автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Приближенные модели для уравнений гидродинамического типа с переменными коэффициентами

На правах рукописи

Медведев Сергей Борисович

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 2006

Работа выполнена в Институте вычислительных технологий СО РАН.

Официальные доктор физико-математических наук, профессор оппоненты: Доброхотов Сергей Юрьевич,

доктор физико-математических наук Крупчатников Владимир Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор Фокин Михаил Валентинович

Ведущая организация: Институт океанологии им. П.П. Ширшова

РАН, г. Москва.

Защита диссертации состоится 8-го сентября 2006 г. в 13 часов на заседании специализированного диссертационного совета Д 003.046.01 при Институте вычислительных технологий СО РАН по адресу:

630090, г. Новосибирск, проспект академика М.А.Лаврентьева, 6, конференц-

С диссертацией можно ознакомиться в специализированном читальном зале вычислительной математики и информатики научного отделения СО ГПНТБ (проспект академика М.А.Лаврентьева, 6.)

зал И ВТ

Автореферат разослан " Ч" 4 Г^ С-Т"**— 2006

г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических нау профессор

Л. Б. Чубаров

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающие при моделировании различных задач естествознания, могут быть эффективно изучены с помощью асимптотических методов. Однако даже для обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами приближенное исследование становится существенно сложнее. Для уравнений в частных производных также развиты эффективные методы исследования. Тем не менее изучение уравнений с переменными коэффициентами требует разработки новых и совершенствование существующих методов.

Все уравнения нелинейной физики являются приближенными моделями и содержатся в некоторой иерархии моделей. С одной стороны это обусловлено приближенным характером физических законов, а с другой стороны многие уравнения были получены как некоторое приближение из некоторых исходных уравнений. Нелинейное уравнение Шредингсра и уравнение Кортевега-Де Фриза наиболее известные модельные уравнения, которые возникают в самых разных приложениях. При математическом моделировании задачу приближенного исследования уравнений можно разделить на две подзадачи. Первая состоит в построении точных или приближенных решений для исходных уравнений. Если это невозможно, то возникает подзадача построения более простой модели, которая допускает детальный анализ. В настоящее время оба подхода успешно применяются, и получено множество модельных уравнений.

Однако уравнения с переменными коэффициентами по-прежнему являются трудным предметом для исследования. Трудность обусловлена отсутствием достаточного числа симмстрий, которое характерно для уравнений, решаемых точными методами. Поэтому для решения нелинейных уравнений с переменными коэффициентами применяются в основном приближенные методы. Кроме того получение модельных уравнений с переменными коэффициентами является отдельной задачей.

Настоящая диссертационная работа как раз и посвящена актуальной проблеме: исследованию нелинейных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами и построению приближенных моделей для них. Поскольку нелинейные уравнения сильно различаются по своим свойствам, в данной работе рассматриваются только уравнения гидродинамического типа, которые возникают при моделировании задач нелинейной физики.

Основная научная проблема, которой посвящена настоящая диссертационная работа, состоит в построении и исследовании приближенных моде-

лей геофизической гидродинамики и нелинейной волоконной оптики, описываемых нелинейными уравнениями в частных производных с переменными коэффициентами. Это построение основано на методе нормальных форм. В данной работе рассматриваются, в основном, уравнения гидродинамического типа, которые возникают при моделировании перечисленных выше задач нелинейной физики.

Цель диссертационной работы состоит в разработке методов построения приближенных моделей, описываемых уравнениями гидродинамического типа с переменными коэффициентами, и анализе их резонансных свойств. В частности, сюда входят:

- развитие и применение метода нормальных форм при построения приближенных моделей для уравнений гидродинамического типа с переменными коэффициентами;

- разделение медленного и быстрого движений для модели вращающейся мелкой воды и изучение динамики быстрых движений для одномерной модели вращающейся мелкой воды;

- построение колмогоровских решений для стационарных кинетических уравнений, описывающих кинетику коротких инерционно-гравитационных волн в рамках модели вращающейся мелкой воды на ^плоскости в средних широтах и на экваториальной бета-плоскости;

- построение и исследование усредненной модели распространения импульсов, описываемых нелинейным уравнением Шредингера с периодическими коэффициентами;

- развитие вариационного подхода для малопараметрического описания взаимодействия импульсов.

Методы исследования. В работе используются методы асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, методы нормальных форм и усреднения для обыкновенных дифференциальных уравнений. Также используются качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений и гамильтонов формализм для конечномерных и полевых систем.

Научная новизна полученных в диссертационной работе результатов состоит в следующем:

1. Предложены новые обобщения нормальных форм для специальных классов дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. Найден новый класс скобок Пуассона, которые асимптотически эквиваленты скобке с нулевой трансверсальной частью.

2. Впервые проведено полное разделение быстрых и медленных движений на основе линеаризованного потенциального вихря для модели вращающейся

мелкой воды с постоянным параметром Кориолиса. Найдено новое уравнение баланса для статической инициализации. Впервые показано, что геострофическое приспособление для одномерной модели вращающейся мелкой воды является полным. Найден критерий формирования сингулярности для различных начальных данных.

3. Впервые получены гамильтоновы и кинетические уравнения для описания инерционно-гравитационных волн в средних широтах и на экваторе. Найдены точные колмогоровские решения для стационарного кинетического уравнения.

4. Впервые найдены условия, при которых нелинейное уравнение Шредин-гера с периодическими коэффициентами может быть преобразовано в нелинейное уравнение Шредингера с постоянными коэффициентами, и получена усредненная модель для максимального большого диапазона изменений параметров периодических коэффициентов. Предложены новые численные алгоритмы для нахождения решений нелинейного уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами и его усредненной модели.

5. Предложен новый вариационный метод получения малопараметрических гамильтоновых моделей для описания взаимодействия импульсов. Найдены точное и численные решения для уравнений, описывающих взаимодействие двух импульсов.

Теоретическая и практическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты по развитию и применению метода нормальных форм для уравнений в частных производных с переменными коэффициентами могут быть применены па практике в качестве инструмента математического моделирования и аналитического исследования моделей механики сплошных сред и нелинейной волоконной оптики.

Апробация работы. Основные научные результаты диссертации докладывались и обсуждались на:

- международной конференции "Advanced Mathematics, Computations and Applications" в честь акад. Г.И. Марчука (Новосибирск, Россия, 1995),

- международной школе по нелинейным наукам (Нижний Новгород, Россия, 1995),

- международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред" в честь акад. Н.Н. Яненко (Новосибирск, Россия, 1996),

- Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, Россия, 1996, 1998),

- научной программе "Математика атмосферы и океана" (Isaac Newton

Institute for Mathematical sciences, Cambridge, UK, 1996),

- конференции в честь проф. В.И. Арнольда (Fields Institute for Mathematical Sciences, Toronto, Canada, 1997),

- конференции "Environmental Fluid Mechanics" в честь проф. О. Филлип-са (John Hopkins University, Baltimore, USA, 1998),

- Генеральных ассамблеях Европейского геофизического общества (Nice, France, 1998, 2001),

- международной конференции "Солитоны, коллапсы и турбулентность: достижения, развития и перспективы" в честь проф. В.Е. Захарова (Черноголовка, Россия, 1999),

- научной программе "Геометрия и физика узлов" (Isaac Newton Institute for Mathematical sciences, Cambridge, UK, 2000),

- научной школе "Новые тенденции в турбулентности" в Институте перспективных исследований НАТО (Les I louches, France, 2000),

- программе "Симплектическая геометрия и физика" в Институте чистой и прикладной математики (Los Angeles, USA, 2003)

- международной конференции "Асимптотический анализ и физика атмосферы и океана" (Rome, Italy, 2004).

На различных стадиях выполнения работа обсуждалась на семинарах, руководимых ведущими специалистами, в российских и зарубежных институтах и университетах:

- Институт вычислительных технологий СО РАН (Ю.И. Шокин),

- Институт математики им. Соболева СО РАН (B.C. Белоносов, М.В. Фокин),

- Механико-математический факультет МГУ (В.В. Козлов),

- Физический факультет университета Торонто, Канада (T.G. Shepherd),

- Математический институт, Кёлн, Германия (Т. Küpper),

- Департамент прикладной математики и физики, Кэмбридж, Великобритания (M. Mclntyre),

- Институт теоретической физики, Дюссельдорф, Германия (К.Н. Spat-schek),

- Нормальная школа, Париж, Франция (V. Zeitlin),

- Университет им. П. и М. Кюри, Париж, Франция (H. Le Treut).

Представленные в диссертации исследования проводились в рамках: Российского фонда фундаментальных исследований - исследовательские проекты 01-01-00959 (руководитель), 03-02-16496 (исполнитель), 95-05-15581 (исполнитель), проекты ведущих научных школ России 04-05-64481 (исполнитель), 00-015-98543 (исполнитель); интеграционного проекта 02-2003 СО РАН

02-2003 (исполнитель); проекта 2Г4-080-01 Министерства образования РФ, (исполнитель).

Публикации результатов и личный вклад автора. По теме диссертации опубликована 31 работа, список которых приведен в конце автореферата. В совместных работах постановка задач, аналитические выкладки, разработка вычислительных алгоритмов и интерпретация полученных результатов, включенные в диссертацию, принадлежат автору.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений и списка литературы из 235 наименования. Объем диссертации составляет 238 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение носит обзорный характер. Дается анализ имеющихся в литературе результатов, приведено краткое содержание диссертации.

Глава 1 содержит 4 параграфа, в которых дается изложение способов построения и примеры нормальных форм для уравнений в частных производных с переменными коэффициентами.

В параграфе 1.1 сформулированы и доказаны основные теоремы для уравнений в частных производных с переменными коэффициентами, которые имеют в главном порядке систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Рассматривается система уравнений в частных производных

дщ(х,г)/дг +\{(х)щ(х,г) = «ей1, хеДт, (1)

с правой частью в следующей форме

оо

*!(*,«) = £; Е ]Г (2)

где = ... индексы л,...,зп нумеруют зависимые переменные щ, п есть степень нелинейности. Предполагается, что мультииндексы а1,...,с*п удовлетворяют условиям 0 < ах,...,О < а„, что означает отсутствие интегральных членов.

Определение 1 Моном

Ф = (з)

называется резонансным в точке х если выполняется следующее равенство

М*) = Ал(х) + ... + (4)

в противном случае, Gi называется нерезонансным.

Определение 2 Моном G¡ называется нерезоиансным в окрестности точки х, если - нерезонансный в каждой точке этой окрестности, в противном случае, моном С; называется резонансным.

Предполагается, что частные производные от г^, (г) являются

малыми

~ е'^'и,-, Л ~ е^А,, ~ ^'/¿Г&М, (5)

где е есть малый параметр и | /3 |= /?1 + ... + /Зт задает норму мультииндекса Р. Чтобы упростить обозначения, вместо с.''3'.О'9 используется С3, опуская малый параметр.

Сформулирована и доказана основная теорема.

Теорема 1 Используя замену переменных щ(х) — Vi(x) + В^, система (1) может быть преобразована в каноническую форму в окрестности точки

Хо

дъ\(х, £)/сН + = Щ(х, и), (6)

где все мономы в сумме IV являются резонансными в окрестности точки Хо, и В{ имеет форму (2).

Имеют место следующие важные замечания.

Замечание 1. Если предположить, что производные от А*, /¿"'¿"„(я) имеют меньший порядок, чем определено в (5)

< Л, &3/£±(х) < (7)

тогда необходимо будет отбросить некоторые высшие члены в гомологическом уравнении, и его решение находится аналогично.

Замечание 2. Можно также предполагать слабую нелинейность. Если параметр нелинейности равен е, тогда порядок монома С7< увеличивается на п, и гомологическое уравнение и его решение остаются прежними. Т.о. получается следующее обобщение теоремы Пуанкаре-Дюлака.

Теорема 2 Система (1), где имеет второй порядок малости, мо-

жет быть преобразована в каноническую форму (6) в окрестности точки Хо.

Замечание 3. Можно также рассматривать только слабую нелинейность для системы (1). Тогда могут быть включены отрицательные степени для производных (интегральные операторы) и, таким образом, установлено прямое обобщение теоремы Пуанкаре-Дюлака для слабо нелинейных систем уравнений.

Теорема 3 Предположила слабую нелинейность и будем считать, что правые части Р^х,и) системы (1) имеют второй порядок нелинейности, и что порядок производных для членов заданной степени нелинейности является конечным. Тогда система (1) может быть преобразована к канонической форме (6) в окрестности точки х^.

Замечание 4. Все использованные преобразования являются формальными рядами малого параметра е в окрестности данной точки аго- Поэтому эти ряды требуют дальнейшего изучения применимости.

Далее рассмотрены конкретные примеры построения нормальных форм.

В первом примере для уравнений мелкой воды во вращающейся системе координат

щ + иих 4- ьиу — + дкх = 0, + иух + + /и + дку = 0, (8)

Ы + {иК)х + (ук)у = 0, (9)

где и, V- компоненты вектора скорости, Л - глубина жидкости, д - ускорение свободного падения, / — параметр Кориолиса, получена нормальная форма Пуанкаре для длинноволновых движений

фг + ф,Ь - Ю^дкБф - да-1) - 1фдК){ОГ1ф)

-ЩО/'^В I ф I2 -21 I ф I2 5(фП/~1) = 0, (10)

Л4 + [5л72 + М^|2,.Г1] = О, (И)

где | ф |2= "ФФ и [/,5] = /хду - /удх = \iDJDg — В/Од)_означает Якобиан /ид. Здесь введены обозначения ф = (м + ш)/\/2, ф = (и — го)/\/2, П = (дх + \ду)/\/2, £> = (дх — \0у)/\/2. Длинноволновое приближсиие означает, что оператор мал по сравнению с радиусом Россби. Эти уравнения содержат только резонансные члены второго порядка относительно малого £>. Существенно, что параметр Кориолиса / считается положительной функцией от пространственных переменных.

Во втором примере построена нормальная форма Пуанкаре для уравнений мелкой воды на бета плоскости при малой неоднородности и малой нелинейности. Первое означает, что параметр Кориолиса взят в виде линейной функции / = /о+/3у, где /3 считается малым относительно постоянной части /о для масштабов движения порядка радиуса Россби Л = с//о- Второе предположение означает, что скорость и отклонение свободной поверхности г = к — ко являются малыми величинами относительно скорости звука с = \fgho и высоты покоящейся жидкости ко. После преобразования Фурье и диагонализации

главной линейной части нормальная форма первого порядка дается следующими уравнениями с квадратичной нелинейностью

^ + ¡Пкак + / Ц^па1ат<1А = 0, (12)

^+1(а;к-1Б^)Ьк + /^а1ЬшСгЛ = 0. (13)

В этой форме дисперсионный закон для волн Россби Ок = возникает

в первом порядке, и дисперсионный закон для инерционно-гравитационных волн с^'ь = л//ополучает анизотропную добавку —Шк2 вследствие неоднородности, описываемой бета членом. Добавка — Ш^2 отсутствует в литературе, посвященной уравнениям вращающейся мелкой воды.

