автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Теоретическое и численное исследование одной модели слоистых структур

4845232

/Р

а,

СЕМЕНКО РОМАН ЕВГЕНЬЕВИЧ

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОЙ МОДЕЛИ СЛОИСТЫХ СТРУКТУР

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических аа.ук

Барнаул - 2011

1 2 МАЙ 2011

4845232

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Новосибирского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математичкских наук,

профессор Блохин Александр Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математичкских наук,

профессор Данилов Владимир Григорьевич

доктор физико-математичкских наук, профессор Пышнограй Григорий Владимирович

Ведущая организация: Московский государственный университет

Защита состоится 20 мая 2011 года в 12:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.005.04 при ГОУ ВПО "Алтайский государственный университет" по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина, 61.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО "Алтайский государственный университет" по адресу: 656049, г. Барнаул, пр. Ленина, 61.

Автореферат разослан " ^ ^ " апреля 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н., профессор ,--- С.А. Безносюк

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Извести«, что проблема повышения отдачи нефтяных пластов имеет важное значение для современной энергетики. Трудность решения этой проблемы заключается в том, что в процессе эксплуатации в трещиноватых зонах коллекторов формируются водонефтяные слоистые системы, которые, блокируя транспортную структуру коллекторов, выводят значительные нефтеносные области из режимов водного вытеснения. Восстановление проницаемости коллектора возможно лишь в условиях разрушения слоистых водонефтяиых структур. Соответственно, возникает необходимость исследования различных возможных способов разрушения этих слоистых структур.

По своей природе водонефтяные слоистые структуры являются анизотропными жидкостями, сходными со смектическими жидкими кристаллами, поэтому для их моделирования разумно использовать так называемый континуальны« подход, восходящий к работам Л.Д. Ландау по теории сверхтекучею гелия II. В настоящее время на основе этого подхода построены модели, описывающие гидродинамику слоистых структур, состоящие из законов сохранения массы, импульса, энергии и энтропии.

В работах В.Н. Доровского, C.B. Доровского в качестве одного из возможных способов разрушения слоистых структур был рассмотрен параметрический резонанс, возникающий при возмущении внешней границы системы. Однако уже первые исследования возможности организации параметрического резонанса с помощью акустического воздействия указывают на проблему переноса силового воздействия в толщи нефтеносных коллекторов. В этой связи следует отметить, что силовое воздействие, по-видимому, проще обеспечить методами электроразведки. Дело в том, что водонефтяные слоистые системы являются анизотропными диэлектриками, слабо проводящими электрический ток. Следовательно, можно обеспечить воздействие на слоистые структуры со стороны электрических полей, что должно быть легче осуществимо, чем акустическое воздействие внешней границы. Однако в работе также исследуется возможность разрушения слоистых структур при помощи внешнего акустического воздействия.

В данной диссертации рассмотрено несколько способов разрушения слоистых структур. Математическая модель, описывающая элоктрогндродина-мику слоистых диэлектриков строится при помощи континуального подхода и представляет из себя систему законов сохранения, а также уравнения Максвелла. В качестве возможных способов разрушения слоистых структур исследованы ударные волны, электродинамическая неустойчивость слоистых систем при протекании переменного электрического тока малой амплитуды и параметрический резонанс, возникающий при акустическом воздействии внешней границы.

Цель работы. Основной целью данной диссертации является исследо-

вание различных способов разрушения водонефтяных слоистых структур в присутствии электрического тока. Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

- построение математической модели, описывающей электрогидродинамику слоистых структур.

- постановка задачи для линеаризованных уравнений системы и исследование свойств ее решений.

- формулировка линейной начально-краевой задачи об устойчивости ударных волн в слоистых структурах. Поиск частных экспоненциальных решений этой задачи.

- построение линейной задачи для слоистых структур при протекании электрического тока достаточно малой амплитуды. Исследование поведения решений этой задачи, поиск растущих частных решений.

численное исследование параметрического резонанея в слоистых структурах при акустическом возмущении внешней границы.

Объектом исследования являются водонефтяпые слоистые структуры: устойчивость ударных волн, электродинамическая неустойчивость при протекании переменного электрического тока, параметрический резонанс, возникающий при внешнем акустическом воздействии со стороны открытой поверхности.

Предметом исследования являются математические модели слоистых структур: линейная начально-краевая задача об устойчивости ударных волн, линейная задача при протекании переменного электрического тока, нелинейная смешанная задача для малых (по сравнению с поперечным масштабом системы) колебаний макроскопического слоя, обусловленных внешним акустическим воздействием со стороны открытой поверхности, при наличии достаточно малого градиента концентрации присутствующего в системе газа.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались аппарат функционального анализа, теории дифференциальных уравнений, методы вычислительной математики.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Построение модели электрогидродинамики водонефтяных слоистых структур с электрическими токами, в присутствии электрических и магнитных полей, получение электрогидродинамического приближения для этой модели.

2. Исследование задачи для уравнений, линеаризованных относительно постоянного решения.

3. Поиск растущих частных экспоненциальных решений задачи об устойчивости ударных волн в линейном приближении для слоистых структур.

4. Доказательство линейной неустойчивости (по Ляпунову) слоистых структур при нроте.кании электрического тока достаточно малой амплитуды.

5- Численный анализ параметрической неустойчивости слоистых структур.

Научная новизна работы. Основные результаты настоящей диссертации являются новыми и состоят в следующем.

Применен континуальный подход для построения модели, описывающей гидродинамику газосодержащих водонефтяных слоистых систем.

Получены уравнения электрогидродинамики для слоистых систем. Для упрощения модели применено электрогидродинамическое приближение.

Исследована задача для линеаризованных уравнений модели.

Построена линейная начально-краевая задача, описывающая сильные разрывы типа ударных волн в слоистых структурах при наличии электрическою ноля. При помощи нахождения растущих решений; показана неустойчивость ударных волн в линейном приближении в рамках данной модели слоистых структур.

Исследована возможность организации электродинамической неустойчивости слоистых структур при протекании электрического тока достаточно малой амплитуды. Найдены случаи, когда решения задачи для слоистых структур при наличии переменного тока неограниченно возрастают со временем, что означает неустойчивость данных режимов течения, то сеть, с физической точки зрения, разрушение слоистых структур.

Численно обоснована возможность организации параметрического резонанса в слоистых структурах при акустическом возмущении внешней границы.

Все алгоритмы реализованы в виде комплекса прикладных программ, написанных на языке Object Pascal в среде Delphi 6.

Обоснованность и достоверность результатов. Обоснованность и достоверность результатов, полученных в диссертации, обеспечивается анализом исследуемой модели, исследованием корректности поставленных задач, теоретической проработкой вычислительных алгоритмов.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты могут являться основой для разработки практических методов разрушения водонефтяных слоистых структур в коллекторах, что будет способствовать повышению отдачи нефтяных пластов.

Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались в рамках семинаров, проводимых под руководством чл.-корр. РАН В.Г. Романова, проф. Г.В. Деми-денко, проф. B.C. Белоносова в институте математики им. С.Л. Соболева СО РАН, семинаров иод руководством чл.-корр. РАН П.И. Плотникова, чл.-корр. РАН В.В. Пухпачева, академика РАН JI.B. Овсяииикова в институте гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, а также на следующих конференциях:

1. Международная конференция "Проблемы механики: теория, экспери-

мент и новые технологии"(ИТПМ, Новосибирск. 2007).

