автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Применение методов Гамильтоновского формализма к теории нелинейного взаимодействия волн во вращающейся жидкости

РГ6 од

2 I) 1007 На правах рукописи

КУРКИН Андрей Александрович У.чл.хлл*^

а*

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ГАМИЛЬТОНОВСКОГО ФОРМАЛИЗМА К ТЕОРИИ НЕЛИНЕЙНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ВОЛН ВО ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ

Специальность 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

Нижний Новгород - 1997

Работа выполнена на радиофизическом факультете Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского.

Научный руководитель:

кандидат фио.-мат. наук, доцент В. В. Петров.

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор А. И. Саичев; доктор физ.-мат. наук, профессор А. Б. Езерский;

Ведущая организация - Нижегородский филиал института машиноведения им. A.A. Благонравов^ РАН

часов на заседании диссертационного совета Д 063.77.09 в Нижегородском государственном университете имени Н. И. Лобачевского по адресу: 603600, Н. Новгород, ГСП-20, пр. Гагарина, 23, корп. 4, радиофизический факультет, ауд. 201.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета

Защита состоится

1997 г. в

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физ.-мат. наук, доцент

В. В. Черепенников.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние годы гамильтоновский под-код [1], обобщенный в работах [2,3], прочно вошел в математический арсенал современнной радиофизики и ¡зарекомендовал себя сак мощный инструмент исследования разнообразных проблем не-шнейной динамики волн в широком круге приложений. Это обь-¡сняется не только действенностью аппарата канонических пре-)браоований, но и инвариантностью "устройства" записанных в шрмальном представлении гамильтонианов сред по отношению к физической природе последних, если общими оказываются их дис-герсии и обусловленный ими характер взаимодействия волн, что юзволяет легко придавать результатам, полученным для одной реды, общефизический смысл. Поэтому, методы гамильтонов-кого формализма дали преимущества, во-первых, при изучении юлновых взаимодействий в стратифицированной сжимаемой [4] [ несжимаемой [5] жидкости, во-вторых, для описания волновых вижений в течениях со сдвигом [6] и взаимодействий обьемных I поверхностных волн в нелинейных средах [7], а также при ре-1ении задач физики плазмы [2], нелинейной акустики, астрофи-ики, магнитной гидродинамики [8]. Однако наряду с этим в насто-щее время необходимо дальнейшее развитие гамильтоновского юрмализма для исследования волновых задач, характерная осо-енность которых заключается в том, что здесь принципиальную оль играют эффекты, связанные с вращением среды.

Кроме того, в связи с задачами прикладного характера, возни-, па настоятельная потребность в изучении волн Кельвина и волн оссби в океане, играющих чрезвычайно важную роль в процес-IX переноса энергии в пограничных областях океана. Линейная еория этих волн достаточно хорошо изучена, нелинейные же эф-екты в динамике волн Россби и в процессах взаимодействия волн Кельвина с волнами Пуанкаре (волнами открытого океана), на-

оборот являются слабо изученными. Одна из основных причин этого положения - отсутствие для моделей нелинейных вращающихся сред регулярных обобщенных подходов, аналогичных, например, методу нормального поля [7], на базе которых становится возможным решение широкого спектра задач нелинейной физики,

Целью работы является:

1. Применение методов гамильтоновского формализма для по строения канонической нелинейной теории волн во вращающейся жидкости, в том числе волн Кельвина и Пуанкаре в слое одно родной жидкости, баротропных волн Россби в приближении /У плоскости;

2. Исследование эффективности нелинейного взаимодействш вышеназванных типов волн.

Методика исследований. При решении поставленных задач ис пользовались методы лагранжевского и гамильтоновского форма лизма и асимптотические методы усреднения.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Получены преобразования от исходных физических перемен ных к нормальным каноническим переменным для волн Кельвин и Пуанкаре в слое однородной вращающейся жидкости; баротроп ных волн Россби в приближении /У-плоскости.

2. Найдены матрицы нелинейного взаимодействия для рассмг триваемых типов волн.

