автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Применение методов математического моделирования к исследованию уравнений электрогидродинамики и переноса зарядов в полупроводниках

РГБ ОД 3 1 АВГ 1993

Па прапах рукописи

МЕРАЖОВ Икром Завкидинович

Применение методов математического моделирования к исследованию уравнений электрогидродинамики и переноса зарядов в полупроводниках

(05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

НОВОСИБИРСК

1998

Работа выполнена в Новосибирском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор А.М.Блохин.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор В.Г.Яхно,

доктор физико-математических наук, Г.А. Тарнавский .

Ведущая организация: Институт гидродинамики

им. М.А.Лаврентьева СО РАН.

Защита состоится ^ " ¿е^тД^ь)1998 г. в /Г часов на заседании диссертационного совета К 063.98.05 при Новосибирском государственном университете по адресу: 630090, Новосибирск, ул. Пирогова, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

Автореферат разослан " 2Л " 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук

П.В. Вельтмандер

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.В настоящее время математическое моделирование получило очень широкое распространение в самых разных областях науки. Огромная сложность наблюдаемых в природе явлений делает невозможным их непосредственное изучение, поэтому , вместо интересующего нас явления приходится изучать его модель, в которой отражены все существенные черты данного явления. При описании различных физических явлений часто используются гидродинамические модели; их общность с хорошо изученной моделью газовой динамики позволяет применить разработанные для нее методы к исследованию различных моделей гидродинамики.

При исследовании гидродинамических моделей важное значение имеет исследование вопроса о структурной устойчивости ударных волн, которые встречаются во многих течениях и изучаются в механике сплошных сред. Это вызвано тем, что реально существующая ударная волна устойчива к малому возмущению ее фронта. Изучение этого вопроса становится особенно актуальным начиная с 50-х годов в связи с появлением ЭВМ и возможностью численного расчета сложных гидродинамических течений, содержащих ударные волны.

В газовой динамике первое теоретическое исследование устойчивости плоской ударной волны произвольной интенсивности, распространяющейся в неограниченной среде, было осуществлено в 19-54 году С. П. Дьяковым, который установил области устойчивых и неустойчивых состояний. В дальнейшем С. В. Иорданский и В. М. Конторович уточнили и дополнили результаты Дьякова. Несколько позже А. М. Блохин для исследования устойчивости ударных волн развил метод диссипа-тивных интегралов энергии. Отметим, что в газовой динамике этот метод позволил перенести результаты, полученные для линеаризованной задачи, на квазилинейные уравнения, описывающие гладкие течения в окрестности гладкой ударной волны. Для таких течений с помощью построенных диссипативных интегралов энергии удалось доказать теоремы существования и единственности в малом по времени. Также необходимо отметить, что с помощью техники диссипативных интегралов энергии удалось получить ряд важных результатов, касающихся устойчивости ударных волн в релятивистской гидродинамике, гидродинамике сверхтекучей жидкости, в радиационной гидродинамике, в магнитной гидродинамике.

Исследование математической модели теоретическими методами позволяет получить важные предварительные знания об исследуемом объекте. Создание высокопроизводительных ЭВМ и разработка экономичных численных алгоритмов дали возможность проводить всестороннее численное исследование математической модели, подвергать ее вычислительному эксперименту, анализируя ее в самых разных ситуациях и получая исчерпывающую информацию о ней. Такое понимание математического моделирования означает не просто уточнение количественных характеристик явлений, но также изучение основных их качественных свойств. При этом приведение рассматриваемой системы уравнений к хорошо изученному виду намного упрощает вычислитель' ный алгоритм.

Цель работы. Теоретическое исследование математической модели, возникающей в электрогидродинамике, а также численное исследование модели, описывающей явление переноса зарядов в полупроводниках.

Научная новизна. Основные результаты, полученные в работе, заключаются в следующем:

1. Сформулированы линейные смешанные задачи об устойчивости ударных волн с малым скачком напряженности электрического поля в случае трех пространственных переменных. Получены априорные оценки решения этих задач, доказывающие устойчивость соответству-юших-ударных волн.

2. Газодинамическая модель переноса зарядов в полупроводниках записана в гиперболическом виде.

3. Получены численные решения газодинамической модели переноса зарядов в полупроводниках в рамках задачи о п+ — п — п+ баллистическом диоде.

Методика исследования. Для доказательства корректности линейных смешанных задач об устойчивости электрогидродинамических ударных волн применяется техника диссипативных интегралов энергии и метод преобразования Фурье.

Для проведения численного анализа газодинамической модели переноса зарядов в полупроводниках используется метод установления. За основу вычислительной модели взята конечно-разностная схема, основанная на расщеплении стабилизирующего оператора с использованием монотонизирующей коррекции.

