автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Применение методов математического моделирования к исследованию гидродинамических моделей сверхтекучей жидкости и переноса заряда в полупроводниках

Российская академия наук Сибирское отделение Институт математики РГ8 О Л им. С.Л.Соболева

11 НОЯ 1338 На правах рукописи

УДК 51-73

КРЫМСКИХ Дмитрий Александрович

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ И ПЕРЕНОСА ЗАРЯДА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ

(05.13.16— принесение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК 1996

Работа выполнена в Институте математики им. О.Л.Соболева СО РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор А.М.Блохин.

Официальные оппоненты: доктор фкзико-иатсыатическшг

Ведущая организация: Институт гидродинамики

им. М.А.Лаврентьева СО РАН.

Защита состоится " -5 1996 г. в ча-

сов на заседании диссертационного совета К 002.23,04 при Институте математики СО РАН по адресу: 630090 Новосибирск, Университетский проспект, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО РАН.

Автореферат разослан" " 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

наук В.Н.Дорозскин, кандидат физико-натематнчес-кмх наук В.Б.Каршышев.

д. ф.-ы. н., профессор

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящее время методы математического моделирования широко применяются в различных областях науки, в частности в физике. Необходимо отметить, что под математическим моделированием понимается следующая цепочка понятий: физическая модель явления — математическая модель явления — вычислительная модель — программа — ЭВМ. В механике сплошной среды в качестве математических моделей часто используются гидродинамические модели. Их численное исследование имеет большое значение в понимании многих физических процессов, а также в оценке точности модели.

При создании вычислительной модели важно провести исследование связанных с ней математических проблем. Например, хорошо известно, что течения сплошной среды могут иметь разрывы, и так как многие численные методы решения систем гиперболических законов сохранения предусматривают решение задачи Римана о распаде разрыва, например схема С.К.Годунова, то возникает вопрос об устойчивости сильных разрывов.

Другой важный аспект численного моделирования — вопрос об адекватности вычислительной модели и ее математической модели, что подразумевает стремление решения вычислительной модели к решению математической модели при измельчении шага сетки.

Цель работы. Исследование устойчивости разрыва давления и температурного разрыва сверхтекучей жидкости в рамках гидродинамической модели Ландау. Численный анализ гидродинамической модели переноса зарядов в полупроводниках.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в работе, состоят в следующем:

1. Сформулирована линейная смешанная задача об устойчивости разрыва давления малой интенсивности в гелии п в случае двух пространственных переменных. Получена априорная оценка решения данной задачи, доказывающая устойчивость разрыва давления.

2. Сформулирована линейная смешанная задача об устойчивости температурного разрыва малой интенсивности в гелии Д в случае двух пространственных переменных. Для этой задачи построен пример некорректности типа примера Адгшара и тем самый доказана неустойчивость температурного разрыва.

3. Получены численные решения гидродинамической модели переноса зарядов в полупроводниках в рамках задачи оп+-п-г!+ баллистическом диоде.

Методика исследований. Доказательство разрыва давления в гелии Д проводится методом диссииативных интегралов энергии. Неустойчивость температурного разрыва в гелии Д доказывается путем построения примера некорректности типа примера Адамара.

Для проведения численного анализа гидродинамической модели переноса зарядов в полупроводниках ксполь-эуется метоц установления. За основу вычислительной модели взята конечно-разностная схема, основанная на расщеплении стабилизирующего оператора с использованием монотонизирующей коррекции.

Практическая и теоретическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при численном моделировании задач механики сверх-

текучего гелия и движения зарядов в полупроводниках.

Апробация работы. Результаты, входящие в диссертацию, докладывались на конференции "^Сибирская школа по неклассическим уравнениям математической физики^> (Новосибирск, 1995 г.), на семинаре -^Численные методы механики сплошной среды!» под руководством акад. Ю.И.Шокина и проф. В.М.Ковени в Институте вычислительных технологий СО РАН, на семинаре отдела прикладной гидродинамики под руководством проф. В.В.Нухначева в Институте гидродинамики СО РАН, на семинаре под руководством проф. В.Н.Ильина в Вычислительном центре СО РАН.

Публикации. Но теме диссертации опубликовано 4 работы.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, включающего 25 наименований. Материал диссертации изложен на 102 страницах.