3. 'С помощью канонической теории волн во вращающейся жи£ кости, базирующейся на методах гамильтоновского формализм? исследованы следующие нелинейные эффекты: взаи^одействи встречных волн Кельвина с волной Пуанкаре и стабилизация, вое никающей при этом распадной неустойчивости кельвиновских вол] модуляционная неустойчивость волн Россби в приближении /?-пло< кости.

Практическая и теоретическая значимость. В диссертацио! ной работе, с помощью методов гамильтоновского формализма п<

троена каноническая теория нелинейного взаимодействия волн во ращающейся жидкости, которая может служить базой для реше-ия широкого спектра задач нелинейной физики применительно к одели океана. Полученные результаты исследования эволюции елинейных волн Кельвина в присутствии волны Пуанкаре и ба-отропных волн Россби в приближении /^-плоскости могут быть спользованы при проведении расчетов и оценок изменения пара-етров этих волн в реальном океане. Полученные результаты вне-рены в учебный процесс на радиофизическом факультете ННГУ включены в программы спецкурсов.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации окладывались на семинарах кафедры теории колебаний и авто-атического регулирования ННГУ, кафедры прикладной матема-ики НГТУ, отделения гидрофизики ИПФ РАН, Научных кон-еренциях ННГУ по радиофизике (1994, 1995, 1996,1997 гг.), VI VII научных сессиях Совета по нелинейной динамике РАН (г. 1осква, 1995, 1996 гг.), Международной школе по нелинейным ко-збаниям (г. Н. Новгород, 1995 г.), I и II Нижегородских научных гссиях молодых ученых (1996, 1997 гг.), Международной конфе-енции "Contemporary problems in theory of dynamical systems" H. Новгород, 1996 г.), XXII General Assembly of European eophysical Society (Vienna, Austria, 1997), Международной кон-еренции "Stability and Instabilities of Stratified and/or Rotating lows" (г. Москва, 1997 г.), 3rd European Fluid Mechanics Conference Böttingen, Germany, 1997).

Публикации. Основные положения диссертации опубликованы работах [1—5], а также в трудах конференций [6—14].

Структура и обьем работы. Диссертация состоит из Введе-яя, 2-х Глав, Заключения и Приложения. Обьем диссертации со-гавляет стр., в том числе ?-0 стр. основного текста. Список 1тературы содержит наименований и приведен на Ü. стра-яцах.

На оащиту выносятся следующие результаты:

1. Построение канонической теории нелинейного взаимодей ствия волн Кельвина и Пуанкаре в слое однородной вращающейс: жидкости.

2. Построение канонической теории баротропных волн Россб] в приближении /3-плоскости.

3. Исследование эффективности нелинейного взаимодействие рассматриваемых типов волн.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении сформулированы основные поставленные цели, от мечена их актуальность, обоснован выбор метода исследований дан обзор предыдущих исследований по всем рассмотренным за дачам, кратко изложено содержание работы.

В Первой Главе на базе концепции нормальных канонически: переменных строится гамильтоновское описание волн Кельвина ] Пуанкаре в слое однородной вращающейся жидкости (§ 1.1), ис следуется нелинейное взаимодействие встречных волн Кельвина волной Пуанкаре и стабилизация, возникающей при этом распад ной неустойчивости кельвиновских волн(§ 1.2). В § 1.1 в качеств исходной берется модель океана в виде бесконечно широкого кг нала однородной несжимаемой жидкости постоянной глубины 1г плотности ро, вращающегося вокруг вертикальной оси с углово скоростью П = //2, где / - параметр Кориолиса. Для такой сред1 со свободной поверхностью г = ?/(.т,1/) канонические переменны вводятся соотношениями Клебша [9], обобщенными на случай рас сматриваемой модели, и полностью решают задачу гамильтоно! ского описания ее динамики. Нормальные канонические перемен ные вводятся с помощью диагонализации квадратичной части гг мильтониана. Остальная часть гамильтониана, будучи выражен через более высокие степени этих переменных, рассматриваете как гамильтониан взаимодействия.