Практическая и теоретическая ценность. Полученные в дис-

сертации результаты могут быть использованы при численном моделировании задач механики сплошных сред с объемным зарядом и движения зарядов в полупроводниках.

Апробация работы. Результаты, входящие в диссертацию, докладывались на международной научной студенческой конференции НГУ (Новосибирск, 1996 г.), на конференции "Математические проблемы механики сплошных сред" (Сибирская школа - семинар, посвященная 40 - летию института гидродинамики, Новосибирск, 1997 г.), на третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященный памяти С.Л. Соболева (ИМ СО РАН, Новосибирск, 1998), на семинарах по дифференциальным уравнениям в экологии под рук. д.ф.-м.н. Кажихова А.В.(НГУ), по обратным задачам для уравнений математической физики под рук. д.ф.-м.н. Яхно В.Г. (ИМ СО РАН), по волнам в неоднородных средах под рук. д.ф.-м.н. Тешукова В.М. (ИГиЛ СО РАН), по прикладной гидродинамике под рук. д.ф.-м.н. Воеводина А.Ф. (ИГиЛ СО РАН), по численному анализу и моделированию под рук. д.ф.-м.н. Хисамутдинова А.И. (ИМ СО РАН), по методам вычислительной математики под рук. д.ф.-м.н. Ильина

Публикации. По теме диссертации опубликовано б работ. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 36 наименований. Материал диссертации изложен на 125 страницах.

Во введении приводятся рассматриваемые модели и формулируются основные результаты диссертации.

Первые две главы диссертации посвящены теоретическому исследованию вопроса об устойчивости ударных волн в электрогидродинамике. Рассматриваемые в диссертации уравнения электрогидродинамики в одножидкостном приближении без учета вязкости и теплопроводности имеют вид:

В.П.(ИВМиМГ СО РАН).

2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

р1 + сНу(/щ) = 0,

(Ри)1 + а^п = о, + а^ = о,

(1) (2)

(3)

(4)

divE — 4irq, (5)

rotE = 0. (6)

Здесь p — плотность сплошной среды; u = (и;, v.2, из)* — скорость сплошной среды (звездочка означает транспонирование); П — тензор плотности потока импульса с компонентами П,* = рщик + рЬц?, — Pik (i, к = 1,2,3); р — давление; Е = (Ei, 2%, £?з)* — напряженность электрического поля; е = ео + 1/2|и|2; во — внутренняя энергия; W = (Wi, Wz, W3)* = pu(e-t-pV); V — 1/р—удельный объем; J — плотность тока; q — заряд. Компоненты I\k максвелловского тензора напряжений Р имеют вид Pik — -^(EiEk — Термодинамические переменные

связаны соотношением Гиббса

Tds = de0 + pdV (7)

(s — энтропия, T — температура). В силу (7) справедливы равенства

Р =-Ыу = (?ЫР, Т = (е о),. (8)

Плотность тока J связана со скоростью и и напряженностью электрического поля Е законом Ома

J = q(u + ЬЕ) (9)

(постоянная ь > 0 — подвижность ). Таким образом, с учетом уравнения состояния ео = ео(p,s), равенств (8) и закона Ома (9) можно рассматривать (1)-(6) как систему для нахождения компонент векторов U = (р, s, u*)*, Е и заряда q.

Эта модель описывает движение сплошной среды в электрическом поле. Среда состоит из нейтрального газа и положительно заряженных ионов, причем концентрация ионов много меньше концентрации нейтральных частиц. Рассматриваемая модель электрогидродинамики (1)-(6) с точки зрения теории дифференциальных уравнений в частных производных интересна тем, что она записывается в виде симметрической i-гиперболической системы по Фридрихсу (относительно переменных р. s, и) и уравнения Пуассона (для потенциала электрического поля <р).

Рассмотрим кусочно-гладкие решения системы (1)-(6), гладкие куски которых отделены друг от друга поверхностью сильного разрыва, описываемой уравнением

f{t,x)^f{t,x!)-x1 = 0, (x=(xhx'), х'= (х2,х3)). (10)

Выпишем для системы ЭГД (1)-(6) условия на поверхности сильного разрыва:

Ш - [рщ] + /х2[рм2] + ¡Хз[рщ) = О, (И)

и[рщ) - [Пь] + /Ва[Пи] + /1з[Пз,] = 0 (» = 1,2,3),

и [ре] -№}+ Д, [ИЪ] + /„ [\У3] = О, Ы = [£^] = -4тпт, + = 0 (к = 2,3).

При получении этих соотношений предполагалось, что на поверхности (11) может существовать поверхностный заряд а = сг(£,ж'), а поверхностным током пренебрегалось. Для ударных волн, т.е. при ] ф О, \р\ ф 0 0 = - = (и, 14), Ддг = -/</|У/|) система соотно-

шений на сильном разрыве является замкнутой при заданной величине а.