2. "Международная научная студенческая конференция"(НГУ, Новосибирск. 2008).

3. "Международная научная студенческая конференция "(НГУ, Новосибирск. 2009).

4. Всероссийская конференция "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования"(Воронеж, 2009).

•5. Международная конференция "Hyperbolic problems: Theory, Numerics and Applications"(Beijing, 2010).

б. Международная конференция "Лаврентьевские чтения"(ИГиЛ, Новосибирск, 2010).

Публикации По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ, куда входят 2 статьи в журналах, рекомендованных ВАК, 1 - в международном журнале.. 0 в тезисах всероссийских и международных конференций.

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, трех глав, двух приложений и списка литературы из 37 наименований. Объем работы 159 страниц.

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы исследования, дается обзор исследований, проделанных по этой проблеме, излагаются дели и краткое содержание диссертации. Формулируются основные результаты, выносимые на защиту.

Глава 1 данной диссертации посвящена построению математической модели, описывающей электрогидродинамику слоистых диэлектриков в присутствии сторонних зарядов. В первом разделе приводится система гидродинамических уравнений в обратимом приближении для газосодержащих слоистых систем. В основу способа получения этих уравнений положен континуальный подход. Смесь воды, нефти и газа рассматривается как одно-скоростной слоистый континум и констатируется справедливость законов сохранения массы, импульса, энергии и энтропии:

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

pt + div(pv) = 0, (pC)t 4- div{pCv) = О,

(la) (lb)

з

(1С)

fc=l

(¡>s)t + div{psv) - 0,

(Id)

М2 1

+ +divQ = 0. (lc)

Здесь x — (х1,х-2-Хз) = (x,y,z) - радиус-вектор, p - плотность слоистого континуума, v = (i'i, V2, г>з) - вектор скорости среды, С - массовая концентрация газа, р - давление, 5 - энтропия, ео - массовая внутренняя энергия, = (v.г?), Oik - тензор напряжений, Q = (Qi,Q2;Qs) - вектор потока энергии.

Предполагается, что в равновесии все слои параллельны, ось координат г направлена вдоль нормали к равновесному расположению слоев. При отклонении от равновесия форма слоев может изменяться, поэтому при макроскопическом описании слоистых структур нужно ввести вектор смещения слоев, который имеет одну компоненту и и направлен вдоль оси г, так как смещение слоя имеет смысл рассматривать только в направлении нормали к нему. Также вместо вектора смещения можно ввести числовую функцию w, которая определяется как явное выделение каждого отдельного слоя, то есть

w(x, 1) = const

задает положение пространстве и эволюцию во времени некоторого смекти-ческого слоя. Другими словами,

w(x,t) = в.

Здесь 0 параметр, идентифицирующий слои.

Уравнение поверхности можно переписать и в такой форме:

х = ж (u,t,0).

Здесь и — (ui,иг) - координаты на поверхности в. Следовательно

w{x{u,tj),t) = в

и

- искомое уравнение, причем

дх,

- вектор скорости среды (см. выше).

С учетом уравнения (1а) выражение (2) можно переписать в дивергентном виде:

(pw)t + div(pvuv) = 0. (3)

Расположение слоев в осях координат изображено на рисунке 1.

Рис. 1: Расположение слоев относительно осой координат

Наконец, постулируется первое начало термодинамики для слоистых структур:

(1г0 = Тйз-рАУ + У{(.МЬ) + г ОС + Ф ¿{А-ш) + {{.¿а)}, (4)

где Т - температура,

- удельный объем, Ь = (ЬьЬ2,Ьз) -- V«;, £о = ео + УЕ0,

е0 = с-о{У, л, С) - уравнение состояния,

+ Ь№, а)2 - (а|2) + аЧ - 1) }

- объемная плотность "поверхностной упругой энергии"деформируемой слоистой структуры,

В,М(> 0).а(< 0) - некоторые постоянные, С1 — ч{У^э)' плотность слоев структуры.

£f = (d1.d2.d3) = щ,

а = (й1,а2, аз) = VC,

а = <т(С)(^ 0) - "поверхностное натяжение".

(5)

-1—Ц—-((Ь,а)а - а Ь) + (<¿1, ¿2,—^--

<Г о3 \ аз

2 = р(е0)с + - |а|2) + a'q (J- - l) ,

_ Ar A Ф = -xAw, Я

3 ,г

A - оператор Лапласа: Д = £ gr,

fc=i ~k

P = -(eo)v-£o-V(£fl)v/) (6)

-- Pp = -^V- = + 2(£?0)v + V{Eo)vv} 0)

- квадрат скорости звука.

q & q

+a{a')2\b\4{d, a)2 - |a|2)} + - 1), ft = V, s ,

«3

<Г 2 qi

ч d3

Компоненты cr^fc тензора напряжений н вектор Q = потока

энергии определяются из того факта, что, как и принято и гидродинамике, закон сохранения энергии является следствием остальных уравнений системы.

Второй раздел просвяхцен построению модели анизотропных слоистых диэлектриков. Модель, полученная в первом разделе, модифицируется таким образом, чтобы учесть влияние на среду со стороны электрических и магнитных полей, поскольку водонефтяные слоистые системы по своей природе являются анизотропными слоистыми диэлектриками, слабо проводящими электрический ток:

pt + div(pv) = 0, (8а)

(pC)t + div(pCv) = 0, (8b)

{рщ + -¿Гс[Е'В]гЬ + {р+ |Е|2&г|Б|2 ~ М)Ь' +

- 1 П- 104 (8с)

+ 2^{рт!к - СПк--^- + Ъгк):,к = 0 , г = 1, 2. .3 ,

к=1

п

+ (Иь(рзу) = — , (8с1)

^ + - (£7, Р)и + ) = 0, (8е)

Здесь Е = (£ь£2,£з) вектор напряженности электрического поля, В (В1)52, В;0 - вектор магнитной индукции, Л/ = (Л/1, А/о, Мз) - вектор намагниченности, Н — Яг, Яз) = (В - АпМ) - вектор напряженности магнитного поля, С = (£?1,Д2,£>з) = (£ + 4л-Р) - вектор электрической индукции, П, - диссипативная функуция, £ - полная энергия, с - скорость света.

Также изменяется первое начало термодинамики:

(ка = - рвУ + {Е'ЛТ) - (т',сШ)+

+У{(/, йъ) + ч- Ф<г(Дш) + . (9)

Здесь

= ео 4- УЕо - внутренняя энергия, £о задается формулой (5), со = ео(У,з,С,'Р,В) - уравнение состояния,

Е' = (Е + £[и,13]) - напряженность электрического поля в системе покоя жидкой частицы рассматриваемой среды,

М' = (М + Р)) - намагниченность среды в системе покоя. тп = УМ, т! = УМ'.

Поскольку предполагается наличие электрического и магнитного полей, к системе добавляются уравнения Максвелла:

\дВ „ 1 дВ 4тт .

гоЬЕ =---—, гоШ ----— + —7 , , ,

с д1 с Ш с (10)

(НлЮ — 4тгрк, (Ни В = 0.