Специфическое свойство системы (8)-(9), которым обладает и нормальная форма первого порядка, состоит в отсутствии члена вида J {/к1тЬ|61то(А в уравнении для волн Россби. В общем случае, выражение такого вида описывает усредненное влияние высокочастотных волн на низкочастотные в общих системах для взаимодействия высокочастотных и низкочастотных волн. В системе (8)-(9) инерционно-гравитационные и волны Россби являются высоко-и низко- частотными, соответственно.

Принимая во внимание только резонансные члены второго порядка, после подходящего преобразования получена нормальная форма

^ + I (Ък - ¡40>) «к + / (£/¿1 + л'1) а1атг1\ +1 п12,1ь,Ь*_тс1Л + / П(к^атап(1^ + / П^'ФтЬ-^ = 0, (14)

^ + 1 (а* - гВ« - + / + ^

+1+ / 5^1пь1ьтыпф

+1+ /Я^ъЬшЫ^ = О, (15)

где п = (пь пг), <1ц = <5(к — 1 — т — п)сЛЛп^п. В этой форме бета член генерирует дополнительную собственную нелинейность для воли Россби, медленный член, образованный инерционно-гравитационными волнами и модуляцию инерционно-гравитационных волн на волнах Россби в более высоких порядках. Дополнительная собственная нелинейность волн Россби включает в себя скалярную нелинейность.

Третий пример дает нормальную форму для коротких волн, описываемых уравнениями мелкой воды на экваториальной бета плоскости / = (Зу. В полученной нормальной форме, квадратичной по зависимым переменным,

уравнения, описывающие инерционно-гравитационные волны, отделяются от уравнений для волн Россби. Эти уравнения могут быть записаны в гамиль-тоновой форме в физических переменных

с гамильтонианом

н = ] (i(l + z){<fil + + ±z2 + /VA-ч) dxdy. (17)

В параграфе 1.2 рассматриваются кососимметричные градиентные системы

у = KVh = KDy (18)

с положительно определенной характеристической функцией h, которая без потери общности имеет вид h{y) = у\ +... + и кососимметричной матрицей К. Матрица D этом случае совпадает с единичной матрицей. Предположим, что разложение К по степеням у имеет вид К — Ко + К\ + ..., где Kq есть постоянная матрица. Тогда имеет место теорема.

Теорема 4 Пусть характеристическая функция системы (18) является квадратичной и положительно определенной, тогда эта система может быть приведена формальной заменой зависимых переменных к форме

i = Lz, (19)

где в правой части находятся только резонансные члены, и матрица L является кососимметричной.

В качестве примера рассмотрены гидродинамические уравнения для медленных движений неизотермической плазмы, помещенной в магнитное поле Н. Магнитное поле Н направлено вдоль оси z и может зависеть от пространственных переменных.

dv/dt + (vV) v = -eVtp/M + [vil], dp/dt + divpv = 0, (20) 47Гб

Дч> = -Jf(p - Poexp(ev?/T)) (21)

где v, p, M — скорость, плотность, масса ионов. <р — потенциал электрического поля и íl = еН./Мс. Температура электронов Т и нсвозмущенная плотность ро также считаются неоднородными. В однородном случае эта система описывает два типа волн — ионно-звуковые и циклотронные.

В результате получается система, описывающая взаимодействие циклотронных и ионно-звуковых волн с заданной точностью

/ дф/дг \ (ки о о \ ( V

дф* /дЬ др/дЬ \ д(]/д1

+

-К.

32

О

О К22 К31 Кю Кзз —Щз V О О К43 Ки

где

Ки = *(/ + + КЛ = рУэ, V

2/ Ро

Кя = -¿(/ +

1/2 Ро _

2/ Ро

РО

= 1

(22)

Ро

ф

Ро 2/

Ро 1

1/2 1 Ро

Со 1/2 Ро

г2

40 _

РО

СО п»гР0 п Со „ 1/2 о Р , Р г, 1/2

1/2 Ро

/ ~ 1/2' Ро

р

'2ро ' 2ро

2/2

2РУ2 *0> Зро

(24)

2/2

В силу тождества

Кзхф + К32ф' = 0, (23)

воздействие циклотронных волн на ионно-звуковые в данном приближении отсутствует. Для ионно-звуковых волн имеем систему

.Кзз

•^43 ^44

В параграфе 1.3 проведено доказательство асимптотической теоремы Дарбу для непрерывных систем.

Теорема 5 Пусть и>о(х) = (ио(х), г>о(ж)) есть произвольная точка на пуас-соновом многообразии Р. И пусть структурный оператор скобки Пуассона имеет вид

J{x\ V)) = Зй + Л + + ..., (25)

¿> не зависит от т и имеет обратный оператор Д. Тогда подходящая замена переменных в окрестности точки №о(а;) приводит этот структурный оператор к виду

'-(г?)- <*>

где Т - вырожденный оператор в точке ы^: Т(адо) = 0 и не зависит от переменной и.

В качестве первого примера приведено уравнение, описывающие волны Россби в атмосфере, и дрейфовые волны в плазме. Для функций, быстро убывающих на бесконечности, скобка Пуассона этого уравнения приводится к своей постоянной части.

Второй пример — это структурный оператор скобки Пуассона для уравнений вращающейся мелкой воды в переменных и, v, г

( о -(1 + £)

7(аг, у; «,«,*)= 1 + £ 0 ду . (27)

\ дх ду 0 /

После расщепления в первом порядке структурный оператор принимает вид

/0-1 0 \

Л + Л = 1 0 0 . (28)

\0 0 дх^ду - ду^дх }

В параграфе 1.4 доказано предложение для специального класса скобок Пуассона, которые могут быть приведены к произведению канонической и нулевой скобок.

Предложение 1 Если скобка Пуассона имеет вид

/0-104 /Л -щ -с* \

¿(г;и},и2У) = 1 0 0 Д 0 0 , (29)

\ 0 0 О / ¿=1 у Сг О 0 )

где не зависят от и1, оператор А{ является линейным по и1, тогда

эта скобка может быть преобразована к следующему виду

/0 -1 0 \

= 1 0 0 . (30)

\о о о/

Приведены соответствующие примеры для одной и двух пространственных переменных.

Глава 2 состоит из 3 параграфов, которые посвящены, соответственно: построению медленного многообразия для двумерных уравнений мелкой воды при постоянном параметре Кориолиса в физическом пространстве; построению быстрого и медленных инвариантных многообразий, нормальных форм

Пуанкаре в спектральном пространстве; исследованию фронтального геост-рофичсского приспособления в рамках одномерных уравнений мелкой воды.

В параграфе 2.1 рассматриваются безразмерные уравнения вращающейся мелкой воды (8)-(9) при постоянном параметре Кориолиса /. Разделение движений в линейном приближении проводится с помощью замены переменных

дх dip ду д£ dip . , ,„„.

W ду ду~^~ дх'

V дх дх ду'

где Д = вид

е3

■щр - лапласиан. Уравнения в новых переменных принимают Ял, я я

(32)

Д(1 - Д)Ц + Д(1 - Д)* = ¿ (A(uz) + (A(vz) - vn), (33)

dAtp дА<р

дх

ду

^ди dv ду дх

(34)

где П = — щ и и, V, г выражаются с помощью (31).

Для того, чтобы разделить движения в нелинейной части, делается замена следующего вида

х — х, £ = £ + н[х], = + ф[х],

(35)

где Ф[х] являются функциями, аргументы которых есть интегро-диф-ференциальиые операторы от Х-

С точностью до кубических членов находится формальное решение

Щх] = ЭД + Нз[х] + Ф[х] = ФгМ + Фз[х] +

(36)

где

— квадратичные члены и

~3[Х} = Д"х(1 - A)-1 ([х, ДФг] + 2

^Х^Х дх2 ду2

Ф2 = (1-Д)-1Д-1[Дх,х],

дЕг"! 2 \дх ЗФг д52 02/ J Sí/ ' ду дх +А-1(1 - Д)-2 ([Д(1 - Д)-1[Х) Дх],х] + [Дх, (1 - ДГЧх, Дх]

дх 9Фа Эж' дх 4-1

дх2 ду2

— кубические члены в разложении.

Таким образом находится уравнение для медленного многообразия М = {х> £> V : £ = — [х], = Ф[х]} и уравнения движения на нем

Далее показано, как знание явных уравнений для медленного многообразия позволяет по-новому решить задачу динамической и статической инициализации. В случае динамической инициализации проектирование начальных полей происходит на медленное многообразие ортогонально быстрым переменным. В случае статической инициализации по заданному начальному полю геопотенциала г получается новое уравнение. Чтобы сравнить это уравнение с обычным уравнением баланса

где ф = х + £ ~ функция тока, оставлены только линейные и квадратичные члены и приведены к виду

где х = Ф+ (1 — А)-108 ~ Ф) и индекс г отброшен. Следовательно, уравнения (38) и (39) имеют одинаковую линейную часть и нелинейные члены (39) переходят в соответствующие члены (38) на масштабах, много меньших радиуса Россби.

В параграфе 2.2 разделение движений проведено в спектральном виде. Поскольку исходные уравнения мелкой воды имеют постоянные коэффициенты, то эквивалентная система для коэффициентов Фурье имеет вид

(1 - Д)^ = [х, Дх] + [5, (Д - 1)х] + ¿Ф(Л - 1)х + |-Ф(А - 1)х. (37)

(38)

(39)

бесконечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. К такой системе можно, по крайней мере формально, применить теорию нормальных форм Пуанкаре для обыкновенных дифференциальных уравнений. В Фурье пространстве хорошо видна особенность уравнений мелкой воды, которая состоит в отсутствии резонансного члена, образованного амплитудами быстрых волн в уравнении для медленных воли. Эта особенность приводит к ряду специальных свойств рассматриваемой модели.

После Фурье преобразования и диагонализации получена система

^ = и^Мп+К^афп + U^a.b'm, (40)

resonant

^ + ¿£¿1А = Vklm«l«m + ТйпО^+УЕ^й (41)

resonant

+ w^hb'n + +

где все матричные элементы известны, и использована'компактная запись.

Для этой системы определено быстрое многообразие, которое является аналогом безвихревого движения в классической гидродинамике невязкой жидкости.

Медленное многообразие не может быть определено так же просто, как быстрое многообразие, потому что уравнение (41) содержит член вида Уцтщат, который играет роль внешней силы и генерирует быструю переменную для любой ненулевой медленной переменной а^. Однако приближенное медленное многообразие может быть построено в предположении слабой нелинейности в любом заданном порядке теории возмущений с помощью следующего предложения.

Предложение 2 Любой медленный член в форме Vjti...jOi...aj может быть исключен из уравнения (41) для быстрой переменной Ъ

При исключении нерезонансных членов в последующих порядках найдено следующее свойство рассматриваемой системы.

Предложение 3 Уравнение для медленной переменной ak не содержит медленных членов вида Ujfci...n(bibji)••■(Ьп-ib*)-

Таким образом показано, что уравнения для медленной переменной ak в любом порядке содержат лишь собственную нелинейность и модуляцию быстрой переменной Ь^. Высокочастотная сила, которая могла бы возбуждать медленные движения, отсутствует во всех порядках.

В параграфе 2.3 исследуется проблема нелинейного приспособления локализованных фронтообразных возмущений к состоянию геострофического равновесия (баланса) в рамках уравнений вращающейся мелкой воды без учета зависимости от координаты, проходящей вдоль фронта.

В начале параграфа даны постановка задачи о геострофическом приспособлении и обсуждение известных результатов. Также описаны общие свойства одномерной модели.

Далее, с помощью лагранжева подхода исходная система сводится к одному уравнению для отклонения квазичастиц от своего начального положения х(х,г) = х + ф(х,г) I

> + /2Ф + дН'1

1 дк;

(1 + ф')2 + Т

1

= М . (42)

Это уравнение должно решаться с начальными условиями ф{х, 0) = 0; ф(х, 0) = щ(х), где щ - начальное распределение продольной скорости. Случай фронтообразного возмущения соответствует Л/,, и/, VI с общим компактным носителем.

С помощью непосредственного применения теории возмущений показано, что в модели нет субинерционных захваченных мод, и частотный спектр является непрерывным. Поэтому все начальные ф возмущения будут рассеиваться, оставляя лишь стационарную часть ф„ в окрестности начального возмущения. Скорость релаксации к состоянию приспособления будет зависеть от дальнейших деталей потенциального вихря (¿^. Если присутствуют квазистационарные состояния, т.е. состояния, затухающие только путем тон-нелирования суббарьеров, скорость затухания будет экспоненциальной, что хорошо известно из квантовой механики (ср. Мигдал, 1977). В противном случае затухание будет дисперсионным, в соответствии с законом Здесь и ниже, "затухание"означает временное уменьшение амплитуды пространственно локализованного возмущения.

Получено уравнение на определение медленного многообразия по начальному потенциальному вихрю

^+ *(*)«(*) = -/. (43)

Здесь потенциальный вихрь <3 считается функцией X путем обратного отображения х = х(Х, £) (или о = а(Х)) :

от- 1 (* . ду*х{Х))\

Для него доказана следующая теорема, которая обеспечивает достаточные условия для существования и единственности медленного многообразия.

Теорема 6 Для положительного X) с производными на компактных носителях и произвольной постоянной асимптотикой (фронтальный случай) уравнение (43) имеет единственное ограниченное и везде положительное решение И(Х) на Я.

Доказательство этой теоремы представлено в отдельном подразделе.

Показано, что ЫБЯУУ модель допускает нелинейные периодические волновые решения с амплитудами, ограниченными сверху некоторым ограничивающим значением. В данном разделе этот факт демонстрируется в лагран-жевом описании.

Исследованы разрушение волн и ударные волны в лагранжевых переменных. Проведенный анализ дает следующее:

1. если начальный относительный вихрь <5 — 7 = дау достаточно отрицательный, разрушение всегда происходит вне зависимости от начальных условий;

2. если относительный вихрь положительный, так же как и производные инвариантов Римана в первоначальный момент, разрушения никогда не происходит.

Следовательно, в контексте приспособления получение ударных волн на антициклонной (отрицательный относительный вихрь) стороне струи должно быть более легким. Поскольку один из инвариантов Римана всегда имеет отрицательную производную для ступенчатых профилен высоты, ударные волны всегда должны получаться путем простого приспособления высоты (без Ух), как наблюдалось при численном моделировании (Кио & Ро1уапу, 1997). Представляется, что производство ударных волн во время приспособления фронтообразных возмущений неизбежно.

В конце параграфа дано лагранжево описание осесимметричной мелкой воды с помощью радиального уравнения для импульса. Форма этого уравнения аналогична форме найденной в прямоугольном случае; преимущество лагранжевой формулировки применимо также и в этом случае.

В заключительном части параграфа обсуждаются полученные результаты.

Глава 3 посвящена построению колмогоровских решений для кинетических уравнений, описывающих турбулентность коротких инерционно-гравитационных волн.

В параграфе 3.1 приведены стандартные сведения по теории слабой волновой турбулентности для трехволновых и четырехволновых взаимодействий.