Физическая постановка задачи об устойчивости ударной волны состоит в следующем. Пусть сверхзвуковой стационарный поток газа отделен от дозвукового стационарного потока газа плоской ударной волной, имеющей некоторое небольшое распределение поверхностного заряда. Пусть в начальный момент времени на фронт ударной волны накладывается экспоненциальное возмущение, а набегающий поток остается невозмущенным. Спрашивается, как поведет себя возмущение с течением времени?

В первой главе диссертации формулируется математическая задача об устойчивости ударных волн. С этой целью в §1.1 вводится кусочно-постоянное решение уравнений электрогидродинамики, которое удовлетворяет всем требованиям ударной волны, при условии что за малый параметр выбирается скачок напряженности электрического поля. В §1.2 проводится линеаризация уравнений электрогидродинамики и соотношений на сильном разрыве относительно рассматриваемого кусочно-постоянного решения; полученные соотношения затем обезразмериваются. В §1.3 формулируется линейная смешанная задача об устойчивости электрогидродинамических ударных волн, которая в дальнейшем называется основной задачей.

Основпая задача. В области I > 0, х Е ищется решение системы

7 — 1 7 — 1

Ьр -1- с!т1 —--а. Ьв =-о,

7 7

М2Ьи + Чр = щ, Ьц + й&д = 0, (12)

с11УЕ = 4пд, rotE = О, б области t > О, х £ — решение системы

7 ~ 1 • т- 7-1

Ьоор + =-—д, Ьоо« —-д,

7 7

М^ооЧ + Ур = Х^д + ¿ъо^д = 0, (13)

СНУЕ = 47гд, го1Е = 0.

Решения обеих систем должны удовлетворять при х\ — 0 граничным условиям

щ+с1р + йоЕгоо + ¿1РЖ + ¿2«1оо + ¿зЭоо + С^О = 0,

Щ = + ¿0Екоо + уикоо [к — 2,3), = ^ + /¿О-^ос + + ЩЩоо + /*3«оо + М<А

в — ир + + щр^ + ^2И1оо + ^з^оо + (14)

Ч = %оо + - ¿Е1оо = 4тгГ2,

Ек - йЕкоа = -х^ (* = 2,3); а при t ~ 0 — начальным данным

и|<=0 = и0(х), Е|1=0 = Е0(х), д|4=о = до(х), х е

(15)

^|г=0 = ^о(х'), П|(=0 = По(х'), х'€Л2,

где

= 6Д2}; 2, = г + &; Ь00 = кт + Ь;

о о

у = Ъ = (к = 1,2,3).

Здесь р, в, и], 7/2, щ, Е\, Е2, д, Г, П являются искомыми ве-личийами, а все остальные - известными коэффициентами. Отметим, что основная задача формально распадается на две задачи, а именно: на смешанную задачу для симметрической ¿-гиперболической системы относительно переменных р, 5, и, д и на задачу дифракции для потенциала электрического поля. Эти задачи связаны между собой правыми частями уравнений и граничными условиями.

Для корректности основной задачи необходимо проверить, является ли задача правильно поставленной по числу граничных условий. Изучение этого вопроса выявило, что возможны несколько вариантов

задачи в зависимости от направления тока, возникающего после возмущения ударной волны и поверхностного заряда. Оказалось, что задача правильно поставлена, когда ток течет: I) через разрыв по потоку без возмущения поверхностного заряда на ударной волне, II) через разрыв против потока также без возмущения поверхностного заряда на ударной волне, III) слева и справа в сторону ударной волны, создавая возмущение поверхностного заряда на пей (каждый из этих случаев далее рассмотрен в виде отдельной задачи). Все остальные варианты задачи оказываются неправильно поставленными по числу граничных условий, и следовательно, описываемые ими ударные волны являются неэволюционными.

Во второй главе диссертации доказывается корректность задач 1-Ш путем получения априорных оценок:

1^(01ка'(н4) < СхСОИУоИи^щ),

1И1и'3((о,г)ха*) < С2(Т), (16)

1!П||^((0,т)х1г2) < Сз(Т), 0 < г < Т < оо,

где V = (р, в, и, 5, Е)*, С;(Т) - положительные постоянные, (г = 1,5). При этом функции П явно находятся через компоненты V. Априорные оценки (16) получены в случае малости скачка нормальной составляющей напряженности электрического поля на разрыве и финитно-сти по Хг функции начального возмущения заряда до(х).

