автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Теоретические и вычислительные аспекты исследования одного варианта метода прямых для системы моментных уравнений переноса заряда в полупроводниках

На правах рукописи

ИБРАГИМОВА АЛЕСЯ СЕРГЕЕВНА

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОДНОГО ВАРИАНТА МЕТОДА ПРЯМЫХ ДЛЯ СИСТЕМЫ МОМЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРЕНОСА ЗАРЯДА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

15 о к;

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Барнаул — 2009

003479934

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете

Научный руководитель: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Блохин Александр Михайлович

доктор физико-математических наук, профессор Федорук Михаил Петрович

доктор физико-математических наук Бушманова Ольга Павловна

Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Защита состоится Ь ноября 2009 года в № часов на заседании диссертационного совета Д 212.005.04 при ГОУ ВПО "Алтайский государственный университет" по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина, 61.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО "Алтайский государственный университет" по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина, 61.

Автореферат разослан " / " 2009

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор СЛ. Безносюк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическое моделирование физических процессов в полупроводниковых устройствах имеет огромное значение для технических приложений и в последнее время превратилось в быстро развивающуюся область прикладной математики. Современный уровень развития микроэлектронных технологий позволяет создавать полупроводниковые приборы столь малых размеров, что точность, обеспечиваемая упрощенными аналитическими моделями, становится неприемлемой для анализа и проектирования таких приборов. Необходимы математические модели, более полно описывающие физические процессы, происходящие в полупроводнике.

Моделирование процесса переноса заряда в полупроводниковых устройствах основывается на кинетическом уравнении Больцмана для электронной функции распределения. Однако, прямое численное интегрирование полного уравнения переноса Больцмана для носителей заряда в полупроводниках (например, с помощью метода Монте-Карло), требует больших вычислительных затрат. Как показывает практика, приемлемая точность во многих случаях может быть достигнута при использовании уравнений, полученных на основе моментов уравнения Больцмана. Простейший набор таких уравнений - это хорошо известная дрейф-диффузионная модель Schockley и van Roosbroeck'a, состоящая из уравнений неразрывности для носителей заряда и уравнения Пуассона для электрического потенциала.

Надо отметить, что дрейф-диффузионная модель и по настоящее время широко используется при моделировании электронных устройств. Однако возрастающая миниатюризация современных электронных приборов требует более точного моделирования процесса переноса энергии в полупроводниках, что имеет первостепенную важность для описания таких феноменов как горячие электроны, ударная ионизация, генерация тепла и т.п. Следовательно, возникает необходимость расширения общепринятой дрейф-диффузионной модели, принимая во внимание энергию носителей заряда. Эта цель достигается в гидродинамических моделях переноса носителей заряда. Первая гидродинамическая модель была сформулирована в работе Blotekjaer'a и содержала законы сохранения для числа частиц, импульса и энергии носителей зарядов, а также уравнение Пуассона для электрического потенциала.

К настоящему моменту существует довольно много математических моделей, описывающих физические явления в полупроводниковых приборах. Встает вопрос о конструировании численных алгоритмов и их обосновании для нахождения приближенных решений таких моделей.

В данной диссертации рассматриваются две задачи из физики полупроводников: одномерная задача - баллистический диод и двумерная - кремниевый полевой транзистор со структурой металл-проводник (MESFET или metal-semiconductor field-effect transistor) прямоугольной формы и предлагаются новые оригинальные вычислительные алгоритмы. В качестве математической модели взята недавно предложенная A.M. Anile и V. Romano гидродинамиче-

екая модель переноса заряда в полупроводниках. Эта модель представляет из себя квазилинейную систему уравнений, записанных в форме законов сохранения. Эти законы сохранения получены из системы моментных соотношений для уравнения переноса Больцмана с помощью, так называемого, принципа максимума энтропии (или МЕР от Maximum Entropy Principle).

Цель работы. Основной целью данной диссертации является разработка, обоснование и программная реализация новых эффективных вычислительных алгоритмов нахождения стационарных решений гидродинамических моделей переноса зарядов в полупроводниках.

Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

- построение одного класса дифференциально-разностных моделей для симметрических t гиперболических систем и рассмотрение вопроса о нахождении решений таких моделей.

- разработка и обоснование нового вычислительного алгоритма решения модельной смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона;

- применение разработанного алгоритма для нахождения стационарных решений в кремниевом транзисторе MESFET;

- разработка нескольких подходов для нахождения приближенных решений в задаче о баллистическом диоде;

- реализация алгоритмов в виде комплекса компьютерных программ, проведение соответствующих тестовых расчетов и вычислительных экспериментов.

Объектом исследования являются гидродинамические модели переноса заряда в полупроводниках: одномерная задача о баллистическом диоде и двумерная задача, описывающая кремниевый полевой транзистор со структурой металл-проводник.

Предметом исследования являются математические модели, описывающие стационарные решения переноса заряда в полупроводниках, вычислительные алгоритмы, компьютерные программы для нахождения стационарных решений гидродинамических моделей переноса заряда в полупроводниках.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались аппарат функционального анализа, теории гиперболических и эллиптических уравнений, методы вычислительной математики.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Построение дифференциально-разностной модели с использованием техники сплайн-функций для симметрических i-гиперболических систем и рассмотрение вопроса о нахождении решений такой модели.

2. Разработка и обоснование нового оригинального эффективного вычислительного алгоритма решения модельной смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона, основанного на идее метода прямых и методе установления.

3. Стационарные решения двумерной задачи (кремниевый полевой транзистор со структурой металл-проводник), полученные на основе предложенного вычислительного алгоритма для модельной задачи.

4. Ряд подходов для нахождения приближенных решений в задаче о баллистическом диоде, основанные на сведении задачи к интегральным уравнениям, использовании техники сплайн-функций и схемы предиктор-корректор, применении метода ортогональной прогонки. Приближенные решения этой задачи, полученные на основе предложенных подходов.

Научная новизна работы. Все основные результаты настоящей диссертации являются новыми и состоят в следующем.

Для симметрических t-гиперболических систем построена дифференциально-разностная модель и изучен вопрос о нахождении приближенных решений такой модели.

Разработан и теоретически обоснован новый оригинальный эффективный вычислительный алгоритм решения модельной смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона, основанный на идее метода прямых и методе установления. При использовании метода установления предложено два способа регуляризации. На основе параболической и соболевской регуляризации получены математические модели для описания стационарных решений переноса заряда в полупроводниках.

На основе предложенного вычислительного алгоритма для модельной задачи получены стационарные решения двумерной задачи, описывающей кремниевый полевой транзистор со структурой металл-проводник.

Предложено несколько подходов к нахождению приближенных решений известной в физике полупроводников задачи о баллистическом диоде: сведение задачи к интегральным уравнениям, использование техники сплайн-функций и схемы предиктор-корректор, применение метода ортогональной прогонки. На основе предложенных подходов получены приближенные решения этой задачи.

Все алгоритмы реализованы ввиде комплекса прикладных програм, написанных на языке Object Pascal в среде Delphi 6.

Обоснованность и достоверность результатов. Обоснованность и достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается корректностью постановок рассматриваемых задач, теоретической проработкой разрабатываемых вычислительных алгоритмов и подтверждается согласованием результатов численных расчетов с решением тестовых задач и с результатами, полученными другими авторами.

Теоретическая и практическая значимость. Разработанные эффективные вычислительные алгоритмы и реализующие их комплексы программ могут быть использованы для моделирования физических процессов в полупроводниковых устройствах.