Знание этих гамильтонианов взаимодействия позволяет в § 1.2 решить задачу о распадной неустойчивости двух встречных коротких волн Кельвина с волновыми числами и к2 (и соответственно частотами ш0(кг) и и;0(к2)) в присутствии заданной длинной волны Пуанкаре с волновым вектором д3 = (к3,к3) и частотой и>(<?з) и исследовать зависимость эффективности возбуждения кельвиновских волн от угла падения волны накачки. В отом случае из уравнений Гамильтона с помощью метода усреднения Крылова — Боголюбова в приближении спектрально узких волновых пакетов, находятся "укороченные" уравнения для комплексных амплитуд волн Кельвина, на основании которых, получается выражение для инкремента 7 распадной неустойчивости волн Кельвина

7 = 7оИ)(М ,

где

- выражение для относительного инкремента, А0 = П/с, = к3 + а с = у/дК.

Выполнив с помощью (1) численные оценки величины 70, взяв в качестве накачки волну типа цунами, которая на глубине К ~ 100 м имеет длину А3 ~ 104 м и амплитуду Ь3 ~ 10 см, получаем, что при длине волны Кельвина А! = 800 м, когда >> величина 70 составляет приблизительно 0,36-Ю-2, что свидетельствует о достаточно эффективном процессе взаимодействия. Для того, чтобы получить представление о реальной значимости рассматриваемого эффекта, в этом параграфе рассчитывается также отвечающий ему стационарный уровень возбуждения волн Кельвина. В качестве механизма стабилизации неустойчивости принимается эффект фазового рассогласования взаимодействующих волн за счет четы-рехволнового взаимодействия волн Кельвина вида

^о(кг) + и0(к2) = + и0(к2) , (2)

где и и>0(к2) ~ частоты волн Кельвина, причем, если ш(<[3)

- частота волны Пуанкаре, а к^ и г/3 - соответствующие волновые вектора, то выполняются условия распадной неустойчивости. При отом из укороченных уравнений Крылова-Боголюбова в приближении спектрально-узких волновых пакетов и заданной волны Пуанкаре, получается следующее выражение для стационарного уровня возбуждения волн Кельвина

А2

- , (3)

¿21-1 '

на котором, таким образом, и ограничивается их амплитуда зл счет нелинейного процесса (2). Здесь — коэффициенты взаимодействия волны накачки Ь3 с кельвиновскими волнами, И'^ -коэффициенты нелинейного взаимодействия (2), ¿1)2 - коэффициент диссипации, обусловленный турбулентной вязкостью жидкости, Ар0Г — ^

Для /г ~ 100 м, Ах = 800 м, А3 ~ 104 м, при Ь3 ~ 10 см, согласно (3) будем иметь « 2.56 м и А° ~ 2.48 м. Эти величины вполне согласуются с экспериментальными значениями амплитуд волн Кельвина, Например, в проливе Ла Манш (/г ~ 80 — 90 м) были зарегистрированы волны Кельвина с амплитудами 3-4 м. Таким образом, рассматриваемый механизм генерации волн Кельвина является достаточно аффективным. Это в свою очередь означает, что эффекть: нелинейного волнового взаимодействия наряду с рассеянием вол! на неоднородностях рельефа берега и дна могут играть заметнук роль в процессах энергообмена между гравитационными волнам! открытого океана и волнами Кельвина.

Во Вторй Главе находятся нормальные канонические перемен ные, описывающие баротропные волны Россби в приближении /? плоскости (§ 2.1), которые используются для изучения самовоздеи ствия этих волн в рамках эффекта модуляционной неустойчивост!

юследних (§ 2.2). В § 2.1 показывается, что переменные (/3,—р0а), шодимые обобщенным преобразованием Клебша,

д? д0 и = + - у/Ша , ох ах

+ л/2Пзт\(у)13 ,

ду ду

;сть канонические переменные для колебаний плоской поверхности >днородной несжимаемой жидкости и полностью решают задачу •амильтоновского описания динамики рассматриваемой системы. }десь и, V — проекции скорости V на оси системы координат х и I, О. — угловая скорость вращения Земли, а тпА(у) = бшЛо + ^у — ыиротная зависимость параметра Кориолиса.

Нормальные канонические переменные в этом случае вводятся :ледующим каноническим преобразованием

2 П к

/2Про к

ак -

х / ■ а , *Рода*к\ ==|зтЛ0а, + - —|

фиводящим квадратичную часть полного гамильтониана, в этих 1еременных ак,а*к к диагональному виду. Найденное преобразова-ше к нормальным каноническим переменным волн Россби не со-(ержит ограничений на их амплитуду, что позволяет строить га-лильтониан взаимодействия нормальных волн в любом порядке те->рии возмущений и эффективно описывать фундаментальные явле-шя нелинейного взаимодействия этих волн, включая образование :олитонов.