Априорные оценки для решения основной задачи получены при помощи техники диссипативных интегралов энергии и преобразования Фурье. Для получения априорных оценок строится расширенная система, для которой формулируется смешанная задача. Расширенная система — это система для вектора и и производных вектора и, полученная с помощью дифференцирования симметрических систем основной задачи. При построении расширенной системы мы используем то обстоятельство, что из симметрической системы для р1 5, и, д при Х\ > 0 получается волновое уравнение для р, из которого затем строится симметрическая ¿-гиперболическая система (по Фридрихсу), для которой граничные условия дисснпативны. В §2.1 формулируется смешанная задача для расширенной системы задачи I, когда до = 0 при х-1 < 0. В §2.2 выводится априорная оценка для решения этой задачи. В

§2.3 доказывается корректность задачи I, когда qo финитна. Поскольку формулировка задач I и II совпадают, все рассуждения, проведенные в первых двух параграфах справедливы и для задачи II. В §2.4 доказывается корректность задачи III тем же способом, что и корректность задачи I.

Полученные априорные оценки для малых возмущений позволяют нам численно исследовать задачи с граничными условиями на ударной волне для исходной системы. Но из-за ограниченности теоретических методов исследования и сложности математических моделей не всегда удается получить подобные априорные оценки. Тем не менее, требуется иметь некоторые представления о поведении решения рассматриваемой математической модели. При этом приведение рассматриваемой системы уравнений к хорошо изученному виду намного упрощает вычислительный алгоритм.

В третьей главе диссертации численно исследуется гидродинамическая модель переноса зарядов в полупроводниках (предложенная итальянскими учеными Anile A.M., Muscato О.) на примере тестовой задачи о п+ — п — п+ баллистическом диоде. Первые численные исследования этой задачи были проведены А. М. Блохиным и Д. А. Крымских (Численное исследование одной гидродинамической модели переноса носителей заряда в полупроводниках // Матем. Моделирование. 1997, т.9, No 3, с.40-50). Оказалось, что при использовании метода установления итерационный процесс сильно зависит от выбора начальных данных.

Проведенные в диссертации численные эксперименты являются продолжением этой работы, причем предлагается новый подход к решению этой проблемы.

С этой целью в диссертации рассмотрена газодинамическая модель, которая является упрощенным вариантом гидродинамической модели переноса зарядов в полупроводниках:-

RT + jW = О,

J^ + Jf^2),

(RE)T+.JW = J*3\

</>„ = ß{R-p). (17)

Здесь плотность электронов R, скорость электронов и, температура электронов 1?, потенциал электрического поля ф являются неизвестны-

ми величинами,

J{1) = Ru, J(2) = Ru2 + P,

3

^{2) = ^ - ^ = _ R^Zlt

Tp Tw

p - кусочно-постоянная функция. Времена релаксации tw, тр предполагаются функциями от Е. Из-за малости этих величин ( порядка Ю-12) система становится жесткой.

Эта модель описывает движение потока электронов в полупроводнике. Предполагается, что электроны движутся как частицы газа.

Задача о баллистическом диоде в нашем случае заключается в том, чтобы найти стационарное решение системы (17), удовлетворяющее следующим граничным условиям:

Д(г,0)=Л(г,1) = 1, ф(г,0) =Л = 1пЫ,

ф(т,1)=Л + В,

где ро, В = Vь - заданные постоянные. В §3.1 приводится недивергентное, симметрическое и предельно дивергентное представления газодинамического варианта рассматриваемой модели, которые будут использованы при применении схемы расщепления. Кроме того, справедлив дополнительный закон сохранения:

{RS)T + (RuS)s = g,

а также уравнение состояния P = R^exp^S}, где

2fJ+ 2tw

Теоретическое исследование уравнений (17) показало, что их можно представить виде симметрической ¿-гиперболической системы с дополнительным стационарным законом сохранения. В §3.2 приводится гиперболический вариант газодинамической модели:

RT + Js(1) = О,

<?Г = Я4). (18)

Здесь

j(2) = Ru2 + P - Q = 4>s, 41\T)=jQ1jU(r,S)ds.

7(1) p _ з

= лд - 4-, = -

^4) = /?.{jW(r)- J«}. Кроме того, справедлив дополнительный стационарный закон:

Qs — P{R — р)-

Отметим, что такое представление системы справедливо и для исходной модели. Гиперболическое представление системы позволило существенно изменить численный алгоритм. В §3.3 приводится разностная схема для газодинамической модели и алгоритм ее реализации, который был предложен в работе A.M. Блохина. Согласно этому подходу на каждом шаге итерационного процесса для гиперболической части системы используется схема расщепления стабилизирующего оператора по физическим процессам с монотонизирующей коррекцией, а для эллиптической части системы - формула трапеции. В §3.4 приводятся разностная схема для гиперболической модели и алгоритм ее реализации. Преимущества этого алгоритма в том, что в нем используется только схема расщепления по физическим процессам с монотонизирующей добавкой.

В конце главы приведены результаты численных экспериментов.