Вычислительные алгоритмы, предложенные для решения уравнений математической физики, представляют интерес для специалистов в области вычислительной математики.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на конференциях: XLV-XLVII Международные

научные студенческие конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2007-2009 гг.), Всероссийская школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании" (Уфа, 2007г.), IX Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям (Кемерово, 2008г.), Международная конференция "Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений", посвященная 100-летию со дня рождения C.JI. Соболева (Новосибирск, 2008г.), Всероссийская научная конференция молодых ученых "Наука. Технологии. Инновации" (Новосибирск, 2008г.), Международный конкурс научных работ молодых ученых в области нанотехнологий (Москва, 2008г.). Основные результаты докладывались: в Институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН на семинаре "Прикладная гидродинамика" (под рук. чл.-корр. РАН В.В. Пухначева), в институте вычислительной математики и математической геофизики СО РАН на семинаре "Методы вычислительной математики" (под рук. проф. В.П. Ильина), в Институте вычислительных технологий СО РАН на объединенном семинаре "Информационно-вычислительные технологии" (под рук. академика Ю.И. Шокина, проф. В.М. Ковени), в Институте математики СО РАН на объединенном семинаре лаборатории вычислительных проблем задач математической физики и лаборатории дифференциальных и разностных уравнений.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 печатных работ, куда входят (в скобках в числителе указан общий объем этого типа публикаций, в знаменателе - объем, принадлежащий лично автору) 3 статьи в изданиях, рекомендованных ВАК (2.6/1.1 печ. л.), 2 - в международных журналах (3.69/1.84 печ. л.), 1 - в трудах всероссийских и международных конференций (0.69/0.69 печ. л.), 8 - в тезисах всероссийских и международных конференций (0.875/0.813 печ. л.).

Личный вклад автора. При выполнении работ (1-5], опубликованных совместно с научным руководителем и другими соавторами, A.C. Ибрагимова принимала участие в постановке задач, разработке численных алгоритмов, обсуждении полученных результатов, подготовке и представлении статей и докладов на конференциях. Ею самостоятельно выполнена программная реализация всех разработанных вычислительных алгоритмов, проведены расчеты тестовых задач и получены результаты численных экспериментов. Кроме того, A.C. Ибрагимовой в [3-5| проведена серия расчетов, а также сравнение с результатами других авторов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, шести приложений и списка литературы из 86 наименований. Объем работы 147 страниц. В диссертации содержатся 27 рисунков и 3 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы исследования, дается краткий обзор литературы, излагаются цели и краткое содержание диссертации. Формулируются основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава этой диссертации стоит из двух параграфов и в ней обсуждаются теоретические аспекты обоснования классического метода прямых для симметрической (^-гиперболической системы и модельной смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона.

В первом параграфе строим дифференциально-разностную модель с использованием техники сплайн-функций для симметрических ¿-гиперболических систем и рассматриваем вопрос о нахождении решений такой модели.

В качестве исходной математической модели рассматриваем смешанную задачу для симметрической гиперболической системы с диссипативными граничными условиями.

Задача. Найти решение и симметрической Ь-гиперболической системы (по Фридрихсу) с постоянными вещественными коэффициентами

Аи4 + Ви* + Си„ = 0 в области П3+, (1)

удовлетворяющее граничным условиям при х—0,1

и1 = зи", х = 0,1

(2)

Vn = RU',z = l,!

и начальным данным при < = 0

U(0,s,y) = Uo(a;,»)> (х,у) £ Л?. (3)

Здесь А — block diag(Ar, Al',AUI), В = block diag(I^a,—/дг,,Ow2) - блочно-диагональные матрицы; A1 = diag(ai,..., A11 — diag(aNa+ii-i"Wotfi)i

A111 = diag{aN0+fil+i,..., адг) - диагональные матрицы; а; > 0, i = 1, AT, JV0 + N\ + N2 — N, In0, INl - единичные матрицы порядка No, N1, соответствен-

/Ci C2 C3\

но; Оn2 ~ нулевая квадратная матрица порядка N2; С = I Cj С4 С5 I ,

сI Се/

Ci(= Cj), С4(= CJ), Сб(= Cg) - квадратные симметрические матрицы порядка No, N1, N2 соответственно; С2, С3, С5 - матрицы размерности No х N1,

(иЛ

N0XN2, N1 xN%, соответственно; U = \J(t,x,y) = I •' - вектор неизвестных

\ ( «лг0+х ^ !uno+N1+I\

функций, U7 = I : I , U7i =

иш = : ; S, R - ве-

\UNoJ \U>N0+Nj \ UN

щественные постоянные матрицы размерности NqX N\ хNo, соответственно; R\ = {(t,x,y);t >0, 0 <x <1, ye Ft1)}, Rf = {{x,y); 0 < x < l, у G R1)}.

Для Задачи получена следующая априорная оценка

J(t) < J(0), t > О,

J(t) = / / (ли, и)dxdy, J(0) = / / (XUo, Uo)cfcc<fo.

я? я?

Предлагается оригинальная двухэтапная процедура построения дискретной модели для решения Задачи. На первом этапе, в рамках метода прямых, производится дискретизация только по части независимых переменных (по переменным t, у). На втором этапе производные по непрерывной переменной заменяются производными от нелокальных кубических сплайнов, построенных для искомых функций по их значениям в узлах на координатных линиях. Показывается, что эта процедура дискретизации эквивалентна построению некоторой конечноразностной схемы и может быть реализована с помощью трехточечных прогонок по узлам на координатных линиях. В итоге схема имеет явный характер по одной переменной и неявный по другой, имеет первый порядок аппроксимации и является условно устойчивой. На обоих этапах конструируемый метод допускает получение априорных оценок для решения, аналогичных интегралу энергии, имеющему место, как показывается в работе, для исходной системы уравнений. Следует сказать, что использование сплайнов является одним из способов повышения точности конструируемых дискретных моделей. Хотя в данном случае техника сплайнов используется лишь по одной из координат и схема в целом имеет первый порядок, отличительной чертой предложенной сплайн-аппроксимации является возможность получить априорную оценку, аналогичную интегралу энергии для исходной системы. Полагаем, что построение методов со свойствами исходных дифференциальных уравнений сохраняет актуальность, в особенности для численных алгоритмов повышенной точности.

Во втором параграфе разрабатываем и теоретически обосновываем новый вычислительный алгоритм нахождения приближенного решения модельной смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона.

В качестве модельной краевой задачи рассматриваем в области П уравнение Пуассона для функции Ф = Ф(х', у):

А,,уФ = Ф„ + Ф«» = f(?,v), (х, у) еП

(5)

со смешанными краевыми условиями:

Ф =

0при2/=|, 0<ж<|,

_ 7Г 7Г 27Г

9 при у = - <х < у ,

~ тг 5л

b при 2/ = —, — <х<п,

о О

(1, УФ) = 0 на Г(.

Здесь х, у- безразмерные независимые переменные, f(x, у) - известная правая часть, П = |(ж,у) : 0 < а; < 7Г, О < j/ < Г0 = |(а:,г/) : у = О < х <

7Г 27Г 57Г 1 ~

— <ж<—, — <ж<7г> - часть границы дй, Ti = дС1 \ Го, р, Ь - некоторые постоянные.

Не нарушая общности, мы будем полагать далее, что а (6) функция Ф удовлетворяет на Го однородному условию: Ф = 0.

Для смешанной краевой задачи (5), (6) получено два варианта априорной оценки, из которой следует однозначная ее разрешимость:

ЦФ|1ь,(П) < , 2 1 Ч ll/llfa(n). е < (7)

сГе|е

МВД ^-Г7~Т~7\-rll/HLw' £ < (8)

0 < 5 < 1, Сх = Го) > 0, е > 0 - некоторые постоянные, 11ф11|2(«) = /Ф2(х,у)<1хс1у, ||Ф||2 1(п) = /{Ф2(х,у) + |УФ(ж, у)\2}<1хйу.