В § 2.2 в качестве примера нелинейного взаимодействия рассматриваемых волн, представляющего как теоретический, так и при-сладной интерес рассматривается самовоздействие волн Россби в замках эффекта модуляционной неустойчивости. В эффекте само-юздействия, наряду с кубичной нелинейностью среды, описываемым слагаемым четвертого порядка в разложении гамильтониана

взаимодействия по степеням нормальных переменных, принимает участие (за счет последовательных процессов) и квадратичная нелинейность среды, описываемая кубичным слагаемым, вклад которого учитывается с помощью процедуры канонических преобразований исходных нормальных переменных, которая исключала бы кубичные члены из гамильтониана взаимодействия.

В приближении спектрально-узкого волнового пакета, сосредоточенного вблизи к0, из нелинейного уравнению Шредингера получается следующее выражение для максимального инкремента модуляционной неустойчивости рассматриваемых волн:

7тоа = ТВ2 ,

где В — амплитуда равновесного состояния, отклонения от которого полагаются пропорциональными а

„ 4П3 . , к2охк4оу / 4 . 2 \

Для волн Россби с длинной 10 км и амплитудой 10 см на 30° с. ш., где Д) = 1,9 • 10-13с_1ст-1 получим, что относительный инкремент модуляционной неустойчивости = {ко) приблизительно

равен 4,78- Ю-3. Сравнивая полученное значение с относительным инкрементом распадной неустойчивости 7°1п = 2ж\Укк1к1 ко-

торый на данной широте, равен по порядку величины Ю-2, можно заключить, что рассмотренное самовоздействие волн Россби достаточно эффективно и должно учитываться наравне с явлением распадной неустойчивости этих волн.

В Заключении сформулированы основные результаты работы:

1. С помощью методов гамильтоновского формализма посто-рена каноническая теория нелинейного взаимодействия воли во вращающейся жидкости и получены преобразования к нормальным каноническим переменным, описывающим нелинейную динамику а) поверхностных и внутренних волн во вращающейся жидкости при наличии боковых границ, б) волн Россби в приближении

/3-плоскости. Вычислены матричные коэффициенты нелинейного взаимодействия этоих типов волн.

2. Исследован нелинейный механизм генерации волн Кельвина за счет взаимодействия с волной Пуанкаре. При этом показано, что нелинейная генерация кельвиновских волн сравнима по эффективности с генерацией этих волн за счет известных линейных механизмов и зависит от угла падения волны накачки резонансным образом.

3. Показано, что самовоздействие баротропных волн Россби в рамках эффекта модуляционной неустойчивости в приближении /^-плоскости является достаточно эффективным и должно учитываться наряду с явлением распадной неустойчивости этих волн.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Куркин A.A. Каноническая теория нелинейного взаимодействия волн во вращающейся жидкости // Нелинейные волны. Синхронизация и структуры. Ч. 1. Под ред. М.И.Рабиновича, М.М.Сущика, В.Д.Шалфеева. Н.Новгород.: ННГУ. 1995. С. 117-120.

2. Куркин A.A., Петров В.В. О нелинейной генерации кельвиновских волн в океане // Нелинейная динамика — синхронизация и хаос. Н.Новгород.: ННГУ. 1995. С. 165-168.

3. Куркин A.A., Петров В.В. Гамильтоновское описание баротропных волн Россби // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1996. Т.39. N 9. С. 1067-1074.

4. Куркин A.A., Петров В.В. Каноническая теория нелинейных волн Россби в приближении /^-плоскости // Современные проблемы радиофизики. Сб. научных трудов. Под ред. А.В.Якимова. Н.Новгород.: ННГУ. 1996. С.118-122.

5. Куркин А.А., Петров В.В. Гамильтоновский формализм для волн во вращающейся жидкости // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 1997. Т.ЗЗ. N 1. С. 36-40.