На защиту выносятся результаты:

- Доказательство устойчивости ударных волн с малым скачком напряженности электрического поля в случае финитности функции, задающей распределение заряда в начальный момент времени.

- Гиперболическая форма записи газодинамической модели переноса зарядов в полупроводниках.

- Проведение численного анализа газодинамической модели переноса зарядов в полупроводниках в рамках задачи о п+ — тг — п+ баллистическом диоде.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Блохин A.M., Иорданиди А.А, Меражов И.З. Численное исследование одной гидродинамической модели переноса зарядов в полупроводниках. // Препринт N33. Новосибирск ИМ СО РАН, 1996, с. 51.

2. Блохин A.M., Меражов И.З., Трахинин Ю.В. Об устойчивости ударных волн в сплошной среде с объемным зарядом. // ПМТФ, 1998, т. 39, N 2, с. 29-39.

3. A.M. Blokhin, I.Z. Merazhov, Yu.L. Trakhinin. Investigation on stability of electrohydrodynamic shock waves. // Le Matematiche, V. LII (1997)- Fase. I. pp. 87-114.

4. Меражов И.З. Об устойчивости ударных волн в сплошной среде с объемным зарядом. // Сибирская школа-семинар, посвященная 40-летию института гидродинамики: "Математические проблемы механики сплошных сред" 1997г.,С. 99, Новосибирск, Россия. СО РАН ИГиЛ,

5. Меражов И. 3. Исследование устойчивости электрогидродинамических ударных волн // Материалы XXXV международной научной студенческой конференции. Новосибирск: НГУ. 1996 С. 73-74.

6. Блохин A.M., Меражов И.З. Исследование устойчивости электрогидродинамических ударных волн // Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике, посвященный памяти С.Л. Соболева, 1998г., С. 5, Новосибирск, ИМ СО РАН.

НГУ.

Подписано в печать го..ое 1998 г. Формат 60x84 1/16. печ. л. 1.0. Тираж 100 экз. Заказ Л1'?. 276

Отпечатано на участке оперативной полиграфии НГУ 630090, Новосибирск, 90, ул. Пирогова, 2.

Новосибирский государственный университет

На правах рукописи

Меражов Икром Завкидинович

Применение методов математического моделирования к исследованию уравнений электрогидродинамики и переноса зарядов в полупроводниках

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук

профессор Блохин A.M.

Новосибирск 1998

Оглавление

Введение ..............................................3

Глава 1.

Постановка задач об устойчивости ударных волн в электрогидродинамике ...........................18

§1. Стационарный разрыв.......................................................18

§2. Линеаризация уравнений электрогидродинамики и соотношений на сильном разрыве......................................................................23

§3. Постановка основной задачи.................................................28

Глава 2.

Доказательство корректности задач 1-Ш ........34

§1. Расширенная система для задачи 1.1.........................................34

§2. Вывод априорных оценок для задачи 1.1. .....'..............................41

§3. Исследование корректности задачи 1.2......................................55

§4. Исследование корректности задачи III.......................................67

Глава 3.

Численный анализ гидродинамической модели переноса заряда в полупроводниках ..............78

§1. Газодинамическая модель ...................................................78

§2. Гиперболический вариант газодинамической модели ........................83

§3. Вычислительная модель для газодинамической модели .....................86

§4. Вычислительная модель для гиперболического варианта газодинамической модели ...................................................................... 93

§5. Результаты численных экспериментов ......................................97

Литература .........................................125

Введение.

В настоящее время математическое моделирование получило очень широкое распространение в самых разных областях науки. Огромная сложность наблюдаемых в природе явлений делает невозможным их непосредственное изучение, поэтому вместо интересующего нас явления приходится изучать его модель, в которой отражены все существенные черты данного явления. При описании различных физических явлений часто используются гидродинамические модели; их общность с хорошо изученной моделью газовой динамики позволяет применить разработанные для нее методы к исследованию различных моделей гидродинамики. В частности изучение математических моделей возникающих в релятивистской гидродинамике, магнитной гидродинамике, сверхтекучей жидкости, радиационной гидродинамике, показало, что в ряде случаев систему уравнений описывающую ту или иную модель можно симметризовать (см.[1]), что, в свою очередь, позволяет использовать математически развитую и продвинутую теорию симметрических ¿-гиперболических (по Фридрихсу) систем (хотя на самом деле из-за сложности задач, возникающих на практике, часто требуется дальнейшее нетривиальное развитие этой теории).

Цель данной работы - теоретическое исследование математической модели, возникающей в электрогидродинамике ( этому вопросу посвящены первые две главы диссертации), а также численное исследование модели, описывающей явление переноса зарядов в полупроводниках (в третьей главе).

