автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование планетарных волн на основе уравнения Россби в ограниченной области

На правах рукописи

9/

СВИДЛОВ АЛЕКСАНДР АНАТОЛЬЕВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛАНЕТАРНЫХ ВОЛН НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЯ РОССБИ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 9 МАЯ 2014 005549234

Краснодар 2014

005549234

Работа выполнена на кафедре математических и компьютерных методов ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный университет»

Научный руководитель: Дроботенко Михаил Иванович

кандидат физико-математических наук, доцент

Официальные оппоненты: Толпаев Владимир Александрович

доктор физико-математических наук, профессор заведующий лабораторией подземной гидродинамики ОАО «Северо-Кавказский научно-исследовательский и проектный институт природных газов»

Бунякин Алексей Вадимович

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры оборудования нефтяных и газовых промыслов института нефти, газа и энергетики ФГБОУ ВПО «Кубанский государственный технологический университет»

Ведущая организация: ФГАОУ ВПО "Казанский (Приволжский) федеральный

университет" (г. Казань)

Защита диссертации состоится 26 июня 2014 в 14:20 на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 при ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет» по адресу: 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, д.44, ауд.Д-406.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет» по адресу: 344000, г.Ростов-на-Дону, ул.Зорге 21 ж. http://hub.sfedu.ru/diss/announcement/d4blc3a3-3al7-4943-a7af-d038fG0aGefd/

Автореферат разослан « » мая 2014 г.

Ученый секретарь диссертационного совета /^Т/У' ✓ Целых Александр Николаевич

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В геофизической гидродинамике изучаются планетарные волны, возникновение и распространение которых обуславливается вращением Земли. Эти волны могут оказывать существенное влияние на океанические, морские и атмосферные течения, поэтому их изучение имеет большую практическую значимость. Планетарные волны изучались в ходе крупномасштабных экспериментов в Северной Атлантике (программы «Полигон» и «Mode»). Эволюция планетарных воли достаточно хорошо описывается уравнением Россби.

Уравнение Россби исследовалось в работах Успенского C.B., Демиденко Г.В., Ильина A.M., Петрушко И.М., Лежнева В.Г. Для ряда начально-краевых задач в областях простой геометрии в них изучено асимптотическое поведение решения уравнения Россби при больших временах.

Для практических нужд важно не только асимптотическое поведение планетарных волн, но и их поведение при конечных временах. Аналитическое исследование этого поведения весьма затруднительно, так как реальные водоемы (моря и океаны) имеют достаточно сложную геометрию. Современное развитие вычислительной техники открывает широкие возможности применения здесь численных методов.

Эффективность численных методов решения начально-краевых задач существенно зависит от математических постановок этих задач, выбора функциональных пространств и т.п. Поэтому возникает необходимость в пересмотре имеющихся постановок начально-краевых задач для уравнения Россби и исследования новых постановок. Диссертация посвящена исследованию математических моделей планетарных волн, которые представляют собой начально-краевые задачи для уравнения Россби.

Цель работы:

1. Создать математические модели, описывающие эволюцию планетарных волн, в виде обобщенных постановок начально-краевых задач для уравнения Россби, исследовать корректность этих моделей.

2. Построить эффективные численпые алгоритмы решения начально-краевых задач для

уравнения Россби, разработать комплекс программ, реализующий эти алгоритмы.

3. Провести численные расчеты для областей различной конфигурации.

Научная новизна работы. В работе даны новые обобщенные постановки начально-краевых задач для уравнения Россби в ограниченной области. Для первой и смешан-

пой начально-краевых задач доказана их однозначная разрешимость, для второй найдены необходимые и достаточные условия существования обобщенного решения. Разработаны алгоритмы численного решения начально-краевых задач для уравнения Россби, доказана их сходимость. В разработанных алгоритмах численного решения используется метод точечных потенциалов (метод фундаментальных решений для уравнения Лапласа), для которого в работе исследована сходимость в норме \V£ и предложены новые, простые и легко проверяемые достаточные условия полноты системы точечных потенциалов.

На защиту выносятся:

1. Математические модели планетарных волн, описываемые начально-краевыми задачами для уравнения Россби в ограниченной области. Обобщенные постановки начально-краевых задач для уравнения Россби, теоремы устанавливающие их корректность, (стр. 22-50)

2. Алгоритм численного решения начально-краевых задач для уравнения Россби, теорема

о его сходимости, (стр. 51-60)

3. Результаты численных экспериментов по решению начально-краевых задач для уравнения Россби. (стр. 60-G8)

4. Определение множества единственности потенциала простого слоя, признаки множеств

единственности потенциала простого слоя, необходимое и достаточное условие полноты системы точечных потенциалов, (стр. 80-88)

5. Способ численного решения задачи Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона методом точечных потенциалов, который гарантирует приближение решения задачи в норме

(стр. 98-111)

6. Программный комплекс «Rossby», реализующий разработанный в диссертации алгоритм численного решения начально-краевых задач для уравнения Россби. (стр. G8-T5)

Методы исследования. Для исследования начально-краевых задач и численных методов их решения применяются методы функционального анализа, теории функций действительного переменного, теории дифференциальных уравнений в частных производных и теории потенциала, а также методы вычислительной математики.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на II и III-й всероссийских конференциях «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах», 2005 и 200G; на четвертой международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы матема-

тического образования», посвященной 90-летию члена-корреспондента РАН, профессора Л.Д. Кудрявцева, 2013; на семинаре отдела механики пористых сред НИИММ им. Н.Г. Чеботарева КФУ, 2010; на семинаре Южно-Российского регионального центр информатизации (ЮГИНФО) ЮФУ, 2012; на семинарах кафедры численного анализа и кафедры теории функций Кубанского государственного университета, 2006-2013.

Практическая значимость работы. Предложенные в диссертации обобщенные постановки начально-краевых задач для уравнения Россби, численные алгоритмы нх решения могут быть использованы при исследовании динамики океана и атмосферы. Исследование варианта метода точеных потенциалов, обеспечивающего сходимость по норме пространства И^1, может быть использовано для решения таких актуальных задач, как задача Хеле-Шоу.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Она содержит 25 рисунков, 18 таблиц, 111 наименований литературных источников. Общий объем диссертации составляет 151 страницы.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ, из них 4 в изданиях рекомендованных ВАК России для опубликования научных результатов диссертации на соискание ученой степени кандидата наук.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий обзор литературы по рассматриваемой проблеме, формулируются основные результаты и дается их сравнение с известными, обсуждается актуальность работы.