Здесь ] - плотность тока, ре - плотность обьемного электрического заряда.

Закон сохранения энергии по-прежнему является следствием остальных уравнений, если определить диссипативную функцию Я и следующим образом:

Егк ~ [В,Р]г— Л,к ~ 1.2,3, , ч

С (И)

Д = (У-/>««),£?').

Поскольку полученная во втором разделе математическая модель является довольно сложной, в третьем разделе строится электрогидродинамическое приближение этой модели. Приближение делается с точностью до членов порядка где с - скорость света, предполагается отсутствие намагниченности и газовой фазы. Предполагается, что уравнение состояния имеет вид:

где Ф = Ф* - постоянная матрица диэлектрической восприимчивости. Здесь

£0 = и + (Е,Т), и = и0 + УЕа, и = и-^(Е,ЕЪ),

Ео - объемная плотность поверхностной упругой энергии. Первое начало термодинамики примет вид:

(117 = Т^ - рйУ + , ЛЬ) + Ф¿(Аги)}.

Здесь

р= (р- = -ф0)у - Ео - У(Е0)у.

Законы сохранения преобразуются к виду:

р1 + ¿Щро) = 0, (12а)

(т)ь + {Р+ —"К, + У- = О.г = 1,2,3, (Г2Ь)

(рв)( +<Й!'(р5«) = (12с)

{р{11+Щ-)^+йИ^ = {з,Е), (12а)

где Я = ре{Е£1, Е), П - тензор проводимости.

й = и + ЕФ).

Уравнения Максвелла в электрогидродинамическом приближении имеют вид:

го1Е = О, (Ц-иИ = 4тг ре,

Зре ■ п (13)

+ ¿IV 3 = О,

т

Проверяется, что закон сохранения энергии по-прежнему является следствием остальных уравнений, что означает непротиворечивость полученной модели.

Глава 2 диссертации в первую очередь посвящена исследованию вопроса о неустойчивости в линейном приближении ударных волн в слоистых структурах в присутствии электрического тока. В первом разделе приводится простое постоянное решение полученной системы уравнений, называемое далее основным:

р = р, в = ,§, г>1 = С'1, г>2 = щ, Уз = 0.

и! = й = дг, (14)

Е = Ё = {Ё1,Ё2,Ё3),Ре = 0.

Здесь р, .§, щ, {'2, Е\, Ё2, Ез - некоторые постоянные, ц — V = 4.

Проводится линеаризация системы уравнений электрогидродинамики слоистых структур относительно этого решения. Поскольку далее более удобно пользоваться безразмерным вариантом линейной системы, проводится обез-размеривание уравнений.

Во втором разделе этой главы исследуется задача Коши для полученных линейных обезразмереппых уравнений. Выделяется подсистема из трех линейных уравнений для величин 1>з - третья компонента скорости среды, р - давление и - плотность объемного электрического заряда:

£2 _ ¿дЛ _ «хДгиз + ЛГДЧ, + = А + АзЬре,

С/Х'з ох;! ахл

» = 1

Ьре+ ( Ре =0-

Здесь

д д д Ь = — + Мх— + Мо-^—,

ОТ ОХ 1 ОХ 2

£■., скорость звука. р = р- | [Ё9, Ё): В, А, 17, М, Ё, Д3, Да, £ некоторые, постоянные. Доказывается теорема о корректности задача Коши:

- - ¿д,„3 + Лтд»«, + рдШ = А + Лз^,

С/Хд С/З^З С'^З

Ьре + I Г-, V 1 Ре - 0;

4=0

= г.'зо(ж).

(=0

¿=0 ¿я

(=0

дъ'з

!н др1

4^0 = Рео(аг)

= Р\ {х),

Корректность задачи Коши доказывается при помощи построения априорных оценок.

Третий раздел посвящен построению задачи об устойчивости ударных волн в слоистых структурах. Рассматривается кусочно-постоянное основное решение для уравнений слоистых структур с сильным разрывом по плоскости х\ = 0, где х = (х1,х2,хз) ~ радиус-вектор:

V = £'2. 0), р — р, 8 — ё.

ш = = V = \,

Р

Ё - (£ь Ё2, Ё3), рк = 0 при I! > 0,

V = (£Чэо, ¿2оо, 0), Р = Рэо, 6- = ос 1 и> ~ (¡ос.г, ¿¡ж = q{V0C, ёх.), Уоь =

(15)

Ё = (¿1оо, Ё-хоо, ¿Зое), Рсоо = 0 при XI < 0.

Приводятся условия на сильном разрыве типа ударной волны для уравнений модели. Уравнения и условия на разрыве линеаризуются и обезразме-риваются. Строятся априорные оценки для некоторых неизвестных величин. В результате, формулируется линейная смешанная задача об устойчивости ударных волн в слоистых структурах (индексом ос обозначаются величины с "левой" стороны от разрыва):

LaolUoc + V3oc = о, (16a)

¿001400 + ^=0, (16Ь)

Lxv3x + = tfooA2«^ - - aj^-, (16c)

J - , dvioc - oc

¿ooPoo + + tfoс = 0, (I6d)

(£?1оо)я-(Язоо)х = 0, (16e)

(Btel.fiioc + (£?3эо)гФззоо = 0;i > 0, (z,z) € Rl; (16f)

Lw + v з = 0, (17a)

L.s = (17b)

L,3 + pf = ЛГД*«, - BX^ - + (17d)

az dzz ox1 az

(17e)

(Fi), - (ЯзЬ = 0, (17f)

(E14>n)x + {E3*33)z = t*Pe, (17g)

Lpe + (). !> О, {x, г)е!;; (17h)

с граничными условиями при t > 0, х = 0, г € Мь

Л = + (18а)

1 — t'i i\i 1

[ш] = О, (18Ь)

, 1 + Af? . Мхй, МгЩЬз i-V -

+ шГ-р " + ~ 2 + Y(1 ~ 2Фи)Е1~

W'fraiff» t И'И'Ф13/: 1 1 + _

--Г~ + —2— = К» + (18с)

ОО

И'оо^осФиооЛ V

t-3 + WVnE3 - ^7-кЬг + ~bx - + И^Фпоо^зоо-

M\ Ml Я3о

Noo , Ьоь , s TT^T-j, , И^ооИ^Фцос

~TT-A6loc + Ti— lo°) = & - w W Фп +-j?-)fz,

Mloo Mix -Кос

Л A2 1 A42 Л/2

(1 + + (Nh{ 1 + + (D - Я^)* + -±Byb3~

Vi Vi V\ Vi

-¿-((1 + MlocMlKx.)px + (Mloc. + MiK^V loo)-

ЛСХ)

Л'/2 -

--—-Byzicchoc = 0, b'l

da; (Mj+Ai)

7П" =--;-Pe,

dt x

-{Ei4?U + + Wi'y.if, + 4irxu/ = A(~(Eixt>lloc + £3эоФз1=о) + Н-'осФ13сс Л). IV fz + E3 = + Еж»)-

(18d)

(18с)

(I8f)

(18g) (18h)

Здесь x = Xi, г = f — f(t, xo, £3) - малое возмущение фронта разрыва, £оо = /^ooi + М1зоА + ЛА-^-vp-, Afi3C = г = 1,2,