п 2 п

Далее вместо уравнения Пуассона (5) будем рассматривать его параболическую регуляризацию:

щ = Аи - /(ж, у), и = и{Ь, х,у), г > 0, (х, у) 6 П. (9)

Краевые условия для уравнения (9) оставляем теми же самыми (см. (б)):

и = 0 на Г0, (1, V«) = 0 на Гг, t > 0. (10)

Добавляя к (9), (10) начальное условие

«|«=о = Щ(х,у), (х,у) 6 А, (11)

решение исходной смешанной краевой задачи (5), (б) будем искать, используя метод установления, т.е. вычисляя предел решения смешанной задачи (9)-(11) при t —> +оо.

Доказательство однозначной разрешимости задачи (9)-(11) основано на следующей априорной оценке:

Nt)llL(n) S + \ 11/11W * > (12)

с? £

IMlL(íi) = ¡ul(x,y)dxdy,

Далее будем рассматривать так называемую дифференциально-разностную модель для нахождения приближенных решений смешанной задачи (9)-(11). При этом мы будем следовать принципу адекватности: дифференциально-разностная модель для смешанной задачи (9)-(11) будет конструироваться так, чтобы она допускала наличие дифференциально-разностного аналога априорной оценки (12). Существование такого аналога априорной оценки будет означать, также, устойчивость предлагаемой дифференциально-разностной модели.

Для нахождения приближенного решения смешанной задачи (9)-(11) применим метод прямых. При этом производную ихх в уравнении (9) заменим не разностным отношением, а используем для аппроксимации её интерполяционный многочлен. В качестве узлов интерполяции будем выбирать нули многочлена Чебышева. Пусть известны значения четной функции и(£,х, у) в узлах:

2з-1 .

Х = -ГГГ-7Г, 3

1

(13)

Формула интерполирования четной функции и(£, х, у) имеет следующий вид:

эта^

г=1

СОБ X — СОЭ XI

соэ(ЛГа:)«<(£,!/), 0 < х < п. (14)

Также проведем дискретизацию по переменной Ь. С этой целью введем следующие обозначения: и1-(у) = «^(пД,у) — щ{у), п == 0,1,..., щ(у) = и"+1{у), Д -

шаг разностной сетки по переменной Аппроксимируя производную

Щ{у) ~ пз(У)

дщЦ, у) дЬ

выражением ренциальных уравнений:

в итоге придем к системе обыкновенных диффе-

Ф =

'МуУ

\v-Niy);

Т =

7х(!>У

КМУ);

ф = ВФ 4- Т,

ш=ш -

(15)

щ(у)

Ш) = /(^.2/).

1

И2 1 1

В — т+В, т = йгаз(Д1,...,Длг)-Диагональная матрица— -— + -—--—й—,

3 6 2 вт х^

Из

Ш + д. 3

1.АГ, В

6..= 1 ___1_\ д. = 1

13 2 [ бш2 ¡3^ Бт2^)' %3 '

/ О Ъ21 612 О

\Ь\ы &2ЛГ 3.

Ьц 2

= В*, Ьу = (-!)<+%,

2М ^ = 10

0/

( + 3-1 2ЛГ

тг, г,^' = 1,ЛГ, г ф з-

Замечание 1.1 Матрица В > 0 практически при любых значениях разностной сетки шага Д и целого числа N.

К системе (15) добавляем краевые условия (см. (10)):

ф'(0) = 0, Ц,ф'(|) + М>(§) =0. (16)

- диагональные матрицы порядка N (диагональные элементы равны либо 0, либо 1), причем: и0 + v\ = Jjv, In - единичная матрица порядка N.

Для сформулированной дифференциально-разностной модели (15), (16) доказаны однозначная разрешимость и корректность с помощью построения дифференциально-разностного аналога априорной оценки (12):

1|Ф||аЫ0.}) ^ + АМ)-"Цф(°)|Цз(0||} + 1 ~ (1 +М*М)~П \\тъ(0.& (17)

Здесье > 0 - некоторая постоянная, М = 2Аm«n(-4)—е, \min(А) - минимальное собственное значение матрицы А,

j /щ(хиУУ

||ф(0)и2мо>5) = /|ф(0)|2^ф(0)= !

о \ио(хн,у);

Неравенство (17) получено при фиксированных Ли N. При п —> +оо из (17) следует дифференциально-разностный аналог априорной оценки (7).

Отметим, что вместо параболической регуляризации (9) можно использовать и другие. Так, с вычислительной точки зрения, весьма перспективной оказалась следующая регуляризация:

ut - Aut = Au- f(x, у), и = u(t, х, у), t > 0, (х, у) G ft, (18)

с теми же самыми краевыми и начальным условиями (10), (11)- Доказательство же однозначной разрешимости задачи (18), (10), (11) основано на следующей априорной оценке:

1

1К*)1&.(П) ^ ^IMIfoo) + -^-WfWUny t > О, (19)

С2 = min|г(1 е J, е <

Аналогично параболической регуляризации мы вновь приходим к системе вида (15):

ф" = ВФ + Т, (20)

* = ^ + А, ^и" + ^Г - + Л}и,

11

'МУ)\ /МУУ

Л~т + В, т —Ф = и= : , и = I :

\им{у);

Для системы (20) вновь взяты краевые условия (16).

Учитывая определенные трудности, которые возникают при практическом использовании точной формулы для решения краевой задачи (15), (16) (трудности в основном связаны с вычислением матричной экспоненты), мы приближенное решение будем искать в виде интерполяционного кубического сплайна класса С2:

Ь?

%) = (1 - г)Фк + тФк+1 - 1 - т)[(2 - т)ть + (1 + т)ть+1], (21)

г = У е [Ук,Ук+1], Ук = Ы1У, к = 0,К-1, Кку = Фк = Ф(ук), тк =

Ф (ук). В результате получаем следующую трехслойную разностную схему:

- Ф^ -2{/„ + + {/„ - НЛВ)Ф,+1 =

Д2 _

= +4^+^+1}, к=\,К- 1, ^ = Г(ук),

о

Фо = Фь Фк (23)

Здесь Ь - диагональная матрица порядка N (диагональные элементы равны либо 0, либо 1). Систему алгебраических уравнений (22), (23) можно решить методом матричной прогонки. Из неравенства В > 0 следуют условия хорошей обусловленности разностной краевой задачи (22), (23).

Описанный в этом параграфе алгоритм разрабатывался под влиянием идеи К. И. Бабенко о целенаправленном применении интерполяционных полиномов с узлами интерполяции в нулях многочленов Чебышева для нахождения приближенных решений различных задач математической физики. В некоторых простейших случаях удается показать, что алгоритмы такого типа автоматически реагируют на гладкость разыскиваемого решения (это так называемые алгоритмы без насыщения).

Наконец, хотелось бы заметить, что данный алгоритм конструируется специально для нахождения стационарных решений двумерной задачи из физики полупроводников.

Вторая глава данной диссертации состоит из 3 параграфов и посвящена нахождению стационарных решений двумерной задачи, описывающей кремниевый полевой транзистор со структурой металл-проводник.

В первом параграфе приведена постановка задачи - выписана система моментных уравнений для двумерного случая, подробно описан процесс ее обезразмеривания, поставлена смешанная задача.