2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Обосновывается актуальность темы, проводится краткий обзор литературы, излагаются используемые методы и формулируются основные результаты диссертации.

Глава 1. Дана постановка задачи об устойчивости сильных разрывов в сверхтекучем гелии. В §1 привсщится система уравнений Ландау:

з _

+ = 0, (ру^ + ¡С(П'*)*А =0, ¿=1,3,

ь=х

= ^ + ¿(^=0, (1) 1 к=1

гоЬх} = 0.

Здесь р = р, + рп — плотность, рх — рпчг + ру,, w = у„ — V, — относительная скорость, ГЦ = рпь^пк + +

р&и, — тензор плотности потока импульса, 8ц, — символ Кронекера, Е = Е0 + р^- + д»(У„ V/) — энергия единицы объема, £* = (/!+ + БТи^ + рм{\п>ук), ( )п

— параметры нормальной составляющей гелия Д , ( ),

— параметры сверхтекучей составляющей гелия Д , 3 — энтропия единицы объема, р. — химический потенциал, V = — среднемассовая скорость гелия Д , р — Т5 — Е0 + рр + — давление, Ео — энергия, Т — температура. Для эаыыкання системы (1) используется термодинамическое тождество

ф = V • <1р - а • £Г — ргУ - с1д ,

где (т = У 5, д = V — К Таким образом, система (1), дополненная уравнением состояния р. = р.(р, Т, д), замкнута и ее можно рассматривать как систему для определения вектора неизвестных величин и = (р, Т, ш*, V* )*.

6 §2 дана симметрическая форма системы (1), знание которой имеет решающее значение при доказательстве устойчивости разрыва давления в гелииД , т. е. система (1) записывается в следующем вкдг:

у40и4 + 741ижа+Л2ив2 + Лзияз=0, (2)

где матрицы Ла симметрические, а матрица Ао положительно определена при достаточно малом и».

В §3 даны условия на поверхности сильного разрыва в сверхтекучем гелии:

[71 = 0, ЛУ1 + $ = о> 1 = 0,

+ = Кь] = 0, к = 2,3, ■ (3)

[К* - + w))] + Би(И + ][у,„\) = 0.

Здесь /(¿, х) = /(¿, х') — = 0 — уравнение поверхности сильного разрыва, = р{иц — Бы), р = р+ Урлрпю^, уц = (у,М), шлг = (тяг, И), = (уя,Н), = (у,^), и>Тк -= (У„тъ), = 2,3, N = ¡^(-1,/«,/*,) —

нормаль к поверхности сильного разрыва, Дм — —

т2 = (Да, 1,0), г3 = (/„,0, 3).

В §4 выполняется постановка линейной смешанной задачи об устойчивости сильных разрывов в гелии Д . С этой целью рассматривается кусочно-постоянное решение системы (2) следующего вида:

и=Г^«=(РсО,^сО,0,0,0,г)ео)0)0)* при XI < 0, ( . \и = (р,Г,и»,0,0,у-гу,0,0)*приа;1 > 0, 1 '

которое удовлетворяет (3) при условии, что фронт разрыва неподвижен и описывается уравнением = 0.

Линеаризуя симметрическую систему (2) и условия на поверхности сильного разрыва (3) относительно данного кусочно-постоянного решения, получаем линейную смешанную задачу об устойчивости сильных разрывов в гелии д (основная задача).

В §5 исследуется кусочно-постоянное решение (4). Рассматриваются случаи разрыва давления и температурного разрыва.

Глава 2. Доказывается устойчивость разрыва да^ вления в гелии]! . С этой целью в §1 формулируются линейные смешанные задачи об устойчивости разрыва дат вления в гелии Д в двумерном случае (частные случаи основной задачи), в которых учитываются параметры кусочно-постоянного решения (4) с точностью до второго порядка (задача РБ1) и до пятого порядка (задача РВ2) малости относительно скачка давления Д,

Для доказательства устойчивости разрыва давления в гелии | строится расширенная система. При ее построении важным оказывается факт, что задача РВ1 может быть сведена к задаче для волнового уравнения (задача Wl)) а задача РЭ2 — к задаче для уравнения близкого к волновому (задача \У2). Этой процедуре посвящен §2.