С/С ОТ! ОХ 2 е.,ос

Ri = {ж <Е R3, xi < 0}, К3 = {х е К3, xi > 0},

Ох , 1 -

¿ч = -—, А< = Ml--

Vioc ьч

Д. Л/loc = "l тс > г ''2 тс : --, iti2oc = --

^лос- С.ч оо С^ ^

D, Doc, VK, IVoo, И^, 1Уэо. Л некоторые безразмерные постоянные. Наконец, в четвертом разделе ведется поиск бесконечно растущих по времени решений полученной задачи. А именно, доказывается, что у задачи есть нетривиальные решения вида:

( woo \ t'loo i-'3oo Poo Е\СС

V£W

(i,®,*) =

/И'0ос\

Vioc V

' ос \ ^Зоо /

exp{n(rf + гх + гг)}, х < 0,

(19)

fw\

s Щ

V3 p

Ex

E3

W

(t, x, z) =

fw0\

S Vi V3 V

£1 £3

W

exp{n(rt, + Rx + iz)}, x > 0,

(20)

где Wo ОС J Vice. V3 00! Poo, £\oo■ M^O; 5. Vj, l^, P. £1, £3. Re. т, Д-некоторые постоянные, причем:

Де г > 0. Rer > 0: RcR < О, »г - целое число.

(21)

Малые возмущения фронта разрыва и поверхностного заряда ищутся в такой форме:

/(М) = Гехр{пИ + г2)},

ш({, г) = Й ехр{п(т£ 4- гг)}.

Здесь Р. П - некоторые постоянные. Существование у задачи решений подобного вида означает некорректность этой задачи, то есть неустойчивость ударных волн в рамках данной модели слоистых структур. Этот результат означает, что данная модель не способна описать процесс распространения ударных волн в слоистых структурах.

Глава 3 диссертации посвящена исследованию электродинамической неустойчивости слоистых систем в линейном приближении при наличии переменного электрического тока достаточно малой амплитуды, а также параметрической неустойчивости при акустическом воздействии на внешнюю границу. В первом разделе этой главы строится линейная задача об устойчивости слоистых систем. Для этого, система уравнений, полученная в первой главе, линеаризуется относительно следующего основного решения с переменным током, изменяющимся синусоидально:

/>=/>, s = S, 7>! = 0, V2 = 0, t'3 = 0,

w = хЬ = qz, Е = Ё = (О, О, Ё0 sin(wi)), ре = 0.

(23)

Здесь

р, я, Ео - некоторые постоянные, 17 = q(V. я), V = 4. Выделяется подсистема из трех дифференциальных уравнений для величин 113 - третья компонента скорости среды, р давление и ре плотность объемного электрического заряда. При помощи преобразования Фурье, из этой системы получается система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, для которой

ставится следующая задача:

р'с + Á.SÍn(wf)íCJ;3/7e = О,

Щ + (á¡w±|2 + B\2iú¡ + JV|u|4)ú3 + = = él sill2{ujt)iu)3p£ + реАзШ cos(ut), p" + |u>x|2p + /Jiu!3v'3 = ~RiAti'm3(ujf)iu>3pe + RipeiL¡sm(2ijjt), с начальными данными

- ! - r \ I - ! \

lt,=o ot lt=o

(24a)

(24b) (24c)

P

Po(x),

t=0

Pe

t—O

dj¡ dt

= Pe oM.

t=0

■Р1М,

(25)

Здесь

Ка КЗ

в?

€зо(ы)= [¿31 (у) = [ е-2"^г>31(х)<^, Е-ч К3

р(иы) = I е-2™{х*]р{их)<1х,

Р.3

Д,(а7) = I Ш = I е-2я1(х °Р1(х)йх.

Е3 Е-1

Уравнения (24а)-(24с) также получаются, если мы ищем частные решения вида:

Уз(^х) = ехр(г(ш,х))ь3(Г,),

р{Ь,х) = ехр{Цш,х))р{Ь), (26)

Ре(г.ж) = ехр{г{ш,х))ре{1).

Формулируется теорема о том, что решения этой задачи бесконечно возрастают со временем, что означает неустойчивость этих решений.

Во втором разделе главы приводится доказательство теоремы о неустойчивости слоистых систем, приведенной в конце первого раздела. Доказательство проводится методом усреднения. Таким образом, в диссертации доказана неустойчивость в линейном приближении (по Ляпунову) исследуемых режимов течения, то есть электродинамическая неустойчивость водонефтяных слоистых структур при протекании электрического тока достаточно малой амплитуды. С физической точки зрения это означает разрушение слоистых структур при полученных условиях на протекающий электрический ток.

Третий раздел посвящен численном}' исследованию параметрического резонанса б слоистых структурах в отсутствии электрического тока, но при акустическом воздействии на внешнюю границу. Рассматривается следующая задача (в двумерном случае):

ии = + (а + гг)ихх - ^{и2)хх, 0 < г,х < к, t > О,

= 0, м = :=о 1*=* (27)

их = их = О,

1.т=0 т.=тг

- Щ, щ

е=о

= ф).

4=0

Здесь х — XI, г = хз, / - малая амплитуда колебаний "верхней" границы (г = к), ад - частота акустических возмущений, постоянные а и е зависят в конечном итоге от равновесного фона, а также от величин го и В, где ¿о - характерная толщина макроскопического слоя, В - характерный упругий модуль, который в конечном итоге определяется величиной В,

0, при 0 < г < 5 < я,

Таким образом, задача (27) описывает малые колебания макроскопического слоя, при условии, что нижняя граница (г = 0) "жестко" закреплена, а верхняя совершает гармонические колебания малой амплитуды / и с частотой ш.

Для поиска приближенного решения задачи (27) применяется метод прямых. При этом аппроксимируем производные иХ1: и (и2')хх (заметим, что из

граничных условий (27) следует (и2)* = 0) с помощью интерполяци-

11=0,7Г

онного многочлена с узлами интерполяции ху в нулях полинома Чебышева: х= Цягк 1 3 — 1, N. Обозначим = u{t,Xj,z). Тогда формула

интерполирования четной функции иЦ,х,г) будет иметь следующий вид:

N

РМ-^В-1)'-1;

sm Xi

N

• cos{Nx)ui(t, z).

¿=i

cos X — cos Xi 0 < x < 7г.

Используя правило Лопиталя, несложно показать, что

= Uj{t,z), V{xj,v?)=u]{t,z), j = l,...,N. Дифференцируя (28) по х. получим

(28)

дР{х, и)

дх

= О,

дР{х, и7)

дх

= 0,

£=0, я

1=0, 7Г

т.е. интерполяционный многочлен Р{х, и) автоматически удовлетворяет краевым условиям их — 0 и (и2)х = 0.

:Г=0,7Г U=0, «Г

В соответствии с идеей метода прямых, введем в (27) дискретизацию по времени. Для этого используем следующие обозначения:

Uj(z) = u?(z) = Uj(nA,z), üj(z) = ¿¡+1(z) = Uj-((n + 1)Д,г),

йДг) = uj~l(z) = иД(п-1)А,г), t = пД, i = (n +1)Д,п = 0,1/2,...,

Д шаг разностной сетки по времени.