В безразмерном виде двумерная модель такова:

Rr + (livJ = О,

Jr + V(P +R) = RQ + rfu J + d 12©, г А- + div(J + 0) = (J, Q) + cP,

о

(p+~^j=PQ + d21J + d22©, A<p = 0(R-p),

(25)

© = I — - J, J = Ли, I = Rq, R - электронная плотность, E - энергия электро-

нов,

P = R ^¿3 — , u = (vfr\ u<v)) - вектор скорости электронов, q =

2

(q(x),qM) - поток энергии, Q = V<p = a = -E - 1, ip = <р(т,х,у) -

электрический потенциал, удовлетворяющий уравнению Пуассона (25), dц =

Си + du = С12, ¿21 = -с21 - cu + -¿22, ¿22 = -C22 - ci2, коэффициенты

2 5 L о

с, Си, Ci2, cat, c22 в системе (24) - гладкие функции от Е> р = р{х,у) -

плотность легирования, 0 > О - постоянная.

Поставим для системы (24), (25) задачу, описывающую кремниевый полевой транзистор со структурой металл-полупроводник прямоугольной формы. Схематическое представление рассматриваемого полупроводникового прибо-¡ра в безразмерных переменных изображено на Рис.1. Таким образом, будем рассматривать математическую модель

E/idraiiJ

Рис, 1: Схематическое представление двумерного транзистора MESFET

(24), (25) в области П = (0,1) х ^0, ^ Функция плотности легирования р(х,у) имеет следующий вид:

1 1

4'3

зона

и легирования, 0 < <5 < 1. часть границы 8Q, представляющую и

твор (gate) и сток (drain): Г0 = |(х,2/) : у = < а: < g, i < а: < ^ < z < 1 j ,

Г; = 0Q \ Го, 1 — единичный вектор внешней нормали.

Запишем теперь граничные условия для системы (24), (25):

Р(®,») = , - , .

д, (х,у) £

высокой концентрации легирования, 0 < <5 < 1.

Обозначим через Го часть границы 8Q, представляющую исток (source), за-

R

1 на истоке и стоке, Ид на затворе, Р = 0 на Г0,

О на истоке, (26)

<3 на затворе, В на егоке, (1, УД) = (1,УР) = (1, Ур) = 0 оп Г,.

Здесь Л^, <?, В — некоторые постоянные.

Во втором параграфе в стационарном случае исходную задачу (24)-(26) редуцируем к смешанной задаче для системы уравнений:

Д<р = Т^ (X, р) = 0(ех - р),

(27)

где х = а = -Е — 1. Краевые условия для этой системы следуют из (26): о

_ Г О на ~ I ln ЛГ,

на истоке и затворе, q на затворе, а — 0 на Го,

{О на истоке, (28)

G на затворе, В на стоке, (1,У<7) = (1,Ух) = (1,У^ = 0наГг.

В третьем параграфе, на основе предложенного вычислительного алгоритма для модельной задачи, обсуждаем нахождение приближенных решений задачи (27)-(28).

В самом деле, после параболической регуляризации, перепишем задачу (27)-(28) (мы оставляем прежние обозначения для зависимых пременных):

<Pt = bip-(х,р), <Р = <p{t,х,у), t > 0, (ж,у) € fi, \

<7t = Aff-.FW(Vcr,Vx,Q.tf), a = ff(t,x,y), t > 0, (х,г/)бП, > (29)

Xt = Ax-^(x)(Vir,yx,Qx = x(t,x,v), t>0,(x,y) G Q. J

Краевые условия для системы (29) остаются теми же самыми (см. (28)). При t — 0 мы должны поставить еще начальные условия:

¥>|е=о = <Po(z, у), ff|t=o = сг0(х, у), X|t=o = Хо(ж, у), (х, у) е П. (30)

Замечание 2.1 При использовании регуляризации (18) задача (27)-(28) перепишется так:

<p = <p(t,x,y), t> 0, (x,y)efl,

a = cr(t,x,y), t>0, (x,y) еП, {ÔX)

Xt ~ Axt = AX- rM(Va,S/X,Q,<r,x,Pl x = x(t, x, y), t > 0, (x, y) e il

К системе (31) надо добавить краевые условия (28) и начальные данные (30).

Расчеты проводились при разных значениях параметров. Поскольку характер поведения графиков похожий, а регуляризация (18) является наиболее перспективной (как показали проведенные вычислительные эксперименты), то приводим результаты расчетов, которые получены с помощью регуляризации (18). Стационарные профили для электрического потенциала, плотности, энергии, электрического тока и потока энергии представлены на Рис. 2-6.

Рис. 2: Стационарное ре- Рис. 3: Стационарное Рис. 4: Стационарное решение для электрического решение для плотности шение для энергии элек-потенциала электронов тронов

Рис. 5: Стационарное решение для электрического тока по компонентам х и у

Третья глава диссертации состоит из 5 параграфов и посвящена нахождению приближенных решений в задаче о баллистическом диоде.

15

Рис. 6: Стационарное решение для потока энергии по компонентам х и у

В первом параграфе приведена постановка задачи - выписана система моментных уравнений для одномерного случая, поставлена смешанная задача.

Рассматриваемая модель переноса заряда в одномерном случае в безразмерном виде такова:

Rt + Jx = О,

Jt + ( \RE) = RQ + cu J + С12/,

VJ У* (32)

(.B.E)t + Ix = JQ + cP,

^~REQ + c21J + C22I,

£ipxx = R - р. (33)

2

Здесь неизвестные функции R, J — Ru, I = Rq, u, q, E, P = Ra, а = -E — 1, Q = tpx, ip переменных t, x имеют тот же физический смысл, что и в двумерном случае, р = р(х) - плотность легирования (заданная функция на отрезке [0,1]), г - некоторая постоянная.

Для системы (32), (33) рассмотрим широко известную в физике полупроводников задачу о баллистическом диоде. Это одномерная задача, описывающая полупроводниковый прибор, разделенный на три части. Первая и третья области представлены высоколегированным материалом (п+ области). В сред ней же части (канале) - зона низкой концентрации легирования (п -область). Поэтому будем рассматривать в качестве характерных величин L и N+ соответственно ширину п+ — п — п+ - канала и плотность легирова-

N

ния п+ - зоны. Тогда безразмерная плотность легирования р = -^-р т. е.

1 > р(ж) > <5 > О, i е [0,1]. Типичный профиль функции р{х) изображен на Рис. 7.

Для системы (32) зададим граничные условия при х — 0,1 (для £ > 0), -соответствующие задаче о баллистическом диоде:

Д(4,0) = Д(М) = 1, 1 ЩО) = Я(М)=§,/ ¥>(¿,0) =0, <р(1,1) = 6,

(35)

где Ь > 0 напряжение смещения. Кроме того, при ¿ = 0, 0 < х < 1 необходимо задать начальные условия:

Л(0,х) = Л0(х), J(0,x) = Мх), Е(0,х) = Е0{х), 1(0, х) = 10(х), (36)

причем /?о(х), Е0(х) > 0. Решение системы (32) и уравнения (33) ищется в области £ > 0, 0 < I < 1.

Задача (32)-(35) имеет при 6 — 0 стационарное решение (состояние глобального термодинамического равновесия)

-ф-

= J = 0, Е(г,х) = Е=~,

Г (их) =7=0, Я(Ь,х) = Я(х) = <р(Ь,х) = <р(х),

(37)

Рис. 7: Схематическое представление п+ — п — п+ баллистического диода

где <р(х) удовлетворяет уравнению Пуассона еф" = е^ — р с граничными условиями <5?(0) = £(1)=0.

Во втором параграфе исходную задачу (32)-(36) в стационарном случае сводим к смешанной задаче для системы уравнений:

^ а),

(38)

X - 1пД, X — £ = Краевые условия для этой системы следуют из ах ах

(34), (35):

X = сг = 0 при х = 0,1, ц> = 0 при х = 0, <р = Ь при 1 = 1.