В последние годы резко возрос интерес к изучению течений сред с объемным зарядом. Дело в том, что заряженные частицы часто появляются в потоках в результате взаимодействия с обтекаемыми телами. Особое значение имеет изучение электризации, возникающей при движении нефти и продуктов ее переработки по трубопроводам (см.[6],[7]). Решение проблемы электризации и снятия зарядов с летательных аппаратов также имеет важное практическое значение. При этом во мно-

гих случаях магнитное поле не влияет на движение среды. Изучение движения среды с объемным зарядом в электрическом поле и составляет предмет исследований электрогидродинамики. В обзоре [3] подробно описан широкий круг проблем и приложений электрогидродинамики, а также приведен список работ, в которых формулируются основные предположения, использующиеся при построении математических моделей, описывающих движение сплошной среды с объемным зарядом в электрическом поле. В данной диссертации рассматривается модель, которая описывает движение сплошной среды в электрическом поле. Среда состоит из нейтрального газа и положительно заряженных ионов, причем концентрация ионов много меньше концентрации нейтральных частиц. Пренебрегая вязкостью и теплопроводностью, выпишем уравнения электрогидродинамики. Уравнение неразрывности

(Н + (Иу(ри) = 0, (0.1)

где р — плотность сплошной среды; и = («1, и2, г/з)* — ее скорость (символ "звездочка"означает транспонирование). Векторное уравнение движения

(ри)< +сИуП = 0, (0.2)

где П — тензор плотности потока импульса с компонентами

Щ = рщик + р8{к - Р1к (г, к — 1, 2, 3).

Компоненты Р{к максвелловского тензора напряжений Р имеют вид (см.[2]):

где р — давление, Е = Еъ, Е^)* — напряженность электрического поля.

Уравнение энергии

(ре)4 + а^ = (1,Е); (0.3)

где е = во + ||и|2; ео — внутренняя энергия; ^^ = (И7*!, И^, И^)* = /щ(е + руу, v = i/р— удельный объем.

Уравнение сохранения заряда

+ сПуЗ = 0; (0.4) где I — плотность тока; ц — заряд.

Уравнения Максвелла для электрического поля в электрогидродинамическом приближении

сНУЕ = 4тгд; (0.5)

гс^Е = 0. (0.6) Термодинамические переменные связаны соотношением Гиббса

Тд,8 = д.еъ+рдУ (0.7)

(з — энтропия; Т — температура). Из (0.7) вытекают равенства

р = -(е0)у = р2{ео)р] Т = (е0)5. (0.8)

Плотность тока Я связана со скоростью и и напряженностью электрического поля Е законом Ома

Л = д(и + ЬЕ) (0.9)

(где постоянная Ь > 0 есть так называемая подвижность (см.[12],[3])). С учетом уравнения состояния

е0 = еь(/м);

равенств (0.8) и закона (0.9) можно рассматривать систему (0.1)—(0.6) как систему для нахождения компонент векторов и = (р, и*)*, Е и заряда д. В диссертации исследование уравнений электрогидродинамики проведено для случая политропного газа.

Рассматриваемая модель обладает рядом математических преимуществ с точки зрения теории дифференциальных уравнений. В самом деле, уравнения Максвелла (0.5), (0.6) сводятся к одному уравнению Пуассона для скалярного электрического потенциала ср:

А(р = -4тгд; (0.10)

и в силу этих же соотношений (0.5), (0.6) векторное уравнение (0.2) можно переписать так:

(ри), + <1М1 = дЕ; (0.11)

где П — тензор плотности потока импульса с компонентами Пг£ = рщщ + р5ц;. Система (0.1), (0.11), (0.3) является системой уравнений газовой динамики (с правыми частями), которую можно переписать в недивергентном виде

рс2 сИ с2Т

йэ , а . .о

й д

где -— = —- + (и, V); с2 = (р2(ео)р)р — квадрат скорости звука в газе а ь с/ с

(см.[17]). Система (0.12) может быть записана в симметрическом виде

(0.13)

¿=1

где В= и) = с!1а§-(1 /(рс2), 1, р, р, р) — диагональная матрица; В(к) = В(к)( ^

— симметрические матрицы; Е = Е(и,Е,д) — вектор правых частей (матрицы и вектор Е без труда могут быть выписаны). Естественно предполагать, что термодинамические величины удовлетворяют неравенствам р > 0, (р2(ео)р)/, > 0. Тогда матрица Вположительно определена, и, следовательно, система (0.13) — симметрическая ¿-гиперболическая (по Фридрихсу)(см.[18],[20]) . Итак, с точки зрения теории уравнений с частными производными рассматриваемая модель состоит из симметрической ^гиперболической системы для р, 5, ад, уравнения для q и уравнения Пуассона для потенциала электрического поля (р.