Аппроксимируя производную иц выражением -1X-L—-р-^—а функцию Uj(t, z) - средним арифметическим и обозначая производную

штрихом, получим

}{z) - 2щ{г) + j . üj{z) +üj{z)

Д2

N

+ £ И'ГЧ ¿=1.

+ Mj -щ (z) + щ[

-+

(29)

Здесь

fij =- fij I (а + ez) - ^(üj{z) + йДз))}, kj = bij {(а 4- ez) - e~(üt(z) + й,-(г))} .

Пусть Ф(2) =

/ иЦг) \

и2(г)

\ uN(z) /

ш

f Ül(2) \ й2(г)

V /

, Mz) =

( t~4(z) \ й2(г)

V üN(z) J

- вектора, компоненты которых - значения неизвестной функции в узлах интерполяции и на соответствующих временных слоях. Тогда (29) преобразуется к виду

Ф"

ВФ + ВФ- -тгФ = ВФ + т. Д2

(30)

Здесь В = B(z, Ф, Ф) = (m(z, Ф, Ф) + В{г, Ф, Ф)) - матрица, Т = J={z, Ф, Ф, Ф) = (ВФ - ¿гФ) - вектор,

. /1. 1 1. 1

т = drag [ -щ + —,..., + ^

В

( о &12

Ьо 1

о

V>1 N í>2 N

l>Nl\ bN 2

0 )

Исходя из условий на границах г = 0, тт задачи (27), выпишем граничные соотношения для векторного уравнения (30):

/ 0 \ / / sin (wí) \

Ф(0) = ... , Ф(тг) = ... . (31)

V 0 / V /sinИ) /

На практике удобно искать приближенное решение краевой задачи (30), (31) на каждом временном слое в виде интерполяционного кубического сплайна класса С2 :

S(z) = (1 - т)Фк + тФк

fc+i-

hl

r(l-r)((2-r)mfe + (l+r)mfc+1],

(32)

где

- 2fc

. г € [zk,zk+i],

zk = khz, к = б, К — 1, Khz = тт,

Фк = Ф(г*,), mfc = ф"{гк). ^ _

Для нахождения сеточной вектор-функции Фк. к = 0, К применяется метод матричной прогонки.

В ходе вычислений возникал скачкообразный рост значений неизвестной функции, обусловленный нелинейностью задачи: норма решения становилась слишком большой, что вызывало переполнение буфера и остановку работы программы прежде, чем удавалось обнаружить явление параметрической неустойчивости. Для решения этой проблемы применяются итерации по нелинейности. Основная идея алгоритма, базирующегося на

итерациях по нелинейности, состоит в том, чтобы пересчитывать значения параметров и переменных задачи по формулам, предназначенным для перехода на следующий временной слой, но оставаться при этом на текущем слое.

При проведении численных расчетов на базе предложенного алгоритма возникают также пространственные коротковолновые колебания значений неизвестных задачи. Эти колебания не имеют никакого физического смысла и являются исключительно эффектом вычислительной схемы. Чтобы избавиться от этих колебаний, применяется нелинейное сглаживание. Расчеты проводились на сетке с узлами (х^.гь) и шагами 1гх = 77, = Пусть - значение неизвестной функции и в точке где г* - одна из гори-

зонтальных прямых 2 = с;„, к = 0,.... К. Тогда фильтр нелинейного сглаживания выглядит следующим образом:

(г;,)., (33)

где _ - _ — —

= вgj + /V, = -вд}+1 + ЛГ,

N - ¿Ы- ЩЬ}), ^ = ^Р¿Ш Щ^+г)-

Здесь 0 < 0 < 5, А > 5 -• постоянные (см. таблицу), = Р(а1,...,ат) = тах{0,тт{а1, ...,ат)}, - дискретные значения ком-

поненты дпосле применения нелинейного сглаживания (33). Величины в и А связаны неравенством 20(1 + А) < 1. При этом и <7у имеют одно

направление роста.

Расчеты с использованием (33) проводились вдоль каждой прямой а* =

к — 0,.... К (продольное сглаживание). Фильтр, подобный (33), был применен также для нелинейного сглаживания неизвестной функции вдоль оси л (поперечное сглаживание). Необходимо отметить, что для того, чтобы полностью избавиться от нежелательных коротковолновых колебаний, нужно применять фильтр нелинейного сглаживания через каждые 2-10 шагов по времени.

Для проведения расчетов с помощью предложенной схемы необходимо задать значения физических и численных параметров задачи. В таблице приведены описания этих параметров и их значения, которые использовались при проведении серии численных расчетов:

Физические и численные параметры

и) Частота внешнего воздействия 2,978 - 2,9844

а Коэффициент уравнения (20) 1

/ Амплитуда акустических возмущений 0,3142

с Параметр уравнения (20) 0,0127 - 0,0191

N Количество узлов сетки по оси х 10-80

К Количество узлов сетки по оси г 10 80

Ъь Количество итерации по нелинейности 1 - 10

Нелинейное сглаживание применяется через каждые пвд1а шагов 2-10

е Параметр нелинейног о сглаживания 0,1

А Параметр нелинейного сглаживания 1

Д Шаг сетки по времени 0,01 - 10

8 Параметр начальных данных ¡р(г) 2,827

В результате численных экспериментов установлено; что явление параметрической неустойчивости наглядно проявляется, когда шаг А лежит в интервале от 1,3 до 1,412. При изменении Д в диапазоне от 0 до 1,3 абсолютное значение х, г) быстро растет, что вызывает переполнение буфера и остановку работы программы на первых шагах по времени. Если же Д > 1,412, то колебания решения и{1, х, г) носят циклический характер и имеют постоянную амплитуду.

В ходе экспериментов вычислялась зависимость

1>п(х:2) = / и{Ь,х, г)--:-

вт олт

в моменты времени I = пА. Обозначим Усеп(ег^) = ип(%, Также в ходе расчетов вычислялась и[Ь,х,г), где п — 0,1.2,... . На рис. 2-4 приведены графики зависимости 1'сепгег(£) при различных значениях параметров, а на рис. 5 изображена функция и (¿, х, г) на соответствующе.м временном слое.

I I

100

I so 5

1 0

S3

•50 -100

' 0 98 222.6 354.2 485,8 617.4 700

I \

I Рис. 2: График зависимости ь'се1иег^). полученный при расчетах с парамет-

I рами N - 40: К = 30, ш = 2,978, 0 < п < 500.

о

-ico аоо -2<ю ш •ж от

-400 ООО 5 -ш 003 £ -бос- OOÖ 000 •Ш QQQ -800 000 -t (¡06 ш

•5 100' 000 А 2«3 КЮ

0 257,6 583,80 S10 1253 ISO?

t

I Рис. 3: График зависимости vcenter(t): полученный при расчетах с парамет-I рами N = 40, К = 30, и = 2,978, 0 <п< 1148.

1547,1

4282,17

в717,24

§132,31

11280

10 0« ьт

8 OOS 4 ООО

гт о

>' -2 000 >4 006 •4 ООО «8 00.0 .«000

Рис. 4: График зависимости vcmter(t), полученный при расчетах с параметрами N = 20; К = 15, w = 2,9812; 0 < п < 8000.

Рис. -5: а) Функция х, г) на n-м временном слое при п = 5000, полученная в ходе расчетов с параметрами N = 80, К = 70 .и — 2,978; Ь) - сечение функции и(t,x,z) плостью х = 0,039.