В разделе «Обозначения» содержится перечень обозначений, используемых далее на протяжении работы. Наиболее важные из них:

Q — ограниченная область в R™, которая либо представляет собой многогранник, либо имеет в качестве границы ляпуновскую поверхность; Q+ = М" \ Q; Т е (0,+оо) — положительная константа;

Г2 - открытое множество на поверхности 8Q такое, что замкнутое множество Tj = <9Q\r2 содержит в себе непустое открытое подмножество в 8Q;

Яр (Q) = {и 6 H1(Q) : и|Г1 = 0} - подпространство функций из Я1^), имеющих нулевой след па Г1; H&Q) = HlQ{Q).

В главе 1, содержащей 4 раздела, приведены математические модели планетарных волн в виде обобщенных постановок начально-краевых задач (первой, второй и смешанной) для уравнения Россби в ограниченной области, исследуется корректность этих постановок.

Раздел 1.1 посвящен моделированию планетарных воли при помощи уравнения Россби. В данном разделе также приведены сведения о изученных другими авторами моделях планетарных волн на основе уравнения Россби.

В системе координат, связанной с вращающейся как целое с постоянной угловой скоростью П жидкостью, на частицы, движущиеся со скоростью V, действует сила Ко-риолиса —2тП х и (т — масса частицы). Эта сила нормальна к v, и ее воздействие на жидкую частицу аналогично действию силы Лоренца на электрон в магнитном поле. При этом возникает дополнительное движение частицы по окружности. В сплошной среде частицы жидкости не могут двигаться независимо. Взаимодействие между ними приводит к возникновению градиента давления в среде. Совместное действие силы Кориолпса и градиента давления и приводит к возникновению волновых движений жидкости.

Рассмотрим течение идеальной несжимаемой однородной жидкости на планете, вращающейся с постоянной угловой скоростью П. Это течение описывается уравнением Эйлера

^ + (и • У)и + — + 2П х г; = О от ро

и условием несжимаемости

сНуи = О,

где í — время, ро — плотность жидкости. Дополнительно предположим, что скорость v и ее градиент V« достаточно малы. Тогда, отбросив слагаемое (V ■ уравнение Эйлера можно линеаризовать

ду V» „„ — + — + 2Пхг) = 0. от ро

Выберем систему координат с началом в некоторой точке на поверхности планеты следующим образом:

1. Ось Х\ направлена но параллели с востока на запад.

2. Ось Х2 направлена по меридиану с юга на восток.

3. Ось Хз направлена по внешней нормали к поверхности планеты.

Далее рассматривать течение будем в так называемом приближении /^-плоскости, т.е. считаем, что течение происходит в достаточно небольшой окрестности начала координат выбранной системы отсчета, поэтому кривизной планеты можно пренебречь.

Кроне того, течение будем считать илоскопараллельпым, вертикальную компоненту скорости равной нулю. Тогда из условия несжимаемости следует существование функ-( дф дф \

ции тока ф, такая что v = [ ——, —7;—, О ). Легко проверить, что (rotti)Vx3 = —АфУх^. \дх2 ах 1 у

Вычислим третью компоненту ротора от линеаризованного уравнения Эйлера rot + + 2Ü х ^ Vx3 = О, получим

дАф 2|П| дф

dt Td^1C0Slp= '

где R — радиус планеты, <р — широта места.

Используя приближение /3-плоскости будем считать, что <р ~ const. Таким образом, получим уравнение планетарных волн, которое также называется уравнением Россби

at ox I

2|П|

где ß = -ß- cos ip.

Известны решения уравнения Россби в виде гармонических плоских воли

ф = bexp^A^Z! + i;2X2 — ut)}.

Непосредственная подстановка последнего выражения в уравнения Россби приводит к закону дисперсии волн:

из = -ßki/k2, к2 = kl + kl,

являющемся существенно анизотропным в горизонтальной плоскости. В частности, поскольку ш и fci имеют разные знаки, гармонические волны Россби могут распространяться только в отрицательном направлении оси Xi (на запад).

Отметим, что с помощью замены переменных u(x,t) = ф(х,^) уравнение Россби приводится к виду

Ащ + иХ1 = О,

далее будем исследовать уравнение Россби именно в таком виде.

Впервые планетарные волны (волны Россби) были рассмотрены в работе Rossby C.-G. On the dispersion of planetary waves in barotropic atmosphere в 1949 году. Существует ряд работ A.M. Ильина, И.Б. Гладского, И.М. Петрушко, И.Е. Огородникова, В.Г. Лежнева, C.B. Успенского, Г.В. Демидепко, A.A. Тикиляйнена, С.А. Габова в которых исследованы начально-краевые задачи для уравнения Россби в неограниченных областях.

Основной целью этих работ является изучение поведения решений при больших значениях времени. Так, задача Коши для уравнения Россби во всем пространстве рассмотрена В.Г. Лежневым . Планетарные волны в неограниченной области, граница которой напоминает берег океана пли моря, исследованы И.Е. Огородниковым. В области похожей на канал — А.А. Тикиляйненом и С.А.Габовым.

При выводе уравнения Россби был сделан ряд предположений, анализируя которые, можно видеть, что уравнение Россби хорошо описывает эволюцию планетарных волн при малых временах в достаточно маленькой области. Поэтому большой интерес представляет исследование поведения решений уравнений Россби в ограниченных областях. Такие исследования проводились. Например, исследованиям начально-краевых задач для уравнения Россби в ограниченной области посвящены разделы работ В.Г. Лежнева и И.Е. Огородникова. В.Г. Лежневым рассмотрена первая начально-краевая задача, а И.Е. Огородниковым смешанная начально-краевая задача в циллиндрической по одной из пространственных координат области. В первой главе настоящей работы восполнены пробелы в исследованнх по начально-краевым задачам в ограниченной области.