(39)

Также в этом параграфе для исходной задачи (32)-(36) в стационарном случае приводим еще один вид записи - в виде системы интегральных уравнений, которую можно воспринимать как приближенную математическую модель для

нахождения стационарных решений в задаче о баллистическом диоде при малых значениях величины е. Приближенные решения для электрического потенциала и энергии представлены на Рис. 8. Построен график зависимости 3 от Ь (вольт-амперная характеристика диода), который представлен на Рис.9.

Рис. 8: График для электрического потенциала и энергии: а) V = 1.5 Volt, L = 6 х 1(Г7т, Ь) V = 1.5 Volt, L = 3 х 1(Г7т

Рис. 9: Вольт-амперная характеристика диода: график зависимости .7 от Ь: о) Ь = б х 10~7 т, Ь) £ = 3 х 10~7 то

Для нахождения решения краевой задачи (38)-(39) мы воспользуемся методом установления. С этой целью, в третьем параграфе вместо краевой задачи (38)-(39) рассматриваем ее нетривиальную нестационарную регуляризацию. А именно, вместо уравнений (38)-(39) возьмем следующие соотношения:

(1-е)та = > (4°)

т = тр, £ = —— дифференциальные операторы; переменная 4 играет роль от ах

времени.

Решение системы (40) ищем в области < > 0, 0 < х < 1. При í = 0 зададим начальные условия:

р(0,х) = Уо{х), 1

<х(0, х) = а0(х) = ^Е0{х) - 1, | (41)

Х(0,х) =хо(х) = 1пДо, 0 <х < 1, ]

а при х = 0,1, £ > 0 искомые функции </>(''х)> х)> х(Ь>х) удовлетворяют краевым условиям (39).

С целью обоснования метода установления мы получили глобальную априорную оценку для смешанной задачи (39), (40)—(41), из которой следует нелинейная асимптотическая устойчивость (по Ляпунову) положения равновесия (37). Эта априорная оценка получена при определенных ограничениях на постоянную Ь и функцию р(х). Это означает, что, по крайней мере, в частном случае 6 = 0, р{х) = 1, мы обосновали метод установления (на дифференциальном уровне).

В четвертом параграфе смешанную задачу (39), (40)-(41) сводим к системе интегральных уравнений. Полученную систему удобно использовать с точки зрения создания вычислительного алгоритма для нахождения приближенных решений смешанной задачи (39), (40)-(41).

•<• X

Рис. 10: V - 2 Уо1и Ь = 3х 10 ~7т, 6 = 0.004

В пятом параграфе описываем вычислительные алгоритмы для смешанной задачи (39), (40)-(41). Предлагаем несколько подходов. Один из них связан с использованием, полученной в четвертом параграфе, системы интегральных уравнений (см. Рис.10). В других подходах используется техника сплайн-

функций, т.е. приближенное решение ищем в виде интерполяционного кубического сплайна класса С2 (см. Рис.11), и схема предиктор-корректор. Наконец с целью верификации предложенных вычислительных алгоритмов мы применяем также метод ортогональной прогонки.

Расчеты проводились при разных значениях параметров. Полученные результаты являются физически правдоподобными и в целом согласуются с результатами других авторов.

В Приложении А обсуждается положительная определенность матрицы В > 0 из (31). В Приложении Б помещены результыты тестовых расчетов. Приложение В содержит явные выражения для коэффициентов с, Сц, • • •, С22, стоящих в правой части системы моментных уравнений. В Приложениях Г и Е помещены результаты численных экспериментов для двумерной и одномерной МЕР модели, соответственно, а также описание компьютерных программ. В Приложении Д содержатся результаты численных экспериментов для приближенной математической модели нахождения стационарных решений в задаче о баллистическом диоде.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору А. М. Блохину за постановку задачи, постоянное внимание и помощь в работе.

Рис. 11: V = 1 Volt, L = 6 х 10~7т, 5 = 0.004

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ: В рецензируемых журналах рекомендуемых ВАК:

1. Блохин, A.M. Об одном варианте метода прямых для симметрических t-гиперболических систем / A.M. Блохин, A.C. Ибрагимова // Вычисли-

тельные технологии. - 2006. - Т.Н. - №6. - С. 11-21.

2. Блохин, A.M. Об одном варианте метода прямых для уравнения Пуассона / A.M. Блохин, A.C. Ибрагимова, Н.Ю. Красников // Вычислительные технологии. - 2007. - Т. 12. - №2. - С. 33-42.

3. Блохин, A.M. Конструирование вычислительного алгоритма для системы моментных уравнений, описывающих перенос заряда в полупроводниках / A.M. Блохин, A.C. Ибрагимова, Б.В. Семисалов // Математическое моделирование. - 2009. - Т21. - JVM. - С. 15-34.

В международных журналах:

4. Blokhin, A.M. Numerical method for 2D Simulation of a Silicon MESFET with a Hydrodynamical Model Based on the Maximum Entropy Principle / A.M. Blokhin, A.S. Ibragimova // SIAM J.Sci. Comput. - 2009. - V.31. -Issue 3. - P. 2015-2046.

5. Blokhin, A.M. ID Numerical Simulation of the МЕР Mathematical Model in ballistic diode problem / A.M. Blokhin, A.S. Ibragimova // Journal of Kinetic and Related Models. - 2009,- Vol.2.- No.l. - P. 81-107.

В трудах всероссийских и международных конференций:

6. Ибрагимова, A.C. Конструирование вычислительного алгоритма для системы моментных уравнений, описывающих перенос заряда в полупроводниках / A.C. Ибрагимова // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании: Всероссийская школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых. Математика. Том 2 - Уфа: РИЦ БашГУ, 2008. - С. 113-123.

В тезисах всероссийских и международных конференций:

7. Ибрагимова, A.C. Конструирование численного алгоритма нахождения приближенного решения одной гидродинамической модели переноса заряда в полупроводниках / A.C. Ибрагимова // Студент и научно - технический прогресс: материалы XLV Международной научной студенческой конференции. - Новосибирск: Новосиб. Гос. Ун-т, 2007. - С. 21.

8. Ибрагимова, A.C. Конструирование вычислительного алгоритма для системы моментных уравнений, описывающих перенос заряда в полупроводниках / A.C. Ибрагимова // Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании: тезисы докладов Всероссийской школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых. - Уфа: РИЦ БашГУ, 2007.

- С. 44.

9. Ибрагимова, A.C. Конструирование вычислительного алгоритма для системы моментных уравнений, описывающих перенос заряда в полупроводниках / A.C. Ибрагимова // Студент и научно-технический прогресс: материалы XLVI Международной научной студенческой конференции. -Новосибирск: Новосиб. Гос. Ун-т, 2008. - С. 23.

10. Ибрагимова, A.C. Теоретические и вычислительные аспекты исследования одного варианта метода прямых для системы моментных уравнений, описывающих перенос заряда в полупроводниках / A.C. Ибрагимова // Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений: тезисы докладов Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева. - Новосибирск: Ин-т матем. СО РАН, 2008. - С. 493.

11. Ибрагимова, A.C. Теоретические и вычислительные аспекты исследования одного варианта метода прямых для системы моментных уравнений переноса заряда в полупроводниках / A.C. Ибрагимова // Материалы сборника тезисов докладов участников Международного конкурса научных работ молодых ученых в области нанотехнологий. - Москва, 2008. -С. 533-536.

12. Ибрагимова, A.C. Теоретические и вычислительные аспекты исследования одного варианта метода прямых для системы моментных уравнений переноса заряда в полупроводниках / A.C. Ибрагимова // Наука. Технологии. Инновации: материалы Всеросийской научной конференции молодых ученых. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2008. Часть 1. - С. 75-77.

13. Ибрагимова, A.C. Теоретические и вычислительные аспекты исследования одного варианта метода прямых для системы моментных уравнений, описывающих перенос заряда в полупроводниках / A.C. Ибрагимова // Материалы IX Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. - Кемерово, 2008. - С. 47.