6. Куркин А.А., Петров В.В. Каноническая теория нелинейного взаимодействия волн Кельвина и Пуанкаре. Н.Новгород.

1995. 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 18.07.95. N 2182 - В95.

7. Куркин А.А., Петров В.В. Гамильтоновский формализм для баротропных волн Россби. Н.Новгород. 1995. 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 15.08.95. N 2451 - В95.

8. Куркин А.А. Гамильтоновский формализм для волн во вращающейся жидкости // Тез. докл. научной конф. по радиофизике. Н.Новгород. 1994. С. 20.

9. Куркин А.А., Петров В.В., Родионов Д.Н. Гамильтоновское описание волн Россби // Тез. докл. юбилейной научной конф. по радиофизике. Н.Новгород. 1995. С. 43-44.

10. Куркин А.А. Гамильтоновское описание баротропных волн Россби //Тез. докл. научной конф. по радиофизике. Н.Новгород. 1996. С. 14.

11. Kurkin A.A., Stepanyants Yu.A. Hamiltonian description of Ross-by waves // International Conference on Contemporary Problems in Theory of Dynamical Systems. Abstracts. Nizhny Novgorod.

1996. P. 32.

12. Kurkin A.A., Stepanyants Yu.A. The hamiltonian description of waves in a nonuniformly rotating fluid // Annales Geophysicae.

1997. Supplement II to Volume 15. P.572.

13. Kurkin A.A., Stepanyants Yu.A. Hamiltonian description of barot-ropic and baroclinic Rossby waves in a rotating fluid // Internati-

onal Conference on Stability and Instabilities of Stratified and/or Rotating Flows. Abstracts. Moscow. 1997. P. 65.

14. Kurkin A.A., Stepanyants Yu.A. Hamiltonian description of Kelvin, Poincare and Rossby waves in a rotating fluid // 3rd European Fluid Mechanics Conference. Abstracts. Gottingen. Germany. 1997. P. 77.

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Захаров В.Е. Гамильтоновский формализм для волн в нелинейных средах с дисперсией // Изв. вузов. Радиофизика. 1974. Т.2. N 4. С.431-453.

2. Захаров В.Е., Кузнецов Е.А. Гамильтонов формализм для систем гидродинамического типа // Препринт N 186. Новосибирск.: ИАЭ СО АН СССР. 1982. 56с.

3. Гончаров В.П., Павлов В.И. Проблемы гидродинамики в га-мильтоновом описании. М.: МГУ. 1993. 197с.

4. Гончаров В.П. Исследование волновых взаимодействий в стратифицированных средах в рамках метода гамильтоновского формализма. Кандидатская диссертация. М.: МГУ. 1997.

5. Воронович А.Г. Гамильтоновский формализм для внутренних волн в океане // Изв. АН СССР. ФАО. 1979. Т.15. вып.1. С.82-91.

6. Гончаров В.П. Гамильтоново представление уравнений гидродинамики и его использование для описания волновых движений в течениях со сдвигом // Изв. АН СССР. ФАО. 1984. Т.20. N 2. С.125-135.

7. Петров В.В. Взаимодействие объемных и поверхностных волн в нелинейных средах. Кандидатская диссертация. Горький: ГГУ. 1979. 113с.

8. Конторович В.М., Кравчик X., Тиме В. Гамильтоново описание непотенциального движения при наличии свободной поверхности в обычной и магнитной гидродинамике. Препринт N 158. ИРЭ АН УССР. Харьков. 1980.

9. Селиджер Р.Л., Уитем Г.Б. Вариационные принципы сплошной среды // Сб. перев. "Механика". 1969. N 5. С.99-123.

ОГЛАВЛЕНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение

Глава 1. Гамильтоновское описание нелинейного взаимодействия волн Кельвина и Пуанкаре в слое полуограниченной вращающейся жидкости

1.1. Нормальные канонические переменные

1.2. Распадное взаимодействие волн Кельвина и Пуанкаре Выводы к главе 1

Глава 2. Гамильтоновское описание нелинейных баротропных волн Россби в приближении /3-плоскости

2.1. Нормальные канонические переменные

2.2. Самовоздействие баротропных волн Россби Выводы к главе 2

Заключение Приложение 1 Приложение 2 Список литературы