В параграфе 3,2 рассмотрены инерционно-гравитационные волны в средних широтах. Для достаточно коротких волн (по сравнению с радиусом Росс-би) можно приближенно считать, что параметр Кориолиса является постоянным. Это позволяет выделить уравнение для инерционно-гравитационных волн, полагая, что потенциальный вихрь постоянен д = (/+ьх—иу)/Ь = //Ло-Уравнения движения для инерционно-гравитационных волн принимают простую гамильтоновскую форму

дп _ ш _ш

5<р' дЬ~ 6г) { >'

где гамильтониан есть II = Н2 + Из,

Н2 = \/ [(V- - /А~Ч)2 + (фу + /Д~Ч)2 + Г,2] ¿Х(1у,

Нз = 1/т} ~ + (у» + /Д'Ч)2] йхйу.

После перехода к нормальным переменным и исключения трехволнового гамильтониана возникает следующий универсальный гамильтониан

Я = Jшк\ак\2¿к + ^ У 234%!ак3ак3ак1 <5(к1 + к2 - к3 - к4) сД^сЛсгсЛсз^ .

• Для коротких волн закон дисперсии становится близким к линейному, но не является масштабно-инвариантным

« ск

1 + ;

(44)

2 (кр)2\

Трехволновые матричные коэффициенты в этом случае масштабно-инвариантны и совпадают с матричными коэффициентами для потенциальных движений двумерной сжимаемой жидкости. Но четырехволновой матричный элемент не пространственно-инвариантен. Однако, используя преобразование состоящее в растяжении волновых векторов и углов между ними, найдены два стационар пых решения кинетического уравнения. Распределение

п(к) ос

соответствует постоянному потоку энергии Р. Распределение

п(к) ос д1'3^13'3. (46)

соответствует постоянному потоку волн <5. Спектральная плотность энергии будет в этом случае иметь вид е^ = ск^п^. Локальным является только второе решение. В заключении параграфа полученное решение сравнивается с другими известными спектрами для турбулентных волн в атмосфере.

В параграфе 3.3 рассмотрены инерционно-гравитационные волны на экваторе. Район экватора в атмосфере и океане требует отдельного рассмотрения, потому что вертикальная компонента угловой скорости Земли меняет знак на экваторе. В настоящем параграфе рассмотрены короткие экваториальные волны. Вследствие ограниченной геометрии экваториального волновода динамика экваториальных волн является хорошим кандидатом для применения теории слабой волновой турбулентности, которая требует ансамбля большого числа слабовзаимодействующих волн со случайными фазами.

В главе 1 были получены уравнения для коротких инерционно-гравитационных волн (16). В терминах коэффициентов Фурье уравнения для инерционно-гравитационных волн принимают стандартную гамильтонову форму. Гамильтониан в нормальных переменных имеет вид Н — Н2 + Нз, где

Я2 = У^к | Ьк |2 = *-§!§> к = \Л* + ку' (47)

и частота шь является положительной для достаточно коротких волн. Добавка Нз имеет стандартную форму, где в главном порядке по малому параметру неоднородности /3 матричные элементы имеют вид

217123 = У123 = ■/ТБ^(к2,кз) + й2(кз,к1) + А:з(к1,к2)

Закон дисперсии инерционно-гравитационных волн не является изотропным или масштабно-инвариантным для каждого направления, поэтому проведен дополнительный анализ получающихся кинетических уравнений. Вид получившихся решений существенно зависит от раснадного или нераспадно-го характера дисперсионного закона. Анализ показал, резонансные триады существуют 1) в относительно широком секторе вокруг оси х в правой полуплоскости к пространства; 2) в двух достаточно узких сегментах вокруг оси у. За исключением узких сегментов вокруг оси у больше не существует резонансных триад в левой полуплоскости к пространства. Причем все резонансные триады образуются почти параллельными волновыми векторами. Таким образом получаются различные кинетические уравнения для различных областей фазового пространства в зависимости от того, разрешены или запрещены резонансные триады, соответственно.

В распадном случае применимо кинетическое уравнение с трехволновым интегралом столкновений. Используя преобразование, состоящее из растяже-

ния волновых векторов и углов между ними, найдено стационарное решение кинетического уравнения N = А;-3. Соответствующая плотность спектральной энергии на единицу к дается выражением е* = to^kN^ = А;-1. Четырехвол-новой интеграл столкновений факторизован таким же образом в нераспадной области фазового пространства. Найдены два стационарных решения колмо-горовского типа: N = к~4 и N = fc-11/3.

В конце параграфа обсуждается западно-восточная асимметрия колмого-ровского спектра.

Глава 4 посвящена построению решений и их исследованию для нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) с периодическими коэффициентами, описывающего распространение световых импульсов в оптических волоконных линиях передачи информации.

Нелинейное уравнение Шредингера возникает при описании многих физических явлений. Это одно из универсальных уравнений в современной физике. Если коэффициенты постоянны, то нелинейное уравнение Шредингера может быть проинтегрировано методом обратной задачи рассеяния. Однако если возникает потребность в учете неоднородности в коэффициентах, то замечательное свойство интегрируемости исчезает, но тем не менее необходимость в нахождении решений остается. В последующих двух главах уравнение Шредингера рассмотрено в контексте нелинейной волновой оптики, где это уравнение описывает распространение световых импульсов в оптических волокнах.

В параграфе 4.1 выполнено гамильтоново усреднение для нелинейного уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами

¿U = {А, Н} = ^ = -d{z)Att - ec(z) \А\2А, (49)

с гамильтонианом

+оо

Я = J (d{z) I Л I2 -£ф)/2 I А I4) dt, (50)

—оо

где функция А есть огибающая электромагнитного поля, периодическая функция d(z) с периодом Ti описывает дисперсию и Тг-периодическая функция c(z) описывает колебания мощности, которые возникают за счет наличия потерь и усиления в линии.

После преобразования Фурье и усреднения по z получается уравнение

+оо

— {d)u2ipa + е J Tó(üj + a>i — и>2 — = 0. (51)

Т(ДП) = J c{z) exp{iAÇîR{z)}dz, ДП = и>2 + - - (52)

о

С помощью квазилинейного преобразования это уравнение приводится к нелинейному уравнению Шредингера, если выполняются условия

<53,

и совершая обратные преобразования можно найти приближенные решения исходного уравнения (49).

В параграфе 4.2 получены усредненные уравнения для НУШ с периодическими коэффициентами, которые обобщают все известные до этого модели, и имеют максимальный диапазон применимости. Усреднение проводилось методом Боголюбова, и дано сравнение с другими методами усреднения, такими как многомасштабный метод и метод, основанный на технике преобразований Ли.

Для упрощенной версии усредненного уравнения

tu, + (d) vu + (с) М2г> = ~ (cR2> N2(v), (54)

с (d} ~ 0{е), (с) ~ O(î), и R ~ О(р), где

N2(B) := А2{\В\2В) + В2А2В' + 2\В\2А2В-ЩАВ\2

+2А(В2АВ* - 2\В?АВ) + 2В*(АВ)2, (55)

найдены солитонные решения, которые имеют в главном порядке светлый и темный солитон. Для симметричной двухступенчатой дисперсионной карты получено решение в виде светлого солитона ((d) > 0) уравнения (54)

v(z,t) = п^ sceh(^)e№{l + Щ^^х

(56)

1 + séchai) - Щ sech4(rçi)

64 (сД2)2 г _ 998 1024 + 3 (ri2 V l 105 + 105 SeCh т

3 (с)"

«**«(*) - + ^ »*«(*)] }■

Для малых значений е < 0.01 усредненный солитон и солитонное решение и очень близки друг к другу и имеют весЬ-форму.

Для более сильного дисперсионного управления усредненный солитон V теряет свою БесЬ-форму. Рисунок 1 показывает квадрат абсолютной амплитуды V (прерывистая линия) и и (сплошная линия) на логарифметиче-ской шкале для е — 0.1. Функции и и г> показывают характерное поведение при сильном дисперсионном управлении. В последнее время, так называемые дисперсионно-управляемые солитоны (ДУ-солитоны) были исследованы только численно и аналитическая форма была неизвестна. На данных рисунках обнаруживается регулярные понижения с каждой стороны от центра импульса. С помощью использованной здесь теории возмущений было получено до трех понижений с каждой стороны от центра.

Рис. 1: Квадрат амплитуды |гл(г, <)|2 настоящего солитона при г — 0 (сплошная линия) и усредненного солитона |г>(г,<)|2 (прерывистая линия) в лог&рифметической шкале для £ = 0.1 И Г] = 1.

В конце параграфа дано обсуждение полученных усредненных уравнений и сравнение с другими аналогичными результатами.

В параграфе 4.3 приведено описание численного моделирования усредненного нелинейного уравнения Шредипгера (51), описывающего динамику оптических импульсов в оптических линиях связи с переменной дисперсией. Солитонное решение ищется в виде ф(и>, г) = ехр(гЛ2г).

Для двухступенчатой системы без затухания матричный элемент Т является действительной функцией Т = со вш(вДГ2)/(яДГ2), где в т.н. напряжение карты и с(г) = со. Другой важный пример действительного ядра интегрального оператора Т - крупномасштабная линия с переменной дисперсией. Для

Рис. 2: Прерывистая линия соответствует ДУ-солитону при К = 1 (два усилителя на дисперсионном периоде), а сплошная — ДУ-солитону в рамках модели без потерь с (¿) = 0.01.

короткомасштабного управления Т имеет комплексный вид.

Для нахождения солитонного решения используется итерационный метод, предложенный Петвиашвили. Идея метода основывается на аппроксимации ядра Т(АП) подходящим набором функций. Эта аппроксимация позволяет применить быстрое вычисление сверточных интегралов и уменьшить число операций до М ЛГк^2(.ЛГ), где М зависит от аппроксимации Т(ДП).

Для вычислений рассмотрены два случая дисперсионного управления. В случае крупномасштабного двухступенчатого дисперсионного управления с > дистанция усиления равна /?а (км) и Ь = 2K^Za (км), где К = 1,2,.... Функция с(г) имеет вид с(г) = Соехр(—2уг), если 0 < г < 1. Матричный элемент Т(ДП) для этой системы записывается в виде

тт - г жгл51п[х ^ 1 [ 008^ , а X о +11 , .

Т(Х) - соВ(С) —— (1 + [2Х/1пС]2) {—Щ + ' (57)

„ _ АО2а й _ Ап<1 _ <7-1

Х-—2Ь~ -~ПГ> ЩО)-сьд'

При численном моделировании значение коэффициента дисперсии выбиралось <1=2. На рисунке 2 представлено распределение мощности точного солитонного решения уравнения (51) для матричного элемента (57). Преры-

вистая линия соответствует ДУ-солитону при К — 1 (два усилителя на дисперсионном периоде), а сплошная линия — солитону в рамках модели без потерь. При больших К (К ~Л> 30) форма солитона не меняется и близка к солитонному решению модели без потерь.

Короткомасштабное дисперсионное управление осуществляется при Ь <К При дистанции усиления Za, определенной выше, для двухступенчатой дисперсионной карты период компенсации составит Ь — 2а!3 (км). Матричный элемент ТИ12з имеет автомодельную структуру

F(a, Z, Y)

ти 123 = соB{G) ■ F(a, Z, Y), (58)

e(l-a)Z+iaY _ j

Z-iY

1 - ■

e-iaY/2 (59)

ez -1 (1 - a)Z + iaY

Величина В является функцией только коэффициента усиления G = e2~lZa и не зависит от J. F(a, Z, Y) является функцией от параметра а и комбинации величин Z = InG/J и Y = dAQ/J.

В параграфе 4.4 для описания распространения оптических импульсов в волоконных световодах используется обобщенное нелинейное уравнение Шре-дингера

+ + = (60)

где В - комплексная огибающая электромагнитного поля и периодические коэффициенты d(z), cr(z), G(z) описывают дисперсию, нелинейность и усиление (потери). Пусть начальные условия для данного уравнения имеют вид B(t,0) = B0(t).

Линейная часть уравнения исключается через преобразование

B(z, t) = e®W-H№M+W«)*x(z> t), (61)

где g(z) = Jq G(s)ds, R(z) = fQ(d(s) — (d))ds. Уравнение для X принимает форму

Xz — ic(z)e

-ip(z) Д

(62)

Это уравнение решается с помощью простых итераций. Для вычислений делается только одна итерация. Кроме того, для практических приложений представляет интерес нахождение решения в точках г^ — п после п периодов. Для случая, когда периодический член Щг) значительно превышает линейный член {с1)г в представлении функции р(г) = 4- можно

сделать еще одно упрощение для решения

г

о

В[1,п) = е^>пЛ(Д)(4) + пАХЦ)).

(64)

Первый член в уравнении (64) описывает линейную эволюцию начального решения, а второй дает нелинейную поправку к решению. Отметим, что функция ДХ(£) описывает нелинейные эффекты. Поправка АХ(1) может быть найдена численно для произвольной функции Вд{1) или аналитически для специфических начальных условий До (О ■

Для начальных данных в виде бесконечной последоватачьности гауссовых импульсов

нелинейная поправка АХ(Ь) вычисляется аналитически, что позволяет проанализировать взаимодействие импульсов от расстояния между ними.

Решения, полученные на основе предложенного алгоритма для решения уравнения Шредипгера (60), показали хорошее совпадение с численными решениями, полученными с помощью симметричного метода расщепления по физическим процессам.

В качестве примера были рассмотрены реальные волоконные линии с распределенной накачкой.

Глава 5 содержит 3 раздела, в которых дано описание построения подходящих пробных функций для решения нелинейного уравнения Шредипгера вариационным методом.

В данной главе предложен анзац для получения конечномерных уравнений, которые описывают взаимодействия импульсов. При этом предполагается, что исходное уравнение в частных производных имеет вариационную формулировку. Параметрами апзаца являются моменты импульса и коэффициенты тейлоровского разложения фазы.

Рассмотрены два простейших анзаца для описания взаимодействия двух импульсов. В первом случае основными параметрами являются нулевой момент (энергия) импульса и нулевой член в тейлоровском разложении фазы в точке максимума амплитуды импульса. В этом случае удается построить точное решение для конечномерной системы, описывающей взаимодействие

(65)

к

двух импульсов. Во втором случае берутся первый момент и первый член в разложении фазы. При этом нулевой момент и нулевой член разложения фазы вычисляются аналитически без учета взаимодействия импульсов. Рассматривается взаимодействие импульсов в гамильтоповой системе

.дУ 5Н 1дг ~ ¿У*'

которое получается из вариационного принципа

+ЭС / +00

Я\г* А XV \

dt + Я йг, (66)

-оо оо /

где гамильтониан системы Н есть функционал от У(г,£). В качестве основного примера рассмотрено уравнение

гУх + (с1)Уи + с(г)е~'л°А [|е^дУ|2 е<л°ду] = О, Ль = Яо(*). А = (67) которое имеет гамильтониан

+DC / +00

Н :

-ЮС

I

(d)

дУ

di

c(z)

|еШоДу|<

dt.