14. Ибрагимова, A.C. Конструирование вычислительного алгоритма для одномерной МЕР модели переноса заряда в полупроводниках / A.C. Ибрагимова, Б.В. Семисалов // Студент и научно-технический прогресс: материалы XLVII Международной научной студенческой конференции, посвященной 50-летию новосибирского государственного университета. -Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2009. - С. 222-223.

Подписано в печать

Усл. печ. л. 1,0. Заказ № 339

24.09.09

Формат 60x84 1/16. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100 экз.

Редакционно-издательский центр НГУ 630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2

Введение

Глава 1. Применение метода прямых и его обоснование

§1 Об одном варианте метода прямых для симметрических t-гипер-болических систем.

1.1 Предварительные сведения.

1.2 Дифференциально-разностная модель для Задачи I.

1.3 Разрешимость Задачи II.

1.4 Сведение алгоритма с использованием техники сплайн-функций к разностной схеме.

1.5 Устойчивость явно-неявной разностной схемы (1.4.5).

§2 Об одном варианте метода прямых для уравнения Пуассона

2.1 Предварительные сведения.

2.2 Дифференциально-разностная модель для смешанной задачи (2.1.8) - (2.1.10).

2.3 Разрешимость краевой задачи (2.2.10), (2.2.11).

2.4 Устойчивость дифференциально-разностной модели (2.2.10), (2.2.11).

2.5 Новая регуляризация.

2.6 Нахождение приближенного решения краевой задачи (2.2.10), (2.2.11) с помощью техники сплайн-функций.

Глава 2. Вычислительные аспекты в двумерном случае

§1 Постановка задачи.

§2 Задача (1.3), (1.4), (1.11) в стационарном случае.

§3 Вычислительный алгоритм для квазилинейной краевой задачи (2.10)

2.13).

Глава 3. Вычислительные аспекты в одномерном случае

§1 Постановка задачи.

§2 Задача (1.1)-(1.5) в стационарном случае.

§3 Нестационарная регуляризация краевой задачи (2.12)-(2.15)

§4 Сведение смешанной задачи (3.1)-(3.5) к системе интегральных уравнений

§5 Описание вычислительных алгоритмов.

Математическое моделирование физических явлений в полупроводниковых устройствах имеет огромное значение для технических приложений и в последнее время превратилось в быстро развивающуюся область прикладной математики. Современный уровень развития микроэлектронных технологий позволяет создавать полупроводниковые приборы (компоненты интегральных схем) столь малых размеров, что анализ и проектирование их с помощью упрощенных аналитических моделей становится затруднительным. Это связанно с тем, что традиционные упрощающие предположения, положенные в основу таких моделей, могут существенно нарушаться в современных приборах.

Моделирование процесса переноса заряда в полупроводниковых устройствах основывается на кинетическом уравнении Больцмана, описывающем движение носителей зарядов (электронов и дырок) в полупроводнике. Для электронной функции распределения / = /(£, ж, v) имеем уравнение: + - = W). t > о, х е ЛЗ, V е ЯЗ. (1) i—1

Здесь х = (хцх2, £3), v = (^1,^2, г>з) - вектор скорости, q - заряд электрона, т* - эффективная масса электрона, Е = (Ei, Е2, £3) - вектор напряженности электрического поля, Q - оператор Больцмана, учитывающий взаимодействие электронов с решеткой. Уравнение (1) написано для случая, когда имеются только электронные носители заряда. При наличии нескольких типов носителей (электронов и дырок, "легких" и "тяжелых" дырок и т.д.) надо ввести свою функцию распределения для каждого типа. Соответственно мы будем иметь столько кинетических уравнений вида (1), сколько есть таких носителей. При этом в правой части формулы (1) появится сумма по всем типам частиц, на которых рассматриваемые носители заряда могут рассеиваться. Таким образом, если существенно взаимное рассеяние или превращение частиц разных типов, то мы приходим к системе связанных кинетических уравнений.

Для решения уравнения (1) предлагается много различных методов, из которых самый распространенный - метод Монте-Карло. Этот метод зарекомендовал себя, как дающий достаточно точные результаты. Однако прямое численное интегрирование полного уравнения переноса Больцмана для носителей заряда в полупроводниках требует больших вычислительных затрат. Кроме того, в некоторых случаях (например, если концентрация носителей заряда в отдельных областях прибора очень низкая) результаты вычислений с помощью этого метода могут значительно различаться.

Поэтому, возникает потребность в более простых моделях, представляющих собой разумный компромисс между физической точностью и вычислительной эффективностью. Например, приемлемая точность может быть достигнута при решении уравнений переноса, полученных для моментов уравнений Больцмана, таких как

Здесь п - концентрация, и - средняя скорость, е - внутренняя энергия

Простейшей моделью переноса заряда, которая получена методом моментов из уравнения Больцмана, является дрейф-диффузионная модель. Классическая дрейф-диффузионная модель физики полупроводников быносителей, |г>|2 = (v, v) и т.д. ла предложена в 1949 - 1950 годах Schockley [82] и van Roosbroeck'oM [79]. Она состоит из уравнений неразрывности для носителей заряда (п(ж, £), р(ж, t) - концентрация электронов и дырок) и уравнения Пуассона для электрического потенциала (p(x,t): дть

-divJ „ = Д(р,п), (2) др -divJp = Д(р,п), (3)

A(p=-±(p-n + Nd-Na), (4) где векторы плотностп электронного и дырочного токов записываются в таком виде:

Зп — DnVri - finriV(p,

Jр = Dp\/p - fippVip.

Здесь Dn, Dp - коэффициенты диффузии, /in, /ip - подвижность электронов и дырок, £q - относительная диэлектрическая проводимость полупроводника. Предполагается, что структура полупроводника легирована до-норной и акцепторной примесями с концентрациями Nd(x), Na(x), а также в полупроводнике происходит рекомбинация частиц со скоростью R(p, п).

Надо сказать, что дрейф-диффузионная модель используется в основной массе моделирующих программ для электронных устройств и была достаточно полно изучена. Математические аспекты модели (2)-(4) хорошо исследованы многими авторами. Отметим в этой связи работы [46,58,67].

M.S. Mock в рамках модели van Blotekjaer'a (2)-(4) (считая Dn = Dp = Цп — Hp = 1) исследовал задачу Неймана. Для этой задачи при определенных ограничениях на область определения и начальные данные, доказано (см. [70]) существование единственного решения, гладким образом зависящего от начальных данных. В реальных физических задачах встречаются более интересные граничные условия, например, типично задание условия Неймана лишь на части границы и условия Дирихле на оставшейся. В работе [71] проведен анализ соответствующей стационарной задачи. Вопросы точности описания различных физических явлений обсуждаются в [83]. Численное моделирование переноса заряда в полупроводниковых устройствах восходит к известной работе [81], авторы которой предложили устойчивую дискретизацию дрейф - диффузионных уравнений, используемую и по сей день.

Некоторыми авторами (см. [69,72]) рассматривается упрощенная одномерная стационарная дрейф-диффузионная модель (при Dn — Dp = fin = \iv = 1): f — n — p — N, \ n = rup + J„, (5) p = -pip - Jp, где J'n = R, J'p= -R.

Однако возрастающая миниатюризация современных электронных приборов требует более точного моделирования процесса переноса энергии в полупроводниках, что имеет первостепенную важность для описания таких феноменов как горячие электроны, ударная ионизация, генерация тепла и тому подобное. Следовательно, возникает необходимость расширения общепринятой дрейф-диффузионной модели, принимая во внимание энергию носителей заряда. Эта цель достигается в моделях переноса носителей заряда в полупроводниковых приборах, обычно называемых гидродинамическими моделями.

