССР. Новосибирск. 1977. 14 с.

166. Штейншлегер В.Б., Мисеоюпиков Г.С., Сельский А.Г. об одном радиофизическом методе обнаружения температурных аномалий внутренних органов человека// УФН. 1981. Т. 134. №1. С. 163-164.

167. Ярмухамедов Ш. О задаче Коши для уравнения Лапласа// ДАН СССР. 1977. Т. 235. №2. С. 281-283.

168. Ярмухамедов Ш. Формула Грина в бесконечной области и ее применение // ДАН СССР. 1985. Т. 285. №2. С. 305-308.

169. СаНемап Т. Les fonctions quasi analytiqies. Paris. 1926.

170. John F. A note on «improper» proBlems in partial differential equations// Comm. pure and appl. math. 1955. v. 8. №4. p. 591-594.

171. Payne L.E. Bounds in the Cauchy ргов1еш for the Laplace equation// Arch, rational, mech. anal. 1960. v. 5. №1. p. 35-45.

172. NewMan D.J. Numerical method for solution of an elleptic Cauchy proBlem// J. Math, and Phys. 1960. V. 39. №. P. 72-75.

173. Pucci G. Sui proBlemi Cauchy non 'ben posti'// Atti Accad. naz. Lincei. Rend. CI. sci. fis., mat. e natur. 1955. Serie 8. V. 18. P. 473-477.

174. Pucci C. Discussione del ргов1ета di Cauchy pur le equazioni di tipo elliptico// Ann. mat. pura ed appl. 1958. Serie 4. V.46. P. 131-153.

175. Stainov G., Nedyahov I., VUkov A., Usunov V. Separation of potenrial fields// Докл. Волг. АН. 1967. Т. 20. Ш. С. 767-770.

176. Stainov G., Nedyalnov I. Analogue device computing the Cauchy problem for Laplace equations// Докл. Волг. АН. 1967. Т. 20. №. С. 767-770.