В разделе 1.2 даны постановки первой и смешанной начально-краевых задача для уравнения Россби, доказана их корректность. Полагаем ио € Н^. / еС ([О, Т); £2(<3))

Определение 1. Классическими решением смешанной начально-краевой задачи для уравнения Россби будем называть функцию и € С:([О, Т); С2(<5)), удовлетворяющую уравнению

Ащ + иХ1 = /, при 0 < Ь < Т, х € <2, (1)

началънолщ

«(0) = и о (2)

и граничным условиям

«1г, = О, (3)

= 0. (4)

г2

При Гг = 0 смешанная начально-краевая задача превращается в первую начально-краевую задачу.

Определение 2. Функцию и Е С1 ([0, Г); Н^ ((?)) будем называть обобщенным решением смешанной начально-краевой задачи для уравнения Россби, если она удовлетворяет равенству (2) и при любом í € (0, Г) интегралънолщ тождеству

I (Уи4(х,4)УЦх)-иХ1(х,гЩх))(Ь = - / Цх,гЩх)вх (5)

JQ JQ

д

для любой функции к € ЯрДф).

Связь между обобщенным и классическим решением устанавливается следующей

= 0. Функция и е С1 ([0, Т); C2(Q)) является

Лемма 1. Пусть щ е C2(Q), -^-uq

ди Г2

классическим решением тогда и только тогда, когда является обобщенным решением.

Имеет место эквивалентность обобщенной постановки смешанной начально-краевой задачи для уравнения Россби задаче Коти (6) для обыкновенного дифференциального уравнения в банаховом пространстве Н^ (Q).

Лемма 2. Функция и е С1 ([0, Т); Н^ (Q)) удовлетворяет равенствам

ut{t) = Д3 1 (f(t) - ^u(t)^ , при всех t 6 [0, Т), и( 0) = и0,

тогда и только тогда, когда является обобщенным решением задачи (1)-(4).

Здесь A31 : Ьг(<3) ~' П1Х(Я) — оператор, который ставит в соответствие правой части ф обобщенное решение <р смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона:

Аip = ф в Q,

Иг, = 0, (7)

д^р

dv

= 0, г2

т.е. Д3 1<р = ф тогда и только тогда, когда для любого /г £ Нр (<2) выполняется интегральное тождество

[ Чу(х)ЧЬ.{х)<1х = - I ф(хЩх)<1х. (8)

Из леммы 2 следует

Теорема 1. Обобщенное решение задачи (1)-(4) существует и единственно. При этом оно имеет вид:

"М = еХР {U0 + fo еХР Дз"lf(T)dT) '

(9)

В разделе 1.3 дается обобщенная постановка второй начально-краевой задачи для уравнения Россби, исследована ее корректность. Обозначим Щд) = {г; е Ь2(С}) : (у, 1)ыя) = 0}, ЯСН<Э) = Ь%{(2) П Я1^).

Определение 3. Обобщенным решением второй начально-краевой задачи:

Aut + иХ1 = 0, при 0 < t < Т, х € Q, (10)

и{ 0) = щ, (11)

I-« = 0 (12)

dv 8q

будем называть функцию и € С1 ([О, Г); H^(Q)), удовлетворяющую равенству (11) и для любого t € (О, Т) интегральному тождеству

/ (Vut{x,t)Vh(x) - uxi{x,t)h{x))dx = О

Jq

при любой функции h € H1(Q).

Разрешимость обобщенной постановки второй начально-краевой задачи для уравнения Россби устанавливается теоремой.

Теорема 2. Обобщенное решение задачи (10)-(12) существует тогда и только тогда, когда щ € H^(Q) такова, что (-^—uo,h\ = 0 для любой h G LiiQ), зависящей

\dxi J Ы1)

только от переменной xj. Причем, решение едтютвенно и имеет вид

u(t) = exp (^-tA^-^j uq. (13)

Здесь Aj1 : Щ (Q) —» H^(Q) — оператор, который ставит в соответствие правой части ф обобщенное решение ip задачи Неймана для уравнения Пуассона:

А<р = ф в Q, dtp

ди

= 0.

dq

В разделе 1.4 рассмотрены обобщенные постановки начально-краевых задач для уравнения Россби с более слабыми требованиями на гладкость решения по времени.

Определение 4. Ь1-обобщеннъш решением задачи (1)-(4) будем называть такую функцию и € ¿1([0,Г],Л^р1((5)), что для любой функции /г е С1 ([0, Т], Н^ ((?)), ЦТ) = о справедливо тождество

[ [ (т7и(х,г)'Фк((х,г) + иХ1(х,г)}1(х,г))с1х<и+ (14)

Jo ¿С}

+ [ \7щ(х)Ч11(х,0)(1х = [ ( ¡{х,Ь)к{х,г)(1хМ. Уд ¿о

Установлена связь между ¿^-обобщенным решением задачи (1)-(4) и её обобщенным решением.

Лемма 3. Обобщенное решение задачи (1)-(4) является Ь1-обобщенным.

Лемма 4. Пусть функция и Е С1 ([О, Г], Нр ((?)) — Ь^-обобщенное решение задачи (1)-(4)- Тогда оно является также обобщенным решением.

Теорема 3. Задача (1)-(4) имеет ровно одно Ьх-обобщенное решение.

В разделе также исследуется Ьх-обобщенное решение второй начально-краевой задачи для уравнения Россби, для него доказана теорема, аналогичная теореме 3.

Глава 2, состоящая из трех разделов, посвящена численному решению начально-краевых задач для уравнения Россби.

В разделе 2.1 дается определение приближенных решений начально-краевых задач для уравнения Россби, доказывается их сходимость к обобщенным решениям. Для простоты для смешанной начально-краевой задачи (1)-(4) выкладки проделаны при / = 0.

Из теоремы 1 следует, что решение смешанной начально краевой задачи имеет вид

где оператор А : H1(Q) —> Hb (Q) определен равенством А = —До1-.

ох 1

Определение 5. Пусть р, N 6 N, т = T/N, е > 0. (р, т, е)-приближенным решением смешанной начально-краевой задачи назовем последовательность функций {u'}£Lo> иг G H1(Q), определенную следующим образом:

где v'0 — и' 1, функции vj. € H1(Q) для всех к = 1,р удовлетворяют неравенству

Сходимость приближенного решения к обобщенному решению задачи (1)-(4) устанавливается следующей теоремой.