■ '■Г..Ю

Ш/ ■ж-

■ yj У; -

ij-^ПЛт

Для проведения расчетов был разработан комплекс прикладных программ, предназначенный для поиска решений 1D и 2D нестационарных смешанных задач. Алгоритмы, реализованы на языке Object Pascal в среде Delphi 6.

Стоит отметить, что параметрическая неустойчивость, обнаруженная в расчетах, наблюдается при небольших амплитудах. Поскольку предполагается, что система сильно газирована, подобные возмущения представляются реальными.

В Приложениях 1,2 в конце диссертации приведены подробные выкладки, поясняющие процессы линеаризации и обезразмеривашш уравнений электрогидродииамики слоистых структур, а также условий на сильном разрыве для них.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, д.ф.-м.н., профессору A.M. Блохииу, за постановку задачи, постоянное внимание" и помощь в работе, а также Б.В. Сомисалову за обсуждение ц помошь л реализации вычислительного алгоритма.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

В рецензируемых журналах рекомендуемых ВАК:

|1] Блохип A.M., Семенко P.E. "Об устойчивости ударных волн в слоистых сдрутурах в присутствии электрического тока". Вестник НГУ. Серия: математика, механика, информатика. 2008. Т.8, вып. 3. С. 20-49.

[2] Блохин A.M., Семенко P.E. "Устойчивость слоистых систем в присутствии электрического тока". Вестник НГУ. Серия: математика, механика, информатика. 2009. Т.9, вып. 1. С. 24-34.

В международных журналах:

[3] Blokhin A.M., Seraenko R.E. "On the stability of shock waves in layered structures at the presence of the electric current". Quart. Appl. Math. 67, 2009, 441-475.

В тезисах всероссийских и международных конференций:

|4| U.E. Scmciiko. "Layered structures: instability of the shock waves and electrodynamical instability". Hyperbolic problems: Theory, Numerics and Applications. Beijing, 2010, p. 99.

[5] Семенко P.E. "Слоистые структуры: неустойчивость ударных волн и электродинамическая неустойчивость". Лаврентьевские чтения. Новосибирск, 2010, с. 81.

[6] Семенко P.E. "Слоистые структуры: неустойчивость ударных волн и электрогидродннамическая неустойчивость". Международная научная конференция "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования г. Воронеж, 2-7 февраля 2009, с. 95.

[7 ]Семенко P.E. "Слоистые структуры: неустойчивость ударных волн и электрогидродинамическая неустойчивость". Материалы XLVI международная научная студенческая конференция "Студент и научно - технический прогресс секция: математика. Новосибирск. 2009, с. 23.

[8] Семенко P.E. "Устойчивость ударных волн в слоистых структурах в присутствии электрического тока". Материалы XI.V международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс секция: математика. Новосибирск, 2008, с. 67.

[9] Блохин A.M., Семенко P.E. "Гидродинамика водонефтяных слоистых систем в присутствии электрического тока". Материалы VI Всероссийской конференции молодых ученых "Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии". Новосибирск, 2007, с. 20.

Подписано в печать 7.04.11. Формат бумаги G0x84/1(¡. Печать RISO. Уч.-изд.л. 1,6. Усл.п.л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ №10.

Педуниверситет, 630126, Новосибирск, Вилюйская, 28-

61 12-1/517

Новосибирский государственный университет

На правах рукописи

СЕМЕНКО РОМАН ЕВГЕНЬЕВИЧ

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОДНОЙ МОДЕЛИ СЛОИСТЫХ СТРУКТУР

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д.ф.-м.н., профессор Блохин Александр Михайлович

Новосибирск 2011

Оглавление

Введение 2

1 Построение математической модели электрогидродинамики слоистых диэлектриков 28

1.1 Предварительные сведения.......................29

1.2 Гидродинамика анизотропных слоистых диэлектриков.......37

1.3 Математическая модель слоистых диэлектриков в электрогидродинамическом приближении......................44

2 Исследование устойчивости ударных волн в слоистых структурах 50

2.1 Линеаризация уравнений электрогидродинамической модели слоистого диэлектрика...........................51

2.2 Исследование задачи Коши для слоистых структур.........56

2.3 Сильные разрывы в слоистом диэлектрике..............60

2.4 Некорректнось задачи об устойчивости ударных волн.......74

3 Электродинамическая неустойчивость слоистых систем 95

3.1 Исследование задачи об электродинамической неустойчивости слоистых систем...............................96

3.2 Доказательство теоремы 3.1.1.....................106

3.3 Численное исследование параметрического резонанса в слоистых структурах................................117

Заключение 134

Приложение А 136

Приложение В 145

Введение

Известно, что проблема повышения отдачи нефтяных пластов имеет важное значение для современной энергетики. Трудность решения этой проблемы заключается в том, что в процессе эксплуатации в трещиноватых зонах коллекторов формируются водонефтя-ные слоистые системы, которые, блокируя транспортную структуру коллекторов, выводят значительные нефтеносные области из режимов водного вытеснения. Восстановление проницаемости коллектора возможно лишь в условиях разрушения слоистых водонефтяных структур. Главной целью данной диссертации является обсуждение некоторых возможных способов разрушения этих слоистых структур, используя "уравненческий" подход.

Прежде всего для исследования этой проблемы необходимо построить математическую модель, которая с достаточной точностью будет описывать гидродинамику слоистых структур. По своей природе эти слоистые структуры представляют из себя смесь воды, нефти и газа. Анизотропные жидкости разнообразной слоистой структуры по принятой терминологии относят к категории смектических жидких кристаллов (смектиков). Для моделирования подобных систем Л.Д. Ландау был предложен так называемый континуальный подход [1, 2, 3]. Слоистые структуры рассматриваются как одно-скоростной слоистый континуум. Предполагается, что в равновесии все слои параллельны, ось координат г направлена вдоль нормали к равновесному расположению слоев. При отклонении от равновесия форма слоев может изменяться, поэтому при макроскопическом описании смектиков нужно ввести вектор смещения слоев, который имеет одну компоненту и и направлен вдоль оси г, так как смещение слоя имеет смысл рассматривать только в направлении нормали к нему. Также вместо вектора смещения можно ввести числовую

функцию w, которая определяется как явное выделение каждого отдельного слоя, то есть

w(x,t) = const

задает положение пространстве и эволюцию во времени некоторого смектического слоя. Другими словами,

w(x, t) = 9.

Здесь х = {xi,x2,xs) = (х, у, z) — радиус-вектор, t — время, 9 — параметр, идентифицирующий слои. В силу определения функции w ее градиент Vu> направлен вдоль нормали к смектическому слою. Таким образом, единичный вектор нормали к слою задается выражением

|d|2 = i.

|Vw| 1 1

Теорию упругости смектиков можно построить на основе квадратичного разложения плотности энергии [1]:

Здесь B,N — некоторые постоянные, которые с физической точки зрения являются модулями упругости смектика. Примечательно, что второй член в разложении имеет большую степень производной, чем первый. Законным его введение делает тот факт, что в разложении отсутствует слагаемое, пропорциональное + |р2. Эти производные и не могут входить в разложение энергии, поскольку если повернуть тело как целое вокруг осей х и у, то эти производные изменятся, между тем как энергия должна остаться неизменной. Физически отсутствие этих производных означает, что слои могут жидко проскальзывать друг относительно друга.