При построении таких моделей выбирается подходящая процедура замыкания, которая позволяет из бесконечной системы моментов уравнения Больцмана получить замкнутую систему из конечного числа уравнений.

Существование процедур замыкания, основанных на различных предположениях, и определяет большое количество математических моделей, применяемых для описания переноса заряда в полупроводниковых устройствах. Обзор основных моделей приведен в работах [39,63,65].

Одна из самых первых гидродинамических моделей была получена Blotekjaer [57] и изучалась Baccarani, Vordeman [45] и другими авторами. В предположении одного типа носителей (электронов) модель записывается в виде системы для электронной плотности, скорости и плотности энергии р, и, Е (см. [65]): + div(pu) = 0, (6) + div(pu ® u) + Vp(p, Т) = pVV - ри, (7) д£ + div(£u + р(р, Т)и - pVT) = ри • W - (Е - EL), (8)

AV = p-C(x). (9)

Здесь Т - температура, р(р, Т) - давление, V - электрический потенциал, 3

С(х) - профиль легирования, Еь = -рквТц, , кв ~ постоянная Больцмана, Ть - температура решетки. Плотность энергии имеет следующее выражение где m - эффективная электронная масса.

Однако полный математический анализ гидродинамической модели (6)-(9) пока отсутствует. В то же время хорошо изучена упрощенная, так называемая, изэнтропическая гидродинамическая модель, которая получается из (6)-(9) в предположении, что температура постоянна: + div(pu) = 0, (10) + div(pu <g> u) + Vp = pW - pu, (11)

AV = p-C(x), (12) где p = v{p). Часто предполагается, что р(р) = — р1, 7 > 1. 7

Для упрощенной модели исследовались такие вопросы, как существование и асимптотическое поведение решения [60,66,86]. Также существует большое количество работ, посвященных вычислительным аспектам модели (см., например, [64]). Некоторые численные аспекты модели (6)-(9) в стационарном случае обсуждаются, например, в работе [61]. А работа [62] посвящена моделированию ударных волн в стационарном случае для субмикронных полупроводниковых устройств.

В последние годы появилось много работ, в которых предлагаются и изучаются самые различные варианты гидродинамических моделей. Так в 1995 году итальянскими учеными Anile и Muscato [40] была предложена своя гидродинамическая модель переноса заряда в полупроводниках. Авторы отказываются от предположения идеальной среды (когда тензор напряжения считают шаровым) и от, обычно применяемого для замыкания гидродинамических моделей, закона Фурье для потока тепла:

Q = -kVT.

В настоящей диссертации изучается одна из последних моделей гидродинамического типа, которая была предложена Anile и Romano совсем недавно в работах [41,74]. Эта модель представляет из себя квазилинейную систему уравнений, записанных в форме законов сохранения. Эти законы сохранения получены из системы моментных соотношений для уравнения переноса Больцмана с помощью, так называемого, принципа максимума энтропии (или МЕР от Maximum Entropy Principle). Модель имеет следующий вид + div(nV) = О, V (InW^ + neE = nCp, dnW

--b div(nS) + net (E, V) = nCw, -ne—E = nCw, и рассматривается совместно с уравненим Пуассона бДФ = е(п - N).

14)

Здесь п, V, И7, S - соответственно электронная плотность, средняя скорость электрона, средняя энергия электрона, поток энергии; Р = m*V - средний момент кристалла, е - абсолютное значение заряда электрона, Е = —\7Ф - электричесчкое поле, Cp(W),Cw(W),Cw(W) - члены производства балансных уравнений, е - диэлектрическая постоянная, N = Nd — N,\, Nd, Na ~ плотности доноров и акцепторов.

Исследование новой модели (13)-(14) представляет большой интерес. Естественно, какая бы математическая модель ни была предложена, она должна быть адекватна описываемому физическому явлению. С этой точки зрения, очень важной проблемой при исследовании гидродинамических моделей переноса заряда в полупроводниках, является проблема устойчивости состояния термодинамического равновесия. Дело в том, что выбранная модель должна правильно описывать переходный процесс при снятии напряжения смещения. Известно, что при отсутствии напряжения смещения в реальных полупроводниковых приборах должен отсутствовать перенос носителей зарядов (то есть электрический ток). Другими словами, требуется, чтобы состояние термодинамического равновесия было асимптотически устойчивым (по Ляпунову) для гидродинамической модели переноса заряда. Так в статьях [47,48] доказана асимптотическая устойчивость состояния равновесия для одномерной МЕР модели переноса заряда в полупроводниках при определенных ограничениях на функцию плотности легирования и начальные данные. Однако, эти статьи содержат только краткое обсуждение вопроса о глобальном существовании решения для упомянутой выше одномерной задачи. Подробно этот вопрос рассматривается в статье [49]. Для типичной двумерной МЕР модели, вопрос об асимптотической устойчивости глобального термодинамического состояния равновесия рассматривается в [50].

Необходимо отметить, что проводятся и численные исследования гидродинамических моделей переноса заряда в полупроводниках. Так численное моделирование одномерных задач о баллистическом диоде рассматриваются в [42-44,51,73,75,76,78], двумерной задачи, описывающей кремниевый полевой транзистор со структурой металл-проводник (Metal-semiconductor field-effect transistor или MESFET) в [77,78]. Авторы работы [78] для моделирования непротиворечивой энергетически-транспортной модели для переноса электронов в полупроводниковых устройствах используют конечно-разностную схему.

Собственно конструированию численных алгоритмов и их обоснованию для нахождения приближенных решений таких моделей и посвящена настоящая диссертация. Для вышеупомянутой гидродинамической модели предлагаются новые оригинальные вычислительные алгоритмы. В основу предложенных алгоритмов положены идея классического метода прямых и метод установления.

Метод прямых довольно широко распространен в вычислительной практике. Как известно (см., например [4]), суть этого метода заключается т в том, что в исходном дифференциальном уравнении с частными производными производится дискретизация только по части независимых переменных, т.е. исходное уравнение в частных производных аппроксимируется системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Полученную таким образом вычислительную модель, мы будем называть дифференциально-разностной моделью.

Однако возможны и другие способы получения вычислительных моделей в методе прямых. Например, наряду с дискретизацией, скажем, по одной из независимых переменных можно использовать аппроксимацию производной по другой переменной с применением интерполяционных многочленов. Кроме того, исходная дифференциальная задача может быть заменена на другую (например, для нахождения приближенных решений стационарных задач математической физики можно применить метод установления). Такой подход, связанный с применением интерполяционных многочленов и метода установления, обсуждается в данной диссертации на примере модельной смешанной краевой задачи для уравнения Пуассона.

Поскольку при применении метода прямых мы сводим исходную проблему к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, то возникает вопрос о нахождении ее приближенного решения. Хотя в настоящее время существует достаточно много алгоритмов численного решения краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, мы в данной диссертации обсуждаем еще один способ нахождения приближенных решений таких краевых задач, использующий методы теории сплайн-функций. Хорошие аппроксимирующие свойства в сочетании с простой реализацией на ЭВМ сделали их эффективным средством решения самых разнообразных прикладных задач, причем влияние ошибок округления при вычислениях оказывается незначительным.

Название "метода прямых (method of lines или MOL)" применяется различными авторами к различным методам. Самое узкое понимание - получение аппроксимирующей системы обыкновенных дифференциальных уравнений (АС ОДУ) только с помощью конечно-разностного метода. Более широкое толкование включает применение на этапе дискретизации интерполирующих полиномов и конечных тригонометрических рядов. В том и другом случае метод относится к семейству полудискретных методов.