Теорема 4. Пусть и—обобщенное решение первой начально-краевой задачи для уравнения Россби, а {и1}^ — ее (р,т,е)-приближенное решение. Тогда для всех г = 1, АГ имеют место неравенства

u(t) = exp(tA)uo,

(15)

a

и' — и(гт

Oll

1

{eQ(t) + Ктр) ((1 + тР{т)У - 1) ,

(IG)

H4Q) ~ Р(т)

<

где константа К и полиномы P{r), Q(t) определены следующим образом:

К=\\А\Г1 sup ||и(<)||я1(<э) exp (||А|| Т),

ie[o,T)

k\ ^ " / (k + 1)!'

k=о k=о \j=о / v '

Следствие из теоремы 4. Обозначим sup Q(t)

г, т£{0,т] к

Ci = - г D/ ч. сг = - г о, х> Сз = sup Р(т).

mf Р(т) mf Р(т) т€[0,т]

те[о,т] 4 ге[о,т] 4 ' tl ' 1

Тогда из неравенства (16) следует выполнение неравенства

IK " «(^)||я.(0) < (Cie + С2гр) ехр(СзГ) (17)

для всех i = 1, N.

В разделе также дано определение приближенного решения второй начально-краевой задачи для уравпепия Россби и установлена его сходимость к обобщенному решению.

В разделе 2.2 приведены результаты численных экспериментов. Численные эксперименты проводились лишь для первой начально-краевой задачи для уравнения Россби, так как для второй и смешанной начально-краевых задач имеет место полная аналогия с первой. Наибольшую сложность при построении приближенного решения, особенно в областях сложной конфигурации, представляет нахождение функций v'k, которое сводится к численному решению краевой задачи (7) для уравнения Пуассона, причем, погрешность решения должна быть мала в норме пространства IVjfQ).

Опишем результаты численных экспериментов. В первом (тестовом) случае задача решалась в квадрате Q = {(zi,^) : 0 < хг < 1, 0 < х2 < 1}, для и0(х) = sin(7rxi)sin(7ra;2)cos(x17rV^), / = 0. При этом решение первой начально-краевой задачи имеет вид u(x,t) = sin(7rxi) sin(7ri2) cos ixiir%/2 + —7— ) • Сравнение аналитического ре-

V 47Г J

шения с численным решением подтвердило теоретические результаты о сходимости, изложенные в разделе 2.1.

Во втором случае задача решалась в Г-образной области, для щ(х) = х2(х2 — 1)(х2 —2) sin(7rii). На рисунках а)-г) приведены результаты расчетов (линии уровня функции и) при t = 0, 6,12 и 18 соответственно. Наблюдалось смещение вихревых пятен в западном направлении, а также образование и исчезновение вихревых пятен на восточной и западной границах соответственно.

рис. а)

рис. б)

fSw

fi-Jiill и

j ¡\тк-____) i)i

рис. в) рис. г)

В третьем случае задача решалась в области имитирующей Черноморскую акваторию. Область Q ограничена слева прямой Xi = 0, справа — Х\ = 4, снизу — х2 = 0. сверху —ломаной ABCDEF, начальное условие

, ч [ 2/2(1 ~ у)2х2(х — 1.75)2(х — 3.5)2, х 6 [0,3.5] х [0,1], и0(х) = <

[ 0, х $ [0,3.5] х [0.1].

Здесь координаты точек ломаной .4(0,1.5), 5(0.5,2), С(1,2), 0(1.5,1.5), £(2.5,1.5), F(4,0.5). На рисунках д) и е) представлены результаты расчетов (линии уровня функции и) при t = 0 и 15 соответственно.

В разделе 2.3 описан разработанный для проведения численных экспериментов программный комплекс «Rossbv».

Программный компелкс написан на языке С++ в среде Microsoft Visual Studio 2010. Он включает в себя следующие блоки:

- управляющий блок, в нем содержится цикл по временной координате и вызываются все основные функции программного комплекса;

- блок выбора базисных точек. В зависимости от контура расстановки и количества ба-

рис. д) рис. е)

зисных точек выбираются сами базисные точки;

- блок вычисления интегралов типа объемного потенциала. В этом блоке по заданной плотности вычисляются интегралы типа потенциала с помощью квадратурных формул

!

пятого порядка точноти по и второго по Х2\ I

- блок решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Реализация методом точечных потенциалов, описанного ниже в третьей главе; I

- блок вывода приближенного решения в файлы.

В главе 3, состоящей из пяти разделов, изучается сходимость в нормах пространств Лг(<2) и метода точечных потенциалов (метода фундаментальных решений) для задачи Дирихле для уравнения Пуассона, которая возникает при численном решении первой начально-краевой задачи для уравнения Россби.

Для случая, когда решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона приближается в норме пространства ¿2(<3), метод точечных потенциалов достаточно хорошо изучен в работах Купрадзе В.Д., Алексидзе М.А., Лежнева В.Г., Дроботенко М.И. Но при решении первой начально-краевой задачи для уравнения Россби обобщенное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона необходимо приближать в норме пространства И^(Я), а в этом случае метод точеных потенциалов требует дополнительного исследования. |

Для численных экспериментов главы 2 требуется решать задачу Дирихле для уравнения Пуассона только в двумерном случае, поэтому при исследовании метода точечных потенциалов ограничимся двумерным случаем.

В разделе ЗЛ вводится понятие системы точечных потенциалов, расширенной | системы точечных потенциалов и их базисных точек, приведены некоторые результаты Купрадзе ВД. и Алексидзе М.А. о линейной независимости системы точечных потенциалов.

Определение 6. Системой точечных потенциалов буде.м называть систему функций

сч(х) = Е(х — г;), г = 1, оо, где Е(х) = — 1п |х| — фундаментальное решение уравнения

2л

Лапласа, — счетное подмножество множества <2+- Точки множества

назовем базисньши точками системы точечных потенциалов.

Определение 7. Расширенной системой т.очеч.ных потенциалов будем называть систему функций а0(х) = 1, аДж) = Е(х — ¿С), г = 1, оо, где Е{х) = 1п |х| — фундамен-

¿7Г

тальное решение уравнения Лапласа, {г^}^ — счетное подлтожество множества <2+. Точки множества {г;}?^ назовем базисными точками расширенной системы точечных потенциалов.