Для исследовния нелинейных эффектов в смектиках необходимо знать следующие за квадратичными члены разложения энергии по

и. Для этого удобнее использовать разложение в терминах функции w. На языке w разложение плотности энергии обобщается следующим образом:

В\Vw\2 s9 N , Л ч9

Здесь q — плотность слоев структуры. Здесь видно, что как в первом, так и во втором слагаемом имеются члены четвертого порядка по градиентам, что и дает формальное обоснование учета обоих членов.

Состояние равновесия системы, когда слои представляют из себя плоскости, расположенные друг за другом вдоль оси z, выражается равенством

w — qz, q = const. При отклонении от равновесия функция w приобретает вид

w = q(z — и).

Квадратичные члены разложения (0.0.2) по и как раз и дадут разложение (0.0.1). Члены третьего и четвертого порядков по и являются главными членами, описывающими нелинейные эффекты в смекти-ках.

Впервые континуальный подход был применен Л.Д. Ландау при построении теории сверхтекучего гелия II [32].

При помощи континуального подхода, в [5] получены уравнения гидродинамики газосодержащих водонефтяных слоистых систем. Основу подхода составляют следующие фундаментальные факты: констатируется справедливость законов сохранения массы, импульса, энергии и энтропии [6]; термодинамическое состояние неравновесной системы определяется внутренними и внешними параметрами системы и энергией. В состоянии термодинамческого равновесия внутренние параметры системы являются функциями внешних параметров

и энергии. Также локально существует функция состояния — неравновесная энтропия.

Для газосодержащих слоистых структур разложение плотности энергии может быть записано в следующей форме:

~ ч Ч2 ) 2

а(а')2\Ь\\(с1,а)2-\а\')^ад Г-^-Л}.

Ъф 1 1 ^ ' ' 1 ' 7 Ч^з Здесь Ъ = = щ, а = УС, а = сг(С) — поверхностное натяже-

ние, С — массовая концентрация газа, а < 0 — некоторая постоянная. Как видим, первые два члена разложения присущи описанию смектиков. Они описывают деформацию слоев. Вторые два члена зависят от концентрации газа С. Они характеризуют зависимость поверхностного натяжения границы раздела слоев от концентрации находящегося в системе газа.

Предполагается, что внутренняя энергия единицы обьема среды зависит от плотности р, энтропии я, массовой концентрации газа С и ее градиента а. Также сохраняются термодинамические степени свободы, присущие смектическому описанию: 6 и

д2и]

■В г к = т; й 5 г,к = 1, 2,3.

ОХ {ОХ к

Такое описание позволяет рассматривать слоистые структуры как термодинаическую систему, для которой первое начало термодинамики имеет следующий вид:

(ко = - рвУ + !/{(/, дЬ) + г (1С + + (£, 6а)},

где Т — температура, £о — массовая внутренняя энергия, р — давление,

V{= -) - удельный объем, £0 = е0 + VE0,

е0 = eo(V, s, С) - уравнение состояния,

I „ v^yv» V«, / 1 Z, \ ^JL!"'^' 7 I 5

Г 03 \ «з /

Z = рЫс + —q'f\b\2((d, а)2 - И2) + a'q - 1

N л Ф = Лгу,

ч Г

/s)

т = (ео)в +

V = -(eo)v - - V(Eo)v, с2 = = -FW = + + V(E0)vv}

— квадрат скорости звука (см. [6]),

+a(</)2|&|2((d, а)2 - |а|2)} + <т9(3( j- - 1), 0 = V,s,

# Я. ^ я

+ В\ьЛ+аЧ¥¥(^-1).

Q «з

Из уравнения для функции w.

д w

dt

+ vVw = 0

выводятся уравнения для величин Ъ = и В^ = ¿^-^г, г,к = 1,2,3:

дЪ

— + — о,

ад*,. <9

Здесь г> = (^1,^2^3) — вектор скорости среды. По повторяющимся индексам ведется суммирование. Далее постулируются законы сохранения:

до

+ Мь((п>) = О,

^ + «МрС») = О,

дЬ

д(рУ{) д

д1 + - агк) = 0, г = 1, 2,3.

Здесь ст^ — тензор напряжений. Закон сохранения энергии рассматривается в следующей форме:

+ +<КУС} = 0.

Здесь С} = (^2, Яз) — вектор потока энергии.

Как и принято в гидродинамике, закон сохранения энергии должен являться следствием остальных уравнений. Из этого факта можно получить выражения для о^ и <5:

Ък = Р^гк + г,к — 1, 2,3, дФ

к = ^(-¡к + о^) - сц£к - ФДь г, к = 1, 2,3,

Ы2

Я = ру{е0+рУ + —} + д, д = (51,92,93), Як = (/к - «) + &(а,«) + Ф + Л = 1,2,3.

В итоге, полученную систему законов сохранения можно записать в следующем виде:

Р1 + с1т(ру) = О,

(рС)4 + (Иь{рСу) = О, з

+ рх, + (рад, - = о, г = 1, 2, 3, к=1

+ сИу(рзу) = О, + + ¿^ = 0.

(ргу)^ + сИу(ргиу) = 0.

Таким образом, континуальный подход, предложенный Л.Д. Ландау для моделирования смектиков, используется для построения уравнений, описывающих движение водонефтяных слоистых структур.

Одним из возможных способов разрушения слоистых структур может выступать механизм ударных волн. На основе приведенной выше модели можно сформулировать линейную смешанную задачу об устойчивости ударных волн и исследовать ее корректность [7, 8]. Факт некорректность задачи будет означать, что ударные волны неустойчивы в данной модели слоистых структур, то есть при помощи данной модели невозможно обосновать эффективность подобного механизма разрушения слоистых структур.

Отдельно остановимся на вопросе корректности начально-краевой задачи. В данном случае под корректностью мы понимаем корректность по Адамару, то есть существование и единственность решения, а также непрерывная зависимость решения от данных задачи. Соответственно, некорректность задачи можно доказать с помощью

построения так называемого примера типа Адамара [9]. Хорошо известен пример Адамара некорректности следующей задачи Коши:

щ+ + ихх = О,

(0.0.

и(0,х) = tpi(x), ut(0,x) = (Р2{х),

где cpi(x): щ(х) — некоторые гладкие функции. Пусть u(t,x) — решение этой задачи. Рассмотрим далее следующую задачу:

utt + ихх = 0,

2 (0.0.4)

й(0,ж) = tpi(x), üt(0,x) = (/?2(ж) + — sm(kx).,

к

Очевидно, что решением этой задачи будет функция ü(t, х) = u(t, х) + U\(t,x), где ui(t,x) является решением задачи:

u\tt + üixx = 0

с начальными данными

üi(0, х) = 0, йи(0, х) = ^ sin(for). Несложно показать, что

. . Sil IКХ) . /1 \

ui(t,x) = ——sm(Kx). kA

Видно, что при к оо задача Коши (0.0.4) переходит в (0.0.3). Однако, для решения

lim ü(t, х) = u(t, х) + lim ^^ sin(kx) ф u(t, ж).

fc—>oo к—>oo к

To есть, данный пример показывает, что решение не зависит непрерывно от данных задачи, что означает ее некорректность. Пользуясь подобной техникой, можно показать некорректность и нашей задачи об устойчивости ударных волн в слоистых структурах.