Аппроксимирующая система ОДУ называется также "системой метода прямых", задача для нее - "дифференциально-разностной", "полудискретной" моделью. Если рассматривать метод прямых, как метод понижения размерности задач, то этот метод иногда называют "методом плоскостей" (или "гиперплоскостей"). Развитием метода прямых является метод интегральных соотношений (МИС). Его также называют "метод кривых" или " метод полос". Различные варианты метода прямых (в широком смысле) иногда называют именами авторов - " метод Роте", " метод Теленина".

Первые работы по методу прямых появились в 20-30-е годы. В 1929 году Э. Роте (Е. Rothe) [80] применил поперечную схему метода прямых для доказательства существования решения квазилинейного параболического уравнения. В нашей стране также проводились исследования разрешимости задач для уравнений с частными производными с помощью метода прямых. На примере отдельных уравнений различного типа была описана идея метода, исследовалась сходимость, были получены оценки погрешности.

Второй пик интереса к этому семейства методов приходится на 50-60-е годы с появлением ЭВМ. В эти годы появилось множество публикаций и было разработано много алгоритмов приближенного решения уравнений в частных производных, основанных на идее получения аппроксимирующей задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Был решен ряд конкретных задач для уравнений различного типа. В эти годы данный метод занял свое место среди других методов численного решения уравнений в частных производных и за ним в нашей литературе закрепилось название " метода прямых".

Исследованиями с помощью этого подхода занимались многие известные советские математики. Серию работ по этому методу выполнили Б.М. Будак [11-13], В.И. Крылов [33,34] . В их работах показано, что метод прямых имеет существенные отличия в зависимости от типа рассматриваемого уравнения и поставленной задачи. Метод прямых становится методом, на основе которого было получено наиболее универсальное математическое обеспечение численного решения уравнений в частных производных, включающих зависимость от времени.

В качестве одного из классических методов приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных метод прямых приводится в учебниках по методам вычислений. Так, например в [4,35] можно найти описание метода прямых для приближенного решения отдельных уравнений различного типа, примеры получения оценок погрешности метода и доказательства разрешимости и сходимости.

Особенно важно отметить, что с помощью методов, типа метода прямых, были численно решены многие задачи гидроаэродинамики. Большое значение для таких задач имеет метод интегральных соотношений (МИС), предложенный А.А. Дородницыным [20-22], развитый в дальнейшем О.М. Белоцерковским, П.И. Пушкиным [3].

Серия работ по методу прямых выполнена В.Л. Макаровым с сотрудниками [14,19]. В этих работах исследуется сходимость метода прямых для обобщенных решений уравнений различного типа, получены оценки в соболевских пространствах, уделяется внимание применению конечно-разностных схем высокого порядка точности.

Из иностранных работ следует отметить серию работ, выполненных J.G. Verwer'oM с сотрудниками [85]. В них исследуется сходимость метода прямых с применением на втором этапе методов, типа Рунге-Кутта, используется сглаживание полиномами Чебышева.

Следующим этапом развития методов, типа метода прямых, является создание нестационарных схем и использования метода установления для решения стационарных задач аэродинамики. В этом случае численный алгоритм основан на эквивалентной псевдонестационарной процедуре. Вопросы установления процесса, получения устойчивых по времени решений становятся здесь центральными и требуют специальных приемов (введение искуственной вязкости в исходное уравнение или диссипативных членов в разностное уравнение). Точность при этом оказывается ниже, чем в стационарных методах, но такой подход позволил решить ряд новых задач. Отметим в этой связи работы [52,53]

1. Бабенко, К.И. Основы численного анализа / К.И. Бабенко. - Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2002. - 848с.

2. Белман, Р. Введение в теорию матриц / Р. Белман. М.: Наука, 1976.

3. Белоцерковский, О.М. Численный метод интегральных соотношений / О.М. Белоцерковский, П. И. Чушкин //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1962. - Т.2. - №5. - С. 731-759.

4. Березин, И.О. Методы вычислений / И.С. Березин, Н.П. Жидков. -М.: Физматгиз, 1962. т.Н. - 620с.

5. Бибердорф, Э.А. Гарантированная точность современных алгоритмов линейной алгебры / Э.А. Бибердорф, Н.И. Попова. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2006.

6. Блохин, A.M. Об одном варианте метода прямых для симметрических t-гиперболических систем / A.M. Блохин, А.С. Ибрагимова // Вычислительные технологии. 2006. - Т.11. - №6. - С. 11-21.

7. Блохин, A.M. Об одном варианте метода прямых для уравнения Пуассона / A.M. Блохин, А.С. Ибрагимова, Н.Ю. Красников // Вычислительные технологии. 2007. - Т.12. - №2. - С. 33-42.

8. Блохин, A.M. Конструирование вычислительного алгоритма для системы моментных уравнений, описывающих перенос заряда в полупроводниках / A.M. Блохин, А.С. Ибрагимова, Б.В. Семисалов // Математическое моделирование. 2009. - Т21. - №4. - С. 15-34.

9. Блохин, A.M. Элементы теории гиперболических систем и уравнений/ A.M. Блохин. Учеб. пособие. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1995.

10. Блохин, A.M. Интегралы энергии и их приложения к исследованию устойчивости разностных схем/ A.M. Блохин, Р.Д. Алаев. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1993.

11. Будак, Б.М. К решению краевой задачи параболического типа / Б.М. Будак // Вестник МГУ. 1955. - №8. - С. 33-38.

12. Будак, Б.М. О методе прямых решения некоторых краевых задач / Б.М. Будак // ДАН СССР. 1956. - 109:1. - С. 9-12.

13. Будак, Б.М. О методе прямых для некоторой квазилинейной краевой задачи параболического типа / Б.М. Будак // ЖВ и МФ. 1961. - 1:6. - С. 1105-1112.

14. Войцеховский, С.А. Сходимость метода прямых для обобщенных решений параболических уравнений в произвольной области / С.А. Войцеховский, И.П. Гаврилюк, B.JI. Макаров // Выч. прикл. мат. Киев, 1983. - №50. - С. 3-10.

15. Гаевский, X. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения / X. Гаевский, К. Грегер, К. Захариас. М.: Мир, 1978.

16. Годунов, С.К. Разностные схемы / С.К. Годунов, B.C. Рябенький. -М.: Наука, 1973.

17. Годунов, С.К. Уравнения математической физики / С.К. Годунов. -М.: Наука, 1979. 392с.

18. Годунов С.К. Матричная экспонента, матрица Грина и условие Лопа-тинского / С.К. Годунов. Учеб. пособие. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1983.

19. Джураев, И.Н. О точности метода прямых для гиперболических уравнений с малым параметром у произвольной по времени наибольшего порядка / И.Н. Джураев, Т.В. Колесник, B.JI. Макаров // Диф. ур. -Киев, 1985. №21. - С. 1164-1170.

20. Дородницын, А.А. Об одном методе численного решения некоторых нелинейных задач аэрогидродинамики / А.А. Дородницын // Тр. III Всес. матем. съезда. М.: Изд-во АН СССР, 1958. - Т. 3. - С. 447-453.

21. Дородницын, А.А. Лекции по численным методам решения уравнений вязкой жидкости / А.А. Дородницын. М.: ВЦ АН СССР, 1969. - №49.- С. 447-453.

22. Дородницын, А.А. Method of integral relations for the numerical solution of partial differential equations / А.А. Дородницын // Applic. Advanced numerical Analys. digital computer problems. Ann Arbor: Univ. Michigan.- 1958. P. 281-306.

23. Завьялов, Ю.С. Методы сплайн-функций / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.Л. Мирошниченко. М.: Наука, 1980.

24. Ибрагимова, А.С. Конструирование вычислительного алгоритма для системы моментных уравнений, описывающих перенос заряда в полупроводниках / А.С. Ибрагимова // Фундаментальная математика и ее