Система точечных потенциалов впервые была рассмотрена в работах Купрад-зе В.Д., Алексидзе М.А., для нее доказаны результаты о линейной независимости, даны достаточные условия полноты в пространстве 1/2(9*2) в случае пространства размерности три и выше, предложены способы использования этой системы при приближенном решении краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона. В работах Лежнева В.Г. и Дробо-тенко М.И. исследование полноты системы точечных потенциалов получило дальнейшее развитие, было показано, что если множество базисных точек является множеством единственности гармонических функций, то система точечных потенциалов полна.

В разделе 3.2 изучаются условия полноты в пространстве Ьг{дО) системы точечных потенциалов. Приводятся новые, более тонкие признаки полноты системы точеных потенциалов. В частности, приводятся примеры множеств базисных точек, не являющихся множествами единственности гармонических функций, для которых система точечных потенциалов полна в ¿2(леммы 6 - 9). Дается необходимое и достаточное условие полноты системы точечных потенциалов, приводится ряд простых и удобных достаточных признаков полноты.

Для изложения основных результатов раздела нам понадобятся определение потенциала простого слоя и множества единственности потенциала простого слоя.

Определение 8. Потенциалом простого слоя называется функция вида

где р £ Функция р называется плотностью потенциала.

Определение 9. Множество А С <2+ будем называть множеством единственности потенциала простого слоя или, кратко, множеством единственности ППС, если из равенства двух потенциалов простого слоя на множестве А следует их равенство на <2+.

(18)

Лемма 5. Множество единственности гармонических функция является множеством единственности потенциала простого слоя.

Связь множеств единственности ППС с полнотой системы точечных потенциалов устанавливается леммой.

Лемма 6. Система точечных потенциалов {сц}^ полна в Ь^{дО) тогда и только тогда, когда множество ее базисных точек {г*},^ является множеством единственности ППС.

В разделе даны различные признаки множеств единственности, приведем некоторые из них.

Лемма 7. Пусть <51 — ограниченная область в И2, такая что Q (ZQ\. Для любой точки го 6 К2 \ О1 множество 3<21 и {го} является множеством единственности ППС.

Лемма 8. Пусть С) 1 — область в К2, такая что 0 С (¿1, К2 — непустая область и — неограниченное множество. Тогда лтожество дС^х является множеством единственности ППС.

В лемме 9 дан пример множества единственности ППС, которое не является множеством единственности гармонических функций.

Лемма 9. Пусть Ь — прямая не пересекающая дСТогда любое счетное множество точек С Ь, имеющее предельную точку 2о (\гъ\ < является множеством

единственности ППС.

В разделе 3.3 рассмотрено применение МТП к нахождению приближенного решения следующей задачи Дирихле для уравнения Пуассона:

| Аи = / В с?, / е Ш)

[ и\эа = о,

а также следующей задачи Дирихле для уравнения Лапласа:

( Аи = 0 в <5,

< , (20)

Общая идея применения МТП для численного решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона состоит в следующем: сначала при помощи объемного потенциала переносим неоднородность из правой части уравнения Пуассона в краевое условие; затем методом ТП решаем получившуюся задачу Дирихле для уравнения Лапласа.

1С

Методом точечных потенциалов приближенное решение и^(х) задачи Дирихле для уравнения Лапласа в работах Купрадзе В.Д., Алексидзе М.А., Лежнева В.Г. ищется в виде

и — 1,0 -Г

1=1

где коэффициенты с,, г = 0, А^ определяются решением задачи минимизации функции:

N

■ СО + У^с^,

• • • ,См) = II/ - им

1ыа<э)

N

¿2(34)

В разделе предложен модифицированный метода точечных потенциалов для задачи Дирихле для уравнения Лапласа, в котором приближенное решение и^(х) ищется в виде

N

и" = Со +

где коэффициенты с*, г = определяются решением задачи минимизации функции:

<3(с0,..., см) = ||/ - и.уЦннад) =

/ - Со - од

н 1(3(3)

Приближенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа, полученное модифицированным методом точечных потенциалов, сходится в норме И^ф) к решению задачи, что подтверждается теоретическими результатами и результатами численных экспериментов раздела 3.3. Из результатов численных экспериментов раздела 3.3 следует, что погрешность приближенного решения, полученного модифицированным методом точечных потенциалов, на порядок меньше погрешности приближенного решения, полученного не модифицированным методом точечных потенциалов, при одинаковом количестве используемых точечных потенциалов.

Полученные результаты позволяют применять модифицированный метод точечных потенциалов для корректного нахождения приближенного решения первой начально-краевой задачи для уравнения Россби.

В разделе 3.4 метод точечных потенциалов сравнивался с сеточным метом решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа по точности приближенного решения и скорости работы методов. Численные эксперименты проводились при <3 = (0,1) х (0,1). Сетка узлов в сеточном методе бралась равномерной, с равными шагами по обоим направлениям. Шаблон разностной схемы — пятнхочечпый крест. Система линейных уравнений решалась методом верхней релаксации.

Анализ результатов экспериментов показал:

1. Погрешность метода точечных потенциалов гораздо меньше для гладких граничных условий, чем для негладких.

2. Погрешность решения системы линейных уравнений в методе точечных потенциалов приводит к увеличению погрешности при количестве точечных потенциалов большем 120150.

3. Для гладких граничных условий МТП при одинаковой точности работает гораздо быстрее, чем рассмотренный сеточный метод.

4. Для негладких граничных условий сеточный метод может обеспечить лучшую точность, чем метод точечных потенциалов.

В разделе 3.5 изучаются условия полноты в пространстве L\{ßQ) системы нормальных производных точечных потенциалов. При решении задачи Неймана для уравнения Лапласа методом точечных потенциалов использован тот же подход, что и при решении задачи Дирихле для уравнения Лапласа:

1. Вводится и исследуется понятие множества единственности потенциала двойного слоя.

2. Устанавливается необходимое и достаточное условие полноты в L\[dQ) системы нормальных производных точечных потенциалов. А именно, система нормальных производных точечных потенциалов полна в пространстве L\(8Q) тогда и только тогда, когда базисные точки системы потенциалов предстваляют собой множество единственности потенциалов двойного слоя.