(68)

Нелинейное уравнение Шредингера получается при Tío = 0, с = СоВ параграфе 5.1 дано описание локализованных импульсов, записанных в полярной форме Y(z,t) = B{z, i) схр(г^(г, £)), где B(z,t) и <¡>(z, t) есть амплитуда и фаза импульса, с помощью коэффициентов разложения фазы в ряд Тейлора

ос ОО

ф(г, t) = <p(z, t - X(z)) = J2 ¥>»(*) (* ~ X(z))a = £ М*)*"' (69)

n=0 n=0

где X(z) положение центра импульса, и центрированных моментов и импуль-

+ос +оо

Мп

са

ín(z) = J B2(t - X(z))ndt, P(z) = J В

^dt.

dt

В результате получается бесконечная система для канонических переменных (Р,Х) и (Мп>1рп).

Рассмотрена простейшая аппроксимация при </>(г,4) ~ Уо(г) = Фо(г) и В(г,Ь) = (1,(г)/(г^—Х(г)), где /(г,Ь—Х) есть произвольная функция такая,

что / /2 (г, я) (¿в = 1. Используя простейшую аппроксимацию для гамильтониана (68) получен конечномерный гамильтониан

Н = Сг{г)Ма - С2(г)М1 (70)

+оо 2 +оо

ад = (<*> / (|) Л, = ^ I

—оо —оо

который легко интегрируется

2

М0{г) = М0(0), '-ро(г) = <р0(0) ~ J (С^з) - 2С2(з)М0) с1з.

о

Полученное решение существенно зависит от выбора функции /, поэтому для правильного задания / необходимо использовать априорную информацию. Если коэффициенты с(г) и Па{г) периодичны с единичным периодом, то периодическое решение получается из общего решения. Коэффициенты С\ ■ и Сг зависят от ширины импульса Т, поэтому это условие задает связь между шириной Т и энергией А/о для периодического решения.

В параграфе 5.2 рассмотрено взаимодействие двух импульсов в виде У = + Уз- В общем случае импульс характеризуется положением, амплитудой и шириной и соответствующими скоростями изменения этих параметров. Однако в данном параграфе рассмотрена простейшая аппроксимация в предположении, что импульсы неподвижны и имеют постоянную ширину и форму.

Ук(г,Ь) = Ък(г)/кЦ)ехр{1фк(г)}, к = 1,2, (71)

где Д (£) - форма £-го импульса, $ = 1 и фаза зависит только от г. Действие для данного представления импульсов имеет вид

5 = У ( (Ь? + аЪхЪг со- ф2)) ^ + (Ь? + аЬА сов(& - ^ + (72)

+оо

а ( с[г ~ ~ Фг) + н ) а = У Л/гЛ. (73)

—оо

где Я - гамильтониан и а - параметр перекрытия импульсов. Вводя новые переменные г, Л, в, 5

Х1 = г = фг - фз, х2 = Я = &2, = в = + <^2, а;4 = 5 = ^

О 0.25 0.5 0.75 1

Distance

Л 0.25 0.5 0.75 1

Distance

Рис. 3: Сравнение фазы для разных расстояний между импульсами. Более гладкие кривые соответствуют случаю удавленных импульсов.

Рис. 4: Сравнение положений максимумов модуля при разных значения малого параметра. Прямые линии соответствуют отсутствию отклонений максимума для больших расстояний между импульсами.

и преобразуя их подходящим образом, можно записать исходную систему в гамильтоновом виде с гамильтонианом

Н — (d) (s+VS2 - fl2cos(r)(21na+ l)a) + +2co{S2 + R2) + (ci + c2 cos(2r))(S2 - R?) + +2c3 VS2 - R2 (Scos(6) cos(r) + R sin(0) sin(r)),

(74)

полученном из (68). Для этой системы получено точное решение в виде г = П7Г, R = 0, S = const и переменная s находится из уравнения

дН

ds _1_

dz 1 + a cos(n7r) дS

= 0,

здесь

дН

"TTq — (Ф (1 + асоз(п7г) + 2aln(a) cos(n7r))

+2 (2со + сх + с2 + 2сз 008(0) соз(7г7г)) Б.

Условие на периодическое решение легко получается.

Для исследования точности полученного вариационным методом решения было найдено численное решение для исходного уравнения (07). Для сравнения взаимодействия импульсов на далеком и близком расстояниях приведены

рисунки поведения численного и точного решений. Например, на рисунке 3 видно качественное различие поведения фазы. Для разнесенных импульсов фаза ведет себя достаточно гладко. Для близких импульсов фаза импульсов начинают подстраиваться, что приводит к резкому изменению фазы. Рисунок 4 демонстрирует изменения положения максимума для импульсов. Если максимумы разнесенных импульсы двигаются практически независимо, то положение максимумов для близких импульсов расходятся и сближаются синхронно. На представленных рисунках сплошная линия соответствует периодическому решению, полученному вариационным методом и пунктирная линия соответствует численному решению с такими же начальными данными. Все приведенные рисунки показывают достаточно хорошее совпадение указанных решений.

В конце параграфа приведено приближенное решение по малому параметру перекрытия импульсов а.

В параграфе 5.3 также рассматриваются взаимодействия двух импульсов. Решение ищется в виде У = + Уг.

«) = уЩ>¡(5)/*(*,* - Хк{х)) ехр{гфок{г) + гф1к{г){1 - Хк(г))}, (75)

где £) - форма к-то импульса, / = 1 и / в/|(г, в)с£в = 0.

Чтобы уменьшить количество неизвестных параметров, параметры нулевого порядка (Мок(г), ^рок(^)) находятся из предположения о слабом взаимодействии импульсов. Кроме того рассматриваются только импульсы одинаковой формы

П(*. *) = л/^Я* - Хк(х)) ехр{»&(*,*)}, Л = 1,2, (76)

где ЛГ = Л/о - постоянная амплитуда импульсов, форма импульсов с шириной Т описывается функцией вида /(4)=ехр(-(£/Т)2/4)/(27г)1/4/\/Г, уьСМ) = (р№(г) + <ры(г)(1 — Хк(г)) - разложение фаз. При этом нулевой член разложения фазы можно записать в следующем виде <рок(г) = <р0к(0) + 6(г)/2, где в(г) известная функция и 0(0) = 0.

Перейдя к новым зависимым переменным

Х1 + Хч Х\ — , . о =-^-' Л =-2-' а = У11 + Г = <Р11~ Рзи (77)

получается действие

5= / (ЛГе 2 Лссв(г0 —+ - + ЛГе а 7-ып(г0 - вД)— + J йг аг йг

(ка+га ч

в + е~ 3 (в соэ(го — вД) + Я вш(го — вЛ))^ — —

/ Я2+г2 \ (К)

N {1 + е~ 2 соэ(г0 - вЛ)^ — + Н)<1г, 30

где го = <Аи(0) — <£02(0), Н - гамильтониан. Поскольку система, получающаяся из этого действия, сохраняет величину д2+га

Р = в + е 2 (всов(го — вЛ) + Лвт(го — вЛ)),

то ее порядок может быть уменьшен. В результате приближенных преобразований исходная система сводится к канонической гамильтоновой системе с одной парой сопряженных переменных (г, Я).

Для сравнения решений проведены расчеты для импульсов с разными начальными положениями и фазами.

В заключении приведены основные результаты диссертации.

Основные результаты

Содержанием диссертации являются результаты, полученные автором в ходе разработки фундаментальных основ для решения крупной научной проблемы связанной с построением приближенных математических моделей, описываемых уравнениями гидродинамического типа с переменными коэффициентами. В частности получены следующие основные результаты:

1. Разработан фундаментальный метод построения и исследования математических моделей на основе метода нормальных форм для специальных классов моделей, которые описываются дифференциальными уравнениями в частных производных с переменными коэффициентам. Построена нормальная форма Пуанкаре для уравнений в частных производных с переменными коэффициентами и с главной частью в виде линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Построена новая нормальная форма для класса градиентных систем с кососимметричной структурной матрицей и положительной квадратичной характеристической функцией. Доказана теорема об асимптотическом расщеплении скобки Пуассона па невырожденную (сим-плектическую) скобку Пуассона и вырожденную (транверсальную) скобку Пуассона. В качестве конкретного применения получены и исследованы приближенные математические модели описываемые уравнениями гидродинамического типа.

2. Решена фундаментальная проблема геофизической гидродинамики, связанная с математическим моделированием геострофического приспособления начальных данных для скорости ветра и давления в рамках модели вращающейся мелкой воды с постоянным параметром Кориолиса. В случае зависимости от одной пространственной переменной доказаны существование и единственность для установившегося сбалансированного состояния, показано отсутствие захваченных волн при геострофичсском приспособлении, найдены

критерии образования сингулярности. В двумерном случае проведено полное разделение быстрых и медленных движений, построены приближенное инвариантное медленное многообразие и уравнения движения на нем.

3. Предложены математические модели для описания инерционно-гравитационных волн во вращающейся мелкой воде в средних широтах и на экваторе. Найдены точные колмогоровские решения кинетического уравнения для коротких инерционно-гравитационных волн, которые имеют анизотропный спектр близкий к линейному, с помощью применения и развития метода слабой волновой турбулентности.

4. Получены усредненные модели распространения оптических импульсов в волоконных линиях передачи информации, описываемых нелинейным уравнением Шредингера с периодическими коэффициентами, с использованием различных методов усреднения и обоснованы условия применимости. Получены аналитические решения усредненных моделей. Разработан и опробован эффективный численный алгоритм для нахождения периодических локализованных решений усредненной модели. Разработана квазилинейная модель для описания распространения оптических импульсов, описываемых нелинейным уравнением Шредингера с большой вариацией периодических коэффициентов, на основе которой предложен эффективный численно-аналитический метод нахождения решений.

5. Предложен вариационный метод получения малопараметрических га-мильтоновых моделей для описания взаимодействия импульсов. Найдено точное решение для модели взаимодействия двух импульсов. Показана применимость построенных моделей для математического моделирования взаимодействия двух импульсов.

Публикации автора по теме диссертации.

Основные публикации в ведущих рецензируемых журналах:

[1] Медведев С. Б. Асимптотическая нормальная форма скобки Пуассона для одномерных моделей жидкости // Вестник Новосибирского госуниверситета. - 2005. - Т. 5. - Вып. 4. - С. 3-12.

[2] Medvedev S.В., Zeitlin V. Weak turbulence of short equatorial waves // Physics Letters A. - 2005. - V. 342. - P. 269-290.

[3] Медведев С. Б. Теорема Дарбу для распределенных гамильтоповых систем // Вестник Новосибирского госуниверситета. - 2004. - Т.4. - Вып.1. - С. 37-55.

[4] Курикалова M. А., Медведев С. Б. Вариационный подход для описания взаимодействия импульсов: положение и импульс // Вестник Новосибирского госуниверситета. - 2004. - Т. 4. - Вып. 1. - С. 30-46.

[5] Медведев С. В., Федорук М. П. Квазилинейная теория нелинейного уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами // Письма в ЖЭТФ. - 2004. - Т. 79. - Вып. 1. - С. 19-24.

[6] Медведев С. Б. Нормальные формы для градиентных систем с кососим-метричной стуктурной матрицей // Вычислительные технологии. - 2003. - Т. 8. - № 6. - С. 60-69.

[7] Курикалова М. А., Медведев С. В., Федорук М. П. Использование вариационного подхода для описания взаимодействия оптических импульсов в волоконных линиях связи // Вычислительные технологии. - 2003. - Т. 8. - Специальный выпуск - С. 77-85.

[8] Turitsyn S. К., Shapiro Е. G., Medvcdev S. В., Fedoruk M. P., Mezentsev V. К. Physics and mathematics of dispersion-managed optical solitons // Comptes Rendus Physique. - 2003. - V. 4, - Iss. 1. - P. 145-161.

[9] Курикалова M. А., Медведев С. Б. Вариационный подход для описания взаимодействия импульсов: энергия и фаза // Вестник Новосибирского госуниверситета. - 2003. - Т. 3. - Вып. 1. - С. 37-55.

[10] Wingcn A., Spatschek К. H., Medvcdev S. В. Averaged dynamics of optical pulses described by a nonlinear Schrodinger equation with periodic coefficients // Physical Review E. - 2003. - V. 68. - N. 4. - P. 046610-21.

[11] Le Sommer J., Medvcdev S., Plougoonven R., Zcitlin V. Singularity formation during relaxation of jets and fronts toward the state of geostrophic equilibrium // Communications in Nonlinear Sciences and Numerical Simulations. - 2003. - V. 8. - Issues 3-4. - P. 415-442.

[12] Zeitlin V., Medvedev S., Plougoven R. Frontal geostrophic adjustment, slow manifold and nonlinear wave phenomena in one-dimensional rotating shallow water. Part 1. Theory // Journal of Fluid Mechanics. - 2003. - V. 481. - P. 269-290.

[13] Medvedev S. В., Styrina О. V., Musher S. L., Fedoruk M. P. Path-averaged optical soliton in double-periodic dispersion-managed systems // Phys. Rev. E. - 2002. - V. 66. - N. 6. - P. 0666071-066076.

[14] Medvedev S. В., Shapiro E. G., Fedoruk M. P., Turitsyna E. G. The theory of optical communication lines with a short-scale dispersion management // ЖЭТФ. - 2002. - T. 121. - Вып. 5. - С. 1040-1050.

[15] Turitsyn S. K., Turitsyna E. G., Medvedev S. В., Fedoruk, M. P. Averaged model and integrable limits in nonlinear double-periodic Hamiltonian systems // Phys. Rev. E. - 2000. - V. 61. - N. 3. - P. 3127-3132.

[16] Medvedev S. B. The slow manifold for the shallow water equations on f-plane // Journal of the Atmospheric Sciences. - 1999. - V. 56. - P. 1050-1054.

[17] Medvedev S. В., Turitsyn, S. K. Hamiltonian averaging and integrability in nonlinear systems with periodically varying dispersion // Письма в ЖЭТФ.

- 1999. - Т. 69. - Вып. 7. - С. 465-470.

[18] Medvedev S. В. Poincare normal forms for partial differential equations // Proc. R. Soc. Lond. A. - 1999. - V. 455. - Iss. 1991. - P. 4061-4075.

[19] Falkovich G., Kuznetsov E., Medvedev S. Nonlinear interaction between long inertio-gravity and Rossby waves // Nonlinear Processes in Geophysics. -1994. - V. 1. - No. 2/3. - P. 168-171.

[20] Falkovich G. E., Medvedev S. B. Kolmogorov-like spectrum for turbulence of inertial-gravity waves // Europhysics Letters. - 1992. - V. 19. - N. 4. - P. 279-284.

Дополнительные публикации в сборниках и трудах конференций:

[21] Курикалова М.А., Медведев С.Б., Федорук М.П. Квазилинейная теория нелинейного уравнения Шредингсра для волоконно-оптических линий связи с периодическими параметрами // Сборник трудов международной конференции по вычислительной математике МКВМ - 2004.(21-25 июня 2004г., Академгородок, Новосибирск, Россия). - С. 537-543.