При исследовании гидродинамических моделей огромное значение имеет исследование сильных разрывов. Такие разрывы встречаются во многих течениях, которые изучаются в механике сплошных сред и представляют большой практический интерес. Сильный разрыв - это

поверхность в поле течения среды, при переходе через которую макроскопические параметры среды изменяются скачкообразно. Наиболее часто встречающимся сильным разрывом является ударная волна. Отметим, что сплошная среда после ударной волны подчиняется тому же уравнению состояния, что и среда перед ней. Зона, внутри которой происходит переход от одного физического состояния к другому, имеет конечную, но чрезвычайно малую толщину (порядка нескольких длин свободного пробега). Однако для решения многих задач не требуется подробно знать физические условия внутри переходной зоны. Часто оказывается возможным адекватное описание этого явления путем рассмотрения ударной волны как математического разрыва непрерывности. Итак, математически ударная волна - это поверхность в сплошной среде, которая перемешается с течением времени по частицам среды и на которой параметры среды терпят разрыв первого рода, оставаясь непрерывными с каждой стороны от поверхности. Величины разрывов параметров среды не могут быть произвольными, но с необходимостью удовлетворяют соотношениям, которые получаются из законов сохранения и уравнений Максвелла в интегральной форме.

Если поверхность сильного разрыва задается уравнением

где х = (ж^х'), х' = (.г"2,£з), тогда на этой поверхности должны выполнятся следующие соотношения

/(*,х)=/(*,х')-я 1 = 0,

(0.14)

Мр] - [рщ] + /х2[рщ] + /Хз[рщ] = о,

АЫ - [йн] + ЛэРИ + /,3[п3г-] = о (2 = 1,2,3),

Ь[ре] - [ТУх] ' д. / [цг3] = 0,

(0.15) (0.16) (0.17)

(0.18)

(0.19) (0.20)

= -47ГСГ,

[^]+Л,И = 0 (к — 2,3),

где

^ = (Л,К); £^ = (Е,1Ч); N = —^(-1, Да, Д3)*;

1

IV/! = /Г+Ж+Ж;

N — нормаль к поверхности (0.14). Кроме этого, мы использовали обычное обозначение

[14 = ^ - ^со!

где Г- значение величины ^ справа, при / —> —0, ^— значение величины Е слева, при / —> +0 от поверхности разрыва. Кроме того, для ударной волны ] ф 0, [р] 0, где ] = р{идг — 1)дг), аддг = {и, И), =

-шл

При получении соотношений (0.17)-(0.20) предполагалось, что на поверхности (0.14) существует поверхностный заряд а = стН^х'), и в соответствии с рекомендациями из [3],[12] мы пренебрегли величиной поверхностного тока. Система соотношений (0.15)-(0.20) является замкнутой при заданной величине а.

При численном изучении ударных волн неизбежно возникает вопрос об их структурной устойчивости. Дело в том, что структурно неустойчивая ударная волна при малом возмущении ее фронта разрущается или распадается на несколько ударных волн. Численное исследование таких волн невозможно, поэтому прежде чем переходить к численному исследованию ударных волн необходимо решить вопрос об их структурной устойчивости. Физическая постановка задачи об устойчивости ударной волны состоит в следующем (см.[20]). Пусть сверхзвуковой стационарный поток газа отделен от дозвукового стационарного потока газа поверхностью сильного разрыва - ударной волной (с уравнением х\ =0). Пусть в начальный момент времени на фронт ударной волны накладывается экспоненциальное возмущение, а набегающий поток остается невозмущенным. Спрашивается, как поведет себя возмущение с течением времени?

Существуют различные подходы к изучению устойчивости сильных разрывов в механике сплошной среды. В газовой динамике первое теоретическое исследование устойчивости плоской ударной волны произвольной интенсивности, распространяющейся в неограниченной среде, было осуществлено в 1954 году С. П. Дьяковым [19]. Суть предложенного С. П. Дьяковым метода состоит в следующем. Сначала система уравнений газовой динамики и условия на сильном разрыве лине-

аризуются относительно постоянного решения. Затем формулируется некоторая смешанная задача и решение этой линеаризованной задачи ищется в экспоненциальном виде. В результате можно получить так называемое характеристическое уравнение частот. Исследуя это алгебраическое уравнение, Дьяков указал области устойчивых и неустойчивых состояний. В последствии С. В. Иорданский и В. М. Конторо-вич уточнили и дополнили результаты работы Дьякова. В 1967 году Зайдель предложил метод решения смешанной задачи для линеаризованных уравнений, основанный на применении преобразования Лапласа. При этом начальные возмущения могут быть произвольными вдоль одной из пространственных координат (той, которая соответствует нормали к фронту ударной волны). Несколько позже в работе [20] для исследования устойчивости ударных волн был развит метод диссипативных интегралов энергии.