3. Из полноты в L\{dQ) следует сходимость метода точечных потенциалов для задачи Неймана для уравнения Лапласа.

Основные статьи в научных журналах, рекомендованных ВАК

1. Свидлов, A.A. О первой начально-краевой задаче для уравнения Россби. /A.A. Свидлов // Экологический вестник научных центров ЧЭС. —2008. —№3. —С. 49.

2. Свидлов, A.A. О второй начально-краевой задаче для уравнения Россби в ограниченной области. / A.A. Свидлов // Экологический вестник научных центров ЧЭС. —2009. —№3. —С. 80.

3. Свидлов, A.A., Негладкое решение уравнения Россби. /A.A. Свидлов, А.Э. Бирюк, М.И. Дроботенко // Экологический вестник научных центров ЧЭС. —2013. —№2. —С. 89.

4. Свидлов, A.A. Решение линейного уравнения Россби в ограниченной области./ A.A. Свид-

лов // Ученые записки Казанского государственного университета, Серия Физико - математические науки. —2013. —т. 155. -№3. —С. 142.

Другие статьи и материалы

5. Свидлов, A.A. Решение линейного уравнения Россби. / A.A. Свидлов //Тезисы докладов Четвертой международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения член корреспондента РАН Л.Д. Кудрявцева «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования.». -2013. -С. 23G.

Личный вклад автора в работах опубликованных в соавторстве: [3| доказательство теоремы о единственности Li-обобщепного решения.

Свидлов Александр Анатольевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛАНЕТАРНЫХ ВОЛН НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЯ РОССБИ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 24.04.2014. Формат 60 х 84 1/16 Печать цифровая. Уч.-изд. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ №1801.5

Издательско-полиграфичечкий центр Кубанского государственного университета 350040, г. Краснодар, ул. Ставропольская, 149.

Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кубанский государственный университе»

04201459294

Свидлов Александр Анатольевич

На правах рукописи

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛАНЕТАРНЫХ ВОЛН НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЯ РОССБИ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: к. ф.-м. н., доцент Дроботенко М.И.

Краснодар 2014

Оглавление

Введение...................................................................5

1 Начально-краевые задачи для уравнения Россби в ограниченной области. 22

1 Моделирование планетарных волн. Уравнение Россби (уравнение планетарных волн)........................23

2 Первая и смешанная начально-краевые задачи..........28

2.1 Постановка задачи......................28

2.2 Существование и единственность решения ........31

3 Вторая начально-краевая задача..................34

3.1 Постановка задачи......................34

3.2 Разрешимость задачи ....................37

4 /^-обобщенные решения начально-краевых задач для уравнения Россби...............................42

Выводы по главе 1 .........................................................50

2 Численное решение начально-краевых задач для уравнения Россби 51

1 Приближенное решение.......................51

1.1 Приближенное решение первого порядка точности по £ . 52

1.2 Приближенное решение р-го порядка точности по £ ... 55

1.3 Приближенное решение второй начально-краевой задачи 59

2 Численные эксперименты......................60

2.1 Погрешность приближенного решения первого порядка точности............................60

2.2 Погрешность приближенного решения р-го порядка точности ..............................62

2.3 Расчеты в области сложной конфигурации........65

2.4 Расчеты в области, имитирующей Черноморскую акваторию .............................67

3 Программный комплекс «КоэвБу» .................68

Выводы по главе 2 .........................................................73

3 Численное решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона

методом точечных потенциалов(МТП) 76

1 Точечные потенциалы(ТП).....................79

2 Множества единственности потенциала простого слоя......80

2.1 Потенциал простого слоя (ППС) и его свойства .....81

2.2 Множества единственности ППС..............82

2.3 Полнота в Ь2(дС2) системы точечных потенциалов .... 85

2.4 Признаки и примеры множеств единственности ППС . . 86

3 Задача Дирихле для уравнений Лапласа и Пуассона.......88

3.1 Свойства объемного логарифмического потенциала ... 89

3.2 Сведение задачи Дирихле для уравнения Пуассона к задаче Дирихле для уравнения Лапласа...........96

3.3 Задача Дирихле для уравнения Лапласа .........98

3.4 Полнота расширенной системы точечных потенциалов в H\dQ) ............................100

3.5 Численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа ..............................105

3.6 Численные эксперименты..................108

4 Сравнение метода точечных потенциалов с конечно-разностными методами ...............................111

4.1 Описание тестовой задачи..................111

4.2 Результаты численного эксперимента...........115

5 Задача Неймана для уравнения Лапласа .............118

5.1 Потенциал двойного слоя и его свойства..........119

5.2 Множества единственности ПДС..............120

5.3 Сходимость МТП для задачи Неймана для уравнения Лапласа............................124

5.4 Численные эксперименты..................127

Выводы по главе 3 ........................................................128

Заключение .............................................................131

Обозначения ............................................................135

Литература .............................................................137

Введение

В геофизической гидродинамике изучаются планетарные волны, возникновение и распространение которых обуславливается вращением Земли. Эти волны могут оказывать существенное влияние на океанические, морские и атмосферные течения, поэтому их изучение имеет большую практическую значимость. Эволюция планетарных волн достаточно хорошо описывается уравнением Россби

A щ + иХ1 = /.

Уравнение Россби исследовалось в работах Успенского C.B., Демиден-ко Г.В., Ильина A.M., Петрушко И.М., Лежнева В.Г. Для ряда начально-краевых задач в областях простой геометрии в них изучено асимптотическое поведение решения уравнения Россби при больших временах.

Для практических нужд важно не только асимптотическое поведение планетарных волн, но и их поведение при конечных временах. Аналитическое исследование этого поведения весьма затруднительно, так как реальные водоемы (моря и океаны) имеют достаточно сложную геометрию. Современное развитие вычислительной техники открывает широкие возможности применения здесь численных методов.

Эффективность численных методов решения начально-краевых задач

существенно зависит от математических постановок этих задач, выбора функциональных пространств и т.п. Поэтому возникает необходимость в пересмотре имеющихся постановок начально-краевых задач для уравнения Росс-би и исследования новых постановок. Диссертация посвящена исследованию математических моделей планетарных волн, которые представляют собой начально-краевые задачи для уравнения Россби.