В §3 получена априорная оценка решения задачи Р01. С этой целью строится диссипативный интеграл энергии. Вначале из задачи \¥1 строится симметрическая ¿-гиперболическая система

йЩ - - = 0, (5)

с диссипативными граничными условиями, т. е.

(с^^)|в1=о>^|а>о. (6)

Здесь элементами вектора V/ являются линейные комбинации вторых производных давления р, а 6* — произвольное положительное число. Далее конструируется расширенная система

ЛоРт-ир + Дгр£1 ир + Лр&ир = О. (7)

Здесь т & 6 = = (U*, rUV.., ^U*, W*)*, ма-

трицы Ate = (io,..., А» U), = (ib..., Ли -Q), Лгр =

A A AAA

(Л2,..., j42> —Л) клеточнодиагональные (Аар = >

0). Умножая систему (7) скалярно на вектор 2UP и интегрируя полученное соотношение по области R2, получаем с учетом формулы Гаусса-Остроградского

jtJ(t) = J (Alp ир, ир)

R

. (в)

«1=0

Здесь J(t) = / (AopUpt Up)dx. Благодаря произволу в выборе постоянной 6, можно добиться положительно« определенности формы

-{(ilpr2U, т2 U) + (АггЬ U, r&U) + (АггЬ U, r&U)

+ (M&u, 66U) + и, gu)

-(QW,W)}| .

J IsjasO

Далее, применив теорему вложения Соболева, нетрудно получить априорную оценку решения задачи PD1:

||U(i)||^(Ba )<C(r)||tTo||И?(Н>), 0< t<T<00, (9)

где С(Т) — положительная постоянная, не зависящая от ü(t), ||U(i)|| = |U(t)|2 +... + |£U(i)i2cix)1/3.

Априорная оценка (9) показывает устойчивость разрыва давления малой интенсивности.

В §4 аналогичным образом получена априорная оценка решения задачи PD2. Следует отметить, что в этом

случае априорная оценка вида (9) получена при дополнительном условии на кусочно-постоянное решение (4).

Глава 3. Доказана неустойчивость температурного разрыва в гелиид . Для этого в §1 формулируется линейная смешанная задача об устойчивости температурного разрыва в двумерном случае (задача TD). В §2 строится пример некорректности типа примера Адамара, т. е. для задачи TD построено решение вида

V = V2>eep(n(ft + |C0®i + te3)), г1<0, U = ехр(п(Н + iдз)) £ UÍA>eep(n&ai), хх > 0 .(10)

*sl

Здесь Ту £оо }£ь — постоянные, причем Лет > 0, Re > 0,

Reth < 0.

Глава 4. Выполняется численный анализ гидродинамической модели переноса заряда в полупроводниках. В §1 формулируется математическая модель:

£Ur-f Л, = т,

(12)

/

где В =

0 N 0 0

16/5;

R — электронная плотность, и г?,—- температура электронов, 0 — тепловой поток, ф — электрическим потенциал; J = (JO), jWtjWtfl% 7 = (0, JW = Ли, J<2> = RJ+P-eRu,, J<3> =

1 0 0 и R 0 u3 + 3t? 2Ru 3 R 0 0 0 электронная плотность,

, U = (Rfu, т?, 0)*,

скорость электронов,

Яи(и2+5т?)+в-2еЯи-и„ •/<*) = ви+|Д«Я-

с(5йи2 + 7Р)и„ /<а> = Я(<0, - [/иг?), = 2и(иф, - 1/(1 +

^зЙЖЗ))»**4* = тЗи3+5г?-2?и,)-^(в+5Ри), Р = Йг?; I/, е, /илу 0 — постоянные, р — кусочно-постоянная функция.

Систему (11)—(12) будем для п+ — п — баллистического диода, состоящего из трех зон. (В п+-зоне выше, чем в п-зоне, плотность легирования.)