В диссертации использован подход А. М. Блохина (см.[20]), примененный к исследованию задачи об устойчивости ударных волн в газовой динамике. Этот подход заключается в том, что мы формулируем некоторую линейную смешанную задачу, корректность которой изучаем с помощью техники диссипативных интегралов энергии. Если эта смещанная задача окажется корректной, то соответствующий разрыв устойчив и будет существовать как физическая структура. В противном случае разрыв неустойчив и малые возмущения вынуждают его прекратить свое существование даже за незначительное время. Отметим, что в газовой динамике эта методика позволила также перенести результаты исследования линеаризованной задачи на квазилинейные уравнения для изучения гладких течений в окрестности гладкой ударной волны. Для таких течений удалось с помощью построенных диссипативных интегралов энергии доказать теоремы существования и единственности в малом по времени. Также необходимо отметить, что с помощью техники диссипативных интегралов энергии удалось получить ряд важных результатов при исследовании устойчивости ударных волн в релятивистской гидродинамике, гидродинамике сверхтекучей жидкости, в радиационной гидродинамике, в магнитной гидродинамике.

В диссертации рассматривается стационарная электрогидродинамическая ударная волна с малым скачком напряженности электрического поля. Для исследования структурной устойчивости этой волны формулируется линейная смешанная задача, которая получается путем линеаризации уравнений электрогидродинамики (0.4), (0.5), (0.6), (0.12) и соотношений на сильном разрыве относительно рассматриваемого кусочно-постоянного решения. В результате для возмущений неизвестных величин р, 5, и, д получится две симметрические I - гиперболические (по Фридрихсу) системы (слева и справа от разрыва), а нахождение возмущения напряженности электрического поля Е сводится к нахождению возмущения потенциала электрического поля (р. При этом все перечисленные искомые величины связываются граничными условиями. Необходимо также найти Е и О — возмущение ударной волны и поверхностного заряда на ней, для нахождения которых используются два соотношения из граничных условий. Для корректности нашей задачи необходимо проверить, правильно ли задача поставлена по числу граничных условий. Изучение этого вопроса выявило, что возможны несколько вариантов задачи в зависимости от направления тока, возникающего после возмущения ударной волны и поверхностного заряда. Правильно поставленной задача оказывается в тех случаях когда ток течет: 1) через разрыв вниз по потоку без возмущения поверхностного заряда на ударной волне, 2) через разрыв вверх против потока также без возмущения поверхностного заряда на ударной волне, 3) слева и справа в сторону ударной волны, создавая возмущение поверхностного заряда на ней. Все остальные варианты задачи оказывается неправильно поставленными по числу граничных условий, и следовательно, описываемые ими ударные волны являются неэволюционными.

Доказав существование, единственность и непрерывную зависимость решения от начальных данных, мы, тем самым, докажем, что основная задача поставлена корректно, а это значит, что рассматриваемая ударная волна устойчива, как физическая структура. Для получения априорных оценок, необходимых для доказательства корректности основной задачи, применена техника диссипативных интегралов энергии к смешанной задаче для ¿-гиперболических систем и преобразование Фурье

для определения <р .

Приведем основную идею техники диссипативных интегралов энергии.

Определение 1. Система п уравнений первого порядка с вещественными коэффициентами

¿ои* + £ Акихк = 0 ; (0.21)

к=1

где Аа - квадратные матрицы порядка п, а = 0,3, называется симметрической ¿-гиперболической (по Фридрихсу), если матрицы Аа, а — 0,3, симметрические, а матрица Л о к тому же положительно определена.

Умножим скалярно (0.21) на 2U и получим равенство

(Аои,Щ+Е(А»и,и)Хк=0.

к=1

Предполагая, что |U| = (U,U)1//2 —>■ 0 при х\ —> оо и |х'| —> оо и интегрируя это соотношение по области R/j., приходим к уравнению

p(t)- J (АМЪ^М- 0, (0.22)

R-

где

I(t)= J (AoU,U)dx. R+

Для системы (0.21) рассмотрим смешанную задачу с диссипативны-ми граничными условиями.

Определение 2. Граничные условия для симметрической системы (0.21) при х\ = 0 называются диссипативными, если для всех ненулевых векторов U, удовлетворяющих граничным условиям, выполнено неравенство

-(AiU,U) >0. (0.23)

xi=0

Если выполнено неравенство (0.23), интеграл (0.22) называется дисси-пативным интегралом энергии. В этом случае (0.22) можно заменить

интегральным неравенством

т < 7(°) •

Следовательно, имеет место априорная оценка

НиМН^^СНиоП^кз);

(0.24)

где С > 0 — некоторая постоянная, не зависящая от вектора и. Из оценки (0.24) следует, что смешанная задача для симметрических ¿-гиперболических систем корректна