Актуальность темы исследования подчеркивается устойчивым интересом к изучению уравнения Россби [55, 37, 83, 77, 22, 23, 6, 104, 98, 52, 57, 35] и подтверждается крупномасштабными экспериментами в Северной Атлантике (программы «Полигон» и «Mode»), установившими существование медленно меняющихся течений, которые описываются линейной теорией планетарных волн (в частности, уравнением Россби).

Цель работы:

1. Создать математические модели, описывающие эволюцию планетарных волн, в виде обобщенных постановок начально-краевых задач для уравнения Россби, исследовать корректность этих моделей.

2. Построить эффективные численные алгоритмы решения начально-краевых

задач для уравнения Россби, разработать комплекс программ, реализующий эти алгоритмы.

3. Провести численные расчеты для областей различной конфигурации.

Научная новизна работы. В работе даны новые обобщенные постановки начально-краевых задач для уравнения Россби в ограниченной области. Для первой и смешанной начально-краевых задач доказана их однозначная раз-

решимость, для второй найдены необходимые и достаточные условия существования обобщенного решения. Разработаны алгоритмы численного решения начально-краевых задач для уравнения Россби, доказана их сходимость. В разработанных алгоритмах численного решения используется метод точечных потенциалов (метод фундаментальных решений для уравнения Лапласа) , для которого в работе исследована сходимость в норме и предложены новые, простые и легко проверяемые достаточные условия полноты системы точечных потенциалов.

Практическая значимость работы. Предложенные в диссертации обобщенные постановки начально-краевых задач для уравнения Россби, численные алгоритмы их решения могут быть использованы при исследовании динамики океана и атмосферы. Исследование варианта метода точеных потенциалов, обеспечивающего сходимость по норме пространства И^1, может быть использовано для решения таких актуальных задач, как задача Хеле-Шоу.

На защиту выносятся:

1. Математические модели планетарных волн, описываемые начально-краевыми задачами для уравнения Россби в ограниченной области. Обобщенные постановки начально-краевых задач для уравнения Россби, теоремы устанавливающие их корректность, (стр. 22-50)

2. Алгоритм численного решения начально-краевых задач для уравнения Россби, теорема о его сходимости, (стр. 51-60)

3. Результаты численных экспериментов по решению начально-краевых задач для уравнения Россби. (стр. 60-68)

4. Определение множества единственности потенциала простого слоя, признаки множеств единственности потенциала простого слоя, необходимое и достаточное условие полноты системы точечных потенциалов, (стр. 80-88)

5. Способ численного решения задачи Дирихле для уравнений Лапласа и

Пуассона методом точечных потенциалов, который гарантирует приближение решения задачи в норме W^. (стр. 98-111)

6. Программный комплекс «Rossby», реализующий разработанный в диссертации алгоритм численного решения начально-краевых задач для уравнения Россби. (стр. 68-75)

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на II и III всероссийских конференциях «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах», 2005 и 2006; на четвертой международной конференции «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математического образования», посвященной 90-летию члена-корреспондента РАН, профессора Л.Д. Кудрявцева, 2013; на семинаре отдела механики пористых сред НИИММ им. Н.Г. Чеботарева КФУ, 2010; на семинаре Южно-Российского регионального центра информатизации (ЮГИНФО) ЮФУ, 2012; на семинарах кафедры численного анализа и кафедры теории функций Кубанского государственного университета, 2006-2013.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Она содержит 25 рисунков, 18 таблиц, 111 наименований литературных источников. Общий объем диссертации составляет 151

страницу.

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации. Во введении сформулированы цели и задачи диссертационного исследования, приведено краткое изложение основных результатов диссертации. В главе 1, содержащей 4 раздела, приведены математические модели планетарных волн в виде обобщенных постановок начально-краевых задач (первой, второй и смешанной) для уравнения Россби в ограниченной области, исследуется корректность этих постановок.

Раздел 1.1 посвящен моделированию планетарных волн при помощи уравнения Россби. В данном разделе также приведены сведения о изученных другими авторами моделях планетарных волн на основе уравнения Россби.

В системе координат, связанной с вращающейся как целое с постоянной угловой скоростью О, жидкостью, на частицы, движущиеся со скоростью V, действует сила Кориолиса —2т0, XV (га - масса частицы). Эта сила нормальна к V, и ее воздействие на жидкую частицу аналогично действию силы Лоренца на электрон в магнитном поле. При этом возникает дополнительное движение частицы по окружности. В сплошной среде частицы жидкости не могут двигаться независимо. Взаимодействие между ними приводит к возникновению градиента давления в среде. Совместное действие силы Кориолиса и градиента давления и приводит к возникновению волновых движений жидкости.

Рассмотрим течение идеальной несжимаемой однородной жидкости на планете, вращающейся с постоянной угловой скоростью Г2. Это течение опи-

сывается уравнением Эйлера

ду , ч V» — + 0 • УЪ + — + 20 х у = О <9£ р0

и условием несжимаемости

(Нун - О,

где £ — время, — плотность жидкости. Дополнительно предположим, что скорость V и ее градиент Уг> достаточно малы. Тогда, отбросив слагаемое (у ■ У)г>, уравнение Эйлера можно линеаризовать

ду V»

— + — + 2Пхг; = 0. оЬ ро

Выберем систему координат с началом в некоторой точке на поверхности планеты следующим образом:

1. Ось Х\ направлена по параллели с востока на запад.

2. Ось Х2 направлена по меридиану с юга на восток.

3. Ось £3 направлена по внешней нормали к поверхности планеты.

Далее рассматривать течение будем в так называемом приближении /3-плоскостк [6], т.е. считаем, что течение происходит в достаточно небольшой окрестности начала координат выбранной системы отсчета, поэтому кривизной планеты можно пренебречь.

Кроме того, течение будем считать плоскопараллельным, вертикальную компоненту скорости равной нулю. Тогда из условия несжимаемости сле-

/ дф дф \ п

дует существование функции тока ф, такая что у — ——, —,0 . Легко

\дх2 ох 1 )

проверить, что (го^)Ужз = —Д^У^з.