[22] Shtyrina О., Medvedev S., Fedoruk М. Dispersion-managed soliton for path-averaged model of optical fiber communication line // Proceedings of International Conference on Computational Mathematics. Novosibirsk, 2002.

- V. 2. - P. 697-703.

[23] Medvedev S. B. Normal form and initialization for rotating shallow water // Annalcs Geophysicae. - 2001. - V.3. - P. 8138.

[24] Turitsyn S., Doran N., Turitsyna E., Shapiro E., Medvedev S., Fedoruk M. Averaged model and integrable limits in nonlinear double-periodic

Hamiltonian systems // Massive WDM and TDM Solution Transmission Systems, (ed. A. Hasegawa). - Kluwer Academic Publishers, 2000. - P. 235251.

[25] Медведев С. Б. Нормальные форма для уравнений в частных производных // Тезисы докладов Третьего Сибирского Конгресса по прикладной и индустриальной математике, Новосибирск, 1998. - С. 137.

[26] Medvedev S. В. Normal forms for shallow water equations// Annales Geo-physicae. - 1998. - Supplement IV to V. 16. - P. 1127.

[27] Medvedev S. B. Normal forms for PDEs // Book of Abstracts. John Hopkins Conference in Environmental Fluid Mechanics. USA, Baltimore, 1998. P. 110111.

[28] Медведев С. Б. Нормальная форма уравнений мелкой воды на бета плоскости // Тезисы докладов Второго Сибирского Конгресса по прикладной н индустриальной математике, Новосибирск, 1996. - С. 287.

[29] Медведев С. Б. Нормальная форма уравнений мелкой воды для длинноволновой аппроксимации // Тезисы докладов международной конференции "Математические модели и численные методы в механике континуума". Новосибирск, 1996, - С. 391.

[30] Medvedev S. В. Tvvo examples of normal forms for the shallow water equations // Nonlinear Waves. Synchronization and Patterns. Part 2. Edited by M. I. Rabinovich, M. M. Sushchik and V. D. Shalfeev. - Nizhny Novgorod: Nizhny Novgorod University Press, 1996. - P. 162-166.

[31] Medvedev S. B. On slow manifold of the shallow water equations // "Advanced Mathematics, Computations and Applications", International Conference, Novosibirsk, 20-25 June, 1995. Abstracts. 1995. - P. 235-236.

Подписано в печать Формат бумаги 60 х 86 к 1/16 Тираж 100 экз.

Отпечатано в издательском центре ОНИ СО РАН 630090, г. Новосибирск, проспект академика Лаврентьева, 6

2006

Объем 1,25 п. л. Заказ № 424

Введение

1 Нормальные формы для уравнений в частных производных с переменными коэффициентами

1 Нормальная форма Пуанкаре.

1.1.1 Основные теоремы.

1.1.2 Нормальная форма уравнений мелкой воды для больших пространственных масштабов.

1.1.3 Нормальная форма уравнений мелкой воды на бета-плоскости в средних широтах.

1.1.4 Нормальная форма уравнений мелкой воды для коротких волн па экваториальной бета-плоскости.

2 Кососимметричная нормальная форма.

1.2.1 Кососимметричные градиентные системы.

1.2.2 Кососимметричная нормальная форма.

1.2.3 Иопно-звуковые волны в сильном магнитном поле.

3 Теорема Дарбу.

1.3.1 Конечномерные системы.

1.3.2 Пример.

1.3.3 Нолевые системы

1.3.4 Примеры.

4 Скобки Пуассона с нулевой трансверсальпой частью.

1.4.1 Движение без внешних сил.

1.4.2 Движение под действием внешних сил.

1.4.3 Двумерное уравнение Буссинеска.

5 Основные результаты по главе.

2 Разделение медленного и быстрого движений для уравнений мелкой воды на /-плоскости

1 Медленное многообразие для двумерных уравнений мелкой воды.

2.1.1 Медленное многообразие и уравнения движения на нем.

2.1.2 Динамическая и статическая инициализация

2 Разделение движений в спектральном виде

2.2.1 Формальные быстрое и медленное многообразия.

2.2.2 Нормальные формы.

3 Фронтальное геострофическое приспособление, медленное многообразие и нелинейные волновые явления в одномерной модели.

2.3.1 Постановка задачи о геострофическом приспособлении

2.3.2 Общие свойства одномерной модели.

2.3.3 Лагранжев подход.

2.3.4 Возмущенное полугеострофическое приспособление

2.3.5 Непертурбативное медленное многообразие и процесс релаксации

2.3.6 Существование и единственность медленного многообразия.

2.3.7 Нелинейные волны

2.3.8 Разрушение волн и ударные волны в лагранжевых переменных

2.3.9 Лагранжево описание для осесимметричной мелкой воды.

2.3.10 Обсуждение

4 Основные результаты по главе.

3 Турбулентность коротких инерционно-граиитационных волн

1 Слабая волновая турбулентность.

2 Инерционно-гравитационные волны в средних широтах.

3.2.1 Гамильтоново описание.

3.2.2 Колмогоровские спектры.

3 Слабая турбулентность коротких экваториальных волн.

3.3.1 Уравнения мелкой воды на экваториальной бета-плоскости.

3.3.2 Трех-волновые взаимодействия.

3.3.3 Четырех-волновое кинетическое уравиеиие.

3.3.4 Обсуждение

4 Основные результаты по главе.

4 Нелинейное уравнение Шредингера с периодическими коэффициентами

1 Гамильтоново усреднение и интегрируемость

4.1.1 Гамильтоново описание.

4.1.2 Квази-тождественное преобразование.

2 Усредненная динамика оптических импульсов.

4.2.1 Преобразование Боголюбова.

4.2.2 Разложение для малых R.

4.2.3 Солитонные решения.

4.2.4 Сравнение с другими методами.

4.2.5 Обсуждение

3 Численное моделирование солитонных импульсов в усредненной модели

4.3.1 Усредненная модель в спектральной области

4.3.2 Усредненная модель во временной области.

4.3.3 Примеры вычислений.

4 Квазилинейная теория распространения гауссовых импульсов.

4.4.1 Квазилинейное решение.

4.4.2 Аналитическое решение для гауссовых импульсов.

4.4.3 Результаты численного интегрирования

5 Основные результаты по главе.

5 Вариационный подход для описания взаимодействия импульсов

1 Пробные функции для одиночного импульса.

2 Импульсы с переменными энергией и фазой.

5.2.1 Преобразование скобки Пуассона.

5.2.2 Вычисление гамильтониана.

5.2.3 Физическая модель.

5.2.4 Точное решение.

5.2.5 Численное решение.

5.2.6 Приближенные решения

3 Импульсы с переменными положением и скоростью

5.3.1 Выбор параметров для пробной функции

5.3.2 Преобразование скобки Пуассона.

5.3.3 Вычисление гамильтониана.

5.3.4 Сравнение решений.

4 Основные результаты по главе.

Актуальность темы. Классические уравнения математической физики, изучаемые в университетских курсах в основном являются линейными уравнениями с постоянными коэффициентами [47, 99]. Это обусловлено отсутствием подходящих методов исследования нелинейных уравнений с постоянными и тем более с переменными коэффициентами. Кроме того при слабой нелинейности и неоднородности можно считать, что исходные уравнения достаточно точно аппроксимируются линеаризованными уравнениями с постоянными коэффициентам. Поэтому основные усилия исследователей были направлены именно па изучение линейных систем с постоянными и, если удавалось, переменными коэффициентами. Изучение нелинейных уравнений было исключением из общей ситуации и в основном проводилось простейшими асимптотическими методами [72]. Следует также упомянуть групповой метод нахождения решений нелинейных уравнений [87, 88]. Однако этот метод применим в основном к уравнениям с постоянными коэффициентами.

Начиная примерно со второй половины 20-го века, ситуация в направлении исследований уравнений заметно смещается в сторону исследования нелинейных уравнений. С одной стороны с открытием метода обратной задачи рассеяния, исследователи научились решать многие важные нелинейные уравнения, что привело к развитию "нелинейной" интуиции [98]. С другой стороны были сформулированы общие регулярные подходы в теории возмущений, что позволило понять общие проблемы при исследовании нелинейных явлений асимптотическими методами [84, 77]. Эти два подхода вместе с использованием компьютерного моделирования привели к формированию общих представлений о физических и математических особенностях современных нелинейных задач физики и других наук.

В настоящее время указанные методы исследования нелинейных уравнений в частных производных достигли больших успехов в применении ко многим задачам естествознания. Но в тоже время уравнения с переменными коэффициентами по-прежнему являются трудным предметом для исследования. Трудность обусловлена отсутствием достаточного числа симметрий, которое характерно для уравнений решаемых точными методами. Поэтому для решения нелинейных уравнений с переменными коэффициентами применяются в основном приближенные методы.

Один из самых успешных методов исследования дифференциальных уравнений состоит в трансформации этих уравнений к более простой (нормальной, канонической) форме. А. Пуанкаре создал теорию нормальных форм для обыкновенных дифференциальных уравнений [34, 44]. Его теория формирует простейшие формы с помощью замен переменных используя степенные ряды для отклонений от равновесного или периодического решения. Д. Биркгоф создал теорию нормальных форм для класса канонических гамиль-тоновых систем [40]. Позднее Н. Н. Боголюбов обосновал метод усреднения для обыкновенных дифференциальных уравнений [43]. Была доказана теорема о близости решений исходных и усредненных уравнений. При этом по словам В. И. Арнольда [35]: "Заметам, что основная идея доказательства этой теоремы (замена переменных, убивающая возмущения) важнее самой теоремы; это - одна, из основных идей в теории обыкновенных дифференциальных уравнений; она встречается уже в элементарном курсе в виде метода вариации постоянных."

Метод замены переменных можно использовать по разному для исследования дифференциальных уравнений. С одной стороны можно пытаться привести исходное дифференциальное уравнение к виду, которое допускает явное решение. Такое применение достаточно ограничено узким классом точно решаемых уравнений [52, 90]. С другой стороны можно использовать замену переменных для исключения некоторых "неважных" членов уравнения. И далее исследовать только оставшиеся "важные" члены. Этот подход часто оказывается эффективным, поскольку уравнения с первыми "важными" членами оказываются проще исходных уравнений и допускают более детальное изучение. Однако в большинстве случаев замена переменных строится с помощью бесконечных рядов и приходится обрывать эти ряды, рассматривая только конечное число членов. В связи с этим возникают две проблемы: регулярное построение всех членов ряда для искомой замены и обоснование сходимости для этого ряда. Хотя хорошо известно, что такие замены не вест да сходятся. Но даже в случае расходимости общего ряда замены, первые "важные" члены преобразованной системы содержат большую часть информации о поведении исходной системы.

Метод нормальных форм и метод усреднения для уравнений в частных производных также полезен, но в этом случае методы наиболее полно используются после преобразования Фурье, после которого начальная система уравнений в частных производных становится бесконечной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Тогда эти методы применяется почти без изменений. Системы уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами имеющие гамильтонову форму показывают прекрасный пример применения теории нормальных форм [232]. Другие расширения метода теории возмущений и нормальных форм для уравнений в частных производных можно найти в книгах [42, 45, 76].

Для уравнений в частных производных с переменными коэффициентами отсутствует общий метод аналогичный методу нормальных форм Пуанкаре для обыкновенных дифференциальных уравнений. Хотя большинство модельных уравнений возникающие в физике можно рассматривать как усеченные нормальные формы для некоторых более общих исходных моделей (см. примеры приближенных модельных уравнений возникающих в физике плазмы и атмосфере [93]). Для физических исследований пренебрежение "неважными" членами в уравнениях является одним из важных моментов. Такое пренебрежение основано на "физических соображениях". Иногда удается дать математическое обоснование "физических соображений". Если для уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами упрощения можно провести в спектральном пространстве, где дифференцирование заменяется умножением на полином от спектрального параметра, то для уравнений с переменными коэффициентами такой подход не работает. Поэтому возникает проблема построения нормальных форм для уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. На основе построенных нормальных форм можно строить приближенные модели, подходящие для описания исследуемой задачи.

Основная научная проблема, которой посвящена настоящая диссертационная работа состоит в построении и исследовании приближенных моделей, описываемых нелинейными уравнениями в частных производных с переменными коэффициентами. Это построение основано на методе нормальных форм. Поскольку нелинейные уравнения сильно различаются по своим свойствам, в данной работе рассматриваются только уравнения гидродинамического типа, которые возникают при моделировании задач нелинейной физики.

Цель диссертационной работы состоит в разработке методов построения приближенных моделей, описываемых уравнениями гидродинамического типа с переменными коэффициентами. В частности сюда входят:

- развитие и применение метода нормальных форм при построения приближенных моделей для уравнений гидродинамического типа с переменными коэффициентами;

- разделение медленного и быстрого движений для модели вращающейся мелкой воды и изучению динамики быстрых движений для одномерной модели вращающейся мелкой воды;

- построению колмогоровских решений для стационарных кинетических уравнений, описывающих кинетику коротких инерционно-гравитационных волн в рамках модели вращающейся мелкой воды на f-плоскости в средних широтах и на экваториальной бета-плоскости.

- построение и исследование усредненной модели распространения импульсов, описываемых нелинейным уравнением Шредингера с периодическими коэффициентами;

- развитие вариационного подхода для малопараметрического описания взаимодействия импульсов.

Методы исследования. В работе используются методы асимптотической теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, методы нормальных форм и усреднения для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. Также используются качественная теория обыкновенных дифференциальных уравнений и гамильтонов формализм для конечномерных и полевых систем.

Научная новизна полученных в диссертационной работе состоит в следующем:

1. Предложены новые обобщения нормальных форм для специальных классов дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. Найден новый класс скобок Пуассона, которые асимптотически эквиваленты скобке с нулевой трансверсальной частью.

2. Впервые проведено полное разделение быстрых и медленных движений на основе линеаризованного потенциального вихря для модели вращающейся мелкой воды с постоянным параметром Кориолиса. Найдено новое уравнение баланса для статической инициализации.

3. Впервые показано, что геострофическое приспособление для одномерной модели вращающейся мелкой воды является полным. Найден критерий формирования сингулярности для различных начальных данных.

4. Впервые получены гамильтоновы и кинетические уравнения для описания инерционно-гравитационных волн. Найдены точные колмогоровские решения для стационарного кинетического уравнения.

5. Впервые найдены условия, при которых нелинейное уравнение Шредингера с периодическими коэффициентами может быть преобразовано в нелинейное уравнение Шредингера, с постоянными коэффициентами и получена усредненная модель для максимального большого диапазона изменений параметров периодических коэффициентов.

6. Предложены новые численные алгоритмы для нахождения решений для нелинейного уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами и его усредненной модели.

7. Предложен новый вариационный метод получения мало-параметрической гамиль-тоновой модели для описания взаимодействия импульсов. Найдено точное решение для одной модели взаимодействия двух импульсов.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты по развитию и применению метода нормальных форм для уравнений в частных производных с переменными коэффициентами могут быть применены на практике в качестве инструмента математического моделирования и аналитического исследования моделей механики сплошных сред и нелинейной волоконной оптики.