Вопрос об услойчивости ударных волн в слоистых структурах исследован, в частности, в работах [7, 8]. Уравнения модели, полученной в [5], линеаризуются отностительно простого постоянного решения и обезразмериваются. Рассматривается кусочно-постоянное решение с сильным разрывом типа ударной волны по плоскости £1 = 0. Выводятся краевые условия на разрыве, которые также линеаризуются и обезразмериваются. Формулируется линейная смешанная задача об устойчивости ударных волн. Некорректность этой задачи доказывается при помощи построения примеров типа Адамара в виде частных экспоненциальных решений. Таким образом, показывается, что рассмотренная модель не описывает механизм разрушения слоистых структур при помощи ударных волн [7].

Также в качестве одного из возможных механизмов разрушения таких образований можно рассмотреть параметрический резонанс, возникающий при длительном гармоническом возмущении внешней границы слоистой системы. Однако уже первые исследования возможности организации параметрического резонанса с помощью акустического воздействия указывают на проблему переноса силового воздействия в толщи нефтеносных коллекторов. В этой связи следует отметить, что силовое воздействие, по-видимому, проще обеспечить методами электроразведки. Дело в том, что водонефтяные слоистые системы являются анизотропными диэлектриками, слабо проводящими электрический ток. Соответственно, можно изучить вопрос о влиянии электромагнитных полей на слоистые структуры.

Вопрос об электрогидродинамике жидкости и газа был подробно изучен в работе [10]. В этой работе подробно выводятся уравнения, описывающие поведение различных многокомпонентных сред в присутствии электромагнитных полей, в частности, смесей жидкости и газа. В качестве определяющей системы уравнений, описывающей

движение таких сред, выбираются уравнения неразрывности, движения и энергии для смеси, уравнение сохранения заряда, уравнения Максвелла и уравнения состояния.

Поскольку в общем виде подобные уравнения являются довольно сложными, особое внимание следует обратить на так называемое электрогидродинамическое приближение, которое позволяет заметно упростить полученные уравнения электрогидродинамики. Существует важный класс явлений [10], в которых

Е0 » —В0 тах (1, — 1 , (0.0.5)

С [ £0Ц0)

где Ео — величина напряженности электрического поля, Во — величина магнитной индукции, щ — характерная скорость движения проводящей среды, £о>Мо ~~ соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемость среды, с — скорость света.

Неравенство (0.0.5) соответствует тому, что при электромагнитном воздействии на заряженную среду преобладающим будет воздействие элекрического поля. Также в широком диапазоне реально осуществимых условий

«1, Я = (0.0.6)

Здесь Ь — характерная длина, до — плотность заряда.

При сделанных выше предположениях, в работе [10] выводятся уравнения движения смеси, состоящей из нейтральной компоненты (жидкость или газ) и заряженных частиц одного сорта. Так, в электрогидродинамическом приближении в полную систему уравнений не входят магнитная индукция и напряженность магнитного поля. В частности, уравнения Максвелла в электрогидродинамическом приближении имеют вид:

гоЬЕ = 0,

¿тЕ = /9е,

где Е — вектор напряженности элекрического поля, ре — плотность обьемных зарядов.

Таким образом, объединяя описанный выше континуальный подход моделирования сред, обладающих слоистой структурой и метод построения уравнений электрогидродинамики проводящих сред, можно получить модель, описывающую электрогидродинамику во-донефтяных солистый структур в присутствии электрического тока.

Глава 1 данной диссертации посвящена построению математической модели, описывающей электрогидродинамику слоистых диэлектриков в присутствии сторонних зарядов. В первом разделе приводится система гидродинамических уравнений в обратимом приближении для газосодержащих слоистых систем. В основу способа получения этих уравнений положен континуальный подход. Смесь воды, нефти и газа рассматривается как односкоростной слоистый континум и констатируется справедливость законов сохранения массы, импульса, энергии и энтропии:

р1 + ¿гь(ру) = 0, (0.0.7а)

(рС)4 + сИу(рСу) = 0, (0.0.7Ь)

з

+ Рхг + ^{рЩЩ - агк)Хк = 0, г = 1,2,3, (0.0.7с) к=1

(ре)* + (Цу(рзу) = 0, (0.0.7(1)

+ +(¿^<2 = 0. (0.0.7е)

Здесь р - плотность слоистого континуума, V = (г>1, г>2, г?з) - вектор скорости среды, С - массовая концентрация газа, р - давление, в -энтропия, £о - массовая внутренняя энергия, = (и,-у), о ж — тензор напряжений, С} = ($1, Яз) — вектор потока энергии.

Также вводится функция, описывающая слои структуры:

{£ + („, У)}то = 0 (0.0.8)

Наконец, постулируется первое начало термодинамики для слоистых структур. Компоненты а^ тензора напряжений и вектор С} = (дь (^2, Яъ) потока, энергии определяются из того факта, что, как и принято в гидродинамике, закон сохранения энергии является следствием остальных уравнений системы.

Второй раздел просвящен построению модели анизотропных слоистых диэлектриков. Модель, полученная в первом разделе, модифицируется таким образом, чтобы учесть влияние на среду со стороны электрических и магнитных полей, поскольку водонефтяные слоистые системы по своей природе являются анизотропными слоистыми диэлектриками, слабо проводящими электрический ток:

pí + <Цу(ри) = 0 , (0.0.9а)

(рС)£ + (Иь(рСу) = 0 , (0.0.9Ь)

+и^и _ м)к+ (о о 9с)

- а1к--—--Ь 2^гк)хк = 0 , г = 1, 2,3,

к=1

(рз)г + сИу(рзу) = |, (0.0.9(1)

^ + (Иу{С1 - {Е, Р)у + ) = 0 , (0.0.9е)

Здесь Е = £2, Е$) — вектор напряженности электрического поля, В = .В2,-б3) — вектор магнитной индукции, М = (М1,М2,М3) — вектор намагниченности, Н — (Н1, Щ, — вектор напряженности магнитного поля, И = (В\, В%) — вектор

электрической индукции, R — диссипа.тивная функуция, £ — полная энергия, с — скорость света.

Также изменяется первое начало термодинамики. Поскольку предполагается наличие электрического и магнитного полей, к системе добавляются уравнения Максвелла:

1 дБ тт 13D 4тг .

rotE =---—, rotH =----—I--7 ,

с dt' с dt с J (0.0.10)

divD = 4-7Гpe: divB = 0 .

Здесь j — плотность тока, pe — плотность объемного электрического заряда.

Закон сохранения энергии по прежнему является следствием остальных уравнений, если определить диссипативную функцию R и Е^ следующим образом:

Ък = [В,Р]^,цк = 1,2,3,

с (0.0.11) R=(ti-peV),E!).

Здесь Р = (Pi,P2,Ps) — вектор поляризации, Е' = (Е + ^[v,B]) — напряженность электрического поля в системе покоя жидкой частицы рассматриваемой среды.

Поскольку полученная во втором разделе математическая модель является довольно сложной, в третьем разделе строится электрогидродинамическое приближение этой модели. Приближение делается с т