Для системы (11)-(12), применительно к задаче о п+ — п—п+ баллистическом диоде, ставятся следующие граничные условия:

_ (£и , >

I? = 1, Д~1 при э =0,1; — = 0 при 5 = 1, (13)

аз

ф = фцЫрь при з = 0; ф = ^оЬро+1^ при з = 1.(14)

где И» Фо> Ро — постоянные. В случае, когда вязкость отсутствует (с = 0), последнее граничное условие в (13) ке требуется. Таким образом, следует определить стационарные решения системы (11)—(12), удовлетворяющие грат личным условиям (13)—(14).

Умнояая систему (11) слева на матрицу В""1, мы получаем следующую систему:

ит + ахи + о3и = г,

/ о щ о о о о е о

= ло * о А

¿1 ¿3 ¿3 0

Й! = иЫ- ¿Дар(0,1Д0ЖД£), Г = В"1?, В~13, =

Пги + П3и, <к = §(£ + и21?+ ¿г = (|Яи3 + 5Ят? +

в)е - тИ<5£(Д«2о + * = К"2 + А*)**» * =

Рассматривая уравнение (12) как обыкновенное дифференциальное уравнение для неизвестной функции ф с граничными условиями (14), мы получаем

1

ф = Ъро л-Уъ>р ! (?(*, с)(Л(т, С) - р{СЫ >

о

П( Л\ \ Ф - > если 0<С<6, . где <?(., С) = | ^ _ ^ > есдй ,<С<1? " Функция

Грина. Продифференцировав это выражение по в, находим

о

1

-ф-0(мы)-р«м. (15)

о

В §2 описана используемая вычислительная модель. Здесь применен один из вариантов конечно-разностных схем, основанных на расщеплении стабилизирующего оператора по физическим процессам при наличии моното-низнрующек коррекции. Система (11) аппроксимируется разностной схемой расщепления:

Ц? = + ДР?, (Д + г^)и,1/3 = Ц?,

(Дн-гП^ = и}'2, = +

Здесь г = А/И, А — шаг по г, Н = — шаг по а, А/" — число пространственных интервалов, и? = Т1(пД, г/г)

— сеточная вектор-функция, и?, и^2, и* — вспомогательные сеточные вектор-функции, Р-1 = Т?((фа)", и",

= я-чи?),

0*Л? =

^ Л(иД)? Л (и • Ди)? + Л*/?1 - П(Ди4)? Л(и • Я(и3 + 50))? + Л*е? - 2П(Ди • и,)? Л(и. (Ди(и2 + 81?) + ув»? + 1ЛЧ/Ю3)?--5П(Ди2-и,)? - 7П(Д#и,)?

О 0 0 \

(«Г* 0 е 0

о о

аге № - ¿г+1+- с^

1аг = 1 (т +и2,? + &*3)?» - (!Ли3 +5Дш? + в)?>

(<?-#«?)» фд? = </?+1)

+ йг = + =

ем?), ® < = м сем?, ем?), =

+ зрп(г))тг'п(|у|, |г|). Описанные выше разностные операторы приведены с учетом знака функции и, (Из физических соображений следует, что функция и больше нуля.) Сеточная функция (&)?> входящая в Г?, определяется из (15).

02

ч

зд? О

3 2

При практическом применении описанного выше ал-

горитма выяснилось, что у компонент сеточной вектор-функции и? (особенно это касается компоненты 6") возникают коротковолновые возмущения. Для устранения этих возмущений использовались фильтры.

В §3 даны результаты численных экспериментов.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору, доктору физико-математических наук Блохиму Александру Михайловичу за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

1. Блохин A.M., Крымских Д.А. Постановка задач об устойчивости сильных разрывов в сверхтекучей жидкости // Дифференциальные уравнения с частными производными: Сб. науч. тр. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1991. С. 30-53.

2. Блохин A.M., Крымских Д.А. Сильные разрывы в сверхтекучей жидкости // Тр. Ин-та математики / РАН. Сиб. отд-ние. 1994. Т. 24: Теоретические и вычислительные проблемы математической физики. С. 20-62.

3. Blokhin А.М, Krymskikb D.A. Instability of temperature discontinuity in supeiliquid Helium // Sib. J. Differential Equations. 1995. V. 1, N 4, P. 5-20.

4. Блохин A.M., Иорданиди A.A, Крымских Д.А. Численное исследование одной гидродинамической модели переноса заряда в полупроводниках. Новосибирск, 1996. 54 с. (Препринт / РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математики;

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