Вычислим третью компоненту ротора от линеаризованного уравнения

Эйлера

получим

rot ^ + ^ + 20, х Vx3 = О,

дАф 2\П\ дф

cos ip — О,

dt R дх\ где R — радиус планеты, ср — широта места.

Используя приближение /3-плоскости будем считать, что ip « const. Таким образом, получим уравнение планетарных волн, которое также называется уравнением Россби

дАф дф=0

dt ^Рдхг '

где /3 = cos ip.

Известны решения уравнения Россби в виде гармонических плоских волн [6]

ф = b exp[i(kixi + к2Х2 — u)t)].

Непосредственная подстановка последнего выражения в уравнения Россби приводит к закону дисперсии волн:

ш = -ркг/к2,к2 = к\ + к22)

являющемся существенно анизотропным в горизонтальной плоскости. В частности, поскольку ш и к\ имеют разные знаки, гармонические волны Россби могут распространяться только в отрицательном направлении оси Х\ (на запад).

Отметим, что с помощью замены переменных и(х, t) — ф(х,^) уравнение Россби приводится к виду

Ащ + иХ1 = О,

далее будем исследовать уравнение Россби именно в таком виде.

Впервые планетарные волны (волны Россби) были рассмотрены в работе Rossby С.-G. On the dispersion of planetary waves in barotropic atmosphere [104] в 1949 году. Волнам Россби (Россби - Блиновой) отведено место в учебных курсах и монографиях по теории колебаний и волн [59], по механике сплошных сред [6], гидродинамики атмосферы и океана [52], [57], [35]. В этих книгах рассмотрена механика течения, дан вывод уравнений описывающих динамику течения с учётом различных факторов, рассмотрены волны простого вида.

Существует ряд работ [22, 23, 11, 58, 55, 37, 83, 77] в которых исследованы начально-краевые задачи для уравнения Россби в неограниченных областях. Основной целью этих работ является изучение поведения решений при больших значениях времени. Так, задача Коши для уравнения Россби во всем пространстве рассмотрена В.Г. Лежневым [37]. Планетарные волны в неограниченной области, граница которой напоминает берег океана или моря, исследованы Огородниковым И.Е. [55]. В области похожей на канал — A.A. Тикиляйненом [77] и С.А.Габовым.

При выводе уравнения Россби был сделан ряд предположений, анализируя которые, можно видеть, что уравнение Россби хорошо описывает эволюцию планетарных волн при малых временах в достаточно маленькой области. Поэтому большой интерес представляет исследование поведения решений уравнений Россби в ограниченных областях. Такие исследования проводились. Например, исследованиям начально-краевых задач для уравнения Россби в ограниченной области посвящены разделы работ В.Г. Лежнева

[37] и И.Е. Огородникова [55]. В.Г. Лежневым рассмотрена первая начально-краевая задача, а И.Е. Огородниковым смешанная начально-краевая задача в циллиндрической по одной из пространственных координат области. В первой главе настоящей работы восполнены пробелы в исследованих по начально-краевым задачам в ограниченной области.

В разделе 1.2 даны обобщенные постановки первой и смешанной начально-краевых задач для уравнения Россби, доказана их корректность.

Функцию и е С1 ([О, Т); ЯрДф)) назовем обобщенным решением смешанной начально-краевой задачи для уравнения Россби:

если она удовлетворяет равенству и(0) — щ и при любом £ Е (О, Т) интегральному тождеству

для любой функции Н е Я^Дф). Здесь и0 Е / € С([0, Т); Ь2(0))

(перечень обозначений приводится в разделе 1.1). Заметим, что приГ2 = 0 смешанная начально-краевая задача переходит в первую начально-краевую задачу, поэтому последняя не рассматривается отдельно.

В теореме 2 раздела 1.2 установлена однозначная разрешимость смешанной начально-краевой задачи для уравнения Россби в обобщенной постановке.

Ащ + иХ1 — /, при 0 < t <Т, х е и{ 0) = щ,

В разделе 1.3 дается обобщенная постановка второй начально-краевой задачи для уравнения Россби, исследуется ее корректность. Обозначим Ь^О) =

{у Е Ш) : (V, 1)ь2(д) = 0}, н\(0) = ьсМ) п Н1{0).

Обобщенным решением второй начально-краевой задачи:

А щ + иХ1 = 0, при 0 <t <Т, гс € (3, и{0) = и0,щ е - 0

будем называть функцию и Е С1([0, Т); удовлетворяющую равен-

ству и{0) = щ и для любого £ Е (0, Т) интегральному тождеству

/ (ущ(хЛ)ЧН{х) - иХ1(х,ЬЩх))ёх = 0 ¿Я

при любой функции Н Е Я

В разделе доказано (теорема 4): обобщенное решение второй начально-краевой задачи для уравнения Россби существует тогда и только тогда, когда ^о Е Н}(0) такова, что \ -^—щ. Н ) =0 для любой Н Е 1/2(0), зависящей

\дх1 Л2«Э)

только от переменной х\.

В разделе 1.4 рассмотрены обобщенные постановки начально-краевых задач для уравнения Россби с более слабыми требованиями на гладкость решения по времени.

Ь\-обобщенным решением смешанной начально-кравой задачи для уравнения Россби будем называть такую функцию и Е ([0, Т], Яр (С¡))), что для любой функции /г Е С1([0,Т], Яр (<3)), Ь{Т) = 0 справедливо тождество

[ \ {^u{x,t)Vht{x,t)+uXí(xyt)h(x,t))dxdt-\-

Л

+ [ Чщ(х)Ч11(х,0)<1х = [ [ /(х,гЩх,г)(1х(И. Зц Jo Зя

Обобщенное решение смешанной начально-кравой задачи для уравнения Россби является в то же время её /^-обобщенным решением (лемма 9), досточно гладкое /^-обобщенное решение является обобщенным решением (лемма 10).

Смешанная начально-краевая задача обладает ровно одним /^-обобщенш решением (теорема 5).

В разделе также исследуется /^-обобщенное решение второй начально-краевой задачи для уравнения Россби, для него доказана теорема, аналогичная теореме 5.

Глава 2, состоящая из трех разделов, посвящена численному решению начально краевых задач для уравнения Россби и программному комплекс