Публикации результатов и личный вклад автора. По теме диссертации опубликована 31 работа, список которых приведен в конце автореферата. Из них 18 написаны в соавторстве и 12 - самостоятельно. В совместных работах постановка задач, аналитические выкладки, разработка вычислительных алгоритмов и интерпретация полученных результатов, включенные в диссертацию, принадлежат автору.

Апробация работы. Основные научные; результаты диссертации докладывались и обсуждались на: международной конференции "Advanced Mathematics, Computations and Applications" в честь акад. Г.И. Марчука (Новосибирск, Россия, 1995); международной школе по нелинейным наукам (Нижний Новгород, Россия, 1995); международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред" в честь акад. Н.Н. Яненко (Новосибирск, Россия, 1996); Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, Россия, 1996, 1998); научной программе "Математика атмосферы и океана" (Isaac Newton Institute for Mathematical sciences, Cambridge, UK, 1996); конференции в честь проф. В.И. Арнольда (Fields Institute for Mathematical Sciences, Toronto, Canada, 1997); конференции "Environmental Fluid Mechanics" в честь проф. О. Филлипса (John Hopkins University, Baltimore, USA, 1998); Генеральных ассамблеях Европейского геофизического общества (Nice, France, 1998, 2001); международной конференции "Солитоны, коллапсы и турбулентность: достижения, развития и перспективы" в честь проф. В.Е. Захарова (Черноголовка, Россия, 1999); научной программе? "Геометрия и физика узлов" (Isaac Newton Institute for Mathematical sciences, Cambridge, UK, 2000); научной школе "Новые тенденции в турбулентности" в Институте перспективных исследований НАТО (Les Houches, France, 2000); программе "Симплектическая геометрия и физика" в Институте чистой и прикладной математики (Los Angeles, USA, 2003); международной конференции 11 Асимптотический анализ и физика атмосферы и океана" (Rome, Italy, 2004).

Па различных стадиях выполнения работа обсуждалась на семинарах, руководимых ведущими специалистами, в российских и зарубежных институтах и университетах: Институт вычислительных технологий СО РАН (Ю.И. Шокин); Институт математики им. Соболева СО РАН (B.C. Белоносов, М.В. Фокип); Механико-математический факультет МГУ (В.В. Козлов); Физический факультет университета Торонто, Канада (Т.С. Shepherd); Математический институт, Кёлн, Германия (Т. Kiipper); Департамент прикладной математики и физики, Кэмбридж, Великобритания (М. Mclntyre); Институт теоретической физики, Дюссельдорф, Германия (К.II. Spalschek); Нормальная школа, Париж, Франция (V. Zeitlin); Университет им. П. и М. Кюри, Париж, Франция (Н. Le Treul).

Представленные в диссертации исследования проводились в рамках различных программ и проектов: Российский фонд фундаментальных исследований, проекты 01-01-00959 (руководитель), 03-02-16496 (исполнитель), 95-05-15581 (исполнитель), проекты ведущих научных школ России 04-05-64481 (исполнитель), 00-015-98543 (исполнитель); Сибирское отделение РАН, интеграционный проект 02-2003 (исполнитель); Министерство образования РФ, проект ZN-080-01 (исполнитель).

Структура и общая характеристика диссертации Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержит 29 рисунков. Каждая глава разбита на разделы.

4 Основные результаты по главе

В данной главе основными результатами являются:

1. Предложен анзатц для получения конечномерных уравнений для описания взаимодействия двух импульсов, которые описываются уравнением в частных производных. При этом предполагается, что исходное уравнение в частных производных получается из варьирования некоторого функционала. Параметрами анзатца являются моменты импульса и коэффициенты тейлоровского разложения фазы.

2. Рассмотрены два простейших анзатца для описания взаимодействия двух импульсов. В первом случае основными параметрами являются нулевой момент (энергия) импульса и пулевой член в тейлоровском разложении фазы в точке максимума амплитуды импульса. В этом случае удается построить точное решение для конечномерной системы, описывающей взаимодействие двух импульсов. Во втором случае берутся первый момент и первый член в разложении фазы. При этом нулевой момент и нулевой член разложения фазы вычисляются аналитически без учета взаимодействия импульсов.

Заключение

В заключение приведем основные результаты работы, являющиеся одновременно положениями, выносимыми на защиту.

Содержанием диссертации являются результаты, полученные автором в ходе разработки фундаментальных основ для решения крупной научной проблемы связанной с построением приближенных математических моделей, описываемых уравнениями гидродинамического типа с переменными коэффициентами. В частности получены следующие основные результаты:

1. Разработан фундаментальный метод построения и исследования математических моделей на основе метода нормальных форм для специальных классов моделей, которые описываются дифференциальными уравнениями в частных производных с переменными коэффициентам. Построена нормальная форма Пуанкаре для уравнений в частных производных с переменными коэффициентами и с главной частью в виде линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. 11остроена новая нормальная форма для класса градиентных систем с кососимметричной структурной матрицей и положительной квадратичной характеристической функцией. Доказана теорема об асимптотическом расщеплении скобки Пуассона на невырожденную (симплектическую) скобку Пуассона и вырожденную (транверсальную) скобку Пуассона. В качестве конкретного применения получены и исследованы приближенные математические модели описываемые уравнениями гидродинамического типа.

2. Решена фундаментальная проблема геофизической гидродинамики, связанная с математическим моделированием геострофического приспособления начальных данных для скорости ветра и давления в рамках модели вращающейся мелкой воды с постоянным параметром Кориолиса. В случае зависимости от одной пространственной переменной, доказаны существование и единственность для установившегося сбалансированного состояния, показано отсутствие захваченных волн при геострофическом приспособлении, найдены критерии образования сингулярности. В двумерном случае, проведено полное

разделение быстрых и медленных движений, построены приближенное инвариантное медленное многообразие и уравнения движения на нем.

3. Предложены математические модели для описания инерционно-гравитационных волн во вращающейся мелкой воде в средних широтах и на экваторе. Применение и развитие метода слабой волновой турбулентности позволило найти точные колмогоровские решения кинетического уравнения для коротких инерционно-гравитационных волн, которые имеют анизотропный спектр близкий к линейному.

4. Получены усредненные модели распространения оптических импульсов в волоконных линиях передачи информации, описываемых нелинейным уравнением Шредингера с периодическими коэффициентами, с использованием различных методов усреднения и обоснованы условия применимости. Применение аналитических методов усреднения позволило получить новые усредненные модели и их решения. Разработан и опробован эффективный численный алгоритм для нахождения периодических локализованных решений усредненной модели. Разработана квазилинейная модель для описания распространения оптических импульсов, описываемых нелинейным уравнением Шредингера с большой вариации периодических коэффициентов, на основе которой предложен эффективный численно-аналитический метод нахождения решений.

5. Предложен вариационный метод получения малопараметрических гамильтоновых моделей для описания взаимодействия импульсов. Найдено точное решение для модели взаимодействия двух импульсов. Показана применимость построенных моделей для математического моделирования взаимодействия двух импульсов.

1. Falkovich G. E., Medvedev S. B. Kolmogorov-like spectrum for turbulence of inertial-gravity waves//Europhysics Letters. - 1992, - V. 19. - N. 4. - P. 279-284.

2. Falkovich G., Kuznetsov E., Medvedev S. Nonlinear interaction between long inertio-gravity and Rossby waves//Nonlinear Processes in Geophysics. 1994. - V. 1. - No. 2/3.- P. 168-171.

3. Medvedev S. B. On slow manifold of the shallow water equations // "Advanced Mathematics, Computations and Applications", International Conference, Novosibirsk, 20-25 June, 1995. Abstracts. 1995. P. 235-236.

4. Медведев С. Б. Нормальная форма уравнений мелкой воды для длинноволновой анпроксимации//Тезисы докладов международной конференции "Математические модели и численные методы в механике континуума". Новосибирск, 1996, С. 391.

5. Медведев С. Б. Нормальная форма уравнений мелкой воды на бета плоскости // Тезисы докладов Второго Сибирского Конгресса по прикладной и индустриальной математике, Новосибирск, 1996. С. 287.

6. Medvedev S. В. Normal forms for PDEs//Book of Abstracts. John Hopkins Conference in Environmental Fluid Mechanics. USA, Baltimore, 1998. P. 110-111.

7. Medvedev S. B. Normal forms for shallow water equations//Annales Geophysicae. 1998.- Supplement IV to V. 16. P. 1127.

8. Медведев С. Б. Нормальные форма для уравнений в частных производных//Тезисы докладов Третьего Сибирского Конгресса по прикладной и индустриальной математике, Новосибирск, 1998. С. 137.

9. Medvedev S. В. Poincare normal forms for partial differential equations//Proc. R. Soc. bond. A. 1999. - V. 455. - Iss. 1991. - P. 4061-4075.

10. Medvedev S. В., Turitsyn, S. K. Hamiltonian averaging and integrability in nonlinear systems with periodically varying dispersion//Письма в ЖЭТФ. 1999. - Т. 69. - Вып. 7. - С. 465-470.

11. Medvedev S. В. The slow manifold for the shallow water equations on f-plane//Journal of the Atmospheric Sciences. 1999. - V. 56. - P. 1050-1054.

12. Medvedev, S. B. Poincare normal form of the shallow water equations on the beta plane//Annales Geophysicae. 2000 - Supplement IV to V. 18. - P. 1207.

13. Turitsyn S. K., Turitsyna E. G., Medvedev S. В., Fedoruk, M. P. Averaged model and integrable limits in nonlinear double-periodic Hamiltonian systems//Phys. Rev. E. 2000. - V. 61. - N. 3. - P. 3127-3132.

14. Medvedev S. B. Normal form and initialization for rotating shallow water//Annales Geophysicae. 2001. - V.3. - P. 8138.

15. Medvedev S. В., Shapiro E. G., Fedoruk M. P., Turitsyna E. G. The theory of optical communication lines with a short-scale dispersion management//ЖЭТФ. 2002. - T. 121. - Вып. 5. - С. 1040-1050.

16. Medvedev S. В., Styrina О. V., Musher S. L., Fedoruk M. P. Path-averaged optical soliton in double-periodic dispersion-managed systems//Phys. Rev. E. 2002. - V. 66. - N. 6. -P. 0666071-066076.

17. Shtyrina 0., Medvedev S., Fedoruk M. Dispersion-managed soliton for path-averaged model of optical fiber communication line//Proceedings of International Conference on Computational Mathematics. Novosibirsk, 2002. V. 2. - P. 697-703.

18. Zeitlin V., Medvedev S., Plougoven R. Frontal geostrophic adjustment, slow manifold and nonlinear wave phenomena in one-dimensional rotating shallow water. Part 1. Theory//Journal of Fluid Mechanics. 2003. - V. 481. - P. 269-290.

19. Wingen A., Spatschek К. H., Medvedev S. B. Averaged dynamics of optical pulses described by a nonlinear Schrodinger equation with periodic coefficients//Physical Review E. 2003. - V. 68. - N. 4. - P. 046610-21.

20. Курикалова M. А., Медведев С. Б. Вариационный подход для описания взаимодействия импульсов: энергия и фаза//Вестник Новосибирского госуниверситета. 2003.- Т. 3. Вып. 1. - С. 37-55.

21. Turitsyn S. К., Shapiro Е. G., Medvedev S. В., Fedoruk М. P., Mezentsev V. К. Physics and mathematics of dispersion-managed optical solitons//Comptes Rendus Physique. -2003. V. 4, - Iss. 1. - P. 145-161.

22. Курикалова M. А., Медведев С. В., Федорук М. П. Использование вариационного подхода для описания взаимодействия оптических импульсов в волоконных линиях связи//Вычислительные технологии. 2003. - Т. 8. - Специальный выпуск - С. 77-85.

23. Медведев С. Б. Нормальные формы для градиентных систем с кососимметричной стуктурной матрицей//Вычислительные технологии. 2003. - Т. 8. - № 6. - С. 60 69.

24. Медведев С. Б., Федорук М. П. Квазилинейная теория нелинейного уравнения Шредингера с периодическими коэффициентами//Письма в ЖЭТФ. 2004. - Т. 79. -Вып. 1. - С. 19-24.

25. Курикалова М. А., Медведев С. Б. Вариационный подход для описания взаимодействия импульсов: положение и импульс//Вестник Новосибирского госуниверситета,- 2004. Т. 4. - Вып. 1. - С. 30-46.

26. Медведев С. Б. Теорема Дарбу для распределенных гамильтоновых систем//Вестник Новосибирского госуниверситета. 2004. - Т.4. - Вып.1. - С. 37-55.

27. Medvedev S.B., Zeitlin V. Weak turbulence of short equatorial waves//Physics Letters A. 2005. - V. 342. - P. 269-290.

28. Медведев С. Б. Асимптотическая нормальная форма скобки Пуассона для одномерных моделей жидкости//Вестник Новосибирского госуниверситета. 2005. - Т. 5. -Вып. 1. - С. 37-55.

29. Агравал Г. П. Нелинейная волоконная оптика. М.: Мир, 1989.

30. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

31. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.

32. Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения//Современные проблемы математики. 1985. - Т. 1. - С. 7-149.

33. Бакай А. С. Взаимодействие высокочастотных и низкочастотных волн в нелинейных дисперсионных средах//ЖЭТФ. 1968. - Т. 55. - Вып. 1. - С. 266-277.

34. Бакай А. С. Взаимодействие высокочастотных и низкочастотных волн в нелинейных дисперсионных средах. П//ЖЭТФ. 1970. - Т. 59. - Вып. 1. - С. 116-127.

35. Балк А. М., Назаренко С. В. О физической реализуемости анизотропного слаботурбулентного колмогровского спектра//ЖЭТФ. 1990. - Т. 97. - Вып. 6. - С. 1827-1846.

36. Биркгоф Д. Динамические системы. Ижевск: Удмуртский университет, 1999.

37. Блейхут Р. Э. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1989.- 448 с.

38. Богаевский В. Н., Повзнер А. Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений. М.: Наука, 1987. - 255 с.

39. Боголюбов Н. Н., Митрольский Ю. А. Асимтотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. - 503 с.

40. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1979.

41. Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. М.: Наука, 1998.

42. Владимиров, В. А., Аналогия эффектов стратификации и вращения//Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Н.: Наука, 1985.

43. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1983.

44. Волоцкий С. В., Кац А. В., Конторович В. М. Преобразования симметрии интеграла столкновений, описывающего рассеяние квазчастиц с законом дисперсии, близким к линейному//Доклады Укр. АН, сер.А. 1980. - № 11. - С. 66-69.

45. Гилл А. Динамика атмосферы и океана. В 2-х т. М.: Мир, 1986. 396 е., 415 с.

46. Гледзер Е. Б., Должанский Ф. В., Обухов А. М. Системы гидродинамического типа и их применение. М.: Наука, 1981.

47. Ю. Н. Демков, Вариационные принципы в теории столкновений. М.: ГИФМЛ, 1958.

48. Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы // Современные проблемы математики. 1985. - Т. 4. - С. 179-284.

49. Дубровин Б. А., Новиков С. II. Гидродинамика слабо деформированных солитонпых решеток. Дифференциальная геометрия и гамильтонова теория//УМН. 1989. - Т. 44. - № 6. - С. 29-98.

50. Захаров В. Е. Гамильтоновский формализм для гидродинамических моделей плаз-мы//ЖЭТФ. 1971. - Т. 60. - № 5. - С. 1714-1726.

51. Захаров В. Е. Коллапс ленгмюровских волн//ЖЭТФ. 1971. - Т. 62. - № 5. - С. 1745-1759.

52. Захаров В. Е. Гамильтоновский формализм для волн в нелинейных средах с дисперсией//Известия вузов. Радиофизика. 1974. - Т. 17. - № 4. - С. 431-453.

53. Захаров В. Е. Колмогоровские спектры в задачах слабой турбулентности//Основы физики плазмы. Т. 2. М.: Наука, 1984. - с. 48-79.

54. Захаров В. Е., Кузнецов Е. А. О трехмерных солитонах//ЖЭТФ. 1974. - Т. 66. -Вып. 2. - С. 594-597.

55. Захаров В. Е., Кузнецов Е. А. Кинетика высокочастотных и низкочастотных волн в нелинейной среде//ЖЭТФ. 1978. - Т. 75. - № 3. - С. 904-912.

56. Захаров В. Е., Кузнецов Е. А. Гамильтоновский формализм для систем гидродинамического типа//Препринт № 186 ИАиЭ СО АН СССР. Новосибирск: ИАиЭ, 1982.

57. Захаров, В. Е., Питербарг, J1. И. Канонические переменные для волн Россби и дрейфовых волн в плазме//ДАН СССР. 1987. - Т. 295. - С. 86-90.

58. Захаров, В. Е., Рубенчик, А. М. Нелинейное взаимодействие высокочастотных и низкочастотных волн//Журнал ПМТФ. 1972. - Т. 13. - № 5. - С. 84-98.

59. Захаров В. Е., Сагдеев Р. 3. О спектре акустической турбулентности//ДАН СССР. 1970. - Т. 192. - № 2. - С. 297-300.

60. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусирвки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах//ЖЭТФ. 1971. - Т. 61. - № 1. - С. 118134.

61. Карасев, М. В., Маслов, В. П. Нелинейные скобки Пуассона: геометрия и квантование. М.: Наука, 1991.

62. Кац А. В. Направление перекачки энергии и числа волн квазичастиц по спектру в стационарных степенных решениях кинетического уравнения для волн и ча-стиц//ЖЭТФ. 1976. - Т. 71. - Вып. 6. - С. 2104-2112.

63. Кац А. В. Кинетика слабодисперсионных волн описываемых уравнением Кадомцева-Петвиашвили//ДАН УССР. 1982. - № 8. - С. 59-62.

64. Кац А. В., Конторович В. М. Свойства симметрии интеграла столкновений и неизотропные стационарные решения в теории слабой турбулентности//ЖЭТФ. 1973. -Т. 64. - Вып. 1. - С. 153-163.

65. Кац А.В., Конторович В.М. Анизотропные турбулентные распределения для волн с нераспадным законом дисперсии//ЖЭТФ. 1973. - Т. 65. - Вып. 1. - С. 206-218.

66. Кац Е. П., Лебедев В. В. Динамика жидких кристаллов. М.: Наука, 1988.

67. Красицкий В.П. О каноническом преобразовании в теории слабонелинейных волн с нераспадным законом дисперсии//ЖЭТФ. 1990. Т. 98. - Вып. 5. - С. 1644-1655.

68. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.

69. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988.

70. Jle Блон П., Майсек Л. Волны в океане. Том 1, 2. М.: Мир, 1981. - 480 е., 366 с.

71. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.

72. Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнения. М.: Наука, 1977.

73. Маслов В. П. Асимптотические методы и теория возмущений. М.: Наука, 1988.

74. Мигдал А. Б. Качественные методы в квантовой теории. М.: Наука, 1975.

75. Михлин С. Г. Вариационные методы ы математической физике. М.: Наука, 1970.

76. Монин А.С. Прогноз погоды как задача физики. М.: Наука, 1969. - 184 с.

77. Монин А.С. Теоретические основы геофизической гидродинамики. Л.: Гидроме-теоиздат, 1988. - 424 с.

78. Монин А. С., Питербарг Л. И, О кинетическом уравнении для волн Россби-Блиновой// ДАН СССР. 1987. - Т. 295. - С. 816-820.

79. Незлин М.В., Снежкин Е.Н. Вихри Россби и спиральные структруры: Астрофизика и физика плазмы в опытах на мелкой воде. М.: Наука, 1990.

80. Найфе А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976.

81. Николенко Н. В. Метод нормальных форм Пуанкаре в проблеме интегрируемости уравнений эволюционного типа//УМН. 1986. - Т. 41. - № 5. - С. 109-152.

82. Обухов А. М. К вопросу о геострофическом ветре//Изв. АН СССР. Сер. географ, и геофиз. 1949. - Т. 13. - № 4. - С. 281-306,

83. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

84. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989. - 639 с.

85. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика, В 2-х томах, т.1, М.; Мир, 1984. -398 с.

86. Переломов А. М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. -М.: Наука, 1990.

87. Петвиашвили В. И. Об уравнении необыкновенного солитона//Физика плазмы.1976. Т. 2. - № 3. - С. 469-472.

88. Петвиашвили В. П., Похотелов О. А. Вихри в мелкой вращающейся атмосфе-ре//Нелинейные волны, самоорганизация. М: Наука, 1983. С. 107-112.

89. Петвиашвили В. И., Похотелов О. А. Уединенные волны в плазме и атмосфере. М.: Энергоатомиздат, 1989. - 200 с.

90. Рашевский П. К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. М.: Гостехиздат, 1947.

91. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985.

92. Рождественский Б. JL, Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978.

93. Синяев В. Н. Об одном принципе построения конечно-разностных схем, основанных на законах сохранения полной энергии//Численные методы механики сплошной среды. 1974. - Т. 5. - № 2. - С. 7-15.

94. Теория солитонов. Метод обратной задачи. Под ред. С. П. Новикова. М.: Наука, 1980.

95. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М,: Наука,1977.

96. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977. - 624 с.

97. Фалькович Г.Е. Об устойчивости колмогоровских спектров слабой турблентно-сти//ЖЭТФ. 1987. - Т. 93. - Вып. 1. - С. 172-177.

98. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988.

99. Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. М.: Издательство МГУ, 1988.

100. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные! уравнения. М.: Мир, 1970. - 720 с.

101. Шрира В. И. Распространение длинных нелинейных волн в слое вращающейся жидкости//Известия АН. ФАО. 1981. - Т. 17. № 1. - С 76-81.

102. Шрира В. И. О длинных существенно нелинейных волнах во вращающемся оке-ане//Известия АН. ФАО. 1986. - Т. 22. - № 4. - С. 395-405.

103. Эпштейн С. Вариационный метод в квантовой химии. М.: Мир, 1977. - 362 с.

104. Ablowitz М. J., Biondini G. Multiscale pulse dynamics in communication systems with strong dispersion management//Opt. Lett. 1998. - V. 23. - P. 1688-1691.

105. Ablowitz M. J., Biondini G., Olson E. S. On the evolution and interaction of dispersion-managed solitons// Massive WDM and TDM Solution Transmission Systems, (ed. A. Hasegawa). Kluwer Academic Publishers, 2000. - P. 75-114.

106. Ablowitz M. J., Clarkson P. A. Solitons, Nonlinear Evolution Equations, and Inverse Scattering. Cambridge: Cambridge University Press, 1991.

107. Ablowitz M. J., Hirooka T. Resonant nonlinear intrachannel interactions in strongly dispersion-managed transmission systems//Optics Lett. 2000. - V. 25. - P. 1750-1752.

108. Ablowitz M. J., Hirooka T. Intrachannel pulse interactions in dispersion-managed transmission systems: timing shifts//Optics Lett. 2001. V. 26. - P. 1846-1848.

109. Ablowitz M. J., Hirooka T. Intrachannel pulse interactions in dispersion-managed transmission systems: energy transfer//Optics Lett. 2002. - V. 27. - P. 203-205.

110. Alexander M.J., Rosenlof K.H. Gravity-waves forcing in the stratosphere: observational constrains form upper atmosphere research satellite and implications for parametrization in global models//J. Geoph. Res. 2003. - V. 108. - N. D19. - P. 4597.

111. Anderson D. Variational approach to nonlinear pulse propagation in optical fibers//Phys. Rev. A. 1983. - V. 27. - P. 3135-3145.

112. Andrew D., Hoskins B. J. Energy spectra predicted by semigeostrophic theories of frontogenesis//J. Atmos. Sci. 1978. - V. 35. - P. 509-512.

113. Babin A., Mahalov A., Nicolaenko B. Global splitting and regularity of rotating shallow-water equations//Eur. J. Mech. B/Fluids. 1997. - V. 16. - P. 725-754.

114. Baer F., Tribbia J. J. On complete filtering of gravity modes through nonlinear initialization//Mon. Wea. Rev. 1977. - V. 105. - N. 12. - P. 1536-1539.

115. Baldwin M. et al The quasi-biennial oscillation//Rev. Geoph. 2001, - V. 39. - P. 179230.

116. Balkovsky Е. Some notes on the Clebsch representation for incompressible fluids// Phys. Lett. A. 1994. - V. 186. - P. 135-136.

117. Bialynicki-Birula I., Morrison P. J. Quantum mechanics as a generalization of Nambu dynamics to the Weyl-Wigner formalism//Phys. Lett. A. 1991. - V. 158. - P. 453-437.

118. Blow K. J., Doran N. J. Average soliton dynamics and the operation of soliton systems with lumped amplifier//IEEE Photon. Technol. Lett. 1991. - V. 3. - P. 369-371.

119. Blumen W. Geostrophic adjustment//Rev. Geophys. Space Phys. 1972. - V. 10. - P. 485 - 528.

120. Boulanger J.-P., Menkes C. Propagation and reflection of long equatorial waves iri the Pacific ocean during the 1992-1993 El Nino//J. Ceoph. Res. 1995. - V. 100. - N. C12.- P. 25041-25059.

121. Biihler O. A nonlinear wave in rotating shallow water//GFD Summer School preprint (Woods Hole). 1993. - unpublished.

122. Carr J. Applications of centre manifold theory. New York: Springer-Verlag, 1981.

123. Charney J. C. Geostrophic turbulence//J. Atmos. Sci. 1971. - V. 28. - N 6. - P. 10871095.

124. Cho H.-R., Shepherd T. G., Vladimirov V. A. Application of the direct Liapunov method to the problem of symmetric stability in the atmosphere//J. Atmos. Sci. 1993. - V. 50.- P. 822-836.

125. Cicogna G., Gaeta G. Normal forms and nonlinear symmetries//J. Phys. A. 1994,- V. 27. - P. 7115-7124.

126. Delcroix Т., Boulanger J., Masia F., Menkes G. Geosat-derived sea level and surface current anomalies in the equatorial Pacific during the 1986-1989 El Nino and La Nina//J. Geoph. Res. 1994. - V. 99. - N. C12. - P. 25093-25107.

127. Delcroix Т., Picaut J., Eldin G. Equatorial Kelvin and Rossby waves endenced in the Pacific Ocean through Geosat sea level and surface current anomalies//J. Geoph. Res. -1991. V. 96. - P. 3249-3262.

128. Embid P. F,, Majda A. J. Averaging fast gravity waves for geophysical flows with arbitrary potential vorticity//Comm. Partial Diff. Eq. 1996. - V. 21. - P. 619-658.

129. Engelberg S. Formation of singularities in the Euler and Euler-Poisson equations//Physica D. 1996. -V. 98. - P. 67-74.

130. Farge M., Sadourny R. Wave-vortex dynamics in rotating shallow water//J. Fluid Mech. 1989. - V. 206. - P. 433-462.

131. Ford R., Mclntyre M. E., Norton W. A. Balance and the slow quasimanifold: some explicit results//J. Atmos. Sci. 2000. - V. 57. - P. 1236-1254.

132. Gabitov I., Shapiro E. G., Turitsyn S. K. Optical pulse dynamics in fiber links with dispersion compensation//Opt. Commun. 1996. V. 134. - P. 317-329.

133. Gabitov I., Shapiro E. G., Turitsyn S. K. Asymptotic breathing pulse in optical transmission systems with dispersion compensation//Phys. Rev. E. 1997. - V. 55. P. 3624-3633.

134. Gabitov I., Turitsyn S. K. Breathing solitons in optical fiber links//IbicbMa в ЖЭТФ. -1996. Т. 63. - С. 814-819.

135. Gabitov I., Turitsyn S. K. Averaged pulse dynamics in a cascaded transmission systems with passive dispersion compensation//Optics Lett. 1996. - V. 21. - P. 327-329.

136. Garrett C., Munk W. Internal waves in the ocean//Ann. Rev. Fluid Mech. 1979. - V. 11. - P. 339-369.

137. Ge Z., Kruse H. P., Marsden J. E., Scovel C, The convergence of Hamiltonian structures in the shallow water approximation//Canadian Appl. Math. Quart. 1995. - V. 3. - P. 277-302.

138. Ge Z., Kruse H. P., Marsden J. E. The limits of Hamiltonian structures in three dimensional elasticity, shells, and rods//J. Nonlinear Sci. 1996. - V. 6. - P. 19-57.

139. Georges T. Soliton interaction in dispersionmanaged links//JOSA B. 1998. - V. 15. -P. 1553-1560.

140. Goncharov V., Pavlov V. Some remarks on the physical foundation of the Hamiltonian description of fluid motions//Eur. J. Mech., B/Fluids. 1997. - V. 16. - P. 509-555.

141. Grigoryan V. S., Golovchenko E. A., Menyuk C. R., Pilipetskii A. N. Dispersion-managed soliton dynamics//Optics Lett. 1997. - V. 22. P. 1609-1611.

142. Hasegawa A., Kodama Y. Guiding-center soliton in fibers with periodically varying dispersion//Optics Lett. 1991. - V. 16. - P. 1385-1387.

143. Hasegawa A., Kodama Y. Guiding-center soliton in optical fibers//Optics Lett. 1990. -V. 15. - P. 1443-1445.

144. Hasegawa A., Kodama Y. Guiding-center soliton//Phys. Rev. Lett. 1991. - V. 66. - P. 161-164.

145. Hasegawa A., Kodama Y. Solitons in optical communications. Oxford: Claredon Press, 1995.

146. Hasegawa A., Kodama Y., Maruta A. Recent progress in dispersion-managed soliton transmission technoligies//Opt. Fiber Techn. 1997. - V. 3. - P. 197-213.

147. Haus H. A., Tamura K., Nelson L. E., Ippen E. P. Stretched-pulse additive pulse mode-locking in fiber ring laser: Theory and experiment//IEEE J. Quantum Electronics. 1995. -V. 31. - P. 591.

148. Hendon H., Salby M. The life cycle of the Madden-Julian oscillation//J. Atmos. Sci. -1994. V. 51. - P. 2225-2237.

149. Holton J. R. The dynamic meteorology of the stratosphere and mesosphere. Boston: AMS, 1975.

150. Holton J. R. An introduction to dynamic meteorology. New York: AP, 1979.

151. John F. Partial Differential Equations, 4th edri. New York: Springer-Verlag, 1986.

152. Каир D. J., Lakoda Т. I. Variational method: How it can generate false instabilities//J. Math. Phys. 1996. - V. 37. - N. 7. - P. 3442-3462.

153. Kodama Y. On the dispersion-managed soliton//Massive WDM and TDM Solution Transmission Systems, (ed. A. Hasegawa). Kluwer Academic Publishers, 2000. - P. 129-151.

154. Kraichnan R.H. Inertial ranges in two-dimensional turbulence//Phys. Fluids. 1967. -V. 10. - P. 1417-1423.

155. Kreiss H.-O., Lorenz J. On the existence of slow manifolds for problem with different timescale//Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1994. V. 346. - P. 159-171.

156. Kumar S., Mauro J. C., Raghavan S., Chowdhury D. Q. Intrachannel nonlinear penalties in dispersion-managed transmission systerns//IEEE journal of selected topics in quantum electronics. 2002. - V. 8. - P. 626-631.

157. Kuo Л. C., Polvani L. M. Time-dependent fully nonlinear geostrophic adjustment//J. Phys. Oceanogr. 1997. - V. 27. - P. 1614-1634.

158. Kuo A. C., Polvani L. M. Wave-vortex interactions in rotating shallow water. Part 1. One space dimension//J. Fluid Mech. 1999. - V. 394. - P. 1-27.

159. Kutz N., Holmes P., Evangelides S., Gordon .J. Hamiltonian dynamics of dispersion managed breathers//JOSA B. 1997. - V. 15. - P. 87.

160. Kuznetsov, E. A., Mikhailov, A. V. On the topological meaning of canonical Clebsch variables//Phys. Lett., A. 1980. - V. 77. - P. 37-38.

161. Kuznetsov E. A., Mikhailov A. V., Shimokhin I. A. Nonlinear interaction of solitons and radiation//Physica D. 1995. - V. 87. - P. 201-215.

162. Kuznetsov E. A., Rubenchik A. M., Zakharov V. E. Soliton stability in plasmas and hydrodynamics//Phys. Rep. 1986. - V. 142. - P. 103-165.

163. Laedke E. W., Spatschek К. H. Nonlinear ion-acoustic waves in weak magnetic fields //Physics Fluids. 1982. - V. 25. - N. 6. - P. 985-989.

164. Lakoba Т., Каир D.J. Shape of stationary pulse in strong dispersion management regime//Electron. Lett. 1998. - V. 34. - P. 1124-1125.

165. Lakoba Т., Yang J., Каир D. J., Malomed B. A. Conditions for stationary pulse propagation in strong dispersion management regime//Opt. Commun. 1998. - V. 149. - P. 366-375.

166. Lax P. D. Hyperbolic systems of conservation laws and the mathematical theory of shock waves. PA: SIAM, 1973.

167. Leith С. E. Nonlinear normal mode initialization and quasi-geostrophic theory//J. Atmos. Sci. 1980. - V. 37. - N. 5. - P. 958-968.

168. Lesieur M. Turbulence in Fluids. London: Kluwer, 1990.

169. Le Sornmer J., Reznik G. M., Zeitlin V. Nonlinear geostrophic adjustment of long-wave disturbances in the shallow water model on the equatorial beta-plane//J. Fluid. Mech. -2004. V. 515. - P. 135-170.

170. Liang A. H., Toda H., A. Hasegawa A. High-speed soliton transmission in dense periodic fibers//Opt. Lett. 1999. - V. 24. - P. 799-801.

171. Lilly D. K. Stratified Turbulence and the mesoscale variability of the atmosphere//J. Atmos. Sci. 1983. - V. 40. - N. 3. - P. 749-761.

172. Lilly D. K., Petersen E. L. Aiercraft measurements of atmospheric kinetic energy spectra//Tellus. 1983 - V. 35A. - N. 5. - P. 379-382.

173. Lorenz E.N. The slow manifold What is it?//J. Atmos. Sci. - 1992. - V. 49. - N. 24. -P. 2449-2451.

174. Lushnikov P. M. Dispersion-managed soliton in optical fibers with zero average dispersion/Optics Letters. 2000. - V. 25. - N. 16. - P. 1144-1146.

175. Lushnikov P. M. Dispersion-managed soliton in a strong dispersion map limit//Optics Letters. 2001. - V. 26. - N. 20. - P. 1535-1537.

176. Lushnikov P. M. Fully parallel algorithm for simulating wavelength-division-multiplexed optical fiber systems//Optics Letters. V. 27. - N. 11. - P. 939-941.

177. Machenhauer B. On dynamics of gravity oscillations in shallow water model, with application to normal mode initialization//Contrib. Atmos. Phys. 1977. - V. 50. -N. 8. - P. 253-271.

178. Mamyshev P. V., Mamysheva N. A. Pulse-overlapped dispersion-managed data transmission and intrachannel four-wave mixing//Opt.ics Lett. 1999. - V. 24. - P. 1454-1456.

179. Matsumoto M., Haus H. A. Stretched-pulse optical fiber communications//IEEE Photon. Technol. Lett. 1997. - V. 9. - P. 785-787.

180. McKean H. P., Shatah J. The nonlinear Shrodinger equation and the nonlinear heat equation reduction to linear form//Comrn. on Pure and Appl. Math. 1991. - V. 44. -P. 1067-1080.

181. Merlaud F., Turitsyn S. K. Intra-channel four wave mixing and Ghost pulses generation: time domain approach//Proc. ECOC2QOO, Munchen. 2000. - V. 3. - P. 35-36.

182. Mikhailov А. V. Variotionalism and empirio-criticisrri. (Exact and variational approaches to fibre optics equations)//Optical solitons: Theoretical Challenges and Industrial Perspectives. New York: Springer-Verlag, 1999. - P. 63-72.

183. Mokhov 0. I. Vorticity equation of two-dimensional hydrodynamics of an incompressible fluid as canonical Hamiltonian system//Phys. Lett, A. 1989. - V. 139. - P. 363-368.

184. Mollenauer L. F., Evangelides S. G., Haus H. A. Long-distance soliton propagation using lamped amplifiers and dispersion shifted fibre//IEEE J. Lightwave Tech. 1991. - V. 9.- P. 194-196.

185. Nastrom G. D., Gage K. S. A first look at wavenumber spectra from GASP data//Tellus.- 1983. V. 35A. - N. 5. - P. 383-388,

186. Newell A. C., Moloney J. V. Nonlinear Optics. Redwood City CA: Addison-Wesley Publishing Company, 1992.

187. Nijhof J. H. В., Doran N. J., Forysiak W., Knox F. M. stable soliton-like propagation in dispersion managed systems with net anomalous, zero and normal dispersion//Electron. Lett. 1997. - V. 33. - P. 1726-1727.

188. Nore C., Shepherd T. G. A Hamiltonian weak-wave model for shallow water flow//Proc. R. Soc. Lond. A. 1997. - V. 453. - P. 563-580.

189. Novikov S. P. Differential geometry and Hydrodynamics of soliton lattices//Important development in soliton theory. Ed. A. S. Fokas and V. E. Zakharov. Berlin: Springer-Verlag, 1993. - P. 242-256.

190. Olver P. J. Hamiltonian perturbation theory and water waves//Contemp. Math. 1984.1. V. 28. P. 231-249.

191. Olver P. J. Darboux' theorem for Hamiltonian Operators//J. Diff. Equat. 1988. - V. 71. - P. 10-33.

192. Ozawa Т., Tsutaya K., Tsutsumi Y. 1995 Normal form and global solutions for Klein-Gordon-Zakharov equations//Ann. Inst. Henri Poincare. 1995. - V. 12. - N. 4. - P. 459-503.

193. Pokhotelov 0. A., McKenzie J. F., Shukla P. K., Stenflo L. Nonlinearly coupled inertia! and Rossby waves//Phys. Fluid. 1995. V. 7. P. 1785-1787.

194. Reznik G. M., Zeitlin V., Ben Jelloul M. Nonlinear theory of geostrophic adjustment. Part I. Rotating shallow water//J. Fluid Mech. V. 445. - P. 93-120.

195. N. Robinson et al 4xSONET OC-192 Field Installed Dispersion Managed Soliton System over 450 km of Standard Fiber in the 1550 nin Erbium Band//Post Deadline presentation, PD19-1, OFC'98, San Jose, USA.

196. Ross by C.-G. On the mutual adjustment of pressure and velocity distributions in certain simple current systems, И/Д Mar. Res. 1938. - V. 1. - P. 239-263.

197. Sanders J. A., Verhulst F. Averaging methods in nonlinear dynamical systems. New York: Springer-Verlag, 1985.

198. Shapiro E. G., Turitsyn S. K. Enhanced power breathing soliton in communication systems with dispersion management//Phys, Rev. E. 1997. - V. 56. - P. R4951.

199. Shatah J. Normal forms and quadratic nonlinear Klein-Gordon equations//Comm. on Pure and Appl. Math. 1985. - V. 38. - P. 685-696.

200. Shepherd T. G. Symmetries, conservation laws, and Hamiltonian structure in geophysical fluid dynamics//Adv. Geophys. 1990. - V. 32. P. 287-338.

201. Shepherd T. G. A unified theory of available potential energy//Atmos.-Ocean. 1993. -V. 31. - P. 1-26.

202. Smith N. J., Knox F. M., Doran N. J., Blow K. J., Bennion I. Enhanced power sollitons in optical fibers with periodic dispersion management//Electron. Letters. 1996. - V. 32. - P. 54-55.

203. Spatschek К. H., Turitsyn S. K., Kivshar Y. S. Average envelope soliton dynamics in systems with periodically varying dispersion//Phys. Lett. A. 1995. - V. 204. - P. 269273.

204. Struwe M. Variational methods. Application to nonlinear partial differential equations and Hamiltonian systems. Berlin: Springer-Verlag, 1990.

205. Sugahara H., Kato H., Inoue Т., Maruta A., Kodarna Y. Optimal dispersion management for a wavelength division multiplexed optical soliton transmission system//J. Lightwave Tech. 1999. - V. 17. - N. 9. - P. 1547-1559.

206. Temperton C. Implicit normal mode initialization//Mon. Wea. Rev. 1988. - V. 116. N. 5. - P. 1013-1031.

207. Tribbia J. J. A simple scheme for higher order nonlinear normal mode initialization//Mon. Wea. Rev. 1984. - V. 112. - N. 2. - P. 278-284.

208. Turitsyn S. K., Aceves А. В., Jones С. K. R. Т., Zharnitsky V. Average dynamics of the optical soliton in communication lines with dispersion management//Phys. Rev. E. 1998. - V. 58. - P. R48-R51.

209. Turitsyn S. K., Fedoruk M., Gornakova A. Reduced-power optical solitons in fiber lines with short-scale dispersion management//Opt. Lett. 1999. - V. 24. - P. 869-871.

210. Turitsyn S. K., Gabitov I., Laedke E. W., Mezentsev V. K., Musher S. L., Shapiro E.G., Schafer Т., Spatschek К. H. Variational approach to optical propagation in dispersion compensated transmission systems//Opt, Comm. 1998. - V. 151. - P. 117-135.

211. Turitsyn S. K., Mezentsev V. K. Dynamics of self-similar dispersion-managed soliton presented in basis of chirped Gauss-Hermite functions// Письма в ЖЭТФ. 1998. - Т. 67. - С. 616-621.

212. Turitsyn S. К., Mezentsev V. К. On the theory of chirped optical solitons in fiber lines with varying dispersionZ/Письма в ЖЭТФ. 1998. - Т. 68. - С. 791-795.

213. Turitsyn S. K., Schaefer Т., Mezentsev V. K. Self-similar core and oscillatory tails of a path-averaged chirped dispersion-managed optical pulse//Opt. Lett. 1998. - V. 23. -P. 1351-1353.

214. Turitsyn S. K., Schaefer Т., Mezentsev V. K. Generalized momentum method to describe high-frequency solitary wave propagation in system with varying dispersion//Phys. Rev. E. 1998. - V. 58. - P. R5264.

215. Vautard R., Legras В. Invariant manifolds, quasi-geostrophy and initialization//J. Atmos. Sci. 1986. - V. 43. - N. 6. - P. 565-584.

216. Van Zandt Т.Е. A universal spectrum of buoyancy waves in the atmosphere//Geophys. Res. Lett. 1982. - V. 9. - P. 575-578.

217. Wald M., Uzunov I. M., Lederer F., Wabnitz S. Optimization of periodically dispersion compensated breathin soliton transmission//Photon. Techn. Lett. 1997. - V. 9. - 16701672.

218. Warn Т., Bokhove 0., Shepherd T. G., Vallis G. K. 1995: Rossby number expansion, slaving principles, and balance dynamics//Quart. j. Roy. Meteor. Soc. 1995. - V. 121.- P. 723-739.

219. Weinstein A. The local structure of Poisson ma,nifold//J. Diff. Geom. 1983. - V. 18. -P. 523-557.

220. Wheeler M., Kiladis G. Convectively coupled equatorial waves: Analysis of clouds and temperature in the wavenumber-frequency domain//J. Atmos. Sci. 1999. - V. 56. - P. 374-399.

221. Yakhot V., Zakharov V. Hidden conservation laws in hydrodynamics; energy and dissipation rate fluctuation spectra in strong turbulence//Physica D. 1993. - V. 64.- P. 379-394.

222. Yang T.-S., Kath W. L. Analysis of enhanced-power solitons in dispersion-managed optical fibers//Opt. Lett. 1997. - V. 22. - P. 985-987.

223. Yang T.-S., Kath W. L., Turitsyn S. K. Optimal dispersion maps for wavelength-division-multiplexed soliton transmission//Opt, Lett. 1998. - V. 23. - P. 597-599.

224. Yang T. S., Kath W. L., Turitsyn S. K. The multiple-scale averaging and dynamics of dispersion-managed optical solitons//Journal of Engineering Mathematics. 1999. - V. 36. - P. 163-184.

225. Zakharov V. E., Lvov V. S., Falkovich G. E. Kolmogorov spectra of turbulence. Berlin: Springer-Verlag, 1992.

226. Zakharov V. E., Piterbarg L. I. Canonical variables for Rossby waves and plasma drift waves//Phys. Lett. A. 1988. - V. 126. - P. 497-500.

227. Zakharov V. Е., Schulman Е. I. Integrability of nonlinear systems and perturbation theory// Important developments in soliton theory. Ed. A. S. Fokas, V. E. Zakharov. -- Berlin: Springer-Verlag, 1993. P. 185-250.

228. Zeitlin V. Vorticity and waves: geometry of phase-space and the problem of normal variables//Phys. Lett. A. 1992. - V. 164. - P. 177-183.